ii. klokan bez granica 2000 - os-skosutic … · dˇzepnih raˇcunala i matematiˇckih knjiga do...

II. KLOKAN BEZ GRANICA 2000.

Nakon uspjesno organiziranog prvog natjecanja Klokan bez granica uHrvatskoj u prethodnoj godini, u 2000. je godini natjecanje prosireno.Pozvane su jos neke skole na pridruzivanje, a pozivu su se odazvale 33osnovne i 17 srednjih skola. Natjecanje je odrzano 16. ozujka 2000., asudjelovala su 4 862 ucenika.

I ove je godine natjecanje organizirano za cetiri kategorije: E, B, C iJ. Sudjelovalo je 1 414 ucenika u kategoriji E, 1 548 ucenika u kategorijiB, 1 260 ucenika u kategoriji C, te 640 ucenika u J. U kategoriji S nijebilo natjecatelja, ali ipak u ovoj knjizi donosimo i zadatke iz te kategorije.Inace, na natjecanju je sudjelovalo 26 zemalja s 1 786 673 natjecatelja. Tese godine natjecanje siri i geografski, te osim europskih zemalja prvi putsudjeluje i Meksiko, cime otvara proces pridruzivanja zemalja obiju Amerikaovom natjecanju.

Pravila su natjecanja bila ista kao i prosle godine, a dolaskom na natje-canje svaki je ucenik dobio mali dar. Najboljih je 10% ucenika nagradeno.Podijeljene su 633 nagrade - od majica sa zastitnim znakom natjecanja,dzepnih racunala i matematickih knjiga do tablica i bedzeva.

Zadatci za ucenike IV. i V. razreda osnovnih skola

2000.-E

ZADATCI S 3 BODA

1. Mala rodendanska svjecica izgori za 15 minuta. Na klokanovoj roden-danskoj torti ima 10 svjecica i sve su upaljene istodobno. Kada ceone izgorjeti?

A. 1.5 minuta B. 15 minuta C. 150 minuta D. 1.5 sati E. 15 sati

2. Tri sam puta veci od svoje dvostruke vrijednosti. Koji sam ja broj?

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 E. takav broj ne postoji

3. Koji od sljedecih brojeva ima umnozak znamenaka veci od zbrojaznamenaka?

A. 112 B. 209 C. 312 D. 222 E. 211

4. Kuhajuci 2 kg jagoda i 2 kg secera, dobit cemo 3 kg marmelade.Koliko jagoda treba za 12 kg marmelade?

A. 6 kg B. 8 kg C. 10 kg D. 12 kg E. 18 kg

5. Mali susjed Ivica ima mnogo brace i sestara. Svaka njegova sestra imadva puta manje sestara od brace. Koliko sinova i kceri ima obitelj ususjedstvu?

A. 4 sina, 3 kceri B. 2 sina, 1 kci C. 2 sina, 3 kceri

D. 4 sina, 5 kceri E. 3 sina, 2 kceri

6. Za prijevoz je 40 osoba potreban jedan autobus s 55 mjesta. Zaprijevoz 80 osoba potrebna su dva autobusa s 55 mjesta. Kolikoautobusa s 55 mjesta treba za prijevoz 160 osoba?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

7. Ervin posuduje svoj bicikl prijateljima uz uvjet: za 4 sata 2 cokolade,za 3 sata 12 bombona. Igor je Ervinu dao 1 cokoladu i 4 bombona.Koliko se dugo Igor moze voziti na Ervinovu biciklu?

A. pola sata B. 1 sat C. 2 sata D. 3 sata E. 4 sata

Klokan bez granica 2000. 51

8. Zdravko zeli nacrtati klokana u jednompotezu (tj. tako da ne dize olovku spapira i da svaku liniju prelazi samojednom). Od koje tocke treba poceti?

A. AB. B ili CC. D ili ED. KE. nema takve tocke

ZADATCI S 4 BODA

9. Koje se cetiri znamenke moraju precrtati u broju 4 921 508 da bipreostale tri dale najmanji moguci troznamenkasti broj?

A. 4, 9, 2, 1 B. 4, 2, 1, 0 C. 1, 5, 0, 8 D. 4, 9, 2, 5 E. 4, 9, 5, 8

10. Dok Tanja pojede dvije porcije sladoleda, Dina pojede tri. Ako sudjevojcice zajedno kupile 10 porcija sladoleda, koliko ce njih pojestiTanja?

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7

11. U svakoj se od dviju kosarica nalazi 12 jabuka. Iz prve je kosariceRenata uzela nekoliko jabuka, a zatim je iz druge kosarice Senka uzelatoliko jabuka koliko je preostalo u prvoj kosarici. Koliko sad imajabuka u objema kosaricama?

A. 6 B. 12 C. 18 D. 20 E. 24

12. Kad su ucenici krenuli iz skole u muzej, ucitelj ih je zamolio da idupo troje u redu. Vesna, Vlasta i Sanja su primijetile da je njihovatrojka sedma od pocetka, a peta od kraja kolone. Koliko je ucenikakrenulo u muzej?

A. 12 B. 24 C. 30 D. 33 E. 36

13. Na nekoj izlozbi sudjeluje 14 macaka. Neke su od njih macke-mame,a druge su njihovi macici. Svaka macka ima najmanje dva macica.Koliko najvise mama-macaka moze sudjelovati na toj izlozbi?

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7

14. Koliko je sljiva na trecoj vagi ako je i ona u ravnotezi?

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6

52 Klokan bez granica 2000.

15. Kolika je povrsina osjencanoga lika (slovaK ) na slici?A. 24 B. 9 C. 15 D. 12 E. 20

16. Nenad je uzeo kutiju s jednakim drvenim kockama. Od njih je napraviodvije ”zgrade”. Sve kocke zajedno imaju 9000 grama, a ”lijeva zgrada”ima 3000 grama. Koliko kocaka ne vidimo na ”desnoj zgradi”?

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. 8

ZADATCI S 5 BODOVA

17. Sest kokosi snese 8 jaja u 3 dana. Koliko jaja snesu tri kokosi u 9dana?

A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 E. 9

18. Da bi priredila pilecu pastetu, Snjeguljica na 100 g piletine treba 3 gsvjezeg persina. Pile, od kojega ce naciniti pastetu za sedam patuljakaima masu 900 g. Koliko svjezeg persina treba Snjeguljici za pastetu?

A. 3 g B. 7 g C. 9 g D. 27 g E. 70 g

19. Trg ima oblik kvadrata. Za obilazak (do povratka u pocetnu tocku)setac treba 12 minuta. Koliko vremena treba setacu za obilazak trgaistoga oblika, ali cetverostruke povrsine?

A. 48 min B. 24 min C. 30 min D. 20 min E. 36 min


20. Klara je otisla u kupovinu ujutro izmedu 8 i 9 sati. Pri odlasku jeuocila da su kazaljke sata preklopljene. Kuci se vratila izmedu 14 i 15sati i primijetila da kazaljke sata pripadaju istome pravcu (pogledajteslike). Koliko je dugo Klara bila izvan kuce?

A. 5 sati B. 5 i pol sati C. 6 sati D. 6 i pol sati E. 7 sati

21. Zbroj je broja i njegove polovice za tri manji od dvostrukoga broja.Koji je to broj?

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 E. 10

22. Koje je od nacrtanih tijela(sastavljenih od bijelih i crnihkocaka) prikazano na slici?

A. B. C. D. E.

23. Kolika je povrsina osjencanog lika na slici?

A. 900 B. 1200 C. 1800 D. 2400 E. 2700

24. Drvenoj kocki brida duljine 2 cm odsjeceni su svi kutovi na udaljenosti1 cm od vrha. (Na slici je prikazano kako je odsjecen jedan kut.)Koliko vrhova ima tako nastalo tijelo?

A. 6 B. 8 C. 12 D. 18 E. 24

Zadatci za ucenike VI. i VII. razreda osnovnih skola

2000.-B

ZADATCI S 3 BODA

1. Odjel od 29 ucenika ima tri djevojcice vise od djecaka. Koliko djevojcicaima u tom odjelu?

A. 6 B. 13 C. 16 D. 19 E. 29

2. Odsijecemo li jedan kut kvadrata, koliko kutova ima veci dobivenilik?

A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 E. 4

3. Kaput diva ima 585 dzepova, a u svakom od njih zive po tri misa.Svaki mis ima po 5 mala misica. Koliko misica zivi u divovu kaputu?

A. (585 : 3) : 5 B. (585 · 5) : 5 C. (585 · 5) : 3 D. 585 · 3 · 5E. 585 · (5 + 3)

4. Zbroj je pet uzastopnih prirodnih brojeva 2 000. Najveci je od tihbrojeva:

A. 490 B. 475 C. 471 D. 423 E. 402

5. Jedna litra limunade sadrzi45

vode. Koliki dio vode sadrzi ostatakako je netko popio pola litre?

