فصل هشتم

آنترل فعاليتهاي توليدي

)Loading planning(آالتبرنامه ريزي بار ماشين )Assignment problem(کارگماری/ مسئله تخصيص

ها طوري اختصاص ها طوري اختصاص در اين روش از برنامه ريزي كارها به ماشيندر اين روش از برنامه ريزي كارها به ماشينشود كه هزينه كل حداقل شود و يا زمان انجام كارها حداقل شود كه هزينه كل حداقل شود و يا زمان انجام كارها حداقل داده ميداده مي

شود و يا سود حداكثر شود يكي از اين روشها، روش تخصيص است شود و يا سود حداكثر شود يكي از اين روشها، روش تخصيص است دانيم در حالتي دانيم در حالتي و ميو ميزی خطی استزی خطی استييکه حالت خاصی از برنامه ر که حالت خاصی از برنامه ر

قابل استفاده است كه تعداد كارها و تعداد ماشينها با هم برابر قابل استفاده است كه تعداد كارها و تعداد ماشينها با هم برابر باشند باشند

:برقرار باشند همچنين فرضيات زير

ـ هر كار فقط به يك ماشين اختصاص يابد ١. ـ هر ماشين فقط يكي از كارها را انجام دهد ٢

زی بار ي ر کاربرد مسئله تخصصی در برنامه ر يکه با مثال ز : شودي ح م ين آالت تشر ي ماش

فرض كنيد سه كار در دست است و چهار ماشين وجود دارد كه :مثالن ها مشابه يماش( همگي ماشينها قادر به انجام همگي كارها هستند

اما ماشين دوم قادر به انجام كار دوم نيست، همچنين جدول ) هستند .هزينه ها در زير نشان داده شده است

به كدام رادر صورتيكه بخواهيم هزينه تخصيص حداقل شود كدام كار ماشين تخصيص دهيم؟

(D) سطر ٤ مجازي

٠ ٠ ٠ ٠

٣ ٥ 7 ١٠ ٦

٢ ١٥ M ١٣ ٢٠

١ ١٣ ١٠ ١٢ ١١

ام iماشين امjکار

١ ٢ ٣ ٤

چون تعداد سطرها بايد با ستونها برابر باشد سطر مجازي فرض آ چون تعداد سطرها بايد با ستونها برابر باشد سطر مجازي فرض آ

روش مجارستاني، : روش حل : : اين روش براي حداقل كردن تخصيص كاربرد دارد اين روش براي حداقل كردن تخصيص كاربرد دارد

ـ در هر سطر كمترين مقدار را از كليه اعداد همان سطر كم ١. كنيم مي

ـ در جدول بدست آمده جديد از هر ستون كمترين مقدار را از ٢.كنيم كليه اعداد همان ستون كم مي

دهيم ها، صفرها را پوشش مي ـ با كمترين خط٣

م جواب يمی توان ها با تعداد سطرها و ستونها برابر بود ـ اگر تعداد خط٤ در غير اينصورت كمترين تعداد عددي پوشش نيافته ميرا بدست آور

دوبار پوشش اعداد كنيم و به را از ساير اعداد پوشش نيافته كم مي . نويسيم كنيم و ساير اعداد را همان طور مي ها اضافه مي يافته

دهيم، اگر مساوي سطرها و ـ مجدداً صفرها را با خطوط پوشش مي ٥ستونها بود جواب حاصل است در غير اينصورت مجدداً قدمهاي فوق را

. كنيم تكرار مي

ـ روش پيدا كردن جواب بهينه به اين صورت است كه صفرهايي را ۶كنيم كه در سطور يا ستون مربوط به آن صفر وجود دارد ديگر انتخاب ميشود انتخاب نمي

