ii. electrostática en el vacío - universidad de...

®® Gabriel Cano GGabriel Cano Góómez, 2007/08 mez, 2007/08 Dpto. FDpto. Fíísica Aplicada III (U. Sevilla)sica Aplicada III (U. Sevilla)

Campos ElectromagnCampos ElectromagnééticosticosIngeniero de TelecomunicaciIngeniero de Telecomunicacióónn

II. ElectrostII. Electrostáática tica en el vacen el vacííoo

Dipolo elDipolo elééctrico.ctrico.Desarrollo multipolar Desarrollo multipolar

2Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) II.n) II. ElectrostElectrostáática en el vactica en el vacííoo

®®G

abri

el C

ano

GG

abri

el C

ano

Góó m

ez,

07/0

8m

ez,

07/0

8

Sistema de cargas puntuales opuestasSistema de cargas puntuales opuestas“+q” en P1 y “−q” en P2 forman un dipolo:

• el sistema tiene carga total nula• tomando origen en el punto medio…

campos electrostáticos:• potencial:

• campo eléctrico:

AproximaciAproximacióón en puntos alejados n en puntos alejados desarrollo en serie para

valor aproximado del potencial…

Δd

1 1 2 22OP P O= = Δ = − =r r r

0

1 12 24πε

( ) q−

− Δ + Δ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=φr r r r

r

2 321 1 cosθ 3cos θ 1 (θ)12 2 8 2

fd d dr r rr

⎧ ⎫−Δ Δ Δ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ± + ± +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭r r…

∓

φ=0

φ(P)=V0

φ=−V0

ε0

P1

P2

Δr/2r

−Lφ(P)=E(P)

/ 1d rΔ

3

0

cosθ (θ)4πε

( ) d d fr r

qr

⎧ ⎫Δ Δ⎪ ⎪⎛ ⎞+⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

−=φ r …2

0

cosθ4πεrd

q drΔ

Δ0

31

4πεq

r= Δ ⋅r r

O

θ

E(r)

P+q

−q

Dipolo elDipolo elééctrico: definicictrico: definicióón y propiedadesn y propiedades

φ(P)

( ) ( )= −∇φE r r


®®G

abri

el C

ano

GG

abri

el C

ano

Góó m

ez,

07/0

8m

ez,

07/0

8

Momento Momento dipolardipolar elelééctricoctricocaracterística del dipolo eléctrico:

Dipolo elDipolo elééctrico idealctrico idealdipolo de cargas infinitamente próximas

• |Δr|→0: ente puntual de carga Q=0…pero con momento dipolar no nulo:

Campos de un dipolo idealCampos de un dipolo idealpotencial electrostático:

campo eléctrico del dipolo ideal:

Dipolo elDipolo elééctrico idealctrico ideal

ε0

O

+q

Δr

P r

−q

30

14πε

( )Δ

⋅⇒ φr r r

p rrq= Δp r

33

0

;14πε

P∀ ∈⋅=r

p r

dip dip( ) ( )= −∇φE r r ( ) 23

50

3;

4πε1 P

−= ∀ ∈

⋅p r r p rr

dip 0( ) lim ( )

qΔ →

→∞

= φφr

r r

φdip(P)=V0

−Lφdip(P)=Edip(P)

p

Edip(r)

φ=0

0 (cte.)q Δ →Δ ⎯⎯⎯→ ≠rp = r p 0q → ∞

φ(P)


®®G

abri

el C

ano

GG

abri

el C

ano

Góó m

ez,

07/0

8m

ez,

07/0

8

Sistema de fuerzasSistema de fuerzasdipolo eléctrico en un campo E(r)

• cargas próximas: • momento dipolar: p=qΔr

fuerzas sobre las cargas• debidas al campo externo:

• “internas”, tales que |Δr|=cte.Acciones de Acciones de EE((rr)) sobre el dipolosobre el dipolo

par de fuerzas (respecto de P):

fuerza resultante:

energía potencial:

AcciAccióón de un campo eln de un campo elééctrico sobre un dipoloctrico sobre un dipolo

ε0+q

−q

p

E(P1)

E(P2)