A.310

B.25

C.12

D.45

E.110

6. U ogledalu vidimo sat. Koliko je sati?

A. 15.15 B. 10.15 C. 10.45 D. 8.45 E. 9.45

7. Broj 2 000 moguce je dobiti mnozenjem brojeva 2 i 5. Koliko kojihfaktora ima u tom umnosku?

A. 2 dvojke i 5 petica B. 3 dvojke i 3 petice C. 3 dvojke i 4 petice

D. 4 dvojke i 3 petice E. 4 dvojke i 4 petice.


8. Dar za Garfielda ima dimenzije 10 cm × 10 cm × 30 cm i omotan jeukrasnom vrpcom, kao na slici. Kolika je duljina ukrasne vrpce?

A. 2 m B. 2 m 40 cm C. 2 m 50 cm D. 2 m 60 cm E. 3 m

9. Ervin posuduje svoj bicikl prijateljima uz uvjet: za 2 cokolade 4 sata,za 12 bombona 3 sata. Igor je Ervinu dao 1 cokoladu i 4 bombona.Koliko se dugo Igor moze voziti na Ervinovu biciklu?

A. pola sata B. 1 sat C. 2 sata D. 3 sata E. 4 sata

10. Koje se cetiri znamenke moraju precrtati u broju 4 921 508 da bipreostale tri dale najmanji moguci troznamenkasti broj?

A. 4, 9, 2, 1 B. 4, 2, 1, 0 C. 1, 5, 0, 8 D. 4, 9, 2, 5 E. 4, 9, 5, 8

ZADATCI S 4 BODA

11. Koliko je dvoznamenkastih brojeva djeljivo i s 2 i sa 7?

A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 E. 4

12. Ako je A − 1 = B + 2 = C − 3 = D + 4 = E − 5, koji je od brojevaA, B, C, D i E najveci?

A. A B. B C. C D. D E. E

13. Koliko kvadratica treba za lik istoga oblika kaoovaj na slici, ako on mora imati 10 stuba?

A. 25 B. 30 C. 40 D. 55 E. 100

14. Koliko je vremena potrebno da bi se otisnulo milijun slova, ako setiska stotinu slova u minuti?

A. 160 sati i 40 min B. 166 sati i 40 min C. 120 sati i 40 min

D. 18 sati i 10 min E. 200 sati

15. Petero susjeda ima isti pravokutni posjed, dio kojega je cvjetnjak(vidi slike). Svaki od susjeda zeli svoj cvjetnjak ograditi zicom. Kojiod susjeda treba najvise zice za ogradu?


A. g. Kos B. g. Cuk C. g. Sova D. g. Vrana E. g. Galeb

16. Broj je a veci od broja b. Razlika je brojeva a i b 15. Povecamo libroj a za 3, a broj b smanjimo za 2, razlika ce se:

A. povecati za 1 B. povecati za 5 C. smanjiti za 1 D. smanjiti za 5

E. ovisi o brojevima a i b

17. Marko dolazi u klub svakoga dana, Luka svaki drugi, Ivan svaki treci,Tomo svaki cetvrti, Franjo svaki peti, Stjepan svaki sesti i Andrijasvaki sedmi dan. Danas su svi u klubu. Za koliko ce se dana opet svitamo naci?

A. 27 B. 28 C. 210 D. 420 E. 5 040

18. Mama-klokanica za 1 sekundu skoci 3 metra, a sin-klokan u polasekunde 1 metar. Oba klokana pocinju skakati s istog mjesta premacilju, drvu eukaliptusa. Ako je udaljenost pocetne tocke od drveta180 metara, koliko ce sekundi mama-klokanica na cilju cekati svogasina?

A. 30 B. 60 C. 10 D. 120 E. stici ce zajedno

19. Zbroj je povrsina svih trokuta koji semogu uociti na slici jednak:

A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 E. 10

20. Klokanov je nos usmjeren prema tocki ∗ (vidisliku). Prema kojoj ce tocki biti usmjeren njegovnos ako se on okrene za 630◦ u smjeru kretanjakazaljki sata?



ZADATCI S 5 BODOVA

21. U ljetnoj je skoli devedeset i sestero djece koja se zele sloziti u nekolikoskupina, i to tako da u svakoj skupini bude jednak broj djece. Nakoliko se razlicitih nacina mogu sloziti skupine, ako u njima mora bitivise od 5 i manje od 20 djece?

A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 E. 2

22. Sve kocke i valjci na vagi imaju zajedno masu 500 g. Kolika je masajedne kocke?

A. 40 g B. 50 g C. 60 g D. 70 g E. 80 g

23. Slika prikazuje dio duge trake papira koja je tockastim linijama podije-ljena na 2 000 trokutica. Pretpostavimo da ce ta traka biti presavijenapo tockastim linijama. Presavija se po redu prema naznacenim bro-jevima, traka ostaje uvijek u vodoravnom polozaju, a presavija seslijeva nadesno. U kakvom ce polozaju biti tocke A, B i C nakon1 999 presavijanja?

A. B. C. D. E.


A. 5 B. 9 C. 12 D. 15 E. 18

25. Svake nedjelje od moga desetoga rodendana djed mi daje jedan euro.Koliko cu eura imati za svoj osamnaesti rodendan?

A. 186 320 eura B. 108 890 eura C. 9 172 600 eura

D. vise od 200 000 eura E. manje od 90 000 eura


26. U tri kutije nalaze se tri predmeta: novcic, puzic i kamencic. Svakakutija sadrzi samo jedan predmet. Zelena je kutija lijevo od plave.Novcic je lijevo od kamencica. Crvena je kutija desno od puzica.Kamencic je desno od crvene kutije. U kojoj se kutiji nalazi novcic?

A. crvenoj B. zelenoj C. plavoj D. nemoguce je odrediti

E. premalo je podataka za tocan odgovor

27. Kolika je velicina kuta 6 BAC na slici?

A. 15◦ B. 12◦ C. 30◦ D. 20◦

E. neka druga velicina

28. Imamo vagu koja na jednoj strani ima dvije posudice za utege. Akosu utezi u istoj posudici, njihove se mase zbrajaju. Ako su utezi urazlicitim posudicama, njihove se mase oduzimaju. Koliko razlicitihmasa mozemo izvagati ako imamo samo utege od 1 kg, 3 kg i 9 kg?

A. 3 B. 6 C. 7 D. 13 E. 14

29. Koliko kutova velicine 30◦ vidimo na nacrtanome liku?

A. 4 B. 6 C. 12 D. 24 E. 36

30. Tijelo je crvica prikazano pomocu pet kruzica. Ako su tri kruzicacrvena, a dva zelena, koliko razlicitih crvica mozemo sloziti od takvihkrugova?

A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 E. 12

Zadatci za ucenike VIII. razreda osnovnih skola i I. razredasrednjih skola

2000.-C

ZADATCI S 3 BODA

1. U ogledalu vidimo sat. Koliko je sati?

A. 15.15 B. 10.15 C. 10.45 D. 8.45 E. 9.45

2. 80% crno-bijele fotografije pokriveno je crnom, a 20% bijelom bojom.Povecamo li fotografiju tri puta, koliki ce postotak fotografije bitipokriven bijelom bojom?

A. 20% B. 30% C. 40% D. 60% E. 80%

3. Koliki je vremenski razmak izmedu 11 sati i 11 minuta, i 13 sati i 13minuta?

A. 2 sata B. 12 sati i 12 minuta C. 2 sata i 12 minuta

D. 2 sata i 2 minute E. 112 minuta

4. Zadanim likom (u obliku slova L) prekrivamo zadani cetverokut takoda se lik nigdje ne preklapa sa samim sobom. Koliko najvise zadanihlikova pritom mozemo iskoristiti?

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6

5. Povucemo li sve dijagonale pravilnoga sesterokuta, koliko presjecnihtocaka, ne brojeci vrhove pocetnoga lika, one odreduju?

A. 6 B. 7 C. 12 D. 13 E. 15


6. Trokut je sigurno jednakokracan, ali ne i jednakostranican, ako zanjega vrijedi da je:

A. bilo koji trokut B. pravokutan trokut s kutovima od 30◦ i 60◦

C. trokut s kutovima od 30◦ i 100◦ D. trokut s kutovima od 50◦

i 80◦ E. trokut sa svima trima jednakim stranicama

7. Na traci papira dugoj 1 m stavili smo oznake tako da one dijele trakuna cetiri jednaka dijela. Zatim smo stavili oznake koje tu traku dijelena tri jednaka dijela. Traku smo izrezali na svim oznacenim mjestima.Koliko razlicitih duljina imaju tako dobiveni dijelovi?

