تﺎﯿﺿﺎﯾر هﮋﯾو ﺖﯾﺎﺳ ﯽـﺿﺎﯾر يﺎﻫ ... · 2019-09-27 ·...

www.riazisara.ir سایت ویژه ریاضیات

یـزوه هاي ریاضـنامه ها و جـدرس اسخنامه تشریحی کنکورسواالت و پ

نمونه سواالت امتحانات ریاضی نرم افزارهاي ریاضیات

و...

ریاضی سرا در تلگرام: کانال سایت

https://t.me/riazisara (@riazisara)

شتمسال ه درسنامه و نکات کلیدی

ناحیه یک زاهدان مسعود زیرکاری

) اعداد مثبت و عدد صفر و اعداد منفی (اعداد صحیح از سه دسته تشکیل شده است : یادآوری اعداد صحیح :

نمایش می دهند : 𝒁 را با حرف انگلیسی اعداد صحیح نکته :

د دو باشنمختلف العالمت و اگر جمع باشند دو عدد را هم عالمت ابتدا اعداد را مختصر کرده سپس اگر جمع و تفریق اعداد صحیح :

را می گذاریم.عالمت عدد بزرگتر می کنیم و برای جواب کم عدد را

حاصل هر عبارت را به دست آورید؟ مثال :

ابتدا عالمت ها را در هم ضرب کرده سپس اعداد را با توجه به عالمت بین آن ها ضرب یا تقسیم ضرب و تقسیم اعداد صحیح :

می کنیم.

به دست آورید؟حاصل هر عبارت را مثال :

( توان و جذر 2 ( داخل مجموعه یا کروشه یا پرانتز 1اولویت های ریاضی :

( جمع و تفریق4 )از چپ به راست( ( ضرب و تقسیم3

حاصل عبارت زیر با توجه به ترتیب عملیات به دست آورید؟ مثال :

برای جمع اعداد یک سری منظم از رابطه های زیر استفاده می کنیم :نکته :

را به دست آورید؟ عبارت زیرحاصل مثال :

اعداد جواب می دهیم.دو به دو باشند ابتدا یک در میان مثبت و منفی برای جمع اعداد یک سری منظم که نکته :

حاصل عبارت زیر را به دست آورید؟ مثال :

𝑍 = {000 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 000}

[(−11) + (+12)] − (−7) = −11 + 12 + 7 = 1 10 − 18 + (+6) − (−(−9)) = 10 − 18 + 6 − 9 = −76

[(−6) × (+4)] ÷ (−8) = (−24) ÷ (−8) = 1

4 − 4 × 82 ÷ 6 − (9 ÷ 28) = 4 − 4 × 9 ÷ 6 − 1 = 4 − 86 ÷ 6 − 1 = 4 − 6 − 1 = −8

(−1) × [12 ÷ (+4)] = (−1) × (+8) = (−24)

دتعدا اعداد =عدد آخر − عدد اول

فاصله اعداد+ مجموع اعداد 1 =

عدد آخر + عدد اول

2× تعداد اعداد

8 + 6 + 9 + 000 + 204 = دتعدا اعداد 7081 =204 − 8

8+ 1 = 67 + 1 = مجموع اعداد 61 =

204 + 82

× 61 = 207 × 84 = 7081

10 − 12 + 14 − 16 + 000 + 102 − 104 = 24 × −2 = −41

دتعدا اعداد =104 − 10

2+ 1 = 47 + 1 = 41 41 ÷ 2 = 24

−2 −2 −2

)فصل اول(

عددهای صحیح و گویا

www.riazisara.irاز سايت رياضي سرادانلود



صفر باشد( )صورت و مخرج عدد صحیح و مخرج مخالفهر عددی که به کسر تبدیل شود عدد گویا نام دارد. اعداد گویا :

نمایش می دهند : 𝑸 اعداد گویا را با حرف انگلیسی نکته :

مخرج همان مخرج مشترک می گیریم. که بهترین ابتدا اعداد را مختصر کرده سپس: )اعداد کسری( جمع و تفریق اعداد گویا

مخرج ها می باشد.)ک.م.م(

حاصل جمع و تفریق های زیر را به دست آورید؟ مثال :

ابتدا در ضرب اعداد را ساده کرده سپس صورت در صورت و مخرج در مخرج ضرب می کنیم.ضرب اعداد گویا :

دست آورید؟حاصل ضرب های زیر را به مثال :

دوم ضرب کرده و حاصل را به دست کسرمعکوس تقسیم به ضرب تبدیل می شود یعنی کسر اولی را در تقسیم اعداد گویا :

می آوریم.

حاصل تقسیم های زیر را به دست آورید؟ مثال :

به ساده ترین صورت بنویسید؟ زیر را حاصل عبارتمثال :

نوشتن عددی گویا بین هر دو عدد گویا به چند روش است که دو روش کاربردی آن : نکته :

یک واحد در ( ابتدا مخرج مشترک گرفته سپس صورت و مخرج را 2کنیم می ( صورت ها با هم و مخرج ها با هم جمع 1

بیشتر از تعداد خواسته شده ضرب کنیم.

بین مثال : 3

4و

4

5 دو عدد گویا بنویسید؟

Q = {𝑎

𝑏 𝑎 , 𝑏 ∈ 𝑍, 𝑏 ≠ 0}

(+84) − (+

512

) =84−

512

=9 − 5

12=

412

=18 −

45+

112

−8

10=

−41 + 5 − 1160

= −6160

= −11

60

(+85) × (+

221

) =2

85

71×

27× (−

28) =

14× (−

28) = (−

16)

1

7

1 1

1

1

4 2

(−71) ÷ (−

1415

) = (−71) × (−

1514

) =1516

87

−45

= −1521

1

2

84<

79<

1114

<45

84 و

45⇒

1520

و1620

⇒4560

<4160

⇒4560

<4660

<4760

<4160

(−25) ÷ [(+

84) + (−

710

)] = (−25) ÷ (

15 − 1420

) = (−25) × (+20) = (−1)

دومروش روش اول

1

4

)فصل اول(

عددهای صحیح و گویا




پذیر باشد. شمارنده های آن عدد می گویند. بخش ها آنبه اعدادی که عدد داده شده بر شمارنده )مقسوم علیه( یک عدد :

مانند :

داشته باشد. عدد اول نام دارد.ش( )یک و خودهر عدد طبیعی بزرگتر از یک که فقط دو شمارنده عدد اول :

مانند :

اعداد اول به ترتیب عبارتند از : نکته :

عدد طبیعی که بیش از دو شمارنده داشته باشد. عدد مرکب نام دارد. هر عدد مرکب :

مانند :

هر عدد مرکب را می توان به صورت حاصل ضرب دو عدد طبیعی بزرگتر از یک نوشت : نکته :

)چون فقط یک شمارنده دارد(عدد یک نه اول است و نه مرکب است. نکته :

اگر یک عدد را در اعداد طبیعی به ترتیب ضرب کنیم. مضارب طبیعی آن عدد حاصل می شود.مضارب طبیعی یک عدد :

1 مضارب طبیعی را بنویسید؟ 8الف( مضارب طبیعی عدد مثال : = {1 , 16 , 24 , 82 , … }

18 چند است؟ 13ب( هشتمین مضرب × 1 = 104

تقسیم بندی می شوند.عدد یک( -اعداد مرکب –) اعداد اول اعداد طبیعی به سه دسته نکته :

شود آن دو عدد متباین هستند. یکاگر )ب.م.م( )بزرگترین شمارنده ی مشترک( دو عدد :)نسبت به هم اول( دو عدد متباین

, 14) مانند : 15) = 1 (11 , 25) = 1

زیر همواره نسبت به هم اول هستند : طبیعی اعدادنکته :

, 21) ت سر هم :الف( دو عدد پش 22) = , 14) ب( هر عدد با عدد یک : 1 1) = 1

, 5) ج( دو عدد اول متفاوت : 18) = 1

11 مضارب طبیعی مرکب هستند : غیر از خودش مضارب آن تمامباشد عددی اول اگر نکته : = {11 , 22 , 88 , 000}

6 مضارب طبیعی مرکب هستند :باشد تمام مضارب آن عددی مرکب اگر نکته : = {6 , 12 , 11 , 000}

شمارنده های عدد 12 = {1 , 2 , 8 , 4 , 6 , 12}

2 عدد اول = {1 , 11 عدد اول { 2 = {1 , 11 }

اعداد اول = {2 , 8 , 5 , 7 , 11 , 18 , 17 , 19 , … }

= 4 عدد مرکب {1 , 2 , 15 عدد مرکب { 4 = {1 , 8 , 5 , 15 }

15 عدد مرکب = 8 × 5

اول مرکب

مرکب

(دوم)فصل

عددهای اول




در این روش مراحل زیر را به ترتیب انجام می دهیم : تعیین عددهای اول )روش غربال( :

( عدد یک را خط می زنیم. )چون عدد یک نه اول است و نه مرکب(1

)غیر از خودش( را خط می زنیم. 3( تمام مضارب عدد 3 )غیر از خودش( را خط می زنیم. 2( تمام مضارب عدد 2

)غیر از خودش( را خط می زنیم. 7( تمام مضارب عدد 5)غیر از خودش( را خط می زنیم. 5( تمام مضارب عدد 4

دد اول از بزرگترین عدد داده شده بزرگتر ( به همین ترتیب مضارب اعداد اول را تا جایی خط می زنیم که مربع )توان دوم( آن ع6

باشد.

