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II - 14Instabilités

[email protected] 29 septembre 2006

Instabilités II - 14 - 2

Instabilités Motivation Instabilité par flambement (élastique)

– par divergence, par bifurcation– calcul de la charge critique eulérienne

Types d’instabilités – autres instabilités Imperfections industrielles

– causes de l’origine de la flexion initiale– [Frey, T. II, Chap. 20-21]


Instabilités la conception de structures exige aujourd’hui

– économie– légèreté– matériaux à haute résistance

réduction progressive des sections résistantes contraintes en service importantes


structures en acier[Frey, 2000, Vol. 2]

Instabilités par flambement

structures en béton[Germain, 2006]


Flambement : effet recherché

saut à la percheétui à lunettes


Flambement : effet recherché

vanne industriellehttp://www.rupturepin.com/rpanimation.html


Flambement : ELS

revêtement de sol

Casa Grande Ruins, Hohokam village, Arizona, USA, 12ème siècle

[credits: PhB, 2001]


Flambement des poutres flambement par divergence

– la poutre se dérobe à l’effort normal de compression en fléchissant transversalement

– le phénomène est non linéaire– il doit exister une flexion initiale– exemples : courbure initiale, excentricité de l’effort

normal ...


y

T

Flambement ssi compression Considérons une poutre initialement

légèrement courbe

TRACTION COMPRESSIONF ⇒ courbure ↓ ⇒ M ↓ F ⇒ courbure ↑ ⇒ M ↑

[Frey, 2000, Vol. 2]


Stabilité de la divergence

yyy yyy

y

y

y

Flambement stable Flambement instable

[Frey, 2000, Vol. 2]


Autres causes de flexion initiale

y y

Excentricité de la charge Charges axiales et transversale

phénomène non linéaire :il faut se placer dans la configuration déformée

[Frey, 2000, Vol. 2]


Hypothèses de modélisation une étude rigoureuse nécessite la prise en

compte – des non linéarités géométriques

(grands déplacements)– des non linéarités matérielles

ici, on postule– grands déplacements mais rotations modérées – linéarité matérielle (loi de Hooke)


T

Problème non linéaire

1cos;sin;1, 0000000

0 ===⇒<<= θθθθθθθ tgdx

dytg

00

0

0

FsinFT

)x(FyM

FcosFN

θθ

θ

≈=

=

≈=

flexion composée M+NLe principe de superposition

n’est plus applicable


Théories non linéaires du flambement actions des forces sur la configuration

déformée⇒ le principe de superposition n’est plus valable

souvent, le flambement se produit alors que la structure est peu déformée

⇒ hypothèse des rotations modérées (2ème ordre)

le flambement est accentué par la plasticité– phénomène non pris en compte ici


Modélisation du flambement

( )

( )EI

,...F,yMy

,...F,yMM

EI

M

R

1

yR

1

−=′′⇒

=

−=

′′=équation

non linéaire !

équation à résoudre

rotations modérées

flexion plane


Poutre droite comprimée excentriquement

L

F F

e x

xΩΩΩΩ

ΩΩΩΩ ’

y

y(x)

( )

( ) 0yeEI

Fy

yeFM

=++′′

⇓

+=



( )

ekxcosCkxsinCy

ekyky

0yeEI

Fy

21

22

−+=

−=+′′

=++′′ équation de la déforméeposons k2=F/EI

SGEH+SPENH

Eq. de Helmholtz non homogèneEDP 2ème ordre à coeff. constants

( )( ) ( )

2kLcos

eC

0C

02

Ly

02

Ly

2

1

=

=

=

=−conditions aux limites



( )

−===

−=

12

kLseceyya

1

2kLcos

kxcosey

0max (formule de la sécante)

équation de la déformée(pas linéaire en F !)

0a12

kLsec0k0F =⇒=⇒=⇒= la tangente a pour équation

EI8

LFea

2

=

321321 aaaFFF ∆∆∆∆∆∆ <<⇒==

si on augmente la charge, le flambement est divergent



EI8

LFea

2

= flèche linéaire de M = Fe

( )2

kLcos

FeMmax =

2

2

crL

EIF

n22

kLssi0

2

kLcos

π

ππ

=

+==

charge critique indépendante de e !