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6

8. Zbroj je sedam uzastopnih neparnih brojeva 119. Koji je broj naj-manji od njih?

A. 11 B. 13 C. 15 D. 17 E. 19

9. Na nacrtanom je liku |AD| = |DC|, |AB| =|AC|, 6 ABC = 75◦ i 6 ADC = 50◦. Kolikaje velicina kuta 6 BAD?

A. 30◦ B. 85◦ C. 95◦ D. 125◦ E. 140◦

10. Najiskusnijem treneru u cirkusu treba 40 minuta da opere slona. Nje-gov mladi sin isti posao napravi za 2 sata. U kojem ce vremenu treneri njegov sin zajedno oprati tri slona?

A. 30 minuta B. 45 minuta C. 60 minuta D. 90 minuta E. 100minuta


A. 9 B. 3√

2 C. 12 D. 18 E. 6√

3 − 3√

2

12. Ako razlicito slovo odgovara razlicitom broju, tada jeKANGAROO + 10000AROO − 10000KANG =

A. AROOAROO B. AROOKANG C.KANGKANG

D. KANGAROO E. nesto drugo


13. Petero se gospode – P , R, S, T i I rukuje. Gospodin P rukuje se samojednom, gospodin R takoder samo jednom, a sva ostala gospoda – S,T i I po dva puta. Poznato je da se gospodin P rukovao s gospodinomI. Tko se sigurno nece rukovati?

A. I s T B. I sa S C. R sa S D. R s I E. R s T

14. Koliki je sredisnji kut kruznog isjecka kojem je povrsina 15% povrsinekruga?

A. 15◦ B. 36◦ C. 54◦ D. 90◦ E. 150◦

15. 800 grosa vrijedi kao 100 dukata. 100 grosa vrijedi kao 250 talira.Koliko cemo dukata dobiti za 100 talira?

A. 2 B. 5 C. 10 D. 25 E. 50

16. Mama je kupila kutiju secera u kocki. Prvi je dan Jelena pojela gornjisloj, 77 komada. Drugi je dan pojela sloj s bocne strane, 55 kocakasecera, a treci dan sloj s prednje strane. Koliko je kocaka secera ostalou kutiji?

A. 203 B. 256 C. 295 D. 300 E. 350

17. Na plesnom natjecanju svi suci ocjenjuju natjecatelje cjelobrojnomocjenom. Prosjek je ocjena svih natjecatelja bio 5.625. Koliko naj-manje sudaca mora biti na tom natjecanju?

A. 2 B. 6 C. 8 D. 10 E. 12

18. Nesto o klimi Nacionalnog parka u Australiji, gdje zive klokani: akosija sunce, temperatura nije ispod 25◦ i ako je temperatura preko 26◦,tada sija sunce. Tada je nuzno:

A. nocna temperatura ispod 25◦

B. temperatura dana iznad 24◦

C. nocna temperatura ne moze biti 27◦

D. temperatura dana ne moze biti 24◦

E. ako je temperatura 25◦, tada sije sunce

19. Tijelo crvica prikazano je pomocu pet krugova. Svaki dio tijela morabiti obojan u zuto ili zeleno. Na koliko razlicitih nacina mozemoobojati crvica?


A. 24 B. 28 C. 30 D. 32 E. 36

20. Za tri godine Stjepan ce imati tri puta vise godina nego sto je imaoprije tri godine. Za cetiri ce godine Stjepan imati vise godinanego je imao prije cetiri godine. Koje rijeci nedostaju?

A. dva puta B. tri puta C. cetiri puta D. pet puta

E. sest puta

21. U pravokutniku ABCD tocke P , Q,R i S dijele stranice u omjeru 1 : 2.Povrsina je paralelograma PQRS jed-naka:

A.25PABCD B.

35PABCD C.

49PABCD D.

59PABCD E.

23PABCD

22. Teo je dobio kutiju u kojoj je bilo 2000 bombona u pet razlicitih boja.387 bombona bilo je bijele boje, 396 zute, 402 crvene, 407 zelene i408 smede boje. Teo je odlucio pojesti bombone na ovaj nacin: izkutije je bez gledanja izvlacio tri bombona. Ako su sva tri bombonabila iste boje, pojeo bi ih, a ako nisu, vratio bi ih natrag u kutiju iizvlacio ponovno, sve dok ne bi izvukao tri bombona iste boje. Takoje radio cijeli dan, a navecer su u kutiji ostala samo dva bombona isteboje. Koje su boje bili ti bomboni?

A. bijele B. zute C. crvene D. zelene E. smede

23. Hipotenuza AB pravokutnog trokuta ABC podijeljena je na 8 jed-nakih dijelova sa sedam duzina usporednih kateti BC. Ako je duljinakatete BC 10, tada je duljina svih sedam duzina:

A. nepoznata B. 50 C. 70 D. 35 E. 45

24. Branko ima mnogo zidarskih elemenata oblika kvadra dimenzija 2 ×6 × 1. Koliko najmanje tih elemenata mora sloziti da bi dobio tijelooblika kocke?

A. 6 B. 12 C. 18 D. 36 E. 144


25. Napisite uzlazni niz prirodnih brojeva koji su jednaki umnosku svojihdvaju razlicitih prostih faktora. (Broj 1 i sam broj ne promatramokao proste faktore.) Koji je sesti clan u tom nizu?

A. 14 B. 15 C. 21 D. 22 E. 25

26. Svaki put kad ispuni zelju vlasnika, carobni sag oblika pravokutnika

smanjuje se za12

u duljini i13

u sirini. Nakon tri ispunjene zelje

carobni sag ima povrsinu od 4 cm2, a njegova je pocetna sirina bila 9cm. Kolika mu je bila pocetna duljina?

A. 12 cm B. 36 cm C. 4 cm D. 18 cm E. nemoguce je odrediti

27. Na produzetku stranice AB trokuta ABC preko vrha B oznacenaje tocka A′ tako da je |AB| = |A′B|. Na produzetku stranice BCpreko vrha C oznacena je tocka B′ tako da je |BC| = |B′C|, a naproduzetku stranice AC preko vrha A oznacena je tocka C ′ tako daje |AC| = |C ′A|. Koliko je puta povrsina trokuta A′B′C ′ veca odpovrsine trokuta ABC?

A. 3 puta B. 4 puta C. 5 puta D. 6 puta E. 7 puta

28. Devet tocaka vrhovi su jedne resetke. Koliko najviseima trokuta koji nisu ni pravokutni, niti se pokrivaju,a vrhovi su im odredeni ovim tockama?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

29. Devet razlicitih domino plocica cini lik ko-jemu je jedan dio pokriven. Plocice seslazu tako da se na broj 1 nastavlja plocicas brojem 1, na broj 2 nastavlja se plocicas brojem 2, itd. Broj je tockica na poljimaplocica od 0 do 6. Koliko ima tockica nazatamnjenom polju?

A. 2 B. 3 C. 4 D. drugi odgovor E. nemoguce je odrediti

30. Koja je zadnja znamenka u decimalnom zapisu broja1

52000?

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 E. 5

Zadatci za ucenike II. i III. razreda srednjih skola

2000.-J

ZADATCI S 3 BODA

1. Ozujski zec uvijek laze od ponedjeljka do srijede. Sretne Alicu i kaze:

a) Jucer sam lagao.

b) Od prekosutra lagat cu dva dana.

Koji je dan u tjednu Alica srela Ozujskog zeca?

A. ponedjeljak B. utorak C. srijeda D. cetvrtak E. petak

2. Broj

(√5 + 12

)200 (√5 − 12

)200

jednak je:

A.5200 − 1

4B.

5200 + 14

C. 41000 D. 1 E. 0

3. Ivan ima 9 kvadrata iste velicine. Tri od njih subijeli, tri plavi i tri crveni. Na koliko nacina mozeIvan sloziti kvadrate u oblik 3 × 3, tako da su usvakom retku i stupcu zastupljene sve boje (jednaod mogucnosti prikazana je na slici)?

P B CC P BB C P

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 E. 12

4. ABCDEF je pravilan sesterokut. Izsvakog vrha kao sredista povuceni sumedusobno jednaki kruzni lukovi kojise dodiruju. Ako je opseg sesterokutaABCDEF jednak 36, koliki je opsegosjencane figure?

A. 15π B. 12π C. 9π D. 6π E. 3π


5. Na slici je dan pravilan peterokutABCDE, a trokut ABP jednakostranicanje. Kolika je mjera kuta 6 BCP ?

A. 45◦ B. 54◦ C. 60◦ D. 66◦ E. 72◦

6. Na pocetku je sastanka u sobi nekoliko osoba. Prosjek je njihovih go-dina jednak broju nazocnih osoba. Iznenada u sobu ude 29-ogodisnjimuskarac. Zacudo, opet je prosjecan broj godina jednak broju nazocnihosoba. Koliko je osoba bilo na pocetku sastanka?

A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 E. 18

7. Resetka na slici sastoji se od kvadrata 2 cm × 2 cm. Kolika je povrsina

”vrca” koji je omeden kruznim lukovima?