44عدد 7است. چون مربع عدد 5آخرین عدد اولی که مضارب آن خط می خورد عدد را به کار ببرید؟ 33تا 1روش غربال از مثال :

بزرگتر است. 33می شود که از عدد

1 , 2 , 8 , 4 , 5 , 6 , 7 , 1 , 9 , 10 , 11 , 12 , 18 , 14 , 15 , 16 , 17 , 11 , 19 ,20, 21 , 22 , 28 , 24 ,25 , 26 , 27 , 21 , 29 , 80

آن عدد اول است. مربعکه خط می خورد اولین مضربی در خط زدن مضارب مرکب اعداد اول نکته :

72 غربال خط می خورد چند است؟در روش 7اولین مضرب عدد مثال : = 49

تعداد را نشان آن عدد برای این که بدانیم در روش غربال عددی چند بار خط می خورد باید آن عدد را تجزیه کرد عوامل اولنکته :

می دهد.

چند بار خط می خورند؟ 42و 35و 27اعداد 233تا 1در روش غربال مثال :

27 = 88 (یک بار خط می خورد) 85 = 5 × (دو بار خط می خورد) 7 42 = 2 × 8 × (سه بار خط می خورد) 7

برای تشخیص اول بودن یا مرکب بودن یک عدد آن عدد را براعداد اول کوچکتر از جذرش تقسیم شناخت اعداد اول و مرکب :

صورت مرکب است.پذیر نبود اول در غیر این می کنیم. اگر بر هیچ کدام بخش

119√را می گیریم : 114ابتدا جذر تقریبی عدد اول است؟ یا مرکب؟ 114آیا عدد مثال : ≃ 10/9

است. مرکب 113پس عدد بخش پذیر است. 7عدد تقسیم می کنیم. چون بر ( 7و 5و 3و 2) 11را بر اعداد اول کمتر از 111پس عدد

151√ اول است یا مرکب؟ 151عدد با چند بار تقسیم می توان فهمید مثال : ≃ 12/2

بار 5بررسی کنیم. چون بر هیچ یک بخش پذیر نیست پس با ( 11و 7و 5و 3و 2) 12باید بخش پذیر را بر اعداد اول کمتر از

است.اول 151تقسیم می توان فهمید عدد

(دوم)فصل

عددهای اول




به هر خط شکسته بسته ای به شرطی که اضالع آن همدیگر را قطع نکند چند ضلعی می گویند. چند ضلعی :

مانند :

چند ضلعی که تمام اضالع و تمام زاویه های آن با هم مساوی باشند. چند ضلعی منتظم :

مانند :

باشد.درجه کمتر 183چند ضلعی که تمام زاویه های آن از چند ضلعی محدب :

مانند :

باشد.درجه بیشتر 183چند ضلعی که حداقل یکی از زاویه های آن از چند ضلعی مقعر :

هم وصل کنیم اگر قسمتی از خط یک خط راست به ه انتخاب کنیم و آن دو نقطه را بااگر در یک چند ضلعی دو نقطه دلخوا نکته :

اگر تمام خط داخل چند ضلعی قرار گرفت چند ضلعی محدب است. ضلعی مقعر است. ن از چند ضلعی قرار گرفت آن چندبیرو

درجه شکلی حول یک نقطه از شکل روی خود شکل قرار گیرد آن شکل مرکز تقارن دارد. 183اگر دوران مرکز تقارن :

کل ش بدانیم شکلی مرکز تقارن دارد یا نه . نقطه ای در وسط شکل به عنوان مرکز تقارن در نظر گرفته سپس از برای این که نکته :

وصل و به همان اندازه ادامه می دهیم اگر نقطه حاصل روی شکل قرار گرفت آن شکل تقارن نقاطی به دلخواه انتخاب کرده به مرکز

در غیر این صورت آن شکل مرکز تقارن ندارد. مرکز تقارن دارد.

ضلعی منتظم شش چهار ضلعی منتظم ضلعی منتظم سه

مانند :

چند ضلعی مقعر مانند : چند ضلعی محدب

(سوم)فصل

چند ضلعی ها




های زیر مرکز تقارن دارد؟ چند ضلعیکدام یک از مثال :

مرکز تقارن ندارد.باشد فرد و اگر مرکز تقارن دارد باشد زوجدر چند ضلعی منظم اگر تعداد اضالع نکته :

ضلعی منتظم مرکز تقارن ندارد. 7ضلعی منتظم مرکز تقارن دارد ولی 8 به طور مثال :

خطی است که اگر کاغذ را تا کنیم همه نقاط شکل روی هم قرار می گیرند. محور تقارن )خط تقارن( :

به دو قسمت مساوی تقسیم کند. خط تقارن خطی است که چند ضلعی را نکته :

هر یک از چند ضلعی های زیر چند محور تقارن دارد؟ مثال :

چند ضلعی های منتظم به تعداد اضالع محور تقارن دارند. نکته :

محور تقارن دارد. 3ضلعی منتظم( 3متساوی االضالع )محور تقارن و مثلث 6ضلعی منتظم 6 به طور مثال :

و فاصله بین دو خط تغییر نکند دو خط موازی می گویند.دو خطی که هر چه آن ها را امتداد دهیم همدیگر را قطع نکنند دو خط موازی :

مانند :

دو خطی که موازی نباشند یعنی دو خطی که همدیگر را در نقطه ای قطع کنند دو خط متقاطع می گویند.دو خط متقاطع :

مانند :

درجه باشد. 43دو خط متقاطعی که زاویه بین دو خط دو خط عمود بر هم :

مانند :

زاویه باز مساوی. 4زاویه تند مساوی و 4زاویه حاصل می شود. 8خط موازی را خطی قطع کند )مورب باشد( اگر دو نکته :

𝐴 𝐵

𝑂

𝐴 𝐵

𝐴

𝐴

𝑂 مرکز تقارن دارد مرکز تقارن ندارد

محور تقارن 2 محور تقارن ندارد

محور تقارن 2

𝑎

𝑏 𝑎 ∥ 𝑏

عالمت موازی بودن

𝑎

𝑏 𝑎 ∦ 𝑏

عالمت متقاطع بودن

𝑎

𝑏

𝑎 ⊥ 𝑏 عالمت عمود بودن

𝑐

3 𝑎

𝑏

(𝑎 ∥ 𝑏 , (𝑐 مورب

1 2 4

5 6 7 1

⟹ {1̂ = 8̂ = 5̂ = 7̂

2̂ = 4̂ = 6̂ = 1̂

زاویه تند 4

زاویه باز 4

زاویه تند و باز مکمل اند : دو 1̂ + 2̂ = درجه 181

(سوم)فصل





را به دست آورید؟ 𝒙مقدار در هر شکل مثال :

( ذوزنقه5( لوزی 4( مربع 3( مستطیل 2( متوازی االضالع 1 انواع چهار ضلعی ها :

چهار ضلعی است که اضالع روبه رو موازی و مساویند. متوازی االضالع :

( زاویه های روبه رو مساویند2روبه رو موازی و مساویند ( اضالع1خواص متوازی االضالع :

( زاویه های مجاور )کنارهم( مکمل اند3( قطرهای متوازی االضالع همدیگر را نصف می کنند 3

متوازی االضالعی است که زاویه قائمه داشته باشد. مستطیل :

( دو قطر مستطیل برابرند2 االضالع را دارد ( تمام خواص متوازی 1 خواص مستطیل :

متوازی االضالعی است که چهار ضلع آن برابر و زاویه قائمه داشته باشد. مربع :

( دو قطر مربع برابرند 2( تمام خواص متوازی االضالع را دارد 1 خواص مربع :

قطرهای مربع عمود منصف یکدیگرند( 3

متوازی االضالعی است که چهار ضلع آن برابر است. لوزی :

عمود منصف یکدیگرند( قطرهای لوزی 2( تمام خواص متوازی االضالع را دارد 1 خواص لوزی :

چهار ضلعی است که فقط دو ضلع موازی دارد. ذوزنقه :

( ذوزنقه قائم الزاویه2( ذوزنقه متساوی الساقین 1 انواع ذوزنقه :

( دو زاویه مجاور قاعده برابرند2( دو ساق آن برابرند 1 ذوزنقه متساوی الساقین :خواص

( دو زاویه مجاور ساق مکمل اند3

( دارای زاویه قائمه است1 خواص ذوزنقه قائم الزاویه :

8𝑥 − 10

2𝑥 + 15

زاویه های باز با هم برابرند :

3𝑥 − 11 = 2𝑥 + 15

3𝑥 − 2𝑥 = 15 + 11

𝑥 = 25

180

2𝑥 − 20

زاویه تند با باز مکمل است :

2𝑥 − 21 + 131 = 181 2𝑥 + 111 = 181

2𝑥 = 71

𝑥 = 35

قاعده کوچک

بزرگ قاعده

ساق ساق

(سوم)فصل





در هر شکل مقادیر مجهول را به دست آورید؟ مثال :

است.درجه 183مجموع زاویه های داخلی مثلث نکته :

𝑛)مجموع زاویه های داخلی چند ضلعی از رابطه ی نکته : − 2) × حاصل می شود. 181

اندازه ی یک زاویه ی چند ضلعی منتظم از رابطه ینکته : (𝑛−2)×081

𝑛 حاصل می شود.

ضلعی منتظم را به دست آورید؟ 13مجموع زاویه های داخلی الف(مثال :

ضلعی منتظم را به دست آورید؟ 15 داخلی ب( اندازه ی یک زاویه ی

اگر یکی از اضالع چند ضلعی محدب را در همان راستا امتداد دهیم در بیرون از چند ضلعی زاویه ای تشکیل می شود زاویه خارجی :

زاویه خارجی چند ضلعی می گویند.که به آن

در هر مثلث اندازه ی زاویه خارجی برابر است با مجموع دو زاویه داخلی غیر مجاور آن. نکته :

به طور مثال :

است.درجه 363مجموع زاویه های خارجی هر چند ضلعی نکته :

اندازه ی یک زاویه خارجی چند ضلعی منتظم از رابطه ی نکته :361

𝑛 حاصل می شود.

خارجی مکمل اند()اندازه زاویه داخلی و ضلعی منتظم را به دست آورید؟ 12اندازه ی یک زاویه داخلی و خارجی مثال :

بر اندازه ی یک زاویه داخلی آن چند ضلعی بخش پذیر یاشد. 363چند ضلعی منتظمی برای کاشی کاری مناسب است که عدد نکته :

زیر برای کاشی کاری مناسب است؟کدام یک از چند ضلعی های مثال :

ضلعی منتظم 6ب( ضلعی منتظم 8الف(

برای به دست آوردن تعداد قطرهای چند ضلعی از رابطه ی نکته :𝑛(𝑛−3)

2 استفاده می کنیم.

ضلعی دارای چند قطر است؟ 7مثال :

(11 − 2) × 181 = 8 × 181 = 1441

(15 − 2) × 18115

= 13 × 12 = 156 1

12

𝐴

𝐵 𝐶

1 2

زاویه خارجی مثلث

⟹ {

�̂�1 + �̂�2 = درجه 110

�̂�2 = �̂� + �̂�

36112

= 181 اندازه زاویه خارجی 31 − 31 = اندازه زاویه داخلی 151

7(7 − 3)

2=

7 × 42

= 14

361 ÷ 135 ≃ 361 مناسب نیست 2/6 ÷ 121 = مناسب است 3

در مستطیل اضالع روبه رو برابرند :

متوازی االضالع زاویه های مجاور مکمل اند : در

6𝑎 − 11

4𝑎 + 8

6𝑎 − 11 = 4𝑎 + 8 6𝑎 − 4𝑎 = 11 + 8

2𝑎 = 18 ⟹ 𝑎 = 1 𝑏 + 11

115

𝑏 + 11 + 115 = 181 ⟹ 𝑏 + 115 = 181 ⟹ 𝑏 = 65

یک زاویه ی داخلی

ضلعی منتظم 6

ضلعی منتظم 8یک زاویه ی داخلی

(سوم)فصل





تشکیل شده باشد.متغیر و عدد )ضریب(عبارت جبری که از دو قسمت یک جمله ای جبری :

مانند :

باشد تشکیل چند جمله ای می دهد. تفریقو عالمت جمع اگر بین عبارت های جبری چند جمله ای جبری :

مانند :

و توان متغیرها کامال مثل هم باشند.)حروف انگلیسی( عبارتی که متغیر های آن عبارت جبری متشابه :

مانند :

یا توان متغیرها شبیه هم نباشند. عبارتی که متغیرهای آن عبارت جبری نا متشابه :

مانند :

جمالت متشابه را جدا کرده سپس مانند جمع و تفریق اعداد صحیح آن ها را جواب داده با این ساده کردن عبارت های جبری :

تفاوت که حروف کنار اعداد نوشته می شود.

عبارت های جبری زیر را ساده کنید. مثال :

در ضرب دو جمله ای ضریب ها در هم و متغیرها در هم ضرب می شوند.ضرب دو جمله ای :

مانند :

یک جمله ای در تمام جمالت چند جمله ای ضرب می شود.ضرب یک جمله ای در چند جمله ای :

مانند :

سپس عبارت را ساده می کنیم. جمالت پرانتز اول در تمام جمالت پرانتز دوم ضرب می شود. ضرب چند جمله ای در چند جمله ای :

مانند :

می نویسیم.ضرب دو پرانتز آن عبارت را به صورت باشد 2توان اگر یک چند جمله ای داخل پرانتز و به نکته :

مانند :

𝑥 + 2𝑦 𝑎 − 𝑏 + جمله (سه ) دارای ) دارای دو جمله ( 7

5𝑥𝑦 𝑎

8

(8𝑏𝑐 , 2𝑏) , (−4𝑥2𝑦 , 5𝑥𝑦2)

(5𝑥𝑦 , −4𝑦𝑥) , (8𝑎8𝑏2 ,28𝑎8𝑏2)

−4𝑥 + 2𝑦 + 10𝑥 = 6𝑥 + 2𝑦 𝑎2𝑏 − 4𝑎𝑏 + 5𝑎𝑏 + 2𝑎2𝑏 − 4𝑎𝑏 = 8𝑎2𝑏 − 8𝑎𝑏

5𝑥(−2𝑥) = −10𝑥2 6𝑎𝑏 (28𝑐) = 4𝑎𝑏𝑐

−6𝑎(8𝑎 + 𝑏) = −11𝑎2 − 6𝑎𝑏

(2𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 8𝑦) = 2𝑥2 + 6𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 − 8𝑦2 = 2𝑥2 + 5𝑥𝑦 − 8𝑦2

(𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

(چهارم)فصل

جبر و معادله




با توجه به مساوی بودن مساحت در دو شکل می توان برای یک شکل تساوی جبری نوشت.نکته :

با توجه به شکل یک تساوی جبری بنویسید. مثال :

𝒂𝒃̅̅یک عدد دو رقمی را به صورت نکته : 𝒂𝒃𝒄̅̅و یک عدد سه رقمی را به صورت ̅̅ ̅̅ نشان می دهیم. ̅

𝒂𝒃̅̅مقلوب عدد نکته : 𝒃𝒂̅̅را به صورت ̅̅ می شود. 73برابر با 37نشان می دهیم. مثال مقلوب عدد ̅̅

می باشد : 11مجموع هر عدد دو رقمی با مقلوب آن همواره مضرب نکته :

𝑎𝑏̅̅ ̅ + 𝑏𝑎̅̅ ̅ = 01𝑎 + 𝑏 + 01𝑏 + 𝑎 = 00𝑎 + 00𝑏 = 00(𝑎 + 𝑏)

می باشد : 4رقمی با مقلوب آن همواره مضرب اختالف هر عدد دو نکته :

𝑎𝑏̅̅ ̅ − 𝑏𝑎̅̅ ̅ = 11𝑎 + 𝑏 − 11𝑏 − 𝑎 = 1𝑎 − 1𝑏 = 1(𝑎 − 𝑏)

)اولویت( به جای متغیرها اعداد داده شده را قرار می دهیم سپس با توجه به ترتیب انجام عملیات مقدار عددی عبارت جبری :

عبارت را جواب می دهیم.

