1

Розділ 3. Інтегральне числення функцій однієї змінної

Тема 3.1. Невизначений інтеграл

Первісна. Означення. Властивості Відомо, як розв’язується така задача: дана функція F x ; знайти похідну F x f x . Обернена задача: Дана функція f x ; знайти таку функцію F x , щоб F x f x .

Тобто, ? f x . Приклад. Нехай 4f x x . Знайти F x .

5

5xF x C , бо

54

5x C x

.

О. Функція F x називається первісною («первообразной» рос.) для функції f x на

проміжку ,a b , якщо

F x f x для ,x a b Мають місце властивості:

01 . Якщо F x первісна для функції f x на ,a b , то F x C - також первісна

для f x на ,a b . 02 . Якщо 1 2,F x F x - дві первісні для функції f x на ,a b , то

1 2F x F x C , тобто різниця двох первісних для функції f x є константою. Без доведення.

Невизначений інтеграл. Означення. Властивості

О. Невизначеним інтегралом від функції f x на проміжку ,a b називається

сукупність первісних F x C для функції f x на цьому проміжку, де С – довільна

стала, а функція F x така, що F x f x .

Позначення невизначеного інтеграла: f x dx .

Отже, за означенням

f x dx F x C (1), де F x f x . (2)

Тоді 5

4

5xx dx C , бо

54

5x x

;

cos sindx x C , бо sin cosx x ;

2

21dx arctgx C

x

, бо 2

11

arctgxx

.

Мають місце властивості:

01 . f x dx f x

Д. f x dx F x C F x f x

02 . d f x dx f x dx

Д. d f x dx f F x dx dx f x dx

03 . f x dx f x C

04 . d f x f x dx f x C

05 . ,af x dx a f x dx a число.

06 . 1 2 1 2f x f x dx f x dx f x dx

07 . 1 ,f ax dx F ax Ca

(*)

де F ax - первісна для f ax , a - деяке число. Д. Візьмемо похідну від правої частини (*) і доведемо, що вона дорівнює підінтегральній функції f ax .

1 1 1xax ax

x

F ax C F ax ax F ax aa a a

як похідна складної функції

u xxf u x f u

x

F ax f ax , бо за умовою F ax первісна для f ax .

Аналогічно: 08 . ,f x b dx F x b C

де F x b первісна для f x b , b - деяке число.

09 . 1 ,f ax b dx F ax b Ca

де F ax b первісна для f ax b , ,a b - деякі числа.

Основна таблиця інтегралів Степенева і показникова функції

3

1

1. , 11

1. ) 1 0 в формулі 1.

I 2. ln

3.ln

4.

xx

x x

xx dx C

a dx dx x C

dx x Cx

aa dx Ca

e dx e C

Тригонометричні функції Гіперболічні функції

2

2

5. sin cos

6. cos sin

II7.

cos

8.sin

xdx x C

xdx x C

dx tgx Cx

dx ctgx Cx

2

2

9.

10.

III11.

12.

shxdx chx C

chxdx shx C

dx thx Cch xdx cthx C

sh x

Обернені тригонометричні функції Деякі часто вживані інтеграли

2

2 2

2

2 2

13. arcsin1

14. arcsinIV

15. arc1

116. arc

dx x Cx

dx x Caa x

dx tgx Cx

dx xtg Ca x a a

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

117. ln2

V 18. ln

19.

dx a x Ca x a a x

dx x x a Cx axdx x a C

x a

Деякі інтеграли від тригонометричних функцій

20. ln cos

21. ln sin

VI 22. lnsin 2

23. lns 2 4

tgxdx x C

ctgxdx x C

dx xtgx Cx

dx xtg Cco x

Правильність формул можна перевірити диференціюванням лівої частини, тобто використовуючи означення. Бажано запам’ятати перші 19 формул. Можна користуватись формулами 20-23, не витрачаючи часу на інтегрування.

4

Методи знаходження невизначених інтегралів

Метод заміни змінної

Т. Нехай а) функція f x неперервна на ,a b

б) функція x t неперервна і диференційовна на ,c d

в) функція x t має обернену функцію t x , яка є диференційовною. Тоді має місце формула:

f x dx f t t dt , (1)

в якій після взяття інтеграла справа покласти t x . Д. Візьмемо похідні по x від лівої та правої частини формули (1)

x

f x dx f x

1 1

x xx tt

f t t dt f t t dt t tx t

1 t xf t t f t f x

t x t

.

Праві частини однакові, отже і ліві рівні. Це означає, що формула (1) вірна з точністю до довільної сталої. Формула заміни змінної застосовується у вигляді:

x t

f x dx f t t dtdx t dt

. (2)

Після взяття інтеграла покласти t x , тобто повернутись до старої змінної. Приклад. Знайти інтеграл, використовуючи заміну змінної

2 2 2 2 2 2

1 11

1 .

x a tdx adt dtdx adt arctgt C

a x a a t a t axta

x xt arctg Ca a a

Метод підведення під знак диференціала

Метод є частинним випадком методу заміни змінної і базується на властивості інваріантності (незмінності) формули інтегрування відносно змінної інтегрування. На прикладах це виглядає так:

5

32

3xx dx C ;

32

3uu du C ;

32 lnln ln

3xd x C .

Формула застосована одна й таж, а змінні різні. Формула для методу підведення під знак диференціала:

f x d x F x C , (3)

де F x - первісна для функції f x . Переваги методу: після взяття інтеграла не треба переходити до старої змінної. Приклади.

1. 5

4 4 sinsin cos sin cos sin sin5

xx xdx d x xdx x d x C

2. 3 4

3ln lnln ln ln4

x dx xdx d x x d x Cx x

3.

2

22

22 2

1 211 1 ln 111 2 1 2

2

d x xdxd xx dx x Cd xx xxdx

4.

2

6 62 2 22

5 7 1015 7 5 7 5 75 7 10

10

d x xdxx x dx x d xd x

xdx

725 7110 7

xC

.

Інтегрування частинами в невизначеному інтегралі

Т. Нехай функція u u x та v v x диференційовні, тоді має місце формула:

udv u v vdu . (1)

Формула (1) називається формулою інтегрування частинами. Доведення. Відомо, що d u v vdu udv .

Проінтегруємо ліву та праву частину:

d u v vdu udv

d u v u v C vdu udv

udv uv C vdu

Константу C опускаємо, тобто приймає 0C , бо довільна стала буде присутня після

взяття інтеграла справа vdu .

6

Маємо: udv u v vdu . (1)

Зауваження. Труднощі в застосуванні формули (1) полягають у тому, що як правило

задається інтеграл для обчислення у вигляді f x dx , а не udv .

