SEQUÊNCIA DIDÁTICA – MATEMÁTICA

TEMA III – NÚMEROS E OPERAÇÕES/ÁLGEBRA E FUNÇÕES

HABILIDADE D30 – Geometria -Trigonometria CONTEÚDOS Gráficos de funções trigonométricas (seno e cosseno) e propriedades. Hora de praticar um pouco! Agora, com a orientação do professor, você e seus colegas irão responder às questões abaixo. ATIVIDADE 1: Iniciando a conversa...

(Adaptado da OBMEP) – Em um programa que se chama Roda a Roda, existe uma roleta que os participantes giram para saber qual o seu prêmio, conforme a figura. A roleta deve estar posicionada sempre no PERDE TUDO antes do giro de qualquer participante e o

giro deve ser sempre no sentido horário. a) Qual o menor ângulo para que o prêmio de Felipe seja 100? b) Quais ângulos fazem com que Felipe perca a vez ou perca tudo?

O que precisamos para encontrar as respostas? Converse com seus colegas para resolver a situação proposta.

Convém ressaltar que, para essa situação, discutiremos nocões básicas de Trigonometria e ao longo desta sequência didática nos dedicaremos ao estudo de funções trigonométricas para resolver outros problemas.

Bom estudo para você!

Recordando...uma volta completa de 360º representa uma circunferência. Ao estudar funções trigonométricas (como seno, cosseno e tangente), é comum utilizarmos os ângulos em graus. Mas, usualmente, assumimos que o ângulo é dado em radianos. Observe as figuras a seguir, pois, discutiremos a ideia de um ângulo de 1 radiano. Começando...

Agora, prossiga preenchendo as lacunas.

a) Um círculo tem raio ___________.

b) A rotação é de um ____________.

c) Entornando o __________ sobre o círculo.

d) Marcando o ângulo central de 1 _____________.

e) Um radiano é a medida de um ângulo central de um arco cujo comprimento é igual ao ____________do círculo (ao qual o arco pertence). Abreviamos 1 ___________________ por 1 rad.

Secretaria de Estado da Educação Secretaria Adjunta de Gestão da Rede de Ensino e da Aprendizagem

Programa Mais IDEB

f) O comprimento da circunferência completa corresponde a r2C . Como 1r , então, _______C . Por isso

podemos dizer que 360º corresponde a ___________rad.

Fique atento para as observações relativas à atividade que acabou de realizar...

Ao estudar Trigonometria, o uso do “grau” como unidade de ângulo não é conveniente. Há outra unidade de medida de ângulos, que chama-se radiano. Ela é definida de uma maneira mais fundamental e não depende da escolha de um número arbitrário de pedaços (arcos).

Um radiano é a medida do ângulo central de um arco cujo comprimento é igual ao raio do círculo (ao qual o arco pertence). Abreviamos 1 radiano para 1 rad.

Pelo exposto, quando rad1 , temos que o Carco= 1 rad. Logo, º572

º360rad1r

º360.r2

.

Então, a medida de um arco em radiano é a razão entre o comprimento do arco e o raio da circunferência sobre o qual está determinado.

Para serem realizadas conversões entre – graus e radianos – basta utilizar uma regra de três a partir da

correspondência: º180ouº360 .

ATIVIDADE 2: Para não escapar nada...

SENO DE ALGUNS VALORES

Vamos pensar numa circunferência centrada em (0,0) e de raio 1. Dentro do círculo, consideramos o ângulo de análise partindo da parte positiva do eixo x e crescendo no sentido anti-horário, da seguinte forma:

Ressaltamos que, ao percorremos no sentido anti-horário, teremos ângulos positivos, no sentido horário, ângulos negativos. Além disso, o sentido de crescimento dos quadrantes, também será no sentido anti-horário. Daí, temos quatro quadrantes.

Continuando esse estudo... analise as figuras a seguir:

Considere o triângulo MOP, relacione o que se pede utilizando segmento de reta:

a) Qual o hipotenusa

xaopostocatetoxsen

b) Identifique o segmento que representa o sen x: _______________

c) A cada número real x corresponde um único ponto P, extremidade do arco AP de medida x. Por sua vez, corresponde

uma única ordenada chamada ___________________.

d) A função de ℝ → ℝ que a cada número real x associa a ordenada do ponto P é, por definição, a função

_____________.

e) Olhando um pouco mais de cuidado ao círculo trigonométrico, temos outros ângulos simétricos aos notáveis que podem ser determinados nesse ciclo. Uma maneira de determinar os ângulos simétricos em radianos nos outros quadrantes é cantando: “Tira um, põe um, dobra e tira um”. Veja, na figura, os simétricos a partir

de 6

.

Agora que você sabe como encontrar outros arcos simétricos,

considere sen x e, veja como os valores dos arcos x percorrem o

intervalo de [0; 2π]. Esses arcos caminham por todo o círculo

trigonométrico no sentido anti-horário (sentido positivo). Confira

isso na figura:

Consulte os valores dos senos, já definidos anteriormente e inferindo os outros valores por simetria, preencha o quadro a seguir:

x 0 6

4

3

2

3

2

4

3 6

5

6

7

4

5

3

4 2

3

3

5

4

7

6

11 2

senx

f) Considere, a figura abaixo e indique, em cada quadrante, o sinal da ordenada um arco qualquer:

.0_____xsen2

;0ouº90;º0x:quadranteº1

.0____xsen;2

ouº180;º90x:quadranteº2

.0____xsen2

3;ouº270;º180x:quadranteº3

.0____xsen2;2

3ouº360;º270x:quadranteº4

e) Antes de iniciarmos a Atividade 3, volte ao problema proposto no início da sequência didática para resolvê-lo.

