ةﺮﻘﺘﺴﻣ - charbaji.com · (arima models = autoregressive integrated moving average...

Professor Dr. Charbaji at CHARBAJI Consultants - Beirut-Lebanon 00961 1 355046

لتاسعالفصل ا

السالسل الزمنية والتنبؤات

:تمهيد

تعتمد وهي نماذج , نحدار الخطي وغير الخطيألاماذج ن آل مناقشة ةل السابقوتم في الفص وذلك باألعتماد على النظرية نحداراأل حيث يتم معالجة معادلة . النظرية العلمية أساسا لها

اضافة الى , ) Review of Literature( ونتائج الدراسات السابقة, ) Theory(األقتصادية أما في هذا الفصل فاننا سوف نتناول موضوعا مختلفا يتم فيه .)Logical Basis( األسس المنطقية

الزمن معتمدين في ذلك على قيم الظاهرة في الفترة أو خالل ) Yt(في الفترة الحالية توقع الظاهرة آأن نعتمد في توقع سعر األفتتاح للسهم باألعتماد على ) Lagged value Yt-1( قةالزمنية الساب ) Let data speak for themselves( ، فيقال عندئذ ، دع البيانات تتكلم عن نفسهاسعر األقفال

.)Data have memory(ذلك أن للبيانات ذاآرة

، ولكنها تشترط شرطا )Forecasting( اظاهرة وتعتبر السالسل الزمنية من أهم أساليب توقع، أو أنه يمكن أن نجعل السالسل الزمنية مستقرة هاما مؤداه أنه يجب أن تكون السالسل الزمنية

Forecasting methods assume that the underlying time series are مستقرةstationary or can be made stationary ويثار التساؤل هنا عن آيفية اختبار فيما اذا آانت

المناسبة والتي ) Transformation( ، أو ماهي اجراءات التحويلمستقرة السالسل الزمنية ؟ مستقرة جعل السالسل الزمنية ايمكننا اتخاذها بحيث يمكنن

والمعروفة باسم( Box and Jenkins - BJ Methodology)المنهجية التي قدمها ال شك أن

ARIMA models = Autoregressive Integrated Moving Average Models)( ويمكننا النظر الى الرسمين البيانيين أدناه للتعرف على . هي التي تساعدنا في األجابة على ذلك

ثم آبيانات سلسلة زمنية آبيانات سلسلة زمنية مستقرة أوال ) Stock Index( الرقم القياسي لألسهمو يتضح الفرق الكبير بين ) stationary or can be made stationary(غير مستقرة ثانيا

في الرسم البياني ) Trend( الرسمين البيانيين بشكل واضح وآبيرا من مالحظة األتجاه التصاعدي ط البياني المتموج حول الوسط في ثم في الخ األول لبيانات السلسلة الزمنية األساسية قبل تحويلها

: View \ Line Graphالثاني مستخدمين الرسم البياني

ذلك على النظرية األقتصادية ونتائج الدراسات السابقة أن مثل هذه النماذج ال تعتمد, الجدير بالذآر وحتى نتمكن من .الموجودة في الظاهرة قيد البحث) Memory( يعتمد على الذاآرةأن الباحث

تبسيط الشرح فاننا سوف نعمل على شرح السالسل الزمنية من خالل تناول مثال بسيط عن دراسة Stock) بالرقم القياسي لألسهم) Industrial Production Index( عالقة الرقم القياسي لألنتاج

Index) مده آخطوة أولى بعد واتسن والذي نعت- معتمدين وقبل آل شيء على اختبار دوربون :الرسمين البيانيين

270


271


272


273


الى أن العالقة قوية جدا بين المتغير التابع والمتغير المستقل 0.979عامل األرتباط ويشير م%. 5 أقل من 0.0مستوى المعنوية عند 876.5494829آما يتضح من قيمة احصائية ف

ويدل ذلك (Grow over time) يتزايدان عبر الزمن Y و Xالمتغيرين الجدير بالذآر أن حذف متغيرات من ناتج عن (Specification error)على خطأ في تحديد النموذج القياسي