(D)۴ ۰ ۰ ۰ ۰ ۴ ۰ ۰ ۰ ۰

۳ ۰ ۲ ۵ ۱ ۳ ۰ ۲ ۵ ۱

۲ ۲ ۱۳-M ۰ ۷ ۲ ۲ ۱۳-M ۰ ۷

۱ ۳ ۰ ۲ ۱ ۱ ۳ ۰ ۲ ۱

ij

۱ ۲ ۳ ۴ ij

۱ ۲ ۳ ۴

١قدم ٢قدم

)مسئله سود ( ص ي مسئله حداکثر کردن در حالت تخص

م م ييد باشد و بخواه د باشد و بخواه مما درآ ا درآ ييار حداکثر کردن سود ار حداکثر کردن سود يياگر معاگر معم م يين صورت نمی توان ن صورت نمی توان ي ي م در ا م در ا ي ي ص را انجام ده ص را انجام ده ي ي ن تخص ن تخص ي ي بهتر بهتر

م چراکه روش م چراکه روش ييمٌا از روش مجارستانی استفاده کن مٌا از روش مجارستانی استفاده کن ي ي مستق مستق ار حداقل کردن ار حداقل کردن ي ي نه با مع نه با مع ي ي ه جواب به ه جواب به ييمجارستانی برای ته مجارستانی برای ته

ری در مسئله ری در مسئله يي يي از است تا تغ از است تا تغ ي ي ن صورت ن ن صورت ن ي ي ارائه شده است در ا ارائه شده است در ا کی از کی از يي. . م م يير ر ي ي م واز روش مجارستانی کمک بگ م واز روش مجارستانی کمک بگ ييجاد نمائ جاد نمائ ييا ا

ن ن ي ي ن است که تمامی اعداد هر ستون از بزرگتر ن است که تمامی اعداد هر ستون از بزرگتر ي ي روش ها ا روش ها ا م و آنگاه از روش مجارستانی استفاده م و آنگاه از روش مجارستانی استفاده ييعدد آن ستون کم کن عدد آن ستون کم کن

. . م م ييکنکن

ه هر ماش )مثال ار ب ن ياگر اعداد جدول مثال قبل سود حاصل از اختصاص هرک.د ين نمائييص را تعين تخصيباشد بهتر

۴ ۱۷ ۱۲ ۲۰ ۱۱ ۴ ۴ ۴ ۰ ۵

۳ ۲ ۱۶ ۱۲ ۱۶ ۳ ۱ ۰ ۸ ۰

۲ ۱۹ ۱۳ ۱۷ ۱۴ ۲ ۲ ۳ ۳ ۲

۱ ۲۱ ۱۶ ۱۳ ۱۴ ۱ ۰ ۰ ۷ ۲

ij

١ ٢ ٣ ٤ ij

١ ٣ ٣ ٤

۴ ۴ ۴ ۰ ۵

۳ ۱ ۰ ۸ ۰

۲ ۰ ۱ ۱ ۰

۱ ۰ ۰ ۷ ۳

Ij

١ ٢ ٣ ٤

عمليات و زمانبندي لیتوا Sequencing & Scheduling

MRP نياز است MPSدر مباحث گذشته عنوان شد آه براي تحقق تهيه شود آه طبق آن زمان و مقدار سفارش اقالم مشخص شود از طرفي ميدانيم آه هر قلم براي توليد در درون آارگاه نيازمند يك

گيرد سري عمليات است آه توسط يك سري ماشين آالت صورت مي اينكه در آارگاه هر آار توسط چه ماشيني انجام شود و توالي انجام آارها روي ماشين چگونه باشد در مبحث توالي عمليات و زمانبندي

گيرد به عبارت ديگر زمانبندي يعني مورد بررسي قرار مي اختصاص آارها به ماشينها و توالي يعني تعيين ترتيب انجام آارها