Тому виникає дві задачі:

1. Звести f x dx до вигляду udv

2. Обчислити udv за формулою. (1)

Розв’язання задачі 1 полягає в тому, щоб визначитись, що прийняти за u , а що за dv . Як правило, за u приймається множник, який спрощується від диференціювання. Існують рекомендації щодо такого вибору. Існують спеціальні класи інтегралів, для яких застосовують вказаний метод. Наведемо деякі такі класи функцій з вказанням, що приймається за u та dv .

1) cosnP x mx dx , sinnP x mx dx , mxnP x e dx

u dv u dv u dv Тут nP x - многочлен степеня n , ,n m - задані числа.

2) nP x arctgmx dx , arcsinnP x mx dx , lnnP x x dx

u u u dv dv dv

3) cosxe xdx , sinxe xdx .

Тут немає значення, що приймати за u , двічі застосовується метод інтегрування частинами, в результаті чого приходимо до рівняння відносно шуканого інтеграла. Метод інтегрування частинами може застосовуватись повторно, наприклад для інтегралів

2 xx e dx , 3 sinx xdx та інших.

Розглянемо приклади, на яких проілюструємо схему застосування методу, що розглядається. Приклади.

1.

5 5 5

5 5

;

; 5 5

1 155 5

x x x

x x

u x du dx

xe dx dv e dx v e dx d x dx udv u v vdu

e d x e C

0 (завжди, бо шукаємо одну функцію v , а не сукупність)

5 5 5 51 1 1 15 5 5 25

x x x xx e e dx xe e C

2. 2

1;1

;

u arctgx du dxxI arctgx dx udv u v vdu

dv dx v dx x

7

121xarctgx x dx xarctgx Ix

2

22

21 2 2

1 211 1 ln 111 2 1 2

2

d x xdxd xxI dx x Cd xx xxdx

21 ln 12

I xarctgx x C .

Деякі вибрані питання

Комплексні числа

Основні поняття

О.1. Комплексним числом називається вираз вигляду z a bi , де a та b - дійсні числа, i - уявна одиниця, яка задовольняє умову 2 1i . Число a називається дійсною частиною комплексного числа. Пишуть Rea z (перші дві літери Real - дійсний франц.). Число bназивають уявною частиною комплексного числа. Пишуть Imb z (перші дві літери Imaginaire – уявний франц.). Кажуть, що комплексне число

z a bi (1) записане в алгебраічній формі. На площині комплексне число зображується точкою або вектором

,z M a b

Числу z відповідає т. ,M a b або вектору OM

і , z OM

навпаки, точці або вектору відповідає число z . О.2. Число z a bi називається спряженим по відношенню до числа z a bi Геометрично:

,M a b

y

О x

О

y

x

z

M

M

,

,

M a b

M a b

8

Дії над комплексними числами, заданими в алгебраїчній формі Нехай 1 1 1z x iy , 2 2 2z x iy .

1. 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2z z x iy x iy x x i y y

2. 1 2 1 2 1 2z z x x i y y

3. 21 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2z z x iy x iy x x ix y iy x i y y

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1z z x x y y i x y x y .

4.

1 1 2 21 1 2 1 2 1 2 2 1 1 22 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

x iy x iyz z z x x ix y ix y y yz z z x iy x iy x i y

1 2 1 2 2 1 1 22 22 2

x x y y i x y x yx y

.

1 1 2 1 2 2 1 1 22 2 2 2

2 2 2 2 2

z x x y y x y x yiz x y x y

.

На практиці формули не запам’ятовують, а запам’ятовують ідею їх отримання.

Тригонометрична форма комплексного числа

Зобразимо комплексне число z x iy (1) на площині xOy .

З рисунку:

cossin

x ry r

(2)

Числа r і називаються модулем і аргументом комплексного числа.

2 2r z x y (3) ytgx

(4)

Значення аргументу визначається з формули (4) з урахуванням того, в якій чверті знаходиться точка М. Аргумент визначається з точністю до доданка 2 ,k k z . Якщо , то значення називають головними значеннями аргументу і позначають arg z . Підставимо (2) в (1) і отримаємо:

cos sinz r i . (3) Формула (3) задає комплексне число z в тригонометричній формі.

y

x

О

,M x y

x

y r

,r - полярні координати точки M

r OM

,Ox OM

-1

-1

9

Дії над комплексними числами, заданими в тригонометричній формі

Нехай 1 1 1 1cos sinz r i

2 2 2 2cos sinz r i

1. 1 2 1 1 1 2 2 2cos sin cos sinz z r i r i

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2cos cos sin sin cos sin sin cosr r i

1 2cos 1 2sin

1 2 1 2 1 2 1 2cos sinz z r r i (при множині модулі перемножуються, а аргументи додаються) 2. ... ;nz z z z n N

cos sinnnz r i

cos sinn nz r n i n - формула Муавра (Муавр – англ. математик).

1 1 1 2 2 21 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

cos sin cos sincos sin cos sin

r i r iz z zz z z r i r i

1 1 2 1 2 1 2 2 12 2 2

2 2

cos cos sin sin sin cos sin coscos sin

r ii

;

2 2

2 2cos sin 1

1 11 2 1 2

2 2

cosz r iz r

.

При ділені 1

2

zz

модулі діляться, аргументи віднімаються.

4. ;n z n N

cos sin cos sinn nz r i i Де , треба визначити.

cos sin cos sinn r i i . Піднесемо до n го степеня ліву та праву частини cos sin cos sinnr i n i n .

Маємо рівність двох комплексних чисел, з чого випливає рівність їх модулів, аргументи відрізняються на 2k .

22 ,

nn rr

kn k k Zn

.

Отже 2 2cos sin , 0, 1n n k kz r i k nn n

.

10 Тут покладено 0, 1k n , бо доведено, що тільки при цих значеннях k отримуємо n різних значень кореня. При інших значеннях k значення коренів повторюється за рахунок присутності доданку 2k .

Показникова форма комплексного числа

cos sinz r i . Має місце формула Ейлера:

cos sinie i . Без доведення. Тоді

iz r e - показникова форма комплексного числа. Тоді нехай 1

1 1iz re , 2

2 2iz r e :

1. 1 21 2 1 2

iz z r r e

2. 1 21 1

2 2

iz r ez r

3. n n inz r e

4. 2

, 0, 1kin n nz ze k n

. Зауваження Комплексні числа виникають, наприклад, при розв’язанні алгебраїчних рівнянь. Приклад 1. Знайти корені рівняння.

2 1 0x 2

1,21 1x x x x i Приклад 2. Знайти корені рівняння:

3 1 0x

21 1 0x x x

11 0 1x x 2 1 0x x

2 4 1 4 3D b ac ; 3 3 1 3D i i

2,31 3 1 3

2 2 2ix

.

Зауважимо: 1. Рівняння має стільки коренів, дійсних або комплексних, який степень цього

рівняння; 2. Комплексні корені рівняння є комплексно-спряженими. у прикладі 1: 1 2,x i x i

11

у прикладі 2: 21 32 2

x i , 31 32 2

x i .