واتسون يؤآد آالمنا هذا ألن –الجدير بالذآر أن اختبار دوربون . النموذج أهمها عامل الزمنهي d = 0.123 (Durbin – Watson Test ( واتسون –حتسبة ألختبار دوربون مة الميالق

بين قيم (Positive autocorrelation) قيمة جوهرية وتدل على وجود ارتباط ايجابي تلقائي . Y و X لكل من المتغيرين (The error term) المتغير العشوائي

حتسبة أقل من القيمة الجدولية توجب علينا ايجاد قيمة األرتباط التلقائي وذلك أن القيمة الوبما .ألستخدامها في تحويل البيانات الى قيم خالية من األرتباط التلقائي

274


275


.لذلك فاننا سوف نستخدمها في تصحيح البيانات 0.907 هي Yt-1 قيمة ونظرا أن

276


B2*(SQRT(1-0.907^2)): على النحو األتي B2ب تصحيح القيمة في يج :مالحظة

277


278


279


هي جوهرية من 0.992 واتسون أن قيمة األحصائية –يتضح من احصائية دوربون و

فانما يدل وبشكل قاطع على فشلنا في ولئن دل هذا على شيء )Significant(الناحية األحصائية معامل فلو عدنا الى قيمة، وال غرابة في ذلك . ف األرتباط التلقائي منها البيانات بحذتصحيح

لوجدنا أن هذه القيمة قريبة جدا من الواحد الصحيح 0.907 هي و Yt-1 األنحدار للمتغير Series ة أو غير مستقرSeries A Stationaryالسالسل الزمنية قد تكون مستقرة علما أن

A nonstationary . : تأخذ الشكل األتي انها غير المستقرة فعلما أن السالسل الزمنية

Unit Root أو Random Walk أو Series A Non-Stationaryوتعرف باسم

في األسواق المالية عند حيث تتحدد القيمة الحالية بالقيمة السابقة آأن يتحدد السعر الحالي للسهم .بق عند األقفالابالسعر الس بشكل أساس األفتتاح

: أما السالسل الزمنية المستقرة فانها تأخذ الشكل األتي

yt = µ + t

. White Noise أو Series Stationaryوتعرف باسم ات ختبارجراء ا وذلك با Unit Rootيعاني من يمكننا أن نختبر فيما اذا اذا آان متغيرا ما و

Autocorrelation Function ACF و Autocorrelation Function PACF Partial

280


في Unit Root علما أنه اذا وجد Box-Pierce Q Statistic اضافة الى اختبار : األتيالفروقات على النحو يانات باستخدام توجب عندئذ تحويل الببيانات السلسلة الزمنية

نجد أنه يمكننا مثالنا السابق الى وبالعودة. فروقات قيم المتغير دالة في القيم السابقةعلى أن نأخذ

:الي على النحو الت هذه المشكلة غيرين يعاني من ت الم من اختبار فيما اذا آان آال

Eviews \ View \ Correlogram \ Level دعنا نستخدم

281


الرسم البياني أعاله أن عالقة في Autocorrelation Function ACF استخدام ويتضح منY بالقيم السابقة Yt-p في الفترة األولى 0.907عالقات قوية للغاية حيث تبدأ بقيمة هي Yt-1

ثم Yt-2 الثانية في الفترة 0.821ريجي وبشكل بطيء لتصبح وتأخذ في التناقص التدأو علما أننا نأخذ عادة ثلث السلسة الزمنية Yt-14 الرابعة عشر في الفترة 0.013لتصبح

. على األقل Level = 15أخذ يجب قيمة لذلك 40ربعها في الرسم البياني وبما أنه لدينا ( A rule of thumb is to compute ACF up to one - third to one – quarter length of time series. It recommended to have a large number of lags.