A. 32 cm2 B. 28 cm2 C. 24 cm2 D. 20 cm2 E. 16 cm2

8. Polinomu p(x) = x5 + bx + c koeficijenti su cijeli brojevi, a p(3) = 0.Tada c ne moze biti:

A. 10 B. 12 C. 15 D. 36 E. 9

9. ABCDEF je pravilan sesterokut. Tocka P je poloviste duzine AB,a tocka Q je poloviste duzine EF . Koliki je omjer izmedu povrsinePAPQF i povrsine PABCDEF ?

A. 5 : 36 B. 1 : 6 C. 5 : 24 D. 1 : 4 E. 5 : 18

10. Ako je Sn = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − . . . + (−1)n−1n za n ∈ N , onda jeS1 999 + S2 000 jednako

A. negativan broj B. 0 C. 1 D. 2 E. 2 000


ZADATCI S 4 BODA

11. Ako cetverokut moze imati cetiri prava kuta, koji je najveci brojpravih kutova u osmerokutu?

A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 E. 2

12. Na pocetku kartanja Roberta, Simun i Tomo ulozili su novac u omjeru1 : 2 : 3. Na kraju kartanja odlucili su da je pravedno podijeliti novacu omjeru 4 : 5 : 6. Sto se dogodilo?

A. Roberta i Simun su izgubili, Tomo dobio

B. Roberta dobila, Simun i Tomo izgubili

C. Roberta dobila, Tomo izgubio, Simun ostao na istom

D. Roberta izgubila, Tomo dobio, Simun ostao na istom

E. nista od navedenog

13. Za domacu zadacu Nives mora rijesiti 40 kvadratnih jednadzbi. Dabi je potakla na rad majka je obecala dati Nives pola eura za svakiispravan rezultat, ali i oduzeti 1 euro za svaki pogrjesan rezultat.Nakon sto je rijesila sve zadatke, Nives je od majke dobila 2 eura.Koliko je zadataka tocno rijesila?

A. 25 B. 26 C. 27 D. 28 E. 29

14. Mama je kupila secera u kocki. Prvi je dan Jelena pojela gornji sloj,to jest 77 komada. Drugi je dan pojela sloj sa strane od 55 komadasecera, a treci dan sloj s prednje strane. Koliko je kocki secera ostalou kutiji?

A. 203 B. 256 C. 295 D. 300 E. 350

15. Kad Erika stane na vagu, ona ima 67 kg. Kad Janja stane na istuvagu, ima 59 kg. Kad obje stanu na tu istu vagu, njihova je masa 131kg. Tek tada su djevojke uocile da jezicac vage u sva tri slucaja nijebio na nuli. Kolika je prava Erikina masa?

A. 54 kg B. 62 kg C. 64 kg D. 70 kg E. 72 kg

16. ABCD je kvadrat. Odredimo duljinu |EC| ako je |AF | = 4 cm, a|FB| = 3 cm.


A. 2.75 cm B. 3.25 cm C. 3.5 cm D. 3.75 cm

E. nemoguce je odrediti

17. Sanja, Neda i Renata provode zajedno vecer i grickaju cips. Sanjaje donijela 5 vrecica cipsa, a Neda dvije. Renata nije donijela nista.Do kraja veceri sve su pojele i prije odlaska sredile racun. Renataje platila 14 kn. Koliko ce kuna dobiti Sanja ako pretpostavimo dasu pojele istu kolicinu i da su kupljene vrecice cipsa bile medusobnojednake?

A. 4 kn B. 10 kn C. 12 kn D. 14 kn E. 16 kn

18. Krenemo li od slike Pitagorina teorema i spojimo li krajnje tocke,dobit cemo sesterokut. Kolika je povrsina toga sesterokuta?

A. ab +52(a2 + b2) B. 2ab +

32(a2 + b2)

C.32ab + 2(a2 + b2)

D. 2(ab + a2 + b2) E.52ab + 2(a2 + b2)

19. U koordinatnom sustavu zadane su tocke A(−2,−1) i B(2, 2). Akoza tocku C(x, 1) vrijedi da je zbroj |AC| + |CB| najmanji, tada je xjednak:

A.13

B.34

C.23

D. 1 E.43

20. Broj je 6pqpqpq visekratnik broja 18. Ako izbrisemo prvu i zadnjuznamenku u tom broju, dobit cemo broj koji je visekratnik broja 6.Znamenka p je:

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 E. 0

ZADATCI S 5 BODOVA

21. Bojimo cijele brojeve na brojevnom pravcu koristeci samo crvenu iplavu boju. Ako je jedna tocka crvena, njezina je peta susjeda desnoplava. Peta je susjeda lijevo od plavih tocaka crvena. Koliko imamogucnosti da se na taj nacin oboji brojevni pravac?

A. 2 B. 25 C. 32 D. 125 E. 256


22. Neka tocka M giba se jednolikom brzinom po stranicama kvadrataABCD (ABCDABCDABCD . . .). Druga tocka N giba se po dijago-nali AC gore-dolje (ACACAC . . .) istom brzinom. U nekom momentuobje su bile u tocki A. Koja je od sljedecih izreka istina?

A. Obje ce se ponovno sresti u tocki A.

B. Obje ce se opet sresti u tocki A, samo ako je stranica kvadrataduga

√2.

C. Nikada se vise nece sresti. D. Obje ce se sresti u tocki C.

E. Obje ce se sresti u tocki C samo ako je stranica kvadrata duga π.

23. Cetiri macke Mimi, Dede, Koko i Liz hvataju miseve. Dede i Lizuhvatile su isti broj miseva kao Mimi i Koko. Mimi je uhvatila visemiseva od Koko. Zajedno su Mimi i Liz uhvatile manje od Dedei Koko zajedno. Koliko je miseva uhvatila Koko, ako znamo da jeDede uhvatila 3 misa?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

24. U jednakostranicnom trokutu ABC, ko-jemu je stranica jednaka a, tocke M,N,P,Qsmjestene su tako da je |MA| + |AN | =|PC| + |CQ| = a, |AM | = |PC|. Kolika jevelicinu kuta 6 NOQ?

A. 45◦ B. 60◦ C. 75◦

D. nemoguce je odrediti E. druga varijanta

25. Koji od danih brojeva ne moze biti broj dijagonala konveksnog poli-gona?

A. 9 B. 16 C. 20 D. 54 E. 5

26. Prirodni brojevi od 1 do 7 smjesteni su ispod slova A, B, C, D, E,F i G tako da zbroj brojeva u svakom od triju cetverokuta bude 15.Koji je broj ispod slova A?

A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 E. 6


27. Ako je polumjer vece kruznice tri puta veci od polumjera manjekruznice, tada je duljina kraka x jednaka:

A. 8 B. 8 C. 6√

3 D. 6√

2 E. 7.5

28. Kocka je sastavljena od 64 drvenih kocakadimenzija 1×1×1. Izdubimo li kroz kockusest rupa kako je to osjencano na slici, ko-liko ce drvenih kocki dimenzija 1 × 1 × 1ostati od zadane kocke?

A. 40 B. 42 C. 44 D. 46 E. 50

29. Petar i Marija bacaju novcic i pogadaju koja ce se strana pojaviti.Svatko je od njih ulozio 20 bombona. Onaj koji pogodi koja ce sestrana novcica (pismo ili glava) pojaviti u svih 10 bacanja dobit cesvih 40 bombona. Nakon sto je Petar pogodio 7, a Marija 9 rezul-tata bacanja odlucili su podijeliti bombone proporcionalno vlastitimmogucnostima pobjede. Koliko ce bombona dobiti Marija?

A. 20 B. 25 C. 30 D. 32 E. 35

30. Sve tri slike prikazuju isti dvorac sagraden od drvenih kocaka. Naslikama je dan pogled s prednje strane, pogled odozgo i na kraju,pogled s lijeve strane. Koliko je drvenih kocaka koristeno pri gradnjitog dvorca?

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 E. 14

Zadatci za ucenike IV. razreda srednjih skola

2000.-S

ZADATCI S 3 BODA

1. Autobus je krenuo iz mjesta A prema sjeveru vozeci 10 km. Zatimje vozio 10 km na istok, pa 6 km na jug, pa 2 km na zapad. Zatim,opet 8 km na sjever, pa 4 km na zapad i, napokon, 9 km na jug,zavrsavajuci svoje putovanje u tocki B. Kolika je udaljenost tocakaA i B?

A. 0 km B. 1 km C.√

5 km D. 5 km E. 10√

2 km

2. Ozujski Zec uvijek laze od ponedjeljka do srijede. Koji je dan OzujskiZec rekao ove recenice: ”Jucer sam lagao. Lagat cu i sutra.”?

A. ponedjeljak B. utorak C. cetvrtak D. nedjelja

E. nema dana kad moze izreci tu recenicu

3. Koliki je ostatak pri dijeljenju (320 · 530 − 2) : 15?

A. 0 B. 2 C. 5 D. 8 E. 13

4. Marijin je otac 4 godine stariji od njezine majke. Prosjek je godinaMarijinih roditelja 39. Prosjek je godina Marije i njezina oca 23.Koliko godina ima Marija?