نها روي ماشي

توالی عمليات زمانبندی

زان منابع در زان منابع در ييمم--))ننييماش ماش ((دست دست

عمليات مورد نياز عمليات مورد نياز --قطعات قطعات

مدت زمان انجام كار مدت زمان انجام كار --روي ماشينروي ماشين

موعدهاي تحويل موعدهاي تحويل --

ت بندی شده ت بندی شده ييکارهای اولو کارهای اولو --))توالی کارهاتوالی کارها((

كارهاي اختصاص به كارهاي اختصاص به --))زمانبدي زمانبدي ((ماشين ماشين

خروجی خروجی --

MPS/MRP MPS/MRP تیتیييررييگزارش مدگزارش مد--

: : ورودی هاورودی ها ::خروجی ها خروجی ها

:سيستم توالي عمليات و زمانبندي

:ات و زمانبندیيپردازش در توالی عمل

توانيم كارها را به ماشينها اختصاص و توالي را توانيم كارها را به ماشينها اختصاص و توالي را مي مي زمانبندی و توالی زمانبندی و توالی تصادفي انتخاب نماييم اما معموالً در برنامه ريزي توليد معيارهايي تصادفي انتخاب نماييم اما معموالً در برنامه ريزي توليد معيارهايي

كنيم كه سعي در اين است كه توالي زمانبندي طوري تعيين كنيم كه سعي در اين است كه توالي زمانبندي طوري تعيين تعريف ميتعريف مي شود كه اين معيارها بهبود داده شود كه اين كار در بعضي موارد بصورت شود كه اين معيارها بهبود داده شود كه اين كار در بعضي موارد بصورت

شود و در بعضي موارد ديگر بصورت ابتكاري صورت شود و در بعضي موارد ديگر بصورت ابتكاري صورت رياضي انجام ميرياضي انجام ميگيرد كه ممكن است جواب بهينه حاصل شود و يا بصورت نزديك به گيرد كه ممكن است جواب بهينه حاصل شود و يا بصورت نزديك به ميمي

..بهينه جواب تعيين گردد بهينه جواب تعيين گردد

اي كه بايد بـه آن توجـه شـود ايـن اسـت كـه زمانبنـدي و اي كه بايد بـه آن توجـه شـود ايـن اسـت كـه زمانبنـدي و يك نكته يك نكته آيد هر چنـد ممكـن اسـت از آيد هر چنـد ممكـن اسـت از توالي كه از روشهاي فوق بدست مي توالي كه از روشهاي فوق بدست مي

نظر رياضي بهينه باشد ولي با توجه به اينكه مدل رياضي همواره بـا نظر رياضي بهينه باشد ولي با توجه به اينكه مدل رياضي همواره بـا ــي ــت دور م ــدودي از واقعي ــا ح ــرفتن فرضــيات ت ــر گ ــي در نظ ــت دور م ــدودي از واقعي ــا ح ــرفتن فرضــيات ت ــر گ ــود در نظ ــود ش ش

بنابراين جوابهاي حاصله فوق به عنوان يـك جـواب اوليـه در نظـر بنابراين جوابهاي حاصله فوق به عنوان يـك جـواب اوليـه در نظـر شود و يك مدير با توجه به ايـن جـواب اوليـه و يـك ديـد شود و يك مدير با توجه به ايـن جـواب اوليـه و يـك ديـد گرفته مي گرفته مي

منطقي نسبت به تمامي شـرايط حـاكم بـر مـسئله جـواب را تعيـين منطقي نسبت به تمامي شـرايط حـاكم بـر مـسئله جـواب را تعيـين ..نمايدنمايد ميمي

ijt

it

id

ic

jروري ماشين iزمان انجام عمليات :

امiزمان انجام عمليات :

(due date)ام iموعد تحويل كار:

(completion time) ام iزمان تكميل كار :

:تعريف نمادها

i : س شماره کارياند (انديس نماد عمليات(

J : ن يس شماره ماشياندj

il : مدت دير كرد كارi ام (letness)

⎩⎨⎧<>

→−=lديرآردمنفي

lديرآردمثبتdcl

i

iiii 0

0

iT[ ]ii LT ,0max=

ام كه برابر ديركرد مثبت است iمدت عقب افتادگي كار :