لفة الذآر والموجودة في الرسم البياني ساويثار التساؤل هنا، أنه آيف يمكننا معرفة آانت العالقات ال جوهرية من الناحية األحصائية ؟ ولألجابة على 0.013 أو 0.821 أو 0.907ه مثل ال

Lj

استخ

أع Yt-p وبين Y هذا السؤال فاننا قد نلجأ الى احتساب فترة الثقة لمعامل األرتباط بين

(confidence interval for autocorrelation coefficient )ام اختبار استخد نلجأ الى قد أوQ المعروف باسم Box-Pierce Q Statistic أو باسم unk- Box (LB) Statistic

فينصح بعدمY وبين Y أما فيما يتعلق باحتساب فترة الثقة لمعامل األرتباط بين t-p لما أن احتساب فترة عQاخذ وقت في األحتساب ويفضل عليها استخدام احصائية تدامها ألنها

رتباط ويساوي الجذر التربيعي لواحد مقسوما أل احتساب األنحراف المعياري لمعامل ا الثقة يتطلب 0.013 الثقة لمعامل األرتباط وقيمته ترة تكون ف %95 وبثقة . على عدد قيم السلسلة الزمنية

SQRT* .96 1 +.013 0)40/1( :يت على النحو اآلtY-14في الفترة الرابعة عشر

282


ونظرا ألن . هي عالقات قوية Yt-p بالقيم السابقة Y أن عالقة ألحصائية وتدل على

Q Q

ا هي عملية طويلة ومملة لذلك ينصح باستخدام احتساب فترات الثقة لكل معامالت األرتباط

مضروبا قيم السلسلة الزمنية عدد ة عن ر هي عباQاحصائية أن علما .Qاحصائية للفترة Qاحصائية احتساب قيم ومثال ذلك Yt-p بالقيم السابقة Yعالقة مربع بمجموع

:األولى وللفترة الثانية في الرسم البياني أعاله

= 40 * (0.907)(0.907)

= 40 * ((0.907)(0.907)+(0.821)(0.821))

Q احصائية والمعروف باسم سم البياني هو التعديل على اختبار علما أن الموجود في الر

: Ljunk-Box (LB)

Q = 40 * (40+2) * ((0.907)(0.907)/(40-1)) = 35.4 Q = 40 * (40+2) * (((0.907^2 )/(40-1))+(0.821^2 )/(40-2)) ) = 66

هي جوهرية من الناحية األحصائية حيث Qويتضح من الرسم البياني أعاله أن آل قيم احصائ

عن طريق الصدفة هو احتمال ضئيل للغاية وفي الحقيقة صفرا ، Q احتمال حصول قيم

Unit Root يأ Random Walk يأ Series A Non-Stationaryمتغيرات

: للفترة األولى وللفترة الثانية في الرسم البياني أعاله Q احتساب قيم احصائية ومثال ذلك

3

يةأن

Prob = 0.000. آال من دل على أن ولئن دل ذل على شيء فانما يYو X هي

283


Autocorrelation Function ACF Partial أيضا قيم البيانيالرسم في ويتضح

الى K=1سابقة على فترات متتالية من مع القيم ال Yعالقات القيم الحالية للمتغير وهي

K=20 بعد حذف أثر الفترات فيما بينها (The correlation of Y values that are K apart, after removing the correlation from the intervening lags) هي

ثم ال تلبس أن تصبح صفرا عند الفترة K=1 فترة عالقات موجبة قوية جدا في البداية عند الK= 2 داللة على أن العالقة هي من نوع ثم تصبح سالبة :

: أن اآتشافنا أعاله الى العالقة هي من نوعالجدير بالذآر هنا، :لنحو األتي وذلك على اUnit Rootيؤهلنا الى اجراء اختبار

u +1 − tyρ = ty هو)imple S AR odelM) 1 على فكرة أن Unit Root يعتمد اختبار : من طرفي المعادلة نحصل علىyt − 1 واذا حذفنا

yt - yt − 1 = ρyt − 1 - yt − 1 + u

yt - yt − 1 = (ρ -1) yt − 1 + u

284

http://en.wikipedia.org/wiki/Autoregressive


Δyt = δy t − 1 + ut

δ = (ρ -1) : صفرا أصبح األنحدار معامل δ فاذا آانت قيمة

Δyt = ut yt - yt − 1 = ut

ومجموع صفرالوأموجبة قيم وألبة ا هي متغير عشوائي يأخذ قيم سut وبما أن

first الفروقات األولية صفرا لذلك نخلص الى أنيساوي ومعدله المتغير العشوائي differences ألي متغير هي مستقرة من نوع Series Stationary أو