مقدار عددی عبارت های جبری زیر را به ازای مقادیر داده شده به دست آورید. مثال :

الف(

ب(

مراحل زیر را به ترتیب انجام می دهیم :)تبدیل به ضرب یا فاکتورگیری( تجزیه عبارت جبری :

ابتدا )ب.م.م( ضرایب را به دست می آوریم. -1

حروف مشترک با توان کمتر را کنار )ب.م.م( ضرایب می نویسیم. -2

داخل پرانتز می نویسیم.تمام جمالت عبارت را بر جمله ی مشترک تقسیم کرده و -3

عبارت های زیر را به ضرب تبدیل کنید. مثال :

10𝑎𝑏 + 15𝑎 = 5𝑎(2𝑏 + 8) 𝑥𝑦𝑧 − 𝑥𝑧 = 𝑥𝑧(𝑦 − 1)

𝑦

𝑥

𝑧

(𝑦 + 𝑧)

𝑠1

𝑠2

𝑠 کل = 𝑠1 + 𝑠2 ⇒ 𝑥(𝑦 + 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧

5𝑥 − 2𝑥𝑦 + 7 (𝑥 = 1 , 𝑦 = −2) 5(1) − 2(1)(−2) + 7 = 5 + 4 + 7 = 16

𝑎2 + 𝑏2 − 4𝑎𝑏 (𝑎 = −2 , 𝑦 = 2) (−2)2 + 22 − 4(−2)(2) = 4 + 4 + 16 = 24

)ب.م.م( ضرایب عامل مشترک

𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦2

𝑥8𝑦2 + 𝑥2𝑦8 =𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦)

𝑥2𝑦2(𝑥 + 𝑦)=

1𝑥𝑦

𝑥𝑦

𝑠 کل

𝑥

𝑦

𝑥

𝑧

(چهارم)فصل





به یک تساوی درست تبدیل می شود.بعضی از اعداد معادله یک تساوی جبری است که به ازای معادله :

برای حل معادله مراحل زیر را به ترتیب انجام می دهیم :نکته :

)عددی که انتقال داده شود عالمت آن عوض می شود(( مجهول ها را به طرف چپ و عددهای معلوم را به طرف راست انتقال می دهیم. 1

( عددهای مجهول با هم و عددهای معلوم را با هم جواب می دهیم.2

( حاصل عددهای معلوم را بر حاصل عددهای مجهول تقسیم می کنیم.3

معادله های زیر را جواب دهید. مثال :

ضرب کرده تا تبدیل به معادله معمولی شود.)ک.م.م( مخرج ها در معادالت کسری دو طرف معادله را در نکته :

, 𝑥)سه عدد متوالی را به صورت نکته : 𝑥 + 1 , 𝑥 + , 𝑥)و سه عدد فرد یا زوج متوالی را به صورت (2 𝑥 + 2 , 𝑥 + نمایش (4

می دهیم.

شده است. عدد بزرگتر چند است؟ 63مجموع سه عدد زوج متوالی مثال :

𝑥 + (𝑥 + 2) + (𝑥 + 4) = 60 ⇒ 8𝑥 + 6 = 60 ⇒ 8𝑥 = 54 ⇒ 𝑥 = 11 ⇒ {11 , 20 , 22}

است آن عدد چند است؟به پنج برابر عددی هشت واحد اضافه کرده ایم حاصل از قرینه دو برابرآن عدد شش واحد کمتر مثال :

5𝑥 + 1 = −2𝑥 − 6 ⇒ 5𝑥 + 2𝑥 = −6 − 1 ⇒ 7𝑥 = −14 ⇒ 𝑥 = −2

2𝑥 = −7 − 8

2𝑥 + 8 = −7

𝑥 =−10

2= −5

𝑥 = −5

−10

𝑥 − 2𝑥 = 5 + 6

−6 + 𝑥 = 2𝑥 + 5

𝑥 =11−1

= −11

𝑥 = −11

−𝑥 11

4(𝑥 − 2) = 2𝑥

4𝑥 − 1 = 2𝑥

4𝑥 − 2𝑥 = 1

𝑥 =12= 4 ⇒ 𝑥 = 4

−12𝑥 +

84=

56

−6𝑥 + 9 = 10 ⇒ −6𝑥 = 1 ⇒ 𝑥 = −16

[2 , 4 , 6] = 12

⇒ 12 × (−12𝑥 +

84) = (

56) × 12 ⇒

)ک.م.م( مخرج ها

آن عدد

2𝑥

(چهارم)فصل





استفاده می شود.یک حرف کوچک انگلیسی یا دو حرف بزرگ انگلیسی خط راست جهت داری است. برای نام گذاری بردار از بردار :

را به عرض )جهت عمودی( سپس طول )جهت افقی( برای به دست آوردن مختصات یک بردار از ابتدا مختصات بردار :

باشند. موازیو هم اندازه و هم جهت دو بردار در صورتی مساویند که : )هم سنگ( : دو بردار مساوی

مانند :

هم باشند.خالف جهت ولی موازی و هم اندازه دو بردار در صورتی قرینه هم هستند که : دو بردار قرینه :

مانند :

بردار با قرینه اش برابر با بردار صفر است :حاصل جمع هر نکته :

برای جمع دو بردار از دو روش استفاده می شود : )برآیند بردارها( :جمع بردارها

اگر دو بردار پشت سر هم باشند از این روش استفاده می شود و در این روش برای برآیند بردارها از ابتدا بردار اولی ( روش مثلثی :0

به انتها بردار دومی رسم می شود.

مانند :

رسم کرده تا دو بردار مساوی بردار بعدی اگر دو بردار پشت سر هم نباشند از انتهای یکی از دو بردار ( روش متوازی االضالع :2

پشت سرهم شوند و در آخر از ابتدا دو بردار به انتهای بردار جدید رسم می کنیم.

مانند :

حاصل جمع بردارهای زیر را رسم کنید.مثال :

)بردارهای مساوی با هر بردار طوری رسم می کنیم که بردارها پشت سرهم باشند( :

دست می آوریم.

مختصات بردارهای زیر را بنویسید.مثال :

𝑎 =

88

�⃗� �⃗⃗�

𝑐 �⃗� = 88 �⃗⃗� =

0−4 𝑐 =

−6−8

�⃗� �⃗⃗�

𝑐

�⃗� �⃗⃗� �⃗� = �⃗⃗�

�⃗�

�⃗⃗�

�⃗� + �⃗⃗� = �⃗�

تساوی جبری ∶ �⃗� + �⃗⃗� = 𝑐

�⃗�

�⃗⃗�

𝑐 تساوی جبری ∶ �⃗� + �⃗⃗� = 𝑐

�⃗�

�⃗⃗�

𝑐 �⃗�

�⃗⃗� 𝑐

𝑑

تساوی جبری ∶ �⃗� + �⃗⃗� + 𝑐 = 𝑑

𝑒 𝑓

ℎ⃗⃗

𝑒 𝑓

ℎ⃗⃗

�⃗⃗�

تساوی جبری ∶ 𝑒 + 𝑓 + ℎ⃗⃗ = �⃗⃗�

(پنجم)فصل

بردار و مختصات




برای شکل زیر یک جمع برداری و یک جمع مختصاتی بنویسید.مثال :

رسم کرده هر جا محور یا امتداد محور را موازات دو محور اگر بردار حاصل جمع را داشته باشیم از انتها آن بردار به تجزیه بردارها :

قطع کرد انتهای دو بردار به دست می آید.

