دانشكده مهندسي عمران

آمار و احتمال براي مهندسي عمران

دكتر مهدي ضرغامي: مدرس

1391 ماه مهر

2

بسمه تعالي

درس آمار و احتمال مهندسي 91-92 اولدانشكده مهندسي عمران، نيمسال

دكتر مهدي ضرغامي: مدرس

zarghaami@gmail.com :نحوه تماس براي تعيين وقت مالقات و رفع اشكال

9 محل اتاق ساختمان شماره 3392549تلفن

محتوي درس )4صفحه (فصل اول

عدم قطعيت در مهندسي عمران(اهميت موضوع، كاربرد و ضرورت اين مطالعه : مقدمه(

ابزارهاي نمايش داده ها و بررسي آنها(ها تحليل مقدماتي داده(

رگرسيون تك متغيره(ن برآورد پارامترها و رگرسيو(

ل اكسكار با نرم افزار

)25صفحه (فصل دوم و كاربرد آنمفاهيم اساسي احتمال

)37صفحه ( فصل سوم

و خصوصيات آنهامتغيرهاي احتمالي

)49صفحه ( فصل چهارم گسسته و پيوسته(توابع توزيع احتمال(

)61صفحه ( فصل پنجم ها حدود اطمينان و آزمون فرضيه

ناپارامتريروشهاي

بررسي خوبي برازش

.در ارايه مفاهيم فوق روي حل مسايل مربوط به مهندسي عمران و محيط زيست خواهد بوددرس تاكيد عمده

به هر گونه مراجعه در آخر وباشد از فعاليت هاي زير ميناشي نمره تنها دريافت توجه شود كه :نحوه ارزيابي

ترتيب اثر داده نشده و حتي باعث كسر نمره ... ) معدل باالتر، اخراج ومشروطي، (ترم براي درخواست نمره .خواهد شد

3

نمره7 -ترم ميان .1 نمره8 -ترم پايان .2 ) نمره2 (. در آخر هر فصل دانشجو مي تواند تمرينات كتاب التين معرفي شده را حل نمايد-تمرين .3

در آن جزييات دو يا حداكثر سه نفري بوده و انجام اين پروژه به صورت گروه حداقل(تحقيق و موردپژوهي .4. خواهد بود آذراول جلسه نكته مهم در مورد اين پروژه تاريخ نهايي ارايه آن است كه . كالس معرفي خواهد شد

نمره2 -.)شود هيچ عنوان پروژه تحويل گرفته نميبعد از اين تاريخ به توجه نماييد كه غيبت بيش از سه . شركت در كالسسوال و جواب، ارايه مطلب در كالس،(مشاركت در كالس .5

نمره1 –.) باعث حذف درس خواهد شد) به هر دليل(جلسه

منابع درسي

:زير استمنبع جزوه درسي حاضر كه مبتني بر -الف1. Kottegoda, N.T. and R. Rosso, (2008). Applied Statistics for Civil and Environmental

Engineers, Wiley-Blackwell, Oxford, UK.

در صورت نياز دانشجو منابع كمكي-ب2. Montgomery D.C. and G.C. Runger, (1994). Applied statistics and probability for

engineers, John Wiley and Sons, New York. 3. McClave, J.T., T. Sinich, (2000), Statistics, Prentice Hall, New Jersey.

.1387آمار و احتماالت در مهندسي عمران، انتشارات دانشگاه تهران، . و خزائي ش. م.هرايي سز .4

).چاپ بيست و چهارم(، 1384، )ع(آمار و احتمال مقدماتي، دانشگاه امام رضا . بهبوديان، ج .5

، اي بر آمار و احتمال، دانشگاه فردوسي مشهد ، مقدمه)بزرگ نيا. اسدي و ا. ترجمه م. (م.راس، ش .61379.

.1385و عربزاده، ب، آمار و احتماالت كاربردي، انتشارات آزاده، . نيكوكار، م .7

:منابع بسيار متعدد ديگر در كتابخانه دانشگاه و اينترنت از جمله سايت زير .8

com.sciencedirect.www com.springerlink.www

com.civilica.www

.موفق باشيد

4

فصل اول

هاي احتمالي تحليل مقدماتي داده

مقدمهبراي مثال در . هايي كه در جهان اطراف ما وجود دارد ماهيتي متغير و تصادفي دارند طيف وسيعي از پديده

وقوع زمان فشار خاك، مقاومت فشاري بتن، مقاومت اتصاالت جوشكاري شده، ميزاني عمران ي مهندس حيطهها ممكن است با توجه به از جمله اين متغيرها هستند كه مقدار آن ترافيكحجم آلودگي نهرها، ميزان سيل،

گيري آشنا شوند كه در آن ه با اين نوع متغيرها مهندسان بايد با مفهوم نمونههدر مواج. تغيير كندمختلفشرايط ي الزم معموال به جاي آن كه تمام اعضاي جامعه را مورد مطالعه قرار دهيم بخشي از آن را كه با دقت و مطالعه

ايم ولي در مقابل، البته در اين صورت قسمتي از اطالعات را از دست داده. كنيم انتخاب شده است، بررسي مياين . ايم ها روبرو بوديم، از پيش رو برداشته تك اعضاي جامعه با آن كمشكالت ديگري را كه در بررسي ت

. گوييم بخش كوچك از جامعه آماري را نمونه ميطور قطع مشخص كرد اما توان ب شاهده را قبل از وقوع ميهاي قطعي، نتيجه آزمايش و يا م پديده در طور قطع معين كرد اين توان به ه را قبل از وقوع نميهاي زيادي وجود دارد كه نتيجه آزمايش و يا مشاهد پديده

نحوه پراكندگي و چينش متغيرهاي تصادفي چگونگي توزيع اين . نامند نوع متغيرها را متغيرهاي تصادفي ميگيري به دو نوع متغيرهاي كمي پيوسته و متغيرهاي متغيرهاي تصادفي قابل اندازه .كند نوع متغيرها را تعيين مي

را نيز ها يك متغير پيوسته است اگر بين دو مقدار اختياري ممكن هر مقدار بين آن. شوند ته تقسيم ميكمي گسس .بتواند اختيار كند مانند حجم آب جاري در واحد زمان از يك رودخانه يا مقدار بارش روزانه در يك شهر

تعداد : پذير است مانند ي و شمارشاين نوع متغير از نوع تعداد .متغير گسسته، متغيري است كه پيوسته نباشد .اند عبور كرده يك تقاطع به ازهايي كه اتومبيل

ها تحليل مقدماتي داده

شكل اصلي م. ها است اين دادهتحليل مقدماتيها، گيري و بدست آوردن تعدادي از داده گام بعدي پس از نمونهها به تنهايي يك ايده مشخص و از دادهني جدول طوالشوند اين است كه كه مهندسان عمران با آن روبرو مي

تواند مبناي هاي توصيفي نمي از اين رو براي انتقال سريع اطالعات، روش. دهد ديد كلي به ناظر نميدر هر حال ما ناگزير هستيم برخي از اطالعات را كنار بگذاريم برخي ديگر را . هاي جدي باشد گيري تصميم

ايم و نه آن كه از اين طريق نه وارد جزئيات شده. ه مورد مطالعه را معرفي كنيميك كاسه كنيم تا بتوانيم جامعها زياد باشد كار ها وقتي تعداد آن نگهداري و به خاطر سپردن داده.ايم هاي اصلي جامعه را ناديده گرفته ويژگي

5

الزم داريم در يك نگاه تري برساند ولي فعال استفاده از جدول ما را ميتواند به اطالعات عميق .آساني نيست براي به تصوير در آوردن و تجسم اي سودمند هاي هندسي وسيله نمودارها يا شاخص. حقايق زيادي را دريابيم

.باشد ن پديده ميآ

نمايش تصويريها و خواص در اگر يك عكس بهتر از هزاران كلمه باشد پس تكنيك تصويري بهترين روش براي فهميدن داده

هاي تصويري بينشي نمايش. باشد ميسيستم بصري نيز دركبهترين و قويترين سيستم . هاست دادهي مجموعههاي نمايش. و اساسي براي عملكردها باشد ي اوليه تواند پايه دهد كه مي از شكل و نوع پراكندگي به ما مي

اين بخش سبي تجمعي كه در اي، هيستوگرام، نمودار فراواني ن تصويري مهم عبارتند از نمودار خطي و نقطه .دهيم نيز توضيح ميرا اي و جعبه نمودار ساقه و برگ بهتري مانندهاي روشمتعاقبا. شوند معرفي مي

در اين نوع نمايش محور افقي مقدار داده . بندي كرد توان به كمك نمودار خطي دسته هاي گسسته را مي داده ها گستردگي افقي اين خط.دباش وقوع آن پديده ميي تعداد حالت هها نمايند دهد و ارتفاع خط را نشان مي

.دهد ها را به ما نشان مي ها ارتفاع نسبي آنها ديگر خاصيت اين داده داده

در مدت يك ، شمال غربي ايتاليا در ،كاالمازاستگاه اي را درگي ما ي رودخانه ي ساليانهها تعداد سيالب:1-1مثال روخانه به معني آن است اين سيل در توجه نماييد كه . نمايش داده شده است1-1دول ساله در ج34ي دوره

. به صورت دياگرام خطي نشان داده شده است1-1ها در شكل داده. بيشتر شود متر بر ثانيه 300كه دبي آب از .دهد ميبه ما نشان طوفان در سال 4ي مركزي نزديك به نمودار نوعي تقارن در دادها را با نقطه

6

تعداد سيلها در سال در رودخانه ماگرا ايتاليا1-1جدول

1- 1براي نمايش جدول خطي نمودار 1- 1شكل

اي دياگرام نقطه، دياگرام )25كمتر از (ها كم باشند دهد، اگر تعداد داده هاي پيوسته را نمايش مي نوعي ديگر از نمايش كه داده

ميلي متر 50 ×150هاي اومت نهايي قطعات يك نوع چوب سويدي را در اندازهاي مق داده15. باشد مياي نقطهبا توجه به . نمايش داده است2- 1جدول ها بصورت صعودي در از دادهاي خالصه. اندازه گيري شده است

ها داده زيادشدگي پخشاشد، اما ب مي40N/mm2ي وسطي نزديك كه نقطهدريافت توان مي2-1نمودار .سازد اين نقطه را مشكل ميتشخيص

N/mm2 پانزده داده مربوط به مقاومت قطعه چوب بر حسب 2-1جدول

7

2- 1 نمودار نقطه اي مربوط به جدول 2- 1نمودار

هيستوگرامهاي تصويري نمايش بلوكي يا باشد يكي از بهترين نمايشعدد 25حداقل شده مشاهده يها اگر تعداد داده

محور افقي . كنيم نها تقسيم ميها را نسبت به بزرگي آ مودار دادهاين نرسم براي . باشد همان هيستوگرام ميها بصورت مجزا داراي حدهاي باال دهد كه هر كدام از بلوك بندي شده را نشان مي هاي تقسيم هيستوگرام بلوكها به كمك يري دادهتغييرپذ. ها است ها متناسب با تعداد مشاهده در گروه مساحت بلوك. و پايين هستند

هايي كه مساحت بزرگتري دارند ديده هاي رايج در بلوك شود و داده ها نشان داده مي گستردگي افقي بلوكي اولين قدم پيدا كردن دامنه .شود نمودار نيز نشان داده مي اين ها از جمله تقارن در خواص داده. شود مي

.ن و كوچكترين اندازه استكه همان اختالف بزرگتري ها است تغييرات داده

اين .نشان داده شده است 3-1جدول مربوط به مقاومت قطعات چوبي در هاي داده:مقاومت چوب 2-1مثال ها طبيعتا با هم تفاوت زيادي در چون چوب،باشد مي ي تغييرات بسيار بزرگ با دامنه مشاهده165جدول شامل . مقاومت دارند

N/mm2، ب براي مقادير مقاومت فشاري چوب داده هاي مرت3-1جدول

2mm/N22.7000.022.70r :ي تغييرات برابر است با دامنه .يستوگرام، اول بايد تعداد براي كشيدن ه. شود ميبراي سهولت مساوي در نظر گرفته ) ها بلوك (ها عرض طبقه. را مشخص كنيم )ها يا همان بلوك(طبقه

تعداد طبقه،دقت زيادي در تعيين بايستي .شود هاي غير مساوي نيز استفاده مي سالبته براي بعضي از كارها كالncاگر . لحاظ شودncدي آمبهم بدستشود تا تصويري بسيار بزرگ گرفته شود موجب مي. nc به كمك فرمول

8

nnc و نه كمتر 5بايد از مقدار ناما اين عدد شود ميو سپس عدد صحيح نزديك به آن اعالم محاسبه شده :ل زير را پيشنهاد كرده است فرمو1)1926 (زرگاستو. شودبيشتر 25از مقدار

ncn 10log3.31

ها ي اصلي تعداد كالس به كمك رابطه)3-1جدول (ها هاي مقاومت چوب براي داده: مقاومت چوب3-1مثال874/12 nc= فرضمترمربع نيوتن بر ميلي5هاي مساوي كنيم و عرض مي رند15 را به عدداين .آيد بدست مي طور كه اشاره شد خط همان. مقادرير فراواني هر طبقه محاسبه شده و ارايه شده است4-1در جدول .شود مي

اطالعاتي كه از هيستوگرام . آيد بدست مي3-1نمودار گونه بدين و عمودي هيستوگرام نمايشگر فراواني است و كاهش N/mm240دياگرام داراي نوعي تقارن است و يك قله در كالس . مهم استد بسيار آي بدست مي

ها را مانند شكاف در دو انتها به ما اين نوع دياگرام عيوب احتمالي داده. يكنواخت در دو جهت وجود دارد .دهد نشان مي

هاي مقاومت فشاري چوب بندي داده طبقه4-1جدول

1 Sturges, H. A. (1926). “The choice of a class interval,” J. Am. Stat. Assoc., Vol. 21, pp. 65–66.

9

واحد بين دسته هاN/mm2 5 با فاصلههاي مقاومت چوب رام داده هيستوگ3- 1نمودار

دياگرام چندبر فراواني توان از وصـل كـردن اين نمودار را مي . باشد ها مي هاي مهم براي فهم پراكندگي داده ابزاردياگرام چندبر يكي از

توگرام را بـر تعـداد كـل داده اگر بعد قائم يك هسي . هاي هيستوگرام بدست آورد هاي بااليي مستطيل مركز ضلع آيد، در نتيجه بعد قائم هر كـالس نمايـشگر احتمـال تقسيم كنيم، در نتيجه هيستوگرام فراواني نسبي بدست مي

ت آمده دياگرام فراوانـي نمودار بدس . باشد، كه همان احتمال وقوع يك پديده است مي صفر و يك است كه بين .شود بر ناميده مينسبي چند

محاسبه شده و ديـاگرام چنـدبر هر طبقه ارزش وسط 3-1نمودار مطابق هيستوگرام : مقاومت چوب 4-1مثال