األولية وقاتر وآل ما يتطلبه هذا األختبار هو أن نأخذ الف . White Noise مايعرف ب yt - yt − 1 Δyt = دالة في القيم السابقة yt − 1 فاذا قيمة األنحدار δدل صفرا

هيY هو الواحد الصحيح مما يدل على أن البيانات ρذلك على أن معامل األرتباط التلقائي Unit Root األنحدار أما اذا آانت قيمة δعلمنا عندئذ أن البيانات سالبة Y هي

توجب علينا تجاهل القيمة الموجبة موجبة δ األنحدار أما اذا آانت قيمة .Stationaryمستقرة . هتمام بهاألوعدم ا

View \ Unit Root Test

285


286


المطلقة المحسوبة أنها جميعا ال تقع الى يسار القيموت –حصائية أل المطلقة قيم الوتشير ويفرض علينا أن نأخذ Unit Rootالجدولية مما يدل على وجود تو – ألحصائية

المطلقة علما أننا نقارن عادة القيم X. دالة في فروقات المتغير Yفروقات المتغير ذا آانت القيمة فا. الجدولية مع القيم tau-test" MacKinnon’s"المحسوبة ألختبار

tau-test" MacKinnon’s"للقيمة المحسوبة ألختبار ) Absolute value(المطلقة "tau-test"للقيمة الجدولية ألختبار ) Absolute value(القيمة المطلقة منأآبرهي

MacKinnon’s اعتبرنا البيانات Stationaryيمة المطلقة أما اذا آانت الق Absolute value للقيمة المحسوبة ألختبار“tau-test” MacKinnon’s القيمة المطلقة من أصغر هي

)Absolute value ( للقيمة الجدولية ألختبار“tau-test” MacKinnon’s اعتبرنا Unit Root.البيانات

فان قيمتان ) Coefficient( أنه من أصل ثالثة قيم لألنحدار ويتضح من نتائج الكمبيوتر أعاله Absoluteويجب تجاهلها فيبقى قيمة سالبة ونالحظ أن القيمة المطلقة ) Positive(هي ايجابية value للقيمة المحسوبة ألختبار“tau-test” MacKinnon’s القيمة من أصغر هي

لذلك tau-test” MacKinnon’s“للقيمة الجدولية ألختبار ) Absolute value(المطلقة Unit Root.نخلص أن البيانات هي

287


288


289


آما هو Cointegrationوسوف نعتمد اختبار دوربون واتسون دون التوسع ودون التكلم عن Y المثال فسوف نكتفي بأن انحدار فروقات مبين في المثال الرابع فيما بعدز أما في هذا

. واتسون غير جوهري من الناحية األحصائية– جعل دوربون X على فروقات

290


291


:مثال ثاني

2005:4 الى 1984:1 من فصال88 بيانات عن المبيعات خالل مثاال عن نتناول اآلن

292


293


294


: السابقة فقط ، أي أن تتحدد بالقيمYدعنا نتفترض أن المبيعات

، في الفترة الحالية عن وسطها الحسابي Yt وبمعنى أدق فاننا أخذنا انحراف قيم المبيعات

يم أي تغيرات ق Yt 1-دالة بقيم انحراف قيم المبيعات عن وسطها الحسابي Yأي تغيرات قيم -1 Y ودالة أيضا بقيم المتغير العشوائي في الفترة السابقة .