ATIVIDADE 3: Prosseguindo...

FUNÇÃO SENO E SUA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

Antes de partir para a atividade, é necessário ficar atento às observações contidas no boxe.

Para se ter ideia do comportamento geral da função seno, é conveniente construir seu gráfico. A princípio, seria necessário conhecer todos os pontos para obter o gráfico, entretanto, o conjunto de pontos discutidos anteriormente permite construir uma figura bastante próxima do gráfico desejado.

Utilizando os pontos (x;y) do quadro de valores, onde y = sen x, construímos o gráfico da seno de 0 a 2π. Antes, é importante atentar para as propriedades.

O domínio da função y = sen x é definido no conjunto dos números reais, isto é, D(f) = .

Para qualquer x existe sen x tal que -1 sen x 1, ou seja, [ -1;1].

É uma função periódica, de período p = 2π. Depois desse intervalo, os valores de y = sen x começam a se repetir.

Positiva no primeiro e segundo quadrantes, negativa no terceiro e quarto quadrantes.

A função seno é limitada.

Veja o gráfico considerando o sentido anti-horário de.

a) Diante do que já foi definido a respeito da função seno, esboce o

gráfico da função f: [0; 2 ] ℝ,

definida por y = sen x.

b) Esboçar o gráfico da função g(x) = 1 + sen x, no intervalo de [0; 2π], identificando a imagem e o período.

ATIVIDADE 4. Entendendo cosseno...

COSSENO DE UM ARCO

Analise as figuras a seguir:

Na terceira figura temos o triângulo MOP... relacione o que se pede utilizando segmento de reta:

a) Qual o hipotenusa

xaadjacentecatetoxcos

b) Identifique o segmento que representa o cos x: _______________

c) A cada número real x corresponde um único ponto P, extremidade do arco AP de medida x. Por sua vez, corresponde

uma única abscissa chamada ___________________.

d) A função de ℝ→ ℝ que a cada número real x associa a abscissa do ponto P é, por definição, a função ___________.

e) Retomando um pouco sobre o círculo trigonométrico, temos outros ângulos simétricos aos notáveis que podem ser determinados nesse ciclo. Uma maneira de determinar os ângulos simétricos em radianos nos outros quadrantes é cantando: “Tira um, põe um, dobra e tira um”.

Veja, na figura, os simétricos a partir de 6

.

Agora que você sabe como encontrar outros arcos

simétricos, considere cos x e, veja como os valores dos

arcos x percorrem o intervalo de [0; 2π]. Esses arcos

caminham por todo o círculo trigonométrico no sentido

anti-horário (sentido positivo). Confira isso na figura:

Consulte os valores dos cossenos, já definidos anteriormente e inferindo os outros valores por simetria, preencha o quadro a seguir:

x 0 6

4

3

2

3

2

4

3

6

5

6

7

4

5

3

4

2

3

3

5

4

7

6

11 2

cosx

d) Considere, a figura abaixo e indique, em cada quadrante, o sinal da ordenada um arco qualquer:

.0_____xcos2

;0ouº90;º0x:quadranteº1

.0____xcos;2

ouº180;º90x:quadranteº2

.0____xcos2

3;ouº270;º180x:quadranteº3

.0____xcos2;2

3ouº360;º270x:quadranteº4

ATIVIDADE 5: Prosseguindo...

FUNÇÃO COSSENO E SUA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

Antes de partir para a atividade, é necessário ficar atento às observações contidas no boxe.

Para se ter ideia do comportamento geral da função seno, é conveniente construir seu gráfico. A princípio, seria necessário conhecer todos os pontos para obter o gráfico, entretanto, o conjunto de pontos discutidos anteriormente permite construir uma figura bastante próxima do gráfico desejado.

Utilizando os pontos (x;y) do quadro de valores, onde y = cos x, construímos o gráfico da seno de 0 a 2π. Antes, é importante atentar para as propriedades.

Propriedades:

O domínio da função y = cos x é definido no conjunto dos números reais, isto é, D(f) =ℝ.

Para qualquer x ℝ existe cos x tal que -1 cos x 1, ou seja, [ -1;1].

É uma função periódica, de período p=2π. Depois desse intervalo, os valores de y = cos x começam a se repetir.

Positiva no primeiro e quarto quadrantes, negativa no segundo e terceiro quadrantes.

A função seno é limitada.

Veja o gráfico considerando o sentido anti-horário de.

Agora vamos à prática...

a) Diante do que já foi definido sobre a função cosseno, esboce o

gráfico da função f: [0; 2 ] ,

definida por y = cos x.

b) Esboçar o gráfico da função g(x) = 2.cos x, no intervalo de [0; 2π], identificando a imagem e o período.

Atividade 8. Testando conhecimentos sobre funções seno, cosseno e tangente.

(SAEB) Observe o gráfico a seguir.

Qual a função que melhor representa esse gráfico no intervalo [0, 2π] ?

A) xcosy B) 2

xcosy C) )x(seny D) x2seny E) xsen2y

(SAEB) O gráfico da função y = cos x é: