iii. camppyo eléctrico y conductoreslaplace.us.es/.../teoria/grupo1/t3/leccion_iii_2_10_11.pdf ·...

III. Campo eléctrico y III. Campo eléctrico y p yp yconductoresconductores

2. El problema del potencial2. El problema del potencial

Campos ElectromagnéticosCampos Electromagnéticos® Gabriel Cano Gómez, 2010/11 ® Gabriel Cano Gómez, 2010/11

Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)

Campos ElectromagnéticosCampos ElectromagnéticosIngeniero de TelecomunicaciónIngeniero de Telecomunicación

III. Campo eléctrico y conductoresIII. Campo eléctrico y conductoresIII. Campo eléctrico y conductoresIII. Campo eléctrico y conductores

1.1. Conductores en equilibrio electrostáticoConductores en equilibrio electrostático22 El bl d l t i lEl bl d l t i l2.2. El problema del potencialEl problema del potencial3.3. Coeficientes de capacidad eléctricaCoeficientes de capacidad eléctrica44 Ci it i l tCi it i l t

Planteamiento del problema Formulación matemática4.4. Circuitos equivalentesCircuitos equivalentes

5.5. Energía electrostática en sistemas con conductoresEnergía electrostática en sistemas con conductores

Formulación matemática Problema del potencial para un conductor Sistemas de dos conductores:

Condensador esférico Condensador plano Condensador cilíndrico

3.3. Coeficientes de capacidad eléctricaCoeficientes de capacidad eléctrica

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

4.4. Circuitos equivalentesCircuitos equivalentes5.5. Energía electrostática en sistemas con conductoresEnergía electrostática en sistemas con conductores

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) III. Campo eléctrico y condCampos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) III. Campo eléctrico y conductuctoresores

® G

a®

Ga

2

Planteamiento del problema del potencialPlanteamiento del problema del potencial

¿¿CC ??

Planteamiento del problema del potencialPlanteamiento del problema del potencial Descripción del sistemacond ctor “de referencia” C

QQ11

ee((rr))¿¿CCMM??

¿¿CC11??conductor “de referencia” C0

se extiende hasta el “infinito”

conductores aislados C1,…, CM, con

CCMMCC11

00CMQQMM=0=0QQMM

conductores aislados C1,…, CM, con cargas eléctricas Q1,…, QM

conductores CM+1,…, CN a potencial fij V V

CCNNCCMM+1+1

MM

QQ ??

¿¿((rr))??fijo VM+1,…, VN

conectados a fuentes de potencial

otras posibles fuentes de campo:

¿¿QQMM+1+1?? ¿¿QQNN??otras posibles fuentes de campo: distribución e(r) en región .

Cuestión general

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

C0 V

CCMM+1+1==VVMM+1+1 CCNN

=0=0

lim ( ) 0 r

Cuestión general¿es posible encontrar el potencial

(r) creado por el sistema?

VVNNVVNN

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G C0

00C

V lim ( ) 0

r

r(r) creado por el sistema?¿cómo son las relaciones entre car-gas y potenciales en el sistema? ( id d lé i )


® G

a®

Ga

3

(capacidades eléctricas)

Formulación matemática del problemaFormulación matemática del problema Ecuación diferencial

l í (L l )( ) 0

Formulación matemática del problemaFormulación matemática del problema

QQ

en el vacío: (Laplace)

en : (Poisson)

( ) 0 r( )

( ) e rr

1

1C

eQ dS

Q dS

0

( ) e

rnn11

CC00

QQ11

nnMM

CCMM

( )

Condiciones de contorno en conductores a potencial fijo

0

( )

CM

M eQ dS

QQ

( ) 0 rCCCCMM+1+1

CC11nnMM en conductores a potencial fijo…

C 1 0(Dirichlet), ctes.

ii

i M NV

QQMM

CCNNMM+1+1

en conductores cargados…

1, , ,0i i M N

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

CCMM+1+1==VVMM+1+1 CCNN

==VVNN==00

óó1, ,0C C

(Neumann)e

i Mii i

n

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

C00

0Clim ( ) 0V

r

r Solución (Solución (Th.Th. de unicidad)de unicidad) existe ((rr)) ÚNICO que satisface ÚNICO que satisface

l di i d l bll di i d l bl


® G

a®

Ga

4

las condiciones del problema las condiciones del problema

Problema del potencial para un conductor (I)Problema del potencial para un conductor (I)Problema del potencial para un conductor (I)Problema del potencial para un conductor (I)

Ejemplo: esfera conductora 00rr ((rr))

Z((PP))

superficie conductora C: r =ala carga se distribuirá uniformemente

simetría esférica: (r)=(r)

rr

aa

((r<ar<a)=)=VVnur=((rr))

ee((rr′′)=)=00simetría esférica: (r) (r)

2

2( )1 0r

dd rdrr dr

solución en r a

( )A VV

OOaa

B

XYqq

Condiciones sobre el conductor

( )lim 0

rr

( )rr

V V CC: : ((rr))= = V V

B

Conductor a potencial fijoConductor a potencial fijo

condición tipo Dirichlet

Conductor aislado y cargadoConductor aislado y cargado

condición tipo Neumann

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

p

l ió d l i ll ió d l i l CC

CV

p

02C 4eq

a

2

r a

d Adr a

( )r a A a

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G solución del potencial y carga en solución del potencial y carga en CC::

04 aV q solución del problema del potencialsolución del problema del potencial::

( ) ;4

r aq

r

4C

q

V ( ) ;r a

Var

C

Q


® G

a®

Ga

5

04 r 04C a r C

Problema del potencial para un conductor (II)Problema del potencial para un conductor (II)Problema del potencial para un conductor (II)Problema del potencial para un conductor (II)Relación cargapotencialsuperficie C cargada o a potencial fijo 00superficie C cargada o a potencial fijono hay más conductores o cargas exteriores

líneas del campo desde C hasta |r|C: : ((rr))==VV

n

00

líneas del campo desde C hasta |r|(r) potencial en el exteriorcarga y potencial en superficie conductora:

ee((rr′′))C

n

g y p p

Capacidad eléctrica

;CC

Q n dS

C( )V

r

EEintint==00

intint VV

C00

p

es la relación cargapotencial en C

CC Q V

eeintint=0=0

int int ==VV

((rr))

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

Propiedades

sólo depende de la geometría

CQ

((rr))

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

fijado el valor de la carga en C, determina el del potencial y viceversa

id d (SI) C Q V C V F (faradio)

EE((rr)) ((rr))


® G

a®

Ga

6

unidades (SI): C Q V C V F (faradio)

Sistema de dos conductores: condensadorSistema de dos conductores: condensadorSistema de dos conductores: condensadorSistema de dos conductores: condensadorSolución al problema del potencial

sea (r) solución al problema planteado ((rr))sea (r) solución al problema planteado verifica ecuación de Laplace:

(en el exterior)( ) 0 r 11C1:: ((rr))==VV11

00 ((rr))

( )

cumple condiciones en superficies C1 y C2

( ) 0 r

1 2C1 C2( ) ( );V V

r rmixtasmixtas

dS

C1: : ((rr)) VV11

ee11((rr′′))n1C1DirichletDirichlet

1 2C1 C2( ) ( );

2 1C2 C1

0 0( ) ; ( )e en n

r r NeuNeu--

mannmann

dS1

((rr′′))EE((rr))

Conductores en “influencia total”todas las líneas de E(r) van de C a C

C2 C1n n mannmanndS2

ee22((rr′′))

C2: : ((rr))==VV22n2

C2

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1 todas las líneas de E(r) van de C1 a C2

cargas eléctricas opuestas en los conductores

1 1 2 2e edS dSQ Q 22

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

las superficies C1C2 forman un condensador

capacidad eléctrica ( á t ét i )