Тобто маємо пари комплексно-спряжених коренів. 3. Задані рівняння є рівняннями з дійсними коефіцієнтами, а серед коренів є

комплексні: 4. Розкладання відповідних многочленів на множники, враховуючи відому формулу:

21 2ax bx c a x x x x , де 1 2,x x - корені відповідного рівняння, виглядає

так: 2 1x x i x i x i x i

3 21 3 1 31 12 2 2 2

x x i x i x i x i x x

.

Розкладання многочлена на множники

Нехай задано многочлен n -го степеня

10 1 ...n n

n nP x b x b x b . Розглядаємо відповідне рівняння

0nP x .

Воно має n коренів. Нехай ці корені 1 2, ,..., na a a . Якщо всі корені дійсні, різні, то вони називаються простими або такими, що мають кратність 1k . Якщо серед цих коренів є однакові, то вони називаються кратними, їх кратність ik . Якщо серед цих коренів є комплексні, то вони в цю множину коренів входять парами, наприклад 1 2,a i a i .

У розкладанні цього многочлена на множники будуть присутні множники 1x a та

2x a . Знайдемо вираз для добутку

1 2

2 2 2 2 2 2 22

x a x a x i x i x i x i

x i x x x

2 1i

22 2

2 px px q

q

.

Зазначимо тепер, що в розкладанні многочлена на множники, залежно від характеру коренів многочлена, присутні такі вирази: а) 1x a , якщо 1a - дійсний корінь кратності 1k (простий);

б) 1

1x a , якщо 1a - дійсний корінь кратності 1k ;

в) 2x px q , якщо 1 2,a a - комплексно-спряжені корені кратності 1k (кратності)

г) 12x px q

, якщо 1 2,a a - комплексно-спряжені корені кратності 1k .

Для визначеності покладемо в формулі (1) 0 1b

12

1 21 2 ...n n n

n nP x x b x b x b . Розкладання многочлена на множники виглядає так:

1 2

1 2 ... k

n kP x x a x a x a

1 22 2 21 1 2 2 ... s

s sx p x q x p x q x p x q

, (1)

де , , , 1, , 1,i j ja p q i k j s - дійсні числа;

, , 1,j j j s - натуральні числа, які вказують на кратність відповідних коренів многочлена;

1 2 1 2... 2 2 ... 2k sa n , n - степінь многочлена. Формула (1) означає, що многочлен з дійсними коефіцієнтами розкладається на лінійні та квадратичні множники. Лінійні множники відповідають дійсним кореням рівняння, квадратичні – комплексним.

Раціональні дроби (дробово-раціональні функції)

О. Раціональним дробом називається функція вигляду

m

n

Q xP x

, де mQ x та nP x

многочлени степенів m та n відповідно. Якщо m n , то раціональний дріб називається правильним. Якщо m n , то раціональний дріб називається неправильним. Якщо раціональний дріб неправильний, то шляхом ділення можна виділити цілу та дробову частини.

1

1,mmm n

n n

T xQ xR x m n

P x P x .

ціла частина правильний (многочлен) раціональний дріб

Нехай

m

n

Q xP x

- правильний раціональний дріб.

Серед цих дробів виділяються 4 типи дробів, які називаються найпростішими.

I тип: A

x a, II тип:

, 1k

A kx a

,

III тип: 2

Bx Cx px q

, IV тип: 2

, 1kBx C k

x px q

.

, , ,B C p q - дійсні числа;

многочлен 2x px q - має комплексні корені, тобто 2

2 4 04pD p q q .

13

Розкладання правильного раціонального дробу на суму найпростіших дробів

Т. Будь який правильний раціональний дріб

,m

n

Q xm n

P x може бути представлений у

вигляді суми найпростіших дробів. Без доведення. Пояснення. Нехай nP x подано у вигляді (1). Тоді

11 2 2

1 1 1... ... sk

m m

n k s s

Q x Q xP x x a x a x p x q x p x q

1

1 1 1

1 2

11 1

...AA A

x ax a x a

.................................................................

1

1 2 ... k

k kkk k

BB Bx ax a x a

1 1

1 1 1

1 1 2 222 2

1 11 1 1 1

...C x DC x D C x D

x p x qx p x q x p x q

...................................................................................................

1

1 1 2 222 2

... s s

s ss ss s s s

E x FE x F E x Fx p x qx p x q x p x q

. (3)

Тут ,..., , , ,..., ,i i i i i iA B C D E F - деякі числа (коефіцієнти, які треба визначити). Знаходження вказаних коефіцієнтів засноване на зведенні (3) до рівності двох многочленів, яку отримаємо звівши вираз в (3) справа до спільного знаменника, та опустивши цей знаменник (спільним знаменником є nP x )

1

1

mmm m

n n

T xQ xQ x T x

P x P x , (4)

опустили знаменник

тут mQ x має задані коефіцієнти,

1mT x має вказані коефіцієнти, які треба визначити.

Для знаходження невідомих коефіцієнтів використовують методи: 1. Метод задання частинних значень. У співвідношенні (4) надаємо x деякі числові значення (як правило це дійсні корені многочлена nP x - знаменника дробу). Розв’язавши рівняння (4) відносно невідомих коефіцієнтів, отримаємо їх значення.

14 2. Метод невизначених коефіцієнтів. У рівності многочленів (4) прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях x . У результаті отримуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів. Розв’язуємо її відомими методами. 3. Комбінація методів задання частинних значень та методу невизначених коефіцієнтів. Спочатку використовують метод 1, потім метод 2. Найчастіше використовується саме комбінація методів 1 і 2. Приклад 1. Розкласти заданий правильний раціональний дріб на суму найпростіших

дробів:

12

3

31 1

Q x xP x x x

.

Розв’язання.

22

31 11 1

x A Bx Cx xx x

Записано з урахуванням аналізу коренів знаменника: 1 0 1x x - корені дійсні

2 1 0 0 4 0x D - корені комплексні. Далі зводимо вираз справа до спільного знаменника. Опустивши знаменник, отримаємо:

2

2 2

1 131 1 1 1

A x Bx C xxx x x x

23 1 1x A x Bx C x

Далі використаємо комбінацію методів 1 і 2.

2

1

1 4 2 20 21 1 1

x A Ax A B B A B

B C C B Cx

Тоді

22

3 2 2 11 11 1

x xx xx x

.

Приклад 2. Розкласти задані раціональні дроби на суму найпростіших дробів, не знаходячи коефіцієнтів. а)

2

31 2 1 2 1 1 2 22 3 2 22 23 2 2 2

5 21 21 11 2 2

Ax x A A B B C x D C x Dx x x xx xx x x x

б) 2 5 6 3 2 3 2

x x A Bx x x x x x

.

знаменник розклали на

множники; 2 5 6 0x x ; 1 23, 2x x .

