Advanced Numerical Methods 103

سازي معادالت غیر خطیخطیبرايتوانمیمواردبرخیدر

غییرتازاستفادهبامشخص،توزیعیخطیبه صورترابطه ايمتغیر،

درونموداستخراجهادادهبرايبرايراخطیبرازشنهایت،

.کردحسابجدیدهايداده

Advanced Numerical Methods 104

)مدل نمایی(سازي معادالت غیر خطی خطی

خطی سازي

Advanced Numerical Methods 105

)مدل توانی(سازي معادالت غیر خطی خطی

خطی سازي

Advanced Numerical Methods 106

سازي معادالت غیر خطیخطی

خطی سازي

Advanced Numerical Methods 107

سازي معادالت غیر خطیخطیدکنیبرازشزیرجدولداده هايبرتوانیمعادلهیکتوانیتبدیلازاستفادهبا.

داده هايرويبرخطیبرازشبا:یممی رسزیرخطیمعادلهبهشدهتبدیل

Advanced Numerical Methods 108

روش حداقل مربعات: ايبرازش چند جمله

مقدار واقعی همقدار خطا یا باقی ماند

مقدار تقریبی

Advanced Numerical Methods 109

ايبرازش چند جمله

.ودشاي محاسبه میسه معادله و سه مجهول، به این ترتیب مقادیر ضرایب چندجمله

.هم بسط دادmهاي مرتبه ايتوان به چندجملهاین روش را می

Standard Error of Estimate:

Advanced Numerical Methods 110

2اي درجه چندجمله: مثالکنیدبرازشزیرداده هايبر2درجهايجملهچندیک.

Advanced Numerical Methods 111

2اي درجه چندجمله: مثال

Advanced Numerical Methods 112

2اي درجه چندجمله: مثال

Advanced Numerical Methods 113

ايمیانیابی چندجملهInterpolating Polynomials

Advanced Numerical Methods 114

ايمیانیابی چند جملهشود؟اي استفاده میچرا از میان یابی چندجمله

چه نکاتی در تقریب کردن باید رعایت شود؟-

1چند جمله اي درجه 2چند جمله اي درجه 3چند جمله اي درجه

Advanced Numerical Methods 115

ايمیانیابی چند جملهدادهنقاطبین)فاصلهازخارجگاهیو(میانینقاطدرتابعمقدارتخمینهدف

.می باشدشدهمی باشدزیربه صورتجمله ايچندازاستفادهروش،معمول ترین:

مرتبهجمله ايچندیکفقطوفقطاگرچهnازگذراندنبرايn+1نقطهآنبیانشکلوآنبهرسیدنبرايمتنوعیریاضیراه هايامادارد،وجود.داردوجود

میان یابیروش هاي:نیوتونروشالگرانژروشروشSpline

Advanced Numerical Methods 116

نیوتون) Divided Difference(درونیابی چند جمله اي اختالف تقسیم شده

درون یابی خطی)Linear Interpolation(

شیب خط

Advanced Numerical Methods 117

مثالی از میان یابی خطیراابیمیان یابتدادر.بزنیدتخمینخطیمیان یابیازاستفادهبارا2طبیعیلگاریتمبرابرln2دقیقمقدار.دهیدانجام4و1نقاطبیندوممرحلهدرو6و1نقاطبین

.است0.6931472

Advanced Numerical Methods 118

)Quadratic Interpolation(میانیابی درجه دو

ند؟آیا این دو رابطه با هم متفاوت هست

Advanced Numerical Methods 119

مقایسه میانیابی درجه دو و خطی: مثال

Advanced Numerical Methods 120

)Quadratic Interpolation(میانیابی درجه دو

دهد؟دو جمله اول به تنهایی چه چیزي را نشان می

تقریب تفاضل محدودمشتق اول

تقریب تفاضل محدود مشتق دوم

Advanced Numerical Methods 121

]x,x,...,x,x[fb

]x,x,x[fb]x,x[fb

)x(fb)xx)...(xx)(xx(b

...)xx)(xx(b)xx(bb)x(f

011nnn

0122

011

00

1n10n

102010n

−

−

=

===

−−−++−−+−+=

)Newton’s Interpolating Polynomials(اي نیوتن فرم کلی چندجملهمرتبهجمله ايچندیکتشکیلبرايnبهn+1چندکلیشکل.می باشدنیازنقطه

:می باشدزیربه صورتجمله اي

First Divided Difference

Second Divided Difference

nth Divided Difference

Advanced Numerical Methods 122

)Newton’s Interpolating Polynomials(اي نیوتن فرم کلی چندجمله

[ ]ij

ijij xx

xfxfxxf

−

−=

)()(,

[ ] [ ] [ ]ik

ijjkijk xx

xxfxxfxxxf

−

−=

,,,,

[ ] [ ] [ ]0

02111011

,...,,,...,,,,...,,xx

xxxfxxxfxxxxfn

nnnnnn −

−= −−−

−

:چند جمله اي میانیابی اختالف محدود نیوتون

Advanced Numerical Methods 123

)Newton’s Interpolating Polynomials(اي نیوتن فرم کلی چندجمله

Finiteشکل جدولی Divided Difference

اي چه ویژگی بارزي دارد؟این شکل چندجملهاي نهایی تاثیر دارد؟آیا مسیر در چندجمله

دهیدنشان:[ ] [ ]jiij xxfxxf ,, =

[ ] [ ] [ ] [ ]ikjjikkjiijk xxxfxxxfxxxfxxxf ,,,,,,,, ===

Advanced Numerical Methods 124

مثال: اي نیوتنچندجملهاز.بزنیدتخمیننیوتونجمله ايچندمیان یابیازاستفادهبارا2طبیعیلگاریتم

3جهدرجمله ايچندیکآوردنبه دستبرايx3=5وx0=1،x1=4،x2=6نقاط.کنیداستفاده

Advanced Numerical Methods 125

ادامه مثال: اي نیوتنچندجمله

xi

1

4

6

F(xi)

5

0.0

1.386294

1.791759۱�۶۰۹۴۳۸

First Second Third

0.4620981

0.2027326

0.1823216

-0.05187311

-0.02041100

0.007865529

Advanced Numerical Methods 126

ادامه مثال: اي نیوتنچندجملهln2=0.6931472 (مقدار دقیق )

f1(2)=0.4620981

f2(2)=0.5658444

f3(2)=0.6287686درصد خطاي مطلق

%9,3برابر

درصد خطاي مطلق %18,4برابر

درصد خطاي مطلق %33,3برابر

Advanced Numerical Methods 127

اي نیوتنخطاي چندجمله

درقطعخطايمقدار.استتیلوربسطشبیهبسیارنیوتنايچندجملهکهشودمیمشاهده:شودمیتعریفزیرصورتبهتیلوربسط

:کنیمنیوتن، اعمال میnاي مرتبه مشابه این آنالوژي را براي چندجمله

اما در بسیاري از مسائل این . معلوم باشدfبراي استفاده از این رابطه الزم است که تابع حال چه باید کرد؟. تابع مشخص نیست

Advanced Numerical Methods 128

اي نیوتنخطاي چندجمله

پس در صورتی که نقطه کمکی . اي استام چندجمله) n+1(این جمله در واقع جمله n+1پذیر استدر دسترس باشد، محاسبه خطا امکان.

اختالفواقعدرnمرتبهنیوتنمیان یابیخطايکهگرفتنتیجهتوانمیاساساینبر.استnمرتبهوn+1مرتبهمیان یابیشدهبینیپیشمقداربین