. كشيده شده است4-1نمودار فراواني نسبي در

نمودار چندبر فراواني نسبي4- 1نمودار

ها دهيابد و اگرتعداد دا ها بصورت تئوري كاهش مي يابد، عرض كالس همچنانكه تعداد مشاهدات افزايش مي 1منحني چگالي احتمالدر واقع همان كه شدهبربه منحني فراواني تبديل بيكران شود دياگرام فراواني نسبي چند

.ها وجود دارد نمودارهاي ديگري نيز براي نمايش داده.است

ها بيان عددي داده هايروش. يان شد ب1-1ي تصادفي در قسمت ها ي گرافيكي مفيدي براي استخراج اطالعات از متغيرها روش

ي نشان بصورتي مناسب تر و با دقت باالتررا ها ديگري نيز وجود دارد كه اطالعات زيادي در مورد دادهي نمونه بكار ها و نشان دادن ويژگيها اعداد براي خالصه كردن داده اي از جموعه مبخش اين در. دهند مي

1 Probability Density Function: PDF

10

چون خصوصيات منحني هيستوگرام و فراواني ميي مهها ي عددي همچنين ويژگيها شاخص اين .رود مي : وجود داردها شاخص اين سه نوع متفاوت از. كنند مينسبي را بيان

ي مركزيها شاخص- 1 ي پراكندگيها شاخص- 2 عدم تقارنگيري اندازهي ها شاخص- 3

ي مركزيها شاخص بيش از ساير اي در نقطهها ي دادهكه معموال فراوانر فراواني يا هيستوگرام توجه شد در رسم نمودارهاي چند ب

شاخصي را خواهيم مي حال. قسمت متمركز شده اندآن بيشتر در ها رسد كه داده مي در واقع به نظر .نقاط است عبارتند آنها مهمترين مركزي گفته و را ها شاخص اين رو اين از. را بيان كندها معرفي كنيم كه محل تمركز داده

.يانهم مد، ميانگين،: از

nxxxي ما به صورت ها فرض كنيد داده.ها در واقع ميانگين يعني معدل داده :ميانگين ,...,, اين باشد در 21 :شود ميصورت ميانگين حسابي به صورت زير تعريف

n

iix

nx

1

1 ميانگين اضافي دارند، همان مقدار هم عدد از ها دادهكل ميانگين در مر كز دادها قرار دارد، يعني همان مقدار كه

مقدار ميانگين . باشد ميبه عبارت ديگر ميانگين مركز ثقل منحني چند بر فراواني نسبي . از ميانگين كم دارندباال يا برخي اوقات ممكن است در مقدار. يي نيز داردها ميانگين نمونه عيب. شود مينشان داده μ جامعه با . ناميده ميشود1كه داده پرتثبت شده باشد ي بسيار بزرگ يا بسيار كوچك ، اعداد غير منتظرهها دهپايين دا

مهندسان بايد در هر مشاهده . ابزارها باشد يا نقصگيري اندازهاشي از خطاهاي هاي پرت ممكن است ن داده اينبنابر. شود مي برداري ممكن مليات نمونهي دقيق در عها كار با بررسي اين كهدادهاي پرت را مشخص كنند

.اصالح يا توجيه نمودرا ي پرت را در نظر گرفت و آنها ها در هنگام محاسبه ميانگين بايد وجود داده

) مقدار صفر( يك داده پرت 3-1ي مربوط به مقاومت چوب در جدول ها در داده: مقاومت چوب5-1مثال داده پرت به اين است كه با حذف كردن N/mm2 09/39 داده برابر با 165وجود دارد ميانگين حسابي

N/mm2 33/39 ها را دسته بندي كرده و ميانگين را بعد تر ميانگين، داده براي محاسبه دقيقاغلب .شود ميتبديل .آوريم مياز اعداد مشاهده شده از دو انتها بدست % 5از ناديده گرفتن

1 Outlier data

11

:شود مي بصورت زير تعريف ست كهها تقسيم بر مجموع معكوس دادهها ه برابر با تعداد داد:رمونيكها ميانگين

n

i i

h

x

nx

1

1

بر ثانيه باشد آنگاه ميانگين متر16/0 ،24/0 ،2/0ي محاسبه شده براي متحركي برابر ها اگر سرعت:6-1مثال :رمونيك نمونه برابر است باها

19.0

16.01

24.01

2.01

3

hx

و رابطه در ميانگين يابي مقاديري كه سرعت تغييرات را نشان ميدهد كاربرد دارد روش اين :ميانگين هندسي :برابر است باآن

n

i

nig xx1

1

پس از مرتب . اره وضيعت جامعه از آن استفاده كردتوان درب ميي مركزي است كه ها يكي از شاخص :ميانهاگر تعداد .ناميم قبل از آن برابر است، ميانه ميفراواني بعد از آن با فراواني را كه عددي ها دادهنزولي كردن نكته اين ميانه فقط به .اي كه در وسط قرار گرفته اند برابر ميانه است زوج باشد، نصف مجموع دو داده ها داده

مربوط ها ي قبل از آن باشد و به بزرگي يا كوچكي دادهها برابر تعداد دادهآن ي بعداز ها توجه دارد كه تعداد داده .دهد ميت نشان نها حساسي نيست به عبارت ديگر، ميانه نسبت به اندازه داده

ته و مقادير مرتب عدد آزمايش صورت گرف40تعدادمقاومت يك نمونه بتن بررسي براي : آزمون بتن9-1مثال

است كه ميانگين دو عدد ميانيN/mm21/60 برابرها دادهاين ميانه . ارايه شده است5- 1جدول شده آنها در

N/mm20/60و N/mm22/60 باشد مي.

هاي بتني مقادير مقاومت فشاري و چگالي نمونه5-1جدول

12

ها را با هم فراواني دادهكه ه مد فقط كافي است براي محاسب. است كه بيشترين فراواني را دارداي داده: مد

مد ممكن .آيد م يا چند بر فراواني بدست مي براي راحتي كار، مقدار مد اغلب از نمودار هيستوگرا.مقايسه كنيم ها قبيل جامعه اين . است 5 و 1 داراي دو مد 5،5،7،5،2،1،4،3،2،1،1ي ها است منحصر به فرد نباشد مثال داده

، زيرا شاخص معتبري نيستها قبيل جامعه اين مد در. جامعه ممكن است چند مدي نيز باشد. مدي گويندرا دو تر كنيم، واقعيت است كه جامعه يك دست نيست و لذا اگر مطالعات را دقيق اين وجود چند مد نشان دهنده . بخش يك دست تفكيك كرد شايد بتوانيم جامعه را به دو

13

N/mm2 مد برابر است با5- 1ي مربوط به مقاومت فشاري بتن جدول ها براي داده:ن آزمون بت7-1مثال 5/60.

ي پراكندگيها شاخصگيري پخش شدگي آيد اندازه با پيدا كردن عدد مركزي به دست ميها گيري مركز داده در حاليكه اندازه

پراكندگي، پيداكردن تفاوت بين گيري اندازهاه ترين ر ساده.كند مي در رويداد مورد نظر را بيان ها پراكندگي داده .بزرگترين و كوچكترين عدد است

ي مقاومت كششي چوب كه در ها كه قبال گفته شد دامنه تغييرات داده همانطوري: مقاومت چوب8-1مثال

.N/mm222/70=00/0-22/70 است با داده شده بود برابر1-3جدول

N/mm2 6/19 داده شده دامنه تغييرات برابر1-5 اري بتن كه در جدولبراي مقاومت فش: تست بتن9-1مثال . باشد مي kg/m3277 نيزدامنه تغييرات چگالي بتن. خواهد بود

روش آن است كه بغير از دو اين شوند اما كاستي مي محاسبهبه راحتي است كه اين ي فوقها گيري اندازهمزيت اگر ميانگين . در نظر گرفته نشده استها شود تعداد زيادي از داده ميرفته كه در نظر گ)حداقل و حداكثر (عدد

جا صادق نخواهد بود اين د بود در انتقادي كه به روش قبلي وارمحاسبه شود از ميانگين ها داده) تفاضل(انحراف : عبارت است از و نشان ميدهيمdميانگين انحراف مطلق را با . شامل همه مشاهدات استگيري اندازه اين زيرا

n

i

i

n

xxd

1

ميانگين انحراف متر باشد سانتي49 ،53 ،42 ،56 ،50 سال 5اگر بارش ساليانه براي : بارش ساليانه 10-1مثال .خواهد بودمتر سانتي 6/3، برابر 50ظ ميانگين مطلق با لحا

دالئل محكم اما. باشد مياز لحاظ عملي نيز مفيد پراكندگي به راحتي قابل درك بوده و گيري اندازه روش اين

جذر ميانگين مجذور اختالف انحراف معيار عبارت است از. وجود دارد انحراف معيارترجيحتئوريك مبني بر : شود مي پراكندگي است و به صورت زير بيان گيري اندازهترين روش روش اصلي اين .اعداد با ميانگين

n

ii xx

ns

1

21 :با بسط و خالصه كردن عبارت زير راديكال داريم

14

n

ii xx

ns

1

221

انحراف معيار .پذيرد ميي بسيار كوچك و بسيار بزرگ بيشتر تاثير ها روش از اندازه اين خالف انحراف مطلقبر :آيد به دست مي1n در معادله باال باnتعويضشود كه با مينشان داده Ŝ با نمونه

n

ii xx

ns

1

2

1

1ˆ

انحراف nع مجمودانيم مي زيرا را ميتوان با مفهوم درجه آزادي توجيه كردn تغيير در اين xxi برابر داده انتخاب شود داده باقيمانده با استفاده از 1n اگر ها صرف نظر از نوع چينش داده اينبنابر. صفر است

:شود ميفرمول زير شناخته

1

1

n

iin xxxx

دي را در تعريف انحراف معيار از كه ما يك درجه از آزاكند مي اصل دنباله روي اين ازn تغيير در اين بنابري ها ، براي تحليل سيستمشناس انگليسي، آمارمفهوم درجه آزادي اولين بار توسط فيشر اين .دهيم ميست د

.ديناميكي معرفي شد

انحراف معيار بصورت زير محاسبه 10-1ي بارش ساليانه مثال ها با توجه به داده: بارش ساليانه11-1مثال :ميشود

cms 69.4504950535042505650505

1 22222

مقدار 3- 1جدول هاي و با استفاده از دادهبا توجه به معادله انحراف معيار نمونه : مقاومت چوب 12-1مثال

. استN/mm2 92/9ربرابانحراف معيار براي مقاومت قطعات چوبي برابر

تقريبا 5-1با توجه به معادله انحراف معيار نمونه براي چگالي و مقاومت فشاري بتن در جدول : 13-1مثال . خواهد بودN/mm2 02/5 وKg/m3 15 برابر

را آيد كه توصيف بهتري از پراكندگي انحراف معيار بر ميانگين، يك عدد بدون واحد به دست ميعدد با تقسيم

:باشد داده و رابطه آن به شكل زير مي نشان CVضريب را با اين .شود ميات ناميده و ضريب تغيير دهد ميرايه ا

x

sCV

با به توان دو .ي مختلف مفيد استها و براي مقايسه مجموعه دادهشده بصورت درصد بيان عدد معموال اينواريانس مانند ميانگين .شود مي نشان داده 2σا واريانس جامعه ب. آيد دست مي، واريانس برساندن انحراف معيار

15

گير تابع مطلوبيت يك تصميم2قطعيت در شرايط عدم .بسيار مهم است) خطر( 1ميم گيري تحت ريسكدر تص)(هم به ميزان انتظاري امتياز يك گزينه، jCE ،و هم به واريانس آن )var( jC بسته استوابه صورت زير:

).var(* xxx j γ هر چه مقدار اين پارامتر بيـشتر باشـد نـشانگر . رساند كه ميزان اهميت واريانس را مي است يك پارامتر مثبتي

خواهد بود اگـر بـه ازاي هـر گيري گزينه غالب در تصميم jگزينه .گير نسبت به ريسك است تصميم حساسيتkjداشته باشيمk گزينه ديگر xx * كهjk وn ها است تعداد گزينه.

عدم تقارنگيري اندازه

عدم تقارن يك 3ضريب چولگي. كل تقارن آن استويژگي مهم ديگر هيستوگرام و نمودار فراواني نسبي ش :شود مي و بصورت زير تعريف كند مي گيري اندازهمجموعه را حول ميانگين آن

3

1

3

ns

xxg

n

ii

اگـر هيـستوگرام داراي چـولگي مثبـت . وجود مكعب انحراف معيار در مخرج، يك عدد بدون واحد را ميدهـد بيشتر از ،ي كمتر از ميانگين ها است كه فراواني داده اين هد بود و معني آن باشد دم نمودار در سمت راست خوا

بـراي يـك نمـودار بـا . ي طبيعي چنـين خاصـيتي دارنـد ها رويدادبسياري از . رگتر از ميانگين است ي بز ها دادهن چـولگي كه يك هيستوگرام متقـار كدهمچنين بايد توجه . مد > ميانه >ميانگين :چولگي مثبت همواره داريم

.صفر دارد

ي مقاومت چوب و مقاومت فشاريها ضريب چولگي داده:ي مقاومت چوب و بتنها مقايسه داده14-1مثال اعداد نشان اين .است03/0و ) بعد از حذف مقدار صفر 53/0يا ( 15/0 به ترتيب برابر مثالهاي قبلي بتن در

صهاي پراكندگي و مركزي خ بقيه شا.باشد ميورد دوم دهنده چولگي كم در مورد اول و پراكندگي متقارن در م . به صورت يكجا ارايه شده است6-1در جدول كلي

خالصه آماره هاي مورد بررسي براي مقاومت چوب و بتن6-1جدول

1 Risk 2 Uncertainty 3 Skewness

16

1اي نمودار جعبهمقادير كه به كمك باشد مياي سودمند است نمودار جعبهها دادهپراكندگي كه براي نمايش ميمهنمودار قادير شود و جعبه بين م روي مستطيل افقي يا عمودي نمايش داده مي (Q1, Q2, Q3)ي اول تا سوم ها چارك

و كنيم مي را به ترتيب صعودي مرتب ها ابتدا داده. گيرد مي قرار آن در دو انتهاي كناري ها دادهبيشينه و كمينه صورت اين به 2چاركها براي بدست آوردنسپس . ريمآو را به دست مي)مينيمم(كمينه و )يممماكس(بيشينه درصد 50 كه اي دادهميانه يعني و بعد ،)Q1( درصد دادها از آن كمتر باشد 25 كه اي ابتدا داده: كنيم ميعمل را به دست (Q3) از آن كوچكتر باشدها درصد داده75اي كه در آخر داده و(Q2) كمتر باشد ازآنها داده متناسب است با اي در مقايسه دو يا چند نمونه دارد و عرض نمودار جعبه مي نمودار نقش مهاين .آوريم مي