TN :تعداد كارهاي عقب افتادگي

∑= ⎩

⎨⎧

≤≥

=→=

n

iT

iT i

i

N1

1o

o

oσ

σ

isl

iii tdSL −= امiزمان شناوري كار :

iw : زمان انتظار كارi ام (Waiting time)

ir : زمان آماده سازي كارiام (Ready time) مانند حمل قطعه از انبار به محل توليد

if : زمان گردش كارi سيستم( ام در فرآيند () Flow time (

i

m

jijiii wtwtf +=+= ∑

=1m برابر تعداد ماشينها

iF برابر است با فاصله زماني بين زمان تكميل و به عبارت ديگر زمان آماده سازي

iii rFC +=

o=irii fc = باشد در اينصورت اگر

∑=

++=m

jiiiji rwtc

1

:فرضيات توالي عمليات در زمانبندي

عدم دخالت در انجام عمليات ١.

شود انجام عمليات روي يك ماشين فقط يكبار انجام مي ٢.

شود زمان آماده سازي ماشينها در زمان انجام فعاليت در نظر گرفته مي ٣.

هيچ متغير تصادفي در سيستم وجود ندارد ۴.

تقسيم بندي معيارهاي زمانبندي و عمليات

CFcFمعيارهاي مبتني بر زمان تكميل معيارهاي مبتني بر زمان تكميل _ _ ۱۱ ,max,max,

n

cc

n

i∑== 11

n

FF

n

i∑== 11

[ ]iCmaxC = max [ ]iFmaxF = max

n : كارها(ت ا تعداد عملي(

L,L,T,T,Nمعيارهاي مبتني بر زمان تحويل _۲ maxmaxtتعداد كارهاي عقب افتاده

nT

Tn

LL i

n

ii ∑∑

== = ,1

{ } { } { }maxL,maxTmaxTLmaxL imaximax 0===

∑=

=n

iit SN

1 ⎩⎨⎧ >

=0

01 i

i

TS

وري منابع معيارهاي مبتني بر افزايش بهره_ ۳

معيارهاي معادل گويند هر گاه يك برنامه دو معيار را با هم معادل مي

زمانبندي آه بر حسب يكي از آنها بهينه است برحسب فايده معيارهاي معادل در ديگري نيز بهينه باشد و برعكس

اين است آه هنگامي آه مطالعه يك زمانبندي بر حسب يك توان با معيار خاص امكان پذير نباشد زمان بندي را مي .استفاده از معيار معادل آن بدست آورد