را در امتداد های رسم شده تجزیه کنید. �⃗⃗⃗�بردار مثال :

𝑘در ضرب عدد در بردار آن عدد هم در طول و هم در عرض ضرب می شود : ضرب عدد در بردار : × 𝑥𝑦 = [

𝑘𝑥𝑘𝑦

]

حاصل عبارت های زیر را به دست آورید. مثال :

�⃗� اگر مثال : = 2�⃗⃗� و 3 =

−14 𝑐 باشد. مختصات بردار = 3�⃗� − �⃗⃗� دست آورید.را به

بردار خواسته شده را رسم کنید.مثال :

: برای حل معادالت مختصاتی همانند معادالت معمولی عمل می کنیم معادله مختصاتی :

( مجهول ها در سمت چپ و مختصات ها را به سمت راست منتقل می کنیم.1

( حاصل مجهول ها و مختصات ها را به دست می آوریم.2

( طول و عرض مختصات را بر ضریب مجهول تقسیم می کنیم.3

می شود. قرینهدر حل معادله مختصاتی عدد های معلوم یا مجهول از یک طرف تساوی به طرف دیگر منتقل شود عالمت آن ها نکته :

𝐴

𝐵

𝐶

می کنیم که پشت سر هم باشند( ی مشخصرطو را )در شکل دو بردار

جمع برداری ∶ 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑪𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

جمع مختصاتی ∶

6−1 +

−15 =

54

𝑐 �⃗�

�⃗⃗�

𝑐 �⃗�

�⃗⃗�

تساوی جبری ∶ �⃗� + �⃗⃗� = 𝑐

تساوی جبری ∶ �⃗� + �⃗⃗� = 𝑐

−5 32 =

−15−11 2

4−1 − 3

1−4 =

8−2 +

−312 =

511

𝑐 = 3 23 −

−14 =

61 +

1−4 =

75

�⃗� �⃗⃗� 𝑐 = 2�⃗� − �⃗⃗� 2�⃗�

−�⃗⃗�

برابر بردار 2) �⃗⃗⃗� در همان جهت(

برابر بردار 1) �⃗⃗⃗� جهت( خالفدر 2�⃗�

−�⃗⃗�

𝑐

(پنجم)فصل





معادالت مختصاتی زیر را حل کنید.مثال :

𝑖 به دو بردار بردارهای واحد مختصات : = 10𝑗 و)واحد طول( =

01 بردارهای واحد مختصات می گویند. )واحد عرض(

قرار 𝒋ضریب و عدد عرض مختصات را 𝒊ضریب برای تبدیل یک بردار به برادر واحد مختصات کافی است عدد طول مختصات را نکته :

دهیم.

بنویسید. 𝒋و 𝒊بردارهای زیر را بر حسب مثال :

�⃗� مختصات بردار مثال : = 2𝑖 − 4𝑗 را نوشته سپس بردار�⃗⃗⃗� .را در دستگاه مختصات رسم کنید

�⃗� اگرمثال : = 3𝑖 − 2𝑗 و�⃗⃗� = 𝑖 + 2𝑗 باشد. مختصات بردار 𝑐 = �⃗� − 3�⃗⃗� .را بنویسید

معادالت مختصاتی زیر را حل کنید.مثال :

5�⃗� = −511 ⟹ �⃗� =

−5 ÷ 511 ÷ 5 =

−12

−32 − 2�⃗� =

56 ⟹ −2�⃗� =

56 +

3−2 =

84

�⃗� = 8 ÷ −24 ÷ −2 =

−4−2

3�⃗� + 2

−3 = −3−4 + 2𝑥 ⟹ 3�⃗� − 2�⃗� =

−3−4 +

−23 =

−5−1 ⟹ �⃗� =

−5−1

�⃗� = −32 = −3𝑖 + 2𝑗 �⃗⃗� =

1−5 = −5𝑗 𝑐 =

41 = 4𝑖

�⃗� = 2𝑖 − 4𝑗 = 2

−4 2𝑖

−4𝑗 �⃗�

�⃗� = 3𝑖 − 2𝑗 = 3

−2

�⃗⃗� = 𝑖 + 2𝑗 = 12

𝑐 = �⃗� − 3�⃗⃗� = 3

−2 − 3 12 =

3−2 +

−3−6 =

1−8

2�⃗� + 2

−3 = 3𝑖 − 𝑗 ⟹ 2�⃗� = 3

−1 + −23 =

12 ⟹ �⃗� =

1 ÷ 22 ÷ 2 = [

121]

�⃗� + 3𝑖 = 2�⃗� − 3 1

−2 ⟹ �⃗� − 2�⃗� = −36 +

−31 =

−66 ⟹ �⃗� =

−6 ÷ −16 ÷ −1 =

6−6

−�⃗�

�⃗�

(پنجم)فصل





نام دارد. وتردرجه 43مثلثی است که دو ضلع آن بر هم عمود باشند. ضلع روبه رو به زاویه مثلث قائم الزاویه :

مثلث است.بزرگترین ضلع وتر مثلث قائم الزاویه نکته :

رابطه فقط در مثلث قائم الزاویه نوشته می شود :این رابطه فیثاغورس :

طه )عکس راباست. مثلث قائم الزاویه اگر در مثلثی مجذور یک ضلع با مجموع مجذورهای دو ضلع دیگر برابر باشد. آن نکته :

فیثاغورس(

را به دست آورید. 𝒙در هر شکل مقدار مثال :

است؟ چرا؟کدام یک از مثلث های زیر قائم الزاویه مثال :

اعدادی هستند که مربع ضلع بزرگتر با مجموع مربعات دو ضلع دیگر برابر باشند.اعداد فیثاغورسی :

بعضی از اعداد فیثاغورسی پرکاربرد عبارتند از :نکته :

(3 , 4 , 5) , (6 , 8 , 11) , (5 , 12 , 13) , (1 , 12 , 15) , (15 , 21 , 25)

شود. سپس مثلث قائم عدد زیر رادیکال ابتدا دو عدد مشخص کرده که مجموع مربعات آن دو : 𝒂√رسم پاره خط به طول

الزاویه با این اضالع رسم کرده وتر مثلث به اندازه ی همان عدد خواسته شده است.

𝐴

𝐵 𝐶

وتر مثلث

𝐴

𝐵 𝐶 𝑎

𝑏 𝑐 (وتر)

2= (یک ضلع)

2+ (ضلع دیگر)

2

𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2

کالمی :

جبری :

𝐴

𝐵 𝐶 6

𝑥 8

𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2

𝑥2 = 62 + 82

𝑥2 = 36 + 64 = 111

𝑥 = √111 = 11

13

𝑥

5 5 132 = 𝑥2 + 52

161 = 𝑥2 + 25

𝑥2 = 161 − 25 = 144

𝑥 = √144 = 12

12

152 = 122 + 12

225 = 144 + 81

225 = 225 11

13

8 132 = 112 + 82

161 = 111 + 64

161 ≠ 164

✗ ✓

(ششم)فصل

مثلث




شود : 13ابتدا دو عدد پیدا کرده که مجموع مربعات آن دو عدد رسم کنید. 11√پاره خطی به طول مثال :

بر یکدیگر منطبق کنیم. به طوری که )انتقال و تقارن و دوران( اگر دو شکل را با یک یا چند تبدیل شکل های همنهشت :

بپوشانند آن دو شکل همنهشت هستند.کامال یکدیگر

برابرند.)ظلع ها و زاویه ها( در دو شکل همنهشت اجزای متناظر دو مثلث نکته :

را به دست آورید. 𝒛و 𝒚و 𝒙دو مثلث زیر همنهشت هستند. نوع تبدیل و مقدار مثال :

)دوران(الف( نوع تبدیل را بنویسید. دو شکل زیر همنهشت هستند. مثال :

ب( مقادیر مجهول را به دست آورید.

دو مثلث دلخواه در سه حالت با یکدیگر همنهشت هستند :حالت های همنهشتی دو مثلث :

)ض ض ض(( سه ضلع برابر 3)زض ز( ( دو زاویه و ضلع بین برابر 2)ض زض( ( دو ضلع و زاویه بین برابر 1

یه در دو حالت با یکدیگر همنهشت هستند :دو مثلث قائم الزاو حالت های همنهشتی دو مثلث قائم الزاویه :

)وز(( وتر و یک زاویه تند 2)وض( ( وتر و یک ضلع 1

همنهشت نیستند. )ززز( دو مثلث با سه زاویه برابر نکته :

32 + 12 = 1 + 1 = 11

1

√10 3

جواب مسئله است وتر مثلث

انتقال نوع تبدیل :

𝐁𝐂̅̅ ̅̅ = 𝑵𝑷̅̅̅̅̅ 𝐀𝐂̅̅ ̅̅ = 𝑴𝑷̅̅ ̅̅ ̅ 𝐀𝐁̅̅ ̅̅ = 𝑴𝑵̅̅ ̅̅ ̅

2y = 12

y = 6

𝑥 + 1 = 2𝑥 − 8

𝑥 = 9

3𝑧 + 1 = 7

𝑧 = 2

𝐴 𝐵

𝐶 𝐷

3𝑎 + 8

12 3𝑏 𝑐

𝐸

𝐹 𝐺

21

𝑑 − 2 31

𝐀𝐁̅̅ ̅̅ = 𝑬𝑫̅̅ ̅̅ 3𝑎 + 8 = 21

𝑎 = 4

𝐁𝐂̅̅ ̅̅ = 𝑬𝑭̅̅ ̅̅ 𝑑 − 2 = 12

𝑑 = 14

�̂� = �̂�

3𝑏 = 42

𝑏 = 14

�̂� = �̂�

𝐶 = 31

(ششم)فصل

مثلث




هر نقطه روی نیمساز زاویه از دو ضلع زاویه به یک فاصله است.نکته :

هر نقطه روی عمود منصف یک پاره خط از دو سر پاره خط به یک اندازه است. نکته :

را 𝑨𝑴𝑩و 𝑨𝑴𝑪متساوی الساقین هستند. دلیل هم نهشتی دو مثلث 𝑴𝑩𝑪و 𝑨𝑩𝑪در شکل زیر دو مثلث مثال :

بنویسید.