.هاي مختلف نمايش داده شده است محل داده5-1در نمودار .اندازه نمونه

براي يك آزمايشاي نحوه رسم نمودار جعبه5- 1نمودار

به طور كلي . كنند ميهاي مشابه فراهم ابسته يا ويژگيهاي و گيري اندازهنمودارها مفاهيم با ارزشي را براي

هاي كه شامل دامنه تغييرات و تعداد زيادي از ويژگيباشد ميهايي مفيد اي براي توصيف ويژگي نمودار جعبه .در مثال زير يك نمونه كاربردي آن ارايه شده است. يك هيستوگرام است

1 Box Whisker diagram 2 Quartile

17

كه ) مثالهاي قبلي(چوب و بتن اي براي مقايسه مقاومت ر جعبهنمودا: مقايسه مقاومت چوب و بتن15-1مثال مقاومت كه دهد مينمودار نشان اين .ارايه شده است 6- 1 در شكلدر مهندسي عمران كاربرد زيادي دارد

اين با. تا حدي متقارن هستندها در مورد مقاومت چوب نيز داده. به طور متقارن توزيع شده استفشاري بتن ترين مقدار به جعبه رد زيرا طول خط اتصال دهنده بزرگالمت مشخصي از چولگي مثبت وجود داوجود ع .تر از اتصال دهنده كمترين مقدار به جعبه است طوالني

مقاومت چوب و مقاومت فشاري بتنبررسي براي اي نمودار جعبه6- 1 نمودار

همبستگي و نمودارهاي پراكنشدر عمل الزم . دماتي داده ها براي تنها يك دسته داده مورد بررسي قرار گرفتدر قسمت هاي قبلي تحليل مق

رابطه ويژه براي بيان ابزارهاييكي از . است كه ارتباط چند دسته داده هم با يكديگر مورد بررسي قرار گيردمعموال در . ست كه در علم آمار كاربرد زيادي دارد استفاده از مفهوم همبستگي ا دادهدو يا چند دسته ميان

ي عددي ها سپس به وسيله ي محاسبات و تحليلاستفاده شده گرافيكي ابزارهايبررسي مسائل آماري ابتدا جفت مشاهده به صورت n اگر در يك مسئله ي آماري، اينبنابر. شود مي برآورد ها داده اين خاصيت مربوط به

يها زوج ii yx جوييم و ابتدا از نمودار پراكنش بهره ميها باشد براي بيان ميزان وابستگي دادهوجود داشته، ,اي از نقاط مجموعه 1نمودار پراكنش .كنيم مي ميزان وابستگي را توسط محاسبات آماري بيان اين در مرحله بعد

در جامعه دو متغيري به دست گيري اندازهي مربوط به ها در صفحه محورهاي مختصات است كه از رسم داده .تواند اطالعات مفيدي درباره ي جامعه در اختيار ما بگذارد مي نمودار اين مطالعه. آمده است

1 Scatter diagram

18

مثالهاي اطالعات نمودار پراكنش مربوط به چگالي و مقاومت فشاري بتن با توجه به : آزمون بتن16-1مثال شود كه بين چگالي و مقاومت فشاري بتن ميدار مشخص نمو اين با دقت در. آمده است7- 1 درشكل قبلي

.وابستگي ظاهري قابل توجهي وجود ندارد

نمودار پراكنش چگالي و مقاومت فشاري بتن 7- 1نمودار

.به تعريف كوواريانس داريم نيازپردازيم كه ابتدا مي همبستگي اين بررسي عدديحال به

كوواريانس و ضريب همبستگي

و به صورت زير كند ميبيان به صورت عددي نمونه معياري است كه ميزان وابستگي متغيرها را كوواريانس :شود ميتعريف

n

iiiyx yyxx

ns

1, ))((

1 اگر مقدار . باشند مقدار كوواريانس نيز بيشتر خواهد شدگي مستقيم داشتههرچه متغيرها نسبت به هم وابست

تقسيم كنيم شاخص ديگري براي معرفي ميزان ها راف معيار آنكوواريانس دو متغير را بر حاصل ضرب انح : شود و بدون واحد است آيد كه ضريب همبستگي ناميده مي دو متغير به دست مي اين وابستگي خطي

yx

yxyx ss

sr ,

,

:ي زير را براي ضريب همبستگي بيان و اثبات كردها توان خاصيت ميبا توجه به روابط باال

19

. قرار دارد+ 1 و -1ب همبستگي همواره بين ضري- 1 اگر مقادير- 2 yx, خطي با شيب زاويه مثبت باشد، ضريب همبستگي بزرگ تر از صفر استنزديك به . اگر مقادير- 3 yx, خطي با شيب زاويه منفي باشد، ضريب همبستگي كوچكتر از صفر استنزديك به .

. يابد و بالعكس مي نيز افزايش y، عموما مقادير x اگر ضريب همبستگي مثبت باشد با افزايش - 4 . يابد و بالعكس مي كاهش y، عموما مقادير x اگر ضريب همبستگي منفي باشد با افزايش - 5 . شود مي با خطاي بيشتري انجام y هرچه ضريب همبستگي به صفر نزديكتر باشد تعيين - 6 .شود مي با خطاي كمتري انجام y نزديك تر باشد تعيين -1 يا 1هرچه ضريب همبستگي به - 7

خط رگرسيوندر . به آن وابسته استيك متغير برحسب متغيري كهو برآورد بيني خط رگرسيون ابزاري است براي پيش

iiخواهيم خطي به معادله رگرسيون خطي و دومتغيره مي xy 10 ز بين نقاط موجود در نمودار پراكنش ا براي خواهيم مي خط اين به عبارت ديگر از. باشد" نزديكتر"به همه نقاط در مجموع كه ميبگذرانيم به قس

110 از مقدار خواهيم مي 1yي جديد استفاده كنيم، مثال به جاي ها iyپيش بيني x كه از روي خط 10 خط نيازمند دو پارامتر ثابت خط اين براي رسم. حاصل شده استفاده كنيمرگرسيون ,هستيم كه معادله

: به صورت زير استآنهامحاسبه

xx

yx

x

yyx ss

s

s

sr ,

,1

xy 10 نيـز وجـود دارد كـه ممكـن اسـت توابع غيرخطـي اع ديگري از بر رگرسيون خطي انو بايد توجه داشت عالوه

نزديك تر باشد نظير رگرسيون درجه دو، رگرسـيون لگـاريتمي، رگرسـيون نمـايي، ها نمودارهاي پراكنش به آن ناسبي براي پيداكردن منحني مناسـب ارايـه ابزار م )Excel( اكسل افزار نرم .رگرسيون توان و رگرسيون معكوس

Add tread قسمتهاي منحني پراكنش رسم شده در اكسل كليك راست كرده و كار روي داده اين ايبر. نمايد مي

line توان وارد نمود ميافزار عبارت رگرسيون را براي اطالع بيشتر در قسمت راهنماي نرم. نماييم ميرا انتخاب.

خطـي خـوبي بـين چگـالي و كـه رابطـه شد مشخص 7-1 با توجه به نمودار پراكنش : آزمون بتن 17-1مثال در نظر گرفتن مفهوم ضريب همبستگي توضـيح داد توان با مي واقعيت را اين .مقاومت فشاري بتن وجود ندارد

,44.0 برابر است با ها داده اين چون ضريب هم بستگي ,

yx

yxyx ss

sr كه هرچند مثبت است ولي از عدد يـك

.فاصله دارد و به صفر نزديكتر است

20

گيرنـد بررسـي مـي مثال وابستگي ميان متغيرهـايي كـه كيفيـت آب را انـدازه اين در : كيفيت آب 18-1ثال مدر انگلستان اسـت كـه بـه طـور مرتـب Blackwater ميزان آلودگي رودخانه مطالعهموضوع آزمايش . شوند مي

و ميزان اكسيژن الزم بـراي )DO(ميزان اكسيژن حل شده در آب . شود مي نمونه برداري آنبراي كنترل آلودگي مقداراكسيژن DO . شده اندگيري اندازه مطالعه اين متغيرهايي هستند كه در)BOD(ي زيست شيميايي ها فعاليت

و هرچـه بيـشتر باشـد نـشانگر الزم اسـت ها محلول در آب است كه براي تنفس موجودات هوازي نظير ماهي ي هـوازي ها ن مورد نياز براي سوخت و ساز ميكروارگانيسم مشخص كننده اكسيژ BOD .كيفيت بهتر آب است

بـاال بـودن اينبنـابر . باشـد مي به درون رودخانه ها ي آلوده نظير فاضالبها ورود پسĤباست، كه معموال نتيجه BOD ستگاه مـستقر در طـول رودخانـه ايـ 38ي مربوط به نمونـه بـرداري از ها داده. استزياد نشانگر آلودگي

رود مـي همانطور كه انتظـار . رسم شده است 8-1در شكل نمودار پراكنش دو سنجه كيفيت آب شده و استفاده ارتبـاط BOD با مقادير پايين DOنمودار پراكنش، نشان دهنده هم بستگي از نوع منفي است يعني مقادير باالي

: داريمده و مقدار ضريب همبستگي محاسبه شبا توجه به روابط قبلي . مستقيم دارد و بالعكس

21

90.0,,

yx

yxyx ss

sr

جـا اين موثرند كه در DOي نظير دماي هوا و شدت جريان آب نيز در تعيين مقدار ديگر بايد توجه داشت عوامل . بجاي دومتغيره استفاده كرد1ايستي از رگرسيون چندمتغيرهمطرح نشده و در صورت نياز به مدلسازي آنها ب

Blackwater در رودخانه BOD نمودار پراكنش بين اكسيژن محلول و 8- 1نمودار

در رودخانه هان كشور كره جنوبي نمايش داده شده اسـت كـه نـشانگر افـزايش BOD تغييرات 9-1در نمودار

.الودگي در طول رودخانه است

)2007اداره محيط زيست كره، (تغييرات آلودگي آب از باالدست به پايين دست رودخانه هان كره 8- 1نمودار

خالصه فصل اول

اي، مانند نمودارهاي ميلهها ي آماري ارائه شد كه شامل بيان تصويري دادهها فصل تحليل مقدماتي داده اين در مانند محاسبه ها و نمودار پراكنش و بيان محاسباتي داده، چند بر فراواني نسبي، فراواني تجمعي هيستوگرام

1 Multivariate regression

22

فصل اساس و اين بايد توجه داشت كه مفاهيم. باشد ميي پراكندگي و تقارن ها ي مركزي و شاخصها شاخص .پايه فصول بعدي است

ونه آجي به عنوان نم( ميانگين، انحراف معيار، ضريب تغييرات را براي ميزان جريان يك رودخانه :1-1تمرين

اي را براي نمودار هيستوگرام و نمودار جعبه .محاسبه نماييد) چاي در محل ايستگاه ونيار در نزديكي شهر تبريزتوانيد از گزارشهاي فني شركت براي دريافت اطالعات دبي ماهانه رودخانه مي. دبي اين رودخانه ترسيم نماييد

.تفاده نماييداس) از طريق اينترنت(اي استان مربوطه آب منطقه

نمايش داده 2002 تا 1954 فراواني شكست سد در كشور چين را در بين سالهاي 9- 1در شكل : 2-1تمرين 1از اين نمودار چه مفاهيمي استنباط ميشود؟. شده است

فراز و فرود شكست سد در كشور چين9- 1نمودار

روز 30 يك رودخانه در كشور انگلستان طي مقدار كلرايد و فسفات آب يك ايستگاه مشخص در :3-1تمرين

نمودار پراكنش را براي . استارايه شده گيري شده و بر حسب ميلي گرم در ليتر به صورت زير متوالي اندازه آيا همبستگي مستقيمي بين اين دو متغير وجود .اين دو متغير رسم كرده و ضريب همبستگي را محاسبه نماييد

دارد؟

1 He, X.Y, Wang, Z.Y., Huang, J.C., (2008), Temporal and spatial distribution of dam failure events in China, International Journal of Sediment Research, 23(4), 398-405.

23

24

مفصل دو

مفاهيم اساسي احتمال و كاربرد آن

فضاي نمونه مفهوم رياضي رويداد تصادفي و برخي از مفاهيم وابسته به آن مانند فضاي نمونه ،قبل از معرفي تئوري احتمال يك سري داده ،كه بعد از آزمايشاست اينبردر رويداد تصادفي فرض .كنيم ميو فضاي رويداد را معرفي

گيري اندازهفرض كنيد .جود نداردو دادهيك به خاصي هيچ تمايلود ينآ مي به دست تحت شرايط يكسان اين چون يك داده منحصر به فرد. داده شده است مورد نظر باشد 3-1ي آن در جدول ها مقاومت بتن كه داده

نظر گرفته شود كه به از تمام نتايج ممكن در اي تواند از پيش تعيين شود ابتدا بهتر است مجموعه ميآزمايش نواژه فضا براي تعريف مجموعه تمام عناصري كه نتيجه يك آزمايش . گويند ميآن فضاي نمونه يا جامعه

Ω با 1فضاي نمونه .تر از نتايج يك آزمايش فيزيكي است واژه بسيار پر مفهوم اين اما. شود ميهستند، استفاده به احتماليي ها ي ممكن كه در يك آزمايش با دادهها ام رويدادشود و عبارت است از مجموعه تم مينشان داده

.د اين ميدست

ظرفيت . كند مي تغيير c از صفر تا S،ذخيره شده 1- 2شكل مقدار تراز آبي كه در سد : ظرفيت سد1-2مثال شده آزمايش بصورت حجم ذخيره اين فضاي نمونه .پذيرد ميي ورودي و خروجي تاثير ها فعال سد از جريان

:0شود كه بصورت مجموعه ي مي گيري اندازهآب در يك زمان خاص cSs شود مي تعريف .

ذخيره آب در يك سد چندمنظوره1-2شكل

توان از يك فضاي مي در مثال باال بر يك مجموعه پيوسته با تعداد نامحدودي از نقاط داللت دارد Ωاگرچه نحوه ي تعريف فضاي نمونه گسسته بستگي به قضاوت . حدود استفاده كرد حالت منيز با تعدادنمونه گسسته

. شود وابسته است مي كه از مدل اي مهندسين دارد و به نوع مساله و استفاده 1 Sample space

25

. بخشي از فضاي نمونه يك آزمايش است) پيشامد، واقعه، رخداد(يك رويداد . كنيم را تعريف مي1حال رويداديا ممكن است از دو يا تعداد بيشتري نمونه تشكيل ) رويداد ساده(شامل يك نقطه تنها باشد يك رويداد ميتواند

. استΩ يك زير مجموعه از فضاي نمونه Aيك رويداد فضاي .باشد) رويداد مركب(شده

A فضاي . بيان كردkωو ... و 2ω و1ω حالت kرا با تركيبي از 1- 2مثال اگر ظرفيت سد : ظرفيت سد2-2مثال

بسته به اينكه سطح آب در كدام بخش از بيان ميشود كه در آنΩ≡ Ai, i=1,2,3,…,kنمونه بوسيله مجموعه :)1(//به صورت مجموعه رويداد ارتفاع سد بيافتد kicSkciSAi شود مي تعريف .