معيارهاي زير با هم معادل هستند : ١قضيه

{∑ ∑∑= =

+=

=⇒+=n

iK

n

ii

ni

n

iiiii rFnCnrFC

LWFC

1 11

1

11

,,,:اثبات

اثري ندارد Kتوالي روي مقدار

∑∑∑∑∑∑== ====

++=⇒++=

+=n

ii

n

i

m

jij

n

ii

m

ii

m

jiiji rntnWnCnrtWiC

KFC

11 1111

1111

KCL

dnCnLndCL

KWCn

ii

n

ii

n

iiiii

−=

−=⇒+=

+=

∑∑∑=== 111

111

maxLmaxT معادل اسـت ولـي با زمانبندي بهينه مرتبط با:۲هيقضعكس اين حالت صادق نيست

.{ } { }{ } { } maxmaxmax

321

,max,,max,...,,,maxmaxmax

LLTLTLLLLLL

ii

ni

=====

oo

CNIc معيارهاي زير معادل هستند:٣قضيه ,max,ICمعادل بودن ) الف ,max

∑ ∑∑∑

∑

= ===

=

−==

−=

m

j

n

iij

m

j

m

jj

n

iijj

tmCmImI

tCI

1 11max

1

1max

111

KCItmCmmIm

j

n

jij −=−//

= ∑∑= =

max1 1

max1)(1

,maxمعادل بودن ) ب CNt

∫•

=max

(1)(max

C

ttt dNCtN

⎩⎨⎧o

1)(tiσ

در حال انجام باشدiآارtاگر در لحظه

در غير اينصورت

∑∫=

==m

jij

C

it tdtttN1

max)()(

oσ درحالتي آه فقط يك ماشين داريم

∫ ∫∫ ==max max

maxmax)()(1)()(1)( max C C

i

C

tt tdtCtdtNCtNo oo

σ

در حالتي آه چند ماشين داريم

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

∑∫

∫ ∑∫∑

=

==

m

j

C

ijt

C m

j

C

ij

m

j

dttCtN

tdtCdttijC

1

max

1max1max

max

max

max1)(

)(11

o

o o

max,)(max1)( CtNKCtN tt ⇒=⇒

معادلند

طبقه بندی مسائل زمانبندی

با معيار حداکثر نمودن زمان گردش کارها به FLOW SHOP ستمين در سي کار روی دو ماش۸ )مثال : شوديش داده مير نمايصورت ز

max//2/8 FF

):):روي يك ماشينروي يك ماشين) ) توالي كارهاتوالي كارها((تبيين ترتيب انجام كارها تبيين ترتيب انجام كارها (( كار با يك ماشين كار با يك ماشين n nزمانبندي زمانبندي

ه فقط يك التي است آ ه فقط يك ابتدايي ترين مسئله در توالي عمليات ح التي است آ ابتدايي ترين مسئله در توالي عمليات حه ام مجموع راي انج ين ب ه ماش ام مجموع راي انج ين ب ت در ماش ت اس ا در دس ت در اي از آاره ت اس ا در دس اي از آاره

ل ار و موعد تحوي ام آ ه مدت انج ن است آ ل اينجا فرض بر اي ار و موعد تحوي ام آ ه مدت انج ن است آ اينجا فرض بر ايار ار آ ام آ والي انج ستقل از ت ا مشخص و م د آاره راي تولي ام ب والي انج ستقل از ت ا مشخص و م د آاره راي تولي ب

يم ه مشخص آن ن است آ سئله اي ا است در اينصورت م يم آاره ه مشخص آن ن است آ سئله اي ا است در اينصورت م آارهود را ش ر اج ي آخ وم، ال دام س دام دوم، آ ار اول، آ دام آ ود آ را ش ر اج ي آخ وم، ال دام س دام دوم، آ ار اول، آ دام آ . . آ

ه هر والي معرفي شده است آ ه هر روشهاي مختلفي براي تعيين ت والي معرفي شده است آ روشهاي مختلفي براي تعيين ته بود مي بود مي ههآدام از آنها يك يا چند معيار را ب آدام از آنها يك يا چند معيار را ب ر ب ه در زي د آ ه دهن ر ب ه در زي د آ دهن

شودشود آنها اشاره ميآنها اشاره مي

iD

ار دار 5 فرض آنيد :مثال اهي روي يك ي سفارش آ رار است در آارگ ه ق م آه ا ب ه آاره ن است آ ر اي ال فرض ب ن مث ين در اي ام شود و همچن ماشين انج

شماره ين وترتيب ب ر تعي ه روشهاي زي ا را ب ام آاره د انج ده ان اه ش ارد آارگ.نماييد

: FIFO (First in First out)١روش

32max =C

2.185

322219135=

++++=C

ir←ii CF =

32== maxmax CF

2.18=F

3=tN

128.35

195

1204305 max

5

1 ===++++

==∑= T

TT i

i

ندارد چون

LIFO (Last in first out )روش

32== maxmax CF

2.205

322719131051 =

++++==

∑=

n

jjc

C

ii CF = 32=maxF2.20=F

3=tN

6.5

17174 IT =++

= 17max =T

) ) SPTSPT ( ((Short Process Time)(Short Process Time)روش آوتاهترين زمان انجام روش آوتاهترين زمان انجام

آوتاه آوتاه در اين روش آاري آه آوتاهترين زمان انجام را دارد و آار داراي زمان در اين روش آاري آه آوتاهترين زمان انجام را دارد و آار داراي زمان بر اساس بر اساس ( ( يابد تا آخرين آار انجام شود يابد تا آخرين آار انجام شود بعدي دوم و به همين ترتيب ادامه مي بعدي دوم و به همين ترتيب ادامه مي

) ) شود شود زمان انجام آارها و به صورت صعودي مرتب ميزمان انجام آارها و به صورت صعودي مرتب مي

8.15== Fc

28.4 == tNT

12max =T

2.156==L

222531 −=−=L

13 −=L

72 −=L

125 =L124 =L

Fmax = cmax = 32

ضيه ده :٤ق راي اختصاص SPT چنانچه از قاع ك ماشين n ب ه ي ار ب آ.شود حداقل ميارآاستفاده آنيم ميانگين گردش )(F

ji tt <١ j i n

S فرض آنيد مجموعه آارهاي با عنوان : اثبات به روش تعويض جفت هاي مجاور .مرتب شده است S.P.Tداريم آه بر اساس

Sمجموعه

A B

S ′S ′

تعريف مي كنيم به طوري كه اين مجموعه در همه موارد تعريف مي كنيم به طوري كه اين مجموعه در همه موارد مجموعه اي با عنوان مجموعه اي با عنوان حالحالعوض عوض j jو و i iجايجايكه در مجموعه كه در مجموعه j jو و i iباشد به جزء درمورد يك جفت كارهاي باشد به جزء درمورد يك جفت كارهاي S Sشبيه شبيه ..شود شود

⎩⎨⎧

==o

o

w

rدر اين حالت

[ ])()()()(

1)()(

1)(

)(1)(

SFSFSFSF

ttnSFSF

FttttFnSF

FtttttFnSF

ji

BKKjAjA

AKK

BKkjiAiA

AKK

′<⇒<′−

<−=′−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++++=′

++++++=

∑∑

∑∑

∈∈

∈∈

o

o

هـيم بـه به همين ترتيب اگر براي هر جفت از كـار هـا عمليـات فـوق را انجـام مـي د .را حداقل مي كند مي رسيم كهS.P.Tروش F

L

FLF ,L

كـار بـه يـك ماشـين n براي اختـصاص SPT چنانچه از قاعده :٥قضيه شود حداقل مياستفاده كنيم ميانگين دير كرد كارها

.را حـداقل ، SPT با استفاده از قضيه معيارهاي معادل چون :اثبات

را نيز حداقل ،SPT معادل هم هستند بنابراينمي كند و مي كند

.

(Earliest due date) (EDD): روش زودترين موعد تحويل

ارائـه شـد همـانطور كـه از اسـمش پيـدا 1955 توسط جكسون در سال عدهاين قا :شوند است كارها بر اساس موعد تحويل بصورت صعودي مرتب مي

Cmax = fmax = 32

4.20== fc

4=T

Tmax = 9

3=tN

:مير بدون اثبات به آنها اشاره می کنيکه در زدر اين روش نيز قضايايي وجود دارد

maxLmaxT

ريم n براي اختصاص EDD چنانچه از قاعده :٦قضية ره بگي ه يك ماشين به ار ب آادل (شود حداقل مي ماآزيمم دير آرد يعني ضاياي معيارهاي مع ق ق طب

)شود هم حداقل مي

به روش تعويض جفتهاي مجاور : اثباتگيـرد و اي تعلـق مـي فرض كنيد به هر كاري كه عقب بيفتد جريمـه

ها برابر و مستقل از ميـزان ديـر كـرد آن تعلـق جريمة عقب افتادگي گيرد در اين حالت هدف، حداقل نمودن تعـداد كارهـاي عقـب مي

.شود افتاده است كه قضاياي زير در اين راستا عنوان مي

در صورتي آه تعداد آارهاي عقب افتاده صفر و يا يك باشد در :٧قضية آند در غير تعداد آارهاي عقب افتاده را حداقل مي EDDاين حالت قاعده

.شود استفاده ميHodgsonاينصورت از الگوريتم

::الگوريتم هاجسن يا الگوريتم مورالگوريتم هاجسن يا الگوريتم مورحداقل نمودن تعداد آارهاي عقب افتاده حداقل نمودن تعداد آارهاي عقب افتاده