A. 5 B. 7 C. 11 D. 13 E. 15

5. Kolika je udaljenost tocaka A i B mjerena nacilindricnoj plohi ako je r = 1 , h = 6?

A. 7 B. 8 C. 2√

10 D.√

π2 + 36

E. 2√

π2 + 9

6. Sizif svaki dan mora dogurati stijenu na vrh brda. Prvi je dan pritom penjanju i spustanju utrosio 7 sati. Sljedece se dane na brdo peodva puta sporije i spustao dva puta brze nego prethodni dan. Ako je


drugi dan utrosio 8 sati na uspon i spust, koliko je sati za isti posaopotrosio treci dan?

A. 9 h B. 8 h 30 min C. 7 h D. 13 h E. 10 h

7. Svemirski brod leti prema planetu X koji je 220 km udaljen od Zemlje.Kad je prosao tocno cetvrtinu puta izgubio je radijski kontakt sbazom, koji je opet uspostavio kad je brod bio 219 km od Zemlje.Koliko je kilometara brod preletio bez radijskog kontakta s bazom?

A. 28 B. 29 C. 210 D. 218 E. 219

8. Tijekom voznje putnici na trajektu mogu sjediti na glavnoj palubi iliu salonu. Ako s x oznacimo broj putnika na glavnoj palubi, a s ybroj putnika u salonu, za ta dva broja znamo da su relativno prosta,x > y i da je xy = 300. Koji najmanji broj putnika trajekt mozeprevoziti tako da su zadovoljeni ovi uvjeti?

A. 30 B. 35 C. 37 D. 56 E. 79

9. Neka je xyz troznamenkasti broj u kojem je x > z. Znamenka stoticau razlici xyz−zyx jednaka je 4. Koje su znamenke na mjestu deseticai jedinica u toj razlici?

A. 5 i 9 B. 9 i 5 C. ne moze se odrediti D. 5 i 4 E. 4 i 5

10. Za neki prirodni broj a zbroj a+2a+3a+ . . . +9a ima sve znamenkejednake. O kojoj je znamenci rijec?

A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 E. zadatak nema rjesenja

ZADATCI S 4 BODA

11. U trokutu ABC dana je upisana kruznica k. Neka su D, E i Fdiralista kruznice i stranica trokuta (vidi sliku). Ako je 6 DAE = 32◦,koliko je 6 DFE?

A. 46◦ B. 58◦ C. 64◦ D. 74◦ E. ne moze se odrediti


12. Marko zeli kupiti walkman cijena kojeg je 540 kn. Kad ga je Per-ica upitao koliko ima novaca, Marko je odgovorio: ”Kad bi mojaustedevina bila za 1/5 veca, jos bi mi nedostajala trecina za kupnjuwalkmana.” Koliko novaca ima Marko?

A. 60 kn B. 120 kn C. 240 kn D. 300 kn E. 320 kn

13. Za koji prirodni broj n pravilni n-terokut ima ukupno 6n dijagonala?

A. 13 B. 15 C. 17 D. 35 E. 65

14. Od pravokutnoga komada tkanine odrezani su pri vrhovima jednakokracnitrokuti tako da je dobiven osmerokutni stolnjak povrsine 62 cm2. Ko-lika je povrsina odrezanoga dijela tkanine?

A. 16 cm2 B. 12 cm2 C. 8 cm2 D. 6 cm2

E. nije moguce odrediti

15. Ako je 21994 + 4997 + 8665 = 16x, tada je x jednak:

A. 997 B. 779 C. 499 D. 449 E. 399

16. Antibiotik ima sljedece djelovanje na bakterije: prva doza zaustavirazmnozavanje bakterija, a sljedece doze (koje se daju svakih 8 sati)uniste 50% preostalih bakterija. Na pocetku pokusa bilo je 1 000 000bakterija u uzorku. Koliko ce bakterija preostati u uzorku tocno 48sati nakon primjene prve doze?

A. 53 B. 56 C. 103 D. 104/3 E. 106/6

17. Poligon R sastavljen je od 6 jednakih kvadratapovrsine 1 cm2 (vidi sliku). Jednu od tocakaA, B, C, D i E izaberimo za srediste simetrije,te preslikajmo R u poligon R′ s obzirom na tosrediste. Koju od tocaka treba izabrati tako dapovrsina lika R ∪ R′ bude 8 cm2?



18. Na koliko se nacina moze broj 447 napisati kao zbroj neparnihuzastopnih prirodnih brojeva?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

19. Gradovi A i B povezani su zrakoplovnim linijama. Svaki let izmedugradova A i B jednake je duljine, ali s obzirom na to da se nalazeu razlicitim vremenskim zonama, na rasporedu letova zapisana sulokalna vremena. Tako na redu letenja mozemo procitati:

Let broj 4: Polazak iz A - Ponedjeljak u 6.00

Dolazak u B - Utorak u 14.00

Let broj 9: Polazak iz B - Cetvrtak u 13.00

Dolazak u A - Cetvrtak u 15.00

Koliko je sati u gradu B u trenutku kad je u gradu A 16.00 sati usubotu?

A. 18.00 u subotu B. 19.00 u subotu C. 6.00 u nedjelju

D. 7.00 u nedjelju E. 19.00 u nedjelju

20. Neka je K skup svih tocaka svih strana kocke duljine brida 2, a sG oznacimo sferu srediste koje je u sredistu kocke. Skup K ∩ Gsastojat ce se od 6 kruznica ako i samo ako radijus sfere r zadovoljavanejednakost:

A. 1 < r ≤√

2 B. 1 ≤ r <√

2 C. r ≤√

2

D. 1 < r <√

3 E.√

2 ≤ r <√

3

ZADATCI S 5 BODOVA

21. Svemirska sonda koja je upravo sletjela na Mars poslala je sljedecezanimljive podatke. Marsovci su ili crveni ili zeleni ili plavi, a svakiod njih ima 2, 3, 4, ili 5 ruku, a na glavi odredeni broj ticala kojivarira od 3 do 20. Koliko najmanje stanovnika mora imati marsovskonaselje koje zeli oformiti nogometnu ekipu (11 clanova) za utakmicuprotiv Zemljana, ali tako da svi clanovi ekipe budu jednake boje teda imaju jednak broj ruku i ticala?

A. 216 B. 217 C. 2160 D. 2161 E. 2375

22. Jedini prirodni broj n za koji vrijedi [(22n+ 1)(22n − 1) + 1]1/4 = 256

nalazi se u skupu:

A. {1, 2, 3} B. {4, 5, 6} C. {7, 8, 9} D. {10, 11, 12} E. {13, 14, 15}


23. Koliko postoji tocaka unutar i izvan jedinicnoga kvadrata koje sujednako udaljene od dvaju susjednih vrhova, a za 1 su udaljene odtrecega vrha?

A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 E. vise od 8

24. Deset mladica zeli formirati dvije ekipe za odbojku na pijesku (petclanova u svakoj). Na koliko nacina to mogu uciniti ako Matko zeliigrati s Karlom, a Viktor ne zeli igrati s Antom?

A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 E. 50

25. Za koliko je prirodnih brojeva n istinita tvrdnja: Broj 91 drugi je povelicini djeljitelj broja n?

A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 E. 3

26. U trokutu ABC vrijedi: 6 CAB = 30◦,6 CBA = 120◦. Ako je CD simetrala kuta

6 ACB, tada je|BC||CD|

jednako:

A.1√2

B.1√3

C.√

23

D.

√3

2E.

√2

2

27. Pri rjesavanju zadatka Ivan je trebao pomnoziti dva dvoznamenkastabroja. Ali, pogrijesio je jer je zapisao znamenke jednog faktora uobrnutom redoslijedu, te je dobio rezultat koji je za 3 816 veci odtocnoga rezultata zadatka. Koliki je tocni rezultat?

A. 7 632 B. 5 724 C. 4 823 D. 1 908 E. 1 007

28. S p(n) oznacimo umnozak znamenaka prirodnoga broja n. Kolikoiznosi zbroj p(1) + p(2) + p(3) + . . . + p(2 000)?

A. 45 200 B. 2000 C. 200 000 D. 184 320 E. 180 000

29. Na dvokrakoj vagi masu predmeta odredujemo tako da predmet po-stavimo na jednu pliticu, a zatim na drugu ili na obje postavimo utegedok ne postignemo ravnotezu. Koliko je utega potrebno ako zelimoizvagati svaki predmet mase 1, 2, 3, . . . , 9 ili 10 g? (Utege biramo izskupa od 1 g, 2 g, 3 g, . . ., 10 g.)

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 10

30. ABCD je tetraedar. Odredimo broj ravnina koje su jednako udaljeneod tocaka A, B, C i D.

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. 8


RJESENJA ZA 2000.-E

1. B. 2. D. 3. D.

4. B. 12 kg je 4 puta vise od 3 kg, pa i jagoda treba 4 puta vise, tj. 8kg.

5. A. 6. C. 160 : 55 = 2 i ostatak 50. Treba 3 autobusa.

7. D. Za 1 cokoladu moze se voziti 2 sata, a za 4 bombona 1 sat.Ukupno, 3 sata.

8. E. 9. D.

10. B. Tanja i Dina zajedno pojedu 5 porcija. Ako su kupile 10, tj.dva puta vise, Tanja ce pojesti 2 · 2 = 4 porcije sladoleda.

11. B. 12. D. Ima 7 + 5− 1 = 11 kolona, tj. ima 11 · 3 = 33 ucenika.

13. B.

14. C. Broj sljiva na prvoj i drugoj vagi razlikuje se za 4, a broj jabukaza 2. Dakle, jednoj jabuci odgovaraju 2 sljive. Tada kruski odgovara6 − 2 = 4 sljive.

15. D. Okomita crta sastoji se od 6 kvadratica 1 × 1, tj. ima povrsinu6. Kosa crta sadrzi 6 trokuta koji su jednaki polovici kvadrata, tj.povrsina je jedne kose crte 3, druge isto 3, pa je povrsina slova K 12.

16. C.

17. B. Tri kokosi u 3 dana snesu 4 jaja, pa u 9 dana 12 jaja.

18. D. Pile ima 9 puta vecu masu, pa joj treba i 9 puta vise persina,tj. 9 · 3 = 27 g.

19. B. Da bismo dobili cetverostruku povrsinu kvadrata, stranica setreba povecati dva puta, tj. opseg se poveca dva puta. Zato mu zaobilazak treba dvostruko vise vremena, tj. 24 minute.

20. C. 21. C. x + 12x + 3 = 2x, 1

2x = 3, x = 6. 22. B.

23. A. Lik razdijelimo na trokute katete ko-jih su 15. Dva takva trokuta spojenapo hipotenuzi cine kvadrat stranice 15.Ima 4 para trokuta, pa je povrsina4 · 15 · 15 = 900.


24. C. Na svakom bridu ostane jedan vrh. Kocka ima 12 bridova, patoliko vrhova ima i novonastalo tijelo.

RJESENJA ZA 2000.-B

1. C. (29 − 3) : 2 = 13. 13 + 3 = 16. 2. D. 3. D.

4. E. x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) = 2000, 5x = 1990,x = 398. To su brojevi 398, 399, 400, 401, 402.

5. D. 6. E. 7. D.

8. B. S a oznacimo sirinu paketa, a = 10 cm, s b duljinu, b = 30 cm, a sc visinu paketa, c = 10 cm. U smjeru duljine vrpca se pojavila 4 puta,u smjeru sirine 6 puta, a u smjeru visine 6 puta. 6 ·10+4 ·30+6 ·10 =240 cm = 2 m 40 cm.

9. D. Za 1 cokoladu moze se voziti 2 sata, a za 4 bombona 1 sat.

10. D. 11. B. To su svi djeljivi s 14: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98.

12. E.

13. D. Lik koji ima 10 stuba u prvom redu ima 10 kvadratica, u drugom9 itd. Ukupno ima 10 + 9 + 8 + 7 + . . . + 3 + 2 + 1 = 55.

14. B. Ako za 100 slova treba 1 minuta, tada za 1 000 000 slova treba10 000 puta vise minuta, tj. 10 000 min = 166 h 40 min.

15. C. 16. B. 17. D. V (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) = 420.

18. A. Sin–klokan u 1 sekundi skoci 2 metra, pa njemu do eukaliptusatreba 180 : 2 = 90 sekundi. Mami–klokanici do eukaliptusa treba180 : 3 = 60 sekundi. Cekat ce 30 sekundi.

19. E. Postoje tri trokuta s osnovicom 1, dva s osnovicom 2 i jedan sosnovicom 3. Povrsina je 3 · (1

2 · 1 · 2) + 2 · (12 · 2 · 2) + 1

23 · 2 = 10.

20. E. 21. D. Trazimo djeljitelje broja 96 vece od 5 i manje od 20.

22. D. Jednoj kocki odgovara valjak i 20 g. Na cijeloj vagi ima 5 kocakai 3 valjka, i to odgovara 5 + 3 = 8 valjaka i 5 · 20 = 100 g. Dakle,masa 8 valjaka iznosi 400 g, pa je masa jednoga valjka 50 g. Masa jekocke 50 + 20 = 70 g.

23. E. 24. B. Vidi 23. zadatak u 2000.-E.

25. E. 8 · 52 = 416 < 90 000. 26. A.


27. A. 6 ABC = 90◦ + 60◦ = 150◦. 6 BAC = 12(180◦ − 150◦) = 15◦.

28. D. 29. D.

30. D. To su crvici: CCCZZ, CCZCZ, CZCCZ, ZCCCZ, CCZZC,CZCZC, ZCCZC, CZZCC, ZCZCC, ZZCCC.

RJESENJA ZA 2000.-C

1. E. 2. A. Postotak ostaje isti bez obzira na povecanje.

3. D. 13 h 13 min – 11 h 11 min = 2 h 2 min.

4. B. 5. D. 6. D. 7. B.

8. A. x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) + (x + 8) + (x + 10) + (x + 12) =7x + 42 = 119, 7x = 77 x = 11.

9. C. 6 BAC = 180◦ − 2 · 75◦ = 30◦, 6 CAD = 12 (180◦ − 50◦) = 65◦,

6 BAD = 30◦ + 65◦ = 95◦.

10. D. 140 + 1

120 = 4120 = 1

30 . Za 30 minuta.

11. A. Vidi 24. zadatak u 2000.-B.

12. A. KANGAROO − 10 000KANG = AROO, pa je ukupni zbrojAROOAROO.

13. D.

14. C. 15% od P = 0.15r2π. P (α) = r2π360◦ α, pa je 0.15r2π = r2π

360◦ α,α = 360◦ · 0.15 = 54◦.

15. B. 100 talira 2.5 puta je manje, tj. 40 grosa, a 40 grosa 20 je putamanje od 800, pa cemo dobiti i 20 puta manje dukata, tj. samo 5dukata.

16. D. Vidi 14. zadatak u 2000.-J.

17. C. 5.625 = 56251000 = 55

8 . Treba barem 8 sudaca.

18. C. 19. D. 25 − 32.

20. D. (x + 3) = 3(x − 3), x = 6. Danas Stjepan ima 6 godina. Za4 godine imat ce 10 godina, sto je pet puta vise nego koliko je imaoprije 4 godine.


21. D. P (PBQ) = P (RDS) = 12

23a · 1

3b = 19ab, P (SAP ) = P (QCR) =

12

23b · 1

3a = 19ab. P (PQRS) = ab − 4 · 1

9ab = 59ab.

22. D.

23. D. Zbog slicnosti manjih trokuta s trokutom ABC slijedi da su teduzine jednake 7

8 |BC|, 68 |BC|, . . ., 1

8 |BC|, pa je njihov zbroj (78 + 6

8 +58 + . . . + 2

8 + 18)10 = 35.

24. C.

25. D. To su brojevi: 6, 10, 14, 15, 21, 22.

26. A. a = 9, b je duljina carobnoga saga. Nakon prve zelje: a1 = 6,b1 = b

2 ; nakon druge zelje: a2 = 4, b2 = b4 ; nakon trece zelje: a3 = 8

3 ,b3 = b

8 . 4 = a3b3, 4 = b3 , b = 12 cm.

27. E. Uz oznake kao na slici trokuti ANB iA′MB sukladni su pa je |AN | = v =|A′M |, tj. trokuti ABC i ABB′ imajujednaku visinu. Buduci da je osnovicaod ABB′ 2a, slijedi da je P (ABB′) =2P (ABC). Zato je P (A′B′C ′) = (2 +2 + 2 + 1)P (ABC) = 7P (ABC).

28. D.

29. B. Zatamnjeno polje pripada plocici iz donjega kraka. Promotrimoplocicu iz desnoga kraka. Njeno jedno polje ima jednu tockicu, a udrugom ne moze biti 2,4 i 5 tockica jer su takve plocice vec upotrije-bljene. Kad u drugom polju ne bi bilo tockica, tada ni u zatamnje-nom ne bi bilo tockica, pa bi lijeva plocica bila s 0 i 3 tockice, a taje plocica vec upotrijebljena. Isto tako ne moze u drugom polju bitijedna, odnosno ne moze biti sest tockica.

30. C. 152000 = 22000

102000 . Potencije broja 2 zavrsavaju znamenkama 2, 4,8, 6, 2, 4,... tj. svaka 4 koraka ponavlja se ista grupa. Buduci da je2 000 : 4 = 250, 22000, zavrsava sa 6.


RJESENJA ZA 2000.-J

1. A. Eliminacijom dobivamo da je rijec o ponedjeljku.

2. D. (√

5+12 )200(

√5−12 )200 = [ (

√5+1)(

√5−1)

4 ]200 = 1200 = 1.

3. E. Ako je plavi kvadrat na mjestu (1, 1), tada u drugom retkuplavi moze biti na mjestu (2, 2) ili (2, 3), te ako su bijeli i crvenidani u prvom retku, nakon odabira drugoga plavoga kvadrata nacinje slaganja jedinstven. Dakle, ako je plavi na mjestu (1, 1), postoje 4nacina. Isto je tako ako je na mjestu (1, 2) i (1, 3). Ukupno ima 12kombinacija.

4. B. Duljina je stranice sesterokuta 36:6=6, pa je polumjer svakogod kruznih lukova r = 3. Sredisnji je kut svakog od tih lukova 120◦,pa je duljina jednoga luka 3π

180 ·120 = 2π. Svih 6 lukova imaju duljinu12π.

5. D. Unutarnji kut pravilnoga peterokuta iznosi 108◦. 6 PBC =108◦ − 60◦ = 48◦. 4PBC jednakokracan je pa je 6 BCP = 1

2(180◦ −48◦) = 66◦.

6. A. Oznacimo s n broj osoba (a to je ujedno i prosjek), a sa S zbrojgodina svih nazocnih. Tada je n2 = S i (n + 1)2 = S + 29. Odavdese dobiva: n = 14.

7. A. P1 i P2 skupa imaju povrsinu 4 · 22 = 16 cm2. P3 i P4 skupaimaju povrsinu 1 · 22 = 4. Ukupna je povrsina 16 + 2 · 4 + 2 · 4 = 32cm2.

8. A. 0 = 35 +3b+ c, pa je c djeljiv s 3. Jedino ponudeni odgovor podA nije djeljiv s 3.


9. C. APQF jednakokracan je trapez s osnovi-cama PQ i AF , |AF | = a te visinomv = 1

2a√

32 = a

√3

4 . PQ je srednjica trapezaABEF , pa je |PQ| = 1

2(2a + a) = 3a2 .

P = a+c2 · v = a+ 3a

22 = 5a2

√3

16 . Povrsina jecijelog sesterokuta P = 6a2

√3

4 , pa je omjertih povrsina 5:24.

10. B. Ako je n paran, tad je Sn = (1−2)+(3−4)+. . .+(n−1−n) = −n2 .

Ako je n neparan, tad je Sn = −n−12 + n = n+1

2 · S1999 + S2000 =1999+1

2 − 20002 = 0.

11. B. Osmerokut sa sest pravih kutova izgleda ovako:

12. C. Oznacimo sa S ukupnu svotu novca ulozenog u igru. Tada jeRoberta ulozila S/6, Simun S/3, a Tomo S/2. Na samome krajuRoberta je dobila 4S/15, Simun S/3, a Tomo 2S/5. Dakle, Robertaje na kraju dobila vise novca nego sto je ulozila, Tomo je izgubio, aSimun je ostao na istom.

13. D. Neka je x broj tocno rijesenih jednadzbi. Tada je 0.5x−(40−x) =2, tj. x = 28.

14. D. Gornji sloj iznosi ab tj. 77 = ab. Nakon toga sloj sa strane imadimenzije bx(c − 1), tj. b(c − 1) = 55. Ocito je da je b = 11, pa jea = 7, c = 6. Tada prednji sloj ima (a−1)(c−1) = 5 ·6 = 30 kockica,a ostalo je 7 · 11 · 6 − 77 − 55 − 30 = 300 kockica.

15. E. (67 + 59) − 131 = 5. Dakle, jezicac je pokazivao 5 kg manje odstvarne mase. Erika ima 67 + 5 = 72 kg.

16. D. 4AFB je pravokutan, pa je |AB| =√

42 + 32 = 5 cm. 4AFBi 4EBC slicni su trokuti, pa je |EC| : |BC| = |FB| : |AF |, tj.|EC| = 3.75 cm.

17. B. 14 kuna dijele se u omjeru 5:2. Dakle, to je 10 kn i 4 kn.

18. D. Povrsina trokuta koji zatvaraju stranice b i c je P = bc2 sin(180◦−

α) = bc2 sinα, a to je upravo povrsina pravokutnoga trokuta, tj. P =

ab2 . Isto tako i povrsina trokuta koji zatvaraju a i c jednaka je ab

2 .


Ukupna je povrsina: a2 + b2 + c2 +4 · ab2 = a2 + b2 +(a2 + b2)+ 2ab =

2(a2 + b2 + ab).

19. C. Zbroj je najmanji ako su A, B i C kolinearne tocke. Pravac ABima jednadzbu y = 3

4x + 12 , a za y = 1 dobivamo x = 2

3 .

20. B. q je paran i 3p+3q +6 djeljivo je s 9, tj. p+ q+2 djeljivo je s 3.Nakon brisanja znamenki dobivamo broj pqpqp i p je paran, a 3p+2qdjeljivo je s 3. Dakle, q je djeljivo s 3, a buduci da je q paran, slijedida je q = 6. Ali sad iz djeljivosti broja p + q +2 s 3 slijedi da je p+ 2djeljivo s 3, tj. p = 1, 4 ili 7, a jedina je parna znamenka p = 4.

21. C. Bitno je samo kako su postavljene boje na prvih pet tocaka jersu preostale jednoznacno obojane. Dakle, postoji 25 nacina.

22. C. Nece se sresti jer je duljina dijagonala nesumjerljiva s duljinomstranice kvadrata.

23. B. Postavimo ove relacije: D+L = M+K, M > K, M+L < D+K,D = 3. Zbrojimo li prvu i trecu dobivamo L < K. Zbrojimo liprve dvije dobivamo 2K < D + L = 3 + L < 3 + K tj. K < 3.Dakle, K = 0, 1 ili 2. Ako je K = 0, tada je L < K kontradikcija.Ako je K = 2, tada je L = 0 ili L = 1. Ako je L = 0, tada jeM = D + L − K = 3 + 0 − 2 = 1, a to nije vece od K. Analogno, nemoze se dogoditi ni L = 1. Ako je K = 1, tada je L = 0, M = 2, i toje odgovarajuca situacija.

24. B. Ako s x oznacimo |AM |, tada je |PC| = x, |QC| = a − x,|BQ| = x, |AN | = a−x, |BN | = x, pa je AB||MQ, PN ||BC, 4BNQje jednakostranican, tj. NQ||AC. Iz paralelnosti slijedi 6 OMP =60◦, 6 MPO = 60◦, pa je i 6 MOP = 60◦, a iz toga slijedi da je i6 NOQ = 60◦.

25. B. Broj je dijagonala u n-terokutu D(n) = n(n−3)2 . Ako je D(n) =

9, 20, 54 ili 5 lako mozemo dobiti da je n = 6, 8, 12 ili 5. Za D(n) = 16ne postoji n.

26. A.


27. B. 4ABC i 4ADE slicni su, pa je 2r :8r = y−1

2 : 4, pri cemu je y = |CF |.Otuda: y = 3. Oba ta trapezatangencijalni su cetverokuti, pa jezbroj nasuprotnih stranica jednak.Ali kad se ti zbrojevi zbroje, dobijese: (1 + y) + (y +9) = 2x, tj. x = 8.

28. C. 29. D. 30. C.

RJESENJA ZA 2000.-S

1. D. Postavimo koordinatni sustav takoda je A ishodiste, smjer prema istoku poz-itivan dio osi x, a smjer prema sjeverupozitivan dio osi y. Jedinicna je duljina 1km. U ovom koordinatnom sustavu tockaB ima koordinate B(4, 3). Udaljenost jetocaka A i B 5 km.

2. E. Ako je te recenice izrekao u ponedjeljak, tada su one lazne.No to bi znacilo da sutra (a to je ponedjeljak) nece lagati, sto jenemoguce. Ako je te recenice izrekao u utorak ili u srijedu, tadaje prva u kontradikciji s cinjenicom da ponedjeljkom laze. Da ihje izrekao u cetvtak, petak ili subotu, tada bi druga recenica bilaistinita, tj. lagao bi i u petak (subotu ili nedjelju) a to je nemoguce.Da ih je izrekao u nedjelju, prva bi recenica bila istinita, a sto nije.Dakle, Ozujski Zec ove dvije recenice nije mogao izreci niti jedan danu tjednu.

3. E. Broj 320 · 530 djeljiv je s 15, pa je ostatak 15 − 2 = 13.

4. A. S x oznacimo broj ocevih godina, a s y majcinih. Tada jex = 4 + y, x+y

2 = 39. Odatle dobivamo da je x = 41. Sa z oznacimoMarijine godine. Tada je z+x

2 = 23, tj. z = 5.

5. D. Razmotamo li plast valjka dobit cemo pravokutnik sa stranicama2π i 6. Tocka B na polovistu je stranice pravokutnika, pa je |AB| =√

π2 + 36.