1-2 رويدادهاي مختلف براي مثال 2- 2نمودار

با . نشان داده شده اند 5- 2الي 3- 2ي ها ي ديگري از فضاي نمونه و رويداد در شكلها مثال :1-2 تمرين

.مطالعه متن جانبي آنها فضاي نمونه و فضاي رويداد را توضيح دهيد

مساله تحليل تير دو سر گيردار4- 2شكل

1 event

26

ستگاه پمپاژ آباي احتمال خرابي مساله 5- 2شكل

مساله مناطق جنگلي و پردازش تصاوير سنجش از راد دور6- 2شكل

. در چه مسايل ديگر مهندسي عمران مي توانيد فضاي نمونه و رويداد را تعريف نماييد:2-2تمرين

رويداد تهي، اشتراك و اجتماع

دو به دو A2 و A1 دو رويداد اوال. به هم مرتبط شوند توانند ميي يك فضاي نمونه ها رويدادبه طرق گوناگون است در A1 معني كه هيچ يك از نقاطي كه در اين به. ناسازگارند اگر رخ دادن يكي مانع رخ دادن ديگري شود

A2دو رويداد به عبارت ديگر . و بر عكس نيستA1 و A2 تهي باشد ها كه اشتراك آن1 ناسازگارندميهنگا :يعني

A1∩A2=

1 Mutually exclusive

27

باشند كه مجموعه اشـتراك آن دو را ميكه ناسازگار نيستند شامل تعدادي نقاط مشترك A2 و A1 دو رويداد ثانيا21 وشود مينشان داده A1∩A2 مجموعه به وسيله نماد اين .دهد ميتشكيل AA .اجتماع دو رويـداد ثالثا

A1 و A2 21 رويـداد بـا عالمـت اين .داده باشد دوحداقل يكي از كه كند ميدادي را بيان روي AA نـشان داده .و اشتراك و اجتماع سه رابطه مهم بين رويدادها ميباشند رويداد . شود مي

A متمم مجموعه cAمجموعه ،)ر استمخالف صف( رويدادي باشد كه احتمال وقوع آن وجود داردAاگر . استΩاي از نيز زيرمجموعهcA اين بنابر. آن هم احتمال وقوع داردشود كه ناميده مي

نمودار ون و فضاي رويداد

اشتراك و ، اجتماع،د متمممانن ها ها و اعمال روي مجموعه بيان بسيار مفيد بصري از مجموعه1ي وننمودارها اين ها از نوع مجموعه هستند ميتوان از كه فضاي نمونه و رويداد اين بخاطر. ديگر تركيبات را نشان ميدهند

تعدادي از نمودارهاي ون را نشان 7- 2شكل . ها استفاده كرد روش نمايش براي نشان دادن روابط بين آن .دهد مي

ريف رابطه روابط رياضي بين رويدادها نمودار ون براي تع7- 2شكل

اصول موضوعه احتمال

1 Venn diagram

28

كار در اين انجام. هستيم رياضي ، همانند بسياري ديگر از مفاهيم ناگزير از مدل سازي در بررسي احتمال رويداد :گيرد ميقالب سه مرحله زير صورت

مناسب نمونه تعيين فضاي - مورد بررسيرويداد مشخص كردن - مربوطهاي احتمال رويداد در فضاي نمونهيريگ اندازه -

بـدين منظـور نخـست بـه تعريـف . مناسب است نمونه نخستين مرحله تعيين فضاي ،شود ميچنان كه مشاهده :پردازيم روابط رياضي مورد استفاده مي

- A Ω cA Ω - 1A Ω, 2A Ω 21 AA Ω

- Ω c Ω

- 1A Ω, 2A Ω 21 AA Ω

:پذيري دارد شركتها خاصيت اجتماع واشتراك رويداد CBACBA

CBACBA

:كنند يعني مينيز پيروي ) فاكتورگيري(پذيري هم چنين از قانون توزيع CABACBA

CABACBA

:كنيم ميحجم آب ذخيره شده در يك سد در پايان فصل خشك را توسط فضاي پيوسته زير تعريف 3-2مثال c< ss 0:

:داريمجديد A,Bبري دو رويداد 2/c< scsB 4/: 3/c< ssA 0:

BABA اينبنابر : برابر است با,3/c< scsBA 4/: 2/c< ssBA 0:

: نشان ميدهيمCرويداد ديگري از فضاي رويداد را در نظر بگيريد كه با 5/3c< scsC 5/:

:دانيم كه مي ها از جبر مجموعه2/c< scs 5/: CBCACBA

همچنين براي رويدادي كه بصورت CBA تعريف ميشود ميتوان نوشت: 5/3c< scs 5/: CBCACBA

به عنـوان .اند چندين متغير جمع آوري شده مشاهده با د كه نيي سر وكار دار ها بسياري از مسائل مهندسي با داده

شـدت ،، مقاومـت فـشاري بـتن و چگـالي آن )1فـصل ( BODوDO مثال ارزيابي آلودگي آب توسط دو متغير ي گذرنده از يك بزرگراه در هر سـاعت و متوسـط ها تعداد اتومبيل ، آب باران گيري اندازهومدت بارندگي براي

فـضاي ايـن . دو بعدي نياز داريـم اي ي باال به فضاي نمونه ها اي توصيف مثال بر. توان نام برد ميرا سرعت آنها،

29

مانند تعداد اتومبيلهـا (گسسته -گسسته )مدت بارندگي و مانند شدت ( پيوسته- دو بعدي ميتواند پيوسته اي نمونهمي باال را تعميم دهيم كه استدالل اين براي .باشد) مانند تعداد اتومبيلها وسرعت آنها ( پيوسته-گسسته) كاميونها و

.هستندمناسب از چند متغير متشكلهداتي كه براي مشاكرد چند بعدي را تعريف اي مفهوم فضاهاي نمونهتوان

رياضي احتمالبيان . شـود مييي كه نتيجه قطعي آنها بعد از وقوع مشخص ها پديده ،باشد مي احتماليي ها احتمال علم بررسي پديده

ي ممكن را قبل از وقوع آن در يك مجموعه پيش بيني كرده و مرتب كنـيم ها حالت يا ديدهچنين پ هر گاه براي در. شود مي گسسته ناميده ، مجموعه شمارش پذير باشد آنگاه فضا اين هر گاه داده كه را تشكيل اي فضاي نمونه

:براي محاسبه احتمال وجود دارد كه عبارت است اززير فضا مدل اين

n

nA APr

ي محاسبات فضاهاي پيوسـته سـه نـوع ها مدل. شمارش ناپذير باشد آن را پيوسته گوييم اي هر گاه فضاي نمونه :هستند

)طول(فضا يك بعدي است )1

l

lA APr

)مساحت(2فضا دو بعدي است) 2

a

aA APr

)حجم(3فضا سه بعدي است) 3

V

VA APr

را مورد مطالعه قرار دهيم به عبارت ديگر شانس وقـوع يـك احتماليتوانيم احتمال وقوع يك پيشامد مياكنون اسـت اي ونـه همواره زير مجموعـه فـضاي نم Aكه فضاي پيشامد اين با توجه به . كنيم گيري اندازهپيشامد را پس اگر APr احتمال وقوع پيشامد Aباشد هميشه داريم :

A i- 0Pr A

ii- 1Pr

iii- BABABA PrPrPr

دان بر جسته آندره كولموگروف ند كه نخستين بار رياضي علم احتماالت هست اوليه سه اصل فوق در واقع اصول توان بقيه قوانين احتمال مي سه اصل اين به كمك . علم احتمال را مدون ساخت آنها را بيان كرد و 1933در سال

.را استنتاج نمود

30

قي از بازه عددي حقي،فضاي نمونه دلخواه از براي هر رويداد . تعريف تابع احتمال 1,0 نـسبت داده و آن را سمبلبارا اين عدد . گوييم ميتابع احتمال Pr تبعيـت گانه مذكور اصول سهازهمواره كه اين تابع نشان داده

. كردخواهد

:گرديدمشخص به صورت زير اي فضاي نمونه1-2در مثال : ذخيره سازي آب در مخزن4-2مثال4321 ,,, AAAA

به طوري كه 4/4/)1(: icscisAi

4321 سـال بـراي 5 ،15 ،10 ،6تعـداد براي مخزن به ترتيـب ، سال مشاهده 36پس از ,,, AAAA بدسـت آمـده : پيشامدها برابر است با اين احتمال وقوعاين بنابر. است

36

6Pr 4 A

36

10Pr 3 A

36

15Pr 2 A

36

5Pr 1 A

:داريم (ii) با توجه به اصل موضوع1

36

6

36

10

36

15

36

5

جديدبراي پيشامد cscsAAD 2/:43 طبق اصل)iii (داريم:

36

16

36

6

36

10Pr D

احتمالقاعده جمع هم ميتوان قواعـد زيـر را بـر اسـاس نظريـه ناسازگارمبتني بر سومين ويژگي تابع احتمال در مورد رويدادهاي

: و اصول احتمال استنتاج كردها مجموعهni ,...,3,2,1 iA

ji ji AA

n

ii

n

ii AA

11

1PrPr

:باتوجه به تعريف احتمال متمم و رابطه باال داريم cc AAAA PrPrPr

:دانيم ميهمچنين

cAA :توان نوشت ميپس

AAc Pr1]Pr[

31

جـاد شـده اي تاليااي كشور در آبگير بسياگو در1995 تا 1931يي را كه از سال ها سيالب: پديده سيالب 5-2مثال ،1945ي هـا در سـال : رويـداده اسـت به شرح زيـر ها سال اين طوفان در6آمار نشان ميدهد كه . در نظر بگيريد

مشخص كننده تعداد وقوع سيالب در هر سال باشد فضاي Nاگر . دوبار 1951 يكبار و در 1992 ،1970 ،1953نمونه برابر 0: NN رويداد بوده و 0: NNA مـتمم . به مفهوم عـدم رويـداد سـيل اسـت A بـه

0>صورت NNAc : كهدهد ميآمار نشان . شود كه به معني وقوع سيل در هر سال است مي تعريف 908.0

65

59Pr A

:در نتيجه داريم 092.

65

591Pr cA

لـزوم پيـشگيري بـراي كـاهش ريـسك بـاال بـوده و %) 10در حـدود ( احتمال وقوع سيالب در هـر سـال اين .دهد ميهيدرولوژيكي در ساحل رودخانه را نشان

:گردد مي به صورت زير بيان وجود داردرابطه مهم ديگري كه در جمع احتمال

BABABA PrPrPrPr

رويـدادهاي . مقاومت قطعات چوب را در نظر بگيريد در مورد 3-1ي جدول ها داده: قاومت چوب م 6-2مثال : كنيم ميزير را تعريف

2N/mm60<i<35B ، 2N/mm50<i<25A در هر يـك از طبقـه هـا فراواني مقادير با استفاده از . دهد ميابر گسيختگي را نشان ر مقاومت چوب در ب iكه

:را بدست آوردوقوع دو رويداد توان احتمال مي) 4-1جدول ( 83.0

165

136

165

2034382618Pr

A

64.0165

106

165

59203438Pr

B

:كنيم مي را به صورت زير تعريف و احتمال آن را محاسبه BوA اشتراك دو رويداد 2N/mm 50<i<35 BA

56.0165

92

165

203438Pr

BA

:حال احتمال اجتماع دو پديده را ميتوان از رابطه زير بدست آورد 91.056.064.083.0PrPrPrPr BABABA

: مقدار را به دست آورد اين توان ميالبته با استفاده از جدول و به روش مستقيم نيز 2N/mm 60<i<25 BA

پس

32

91.0165

150

165

592034382618Pr

BA

احتمال شرطي و قاعده ضرب احتمال را بدسـت آوريـم بـه A هرگاه بخواهيم احتمال وقوع رويداد .اند مفروضاز فضاي B وAدو رويداد ناتهي

:كنيم مي اتفاق افتاده است از مدل زير به نام تابع احتمال شرطي استفاده B رويداد شرطي كه بدانيم قبال

B

BABA

Pr

Pr|Pr

ده مربوط به چگالي و مقاومت فشاري بتن دو فـضاي رويـداد تعريـف جفت دا 40براي : آزمون بتن 7-2مثال

:شده است 2N/mm 6555 cB ، 3Kg/m 24602440 cA

و 9-2شـكل بـا توجـه بـه .دهد مقدار چگالي آن را نشان مي c مقدار مقاومت بتن و متغير cمتغير احتمالي :نماييم مقدار احتمال را به صورت زير محاسبه مي 1-2جدول

40

27Pr

n

nB B ،

40

19Pr

n

nA A

: دو رويداد داريم اين براي اشتراك و 23 /6555,/24602440 mmNmkgBA cc

40

16Pr

n

nBA AB

مقاومت فشاري به باشد در حالي كه كيلوگرم بر متر مكعب 2460 تا 2440ه بتني با چگالي كه نمون اين احتمال :شود است به صورت زير حاصل مي نيوتن بر ميلي متر مربع 65 تا 55اندازه

593.0

27

16

4027

4016

Pr

Pr|Pr

B

BABA

نمونه بتني40 روزه 28 مقدار چگالي و مقاومت 9-2شكل

33

نمونه بتني40 روزه 28مقدار چگالي و مقاومت 1-2جدول

:شود ميبا توجه به تعريف تابع احتمال شرطي مفاهيم مهم زير بررسي دو پديـده را مـستقل ايـن نباشـد اي اگر احتمال رويدادي وابسته به وقوع پديده : قانون استقالل رويدادها -الف

توان نوشت ميگويند و ABA Pr|Pr BAB Pr|Pr

:گيري كرد دو رويداد مستقل هستند اگر و تنها اگر توان نتيجه ميپس

34

BABA PrPrPr ):وابستگي رويدادها( قانون ضرب احتمال-ب

BABABABA |PrPr|PrPrPr

:داريمB و Aبراي دو رويداد ) 9-2 و شكل 1-2جدول (،7-2با توجه به مثال : آزمون بتن8-2مثال

400.040

16Pr BA ، 675.0

40

27Pr B ، 475.0

40

19Pr A

321.0675.0475.0400.0 BABA PrPrPr . مستقل از مقاومت بتن نيستكامال پس چگالي بتن

.شودحل ) 2008 (وسودا و روگتاااز كتاب ك 3-2 و 1- 2تمرينهاي -تمرين

35

فصل سوم

و خصوصيات آنها احتماليمتغيرهاي

احتماليمتغير

1احتمـالي متغيـر بـه عبـارت ديگـر . به اعداد حقيقي است از فضاي نمونه نگاشتي احتمالييك متغير مقدار دبـي آب ،تواند ميزان بارش بـاران مير متغي اين .شود ميعددي است كه به يك حالت از يك تجربه نسبت داده

تـابع جـرم . مقاومت محتمل خاك يا هر كميت عددي باشد كه در تشكيل يك تجربه مورد نظر اسـت ،رودخانه)( احتمـال هـا ix يعني به هريك از X تابعي است كه به هريك از مقادير ، X يك متتغير گسسته 2احتمال iX xp

:دهد به طوري كه را نسبت مي

11

n

iixp و 10 ixp ، ii xxp Pr ، ix

ixxxاگر نقاط به طول ,..., npppتوانيم مي را محل نقاط مادي تلقي كنيم 21 ,..., نقـاط اين را به ترتيب جرم 21 متنـاهي يـا Xاگر حـوزه مقـادير .نامند مي X احتماليبه همين دليل رابطه باال را تابع جرم احتمال متغير . بگيريم

متغير احتمالي اگر وابسته به زمان يـا مكـان باشـد آن را .شماراي نامتناهي باشد متغير تصادفي را گسسته گوييم براي متغيرهـاي تـصادفي بررسـي 4 مي نامند كه به صورت تخصصي در موضوع سريهاي زماني 3متغير تصادفي

يك معني داشـته و مـستقل از زمـان و مكـان 5و شانسي ولي در اين نوشتار متغير احتمالي و تصادفي . مي شود سـاده سـازي البته يك نكته مهم در اينجا بايستي ذكر شود كه اين تنها يك فرض بوده و بـراي .دفرض مي شو

در واقع هيچ علت و رخدادي در اين طبيعت شانسي نبوده و از يـك حكمـت . محاسبات مهندسي بكار مي رود چون مدلسازي تمام علل و روابط آنها بسيار پيچيده و هزينه بر بوده لذا در ايـن . و علت متعالي برخوردار است

اد عالقمند توصيه مي شود كه بـه عنـوان نمونـه بـه براي افر . شود مبحث مقدماتي از ورود به آنها خودداري مي ساختار مدلهاي پيش بيني اقليم به صورت آماري و فيزيكي مراجعه نماينـد كـه پيچيـدگي زيـادي در معـادالت

.رياضي حاكم بر روابط آنها وجود دارد .پردازيم ميبه تشريح موضوع چند مثال با كمكحال با مراجعه به مفهوم اوليه يك متغير احتمالي

1 Probabilistic variable 2 Probability Mass Function (PMF) 3 Stochastic variable 4 Time series of the stochastic variables 5 Random variable

36

واقـع اي ستگاه دبي سنجي در رودخانهاي ي مشاهده شده در هر سال در يك ها تعداد سيل : وقوع سيل 1-3مثال :باشد مي تابع جرم احتمال به شرح زير ها داده اين داده شده است برايقبال 1-1تاليا مطابق جدول اي در كشور

34

45 p ،

34

94 p ،

34

73 p ،

34

62 p ،

34

21 p ، 00.0 p

.34

09 p ،

34

18 p ،

34

47 p ،

34

16 p

: است1-3شكل به ثال م اين نمودار تابع جرم احتمال براي

نمودار تابع جرم احتمال براي وقوع سيل1-3شكل

تابع توزيع تجمعي

:شود ميي تصادفي تابع توزيع تجمعي به صورت زير تعريف ها براي متغير 10 ixF ، xxF i Pr

براي متغيرهاي . ي قبلي است ها ست زيرا تجمع احتمال بايد توجه داشت كه تابع توزيع تجمعي تابعي صعودي ا :شود ميگسسته تابع توزيع تجمعي به صورت زير بيان

x

k

k

xpxF

تابع توزيع تجمعي را براي وقوع سيل بـه توانيم مي 1-3با توجه به جدول 1-3 مثال در : وقوع سيل 2-3مثال : صورت زير تشكيل دهيم

82.05 F , 70.04 F , 44.03 F , 24.02 F , 06.01 F, 00.00 F 0.18 ii xFx , 0.18 F , 97.07 F , 85.06 F

:باشد مي 2-3نمودار توزيع تجمعي وقوع سيل به شكل بنابراين

37

1-3 نمودار تجمعي مساله وقوع سيل مثال 2-3شكل

1تابع چگالي احتمال

زماني كـه انـدازه نمونـه بـزرگ و .شود ميقانون احتمال براي متغيرهاي پيوسته توسط تابع چگالي احتمال بيان به طوريكه نمودار چندضلعي فراواني نـسبي بـه منحنـي تبـديل گـردد تـابع ، نزديك به صفر باشد ها طول دسته

چگالي احتمال را با منحني فراواني نسبي يا xf نكته توجـه شـود كـه اين به. كنند مي مشخص xf بـه براي يك متغيـر تـصادفي . كند مياحتمال را بيان ) چگالي(ل نيست بلكه شدت احتماجرم يا تنهايي نشان دهنده

21 و دو رويداد, xxداريم :

2

1

21Prx

x

dxxfxx

:پس

1

dxxf

2)براي متغيرهاي پيوسته(تابع توزيع تجمعي :شود ميبه شكل زير تعريف نيز اي پيوسته تابع توزيع تجمعي براي متغيره

x

dzzfxF

: داريم اينبنابر xf

dx

xdF

) صعودي(از طبيعت غير كاهشي xF هموارهشود كه مي نتيجه 0 xf.

و اطالعات ديگر ميتوانيم تـابع چگـالي احتمـال را 3-1ي جدول ها با استفاده از داده : مقاومت چوب 3-3مثال

:براي مقاومت چوب به صورت ساده شده زير تعريف كنيم 1 Probability Density Function (PDF) 2 Cumulative Distribution Function (CDF)

38

400 x 1400

xxf

7040 x 1050

70 xxf

70,0 xx 0 xf /، 2احتماليحد متغير وا mmN كـه ايـن بـراي يـافتن . نشان داده شده است 3-3 تابع در شكل اين .باشد مي

:كنيم مي ترتيب عمل اين نيوتن بر ميلي متر مربع باشد به60 تا 30 با چه احتمالي بين احتماليمتغير

631.014001050

7030606030Pr

40

30

60

40

dxx

dxx

FF

ت چوبمتجمعي احتمال براي مقاوتوزيع تابع چگالي و 3- 3شكل

وقـوع دو تابع چگالي و توزيع تجمعـي احتمـال، بررسـي يها به عنوان يكي از كاربرد : شدت زلزله 4-3مثال

بـه صـورت زيـر توسـط تـابع نمـايي ،xشدت زلزله تابع احتمال تجمعي . زلزله را در يك منطقه در نظر بگيريد :تواند تعريف شود مي

x0 xexF 1

براي محاسبه حال xfداريم : xe

dx

xdFxf

: با برابر است2.0و پارامتر 5 با حداقل شدت اي احتمال وقوع زلزله اينبنابر

367.0515Pr 5*2.0 eF

: رسم شده است4-3 مثال در شكل اينتابع چگالي و توزيع تجمعي احتمال

39

2.0 با تابع نمائي و مقدار تابع چگالي و توزيع تجمعي احتمال وقوع زلزله در يك منطقه4-3شكل

جامعهگيري اندازهي ها شاخص

:شود ميي گسسته و پيوسته به صورت زير تعريف ها ي تابعا برا ميانگين ياميد رياضي: ميانگين-الف: گسسته

alliix xpxE

: پيوسته

dxxxfEx

دليل رياضي استفاده از دو رابطه فوق چيست ؟: 1-3تمرين

ميانگين جامعه را با در نظر گرفتن تابع 3-3 براي مثال :قاومت چوب م 5-3مثال xf فرض شـده محاسـبه :كنيم مي

270

40

240

0

2

/67.361050

70

1400mmNdx

xxdx

xEx

. آيـد مـي نيوتن بر ميلي متر مربع بدسـت 09/39ي مقاومت چوب ميانگين ابر 3-1ي جدول ها با استفاده از داده فرض شده تابع واقعي فراوانـي نـسبي pdf است كه تابع اين دو مقدار مربوط به ين ا اختالف مشاهده شده در

:هم چنين براي محاسبه ميانه داريم .مقاومت چوب نيست بلكه تقريبي از آن است

22

0

/42.3714001400

5.0 mmNuu

dxx

uFu

/2براي تابع توزيع فرض شده مقدار مد برابر است با mmN40 توان نتيجه گرفت مي پس: ميانگين> ميانه >مد

با توجه به رابطه نامساوي فوق تابع مزبور چه نوع چولگي دارد؟ :2-3تمرين

40

و ثابـت نبـودن آنهـا ر آنهـا تغي ،احتماليي ها تاكيد شد مهمترين ويژگي پديده همان طور كه قبال :واريانس-ب :پردازيم ميمحاسبه واريانس اهميت به اين با در نظر گرفتن. است

2222222 22 EEEEEEEEVarx

22 EE

به صورت زيـر محاسـبه شدت زلزله ميانگين و واريانس ،در نظر گرفتن توزيع نمايي با: شدت زلزله 6-3مثال :شود مي

110

000

dxexdxexE

exf

xxx

x

xe

:براي محاسبه واريانس نيز داريم

222

222

200

22

112

220

EEVar

dxxedxexE

x

xx

:برآورد پارامترهاي مجهول تابع چگالي احتمال

ولي در مطالعات واقعي اغلب اين . شد فرض مي و داده شده تا اين بخش توابع چگالي احتمال به صورت معلوم حتي در صورت وجود ساختار كلي مدل بعضي از پارامترهاي . و بايستي تهيه شوند دنوجود ندار در عمل توابع

براي رابطه ميزان رطوبت خاك و قـدرت مـوئينگي آن معـادالت رياضـي مختلفـي مثال. ستثابت آنها معلوم ني بـه . بوده و بايـستي از روي آزمـايش حاصـل شـود بسته به نوع خاك واپارامترهاي آن بعضي پيشنهاد شده ولي

ـ رابطه بين سرعت اوليه يك جسم و مسافتي كه روي سطح ز ،مكانيكعنوان مثال ديگري از علم توانـد ر مـي بلذا . شود معادله اعمال ستي در آن ولي پارامتر ضريب اصطكاك سطح باي بودهحركت كند به صورت كلي معلوم ي مختلفـي هـا روش در صورتي كه تعدادي آزمايش از قبل در دسـت باشـد براي برآورد پارامترهاي يك معادله

.گردد مي نمايي معرفي تسدر تنها روش حداكثر بخش اين در.پيشنهاد شده است

1ت نماييسروش حداكثردرت نمايي يكي از روشهاي درسيك متغير داراي پارامترهاي مجهول باشد، روش حداكثر چگالي احتمال اگر تابع

روند كار بدين صورت است كه ابتدا بايد تابع . باشد مي مناسب براي تخمين اين پارامترها L را بـه صـورت :هيمزير تشكيل د

1 Maximum Likelihood Method

41

n

iixfL

1

|

،متغير تصادفي Xكه در آن داريم xfمتغير چگالي احتمال تابع ،ix متغير تصادفي مـشاهده شـده ، θ پـارامتر جديـد تـابع لگاريتم گرفتـه وسـپس از رابطه باال از طرفين حال. است تعداد متغيرهاي مشاهده شده nمجهول و

ي مجهول ها دهيم تا پارامتر مي قرار پارامترهاي مجهول مشتق مي گيريم و آن را مساوي صفر نسبت به هريك از اين روش، باعث مي شوند كه تـابع پارامترهاي مجهول بدست آمده از . بعد از حل دستگاه معادالت بدست آيند

.داشته باشدمشاهده شده احتماليمتغيرچگالي تابع واقعيباهت را به بيشترين شحاصل چگالي احتمال

بـه صـورت زيـر تـابع توزيـع برنـولي تابع جرم احتمال از ،در مساله احتمال وقوع سيل : وقوع سيل 7-3مثال :كند تبعيت مي

1,0jx ، jj xxjj ppxxp

11Pr :كنيم به صورت زير محاسبه ميروش حداكثر درست نمايي استفاده ازبا را pپارامتر مجهول

,11

1

n

j

xx jj pppL

:از دو طرف داريم مشتقو سپس لگاريتمگرفتن حال با

p

xn

p

x

dp

pLd

pxnpxpL

n

jj

n

jj

n

jj

n

jj

1

ln

1lnlnln

11

11

:و در نهايت با مساوي صفر قراردادن معادله باال داريم

n

x

p

n

jj

1~ كـه تـابع زيـر مقاومـت فـشاري بـتن از چگالي احتمال شود كه تابع يفرض م : مقاومت فشاري بتن 8-3مثال

:پيروي كندمشهور به توزيع نرمال است

2

2

1exp

2

1

b

ay

byfY

:يابيم ميرا آن bوa نمايي پارامترهاي مجهول درستبا روش حداكثر

n

i

n

aybb

baL1

2

22

1exp

2

1,

:گيريم ميلگاريتم ازطرفين

n

ii ay

bbnnbaL

1

2

22

1ln2ln,ln

42

: مشتق گرفته و مساوي صفر قرار مي دهيم و پارامترها را مي يابيمb وaتك نسبت به پارامترهاي حال تك

01ln

1

2

3

n

ii ay

bb

n

b

L و 01ln

12

n

ii ay

ba

L : داريماينبنابر

s

n

yyb

n

i i

1

2

yy و n

an

ii

1

1

14/60ديرااگـر مقـ . انحراف معيار متغيرهاي مشاهده شده هستند b ميانگين و نهما aپس مشخص مي شود كه =ỹ 02/5 و = s حـداكثر تجمعـي حاصـل از روش توزيـع 5-3شـكل در ،باشـند محاسبه شده مثال اين براي :استمشهود اند كه نزديكي آن دو به هم نشان داده شده مشاهده شده مقاديرت نمايي و سدر

نمايي هاي مقاومت بتن به كمك روش حداكثر درست ش منحني نرمال به داده براز5- 3شكل

با اين حال براي بعـضي از . كاربرد بسياري در علم آمار دارد ي است كه نمايي روش پايدار درستروش حداكثر

.ي عددي ديگري براي تخمين پارامترها استفاده گرددها روش متغيرها كاربرد نداشته و بايد ازدو روش ديگر تعيين و برآورد پارامترهاي مجهول يك معادله را در صـورت وجـود تعـدادي آزمـايش :تحقيق

.قبلي معرفي نماييد .بيابيد كه با موفقيت استفاده شده است مي نمايي مقاالت علدرستبراي روش حداكثر :3-3تمرينو موفـق نبـوده ان كاربرد نـدارد نمايي در مهندسي عمر درستي را كه روش حداكثر علم يها زمينه :4-3تمرين

.جستجو كنيد

احتمال مشترك متغيرهاي گسستهدر حالي كه در واقعيت ممكن اسـت . در بخش هاي قبلي متغير احتمالي را به طور مستقل و تنها بررسي كرديم