)جاهای خالی را کامل کنید(

نشان دهید طول دو مماس رسم شده از نقطه خارج دایره با هم برابر هستند.مثال :

�̂�1 = �̂�2 (نیمساز 𝑂𝑀)

�̂� = �̂� = درجه 90

𝑂𝑀 = 𝑂𝑀 = ضلع مشترک

⟹ 𝑂𝐴𝑀 ≅ 𝑂𝐵𝑀 ⟹ 𝑀𝐴 = 𝑀𝐵 (وز)

𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 𝑀𝐵 = 𝑀𝐶 𝐴𝑀 = 𝐴𝑀

⟹ 𝐴𝑀𝐵 ≅ 𝐴𝑀𝐶

(ض ض ض)A

B

C

M

𝐴𝐻 = 𝐻𝐵 (عمود منصف 𝑂𝐻)

�̂�1 = �̂�2 = درجه 90

𝑂𝐻 = 𝑂𝐻 = ضلع مشترک

⟹ 𝐴𝐻𝑂 ≅ 𝐵𝐻𝑂 ⟹ 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 A 𝐵 (اجزای متناظر ) (ض ز ض)

O

H

(اجزای متناظر )

O

A

B

M

𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 شعاع دایره

�̂� = �̂� = درجه 90

𝑂𝑀 = 𝑂𝑀 = ضلع مشترک

⟹ 𝑀𝐴𝑂 ≅ 𝑀𝐵𝑂 ⟹ 𝑀𝐴 = 𝑀𝐵 (اجزای متناظر ) (و ض)

A

B

O M 1

2

(ششم)فصل

مثلث




یکی از پایه ها را نوشته و توان ها را با هم جمع می کنیم.الف( اگر پایه ها برابر باشند : ضرب اعداد توان دار :

مانند :

یکی از توان ها را نوشته و پایه ها را در هم ضرب می کنیم.ب( اگر توان ها برابر باشند :

مانند :

یکی از پایه ها را نوشته و توان ها را از هم کم می کنیم. الف( اگر پایه ها برابر باشند :تقسیم اعداد توان دار :

مانند :

یکی از توان ها را نوشته و پایه ها را بر هم تقسیم می کنیم.اگر توان ها برابر باشند : ب(

مانند :

استفاده می کنیم. تجزیهاگر در ضرب و تقسیم اعداد توان دار پایه ها و توان ها برابر نباشند از نکته :

مانند :

هم باشند و بین آن ها عالمت جمع باشد آن عبارت را تبدیل به ضرب می کنیم.اگر اعداد توان دار مثل نکته :

مانند :

عدد منفی داخل پرانتز باشد عالمت منفی به تعداد توان ضرب می شود. اگر عدد منفی داخل پرانتز نباشد منفی به نکته :

تعداد توان ضرب نمی شود.

مانند :

عدد منفی به توان زوج برسد حاصل عددی مثبت و اگر به توان فرد برسد حاصل عددی منفی می شود.نکته :

مانند :

نوشته و توان ها را در هم ضرب می شود.اگر عدد توان دار داخل پرانتز باشد و توان دیگر داشته باشد پایه را نکته :

مانند :

و توان دیگر داشته باشد پایه را نوشته و عبارت باال را جواب می دهیم. باشدناگر عدد توان دار بدون پرانتز نکته :

مانند :

𝑎𝑚 × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 47 × 48 = 410

𝑎𝑚 × 𝑏𝑚 = (𝑎𝑏)𝑚 127 × 87 = 867

𝑎𝑚 ÷ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 95

98 = 92

𝑎𝑚 ÷ 𝑏𝑚 = (𝑎

𝑏)𝑚

201 ÷ 41 = 51

26 + 26 = 2 × 26 = 27

41 × 28 = (22)1 × 28 = 219 92 ÷ 27 = (82)2 ÷ 88 = 8

95 + 95 + 95 = 8 × 95 = 8 × (82)5 = 811

تجزیه تجزیه

216 84

تجزیه

810

(−4)2 = −4 × −4 = 16 −42 = −(4 × 4) = −16

(−3)4 = 81 (−3)3 = −27 فردتوان توان زوج

(32)2 = 34 ((22)3)4 = 224

232= 21

32 = 1

(هفتم)فصل

توان و جذر




حاصل هر عبارت را به صورت عدد توان دار بنویسید. مثال :

3𝑎اگر مثال : = باشد حاصل هر عبارت را به دست آورید. 5

برای مقایسه اعداد توان باید پایه یا توان اعداد را برابر کنیم. نکته :

اعداد زیر را از کوچک به بزرگ مرتب کنید. مثال :

32 در تساویجذر یا ریشه دوم اعداد : = 9 , (−3)2 = -3و 3می گویند. و اعداد -3و 3را مجذور اعداد 4عدد 9

می گویند. 4ریشه های دوم

است.یکی قرینه ی دیگری است که دو ریشه دوم هر عدد دارای نکته :

-6و 6برابر است با : 36ریشه های دوم عدد مانند :

√)در جذر گیری فقط عدد مثبت آن در نظر گرفته می شود و جذر را با رادیکال نکته : نشان می دهند. (

جذر ندارند. چون مجذور هیچ عددی ؛ منفی نمی شود. منفیاعداد نکته :

برابر با خود آن اعداد است.صفر و یک جذر اعداد نکته :

به دست آورید.جذر اعداد زیر را مثال :

3𝑎+2 = 3𝑎 × 32 = 5 × 1 = 45

√1/25 = 1/5 √√16 = √4 = 2 √41 × 25

111=

7 × 511

=72

47 × 28 × (0/5)7 = 27 × 28 = 210 84 × 82 ÷ 27 = 86 ÷ 88 = 88

206

52 × 46 =56

52 = 54 47 × 81

88 × 42 =47

42 ×81

88 = 45 × 85 = 125

3𝑎−3 = 3𝑎 ÷ 33 = 5 ÷ 27 =527

27𝑎 = (33)𝑎 = (3𝑎)3 = 53 = 125

12𝑎 = (32)2𝑎 = (3𝑎)4 = 54 = 625

4 , 232 , 23 , 84 , (23)2 ⟹ 22, 21 , 23 , 212 , 26 ⟹ 22 < 23 < 26 < 21 < 212

تجزیه

(هفتم)فصل

توان و جذر




برای به دست آوردن جذر تقریبی اعداد مراحل زیر را به ترتیب انجام می دهیم : جذر تقریبی اعداد :

( ابتدا مشخص می کنیم عدد داده شده بین کدام دو عدد صحیح متوالی قرار دارد.1

مجذور آن را می نویسیم. ( سپس عدد وسط دو عدد را مشخص کرده و2

4عدد کمتر از عدد وسطی و اگر از عدد داده شده کمتر بود 4( سپس اگر مجذور عدد وسطی از عدد داده شده بیشتر بود 3

عدد بزرگتر از عدد وسطی را می نویسیم.

مان جذر تقریبی عدد را نوشته سپس مجذور عددی که به عدد داده شده نزدیکتر بود ه 4( داخل یک جدول مجذورهای 4

عدد است.

برای این که بدانیم عدد داده شده بین کدام دو صحیح متوالی قرار دارد مجذور دو عددی را مشخص می کنیم که به نکته :

عدد داده شده نزدیک باشد.

بین کدام دو عدد قرار دارد و به کدام عدد نزدیکتر است. 83√و 32√مشخص عدد مثال :

را به دست آورید. 47جذر تقریبی عدد مثال :

را به دست آورید. 127جذر تقریب عدد مثال :

عدد 6/6 7/6 8/6 9/6

مجذور عدد 56/73 89/77 27/76 60/77

√25 < √32 < √36 √81 < √83 < نزدیکتر است( 6که به 6و 5)بین 111√ نزدیکتر است( 4که به 13و 4)بین

5 6 1 11

√47 ≃ 6/8

√36 < √47 < √41

6 7 6/5

عدد وسط

(6/5)2 = 42/25

مجذور عدد وسط

42/25 < 47

چون مجذور عدد وسط کمتر از عدد شده مجذور

می نویسیم عدد بزرگتر از عدد وسط را 4

1مرحله 2مرحله

3مرحله

4مرحله

√121 < √127 < √144

11 12 11/5 عدد وسط

(11/5)2 = 132/25

132/25 مجذور عدد وسط > 127

چون مجذور عدد وسط بیشتر از عدد شده مجذور

عدد کوچکتر از عدد وسط را می نویسیم 4

1مرحله 3مرحله 2مرحله

(هفتم)فصل

توان و جذر




برای نمایش این اعداد چهار مورد زیر را باید مشخص کنیم :نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد :

تعداد مثلث ( جهت حرکت 3( تعداد حرکت 2( مبدا حرکت 1

0و 07√اعداد مثال : − را روی محور اعداد نمایش دهید. 5√

در ضرب و تقسیم رادیکال ها می توان رادیکال را جدا از هم نوشت.خواص ضرب و تقسیم رادیکال ها :

عبارت های زیر را به دست آورید.حاصل مثال :

در جمع و تفریق رادیکال ها نمی توان رادیکال را جدا از هم نوشت و جواب داد :نکته :

برای ساده کردن عدد زیر رادیکال می توان برای بعضی از اعداد یک ضرب نوشت به شرطی که یکی از دو عدد جذر نکته :

داشته باشد. دقیق

اعداد زیر را به صورت ضرب یک عدد طبیعی در رادیکال بنویسید.مثال :

عدد 0/00 2/00 3/00 7/00

مجذور عدد 20/023 77/025 69/027 96/029

4مرحله

√127 ≃ 11/2

0

1 √17

0

1 √5

√111 = √1 × 111 = √1 × √111 = 31 √2536

=√25

√36=

56

√𝑎 + 𝑏 ≠ √𝑎 + √𝑏 √𝑎 − 𝑏 ≠ √𝑎 − √𝑏

√21 = √4 × 5 = 2√5 3√48 = 3√16 × 3 = 12√3 4 2 جذر جذر

×

3 11

(هفتم)فصل

توان و جذر




جمع آوری اطالعات )داده ها( و بررسی آن ها را آمار می گویند.علم آمار :

اطالعات عددی را داده آماری می گویند. آماری :داده

انواع نمودار :

برای مقایسه تعداد و مشخص کردن کمترین و بیشترین داده آماری استفاده می شود.( نمودار ستونی : 0

برای نشان دادن تغییرات در یک مدت مشخص کاربرد دارد.( نمودار خط شکسته : 2

داده های تقریبی کاربرد دارد. برای مقایسه( نمودار تصویری : 3

برای نشان دادن نسبت داده ها به کل و سهم هر بخش کاربرد دارد.( نمودار دایره ای : 7

اختالف بیشترین و کمترین داده آماری را دامنه تغییرات می گویند.دامنه تغییرات :

کنید :دامنه تغییرات داده های زیر را مشخص مثال :

01 , −6 , 27 , 02 , −00 , 8 ⟹ 27 − (−00) = 27 + 00 = 38

از تقسیم مجموع داده ها بر تعداد داده ها میانگین حاصل می شود.میانگین داده :

میانگین =مجموع داده ها

تعداد داده ها ⟹ �̅� =

𝑠

𝑛

میانگین داده های زیر را به دست آورید : مثال :

−4 , 11 , 13 , −18 , 8 , 15 ⟹ �̅� =𝑠

𝑛=

−4+11+13−18+8+15

6=

24

6= 4

شده است مجموع نرات چند است. 5/17درس 5الف( میانگین مثال :

شده است. تعداد درس ها چند است. 168و مجموع نمرات 14ب( میانگین

کمترین بیشترین

�̅� =𝑠

𝑛⟹ 17/5 =

𝑠

5⟹ 𝑠 = 17/5 × 5 = 87/5

�̅� =𝑠

𝑛⟹ 14 =

168𝑛

⟹ 𝑛 =16814

= 12

(هشتم)فصل

آمار و احتمال




ی زیر حاصل می شود : میانگین جدول فراوانی از رابطه نکته :

میانگین = مجموع ستون (مرکز × فراوانی)

مجموع ستون فراوانی

اگر تعداد داده های آماری زیاد باشد از جدول آماری استفاده می شود که شامل قسمت های زیر است : جدول فراوانی :

از کمترین داده تا بیشترین داده تقسیم بندی می شود. ( حدود دسته :0

به تعداد داده های هر دسته فراوانی می گویند. ( فراوانی :2

تایی( 5)در دسته های به تعداد فراوانی هر دسته خط می کشیم. ( خط نشان :3

تقسیم می کنیم. 2دو عدد دسته جمع و حاصل را بر عدد ( مرکز )متوسط( دسته :7

اعداد مرکز و فراوانی هر دسته را در هم ضرب می کنیم. فراوانی : ×( مرکز 5

نمرات ریاضی تعدادی از دانش آموزان به صورت زیر است : مثال :

14/5 , 8 ,7/25 ,3/5 ,18/5 14/25 ,2/75 , 11 , 11 , 11 , 11 ,17/25 ,13/5 , 6/5 , 8

الف( جدول فراوانی داده شده را کامل کنید. و میانگین نمرات را با استفاده از جدول به دست آورید.

.

حدود دسته فراوانی خط نشان مرکز دسته مرکز ×فراوانی

2 1 ≤ 𝑥 < 4

2 4 ≤ 𝑥 < 8

6 8 ≤ 𝑥 < 12

3 12 ≤ 𝑥 < 16

3 16 ≤ 𝑥 ≤ 21

جمع 16 172

, 1

, 1

1 + 42

= 2

4 + 82

= 6

8 + 122

= 11

12 + 162

= 14

16 + 212

= 18

2 × 2 = 4

2 × 6 = 12

6 × 11 = 61

3 × 14 = 42

3 × 18 = 54

میانگین = 17216

≃ 11/75

(هشتم)فصل





ب( نمودار ستونی نمرات ریاضی را رسم کنید.

احتمال رخ دادن هر اتفاق از رابطه ی زیر به دست می آید :احتمال یا اندازه گیری شانس :

نشان می دهند.عدد صفر باشد با غیر ممکن احتمالی که رخ دادن آن نکته :

نشان می دهند.صفر تا یک را با عدد کسری بین احتمال ممکن : نکته

نشان می دهند.عدد یک را با احتمال حتمی نکته :

در پرتاب یک تاس احتمال های زیر را به دست آورید.مثال :

: 3 الف( احتمال آمدن عدد زوج مضرب

: 4ب( احتمال آمدن اعداد کوچکتر مساوی

ج( احتمال آمدن اعداد اول :

می آوریم : مهره سفید است. یک مهره را تصادفاً بیرن 3مهره زرد و 2مهره قرمز ، 4در یک کیسه مثال :

الف( احتمال بیرون آمدن مهره قرمز :

ب( احتمال بیرون نیامدن مهره سفید :

4

3

2

1

فراوانی

0 حدود دسته4 8 12 16 23

5

6

احتمال = تعداد حالت های مطلوب

تعداد کل حالت ها

اعداد تاس = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} ⟹ کل حالت ها = 6

اعداد زوج مضرب 3 = {6} ⟹ حالت مطلوب = 1 ⟹ احتمال =16

اعداد کوچکتر مساوی 4 = {1 , 2 , 3 , 4} ⟹ حالت مطلوب = 4 ⟹ احتمال =46=

23

اعداد اول = {2 , 3 , 5} ⟹ حالت مطلوب = 3 ⟹ احتمال =36

=12

حالت مطلوب = 4 ⟹ احتمال =41

کل حالت ها = 4 + 2 + 3 = 1

حالت مطلوب = 4 + 2 = 6 ⟹ احتمال =61

=23

(هشتم)فصل





مجموع احتمال ها در یک مسئله همواره عدد یک است.نکته :

احتمال آمدن رنگ سبز در یک چرخنده مثال :3

11 است. احتمال نیامدن رنگ سبز چند است.

استفاده جدول نظام دار یا نمودار درختی برای به دست آوردن کل حالت ها می توان از حالت های ممکن در یک پیشامد :

کرد.

تاس را با هم پرتاب می کنیم. تمام حالت های ممکن را به روش جدول نظام دار و نمودار درختی به یک سکه و یک مثال :

دست آورید.