[Frey, 2000, Vol. 2]


Poutre comprimée avec courbure initiale

( )

( ) 0yyky

yyFM

02

0

=++′′

⇓

+=

L

F F x

x

ΩΩΩΩ

ΩΩΩΩ ’

y0

y(x)EI=cste

y



( )

L

xsinakyky

L

xsinaxy

022

00

π

π

−=+′′

= courbure initiale

Eq. de Helmholtz non homogèneEDP 2ème ordre à coeff. constants

( )( ) 0Ly

00y

=

=conditions aux limites

( )cr

cr0

22

20

FF1

FFa

2Lya

L

xsin

1Lk

ay

−==⇒

−=

π

πmême Fcr



cr0 F

Faa = flèche linéaire

−+=

cr

cr0max

FF1

FFa

aFM

2

2

crL

EIF

π= charge critique indépendante de a0 !

autres cas : 2cr

L

EICF = toujours indépendant de la flexion initiale

[Frey, 2000, Vol. 2]


Limitations des résultats obtenus hypothèse des rotations modérées

linéaire

rotations modérées

grands déplacements

F > Fcr est théoriquement possible pratiquement les déplacements sont déjà trop grands

( )( )

EI

,...F,yM

y1

y

23

2

−=′+

′′

[Frey, 2000, Vol. 2]


Flambement par bifurcation Fcr est indépendant de l’origine de la flexion

initiale et de son importance il existe une charge critique même si la poutre

est parfaitement rectiligne, libre de toute force transversale et soumise à une force de compression parfaitement centrée

flambement eulérien par bifurcation


Flambement par bifurcation

compressionpure

point de bifurcation= coexistence de

2 situations d’équilibrecompression et flexion initiale

0elim→

le flambement par bifurcation est un cas limite (poutre parfaite)il n’existe pas mais donne une bonne approximation de Fcr

[Frey, 2000, Vol. 2]


L

F F x

x

ΩΩΩΩ

ΩΩΩΩ ’y

y(x)

0yky

FyM

2 =+′′

=

Théorie d’Euler

EI=cste

y(x) est l ’esquisse de la déformée= mode de flambement

(dépend des conditions d’appui)équation de Helmholtz


kxcosCkxsinCy

0yky

21

2

+=

=+′′

solution générale

( )( ) πnkL

0ytrivialcas

0kLsinC

0C

0Ly

00y

1

2

=⇒

=⇒

=

=⇒

=

=

conditions aux limites

Théorie d’Euler

2

22

L

EInF

π= modes de flambement


charge critique d’Euler

– proportionnel à EI (module de rigidité en flexion)– quel I ? le plus faible !– LK = longueur de flambement (dépend des CL)– permet de trouver une approximation de la charge

critique quelles que soient les conditions d’appui

2K

2

crL

EIF

π=

Théorie d’Euler : généralisation


Longueur de flambement esquisser le premier mode (respect des

appuis !)

[Frey, 2000, Vol. 2]


nombre sans dimensions

quantifie la sensibilité au flambement

IAL

E

AL

EI

A

F2K

2

2K

2cr

cr

ππσ ===

Élancement

élancementI

AL2K2 =λ

0 ≤ λ < 20 : risque faible20 ≤ λ < 50 : risque moyen

50 ≤ λ < 80 : risque fort80 ≤ λ : risque extrême


hypothèse de linéarité matérielle (loi de Hooke)

valable si

Validité de la théorie d’Euler

−≤= p2

2

cr

Eσ

λπ

σ

ep

Eλ πσ −=

(limite de proportionnalité)

[Frey, 2000, Vol. 2]


Types d’instabilités danger d’instabilité dans toute structure

comprimée– flambement (compression pure)– déversement (flexion)– voilement (torsion)

phénomènes d’instabilité– locaux (barres de treillis, voilement, …)– globaux (flambement d’ensemble, ...)


Instabilités globales : exemple

flambement d’ensemble de la membrure supérieure des poutres en treillis d’un pont de chemin de fer(Russie, vers 1890)

[Frey, 2000, Vol. 2]


flambement plan

flambementpar torsion

flambementspatial

[Frey, 2000, Vol. 2]

Instabilités : sollicitations combinées


Instabilités locales : exemple

voilement de l’âme mince d’une poutre en acier.effet de l’effort tranchant

[Frey, 2000, Vol. 2]


Autres formes d’instabilité

flambement déversement

voilementcloquage

[CIM béton, 2000]

compression


[http://www.mech.uwa.edu.au/DANotes/buckling/intro/intro.html]

Structures à parois minces

Sous contraintes longitudinalesSous contraintes circonférentielles

Torsion[http://www.dae.gov.in]


Flambement des pièces industrielles imperfections = défauts inévitables

– imperfections géométriques• poutres pas rectilignes• forces toujours légèrement excentrées• dimensions réelles diffèrent des dimensions nominales

– imperfections matérielles• contraintes résiduelles• matériau hétérogène


Imperfections géométriques

[Frey, 2000, Vol. 2]


Contraintes résiduelles

[Frey, 2000, Vol. 2]


Dispersion des caractéristiques

[Frey, 2000, Vol. 2]


Importance des imperfections rôle décisif des imperfections

– (…) géométriques → flambement par divergence– (…) matérielles → affaiblissement de la résistance

le flambement a toujours lieu par divergence– la charge critique d’Euler est néanmoins utilisée

dans les méthodes de dimensionnement

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