ر دوي آنهـا بتوان تابع احتمالي براي وقوع ه تغير احتمالي ديگر باشد و رخداد يك متغير وابسته به رخداد يك م :دو متغير گسسته بدين صورت تعريف مي شودگفته و براي احتمال مشترك به چنين تابعي . ارايه داد

yYxyxp Y Pr,,

43

:و تابع تجمعي احتمال آنها نيز بدين صورت تعريف مي شود yYxyxpyxF

xx yyjiYY

i j

Pr,, ,,

1,, i j

jiY yxp

طوفانهايي را در نظر بگيريد كـه توسـط ، در مثالي براي تابع احتمال مشترك : باد سرعت گيري اندازه 9-3مثال

انـد كـه بـه كيلومتر بر سـاعت 60اين طوفانها داراي سرعتي باالتر از . اندازه گيري مي شوند Y و Xدو دستگاه در ولـي نه چندان دقيـق Y دقيق و گران قيمت است و دستگاه Xدستگاه . شوند صورت روزانه اندازه گيري مي

كيلومتر 60ازبراي طوفانهاي بيش ها مشاهدات دستگاه مشترك چگالي احتمال 1-3جدول . ارزانتر است عوض :كند را ارايه مي بر ساعت در روز

Y و كم دقت X چگالي احتمال مشترك مشاهده طوفان بزرگ با دستگاه با دقت 1-3جدول

:شود محاسبه مي به صورت زير) ك عدد را نشان دهندكه هر دو دستگاه ي( را Aاحتمال فضاي پيشامد

8130.00505.01135.03580.02910.0

3,32,21,10,0,Pr ,,,,,

YYYYiiY ppppyxpA

احتمال مشترك متغيرهاي پيوسته دو متغير تصادفي، چگالي احتمال اگر تابع yxf Y ,, يرهـاي پيوسـته بـدين باشـد، تـابع احتمـال مـشترك متغ

:شود صورت تعريف مي

2

1

2

1

,Pr ,2121

x

x

y

y

Y dydxyxfyYyxx

:متغير پيوسته نيز بدين صورت تعريف مي شود تجمعي احتمال مشترك دوتابع و

x y

YY dudvvufyYxyxF ,Pr, ,,

: كهتوان نتيجه گيري كرد پس مي

yxFyx

yxf YY ,, ,

2

,

1,, dydxyxf Y

44

رك بـه احتمـال مـشت چگـالي منحني و شكل تابع . بست داد متغير kميتوان براي تابع احتمال مشترك پيوسته را .خواهد بود) در حالت وجود دو متغير (6-3مانند شكل اشكال سه بعدي صورت

نمونه تابع چگالي احتمال مشتركيك 6- 3شكل

:داريم 1اي براي مقادير تابع چگالي احتمال حاشيهو همچنين

و

را در 5-1ي جـدول بتنـ هاي نمونهمقاومت فشاري و چگالي مساله : چگالي و مقاومت فشاري بتن 10-3مثال

رسـم شـده 7-3 دو متغير در شـكل اين مشتركهيستوگرام نمودار جدول آن يها نظر بگيريد با استفاده از داده :است

10- 3هاي بتني مثال هيستوگرام مشترك مقاومت و چگالي نمونه7-3شكل

1 Marginal probability distribution function

45

، يكنواخت و مقاومت فشاري داراي توزيع X ،چگاليمتغير احتمالي فرض كنيد 7-3تر شكل براي نمايش ساده

Y دو متغير به شكل زير است اين احتمال مشتركچگالي داراي توزيع مثلثي است و تابع : 6040,25002400 yx

20

40

2000

1,,

yyxf Y

8060,25002400 yx

20

601

2000

1,,

yyxf Y

ر براي ساير مقادي 0,, yxf Y

: رسم شده است8-3 تابع در شكل اين

هاي بتني مشترك نمونهاحتمال تابع چگالي 8- 3شكل

:داريماز تابع چگالي مشترك y مقاومت بتن،متغير اي حاشيهتابع چگالي احتمال استخراجبراي

6040 y 20

4005.0

20

40

2000

12500

2400

ydx

yyfY

8060 y

20

60105.0

20

601

2000

12500

2400

ydx

yyfY

براي ساير مقادير ,0yfY

:كند مينيز از تساوي زير پيروي x متغير تابع چگالي احتمال25002400 x

100

1 xf

براي ساير مقادير ,0 xf :است نشان داده شده 9-3 چگالي بتن درشكلو مقاومت فشاري براي دو متغير تابع چگالي احتمال نمودار

46

تابع چگالي احتمال مقاومت و چگالي بتن ماخوذ از تابع چگالي مشترك9- 3شكل

47

فصل چهارم

توابع توزيع احتمال

توابع توزيع احتمالچنـين هم. تابع چگالي يا جرم و تـابع تجمعـي احتمـال آشـنا شـديم ، احتماليمفهوم متغير ي قبل با ها فصلدر

هـاي گسـسته و توزيـع تعـدادي از نخـست فصلدر اين . ا تعريف كرديم متغيرهاي تصادفي گسسته و پيوسته ر .گردند معرفي مي هستند داراي كاربرد زياديسپس پيوسته را كه

گسستههاي توزيع

الزم به ذكـر اسـت كـه . پردازيم اي و پواسون مي دو جمله ،در اين بخش به معرفي سه تابع جرم احتمال برنولي تـرين لذا ابتدا از ساده . اي است لتر برنولي و پواسون نيز شكل كاملتر توزيع دو جمله اي شكل كام توزيع دوجمله

:كنيم آنها يعني توزيع برنولي شروع مي توزيع برنولي-1

، توزيع برنـولي ) متغيرهايي كه قابل شمارش اند (ها براي بررسي احتمال وقوع متغيرهاي گسسته يكي از توزيع :هاي زير باشد بايد داراي ويژگياحتمالي تغير در اين نوع توزيع م. است

."شكست" يا "پيروزي": براي متغير تنها دو حالت وجود داشته باشد- 1 .ثابت باشد) پيروزي و شكست( احتمال هريك از حالتها – 2 .ها مستقل ازهم باشد نتايج حاصل از رويداد– 3

: احتمال پيروزي و موفقيت استpر آن كه دشود ميتابع توزيع برنولي به صورت زيرتعريف 10 p 0,1x xx pppxXxp

11;Pr 1,0x 0 xp

: است شدهارايه 1-4 در شكل 7.0pمثالي از توزيع برنولي براي حالت

48

7.0p تابع توزيع احتمال در حالت برنولي و1-4شكل

:شود ميصورت زير محاسبه به 3كمك روابط فصل ميانگين و واريانس تابع توزيع برنولي به

pppXE 101 ppppppXVar 1101 22

اي توزيع دوجمله -2به اين معني كه در اين . رود و تعميم يافته توزيع برنولي است اي براي متغيرهاي گسسته بكار مي لهتوزيع دوجم

بـر وجود دارد با اين تفاوت كـه براي متغير ) پيروزي يا شكست (نوع توزيع همانند توزيع برنولي تنها دوحالت تـابع توزيـع . زمـايش را تكـرار كـرد بـار آ nتـوان اي به جاي يكبار مي در توزيع دوجمله برنولي خالف توزيع

:شود مي بار آزمايش بصورت زير تعريف n پيروزي از xاي براي داشتن دوجمله

10 p nx ,...,1,0 xnx ppx

npnxXxp

1,;Pr

كه به طوري

!!

!

xnx

nx

n

:اي نيز داريم لهتوزيع دوجماحتمال براي تابع تجمعي

x

k

knk ppk

nxF

0

1

متغيـر . افتد كه برابر با يـك اسـت اتفاق مي x=nبزرگتر از صفر است و بيشترين مقدارش در ) F(تابع تجمعي باشـد، اگر تعداد آزمايش تنها يكبار بنابراين . مورد نظر در توزيع دوجمله اي همان شرايط توزيع برنولي را دارد

.اي همان برنولي خواهد بود دوجملهاحتمال توزيع

باشد ، احتمال اينكـه جـاده 1/0 اي جاده بر روي فرض كنيد احتمال وقوع سيل : وقوع سيل در جاده 1-4مثال سال حداقل يك بار سيالبي شود چقدر است؟5درطول

49

بنابراين از توزيـع دوجملـه اي اسـتفاده .ه سيالبي شدن جاده متغيري است دوحالتي كه يا واقع ميشود يا ن -حل :كنيم مي سيل نيايد را محاسبه ابتدا احتمال اينكه در طول پنج سال اصال. كنيم مي

59.01.011.00

50 050

p

: سال حداقل يك بار سيل بيايد، داريم5حال براي محاسبه احتمال اينكه در 41.059.01010 pxp

توزيع پواسون-3بهتر است كه از توزيع پواسون به بزرگ شود n تعداد آزمايش يعني كوچك وp دار احتمال وقوع يعني مقاگر

حتمـال و ا p اگـر . اين توزيع نيز بر اساس فرض استقالل رويدادها اسـت . اي استفاده كرد جملهجاي توزيع دوn كه در آنشود ميموفقيت از طريق فرمول برنولي به طريق زير محاسبه تعداد آزمايش باشد تعداد np

xnx

nnx

nxp

1

: آيد بيابيم توزيع پواسون به صورت زير بدست مي) n( بزرگ شود nاگر حد رابطه باال را هنگامي كه

0 ,...2,1,0x !

;Prx

exXxp

x

:براي توزيع تجمعي پواسون نيز داريم. ميانگين يا مقدار مورد انتظار استكه در آن

k

x

x

x

ekF

0 !

يـك ميكروسـكوپ قدرتمنـد مـشاهده تعداد ذرات موجود در يك واحد حجم بوسيله : آلودگي هوا 2-4مثال : نمونه به صورت زير است100شده و نتايج به دست آمده روي

واحد حجمهر تعداد ذرات آلوده در 1-4جدول

:ابتدا ميانگين تعداد ذرات آلوده را به دست مي آوريم -حل

14.26100

84

100

73

100

182

100

301

100

240

100

13 x

پواسـون بـه صـورت زيـر احتمـال بنابراين تـابع . شود فرض مي 4اعداد بزرگتر از به عنوان نماينده 6عدد :شود ميحاصل

6,4,3,2,1,0x !

14.214.2;

14.2

x

exXp

x

50

جالب و مهم يكاربردمثال چند به در ادامه . شود حاصل مي 1-4حال به كمك اين فرمول سطر دوم جدول .پردازيم مي محيط زيستي عمران وهايي در مهندس تابع توزيع پواسون در برآورد احتمال پديده

اي مـورد بررسـي هفتـه 4هاي آب يك كارخانه در يك دوره پمپ :هاي آب قابليت اعتماد پمپ 3-4مثال

احتمـال اينكـه باشـد مـي محصول درطول هر دوره خراب 2قرار گرفته و معلوم گرديد كه به طور متوسط نيد؟ عدد نباشد را پيدا ك4خرابي محصوالت بيش تر از

:با در نظر گرفتن توزيع پواسون براي اين پديده داريم -حل

947.009.0180.0271.0271.0135.0!

24

24

0

2

x

x

x

eF

روز در طـي يـك دوره 10 به مـدت اي به علت وقوع سيل در گذشته جاده : وقوع سيل در جاده 4-4مثالسـال بـسته گفت احتمال متوسط اينكه جاده بيش از يك روز در طول توان ميآيا . ساله بسته بوده است 20

. است10/0باشد كمتر از ميانگين تعداد روزهاي بـسته . كنيم ميبا توجه به شرايط مطرح شده در مثال از توزيع پواسون استفاده -حل

5.0:بودن جاده در يك سال برابراست با 20

10. در سـال پس ابتدا احتمال اينكه جاده كمتر از يك روز

:كنيم ميبسته باشد را حساب

910.0303.0607.0!

5.01

1

0

5.0

x

x

x

eF

:بنابراين احتمال اينكه جاده بيش از يك روز در سال بسته باشد برابر است با %9090.0910.012 XF

.باشد مي است بنابرين فرض مطرح شده صحيح 10/0 كمتر از 09/0چون

.مقدار ميانگين و واريانس توزيع پواسون را محاسبه نماييد :1-4تمرين پيوستههاي زيعتو

مقدار دلخـواه هايي به كار مي رود كه بتوانند هر هاي پيوسته در مورد داده همانطور كه قبال اشاره شد توزيع در ادامـه بـه چنـد . .... را بين دومقدار معين اختيار كنند نظير ميزان مقاومت فشاري بتن ، دبـي رودخانـه و

.كنيم ميمهندسي عمران را بررسي توزيع بسيار مهم اشاره كرده كاربرد آنها در توزيع يكنواخت-1

51

تـرين مهـم . توزيع مـستطيلي نيـز مـي نامنـد ترين نوع توزيع پيوسته، توزيع يكنواخت است كه گاهي ساده :شود مي است كه به صورت زير تعريف احتماليكاربرد اين توزيع در توليد اعداد

bxa ab

xf

1

بنابراين براي محاسبه احتمال در بازه dc,داريم :

ab

cddx

abdXc

d

c

1

Pr

:رسم شده است براي يك توزيع يكنواخت CDF و PDF 2-4 در شكل

يك توزيع يكنواختCDF و PDF تابع 2- 4شكل

:كنيم ميمل براي محاسبه ميانگين و واريانس اين توزيع به ترتيب زير ع

12

22

22 ab

XEab

dxxXVar

abdx

ab

xXE

b

a

b

a

: توزيع نمايي-2ميان رخدادهاي توزيع پواسـون تعريـف ) يا طول يا مساحت (نمايي كه براي بيان زمان احتمال توزيع تابع مدل :شود به اين شكل است مي

0,0 x xexf

:ن داريم آتابع تجمع احتمالهمچنين براي xexF

1 : ميانگين و واريانس توزيع نمايي به صورت زير به دست مي آيند

222

22

0

112

1

XEXEXVar

dxexXE x

:براي ضريب تغييرات نيز داريم. برابر است با عكس ميانگين كه شود ميمشاهده

52

%10000.11

1100100

2

XVar

XEXV

تابع توزيع نمايي چگالي احتمال براي نمايش فاصله زماني بين ماشين هاي گذر كرده يك نمونه 3-4در شكل :از يك نقطه معين ارايه شده است

توزيع نمايي زمان بين عبور ماشينها از يك محل3 - 4شكل

ولـي . را طراحـي نمايـد خواهد روي يك رودخانه پلي مهندسي ميشركت : تاثير سيل بر ساخت پل 5-4مثال

سـاخت زيـادي بـر خرابي د توان مي است كه sm3100شركت درباره رخداد سيلي بيش از اين فني راني مدير نگاتفـاق سـال 5هاي اوليه به طور متوسط يك بار در طـول به اين بزرگي بر اساس داده سيلياگر . داشته باشد پل