)جدول نظام دار(

تاس 1 2 3 4 5 6

رو رو - 1 رو - 2 رو - 3 رو - 4 رو - 5 رو -6

پشت پشت - 1 پشت - 2 پشت - 3 پشت - 4 پشت - 5 پشت - 6

)نمودار درختی(

احتمال رخ ندادن = 1 − احتمال رخ دادن ⟹ احتمال رخ ندادن = 1 −311

=711

احتمال رخ دادن + احتمال رخ ندادن = 1

سکه

تاس

1 2

3 4

5

6

رو پشت

رو پشت رو پشت

رو

پشت رو

پشت رو

پشت

سکه

(هشتم)فصل





، به یک اندازه باشند.)مرکزدایره( به مجموعه نقاطی که از یک نقطه مشخص دایره :

, 𝒄(𝒐 دایره را اختصار به صورتنکته : 𝒓) .نشان می دهند

اجزای دایره :

نشان می دهند. (𝑹 یا 𝒓) فاصله ی مرکز دایره تا محیط دایره را شعاع و با حرف ( شعاع دایره :0

نشان می دهند. فاصله ی ایجاد شده روی محیط دایره را کمان و با دو حرف و سه حرف( کمان دایره : 2

نشان می دهند. دو حرف نقطه ی روی محیط دایره را به هم وصل کند وتر و با پاره خطی که دو( وتر دایره : 3

. قطر را با دو می گذردمرکز دایره پاره خطی است که دو نقطه ی روی محیط دایره را به هم وصل می کند و از ( قطر دایره : 7

حرف نشان می دهند.

است. برابر شعاع 2نام دارد. و قطر قطر بزرگترین وتر دایره ، نکته :

خط و دایره دارای سه وضعیت هستند :وضعیت خط و دایره :

نقطه مشترک)برخورد( ندارند.باشد. در این حالت خط و دایره بیرون از دایره ( خط ممکن است 1

دو مشترک)برخورد( دارند.باشد. در این حالت خط و دایره داخل دایره ( خط ممکن است 2

<

>

)رابطه ی مقایسه شعاع با فاصله مرکز تا خط(

تا خط()رابطه ی مقایسه شعاع با فاصله مرکز

𝑟 دایره

مرکز

شعاع

(نهم)فصل

دایره




یک مشترک)برخورد( دارند.باشد. در این حالت خط و دایره مماس )چسبیده( بر دایره ( خط ممکن است 3

است. عمودشعاع دایره در نقطه ی تماس بر خط مماس نکته :

سانتی متر است. خط و دایره چند نقطه ی مشترک دارند. 5سانتی متر و فاصله ی مرکز تا خط 3الف( شعاع دایره مثال :

چون فاصله ی مرکز تا خط از شعاع دایره بیشتر است پس خط بیرون دایره قرار دارد و نقطه مشترکی ندارند.

سانتی متر است. خط و دایره چند نقطه ی مشترک دارند. 3سانتی متر و فاصله ی مرکز تا خط 6قطر دایره ب(

سانتی متر است. چون شعاع با فاصله ی مرکز تا خط برابر است پس خط 3قطر دو برابر شعاع دایره است پس شعاع دایره برابر با

و دایره یک نقطه ی مشترک دارند.

با توجه به هر شکل زاویه ی خواسته شده چند درجه است. مثال :

)در مثلث قائم الزاویه برای اندازه ی ضلع مجهول از رابطه ی فیثاغورس استفاده می شود(را به دست آورید. 𝒂با توجه به هر شکل مقدار مثال :

محل برخورد آن دو وتر را رسم کرده که عمودمنصف های رسم می کنیم. سپس وتر غیر موازی ابتدا دو پیدا کردن مرکز دایره :

آن دو عمودمنصف مرکز دایره نام دارد.

= )رابطه ی مقایسه شعاع با فاصله مرکز تا خط(

تشکیل می دهد(درجه 43)شعاع دایره در نقطه تماس بر خط مماس عمود یعنی زاویه ی

(استدرجه 183مجموع زاویه های داخلی هر مثلث )

90 90

�̂� = 27°

�̂� = 43°

𝑎2 = 82 + 32

𝑎2 = 64 + 1 = 73

𝑎 = √73

𝑎2 = 152 − 122

𝑎2 = 225 − 144 = 81

𝑎 = √81 = 1

(نهم)فصل

دایره




در یک دایره دلخواه مرکز دایره را با رسم دو وتر نشان دهید. مثال :

تقسیم می کند. و بر عکس خطی که از وسط وتر و مرکز قسمت مساوی خطی که از مرکز بر وتر عمود باشد آن را به دو نکته :

است.وتر عمود دایره بگذرد ، بر

باشد.شعاع دایره و دو ضلع آن مرکز دایره زاویه ای است که رأس آن مرکزی : زاویه

اندازه ی کمان روبه رو آن.زاویه ی مرکزی برابر است با اندازه ی زاویه مرکزی :

× قطر)است. و بر حسب سانتی متر درجه 363محیط دایره بر حسب درجه نکته : می باشد. (2𝜋𝑟 یا 3/14

آن دو کمان نیز برابرند و برعکس.وترهای نظیر اگر دو کمان مساوی باشند نکته :

را بر تعداد کمان های درجه( 363)ابتدا یک شعاع دایره رسم می کنیم سپس محیط دایره تقسیم دایره به کمان های مساوی :

مشخص می کنیم و در آخر دهانه ی پرگار را به خواسته شده تقسیم کرده ، نقاله را منطبق بر شعاع گذاشته و زاویه مورد نظر را

اندازه ی وتر ایجاد شده باز کرده روی یکی از نقاط ایجاد شده روی محیط دایره گذاشته و متوالیاً کمان می زنیم.

کمان مساوی تقسیم کنید. 5یک دایره رسم کنید و آن را به مثال :

برای محاسبه طول کمان از رابطه ی زیر استفاده می کنیم :محاسبه طول یک کمان از دایره :

را رسم می کنیم. 𝑪𝑫و 𝑨𝑩ابتدا دو وتر غیر موازی

سپس عمود منصف آن دو را که با نقطه چین مشخص شده رسم می کنیم که محل

است.مرکز دایره برخورد دو عمودمنصف همان

𝐴𝐻 = 𝐵𝐻

𝑂

𝐴 𝐵

�̂� = 𝐴𝐵

𝑂

72°

اندازه ی کمان

361=

طول کمان

محیط دایره

(نهم)فصل

دایره




چند سانتی متر است. 𝑨𝑩در هر شکل طول کمان مثال :

باشد.وتر دایره و دو ضلع آن محیط دایره زاویه ای است که رأس آن روی زاویه محاطی :

نصف اندازه ی کمان روبه رو آن.زاویه محاطی برابر است با اندازه ی زاویه محاطی :

برابرند.روبه رو به یک کمان زاویه های محاطی نکته :

است.درجه 43روبه رو به قطر دایره ، اندازه ی زاویه ی محاطی نکته :

اندازه ی کمان و زاویه های خواسته شده را بنویسید. مثال :

𝑂 𝐴

𝐵

3𝑐𝑚 41° 𝑂 𝐴

𝐵 41361

=𝑥

18/84

محیط دایره = × قطر 3/14 = 6 × 3/14 = 18/84

𝑥 = 18/84 ÷ 1 ≃ 2/11𝑐𝑚

11°

2/5𝑐𝑚

محیط دایره = × قطر 3/14 = 5 × 3/14 = 15/7

11361

=𝑥

15/7

𝑥 = 15/7 ÷ 4 ≃ 4𝑐𝑚

1 1

1 4

𝐴

𝐵 𝐶

�̂� =𝐵𝐶

2

𝐴

𝐵 𝐶

𝑂

81∘

𝐴

𝐵 𝐶 𝑂

161∘

𝐴 𝐵

𝐶

𝑂

111∘

𝐴

𝐵

𝐶

𝑂 51∘

�̂� =81°

2= 41°

𝐵𝑂�̂� = 81°

�̂� = 11°

𝐵𝐴�̂� = 361° − 81° = 281°

21∘

181∘

�̂� = 11°

�̂� = 81° 𝐴𝐶 = 21°

�̂� = 141° 𝐷

𝐵𝐷𝐶 = 221°

𝐵𝐴𝐶 = 361° − 221° = 141°

𝐵𝐶 = 111° �̂� = 41° 111∘

181∘

81∘

𝐴𝐵 = 81° 𝑂1̂ = 111°

1

زاویه محاطی نصف کمان روبه رو

کمان روبه رو مرکزی برابرزاویه

محیط دایره

روبه رو قطرزاویه محاطی

(نهم)فصل

دایره


تﺎﯿﺿﺎﯾر هﮋﯾو ﺖﯾﺎﺳ ﯽـﺿﺎﯾر يﺎﻫ ... · 2019-09-27 ·...

Documents