15

Інтегрування раціональних дробів

1. Інтегрування найпростіших дробів.

а) I тип: A

x a

lnd x aA dx A A x a C

x a x a

б) II тип:

, 1A kx a k

1

1

kk

k

x aA dx A x a d x a A Ckx a

в) III тип: 2

22 , 4 0 0

4Ax B pD p q q

x px q

,

2

2 2 2 22 2

04

22 4 4 4

pqAx B Ax Bdx dx

x px q p p p px x q q a

знаменник має комплексні корені виділяємо повний квадрат позначення

2 2 22

22

22

px tpA t B

Ax B pdx x t dtt apx a dx dt

заміна розкрили дужки і на суму двох інтегралів

2 2

2 2 2 2 2 2

12 2 2

d t at p dt A p tA dt B A B A arctgt a t a t a a a

2

2 2 2 2 2

2

21ln

2 2 2

pt x

A p t pt a B A arctg C t a x aa a

x px q

2

2 21 2ln ,2 2 4

pxA p px px q B A arctg C a qa a

.

16 г) IV тип

2 kAx B dx

x px q

21, 4 0k p q - не наводимо через громіздкість виведення. Див. літературу. 2. Інтегрування правильного раціонального дробу.

,m

n

Q xdx m n

P x .

Раціональний дріб розкладається на суму найпростіших дробів, кожний з яких інтегрується за наведеними в п 1. правилами. 3. Інтегрування неправильного раціонального дробу.

,m

n

Q xdx m n

P x .

Підінтегральна функція

11,mm

m nn n

T xQ xR m n

P x P x .

многочлен правильний раціональний дріб і тоді інтегрування зводиться до інтегрування многочлена та правильного раціонального дробу. Приклад.

2 5 6 3 2 3 2x x A BI dx dx dx

x x x x x x

3 2 3 2x A B

x x x x

2 3x A x B x

3 1; 332 1 ; 22

A AxB Bx

3 2 3 23 2 3 2

dx dxI dxx x x x

3 23 2 3ln 3 2 ln 2

3 2d x d x

x x Cx x

.

Зауваження. Запис вигляду ,R x y означає, що задана функція, над аргументами якої x та y

виконуються операції +, -, ×, /. Тобто, ,R x y означає раціональну функцію змінних x та y .

17

1132, ,R x x x

- раціональна функція трьох змінних1132, ,x x x . Наприклад,

111 232

13

, , x xR x x xx

.

Інтегрування деяких ірраціональних функцій

Розглянемо інтеграли виглядів:

1. 1 2

1 2, , ,...,n

n

rr rss sR x x x x dx

де i

i

rs

- задані числа-дроби, 1,i n .

Нехай k - спільний знаменник дробів i

i

rs

.

Тоді, якщо ввести заміну kx t , то

,ri

i isii i i

r k rs s kk

ix t t t k Z

, бо k ділиться на is (k - спільний знаменник, is - один із

знаменників).

Отже,

1 2

1 2 1 2

1

1

це раціональна функція1 однієї змінної t:r t

, , ,..., , , ,...,n

n ni

i i

k

krr rs ks s k kk kr

s k

k

x tdx kt dt

R x x x x dx R t t t t kt dt r t dtx t

t x

,

після взяття інтеграла треба повернутись до старої змінної, поклавши 1kt x .

2.

1

1, ,...,n

n

r rs sax b ax bR x dx

cx d cx d

,

де , , ,a b c d - задані дійсні числа,

i

i

rs

- задані числа дроби.

Нехай k - спільний знаменник дробів i

i

rs

.

18

Тоді, якщо ввести заміну kax b tcx d

, то очевидно, що x r t - раціональна функція від

t .

,i

ii

rs k

iax b t k Zcx d

.

Отже

1

1

1

, ,...,n

n

k

r rs s

k

ax b tcx dx r tax b ax bR x dx dx r t dtcx d cx d

ax btcx d

1 2

1

1

раціональна функціяоднієї змінної t:r t

, , ,.., nkk kR r t t t t r t dt r t dt ,

після взяття інтеграла треба повернутись до старої змінної, наклавши

1kax bt

cx d

.

Приклад. Обчислити інтеграл:

6

5

3 82 53

2 233

16

6

6 61 11

x tdx t dt

x t tI dx x t t dt dtt tx

x t

t x

6 5 36 4 2

2

16 1 61 6 5 3

t t tt t t dt t arctgt Ct

, де

16t x .

86 4 2

2 2

111 1

t t t tt t

.

Для отримання цього виразу виконуємо ділення «кутом».

19

8 2

8 6 6 4 2

6

6 4

4

4 2

2

2

11

11

t tt t t t t

tt t

tt t

tt

Зауважимо, що підстановка, яка зводить ірраціональну підінтегральну функцію до раціональної, називається раціоналізуючою. Зауваження. Інтеграли, що «не беруться». Як було видно з диференціального числення, похідна від довільної елементарної функції є також функцією елементарною. Інакше кажучи, операція диференціювання не виводить з класу елементарних функцій. Цього не можна сказати про інтегрування. Доведено, що існують елементарні функції, інтеграли від яких не є елементарними функціями. Про такі інтеграли кажуть, що вони не обчислюються в скінченному вигляді або «не беруться». Доведено, наприклад, що «не беруться» такі інтеграли:

1. sin x dxx - інтегральний синус

2. cos x dx

x - інтегральний косинус

3. lndx

x - інтегральний логарифм

4.2xe dx - інтеграл ймовірностей

5. sin , cos , , 0,1,2,...xx xdx x xdx x e dx

та ряд інших. Вказані інтеграли хоча й існують, але не є елементарними функціями. В подібних випадках первісна являє собою деяку нову, неелементарну функцію, тобто функцію, яка не виражається через скінченне число арифметичних операцій і супероперацій над основними елементарними функціями. Інтеграли вказаного типу беруться за допомогою рядів. Розділ «Ряди» вивчатиметься у третьому семестрі.

Інтегрування тригонометричних функцій Будемо розглядати інтеграли, у яких підінтегральна функція є раціональною функцією змінних sin x та cos x , тобто sin ,cosR x x . 1. Універсальна підстановка.

20

Відомо, що функції sin x та cos x виражаються через 2xtg , а саме:

2

2 2

2 12 2sin ; cos

1 12 2

x xtg tgx xx xtg tg

.

Тому універсальною підстановкою є підстановка 2xt tg , за допомогою якої беруться

інтеграли зазначеного нижче вигляду.

2

2 2 22

2

2

2

2

22

2 1 2sin ,cos ,12 1 1 11

2sin11cos1

xt tg

x arctgt

x arctgtt tR x x dx R dt r t dt

dx dt t t tttxttxt

.

Після взяття інтеграла треба покласти 2xt tg .