كنيم و اگر تعداد كارهاي مرتب مي EDD تمام كارها را بر اساس روش ـ ۱ قدم رويم مي٢كنيم در غير اينصورت به قدم عقب افتاده صفر يا يك بود توقف مي

و حركت به طرف انتهاي آن اولين كار EDDبا شروع از ابتداي توالي -۲قدم ٤ كار عقب افتاده وجود نداشت به قدم اگر كنيم عقب افتاده را مشخص مي

رويم مي٣رويم در غير اينصورت به قدم مي

كار i توالي باشد تعداد امين i فرض كنيد كار عقب افتاده در موقعيت -۳قدم ترين زمان انجام است مشخص را بررسي مي كنيم كاري كه داراي طوالني ی اول

شخص و به قدم نموده و اين كار را كنار گذاشته زمان تكميل بقيه كارها را مجدداً م . مي رويم٢

در انتهاي توالي قرار قی يطرتمام كارهايي كه كنار گذاشته شده اند به -۴قدم .مي دهيم

گذاريمگذاريم را كنار ميرا كنار مي كنيم اولين زمان انجام بيشتركنيم اولين زمان انجام بيشتر سه تا كار اول بررسي و زمان انجام را مقايسه ميسه تا كار اول بررسي و زمان انجام را مقايسه مي2J

5J را چون زمان انجام بيشتر كنار مي گذاريمرا چون زمان انجام بيشتر كنار مي گذاريم

انگين EDDEDDاگر طبق قاعده اگر طبق قاعده ::٨٨قضيه قضيه ا يك باشد مي اده صفر ي انگين تعداد آارهاي عقب افت ا يك باشد مي اده صفر ي تعداد آارهاي عقب افتاري مدت عقب افتادگي مدت عقب افتادگي ن صورت از روش ابتك ر اي اري نيز حداقل شده است در غي ن صورت از روش ابتك ر اي نيز حداقل شده است در غي

..زير استفاده مي آنيم زير استفاده مي آنيم T

iii::روش كوتاهترين زمان شناوري روش كوتاهترين زمان شناوري tdsl −=

45

794=

++=T

ماشين m آار روي nتعيين توالي انجام n / m / A / B

ماشين مشابه وجـود داشـته mحالتي را در نظر بگيريد كه باشد در اين حالت هر كار قادر به انجام توسط هـر ماشـين است و هر كار فقط با يكي از ماشينها سـرو كـار دارد حـال مسئله اين است كه هر كاري به كدام ماشين اختصاص يابد و

توالي انجام كارها روي هر ماشين چگونه باشداگر هدف حداقل نمودن ميانگين زمان گردش كارها باشد

توان بكار برد كه بـه را مي SPTاي از قاعدة گونه ساده : شرح زير است

F

) :ابتكاري( ماشين موازي m كار به nدر اختصاص لگوريتم حداقل نمودن ا F

. تعيين نماييدSPTتوالي تمام كارها را طبق روش )١

هر بار يك كار را از ليست برداريد و آن را به ماشيني اختـصاص )٢دهيد كه مجموع زمان كارهايي كه تا كنون به آن اختصاص يافتـه از

بقية ماشينها كمتر باشد در صورت برابري يكي را انتخاب كنيد

ال ال مث كار در يك سيستم كارگـاهي ١٠فرض كنيد سه ماشين مشابه وجود دارد و ::مثن جهت حداكثر نمودن ميانگين گردش كار توالي انجام كـار را روي هـر ماشـي

تعيين نماييد

ti٥٦٣٨٧٢٣٥٤٢مدت پردازش

i١٢٣٤٥٦٧٨٩١٠كار

آنيم بر اساس آوتاهترن زمان انجام آار مرتب مي

45281973106: →→→→→→→→→spt

ن به صورت باست وقتی تعداد مشخصی ماش تم برای بهبود ين الگور يا. نه است ب ک به به ب نه نمی باشد بلکه نزد ب م ولی توالی به بموازی داشته باش