في الفترة السابقة في المعادلة أعاله هي مسبوقة بمعامل Yt 1-الجدير ذآره، أن قيم المبيعات قد تصل الى( في الفترة الحالية تساوي نسبة Ytقيم المبيعات وبمعتى أدق فان b1األنحدار

في الفترة السابقة مضافا اليها المتغير العشوائي ويقال Yt 1-قيم المبيعات من) الواحد الصحيح First-Order Autoregressive تتبع مايعرف باسم Yt في هذه الحالة أن قيم المبيعات

ولو أننا . في الفترة السابقة Yt 1- اآتفينا في المعادلة السابقة باألعتماد على قيم المبيعات اذلك أنني ماقبل الفترة السابقة ألمكننا تعريف قيم تفي الفترةالتي تأ Yt 2-اعتمدنا أيضا على قيم المبيعات

واذا ما اعتمدنا Second-Order Autoregressive بأنها تتبع مايعرف باسم Ytالمبيعات

295


:على النحو اآلتيAR (p)

مبيعات قيم اللوحده على تحديد الذآر قد ال يعملالسالف process AR (p)الجدير ذآره أن

Yt في الفترة الحالية ، ذلك أن Yt بالوسط المتحرك تتحدد أيضا قد )Moving Average ( في الفترة الحالية على قيم Ytلقيم المتغير العشوائي ، واذا ما اعتمدنا في توقع قيم المبيعات

أ مكننا السابقة qلفترات لقيم المتغير العشوائي في ا) Moving Average( الوسط المتحرك qth -order moving average بأنها تتبع مايعرف باسم Ytتعريف قيم المبيعات

:على النحو اآلتيMA (q)

على Autoregressive Moving Average (ARMA) Modelsوبذلك نحصل على مايعرف ب

:النحو اآلتيARMA(p,q)

:منية عادة في شكلعلما أننا نكتب السلسلة الز

ARMA(p, d ,q)

السلسلة الزمني الى سلسلة مستقرة عن طريق احنساب ) Transform(داللة على امكانية تحويل : فروقات dالفروقات األولية أو استخدام

the underlying time series are made stationary by differencing the time series d times وعليه أصبح بامكاننا تلخيص التعامل مع السالسل الزمنية بأن:

View \ Correlogram من خالل األعتماد على (p, d ,q)نحدد قيم .1 The autocorrelation and Partial correlation Functions and Q testودراسة

ف على صحة النموذج الذي تم اختياره للتعر Box Jenkinsستخدام منهجية أ .2 .استخدام النموذج الذي تم اختياره في التوقع .3

296


p Yt- في الفترة الحالية على قيم المبيعات Ytقيم المبيعات عالقة ACFيتضح من ترة في الف Ytقيم المبيعات عالقة PACF السابقة ، بينما توضح Pفي الفترات

نها أثرقيم الفترات بيتثبيت السابقة، مع P في الفترات p Yt-الحالية على قيم المبيعات Partial autocorrelation measure correlation between (time series) observations that are K times period apart after controlling for correlation at intermediate lags.

23 تتناقص تدريجيا الى أن نصل الى الفترةACF قيم يتبين من الرسم البياني أعاله أن

%95ثقة فترة وب ) Significant( وآلها قيم جوهرية من الناحية األحصائية confidence interval for autocorrelation coefficient ) ( قة تكون فترة الث

:ي على النحو اآلتYt-23 في الفترة الرابعة عشر 0.214لمعامل األرتباط وقيمته )88/1(SQRT* .96 1 +.214 0 الفاننا قيمة الصفر الفترة ال تتضمن وبما أن هذه

يساوي الصفر Yt-p وبين Y نرفض فرض العدم ومؤداه أن معامل األرتباط بين فان هذة العالقة هي جوهرية من الناحية األحصائية وتدل على أن عالقة وبمعنى أدق

Y بالقيم السابقة Yt-p ونظرا ألن احتساب فترات الثقة لكل .هي عالقات قوية علما .Qمعامالت األرتباط هي عملية طويلة ومملة لذلك ينصح باستخدام احصائية

عدد قيم السلسلة الزمنية مضروبا بمجموع مربع هي عبارة عن Qاحصائية أن الجدير ذآره أن المثال أعاله هو مثال األقتصادي . Yt-p بالقيم السابقة Ytعالقة

Gujarati لكن باستخدام Econometrics EViews

297


ت السلسلة الزمنية هي بيانات غير مستقرة لقد تبين من الرسم أعاله أن بياناNonstationary بمعنى أن الوسط الحسابي Mean أو التباين Variance

البيانات بأخذ الفروقات trasformingهي غير ثابتة عبر الزمن فيتوجب تحويل the underlying time series are made stationary by differencing the time

series d times .

ذلك أن الرسم البياني األول لقيم المبيعات ، First Differenceدعنا نبدأ بأول فرق :والثاني لم يبين اتجاه تصاعدي للفروقات

ويتضح من الرسم البياني أعاله أن تحويل البيانات باستخدام الفرق األول قد جعل البيانات .Dickey- Fuller unit root test وهو ما يمكن تأآيده باستخدام اختبار مستقرة،

298


299


يدل على أن وأخيرا أصبح باستطاعتنا استخدام الفرق األول في التوقع ذلك أن األختبار أعاله دة القيمة علما أننا نقارن عا. تحويل البيانات قد أدى الى الحصول على فروقات مستقرة

فاذا آانت القيمة . مع القيمة الجدولية tau-test" MacKinnon’s"المحسوبة ألختبار tau-test" MacKinnon’s"للقيمة المحسوبة ألختبار ) Absolute value(المطلقة

"tau-test"ة ألختبار للقيمة الجدولي ) Absolute value(القيمة المطلقة منأآبرهي MacKinnon’s اعتبرنا البيانات Stationaryوأخيرا . آما يتضح من بيانات الفروقات

نود التنبيه هنا الى أن الرسم البياني لبيانات فروقات البيانات قد بين وجود نتوءات عند الفترة احتساب التوقعات عند ذلك في األعتبار عشرلذلك توجب أخذ األولى،والثمانية، واألثنى

Forecasting.

:وأخيرا أصبحت معادلة التوقع على النحو اآلتي

Y*t = bo + b1 Y*

t-1 + b2 Y*t-8 + b3 Y*

t-12 هي الفرق األول للبيانات *Yعلما أن

300


301


302


: أن نأخذ ألمكننا عندئذ 2006من عام ول فاذا أردنا توقع المبيعات للفصل األ

Y2006 – 1 - Y2005 – 4 = bo + b1 (Y2005 – 4 - Y2005 – 3) + b8 (Y2003 – 4 - Y2003 – 3) + b12 (Y2002 – 4 - Y2002 – 3)

Y2006 – 1 = bo + (1+b1) * Y2005 – 4 - b1* Y2005 – 3 + b8 * Y2003 – 4 - b8 *Y2002 – 3 + b12 *Y2002 – 4 - b12* Y2002 – 3

:لثمثال ثا

2005:4 الى 1984:1 فصال من 88مثاال عن بيانات عن األرباح خالل نتناول اآلن

303


304


305


306


307


308


:تلعب دورا Yt-5 أنح من الرسم البياني تضي

309


Cointegration :رابعمثال

1980 من عام خالل الفترةألثنين من األسهمسعار األ مؤشر مثاال عن بيانات عننتناول اآلن : 2006الى عام

Y. في توقع قيم Xالمطلوب استخدام

ضرورة اجراء اختبار واتسون-اختبار دوربون) Significance( يتضح من جوهرية

Unit Root

310


311


312


313


314


فان البيانات غير مستقرة 3.62 أقل من 0.29= احصائية تو بما أن

315


316


لذلك يتوجب Unit Root هما Y و Xأن المتغيرين يتضح من التحليل أعاله :Cointegrationما يعرف بال ها اختبار فيما اذا آان بين

317


318


319


Y و X لذلك يمكن القول أن UNIT ROOTالمتغير العشوائي هو بما أن

Y في توقع فروقات X ويمكننا اسخدام فروقات Cointegrated هما

320


321

ةﺮﻘﺘﺴﻣ - charbaji.com · (arima models = autoregressive integrated moving average...

Documents