6. D. Oznacimo s x vrijeme uspona u prvom danu, a s y vrijemespustanja. Tada je x + y = 7. Za drugi dan vrijedi: 2x + y

2 = 8.Rjesenje je ovog sustava x = 3, y = 4. Treci dan potrosio je 4x+ y

4 =13 sati.


7. D. Cetvrtina je puta 14 · 220 = 218 km. 219 − 218 = 218(2 − 1) = 218

km.

8. C. Svi parovi (x, y), x > y umnozak kojih je 300 jesu: (300, 1),(150, 2), (100, 3), (75, 4), (60, 5), (50, 6), (30, 10), (25, 12), (20, 15).Medu njima samo su 3 para s relativno prostim x i y. To su (300, 1),(75, 4) i (25, 12), a medu njima (25, 12) ima najmanji zbroj koji iznosi37.

9. B. xyz − zyx = (100x + 10y + z) − (100z + 10y + x) = 99(x − z).Znamenka je stotica broja 4, pa slijedi da je x − z = 5, tj. rijec je obroju 99 · 5= 495.

10. C. a+2a+3a+ . . .+9a = a · (1+ . . .+9) = a ·45. Znaci 45a oblikaje bb . . . b. Buduci da je 45a djeljivo s 5 slijedi da je b = 5.

11. D. U cetverokutu AESD kutovi su 6 ADS i 6 AES pravi, pa je6 DSE = 360◦ − 90◦ − 32◦ = 148◦. Prema poucku o sredisnjem iobodnom kutu vrijedi da je 6 DSE = 2 · 6 DFE, tj. 6 DFE = 148◦

2 =74◦.

12. D. Ako s x oznacimo kolicinu Markova novca, tada je x + 15x =

540 · 23 , x = 300 kn.

13. B. D(n) = n(n−3)2 , 6n = n(n−3)

2 , n = 15.

14. C. Ako s x oznacimo duljinu katete jednakokracnih trokuta odrezanihpri vrhovima pravokutnika, tada je (3 + 2x)(6 + 2x) = 62 + 4x2

2 .Odavde je x1 = 2, x2 = −11, pri cemu samo prvo rjesenje moze bitiduljina, pa je povrsina odrezanoga dijela tkanine 2x2 = 8 cm2.

15. C. 21994 + 4997 + 8665 = 16x, 2 · 21994 + 21995 = 16x, 2 · 21995 = 24x,1996 = 4x, x = 499.

16. B. Nakon 8 sati ostane 12 ·10

6 bakterija, nakon 16 sati ostane 14 ·10

6,nakon 24 sata 1

8 · 106, nakon 32 sata 1

16 · 106, nakon 40 sati 1

25 · 106, anakon 48 sati 1

26 · 106 = 56 bakterija.

17. D.

18. B. 447 = x + (x + 2) + (x + 4), 3x = 447 − 6, x = 147. Dakle,447 moze se napisati na jedan nacin kao zbroj neparnih uzastopnihprirodnih brojeva.


19. B. Neka je x vremenski pomak mjesta B u odnosu na mjesto A.Tada let iz A u B traje 14−(6+x) sati, a let iz B u A traje (15+x)−13sati. Oba su leta jednako duga pa je x = 3 sata.

20. A. Ako je r < 1, tada sfera i skup K imaju prazan presjek, a kad jer = 1 tada je presjek 6 tocaka. Dakle, r > 1. Najvece kruznice kojese mogu pojaviti u presjeku K ∩ G kruznice su upisane u kvadratestranice 2. Polumjer im je 1, a s obzirom na to da je udaljenostpresjecne kruznice i sredista sfere takoder 1, lako se moze izracunatida je polumjer sfere r =

√12 + 12 =

√2. Dakle, 1 < r ≤

√2.

21. D. Boja Marsovaca moze se birati na 3 nacina, broj ruku na 4,a broj ticala na 18 nacina. Da bi se zadovoljilo Dirichletovo nacelo,treba postojati najmanje (11 − 1) · 3 · 4 · 18 + 1 = 2 161 stanovnikmarsovskog naselja.

22. B. (22n+ 1)(22n − 1) + 1 = 2564, 22n·2 − 1 + 1 = (28)4, 22n+1

= 232,22n+1

= 32, n + 1 = 5, n = 4.

23. D. Odaberimo dva vrha A i B i prebro-jimo tocke s trazenim svojstvima u odnosuna tocke A i B i susjedni vrh C. Te setocke nalaze na presjeku simetrale straniceAB i kruznice sa sredistem u C i polum-jerom 1. Oznacimo ih s P i Q. Ali teiste tocke dobili bismo pri trazenju tocakakoje su do A i B jednako udaljene, a do Dudaljene za 1. Dakle, novi par tocaka do-bivamo promjenom para tocaka od kojihsu jednako udaljene. Takvih parova ima4 i to su (A,B), (B,C), (C,D) i (A,D).Dakle, postoji 8 tocaka.

24. D. Iz uvjeta zakljucujemo da su ili u jednoj ekipi Matko, Karlo iViktor, a u drugoj Ante, ili da su u jednoj Matko, Karlo i Ante, au drugoj Viktor. U svakom slucaju, jos dvojicu clanova prve ekipebiramo na

(62

)nacina, a cetvoricu u drugoj ekipi na

(44

)nacina, sto

cini 15 nacina za izbor u svakoj od dviju opisanih situacija. Dakle,ukupno postoji 30 nacina izbora ekipa.

25. D. Brojevi n = 91a, gdje je a > 7 imaju i djeljitelj a ·13, a to je brojveci od 91, pa takvi brojevi n nisu rjesenje. Za a ≤ 7 lako se mozeprovjeriti da samo 2 · 91, 3 · 91, 5 · 91 i 7 · 91 zadovoljavaju trazenosvojstvo.


26. C. γ = 180◦−30◦−120◦ = 30◦, pa je 6 CDB = 180◦−120◦−15◦ =45◦. Prema sinusovu je poucku: |BC|

|CD| = sin 45◦

sin 120◦ =√

23 .

27. E. ab·cd = ba·cd−3 816, (b−a)cd = 424. Buduci da je 424 = 23 ·53 ijedini je rastav na par faktora u kojem je jedan od njih dvoznamenkast8 ·53, slijedi da je cd = 53 i b−a = 8. Odatle dobivamo: b = 9, a = 1,pa je ab · cd = 19 · 53 = 1 007.

28. D. Za n = 1, 2, . . . 9, p(n) = n, pa je p(1) + . . . + p(9) = 45,p(11)+p(12)+ . . .+p(19) = 1+2+ . . .+9 = 45. p(21)+p(22)+ . . .+p(29) = 2 ·(1+2+ . . .+9) = 2 ·45, . . ., p(91)+p(92)+ . . . p(99) = 9 ·45.Dakle, zbroj s1 = p(11) + . . . + p(99) = 45 + 2 · 45 + . . . + 9 · 45 =45(1 + 2 + . . . + 9) = 2 025. s2 = p(111) + . . . + p(999) = (p(111) +. . .+p(199))+(p(211)+ . . . +p(299))+ . . . +(p(911)+ . . . +p(999)) =1 · (1 · 1 + 1 · 2 + . . . + 9 · 9) +2(1 · 11 · 2 + . . . + 9 · 9) + . . . + 9(1 · 1 +1 ·2+ . . .+9 ·9) = 1 · s1 +2 · s1 + . . .+9 · s1 = 45s1 = 45 ·2 025 = 91 125.s3 = p(1 111) + . . . + p(1 999) = 45 · 2 025 = 91 125. Ukupni je zbroj45 + 2 025 + 91 125 + 91 125 = 184 320.

29. C. Potrebna su 4 utega i to ili kombinacija utega od 10 g, 5 g, 2 gi 1 g ili kombinacija utega od 5 g, 2 g, 2 g i 1 g.

30. D. Iz skupa {A,B,C,D} odabiremo 3 tocke na(43

)= 4 nacina.

Do ravnine koja je jednako udaljena od svih cetiriju tocaka mozemodoci na dva nacina. Prvi nacin: iz skupa {A,B,C,D} odaberemo 3tocke, na primjer A, B i C, koje odreduju jednu ravninu: iz tockeD povucemo okomicu na ravninu ABC i odredimo joj poloviste E:tockom E polozimo ravninu paralelnu s ABC. Ta je ravnina jednakoudaljena od A, B, C i D. Na ovaj nacin mozemo odrediti

(43

)= 4

ravnina s trazenim svojstvom. Drugi nacin: AB i DC mimoilaznisu pravci, pa postoji njihova najkraca okomica: njezinim polovistempovucemo ravninu okomitu na tu okomicu i ta je ravnina jednakoudaljena od svih vrhova tetraedra. Parove mimoilaznih pravaca bi-ramo na 1

4

(42

)= 3 nacina. Ukupno postoji 4 + 3 = 7 ravnina koje su

jednako udaljene od vrhova tetraedra ABCD.

ii. klokan bez granica 2000 - os-skosutic … · dˇzepnih raˇcunala i matematiˇckih knjiga do...

Documents