ماه ميتواند بدون وقفه و بدون خطر باشد؟14ل ، آيا برنامه ساخت پل در طو)1دوره بازگشت(بيافتد البته اين فـرض . كند از قانون استقالل رويدادها پيروي مي در سالهاي مختلف فرض ميشود كه وقوع سيل -حل

كامال درستي نيست ولي همانطور كه در فصلهاي قبل مطرح شد در اين مقطع براي سـادگي محاسـبات از ايـن : است پس5 شده براي يك بار وقوع برابر گيري اندازهميانگين ل حا. كنيم فرض استفاده مي

5

15 x دوره بازگشت

:براي محاسبه احتمال خواسته شده با در نظر گرفتن توزيع نمايي داريم

79.012

14

5

1exp

12

141

12

14Pr

Fx

كـه بـه نظـر مـي رسـد %20 يعني حـدود 1-79/0=21/0احتمال وقوع سيل در مدت ساخت پل برابر است با مناسب است و يـا بايـد ژه پروكوتاه مدت براي اين ساخت هاي پس برنامه . باشداي و نگران كننده زياد احتمال

.از روش ديگري براي ساخت پل استفاده كرد تا بتواند در برابر سيل مقاومت كند توزيع نرمال-3

1 Return period

53

آزمايشگاهي به وجود در مطالعاتخطاهااحتمال وقوع عه نرمال ابتدا به خاطر مطالچگالي احتمال توزيع تابع حت شرايط يكسان ايجاد مي اين خطاها وابسته به تفاوتهاي اجتناب ناپذيري كه در تكرار يك آزمايش ت. آمد

ها آنبرآوردما بايد با نبوده و بعضي خطاها از عللي ناشي ميشوند كه به راحتي قابل شناسايي . باشند شود، ميحول يك داده ها اكثر مشاهدات دادهدر همانطوري كه در فصل اول گفته شد . ز محاسبات غلط بشويممانع ا

هايي است ها با اختالف كمتر از اين داده مركزي بيشتر از داده مركزي متمركز مي شوند به صورتي كه تعداد دادهمنحني نرمال نخستين . اين خطاها ميباشدتوزيع نرمال يك ايده براي بيان. كه با اين داده اختالف بيشتري دارند

.دانان توسعه يافت ضي دان آلماني گاوس و ديگر رياضي و بعدا توسط رياه ايجاد شد18بار در قرن .نمودار توزيع نرمال از فرمول زير به دست مي آيد

x

2

2

1exp

2

1)(

x

xf

و انحراف ) پارامتر تعيين مكان نمودار (اين پارامترها عبارتند از ميانگين . دشو كه با دو پارامتر مشخص مي براي دو مجموعه پارامتر 4-4نمودار توزيع نرمال در شكل ). پارامتر تعيين مقياس نمودار (معيار 2,N

اريانس گسترش كند درحالي كه و اهده مي كنيم كه ميانگين مكان مد را مشخص ميمش. اند نشان داده شده . نمايد نمودار را كنترل مي

)متقارن(تابع توزيع نرمال منحني 4-4شكل

معموال به جاي استفاده از خود توزيع نرمال از توزيع نرمال استاندارد شده كه از تغيير متغير زير حاصل

: تا بجاي دو پارامتر تنها نياز به يك پارامتر داشته باشيمشود استفاده مي،دگرد مي

متغير تابع توزيع نرمال با مشخصات zبنابراين 1,0Nميباشد :

2exp

2

1)(

2zzf

. نشان داده شده است5- 4نمودار توزيع نرمال استاندارد در شكل

X

z

54

نرمالتوزيعمنحني دارد ن شكل استا5-4شكل

: را ميتوان بصورت زير نوشتX تابع تجمعي

dtt

z

zZx

ZxXxF

z

x

2exp

2

1)(

PrPrPr)(

2

به . را ارائه مي دهد5/4 تا 0هاي عددي براي مقادير مرتب شده از حل اين انتگرال به روش1جدول پيوست : تقارن نمودار نرمال ميتوان نوشتدليل

)(1)( zz

قالب بتن از يك 40 ميانگين و انحراف معيار مقاومت فشاري 5- 1در جدول : مقاومت فشاري بتن6-4مثالمنطقي بر اساس نمودار فراواني .مربع داده شده استمتر نيوتن بر ميلي02/5 و 14/60 اختالط خاص بصورت

يرامون اين پديدهاين برداشت از مطالعات متعدد پ. كندمتغير تصادفي از توزيع نرمال پيروي است كه اين .فهميده مي شود

آزمايش حاصل خواهد شد؟20 آزمايش از 19چه مقدار از مقاومت بتن حتما در هر ) الف

95.020/19)(1)(1)Pr( zxFxX x بنابراين

05.95.1)( z براي ميانگين و واريانسبا استفاده از مقادير تخميني . محاسبه ميشود-65/1 برابر z مقدار 1از جدول پيوست

: داريممقاومت بتن احتمالي رمتغي2N/mm 90.5102.565.115.60ˆ szxx

؟باشد ميمربعمتر نيوتن بر ميلي 45با چه احتمالي در يك آزمايش جديد مقاومت فشاري بيشتر از ) ب

55

:ميتوان نوشت. N)14/60 و02/5( فرض شده توزيع نرمالبا )02.3(1)

02.5

14.6045(1)45(145Pr

xFX

:يم دار1 جدول پيوست ازاما با استفاده 9987.0)02.3(45Pr X

قابل تفاوت آن است ولي در تصميم گيري براي كارهاي مهم ممكن است 0/1اگر چه اين مقدار نزديك به .توجه باشد

مربع باشد چقدر است؟متر نيوتن بر ميلي 19/70تا 11/50در بازه بتن احتمال اين كه مقاومت فشاري ) ج

9545.0197725.02122

21)2(22

02.5

14.6011.50

02.5

14.6019.7019.7011.50Pr

X

. است4- 4در شكل - 2 و2محل احتمال برابر مساحت زير نمودار نرمال در بين دو خط عمودي دراين

يك پل كه در مسير سيل قرار دارد به وسيله دو انتهايش و يك پايه وسطي :پليك نشست پي 7-4مثالزه ميدهد ولي مهندس كارشناس پي اجاجزئي طراحي به نشست محاسبات اگرچه . استقرار پيدا كرده است

نشست به علت اين . تا باعث شكست پل نشوداي خاص رخ دهد كه اين نشست در محدودهتوصيه كرده كهبا . هاي ناشي از حمل و نقل بوده و اغلب از توزيع نرمال پيروي ميكند هاي مرده وضربه اي از بار مجموعه

. شده استاك مشابه نشست پي بصورت زير تخمين زده استفاده از نتايج حاصل از آزمايش روي سازه و خ .ستندنبوده و مستقل هها به هم وابسته همچنين فرض ميشود كه نشست

حراف معيار نشست ن مقادير ميانگين و ا2-4جدول

متر باشد چقدر است؟ سانتي5/7 بيش از ها يكي از نشستحداقل احتمال اين كه )الف :ها به هم وابسته نيستند داريم د نشست به دليل اين كه فرض ش-حل

048.952.1

5.467.15.410.1

35.7

5.1

55.7

0.1

35.71

5.75.75.7Pr15.7Pr 321max

XXXX

56

محاسبه باشد0.0001ماكزيمم نشست نسبي مركز ستون را براي حالتي كه احتمال نشست بيش از آن برابر )ب

.پوشي است ها قابل چشم اند كه نشست آن فرض كنيد كه دو پي نزديك به هم طوري موازنه شده. كنيد

9999.5.1

5Pr

0001.Pr

2

2

xzxX

xX

از اين رو58.1072.3ماكزيمم نشست ستون مركزي xz

بعضي از خواص توزيع نرمال

bXaYتبديل خطي -1 ر تصادفي متغيX از جامعه 2,N را به متغير تصادفي Y از جامعه 22, bbaN تبديل مي كند.

د باشو انحراف معيار از جامعه با ميانگين يتوزيعهر تصادفي غير وابسته و با ير متغXفرض كنيد - 2 : متغير تصادفي منتخب باشد nتعريف مي كنيم كه ميانگين به شكل زير ير تصادفي جديدبنابراين متغي

n

iin nXX

1

,/ توزيع نرمالي بصورت داراي اين متغير جديد nN /, 2 12 به شرط آنكـه حـداقل باشد ميn>. ايـن نتيجـه

. بيشتر صحبت خواهد شد5 در اين مورد در فصل . ناميده مي شود1تئوري حد مركزيمهم

: توزيع لوگ نرمال-4

داد آنها موثر مستقل در رخمتعدد ولي امل و عكنند اگر مييي كه تا حدودي از توزيع نرمال پيروي ها براي پديدهوقوع سيل، : يي نظيرها پديده. توصيف كردبهتر آنها را توان صورت به وسيله توزيع لوگ نرمال مي اين باشد در

براي .د رسوب گذاريينآخشكسالي، مقاومت برخي از مواد، زمان و شدت زلزله، پراكندگي ذرات ريز در فر :كنيم ميتعريف x اوليه يعني احتماليلگاريتم متغير را به شكل yجديد احتماليتدا متغير اباينكار

xy ln ),(داراي توزيع نرمال به شكل y متغير اگر 2

yyN صورت ميتـوان گفـت اين باشد در x داراي توزيـع لـوگ به عبارت ديگر . نرمال است ),( ln

2ln xxN .لوگ نرمال داريمتابع توزيع احتمال براي اينبنابر :

x0

2

ln

ln

ln

ln

2

1exp

2

1

x

x

x

x

xxf

.مال با شرايط متفاوت رسم شده است دو توزيع لوگ نر6-4در شكل

1 Central Limit Theorem

57

تابع توزيع لوگ نرمال6-4شكل

:ت توزيع ميتوان نوش اين براي محاسبه ميانگين و واريانس

1ln

1ln

2ln

2ln

xx

x

xx

V

V

كه در آن x

xxV

.

58

فصل پنجم

هاي برآورد و آزمون آماري روش

مقدمهتوزيع احتمال معلوم است كه مدل اين در گروه اول فرض بر . پردازد ميمتفاوت دو گروه از مسائل هعلم آمار ب

تجمعي براي مثال تابع توزيع.مطالعه استبيني مشاهدات بعدي مورد و پيش xFبيني ميـانگين معلوم و پيشn احتمالبا فرض اينكه يا . نمونه درخواست شده استp رويـداد پيش بيني تعداد موفقيـت ، هدف A در n و هدف تخمين مقادير بوده يك مدل معلوم ي پارامترها از مسايل، تعدادي از در گروه دوم . مايش بعدي است آز

X از يك متغيـر تـصادفي ixبراي مثال مقادير . تعلق يك پارامتر به مجموعه پارامترهاي معلوم است آزمونو يا aX آيا حدس است كه اين آزمونشاهده شده و هدف تخمين ميانگين يا م به نـوع دوم از ايـن فصل اين؟

.پردازد ميمربوطه و آزمون فرضيات ها پارامترسواالت يعني بررسي

بازه اطمينان براي يك پارامترnxxxفرض كنيد ,..., يك فضاي رويداد براي توزيع 21 2,N صورتي كه مقدار ميـانگين در . باشد. معلوم نباشد حداقل مي توان يك بازه اطمينان براي اين مقدار بر اساس ميانگين نمونه ارايه كرد μجامعه يعني .گيريم مي منظور دو حالت در نظر اين توان به آساني پيدا كرد كه براي مي را اي چنين فاصله

:معلوم است2 ،واريانس جامعه-الف

و بـه كمـك مقـدار ) مبتنـي بـر قـضيه حـد مركـزي (ن يمال براي آماره ميـانگ ربا فرض توزيع ن در اين صورت :داريم استاندارد

1,0N

n

Z

1Pr

22

z

n

z

:آيد مي بازه زير به دست از حل نامساوي فوق بر حسب

nz

nz

22

,

59

در صورتي كه از وقوع رويـداد تنهـا در يـك . طرفه نشان داده شده است براي حالت دو 1-5اين فضا در شكل طرف اطمينان داشته باشيم يا مساله از ما تنها يك بخش از رويداد را خواسته باشد آزمـون را يـك طرفـه انجـام

:يمي يك طرفه دارها براي بازه. دهيم مي

nz ) و ) كران باال

nz ) كران پايين(

بازه اطمينان در حالت دو طرفهنمايش 1- 5شكل

ميانگين و انحـراف معيـار مقدار 5-1با استفاده از جدول : حدود اطمينان براي ميانگين مقاومت بتن 1-5مثال

مقاومت فشاري اگر . گزارش گرديد مربع متر نيوتن بر ميلي 02/5 و 14/60ر با تن براب نمونه ب 40مقاومت فشاري ، مقـدار 02/5شـود مقـدار انحـراف معيـار مـي براي محاسبه بازه اطمينان فرض ،بتن از توزيع نرمال تبعيت كند

: داريم05/0 با خطاي اينمربوط به جامعه است بنابر

95.005.0196.1

4002.5

96.1Pr

:پس 95.056.156.1Pr

:توان نوشت مي 14/60با حل نامساوي فوق و با قرار دادن 95.070.6158.58Pr

نيـوتن )59/58 و 71/61 (در بازه ) جامعه نه نمونه (ت بتن متوان گفت ميانگين مقاو مي% 95 با اطمينان اين بنابر .قرار داردمربع متر بر ميلي

60

بايـستي از متغيـر تـصادفي مـي حالت به جـاي توزيـع نرمـال اين در : مجهول است ياريانس جامعه آمار و -بstudentt 1 با درجه آزادي n منحني چگالي متغير تـصادفي . استفاده كنيمstudentt ماننـد منحنـي

ولـي بـيش از منحنـي چگـالي نرمـال در دو باشـد مي شكل اي ارن و زنگوله چگالي منحني نرمال استاندارد، متق باشـد 30nاگـر البتـه . آمـده اسـت 2 توزيع در جدول پيوست اين بعضي مقادير . انتهاي خود كشيدگي دارد

studenttنشان داد كه توزيع 2-5مطابق شكل توان مي نرمـال اسـتاندارد چگـالي احتمـال تـابع تقريبا مانند .است

studentt تابع چگالي احتمال نمايش 2-5شكل

studentt آماره را قرار دهيم 2S برآورد آن يعني 2 به جاي رابطه استاندارد اگر در 1 با درجه آزاديn به :داريمو د يآ ميدست

1

nt

nS

:توان نوشت مي اين بنابر

1Pr

2,1

2,1 nn

t

nS

t

:آيد مي به صورت زير بدست از حل نامساوي فوق فاصله اطمينان براي برآورد

nSt

nSt

nn2

,12

,1,

61

14/60 نمونه بتن با ميـانگين 40 در مورد مقاومت فشاري 1-5جه به مثال با تو : مقاومت فشاري بتن 2-5مثال studentt بار از توزيع اين 05/0 و خطاي قابل قبول 02/5و انحراف معيار زيـرا واريـانس كنـيم مي استفاده : توزيع داريم اين مقادير براي 2با رجوع به پيوست . باشد ميجامعه مجهول