За допомогою вказаної підстановки беруться інтеграли вказаного вигляду, тому вона називається універсальною. Але іноді ця підстановка призводить до громіздких викладок, тому застосовують інші підстановки, які враховують характер підінтегральної функції. 2. Нехай sin ,cos sin , cosR x x R x x , тобто підінтегральна функція непарна відносно cos x . Тоді

sin

sin ,cossin ,cos cos

cos d x

R x xR x x dx xdx

x

2 21 1sin ,cos sin sin ,1 sin sinR x x d x R x x d x

21sin ,1x t R t t dt r t dt .

Після взяття інтеграла треба покласти sint x . 3. Нехай sin ,cos sin ,cosR x x R x x Тобто підінтегральна функція непарна відносно sin x . Тоді, аналогічно попередньому:

cos

sin ,cossin ,cos sin

sin d x

R x xR x x dx xdx

x

21

2 21 1sin ,cos cos 1 cos ,cos cosR x x d x R x x d x

2

121

1 ,cos 1 ,

R t tx t R t t dt r t dt

r t

.

Після взяття інтеграла треба покласти cost x . Зауваження. Далі будуть потрібні формули, що виражають 2cos x та 2sin x через tgx .

Відомо, що 2 22 2

1 11 coscos 1

tg x xx tg x

;

2

22 2 2

1 1 11 1sin

tg xctg xx tg x tg x

;

22

2sin1

tg xxtg x

.

4. Нехай sin ,cos sin , cosR x x R x x , тобто підінтегральна функція парна відносно sin x і cos x присутні в парних степенях в підінтегральній функції.

2 21 2

22

2

22

2

1 2 2 2

2

21sin ,cos sin ,cos 2

1

sin1

1cos1

1 2, .1 1 1

xt tg

x arctgt

R x x dx R x x dx dx dtttx

t

xt

tR dt r t dtt t t

Після взяття інтеграла треба покласти t tgx . 5. Нехай підінтегральна функція є функцією від tgx , тобто R tgx

2

2

11

11

tgx tR tgx dx x arctgt R t dt r t dt

tdx dt

t

.

Після взяття інтеграла треба покласти t tgx . 6. Нехай задано інтеграли вигляду

sin cos , sin sin , cos cosx xdx x xdx x xdx .

У даному випадку підінтегральні функції перетворюються за допомогою відомих формул:

1sin cos sin sin2

22

1sin sin s cos2

co

1s cos cos cos2

co .

Це зводить обчислення інтегралів до використання таблиці і інтегралів з методом підведення під знак диференціала. Приклади. 1.

2

22

2

2

2

2 1 2 12 ln ln .2sin 1 2 22 1

12sin

1

xt tg

x arctgtdx x xx arctgt dt dt t C t tg tg Ctx t t

tdx dtttxt

2.

2

3 2 2

1 sin sin

cos cos cos 1 sin sinx d x

xdx x xdx x d x

3

2 sinsin sin sin sin3

xd x x d x x C .

Тут підінтегральна функція була непарна відносно cos x , відокремили cos x і далі підведення під знак диференціала і тригонометричні формули.

3. 2 2 1 cos2 1 cos2 1 1cos cos cos22 2 2 2

x xxdx x dx dx xdx

1 1 1 1 1cos2 2 sin 22 2 2 2 4

x xd x x x C .

4. 22 4 2sin cos sin cosx xdx x x cos xdx

22 2sin 2 1 cos2 1 1sin sin 2 cos2

2 2 8 8x x dx xdx x xdx

3

21 1 cos4 1 1 1 1 1 sin 2sin 2 sin 2 cos 4 48 2 16 16 16 4 16 3

x xdx xd x x x d x

31 1 1sin 4 sin 216 64 48

x x x C .

23

Тригонометричні підстановки

Тригонометричні підстановки застосовуються для інтегралів спеціального вигляду, а саме:

1. 2 2,R x a x dx

2. 2 2,R x a x dx

3. 2 2,R x x a dx

Підстановки підбираються таким чином, щоб добувався корінь квадратний з відповідних виразів.

2 2 2 2 2 2cos 1 cos sin sina x x a t a t a t a t

2 2 2 2 22

11cos cos

aa x x atgt a tg t at t

22 2 2 2

2 2

1 1 cos1cos cos cos

a tx a x a a atgtt t t

.

Тоді

1. 2 2

2 2

cos, sin cos , sin sin

sin

x a tR x a x dx dx a tdt R a t a t a tdt

a x a t

1 sin ,cosR t t dt .

2. 2 22 2

2 2

1 1, ,cos cos cos

cos

x atgtaR x a x dx dx a dt R atgt a dt

t t taa x

t

1 sin ,cosR t t dt .

3. 2 22 2

2 2

cossin, sin ,

cos cos cos

axt

a a a tR x x a dx dx t dt R atgt dtt t t

a x atgt

1 sin ,cosR t t dt .

Приклад. Обчислити заданий інтеграл:

24

3 232

2

cossin 1sinsin sin1 1 sin

x tdx tdx tdt dt dt

t tx x t

2 2

cos cos cossin 1 cos 1

t t xctgt C C C t x Ct t x

.

Тема 3.2 Визначений інтеграл

Основні поняття

1) Нехай задана функція f x неперервна на відрізку ,a b . Розіб’ємо цей відрізок

на частинні («частичные» - рус.) відрізки точками 0 1, ,..., na x x x b , довжини відрізків

1, 1,i i ix x x i n . Кажуть, що виконано розбиття відрізку ,a b .

Беремо точку i (кси –гр.), 1,i i ix x , знаходимо ;i i if f x і формуємо суму:

1

n

n i ii

I f x

.

Це інтегральна сума для функції f x на відрізку ,a b .

Позначимо max ix .

О. Якщо існує границя інтегральної суми 0 0 1

lim limn

n i ii

I f x

, яка не залежить від

способу розбиття відрізка ,a b і вибору точок i , то ця границя називається визначеним

інтегралом від функції f x на відрізку ,a b .

Позначення: b

a

f x dx .

Отже, за означенням: 0 1

limb n

i iia

f x dx f x

(1).

Якщо існує границя справа в (1), то кажуть, що функція f x інтегровна на

відрізку ,a b .

2) Геометрично: фігура обмежена кривою y f x , прямими ,x a x b та віссю Oy називається криволінійною трапецією. Виконуємо розбиття відрізку ,a b .

Тоді i i if x S - площа i -го прямокутника з висотою if , основою ix ,

сх.ф.1

n

i ii

f x S

- площа східчатої фігури, складеної з вказаних прямокутників,

25

1

n

i i aABbi

f x S

- площа криволінійної трапеції.

Переходячи до границі (1) max 0i отримаємо, що

кр.трап.

b

a

S f x dx

3) Деякі задачі, що зводяться до обчислення визначеного інтеграла: 1. Обчислити шлях, пройдений точкою за проміжок часу від до , якщо швидкість руху V t .