1 1 2 221

e eC C

dS dSQ Q

1Q

V VC 2Q

V V


® G

a®

Ga

7

capacidad eléctrica (parámetro geométrico) 1 2V V 2 1V V

Sistema de dos conductores: condensador esféricoSistema de dos conductores: condensador esféricoSistema de dos conductores: condensador esféricoSistema de dos conductores: condensador esféricoSolución al problema del potencial

superficies conductoras C :r =a y C : r = bC2ee22superficies conductoras C1:r =a y C2: r = b

problema del potencial en a<r<b (vacío)solución con simetría esférica

C1

ee11

ee22

00solución con simetría esférica

2

2

1 0dd r

drr dr

( )r A r B

C

eeextext

condiciones de contorno mixtas (p. e.)

12C1 4e

Q

a solución en a r b

( )Q b r

Cext

eeextext

b

n1

00

0 2

A

a

4 a

2C2V

A b B

12

( )( )

4

Q b rr V

br

((rr))

00

EE((rr))

n1n2

a

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

Capacidad del condensador

C1 y C2 en influencia total: Q2=Q1hh

C

aO QQ11

ee22

EE((rr))

QQ22hh

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

valor de la capacidad eléctrica:

1 ( )r aV 4

( )

b

ba 1Q

CV V

ee11C1

C2

QQ

VV22


® G

a®

Ga

8

1 ( )b a1 2V V QQ22ejer. 3.2.bejer. 3.2.b ejer. 3.2.cejer. 3.2.c

Sistema de dos conductores: condensador planoSistema de dos conductores: condensador planoSistema de dos conductores: condensador planoSistema de dos conductores: condensador plano Potencial entre conductores planoparalelos

discos de radio “R” sección “S” y separación “d”V2

ZR

discos de radio R , sección S y separación dsuperficies C11: z =d/2 y C2 2 : z =d/2

problema del potencial entre discos, para R >> d:d

S

0problema del potencial entre discos, para R d:equivalente a superficies infinitas

2d ( ) 0 r ( )z Az B

V1 (r)(z)

condiciones de contorno “Dirichlet”:

2zd( ) 0 r

solución en d/2 z d/2:( )z Az B

2 1 2 1

2( ) ( )

V V V Vz

dz

r


1 2C1 / 2 C2 / 2;

z d z dV V

2

( ) ( )d

C2

Z Eext(r)e2= 0

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

densidades de carga en C1 y C2

O

C2

00E u 1e d dz 2e 1 2V V d (r)

n2

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

C1 y C2 en influencia (casi)total…

1Q C

O

C1

z

E u

2Q 1eS 1Q

V V

S

d

E ( ) = << R

(r)n1


® G

a®

Ga

9

1Q 2Q1e

1 2V V d Eext(r)e1 0

Fle4.

LINEAS DE POTENCIAL Y

FlexPDE

LINEAS DE POTENCIAL (detalle)z z

R/d=12 5i t i l di t i l d

2.

3.

e

f

i

LINEAS DE POTENCIAL Yzoom(0,-1.25*c,2.5*c,2.5*c

max 1.00u : 1.00t : 0.90s : 0.80r : 0.70q : 0.60p : 0 50

0.6

0.9 b

o

( )zoom(0,-1,2,2)

max 1.00u : 1.00t : 0.90s : 0.80r : 0.70q : 0.60p : 0 50

Flex

LINEAS DE POTENCIAL Y Czoom(0,-1.25*c,2.5*c,2.5*c)

max 1.00u : 1.00t : 0.90s : 0.80

R/d=12.5

CC

equipotenciales de equipotenciales de ((rr))

||

0.

1.

b

c

d ghj kl

opq r

s

t

o

x

p : 0.50o : 0.40n : 0.30m : 0.20l : 0.10k : 0.00j : -0.10i : -0.20h : -0.30g 0 40

0.

0.3

b cd efghi j kl m np q rs t

p : 0.50o : 0.40n : 0.30m : 0.20l : 0.10k : 0.00j : -0.10i : -0.20h : -0.30g : 0 40

r : 0.70q : 0.60p : 0.50o : 0.40n : 0.30m : 0.20l : 0.10k : 0.00j : -0.10

CC22

CCRd

||CC22==VV22

|| VV

-3.