391 n 975.0

21

tF

:شود پس مي تخمين زده 023/2 از جدول تقريباtمقدار

95.005.01023.2

4002.5

023.2Pr

:آيد مي نامساوي بازه اطمينان زير بدست اين با حل 95.076.6154.58Pr

95/0ي بتن حل كرديم و بـا دقـت ها با معلوم بودن تعداد نمونه را 2-5 مثال : تعداد نمونه مورد نياز 3-5مثال

و با فرض يكطرفه بودن بازه 01/0حال با خطاي قابل قبول . بدست آورديم جامعه بازه اطمينان را براي ميانگين يـانگين م92/0ترين حد بازه اطمينان كمتـر از را طوري بيابيم كه پايين ها تعداد نمونه حداقل خواهيم مياطمينان

16/0ي بتني برابر ها دانيم كه ضريب تغييرات مقاومت فشاري نمونه ميي بدست آمده ها نباشد، هم چنين از داده .است -حل

92.0101.0,1ntn

S

16.0 كه اين با در نظر گرفتنSداريم :

5.016.0

08.001.0,1

n

tn .آيد ميبدست 25برابر ها تعداد حداقل نمونه 2 به دست آمده از جدول پيوست tبا استفاده از مقدار

آزمون فرضيات

ايـن .كند ميرا مشخص يه فرض يك) و نه فلسفي يا منطقي (احتماالتي دي است كه ارزش ينآآزمون فرضيات فر :استدر پاسخ به مواردي مانند موارد زير اساسي موضوع داراي كاربردهاي

وقوع سـيل در رودهـا از تغييـرات آب و هـوايي مني كافي دارد؟اي بزرگراه ساخته شده در صورت وقوع زلزله زلزلـه داراي توزيـع احتمـال وقـوع آيـا چگالي و مقاومت فشاري بتن مستقل از هم هستند؟ آيا پذيرد؟ ميتاثير

بـا تـابع Xتوزيع متغير تـصادفي آزمون براي اين . اينها همه فرضياتي هستند كه بايد آزمون شوند نمايي است؟ معلوم ,Xf وابسته به پارامتر 0 فـرض خـواهيم مـي . مفروض اسـت 0 را در مقابـل فـرض

62

و كـرده مـشخص 1H و دومين فرض نيـز بـا نام دارد فرض صفر كه نشان داده 0Hفرض اول را با . بيازماييم رد ،ا شـواهد تجربـي يـ آ است كه تعيين كنـيم كـه اين هدف از آزمون فرضيات . شود ميفرض جايگزين ناميده

كـه شـود ميتاكيد . دارد X پديده شده از مشاهدههاي داده به اين نتيجه بستگي ؟ يا نهكند مي را پشتيباني يهفرض را 0Hا شـواهد، رد ي آ است كه تعيين بشود اين بلكه هدف. نيست1H يا 0Hهدف آزمون تعيين صحيح بودن

با توجه بـه مطالـب گفتـه شـده در . و يا رد بايد بدرستي تعبير شود عبارت پذيرش اين يا نه؟ بنابر كند ميتاييد :آزماييم مي با فرض خطاي احتماليمورد آزمون يك حدس، فرض زير را براي ميانگين يك متغير

00) فرض صفر( : XH :بريم ميير تصادفي نرمال استاندارد را به كار به عنوان آماره آزمون، متغ:واريانس جامعه معلوم -الف

n

ΧZ

0

:كنيم مي، براي رد يا قبول فرض صفر به صورت زير عمل با در نظر گرفتن خطاي قابل قبول 01اگر -1 : XH 0 باشد، حدسH تنها اگر پذيرفته است اگر و :

22

zZz باشد .

01 اگر -2 : XH 0 باشد، حدسHپذيرفته است اگر و تنها اگر :zZ باشد . 01 اگر -3 : XH 0 باشد، حدسHپذيرفته است اگر و تنها اگر :zZ باشد . ، متغير تصادفي زير به عنـوان آمـاره آزمـون اسـتفاده X براي نرمالتوزيع با فرض :واريانس جامعه مجهول -ب :شود مي

nSΧ

T 0

studenttوزيع داراي ت tتحت فرض صفر، متغير تصادفي . نمونه است انحراف معيار S رابطه اين در با درجه 1آزادي n توان با در نظر گرفتن مي اين است بنابرt به جاي z همچـون مـوارد بـاال رد يـا قبـول كـردن

.فرض صفر را بررسي كرد

در كـشور خانـه براي يـك رود ساليانه دبيمقدار حداكثر : كثر تغييرات در ميانگين سيل ساليانه حدا 4-5مثال . ارايه شده است1-5جدول و در شده گيري اندازه 1968 تا 1945 سال از 12آمريكا در دو دوره و طي

)مترمكعب در ثانيه ( مقدار سيل ساليانه حداكثر1-5جدول

رد و خـواهيم مي لذا افزايش يافته استاولدوره به دوم نسبت ميانگين سيالب حداكثر دوره رسد كه به نظر مي

:را بيازماييم فرض اين يا قبول

63

01.0

1539:

1539:

1

0

H

H

و نيز محاسـبه ميـانگين مترمكعب در ثانيه 372 انحرف معيار مترمكعب در ثانيه، 1539بادر نظر گرفتن ميانگين :است داريم مترمكعب در ثانيه 3653دوره دوم كه برابر با

7.194.107

15393653

n

Z

1نرمـال پيوسـت با استفاده از جـدول ،12nوبه صورت يكطرفه 01/0خطاي قابل قبول با فرض هم چنين :داريم

326.2 z 99.1 xF 326.27.19چون 0 پس فرضH و در واقع ميـانگين سـيالبهاي دوره دوم نـسبت بـه دوره اول شود مي رد

.تغيير معناداري دارد

مقـدار ي، عملـ ماننـد بـسياري از مـسايل 4-5در مثـال : تغييرات در ميانگين حداكثر سيل سـاليانه 5-5مثال studenttشود تـا از توزيـع مي امر موجب اين .دانيم ميرا ن جامعه انحراف معيار واقعي بـا اسـتفاده كنـيم و

:توجه به شرايط مساله داريم

7.194.107

15393653

nS

t

:توان نوشت مي 2با استفاده از جدول پيوست

718.2111

99.0101.0,11

tn

tF

718.27.19چون 0 پس فرضH شود مي باز رد. البهاي يك حوضه ممكـن اسـت اتفـاق وقوع اين تغيير در سي هندسي براي به نظر شما چه داليل م :1-5تمرين .دهند هاي زماني خيلي طوالني و نه ده ساله رخ مي توجه شود كه كه پديده هاي طبيعي در بازه. بيافتد

1ي غير پارامتريها روشآزمون به

انگين، انحـراف معيـار، ي آماري مبتني بر مقدار پارامترهايي از قبيل مي ها ي گذشته محاسبات و آزمون ها در فصل از طرف ديگر اغلـب . است دشواري كار اين پارامترها برآورد ولي همانطور كه مشاهده شد .چولگي و غيره بود

مشكالت دانشمندان علم آمار را بر آن داشته تـا اين .احتمالي هم هستيم نيازمند دانستن نوع توزيع آماري متغير

1 Nonparametric methods

64

را زيـ مشهور به ناپارامتري هستند ها روش اين .داين را ارايه نم هستنديت دو محدود اينمستقل از يي كه ها روش .شود ميدر ادامه يك نمونه از آنها ارايه نيازي به آن پارامترها ندارند كه

درجه همبستگي اسپيرمن

بـراي ي مـذكور در آن فـصل هـا روش. ضريب همبستگي بين دو متغير آشنا شديم رگرسيون و در فصل اول با هـستند ولـي مـا اغلـب بـه مقـادير واريـانس و انحـراف معيـار سبه ضريب همبستگي نيازمند پارامترهاي ك محابـه نـام پـارامتري غير روشهاييكي از براي حل اين مشكل .جامعه دسترسي نداريم واريانس و انحراف معيار ك

را بـه ترتيبـي هـا ي از داده منظور ابتـدا هـر سـر اين به. شود مي فصل معرفي اين درضريب همبستگي اسپيرمن ام nترين داده از لحاظ مقدار در مرتبه اول قرار داشته باشد و كوچكترين داده در رتبـه كه بزرگ كنيم ميمرتب

اگر ين ابنابر. ، يا برعكس قرار بگيرد ii yx بـه هـا دو سري داده باشند ضـريب همبـستگي اسـپيرمن بـراي آن , :شود ميصورت زير محاسبه

1

61

21

2

nn

dr

n

i i

s عـدم همبـستگي دو متغيـر ه معنـي آزمون فرض صفر ب اين در. تفاضل رتبه دو متغير متناظر است idكه در آن

:كند ميط زير پيروي با شروزيع نرمال از تsr صورت اين در. است0rsيعني

1

1

nrVar s

چگـالي و 2-5ي موجـود در جـدول هـا داده : درجه همبستگي بين مقاومت فشاري و چگالي بـتن 6-5مثال

دو متغيـر را بـا در اين همبستگي بينخواهيم مي .دنده مي ماه نشان 15 نمونه بتن را در طي 40مقاومت فشاري .بررسي كنيم 01/0 همبستگي اسپيرمن با خطاي قابل قبول نظر گرفتن درجه

0:0 ،چگالي ومقاومت بتن مستقل از هم هستند rsH 0:1 ،چگالي ومقاومت بتن به هم وابسته هستند rsH

بـراي محاسـبه . ماي سپس تفاضل رتبه دو متغير متناظر را نيز مشخص كرده شده و مرتب داده ها 2-5در جدول :ضريب همبستگي اسپيرمن داريم

42.0)140(40

618961

)1(

61

22

40

1

2

nn

dr i i

s : پسكند مي از توزيع نرمال تبعيت srهمانطور كه گفته شد تحت فرض صفر،

62.2

1401

042.0

s

rss

rVar

rZ

: زيرايابيم يم )2.58 ,2.58-(به صورت با استفاده از جدول توزيع نرمال ناحيه بحراني متناظر را 58.201.0

2

z

65

58.262.2چون 0 پس فرض صفرH توان گفت كـه مي 99/0يعني با دقت . شود مي رد يعني عدم همبستگي ـ ها با هم همبسته هستند ي اينكه داده در تشخيص براي راحتي . دو متغير به هم وابسته هستند اين د توجـه ا نه باي

.هاي همبسته ضريب اسپيرمن نبايد عددي بزرگتر از حد آستانه يا حد بحراني باشد كرد كه براي متغير

66

هاي مرتب شده مقاومت و چگالي نمونه بتني داده2-5جدول

1ي خوبي برازشها آزمون و دانـسته فـرض كـرده ا ريالتاحتمـا كرديم كه نوع توزيع احتمـال متغيـر مي فرض ها تا به حال در تمام آزمون

توزيـع تـابع خـود خـواهيم ميدر اين بخش .داديم ميرا براي برآورد پارامترهاي آن توزيع انجام آماري آزمون ايـن آزموني كه براي بررسـي درسـتي كه آيا ساختار مدل مناسب است يا نه؟ را مورد آزمون قرار دهيم احتمال

در .باشـد مـي خي مربع آزمون آن مشهورترين روش و شود ميميده فرض بايد انجام داد آزمون خوبي برازش نا . نمايش داده شده است3-5اين روش نحوه توزيع احتمال در شكل

1 Goodness of fit test

67

تابع چگالي احتمال و تابع تجمعي احتمال براي خي مربع3- 5شكل

2 يامربعخي آزمونفراوانـي يعنـي Oi مقـدار حـال . كنيم مي تكرار بار به طور مستقل n را احتماالتي يك آزمايش آزمون اين براي

در محاسبه كـرده و را توزيع مورد نظر به كمك فراواني ي مقدار انتظار Ei وها از داده i طبقهبراي مشاهده شده .نماييم محاسبه مي سپس آماره زير را .نماييم جدولي مرتب مي

l

i i

ii

E

EO

1

22

آن را بـا حال نيازمند يك حـد آسـتانه هـستيم تـا . مقدار زياد براي اين آماره نشانگر ضعيف بودن برازش است تحـت آماره اين بزرگ باشد، يعني اندازه فضاي نمونه n كه اگر اند ه نشان داد محققين. مقدار آماره مقايسه كنيم

kl با درجه آزادي 2 از توزيع ، تقريبا 0Hفرض 1 كه در آن . كند ميپيرويl طبقـات مـورد تعـدادبـا اسـتفاده از حـال . شود ميي مورد بررسي است كه معموال برابر يك در نظر گرفته ها تعداد متغير k و بررسي

:مداري 3از پيوست 2جدول توزيع 2

1,2

kl مورد نظـر و گرنه توزيع كنيم مي رد مبني بر خوبي برازش مدل مفروض را با ميزان خطاي 0Hآنگاه فرض

. مقدار فراواني هستند و نه فراواني نسبي يا احتمال وقوعEi و Oiمقادير دقت شود كه . برازش خوبي دارد

روزهـاي مرطـوب پـشت ع وقـو فراواني مـشاهداتي 3-5جدول در مثال : بارندگي ميزان رطوبت و 7-5مثال در مـورد رد يـا خـواهيم مـي آماري اكنون با استفاده از آزمون .ارايه شده است ي موجود ها بر اساس داده سرهم

68

در جـدول .تـصميم بگيـريم يا نه كند مي فرض كه توالي روزهاي مرطوب از توزيع هندسي تبعيت اين پذيرش . نيز ارايه شده است392.0p با فرض مقدار احتمالبه كمك توزيع هندسي و مقدار فراواني محاسباتي 5-3 0: Hها داده هندسي مناسب مبني بر توزيع 1: H كند مي از توزيع هندسي پيروي ناحتماليكه متغير اين.

فراواني روزهاي مرطوب پشت سرهم3-5جدول

: با استفاده از جدول باال داريم2 آمارهبراي محاسبه

t

i i

ii

E

EO

1

22

49.82.2

2.22...

4.66

4.6666

2.109

2.109101

6.179

6.179194 2222

: از جدول پيوست داريم05.0 نظر گرفتن اكنون با در

5.15

05.0

811101

205.0,8

kl

205.0,8

2 5.1549.8 زيرا شود و چگـالي احتمـال پديـده مـورد نظـر از مي فرض صفر پذيرفته اين، بنابرــت ــي تبعيــــــــــــــ ــع هندســــــــــــــ ــيتوزيــــــــــــــ ــد مــــــــــــــ . كنــــــــــــــ

والسالم

69

نرمالتجمعي جدول توزيع :1پيوست dtt

zz

2exp

2

1 2

70

studenttتجمعي جدول توزيع :2پيوست

t

dzz

tF212 122

21

71

2 تجمعي جدول توزيع:3پيوست

2

0

22

2

2exp2

2

1

dt

ttF