F+

F−

E(r)

E(P)

P

1 22PP P P= Δ =r

1( );Pq=+F E 2( )Pq−= −F E

[ ]1 2( ) ( )2P q P PΔ= × +rM E E

[ ]1 2( ) ( )q P P= −F E E

( ; ) ( )P = ×M p r p E r

( ) ( ); ( )= ⋅p rF p E r∇

[ ]1 2

( ) ( )e P PU q −= φ φ

( )q PΔ ×r E dipoloideal

( ) ( )q PΔ ⋅r E∇ dipoloideal

( ; ) ( )eU = − ⋅p r p E r( )PqΔ ⋅ φr ∇ dip.ideal

provoca un giro de p en torno a P

provoca un desplazamiento de p

PMF


®®G

abri

el C

ano

GG

abri

el C

ano

Góó m

ez,

07/0

8m

ez,

07/0

8

ExpresiExpresióón multipolar del potencial n multipolar del potencial potencial electrostático de cargas puntuales

{q1,…,qN} situadas en {P1,…,PN}:

•desarrollo del inverso de la distancia de P a Pi

expresión del potencial como serie infinita de términos φn ∼ r−n (n ≥ 1)

•cada término es el potencial creado por un ente puntual distinto: carga, dipolo, “cuadrupolo”,…

•alcance de los términos decrece con el orden n

Desarrollo multipolar (I)Desarrollo multipolar (I)

01

14πε

( ) ;ii i

i

Ni

q OP=

=−

=φ ∑ rr r

r

( )2 2

1 1 10 2 3

cos 3cos 1

2

14πε

( )N N N

i i i i i i ii i i

q q r q r

r r r= = =

⎧ ⎫⎪ − ⎪⎨ ⎬+ + +⎪ ⎪⎩ ⎭

= ∑ ∑ ∑φ r…

θ θ3 5

0

14πε

OOQr r r

⎧ ⎫⋅ ⋅ ⋅⎨ ⎬+ + +⎩ ⎭

= p r r r …Q

qi

Pi

ε0P

θi2 23cos θ 11 1 1 cosθ ;2

i ii i ii

i

rr rr r rr

⎧ ⎫ =−⎪ ⎪⎛ ⎞= + + +⎨ ⎬⎜ ⎟ =− ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

rrr r

…

φ (r)

r

φ(P)

|r−ri|

ri

Q

pO

OQO=


®®G

abri

el C

ano

GG

abri

el C

ano

Góó m

ez,

07/0

8m

ez,

07/0

8

““MomentosMomentos”” de la distribucide la distribucióónnla distribución de carga es equivalente a

la superposición de entes puntuales en O•momento monopolar

•momento dipolar

•momento cuadrupolar

Centro de la distribuciCentro de la distribucióónnpunto arbitrario donde se ubican los entes

puntuales equivalentes a la distribución•en general, los momentos dependen del centro:

Desarrollo multipolar (II)Desarrollo multipolar (II)

1

N

i iqQ=

=∑

1

NO i ii

q=

= ∑p r

1( )N

iO i iiq

== ∑ T rQ

dqQ ′= ∫F

O dq′ ′= ∫p rF

( )O dq ′′= ∫ rTQF

AQ = ;

OQ= A=pdq′∫F dq′ ′∫

Fr ;O AQ= −p r …

ε0

30

14πε

OQr r

⋅⎧ ⎫+ +⎨ ⎬⎩ ⎭

= p r …

≡ carga puntual

≡ dipolo ideal

≡ cuadrupolo idealqiPi

ri O

P′dq′

F

r′

rA

r′

r

φ(P)

Q

pO QO=

r

φ(r)

AQ

pA

QA=

3 50

14πε

( ) AAQ⎧ ⎫⎪ ⎪+ +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

= ⋅ ⋅ ⋅φ p…Qr r rr r r r

0

14πε

dq′′−

= ∫ r rF


®®G

abri

el C

ano

GG

abri

el C

ano

Góó m

ez,

07/0

8m

ez,

07/0

8

Ejemplo: Ejemplo: sistema de 5 cargas puntuales:sistema de 5 cargas puntuales:

potencial electrostático:

Momentos de la distribución:• M. monopolar:

• M. dipolar:

• M. cuadrupolar:

Utilidad del desarrollo multipolar (I)Utilidad del desarrollo multipolar (I)

ε0

φ (r)

Or1

r2

r3r4

r5

d=⟨|ri|⟩

Y

X

1 1; ( 2) yq q d= =r u

2 22; ( 2) xq q d= − = −r u

3 32 ; (3 8) (1 2)x yq q d ⎡ ⎤= = − +⎣ ⎦r u u

5 5; (3 8) xq q d= − =r u[ ]4 42; (3 8) (1 2)x xq q d= = −r u u

0 1 2 3 4 5

1 1 2 2 1 2 14πε

( ) q− −

− − − − −

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠=φ

r r r r r r r r r rr

r

φ(P)

2Q q=

(11 16) (3 4)O x yqd += − ⎡ ⎤⎣ ⎦p u u

−q/2 −q

q

q/22q

( ) ( ) ( ) ( ) ]2 45 128 27 16 213 256 123 256O xx xy yy zzqd ⎡= − + + −⎣ u u u uQ


®®G

abri

el C

ano

GG

abri

el C

ano

Góó m

ez,

07/0

8m

ez,

07/0

8

Utilidad del desarrollo multipolar (II)Utilidad del desarrollo multipolar (II)

0

14πε

( ) Qr

≈φ r2 2

0

214πε

qx y

=+

Q

AproximaciAproximacióón del potencial (en el n del potencial (en el plano plano OXYOXY))

en puntos muy alejados: •|r| > 50d >>>> ⟨|ri|⟩•el primer término del desarrollo proporciona una buena aproxi-mación del potencial

•es el potencial electrostático del momento monopolar (carga total del sistema)

φ(P)

r00

3 50

...14πε

( ) Q⎧ ⎫⋅ ⋅ ⋅⎪ ⎪+ + +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

=φ p r r rr r r

r Q


®®G

abri

el C

ano

GG

abri

el C

ano

Góó m

ez,

07/0

8m

ez,

07/0

8


0

14πε

( ) Qr

≈φ r2 2

0

214πε

qx y

=+

AproximaciAproximacióón del potencial (n del potencial (OXYOXY))

en puntos muy alejados: •|r| > 50d >>>> ⟨|ri|⟩

en puntos relativamente alejados: •|r| > 6d >> ⟨|ri|⟩•la carga Q no proporciona buena aproximación del potencial; hay que añadir el término de pO

{ }03

0

14πε

( ) Qr r

⋅+≈φ p rr

( ) ( )1/ 22 2 3/ 22 20

2 11 12

=

164πε x y

x y

x y

dq+

+−

+

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

r

φ(P)

Q

pO

003 5

0

...14πε

( ) Q⎧ ⎫⋅ ⋅ ⋅⎪ ⎪+ + +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

=φ p r r rr r r

r Q


®®G

abri

el C

ano

GG

abri

el C

ano

Góó m

ez,

07/0

8m

ez,

07/0

8


0

14πε

( ) Qr

≈φ r

003 5

0

14πε

( ) Qr r r

⎧ ⎫⋅ ⋅ ⋅⎨ ⎬+ +⎩ ⎭

≈φ p r r rr Q

2 20

214πε

qx y

=+

AproximaciAproximacióón del potencial (n del potencial (OXYOXY))

en puntos muy alejados: •|r| > 50d >>>> ⟨|ri|⟩

en puntos relativamente alejados: •|r| > 6d >> ⟨|ri|⟩

en puntos próximos: |r|∼⟨|ri|⟩

{ }03

0

14πε

( ) Qr r

⋅+≈φ p rr

( ) ( )1/ 22 2 3/ 22 20

2 11 12

=

164πε x y

x y

x y

dq+

+−

+

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

r

φ(P)

Q

pO QO=

003 5

0

...14πε

( ) Q⎧ ⎫⋅ ⋅ ⋅⎪ ⎪+ + +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

=φ p r r rr r r

r Q

ii. electrostática en el vacío - universidad de...

Documents