Виконуємо розбиття відрізку , : 0 1, ,..., nt t t . Складаємо суму

1

n

i ii

V t S

,

де S - шлях, пройдений точкою за проміжок часу від до . Переходячи до границі max 0it , маємо

S V t dt

.

2. Обчислити масу лінійного однорідного стрижня («стержня» - рус.), який розташовано на відрізку ,a b , в кожній точці якого задана густина x .

Виконуємо розбиття відрізку ,a b :

0 1, ,..., na x x x b . Складаємо суму

11

n

ii

x m

- маса стрижня.

Переходячи до границі max 0ix , отримаємо

b

a

m x dx .

y f x

A B

x 0 0a x 1x 1xi i xi b xn

y

26 4) Існують класи інтегрованих функцій, а саме: Теорема1. Якщо функція f x неперервна на відрізку ,a b , то вона інтегрована на цьому відрізку. Теорема2. Якщо функція f x обмежена на відрізку ,a b і має на ньому скінчену кількість точок розриву I-го роду, то вона інтегрована на цьому відрізку. Приклад інтегровної функції: f x c на ,a b , c const . Інтегральна сума:

11 1 1

n n n

i i ii i i

f x c x c x c b a

.

Переходячи до границі, маємо: b

a

cdx c b a .

Приклад неінтегровної функції: Функція Дірихле

1, раціональне, ,0, ірраціональне, , .

x x a bf x

x x a b

Інтегральна сума:

а) x - раціональне: 11 1

1n n

i ii i

f x x b a

,

б) x - ірраціональне: 11 1

0 0n n

i ii i

f x x

.

Тут границя інтегральної суми не існує, бо вона залежить від вибору точок i . Функція неінтегровна.

Властивості визначеного інтеграла

01 . 0a

a

f x dx

02 . b a

a b

f x dx f x dx , бо зліва 0ix

03 . 0b

a

f x dx , якщо 0f x

04 . b b

a a

f x dx x dx , якщо f x x на ,a b .

Геометрично: для 0f x , 0x

27

05 . Властивість адитивності відносно проміжку інтегрування.

, , ,b c b

a a с

f x dx f x dx f x dx a b c .

Геометрично: для , 0a c b f x .

06 . Властивість лінійності.

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2, ,b b b

a a a

c f x c f x dx c f x dx c f x dx c c const .

Без доведення.

07 . ,b b

a a

f x dx f x dx a b .

Модуль інтеграла інтегралу від модуля функції. Без доведення.

08 . Теорема про оцінку визначеного інтеграла.

Якщо функція f x на ,a b має найбільше та найменше значення M та m відповідно, то має місце співвідношення:

b

a

m b a f x dx M b a (1)

Д. Згідно з умовою m f x M .

Проінтегруємо кожну частину нерівності на відрізку ,a b .

0

y

x

y x

y f x

D

B

aABb aCDbS S

x b a

y

C B

1S 2S

A

0

y f x

c

1 2aABbS S S

28

m

M

2A 2B

B

1B y f x

x b

A

1A

y

0 a

b b b

a a a

mdx f x dx Mdx

b

a

m b a f x dx M b a .

Геометрично: для 0f x

1 1 2 2aA B b aABb aA B bS S S

1 1aA B bS - площа прямокутника з висотою m ;

aABbS - площа криволінійної трапеції;

2 2aA B bS - площа прямокутника з висотою M . 09 . Теорема про середнє значення функції.

Якщо функція f x неперервна на ,a b , то існує така точка ,a b , що має місце співвідношення:ї

b

a

f x dx f b a . (2)

Д. Враховуючи, що f x неперервна на ,a b , вона приймає всі значення між її найменшим та найбільшим значенням, тобто

m f x M . (3)

Згідно з власивістю 08

b

a

m b a f x dx M b a . (1)

Ділимо всі частини нерівності на b a

b

a

f x dxm M

b a

. (4)

Порівнюємо (3) і (4). Знайдеться така точка ,a b , що

b

ba

a

f x dxf f x dx f b a

b a

.

Геометрично: для 0f x

29

Площі криволінійної трапеції та прямокутника, з основою довжини b a і висотою f , рівновеликі.

Інтеграл зі змінною верхнею межою

Вигляд інтеграла:

x

a

f t dt x . (1)

Геометрично: x

a

f t dt - змінна площа криволінійної трапеції (для 0f x ).

Т. Нехай функція f x неперервна і має місце співвідношення:

x

a

x f t dt , (1)

то x

a x

x f t dt f x

. (2)

Д. 0

limx

xx

; (*)

x x x

a a

x x x f t dt f t dt

y

x О

A

a b

C B

y f x

прям. кр.трaABb aABbS S

y

О

A 1B 2B

y f x

1S 2S

a 1x x 2x t

1

2

1

2

,

.

x

ax

a

f t dt S

f t dt S

30

властивість 09

x x x

a x a

f t dt f t dt f t dt f x x x f x

.

Підставимо в (*)

0 0

lim lim limx x x

f xx f f f x

x

.

Отже, x f x (3), що й треба було довести. Наслідок. З (3) x f x випливає, що x є первісною для функції f x , причому

x

a

x f t dt (4).

Формула Ньютона-Лейбніца

Т. Якщо функція f x неперервна на ,a b , то має місце формула:

b

a

f x dx F b F a , (5)

де F x - первісна для функції f x .

Д. Нехай F x і x дві первісні для функції f x . Відомо, що вони відрізняються на довільну сталу: F x x C .

Врахуємо (4), що x

a

x f t dt .

Тоді x

a

F x f t dt C . (6)

Покладемо в (6) x a та x b .

;a

a

x a F a f t dt C C C F a

;b b

a a

x b F b f t dt C f t dt F a .

Звідси b

a

f t dt F b F a , що й треба було довести.

Зауваження: на практиці формула (5) записується у вигляді:

b

ba

a

f x dx F x F b F a , (6)

де F x - первісна для f x , baF x - читається так: подвійна підстановка від a до

b .

31

за умовою

Методи обчислення визначних інтегралів

Заміна змінної у визначному інтегралі

Т. Нехай:

1) функція f x неперервна на ,a b ;

2) функція x t неперервна і має неперервну похідну t на , ;

3) ,t відповідні значення ,x a b , причому ,a b . Тоді має місце формула:

b

a

f x dx f t t dt

. (1)

Д. Нехай F x - первісна для функції f x . Випишемо невизначені інтеграли, що відповідають лівій та правій частинам:

f x dx F x C

f t t dt F t C .

Тоді

b

ba

a

f x dx F x F b F a

b a

f t t dt F t F F b F a

.

Праві частини рівні, отже рівні і ліві, тобто маємо формулу (1). При обчисленні інтегралів, формула (1) записується у вигляді:

b

a

x t

dx t dtf x dx f t t dtx a tx b t

.