-2.

-1.

m

ng : -0.40f : -0.50e : -0.60d : -0.70c : -0.80b : -0.90a : -1.00min -1.00

-0.6

-0.3

x

g : -0.40f : -0.50e : -0.60d : -0.70c : -0.80b : -0.90a : -1.00min -1.00

j : 0.10i : -0.20h : -0.30g : -0.40f : -0.50e : -0.60d : -0.70c : -0.80b : -0.90a : -1 00

CC11R

ext z

ext

E

||CC11==VV11

z

1 2int

V V

d

E

1 2V V

d

FlexP

CAMPO E (efectos de borde)(4 1 2 2)

0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

-4.

F4.

MÓDULO E

0. 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1

-0.9t

z z

a : -1.00min -1.00

ext intzdd

0.5

1. zoom(4,-1,2,2)

9.00 8.50 8.00 7.50 7.00 6.506 00

2.

3.

zoom(0,-1.25*c,2.5*c,2.5

9.00 8.50 8.00 7.50 7.00 6.50

CCextE 0

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

0.

6.00 5.50 5.00 4.50 4.00 3.50 3.00 2.50 2.001 501

0.

1.

x

6.00 5.50 5.00 4.50 4.00 3.50 3.00 2.502.00

CC22

CCint 0 , cte.E E

ext

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

-0.5

1.50 1.00 0.50 0.00

-3.

-2.

-1. 1.50 1.00 0.50 0.00

CC11


® G

a®

Ga

104. 4.5 5. 5.5 6.

-1.

0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

-4.o

i ib ió d l ( ód l ) D id d fi i l d d t

8.z

Distribución del campo E (módulo) en los bordes del condensador

Densidad superficial de carga en conductore

0

0.6

0.9

o

6

7.

z 0

extE 0

0.3

x

5.

6.

a

aa bbCC22

0

0

ext

-0.3

0.

3.

4.

abbCC11

int 0 , cte.E E

-0.61.

2.

ccdd

cc

extE 0

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1

3.9 4.2 4.5 4.8 5.1 5.4 5.7 6.

-0.9

0. 2. 4. 6. 8. 10.

0.a

^ ^ ^ ^1 23 4

dd

9.00 4.50

0

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

x

aa bb

ccdd

8.50 8.00 7.50 7.00 6.50 6.005 50

4.00 3.50 3.00 2.50 2.00 1.50 1.00

0

0


® G

a®

Ga

11

ccdd 5.50 5.004 50

0.50 0.00

0

Sistema de dos conductores: condensador cilíndricoSistema de dos conductores: condensador cilíndricoSistema de dos conductores: condensador cilíndricoSistema de dos conductores: condensador cilíndricoSolución al problema del potencial

superficies conductoras C : =a y C : = bC2 C100

ZZ

superficies conductoras C1: =a y C2: = b

problema del potencial en a < < b (vacío)simetría cilíndrica (h >> ba)

00

(r)() hhsimetría cilíndrica (h b a)

2 1( ) 0dd

d d

r ( ) lnA B

(r) () hh

condiciones de contorno “Dirichlet” (p. e.)

solución en a bV

b1C1V

)a


C20

1

ln( ) ln

V

a b b

((rr)) 00

n1n2

)b

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10/1

1 Capacidad del condensador

carga eléctrica en C1 y C2a

Oee22

EE((rr))

QQ22 ln b aa b V QQ == QQQQ11

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

valor de la capacidad eléctrica:

Q V VC 2 lnh b a

ee11C1

C2

QQ22 1 2 1 lne e b aa b V QQ11 QQ22


® G

a®

Ga

12

1 21Q V VC 2 lnh b a

iii. camppyo eléctrico y conductoreslaplace.us.es/.../teoria/grupo1/t3/leccion_iii_2_10_11.pdf ·...

Documents