ﻦﻳرﺎﻤﺗ ﻊﻣ ﺔﻟﻮﻠﺤﻣ ﺔﻄﺸﻧأو...

األستاذ : عثماني نجیب1monsite.com-zmath.ehttp:// xyص

المملكة المغربیةوزارة التربیة الوطنیة

األكادیمیة الجھویة للتربیة والتكوین للجھة الشرقیة

-وجدة- النیابة اإلقلیمیة

األولى باك علوم تجريبیةجمیع دروس مع تمارين

وأمثلة وأنشطة محلولة

إعداد : نجیب عثمانيإعداد : نجیب عثماني))لثانوي تأھیلي الدرجة الممتازةلثانوي تأھیلي الدرجة الممتازة(أستاذ ا(أستاذ ا

2017/2016السنة الدراسیة :

« c’est en forgeant que l’on devient forgeron » dit unproverbe.

c’est en s’entraînant régulièrement aux calculs et

exercices que l’on devient un mathématicien

األستاذ : عثماني نجیب2monsite.com-zmath.ehttp:// xyص

س 8في درس المنطق 1مذكرة رقم األھداف القدرات المنتظرة من الدرس :

:1نشاط" في الخانة المناسبة .Xأنقل الجدول التالي ثم ضع العالمة ".1

خاطئصحیح

4Xكل زوجي قابل للقسمة على

Xموع عددین فردیین ھو عدد زوجيمج

2 Î¤X

Xعدد فرديnعددا فردیا فان 2nاذا كان

2المعادلة : 1x = X¡تقبل حال في-

جمیع المستقیمات المتعامدة في الفضاء متقاطعة

X

4Xمضاعف للعدد114516

( )( )22 4- = -X

ھل توجد من بین الجمل الواردة في الجدول أعاله جمل صحیحة و .2آن واحدخاطئة في

الجواب : كل النصوص الریاضیةاما صحیحة و إما خاطئة وتسمى عبارات

I.العبارات و العملیات على العباراتالعبارات.1.1

نسمي عبارة كل نص ریاضي یحمل معنى یكون إما صحیحا و إما خاطئا

......rأو qأو pنرمز عادة لعبارة بأحد الرموز جدول یسمى جدول حقیقة عبارة : غالبا ما نعبر عن حقیقة عبارة ب

صحیحةpیعني أن العبارة 1الرمز خاطئة pیعني أن العبارة 0و الرمز

العملیات على العبارات.1.2a.نفي عبارة

pعدد زوجي "3نعتبر العبارة : " pنرمز لھا ب pحدد نفي العبارة pما قیمة حقیقة العبارة

ھو pإذن نفي عبارة pما قیمة حقیقة العبارة كل عبارة تكون

خاطئة و تكون خاطئة إذا pصحیحة إذا كانت صحیحةpكانت

pØأو pبالرمز pنرمز لنفي العبارة

أمثلة:حدد العبارة النافیة و قیمة حقیقة كل عبارة من العبارات اآلتیة:

·( )( )42 2 =-p·2Î¤q

)عبارة صحیحة :pاألجوبة: )( )22 4- ¹:p

q: عبارة خاطئة( )2Ï¤:q

b.عطف عبارتینھو العبارة التي qوpعطف عبارتین والتي تكون pو q: نرمز لھا بالرمز

qو pصحیحة فقط ا إذا كانت العبارتان صحیحتین معا.

جدول حقیقة العطف المنطقيحدد قیمة حقیقة العبارات اآلتیة :أمثلة:

( )( )22 3 "- )و < )" 3 1A ³“( )3 2 3+ QÎ2"Bو <

ھا مكونة من عبارتین صحیحتینألنعبارة صحیحة :Aاألجوبة:A: ألنھا مكونة من عبارتین صحیحتینعبارة صحیحةB: ألنھا عطف عبارة صحیحة مع خاطئةعبارة خاطئة

c.فصل عبارتین)أو q(: التي نرمز لھا بالرمزھو العبارة qوpفصل عبارتین p

و pوالتي تكون خاطئة فقط إذا كانت العبارتان q.خاطئتین معا

حدد قیمة الحقیقة و العبارة النافیة لكل عبارة أمثلة: من العبارات اآلتیة :

1 "2

æ öÎç ÷è ø

¥)أو )4 2="A

)عدد فردي أو3(" )( )22 3- >"B

)"( )3.14p )و= )2 1£"C

)ألنعبارة صحیحة :Aاألجوبة: )4 عبارة صحیحة=2

B: ألنھا فصل عبارتین صحیحتین عبارة صحیحة

p10

pp0110

pوqqp111001010000

pأوqqp111101110000

مادة الریاضیاتأكادیمیة الجھة الشرقیةنیابة وجدة

وم تجریبیةالمستوى : األولى باك علاألستاذ : عثماني نجیب

1رقم/مذكرة

monsite.com-http:// xyzmath.eاألستاذ : عثماني نجیب 3ص

C: ألنھا فصل عبارتین خاطئتینعبارة خاطئة1 "2

æ öÏç ÷è ø

)و ¥ )4 2¹"A

)عدد زوجي و3"( )( )22 3- £"B

)"( )3.14p )أو¹ )2 1>"Cd.: استلزام عبارتین استلزام عبارتینpوq ھو العبارة التي نرمز

):لھا بالرمز )p qÞ والتي تكون خاطئة فقط ادا كانتpخاطئةqصحیحة و

مالحظاتv: العبارة( )p qÞ" : تقرأp تستلزمq "

"qفان pأو " ادا كانت v : العبارة( )q pÞ تسمى االستلزام العكسي

)لالستلزام )p qÞ

v : للبرھان أن العبارة( )p qÞ صحیحة نفترض أن العبارةpصحیحةqصحیحة و نبین أن العبارة

حدد قیمة حقیقة كل عبارة من العبارات اآلتیة ::1مثال( )0,1 "Î¥Þ2 عدد فردي"A

2"n >Þ4n >"Bعبارة صحیحة Bعبارة صحیحة وAاألجوبة:

نشاط: أتمم مأل الجدول التالي :

)العبارتان :نتیجة )p qÞ وqأوp متكافئتانحدد نفي العبارة اآلتیة ::2مثال

2 9 3 3"x x أو x= Þ = = -"Ae.تكافؤ عبارتین

: ھو العبارة التي نرمز لھا بالرمزqوpتكافؤ عبارتین ( )p qÛ والتي تكون صحیحة فقط إذا

كانت العبارتان p وq .صحیحتین معا أو خاطئتین معا: الع )بارة )p qÛ" : qتكافئ pتقرأ

"حدد قیمة حقیقة كل عبارة من العبارات أمثلة:

اآلتیة :( )( )22 4- =Û( )3 1³

( )5 3³Û1- Î¥ جدول حقیقة التكافؤ

المنطقي)العبارتان :خاصیة )p qÛو( )q pÞ ùû( )p q Þéëو

متكافئتان II.الدالة العباریة و المكممات:

): نعتبر التعبیر التالي:1نشاط ) 2; 0x x xÎ - ³R2xحدد قیمة حقیقة التعبیر من أجل · =1حدد قیمة حقیقة التعبیر من أجل ·

2x =

1xحدد قیمة حقیقة التعبیر من أجل · = -: من أجل 2xاألجوبة = : 2نجد ومنھ نحصل على عبارة 0³

یحةصح2xمن أجل 1نجد : = 0

4- ومنھ نحصل على عبارة خاطئة³

1من أجل2

x 1نجد : = 04

- ومنھ نحصل على عبارة خاطئة³

1xمن أجل = 2نجد : - ومنھ نحصل على عبارة صحیحة0³)إذن التعبیر: ) 2; 0x R x xÎ - یصبح صحیحا من أجل بعض ³

xخاطئا من أجل بعض قیم Rمن xقیم ینتمي إلى المجموعة xتحتوي على متغیرنقول أننا أمام دالة عباریة

R/2نكتب : 0x x x$ Î - بحیث Rمن xونقرأ یوجد ¡³2 0x x- ³

): نعتبر التعبیر التالي:2نشاط ); ² 0n nÎ ³¥

2nحدد قیمة حقیقة التعبیر من أجل · =ال تحقق التعبیر السابق؟nھل توجد قیم ل : ·

2nاألجوبة : من أجل نحصل :على عبارة صحیحة=nنالحظ أننا نحصل على عبارة صحیحة مھما تكن قیمة المتغیر

/2نكتب : 0n n" Î ³¥

العباریةالدالة)1نسمي دالة عباریة كل نص ریاضي یحتوي على متغیر (أو عدة متغیرات

حیثE) ینتمي إلى مجموعة معلومة ونرمز عادة لدالة Eتصبح عبارة كلما عوضنا المتغیر بعنصر من

)عباریة بالرمز أو )B x أو( );A x y....المكممةالعبارات)2

)انطالقا من الدالة العباریة )A xالعبارة "نكون( )A x,x E$ Îx" ونقرأ : " یوجد على األقل

)یحقق الخاصیة Eمن )A x" " وتكون العبارة

( )A x,x E$ Î صحیحة إذا وجد على األقل "x منE یحقق

)الخاصیة )A x

)انطالقا من الدالة العباریة )A x" نكون العبارة( )A x,x E" Î

)لدینا Eمن x" ونقرأ : " مھما یكن )A x"

)"وتكون العبارة )A x,x E" Î صحیحة إذا كانت جمیع "

)تحقق الخاصیة Eعناصر )A x.حدد قیمة حقیقة كل عبارة من العبارات اآلتیة ::1تمرین

1.2" / 0"x x" Î >¡

2."² 2 0x - =,x$ ÎR "Û²عدد فردي 5" .3 1 0x + =,x$ ÎR "

4.( )2 3< Þ / "2nn" Î Î¥ ¥"

5.( ); 1 cos 1x x" Î - £ £¡

6.( ) ( ); :n m n m" Î $ Î <¥ ¥

7.2 1n )عدد زوجي + )n$ Î¥

8.( ) ;n n" Î Î¥ ¥

9.( ) ( ); : 0x y y x" Î $ Î - >¡ ¡

10.( )! ;2 4 0x x$ Î + =¡

11.( ) 2! ; 2x x$ Î =¡

( )p qÞqp

111001110100

( )p qÞqأوppqp

11011000

( )p qÛqp111001010100


12.( ) ;4xx$ Î Î¢ ¢

13.( ) ( ) 2; :x y y x" Î $ Î =¡ ¡

) صحیحة 5) خاطئة 4) خاطئة 3) صحیحة 2) خاطئة 1األجوبة :) 11) صحیحة 10) صحیحة 9) خاطئة 8) خاطئة 7) صحیحة 6

1x) خاطئة نأخذ 13) صحیحة 12خاطئة = -

)نفي العبارة "خاصیة : )A x,x E" Î" ھو العبارة"( )A x,x E$ Î

")نفي العبارة " )A x,x E$ Î" ھو العبارة "( )A x,x E" Î

"))1حدد العبارة النافیة للعبارات اآلتیة ::2تمرین ) ( );2 5 1nn n" Î +¥ f

2 " (32

- Î¤ ²و 2 0x - =,x$ ÎR"

3(( ) ( ); :n m n m" Î $ Î <¥ )كل مثلث قائم الزاویة لھ زاویة حادة ¥4))6)توجد نافذة في المؤسسة مكسورة 5 ) : 0n n n" Î Î Þ ³¢ ¢

))1األجوبة : ) ( ): 2 5 1nn n$ Î £ +¥

2 (( ) 2 3: 2 02

x x "أو Î - ¹ - Ï¡ ¤

3(( ) ( ); :n m n m$ Î " Î ³¥ اویة )یوجد مثلث قائم الزاویة لھ ز¥4غیرحادة

))6)كل نوافذ المؤسسة غیر مكسورة 5 ) : 0n n n$ Î Î <¢ ¢ وحدد العبارة النافیة للعبارات اآلتیة: :3تمرین

1(( ) 2; : 2 4P x x x" Î ¹ Þ ¹¡

2(( ) 2; : 2 2015Q x x x$ Î < Þ ³¡

))1:األجوبة ) 2; : 2 4P x x $xو Î ¹ =¡

2(( ) 2; : 2 2015Q x x "xو Î < <¡

III.الت الریاضیةاالستدال::االستدالل االستنتاجي.1

1بین أن :¡xÎلیكن مثال : 12 4 13 1

xx

< < Þ < <-

2:نفترض أن : األجوبة 4x< 1ونبین أن : > 1 13 1x< <

-2لدینا : 4x< 2اذن : > 1 1 4 1x- < - < -

1اذن : 1 3x< - 1: اذن > 1 13 1x< <

-1ومنھ : 12 4 1

3 1x

x< < Þ < <

-

1بین أن :¡xÎلیكن :4تمرین 3 5 1123 4 2

xxx- +

- < < Þ <+

12األجوبة :نفترض أن : 3

x- < 3ونبین أن : > 5 114 2

xx- +

<+

12لدینا :3

x- < 12اذن: > 4 4 43

x- + < + < 132اذن+ 43

x< + <

3اذن 1 113 4 2x< <

+12ولدینا :

3x- < 6اذن> 3 1x- < 1اذن: > 3 6x- < - <

4اذن 3 5 11x< - + <12ومنھ : 3 5 11

13 4 2x

x- +

< <+

3ومنھ 5 114 2

xx- +

<+

المضاد :االستدالل بالمثال مثال : بین العبارة التالیة خاطئة مع تعلیل الجواب:

"p ( ) 1; 2x xx

*" Î + ³¡

2xالجواب : نعتبر : = 1لدینا : - 52 22 2

- + = - <-

خاطئةpاذن :

بین العبارة التالیة خاطئة مع تعلیل الجواب::5تمرین"

( )0 1

1x y

xy xy+

< <-

,] [0;1y" Î و] [0;1x" Î "p

1ب : نعتبر :الجوا2

x 1و=2

y لدینا :=1 1

1 1 122 2 11 3 31 1 314 4 124 4

+= = = >

æ ö ´-ç ÷è ø

خاطئةpاذن : االستدالل باالستلزام المضاد للعكس.2

)لكي نبرھن أن االستلزام )p qÞ صحیح یكفي أن نبرھن أن االستلزام)المضاد للعكس )q pÞصحیح

1بین أن: ¡yÎو ¡xÎلیكن :1مثال 112 2

x y y +xأو > Þ > >

الجواب :نستعمل االستدالل باالستلزام المضاد للعكس1اذن یكفي أن نبین أن : 1 1

2 2x yو x y£ £ Þ + ؟؟؟؟؟£

1لدینا : 12 2

x £yو 1اذن :£ 12 2

x y+ £ 1xاذن :+ y+ £

1ومنھ : 1 12 2

x yو x y£ £ Þ + 1وبالتالي :£ 112 2

x y y +xأو > Þ > >

بین باستعمال االستدالل باالستلزام المضاد للعكس أنھ : اذا كان ::6تمرین] [+¥Î ;1xو] [1;yÎ +¥

( ) ( )2 22 2x y x x y y¹ Þ - ¹ -

:نستعمل االستدالل باالستلزام المضاد للعكسالجواب2اذن یكفي أن نبین أن : 22 2x x y y x y- = - Þ ؟؟؟؟؟=

2لدینا : 2 2 22 2 2 2 0x x y y x x y y- = - Þ - - + =

( ) ( )( ) ( )2 2 2 0 2 0x y x y x y x y x yÞ - - - = Þ - + - - =

( )( )2 0 0 2 2 0x y x y x y xأو y x yأوx yÞ - + - = Þ - = + - Þ = + - =

[ونعلم أن : [+¥Î ;1x 1یعنيx > : [و: ونعلم أن [+¥Î ;1x یعني1y >

2xومنھ y+ 2یعني < 0x y+ - 2ومنھ < 0x y+ - ¹2ومنھ : 22 2x x y y x y- = - Þ =

)وبالتالي : ) ( )2 22 2x y x x y y¹ Þ - ¹ -

xلیكن : :7تمرین Î¡: 28بین أن 25

xxx+

¹ - Þ ¹+

:نستعمل االستدالل باالستلزام المضاد للعكسالجواب2اذن یكفي أن نبین أن : 2 8

5x xx+

= Þ =-+

؟؟؟؟؟

)لدینا : )2 2 2 2 55

x x xx+

= Þ + = ++

( )2 2 5 2 2 10 8 8x x x x x x+ = + Þ + = + Þ- = Þ =-

2ومنھ : 2 85

x xx+

= Þ =-+

[:8تمرین [+¥Î ;1x و] [+¥Î ;2y)بین أن : ) ( )yyxxyx 33 22 -¹-Þ¹

الجواب :نستعمل االستدالل باالستلزام المضاد للعكس2اذن یكفي أن نبین أن : 23 3x x y y x y- = - Þ ؟؟؟؟؟=


2لدینا : 2 2 23 3 3 3 0x x y y x x y y- = - Þ - - + =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 0 3 0x y x y x y x y x yÞ - - - = Þ - + - - =

( )( )3 0 0 3 3 0x y x y x y xأو y x yأوx yÞ - + - = Þ - = + - Þ = + - =

[ونعلم أن : [+¥Î ;1x 1یعنيx > : [و: ونعلم أن [+¥Î ;2y یعني2y >

3xومنھ y+ 3یعني < 0x y+ - 3ومنھ < 0x y+ - ¹2ومنھ : 23 3x x y y x y- = - Þ =

)وبالتالي : ) ( )yyxxyx 33 22 -¹-Þ¹:االستدالل بالتكافؤ.3

یعتمد االستدالل بالتكافؤ على القانون المنطقي التالي : )qÛ(إذا كان : p و)rÛ(q : فان)rÛ( p

2aبین أن : مثال: b ab+ ³( ) ( )2;a b *+" Î R

الجواب :نستعمل االستدالل بالتكافؤ:

( ) ( )2 22 2 0 2 0a b ab a b ab a b ab+ ³ Û + - ³ Û + - ³

( )20a bÛ - ³

وھذا صحیح ألن المربع دائما موجب 2aوبالتالي : b ab+ ³( ) ( )2

;a b *+" Î R

1بین أن ::9تمرین 2xx

+ ³,0x" >

"0x:نستعمل االستدالل بالتكافؤ:الجواب >2 21 1 12 2 2x xx

x x x+ +

+ ³ Û ³ Û ³

2 21 1 22 0 0x x xx x+ + -

Û - ³ Û ³

( )22 11 2 0 0xx x

x x-+ -

Û ³ Û ³

)والعبارة : )210

xx-

"0xصحیحة ألن : المربع موجب و³ >

;10و بالتالي 2x xx

" > + صحیحة³

االستدالل بفصل الحاالت :.4:باستعمال االستدالل بفصل الحاالتمثال:

)المعادلة :Rحل في ) : 3 6 1E x - =3:ندرس اشارة : الجواب 6x -

:1الحالة 2x: اذا كانت 3فان : ³ 6 0x - ومنھ :³( ) : 3 6 1E x - =

3 6 1x - = Û3 7x = Û73

x S= Î Û

:2الحالة 2x: اذا كانت 3فان : £ 6 0x - ومنھ :£( ) : 3 6 1E x - =

( )3 6 1x- - = Û3 6 1x- + = Û3 5x- = - Û53

x S= Î Û

5ومنھ مجموعة الحلول ھي : 7;3 3

S ì ü= í ýî þ

باستعمال االستدالل بفصل الحاالت :10تمرین

المعادلة :Rحل في 3 2 4 5x x+ - = +

4xالجواب :ندرس اشارة : -:1الحالة 4x: اذا كانت فان : ³

4 0x - 4ومنھ :³ 4x x- = -

3 2 4 5x x+ - = +3 2 8 5x x+ - = + Û10x S= Î Û

4x: اذا كانت :2الحالة 4:فان £ 0x - 4ومنھ :£ 4x x- = - +

3 2 4 5x x+ - = +3 2 8 5x x- + = + Û2x S= Î Û

}ومنھ مجموعة الحلول ھي : }2;10S =

باستعمال االستدالل بفصل الحاالت :11تمرین)المعادلة :Rحل في ) 2: 1 1 0E x x- + + =

1xالجواب :ندرس اشارة : +

1x: اذا كانت :1الحالة ³ 1فان : - 0x + ³

)ومنھ : ) 2: 1 1 0E x x- + + =

( )2 1 1 0x x- + + = Û2 0x x- = Û( )1 0x x - = Û

0 1x Sأوx S= Î = Î Û1xا كانت :: اذ2الحالة £ 1فان: - 0x + £

)ومنھ : ) 2: 1 1 0E x x- + + =

( )2 1 1 0x x+ + + = Û2 2 0x x+ + = Û وھذه المعادلة لیس لھا7ألن : ¡حل في 0D = - <

}ومنھ مجموعة الحلول ھي : }0;1S =

2nباستعمال االستدالل بفصل الحاالت .بین أن : :12تمرین n+"nعدد زوجي Î¥

/عدد زوجي اذن : n:1الحالة :الجواب 2k n k$ Î =¥

( ) ( )22 2 22 2 4 2 2 2 2n n k k k k k k k ¢+ = + = + = + =

2nمنھ : و n+ عدد زوجي/عدد فردي اذن : n:2الحالة 2 1k n k$ Î = +¥

( )22 22 1 2 1 4 4 1 2 1n n k k k k k+ = + + + = + + + +

( )2 2 24 6 2 2 2 3 1 2n n k k k k k ¢+ = + + = + + =

2nومنھ : n+ عدد زوجي2nوبالتالي : n+ عدد زوجيn" Î¥

:االستدالل بالخلف.5لكي نبرھن أن عبارة صحیحة نفترض أن العبارة خاطئة ونحاول الحصول

على تناقض مع المعطیات2بین باستعمال االستدالل بالخلف أن : :1مثال

2

1 11

xx

-¹

+/x" Î¡

2: نفترض أن : وابالج

2

1 11

xx

-=

+/x$ Î¡

2یعني 21 1x x- = 1یعني + 1- = وھذا غیر صحیح+2أي : ومنھ ما افترضناه كان خاطئا

2

1 11

xx

-¹

+/x" Î¡

عدد nعدد زوجي فان : 2nكانبین أنھ اذا ¥nÎ:13تمرینزوجي

/عدد فردي أي أن : nالجواب : نفترض أن : 2 1k n k$ Î = +¥

)ومنھ : ) ( )22 2 22 1 4 4 1 2 2 2 1 2 1n k k k k k k ¢= + = + + = + + = +

عدد زوجي2nعدد فردي وھذا یتناقض مع المعطیات : 2nأي :


عدد زوجيn: ن خاطئا أي ومنھ ما افترضناه كااالستدالل بالترجع .6)لتكن )p n عبارة مرتبطة بعدد صحیح طبیعيn

)لكي نبرھن أن العبارة )p nصحیحةn" Î¥نمر بثالث مراحل :

0nنتحقق أن العبارة صحیحة بالنسبة ل · =nنفترض أن العبارة صحیحة بالنسبة ل ·1nنبین أن العبارة صحیحة بالنسبة ل · +

3;بین باستعمال االستدالل بالترجع أن ::1مثال 1 2nn n" Î ³ +¥

الجواب : نمر بثالث مراحل :0nنتحقق أن العبارة صحیحة بالنسبة ل : 1المرحلة =

03لدینا 1 2 0³ + 1أي : ´ ومنھ العبارة صحیحة بالنسبة ل 1³0n =

3نفترض أن:: 2المرحلة 1 2n n³ صحیحة+)نبین أن::3المرحلة )13 1 2 1n n+ ³ + أي نبین أن : +

13 2 3n n+ ³ ؟؟+ب افتراض الترجع :لدینا حس

3 1 2n n³ )اذن : + )3 3 3 1 2n n´ ³ ´ +

13یعني : 6 3n n+ ³ اذن لم نجد بعد النتیجة +6نالحظ أن : 3 2 1n n+ ³ (یمكن حساب الفرق)+

( ) ( )6 3 2 1 6 3 2 1 4 2 0n n n n n+ - + = + - - = + ³

13لدینا اذن : 6 3n n+ ³ 6و + 3 2 1n n+ ³ 13ومنھ :+ 2 3n n+ ³ +3;بین باستعمال االستدالل بالترجع أن ::14تمرین 1nn n" Î ³ +¥


03لدینا 1 0³ 1أي : + 0nومنھ العبارة صحیحة بالنسبة ل 1³ =3نفترض أن:: 2المرحلة 1n n³ صحیحة+)نبین أن::3المرحلة )13 1 1n n+ ³ + 13أي نبین أن : + 2n n+ ³ ؟+

: لدینا حسب افترا 3ض الترجع 1n n³ اذن : +( )3 3 3 1n n´ ³ ´ +

13یعني : 3 3n n+ ³ اذن لم نجد بعد النتیجة +3نالحظ أن : 3 2n n+ ³ (یمكن حساب الفرق)+

( ) ( )3 3 2 3 3 2 2 1 0n n n n n+ - + = + - - = + ³

13لدینا اذن : 3 3n n+ ³ 3و + 3 2n n+ ³ 13ومنھ :+ 2n n+ ³ +2;بین باستعمال االستدالل بالترجع أن ::15تمرین 1nn n" Î ³ +¥

الجواب : نمر بثالث مراحل : 0nنتحقق أن العبارة صحیحة بالنسبة ل : 1المرحلة =

02لدینا 1 0³ 1أي : + 0nومنھ العبارة صحیحة بالنسبة ل 1³ =2نفترض أن:: 2المرحلة 1n n³ صحیحة+)نبین أن::3المرحلة )12 1 1n n+ ³ + 12أي نبین أن : + 2n n+ ³ ؟؟؟؟؟+

2ترجع : لدینا حسب افتراض ال 1n n³ )اذن : + )2 2 2 1n n´ ³ ´ +

12یعني : 2 2n n+ ³ اذن لم نجد بعد النتیجة +2نالحظ أن : 2 2n n+ ³ (یمكن حساب الفرق)+

( ) ( )2 2 2 0n n n+ - + = ³

12لدینا اذن : 2 2n n+ ³ 2و + 2 2n n+ ³ 12ومنھ :+ 2n n+ ³ +

)بین باستعمال االستدالل بالترجع أن ::16تمرین )11 2 3 ...

2n n

n´ +

+ + + + =

:n *" Î¥الجواب : نمر بثالث مراحل :

1nنتحقق أن العبارة صحیحة بالنسبة ل : 1المرحلة =

)لدینا )1 1 1 1 21 12 2

´ + ´= = 1nومنھ العبارة صحیحة بالنسبة ل = =

)نفترض أن:: 2المرحلة )11 2 3 ...

2n n

n´ +

+ + + + صحیحة=

)نبین أن::3المرحلة ) ( ) ( )1 21 2 3 ... 1

2n n

n n+ ´ +

+ + + + + + ؟؟=

)لدینا : ) ( ) ( )1 2 3 ... 1 1 2 3 ... 1n n n n+ + + + + + = + + + + + +

)ولدینا حسب افتراض الترجع : )11 2 3 ...2

n nn

´ ++ + + + =

)ن :اذ ) ( ) ( ) ( )11 2 3 ... 1 1 1 1

2 2n n nn n n n´ + æ ö+ + + + + + = + + = + +ç ÷è ø

( ) ( ) ( )( )1 221 2 3 ... 1 12 2

n nnn n n+ ++æ ö+ + + + + + = + =ç ÷

è ø

)لدینا اذن : )11 2 3 ...

2n n

n´ +

+ + + + = :n *" Î¥

3بین :17تمرین 2n n+ مھما یكن العدد الصحیح 3یقبل القسمة علىnالطبیعي

/3الجواب :یعني نبین : 2 3k n n k$ Î + =¥

ل :نستعمل االستدالل بالترجع و نمر بثالث مراح0nنتحقق أن العبارة صحیحة بالنسبة ل : 1المرحلة =

30لدینا 2 0 0+ ´ ومنھ العبارة صحیحة بالنسبة ل 3مضاعف للعدد =0n =

/3نفترض أن:: 2المرحلة 2 3k n n k$ Î + صحیحة¥=)نبین أن::3المرحلة ) ( )3/ 1 2 1 3k n n k¢ ¢$ Î + + + ؟؟؟؟؟¥=

( ) ( )3 3 21 2 1 3 3 1 2 2n n n n n n+ + + = + + + + + =

( ) ( ) ( )3 2 2 22 3 3 3 3 3 1 3 1n n n n k n n k n n+ + + + = + + + = + + +

( )23 1 3k n n k ¢= + + + 2مع = 1k k n n¢ = + + +

)ومنھ : ) ( )3/ 1 2 1 3k n n k¢ ¢$ Î + + + =¥

3وبالتالي 2n n+ مھما یكن العدد الصحیح الطبیعي 3یقبل القسمة علىn

االستدالل بالترجع أن :بین باستعمال :18تمرین( ) ( )2 2 2 2 1 2 1

1 2 3 ...6

n n nn

´ + ´ ++ + + + = :n *" Î¥


)لدینا ) ( )2 1 1 1 2 1 1 2 31 16 6

´ + ´ + ´ ´= = ومنھ العبارة صحیحة بالنسبة ل =

1n =)ض أن:نفتر: 2المرحلة ) ( )2 2 2 2 1 2 1

1 2 3 ...6

n n nn

´ + ´ ++ + + + صحیحة=

)نبین أن::3المرحلة ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 1 2 2 31 2 3 ... 1

6n n n

n n+ ´ + ´ +

+ + + + + + ؟=

)لدینا : ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 21 2 3 ... 1 1 2 3 ... 1n n n n+ + + + + + = + + + + + +

)ولدینا حسب افتراض الترجع : ) ( )2 2 2 2 1 2 11 2 3 ...

6n n n

n´ + ´ +

+ + + + =

)اذن : ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 1 2 11 2 3 ... 1 1

6n n n

n n n+ +

+ + + + + + = + +

( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 11 2 3 ... 1 1 1

6n n

n n n n+æ ö

+ + + + + + = + + +ç ÷è ø

( ) ( ) ( ) ( )22 1 6 1 2 7 61 1

6 6n n n n nn n

+ + +æ ö æ ö+ += + = +ç ÷ ç ÷

è øè ø)ویمكننا أن نالحظ أن : )( )22 7 6 2 2 3n n n n+ + = + +

)ومنھ : ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 1 2 2 31 2 3 ... 1

6n n n

n n+ ´ + ´ +

+ + + + + + =


بین باستعمال االستدالل بالترجع أن ::19تمرین( ) 2

3 3 3 3 1:1 2 3 ...

2n n

n n* +æ ö" Î + + + + =ç ÷

è ø¥


)لدینا ) 33 1 1 1

1 12+æ ö

= =ç ÷è ø

1nومنھ العبارة صحیحة بالنسبة ل =

)نفترض أن:: 2المرحلة ) 23 3 3 3 1

1 2 3 ...2

n nn

+æ ö+ + + + =ç ÷

è ø

صحیحة

)نبین أن::3المرحلة ) ( ) ( ) 233 3 3 3 1 2

1 2 3 ... 12

n nn n

+ ´ +æ ö+ + + + + + =ç ÷

è ø

؟؟

)لدینا : ) ( ) ( )3 33 3 3 3 3 3 3 31 2 3 ... 1 1 2 3 ... 1n n n n+ + + + + + = + + + + + +

)ع :ولدینا حسب افتراض الترج ) 23 3 3 3 1

1 2 3 ...2

n nn

+æ ö+ + + + =ç ÷

è ø

)اذن : ) ( ) ( )2

3 33 3 3 3 11 2 3 ... 1 1

2n n

n n n+æ ö

+ + + + + + = + +ç ÷è ø

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2

3 2 21 4 41 1 1 14 4 4

n n n n nn n n n+ æ ö æ ö+ +

= + + = + + + = +ç ÷ ç ÷è ø è ø

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 22 22 2 2

2

2 2 1 21 1

4 2 2n n n n

n n+ + + +æ ö

= + = + = ç ÷è ø

)ومنھ : ) 23 3 3 3 1

:1 2 3 ...2

n nn n* +æ ö

" Î + + + + =ç ÷è ø

¥

بین باستعمال االستدالل بالترجع أن ::20تمرین0 1 2 3 1:2 2 2 2 ... 2 2 1n nn +" Î + + + + + = -¥

الجواب : نمر بثالث مراحل :0nنتحقق أن العبارة صحیحة بالنسبة ل : 1لمرحلةا =

02لدینا 0و=1 12 1 1+ - 1nومنھ العبارة صحیحة بالنسبة ل = =0نفترض أن:: 2المرحلة 1 2 3 12 2 2 2 ... 2 2 1n n++ + + + + = صحیحة-0:نبین أن:3المرحلة 1 2 3 1 22 2 2 2 ... 2 2 2 1n n n+ ++ + + + + + = ؟؟؟؟؟-

)لدینا : )0 1 2 3 1 0 1 2 3 12 2 2 2 ... 2 2 2 2 2 2 ... 2 2n n n n+ ++ + + + + + = + + + + + +

0ولدینا حسب افتراض الترجع : 1 2 3 12 2 2 2 ... 2 2 1n n++ + + + + = -1اذن : 1 1 1 1 22 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1n n n n n+ + + + += - + = ´ - = ´ - = -

0ومنھ : 1 2 3 1 22 2 2 2 ... 2 2 2 1n n n+ ++ + + + + + = -0والتالي : 1 2 3 1:2 2 2 2 ... 2 2 1n nn +" Î + + + + + = -¥

الل بالترجع أن :بین باستعمال االستد:21تمرین1

0 1 2 5 15 5 5 ... 54

nn

+ -+ + + = :n" Î¥


05لدینا 0و=1 15 1 14

+ -0nة ل ومنھ العبارة صحیحة بالنسب= =

نفترض أن:: 2المرحلة1

0 1 2 5 15 5 5 ... 54

nn

+ -+ + + صحیحة=

نبین أن::3المرحلة2

0 1 2 1 5 15 5 5 ... 5 54

nn n

++ -

+ + + + ؟؟؟؟؟=

)لدینا : )0 1 2 3 1 0 1 2 3 15 5 5 5 ... 5 5 5 5 5 5 ... 5 5n n n n+ ++ + + + + + = + + + + + +

1ولدینا حسب افتراض الترجع :0 1 2 5 15 5 5 ... 5

4

nn

+ -+ + + =

1اذن :0 1 2 1 15 15 5 5 ... 5 5 5

4

nn n n

++ +-

+ + + + = +

1 1 1 25 1 4 5 5 5 1 5 14 4 4

n n n n+ + + +- + ´ ´ - -= = =

2ومنھ :0 1 2 1 5 15 5 5 ... 5 5

4

nn n

++ -

+ + + + =

1:والتالي :0 1 2 5 15 5 5 ... 5

4

nn

+ -+ + + = :n" Î¥

بین أن:)1:1تمرین1

0 1 2 3 13 3 3 ... 32

nn

+ -+ + + = :n" Î¥

)) أ) بین أن : 2 )12 14 6 1 7n n+ ³ + +n" Î¥2ب) بین باستعمال االستدالل بالترجع أن : 6 7n n³ +6n" ³

نمر بثالث مراحل :)1الجواب :0nنتحقق أن العبارة صحیحة بالنسبة ل : 1المرحلة =

03لدینا 0و=1 13 1 12

+ -0nومنھ العبارة صحیحة بالنسبة ل = =

1نفترض أن:: 2المرحلة0 1 2 3 13 3 3 ... 3

2

nn

+ -+ + + صحیحة=

نبین أن::3المرحلة2

0 1 2 1 3 13 3 3 ... 3 32

nn n

++ -

+ + + + ؟؟=

)لدینا : )0 1 2 3 1 0 1 2 3 13 3 3 3 ... 3 3 3 3 3 3 ... 3 3n n n n+ ++ + + + + + = + + + + + +

ولدینا حسب افتراض الترجع :1

0 1 2 3 13 3 3 ... 32

nn

+ -+ + + =

1اذن :0 1 2 1 13 13 3 3 ... 3 3 3

2

nn n n

++ +-

+ + + + = +

1 1 1 1 213 1 3 1 2 3 3 3 1 3 13

2 2 2 2

n n n n nn

+ + + + ++- - + ´ ´ - -

= + = = =

ومنھ :2

0 1 2 1 3 13 3 3 ... 3 32

nn n

++ -

+ + + + =

:والتالي :1

0 1 2 3 13 3 3 ... 32

nn

+ -+ + + = :n" Î¥

)نبین أن : )أ)2 )12 14 6 1 7n n+ ³ + +n" Î¥؟؟؟؟؟نحسب الفرق :

( ) ( )( )12 14 6 1 7 2 14 6 6 7 6 1 0n n n n n+ - + + = + - - - = + ³

)ومنھ : )12 14 6 1 7n n+ ³ + +n" Î¥2)ب)نبین أن :2 6 7n n³ +6n" ؟؟؟؟؟³

6nنتحقق أن العبارة صحیحة بالنسبة ل : 1المرحلة =62لدینا 6 6 7³ ´ 64ألن : + ومنھ العبارة صحیحة بالنسبة ل 43³6n =

2نفترض أن:: 2المرحلة 6 7n n³ صحیحة+)نبین أن::3المرحلة )12 6 1 7n n+ ³ + ؟؟؟؟؟+

2لدینا حسب افتراض الترجع : 6 7n n³ اذن : +( )2 2 2 6 7n n´ ³ ´ +

12یعني : 12 14n n+ ³ اذن لم نجد بعد النتیجة +): لدینا )أ)2وحسب السؤال )12 14 6 1 7n n+ ³ + +n" Î¥

12لدینا اذن : 12 14n n+ ³ )و + )12 14 6 1 7n n+ ³ + +

)ومنھ : )12 6 1 7n n+ ³ + +

2وبالتالي : 6 7n n³ +6n" ؟؟؟؟؟³*منnبین أنھ مھما یكن:23تمرین

¥.

( ) ( ) ( )11 2 2 3 3 4 4 5 .... 1 1 23

n n n n n´ + ´ + ´ + ´ + + ´ + = ´ + ´ +


)لدینا )1 1 1 1 2 2´ + = ´ )و= ) ( )1 11 1 1 1 2 2 3 23 3´ ´ + ´ + = ´ ´ ومنھ العبارة =

1nصحیحة بالنسبة ل =)نفترض أن:: 2المرحلة ) ( ) ( )11 2 2 3 3 4 4 5 .... 1 1 2

3n n n n n´ + ´ + ´ + ´ + + ´ + = ´ + ´ +


نبین أن ::3المرحلة

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 2 2 3 3 4 4 5 .... 1 1 2 1 2 33

n n n n n n n´ + ´ + ´ + ´ + + ´ + + + ´ + = + ´ + ´ ؟؟+

لدینا حسب افتراض الترجع :

( ) ( ) ( )11 2 2 3 3 4 4 5 .... 1 1 23

n n n n n´ + ´ + ´ + ´ + + ´ + = ´ + ´ +

اذن:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 2 2 3 3 4 4 5 .... 1 1 2 1 2 1 23

n n n n n n n n n´ + ´ + ´ + ´ + + ´ + + + ´ + = ´ + ´ + + + ´ +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 31 2 1 2 1 2 1 1 23 3 3

nn n n n n n n n n n +æ ö æ ö= ´ + ´ + + + ´ + = + ´ + + = + ´ +ç ÷ ç ÷è ø è ø

ومنھ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 2 2 3 3 4 4 5 .... 1 1 2 1 2 33

n n n n n n n´ + ´ + ´ + ´ + + ´ + + + ´ + = + ´ + ´ +

*منnبین أنھ مھما یكن:24تمرین¥.

( ) ( )( )

( ) ( )31 1 1 1....

1 2 3 2 3 4 3 4 5 1 2 4 1 2n n

n n n n n´ +

+ + + + =´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ + ´ + + ´ +


)لدینا )( ) ( )1 1 3 4 1

41 1 1 2 4 2 3 6´ +

= =+ ´ + ´ ´

1و 11 2 3 6

=´ ´

ومنھ العبارة صحیحة بالنسبة ل

1n=نفترض أن:: 2المرحلة

( ) ( )( )

( ) ( )31 1 1 1....

1 2 3 2 3 4 3 4 5 1 2 4 1 2n n

n n n n n´ +

+ + + + =´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ + ´ + + ´ +

صحیحة

نبین أن::3المرحلة

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1 41 1 1 1 1....1 2 3 2 3 4 3 4 5 1 2 1 2 3 4 2 3

n nS

n n n n n n n n+ ´ +

= + + + + + =´ ´ ´´ ´ ´ ´ + ´ + + ´ + ´ + + ´ +

؟؟ترجع :لدینا حسب افتراض ال

( ) ( )( )

( ) ( )31 1 1 1....

1 2 3 2 3 4 3 4 5 1 2 4 1 2n n

n n n n n´ +

+ + + + =´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ + ´ + + ´ +

اذن :

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

23 31 44 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3

n n n nn n n n n n n n n n n´ + ´ +

= + = ++ ´ + + ´ + ´ + + ´ + ´ + + ´ + ´ +

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 3 26 9 43 4 6 9 44 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3

n n nn n n n nn n n n n n n n n

´ + + +´ + + + + += = =

+ ´ + ´ + + ´ + ´ + + ´ + ´ +

)یمكننا أن نبین أن : ) ( )23 26 9 4 1 4n n n n n+ + + = + ´ +

ومنھ: ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

23 2 1 4 1 46 9 44 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3

n n n nn n nSn n n n n n n n

+ ´ + + ´ ++ + += = =

+ ´ + ´ + + ´ + ´ + ´ + ´ +

ومنھ ( ) ( )

( )( ) ( )

31 1 1 1....1 2 3 2 3 4 3 4 5 1 2 4 1 2

n nn n n n n

´ ++ + + + =

´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ + ´ + + ´ +

n *" Î¥¥من.nیكنبین أنھ مھما :25تمرین

2 24 1nnb += 15یقبل القسمة على -

/الجواب :یعني نبین : 15nk b k$ Î =¥

نستعمل االستدالل بالترجع و نمر بثالث مراحل :0nنتحقق أن العبارة صحیحة بالنسبة ل : 1المرحلة =

2لدینا 0 2 20 4 1 4 1 15b ´ += - = - =

0nومنھ العبارة صحیحة بالنسبة ل 15مضاعف للعدد =2نفترض أن:: 2المرحلة 2/ 4 1 15nk k+$ Î - صحیحة¥=)نبین أن::3المرحلة )2 1 2/ 4 1 15nk k+ +¢ ¢$ Î - ؟؟؟؟؟¥=

2نبین أن:أي 4/ 4 1 15nk k+¢ ¢$ Î - ؟؟؟؟؟¥=/1نبین أن:أي 15nk b k+¢ ¢$ Î ؟؟؟؟؟¥=

)نحسب مثال : ) ( )2 4 2 24 1 4 1n n+ += - - -1n nb b+ -

( )2 2 2 2 2 2 2 24 4 4 4 1n n n+ + + += - = -1n nb b+ -2 115 4 n+= ´1n nb b+ -

2اذن : 115 4 n+= ´1n nb b+ nb+2یعني - 115 4 n+= ´1nb +

/ولدینا حسب افتراض الترجع : 15nk b k$ Î =¥

15k+2ومنھ 115 4 n+= ´1nb +k+2(اي 115 (4 n+= ´1nb +

/1وبالتالي 15nk b k+¢ ¢$ Î =¥

¥من.nبین أنھ مھما یكن:26تمرین

3n n- 6یقبل القسمة على/3الجواب :یعني نبین : 6k n n k$ Î - =¥

الستدالل بالترجع و نمر بثالث مراحل :نستعمل ا0nنتحقق أن العبارة صحیحة بالنسبة ل : 1المرحلة =

30لدینا 0 0- 0nومنھ العبارة صحیحة بالنسبة ل 6مضاعف للعدد = =/3نفترض أن:: 2المرحلة 6k n n k$ Î - صحیحة¥=)نبین أن::3المرحلة ) ( )3/ 1 1 6k n n k¢ ¢$ Î + - + ؟؟؟؟؟¥=

( ) ( )3 3 21 1 3 3 1 1n n n n n n+ - + = + + + - - =

( ) ( ) ( )3 2 23 3 6 3 6 3 1n n n n k n n k n n= - + + = + + = + +

)ونعلم أن : )1n n )عدد زوجي ألنھ جداء عددین متتالیین + )1 2n n m+ =

( ) ( ) ( )31 1 6 3 2 6 6 6 6n n k m k m k m k ¢+ - + = + ´ = + = + =

)وبالتالي: ) ( )3/ 1 1 6k n n k¢ ¢$ Î + - + =¥

111بین أن :)27:1تمرین 1 10 11 11 1n n n+ - = ´ + -n" Î¥11)بین باستعمال االستدالل بالترجع أن: 2 1n 10مضاعف للعدد -

n" Î¥: 1الجواب(( )111 1 11 11 1 10 1 11 1 10 11 11 1n n n n n+ - = ´ - = + ´ - = ´ + -

11/: ) یعني نبین2 1 10nk k$ Î - =¥

نستعمل االستدالل بالترجع و نمر بثالث مراحل :0nنتحقق أن العبارة صحیحة بالنسبة ل : 1المرحلة =

011لدینا 1 1 1 0- = - ومنھ العبارة صحیحة بالنسبة ل 10مضاعف للعدد =0n=

11/نفترض أن:: 2المرحلة 1 10nk k$ Î - صحیحة¥=1/11نبین أن::3المرحلة 1 10nk k+ ¢$ Î - ؟؟؟؟؟¥=

111) 1نعلم حسب 1 10 11 11 1n n n+ - = ´ + -11/ولدینا حسب افتراض الترجع : 1 10nk k$ Î - =¥

111اذن: 1 10 11 10n n k+ - = ´ +)اذن: )111 1 10 11 10n n k k+ ¢- = + 11nkمع= k¢ = +

111ومنھ : 1n+ 10مضاعف للعدد -11وبالتالي: 1n "10nمضاعف للعدد - Î¥

23نضع : :28تمرین 2n nnA = -n *" Î¥

nتحقق من أن : )1nn AA 2

1 372 ´+=+n *" Î¥

7nمضاعف للعدد nAأن :بین باستعمال االستدالل بالترجع)2 *" Î¥))1الجواب : )2 1 1 2 2 1 2 2 1

1 3 2 3 2 3 3 2 2n n n n n nnA + + + ++ = - = - = ´ - ´


( )2 1 2 1 2 2 11 9 3 2 2 7 2 3 2 2 7 3 2 3 2 2n n n n n n n

nA + = ´ - ´ = + ´ - ´ = ´ + ´ - ´

( )2 2 1 2 2 21 7 3 2 3 2 2 7 3 2 3 2 7 3 2n n n n n n n

n nA A+ = ´ + ´ - ´ = ´ + - = ´ + ´

/) یعني نبین : 2 7nk A k*$ Î =¥

1nنتحقق أن العبارة صحیحة بالنسبة ل : 1المرحلة =2لدینا 1 1 2

1 3 2 3 2 9 2 7A ´= - = - = - =

1nومنھ العبارة صحیحة بالنسبة ل 7مضاعف للعدد =/نفترض أن:: 2المرحلة 7nk A k*$ Î صحیحة¥=نبین أن::3المرحلة

1/ 7nk A k*+¢ ¢$ Î ؟؟؟؟؟¥=

2:)1حسب السؤال1 7 3 2n

n nA A+ = ´ + ´

)اذن : )2 2 21 7 3 2 7 3 2 7 7 3 2 7n n n

n nA A k k k+ ¢= ´ + ´ = ´ + ´ = ´ + = ´

23التالي :وب 2n nnA = -n *" Î¥

عدد حقیقي موجب قطعاaلیكن:29تمرین)بین باستعمال االستدالل بالترجع أن :)1 ); 1 1nn a n a" Î + ³ + ´¥

2nاستنتج أن :)2 n>;n" Î¥) نمر بثالث مراحل :1الجواب :0nنتحقق أن العبارة صحیحة بالنسبة ل : 1المرحلة =

)لدینا )01 1 0a a+ ³ + 1ألن : ´ ومنھ العبارة صحیحة بالنسبة ل 1³0n =

)نفترض أن:: 2المرحلة )1 1na n a+ ³ + صحیحة´

)بین أن:ن:3المرحلة ) ( )11 1 1na n a++ ³ + + ؟؟؟؟؟´

)لدینا حسب افتراض الترجع : )1 1na n a+ ³ + ´

)اذن : )( ) ( )( )1 1 1 1na a a n a+ + ³ + + ´

)یعني : ) ( ) ( )11 1 1na a n a++ ³ + + اذن لم نجد بعد النتیجة ´)نقارن : )( )1 1a n a+ + )و´ )1 1n a+ + حساب الفرق)(یمكن ´

( )( ) ( )( ) 21 1 1 1 1 1a n a n a na a na n a a+ + ´ - + + ´ = + + + - - ´ -

( )( ) ( )( ) 21 1 1 1 0a n a n a na+ + ´ - + + ´ = ³

)اذن : )( ) ( )( )1 1 1 1a n a n a+ + ´ ³ + + ´

)ومنھ : ) ( )11 1 1na n a++ ³ + + ´

)وبالتالي : ); 1 1nn a n a" Î + ³ + ´¥

))وجدنا : 2 )0; ; 1 1na n a n a" > " Î + ³ + ´¥

1aنأخذ مثال : )فنجد : = ); 1 1 1 1nn n" Î + ³ + ´¥

;أي : 2 1nn n" Î ³ +¥

1n:ولكن نعلم أن : n n" Î + >¥

2nn;اذن : n" Î >¥

األستاذ : عثماني نجیب10mmonsite.co-http:// xyzmath.eص

في درس عموميات حول الدوال 2مذكرة رقم األھداف القدرات المنتظرة من الدرس :

I."مجموعة تعریف دالة عددیة"تذكیرالدوال المعرفة كالتالي :حدد مجموعة تعریفأمثلة:

1(( ) 32 3f x x x= + +2(( ) 2

3 12 1

xg xx x

+=

- -3(( ) 22 1h x x x= - -

))1أجوبة: ) 32 3f x x x= + +

یعنيfD = ألنھا دالة حدودیة¡

2(( ) 2

3 12 1

xg xx x

+=

- -}یعني }2/ 2 1 0gD x x x= Î - - ¹¡

22 1 0x x- - نحل المعادلة باستعمال الممیز=2a 1bو = = 1cو - = -

( ) ( ) ( )2 22 4 1 4 2 1 1 8 9 3 0b acD= - = - - ´ ´ - = + = = >0Dبما أن f :فان ھذه المعادلة تقبل حلین ھما

1 2bx

a- + D

و =2 2

bxa

- - D=

( )1

1 9 1 3 4 12 2 4 4

x- - + +

= = = =´

و 2

1 3 2 12 2 4 2

x - -= = =-´

1ومنھ: ;12gD ì ü= - -í ý

î þ¡

3(( ) 22 1h x x x= - -{ }2/ 2 1 0hD x x x= Î - - ³¡

1 1x و =2

12

x نحدد جدول االشارة :-=

]ومنھ : [1, 1,2hD ù ù= -¥ - È +¥ú úû û

الدوال المعرفة كالتالي:حدد مجموعة تعریف:1تمرین1(( ) ( )

( )2

2 12 3x x

f xx x x

+=

+ -2(( ) 2

4 11

xg xx x

+=

+ +3(( )

2 32 1

x xh xx+ -

=-

4(( )2 3

4 2xA xx-

=+

5(( )2 3

1 1xB x

x x-

=- - +

6 (( ) 23C x x= -

))1أجوبة: ){ }2/ 2 3 0fD x x x x= Î + - ¹¡

( )2 22 3 0 0 2 3 0x x x x أو x x+ - = Û = + - =

22 3 0x x+ - نحل المعادلة باستعمال الممیز=2a 1bو = 3cو = = -

( ) ( ) ( )2 22 4 1 4 2 3 1 24 25 5 0b acD= - = - ´ ´ - = + = = >

0Dبما أن f :فان ھذه المعادلة تقبل حلین ھما

1 2bx

a- + D

و =2 2

bxa

- - D=

11 25 1 5 4 12 2 4 4

x - + - += = = =

´و

21 5 6 32 2 4 2

x - - -= = =-

´3ومنھ: ;0;1

2fD ì ü= - -í ýî þ

¡

2({ }2/ 1 0gD x x x= Î + + ¹¡

( )22 4 1 4 1 1 1 4 3 0b acD= - = - ´ ´ = - =- <

¡ومنھ المعادلة لیس لھا حل في

وبالتالي :fD = ¡

3({ }/ 2 1 0hD x x= Î - ¹¡

1 1 12 1 02 2 2

x x x -xأو = Û = Û = = -

1ومنھ: 1;2 2hD ì ü= - -í ý

î þ¡

4({ }/ 4 2 0AD x x= Î + ¹¡

14 2 02

x x+ = Û = -

ADومنھ: ¡وھذه المعادلة لیس لھا حل في = ¡

5({ }/ 1 1 0BD x x x= Î - - + ¹¡

1 1 0 1 1x x x x- - + = Û - = +

)ومنھ: )1 1 1 1x x xأو xÛ - = + - = - +

0 1 1 2 0x أو x= Û - = ={ }0BD *= - =¡ ¡

6(( ) 23C x x= -{ }2/ 3 0CD x x= Î - ³¡

( ) ( )( )22 23 0 3 0 3 3 0x x x x- = Û - = Û - + =

3 0 3 0 3 3x أو x x xÛأو - = + = Û = = -نحدد جدول االشارة :

مادة الریاضیاتأكادیمیة الجھة الشرقیةوجدةنیابة

المستوى : األولى باك علوم تجریبیةاألستاذ : عثماني نجیب

2رقم/مذكرة


,3ومنھ : 3CD é ù= -ë ûII.الدالة المكبورة و الدالة المصغورة و الدالة المحدودة

)المعرفة كالتالي : fنعتبر الدالة :نشاط ) 2

11

f xx

=+

fحیز تعریف الدالة fDحدد .1)بین أن :.2 ) 1f x £x" Î¡

)بین أن :.3 )0 f x£x" Î¡؟fماذا تستنتج ؟مادا نقول عن الدالة .4

})1 :األجوبة }2/ 1 0fD x x= Î + ¹¡

2 21 1 0x x= - Û + Rوھذه المعادلة لیس لھا حل في=fD = ¡

2نعلم أن : )2 0x ³x" Î¡2اذن: 1 0 1x + ³ 2یعني + 1 1x + ³

)یعني ) 2

11 11

f xx

£ Û £+

x" Î¡

1عدد بالRدالة مكبورة على fنقول ؟ نعم2بالعدد Rمكبورة على fسؤال: ھل الدالة

2نعلم أن : )3 0x ³x" Î¡2اذن: 1 0 1x + ³ 2یعني + 1 1x + ³

)یعني )0 f x£x" Î¡0بالعدد Rدالة مصغورة على fنقول

؟ نعم1-بالعدد Rمصغورة على fسؤال: ھل الدالة )نستنتج أن : )4 )0 1f x£ £x" Î¡

Rدالة محدودة على fنقول Rمكبورة و مصغورة علىfاذن : تعریف.2

.Rمن Iدالة عددیة معرفة على مجال fلتكن بحیث : Mإذا وجد عدد حقیقي Iدالة مكبورة على مجال fنقول إن ·

( )f x M£x I" Îبحیث mإذا وجد عدد حقیقي Iدالة مصغورة على مجال fنقول إن · :( )f x m³x I" Îإذا كانت مكبورة و مصغورة Iدالة محدودة على مجال fنقول إن ·

.Iعلى المجال خاصیة:.3

دالة محدودة f.تكون Rمن Iدالة عددیة معرفة على مجال fلتكن

)بحیث : kإذا وجد عدد حقیقي Iمجالعلى ال )f x k£x I" Î

التالیة الدوال المكبورة و المصغورة fحدد من بین الدوال :2تمرینو المحدودة

1.( ) 6f x x= +I =¡

2.( ) 2cos 1f x x= +I =¡

3.( ) 4 4f x x=- -I =¡

4.( ) 6f x x= +I +=¡

5.( ) 2f x sinx= -I =¡

0xنعلم أن : )1:األجوبة ³x" Î¡

6اذن: 0 6x + ³ 6یعني + 6x + ³

)أي )6 f x£x" Î¡6بالعدد Rدالة مصغورة على fاذن

1نعلم أن :)2 cos 1x- £ £x" Î¡2اذن: 2cos 2x- £ 2یعني £ 1 2cos 1 2 1x- + £ + £ +

)یعني )1 3f x- £ £x" Î¡Rدالة محدودة على fاذن:

4:نعلم أن )3 0x ³x" Î¡4یعني 0x- 4یعني£ 4 0 4x- - £ -)یعني ) 4f x 4-بالعدد Rمكبورة على fومنھ -£

0xنعلم أن :)4 ³x +" Î¡6یعني 0 6x + ³ +)یعني )6 f x£ ومنھf مصغورة علىI 6بالعدد ¡=+

1نعلم أن : )5 sin 1x- £ £x" Î¡1اذن: 2 sin 2 1 2x- - £ - £ 3یعني - sin 2 1x- £ - £-

)یعني )3 1f x- £ £-x" Î¡Rدالة محدودة على fاذن:

)المعرفة كالتالي : fنعتبر الدالة :3تمرین ) 2 2 5f x x x= - +

4بالعدد مصغورة fبین أن الدالة )جواب : یكفي أن نبین أن : ال )4 f x£x" Î¡

)اذن نحسب الفرق : ) ( )22 24 2 5 4 2 1 1 0f x x x x x x- = - + - = - + = - ³

)ومنھ : )4 f x£x" Î¡4بالعدد Rمصغورة علىfوبالتالي)المعرفة كالتالي : fنعتبر الدالة :4تمرین ) 22 4 1f x x x= - + +

3مكبورة بالعدد fبین أن الدالة )الجواب : یكفي أن نبین أن : ) 3f x £x" Î¡

)اذن نحسب الفرق : ) ( )2 23 3 2 4 1 3 2 4 1f x x x x x- = - - + + = + - -

( ) ( ) ( )22 23 2 4 2 2 2 1 2 1 0f x x x x x x- = - + = - + = - ³

)ومنھ : ) 3f x £x" Î¡3بالعدد Rعلىمكبورة fوبالتالي

)المعرفة كالتالي : fنعتبر الدالة :5تمرین )4

4

5 41xf x

x+

=+

4بالعدد مصغورة fبین أن الدالة )الجواب : یكفي أن نبین أن : )4 f x£x" Î¡

اذن نحسب الفرق :

( ) ( ) ( )4 4 4 44

4 4 4 4

5 4 4 1 5 4 4 15 4 14 4 01 1 1 1

x x x xxf xx x x x

+ - + + - ++- = - = = = ³

+ + + +)ومنھ : )4 f x£x" Î¡

]الدالة العددیة المعرفة على fلتكن :6تمرین [1;I = بما یلي:¥+( ) 5 1f x x x=- - -

]على 5–مكبورة بالعدد fدالة بین أن ال [1;I = +¥

)الجواب :یكفي أن نبین أن : ) 5f x £ -[ [1;x" Î +¥

1نعلم أن : 0x - ³[ [1;x" Î 1یعني¥+ 0x- - £( )1]ولدینا : [5 5 1 1;x x x- £- Û ³ Û Î +¥( )2

)من : )و1( 1نحصل على : 2( 5 0 5x x- - - £ -

)یعني ) 5f x ]على مكبورة fومنھ -£ [1;I = 5-بالعدد ¥+


)ة كالتالي : المعرفfنعتبر الدالة :7تمرین )2

2

2 7 73 3

x xf xx x

+ +=

+ +fحیز تعریف الدالة fDحدد .1

7مكبورة بالعدد fبین أن الدالة .23

.Rعلى

.Rعلى 1مصغورة بالعدد fبین أن الدالة .3؟fمادا تستنتج بالنسبة للدالة .4

})1األجوبة: }2/ 3 3 0fD x x x= Î + + ¹¡

2 24 3 4 3 1 9 12 3 0b acD= - = - ´ ´ = - =- <¡ومنھ المعادلة لیس لھا حل في

وبالتالي :fD = ¡

)) یكفي أن نبین أن : 2 ) 73

f x £x" Î¡

اذن نحسب الفرق :

( ) ( ) ( )2 22

2 2

7 3 3 3 2 7 77 7 2 7 73 3 3 3 3 3

x x x xx xf xx x x x

+ + - + ++ +- = - =

+ + + +

( )2 2 2

2 2

7 7 21 21 6 21 213 3 3 3 3

x x x x xf xx x x x

+ + - - -- = =

+ + + +2بالنسبة للحدودیة 3 3x x+ >0Dوجدنا أن : +

2أي أن :=1aومنھ اشارتھا ھي اشارة 3 3 0x x+ + >

2وبما أنھ لدینا : 0x فان : ³2

2 03 3x

x x³

+ +

)ومنھ : ) 73

f x £x" Î¡: بالتاليf 7مكبورة بالعدد3

.Rعلى

)) یكفي أن نبین أن : 3 )1 f x£x" Î¡اذن نحسب الفرق :

( ) ( )2 22

2 2

2 7 7 3 32 7 71 13 3 3 3

x x x xx xf xx x x x

+ + - + ++ +- = - -=

+ + + +

( ) ( )22 2 2

2 2 2

22 7 7 3 3 4 413 3 3 3 3 3

xx x x x x xf xx x x x x x

++ + - - - + +- = = =

+ + + + + +2بالنسبة للحدودیة 3 3x x+ 2سبق أن وضحنا أن :+ 3 3 0x x+ + >

)وبما أنھ لدینا : )22 0x + )فان : ³ )2

2

20

3 3x

x x+

³+ +

)ومنھ: )1 f x£x" Î¡:الدالة بالتاليf على 1مصغورة بالعددR.))وجدنا أن : 4 )1 f x£ و( ) 7

3f x £x" Î¡

)ومنھ : ) 713

f x£ £x" Î¡ اي أنf محدودة علىR

III.الدالة الدوریة)المعرفة كالتالي : fنعتبر الدالة :نشاط ) cosf x x=

)قارن : )f x و( )2f x p+x" Î¡)الجواب ) ( ) ( )2 cos 2 cosf x x x f xp p+ = + = =

تعریف.1مجموعة تعریفھا.Dدالة عددیة و fلتكن

موجب قطعا بحیث : Tدالة دوریة إذا وجد عدد حقیقي fنقول إن xإذا كانت · DÎ فانx T D+ Î·( ) ( )f x T f x+ =x D" Î

2Tدوریة و دورھم sinو cosمثال : الدوال : p=Tدالة دوریة ودورھا ھو : tanالدالة p=Rالمعرفة على gو fنعتبر الدوال :8تمرین

)كالتالي : ) cos 6f x x=و( ) sin 7g x x=

ة و دوریfبین أن الدالة .13p.دور لھا

2دوریة و gبین أن الدالة .27p.دور لھا

)1األجوبة:fD = ¡

xإذا كانت · Î¡ فان3

x p+ Î¡

·( ) ( )cos6 cos 6 2 cos63 3

f x x x x f xp p pæ ö æ ö+ = + = + = =ç ÷ ç ÷è ø è ø

دوریة و fومنھ 3p.دور لھا

2(gD = ¡

xا كانت إذ· Î¡ 2فان7

x p+ Î¡

·( ) ( )2 2sin7 sin 7 2 sin77 7

g x x x x g xp ppæ ö æ ö+ = + = + = =ç ÷ ç ÷

è ø è ø

g 2دوریة و7p.دور لھا

IV.مطاریف دالة عددیة)بما یلي:¡الدالة العددیة المعرفة على fلتكن :1نشاط ) 2 2f x x= +

)أحسب :.1 )0f

)بین أن : .2 ) ( )0f f x£ ستنتج؟وماذا ت¡على)1األجوبة:

fD = )و ¡ )0 2f =

20نعلم أن : )2 x£x" Î¡20اذن: 2 2x+ £ 22یعني + 2x£ +

)یعني ) ( )0f f x£x" Î¡)نقول )0f ھي قیمة دنیا للدالةf على¡

)دالة معرفة ب:.fتكن:2نشاط ) 22 4 1f x x x=- + +

)أحسب)1 )1f: و تأكد أن( ) ( )2 32 12

f x xæ ö=- - -ç ÷è ø)تأكد أن : )2 ) ( )1f x f£مھما تكنxمنR.

)1األجوبة:fD = )و ¡ )1 3f =

)نعلم أن : )2 )20 1x£ -x" Î¡

)اذن: )23 30 12 2

x- £ - )یعني - )23 312 2

x- £ - -

)یعني ) ( ) ( )23 32 2 12 2

xæ ö æ ö- - ³ - - -ç ÷ ç ÷è ø è ø

)یعني ) 3f x £x" Î¡

)یعني ) ( )1f x f£x" Î¡)نقول )1f ھي قیمة قصوى للدالةf على¡

Iعنصرا من المجال aوIلة عددیة معرفة على مجالداfلتكن تعریف:)نقول إن § )f a ھي القیمة القصوى للدالةf على المجالIإذا كان, :

( ) ( )f x f a£x I" Î

)نقول إن § )f a ھي القیمة الدنیا للدالةf على المجالI : إذا كان,

( ) ( )f x f a³x I" Î)دالة معرفة ب:fلتكن:9ینتمر ) 22 2 3f x x x= + +.

)بین أن : )1f ¡على fھي قیمة دنیا للدالة -

)یكفي أن نبین أن : الجواب : ) ( )1f f x- £x" Î¡( )1 2 2 3 3f - = - + =

:اذن نحسب الفرق


( ) ( ) 2 21 2 2 1 3 2 2 2f x f x x x x- - = + + - = + -2 24 2 4 2 2 4 16 12 0b acD= - = - ´ ´ = - =- <

22اذن : =2aاذن: اشارة الحدودیة ھي اشارة 2 2 0x x+ - >

)ومنھ : ) ( )1f f x- £)وبالتالي: )1f ¡على fھي القیمة الدنیا للدالة -

)المعرفة كالتالي : fدالة نعتبر ال:10تمرین )2

2

11

xf xx x

+=

+ +fحیز تعریف الدالة fDحدد .1)بین أن .2 )1f ھي القیمة الدنیا للدالةfعلىR.)بین أن .3 )1f .Rعلىfقیمة القصوى للدالة ھي ال-

})1:األجوبة }2/ 1 0fD x x x= Î + + ¹¡

2 24 1 4 1 1 1 4 3 0b acD= - = - ´ ´ = - =- <وبالتالي :¡ومنھ المعادلة لیس لھا حل في

fD = ¡

)ین أن : یكفي أن نب)2 ) ( )1f f x£x" Î¡

( )2

2

1 1 211 1 1 3

f += =

+ +

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 22 2

2 2 2

3 3 2 11 2 2 111 3 3 1 3 1

x x xx x xf x fx x x x x x

+ - + ++ - +- = - -= =

+ + + + + +

)اذن : ) ( ) ( )( )

2

2

11

3 1x

f x fx x

-- =

+ +

2: بالنسبة للحدودیة 1x x+ >0Dوجدنا+2أي : =1aاذن: اشارة الحدودیة ھي اشارة 1 0x x+ + >

)ونعلم أن : )21 0x - )اذن : ³ ) ( )1 0f x f- ³

)ومنھ : ) ( )1f f x£x" Î¡

)و بالتالي : )1f ھي القیمة الدنیا للدالةfعلىR.)یكفي أن نبین أن : )3 ) ( )1f x f£ -x" Î¡

( ) ( )( )

2

2

1 11 2

1 1 1f

- +- = =

- - +

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2

2 2 2

2 1 11 2 11 21 1 1

x x xx x xf f xx x x x x x

+ + - ++ + +- - = - = =

+ + + + + +

)اذن : ) ( ) ( )22

11

1x

f f xx x

+- - =

+ +

: بالنسبة للحدودیة2 1x x+ سبق أن بیننا أن : +

2 1 0x x+ + >)ونعلم أن : )21 0x + )اذن : ³ ) ( )1 0f f x- - ³

)ومنھ : ) ( )1f x f£ -x" Î¡)و بالتالي : )1f .Rعلىfھي القیمة القصوى للدالة -

كالتالي : Rالمعرفة على fنعتبر الدالة :11تمرین

( ) 2 21f x x x x= + مكبورة بالعدد fبین أن الدالة -12

.

)أن : یكفي أن نبینالجواب : ) 12

f x £x" Î¡

( )2 2 2 2

2 21 1 1 2 1 2 1 2 1 212 2 2 2

x x x x x xf x x x x - + + - + +- = - + + = =

( )( ) ( )2 2

2 2 2 22 2 2 1 2 1 11 1 2 1 0

2 2 2 2

x x x x x xx x x xf x+ - + ´ + + -+ - + +

- = = = ³

مكبورة بالعدد fومنھ 12

.

V.مقارنة دالتینبما ¡المعرفتین على gو fلتكن الدالتین العددیتین :1نشاط)یلي: ) 2 1f x x= )و - ) 2g x x=

في نفس المعلمgو fمثل الدالتین .1)أدرس اشارة الفرق: .2 ) ( )g x f x-ستنتج مبیانیا؟وماذا ت

)1األجوبة:fD = و ¡

gD = ألنھم دوال حدودیة¡

2(( ) ( ) ( )22 2 1 1 0g x f x x x x- = - + = - )ومنھ ³ ) ( )g x f x³

gوجدنا أن : gو fقمنا بمقارنة للدالتین نقول أننا f³fیوجد فوق منحنى الدالةgمنحنى الدالة مبیانیا نالحظ أن

المعرفتین كالتالي : الدالتین العددیتینgو fلتكن :2نشاط

( )f x x= و( ) 2g x x=

gDو fDحدد .1gو fأرسم في معلم متعامد ممنظم منحنى الدالتین .2gوfقارن .3

على التوالي gDو fDدالتین عددیتین و gو fلتكن تعریف :مجموعة تعریفھما.

fونكتب gتساوي fنقول إن g=: إذا وفقط إذا كان

fD=gD و( ) ( )f x g x=( )fx D" Î

.نقول إن Iدالتین عددیتین معرفتین على مجال gو fلتكن :تعریفf أصغر من أو یساويg على مجالI ونكتبf g£ إذا وفقط إذا

)كان : ) ( )f x g x£( )x I" Îf:سيالتأویل الھند g£ على مجالI یعني ھندسیا أن منحنى الدالة

fیوجد تحت منحنى الدالةg على المجالI.ملحوظة :

·f g< على المجالI)إذا وفقط إذا كان : ) ( )f x g x<( )x I" Î

·0f )إذا وفقط إذا كان :Iعلى المجال ³ ) 0f x ³( )x I" Î

10x11

-( )f x

32101-

2-

3-

x

9410149( )g x


المعرفتین كالتالي : gو fن العددیتین الدالتی: قارن تطبیقي:12تمرین( ) 4 1g x x= )و - ) 24f x x=

واعط تأویال مبیانیا للنتیجةالجواب :

fD = و ¡gD = ألنھم دوال حدودیة¡

( ) ( ) ( )224 4 1 2 1 0f x g x x x x- = - + = - ³

fومنھ : g³ منحنى الدالة بالتاليf یوجد فوق منحنى.¡على gالدالة

حیث gمنحنى الدالة وfأدرس الوضع النسبي لمنحنى الدالة :13تمرین

( ) 11

f x xx

= ++

)و )g x x=

}الجواب : }1fD = - و ¡-gD = ¡

( ) ( ) 1 11 1

f x g x x xx x

- = + - =+ +1xندرس اشارة +:

1x:اذاكانت 1الحالة fفان -< g³ منحنى الدالة بالتاليf یوجد فوق[على gمنحنى الدالة [1;- +¥.

1x:اذاكانت 2الحالة gفان -> f³ الدالة منحنىبالتاليf یوجد تحت[على gمنحنى الدالة [; 1-¥ -.

كالتالي :Rالمعرفتین على gو fنعتبر الدالتین :14تمرین( ) 2 3 5f x x x= - )و + ) 2 2 2g x x x=- + +

gو منحنى الدالة fلة أدرس الوضع النسبي لمنحنى الداالجواب :

fD = و ¡gD = ¡

( ) ( ) ( )2 2 23 5 2 2 2 5 3f x g x x x x x x x- = - + - - + + = - +

22ندرس اشارة 5 3x x- +:2a 5bو = = 3cو - =

( )22 4 5 4 2 3 25 24 1 0b acD= - = - - ´ ´ = - = >

0Dبما أن f :فان لھذه الحدودیة جذرین ھما

1 2bx

a- + D

و =2 2

bxa

- - D=

15 1 6 32 2 4 2

x += = =

´و

25 1 4 12 2 4

x -= = =

´

/3:اذاكانت 1الحالة 2x 1xأو ³ fفان £ g³gیوجد فوق منحنى الدالةfمنحنى الدالة بالتالي

[على ] 3,1 ,2é é-¥ È +¥ê êë ë

.

:اذاكانت 2الحالة312

x£ gفان £ f³ منحنى بالتالي

,31على gتحت منحنى الدالةیوجدfالدالة 2

é ùê úë û

.

VI.مركب دالتینالدالتین العددیتین المعرفتین كالتالي : gو fلتكن :1نشاط

( ) 1f x x= )و + ) 2g x x=

): حدد )( ) ( )( )g f x g f x=d و

( )( ) ( )( )f g x f g x=dماذا تالحظ ؟

)الجواب : ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 21 1 2 1g f x g f x g x x x x= = + = + = + +o

( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 1f g x f g x f x x= = = +o

gنالحظ: f f g¹o o

ین المعرفتین كالتالي : الدالتین العددیتgو fلتكن :15تمرین

( ) 1f x x= - )و + ) 3g x x x= )حدد - ) ( )g f xo

)الجواب : ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )31 1 1g f x g f x g x x x= = - + = - + - - +o

( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 31 1 1 3 1 3 1 1g f x x x x x x x= - - - + = - ´ ´ + ´ ´ - + -o

( ) ( ) 3 2 3 3 21 3 3 1 3 2g f x x x x x x x x= - + - + - =- + -o

دالتین عددیتین gو fلتكن تعریف :على التوالي مجموعة تعریفھما.gDو fDو

( ){ }/g f f gD x x D fو x D= Î Î Îo

¡

gالمعرفة على hالدالة العددیة fDo

)بما یلي : ) ( )( )h x g f x= ,gفي ھذا الترتیب ویرمز لھا بالرمز gو fتسمى مركب الدالتین fo

)ومنھ : )( ) ( )( )g f x g f x=og fx D" Îo

الدالتین العددیتین المعرفتین كالتالي :gو fلتكن :16تمرین( ) 1f x x= )و - )g x x=

gوgDو fDحدد : fDo

)ثم أحسب ) ( )g f xog fx D" Îo

الجواب : fD = }و ¡ } [ [/ 0 0,gD x x= Î ³ = +¥¡


¡

( ) [ [{ }/ 0,g fD x x fو x= Î Î Î +¥o

¡ ¡

[ [{ }/ 1 0,g fD x x =xو Î Î + Î +¥o

¡ ¡

{ } { }/ 1 / 1 0g f g fD x x D x x= Î ³- Û = Î + ³o o

¡ ¡

[ [1;g fD = - +¥o

( ) ( ) ( )( ) ( )1 1g f x g f x g x x= = - = -o

الدالتین العددیتین المعرفتین كالتالي : gو fلتكن :17تمرین( ) 3f x x= )و - ) 1g x x= +

gوgDو fDحدد : fDo

)ثم أحسب ) ( )g f xog fx D" Îo

الجواب : fD = ¡

}و } { } [ [/ 1 0 / 1 1,gD x x x x= Î + ³ = Î ³ - = - +¥¡ ¡


¡

( ) [ [{ }/ 1,g fD x x fو x= Î Î Î +¥o

¡ ¡

[ [{ }/ 3 1,g fD x x= Î - Î - +¥o

¡

{ } { }/ 2 / 3 1g f g fD x x D x x= Î ³ Û = Î - ³-o o

¡ ¡

[ [2;g fD = +¥o

( ) ( ) ( )( ) ( )3 3 1 2g f x g f x g x x x= = - = - + = -o

VII.رتابة دالة عددیةرفتین كالتالي : الدالتین العددیتین المعgو fلتكن :1نشاط

( ) 4 3f x x= )و - ) 3 2g x x= - +

gو fأدرس رتابة أجوبة :

1(fD = ألنھا دالة حدودیة¡


1xلیكن : Î¡2وx Î¡ 1بحیث 2x x<

1اذن : 24 4x x< : 1اذن 24 3 4 3x x- < -

)اذن : ) ( )1 2f x f x<

¡تزایدیة علىfومنھ الدالة

2(gD = ألنھا دالة حدودیة¡


1اذن : 23 3x x- > 1اذن : - 23 2 3 2x x- + > - اذن : +( ) ( )1 2g x g x>

¡تناقصیة علىgومنھ الدالة

)الدالة العددیة المعرفة كالتالي : fلتكن :2اطنش ) 22f x x=

fD)حدد 1]على كل من المجالین :f) أدرس رتابة 2 [و ¥+;0] ];0-¥

حدد جدول تغیرات )3

)1أجوبة :fD = ألنھا دالة حدودیة¡

]على المجالf) أ) دراسة رتابة الدالة2 [0;+¥:

]لیكن : [1 0;x Î ]و¥+ [2 0;x Î 1بحیث ¥+ 2x x<

2اذن: 21 2x x< 2ومنھ 2

1 22 2x x< أي( ) ( )1 2f x f x<

]تزایدیة علىfومنھ الدالة [0;+¥[على المجالfب) دراسة رتابة الدالة ];0-¥:

[لیكن : ]1 ;0x Î [و¥- ]2 ;0x Î 1بحیث ¥- 2x x<

2اذن: 21 2x x> 2ومنھ 2

1 22 2x x> أي( ) ( )1 2f x f x>

[تناقصیة علىfومنھ الدالة ];0-¥

.f)حدد جدول تغیرات الدالة3

منحى تغیرات دالة عددیةمجاال ضمن مجموعة تعریفھا.Iودالة عددیة fلتكن :تعریف

·f تزایدیة قطعا على المجالI إذا وفقط إذا كان:( ) ( )( )1 2 1 2x x f x f x< Þ <( )( )2

1 2,x x I" Î

·f تناقصیة قطعا على المجالI: إذا وفقط إذا كان ( ) ( )( )1 2 1 2x x f x f x< Þ >( )( )2

1 2,x x I" Î

·fال ثابتة على المجI: إذا وفقط إذا كان ( ) ( )1 2f x g x=( )( )2

1 2,x x I" Î

بدراسة إشارة معدل Iعلى مجال fیمكن دراسة رتابة دالة:ملحوظة

)التغیر : ) ( )2 1

2 1

f x f xx x--

Iعنصرین مختلفین من2xو 1xمع تزایدیة قطعا أو تناقصیة fإذا كانت Iدالة رتیبة على fنقول إن ·

.Iلى مجال قطعا عمتماثلة بالنسبة للصفر. fDدالة عددیة مجموعة تعریفھاfلتكن :خاصیة

IوfDضمن R+مجاال من Iلیكن ¢بالنسبة للصفرIمماثل

دالة زوجیة فان :f)إذا كانت 1

§f تزایدیة قطعا على المجالI إذا وفقط إذا كانتf تناقصیة قطعا على المجالI ¢§f تناقصیة قطعا على المجالI إذا وفقط إذا كانتf

Iتزایدیة قطعا على المجال ¢دالة فردیة فان:f)إذا كانت2fلھا نفس الرتابة على كل من المجالینI وI ¢

VIII.رتابة مركب داالتین:عددیتین معرفتین على التوالي دالتینgو fلتكن :خاصیة

)بحیث : Jو Iعلى المجالین )f x JÎ( )x I" Î: لدینا

Jتزایدیة قطعا علىgو Iتزایدیة قطعا على fإذا كانت§gفان : fo تزایدیة قطعا علىI

Jتناقصیة قطعا علىgو Iتناقصیة قطعا على fإذا كانت§gفان : fo تزایدیة قطعا علىI

Jناقصیة قطعا علىتgو Iتزایدیة قطعا على fإذا كانت§gفان : fo تناقصیة قطعا علىI

Jتزایدیة قطعا علىgو Iتناقصیة قطعا على fإذا كانت§gفان : fo تناقصیة قطعا علىI

IX.التمثیل المبیاني للدالتینx x a® 3xو+ ax®:المعرفة xتغیر الحقیقي الدالة العددیة للمfلتكن:1مثال

)كالتالي : ) 2f x x= +

fمجموعة تعریف الدالة fDحدد .1fتغیرات وحدد جدولfDعلى fأدرس رتابة الدالة .2في معلم متعامد ممنظم . fأنشئ التمثیل المبیاني للدالة .3

})1الجواب : } { } [ [/ 2 0 / 2 2,fD x x x x= Î + ³ = Î ³ - = - +¥¡ ¡

]لیكن :)2 [1 2;x Î - ]و¥+ [2 2;x Î - 1بحیث ¥+ 2x x<

اذن:1 22 2x x+ < ومنھ +

1 22 2x x+ < )أي + ) ( )1 2f x f x<

]تزایدیة علىfومنھ الدالة [2;- +¥

3(

xالدالة العددیة للمتغیر الحقیقي fلتكن:2مثال)المعرفة كالتالي : ) 31

4f x x=

تزایدیة قطعا fو بین أن الدالة fمجموعة تعریف الدالة fDحدد .1

fDعلى

fحدد جدول تغیرات .2

7201-2-x32210( )f x


في معلم متعامد ممنظم .fأنشئ التمثیل المبیاني للدالة .3)1:لجوابا

fD = ألنھا دالة حدودیة¡


3اذن: 31 2x x< 3ومنھ 3

1 21 14 4

x x´ < )أي ´ ) ( )1 2f x f x<

¡تزایدیة علىfومنھ الدالة

2(

3(

تمارین للبحث:المعرفتین كالتالي : gو f: نعتبر الدالتین 1تمرین

( ) 1f xx

)و = ) 2 12

xg xx

+=

-

gحدد .1 fDo

gحیز تعریف الدالة fogحدد صیغة الدالة .2 fo

)المعرفتین كالتالي : gو f: نعتبر الدالتین 2تمرین ) ² 2f x x= )و + )g x x=

gحدد صیغة الدالة .1 fogتأكد أن الدالة .2 fo زوجیةgو fأدرس رتابة كل من الدالتین .3

)المعرفة كالتالي : xالدالة العددیة للمتغیر الحقیقي fلتكن:3تمرین ) 312

f x x= -

fمجموعة تعریف الدالة fDحدد .1fو حدد جدول تغیرات fDتناقصیة قطعا على fبین أن الدالة .2في معلم متعامد ممنظم .fأنشئ التمثیل المبیاني للدالة .3

32101-2-3-x

6.521/40-1/4

2-6.5( )f x

األستاذ : عثماني نجیب17monsite.com-http:// xyzmath.eص

في درس المرجح 3مذكرة رقماألھداف القدرات المنتظرة من الدرس :

I.زنتینمرجح نقطتین متنقطتین مختلفتین من المستوى Bو Aلتكن :1نشاط

4بحیث :Gبین أنھ توجد نقطة )1 5 0GA GB- =uuuv uuuv v

( )EGأنشئ النقطة )2

)حظ أن : )نال1األجوبة: )4 5 0+ - ¹

4 5 0GA GB- =uuuv uuuv v

)یعني )42 5 0GA GA AB- + =uuuv uuuv uuuv v

(استعمال عالقة شال)

4یعني 5 5 0GA GA AB- - =uuuv uuuv uuuv v

5یعني 0GA AB- - =uuuv uuuv v

5AGیعني AB=uuuv uuuv

)على المستقیم Gاذن توجد نقطة وحیدة )AB تحقق( )E2(

نقطتین مختلفتین من المستوى Bو Aلتكن :2نشاط2بحیث :Gھل توجد توجد نقطة 2 0GA GB- =

uuur uuur r

2نالحظ أن : الجواب : 2 0- =2 2 0GA GB- =uuuv uuuv v

)یعني )2 2 0GA GA AB- + =uuuv uuuv uuuv v(استعمال عالقة شال)

2یعني 2 2 0GA GA AB- - =uuuv uuuv uuuv v

2یعني 0AB=uuuv v

وھذا غیر ممكن )تحقق Gاذن ال توجد نقطة )E

نقطة متزنة.1عددا حقیقیاaنقطة من المستوى و Aلتكن

)الزوج );A a یسمى نقطة متزنة و العددa یسمى وزن النقطةA).aمعینة بالمعاملA(نقول كذلك أن النقطة

خاصیة و تعریف.3.1)لتكن );A a و( );B b 0نقطتین متزنتین من المستوى بحیثa b+ ¹

0aGAمن المستوى بحیث : Gتوجد نقطة وحیدة bGB+ =uuur uuur r

)تسمى مرجح النقطتین المتزنتینGالنقطة );A a و( );B b

0aاذا كانت :1مالحظة b+ )فان النقطتین المتزنتین = );A a و( );B bلیس لھم مرجح

)مرجح النقطتین المتزنتینGاذا كانت النقطة :2مالحظة );A a و( );B b

bAGفان : ABa b

=+

uuuv uuuv� (استعمال عالقة شال) وھذه الكتابة تستعمل لرسم

Gالنقطة :1تمرین

)مرجح النقطتین Gأنشئ .1 )2;-A و( )3;B أنشئ ثمG¢ مرجح)النقطتین )2;Aو( )1;B

GGأحسب .2 ABبداللة ¢

)مرجح النقطتین G)لدینا1األجوبة: )2;-A و( )3;B باستعمال العالقةنجد :�

( )3

2 3AG AB=

- +

uuuv uuuv 3یعنيAG AB=uuuv uuuv

�

)مرجح النقطتین ¢Gولدینا )2;Aو( )1;B نجد �وباستعمال العالقة1

1 2AG AB¢ =

+

uuuuv uuuv 1یعني3

AG AB¢ =uuuv uuuv�

1)اذن : 2 1 83 33 3 3

GG GA AG AG AG AB AB AB ABæ ö¢ ¢ ¢= + =- + =- + = - + =-ç ÷è ø

uuuuv uuuv uuuuv uuuv uuuuv uuuv uuuv uuuv uuuv

خاصیات مرجح نقطتین متزنتین.2)المتزنتین مرجح النقطتین Gأنشئ :2نشاط أو تمرین )003,0;-A

)و )001,0;-B حیثA B¹)المتزنتین مرجح النقطتین Gالجواب: )003,0;-Aو( )001,0;-B

0,003یعني 0,001 0GA GB- - =uuuv uuuv v: نضرب طرفي المتساویة في نفس العدد

1000k=3یعني 0GA GB- - =

uuuv uuuv v)المتزنتین مرجح النقطتین Gیعني ); 3A -

)و ); 1B -

نجد :�وباستعمال العالقة ( ) ( )

11 3

AG AB-=- + -

uuuv uuuv 1یعني4

AG AB=uuuv uuuv ومنھ

الرسم:

a.الصمودقطتین متزنتین ال یتغیر بضرب معاملیھما في عدد حقیقي غیر مرجح ن

منعدم:)مرجح النقطتین المتزنتینGإذا كان );A a و( );B b فان لكلk من*R,

Gھو كذلك مرجح النقطتین المتزنتین( );A ka و( );B kb)المتزنتین مرجح النقطتین Gلیكن :3تمرین ); 8Aو( ); 2B -

)لنقطتین :مرجح اGبین أن ); 2A )و- );1Bحسب خاصیة الصمود نضرب وزني النقطتین في نفس العدد الجواب:

1الحقیقي و المرجح ال یتغیر نأخذ : 2

k=- : اذنG: مرجح النقطتین

1; 82

Aæ ö- ´ç ÷è ø

;1و 22

Bæ öæ ö- ´ -ç ÷ç ÷

è øè ø

)أي : ); 2A )و- );1B : 8نالحظ أن 2 2=

یاضیاتمادة الرأكادیمیة الجھة الشرقیةنیابة وجدة

المستوى : األولى باك علوم تجریبیةاألستاذ : عثماني نجیب3مذكرة رقم/


b.الخاصیة الممیزة)لتكن );A a و( );B b 0نقطتین متزنتین من المستوى بحیثa b+ ¹

نقطة من المستوىGولتكنGمرجح النقطتین المتزنتین( );A a و( );B b إذا وفقط إذا لكل نقطةM

)من المستوى : )aMA bMB a b MG+ = +uuur uuur uuuur

نقطة من المستوى Mالبرھان : لتكن

( ) ( )aMA bMB a MG GA b MG GB+ = + + +uuuv uuuv uuuuv uuuv uuuuv uuuv

(استعمال عالقة شال)

( )aMA bMB a b MG aGA bGB+ = + + +uuuv uuuv uuuuv uuuv uuuv

Gمرجح النقطتین المتزنتین( );A a و( );B b 0یعنيaGA bGB+ =uuuv uuuv v

0aGAیعني bGB+ =uuuv uuuv v

)یعني )aMA bMB a b MG+ = +uuuv uuuv uuuuv

Mبوضع : :ستنتاجا A= على التوالي)M B= في الخاصیة (bAGالممیزة نحصل على : AB

a b=

+

uuur uuur

bBG(على التوالي BAa b

=+

uuur uuurا من رسم النقطة ) وھذه الكتابات تمكننG

نقط مستقیمیة.Gو Bو Aوتبین لنا أن : 2EGنقطتین من المستوى بحیث:Fو Eلیكن :4تمرین EF=

uuuv uuuvو

( )ABEÏ.)المتزنتین مرجح النقطتین Gبین أن : )1 )1;-Eو( )2;F

)استنتج أن المستقیمین )2 )EF و( )AB یتقاطعان محددا نقطةتقاطعھما.األجوبة:

1(2EG EF=uuuv uuuv

)یعني )2EG EG GF= +uuuv uuuv uuuv(استعمال عالقة شال)

2یعني 2EG EG GF= +uuuv uuuv uuuv

2یعني 2EG EG GF- =uuuv uuuv uuuv

1یعني 2 0EG GF- - =uuuv uuuv v

2یعني 0EG GF+ =uuuv uuuv v

2یعني 0GE GF- + =uuuv uuuv v

النقطتین مرجح Gیعني)المتزنتین )1;-Eو( )2;F

)المتزنتین مرجح النقطتین G)لدینا 2 )2;Aو( )3;-B : اذن( )G ABÎ

)متزنتین المرجح النقطتین Gو لدینا )1;-Eو( )2;F : اذن( )G EFÎ

)اذن المستقیمین )AB و( )EF لدیھم نقطة مشتركة وغیر منطبقین)(ألن : )ABEÏ(

)لمستقیمین وبالتالي : ا )EF و( )AB یتقاطعان وG ھي نقطةتقاطعھما.

نقطتین مختلفتین من المستوى.Bو Aلتكن :5تمرین]منتصف القطعة Iولتكن ]AB وG مرجح النقطتین( )3;A و

( )5;-Bبحیث : Pالمستوى من Gحدد مجموعة النقط

3 5MA MB MA MB- = +uuur uuur uuur uuur

3الجواب: 5MA MB MA MB- = +uuur uuur uuur uuur

G مرجح النقطتین( )3;A و( )5;-B اذن حسب الخاصیة الممیزةللمرجح فان :

( )( )3 5 3 5 2MA MB MG MG- = + - =-uuur uuur uuuur uuuur

2MAو لدینا MB MI IA MI IB MI IA IB+ = + + + = + +uuur uuur uuur uur uuur uur uuur uur uur

Iوبما أن :]منتصف القطعة ]AB

0IAفان : IB+ =uur uur r

2MAمنھ : MB MI+ =uuur uuur uuur

2 2MG MI- =uuuur uuur

2یعني 2MG MI- =uuuur uuur

یعني

3 5MA MB MA MB- = +uuur uuur uuur uuur

2یعني 2MG MI= یعنيMG MI=]ومنھ مجموعة النقط ھي واسط القطعة ]GI

II.:إحداثیتي المرجح)المستوى منسوب إلى معلم ), ,o i j

r r

)و لتكن );A a و( );B bنقطتین متزنتین من المستوى

)مرجح النقطتین المتزنتینGإذا كان );A a و( );B b فان إحداثیتي

G : ھماA BG

A BG

ax bxxa b

ay byya b

+ì =ïï +í +ï =ï +î

]منتصف القطعة Iمالحظة : ]AB یعنيI مرجح النقطتین المتزنتین( );1Aو( );1B

)نعتبر النقطتین : مثال: )1;2A و( )4;6B مرجح Gو لیكن -

)المتزنتین النقطتین );2Aو( ); 1B -

Gأحسب إحداثیتي

الجواب:( ) ( )( )( )( )

2 1 1 4 6 62 1 1

2 2 1 6 2 22 1 1

G

G

x

y

´ + - ´ -ì= = =ï + -ï

í´ + - ´ -ï = = = -ï + -î

)اذن : )6; 2G -

)في المستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم :6رینتم )jiO نعتبر ;.)النقطتین : )5;2-A و( )1;2B و لیكنG المتزنتین مرجح النقطتین( )1;Aو( )3;B

Gيأحسب إحداثیت)1المتزنتین مرجح النقطتین Gبحیث Hحدد إحداثیتي النقطة )2

( )1;Hو( )3;O)بین أن : المستقیمین )3 )AH و( )OBمتوازیان.

)1األجوبة:( )1 2 3 2 4 1

3 1 41 5 3 1 8 2

3 1 4

G

G

x

y

´ - + ´ì= = =ïï +í

´ + ´ï = = =ï +î

)اذن : )1;2G

)المتزنتین مرجح النقطتین G:1طریقة)2 )1;Hو( )3;O : یعني1 3 1

3 11 3 2

3 1

H OG

H OG

x xx

y yy

´ + ´ì = =ïï +í ´ + ´ï = =ï +î

)لدینا )0;0O : 1یعني4

24

H

H

x

y

ì =ïïíï =ïî

4یعني : 8

H

H

xy

=ìí =î

)اذن : )4;8H

)المتزنتین مرجح النقطتین G:2طریقة )1;Hو( )3;O: 1یعني4

OG OH=uuuv uuuv


( )1;2OGuuur

1و 1 1;4 4 4H HOH x yæ ö

ç ÷è ø

uuur

14

OG OH=uuuv uuuv 1یعني

4

24

H

H

x

y

ì =ïïíï =ïî

4یعني : 8

H

H

xy

=ìí =î

)اذن : )4;8H

3(( )6;2AHuuuv و( )6;2OB

uuuv : 3اذن : نالحظ أنAH OB=uuuv uuuv

)المستقیمین ومنھ )AH و( )OB: متوازیان ألن المتجھتینAHuuuv

OBو uuuv

مستقیمیتان

)في المستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم :7تمرین )jiO نعتبر ;.)النقطتین : )5;0A و( )2;3B و لیكنG المتزنتین مرجح النقطتین( )1;Aو( )2;B

Gأحسب إحداثیتي)1بحیث : P من المستوى Mحدد و أرسم مجموعة النقط )2

62 =+ MBMA

)1األجوبة:0 6 2

35 4 3

3

G

G

x

y

+ì = =ïïí +ï = =ïî

)اذن : )2;3G

2(2 6MA MB cm+ =uuur uuur

3یعني 6MG cm=uuuur

حسب الخاصیة

الممیزة للمرجح3یعني 6MG cm=

uuuur3یعني 6MG cm= 2یعنيMG cm=

)ي الدائرة ومنھ مجموعة النقط ھ )C التي مركزھاG وشعاعھا2r cm=

III.:مرجح ثالث نقط متزنةخاصیة و تعریف.1

)لتكن );A a و( );B b و( );C cى بحیث ثالث نقط متزنة من المستو

0a b c+ + ¹0aGAمن المستوى بحیث : Gتوجد نقطة وحیدة bGB cGC+ + =

uuur uuur uuur r

)تسمى مرجح النقط المتزنةGالنقطة );A a و( );B b و( );C c.

aإذا كان : حالة خاصة : b c= )فان مرجح النقط المتزنة= );A a و

( );B b و( );C c یسمى كذلك مركز ثقل المثلثABCزنةخاصیات مرجح ثالث نقط مت.2

)مرجح النقط المتزنةGإذا كانأ)الصمود: );A a و( );B b و

( );C c فان لكلk من*RG مرجح النقط المتزنةھي كذلك

( );A ka و( );B kb و( );C kc

)لتكن ب)الخاصیة الممیزة: );A a و( );B b و( );C c ثالث نقط0aمن المستوى بحیث b c+ + نقطة من المستوىGولتكن¹

Gمرجح النقط المتزنة( );A aو( );B bو( );C c إذاوفقط إذا لكلمن المستوىMنقطة

:( )a M A b M B c M C a b c M G+ + = + +uuur uuur uuuur uuuur

Mبوضع : استنتاج : A= : في الخاصیة الممیزة نحصل على b cAG AB AC

a b c a b c= +

+ + + +

uuur uuur uuur® وھذه العالقة

Gتمكننا من رسم النقطة 2نقطة بحیث : Gمثلثا و ABCلیكن :8تمرینمثال أو 3AC AG GB= -

uuuv uuuv uuuv

)المتزنة مرجح النقط Gبین أن : )1;Aو( )1;Bو( )2;CGأنشئ النقطة و

2الجواب: 3AC AG GB= -uuuv uuuv uuuv

2ني یع 3 0AC AG GB- + =uuuv uuuv uuuv v

)یعني )2 3 0AG GC AG GB+ - + =uuuv uuuv uuuv uuuv v 2یعني 0AG GB GC- + + =

uuuv uuuv uuuv v

2یعني 0GA GB GC+ + =uuuv uuuv uuuv v

)المتزنة مرجح النقط Gومنھ : )1;Aو( )1;Bو( )2;Cbفان : ®وحسب العالقة cAG AB AC

a b c a b c= +

+ + + +

uuur uuur uuur

1أي : 24 4

AG AB AC= +uuuv uuuv uuuv 1یعني 1

4 2AG AB AC= +uuuv uuuv uuuv ومنھ رسمG

مرجح Gثالث نقط من المستوى. و Cو Bو Aلتكن :9تمرین)المتزنة النقط );2Aو( )1;-Bو( );1C

}حدد المجموعة: }/ 2 6E M P MA MB MC cm= Î - + =uuur uuur uuuur

ھو المستوى.Pحیث 2الجواب : 6MA MB MC cm- + =

uuur uuur uuuur 2یعني 6MG cm=uuuur

حسب

الخاصیة الممیزة للمرجح2ني یع 6MG cm=

uuuur2یعني 6MG cm= 3یعنيMG cm=

)ومنھ مجموعة النقط ھي الدائرة )C التي مركزھاG 3وشعاعھاr cm=

ج)تجمیعیة المرجح:)تكن );A a و( );B b و( );C c ثالث نقط من المستوى بحیث

0a b c+ + 0aو ¹ b+ ¹)مرجح النقط المتزنةGإذا كان );A aو( );B b و( );C c وكانتH

)مرجح النقطتین المتزنتین );A a و( );B b

)مرجح Gفان );H a b+ و( );C c]منتصف القطعة Iو ABCمركز ثقل المثلث Gلیكن :10تمرین ]BC

)مرجح النقطتین Gبین أن );1A و( );2I

مرجح النقط Gیعني ABCز ثقل المثلث مركGالجواب :)المتزنة );1Aو( );1B و( );1C

I منتصف القطعة[ ]BC : یعنيI مرجح النقطتین( );1B و( );1C

)ھو مرجح النقطتین : Gوحسب خاصیة تجمیعیة المرجح فان : );1A و

( );1 1I +


حدد ثالث نقط من المستوى. DوCو Bو Aلتكن :11تمرینمجموعة النقط من المستوى بحیث :

2 3 5 5MA MB MC MD cm- + - =uuur uuur uuuur uuuur

إحداثیتا مرجح ثالث نقط.3)مرجح النقط المتزنةGإذا كان );A a و( );B b و( );C c فان

Aھما : Gإحداثیتي B CG

A B CG

ax bx cxxa b c

ay by cyya b c

+ +ì =ïï + +í + +ï =ï + +î

)في المستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم :12تمرین )jiO .;)نعتبر النقط : )1;1-A و( )2;0Bو( )1;1-C و( )0;1D

)المتزنتین مرجح النقطتین Kحدد إحداثیتي)1 )2;Aو( )3;BABCمركز ثقل المثلث Lحدد إحداثیتي)2)النقط :مرجح Gحدد إحداثیتي)3 )2;Aو( )3;Bو( )1;Cو( )1;-D

)1األجوبة :2 0 25 5

2 6 85 5

K

K

x

y

- + -ì = ==ïïí +ï = =ïî

2اذن : 8;5 5

K æ ö-ç ÷è ø

2(Lث مركز ثقل المثلABC یعنيL المتزنة مرجح النقط( );1A

)و );1Bو( );1C

ومنھ : 1 1 1

1 1 11 1 1

1 1 1

A B CL

A B CL

x x xx

y y yy

+ +ì =ïï + +í + +ï =ïî + +

یعني ( )

( )

1 1 1 0 1 10

1 1 11 1 1 2 1 1 2

1 1 1 3

L

L

x

y

´ - + ´ + ´ì= =ïï + +

í´ + ´ + ´ -ï = =ï + +î

;20اذن : 3

Læ öç ÷è ø

3(A B C DG

A B C DG

ax bx cx dxxa b c d

ay by cy dyya b c d

+ + +ì =ïï + + +í + + +ï =ï + + +î

یعني( )

( )

2 3 1 1 25 5

2 3 1 1 75 5

A B C DG

A B C DG

x x x xx

y y y yy

´ + ´ + ´ + - ´ì -= =ïï

í´ + ´ + ´ + - ´ï = =ïî

2اذن : 7;5 5

Gæ ö-ç ÷è ø

ثالث نقط من المستوى.Cو Bو Aلتكن :13تمرین2بحیث : P من المستوى Mو 3V MA MB MC= + -

uv uuuv uuuv uuuuv

Vبین أن )1uv

Mمتجھة غیر مرتبطة بالنقطة )المتزنتین مرجح النقطتین K: لتكن )2 )1;Bو( )3;-C : بین أن

2V KA=uv uuuv

)المتزنة النقط مرجح G: لیكن)3 );2Aو( )1;-Bو( )3;-C2أ)بین أن : 3 2MA MB MC GM- - =

uuuv uuuv uuuuv uuuuvمن المستوى Mلكل نقطة

من المستوى بحیث :Mب)استنتج مجموعة النقط 2 3 2 3MA MB MC MA MB MC- - = + -uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur

))1األجوبة : )2 3 2 3V MA MB MC MA MA AB MA AC= + - = + + - +uv uuuv uuuv uuuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv

3V AB AC= -uv uuuv uuuv ومنھV

uvMمتجھة غیر مرتبطة بالنقطة

2) وجدنا : 2 3 3MA MB MC AB AC+ - = -uuuv uuuv uuuuv uuuv uuuv

من المستوىMمھما تكن Mیمكننا مثال وضع : K= : 2ونجد 3 3KA KB KC AB AC+ - = -

uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv

)المتزنتین مرجح النقطتین Kونعلم أن : )1;Bو( )3;-C : اذن3 0KB KC- =

uuuv uuuv v

2ومنھ نجد : 3KA AB AC= -uuuv uuuv uuuv

2KAأي : V=uuuv uv

لخاصیة الممیزة للمرجح : حسب ا)أ)3( ) ( )( )2 3 2 1 3 2 2MA MB MC MG MG GM- - = + - + - = - =

uuuv uuuv uuuuv uuuuv uuuuv uuuuv

2)ب)3 3 2 3MA MB MC MA MB MC- - = + -uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur2تعني 2GM KA=

uuuur uuur

2تعني 2GM KA=تعنيGM KA=)ومنھ مجموعة النقط ھي الدائرة )C التي مركزھاGشعاعھا و

r KA=)مرجح النقطتین ¢Bمثلثا و ABCلیكن :14تمرین )2;-Aو( )1;C ثم

A¢ مرجح النقطتین( )2;Aو( )3;-B وC )مرجح النقطتین ¢ )1;-C)و )3;BABبین أن :)1 AC¢ = -

uuuv uuuv3AAو AB¢ =

uuuv uuuv1و

2BC BC¢ = -uuuuv uuuv

2بین أن :)2 0B A A C¢ ¢ ¢ ¢+ =uuuuv uuuuv v

من المستوى فان : نقطةMاستنتج أنھ مھما تكن )32 0MA MB MC¢ ¢ ¢- - + =

uuuuv uuuuv uuuuv v

Cو ¢Bو ¢Aاستنتج أن النقط )4 مستقیمیة.¢)مرجح النقطتین ¢B)1األجوبة: )2;-Aو( )1;C

اذن : ( )1

1 2AB AC AC¢ = =-

+ -

uuuv uuuv uuuv

A¢ مرجح النقطتین( )2;Aو( )3;-B: 3اذن 33 2

AA AB AB-¢ = =- +

uuuv uuuv uuuv

C )مرجح النقطتین ¢ )1;-Cو( )3;B یعني( )1 1

3 1 2BC BC BC-¢ = = -

+ -

uuuuv uuuv uuuv

2(( )2 2 2 2BA AC BA AA AB BC AA AB BC BA¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢+ = + + + = - + -

uuuuv uuuuv uuuv uuuv uuuv uuuuv uuuv uuuv uuuuv uuuv

( )12 3 2 22

B A A C AB AC BC BA AA¢ ¢ ¢ ¢ ¢+ = + - ´ - +uuuuv uuuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv

2 3 2 6B A A C AB AC BC AB AB AB AC BC¢ ¢ ¢ ¢+ = + - + - = - + -uuuuv uuuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv

2 0B A A C BA AC CB BB¢ ¢ ¢ ¢+ = + + = =uuuuv uuuuv uuuv uuuv uuuv uuuv v

3(( ) ( )2 2MA MB MC MA MA A B MA A C¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢- - + = - - + + +uuuuv uuuuv uuuuv uuuuv uuuuv uuuuv uuuuv uuuuv

2 2 2 0MA MB MC A B A C B A A C¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢- - + = - + = + =uuuuv uuuuv uuuuv uuuuv uuuuv uuuuv uuuuv v

نقطة من المستوى Mمھما تكن )وجدنا أن :42فان : 0MA MB MC¢ ¢ ¢- - + =

uuuuv uuuuv uuuuv v

Mبوضع مثال : A¢=2نجد : 0AA A B A C¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢- - + =

uuuuv uuuuv uuuuv v2ACیعني AB¢ ¢ ¢ ¢=

uuuuv uuuuv

Cو ¢Bو ¢Aوھذا یعني أن : النقط مستقیمیة.¢:15تمرین

)مرجح النقطتین Iلیكن )1 )2;A و( )1;CوJ مرجح النقطتین( )1;A)و )2;B وK مرجح النقطتین( )1;Cو( )4;-B

Kو Jو Iأنشئ النقط )مرجح النقطتین Bأثبت أن )2 )3;K و( )1;C]منتصف Jبین أن )3 ]KI

)مرجح النقطتین I)1األجوبة : )2;A و( )1;C : 1اذن3

AI AC=uuv uuuv

J مرجح النقطتین( )1;Aو( )2;B : 2اذن3

AJ AB=uuuv uuuv

K مرجح النقطتین( )1;Cو( )4;-B : 1اذن3

BK BC= -uuuv uuuv

3)یكفي أن نبین أن : 2 1 0BK BC+ =uuuv uuuv v

؟؟؟؟؟1بما أن لدینا :

3BK BC= -uuuv uuuv 3یعنيBK BC= -

uuuv uuuv


3یعني 0BK BC+ =uuuv uuuv v

JK)یكفي أن نبین أن : 3 IJ=uuuv uuv

؟؟؟؟؟1لدینا:

3AI AC=uuv uuuv 2و

3AI AB=uuv uuuv

)اذن : )2 1 1 23 3 3

IJ AJ AI AB AC AB AC= - = - = -uuv uuuv uuv uuuv uuuv uuuv uuuv�

)لدینا : )2 1 13 3 3

JK JA AB BK AB AB BC AB CB= + + = + - = +uuuv uuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv

( ) ( )1 1 23 3

JK AB CA AB AB AC= + + = -uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv�

IJنجد أن : �و �من : JK=uuv uuuv : ومنھJتصف من[ ]KI

مالحظات عامة حول درس المرجح:

: عثماني نجیباألستاذ22monsite.com-http:// xyzmath.eص

في درس تحليلية الجداء السلمي وتطبيقـاته 4مذكرة رقماألھداف القدرات المنتظرة من الدرس :

I.لتحلیلیة للجداء السلمي في معلم متعامد ممنظمالصیغة االصیغة التحلیلیة للجداء السلمي في معلم متعامد ممنظم.1

)لیكن تعاریف: );i jr r أساسا في المستوى وO نقطة من المستوى

)نقول إن · );i jr r إذا كان :أساس متعامد ممنظم

1i =r1وj =

r و. 0i j =r r

)نقول إن المعلم · )0; ;i jr r متعامد ممنظم إذا كان( );i j

r r أساسا

متعامدا ممنظما)إذا كان · );i j

r rمد ممنظم و أساس متعا( ) [ ]; 22

i j p pºr r نقول إن

( )0; ;i jr r

معلم متعامد ممنظم ومباشر

دائما في جمیع فقرات الدرس ننسب المستوى إلى معلم متعامد ممنظم )ومباشر )0; ;i j

r r

uلتكن نشاط : xi y j= +r r r

vو x i y j¢ ¢= +r r r

)متجھتین من )0; ;i jr r

معلم

u.متعامد ممنظم ومباشر أحسب : vr r

الجواب:( ) ( )u v xi y j x i y j xx i i xy i j yx j i yy j j¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢× = + + = × + × + × + ×

r r r r r r urr urr r r r r

cos0 1 1 1 1i i i i× = ´ ´ = ´ ´ =urr r r وcos0 1 1 1 1j j j j× = ´ ´ = ´ ´ =

uurr r r

cos 1 1 0 02

i j i j p× = ´ ´ = ´ ´ =urr r r : ومنھu v xx yy¢ ¢× = +

r r

uلتكن :1خاصیة xi y j= +r r r


. متجھتین من المستوى u., لدینا : v xx yy¢ ¢= +

r r

uتكون المتجھتان :2خاصیة xi y j= +r r r


متعامدتین إذا u.وفقط إذا كان : v xx yy¢ ¢= +

r r

مثال نعتبر المتجھات 2u i j= +

r r ur

2vو i j= -r r ur

5و 3w i j= +uur r ur

.u.أحسب الجداءات السلمیة التالیة : v

r r

v.و wr uur

u.و wr uur

)جواب :ال ). 1 2 2 1 0u v = ´ + ´ - =r r

uاذن : v^r r

( ). 2 5 3 1 7v w = ´ + ´ - =r ur

.و 1 5 3 2 11u w = ´ + ´ =r ur

لكي تكون m: حدد قیمة العدد الحقیقي 1تمرین)المتجھتان )3; 1u m- +

r)و )2 ;5v m-

rمتعامدتین

uالجواب : v^r r

.یعني 0u v =r r

)یعني ) ( )3 2 5 1 0m m- + ´ - + =

6 3 5 5 0m m- - + 2یعني = 1 0m + 1یعني =2

m = -

لكي تكونmحدد قیمة العدد الحقیقي :2تمرین)المتجھتان )1 ;2u m- +

r12و ;

2v mæ ö-ç ÷è ø

rمتعامدتین

uالجواب: v^r r

.یعني 0u v =r r

)یعني )( ) 11 2 2 02

m m- + - + ´ =

22 2 1 0m m m- + + - + 2یعني = 3 1 0m m- + - =2یعني 3 1 0m m- + نحسب ممیز المعادلة ونجد : =

5D ومنھ للمعادلة حلین ھما : =1

3 52

m +و =

23 5

2m -

=

الصیغة التحلیلیة لمنظم متجھة والمسافة بین نقطتین.2a(ھة:منظم متج

uلتكن xi y j= +r r r

uمتجھة من المستوى , منظم المتجھة r

uنرمز لھ بالرمز r 2و 2u x y= +

r

b(:المسافة بین نقطتین




)لتكن );A AA x y و( );B BB x yطتین من المستوى , المسافة ھي : نق

( ) ( )2 2B A B AAB x x y y= - + -

ABمالحظة : AB=uuur

:نعتبر في المستوى النقط التالیة : 3مثال أو تمرین( )1;3A -( )3; 5Bو( )2; 3C )والمتجھة - )5; 2u -

r

uوAC)أحسب 1r

AB)أحسب : 2 CBuuur uuur

g

ABC) ماذا تستنتج بالنسبة للمثلث 3األجوبة :

1(( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 3 3 9 36 45C A C AAC x x y y= - + - = + + - - = + =

( ) ( )2 25 2 5 4 9 3u = + - = + = =

r

2(( )( )3 1 ; 5 3AB - - -uuur یعني( )4; 5 3AB -

uuur

( )3 2; 5 3CB - +uuur یعني( )1; 5 3CB +

uuur

( ) ( ) ( )( )2 21 4 5 3 5 3 4 5 3 0AB CB = ´ + - + = + - =uuur uuur

g

Bقائم الزاویة في ABC)نستنتج أن المثلث 3)المستوى النقط التالیة : :نعتبر في 4تمرین )3;2A1 ;0

2B æ ö-ç ÷è ø

)و )1; 4C - 5و - ; 22

D æ ö-ç ÷è ø

( )1; 1E -

Eقائم الزاویة في النقطة ABEبین أن المثلث .1معین ABCDبین أن الرباعي .2

متوازي األضالع وضلعین متتابعین ABCD(یكفي أن نبین أن متقایسین أو نبین أن القطرین متعامدین)

AE) یكفي أن نبین أن 1األجوبة : EBûuur uuur

0AEأي نبین أن : EB =uuur uuur

g

( )2; 3AE - -uuur 3و ;1

2EBæ ö-ç ÷

è ø

uuur

3 3 0AE EB = - =uuur uuur

g ومنھAE EBûuur uuur

قائم الزاویة في ABEأي Eالنقطة

متوازي األضالع وضلعین متتابعین ABCDنبین أن: 1طریقة) 2متقایسین

7لدینا : ; 22

DC æ ö- -ç ÷è ø

uuur 7و ; 22

AB æ ö- -ç ÷è ø

uuur: اذنAB DC=uuur uuur

متوازي األضالعABCDومنھ : )ولدینا كذلك : )

227 49 651 1 4

2 4 4AC æ ö= - + - = + =ç ÷

è ø1و 6516

4 4BC= + =

ABاذن : BC= : ومنھABCDمعیننبین أن القطرین متعامدین:2طریقة)لدینا : )4; 6AC - -

uuur و( )3; 2BD -uuur

12اذن : 12 0AC BD = - + =uuur uuur

g

ACومنھ : BDûuur uuur

معینABCDوبالتالي: c( صیغةcos وsin:

uلتكن xi y j= +r r r


. متجھتین غیر منعدمتین من

)ا للزاویة الموجھة قیاسqالمستوى و )·;u vr r

لدینا:¶( ) ( )

2 2 2 2

det ,sin ;

u v xy yxu vu v x y x y

¢ ¢-= =´ ¢ ¢+ ´ +

r t

r t

r r

)¶و ) 2 2 2 2cos ; u v xx yyu v

u v x y x y

¢ ¢× += =

´ ¢ ¢+ ´ +

r tr t

r r

المتجھي المتجھتین التالیتین : :نعتبر في المستوى5تمرین( )1; 1u - -r

)و )2;0v -r

)¶أحسب : .1 )cos ;u vr t و¶( )sin ;u v

r t

)¶استنتج قیاسا للزاویة الموجھة .2 );u vr t

األجوبة:1(¶( ) ¶( ) 2 2 2 2

2 2cos ; cos ;22 2

u v xx yyu v u vu v x y x y

¢ ¢× += = Û = =

´ ´ ¢ ¢+ ´ +

r tr t r t

r r

¶( ) ¶( )1 21 02 2sin ; sin ;

22 2 2 2u v u v

- ---

= = - Û =´ ´

r t r t

)¶)لدینا 2 ) 2cos ; cos2 4

u v p= =

r t و¶( ) 2sin ; sin sin2 4 4

u v p pæ ö=- =- = -ç ÷è ø

r t

ومنھ 4p

)¶ھو قیاس للزاویة الموجھة - );u vr t

:نعتبر في المستوى النقط التالیة : 6تمرین( )3;3Aو( )1;1B و( )1;3C

)·أحسب : .1 )cos ;AB ACuuur suuur و·( )sin ;AB AC

uuur suuur

)·استنتج قیاسا للزاویة الموجھة .2 );AB ACuuur suuur

)·)1األجوبة : ) 2 2 2 2cos ; AB AC xx yyAB AC

AB AC x y x y

¢ ¢× += =

´ ¢ ¢+ ´ +

uuur uuuruuur uuur

uuur uuur

( )2, 2AB - -uuur و( )2,0AC -

uuur : 4ومنھAB AC× =uuur uuur

·( ) 4 4 1 2cos ;28 4 2 2 2 2

AB ACAB ACAB AC

×= = = = =

´ ´´

uuur uuuruuur uuur

uuur uuur

·( ) ·( )2 22 04 2sin ; sin ;

22 2 2 2 2 2AB AC AB AC

- ---

= = - Û =´ ´

uuur uuur uuur uuur

)·)لدینا2 ) 2cos ; cos2 4

AB AC p= =

uuur uuur

)·و ) 2sin ; sin sin2 4 4

AB AC p pæ ö= - = - = -ç ÷è ø

uuur uuur

ومنھ 4p

AB;·ھو قیاس للزاویة الموجھة - ACuuur uuur

:نعتبر في المستوى النقط التالیة :7تمرین( )4;1A( )0;5B و( )2; 1C - -

BCوACوABأحسب المسافات: .1ABCثم استنتج طبیعة المثلث

ABأحسب : .2 AC·uuur uuur

)·استنتج أن :.3 ) 1cos5

BAC =

)أحسب .4 )det ;AB ACuuur suur: و استنتج أن·( ) 2 5sin

5BAC =

))1األجوبة : ) ( ) ( ) ( )2 2 2 24 4 32 4 2B A B AAB x x y y= - + - = - + = =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 26 2 4 36 40 2 10C A C AAC x x y y= - + - = - + - = + = =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 6 4 36 40 2 10C B C BBC x x y y= - + - = - + - = + = =

ACومنھ : BC= ومنھABCساوي الساقینمت2(( )4,4AB -

uuur و( )6, 2AC - -uuur : 24ومنھ 8 16AB AC× = - =

uuur uuur

3(·( ) 16 16 2 2 20 20cos

20 1032 40 4 2 2 10 20AB ACBAC

AB AC×

= = = = = =´ ´´

uuur uuur

uuur uuur

4(( ) 4 6det ; 32

4 2AB AC

- -= =

-

uuur suur


·( ) ·( )4 64 232 32 20 2 5sin ; sin ;

160 58 20 8 20AB AC AB AC

- --

= = = Û =uuur uuur uuur uuur

II.(دراسة تحلیلیة) المستقیم في المستوىستقیم في المستوىمتجھة منظمیھ على م.1

)لیكن تعریف : )Dمستقیم في المستوى)نسمي متجھة منظمیھ على المستقیم )D كل متجھة غیر منعدمة ,)ومتعامدة مع متجھة موجھة للمستقیم )D

0ax by c+ + =( )Dمتجھة منظمیة على المستقیم( )D :ھي( );n a br

)أعط متجھة منظمیھ على المستقیم أمثلة : )D في كل حالة من الحاالتالتالیة :

1 (( ) : 2 5 0D x y- + =2 (( ) : 1 0D x - =

3 (( ) : 2 3 0D y - =

األجوبة :0axمتجھة منظمیة على المستقیم by c+ + =( )D : ھي( );n a b

r

1(( ) : 2 5 0D x y- + =( )2;1nr

)متجھة منظمیھ على )D

2(( ) : 0 2 3 0D x y+ - =( )2;0n -r


3(( ) :1 0 1 0D x y+ - =( )0;1nr


یة:معادلة مستقیم معرف بنقطة ومتجھة منظم.2)معادلة المستقیمخاصیة: )D المار من النقطة( );A AA x y و( );n a b

r

)متجھة منظمیھ علیھ ھي : ) ( ) 0A Aa x x b y y- + - =

)حدد معادلة المستقیممثال : )D المار من النقطة( )1;2A و

( )2; 3n -ur

متجھة منظمیھ علیھ الجواب: (ھناك طریقتین یمكن استعمالھما)

):1طریقة ) ( );AM n M x y D^ Û Îuuuur r

0AM n = Ûuuuur r

g

)لدینا )1, 2AM x y- -uuuur

)و )2; 3n -ur

( ) ( )2 1 3 2 0x y- - - = Û( ) / 2 3 4 0D x y- + = Û

نعلم أن معادلة مستقیم تكتب على الشكل : :2طریقة( ) / 0D ax by c+ + )و = );n a b

rمتجھة منظمیھ علیھ)نعلم أن : )2; 3n -

ur)متجھة منظمیھ على )D

;2اذن: 3a b= = )ومنھ المعادلة تصبح : - ) / 2 3 0D x y c- + =

)ونعلم أن : ) ( )1;2A DÎ: اذن احداثیاتھ تحقق المعادلة یعني2 1 3 2 0c´ - ´ + 4cیعني = )ومنھ : = ) / 2 3 4 0D x y- + =

المستوى النقط التالیة ::نعتبر في 8تمرین( )1;2A و( )2;3B )و - )0; 4C

)حدد معادلة المستقیم.1 )D واسط القطعة[ ]AB

)حدد معادلة .2 )D ارتفاع المثلثABC و المار من النقطةA]) واسط القطعة 1الجواب: ]AB ھو مستقیم عمودي

)على )AB ویمر منI منتصف القطعة[ ]ABأن معادلة مستقیم تكتب على الشكل : نعلم

( ) / 0D ax by c+ + )و = ),AB a buuur


)ولدینا : )3,1AB -uuur

)متجھة منظمیھ على )D: 3اذن; 1a b= - =

)ھ المعادلة تصبح : ومن ) / 3 0D x y c- + + =

)ونعلم أن : )I DÎ علینا أوال حساب احداثیاتI

,2 2

A B A Bx x y yI + +æ öç ÷è ø

1یعني 5,2 2

I -æ öç ÷è ø

( )I DÎ اذن احداثیاتI: تحقق المعادلة یعني3 5 1 54 0 3 02 2 2 2

c c cæ ö=- Û + + = Û- - + + =ç ÷è ø

)ومنھ : ) / 3 4 0D x y- + - =

2(( )D ارتفاع المثلثABC و المار من النقطةA)یعني )Dعلى عمودي على( )BC ویمر منA

)ومنھ : )2,1BCuuur

)متجھة منظمیھ على )Dنعلم أن معادلة مستقیم تكتب على الشكل :

( ) / 0D ax by c+ + )و = ),BC a buuur

)یھ على متجھة منظم )D;2اذن : 1a b= )ومنھ المعادلة تصبح : = ) / 2 0x y cD + + =

)ونعلم أن : )AÎ D اذن احداثیاتA: تحقق المعادلة یعني4 2 1 2 0c c= - Û ´ + + )ومنھ : = ) / 2 4 0x yD + - =

:نعتبر في المستوى النقط التالیة : 9تمرین( )1;1A و( )2;0B )و - )3;5C

)حدد معادلة المستقیم.1 )D واسط القطعة[ ]AC

)حدد معادلة .2 )Dارتفاع المثلثABC و المار من النقطةC]) واسط القطعة 1الجواب: ]AC ھو مستقیم عمودي

)على )AC ویمر منIقطعة منتصف ال[ ]AC

نعلم أن معادلة مستقیم تكتب على الشكل : ( ) / 0D ax by c+ + )و = ),AC a b

uuur متجھة منظمیھ على( )D

)ولدینا : )2,4ACuuur

)متجھة منظمیھ على )D: 2اذن; 4a b= =

)ومنھ المعادلة تصبح : ) / 2 4 0D x y c+ + =

)ونعلم أن : )I DÎ علینا أوال حساب احداثیاتI

,2 2

A C A Cx x y yI + +æ öç ÷è ø

)یعني )2,3I

( )I DÎ اذن احداثیاتI: تحقق المعادلة یعني16 2 2 4 3 0c c= - Û ´ + ´ + =

)ومنھ : ) / 2 4 16 0D x y+ - =

2(( )D ارتفاع المثلثABC و المار من النقطةC)ني یع )D عمودي على على( )AB ویمر منC

)ومنھ : )3, 1AB - -uuur

)متجھة منظمیھ على )Dنعلم أن معادلة مستقیم تكتب على الشكل :

( ) / 0D ax by c+ + )و= ),AB a buuur

)متجھة منظمیھ على )D;3اذن : 1a b= - = )ومنھ المعادلة تصبح : - ) / 3 0x y cD - - + =

)ونعلم أن : )CÎ D اذن احداثیاتC: تحقق المعادلة یعني14 9 5 0c c= Û - - + )ومنھ : = ) / 3 14 0x yD - - + =

تعامد مستقیمین:.3)لیكن خاصیة: )D و( )D¢ مستقیمین معادالتھما

0axعلى التوالي : by c+ + 0aو = x b y c¢ ¢ ¢+ + =)مان یكون المستقی )D و( )D¢ متعامدین إذا وفقط إذا كانت

0aaمتجھتاھما المنظمیتان علیھما متعامدتان أي : bb¢ ¢+ =:نعتبر في المستوى المستقیمین :10تمرین

2 3 1 0x y+ - =:( )D 3و 4 02

x y- + =:( )'D

)ھل )D و( )'Dمتعامدین ؟


)الجواب: )2;3nr

)متجھة منظمیھ على )D3 ; 12

n æ ö¢ -ç ÷è ø

ur)على متجھة منظمیھ )D¢

( )32 3 1 3 3 02

n n¢ = ´ + ´ - = - =r ur

g . ومنھn n¢^r ur

)وبالتالي : ) ( )D D¢^

مسافة نقطة عن مستقیم.4)لیكن تعریف : )D : 0مستقیما معادلتھax by c+ + و =

( );A AA x y.نقطة من المستوى

)عن المستقیمAمسافة النقطة )D : ھي( )( )2 2

; A Aax by cd A D

a b

+ +=

+2مثال : 0x y- + =( )Dو( )1;4A حدد مسافة النقطةA عن

)المستقیم )D

)الجواب: )( )( )22

1 4 2 1 1 2;22 21 1

d A D- + -

= = = =+ -

)نعتبر في المستوى النقطة: :11تمرین )1; 3A - )و المستقیم- )D

2الذي معادلتھ : 3 0x y+ - =)عن المستقیم Aة النقطة أحسب مساف.1 )D

على Aالمسقط العمودي للنقطة Hحدد زوج إحداثیتي النقطة .2)المستقیم )D

))1الجواب: )( )2 2

1 6 3 10 10 10 5; 2 555 51 2

d A D- - - -

= = = = =+

)نحدد أوال معادلة دیكارتیة للمستقیم )2 )AH:

( )2,1u -r

)متجھة موجھة ل )D2 3 0x y+ - =

)اذن )2,1u -r

)منظمیھ على )AH :اذن( ) / 2 1 0AH x y c- + + =

)ولدینا )A AHÎ: اذن( ) ( )2 1 3 0c- ´ - - + 1cیعني = =

)ومنھ : ) / 2 1 1 0AH x y- + + =

H ھي نقطة تقاطع( )AH و( )Dاثیات اذن احدH ھي حلولالنظمة :

2 3 2 3 02 1 2 1 0

x y x yx y x y+ = + - =ì ì

Ûí í- + =- - + + =î î)نضرب المعادلة األولى في )2´ -

2ونجد : 4 62 1x y

x y+ =ì

Û í- + = -î2ونجمع المعادلتین ونجد : 3x y+ =

2 4 2 6 1x y x y+ - + = - Û1 5 5y y= Û = Û1ومنھ : 2 3 2 3x x x y= Û + = Û + )ومنھ = )1;1H

)نعتبر في المستوى النقطتین : :12تمرین )1; 3A - )و - )3;2B)حدد معادلة للمستقیم.1 )AB

)عن المستقیم Oأحسب مسافة النقطة .2 )AB

OABاستنتج مساحة المثلث .3على Oالمسقط العمودي للنقطة Hحدد زوج إحداثیتي النقطة .4

)المستقیم )AB

بة :أجو)نحدد أوال معادلة دیكارتیة للمستقیم )1 )AB:

( )4,5ABuuur

)متجھة موجھة ل )AB( ),AB b a-uuur

اذن :5; 4a b= = -

)ومنھ : ) / 5 4 0AB x y c- + =

)ولدینا )A ABÎ: اذن( ) ( )5 1 4 3 0c´ - - ´ - + 7cیعني = = -

)ومنھ : ) / 5 4 7 0AB x y- - =

)لدینا )2 )0,0O : اذن

( )( )( )22

5 0 4 0 7 7 7 7 41;4141 415 4

d O AB´ - ´ - -

= = = =+ -

)لدینا )3 )( );d O AB OH= : اذن

( )224 5 7 41 7 72 2 2 241 41ABC

AB OHS+ -´= = ´ = ´ =

)نحدد أوال معادلة دیكارتیة للمستقیم )4 )OH:)لدینا )4,5AB

uuur)متجھة منظمیة على )OH

)اذن: ) / 4 5 0OH x y c+ + و =)ولدینا )O OHÎ: 4اذن 0 5 0 0c´ + ´ + 0cیعني = =

)ومنھ : ) / 4 5 0OH x y+ =

H ھي نقطة تقاطع( )OH و( )AB اذن احداثیاتH ھي حلولالنظمة :

4 5 05 4 7

x yx y+ =ì

í - =îنستعمل طریقة المحددات لحل ھذه النظمة :

4) ھي: 1محددة النظمة ( 541 0

5 4D= =- ¹

-

و منھ النظمة تقبل حال وحیدا:ھو

0 57 4 35 35

41 41 41x

- -= = =

- -4 05 7 28 28

41 41y= = =-

D -35:و منھ 28;

41 41H æ ö-ç ÷è ø

III.معادلة دیكارتیة لدائرةة دائرة معرفة بمركزھا و شعاعھامعادل.1

)معادلة الدائرة خاصیة: )C التي مركزھا( );a bW

)Rوشعاعھا )0R f : ھي( ) ( )2 2 2x a y b R- + - =

2وتكتب أیضا : 2 2 2 0x y ax by c+ - - + 2حیث : = 2 2c a b R= + -

): حدد معادلة دیكارتیة للدائرة 1مثال )C التي مركزھا

( )1; 3A - 2Rوشعاعھا - =

)الجواب : )( ) ( ) ( )1 ² 3 ² 2 ²x y- - + + =( )C

كتفاء بھذه الكتابة یمكننا اال²أو النشر فنجد : ² 2 6 8 0x y x y+ + + + =( )C

):حدد معادلة دیكارتیة للدائرة 2مثال )C التي مركزھا( )2;1W )وتمر من النقطة - )1;4A

Rالدائرة ھو : شعاع ھذه الجواب : A= W

( ) ( )2 2 2 23 3 18 3 2A AR A x x y yW W=W = - + - = + = =)معادلة الدائرة ھي: ومنھ )( ) ( ) ( )2 ² 1 ² 3 2 ²x y- - + - =( )C

یمكننا االكتفاء بھذه الكتابة²أو النشر فنجد : ² 4 2 13 0x y x y+ + - - =( )C

2ب على الشكل :وتكت 2 0x y ax by c+ + + + =


):حدد معادلة دیكارتیة للدائرة 13تمرین )C]التي أحد أقطارھا ]AB حیث( )1;3A و( )1;1B -

شعاع ھذه الدائرة ھو : الجواب :2

ABR =

( ) ( )2 24 4 8 2 2 2

2 2 2 2 2B A B Ax x y yABR- + - +

= = = = = =

)مركز الدائرة )C ھو :منتصف القطعة[ ]AB

,أي : 2 2

A B A Bx x y yI + +æ öç ÷è ø

)یعني )0,2I

)ومنھ معادلة الدائرة ھي : ) ( ) ( )0 ² 2 ² 2 ²x y- + - =( )C

²یعني : ² 4 2 0x y y+ - + =( )C

تمثیل بارامتري لدائرة :.2)الدائرة خاصیة و تعریف: )C التي مركزھا( );a bW

)Rوشعاعھا )0R f ھي مجموعة النقط( );M x yمن المستوى

cosالتي تحقق النظمة : sin

x a Ry b R

qq

= +ìí = +î

( )S

)و النظمة )S تسمى تمثیال بارامتریا للدائرة( )C

)للدائرة ابارا متریحدد تمثیال:1مثال )C التي مركزھا( )1; 2W -

2Rوشعاعھا =

)تمثیل بارا متري للدائرة الجواب : )C : 1ھو 2 cos

2 2 sin

x

y

q

q

ì = +ïí

= - +ïî

( )q ÎR متري حقیقي بارا)حدد مجموعة النقط :2مثال ; )M x y من المستوى التي تحقق النظمة

3 3 cos

1 3 sin

x

y

q

q

ì = +ïí

= +ïî)حیث )q ÎR

3الجواب : 3 cos 3 3 cos

1 3 sin 1 3 sin

x x

y y

q q

q q

ì ì- = = +ï ïÛí í- = = +ï ïî î

( ) ( ) ( ) ( )2 22 23 1 3 cos 3 sinx y q q- + - = + Û

( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 23 1 3 cos sinx y q q- + - = + Û

( ) ( )22 23 1 3x y- + - = Û

)ومنھ : مجموعة النقط ; )M x y ھي الدائرة( )C التي مركزھا

( )3;1W 3وشعاعھاR =

IV. دراسة مجموعة النقط( );M x yبحیث2 2 0x y ax by c+ + + + =

)أعدادا حقیقیة وcو bو aلتكن )خاصیة :1 )E مجموعة النقط

( );M x y 2بحیث 2 0x y ax by c+ + + + =

)تكون · )E : 2دائرة إذا وفقط إذا كان 2 4 0a b c+ - ومركز ھذه <;الدائرة ھو

2 2a bæ öW - -ç ÷

è ø

2و شعاعھا ھو 2 42

a b cR + -=

2إذا كان · 2 4 0a b c+ - )فان : > )Eھي المجموعة الفارغة2إذا كان · 2 4 0a b c+ - )فان = )E: ھي( ) ;

2 2a bE ì üæ ö= W - -í ýç ÷

è øî þ

)حدد طبیعة أمثلة : )E مجموعة النقط( ; )M x y من المستوىالتي تحقق:

1.² ² 3 4 0x y x y+ - + - =( ) :E

2.² ² 6 2 10 0x y x y+ - + + =( ) :E

3.² ² 4 5 0x y x+ - + =( ) :E

;1) 1األجوبة : 3; 4a b c= - = = -)نحسب : ) ( )2 2 4 1 ² 3² 4 4 1 9 16 26 0a b c+ - = - + - ´ - = + + = >

)ومنھ : )E دائرة مركزھا( ; )2 2a b- -

W : 1أي 3( ; )2 2

-W

2وشعاعھا : 2 4 262 2

a b cR + -= =

2 (6; 2; 10a b c= - = =)نحسب : ) ( )2 2 4 6 ² 2² 4 10 36 4 40 0a b c+ - = - + - ´ = + - =

)ومنھ: )E: 3)ھي عبارة عن النقطة; 1)W -

3 (4; 0; 5a b c= - = =2نحسب : 2 4 16 20 4 0a b c+ - = - = - <

)ومنھ: )Eھي المجموعة الفارغة

)حدد طبیعة :14تمرین )E مجموعة النقط( ; )M x y من

11²المستوى التي تحقق: ² 5 3 02

x y x y+ + - + =( ) :E

;115) الجواب : 3;2

a b c= = - =

)نحسب : )2 2 114 5² 3 ² 4 25 9 22 12 02

a b c æ ö+ - = + - - ´ = + - = >ç ÷è ø


W : 5أي 3( ; )2 2

W -

2وشعاعھا : 2 4 12 2 3 32 2 2

a b cR + -= = = =

):حدد طبیعة 15تمرین )E مجموعة النقط( ; )M x y من المستوىالتي تحقق:

1.² ² 1 0x y+ - =( )E2.² ² 2 6 6 0x y x y+ - - + =( )E3.² ² 4 2 7 0x y x y+ - - + =( )E4.² ² 8 12 0x y y+ + + =( )E

²) 1األجوبة : ² 1 ² ² 1 0x y x y+ = Û + - =)ومنھ : )E (0;0)دائرة مركزھاO : 1وشعاعھاR =

2 (² 2 1 ² 2 3² 3² 1 6 0 ² ² 2 6 6 0x x y y x y x y- + + - ´ + - - + = Û + - - + =

( ) ( ) ( )21 ² 3 ² 4 2x y- + - = = Û

)ومنھ : )E (3;1)دائرة مركزھاW : 2وشعاعھاR =

3 (² 4 4 ² 2 1 1 4 7 0 ² ² 4 2 7 0x x y y x y x y- + + - ´ + - - + = Û + - - + =

( ) ( )2 ² 1 ² 2x y- + - =- Û

)ومنھ : )Eھي المجموعة الفارغة4 (( )0 ² ² 2 4 4² 4² 12 0 ² ² 8 12 0x y y x y y- + + ´ ´ + - + = Û + + + =

( ) ( ) ( )20 ² 4 ² 4 2x y- + + = = Û

)ومنھ : )E 0)دائرة مركزھا; 4)W 2Rوشعاعھا : - =

) داخل وخارج الدائرة2


)لتكنتعاریف: )C دائرة مركزھا( );a bW وشعاعھاR( )0R f وMنقطة من المستوى)نقطة من الدائرة Mتكون النقطة · )C

Mإذا وفقط إذا كان : RW =)خارج الدائرة Mتكون النقطة · )C

Mإذا وفقط إذا كان : RW f

)داخل الدائرة Mتكون النقطة · )C: إذا وفقط إذا كانM RW p

حل مبیانیا المتراجحتین التالیتین : :16تمرین1(² ² 2 4 4 0x y x y+ - + - <2(² ² 1 0x y+ - >

) 1األجوبة :² 2 1 1 ² 4 4 4 4 0 ² ² 2 4 4 0x x y y x y x y- + - + + ´ + - - < Û + - + - <

( ) ( ) ( )21 ² 2 ² 9 3x y- + + < = Û

)ومنھ : )E 1)ھو داخل الدائرة التي مركزھا; 2)W وشعاعھا : -3R =

2 (( ) ( )0 ² 0 ² 2² ² ² 4 ² ² 4 0x y x y x y- + - > Û + > Û + - >

)ومنھ : )E (0;0)ھو خارج الدائرة التي مركزھاO : وشعاعھا2R =

حل مبیانیا النظمة التالیة: :17تمرین² ² 1 0² ² 4 12 0

x yx y x+ - >ì

í + - - <îالجواب :

²أ) 4 4 4 ² 12 0 ² ² 4 12 0x x y x y x- + - + - < Û + - - <

( ) ( ) ( )22 ² 0 ² 16 4x y- + - < = Û

4Rوشعاعھا : W(0;2)وھذا یعني داخل الدائرة التي مركزھا =

)ب) ) ( )0 ² 0 ² 1² ² ² 1 ² ² 1 0x y x y x y- + - > Û + > Û + - >

1Rوشعاعھا : O(0;0)یعني خارج الدائرة التي مركزھا =

)مجموعة حلول النظمة )E ھي أزواج احداثیات نقط المستوى التيوشعاعھا : W(0;2)كزھا الدائرة التي مرتنتمي الى تقاطع داخل

4R 1Rوشعاعھا : O(0;0)خارج الدائرة التي مركزھا و = =

أي الجزء من المستوى المخدش باللونین معا

V.األوضاع ا لنسبیة لمستقیم و دائرة في المستوى)دراسة الوضع النسبي لمستقیم ل )D و دائرة( )C مركزھاW

)یمكننا حساب Rوشعاعھا )( );d DW مسافة النقطةW عن)المستقیم )D ومقارنتھا بالشعاعR: وبالطبع ھناك ثالث حاالت

)إذا كانت · )( );d D RW f فان: المستقیم( )D ال یقطع الدائرة( )C

)إذا كانت · )( );d D RW p فان : المستقیم( )D یقطع الدائرة

( )C في نقطتین مختلفتین

)إذا كانت · )( );d D RW )فان : المستقیم = )D یقطع الدائرة( )C)یضا أن في نقطة وحیدة و نقول أ )D مماس للدائرة( )C

)أدرس الوضع النسبي للدائرة :1مثال )C التي مركزھا

( )1;2W 2وشعاعھاR )مع المستقیم = )Dي معادلتھ :الذ2 0x y+ + =( ) :D

)نحسب الجواب: )( ),d PWونقارنھا مع شعاع الدائرة

( )( )2 2

1 2 2 5 5 2, 2221 1

d P R+ +

W = = = > =+

ومنھ :

)المستقیم )D ال یقطع الدائرة( )C

)أدرس الوضع النسبي للدائرة:2ثالم )C التي مركزھا

( )1;2W 2وشعاعھاR )مع المستقیم = )D: الذي معادلتھ2 0x y- + =( ) :D

)نحسب الجواب : )( ),d PWونقارنھا مع شعاع الدائرة

( )( )( )22

1 2 2 1 2, 2221 1

d P R- +

W = = = < =+ -

)المستقیم ومنھ : )D یقطع الدائرة( )Cفي نقطتین مختلفتین)حدد احداثیات نقط تقاطع الدائرة سؤال : )C و المستقیم( )D

)معادلة الدائرة ھي : ) ( ) ( )21 ² 2 ² 2x y- + - =

نحل اذن النظمة التالیة :


( ) ( ) ( ) ( )( )

21 1 ² 2 ² 2

2 2 0

x y

x y

ì - + - =ïÛ í- + =ïî

( )2 2x y+ = Û

)نعوض في المعادلة )12x y+ فنجد :=

( )( ) ( ) ( )21 1 ² 2 2 ² 2x x- + + - )یعني := ) ( )1 ² ² 4x x- + =

²یعني : 2 1 ² 4x x x- + + 2یعني := ² 2 3 0x x- - =28Dنحسب ممیز المعادلة فنجد: ومنھ للمعادلة حلین ھما : =

12 2 7

4x +و=

22 2 7

4x -=

یعني :1

1 72

x +و=

21 7

2x -=

اذا كانت 1

1 72

x +2xنعوض في = y+ =

1فنجد : 7 5 722 2

y + += + =

اذا كانت 2

1 72

x -2xنعوض في = y+ =

1فنجد : 7 5 722 2

y - -= + =

1ومھ نقطتا التقاطع ھما : 7 5 7;2 2

Aæ ö+ +ç ÷ç ÷è ø

1و 7 5 7;2 2

Bæ ö- -ç ÷ç ÷è ø

أدرس الوضع النسبي للدائرة :3مثال( )C التي مركزھا( )1;2W

1Rوشعاعھا )مع المستقیم = )Dالذي معادلتھ :

3y =( ) :D یعني0 1 3 0x y+ - =( ) :D

)نحسب الجواب: )( ),d PWونقارنھا مع شعاع الدائرة

( )( )2 2

0 2 3 1, 1

10 1d P R

+ - -W = = = =

+)المستقیم ومنھ : )D مماس للدائرة

( )C سؤال : حدد احداثیات نقطة التماسT)معادلة الدائرة ھي : ) ( ) 21 ² 2 ² 1x y- + - =

نحل اذن النظمة التالیة : ( ) ( ) ( )( )1 1 ² 2 ² 1

2 3

x y

y

- + - =ìïÛ í=ïî)نعوض في المعادلة )13 y=: فنجد( )( )1 1 ² 1 1x - + )یعني := )1 ² 0x - 1xیعني := =

)ومنھ نقطة التماس ھي : )1;3T

)س تحلیلیا تقاطع الدائرة أدر:18تمرین )C التي مركزھا

( )2;1W 5وشعاعھاR )مع المستقیم = )D: الذي معادلتھ3 2 0x y+ - =( ) :D

)نحسب الجواب : )( ),d PWونقارنھا مع شعاع الدائرة

( )( )2 2

6 1 2 5 5 10 10, 510 2103 1

d P R+ -

W = = = = < =+

)المستقیم ومنھ : )D یقطع الدائرة( )Cفي نقطتین مختلفتین)معادلة الدائرة ھي : ) ( ) ( )22 ² 1 ² 5x y- + - تكافئ: =

² ² 4 2 20 0x y x y+ - - - =)نحدد احداثیات نقط تقاطع الدائرة )C و المستقیم( )D

نحل اذن النظمة التالیة : ( )( )

( )( )

1 ² 2 0 1 ² ² 4 2 20 0

2 3 2 2 3 2 0

x x x y x y

y x x y

- - = + - - - =ì ìï ïÛí í= - + + - =ï ïî î

)نحسب ممیز المعادلة 9Dفنجد: 1( ادلة ومنھ للمع=

حلین ھما : 1

1 3 22

x += 2و= 1x = -

1اذا كانت 2x 4yفان : = = -

1اذا كانت 1x = 5yفان : - =)ومھ نقطتا التقاطع ھما : )1;5A )و - )2; 4A -

)أدرس تحلیلیا تقاطع الدائرة :19تمرین )C التي

²معادلتھا : ² 2 8 1 0x y x y+ - - + =( )مع المستقیم1( )D المعرف

بتمثیلھ البارامتري :1 2x t

y t= +ì

í =î( ) :D( ) :tÎ¡

)نعوض في المعادلة الجواب : فنجد :1(( ) ( )1 2 ² ² 2 1 2 8 1 0t t t t+ + - + - + 5یعني := ² 8 0t t- )یعني := )5 8 0t t- =

1یعني : 0t أو=2

85

t =

1اذا كانت 0t 1نعوض في = 2x ty t= +ì

í =î1فنجد

0xy=ì

í =î:

اذا كانت 2

85

t 2فنجدنعوض = 15

85

x

y

ì =ïïíï =ïî

)المستقیم ومنھ : )D یقطع الدائرة( )Cفي نقطتین مختلفتین

)و نقطتا التقاطع ھما : )1;0A 21و 8;5 5

Bæ öç ÷è ø

VI.معادلة دیكارتیة لمستقیم مماس لدائرة في نقطة معلومة)یكون المستقیمتذكیر: )D مماسا للدائرة( )C ذات المركزW

)إذا وفقط إذا كان :Aعند النقطة )D عمودیا على المستقیم( )AW)لتكن الدائرة خاصیة: )C 2التي معادلتھا 2 0x y ax by c+ + + + =

)و );A AA x y نقطة من الدائرة( )C

)معادلة دیكارتیة للمماس للدائرة )C في النقطةA : ھي

( ) ( ) 02 2A A A Aa bx x x y y yæ ö æ ö- + + - + =ç ÷ ç ÷

è ø è ø

)حصلنا على معادلة المماس للدائرة ملحوظة : )C في النقطةA)باستعمال التكافؤ : ) ( )0 ;AM A M x y DW= Û Î

uuuur uuur

g


)لتكن مثال : )C : الدائرة التي معادلتھا الدیكارتیة ھي² ² 4 2 1 0x y x y+ - - + =( )1

)) تأكد أن 1 ) ( )0;1A CÎ ثم حدد مركز وشعاع الدائرة( )C

)) معادلة لمماس للدائرة 2 )C في النقطةA)) نتحقق أن احداثیات 1الجواب : )0;1A تحقق المعادلة( )1

0² 1² 4 0 2 1 1 0+ - ´ - ´ + =( )ومنھ 1( ) ( )0;1A CÎ4; 2; 1a b c= = - =

)نحسب : ) ( )2 2 4 4 ² 2 ² 4 1 16 4 4 16 0a b c+ - = + - - ´ = + - = >

)ومنھ : )E مركزھا دائرة( ; )2 2a b- -

W : أي( 2;1)W -

2وشعاعھا : 2 4 16 22 2

a b cR + -= = =

)) معادلة لمماس للدائرة 2 )C في النقطةA؟؟؟؟

( ) ( )0 ;AM A M x y DW= Û Îuuuur uuur

g: ولدینا( )0; 1AM x y- -uuuur و

( )2;0AW -uuur

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 0 2 0 0 1 0 ;x x y M x y D- - = Û - - + - = Û Î

( ) ( )0 ;x M x y D= Û Î

)ومنھ معادلة مماس الدائرة )C في النقطة( )0;1A ھو المستقیم الذيمعادلتھ :

( ) : 0D x =

)ن :لتك20تمرین )C : الدائرة التي معادلتھا الدیكارتیة ھي² ² 4 4 2 0x y x y+ + + - =

)و المستقیم )D : 3الذي معادلتھ 2 0x y+ - =

)حدد مركز وشعاع الدائرة .1 )C

)بین أن المستقیم .2 )D مماس للدائرة( )C

)حدد إحداثیتي نقطھ تماس الدائرة .3 )C و المستقیم( )D))نحدد مركز وشعاع الدائرة 1الجواب: )C

4; 4; 2a b c= = = -)حسب : ن ) ( )2 2 4 4 ² 4 ² 4 2 16 16 8 40 0a b c+ - = + - ´- = + + = >


W : أي( 2; 2)W - -

2وشعاعھا : 2 4 40 102 2

a b cR + -= = =

))نحسب 2 )( ),d PWونقارنھا مع شعاع الدائرة

( )( )2 2

2 6 2 10, 10

101 3d P R

- - - -W = = = =

+

)المستقیم ومنھ : )D مماس للدائرة( )CT)نحدد احداثیات نقطة التماس 3

)معادلة الدائرة ھي : ) ( )2 ² 2 ² 10x y+ + + =

نحل اذن النظمة التالیة : ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

1 2 ² 2 ² 10 1 2 ² 2 ² 10

2 2 3 2 3 2 0

x y x y

x y x y

+ + + = + + + =ì ìï ïÛí í= - + - =ï ïî î

)نعوض في المعادلة )12 3x y= ²فنجد :- 2 1 0y y- + =

)یعني : )1 ² 0y - 1yیعني := 1xومنھ : = = -)ومنھ نقطة التماس ھي : )1;1T -


األھداف القدرات المنتظرة من الدرس :في درس المتتاليات: 5مذكرة رقم

I.:عمومیات حول المتتالیات العددیةالحظ ثم أتمم بأربعة أعداد مالئمة لتسلسل كل متتالیة من نشاط:

المتتالیات التالیة :1(0,2 ,4 ,6 ,8 ,10............. ,2(6 ,3 ,0 ,3- ,6- ,9- ,12-.............,3(1 ,3 ,9 ,27 ,81 ,243............. ,4(1 ,1

2 ,1

4 ,1

8 ,1

16 ,1

32............. ,

5(1 ,4 ,9 ,16 ,25,36.............,¥أو جزء من ¥ھو Iلیكن

)نعتبر المتتالیة العددیة:1مثال ) 0n nu

³المعرفة بالصیغة

2الصریحة التالیة : 3nu n= +n" Î¥

0uحسب حدھا األول أ.1)الحدود األربعة األولى للمتتالیة أحسب .2 ) 0n n

u³

0:الجواب 2 0 3 3u = ´ + 1و= 2 1 3 5u = ´ + =

2 2 2 3 4 3 7u = ´ + = + 3و = 2 3 3 9u = ´ + =2العدد ون ھنالحظ أن أن فرق حدین متتالی

)نعتبر المتتالیة العددیة :2مثال )nu المعرفة بالعالقة الترجعیة

0التالیة :

1

12 3n n

uu u+

=ìí = +î

)أحسب الحدود األربعة األولى للمتتالیة )nu0ب nنعوض الجواب :

0فنجد : 1 02 3 2 1 3 2 3 5u u+ = ´ + = ´ + = + =

1اذن : 5u =

1ب nنعوض

1فنجد : 1 12 3 2 5 3 10 3 13u u+ = ´ + = ´ + = + 2اذن := 13u =

2ب nنعوض 2فنجد : 1 22 3 2 13 3 26 3 29u u+ = ´ + = ´ + = + =

3اذن : 29u =

ھذه المتتالیة تسمى متتالیة ترجعیھمالحظة : II.ة و المصغورة و المحدودةالمتتالیات المكبور

)نعتبر المتتالیة العددیة :1نشاط )nu المعرفة

1كالتالي: 2 1nnun+

=+

n" Î¥

1بین أن: .1 12 nu< £n" Î¥

)متتالیة ماذا یمكن أن نقول عن ال.2 )nu؟1nuأ) نبین أن: األجوبة : £n" Î¥؟؟؟؟

)نحسب الفرق : ) ( )2 1 111 1 02 1 2 1 2 1n

n nn nun n n

+ - ++- = - = = ³

+ + +1nuومنھ : £n" Î¥�

1أ) نبین أن: 2 nu<n" Î¥؟؟؟؟

نحسب الفرق : ( ) ( )2 1 2 11 1 1 1 0

2 2 1 2 2 1 2 1n

n nnun n n

+ - ++- = - = = >

+ + +

1ومنھ: 2 nu<n" Î¥�

1نجد: �و�وبالتالي من 12 nu< £n" Î¥

)عددیة ) نقول المتتالیة ال2 )nu1مكبورة بالعدد الحقیقي

)نقول المتتالیة العددیة و )nu1مصغورة بالعدد الحقیقي2

)نقول ان المتتالیة العددیة و )nuدة محدو

)لتكن تعریف: )n n IuÎ

متتالیة عددیة

)نقول إن § )n n IuÎ

nuبحیث Mمكبورة إذا وجد عدد حقیقي M£

n I" Î)نقول إن§ )n n Iu

Înuبحیث mجد عدد حقیقي مصغورة إذا و m³

n I" Î)نقول إن § )n n Iu

Îمحدودة إذا كانت مكبورة مصغورة .

)نعتبر المتتالیة العددیة :1تمرین )nu : المعرفة كالتالي2

1

0

2 21

n n nu u uu

+ì = + +ïí

= -ïîn" Î¥



5رقم/مذكرة


)بین أن المتتالیة )1u2)أحسب 1 )nu 1مصغورة بالعددالجواب :

1 (( ) ( )220 1 0 02 2 1 2 1 2 1 2 2 1u u u+ = + + = - + ´ - + = + - + =

1یكفي أن نبین أن: )1 nu£n" Î¥؟؟؟؟نحسب الفرق :

( )22 21 2 2 1 2 1 1 0n n n n n nu u u u u u- = + + - = + + = + ³

1ومنھ : nu£n" Î¥: وبالتالي( )nu 1مصغورة بالعدد

III.: رتابة متتالیة)نعتبر المتتالیتین العددیتین نشاط : )n nu

Î¥)و ) 1n n

v³

المعرفتین

2كالتالي: 3nu n= +n" Î¥ 2وnv

n=n *" Î¥

)أحسب الحدود األربعة األولى للمتتالیتین )n nuÎ¥

)و ) 1n nv³

ماذا تالحظ؟

)لتكن خاصیة: )n n IuÎ

متتالیة عددیة

)تكون المتتالیة§ )n n IuÎ

1nتزایدیة إذا وفقط إذا كان: nu u+ ³n I" Î

)تكون المتتالیة§ )n n IuÎ

1nتناقصیة إذا وفقط إذا كان: nu u+ £n I" Î

)تكون المتتالیة § )n n IuÎ

1nتابثة إذا وفقط إذا كان : nu u+ =n I" Î

)العددیة : أدرس رتابة المتتالیة1مثال )n n IuÎ

المعرفة كالتالي :

2 3nu n= +n" Î¥)الجواب : ) ( )1 2 1 3 2 3 2 0n nu u n n+ - = + + - + = )اذن: < )nu

تزایدیة قطعا): أدرس رتابة المتتالیة 2مثال )nv : 2المعرفة كالتالي

nvn

=n" Î¥

الجواب :( )

( ) ( )1

2 2 12 2 2 01 1 1n n

n nv v

n n n n n n+

- + -- = - = = <

+ + +

)اذن: )nvتناقصیة قطعا

)أدرس رتابة المتتالیة العددیة :2تمرین )nu : المعرفة كالتالي

2nnu

n-

=+

n" Î¥

)الجواب : )1

1 11 2 2 3 2n n

n n n nu un n n n+

- +æ ö - - -æ ö- = - = +ç ÷ ç ÷+ + + + +è øè ø( )( ) ( )

( )( ) ( )( )1

1 2 31 2 03 2 3 2 3 2n n

n n n nn nu un n n n n n+

- - + + +- - -- = + = = <

+ + + + + +

1nاذن nu u+ )وبالتالي £ )nuتناقصیة قطعا

)أدرس رتابة المتتالیة العددیة :3تمرین )nu : المعرفة كالتالي5 32 7n

nun-

=+

n" Î¥ : 3واستنتج أن7nu ³ -n" Î¥

الجواب :

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )1

5 1 3 5 2 5 2 2 7 2 9 5 35 3 5 32 1 7 2 7 2 9 2 7 2 9 2 7n n

n n n n n nn nu un n n n n n+

+ - + + + - + -- -- = - = - =

+ + + + + + +

( )( ) ( ) ( )2 2

110 35 4 14 10 6 45 27 41 0

2 9 2 7 2 9 2 7n nn n n n n nu u

n n n n++ + + - + - +

- = = ³+ + + +

اذن 1 0n nu u+ - )وبالتالي ³ )nu

)بما أن )nu : تزایدیة فان0nu u³ 3یعني

7nu ³-n" Î¥

): نعتبر المتتالیة العددیة 4تمرین )nuالمعرفة

)تالي : كال )1

0

8 12

3

nn

n

uu

uu

+

-ì=ï +í

ï =î

n" Î¥

)بین أن المتتالیة .1 )nu 2مصغورة بالعدد

)بین أن المتتالیة .2 )nu 4مكبورة بالعددماذا تستنتج ؟.3)أدرس رتابة المتتالیة .4 )nu2یكفي ان نبین أن: ¥)1جوبة :األ nu£n" Î¥؟؟؟؟

نستعمل برھانا بالترجع0nنتحقق أن العبارة صحیحة بالنسبة ل ¥ =

0لدینا 3 2u = 0nالعبارة صحیحة بالنسبة ل اذن :³ =

2nuب)نفترض أن: ³

1نبین أن: ¥ 2nu + ؟؟؟؟؟³

)نحسب الفرق : ) ( ) ( )1

8 1 8 1 2 2 6 122 22 2 2

n n n nn

n n n

u u u uuu u u+

- - - + -- = - = =

+ + +

( )1

6 22

2n

nn

uu

u+

-- =

+2nuو حسب افتراض الترجع لدینا : ³

2اذن : 0nu - 2و ³ 0nu + 1و منھ < 2 0nu + - ³

2nuوبالتالي: ³n" Î¥

4nuیكفي ان نبین أن: )2 £n" Î¥؟؟؟؟نستعمل برھانا بالترجع

0nة صحیحة بالنسبة ل نتحقق أن العبار¥ =

0لدینا 3 4u = 0nالعبارة صحیحة بالنسبة ل اذن :£ =

4nuنفترض أن: ¥ £

1نبین أن: ¥ 4nu + ؟؟؟؟؟£

)نحسب الفرق : ) ( ) ( )1

8 1 4 2 8 1 4 164 42 2 2

n n n nn

n n n

u u u uuu u u+

- + - - - +- = - = =

+ + +

( ) ( )1

4 4 4 44

2 2n n

nn n

u uu

u u+

- -- = =

+ +4nuو حسب افتراض الترجع لدینا : £

4اذن : 0nu- 2و ³ 0nu + و منھ <14 0nu +- ³

4nuوبالتالي: £n" Î¥

)المتتالیة العددیة ) 2 )nuمحدودة ألنھا مكبورة ومصغورة

3(( ) ( ) ( ) 2

1

8 1 8 1 2 6 82 2 2

n n n n n nn n n

n n n

u u u u u uu u uu u u+

- - - + - + -- = - = =

+ + +

2نعمل 6 8n nu u- + Dنحسب الممیز -

36 32 4 0D= - = ھناك جذرین :<1

6 2 22

x - += =

-و

26 2 4

2x - -= =

-)ومنھ التعمیل : )( )2 6 8 2 4n n n nu u u u- + - =- - -

)ومنھ : ) ( )1

2 42

n nn n

n

u uu u

u+

- - -- =

+

2nuلدینا : 0nuاذن : ³ 2و ³ 0nu - ³4nuلدینا :و 4اذن : £ 0nu - £

)ومنھ: )( )1

2 40

2n n

n nn

u uu u

u+

- - -- = ³

+)وبالتالي )nu تزایدیة

):نعتبر المتتالیة العددیة 5تمرین )nu المعرفة


1كالتالي :

0

4 21

1

nn

n

uuu

u

+

-ì =ï +íï =î

n" Î¥

)المتتالیة بین أن .1 )nu 1مصغورة بالعدد

)بین أن المتتالیة .2 )nu 2مكبورة بالعددماذا تستنتج ؟.3)أدرس رتابة المتتالیة .4 )nu

1یكفي ان نبین أن: ¥)1األجوبة : nu£n" Î¥؟؟؟؟نستعمل برھانا بالترجع

0nنتحقق أن العبارة صحیحة بالنسبة ل ¥ =



1نبین أن: ¥ 1nu + ؟؟؟؟؟³

)نحسب الفرق : )1

4 2 14 2 3 31 11 1 1

n nn nn

n n n

u uu uuu u u+

- - +- -- = - = =

+ + +

( )1

3 11

1n

nn

uu

u+

-- =


1اذن : 0nu - 1و ³ 0nu + 1و منھ < 1 0nu + - ³

1nuالي: وبالت ³n" Î¥

2nuیكفي ان نبین أن: )2 £n" Î¥؟؟؟؟نستعمل برھانا بالترجع

0nنتحقق أن العبارة صحیحة بالنسبة ل ¥ =

0لدینا 1 2u = 0nالعبارة صحیحة بالنسبة ل اذن :£ =

2nuنفترض أن: ¥ £

1نبین أن: ¥ 2nu + ؟؟؟؟؟£

)نحسب الفرق : ) ( )1

2 1 4 24 2 2 42 21 1 1

n nn nn

n n n

u uu uuu u u+

+ - -- - +- = - = =

+ + +

( )1

2 22

1n

nn

uu

u+

-- =

+2nuو حسب افتراض الترجع لدینا : £

2اذن : 0nu- 1و ³ 0nu + و منھ <12 0nu +- ³


)المتتالیة العددیة ) 3 )nu ومصغورةمحدودة ألنھا مكبورة

4(( ) 2

1

4 2 14 2 3 21 1 2

n n nn n nn n n

n n n

u u uu u uu u uu u u+

- - +- - + -- = - = =

+ + +

2نعمل 3 2n nu u- + Dنحسب الممیز -

9 8 1 0D= - = ھناك جذرین :<1

3 1 12

x - += =

-و

23 1 22

x - -= =

-)ومنھ التعمیل : )( )2 3 2 1 2n n n nu u u u- + - =- - -

)ومنھ : )( )1

1 21

n nn n

n

u uu u

u+

- - -- =

+

1nuلدینا : 0nuاذن : ³ 1و ³ 0nu - ³2nuلدینا :و 2اذن : £ 0nu - £

)ومنھ: )( )1

1 20

1n n

n nn

u uu u

u+

- - -- = ³

+)تالي وبال )nu تزایدیة

IV.:المتتالیات الحسابیة)نعتبر المتتالیة العددیة نشاط: ) 0n nu

³المعرفة بالصیغة الصریحة التالیة :

2 1nu n= -n" Î¥

0uأحسب حدھا األول .1)أحسب الحدود األربعة األولى للمتتالیة .2 ) 1n nu

³

1nأحسب .3 nu u+ -n" Î¥

0:الجواب 2 0 1 0 1 1u = ´ - = - = -

1 2 1 1 2 1 1u = ´ - = - =

2 2 2 1 4 1 3u = ´ - = - =

3 2 3 1 6 1 5u = ´ - = - =2العدد وظ أن أن فرق حدین متتالین ھنالح

( ) ( ) ( ) ( )1 2( 1) 1 2 1 2 2 1 2 1n nu u n n n n+ - = + - - - = + - - -

)اذن: ) ( ) ( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n n n n n= + - - - = + - - = + - +

1 2n nu u r+ - = =

)ومنھ المتتالیة ) 0n nu

2rھي حسابیة أساسھا :³ =

تعریف :.1)نقول إن )n n Iu

Îبحیث : rلیة حسابیة إذا وجد عدد حقیقي متتا

1n nu u r+ = +0n n" ³

)یسمى أساس المتتالیة rالعدد الحقیقي )0

n n nu

³

)نعتبر المتتالیة العددیة :6تمرین )nu : المعرفة كالتالي3

4nnu +

=n" Î¥

)بین أن المتتالیة )nuحسابیة وحدد أساسھا وحدھا األول

1:الجواب( 1) 3 3 1

4 4 4n nn nu u r+

+ + +- = - = =

)ومنھ المتتالیة )n n Iu

Î ھي حسابیة أساسھا14

r=

0وحدھا األول : 34

u =

:nصیغة الحد العام للمتتالیة بداللة .2)إذا كانت )nu متتالیة حسابیة أساسھاr 0وحدھا األولu

0nuان : ف u nr= +

)إذا كانت نتیجة : )0

n n nu

³rمتتالیة حسابیة أساسھا

)فان : )n pu u n p r= + 0nلكل - n³ 0وp n³

)لتكن :7تمرین )nu متتالیة حسابیة أساسھا12

r 6و = 31u =

2016uثم 2015u)أحسب :n3بداللة nuأكتب )0u2)أحسب1)لدینا )1أجوبة : )nu : 0حسابیة اذنnu u nr= +

ومنھ : 6 0

162

u u= + 031یعني´ 3u= 028یعني+ u=

2(0nu u nr= 28یعني +2nnu = +

3(2015

2015 2071282 2

u = + =

و2016

201628 28 1008 10362

u = + = + =

)لتكن :8تمرین )nu متتالیة حسابیة أساسھاr 0و بحیث 5u =100و 45u = -

2016uو 2015u)أحسب : r2)حدد 1)لدینا )1أجوبة : )nu : 0حسابیة اذنnu u nr= +


100ومنھ : 0 100u u r= 45یعني+ 5 100r- = 50یعني+ 100r- یعني=12

r = -

2(( )nu : 0حسابیة اذنnu u nr= یعني +2015

15 20152

u æ ö= + ´ -ç ÷è ø

یعني2015

201552

u = یعني-2015

10 2015 20052 2

u - -= =

ومنھ2016

2005 1 2006 10032 2 2

u - - -= + = =-

)نعتبر المتتالیة العددیة :9تمرین )nu : المعرفة كالتالي

1

0

12

2

nn

uu

u

+

-ì =ï +íï =î

n" Î¥

)ونعتبر المتتالیة العددیة )nv : 1المعرفة كالتالي1n

n

vu

=+

n" Î¥1vو 0vو 2uو 1uأحسب .11nأحسب .2 nv v+ )و استنتج طبیعة المتتالیة - )nv

3: بین بالترجع أن .3 23 1n

nun

- +=

+n" Î¥

nبداللة nvأكتب .4nبداللة nuاستنتج طریقة أخرى لكتابة.5

1أجوبة :1

2nn

uu+

-=

+

0بnنعوض)1

0 10

1 1 12 2 2 4

uu+

- - -= = =

+ 1اذن :+14

u = -

فنجد :1ب nنعوض

1 11

1 1 1 41 72 724 4

uu+

- - - -= = = =

+ -2اذن :

47

u = -

في 0ب nنعوض 1

1nn

vu

=فنجد :+

00

1 1 11 2 1 3

vu

= = =+ +

فنجد :1ب nنعوض 1

1

1 1 311 413

vu

= = =+ +

2(11

1 11 1n n

n n

v vu u+

+

- = -+ +

1nuنعوض 1ب+2 nu-+

فنجد: 1

21 1 1 1 11 11 1 1 11

2 2

nn n

nn n n n

n n

uv v uu u u uu u

+

+- = - = - = -

- ++ + + +++ +

12 1 1 1

1 1n n

n nn n

u uv vu u+

+ - +- = = =

+ +

)ومنھ )nv: 1متتالیة حسابیة أساسھاr وحدھا األول : =0

13

v =

0)أ) لدینا : 3 2u 3و = 0 2 2 22 0 1 1- ´ +

= =´ +

0nاذن العبارة صحیحة بالنسبة ل =

ب)نفترض أن :3 23 1n

nun

- +=

+

نبین أن : )ج( )( )1

3 1 23 1 1n

nu

n+

- + +=

+ +أي نبین أن :

13 13 4n

nun++

= -+

؟؟؟

1لدینا : 1

2nn

uu+

-=

+ : وحسب افتراض الترجع لدینا

3 23 1n

nun

- +=

+اذن :

11 1 1 3 1

3 2 3 42 3 423 1 3 1

nn

nu n nu nn n

+- - - +

= = = = -- + ++ ++

+ +

ومنھ : 3 23 1n

nun

- +=

+n" Î¥

4 : ))بما أن )nv: 1متتالیة حسابیة أساسھاr وحدھا األول : =

013

v =

0nvفان : v nr= 1أي : +3nv n= +

1)نعلم أن : 51n

n

vu

=+

11nیعنيn

uv

+ 1یعني= 1nn

uv

= -

1ونعلم أن : 3nv n= اذن : +

1 1 3 3 3 1 3 21 1 11 3 1 3 1 3 1 3 13 3

nn nu n n n nn

- - - -= - = - = - = =

+ + + ++


1

0

13

0

nn

n

uuu

u

+-ì =ï +í

ï =î

n" Î¥


n

vu

=+

n" Î¥1nأحسب .1 nv v+ )و استنتج طبیعة المتتالیة - )nv

nبداللة nuتنتج ثم اسnبداللة nvأكتب .2

1)1أجوبة :1

1 11 1n n

n n

v vu u+

+

- = -+ +

1nuنعوض 1ب+3

n

n

uu-+

فنجد: 1

31 1 1 1 21 2 21 1 2 2 2 21

3 3

nn n

n nn n n n

n n

uv v u uu u u uu u

+

+- = - = - = -

- ++ + + +++ +

( )13 2 1 1 1

2 2 2 2 2 1 2n n n

n nn n n

u u uv v ru u u+

+ - + +- = = = = =

+ + +

)ومنھ )nv: 1متتالیة حسابیة أساسھا2

r 0وحدھا األول : = 1v =

)بما أن :) 2 )nv: 1متتالیة حسابیة أساسھا2

r وحدھا األول : =

0 1v =

0nvفان : v nr= 1أي : +2nnv = +

1نعلم أن : 1n

n

vu

=+

11nیعنيn

uv

+ 1یعني= 1nn

uv

= -

1ونعلم أن : 2nnv = اذن : +


1 1 2 2 21 1 12 2 2 212 2

nn nu n n n n n

- - -= - = - = - = =

+ + + ++

مجموع حدود متتابعة لمتتالیة حسابیة :.3)لتكن )n n Iu

Îمتتالیة حسابیة

1نضع 2n p p p nS u u u u+ += + + + ××× 0nحیث+ p n³f

)لدینا )12

n pn

u uS n p

+æ ö= - + ç ÷

è ø1المجموع 2n p p p nS u u u u+ += + + + ××× +

)یحتوي على )1n p- حد+

:مالحظة )إذا كانت § )nu: متتالیة حسابیة

)فان ) 012

nu un +æ ö+ ç ÷è ø

=0 1 2n nS u u u u= + + + ××× +

)إذا كانت § )nu متتالیة حسابیة

1فان :

2nu un +æ ö

ç ÷è ø=1 2 3n nS u u u u= + + + ×× × +

)حسابیة لتكن المتتالیة ال:11مثال أو تمرین ) 1n nu³

الذي

3rأساسھا 0وحدھا األول = 5u =وأوجد الحد التاسع nبداللة nuأكتب )10) أحسب المجموع التالي : 2 1 2 13S u u u u= + + +×××+

)وبما أن )1أجوبة : )nu 3متتالیة حسابیة أساسھاr وحدھا =

0األول 5u =)فان : )0 0nu u n r= + )أي: - )5 3 0nu n= + أي: -

3 5nu n= +8ومنھ : 3 8 5 29u = ´ + =

2(( ) 0 130 1 13 13 0 1

2u uS u u u +

= + + ××× + = - +

( )0 1313

1414 52 2

u uS u+= = ومنھ نحسب: +

13 3 13 5 44u = ´ + =)وبالتالي: )7 5 44 7 49 343S = + = ´ =

:12تمرین)لتكن .1 )nu 1متتالیة حسابیة أساسھا

2r و حدھا األول =

0 1u =1أحسب المجموع التالي : 3 4 5 30S u u u u= + + + ×× × +

)لتكن .2 )nu 2متتالیة حسابیة أساسھاr = و حدھا األول -

0 4u =2أحسب المجموع التالي : 7 8 9 25S u u u u= + + + ×× ×+

))1الجواب : ) 3 301 3 4 5 30 30 3 1

2u uS u u u u +

= + + +×××+ = - +

( ) 3 301 28

2u uS +

=

)وبما أن )nu 1متتالیة حسابیة أساسھا2

r وحدھا األول =

0 1u )فان : = )0 0nu u n r= + -

)أي: ) 11 02nu n= + 1أي: -

2nnu = +

ومنھ نحسب: 3

3 512 2

u = + و: =30

30 321 162 2

u = + = =

)وبالتالي: ) 3 301

5 3728 14 16 14 7 37 2592 2 2

u uS + æ ö æ ö= = + = = ´ =ç ÷ ç ÷è ø è ø

2(( ) ( )7 25 7 252 7 8 9 25 25 7 1 19

2 2u u u uS u u u u + +

= + + +×××+ = - + =

)وبما أن )nu 2متتالیة حسابیة أساسھاr = وحدھا األول -

0 4u )فان : = )0 0nu u n r= + -

)أي: ) ( )4 0 2nu n= + - 4أي: - 2nu n= -

7نحسب: 4 2 7 4 14 10u = - ´ = - = -

25و 4 2 25 4 50 46u = - ´ = - = -

)وبالتالي: ) ( ) ( )7 252

10 46 5619 19 19 19 28 5322 2 2

u uS + - +- -= = = = ´- =-

V.لھندسیة:المتتالیات االحظ ثم أتمم بأربعة أعداد مالئمة لتسلسل كل متتالیة من المتتالیات :1نشاط

التالیة :1.1 ,3 ,9 ,27 ,81 ,243............. ,2.1 ,1

2- ,1

4 ,1

8- ,1

16 ,1

32-............. ,

)نعتبر المتتالیة العددیة :2نشاط ) 0n nu³

المعرفة بالصیغة الصریحة 2التالیة : 3n

nu = ´n" Î¥

)الحدود األربعة األولى للمتتالیة أحسب .1 ) 0n nu³

1nأحسب .2

n

uu+n" Î¥

)1الجواب :0

0 2 3 2 1 2u = ´ = ´ 1و =1 2 3 6u = ´ 2و =

2 2 3 18u = ´ و =3

3 2 3 54u = ´ =

2(1 1 1

11 2 3 3 3 3 3 32 3 3 3

n n nn

n n nn

u qu

+ ++ ´ ´= = = = = =

´

)نقول أن المتتالیة ) 0n nu³

3ھندسیة أساسھا q= وحدھا األول

0 2u =تعریف:.1

)نقول إن )n n IuÎ

qمتتالیة ھندسیة إذا وجد عدد حقیقي 1nبحیث : nu qu+ =0n n" ³

)یسمى أساس المتتالیة qالعدد الحقیقي ) 0n nu³

)نعتبرالمتتالیة العددیة:13تمرین ) 0n nu³

2بحیث: 15 3 nnu += ´

n" Î¥

)بین أن ) 0n nu³

و حدھا األولqمتتالیة ھندسیة و حدد أساسھا

):الجواب ) ( )2 3 2 3

2 3 2 1 212 1 2 1

5 3 3 3 3 95 3 3

n nn nn

n nn

u qu

+ ++ - ++

+ +

´= = = = = =

´

)اذن: المتتالیة ) 0n nu

³9ھندسیة أساسھا q= وحدھا األول

0 15u =

:nالیة بداللة صیغة الحد العام للمتت.2)إذا كانت )nu متتالیة ھندسیة أساسھاq غیر منعدم وحدھا األول

0nu فان

:0

0

n nn nu u q -=


)إذا كانت نتیجة : )0n n n

u³

غیر منعدم فان qاسھا متتالیة ھندسیة أس

:n mn mu u q 0nلكل =- n³ 0وm n³

)لتكن :14تمرین )nu : متتالیة ھندسیة بحیث5

2432

u و =2

92

u =

)أساس المتتالیة qحدد )nu و أكتبnu بداللةn

)لدینا الجواب : )nu : متتالیة ھندسیة اذنn mn mu u q -=

5اذن:: ومنھ 25 2u u q 3243:یعني =- 9

2 2q=

3یعني 2439

q :یعني =3 27q 3q:یعني = =

2لدینا أیضا :2

nnu u q :یعني =-

2 2 2 229 3 3 3 33

2 2 2 2

n n nn

nu- - +

- ´= = = =

)ر المتتالیة الھندسیة نعتب:15تمرین )nu بحیث حدھا األول

0 81u 1وأساسھا : =3

q =

3uو2uو 1u)أحسب n2بداللة nu)أكتب 11nuبحیث n)حدد العدد الصحیح الطبیعي3 =

)نعلم أن )1األجوبة: ) 0n nu³

متتالیة ھندسیة 1أساسھا

3q 0وحدھا األول = 81u =

0اذن:0

nnu u q :ومنھ=-

1813

n

nu æ ö= ´ç ÷è ø

2(1

11 8181 273 3

u æ ö= ´ = =ç ÷è ø

و 2

21 8181 93 9

u æ ö= ´ = =ç ÷è ø

و 3

31 8181 33 27

u æ ö= ´ = =ç ÷è ø

3(1nu 181یعني = 13

næ ö´ =ç ÷è ø

181یعني 13n´ 81ي یعن= 1

3n =

81یعني 3n= 4یعنيn =)نعتبر المتتالیة الھندسیة :16تمرین )nu بحیث حدھا األول

0 5u =3و 40u =

)تحقق أن أساس المتتالیة .1 )nu 2ھوq =

4uو أحسب nبداللة nuأكتب .2160nuبحیث nحدد العدد الصحیح الطبیعي.3 =

)نعلم أن)1األجوبة : ) 0n nu³

متتالیة ھندسیة اذن :

3اذن: 03 0u u q :یعني =-

340 5q= یعني:3 40

5q :یعني =

3 8q 2q:یعني = =

2 (( )5 2 nnu = ´

1

11 8181 273 3

u æ ö= ´ = =ç ÷è ø

و2

21 8181 93 9

u æ ö= ´ = =ç ÷è øو

( )44 5 2 5 16 80u = ´ = ´ =

3(1

11 8181 273 3

u æ ö= ´ = =ç ÷è øو

2

21 8181 93 9

u æ ö= ´ = =ç ÷è ø

5و 42 2 80 160u u= ´ = ´ 5nومنھ : = =مجموع حدود متتابعة لمتتالیة ھندسیة :.3

)لتكن )n n IuÎ

غیر منعدم نضعqمتتالیة ھندسیة أساسھا

0 1 2n nS u u u u= + + + × ×× +

1qإذا كان 1فان :¹

011

n

nqS uq

+æ ö-= ç ÷-è ø

)نعتبر المتتالیة العددیة :17مثال أو تمرین ) 0n nu³

المعرفة 1التالیة : بالصیغة 3n nu U+ = 0و´ 2u =n" Î¥

)تحقق أن .1 ) 0n nu³

ھندسیةعبر عن .2

nU بداللةn1أحسب المجموع : .3 2 3 5nS u u u u= + + + ×××+

1)1الجواب : 3 3n n

n n

u u qu u+ ´= = =

3ھندسیة أساسھا اذن: المتتالیة q= 0وحدھا األول 3u =

2(( ) 0n nu³

3ھندسیة أساسھا q= 0وحدھا األول 3u =

0اذن:0

nnu u q )أي:=- ) ( ) ( ) 113 3 3 3 3n n n

nu += ´ = ´ =

3(5 1 1 5

1 2 3 5 1 11 1

1 1nq qS u u u u u u

q q

- +- -= + + +×××+ = ´ = ´

- -1 1 2

1 3 3 9u += = =5 51 3 1 3 1 243 2429 9 9 9 1029

1 3 2 2 2nS - - - -= ´ = ´ = ´ = ´ =

- - - -)لتكن :18تمرین )nu : 5متتالیة ھندسیة بحیث 486u =

7و 4374u 0qو أساسھا= f

))حدد أساس المتتالیة 1 )nu2 0) أحسبu 10وu: المجموع التالي) أحسب n4بداللة nu) أكتب 3

0 5 2009S u u u= + +×××+

))1أجوبة : )nuاذن:متتالیة ھندسیة7 5

7 5u u q 2:یعني =- 4374 9486

q = =

3q:یعني 3qأو= = 0qوحسب المعطیات :- f

3qاذن: =2 (( )nu5اذن:متتالیة ھندسیة 0

5 0u u q 5یعني=-0486 3u=

یعني0 5

486 486 23 243

u = = =

10 710 7u u q 3یعني=-

10 7u u q= یعني3

10 4374 3 4374 27 118098u = ´ = ´ =

3 (00

nnu u q 2یعني =- 3n

nu = ´

4(20095 0 1 2010

0 1 1 2009 0 01 1

1 1nq qS u u u u u u

q q

- +- -= + + +×××+ = ´ = ´

- -

( )2010

2010 20101 32 1 3 3 11 3nS -

= ´ = - - = --

)نعتبر المتتالیة العددیة :19تمرین )nu المعرفة

1كالتالي :

0

2 13

10

n nu u

u

+ì = +ïíï =î

n *" Î¥

)یة العددیة ونعتبرالمتتال )nv : 3المعرفة كالتاليn nv u= -

n" Î¥1vو 0vو 2uو 1uأحسب .1


3nuبین أن : .2 ³n" Î¥

)أدرس رتابة المتتالیة .3 )nu1nأحسب .4

n

vv

)و استنتج طبیعة المتتالیة + )nv

nبداللة nvأكتب .5nبداللة nuاستنتج .60المجموع : nأحسب بداللة .7 1 2 nS v v v v= + + + ×× ×+

0بnنعوض )1الجواب:

0فنجد: 1 02 2 20 20 3 231 10 1 13 3 3 3 3 3

u u+ = ´ + = ´ + = + = + 1اذن :=233

u =

1ب nنعوض

1فنجد : 1 12 2 23 46 46 9 551 1 13 3 3 9 9 9 9

u u+ = ´ = ´ + = + = + 2اذن :=559

u =

0فنجد :0ب nنعوض 0 3 10 3 7v u= - = - =

1فنجد :1ب nنعوض 123 23 9 143 33 3 3 3

v u= - = - = - =

)نستعمل برھانا بالترجع20nأ)نتحقق أن العبارة صحیحة بالنسبة ل =

0ینا لد 10 3u = 0nالعبارة صحیحة بالنسبة ل اذن :³ =


1ج)نبین أن: 3nu + ؟؟؟؟؟³

)نحسب الفرق : )12 2 23 1 3 2 33 3 3n n n nu u u u+ - = + - = - = -

3nuو حسب افتراض الترجع لدینا : ³

3اذن : 0nu - 1منھ ³ 3 0nu + - 3nuوبالتالي: ³ ³n" Î¥

))دراسة رتابة المتتالیة 3 )nuنحسب :

1n nu u+ وندرس اإلشارة :-

( )12 1 11 1 33 3 3n n n n n nu u u u u u+ - = + - = - + = - -

3nuنعلم أن: ³n" Î¥ اذن : 2حسب السؤال(1 0n nu u+ - £

)ومنھ المتتالیة )nuتناقصیة4(

( )1 1

2 2 2 6 21 3 2 33 23 3 3 2 33 3 2 2 2 3

n n n nn n

n n n n n n

u u u uv u qv u u u u u

+ ++ - - - --

= = = = = = =- - - - -

)اذن: المتتالیة )nv 3ھندسیة أساسھا2

q= 0وحدھا األول 7v =

nبداللة nvكتابة )5

)بما أن المتتالیة )nv 2ھندسیة أساسھا3

q= وحدھا األول

0 7v =

27فان:3

n

nv æ ö= ´ç ÷è ø

nبداللة nu) استنتاج 6

3nلدینا: nv u= 3nاذن:- nv u+ 27أي:= 33

n

nu æ ö= +ç ÷è ø

7(0 1 1

0 01 1

1 1

n n

nq qS v v

q q

- + +- -= ´ = ´

- -

1

121

237 21 12 313

n

n

nS

+

+æ ö-ç ÷ æ öæ öè ø= ´ = ´ -ç ÷ç ÷ç ÷è øè ø-


1

0

61

3

nn

uu

u

+ì =ï +íï =î

n" Î¥ونعتبر المتتالیة

)العددیة )nv : 2المعرفة كالتالي3

nn

n

uvu

-=

+n" Î¥

1vو0vو 1uأحسب .1)بین أن.2 )nvمتتالیة ھندسیة و حدد أساسھاqو حدھا األول

nبداللة nuو استنتج nبداللة nvأكتب .30المجموع: nةأحسب بدالل.4 1 2 nS v v v v= + + + ×× ×+

1فنجد:0بnنعوض )1الجواب:0

6 6 6 31 1 3 4 2

uu

= = = =+ اذن :+

132

u =

00

0

2 3 2 13 3 3 6

uvu- -

= = =+ +

1و 1

1

1 1122 116 61 193 1936 6

uvu

---

= = = = -+ +

2(( )

( )

( )

( )1

11

6 2 1 2 26 2 2 4 26 22 1 1 1 1 1

6 6 3 3 9 36 3 1 3 33 31 1 11 1

n nn n

n n n n n nn

n nn nn

n n nn n

u uu uu u u u u uv u uu uu

u u uu u

++

+

- + - -- - --

- + + + + += = = = = =

+ + ++ + ++ ++ + ++ +

( )( )

11

1

2 22 22 23 3 3 3 3 3

nn nn n

n n n

uu uv vu u u

++

+

- -- -- æ ö= = = ´ = - ´ç ÷+ + + è ø


q- وحدھا األول =0

16

v =

)) بما أن المتتالیة 3 )nv 2ھندسیة أساسھا3

q- وحدھا األول =

016

v =

1فان: 26 3

n

nv æ ö= ´ -ç ÷è ø

:nبداللة nuاستنتاج

)لدینا: ) 23 2 3 23

nn n n n n n n n

n

uv u v u v u u vu-

+ - = - Û + = - Û =+

( )1 2 3n n nu v v- = - - Û2 3 2 31 1

n nn n

n n

v vu uv v

+ - -= Û = Û

- -

1ونعلم أن : 26 3

n

nv æ ö= ´ -ç ÷è ø

1اذن : 22 36 3

1 216 3

n

n nu

æ ö+ ´ ´ -ç ÷è ø=

æ ö- ´ -ç ÷è ø

1 222 31 216 3

n

n nu

æ ö+ ´ -ç ÷è ø=æ ö- ´ -ç ÷è ø

4(0 1 1

0 01 1

1 1

n n

nq qS v v

q q

- + +- -= ´ = ´

- -1

1 121

1 1 3 2 1 23 1 126 6 5 3 10 313

n

n n

nS

+

+ +æ ö- -ç ÷ æ ö æ öæ ö æ öè ø= ´ = ´ - - = - -ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è øè ø è ø+


)نعتبر المتتالیة العددیة :21تمرین )nu: المعرفة كالتالي

1

1

11

nn

n

uuu

u

+ì =ï +íï =î

n *" Î¥ ونعتبر المتتالیة

)العددیة )nv : 1المعرفة كالتاليn

n

vu

=n *" Î¥

1vو 2uأحسب .1)بین أن.2 )nvمتتالیة حسابیة و حدد أساسھا و حدھا األول

nبداللة nuو استنتج nبداللة nvأكتب .3

1)1أجوبة : 2

1

1 11 1 1 2

uuu

= = =+ +

و1

1

1 1 11

vu

= = =

2(11

1 1 11 1 1 1n nn n

n n n n n

u uv v ru u u u u+

+

+ + -- = - = - = = =

)ومنھ )nv: 1متتالیة حسابیة أساسھاr 1وحدھا األول : = 1v =

)بما أن :) 3 )nv: 1متتالیة حسابیة أساسھاr وحدھا األول : =

1 1v =

)فان : )1 1nv v n r= + )أي : - )1 1nv n= + nvیعني - n=

1ونعلم أن : n

n

vu

1یعني=n

n

uv

nvونعلم أن : = n= : 1اذنnu

n=

)نعتبر المتتالیة العددیة :22تمرین )nu: المعرفة كالتالي

1

0

1 21

nn

n

uuu

u

+ì =ï +íï =î

n" Î¥ونعتبر المتتالیة

)العددیة )nv : 1المعرفة كالتاليn

n

vu

=n *" Î¥

0vو 1uأحسب .1)بین أن.2 )nvأساسھا و حدھا األولمتتالیة حسابیة و حدد

nبداللة nuو استنتج nبداللة nvأكتب .3

0)1أجوبة : 1

0

1 11 2 1 2 3

uuu

= = =+ +

و0

0

1 1 11

vu

= = =

2(11

1 2 1 2 11 1 1 2n nn n

n n n n n

u uv v ru u u u u+

+

+ + -- = - = - = = =

)ومنھ )nv: 2متتالیة حسابیة أساسھاr 0وحدھا األول : = 1v =

3 (: )بما أن )nv: 2متتالیة حسابیة أساسھاr وحدھا األول : =

0 1v =

0nvفان : v nr= 1أي : + 2nv n= +

1ونعلم أن:n

n

vu

1یعني=n

n

uv

1ونعلم أن : = 2nv n= اذن : +

11 2nu

n=+


1

0

5 41

3

nn

n

uuu

u

+

-ì =ï +íï =î

n" Î¥


n

vu

=-

n" Î¥0vو 1uأحسب .12nuبین أن : .2 ³n" Î¥

1nأحسب .3 nv v+ )و استنتج طبیعة المتتالیة - )nv

nبداللة nuم استنتج ثnبداللة nvأكتب .4)أدرس رتابة المتتالیة .5 )nu2أحسب المجموع التالي : .6 1 2 3 11S v v v v= + + + ××× +

0)1أجوبة :1

0

5 4 15 4 111 3 1 4

uuu

- -= = =

+ +و

00

1 1 12 3 2

vu

= = =- -

برھانا بالترجع)نستعمل 20nأ)نتحقق أن العبارة صحیحة بالنسبة ل =



1ج)نبین أن: 2nu + ؟؟؟؟؟³

)حسب الفرق : ن )1

5 4 2 15 4 3 62 21 1 1

n nn nn

n n n

u uu uuu u u+

- - +- -- = - = =

+ + +

( )1

3 22

1n

nn

uu

u+

-- =


2اذن : 0nu - 1و ³ 0nu + 1و منھ < 2 0nu + - ³


3(11

1 12 2n n

n n

v vu u+

+

- = -- -

1nuنعوض 5ب+ 41

n

n

uu

-+

فنجد:( )1

1 1 1 15 4 5 4 2 12 22

1 1

n nn n nn n

n n

v v u u uu uu u

+ - = - = -- - - +- --+ +

( ) ( ) ( )11 1 11 1 3

3 6 2 3 2 2 3 2 3 2n n n

n nn n n n n n

u u uv vu u u u u u+

+ + +- = - = - = -

- - - - - -

( ) ( )11 3 2 1

3 2 3 2 3n n

n nn n

u uv v ru u+

+ - -- = = = =

- -

)ومنھ )nv1لیة حسابیة أساسھا :متتا3




0 1v =


1نعلم أن : 2n

n

vu

=-

12nیعنيn

uv

- 1یعني= 2nn

uv

= +


1 1 3 3 2 6 9 22 2 23 3 3 31

3 3

nn nu

n n n n n+ + += + = + = + = =

+ + + ++

)) دراسة رتابة المتتالیة 5 )nuنحسب :

1n nu u+ وندرس اإلشارة :-( ) 2

1

5 4 15 4 4 41 1 1

n n nn n nn n n

n n n


- - +- - + -- = - = =

+ + +

( )22

1

24 4 01 1

nn nn n

n n

uu uu uu u+

-- +- = - = - £

+ +)ألن : )22 0nu- - £

1و 0nu + )ومنھ المتتالیة ) 2حسب السؤال < )nuتناقصیة

6(( )1 111 2 3 11 11

2v v

S v v v v+

= + + + × × × + = ´

1لدینا : 3nnv = اذن : +

11 413 3

v = + و =2

11 1413 3

v = + =


4 1418 1 1983 311 11 33

2 3 2 3 2S

æ ö+ç ÷è ø= ´ = ´ ´ = =´


1

0

5 13

2

nn

n

uuu

u

+

-ì =ï +íï =î

n" Î¥


n

vu

=-

n" Î¥

0vو 1uأحسب .11nuبین أن : .2 ³n" Î¥

1nأحسب .3 nv v+ )و استنتج طبیعة المتتالیة - )nvnبداللة nuثم استنتج nبداللة nvأكتب .4

0)1أجوبة :1

0

5 1 10 1 93 2 3 5

uuu

- -= = =

+ +و

00

1 1 11 2 1

vu

= = =- -

)نستعمل برھانا بالترجع20nأ)نتحقق أن العبارة صحیحة بالنسبة ل =


1nuض أن: ب)نفتر ³

1ج)نبین أن: 1nu + ؟؟؟؟؟³


5 1 3 4 15 1 4 41 13 3 3 3

n n nn nn

n n n n

u u uu uuu u u u+

- - + -- -- = - = = =

+ + + +

1nuو حسب افتراض الترجع لدینا : ³

1اذن : 0nu - 3و ³ 0nu + 1و منھ < 1 0nu + - ³


3(1

1

1 11 1n n

n n

v vu u+

+

- = -- -

1nuنعوض 1ب+3

n

n

uu-+

فنجد:1

31 1 1 1 45 1 41 1 4 4 4 41

3 3

nn n

n nn n n n

n n

uv v u uu u u uu u

+

+- = - = - = -

- - - - --+ +

( )13 4 1 1 1

4 4 4 4 4 1 4n n n

n nn n n

u u uv v ru u u+

+ - - -- = = = = =

- - -



4 (: )بما أن )nv: 1متتالیة حسابیة أساسھا4


0 1v =


1)نعلم أن : 51n

n

vu

=-

11nیعنيn

uv

- 1یعني= 1nn

uv

= +


1 1 4 4 4 81 1 14 4 4 414 4

nn nu n n n n n

+ + += + = + = + = =

+ + + ++

)لعددیة نعتبر المتتالیة ا:25تمرین )nu : المعرفة كالتالي

1

0

114

12

nn

uu

u

+ì = - -ïïíï =ïî

n" Î¥

)ونعتبرالمتتالیة العددیة )nv : 2المعرفة كالتالي2 1n

n

vu

=+

n" Î¥

3uو 2uو 1uأحسب .1)بین أن : .2 )nvمتتالیة حسابیة

nبداللة nuثم استنتج nبداللة nvأكتب .3

1)1أجوبة :32

u = و-2

56

u = و -13

710

u = -

2(1 2n nv v+ - = 1nuنعوض - 1ب+3

n

n

uu-+

)ومنھ )nv2ساسھا :متتالیة حسابیة أr = 0وحدھا األول : - 1v =



0 1v =

0nvفان : v nr= 2أي : + 1nv n= - +

2نعلم أن : 2 1n

n

vu

=+

1یعني 12n

n

uv

= 1یعني- 12 1 2nun

= -- +


1

0

52 3

2

nn

n

uuu

u

+ì =ï +íï =î

n" Î¥

)عتبر المتتالیة العددیة ون )nv : 1المعرفة كالتاليnn

n

uvu-

=

n" Î¥1nuبین أن : .1 >n" Î¥

)أبین أن .2 )nv وحدھا األولمتتالیة حسابیة وحدد أساسھا

nبداللة nuثم استنتج nبداللة nvأكتب .3)نستعمل برھانا بالترجع1أجوبة :

0nأ)نتحقق أن العبارة صحیحة بالنسبة ل =

لدینا 0 2 1u = 0nالعبارة صحیحة بالنسبة ل اذن :< =


1ج)نبین أن: 1nu + ؟؟؟؟؟³


5 2 3 3 15 3 31 12 3 2 3 2 3 2 3

n n nn nn

n n n n

u u uu uuu u u u+

- + --- = - = = =

+ + + +

1nuو حسب افتراض الترجع لدینا : >

1اذن : 0nu - 2و < 3 0nu + 1و منھ < 1 0nu + - ³


131 1 1 1 4

5 1 41 1 4 4 4 413 3

nn n

n nn n n n

n n

uv v u uu u u uu u

+

+- = - = - = -

- - - - --+ +

( )13 4 1 1 1

4 4 4 4 4 1 4n n n

n nn n n

u u uv v ru u u+

+ - - -- = = = = =

- - -






1نعلم أن : 1n

n

vu

=-

11nیعنيn

uv

- 1یعني= 1nn

uv

= +



1 1 4 4 4 81 1 14 4 4 414 4

nn nu n n n n n

+ + += + = + = + = =

+ + + ++


1

0

7 33 7

73

nn

n

uuu

u

++ì =ï +ï

íï =ïî

n" Î¥

)ونعتبر المتتالیة العددیة )nv : 1المعرفة كالتالي1

nn

n

uvu-

=+

n" Î¥

1nuبین أن : .1 ³n" Î¥

)أدرس رتابة المتتالیة .2 )nu

)أبین أن .3 )nvمتتالیة ھندسیة وحدد أساسھا وحدھا األول



لدینا 0

7 13

u = 0nالعبارة صحیحة بالنسبة ل اذن :³ =


1ج)نبین أن: 1nu + ؟؟؟؟؟³


7 3 3 7 4 17 3 4 41 13 7 3 7 3 7 3 7

n n nn nn

n n n n

u u uu uuu u u u+

+ - + -+ -- = - = = =

+ + + +

1nuو حسب افتراض الترجع لدینا : >

1اذن : 0nu - 3و < 7 0nu + 1و منھ < 1 0nu + - ³


)) دراسة رتابة المتتالیة 2 )nu : نحسب1n nu u+ وندرس اإلشارة :-

( ) 2

1

7 3 3 77 3 3 33 7 3 7 3 7

n n nn nn n n

n n n

u u uu uu u uu u u+

+ - ++ - +- = - = =

+ + +

( )( )1

3 1 13 7n n

n nn

u uu u

u+

- + -- =

+

1nuولدینا : 1اذن : ³ 0nu + 1و ³ 0nu - 3و³ 7 0nu + >

ومنھ:1 0n nu u+ - )المتتالیة وبالتالي :£ )nuتناقصیة

3(( )

( )1

11

7 3 3 77 3 4 411 3 7 3 7 3 7 4 4

7 3 10 107 3 3 71 10 1013 7 3 73 7

n nn n

n n n n nn

n nn nn n

n nn

u uu uu u u u uv u uu uu u

u uu

++

+

+ - ++ --

- + + + -= = = = =

+ ++ + ++ +++ ++

( )( )1

4 1 12 210 1 5 1 5

n nn n

n n

u uv vu u+

- -= = =

+ +


q=

وحدھا األول 0

00

7 411 23 37 101 513 3

uvu

--= = = =

+ +



025

v =

12فان: 2 25 5 5

n n

nv+

æ ö æ ö= ´ =ç ÷ ç ÷è ø è ø

:nبداللة nuاستنتاج

)لدینا: ) 11 1 11

nn n n n n n n n

n

uv u v u v u u vu-

+ - = - Û + = - Û =+

( )1 1n n nu v v- = - - Û1 11 1

n nn n

n n

v vu uv v

+ - -= Û = Û

- -

ونعلم أن : 12

5

n

nv+

æ ö= ç ÷è ø

اذن : 1

1

215215

n

n nu

+

+

æ ö+ ç ÷è ø=æ ö- ç ÷è ø


1

0

5 33

1

nn

n

uuu

u

+

+ì =ï +íï =î

n" Î¥

)ونعتبر المتتالیة العددیة )nv : 3المعرفة كالتالي1

nn

n

uvu-

=+

n" Î¥

0بین أن : .1 3nu£ £n" Î¥

)أدرس رتابة المتتالیة .2 )nu

)أبین أن .3 )nvمتتالیة ھندسیة وحدد أساسھا وحدھا األول


0نبین أوال أن : nu£n" Î¥


0دینا ل 1 0u = 0nالعبارة صحیحة بالنسبة ل اذن :³ =


1ج)نبین أن: 0nu + ؟؟؟؟؟³

0nuحسب افتراض الترجع لدینا : 1اذن : ³ 0nu + ³


3nuنبین أن : £n" Î¥


0لدینا 1 3u = 0nلنسبة ل العبارة صحیحة بااذن :£ =

3nuب)نفترض أن: £

1ج)نبین أن: 3nu + ؟؟؟؟؟£

نحسب الفرق( ) ( ) ( )

1

3 3 5 3 2 35 3 2 63 33 3 3 3

n n nn nn

n n n n

u u uu uuu u u u+

+ - + - -+ - +- = - = = =

+ + + +

3nuو حسب افتراض الترجع لدینا : £

3اذن : 0nu - 3و£ 0nu + 0nuألن < و منھ ³13 0nu +- ³


)) دراسة رتابة المتتالیة 2 )nu : نحسب1n nu u+ اإلشارة :وندرس-

( ) 2

1

5 3 35 3 2 33 3 3

n n nn n nn n n

n n n


+ - ++ - + +- = - = =

+ + +

2نعمل 2 3n nu u- + Dنحسب الممیز +

4 12 16 0D= + = ھناك جذرین :<1

2 4 12

x - += =-

-و

22 4 3

2x - -= =

-)ومنھ التعمیل : ) ( )2 2 3 3 1n n n nu u u u- + + =- - +

)ومنھ : ) ( )1

3 13

n nn n

n

u uu u

u+

- - +- =

+

0nuلدینا : 3اذن : ³ 0nu + 1و ³ 0nu + ³3nuلدینا :و 3اذن : £ 0nu - £

)ومنھ: )( )1

3 10

3n n

n nn

u uu u

u+

- - +- = ³

+)لي وبالتا )nu تزایدیة


3(( )

( )1

11

5 3 3 35 3 2 633 3 3 3 2 6

5 3 6 65 3 31 6 613 33

n nn n

n n n n nn

n nn nn n

n nn

u uu uu u u u uv u uu uu u

u uu

++

+

+ - ++ --

- + + + -= = = = =

+ ++ + ++ +++ ++

( )( )1

2 3 31 16 1 3 1 3

n nn n

n n

u uv vu u+

- -= = =

+ +


q=

0وحدھا األول 0

0

3 1 3 11 1 1

uvu- -

= = = -+ +



0 1v = -

)فان: ) 1 113 3

n n

nv æ ö æ ö= - ´ = -ç ÷ ç ÷è ø è ø

:nبداللة nuاستنتاج)لدینا: ) 33 1 3

1n

n n n n n n n nn

uv u v u v u u vu-

+ - = - Û + = - Û =+

( )1 3n n nu v v- = - - Û3 31 1

n nn n

n n

v vu uv v

+ - -= Û = Û

- -

1ونعلم أن : 3

n

nv æ ö= -ç ÷è ø

13اذن3113

n

n nu

æ ö-ç ÷è ø=æ ö+ ç ÷è ø


في درس الحساب المثلثي(ملخص)6مذكرة رقم األھداف و القدرات المنتظرة من الدرس :

I.صیغ التحویل( )C دائرة مثلثیة مركزھاO

( )0; ;i jr r

معلم متعامد ممنظم

aللنقطة أفصول منحنيMوb أفصول منحني للنقطةM ¢

( )cos ;sinOM a auuuur

)و )cos ;sinOM b b¢uuuur

cos cos sin sinOM OM a b a b¢ = +uuuur uuuur

g�

cos( ) os( )OM OM OM OM a b c a b¢ ¢= - = -uuuur uuuur uuuur uuuur

g�

)osنستنتج :�و �من : ) cos cos sin sinc a b a b a b- = +�یمكن أن نبین أیضا أن :

os( ) cos cos sin sinc a b a b a b+ = -�

sin( ) sin cos sin cosa b a b b a+ = +�

sin( ) sin cos sin cosa b a b b a- = -�

cosأحسبمثال:12p وsin

12p

4أجوبة: 3 4 3cos cos cos cos12 12 12 12 3 4p p p p p p p-æ ö æ ö æ ö= = - = -ç ÷ ç ÷ ç ÷

è ø è ø è ø

os( ) cos cos sin sin3 4 3 4 3 4

c p p p p p p- = +

یمكننا استعمال نتائج الجدول التالي:

1 2 3 2 2 6 2 6os12 2 2 2 2 4 4 4

c p += ´ + ´ = + =

sin( ) sin cos sin cos3 4 3 4 4 3p p p p p p- = -�

3 2 2 1 6 2 6 2sin12 2 2 2 2 4 4 4p -= ´ - ´ = - =

تابع صیغ أخرى: sin( ) sin cos sin costan( )os( ) cos cos sin sin

a b a b b aa bc a b a b a b

+ ++ = =

+ -cosنقسم البسط والمقام على : cosa b:فنجد

sin cos sin cos sin cos sin cossin( ) cos cos cos cos cos costan( ) cos cos sin sin cos cos sin sinos( )

cos cos cos cos cos cos

a b b a a b b aa b a b a b a ba b a b a b a b a bc a b

a b a b a b

+++

+ = = =-+ -

tan tantan( )1 tan tan

a ba ba b+

+ =- ´

�

tan: ویمكننا أیضا أن نبین أن tantan( )1 tan tan

a ba ba b-

- =+ ´

�

tanأحسبمثال: 12p

tanالجواب: tan 3 13 4tan tan12 3 4 1 31 tan tan

3 4

p pp p p

p p

- -æ ö= - = =ç ÷ +è ø + ´

( )( )( )

( )( )

2 2

2 2

3 1 3 1 4 2 3tan 2 312 23 1 3 1 3 1

p - - -= = = = -

+ - -

:1تمرین5cosأحسب .3

12p 5وsin

12p 5وtan

12p

7cosأحسب .412p 7وsin

12p7وtan

12p

cosبین أن : .5 cos cos3 3

x x xp pæ ö æ ö= + + -ç ÷ ç ÷è ø è ø

5)1أجوبة: 2 3 2 3cos cos cos cos12 12 12 12 6 4p p p p p p p+æ ö æ ö æ ö= = + = +ç ÷ ç ÷ ç ÷

è ø è ø è ø


c p p p p p p+ = -

5 3 2 1 2 6 2 6 2os12 2 2 2 2 4 4 4

c p -= ´ - ´ = - =

sin( ) sin cos sin cos6 4 6 4 4 6p p p p p p+ = +�

5 1 2 2 3 2 6 6 2sin12 2 2 2 2 4 4 4p += ´ + ´ = + =

2p

3p

4p

6p0

132

22

12

0sinx

012

22

32

1cosx




( ) ( )2 25 6 2sin 6 2 6 25 6 212 4tan 512 6 2 46 2 6 2cos12 4

pp

p

++ ++

= = = = =-- -

( )26 25 8 2 12 8 4 3tan 2 3

12 4 4 4p + + += = = = +

2(7 4 3 4 3cos cos cos cos12 12 12 12 3 4p p p p p p p+æ ö æ ö æ ö= = + = +ç ÷ ç ÷ ç ÷

è ø è ø è ø


c p p p p p p+ = -

7 1 2 3 2 2 6 2 6os12 2 2 2 2 4 4 4

c p -= ´ - ´ = - =

sin( ) sin cos sin cos3 4 3 4 4 3p p p p p p+ = +�

7 3 2 2 1 6 2 6 2sin12 2 2 2 2 4 4 4p += ´ + ´ = + =

( ) ( )2 27 6 2sin 6 2 6 27 6 212 4tan 712 2 6 46 2 2 6cos12 4

pp

p

++ ++

= = = = =- -- -

7 8 2 12 8 4 3tan 2 312 4 4p + += = =- -

- -

3(os( ) os( ) cos3 3

c x c x xp p+ + - ؟؟=

os( ) os( ) cos cos sin sin cos cos sin sin3 3 3 3 3 3

c x c x x x x xp p p p p p+ + - = - + +

1 3 1 3 1cos sin cos sin 2 cos cos2 2 2 2 2

x x x x x x= - + + = ´ =

2بین أن : :2تمرین 2sin( ) sin( ) sin 03 3

x x xp p+ + - + =

لدینا الجواب :2 2 2sin( ) sin cos sin cos sin cos sin cos3 3 3 3 3

x x x x xp p p p pp pæ ö æ ö+ = + = - + -ç ÷ ç ÷è ø è ø

2sin( ) sin cos sin cos3 3 3

x x xp p p+ =- +

2 2 2sin( ) sin cos sin cos sin cos sin cos3 3 3 3 3

x x x x xp p p p pp pæ ö æ ö- = - = - - -ç ÷ ç ÷è ø è ø

2sin( ) sin cos sin cos3 3 3

x x xp p p- =- -

2اذن : 2sin( ) sin( ) sin 2sin cos sin sin sin 03 3 3

x x x x x x xp p p+ + - + =- + =- + =

0علما أن: : 3تمرین2

a pp p0و

2b p

p p 1وcos sin2

a b= =

sinأحسب .1 a وcosb)أحسب .2 )sin a b+

cosbحساب )1أجوبة:

2نعلم أن : 2cos sin 1b b+ 2یعني = 2cos 1 sinb b= یعني -2

2 1cos 12

b æ ö= -ç ÷è ø

2یعني 3cos4

b= 3یعنيcos2

b= 3أوcos2

b=- : 0ونعلم أن2

b pp p

3cosاذن : 2

b=

sinaحساب

2علم أن : ن 2cos sin 1a a+ 2یعني = 2sin 1 cosa a= یعني -2

2 1sin 12

a æ ö= -ç ÷è ø

2یعني 3sin4

a= 3یعنيsin2

a= 3أوsin2

a=- : 0ونعلم أن2

a pp p

3sinاذن : 2

a=

)sin:)نعلم أن2 ) sin cos sin cosa b a b b a+ = +

3اذن : 3 1 1 3 1sin( ) 12 2 2 2 4 4

a b+ = ´ + ´ = + =

II.نتائج صیغ التحویل و صیغ أخرى2 2os(2 ) cos sinc a a a= 2os(2و - ) 1 2sinc a a= -

2os(2 ) 2cos 1c a a= 2اذن : - 1 os2cos2

c aa +=

2 1 os2sin2

c aa -2و = 2cos sin 1a a+ =

sin(2 ) 2sin cosa a a= 2و ´2

11 tancos

aa

+ =

1sinعلما أن : :4تمرین3

x ;0و =2

x pù éÎú êû ëos(2أحسب )c xوsin(2 )x2os(2نعلم أن :أجوبة: ) 1 2sinc x x= -

اذن : 21 2 7os(2 ) 1 2 1

3 9 9c x æ ö= - = - =ç ÷

è øsin(2نعلم أن :و ) 2sin cosx x x= cosxاب :ومنھ یجب حس´

2لدینا : 2cos sin 1x x+ 2یعني = 2cos 1 sinx x= یعني -2

2 1cos 13

b æ ö= -ç ÷è ø

2یعني 8cos9

x= 8یعنيcos3

x= 8أوcos3

x=- : 0ونعلم أن;2

x pù éÎú êû ë

8cosاذن : 3

x= : 1ومنھ 8 2 8sin(2 ) 23 3 9

x = ´ =

cosأحسب : 5تمرین8p وsin

8p2( الحظ أن

4 8p p= ´(

cosحساب :أجوبة: 8p

2نستعمل العالقة : 1 os2cos2

c aa +ونضع مثال : =

8a p=

2ونجد : 1 os2

8cos8 2

c pp +2یعني=

1 os4cos

8 2

c pp +2یعني = 2 2cos

8 4p +=

2یعني 2cos8 4p +2أو = 2cos

8 4p +=-

0ولكننا نعلم أن : 8 2p p£ cosاذن : £ 0

8p2ومنھ : ³ 2 2 2cos

8 4 2p + += =

sinحساب :8p : 2یمكننا استعمال احدى القواعد التالیة 1 os2sin

2c aa -

أو =

sin(2 ) 2sin cosa a a= 2أو´ 2cos sin 1a a+ =

2لدینا : 1 os2sin2

c aa -ونضع مثال : =

8a p=

2ونجد : 1 os2

8sin8 2

c pp -2یعني =

1 os4sin

8 2

c pp -2یعني = 2 2sin

8 4p -=

2یعني 2sin8 4p -2أو = 2sin

8 4p -=-


0ولكننا نعلم أن : 8 2p p£ sinاذن : £ 0

8p2ومنھ : ³ 2 2 2sin

8 4 2p - -= =

sin3بین أن : : 6تمرین cos3 2sin cos

x xx x- =0;

2x pù é" Îú êû ë

)الجواب : )sin 3sin3 cos3 sin3 cos sin cos3sin cos sin cos sin cos

x xx x x x x xx x x x x x

--- = =

( )sin 3 sin2 2sin cos 2sin cos sin cos sin cos

x x x x xx x x x x x-

= = = =

"xبین أن : :7تمرین ÎR1 (2 2sin 2 cos2 1 2cos cos2x x x x- - =- ´2 (2 22sin 12cos 5cos2 7x x x+ = +

الجواب :1(( )22 2sin 2 cos2 1 2cos sin 2cos 1 1x x x x x- - = - + -

2 2 2 24cos sin 2cos 2cos cos2x x x x x- =-2 (( )2 2 2 2 22sin 12cos 2sin 12 1 sin 10sin 12x x x x x+ = + - =- +

( ) ( )10 1 cos2 12 5 1 cos2 12 5cos2 72

x x x-= - + =- - + = +

"xبین أن : :8تمرین ÎR1 (( )2sin3 sin 3 4sinx x x= ´ -

2(( )2cos3 cos 4cos 3x x x= -

3 (4 2os(4 ) 8cos 8cos 1c x x x= - +4 (( )3sin(4 ) 4sin 2cos cosx x x x= -

5(( )3 1cos 3cos cos34

x x x= +

))1أجوبة : )sin3 sin 2 sin2 cos cos2 sinx x x x x x x= + = +

( ) ( ) ( )2 2 2 22sin cos 1 2sin sin 2sin 1 sin 1 2sin sinx x x x x x x x= + - = - + -

( )3 3 3 22sin 2sin sin 2sin 3sin 4sin sin 3 4sinx x x x x x x x= - + - = - = -

2(( )cos3 cos 2 cos cos2 sin 2 sinx x x x x x x= + = -

( )2 3 2cos 2cos 1 sin 2cos sin 2cos cos 2cos sinx x x x x x x x x= - + ´ = - -

( )3 2 3 22cos cos 2cos 1 cos 2cos cos 2cos 2cosx x x x x x x x= - - - = - - +

( )3 24cos 3cos cos 4cos 3x x x x= - = -

3(( )22 2os(4 ) os(2 2 ) 2cos 2 1 2 2cos 1 1c x c x x x= ´ = - = - -

( )4 2 4 22 4cos 4cos 1 1 8cos 8cos 1x x x x= - + - = - +

4(( )2sin(4 ) sin(2 2 ) 2sin2 cos2 2 2sin cos 2cos 1x x x x x x x= ´ = = ´ -

( ) ( )2 3sin(4 ) 4sin cos 2cos 1 4sin 2cos cosx x x x x x x= - = -

5(( )3 1cos 3cos cos34

x x x= ؟؟+

:1طریقة

( ) ( )( ) ( )1 1 13cos cos3 3cos cos 2 3cos cos cos2 sin sin24 4 4

x x x x x x x x x x+ = + + = + -

( )( )21 3cos cos 2 cos 1 2sin sin cos4

x x x x x x= + - -

( ) ( )3 3 3 31 12cos cos 2cos 2cos 3cos 4cos cos4 4

x x x x x x x= - - + + = =

نستعمل صیغة تحویل جذاء الى مجموع:2طریقة

( )3 2 1 cos2 1cos cos cos cos cos cos2 cos2 2

xx x x x x x x+= ´ = ´ = + ´

( )3 1 1 1 1 1 3 1cos cos cos3 cos cos cos3 cos cos cos32 2 2 4 4 4 4

x x x x x x x x xæ ö= + + = + + = +ç ÷è ø

)ومنھ : )3 1cos 3cos cos34

x x x= +

تابع صیغ أخرى:

2

2tantan(2 )1 tan

aaa

=-

وفق شروط محددة

2

2tan2tan( )

1 tan2

x

xx

æ öç ÷è ø=æ ö- ç ÷è ø

2و 2cos cos sin2 2x xx= sinو - 2sin cos

2 2x xx= ´

2

2

1 tan2cos

1 tan2

x

xx

æ ö- ç ÷è ø=æ ö+ ç ÷è ø

و 2

2

2tan2sin

1 tan2

x

xx

æ öç ÷è ø=æ ö+ ç ÷è ø

tanبوضع :2xt æ ö= ç ÷

è øبحیثRمنxو لكل

2x kp

p¹ +

2xو kp p¹ ¢kÎو لكل +دینا :ل

2

2sin1

txt

=+

و2

2

1cos1

txt

-=

+و

2

2tan1

txt

=-

an:مثال:علما أن 32xt æ ö=ç ÷è ø

ant:أحسب x وsinx وcosx

)علما أن : :9تمرین ) sin2 sinP x x x= )و - ) 1 cos cos2Q x x x= + +

)بین أن : ) ( )cos 2cos 1Q x x x= )و أن + ) ( )sin 2cos 1P x x x= -

الجواب :( ) ( )2 21 cos cos2 1 cos 2cos 1 cos 2cos cos 1 2cosQ x x x x x x x x x= + + = + + - = + = +

( ) ( )sin2 sin 2sin cos sin sin 2cos 1P x x x x x x x x= - = - = -

III.تحویل جداء إلى مجموع:

( ) ( )1cos cos cos cos2

a b a b a b= + + -é ùë û

( ) ( )1sin sin cos cos2

a b a b a b= - + - -é ùë û

( ) ( )1sin cos sin sin2

a b a b a b= + + -é ùë û

( ) ( )1cos sin sin sin2

a b a b a b= - + - -é ùë û

أكتب على شكل مجموع :أمثلة:1(cos2 sin4x x´2(sin sin3x x´3(cos4 cos6x x´

أجوبة : 1(( ) ( )( ) ( )( )1 1cos2 sin4 sin 2 4 sin 2 4 sin6 sin 2

2 2x x x x x x x x´ = + - - = - -

( )1 1 1sin 6 sin 2 sin 6 sin 22 2 2

x x x x= + = +

2(( ) ( )( ) ( )( )1 1sin sin3 cos 3 cos 3 cos4 cos 22 2

x x x x x x x x´ = + - - = - -

( )( ) ( )1 1 1sin sin3 cos4 cos 2 cos4 cos 22 2 2

x x x x x x´ = - = -

3(( ) ( )( ) ( )( )1 1cos4 cos6 cos 4 6 cos 4 6 cos4 cos 22 2

x x x x x x x x´ = + + - = - -

( )1 1cos 4 cos 6 cos 4 cos 22 2

x x x x´ = -


IV.:تحویل مجموع إلى جداءcos cos 2cos cos

2 2p q p qp q + -æ ö æ ö+ = ç ÷ ç ÷

è ø è ø

cos cos 2sin sin2 2

p q p qp q + -æ ö æ ö- =- ç ÷ ç ÷è ø è ø

sin sin 2sin cos2 2

p q p qp q + -æ ö æ ö+ = ç ÷ ç ÷è ø è ø

sin sin 2cos sin2 2

p q p qp q + -æ ö æ ö- = ç ÷ ç ÷è ø è ø

sin2مثال :أكتب على شكل جذاء: sin4x x+

2الجواب : 4 2 4sin2 sin4 2sin cos2 2

x x x xx x + -æ ö æ ö+ = ç ÷ ç ÷è ø è ø

:10تمرین3بین .1 7 5 2sin sin 2sin cos

11 11 11 11p p p pæ ö æ ö+ = ç ÷ ç ÷

è ø è ø

3بین .2 7 5 2sin sin 2cos sin11 11 11 11p p p pæ ö æ ö- =- ç ÷ ç ÷

è ø è ø

استنتج أن : .353 7 tansin sin 1111 11

3 7 2sin sin tan11 11 11

pp p

p p p

æ ö+ ç ÷

è ø=-æ ö- ç ÷è ø

) 1أجوبة :3 7 3 7

3 7 11 11 11 11sin sin 2sin cos11 11 2 2

p p p pp p

æ ö æ ö+ -ç ÷ ç ÷+ = ç ÷ ç ÷

ç ÷ ç ÷è ø è ø

3 7 5 2 5 2sin sin 2sin cos 2sin cos11 11 11 11 11 11p p p p p pæ ö æ ö+ = - =ç ÷ ç ÷

è ø è ø

2 (3 7 3 7

3 7 11 11 11 11sin sin 2cos sin11 11 2 2

p p p pp p

æ ö æ ö+ -ç ÷ ç ÷- = ç ÷ ç ÷

ç ÷ ç ÷è ø è ø

3 7 5 2 5 2sin sin 2cos sin 2cos sin11 11 11 11 11 11p p p p p pæ ö æ ö- = - =-ç ÷ ç ÷

è ø è ø

3(5 23 7 2sin cossin sin 11 1111 11

3 7 5 2sin sin 2cos sin11 11 11 11

p pp p

p p p p

æ ö æ ö+ ç ÷ ç ÷

è ø è ø=-æ ö æ ö- - ç ÷ ç ÷è ø è ø

5 2 5sin cos an5 111 11 11tan

5 2 2 211cos sin tan an11 11 11 11

t

t

p p pp

p p p p

æ ö æ ö æ öç ÷ ç ÷ ç ÷æ öè ø è ø è ø=- ´ =- ´ =-ç ÷æ ö æ ö æ ö æ öè øç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø è ø

cos2بین أن : :11رینتم cos4 tan3 tancos2 cos4

x x x xx x-

= ´+

)الجواب : )2 4 2 4cos2 cos4 2sin sin 2sin 3 sin2 2

x x x xx x x x+ -æ ö æ ö- =- =ç ÷ ç ÷è ø è ø

2 4 2 4cos2 cos4 2cos cos 2cos3 cos2 2

x x x xx x x x+ -æ ö æ ö+ =- =ç ÷ ç ÷è ø è ø

)مالحظة : )cos cosx x- )و = )sin sinx x- =-

cos2 cos4 2sin3 sin sin3 sin tan3 tancos2 cos4 2cos3 cos cos3 cos

x x x x x x x xx x x x x x-

= = ´ = ´+

2بین أن : :12تمرین 25 3cos cos sin4 sin2 2x x x x- =- ´

2الجواب : 25 3 5 3 5 3cos cos cos cos cos cos2 2 2 2 2 2x x x x x xæ öæ ö- = + -ç ÷ç ÷

è øè ø

( )5 3 5 3

5 3 2 2 2 2cos cos 2cos cos 2 cos 2 cos2 2 2 2 2

x x x xx x xx

æ ö æ ö+ -ç ÷ ç ÷ æ ö+ = =ç ÷ ç ÷ ç ÷è øç ÷ ç ÷è ø è ø

( )5 3 5 3

5 3 2 2 2 2cos cos 2sin sin 2sin 2 sin2 2 2 2 2

x x x xx x xx

æ ö æ ö+ -ç ÷ ç ÷ æ ö- = - = -ç ÷ ç ÷ ç ÷è øç ÷ ç ÷è ø è ø

)ومنھ : ) ( )2 25 3cos cos 2cos 2 cos 2sin 2 sin2 2 2 2x x x xx xæ ö æ ö- = ´-ç ÷ ç ÷

è ø è ø

( ) ( ) ( )2cos 2 sin 2 2cos sin sin 4 sin2 2x xx x x xæ ö æ ö=- ´ =-ç ÷ ç ÷

è ø è ø):بین أن ::13تمرین )sin sin2 sin3 2sin cos 1 2cosx x x x x x+ + = +

sinالجواب : sin2 sin3 sin2 sin sin3 sin2 2sin2 cosx x x x x x x x x+ + = + + = +( ) ( )sin2 2sin2 cos sin2 1 2cos 2sin cos 1 2cosx x x x x x x x= + = + = +

V.یغة :تحویل الصcos sina x b x+cos:1مثال sinx x-

1a= 1وa=-.

)نحسب : )22 2 21 1 2a b+ = + - =

2 2cos sin 2 cos sin 2 cos cos sin sin2 2 4 4

x x x x x xp pæ ö æ ö- = - = -ç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø

]حل في :2مثال ]0;2p: 3المعادلةcos sin 3x x+ =

3cosنحول أوال : الجواب: sinx x+3a= 1وa=.

22نحسب : 2 23 1 4 2a b+ = + = =

3 13cos sin 2 cos sin 2 cos cos sin sin2 2 6 6

x x x x x xp pæ ö æ ö+ = + = +ç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø

3cos sin 2cos6

x x x pæ ö+ = -ç ÷è ø

2cos 3 3cos sin 36

x x xpæ ö- = Û + =ç ÷è ø

3cos cos 2cos 36 2 6 6

x xp p pæ ö æ ö æ ö- = = Û - =ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø

2یعني: 6 6

x kp p p- = 2أو +6 6

x kp p p- = - +

2یعني: 3

x kp p= 2xأو + kp=

;0ومنھ : ;23

S p pì ü= í ýî þ

c o s s in 2 c o s4

x x xpæ ö- = +ç ÷è ø

( )sin2 sin4 2sin3 cos 2 2sin3 cos2x x x x x x+ = - =


في درس النهايات7مذكرة رقم الدرس :األھداف و القدرات المنتظرة من

I.نھایة منتھیة لدالة نقطة)كالتالي:Rالدالة العددیة المعرفة على fلتكن : 1مثال ) 2f x x=

الكتابة : 0

lim ( )x

f x®

)ل 0إلىxعندما یؤول تقرأ النھایة )f x

و لدینا 0 0

lim ( ) lim 2 0x x

f x x® ®

= =

•: ات اعتیادیةنھای0

lim 0x

x®

=•2

0lim 0x

x®

=

•3

0lim 0x

x®

=•0

lim 0n

xx

®=n *" Î¥

أحسب النھایات التالیة ::1تمرین1 (( )2

1lim 3 3x

x x®-

+ -2 (21

5 1lim3x

xx x®

--

))1أجوبة: ) ( ) ( )22

1lim 3 3 3 1 3 1 3 1 3 1x

x x l®-

+ - = + - - - = + - - = - =

2 (( ) ( )221

5 1 5 1 1 4lim 13 3 13 1 1x

x lx x®

- ´ -= = = =

- +- - -

II. أ و¥+نھایة غیر منتھیة لدالة عند-¥)كالتالي: Rالدالة العددیة المعرفة على fلتكن ) 2f x x=

امأل الجدول التالي :x10000

100

1010-1-10

-1000

-10000

( )f x

)فان xنالحظ أنھ عندما تكبر )f x : تكبر أیضا نكتب( )limx

f x®+¥

=+¥

)فان xنالحظ أنھ عندما تصغر )f x : تكبر ونكتب( )limx

f x®-¥

=+¥

lim•نھایات اعتیادیة: x

x®+¥

= +¥•2limx

x®+¥

= +¥•3lim

xx

®+¥= +¥

•lim n

xx

®+¥= +¥ n *" Î¥•lim

xx

®-¥= -¥ 2lim

xx

®-¥= +¥

•3limx

x®-¥

=-¥•lim n

xx

®-¥lim•زوجيnكانإذا ¥+= n

xx

®-¥=-¥

فردي nإذا كان6lim) 1:أحسب النھایات التالیة:2تمرین

xx

®+¥2 (2014lim

xx

®-¥

3 (2015limx

x®-¥

4 (9lim 7x

x®-¥

-

6lim)1أجوبة:x

x®+¥

= +¥2(2014limx

x®-¥

= +¥

3 (2015limx

x®-¥

= -¥4 (9lim 7x

x®-- = +¥

III. وأ ¥+نھایة منتھیة لدالة عند-¥)كالتالي: Rالدالة العددیة المعرفة على fلتكن ) 1f x

x=

امأل الجدول التالي :x

10000

1001010-1

-10

-1000

-10000

( )f x

)فان xنالحظ أنھ عندما تكبر )f xصفر تقترب من ال)و نكتب : )lim 0

xf x +

®+¥=

)فان xنالحظ أنھ عندما تصغر )f x تقترب من الصفر)نكتب : )lim 0

xf x -

®-¥=

1lim•نھایات اعتیادیة: 0x x

+

®+¥=•1lim 0

x x-

®-¥=

•1lim 0nx x®+¥= n *" Î¥•1lim 0nx x®-¥

= n *" Î¥

عددا حقیقیاlدالة عددیة و fلتكن خاصیة :) فان ھده النھایة ¥-(أو في ¥+فيlتقبل نھایة fإذا كانت

وحیدة.)1أحسب النھایات التالیة ::3تمرین

3

1limx x®+¥

2(5

1limx x®-¥




3 (7

5limx x®-¥

4 (5

4limx x®+¥

-5 (2009

12limx x®+¥

األجوبة : )3

1lim 0x x

+

®+¥=2(

5

1lim 0x x

-

®-¥=

3 (7

5lim 0x x

-

®-¥=4(

5

4lim 0x x

-

®+¥

-=5 (

2009

12lim 0x x

+

®+¥=

IV. النھایة الالنھائیة لدالة في نقطة•نھایات اعتیادیة:

0

1limx x+®

0إلى xوتقرأ النھایة عندما یؤول¥+=

على الیمین•

0

1limx x-®

= على الیسار0إلى xعندما یؤولوتقرأ النھایة ¥-

) 1:أحسب النھایات التالیة:4تمرین30

1limx x+®

2 (30

5limx x-®

-3 (

50

9limx x+®

4 (40

12limx x-®

-5 (0

1limx x+®

-6 (0

1lim 3 7x

xx+®

+ +

) 1ة : األجوب30

1limx x+®

= +¥2 (30

5limx x-®

- = -¥3 (

50

9limx x+®

+¥

4 (40

12limx x-®

-=-¥5 (

0

1limx x+®

-=-¥6 (

0

1lim3 7 0 7x

xx+®

+ + = + +¥=+¥

V.الیمین والنھایة على الیسار لدالة في نقطة ىالنھایة عل)إذا كانت§ )f xیؤول إلىlعندما یؤولx إلىaعلى الیمین

): "فإننا نكتب )limx a

f x l+®

)" أو "= )limx ax a

f x l®

=f

"

)إذا كانت§ )f x یؤول إلىl عندما یؤولx إلىaعلى الیسارlimفإننا نكتب : " ( )

x af x l

-®lim" أو "= ( )

x ax a

f x l®<

="

نھایات اعتیادیة: 0

0

1limxx x®

=+¥f

•0

0

1limxx x®

= -¥p

•

00

1lim nxx x®

= +¥f

n *" Î¥•0

0

lim 0xx

x®

=f

•0

0

1limxx x®

=+¥f

زوجي غیر منعدم , فانnإذا كان •0

0

1lim nxx x®

= +¥p

فردي غیر منعدم , فانnإذا كان •0

0

1lim nxx

x®= -¥

p

)1أحسب النھایات التالیة::مثال3

3 1lim2 6x

xx+®

+-

2 (3

3 1lim2 6x

xx-®

+-

أجوبة : 3

lim 3 1 9 1 10x

x+®

+ = + و=3

lim 2 6 0x

x+®

- =

: ومنھ 3

lim 2 6 0x

x+

+

®- و بالتالي :=

3

3 1lim2 6x

xx+®

+= +¥

-

2(3

lim 2 6 0x

x-

-

®- بالتالي :و =

3

3 1lim2 6x

xx-®

+= -¥

-)1أحسب النھایات التالیة::5تمرین

2

3 8lim2 4x

xx+®

--

و 2

3 8lim2 4x

xx-®

--

2(3

4lim2 6x

xx+®

-- +

و3

4lim2 6x

xx-®

-- +

3 (21

9lim2 3 1x

xx x+®

-- + -

و21

9lim2 3 1x

xx x-®

-- + -

4(2

2

5 1lim2x

xx±®-

- ++

5(2

5 20lim2 4x

xx±®

-- +

)1أجوبة : 2

lim 3 8 2x

x+®

- = و-2

lim 2 4 0x

x+®

- =

ومنھ : 2

lim 2 4 0x

x+

+

®- و بالتالي : =

2

3 8lim2 4x

xx+®

-= -¥

-

2lim 2 4 0x

x-

-

®- و بالتالي : =

2

3 8lim2 4x

xx+®

-= +¥

-2(

3lim 4 1x

x+®

- = و-3

lim 2 6 0x

x+®- + =

ومنھ : 3

lim 2 6 0x

x+

-

®- + بالتالي :و =

3

4lim2 6x

xx+®

-= +¥

- +

3lim 2 6 0x

x-

+

®- + بالتالي :و =

3

4lim2 6x

xx-®

-= -¥

- +3 (

21

9lim2 3 1x

xx x+®

-= +¥

- + -

1lim 9 8x

x+®

- = 2و-

1lim 2 3 1 0x

x x+®- + - =

22ندرس اشارة 3 1x x- + -22جذرللحدودیة1نالحظ أن : 3 1x x- + -

1x:اذن : ھي تقبل القسمة على -وباستعمال تقنیة القسمة االقلیدیة

):نجد أن )( )22 3 1 1 2 1x x x x- + - = - - +

22ومنھ : 3 1 0x x- + - )یعني = ) ( )1 2 1 0x x- - + 11یعني=2

x أو x= =

ومنھ : 21

9lim2 3 1x

xx x+®

-= +¥

- + -و

21

9lim2 3 1x

xx x-®

-= -¥

- + -

4(2

2

5 1lim2x

xx±®-

- ++

2لدینا

2lim 5 1 19

xx

+®-- + = و-

2lim 2 0

xx

+®-+ =

ومنھ : 2

2

5 1lim2x

xx+®-

- += -¥

+و

2

2

5 1lim2x

xx-®-

- += +¥

+لدینا )5

2lim 5 20 10x

x+®

- = و-2

lim 2 4 0x

x+®- + =

ومنھ : 2

5 20lim2 4x

xx+®

-= +¥

- +و

2

5 20lim2 4x

xx-®

-= -¥

- +VI.العملیات على النھایات

¢lوlو¥-أو¥+عدد حقیقي أو یساويaفي كل ما یلي حقیقیانوھذه العملیات تبقى صالحة على الیمین و الیسارعددان

النھایة و الجمع:.1


أحسب النھایات التالیة :مثال:0

1lim 3 7x

xx+®

+ +

الجواب :0

lim 3 0x

x+®

و =0

lim 7 7x +®

و=0

1limx x+®

= ومنھ:¥+

0

1lim 3 7x

xx+®

+ + = +¥

نھایة و الضرب:ال.2

4lim)1أحسب النھایات التالیة : أمثلة: 5x

x®+¥

2lim) 2و x

x x®+¥

-

3 (( ) ( )2008 20092 3lim 1 1x

x x®-¥

- ´ +4(( )2 1lim 1x

xx®-¥

+ ´5 (( )limx

x x®+¥

-

)) 1أجوبة : )4lim 5 5x

x®+¥

= ´ +¥ = +¥

2(2limx

x x®+¥

- ¥-¥+:نحصل عن شكل غ محدد من قبیل¥-¥+=

نرفع ال ش غ م مثال بالتعمیل :( )2lim lim 1

x xx x x x

®+¥ ®+¥- = limلدینا : -

xx

®+¥= و ¥+

lim 1x

x®+¥

- = +¥

2limومنھ : x

x x®+¥

- = +¥

3 (( )20082lim 1x

x®-¥

- )و ¥+= )20093lim 1x

x®-¥

+ ومنھ :¥-=

( ) ( )2008 20092 3lim 1 1x

x x®-¥

- ´ + =-¥

4(( )2lim 1x

x®-¥

+ 1limو¥+= 0x x

-

®-¥نحصل عن شكل غ محدد من قبیل :=

0¥ ´)نرفع ال ش غ م مثال بالنشر : )2 1 1lim 1 lim 0

x xx x

x x®-¥ ®-¥+ ´ = + =-¥+ =-¥

5(limx

x®+¥

= limو¥+x

x®+¥

- = نحصل عن شكل غ محدد من قبیل :¥-

+¥-¥)نرفع ال ش غ م مثال بالتعمیل : ) ( )lim lim 1

x xx x x x

®+¥ ®+¥- = - = +¥

النھایة و المقلوب:.3

أحسب النھایات التالیة :أمثلة:0

1 1lim3 7x x x+®

++

و 2

1 1lim7x x x®-¥+

+

و0

1limx x®

) لدینا : 1أجوبة :0

1 1lim3 7 7x x+®

=+

و 0

1limx x+®

=+¥

ومنھ : 0

1 1lim3 7x x x+®

+ =+¥+

2(1lim 07x x®-¥=

+و

2

1lim 0x x®-¥

ومنھ :=2

1 1lim 07x x x®-¥+ =

+

3(0

lim 0x

x +

®ومنھ :=

0

1limx x®

= +¥

النھایة و الخارج:.4

)1أحسب النھایات التالیة :أمثلة:1

4 5lim4x

xx®

--

2(2

2

4lim2x

xx®

--

) لدینا : 1أجوبة :1

lim 4 5 1x

x®

- = و -1

lim 4 3x

x®

- =

ومنھ : 1

4 5 1lim4 3x

xx®

- = --

2(2

2

4lim2x

xx®

--

2لدینا :

2lim 4 0x

x®

- و =2

lim 2 0x

x®

- =

0نحصل عن شكل غ محدد من قبیل :0

( )( )2 2 2

2 2 2 2

2 24 2lim lim lim lim 2 42 2 2x x x x

x xx x xx x x® ® ® ®

- +- -= = = + =

- - -

2)1أحسب النھایات التالیة ::6تمرین

3

9lim9x

xx®

--

2 (2

12

4 1lim2 1x

xx®

--

3 (23

3lim2 3x

xx x®

-- -

4 (2

21

2 5 3lim2 3x

x xx x®

- ++ -

5 (2

22

3 5 2lim2 5 2x

x xx x®

- -- +

6 (3 2

21

2 3lim2 3x

x xx x®

+ -+ -

7 (4

2

16lim2x

xx®

--

8(0

9limx x®

-

2)1أجوبة :

3

9lim3x

xx®

--

2لدینا :

3lim 9 0x

x®

- و =3

lim 3 0x

x®

- =


نتخلص من ال ش غ م مثال بالتعمیل ثم باالختزال:( ) ( )2 2 2

3 3 3 3

3 39 3lim lim lim lim 3 63 3 3x x x x

x xx x xx x x® ® ® ®

- +- -= = = + =

- - -2 (2

12

4 1lim2 1x

xx®

--

2لدینا : 12

lim 4 1 0x

x®

- و =12

lim 2 1 0x

x®

- =


نتخلص من ال ش غ م مثال بالتعمیل ثم باالختزال:( ) ( ) ( )2 22

1 1 1 12 2 2 2

2 1 2 1 2 14 1lim lim lim lim2 1 22 1 2 1 2 1x x x x

x x xx xx x x® ® ® ®

- - +-= = = + =

- - -

3 (23

3lim2 3x

xx x®

-- -

لدینا :3

lim 3 0x

x®

- 2و =

3lim 2 3 0x

x x®

- - =


نتخلص من ال ش غ م مثال بالتعمیل ثم باالختزال:2جذرللحدودیة 3نالحظ أن : 2 3x x- -

3xاذن : ھي تقبل القسمة على : -)د أن :وباستعمال تقنیة القسمة االقلیدیة نج )( )2 2 3 3 1x x x x- - = - +

( ) ( )23 3 3

3 3 1 1lim lim lim2 3 3 1 1 4x x x

x xx x x x x® ® ®

- -= = =

- - - + +

4 (2

21

2 5 3lim2 3x

x xx x®

- ++ -

2لدینا :

1lim2 5 3 0x

x x®

- + 2و=

1lim 2 3 0x

x x®

+ - =


تزال:نتخلص من ال ش غ م مثال بالتعمیل ثم باالخ22جذرللحدودیة 1نالحظ أن : 5 3x x- 2و للحدودیة + 2 3x x+ -

1xاذن : الحدودیتان تقبالن القسمة على : -)وباستعمال تقنیة القسمة االقلیدیة نجد أن : )( )22 5 3 1 2 3x x x x- + = - -


)وأن : ) ( )2 2 3 1 3x x x x+ - = - +

( )( )( ) ( )

2

21 1 1

1 2 32 5 3 2 3 1lim lim lim2 3 1 3 3 4x x x

x xx x xx x x x x® ® ®

- -- + - -= = =

+ - - + +

5 (2

22

3 5 2lim2 5 2x

x xx x®

- -- +

2لدینا :

2lim3 5 2 0x

x x®

- - 2و=

2lim2 5 2 0x

x x®

- + =


نتخلص من ال ش غ م مثال بالتعمیل ثم باالختزال:23جذرللحدودیة 2نالحظ أن : 5 2x x- 22و للحدودیة - 5 2x x- +

2xاذن : الحدودیتان تقبالن القسمة على : -وباستعمال تقنیة القسمة االقلیدیة نجد أن :

( ) ( )23 5 2 2 3 1x x x x- - = - )وأن : + ) ( )22 5 2 2 1 2x x x x- + = - -

( ) ( )( ) ( )

2

22 2 2

2 3 13 5 2 3 1 7lim lim lim2 5 2 2 2 1 2 1 3x x x

x xx x xx x x x x® ® ®

- +- - += = =

- + - - -

6 (3 2

21

2 3lim2 3x

x xx x®

+ -+ -

3لدینا : 2

1lim 2 3 0x

x x®

+ - 2و =

1lim 2 3 0x

x x®

+ - =


نتخلص من ال ش غ م مثال بالتعمیل ثم باالختزال:3جذرللحدودیة 1نالحظ أن : 22 3x x+ 22ودیة و للحد- 3x x+ -

1xاذن : الحدودیتان تقبالن القسمة على : -وباستعمال تقنیة القسمة االقلیدیة نجد أن :

( )( )3 2 22 3 1 2 3 3x x x x x+ - = - + )وأن : + ) ( )22 3 1 2 3x x x x+ - = - +

( ) ( )( ) ( )

23 2 2

21 1 1

1 2 3 32 3 2 3 3 8lim lim lim2 3 1 2 3 2 3 5x x x

x x xx x x xx x x x x® ® ®

- + ++ - + += = =

+ - - + +

7 (4

2

16lim2x

xx®

--

4لدینا :

2lim 16 0x

x®

- و=2

lim 2 0x

x®

- =


نتخلص من ال ش غ م مثال بالتعمیل ثم باالختزال:( ) ( ) ( )( )2 22 2 2 2 2 24 4 4

2 2 2 2

2 2 216 2lim lim lim lim2 2 2 2x x x x

x x xx xx x x x® ® ® ®

- - +- -= = =

- - - -( ) ( )( ) ( ) ( )

22

2 2

2 2 4lim lim 2 4 32

2x x

x x xx x

x® ®

- + += = + + =

-

8(0

9limx x®

- = :ألن¥-0

lim 0x

x +

®=

الحدودیةةنھایة الدال.5¥-أو إلى¥+إلى xنھایة دالة حدودیة عندما تؤول

ھي نھایة حدھا األكبر درجة2limمثال : 3 5 4

xx x

®+¥+ -

2الجواب: 2lim 3 5 4 lim 3x x

x x x®+¥ ®+¥

+ - = = +¥

الجذریةةنھایة الدال.6¥-إلىأو ¥+إلى xنھایة دالة جذریة عندما تؤول

ھي خارج نھایة حدیھا األكبر درجة.6مثال : 2

4

2 1lim4x

x xx x®+¥

- ++ -

6الجواب: 2 66 4 2

4 4

2 1 2lim lim lim 2 lim 24x x x x

x x x x xx x x

-

®+¥ ®+¥ ®+¥ ®+¥

- += = = = +¥

+ -

2lim) 1أحسب النھایات التالیة ::7تمرین 1 5 9x

x x®+¥

+ -

2 (( )3lim 5 4 12x

x x®-¥

- - +3 (5 2

5

5 3lim10 1x

x x xx x®+¥

+ +- - -

4 (6 2

3

3 2 1lim3 1x

x xx x®-¥

- + ++ -

5 (3 2

4

20 7lim10 3 6x

x x xx x®-¥

- +- -

6 (5 2

8

2 4 1lim3x

x xx x®+¥

+ +- +

7 (( )

2

2

3 1lim1x

xx®+¥

+

-

2) 1أجوبة : 2lim 1 5 9 lim 9x x

x x x®+¥ ®+¥

+ - = - = -¥

2 (3 3lim 5 4 12 lim 5x x

x x x®-¥ ®-¥

- - + = - = +¥

3 (5 2 5

5 5

5 3 5 5 1lim lim10 1 10 10 2x x

x x x xx x x®+¥ ®+¥

+ += = - = -

- - - -

4 (6 2 63

3 3

3 2 1 3lim lim lim 33 1x x x

x x x xx x x®-¥ ®-¥ ®-¥

- + + -= = - = +¥

+ -

5 (3 2 3

4 4

20 7 20 20 2lim lim lim lim 010 3 6 10 10x x x x

x x x xx x x x x

-

®-¥ ®-¥ ®-¥ ®-¥

- += = = =

- -

6 (5 2 5

8 8 3

2 4 1 2 2lim lim lim 03x x x

x x xx x x x

+

®+¥ ®+¥ ®+¥

+ += = =

- +

7 (( )

2 2 2

2 2 2

3 1 3 1 3lim lim lim 32 11x x x

x x xx x xx®+¥ ®+¥ ®+¥

+ += = =

- +-

نھایة الدوال الالجذریة.7دالة عددیة معرفة على مجال على الشكلfلتكن خاصیة:[ [;a )بحیث ¥+ ) 0f x ³ [ [;x a" Î +¥

)إذا كان · )limx

f x l®+¥

0lو = )فان ³ )limx

f x l®+¥

=

)إذا كان · )limx

f x®+¥

= 0lو ¥+ )فان ³ )limx

f x®+¥

= +¥

2) 1أمثلة :

2lim 3 4x

x®

+2 (lim 7x

x®+¥

+3 (2

1 1lim2x

xx®

- --

2) 1أجوبة : 2

2lim 3 4 3 2 4 16 4x

x®

+ = ´ + = =

2 (lim 7x

x®+¥

limلدینا :+ 7x

x®+¥

+ limاذن : ¥+= 7x

x®+¥

+ = +¥

3 (2

1 1lim2x

xx®

- --

لدینا :2

lim 1 1 0x

x®

- - و =2

lim 2 0x

x®

- =


ثم باالختزال:بالمرافقنتخلص من ال ش غ م بالضرب ( )( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 2

2 2 2

1 1 1 1 1 11 1lim lim lim2 2 1 1 2 1 1x x x

x x xxx x x x x® ® ®

- - - + - -- -= =

- - - + - - +

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 2 1 1lim lim lim21 12 1 1 2 1 1x x x

x xxx x x x® ® ®

- - -= = = =

- +- - + - - +

2lim) 1التالیة :أحسب النھایات:8تمرین 3 5 1x

x x®+¥

- +

2(lim 5 7x

x®-¥

- +3(2lim 3 6 4x

x x x®+¥

- + -4(1

1lim1x

xx®

--

5 (4

2lim4x

xx®

--

6(1

1 2lim1x

xx+®

--

7 (3

1 4lim3x

xx®-

- ++

8 (2

3

3lim2 1x

x xx®

-- -

9 (5

2 1lim5x

xx®

- --

2lim) 1أجوبة : 3 5 1x

x x®+¥

- 2لدینا :+ 2lim3 5 1 lim3x x

x x x®+¥ ®+¥

- + = =+¥

2limاذن : 3 5 1x

x x®+¥

- + = +¥

2(lim 5 7x

x®-¥

- limلدینا :+ 5 7x

x®-¥

- + = limاذن : ¥+ 5 7x

x®-¥

- + =+¥

3 (2lim 3 6 4x

x x x®+¥

- + limلدینا- 3x

x®-¥

- = 2limو ¥- 6 4x

x x®

+ - =+¥

2limاذن : 3 6 4x

x x x®+¥

- + - = -¥

4 (1

1lim1x

xx®

--

لدینا :1

lim 1 0x

x®

- و =1

lim 1 0x

x®

- =


ثم باالختزال:بالمرافقنتخلص من ال ش غ م بالضرب ( ) ( )( ) ( )

( )( )( )

2 2

1 2 2

1 1 11lim lim lim1 1 1 1 1x x x


- + --= =

- - + - +

( ) ( )1 1

1 1 1lim lim211 1x x

xxx x® ®

-= =

+- +


5 (4

2lim4x

xx®

--

لدینا :4

lim 2 0x

x®

- و =4

lim 4 0x

x®

- =



( )( ) ( )

2 2

4 4 4

2 2 22lim lim lim4 4 2 4 2x x x


- + --= =

- - + - +

( ) ( )4 4

4 1 1lim lim424 2x x

xxx x® ®

-= =

+- +

6(1

1 2lim1x

xx+®

--

لدینا :1

lim1 2 1x

x+®- و -=

1lim 1 0x

x+

+

®- ومنھ =

1

1 2lim1x

xx+®

-=-¥

7 (3

1 4lim3x

xx®-

- ++

لدینا :3

lim 1 4 0x

x®-

- + و =3

lim 3 0x

x®-

+ =


ثم باالختزال:بالمرافقنتخلص من ال ش غ م بالضرب ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

22

3 3 3

1 4 1 41 4lim lim lim3 3 1 4 3 1 4x x x

x xxx x x x x®- ®- ®-

- + - +- += =

+ + + + + + +

( ) ( )( )

( ) ( )3 3 3

33 1 1lim lim lim21 43 1 4 3 1 4x x x

xxxx x x x®- ®- ®-

- +- - -= = = = -

+ ++ + + + + +

8 (2

3

3lim2 1x

x xx®

-- -

2لدینا :

3lim 3 0x

x x®

- و =3

lim 2 1 0x

x®

- - =


ثم باالختزال:بالمرافقنتخلص من ال ش غ م بالضرب ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )( )

2

23 3 3 2

3 2 1 3 2 13lim lim lim2 1 2 1 2 1 2 1x x x

x x x x x xx xx x x x® ® ®

- - + - - +-= =

- - - + - - - -

( ) ( ) ( )3 3

3 2 1lim lim 2 1 6

3x x

x x xx x

x® ®

- - += = - + =

-

9 (5

2 1lim5x

xx®

- --

لدینا :5

lim 2 1 0x

x®

- - و =5

lim 5 0x

x®

- =



( )( ) ( )

22

5 5 5

2 1 2 1 2 12 1lim lim lim5 5 2 1 5 2 1x x x


- - + - - -- -= =

- - + - - + -

( ) ( )( )

( ) ( )5 5 5

55 1 1lim lim lim42 15 2 1 5 2 1x x x

xxxx x x x® ® ®

- -- - -= = = =

+ -- + - - + -

عددین حقیقیینaو lدالة عددیة و fتكن لمبرھنة:( )lim

x af x l

+®)یكافئ = ) ( )lim lim

x a x ax a x a

f x f x l® ®

= =f p

)المعرفة كالتالي: fنعتبر الدالةمثال: )2 1

1xf xx-=-

)أحسب النھایات التالیة : .1 )1

limx

f x+®

)و )1

limx

f x-®

0تقبل نھایة عند : fھل الدالة .2 1x ؟=1x)ندرس اشارة 1أجوبة : - :1 1 0x x= Û - =

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )

2

2

1 1 1, 1 , 11, 1 1 11 1 11 , 1 , 1, 1

11

x x xf x x f x xf x x x x xx x xf x x x f x xf x x

xx

ì + - ì -= > = >ï ï= + >ì - -ï ï ïÛ Ûí í í+ - -=- + <ï ï ïî = <= <

ï ï - -- - îî

( )1 1

lim lim 1 2x x

f x x+ +® ®

= + )و = ) ( )1 1

lim lim 1 2x x

f x x- -® ®

= - + = -

)) نالحظ أن :2 ) ( )1 1

lim limx x

f x f x+ -® ®

fومنھ لدالة ¹

0ال تقبل نھایة عند : 1x =)المعرفة كالتالي: fنعتبر الدالة:9تمرین )

2 164

xf xx-=-


limx

f x+®

)و )4

limx

f x-®

0تقبل نھایة عند : fھل الدالة .2 4x ؟=4x)ندرس اشارة 1أجوبة : - :4 4 0x x= Û - =

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

( )

( ) ( )

2

2

4 4 16, 4 , 44, 4 4 44 4 164 , 4 , 4, 4

44

x x xf x x f x xf x x x x xx x xf x x x f x xf x x

xx

ì + - ì -= > = >ï ï= + >ì - -ï ï ïÛ Ûí í í+ - -=- + <ï ï ïî = <= <

ï ï - -- - îî

( )4 4

lim lim 4 8x x

f x x+ +® ®

= + )و = ) ( )4 4

lim lim 4 8x x

f x x- -® ®

= - + = -

)) نالحظ أن:2 ) ( )4 4

lim limx x

f x f x+ -® ®

ومنھ ¹

0التقبل نھایة عند : fلدالةا 4x =

)المعرفة كالتالي: fنعتبر الدالة:10تمرین ) 4xf x x

x= +


limx

f x+®

)و )0

limx

f x-®

0تقبل نھایة عند : fھل الدالة .2 0x ؟=أجوبة :

( )( )

( )

( )

44

44

, 01 , 0

1 , 0 , 0

xf x x xf x x x xxf x x x f x x xx

ì = + >ïì = + >ï ïÛí í=- + <ï ïî =- + <

ïî( ) 4

0 0lim lim 1 1x x

f x x+ +® ®

= + )و = ) 4

0 0lim lim 1 1x x

f x x- -® ®

= - + = -

)) نالحظ أن :2 ) ( )4 4

lim limx x

f x f x+ -® ®

¹

0التقبل نھایة عند : fومنھ لدالة 0x =نھایة الدوال المثلثیة.8

• :خاصیات0

sinlim 1x

xx®

=•20

1 cos 1lim2x

xx®

-=•

0

tanlim 1x

xx®

=

•0

sinlim 1x

axax®

و=0

tanlim 1x

axax®

=a *" ÎR

أمثلة: أحسب النھایات التالیة :

1(0

sin 2lim4x

xx®

2 (0

sin 6limtan 3x

xx®

3 (0

tan 2limsin 4x

xx®

)1أجوبة :0 0 0

sin 2 sin 2 2 sin 2 1 1 1lim lim lim 14 2 4 2 2 2 2x x x

x x x xx x x x® ® ®

= ´ = ´ = ´ =

2(

0 0 0

sin6 sin6 6 sin6 3lim lim lim 2 1 1 2 2tan3 6 tan3 6 tan3x x x

x x x x xx x x x x® ® ®= ´ = ´ ´ = ´ ´ =

3(0 0

tan2 tan2 4 2 1 1lim lim 1 1sin4 2 sin4 4 2 2x x

x x x xx x x x® ®= ´ ´ = ´ ´ =


)1أحسب النھایات التالیة ::11تمرین0

sin 3limx

xx®

2 (0

sinlimtanx

xx®

3 (0

tan10limsin5x

xx®

)1أجوبة : 0 0

sin 3 sin 3lim lim 3 1 3 33x x

x xx x® ®

= ´ = ´ =

2(0 0

sin sinlim lim 1 1 1tan tanx x

x x xx x x® ®= ´ = ´ =

3(0 0

tan10 tan10 5 10lim lim 1 1 2 2sin5 10 sin5 5x x

x x x xx x x x® ®= ´ ´ = ´ ´ =

النھایات و الترتیب.9]مجاال من نوع Iلتكن:خاصیات: [;a+¥ حیثaÎRوl Î¡

اذا Iدوال عددیة معرفة على المجالVو Uوfلتكن )اذا كانت§ ) ( )U x f x£x I" Î: وكانت( )lim

xU x

®+¥فان : ¥+=

( )limx

f x®+¥

=+¥

)اذا كانت§ ) ( )f x V x£x I" Î وكانت( )limx

V x®+¥

=-¥

)فان : )limx

f x®+¥

=-¥

)اذا كانت§ ) ( ) ( )U x f x V x£ £x I" Î:وكانت

( ) ( )lim limx x

U x V x l®+¥ ®+¥

= )فان : = )limx

f x l®+¥

=

)أحسب النھایة التالیة : :1مثال )lim 2 sinx

x x®+¥

+

1نعلم أن : الجواب: sin 1x- £ £x" Î¡2:اذن 1 sin 2 1 2x x x x- £ + £ 2:اذن+ 1 sin 2x x x- £ +

limونعلم أن : 2 1x

x®+¥

- = )ومنھ :¥+ )lim 2 sinx

x x®+¥

+ = +¥

2limالنھایة التالیة : أحسب :2مثال 4 cosx

x x®-¥

- +

1نعلم أن : الجواب: cos 1x- £ £x" Î¡2:اذن 2 24 1 4 cos 1 4x x x x- - £- + £ 2:اذن- 24 cos 1 4x x x- + £ -

2limونعلم أن : 1 4x

x®+¥

- = 2limومنھ :¥- 4 cosx

x x®-¥

- + = -¥

2أحسب النھایة التالیة : :3مثال 1lim sinx

xx®+¥

æ öç ÷è ø

11نعلم أن : الجواب: sin 1x

æ ö- £ £ç ÷è ø

x" Î¡

2:اذن 2 21sinx x xx

æ ö- £ £ç ÷è ø

2ولدینا :

0lim 0x

x®

2و =

0lim 0x

x®- =

2ومنھ : 1lim sin 0x

xx®+¥

æ ö =ç ÷è ø

أحسب النھایات التالیة ::12تمرین1(lim

2 cosx

xx®+¥ -

2 (3

lim3 sinx

xx®-¥ -

: )1الجواب: 1نعلم أن cos 1x- £ £x" Î¡اذن:1 cos 1x- £ - £

1:اذن 2 cos 3x£ - 1:اذن£ 1 13 2 cos 1x£ £

-:اذن

3 2 cos 1x x x

x£ £

-

:اذن3 2 cosx x

x£

-limونعلم أن:

3x

x®+¥

= limومنھ :¥+2 cosx

xx®+¥=+¥

-1نعلم أن : )2 sin 1x- £ £x" Î¡1:ذنا sin 1x- £ - £

2: اذن 3 sin 4x£ - 1:اذن£ 1 14 3 sin 2x£ £

-

: اذن3 3 3

4 3 sin 2x x x

x£ £

-

:اذن3 3

3 sin 2x x

x£

-ونعلم أن:

3

lim2x

x®-¥

= ومنھ :¥-3

lim3 sinx

xx®-¥=-¥

-2lim) 1یات التالیة :أحسب النھا:13تمرین 3 2

xx x x

®+¥+ + -

2(2lim 1x

x x®+¥

+ -3(2lim 2 4 3x

x x x® ¥

+ + +m

4 (2lim 1

xx x x

®+¥+ + -

5 (2

1lim1x

xx®+¥

-

+2lim)1الجواب: 3 2

xx x x

®+¥+ + -

2limلدینا : 3x

x x®+¥

+ + limو¥+= 2x

x®+¥

- =-¥

¥+نحصل عن شكل غ محدد من قبیل : - ¥

داخل الجذر مربع:2xنتخلص من ال ش غ م بالتعمیل ب2 2 2

2 2

1 3 1 3lim 3 2 lim 1 2 lim 1 2x x x

x x x x x x xx x x x®+¥ ®+¥ ®+¥

æ ö æ ö+ + - = + + - = + + -ç ÷ ç ÷è ø è ø

2

1 3lim 1 2x

x xx x®+¥

æ ö= + + -ç ÷è ø

2xألن : x=: وبما أنx®+¥: فان

2x x x= =

2ومنھ : 2

1 3lim 3 2 lim 1 2x x

x x x x xx x®+¥ ®+¥

æ ö+ + - = + + - =ç ÷è ø

( )21 3lim 1 2 1

xx

x x®+¥

æ öæ ö= + + - =+¥´ - =-¥ç ÷ç ÷ç ÷è øè ø

1limألن : 0x x®+¥

و =2

3lim 0x x®+¥

=

2(2lim 1x

x x®+¥

+ 2limلدینا : - 1x

x®+¥

+ limو¥+=x

x®+¥

- =-¥

¥+نحصل عن شكل غ محدد من قبیل : - ¥:بالمرافقنتخلص من ال ش غ م بالضرب ( )( )

( )2 2

2

2

1 1lim 1 lim

1x x

x x x xx x

x x®+¥ ®+¥

+ - + ++ - = =

+ +

( )( ) ( )

22 2

2 2

1 1 1lim lim 01 1x x

x x

x x x x®+¥ ®+¥

+ -= = = =

+¥+ + + +

2limألن : 1x

x x®+¥

+ + =+¥

2limأ) )3 2 4 3x

x x x®+¥

+ + 2limلدینا : + 2 4x

x x®+¥

+ + limو¥+= 3x

x®+¥

=+¥

2limومنھ 2 4 3x

x x x®+¥

+ + + =+¥

2limلدینا : ب) )3 2 4x

x x®-¥

+ + limو¥+= 3x

x®-¥

=-¥

¥+نحصل عن شكل غ محدد من قبیل : - ¥

الجذر مربع:داخل 2xنتخلص من ال ش غ م بالتعمیل ب2 2 2

2 2

2 4 2 4lim 2 4 3 lim 1 3 lim 1 3x x x

x x x x x x xx x x x®+¥ ®+¥ ®+¥

æ ö æ ö+ + + = + + + = + + +ç ÷ ç ÷è ø è ø

2

2 4lim 1 3x

x xx x®-¥

æ ö= + + +ç ÷è ø

2xلدینا : x=: وبما أنx®-¥: فان

2x x x= =-

2ومنھ : 2

2 4lim 2 4 3 lim 1 3x x

x x x x xx x®-¥ ®-¥

æ ö+ + + = - + + + =ç ÷è ø

( )22 4lim 1 3 2

xx

x x®-¥

æ öæ ö= - + + - =+¥´ - =-¥ç ÷ç ÷ç ÷è øè ø

2limألن : 0x x®-¥

و =2

4lim 0x x®-¥

=

4 (2lim 1x

x x x®+¥

+ + 2limلدینا : - 1x

x x®+¥

+ + limو¥+=x

x®+¥

- =-¥

¥+نحصل عن شكل غ محدد من قبیل : - ¥:بالمرافقنتخلص من ال ش غ م بالضرب


( )( )( )

2 2

2

2

1 1lim 1 lim

1x x

x x x x x xx x x

x x x®+¥ ®+¥

+ + - + + ++ + - = =

+ + +

( )( ) ( )

22 2

2 2

1 1lim lim1 1x x

x x x x

x x x x x x®+¥ ®+¥

+ + - + +¥= = =

+¥+ + + + + +

2limألن : 1x

x x®+¥

+ + =+¥

¥نحصل عن شكل غ محدد من قبیل :دائما ¥

في البسط ونجد :xداخل الجذر مربع وب 2xنعمل ب

( )2

22

2

111lim 1 lim lim

1 11 1x x x

xx xx x x

x x x x xx x

®+¥ ®+¥ ®+¥

æ ö+ç ÷+ è ø+ + - = =æ ö+ + + æ ö+ + +ç ÷ç ÷ç ÷è øè ø

22 2 2

1 1 11 1 1lim lim lim

1 1 1 1 1 11 1 1x x x

x x xx x x

x x x x x xx x x x x x

®+¥ ®+¥ ®+¥

æ ö æ ö æ ö+ + +ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø= = =+ + + + + + + + +

22

1 11 1 1 0 1lim lim lim21 1 1 0 0 11 1 1 11 1

x x x

xx x

xx xx x

®+¥ ®+¥ ®+¥

æ ö+ +ç ÷ +è ø = = =æ ö + + ++ + ++ + +ç ÷è ø

5 (2

1lim1x

xx®+¥

-

+2limلدینا : 1

xx

®+¥+ limو¥+= 1

xx

®+¥- =+¥

¥نحصل عن شكل غ محدد من قبیل :¥

في البسط ونجد :xداخل الجذر مربع وب 2xنعمل ب

22

2 2 2

1 1 11 1 11lim lim lim lim

1 1 11 1 1 1x x x x

x x xx x x xx x x x

x x x

®+¥ ®+¥ ®+¥ ®+¥

æ ö æ ö æ ö- - -ç ÷ ç ÷ ç ÷- è ø è ø è ø= =+ æ ö æ ö æ ö+ + +ç ÷ ç ÷ ç ÷

è ø è ø è ø

2xألن : x=: وبما أنx®+¥: 2فانx x x= =

2

2

111 1 0lim lim 11 1 01 1

x x

x xx

x

®+¥ ®+¥

-- -= = =

++ +

1limألن : 0x x®+¥

و =2

1lim 0x x®+¥

=

المعرفة كالتالي : fنعتبر الدالة :14تمرین

( )

( )

2

2

4 3 , 11

3 , 1

x xf x xx

xf x xx

ì + += ³ -ïï +

í-ï = < -ïî

)أحسب النھایات التالیة: .1 )limx

f x®+¥

)و )limx

f x®-¥

( )1

limx

f x)و -®+ )

1lim

xf x

-®-

0تقبل نھایة عند : fة ھل الدال.2 1x = ؟-

))1الجواب: )2 24 3lim lim lim lim

1x x x x

x x xf x xx x®+¥ ®+¥ ®+¥ ®+¥

+ += = = = +¥

+

( )2 23lim lim lim lim

x x x x

x xf x xx x®-¥ ®-¥ ®-¥ ®-¥

-= = = = -¥

( )2

1 1

4 3lim lim1x x

x xf xx+ +®- ®-

+ +=

+2لدینا

1lim 4 3 0

xx x

+®-+ + و =

1lim 1 0

xx

+®-+ =

0ل :نحصل عن شكل غ محدد من قبی0

نتخلص من ال ش غ م مثال بالتعمیل ثم باالختزال:2جذرللحدودیة -1نالحظ أن : 4 3x x+ +

1xاذن : ھي تقبل القسمة على : +)وباستعمال تقنیة القسمة االقلیدیة نجد أن : ) ( )2 4 3 3 1x x x x+ + = + +

( )( )2

1 1 1

3 14 3lim lim lim 3 21 1x x x

x xx x xx x+ + +®- ®- ®-

+ ++ += = + =

+ +

( )2

1 1

3 1 3 2lim lim 21 1x x

xf xx- -®- ®-

- - -= = = =

- -0تقبل نھایة عند : f) نعم الدالة 2 1x = -

)ألن : ) ( )1 1

lim limx x

f x f x+ -®- ®-

)ومنھ : = )1

lim 2x

f x®-

=

تمارین للبحث:ب النھایات التالیة :أحس:1تمرین

1 (5 2

5

5 3lim10 1x

x x xx x®+¥

+ +- - -

2 (3 2

4

3 2 1lim3 1x

x xx x®-¥

- + ++ -

3 (22

2 1lim2x

xx x-®

- +- -

4 (22

2 1lim2x

xx x+®

- +- -

5 (3

1 4lim3x

xx®-

- ++

6(2limx

x x x®+¥

+ -

المعرفة كالتالي : fدالة نعتبر ال:2تمرین

( )( ) 3

; 0

; 0

f x x x

f x x x

ì = ³ïí

= <ïî)أحسب النھایات التالیة : .1 )

0limx

f x+®

)و )0

limx

f x-®

)استنتج : .2 )0

limx

f x®

أحسب النھایات التالیة ::3تمرین1 (2lim

xx x x

®+¥+ -2 (2lim

xx x x

®-¥- -

3 (2limx

x x x®+¥

- -4(2lim 5 1 2 1x

x x x®-¥

+ - - +

5 (2lim 5 1 2 1x

x x x®-¥

+ - + +6 (2lim 1x

x x x®-¥

+ - +

المعرفة كالتالي : fنعتبر الدالة :4تمرین

( )

( )

3 1 1;8 2

11 2 ;2

f x x x

f x x x

ì = - >ïïíï = - £ïî

)أحسب النھایات التالیة : )limx

f x®+¥

)و )limx

f x®-¥

)و )12

limx

f x+

®

( )12

limx

f x-

®

باألستاذ : عثماني نجی52monsite.com-http:// xyzmath.eص

في درس الدوران 8مذكرة رقماألھداف القدرات المنتظرة من الدرس :

I.الدوران و الدوران العكسي60نقطة من المستوى الموجھ و Wلتكن

3pa = = Bو Aولتكن °

نقطتین من المستوى الموجھ: ¢Aأرسم النقطة بحیث

( ) [ ], 26

A A

A A p p

¢W = Wìïí ¢W W ºïî

uuur uuurھي صورة ¢Aنقول

A بالدورانr الذي مركزهW زاویتھaزاویتھ Wالذي مركزه rبالدوران Bصورة ¢Bبنفس الطریقة نرسم

a)تعریف الدوران1

عددا حقیقیاaنقطة من المستوى الموجھ و Wلتكن ھو التحویل في المستوى الذي یربط aزاویتھ Wالدوران الذي مركزه

Mنقطة من المستوى بالMكل نقطة المعرفة كالتالي ¢)بالرمزaزاویتھ Wنرمز للدوران الذي مركزه );r aWأوr إذا

لم یكن ھناك التباس( )r M M Mتقرأ :=¢ rبالدوران Mھي صورة ¢

Mإذا كان · = W فانM ¢ = W

Mإذا كان · ¹ W فان( ) [ ], 2

M M

M M a p

¢W = Wìïí ¢W W ºïî

uuuur uuuuur

)الدوران العكسي لدوران2عددا حقیقیاaنقطة من المستوى الموجھ و W: لتكن تعریف

)الدوران );r aW یسمى الدوران العكسي -aزاویتھ Wالذي مركزه -

)للدوران );r aW الذي مركزهW زاویتھa

1rیرمز لھ بالرمز rالدوران العكسي لدوران · -

من المستوى لدینا : Mلكل نقطة ·( )r M M ¢=Û( )1r M M- ¢ =

II.:خاصیاتنقطتین من المستوى Bو Aإذا كانت : الحفاظ على المسافة:1خاصیة

Aو Bو ¢ على التوالي بدوران فان : Bو Aصورتي¢AB A B¢ ¢=

نقول الدوران یحافظ على المسافةA.إذا كانت aدورانا زاویتھ rلیكن : 2خاصیة Bو ¢ صورتي ¢

rعلى التوالي بالدوران Bو Aنقطتین مختلفتین )فان : ) [ ], 2AB A B a p¢ ¢ º

uuur uuuuur

تمكننا ھذه الخاصیة من تحدید زاویة دوران انطالقا من نقطتین ملحوظة:مختلفتین وصورتیھما

بحیث : Aمثلث متساوي الساقین وقائم الزاویة في ABC:1تمرین( ) [ ], 2

2AB AC p pºuuur uuur

]منتصف القطعة Oولیكن ]BC

وزاویتھ Aالذي مركزه rبالدوران ABCأنشئ صورة المثلث .12p

وزاویتھ Oالذي مركزه ¢rن بالدوراABCأنشئ صورة المثلث .22p-

))1أجوبة : )r A A= ألنA: مركز الدورانr

)و )r B C= : ألن( ) [ ], 2

2

AB AC

AB AC p p

=ìïí

ºïî

uuur uuur

)و )r B C¢=ومنھ صورة المثلثABCبالدورانr: ھو المثلثACC¢

1(( )r A C¢ )و= )r B A¢ )و= )r C C¢ ¢¢=

¢¢ACCھو المثلث :rبالدورانABCومنھ صورة المثلث

یي متساوACEو ABDمثلثا ننشئ خارجھ مثلثین ABC:2تمرینAالساقین وقائمي الزاویة في

BEبین أن : .1 CD=)بین أن : .2 ) ( )BE CD^

الجواب:

الذي مركزه rنعتبر الدوران A وزاویتھ

2p

لدینا : ( ) [ ], 2

2

AD AB

AD AB p p

=ìïí

ºïî

uuur uuur

)ومنھ : )r D B=�

ولدینا : ( ) [ ], 2

2

AC AE

AC AE p p

=ìïí

ºïî

uuur)ومنھ : )r C E=�

BEوبما أن الدوران یحافظ على المسافة فان :�و�من CD=)) لدینا : 2 )r D B=� و( )r C E=�: اذن

( ),2

CD EB pº

uuur uuur : وھذا یعني أن( ) ( )BE CD^



8مذكرة رقم/


: الحفاظ على قیاس زاویة موجھة3خاصیةAنقط من المستوى بحیث Dو CوBو Aلتكن B¹ وC D¹

Aو Bو ¢ Cو¢ Dو ¢ صورھا على التوالي بدوران لدینا : ¢

( ) ( )[ ], , 2AB CD A B C D p¢ ¢ ¢ ¢ºuuur uuur uuuuur uuuur

نقول الدوران یحافظ على قیاس الزوایامثلث بحیث القیاس الرئیسي للزاویة الموجھة ABC:3تمرین

( ),AB ACuuur uuur

موجب .

ACFGو ABDEالمربعین ABCننشئ خارج المثلث زاویة و Aالذي مركزه rالدوران نعتبر

2p

)حدد )1 )r E و( )r C2 : بین أن(( ) ( )[ ], , 2CA CE GA GB pºuuur uuur uuur uuur

لدینا : )1( ) [ ], 2

2

AE AB

AE AB p p

=ìïí

ºïî

uuur uuurومنھ :

( )r E B=�

لدینا : ( ) [ ], 2

2

AC AG

AC AG p p

=ìïí

ºïî

uuur uuurومنھ :

( )r C G=�

)ولدینا: )r A A=� ألنA مركزrالدوران :

فان :على قیاس الزوایاوبما أن الدوران یحافظ �و�و�من )2( ) ( )[ ], , 2CA CE GA GB pºuuur uuur uuur uuur

: الحفاظ على المرجح4خاصیة)مرجح النقطتین المتزنتین Gلیكن );A a و( );B b

Aنت إذا كا Bو ¢ Gو¢ rعلى التوالي بدوران Gو BوAصور¢Gفان : )ھي مرجح النقطتین المتزنتین ¢ );A a¢ و( );B b¢

یمكننا تعمیم ھذه الخاصیة على مرجح ثالث أو أربع نقط.ملحوظة:استنتاج : الحفاظ على المنتصف

]منتصف القطعة Iلیكن ]ABAإذا كانت Bو ¢ Iو¢ على التوالي بدوران Iو BوAصور¢

Iفان : ]طعة ھي منتصف الق¢ ]A B¢ ¢

: الحفاظ على معامل استقامیة متجھتین5خاصیةAلتكن Bو ¢ Cو¢ على التوالي بدوران Cو BوAصور¢

ACإذا كان : k AB=uuuur uuur

Aعدد حقیقي فان :kحیث C k A B¢ ¢ ¢ ¢=uuuuur uuuuur

)بحیث : Oمربع مركزه ABCD:4تمرین ) [ ], 22

OA OB p pºuuur uuur

1نقطتان من المستوى بحیث : Jو Iو 4

AI AB=uur uuur

1و 4

BJ BC=uuur uuur

زاویة و Oالذي مركزه الدوران rولیكن 2p

OIین أن : ب OJ= : وأن( ) ( )OI OJ^الجواب :

)یكفي أن نبین أن : )r I J=؟؟؟؟)نضع : )r I I ¢=

لدینا : ( ) [ ], 2

2

OA OB

OA OB p p

=ìïí

ºïî

uuur uuurومنھ :

( )r A B=

1ولدینا : 4

AI AB=uur uuur :1اذن

4BI BC¢ =uuur uuur� ألن الدوران : الحفاظ على

معامل استقامیة متجھتین1ونعلم أن :

4BJ BC=uuur uuur�

BIنستنتج أن : �و�من BJ¢ =uuur uuur

Iأي J¢ )أي = )r I J=

: وبالتالي ( ) [ ], 2

2

OI OJ

OI OJ p p

=ìïí

ºïî

uur uuur

ومتساوي الساقین فبحیث : Aمثلث قائم الزاویة ABC:5تمرین

( ) [ ], 22

AB AC p pºuuur urوO منتصف القطعة[ ]BC

2بحیث : Dولیكن 3

AD AB=uuur uuur ولیكنE : 2بحیث

3CE CA=uuur uuur

وزاویتھ Oالذي مركزهrباعتبار الدوران 2p بین أن المثلثODE

Oقائم الزاویة ومتساوي الساقین في یكفي أن نبین أن : الجواب :( )r E D=؟؟؟؟

)نضع : )r E E¢=

لدینا : ( ) [ ], 2

2

OA OC

OC OA p p

=ìïí

ºïî

uuur uuurومنھ :

( )r C A=�

ولدینا :( ) [ ], 2

2

OA OB

OA OB p p

=ìïí

ºïî

uuur uuurومنھ :

( )r A B=�

2ولدینا : 3

CE CA=uuur uuur� نجد أن �و�و�اذن من:

23

AE AB¢ =uuuur uuurألن الدوران : یحافظ على معامل استقامیة متجھتین�

2ونعلم أن : 3

AD AB=uuur uuur�

AEنستنتج أن : �و�من AD¢ =uuuur uuur

Eأي D¢ )أي = )r E D=

وبالتالي : ( ) [ ], 2

2

OE OD

OE OD p p

=ìïí

ºïî

uuur uuurقائم الزاویة ODEأن المثلث یعني ان :

Oومتساوي الساقین في III. بعض األشكال بدورانصور:

Aو Oو Bو Aدورانا و rلیكن Bو ¢ Oو¢ نقطا من ¢)بحیث : المستوى )r A A )و =¢ )r B B )و=¢ )r O O ¢=

خاصیة : )صورة المستقیم § )AB بالدورانr ھي المستقیم( )A B¢ ¢

]صورة القطعة § ]AB بالدورانr ھي المستقیم[ ]A B¢ ¢

)صورة الدائرة § );C O R التي مركزھاO وشعاعھاR بالدورانr)ئرة الداھي );C O R¢ Oالتي مركزھا ¢ Rوشعاعھا ¢

استنتاج]صورة نصف المستقیم§ )AB بالدورانr المستقیم نصفھي[ )A B¢ ¢

ھما مستقیمان متعامدانrین متعامدین بالدوران صورتا مستقیم§ھما مستقیمان متوازیانrصورتا مستقیمین متوازیین بالدوران §)تنتمي إلى تقاطع مستقیمین Mإذا كانت نقطة § )D و( )D صورة فان

M بالدورانr تقاطع صورتينقطة ھي


)المستقیمین )D و( )D بالدورانr.

)بحیث : Oمربع مركزه ABCD:6تمرین ) [ ], 22

OA OB p pºuuur uuur و( )D

)مستقیم یوازي المستقیم )BD و یقطع( )AD فيM و( )ABNفي

زاویة و Oالذي مركزه الدوران rولیكن 2p

rبالدوران Nو Mصورتي النقطتین FوEنعتبر النقطتین على ا لتوالي.

)أرسم الشكل و بین أن : .1 ) ( )EF MN^

)حدد صورة المستقیم .2 )BD بالدورانrDNأ)بین أن : .3 FA=(بین أن : ب( ) ( )EF ACP

لدینا : )1األجوبة :( )r M E=� و( )r N F=�

نستنتج أن :�و�من

( ) [ ], 22

MN EF ppº

uuuur uuurأي أن :

( ) ( )EF MN^

صورة المستقیم )2( )BD بالدورانr؟؟؟

لدینا : ( ) [ ]

0 0

0 , 22

B C

B OC p p

=ìïí

ºïî

uur uuurاذن :

( )r B C=�

ولدینا : ( ) [ ]

0 0

, 22

D A

OD OA p p

=ìïí

ºïî

uuur uuur)اذن : )r D A=�

)نستنتج أن: �و�من )( ) ( )r BD AC=

DNأ))3 FA=؟؟؟)ولدینا : )r D A=� و( )r N F=�

DNاذن : FA=ألن : الدوران یحافظ على المسافة)بین أن : ب)ن ) ( )EF ACP:

)لدینا : ) ( )MN BDP حسب المعطیات و لدینا:)و )( ) ( )r BD AC= و( )( ) ( )r MN EF=

)وبما أن : الدوران یحافظ على التوازي فان : ) ( )EF ACP

تمارین للبحث)مربع بحیث : ABCD:1تمرین ) [ ], 2

2AB AD p pºuuur uuur

)و Aالذي مركزه rحدد زاویة الدوران .1 )r D B=

)و Cالذي مركزه ¢rحدد زاویة الدوران .2 )r D B¢ =ي األضالع بحیث :مثلث متساوABC:2تمرین

( ) [ ], 23

AB AC p pº -uuur uuur

Cإلى Aو یحول Bالذي مركزه 1rحدد زاویة الدوران .1.Cإلى Bو Bإلى Aیحول الذي 2rحدد مركز و زاویة الدوران .2

)مربع بحیث : ADEF:3تمرین ) [ ], 22

AD AF p pºuuur uuur

BEFي األضالع و داخلھ المثلث متساوCEDننشئ خارجھ المثلث متساوي األضالع

زاویة و Eالذي مركزه rالدوران نعتبر .13p

)بین أن : )r F B= و( )r D C=

)النقطة بحیث : 1Aلتكن .2 )1r A A=

a( 1بین أن المثلثAEA متساوي األضالعb( : 1بین أن النقطA وD وFمستقیمیةc( : استنتج أن النقطA وB وCمستقیمیة


في درس االشتقـاق9مذكرة رقم األھداف و القدرات المنتظرة من الدرس :

I.شتقاق دالة عددیة في نقطةقابلیة االعدد المشتق.1

عنصرا من aو Iدالة عددیة معرفة على مجال مفتوح fلتكن تعریف : I

بحیث : lإذا وجد عدد حقیقي aقابلة لالشتقاق في النقطة fنقول إن الدالة ( ) ( )lim

x a

f x f al

x a®

-=

-l یسمى العدد المشتق للدالة في النقطةa : و نرمز لھ بالرمز( )f a¢

)ونكتب : )f a¢( ) ( )limx a

f x f ax a®

-=

-

)الكتابة : مالحظة : )f a¢( ) ( )limx a

f x f ax a®

-=

-

)تكافئ الكتابة : )f a¢( ) ( )0

limh

f a h f ah®

+ -=

)المعرفة كالتالي : fنعتبر الدالة مثال: ) 25f x x=

0عند fباستعمال التعریف أدرس اشتقاق الدالة 1x =

)الجواب : ) ( ) ( )22

1 1 1

5 11 5 5lim lim lim1 1 1x x x

xf x f xx x x® ® ®

-- -= =

- - -( ) ( )( ) ( )

2 2

1 1 1

5 1 5 1 1lim lim lim5 1 5 2 10

1 1x x x

x x xx

x x® ® ®

- - += = = + = ´ =

- -0قابلة لالشتقاق عند :fومنھ 1x =

( ) ( ) ( )1

1lim 10 1

1x

f x ff

x®

-¢= =

-0وھو العدد المشتق عند 1x =

الة في نقطةمعادلة مماس لمنحنى د–التأویل الھندسي للعدد المشتق .2 : )و aدالة قابلة لالشتقاق في نقطة fلتكن تعریف )fC منحناھا في

)معلم متعامد ممنظم ); ;O i jr r

.

a

f(a)

f(x)

x

M

N

)المستقیم )D المار من النقطة( )( );M a f a

)و الذي معاملھ الموجھ ھو )f a¢یسمى المماس للمنحنى

( )fC في النقطةMaدالة قابلة لالشتقاق في نقطة fلتكن خاصیة :

)معادلة المماس )Dللمنحنى( )fC في النقطة( )( );M a f a : ھي

( ) ( ) ( )y f a f a x a¢= + - :( )D)المعرفة كالتالي : fنعتبر الدالة :1تمرین ) 2 2 1f x x x= - +

0قابلة لالشتقاق عند fباستعمال التعریف بین أن الدالة .1 2x = .0عندfحدد معادلة المماس للمنحنى الممثل للدالة .2 2x =.

))1الجواب : ) 22 2 2 2 1 1f = - ´ + =

( ) ( ) 2 2

2 2 2

2 2 1 1 2lim lim lim2 2 2x x x

f x f x x x xx x x® ® ®

- - + - -= =

- - -( )

2 2

2lim lim 2

2x x

x xx

x® ®

-= = =

-0قابلة لالشتقاق عند :fومنھ 1x =

( )2 2f 0وھو العدد المشتق عند =¢ 2x =

2(( ) ( ) ( )0 0 0y f x f x x x¢= + -

( ) ( ) ( )( )2 3 1 2 2 2 2 2y x y x y f f x¢= - Û = + - Û = + -

II. االشتقاق على الیسار–االشتقاق على الیمین)المعرفة كالتالي : fنعتبر الدالة مثال : ) 3f x x x= +

)أحسب .1 ) ( )0

0lim

0x

f x fx+®

--

0عند على الیمینfقابلیة اشتقاق الدالة ( 0x =(

)أحسب .2 ) ( )0

0lim

0x

f x fx-®

--

0على الیسارعندfتقاق الدالة قابلیة اش( 0x =(


یةالمستوى : األولى باك علوم تجریباألستاذ : عثماني نجیب

9مذكرة رقم/


0قابلة لالشتقاق عند fھل الدالة .3 0x ؟=على الیمین عند fمماس المنحنى الممثل للدالة حدد معادلة لنصف .4

0 0x =.على الیسار عند fمماس المنحنى الممثل للدالة حدد معادلة لنصف .5

0 0x =.

)كیف نسمي النقطة .6 )( )0, 0A f؟

)الجواب : )( )

3

3

; 0

; 0

f x x x x

f x x x x

ì = + ³ïí

= - £ïî

)و ) 30 0 0 0f = + =

1(( ) ( ) ( )232

0 0 0 0

10 0lim lim lim lim 1 10 0x x x x

x xf x f x x xx x x+ + + +® ® ® ®

+- + -= = = + =

- -

0على الیمین عند قابلة لالشتقاق fومنھ 0x )و = )1 0df ¢=

0وھو العدد المشتق على الیمین عند 0x =

2(( ) ( ) ( )232

0 0 0 0

10 0lim lim lim lim 1 10 0x x x x

x xf x f x x xx x x- + + +® ® ® ®

-- - -= = = - = -

- -0على الیسار عند قابلة لالشتقاق fومنھ 0x )و = )1 0gf ¢- =

0د وھو العدد المشتق على الیسار عن 0x =3(f 0عند على الیساروعلى الیمین قابلة لالشتقاق 0x ولكن : =

( ) ( )0 0d gf f¢ ¢¹

0عند غیر قابلة لالشتقاق fومنھ : 0x =0على الیمین عند fمماس منحنى الدالة نصف معادلة ل)4 0x =.

( ) ( ) ( )0 0 0dy f x f x x x¢= + -

( ) ( ) ( ) ( )( ): 0 1 0 0 0 0d dy x y x y f f x¢D = Û = + - Û = + -

0على الیسار عند fمماس منحنى الدالة معادلة لنصف )5 0x =.

( ) ( )( )0 0 0gy f x f x x x¢= + -

( ) ( ) ( ) ( )( ): 0 1 0 0 0 0g gy x y x y f f x¢D = - Û = - - Û = + -

)لدینا )6 ) ( )0 0d gf f¢ )النقطة : ¢¹ )( )0; 0A fتسمى نقطة مزواةدالة عددیة معرفة fلتكن خاصیة:

Iعنصرا من aو Iعلى مجال مفتوح f قابلة لالشتقاق على النقطةa تكافئfقابلة

لیسار في قابلة لالشتقاق على اfوaلالشتقاق على الیمین في النقطة

)و aالنقطة )df a¢=( )gf a¢

)المعرفة كالتالي : fنعتبر الدالة :2تمرین ) 2 1f x x= -

0على الیمین عند fأدرس قابلیة اشتقاق الدالة .1 1x =0عند على الیسار fأدرس قابلیة اشتقاق الدالة .2 1x =0قابلة لالشتقاق عند fھل الدالة .3 1x ؟=0على الیمین عند fمماس منحنى الدالة حدد معادلة لنصف .4 1x =.0على الیسار عند fمماس منحنى الدالة حدد معادلة لنصف .5 1x =.)كیف نسمي النقطة .6 )( )1, 1A f؟

)الجواب : ) 2 1f x x= ندرس اشارة :-2 1x -:( )( ) 21 1 1 1 0 1 0x أو x x x x=- = Û - + = Û - =

)ومنھ : ) ] ] [ [( ) ( ) [ ]

2

2

1; ; 1 1;

1 ; 1;1

f x x x

f x x x

ì = - Î -¥ - È +¥ïí

= - - Î -ïî

)و ) 21 1 1 0f = - =

1(( ) ( ) ( ) ( )2

1 1 0 1

1 1 11 0lim lim lim lim 1 21 1 1x x x x

f x f x xx xx x x+ + + +® ® ® ®

- - +- -= = = + =

- - -

0على الیمین عند قابلة لالشتقاق fومنھ 1x )و = )2 1df ¢=

0وھو العدد المشتق على الیمین عند 1x =

2(( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2

1 1 1 1

1 01 1 1lim lim lim lim 1 2

1 1 1x x x x

xf x f x xx

x x x- - - -® ® ® ®

- - -- - - += = = - + =-

- - -

0على الیسار عند قابلة لالشتقاق fومنھ 1x )و = )2 1df ¢- =

0وھو العدد المشتق على الیسار عند 1x =3(f 0عند على الیساروعلى الیمین قابلة لالشتقاق 1x =

)ولكن : ) ( )1 1d gf f¢ ¢¹

0عند غیر قابلة لالشتقاق fومنھ : 1x =0على الیمین عند fمماس منحنى الدالة معادلة لنصف )4 1x =.

( ) ( ) ( )0 0 0dy f x f x x x¢= + -

( ) ( ) ( ) ( )( ): 2 4 0 2 2 1 1 1d dy x y x y f f x¢D = - Û = + - Û = + -

0على الیسار عندfمماس منحنى الدالة معادلة لنصف )5 0x =.

( ) ( )( )0 0 0gy f x f x x x¢= + -

( ) ( ) ( ) ( ) ( ): 2 2 0 2 1 1 1 1g gy x y x y f f x¢D = - + Û = - - Û = + -

)لدینا )6 ) ( )1 1d gf f¢ )النقطة : ¢¹ )( )1; 1A fتسمى نقطة مزواةIII.الدالة المشتقة لدالة عددیةاالشتقاق على مجال.1

fنقول إن الدالة Iدالة عددیة معرفة على مجال مفتوح fتعریف:Iقابلة لالشتقاق في كل نقطة منfإذا كانتIلالشتقاق على المجالقابلة

الدالة المشتقة.2fالدالة المشتقة للدالة Iدالة عددیة معرفة على مجال fلتكن

)ھي الدالة التي نرمز لھا بالرمز )f x¢: و المعرفة كما یلي( )

:f Ix f x¢ ®

¢®

R

IV.جدول للدوال المشتقة لدوال اعتیادیة و العملیاتحول الدوال المشتقة

)2و 1أنظر الجدول(في كل حالة من الحاالت التالیة : fحدد الدالة المشتقة للدالة أمثلة:

1(( ) 2f x =2(( ) 3 5f x x= -3(( ) 10f x x=

4 (( ) 3 214 12

f x x x= - -5 (( ) 5f xx

=6 (( ) 6 4f x x= -

7 (( ) 46 cos 3sinf x x x x= - +8 (( ) ( )cos 7 2f x x= +

9 (( ) ( )4 sin 5 45

f x x= +10(( ) 3tan 1f x x= -

11 (( ) cosf x x x=12 (( ) 12 1

f xx

=+

13(( ) 3 12

xf xx-=+

14(( ) ( )33 4f x x= +15 (( ) 2 1f x x= +

))1أجوبة : ) ( )2 0f x ¢¢ = =2(( ) ( )3 5 3f x x ¢¢ = - =

3(( ) ( )10 10 1 910 10f x x x x-¢¢ = = =

4(( ) 3 2 3 1 21 14 1 4 3 2 0 122 2

f x x x x x x x-¢æ ö¢ = - - = ´ - ´ - = -ç ÷

è ø


5(( ) 2 25 1 1 55 5f xx x x x

¢ ¢ -æ ö æ ö æ ö¢ = = ´ = ´ - =ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø

6 (( ) ( ) 1 3 36 4 6 02

xf x xxx x

¢¢ = - = ´ - = =

7 (( ) ( )4 3 36 cos 3sin 6 4 sin 3cos 24 sin 3cosf x x x x x x x x x x¢¢ = - + = ´ + + = + +

8 (( ) ( ) ( )cos 7 2 7 sin 7 2f x x x¢¢ = + = - ´ +

9 (( ) ( ) ( ) ( )4 4sin 5 4 5 cos 5 4 4 cos 5 45 5

f x x x x¢¢ = + = ´ + = ´ +

10(( ) ( ) ( ) ( )2 23tan 1 3 1 tan 0 3 1 tanf x x x x¢¢ = - = ´ + - = ´ +

)) نستعمل القاعدة التالیة : 11 )u v u v u v¢ ¢ ¢´ = ´ + ´

( ) ( )cos cos cos 1 cos sin cos sinf x x x x x x x x x x x x x¢ ¢ ¢¢ = ´ = ´ + ´ = ´ - ´ = -

) نستعمل القاعدة التالیة : 122

1 uu u

¢ ¢æ ö =-ç ÷è ø

( ) ( )( ) ( )2 2

2 11 22 1 2 1 2 1

xf x

x x x

¢¢ +æ ö¢ = =- =-ç ÷+è ø + +

13(( ) 3 12

xf xx-=+

نستعمل القاعدة التالیة : 2

u uv uvv v

¢ ¢ ¢-æ ö =ç ÷è ø

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( )2 2 2

3 1 2 3 1 2 3 2 1 3 13 1 72 2 2 2

x x x x x xxf xx x x x

¢ ¢¢ - + - - + + - ´ --æ ö¢ = = = =ç ÷+è ø + + +

14(( ) ( )33 4f x x= )نستعمل القاعدة التالیة : + ) 1n nu nu u-¢ ¢= ´

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 1 3 1 23 4 3 3 4 3 4 3 3 3 4 9 3 4f x x x x x x- -¢ ¢¢ = + = ´ + ´ + = ´ ´ + = +

)نستعمل القاعدة التالیة : )15 )2uu

u

¢¢ =

( ) ( ) ( )22

2 2 2

1 212 1 2 1 1

x x xf x xx x x

¢+¢¢ = + = = =

+ + +في كل حالة من الحاالت التالیة : fحدد الدالة المشتقة للدالة :3تمرین

1 (( ) 11f x =2 (( ) 7 15f x x= +3 (( ) 32f x x=

4 (( ) 4 314 13

f x x x x= - - +5 (( ) 5 41 1 4 65 4

f x x x x= - - -

6 (( ) 3f xx

=7 (( ) 4 1f x x= -8(( ) cos2 3sin3f x x x= +

9 (( ) ( )( )23 2 7 1f x x x= + +10 (( ) 15 7

f xx

=+

11 (( ) 2 8f x x x= +12(( ) 3

71

xf xx

=+

13(( ) 1sin

f xx

=

14(( ) 4 32 1xf xx-=-

15(( ) ( )72 1f x x= -

))1أجوبة : ) ( )11 0f x ¢¢ = =2(( ) ( )7 15 7f x x ¢¢ = + =

3(( ) ( )3 3 1 22 2 3 6f x x x x-¢¢ = = ´ =

4(( ) 4 3 4 1 2 3 21 14 1 4 4 3 1 0 16 13 3

f x x x x x x x x-¢æ ö¢ = - - + = ´ - ´ - + = - -ç ÷

è ø

5(( ) 5 4 5 1 3 4 31 1 1 14 6 5 4 4 0 45 4 5 4

f x x x x x x x x-¢æ ö¢ = - - - = ´ - ´ - + = - -ç ÷

è ø

6(( ) 2 23 1 1 33 3f xx x x x

¢ ¢ -æ ö æ ö æ ö¢ = = ´ = ´ - =ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø

7 (( ) ( ) 1 2 24 1 4 02

xf x xxx x

¢¢ = - = ´ - = =

8 (( ) ( )cos2 3sin3 2sin2 3 3cos3 2sin2 9cos3f x x x x x x x¢¢ = + =- + ´ =- +

9 (( ) ( )( )23 2 7 1f x x x= + +

)نستعمل القاعدة التالیة : )u v u v u v¢ ¢ ¢´ = ´ + ´

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 23 2 7 1 3 2 7 1 3 2 7 1f x x x x x x x¢ ¢ ¢¢ = + ´ + = + ´ + + + ´ +

( ) ( ) ( )2 2 2 26 7 1 7 3 2 42 6 21 14 63 6 14f x x x x x x x x x¢ = ´ + + + = + + + = + +

) نستعمل القاعدة التالیة : 102

1 uu u

¢ ¢æ ö =-ç ÷è ø

( ) ( )( ) ( )2 2

5 71 55 7 5 7 5 7

xf x

x x x

¢¢ +æ ö¢ = =- =-ç ÷+è ø + +

11 (( ) 2 8f x x x= )نستعمل القاعدة التالیة : + )2uu

u

¢¢ =

12(( ) 3

71

xf xx

=+


u u v uvv v

¢ ¢ ¢-æ ö =ç ÷è ø

( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )

3 3 3 2

2 23 3 3

7 1 7 1 7 1 7 371 1 1

x x x x x x xxf xx x x

¢¢¢ + - + + - ´æ ö¢ = = =ç ÷+è ø + +

( )( ) ( )3 3 3

2 23 3

7 7 21 7 14

1 1

x x xf xx x

+ - -¢ = =+ +

13(( ) 1sin

f xx

نستعمل القاعدة التالیة : =2

1 uu u

¢ ¢æ ö =-ç ÷è ø

( ) ( )( ) ( )2 2

sin1 cossin sin sin

x xf xx x x

¢¢ ¢æ ö¢ = =- =-ç ÷è ø

14 (( ) 4 32 1xf xx-=-


u uv uvv v

¢ ¢ ¢-æ ö =ç ÷è ø

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )2 2

4 3 2 1 4 3 2 1 4 2 1 2 4 34 32 1 2 1 2 1

x x x x x xxf xx x x

¢ ¢¢ - - - - - - - ´ --æ ö¢ = = =ç ÷-è ø - -

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2

4 2 1 2 4 3 8 4 8 6 22 1 2 1 2 1

x x x xf xx x x

- - ´ - - - +¢ = = =- - -

15(( ) ( )72 1f x x= )نستعمل القاعدة التالیة : - ) 1n nu nu u-¢ ¢= ´

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )7 7 1 62 1 7 2 1 2 1 14 2 1f x x x x x-¢ ¢¢ = - = ´ - ´ - = -

V.المشتقات المتتالیة-الدالة المشتقة الثانیة)المعرفة كالتالي : fنعتبر الدالة مثال : ) 3 25 4 2f x x x x= - + -

ة و الثالثة أحسب المشتقة األولى و الثانیالجواب:

( ) ( )3 2 2 1 25 4 2 3 5 2 4 0 3 10 4f x x x x x x x x¢¢ = - + - = - ´ + - = - +

( ) ( )23 10 4 6 10f x x x x¢¢¢ = - + = )و - ) ( )6 10 6f x x ¢¢¢¢ = - =

VI.:تطبیقات الدالة المشتقةرتابة دالة وإشارة مشتقاتھا.1

Iدالة عددیة قابلة لالشتقاق على مجال fلتكن خاصیة:·f تزایدیة على مجالI0³یعني( )f x¢x I" Î

( ) ( ) ( )22

2 2 2

8 2 8 482 8 2 8 8

x x x xf x x xx x x x x x

¢+¢ + +¢ = + = = =+ + +


·f مجال تناقصیة علىI0یعني£( )f x¢x I" Î

·f ثابتة على مجالI0یعني=( )f x¢x I" Î

)المعرفة كالتالي :fنعتبر الدالة مثال: ) 2 2 2f x x x= + -

fDعند محدات f) أحسب نھایات fD2حدد )1

f) حدد جدول تغیرات 4درس تغیرات ) أ3fDحدودیة اذن fالدالة )1:الجواب = ¡

2(( ) 2 2lim lim 2 2 limx x x

f x x x x®-¥ ®-¥ ®-¥

= + - = = +¥

( ) 2 2lim lim 2 2 limx x x

f x x x x®+¥ ®+¥ ®+¥

= + - = = +¥

3(( ) ( )2 2 2 2 2f x x x x¢¢ = + - = +:x" Î¡

( ) 0f x¢ 2یعني = 2 0x + 1xیعني = = -

)ندرس اشارة : )f x¢

]اذا كانت: [1;xÎ - )فان : ¥+ ) 0f x¢ تزایدیھfومنھ ³

[اذا كانت: ]; 1xÎ -¥ )فان : - ) 0f x¢ تناقصیةfومنھ £)نلخص النتائج في جدول یسمى جدول التغیرات :4

دالة قابلة لالشتقاقفمطار ی.2Iدالة قابلة لالشتقاق على مجال مفتوح f:لتكن1خاصیة

Iعنصرا من aو اوتقبل مطرا فaدالة قابلة لالشتقاق في النقطة fذا كانت إ

)=0فان aفي النقطة )f a¢

aو Iدالة قابلة لالشتقاق على مجال مفتوح f:لتكن 2خاصیة

Iعنصرا من fإذا كانت )إشارتھا فانتتغیر aتنعدم في النقطة ¢ )f aامطرا ف

fللدالة )المعرفة كالتالي :fحدد مطاریف الدالة:مثال ) 2 6 1f x x x= - +

fDالجواب : = )و ¡ ) ( )2 6 1 2 6f x x x x¢¢ = - + = -

( ) 0f x¢ 2یعني = 6 0x- 3xیعني = =)ندرس اشارة : )f x¢ونحدد جدول التغیرات

f )و تتغیر إشارتھا اذن3تنعدم في ¢ )3 8f = fمطرا ف للدالة -fوبالضبط قیمة دنیا للدالة

)المعرفة كالتالي :fنعتبر الدالة :4تمرین ) 22 1f x x x= + +

)أو ) 2 2 3f x x x= - + )أو+ ) 2f x x x= - +

fDعند محدات fھایات ) أحسب نfD2حدد )1

f) حدد جدول تغیرات 4أدرس اشارتھا وfأحسب مشتقة الدالة)3

0ھافي النقطة الذي أفصولf)حدد معادلة لمماس منحى الدالة 5 1x =

))حدد نقط تقاطع 6 )fCمع محوري المعلم

ان وجدتf)حدد مطاریف الدالة7)) أرسم8 )fCفي معلم متعامد ممنظم

):الجواب ) 22 1f x x x= + +

fDحدودیة اذن fالدالة )1 = ¡

2(( ) 2 2lim lim 2 1 lim 2x x x

f x x x x®-¥ ®-¥ ®-¥

= + + = = +¥

( ) 2 2lim lim 2 1 lim 2x x x

f x x x x®+¥ ®+¥ ®+¥

= + + = = +¥

3(( ) ( )22 1 4 1f x x x x¢¢ = + + = +:x" Î¡

( ) 0f x¢ 4یعني = 1 0x + 1یعني =4

x = -

)ندرس اشارة : )f x¢

) جدول التغیرات :4

5(( ) ( )( )0 0 0y f x f x x x¢= + -

( ) ( ) ( )( )5 21 4 5 5 1 1 1y x y x y f f x¢= - Û = + - Û = + -

)ألن : )1 4f )و = )1 5f ¢ =

))أ)نقط تقاطع)6 )fCالمنحنى الممثل للدالةfمع محور األفاصیل)ة :نحل فقط المعادل ) 0f x 22یعني = 1 0x x+ + =

نحل المعادلة باستعمال الممیز2a 1bو = 1cو = =

( )22 4 1 4 1 2 7 0b acD= - = - ´ ´ =- <

یاني ومنھ ھذه المعادلة لیس لھا حل: وبالتلي التمثیل المبال یقطع محور األفاصیل

)ب)نقط تقاطع )fCالمنحنى الممثل للدالةfمع محور األراتیب)نحسب فقط : )0f

( )0 1f )ومنھ نقطة التقاطع ھي: = )0;1A

7)الدالة تقبل قیمة دنیا ھي : 78

fC)رسم: 8210-1/4-12-

11417/827


)مالحظة : بالنسبة ل ) 2 2 3f x x x= - + وتحدید نقط التقاطع +)مع محور األفاصیل نحل المعادلة : ) 0f x 2یعني = 2 3 0x x- + + =

نحل المعادلة باستعمال الممیز1a = 2bو - 3cو = =

( ) ( ) ( )2 22 4 2 4 3 1 16 4 0b acD= - = - ´ ´ - = = >0Dبما أن f :فان ھذه المعادلة تقبل حلین ھما

1 2bx

a- + D

=و

2 2bx

a- - D

=

( )1

2 161

2x

- += = -

-و

22 16 3

2x - -= =

-)ومنھ نقط التقاطع ھما: )1;0A )أو - )3;0B

المعرفتین كالتالي : gو fنعتبر الدالتین :5تمرین( )

( )

2 2 ; 12 5; 1

f x x x x

f x xx

ì = + £ïí

= - + >ïî

)و ) ( )1g x x x= -

0دعلى الیمین وعلى الیسار عنf)أدرس قابلیة اشتقاق الدالة 1 1x =قابلة لالشتقاق ؟f)ھل الدالة20عند g)أدرس قابلیة اشتقاق الدالة 3 0x =

)الجواب : )

( )

2 2 ; 12 5; 1

f x x x x

f x xx

ì = + £ïí

= - + >ïî

)و ) 21 1 2 1 3f = + ´ =

1(( ) ( )1 1 1 1

4 4 4 25 3 21lim lim lim lim

1 1 1 1x x x x

xf x f x x x

x x x x+ + + +® ® ® ®

- +- + - - +-

= = =- - - -

1 1

4 2 1 4 2 1lim lim1 1x x

x xx x x x+ +® ®

- + - += ´ = ´ = -¥

- -0على الیمین عند غیر قابلة لالشتقاقfومنھ 1x =

( ) ( ) 2

1 1

0 2 3lim lim1 1x x

f x f x xx x- +® ®

- + -=

- -0نحصل عن شكل غ محدد من قبیل :

0نتخلص من ال ش غ م مثال بالتعمیل ثم باالختزال:

2جذرللحدودیة 1نالحظ أن : 2 3x x+ -1xاذن : ھي تقبل القسمة على : -

)وباستعمال تقنیة القسمة االقلیدیة نجد أن : ) ( )2 2 3 3 1x x x x+ - = + -( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

0 3 1lim lim lim 3 4

1 1x x x

f x f x xx

x x- - -® ® ®

- + -= = + =

- -0على الیسار عند قابلة لالشتقاق fومنھ 1x )و = )4 1gf ¢=

2(f على الیمین غیر قابلة لالشتقاق0عند غیر قابلة لالشتقاق fومنھ : 1x =

3(( ) ( )1g x x x= )و - )0 0g =( ) ( )( ) ( )

1 ; 0

1 ; 0

g x x x x

g x x x x

= - ³ìïí

= - - £ïî( ) ( ) ( )

0 0 0


0 0x x x

f x f x xx

x x+ + +® ® ®

- - -= = - = -

- -

0على الیمین عند شتقاق قابلة لالgومنھ 0x )و = )1 0df ¢- =( ) ( ) ( )

0 0 0


0 0x x x

f x f x xx

x x- - -® ® ®

- - - -= = - + =

- -0على الیسار عند قابلة لالشتقاق gومنھ 0x )و = )1 0gg¢- =

g0عند على الیساروعلى الیمین لالشتقاق قابلة 0x =)ولكن : ) ( )0 0d gg g¢ ¢¹

0عند غیر قابلة لالشتقاق gومنھ : 0x =حل معادلة تفاضلیة.3

عددا حقیقیا غیر منعدم .wلیكن تعریف:2المعادلة · 0y yw¢¢ + ¢¢yحیث yھول الدالة ذات المج=

مشتقتھا الثانیة تسمى معادلة تفاضلیة.Rقابلة لالشتقاق مرتین على fكل دالة ·

)وتحقق المتساویة : ) ( )2 0f x f xw¢¢ + Rمن xلكل =2تسمى حال للمعادلة التفاضلیة 0y yw¢¢ + =.

عددا حقیقیا غیر منعدم .wلیكن خاصیة:2الحل العام للمعادلة التفاضلیة 0y yw¢¢ + ھو مجموعة=

:یلي : المعرفة كما yالدوال cos siny x x xa w b w® +.aحیث ÎR وb ÎR

2حل المعادلة التفاضلیة :ملحوظة : 0y yw¢¢ + =یعني تحدید الحل العام للمعادلة.

16حل المعادلة التفاضلیة التالیة: مثال: 0y y¢¢+ =24الجواب 0 16 0y y y y¢¢ ¢¢+ = Û + = :

16ومنھ الحل العام للمعادلة التفاضلیة 0y y¢¢+ =:یلي : المعرفة كماyھو مجموعة الدوال cos4 sin4y x x xa b® +

aحیث ÎR وb ÎR4) 1حل المعادالت التفاضلیة التالیة: :6تمرین 0y y¢¢ + =2(8 0y y¢¢ + =3 (0y y¢¢ + =4(9 16 0y y¢¢ + =

22)1الجواب 0 4 0y y y y¢¢ ¢¢+ = Û + = :4ومنھ الحل العام للمعادلة التفاضلیة 0y y¢¢+ =

:المعرفة كما یلي : yھو مجموعة الدوال cos2 sin2y x x xa b® +aحیث ÎR وb ÎR

2 (( )22 2 0 8 0y y y y¢¢ ¢¢+ = Û + = :

8ومنھ الحل العام للمعادلة التفاضلیة 0y y¢¢+ =:المعرفة كما یلي : yھو مجموعة الدوال cos2 2 sin2 2y x x xa b® +

aحیث ÎR وb ÎR3 (20 1 0y y y y¢¢ ¢¢+ = Û + = :

0yم للمعادلة التفاضلیةومنھ الحل العا y¢¢+ =:المعرفة كما یلي : yھو مجموعة الدوال cos1 sin1y x x xa b® +

aحیث ÎR وb ÎR

4 (24 160 0 9 16 0

3 9y y y y y yæ ö¢¢ ¢¢ ¢¢+ = Û + = Û + =ç ÷è ø

:

8ومنھ الحل العام للمعادلة التفاضلیة 0y y¢¢+ =

4المعرفة كما یلي :yھو مجموعة الدوال 4: cos sin3 3

y x x xa b® +

aحیث ÎR وb ÎR


الجدو ل للدوال المشتقة لدوال اعتیادیة و العملیات حول الدو

الدالة المشتقة لدالة f ¢

( )f x k=( ) 0f x¢ =

( )f x x=( ) 1f x¢ =

( )f x ax=( )f x a¢ =

( )f x ax b= +( )f x a¢ =

( ) nxxf =( ) 1nf x nx -¢ = n *ÎZ

( ) 1f xx

=( ) 2

1f xx

¢ = -

( )f x x=( ) 12

f xx

¢ =

( ) xxf cos=( ) sinf x x¢ = -

( ) xxf sin=( ) cosf x x¢ =

( ) ( )baxxf += cos( ) ( )sinf x a ax b¢ = - +

( ) ( )baxxf += sin( ) ( )cosf x a ax b¢ = +

( ) tanf x x=( ) 22

1 1 tancos

f x xx

¢ = = +

الدالة المشتقة الدالة f ¢

( ) tanf x x=( ) 22

1 1 tancos

f x xx

¢ = = +

( )f x u v= +( )f x u v¢ ¢ ¢= +

( )f x u v= -( )f x u v¢ ¢ ¢= -

( ) .f x k u=( ) .f x k u¢ ¢=

( )f x u v= ´( )f x u v u v¢ ¢ ¢= ´ + ´

( ) nf x u=( ) nf x nu u¢ ¢= ´

( ) 1f xu

=( ) 2

uf xu¢

¢ = -

( ) uf xv

=( ) 2

u v u vf xv

¢ ¢´ - ´¢ =

( )f x u=( )2uf x

u¢

¢ =


في درس متجهات الفضاء10مذكرة رقم األھداف و القدرات المنتظرة من الدرس :

I.تساوي متجھتیننقطتان من الفضاء , إذا رمزنا للمتجھة Bو Aعناصر متجھة:

ABuuur

uبالرمز r

فان :uاتجاه §

r

)ھو المستقیم )AB.Bنحو Aمنحى ھو المنحى من §uمنظم §

r

uو نكتب : ABھي المسافة AB=r

AAمن الفضاء , المتجھة Aلكل نقطة ملحوظة:uuur

لیس لھا اتجاه و منظمھا منعدم ؛

AAuuur

0AAتسمى المتجھة المنعدمة , ونكتب =uuur r

uلكل متجھة r

من الفضاء , توجد نقطة Aمن الفضاء , لكل نقطة AMمن الفضاء بحیث : Mوحیدة

uuuur

=ur

متساویتان , ادا كان لھما نفس االتجاه نقول إن متجھتین تعریف:ونفس المنحى ونفس المنظم.

رباعیا من الفضاء لدینا : ABCDلیكن خاصیة:ABCD متوازي األضالع ادا وفقط ادا كانDC

uuur=AB

uuur.أربع نقط غیر مستقیمیة Dو Cو Bو Aلتكن مثال:

MAبین أنھ ادا كان : MC MB MD+ = +uuur uuuur uuur uuuur

من الفضاءMلكل متوازي األضالع. ABCDفان :

ABالجواب :یكفي أن نبین مثال أن : DC=uuur uuur

؟؟؟؟لدینا :

MA MC MB MD+ = +uuur uuuur uuur uuuur

MAیعني MC MA AB MC CD+ = + + +uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur

0یعني AB CD= +r uuur uuur

ABیعني DC=uuur uuur

II.مجموع متجھتینuلتكن تعریف:

r

vو r

متجھتین من الفضاءuمجموع المتجھتین r

vو r

wھي المتجھة ur

: ادا وضعنا بحیث ABuuur

=ur

BCوuuur

=vr

ACفان : uuur

=wur

vو نكتب :r

+ur

=wur

نقط من الفضاء Cو Bو Aلكلعالقة شال:ACلدینا : AB BC= +

uuur uuur uuur

uلتكن مقابل متجھة:r

متجھة من الفضاء ,uمقابل المتجھة r

uمز ھي المتجھة التي نرمز لھا بالرr

و التي -uلھا نفس اتجاه r

uونفس منظمr

و ولكن منحاھا ھو uعكس منحى r

ABولدینا uuur

-=BAuuur

من الفضاء .Bو Aلكلأربع نقط من الفضاء Dو Cو Bو Aلتكن 3نضع :مثال: 2 4 5u MA MC MB MD= - + -

r uuur uuuur uuur uuuurمن الفضاءMلكل

uبین أن : المتجھة r

Mغیر مرتبطة بالنقطة

3الجواب : 2 2 4 4 5 5u MA MA AC MA AB MA AD= - - + + - -r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

یعني2 4 5u AC AB AD=- + -

r uuur uuur uuuruالمتجھة ومنھ

r

ة غیر مرتبطة بالنقطMIII.استقامیة متجھتین و التعریف المتجھي لمستقیم ومستوىاستقامیة متجھتین :.1

uلتكن :تعریفr

vو r

متجھتین غیر منعدمتین من الفضاء uنقول ان r

vو r

kمستقیمیتان اذا وجد عدد حقیقيvبحیث : ku=

r r

ث نقط من الفضاء بحیDو Cو Bو Aلتكنخاصیة ::A B¹ وC D¹

( ) ( ) ;AB CD k CD ABÛ $ Î =uuur uuur

P ¡

رباعي األوجھ ABCDلیكن :تمرینأربع نقط بحیث : Qو Pو Nو Mنعتبر النقط

2AM AB=uuuur uuur

2ANو AD=uuur uuur

3CQو CB=uuur uuur

و 3CP CD=

uuur uuur

أنشئ الشكل ..1MNأكتب كال من المتجھتین .2

uuuur

PQو uuur

BDبداللة uuur

MNاستنتج أن المتجھتین .3uuuur

PQو uuur

مستقیمیتان .)ماذا تستنتج بالنسبة للمستقیمین .4 )MN و( )PQ؟

أجوبة :الشكل

2(2 2MN MA AN AM AN AB AD= + = - + = - +uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur

( )2 2 2 2MN BA AD BA AD BD= + = + =uuuur uuur uuur uuur uuur uuur

( )3 3 3PQ PC CQ CP CQ CD CB CD CB= + =- + =- + =- -uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur




( ) ( )3 3 3PQ CD BC BC CD BD= - + = - + = -uuur uuur uuur uuur uuur uuur

2MNوجدنا )3 BD=uuuur uuur

1یعني 2

BD MN=uuur uuuur

�

3PQووجدنا BD= -uuur uuur

1یعني3

BD PQ= -uuur uuur

�

1أن : نستنتج �و �من 12 3

MN PQ=-uuuur uuur 2أي

3MN PQ=-uuuur uuur

MNالمتجھتین ومنھuuuur

PQو uuur

مستقیمیتان .2وجدنا )4

3MN PQ=-uuuur uuur اذن المستقیمان( )MN و( )PQمتوازیان

التعریف المتجھي لمستقیم في الفضاء :.2uمن الفضاء وAلتكن نقطة

r

متجھة غیر منعدمة )مالمستقی )D الذي یمر منA وu

r

تجھة موجھة لھ نرمز لھ م)بالرمز );D A u

r: ولدینا

;M D k AM kuÎ Û $ Î =uuuur r

¡

( ) ;M AB k AM k ABÎ Û$ Î =uuuur uuur

¡

التعریف المتجھي لمستوى في الفضاء :.3A وB وCالفضاء غیر مستقیمیةثالث نقط من

ABuuur

ACو uuur

تكون Cو Bو Aمتجھتین غیر مستقیمیتین و )لنا مستوى )P ABC=

)نقول )P ABC= مستوى یمر من النقطةA وABuuur

ACو uuur

متجھتین موجھتین لھ)ونكتب : ); ;P A u v ABC=

r r

ur

vو r

AMوuuuur

)Ûمستوائیة ); ;P A u vr rM Î

;k AM kuÛ $ Î =uuuur r

¡( ); ;P A u vr r

M Î

;x y AM xu yvÛ$ Î $ Î = +uuuur r r

¡ ¡( ); ;P A u vr r

M Î

ABuuur

ACو uuur

AMوuuuur

ÛABCMمستوائیة Îتمریننقطة من الفضاء بحیث : Mرباعي األوجھ وABCDلیكن

12

AM AD AB DC= + +uuuur uuur uuur uuur

AMأكتب المتجھة .1uuuur بداللةAB

uuur

ACو uuur

)تنتمي إلى المستوى Mاستنتج أن النقطة .2 )ABC

IJاستنتج أن المتجھات .3uur

ABو uuur

ECو uuur

مستوائیة .) 1أجوبة :

1 12 2

AM AD AB DC AB BD AB DA AC= + + = + + + +uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

1 1 1 12 2 2

AM AB AB BA AC AB AB AB AC AB AC= + + + = + - + = ´ + úuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

1وجدنا )2 12

AM AB AC= ´ + úuuur uuur uuur ومنھ النقطةM تنتمي إلى

)المستوى )ABC

1وجدنا )3 12

AM AB AC= ´ + úuuur uuur uuur المتجھاتومنھAM

uuuur

ABو uuur

ACوuuur

مستوائیة


في درس تحليلية الفضاء12مذكرة رقم األھداف و القدرات المنتظرة من الدرس :

I. إحداثیات نقطة بالنسبة لمعلم ، إحداثیات متجھة بالنسبة ألساساألساس و المعلم في الفضاء§

iاذا كان r

jو r

kو r

نقطة من Oثالثة متجھات غیر مستوائیة والفضاء.

)نقول إن المثلوث ); ;i j kr r r

أساس للفضاء ، و أن المربوع

( ); ; ;O i j kr r r

معلم في الفضاء.

غیر مستوائیة تحدد لنا Cو BوAوOأربع نقط ملحوظة:)أساسا مثال : ); ;OA OB OC

uuur uuur uuur

)و معلما في الفضاء مثال : ); ; ;O OA OB OCuuur uuur uuur.

)لیكن خاصیة: ); ; ;O i j kr r r

معلما في الفضاء

بحیث: zوyوxمن الفضاء توجد ثالث أعداد حقیقیةMلكل نقطةOM xi y j zk= + +uuuur r r r

uو لكل متجھة r

الفضاء یوجد مثلوث من )وحید ); ;x y z : بحیثu xi y j zk= + +

r r r r

o( ); ;x y z یسمى مثلوث إحداثیات النقطةM بالنسبة للمعلم

( ); ; ;O i j kr r r و نكتب( ); ;M x y z.

ox یسمى أفصول النقطةM بالنسبة للمعلم( ); ; ;O i j kr r r.

oy یسمى أرتوب النقطةM بالنسبة للمعلم( ); ; ;O i j kr r r

.

oz یسمى أنسوب النقطةM بالنسبة للمعلم( ); ; ;O i j kr r r.

o( ); ;x y z یسمى مثلوث إحداثیات المتجھةur

بالنسبة لألساس

( ); ;i j kr r r و نكتب( ); ;u x y z

r.

)نعتبر في الفضاء المنسوب إلى معلم :1رینتم ); ; ;o i j kr r r

و Aالنقط

B وC وD : بحیث2 3OA i j k= + -

uuur r r r2و 5 3OB i j k= + +

uuur r r rو

4 2OC i j k= - +uuur r r r

3و 2 5AD i j k= + +uuur r r r

)في المعلم Dو Cو Bو Aحدد إحداثیات )1 ); ; ;o i j kr r r

ABمتجھات حدد إحداثیات ال)2uuur

ACوuuur

2uو AB AC= -r uuur uuur

في األساس

( ); ;i j kr r r

.

2) 1أجوبة : 3OA i j k= + -uuur r r r

)یعني )1;2; 3A -

2 5 3OB i j k= + +uuur r r r

)یعني )2;5;3B

4 2OC i j k= - +uuur r r r

)یعني )1; 4; 2C -

AD AO OD= +uuur uuur uuur

ODیعني AD AO AD OA= - = +uuur uuur uuur uuur uuur

3یعني 2 5 2 3 4 4 2OD AD AO i j k i j k i j k= - = + + + + - = + +uuur uuur uuur r r r r r r r r r

)یعني )4; 4;2D

2(( )2 3 2 5 3AB AO OB OA OB i j k i j k= + =- + =- + - + + +uuur uuur uuur uuur uuur r r r r r r

2 3 2 5 3 3 6AB i j k i j k i j k= - - + + + + = + +uuur r r r r r r r r r

)ھ ومن )1;3;6ABuuur

( )2 3 4 2AC AO OC OA OC i j k i j k= + = - + = - + - + - +uuur uuur uuur uuur uuur r r r r r r

2 3 4 2 0 6 5AC i j k i j k i j k=- - + + - + = - +uuur r r r r r r r r r

)ومنھ )0; 6;5AC -uuur

2u AB AC= -r uuur uuur

)یعني )3 6 2 0 6 5u i j k i j k= + + - - +r r r r r r r

)یعني )3 6 2 0 6 5 15 4u i j k i j k i j k= + + - - + = + -r r r r r r r r r r

)ومنھ )1;15; 4u -r

صف قطعة و المسافة بین نقطتینإحداثیات منت§)لتكنخاصیة: ); ;A A AA x y z و( ); ;B B BB x y z نقطتین

)من الفضاء المنسوب إلى المعلم ); ; ;O i j kr r rوI منتصف القطعة[ ]AB

ABة مثلوث إحداثیات المتجھ)1uuur

)ھو ); ;B A B A B AAB x x y y z z- - -uuur

Iمثلوث إحداثیات النقطة )2;ھو ;

2 2 2B A B A B Ax x y y z zI + + +æ ö

ç ÷è ø

)المسافة: )3 ) ( ) ( )2 2 2B A B A B AAB x x y y z z= - + - + -

)مثال : )3;2;1A )و - )5;3; 1B حدد مثلوث إحداثیات المتجھة -

ABuuur

]منتصف القطعة Iو مثلوث إحداثیات ]AB و المسافةAB)الجواب : )5 3;3 2; 1 1AB + - - -

uuur)یعني )8;1; 2AB -

uuur




( )5 3 3 2 1 1; ;2 2 2

I+ -æ ö+ - +

ç ÷è ø

;51یعني ;02

I æ öç ÷è ø

( ) ( ) ( )2 2 25 3 3 2 1 1 64 1 4 69AB AB= = + + - + - - = + + =uuur

)في كل ما یلي الفضاء منسوب إلى معلم ); ; ;O i j kr r r

II.محددة ثالث متجھات في الفضاءشرط استقامیة متجھتین.1

)لتكن:1خاصیة ); ;u x y zr

)و ); ;v x y z¢ ¢ ¢r

متجھتین غیر منعدمتین.

uالمتجھتان r

vو r

بحیث kمستقیمیتان إذا وفقط إذا وجد عدد حقیقي :x kx¢ yو = ky¢ zو = kz¢ =

uإذا كانت جمیع إحداثیات كل من ملحوظة:r

vو r

غیر منعدمة uفان : r

vو r

xمستقیمیتان إذا وفقط إذا كانت y zx y z¢ ¢ ¢= =

)لتكن:2خاصیة ); ;u x y zr و( ); ;v x y z¢ ¢ ¢

rمتجھتین من الفضاء .

ur

vو r

متجھتان مستقیمیتان إذا وفقط إذا كانت :

0y yz z

¢=

¢0و

x xz z

¢=

¢0و

x xy y

¢=

¢

)نعتبر في الفضاء المنسوب إلى األساس مثال : ); ;i j kr r r

المتجھات

( )1; 1;2u -r

)و )2;2; 4v - -r

)و )1;1;2wur

uأدرس استقامیة المتجھتین )1r

vو r

uأدرس استقامیة المتجھتین )2r

wو ur

)نحسب المحددات المستخرجة :لدینا1األجوبة :1 2

4 4 02 4-

= - =-

1و 24 4 0

2 4-

=- + =-

1و 22 2 0

1 2-

= - =-

uومنھ المتجھتین r

vو r

مستقیمیتین1) نحسب المحددات المستخرجة :لدینا 2 1

2 2 4 02 2-

=- - =- ¹

uومنھ المتجھتین r

wو ur

غیر مستقیمیتین)نعتبر في الفضاء المنسوب إلى معلم :2تمرین ); ; ;o i j k

r r r

النقط

( )1;2;1A و( )2;1;3B و( )1;4; 3C - )و - )2;3;3DCو Bو Aأدرس استقامیة النقط .1Dو Bو Aأدرس استقامیة النقط .2

))1األجوبة : )2 1;1 2;3 1AB - - -uuur

)یعني )1; 1;2AB -uuur

( )1 1;4 2; 3 1AC - - - - -uuur

)یعني )2;2; 4AC - -uuur

المستخرجة :لدینانحسب المحددات 1 2

4 4 02 4-

= - =-

1و 24 4 0

2 4-

=- + =-

1و 22 2 0

1 2-

= - =-

ABومنھ المتجھتین uuur

ACو uuur

و Bو Aمستقیمیتین وبالتالي النقط : Cمستقیمیة2(( )1; 1;2AB -

uuur)و )1;1;2AD

uuur

1 12 2 4 0

2 2-

=- - =- ABومنھ المتجھتین ¹uuur

ADو uuur

غیر مستقیمیتین

غیر مستقیمیة Dو Bو Aوبالتالي النقط : متجھات مستوائیة:.2

)لتكنتعریف: ); ;u x y zr

)و ); ;v x y z¢ ¢ ¢r

)و ); ;w x y z¢¢ ¢¢ ¢¢ur

ثالث متجھات من الفضاء .

)العدد الحقیقي: ) ( ) ( )x y z z y y x z z x z x y y x¢ ¢¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢¢- - - + -

uیسمى محددة المتجھات r

vو r

wو ur

ونرمز لھxبأحد الرمزین : x x

y y yz z z

¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢

)أو )det ; ;u v wr r ur

ومنھ لدینا : x x

zy y¢ ¢¢

+¢ ¢¢

x xy

z z¢ ¢¢

-¢ ¢¢

y yx

z z¢ ¢¢¢ ¢¢

=x x xy y yz z z

¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢

)نعتبر في الفضاء المنسوب إلى األساس مثال ); ;i j kr r r

المتجھات

( )1;1;1u -r

)و )0; 4;4v -r

)و )2;0; 4w -ur

uأحسب محددة المتجھات : r

vو r

wو ur

( )1 0 2

4 0 0 2 0 2det ; ; 1 4 0 1 1 1

4 4 4 4 4 01 4 4

u v w- -

- - -= - = - - +

-

r r ur

( ) ( )1 0 2

det ; ; 1 4 0 1 16 1 8 1 8 16 16 01 4 4

u v w- -

= - = - ´- - ´ + ´ - = - =r r ur

uلتكن خاصیة:r

vو r

wو ur

ثالث متجھات من الفضاء. ur

vو r

wو ur

)= 0متجھات مستوائیة إذا وفقط إذا كانت )det ; ;u v wr r ur

uمالحظة : في المثال السابق المتجھات r

vو r

wو ur

مستوائیة uالمتجھات نتیجة :

rvو r

wو ur

غیر مستوائیة إذا وفقط إذا كانت 0¹( )det ; ;u v w

r r ur

)نعتبر في الفضاء المنسوب إلى األساس :3تمرین ); ;i j kr r r

المتجھات

( )1;1;1ur

)و )2;1;1v -r

)و )0;1;2wur

)و )0;3;3xr

)و )1; ;2y mur

حقیقي.ربارا متmحیث

uبین أن المتجھات .1r

vو r

xو r

مستوائیةuبین أن المتجھات .2

r

vو r

wو ur

غیر مستوائیةuبحیث تكون المتجھات mحدد العدد .3

r

و vr

yو ur

مستوائیة

))1أجوبة : )1 2 0

1 3 2 0 2 0det ; ; 1 1 3 1 1 1

1 3 1 3 1 31 1 3

u v x-

- -= = - +

r r r

( )det ; ; 3 3 6 6 0u v x = - + - =r r r

uمنھ : المتجھات وr

vو r

xو r

مستوائیة

2(( )1 2 0

1 1 2 0 2 0det ; ; 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 1 11 1 2

u v w-

- -= = - +

r r ur

( )det ; ; 1 4 2 3 0u v w = + - = ¹r r ur

uومنھ : المتجھات r

vو r

wو ur

غیر مستوائیة3(u

r

vو r

yو ur

مستوائیة یعني


( )det ; ; 0u v y =r r urیعني

1 2 01 1 01 1 2

m-

=یعني

1 2 1 2 11 1 1 0

1 2 1 2 1m

m- -

- + 6یعني = 3 0m- 2mیعني = =

)نعتبر في الفضاء المنسوب إلى معلم :4تمرین ); ; ;o i j kr r r

النقط :

( )1;1; 2A )و - )0;2; 1B )و - )1; 3;2C )و- )1;1;2D -

)و )1;1;3E

مستوائیةDو Cو Bو Aبین أن النقط .1مستوائیة؟Eو Cو Bو Aبین أن النقط .2

))1أجوبة : )1;1;1AB -uuur

)و )0; 4;4AC -uuur

)و )2;0;4AD -uuur

و

( )1 0 2

4 0 0 2 0 2det ; ; 1 4 0 1 1 1 0

4 4 4 4 4 01 4 4

AB AC AD- -

- - -= - = - - + =

-

uuur uuur uuur

ABومنھ : uuur

ACو uuur

ADو uuur

و Cو Bو Aمستوائیة و بالتالي النقط Dمستوائیة2(( )0;0;5AE

uuur

( )1 0 0

4 0 0 0 0 0det ; ; 1 4 0 1 1 1 20 0

4 5 4 5 4 01 4 5

AB AC AE-

-= - = - - + = ¹

-

uuur uuur uuur

ABومنھ : uuur

ACو uuur

AEو uuur

و Bو Aغیر مستوائیة و بالتالي النقط C وEغیر مستوائیة

III.لفضاء:تمثیل بارامتري لمستقیم في ا)لتكن تعریف: ); ;A A AA x y z نقطة من الفضاء و( ); ;u a b c

r

متجھة غیر منعدمة من الفضاء.

)النظمة: )tÎRA

A

A

x x aty y btz z ct

= +ìï = +íï = +î

للمستقیم اتسمى تمثیال بارا متری

( );D A urالمار منA وu

rمتجھة موجھة لھ.


النقط :

( )1;3;1A و( )2;1;2B و( )3; 3;1C )و- )2; 1;0D المتجھة -( )1;4;1u -r

)للمستقیم احدد تمثیال بارا متری)1 )D المار منA و الموجھ

uبالمتجھة r

)ھل النقط )2 )2;1;2B( )3; 3;1C )و- )2; 1;0D )تنتمي للمستقیم - )D؟)للمستقیم احدد تمثیال بارا متری)3 )BC)أدرس الوضع النسبي للمستقیمین )4 )D و( )BC

))1أجوبة : )tÎR13 41

x ty tz t

= -ìï = +íï = +î

( )D

2(1 2 11 1 3 42

2 11

t tt t

tt

= -ì = -ìïï ï= - Û = +í íï ï = +î= -ïî

)ومنھ )B DÏ

2 3 13 3 3 42

1 10

t tt t

tt

=-ì = -ìïï ï=- Û- = +í íï ï = +î=ïî

)ومنھ )C DÏ و1 2 11 1 3 41 0 1

t tt tt t

=- = -ì ìï ï=- Û - = +í íï ï=- = +î î

)ومنھ )D DÎ

))المستقیم 3 )BC یمر من النقطة( )2;1;2Bو( )1; 4; 1BC - -uuur

)متجھة موجھة لھ اذن )tÎR2 11 42

x ty tz t

= +ìï = -íï = -î

( )BC

4(( )1; 4; 1BC - -uuur

)و )1;4;1u -r

BCنالحظ أن : u= -uuur r

BCومنھ uuur

uو r

مستقیمیتین وبالتالي )المستقیمین )D و( )BC متوازیین

)لیكن :6تمرین )D و( )D مستقیمین من الفضاء معرفان على

)التوالي بتمثیلیھما البرامتریان : )tÎR111

x ty tz t

= +ìï = -íï = +î

( )D

( )kÎR3

1 23

x ky kz k

= +ìï = - +íï = -î

( )D

)بین أن المستقیمین )D و( )Dغیر متوازیین)الجواب : )1; 1;1u -

r)متجھة موجھة ل )D

)و )1;2; 1v -r

)متجھة موجھة ل )Duنالحظ أن :

r

vو r

غیر مستقیمیتین )وبالتالي المستقیمین )D و( )Dغیر متوازیین

IV. معادلة دیكارتیة لمستوى–تمثیل بارامتري لمستوى في الفضاءتوى في الفضاءتمثیل بارامتري لمس.1

)لتكن تعریف: ); ;A A AA x y z نقطة من الفضاء)و ); ;u a b c

r)و ); ;v a b c¢ ¢ ¢

rمتجھتین غیر مستقیمتین.

النظمة التالیة : A

A

A

x x at a ty y bt b tz z ct c t

¢ ¢= + +ìï ¢ ¢= + +íï ¢ ¢= + +î

:( )P

)حیث )tÎRو( )t¢ÎRللمستوى اتمثیال بارامتریتسمى( ); ;P A u vr r

uو الموجھ بالمتجھتینAالمار من r

vو r

.)للمستوى امثال : حدد تمثیال بارا متری ); ;P A u v

r r:حیث

( )1; 3;1A )و - )2;4;1u -rو( )1;0;2v -

r

الجواب :1 2

3 41 2

x t ty tz t t

¢= - -ìï = - +íï ¢= + +î

:( )P حیث( )tÎR و( )t¢ÎR ھو تمثیل

)للمستوى اارا متریب ); ;P A u vr r

معادلة دیكارتیة لمستوى.2)مثال: حدد معادلة دیكارتیھ للمستوى )P المار من( )1; 3;1A -

)و الموجھ بالمتجھتین )2;4;1u -rو( )1;0;2v -

r

)نالحظ أن :الجواب )2;4;1u -rو( )1;0;2v -

rغیر مستقیمیتین

( ) ( ); ; ; ;M x y z P A u vÎr r

AMیعني uuuur

uوr

vو r

مستوائیة

)یعني : )det ; ; 0AM u v =uuuur r r: یعني( )det ; ; 0AM u v =

uuuur r r


( )1; 3; 1AM x y z- + -uuuur

یعني :1 2 13 4 0 01 1 2

xyz

- - -+ =-

)یعني : ) ( ) ( )4 0 2 1 2 1

1 3 1 01 2 1 2 4 0

x y z- - - -

- - + + - =

)یعني : ) ( ) ( )8 1 3 3 4 1 0x y z- + + + - 8یعني := 8 3 9 4 4 0x y z- + + + - =

8یعني : 3 4 3 0x y z+ + - = :( )P

)لتكن تعریف: ); ;A A AA x y zنقطة من الفضاء وur

vو r

متجھتین غیر مستقیمتین.

)معادلة دیكارتیھ للمستوى )P المار منAو الموجھ بالمتجھتینur

و

vr

0axتكتب على الشكل : by cz d+ + + حیث =a وb وc وd : أعداد حقیقیة بحیث( ) ( ); ; 0;0;0a b c ¹.

)مجموعة النقط خاصیة: ); ;M x y z : من الفضاء التي تحقق العالقة 0ax by cz d+ + + )بحیث : = ) ( ); ; 0;0;0a b c ھي مستوى¹


)النقط )1;2;3A و( )1;1;2B و( )1; 2; 1C - -

ةغیر مستقیمیCو Bو Aبین أن النقط )1)للمستوى اأعط تمثیال بارامتری)2 )ABC

)عادلة دیكارتیة للمستوى أعط م)3 )ABC

))1أجوبة : )2;0; 4AC - -uuur

)و )0; 1; 1AB - -uuur

نحسب المحددات المستخرجة :لدینا 1

1 04 0

1 4d

-= = ¹- -

ABومنھ المتجھتین uuur

ACو uuur

و Aغیر مستقیمیتین وبالتالي النقط : B وCغیر مستقیمیة)لدینا المستوى )2 )ABC یمر من النقطةAوAB

uuur

ACو uuur

متجھتین

موجھتین لھ اذن :1 0 22 1 03 1 4

x t ty t tz t t

¢= + -ìï ¢= - +íï ¢= - -î

:( )P حیث( )tÎR و( )t¢ÎR

)ھو تمثیل بارامتري للمستوى )ABC

3(( ) ( ); ;M x y z ABCÎي یعنAMuuuur

ABوuuur

ACو uuur

مستوائیة)یعني : )det ; ; 0AM AB AC =

uuuur uuur uuur

( )1; 2; 3AM x y z- - -uuuur

1یعني : 0 22 1 0 03 1 4

xyz

- -- - =- - -

)یعني : ) ( ) ( )1 0 0 2 0 2

1 2 3 01 4 1 4 1 0

x y z- - -

- - - + - =- - - - -

)یعني : ) ( ) ( )4 1 2 2 2 3 0x y z- + - - - 4یعني := 4 2 4 2 6 0x y z- + - - + =

4یعني : 2 2 2 0x y z+ - - 2یعني := 1 0x y z+ - - = :( )Pاألوضاع النسبیة لمستویین في الفضاء.3

)لیكنخاصیة: ) ( ); ;Q P B u v¢ ¢=ur ur و( ) ( ); ;P P A u v=

r rینمستوی

من الفضاء لدینا :)= 0إذا كان : .1 )det ; ;u v u¢

r r ur 0و =( )det ; ;u v v¢r r ur

)فان : )P و( )Q.منطبقان أو متوازیان قطعا

)0¹إذا كان : .2 )det ; ;u v u¢r r ur 0¹أ و( )det ; ;u v v¢

r r ur

)فان : )P و( )Q.متقاطعان وفق مستقیم)لیكنملحوظة: )Pو( )P¢ا مستویین من الفضاء معرفین بمعادلتیھم

الدیكارتیتین :0ax by cz d+ + + =:( )P مع( ) ( ); ; 0;0;0a b c ¹

0aو x b y c z d¢ ¢ ¢ ¢+ + + =:( )P¢ مع( ) ( ); ; 0;0;0a b c¢ ¢ ¢ ¹

)یكون المستویان .1 )Pو( )P¢ : متقاطعین إذا وفقط إذا كان0ab ba¢ ¢- 0acأ و ¹ ca¢ ¢- 0bcأ و ¹ cb¢ ¢- ¹.

)یكون المستویان .2 )Pو( )P¢ متوازیین إذا وفقط إذا وجد عددaبحیث : kعدم حقیقي غیر من ka¢ bو= kb¢ cو = kc¢ =.

)یكون المستویان .3 )Pو( )P¢ منطبقین إذا وفقط إذا وجد عددبحیث : kحقیقي غیر منعدم

a ka¢ bو = kb¢ cو = kc¢ dو = kd¢ =2مثال : 3 0x y z- - - = :( )Q 3و 3 6 2 0x y z- - - = :( )P

)المستویان الجواب : )Pو( )P¢ 3متوازیین قطعاk=


النقطة

( )1;1;0A و المتجھتین( )1;1;1ur

)و )1; 1;2v -r

)و المستوى )Q : 1الذي معادلة الدیكارتیة 0x y z+ - + =( )Q

)أعط معادلة دیكارتیة للمستوى )1 )P المار منA و الموجھ

uبالمتجھتین r

vو r

)أدرس الوضع النسبي للمستویین )2 )Qو( )P.))نالحظ أن 1الجواب : )1;1;1u

r)و )1; 1;2v -

rغیر مستقیمیتین

( ) ( ); ; ; ;M x y z P A u vÎr r

AMیعني uuuur

uوr

vو r

مستوائیة


uuuur r r

( )1; 1;AM x y z- -uuuur

یعني :1 1 11 1 1 0

1 2

xy

z

-- - =

)یعني : ) ( )1 1 1 1 1 1

1 1 01 2 1 2 1 1

x y z-

- - - + =-

)یعني : ) ( )3 1 1 2 0x y z- - - - 3یعني := 2 2 0x y z- - - = :( )P2(1 0x y z+ - + = :( )Q 3و 2 2 0x y z- - - = :( )P

( )3 1 1 1 4 0´ - ´ - = )اذن¹ )Pو( )Qمتقاطعین

V. معادلتان دیكارتیتان لمستقیم)لیكن تعریف وخاصیة: );D A u

r المستقیم المار من( ); ;A A AA x y z و

( ); ;u a b cr

متجھة موجھة لھ.فان النظمة: 0¹cو 0¹bو0¹aإذا كانت:

A A Ax x y y z za b c- - -

= =

Dتسمى : معادلتان دیكارتیتان للمستقیمa= 0منعدما (مثال cأو bأو aإذا كان أحد األعداد

Ax) فان النظمة: 0¹cو0¹bو x=وA Ay y z zb c- -

تسمى : =

Dمعادلتان دیكارتیتان للمستقیممنعدمانcأو bأو aإذا كان عددان من األعداد

Ax) فان النظمة: 0¹cوb=0وa=0(مثال x=وAy y=.Dتسمى : معادلتان دیكارتیتان للمستقیم


): حدد معادلتان دیكارتیتان للمستقیم1مثال ) ( );D D A u=r.

)حیث : )1; 1;2A )و- )1; 2;3ur.متجھة موجھة لھ

Aالجواب : A Ax x y y z za b c- - -

= 1یعني = 1 21 2 3

x y z- + -= =

( )( )

1 12 1 1 2 3 01 2

1 2 3 1 03 1 21 3

x yx y x y

x z x zx z

- +ì =ï - = +ì - - =ìï ïÛ Ûí í í- - - - =- = - îïï î=ïî

): حدد معادلتان دیكارتیتان للمستقیم2مثال ) ( );D D A u=r.

)حیث : )1; 1;3A )و- )0;1;2ur.متجھة موجھة لھ

الجواب :( )

1 1 11 3 2 1 3 2 5 0

1 2

x x xy z y z y z

=ì =ì =ìï ïÛ Ûí í í+ - + = - - + == ï îîïî

VI.دراسة - األوضاع النسبیة لمستقیم ومستوى في الفضاءتحلیلیة:

1:3مثال 2 2 0x y z- - - = :( )P و( )tÎR123 2

x ty tz t

= +ìï = -íï = +î

( )D

)أدرس الوضع النسبي للمستوى )P و المستقیم( )D

1الجواب : 0x y z+ - + = :( )P

)اذن : ) ( ) ( )1 2 3 2 1 0t t t t+ + - - + + 1یعني =2

t=: اذن( )D یقطع

)المستوى )P: في النقطة1 312 21 322 2

13 2 42

x

y

z

ì = + =ïïï = - =íïï = + =ïî

3 3; ;42 2

Aæ öç ÷è ø

ھي نقطة التقاطع

2:3مثال 2 2 0x y z- - - = :( )P و( )tÎR1 2

12 4

x ty tz t

= +ìï =- +íï =- +î

( )D

)الوضع النسبي للمستوى أدرس )P و المستقیم( )D

5الجواب : 2 3 10 0x y z+ - - = :( )P

)اذن : ) ( ) ( )51 2 2 1 3 2 4 10 0t t t t+ + - + - - + - 1یعني = 0- غیر ممكن=)اذن : )Dو( )Pمتوازیان قطعا

)لیكن خاصیة: ) ( );D D A w=ur و( ) ( ); ;P P B u v=

r r

)إذا كان )det ; ; 0u v w =r r ur

)و )A PÎ فان( ) ( )D PÌ

)إذا كان )det ; ; 0u v w =r r ur

)و )A PÏ فان( )D یوازي قطعا( )P

)إذا كان )det ; ; 0u v w ¹r r ur

)فان )D یخترق( )P.

)و 1مثال ) ( );D D A w=ur و( ) ( ); ;P P B u v=

r r حیث( )1; 1;1u -r

و

( )0;1;0vr

)و )0;2;0vr

)و )0;0; 1A )و- )1;0;0B

))حدد معادلة دیكارتیة للمستوى 1 ) ( ); ;P P B u v=r r

))أدرس الوضع النسبي للمستوى2 )P و المستقیم( )D

))نالحظ أن 1الجواب : )1; 1;1u -r

)و )0;1;0vr

غیر مستقیمیتین

( ) ( ); ; ; ;M x y z P B u vÎr r

BMیعني uuuur

uوr

vو r

مستوائیة


uuuur r r

( )1; ;BM x y z-uuuur

یعني :1 1 0

1 1 01 0

xyz

-- =

)یعني : )1 1 1 0 1 0

1 01 0 1 0 1 1

x y z-

- - + =-

)یعني : )1 0 0x z- - - + 1یعني := 0x z- + + = :( )P

2(( )1 0 0

1 2 0 0 0 0det ; ; 1 1 2 1 1 1 0

0 0 0 0 1 21 0 0

u v w = - = + + =r r ur

)ولدينا )A PÎ:ألن

0 1 1 0- - + =:( )Pومنه( ) ( )D PÌ


الدوالفي درس دراسة11مذكرة رقم األھداف و القدرات المنتظرة من الدرس :

http://xyzmath.voila.net

I.المستقیمات المقاربة)في جمیع فقرات الدرس , ننسب المستوى إلى معلم متعامد ); ;o i j

r r

فرع ال نھائي لمنحنى دالة عددیة.1و xدالة عددیة لمتغیر حقیقي fلتكن تعریف:

( )fC منحناھا في المعلم( ); ;o i jr r

.

)إذا آلت إحدى احداثیي نقطة من )fC إلى ما ال

)نھایة , نقول إن )fCعا ال نھائیا.یقبل فرالمفاارب الموازي لمحور األراتیب.2

إذاكانت: تعریف:( )lim

x ax a

f x®

=+¥f

)أو )limx ax a

f x®

=-¥f

أو

( )limx ax a

f x®

= +¥p

)أو )limx ax a

f x®

=-¥p

xنقول إن المستقیم ذا المعادلة a=رب مقا)للمنحنى )fC

المعرفة كالتالي : xللمتغیر الحقیقي fنعتبر الدالة العددیة مثال:

( ) 2 13 6

xf xx-

=-)حدد )

2limx

f x+®

)و )2

limx

f x-®

النتیجتین ھندسیاوأول

): لجواب ا )2 2

2 1lim lim3 6x x

xf xx+ +® ®

-=

-

2lim 2 1 3x

x+®

- و=2

lim 3 6 0x

x+

+

®- و=

2lim 3 6 0x

x-

-

®- =

)ومنھ : )2

limx

f x+®

= )و¥+ )2

limx

f x-®

= -¥

2xالمستقیم ذا المعادلة التأویل المبیاني : )مقارب للمنحنى = )fC

والمفاارب الموازي لمحور األفاصیل)إذا كانت: تعریف: )lim

xf x a

®+¥)( أو = )lim

xf x a

®-¥= , (

yنقول إن المستقیم ذا المعادلة a= مقارب للمنحنى( )fC) ¥-( أو بجوار ¥+بجوار fنعتبر الدالة العددیة مثال:

)المعرفة كالتالي : xللمتغیر الحقیقي ) 6 12 5

xf xx+

=-

)حدد )limx

f x®+¥

)و )limx

f x®-¥

وأول النتیجتین ھندسیا

)الجواب : ) 6 6lim lim 32 2x x

xf xx®+¥ ®+¥

= = )و = ) 6 6lim lim 32 2x x

xf xx®-¥ ®-¥

= = =

3yالمستقیم ذا المعادلة التأویل المبیاني : )مقارب للمنحنى = )fC

ب المائلالمفاارو تقبل نھایة غیر منتھیة xدالة عددیة لمتغیر حقیقي fلتكن

)¥-( أو بجوار ¥+بجوار )إذا كانت: ) ( )lim 0

xf x ax b

®+¥- + )( أو = ) ( )lim 0

xf x ax b

®-¥- + = (

aحیث *ÎR وbÎRنقول إن المستقیم ذا المعادلة

y ax b= مقارب مائل +)للمنحنى )fC بجوار+¥ )

.) ¥-أو بجوار المعرفة xللمتغیر الحقیقي fنعتبر الدالة العددیة مثال:

)كالتالي : ) 12 13

f x xx

= - +-

fمجموعة تعریف الدالة fDحدد .1¥+بجوار fلمنحنى الدالة حدد معادلة المقارب المائل .2

الجواب:1({ }/ 3 0fD x x= Î - }ومنھ¡¹ } ] [ ] [3 ;3 3;fD = - = -¥ È +¥¡

2(( ) 12 13

f x xx

= - +-

)یعني ) ( ) 12 13

f x xx

- - =-


توى : األولى باك علوم تجریبیةالمساألستاذ : عثماني نجیب11مذكرة رقم/

O x = a

O

O


)یعني ) ( ) 1 1lim 2 1 lim 03x x

f x xx®+¥ ®+¥

- - = = =- +¥

ذا المعادلة المستقیمومنھ

2 1y x= )مقارب مائل للمنحنى - )fC بجوار+¥

yیكون المستقیم ذو المعادلة خاصیة: ax b= +( )0a مقاربا مائال ¹

)لمنحنى )fCإذا وفقط إذا كان : ¥+بجوار( )limx

f xa

x®+¥=

)و )limx

f x ax b®+¥

- =

II.الفروع الشلجمیةبحیث تقبل نھایة ال منتھیة بجوار xدالة عددیة لمتغیر حقیقي fلتكن

)) و ¥-( أو بجوار ¥+ )fCمنحناھا في معلم متعامد( ); ;o i jr r

.

فرع شلجمي اتجاھھ محور األفاصیل.2)إذا كانت تعریف: )

lim 0x

f xx®+¥

)( أو= )lim 0x

f xx®-¥

ن المنحنى ) نقول إ=

( )fCیقبل فرعا شلجمیا اتجاھھ محور) ¥-( أو بجوار ¥+األفاصیل بجوار

)المعرفة كالتالي :fنعتبر الدالة العددیة مثال: )f x x=

)أحسب )limx

f xx®+¥

وأول ھندسیا النتیجة

)الجواب : ) 1 1lim lim lim 0x x x

f x xx x x®+¥ ®+¥ ®+¥

= = = =+¥

)التأویل الھندسي : )fC یقبل فرعا شلجمیا اتجاھھ محور¥+األفاصیل بجوار

فرع شلجمي اتجاھھ محور األراتیب.3

)ت إذا كانتعریف: )limx

f xx®+¥

= )أو¥+ )limx

f xx®+¥

= أو ¥-

( )limx

f xx®-¥

= )أو¥+ )limx

f xx®-¥

= نقول¥-

)إن المنحنى )fC یقبل فرعا شلجمیا اتجاھھ محور األراتیب

المعرفة كالتالي : xللمتغیر الحقیقي fنعتبر الدالة العددیة مثال:

( ) 3f x x=أحسب( )limx

f xx®+¥

وأول ھندسیا النتیجة

الجواب : 3

2lim limx x

x xx®+¥ ®+¥= = +¥

)التأویل الھندسي : )fCھھ محور یقبل فرعا شلجمیا اتجا¥+األراتیب بجوار

yفرع شلجمي اتجاھھ المستقیم ذو المعادلة.4 ax= 0حیثa ¹ :

)إذا كانت:تعریف: )limx

f xa

x®+¥)و= )lim

xf x ax

®+¥- =+¥

)نقول إن المنحنى )fC یقبل فرعا شلجمیا اتجاھھ المستقیم ذي المعادلة

y ax= نفس التعریف بجوار¥+بجوار.)-¥(المعرفة كالتالي : xللمتغیر الحقیقي fنعتبر الدالة العددیة مثال:

( )f x x x= -

)و أحسب fحدد حیز تعریف الدالة .1 )limx

f x®+¥

fحدد طبیعة الفرع الالنھائي لمنحنى الدالة .2fD) 1الجواب : += ¡

2 (( ) ( )lim lim lim 1x x x

f x x x x x®+¥ ®+¥ ®+¥

= - = - = -¥

3(( ) 1 1lim lim lim 1 lim 1 1 1x x x x

f x x x x ax x x x®+¥ ®+¥ ®+¥ ®+¥

-= = - = - = - =- =

+¥

( ) ( ) ( ) ( )lim lim 1 lim limx x x x

f x ax f x x f x x x®+¥ ®+¥ ®+¥ ®+¥

- = - - = + = = +¥

)التأویل الھندسي : )fC یقبل فرعا شلجمیا اتجاھھ)المستقیم ذي المعادلة )1y x y x= - Û = ¥+بجوار -

III.نقط االنعطاف–نى تقعر منح)وIدالة قابلة لالشتقاق مرتین على مجالfلتكنخاصیة: )fC

)منحناھا في المعلم ); ;o i jr r

.

fإذا كانت )فإن للمنحنىIموجبة على المجال¢¢ )fC تقعراموجھا نحو محور األراتیب الموجبة.

fإذا كانت )فإن للمنحنىIسالبة على المجال¢¢ )fC تقعرا.موجھا نحو محور األراتیب السالبة

fإذا كانت 0xتنعدم في النقطة ¢¢ IÎ وتتغیر إشارتھا)فان النقطة 0xبجوار )( );o oA x f xنقطة انعطاف المنحنى( )fC.

¡المعرفة علىfنعتبر الدالة العددیة مثال:

)كالتالي : ) 4 21 2212 3

f x x x x= - + +

)أحسب .1 )f x¢¢ لكلx من¡

)أدرس تقعر المنحني .2 )fCة الممثل للدالfمع تحدید نقطتي انعطافھ

)1الجواب :

( ) 4 2 3 31 2 1 12 4 4 1 4 112 3 12 3

f x x x x x x x x¢æ ö¢ = - + + = ´ - + = - +ç ÷è ø

( ) 3 21 4 1 43

f x x x x¢æ ö¢¢ = - + = -ç ÷

è ø

2(( ) ( ) ( )2 2 22 2 0 2 0 4 0 0x x x x f x¢¢- + = Û - = Û - = Û =

2 2x أو x= - = Û

)تقعر· )fC:موجھ نحو محوراألراتیب الموجبة على المجال

] ] [ [; 2 2;-¥ - È +¥

)تقعر· )fC:موجھ نحو محور األراتیب الموجبة على المجال[ ]2,2-

یمكن تلخیص النتائج في جدول التقعر( )( )1, 1A f و( )( )1, 1B f- نقطتي انعطافھ-IV.مركز تماثل–لمحور تماث

معرفة xدالة عددیة لمتغیر حقیقي fلتكنخاصیة:

)و Dعلى مجموعة )fC منحناھا في المعلم( ); ;o i jr r

.

xیكون المستقیم ذو المعادلة a=( )aÎRمحور تماثل المنحنى( )fC إذا

)وفقط إذا كان : ) ( )( ) ( ) ( )

; 2

; 2

x D a x D

x D f a x f x

" Î - Îìïí" Î - =ïî

)تكون النقطة );a bWماثل المنحنىمركز( )fC

)إذا وفقط إذا كان : ) ( )( ) ( ) ( )

; 2

; 2 2

x D a x D

x D f a x b f x

" Î - Îìïí" Î - = -ïî

المعرفةxللمتغیر الحقیقي fنعتبر الدالة العددیة 1مثال)كالتالي : ) 2f x x x= -

fحدد حیز تعریف الدالة .1


1بین أن المستقیم .22

x )ر تماثل للمنحنى محو= )fC الممثل للدالةf

الجواب:1(( ) 2f x x x= -{ }2/ 0fD x x x= Î - ³¡

( ) 21 0 1 0 0x أو x x x x x= = Û - = Û - =

ومنھ جدول االشارة :

]ومنھ: ]0,1fD =

2 (x a= 1یعني2

x =

]نبین أنھ : اذا كانت )أ ]0,1xÎ : فان[ ]1 0,1x- Î؟؟؟[ ]1 1 1 1 0 1 0 0 1 0,1x x x xÛ - £ - £ + Û - £ - £ Û £ £ Û Î

[ ]1 0,1 0 1 1x x- Î Û £ - £ Û

)ب)نبین أن : ) ( )1f x f x- ؟؟؟؟=

( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 1 1 1 2f x x x x x x- = - - - = - - - +

( )2 21 1 2x x x x x f x= - - + - = - =

1ومنھ 2

x .fمحور تماثل منحنى الدالة=

المعرفة كالتالي : xللمتغیر الحقیقي fنعتبر الدالة العددیة 2مثال

( )2

1x xf xx-

=+

)بین أن .1 ) 221

f x xx

= - ++

fD"Î

)بین أن النقطة.2 )1; 3W - .fمركز تماثل منحنى الدالة-

))1الجواب : ) ( ) ( )22 1 222

1 1 1x x x xx f x

x x x- + + -

- + = = =+ + +

2 (( )1; 3W - -( );a bW

}نبین أنھ : اذا كانت )أ }1xÎ - }فان : ¡- }2 1x- - Î - ؟؟؟¡-{ }2 2 1 1 1 1x x x xÛ - - ¹ - + Û - ¹ Û ¹ - Û Î - -¡

{ }2 1 2 1x x- - Î - - Û - - ¹ - Û¡

)ب)نبین أن : ) ( )2 6 2f x f x b- - + = - ؟؟؟؟=

( ) ( ) 1 14 4 1 14 2 2

f x f x x xx x

- - + = - - - + + - +- - + +

1 1 1 14 2 6 62 2 2 2x x x x

= - - + + = - + - + = -- - + + +

)ومنھ )2; 3W - .fمركز تماثل منحنى الدالة-

)المعرفة كالتالي : fنعتبر الدالة :1تمرین ) 31 43

f x x x= -

حدد .1fD حیز تعریف الدالةf

fس زوجیة الدالة أدر.2عند محدات fأحسب نھایات الدالة .3

fD

fأدرس الفروع الالنھایة لمنحنى الدالة .4و أدرس إشارتھاfأحسب مشتقة الدالة .5fجدول تغیرات الدالة حدد.6)حدد معادلة لمماس المنحني .7 )fC الممثل للدالةf في

التي أفصولھا Aالنقطة 0 1x = -

)حدد نقط تقاطع المنحني .8 )fC.الممثل للدالة مع محوري المعلم

اذا وجدتfالدالة فحدد مطا ری.9

)أرسم المنحني .10 )fC الممثل للدالةf في معلم متعامد ممنظم

)أجوبة : ) 31 43

f x x x= -1(fD ألنھا دالة حدودیة¡=

-xفان ¡xÎ)أ) اذا كانت 2 Î¡

)ب) ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 31 1 14 4 43 3 3

f x x x x x x x f xæ ö- = - - - =- - - =- - =-ç ÷è ø

دالة فردیةfومنھ

3(( ) 3lim limx x

f x x®+¥ ®+¥

= = )و ¥+ ) 3lim limx x

f x x®-¥ ®-¥

= = -¥

دالة حدودیة عند ماالنھایةھي نھایة حدھا األكبر درجةألن نھایة

4(( )

3

2

113lim lim lim3x x x

xf xx

x x®+¥ ®+¥ ®+¥= = = +¥

( )fC یقبل فرعا شلجمیا اتجاھھ محور األراتیب بجوار+¥

( )3

2

113lim lim lim3x x x

xf xx

x x®-¥ ®-¥ ®-¥= = = +¥

( )fC اتجاھھ محور األراتیب بجوار یقبل فرعا شلجمیا-¥

5(( ) 3 2 21 14 3 4 43 3

f x x x x x¢æ ö¢ = - = ´ - = -ç ÷è ø

( ) ( ) ( )2 2 22 2 0 2 0 4 0 0x x x x f x¢- + = Û - = Û - = Û =

2 2x أو x= - = Û

6(

))معادلة لمماس ل 7 )fC في النقطةA 0التي أفصولھا 1x = -

( ) ( ) ( )0 0 0y f x f x x x¢= + )و - ) 1113

f - )و = )1 3f ¢ - = -

( ) ( ) ( )( )2 113 3 1 1 1 13 3

y x y x y f f x¢= - + Û = - + Û = - + - +

)أ)نقط تقاطع)8 )fCالمنحنى الممثل للدالةfمع محور األفاصیل

)نحل فقط المعادلة : ) 0f x 31یعني = 4 03

x x- =

21یعني 4 03

x xæ ö- =ç ÷è ø

0xیعني 21أو = 4 03

x - =

0xیعني 2أو = 12x 0xیعني = 12أو = 12x أو x= - =

0xیعني 2أو = 3 2 3x أو x= - =)ومنھ نقط التقاطع ھم : )2 3;0A و( )2 3;0B )و- )0;0O

)ب)نقط تقاطع )fCالمنحنى الممثل للدالةfمع محور األراتیب)نحسب فقط : )0f لدینا( )0 0f )ومنھ نقطة التقاطع ھي: = )0;0O

9(( ) 1623

f = fھي قیمة دنیا للدالة -

( ) 1623

f - fھي قیمة قصوى للدالة =

f)التمثیل المبیاني للدالة 9


)لمعرفة ب:اgنعتبر الدالة العددیة:2تمرین ) 2 11

xg xx+

=+

.gحدد حیز تعریف الدالة.1في محدات حیز التعریف و أول النتائج gأحسب نھایات الدالة.2

ھندسیا..gأحسب الدلة المشتقة. ثم ضع جدول تغیرات الدالة.3.gلدالةأنشئ منحنى ا.4

الحل:}ھو: g)حیز تعریف الدالة 1 } { }/ 1 0 1D x x= Î + ¹ = - -¡ ¡

[و منھ [ ] [, 1 1,D = -¥ - - +¥U

2(( ) 2 1 2lim lim lim 21x x x

x xg xx x®-¥ ®-¥ ®-¥

+= = =

+)و ) 2 1 2lim lim lim 2

1x x x

x xg xx x®+¥ ®+¥ ®+¥

+= = =

+2yتقیم ذا المعادلةیعني المس )مقارب أفقي للمنحنى= )fC.

( )1 1

2 1lim lim1x x

xg xx+ +®- ®-

+= =-¥

+)و )

1 1

2 1lim lim1x x

xg xx- -®- ®-

+= =+¥

+

1xیعني المستقیم ذا العادلة = مقارب عمودي للمنحنى.-

)لدینا:Dمنx)لكل3 )( ) ( )2 2

2 11 1 1

1 1g x

x x¢ = =

+ +

)یعني: ) ( ) 0x D g x¢" Î >

)جدول تغیرات الدالة.4

.gمنحنى الدالة

المعرفة كالتالي : fنعتبر الدالة :3تمرین( ) 24 2 2f x x x= + -

)و حددfDحدد.1 )f x¢

)أحسب : .2 )limx

f x®-¥

)=-2بین : .3 )limx

f xx®-¥

)و أحسب : )lim 2x

f x x®-¥

+

¥-بجوار fأستنتج معادلة المقارب المائل لمنحنى الدالة .4})1أجوبة : }2/ 4 2 2 0fD x x x= Î + - ³¡

24 2 2 0x xÛ + - =22 1 0x x+ - =

( ) ( ) ( )2 22 4 1 4 2 1 1 8 9 3 0b acD= - = - ´ ´ - = + = = >

0Dبما أن fلھا جذرین ھما: فان ھذه الحدودیة

11 3 2 1

2 2 4 2x - += = =

´و

24 1

4x -= = جدول االشارة :ومنھ-

[ومنھ: ] 1; 1 ;2fD é é= -¥ - È +¥ê êë ë

] [ 1; 1 ;2

x ù é" Î -¥ - È +¥ú êû ë

( ) ( ) ( )22

2 2 2

4 2 2 8 2 4 14 2 22 4 2 2 2 4 2 2 4 2 2

x x x xf x x xx x x x x x

¢+ -¢ + +¢ = + - = = =+ - + - + -

2(( ) 2lim lim 4 2 2x x

f x x x®-¥ ®-¥

= + -

2:لدینا 2lim 4 2 2 lim 4x x

x x x®-¥ ®-¥

+ - = = )ومنھ ¥+ )limx

f x®-¥

= +¥

3(( )2

2 22

2 244 2 2lim lim lim

x x x

xxf x x xx x

x x x®-¥ ®-¥ ®-¥

æ ö+ -ç ÷+ - è ø= =

22 24

limx

xx x

x®-¥

+ -=

x:لدینا ® xومنھ : ¥- x= ومنھ -

2

2

2 24 2 2lim lim 4 4 2x x

xx x a

x x x®-¥ ®-¥

- + -= = - + - = - = - =

( )( )( )

( )2 2

2

2

4 2 2 2 4 2 2 2lim 2 lim 4 2 2 2 lim

4 2 2 2x x x

x x x x x xf x x x x x

x x x®-¥ ®-¥ ®-¥

+ - + + - -+ = + - + =

+ - -

2 2

2 2 2

4 2 2 4 2 2 2 2lim lim lim2 2 2 2 2 24 2 4 2 4 2

x x x

x x x x x

x x x x x xx x x x x x

®-¥ ®-¥ ®-¥

+ - - - -= = =

+ - - - + - - - + - -

2 2

2 22 2 2 1lim lim4 22 2 2 24 2 4 2

x x

xx x b

xx x x x

®-¥ ®-¥

æ ö- -ç ÷è ø= = =- =- =

æ ö æ ö- + - + - + - +ç ÷ ç ÷è ø è ø

yھ : ومن)4 ax b= 12أي +2

y x=- fرب مائل لمنحنى الدالة مقا-

¥-بجوار

ﻦﻳرﺎﻤﺗ ﻊﻣ ﺔﻟﻮﻠﺤﻣ ﺔﻄﺸﻧأو...

Documents