Інтегрування частинами у визначеному інтегралі

Т. Якщо функції u x і v x диференційовні на ,a b , то

b bba

a a

udv u v vdu . (2)

Д. Відомо, що d u v vdu udv .

Інтегруємо ліву та праву частини на відрізку ,a b

32

b b b

a a a

d u v vdu udv

b b b

a a a

udv d u v vdu

b b

ba

a a

udv u v c vdu

b bba

a a

udv u v vdu ,

що й треба було довести. Докладніше:

Тут b ba x b x a au v c u v c u v c u v .

Інтеграли від функцій з симетричними межами інтегрування

Т. Має місце формула

0

0, функція непарна,

2 , функція парна.

aa

a

f xf x dx

f x dx f x

Д.

0

0

a a

a a

f x dx f x dx f x dx

(*)

0 0

0 0,0, 0

a a

a a

x tdx dt

f x dx f t dt f t dt f x dxx a t ax t

.

(поміняли формально літеру t на літеру x ). Підставимо в формулу з (*)

0

0

a a

a a

f x dx f x dx f x dx

. (**)

1) Нехай f x непарна: f x f x . Підставимо в (**)

0 0

0a a a

a

f x dx f x dx f x dx

2) Нехай f x парна: f x f x . Підставимо в (**)

0 0 0

2a a a a

a

f x dx f x dx f x dx f x dx

.

Геометрично:

33

1S 1S

y

x 0 a a

y

0 x

2y x

y

0 x

3y x

функція парна

функція непарна

f x - парна; 1 2 10

2 2a a

a

f x dx S S S f x dx

.

f x - непарна; 1 1 0a

a

f x dx S S

1S - площа відповідних областей.

Використовується для спрощення обчислень.

1. 55 5 3 3

2 2

5 0 0

52 2 23 3xx dx x dx

.

2. 7

3

7

0x dx

1S

1S a x a

y

34

функція непарна

функція парна

2

2

1

y

x 0

cosy x

3. 2

0

2 2

02

cos 2 cos 2sin 2xdx xdx x

4. 2

2

sin 0xdx

Тема 3.3 Невласні інтеграли

Невласні інтеграли І го роду

1) Основні поняття До невласних інтегралів І-го роду відносяться інтеграли, у яких одна чи обидві межі інтегрування є або , а саме:

, , ,b

a

f x dx f x dx f x dx

.

О.1. Невласний інтеграл вигляду

limA

Aa a

f x dx f x dx

, (1)

де функція f x неперервна на відрізку ,a A . Якщо існує границя справа в (1), то кажуть, що інтеграл збігається; в противному разі – розбігається. О.2. Невласний інтеграл вигляду

limb b

BB

f x dx f x dx

, (2)

де функція f x неперервна на відрізку ,B b . Якщо існує границя справа в (2), то інтеграл збігається; в противному разі – розбігається. О.3. Невласний інтеграл вигляду

y

x 0 2

2

1

35

c

c

f x dx f x dx f x dx

, (3)

де c R .

Вважається, що інтеграл f x dx

збігається, коли обидва інтеграли справа в (3)

збігаються; в противному разі – розбігається. Зауважимо, що інтеграл типу (2) зводиться до типу (1) заміною змінної. Надалі детальніше будемо розглядати саме інтеграл типу (1). 2) Зв’язок з первісною (аналог формули Ньютона – Лейбніца). Вважаємо, що F x первісна для функції f x на ,a A

lim limA

A

a aA Aa a

f x dx f x dx F x F x F F a

.

Отже, a

a

f x dx F x F F a

. (1’)

Інтеграл зліва збігається, коли скінченна границя F

b

bf x dx F x F b F

. (2’)

Інтеграл зліва збігається, коли скінченна границя F

c

c

f x dx f x dx f x dx F c F F

F c F F F x F F

. (3’)

Інтеграл зліва збігається тоді і тільки тоді, коли існують скінченні обидві границі F

і F . 3) Геометрична інтерпретація.

a

f x dx S

площа необмеженої області.

S 0

y

x

y f x

0

y

x a a

рис. 1 рис. 2

y f x

36

Згідно рис. 1 інтеграл a

f x dx

збігається, на рис. 2 – розбігається.

Приклад. Дослідити на збіжність заданий інтеграл.

2 00

0 01 2 2

dx arctgx arctg arctgx

4) Дослідження на збіжність інтеграла спеціального вигляду.

Розглядаємо 1

,p

dx p Rx

.

Нехай 1p .

1

0

ln ln ln1 0dx xx

інтеграл розбігається.

Нехай 1p . 1

11 0 11

1 11 1

pp

p pdx xx dxx p p x

1

1 , 11 1 1lim 11

, 1px

pp

p xp

Висновок. 1

p

dxx

-

1 ,1,

p

Вказаний інтеграл є еталонним при дослідженні інтегралів на збіжність при використані ознак збіжності, які називаються ознаками порівняння. 5) Ознаки порівняння для дослідження на збіжність невласних інтегралів. Т.1. (перша теорема порівняння). Нехай задано два інтеграли:

a

f x dx

(1), a

x dx

(2)

і 0 f x x (3)

S

12

y

x

2S

інтеграл збігається

інтеграл розбігається

0, 1, 1pp

збігається, 1p

розбігається 1p

37 тоді:

1. Якщо інтеграл (2) збігається, то інтеграл і (1) збігається; 2. Якщо інтеграл (1) розбігається, то інтеграл і (2) розбігається.

Пояснення.

1a

f x dx S

; 2a

x dx S

; 1 2S S (за умовою, бо має місце (3)).

1. (2) збігається, отже 2S - скінчена величина, але 1 2 1S S S - скінчена величина.

3. (1) розбігається, 1S ; але 1 2 2S S S (2) – розбігається.

Т.2. (гранична ознака порівняння). Нехай задано два інтеграли: (1), (2): 0, 0f x x . (3)

Тоді, якщо існує

lim 0x

f xA

x , (4)

то інтеграли (1), (2) обидва або збігаються, або розбігаються. Без доведення. Теорема 2 зручна для застосування у випадку, коли 1A , тобто f x x при x . Приклад. Дослідити на збіжність заданий інтеграл.

4 31 3

dxx x x

. (1)

Застосуємо теорему 2.

4 3 4

1 13

f x xx x x x

x . Інтеграл для порівняння:

41

dxx

. (2)

Інтеграл (2) еталонний 1

, 4 1p

dx px

інтеграл (2) збігається. Згідно теореми 2,

інтеграл (1) збігається.

2S

1S y f x x

y

0 a

y x

38 У випадку, коли підінтегральна функція f x знакозмінна, розглядається інтеграл

a

f x dx

(1), а також a

f x dx

(2).

Т.3. (достатня ознака збіжності). Якщо збігається інтеграл (2), то збігається і інтеграл (1). Без доведення. Невласний інтеграл (1) називається абсолютно збіжним, якщо збігається інтеграл (2). Невласний інтеграл (1) називається умовно збіжним, якщо він збігається, а інтеграл (2) розбігається. Зауваження. Поняття особливої точки функції. Будемо казати, що точка x a особлива точка функції f x , якщо lim

x af x

,

тобто функція f x необмежена в околі точки x a .

Будемо розглядати відрізок ,a b , на якому задана функція f x .

1. Нехай x a - особлива точка функції f x .

Тоді 0

( , ], limx a

x a b f x

.

Геометрично: 2. Нехай x b - особлива точка функції f x .

Тоді 0

[ , ), limx b

x a b f x

.

Геометрично: 3. Нехай x c - особлива точка функції f x a c b . Тоді

0[ , ), lim

x cx a c f x

0

( , ], limx c

x c b f x

Геометрично:

Невласні інтеграли ІІ роду

1) Основні поняття. До невласних інтегралів ІІ роду відносяться інтеграли від необмежених функцій. Вигляд цих інтегралів такий же, як вигляд визначених інтегралів і для їх розпізнавання треба досліджувати, чи є функція f x необмеженою в точках відрізку інтегрування.

О.1. Нехай функція f x визначена на проміжку ( , ]a b , точка x a - особлива точка

функції f x . Тоді невласний інтеграл ІІ роду

x a b

0x a

x a b

0x b

0x c 0x c

x a

x a b

c

39

0

limb b

a a

f x dx f x dx

. (1)

Якщо існує скінчена границя справа в (1), то невласний інтеграл збігається, в противному разі – розбігається. О.2. Нехай функція f x визначена на проміжку [ , )a b , точка x b - особлива точка

функції f x . Тоді невласний інтеграл ІІ роду

0

limb b

a a

f x dx f x dx

. (2)

Якщо границя справа в (2), то інтеграл збігається, в противному разі – розбігається. О.3. Нехай точка x c , a c b - особлива точка функції f x на відрізку ,a b . Тоді невласний інтеграл ІІ роду

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx , (3)

причому невласний інтеграл збігається тоді і тільки тоді, коли обидва інтеграли справа в (3) збігаються. Можна довести, що невласний інтеграл типу (2) зводиться заміною змінної до вигляду (1), тому в основному будемо розглядати інтеграли вигляду (1). 2) Зв’язок з первісною (аналог формули Ньютона-Лейбніца). Нехай точка x a особлива точка функції f x на відрізку ,a b , функція f x

неперервна на проміжку ( , ]a b і має первісну F x на цьому проміжку. Тоді

00

lim 0b b

b

aa a

f x dx f x dx F x F b F a

. (1’)

Тут 0

0 limx a

F a F x

. Якщо x b - особлива точка функції f x на відрізку

,a b , то 0

lim 0b b

b

aa a

f x dx f x dx F x F b F a

.

Тут 0

0 limx b

F b F x

.

У випадку x c особлива точка функції f x , a c b ,

0

0

b c bc b

a ca a c

f x dx f x dx f x dx F x F x

0 0 0 0F c F a F b F c F b F a F c F c . (3’)

Інтеграл справа в (3’) збігається, якщо скінчені границі 0 , 0F c F c обидві. Зауваження. При обчисленні інтегралів треба провести аналіз підінтегральної функції на наявність особливих точок на проміжку інтегрування. Якщо таких точок немає, то маємо визначений інтеграл, якщо вони є – невласний інтеграл. Якщо такого аналізу не провести, то можемо отримати помилковий результат. Приклад. Дослідити на збіжність заданий невласний інтеграл ІІ роду.

b

x a b

40

особлива точка

1 2

2 0 2

2 2 21 1 0

0

I I

dx dx dxI xx x x

0 0 0 00 0 12

1 2 0 011 1 1

1 1lim 11 x

dx xI x dxx x x

.

Інтеграл 1I розбігається, отже інтеграл I - розбігається ( 2I не розглядали, бо 1I - розбігається). !Помилковий розв’язок. Не проведено аналізу на особливу точку

22 22

211 1

1 1 31 02 2

dx x dxx x

,

в той же час підінтегральна функція 2

1 0f xx

.

Отримали протиріччя. 3) Геометрична інтерпретація. 0f x т. x a - особлива точка функції f x на відрізку ,a b .

b

a

f x dx S - площа фігури, що обмежена кривою y f x , прямою x b та

вертикальною асимптотою. 4) Дослідження на збіжність інтеграла спеціального вигляду. 1

0

,p

dx p Rx

.

При 0p маємо 1

0

, 0px dx p , визначений інтеграл.

1. 1p .

1

1

0 0 0 00

0 ln ln1 lim ln 0x

dx x x xx - інтеграл розбігається.

x -1 2 0

y

0 x

a b

особлива точка

x 0 1

41 2. 1p .

1 11 1 1

1 10 00 0 0 00 0

1 1 1 10 1 lim1 1 1

pp

p p px

dx xx x dxx p p x p x

, 11 , 1

1

p

pp

10 0

1lim px x 1) 1

1

11 0, 1, 0,ppp p x

x

2) 11

11 0, 1, , 0ppp p x

x

.

Висновок: 1

0p

dxx --

11

pp

Наведений інтеграл є еталонним при застосуванні ознак порівняння при дослідженні невласних інтегралів ІІ-го роду на збіжність. 4) Ознаки порівняння для дослідження на збіжність невласних інтегралів. Ознаки аналогічні наведеним для невласних інтегралів І роду. Т.1. (перша теорема порівняння). Нехай задано два інтеграли:

b

a

f x dx (1), b

a

x dx (2),

причому т. x a - особлива точка функцій f x та x і 0 f x x (3) на ( , ]a b . Тоді:

1. Якщо інтеграл (2) збігається, то і (1) збігається; 2. Якщо інтеграл (1) розбігається, то і (2) розбігається.

Без доведення. Т.2. (гранична ознака порівняння). Нехай задано інтеграли (1), (2) і x a - особлива точка функцій f x та x ;

0, 0f x x (4) на проміжку ( , ]a b .

Тоді, якщо

lim 0x a

f xA

x , то обидва інтеграли або збігаються, або розбігаються

одночасно. Без доведення. У випадку, коли функція f x знакозмінна, то розглядаються інтеграли:

b

a

f x dx (1) і b

a

f x dx (5), x a - особлива точка функцій f x .

Т.3. Якщо інтеграл b

a

f x dx (5) збігається, то збігається і інтеграл b

a

f x dx .

інтеграл розбігається

інтеграл збігається.

, розбігається

, збігається.

42 Без доведення. Існує така термінологія: Якщо інтеграл (5) збігається, то інтеграл (1) абсолютно збіжний. Якщо (1) збігається, а (5) розбігається, то (1) умовно збіжний.