F

M1

M2

M3

۶

١٠

٣ ١

٩

٧

۵

٢

٨ ۴

٢ ٣ ۵ ۶ ٨ ١٠ ١٢ ١۵ ١٨

513:2910:4876: 321 →→→→→→→ MMM

ijt 3m ijt2m ijt

1m

٤٨١٨

٨٥١٠٢٦١٢٥٧١٥

٧٣٥٩٤٦١٥٨

٦٢٢١٠٢٢٣٣٣ccc

1.810

18105212621583=

+++++++++==

−FC

maxC ماشين موازي به منظور حداقل كردن m كار به nاختصاص الگوريتمروش (

)ابتكاري

Longest Process Time دكني مرتب مي LPT كار را طبق n ) ١(قدم

.يعني هر كدام كه زمان بيشتري دارد اول قرار مي گيرد

توسط ماشيني كه تا به حال LPT انجام هر كار از ليست) ٢(قدم تر به آن اختصاص يافته است م با مجموع زمان كارك که كارهايي

هاي مشابه يكي را به دلخواه انتخاب زمانبندي كنيد و درمورد حالت كنيد

بعد از تخصيص كارها به ماشينها توالي انجام آنها را توسط ) ٣(قدم هر ماشين به نحوه معكوس تعيين نماييد يعني كارها را طبق قاعده

SPTبه هر ماشين اختصاص دهيد .

.م ي تم ادامه می دهين الگوري را با امثال قبل

)گام اول

61037918254 →→→→→→→→→LPT:

) گام دوم

Cmax=16

2→8→7→M35→1→10→6→M2

4→9→3→M1

بـراي Tmax مـاكزيمم جهت كـاهش عقـب افتـادگي EDDالگوريتم : )ابتكاري( ماشين موازي m كار به nاختصاص

. مرتب كنيد EDDكارها را طبق ): ١(قدم

كارها را يك به يك از ليست برداريد و به ماشيني ): ٢(قدم اختصاص دهيد كه تا آن لحظه زمان اختصاصي به آن حداقل

.باشد درصورت برابري يكي را به دلخواه انتخاب كنيد

it

iα٨٩١٤١٢١١٥٨١٠١٥٧موعد تحويل

٥٦٣۵٧٢٣٥٤٢زمان انجام

i١٢٣٤٥٦٧٨٩١٠کار

93458217106 →→→→→→→→→EDD:

1m it ic id iT2m

it ic id iT

٤١٢١٦٨٤٣١١١٤٧٥

٠٩٨٦٢٠٨٧٥١

٠٧٢٢١٠٠٥٢٢٦

3m it ic idiT

٠١٥١٣٤۹

٠١٤١١٣۳

٠١٠٨٥۸

٠٨٣٣۷

4=ΤMAX

:ماشين متوالي يا سري m) بدر صورتيكه ماشينها بصورت متوالي باشند هر كار با هر

كدام از ماشينها سروكار خواهد داشت كه در اينصورت اگر تعداد ماشينها زياد باشد مسئله پيچيده خواهد بود در اينجا نيز بايد معيار يا معيارهايي را در نظر بگيريم و توالي را بر

اساس آن انجام دهيم در مورد معيارهاي مختلف مسائل بصورت پيچيده خواهند بود اما اگر معيار را حداقل نمودن زمان كل انجام در نظر بگيريم و همچنين تعداد ماشينهاي

. دهد فرض كنيم روش جانسون جواب بهينه را مي ٢متوالي را در ماشينهاي متوالي اگر قرار باشد ترتيب انجام كار روي يك

ماشين به طرز مشخص باشد روي ماشين ديگر هم همان .شود ترتيب رعايت مي

/max//2: الگوريتم جانسون CFnحداقل مدت انجام كارها توسط ماشينهاي او ): 1( قدم

را تعيين كنيد 2

بود ١اگر مدت حداقل مربوط به ماشين ): 2( قدم انجام اين كار را در ابتداي توالي كارهاي باقيمانده

برويد اگر حداقل مدت ٣زمانبندي كنيد و به قدم بود انجام اين كار را در ٢انجام كار مربوط به ماشين

انتهاي توالي كارهاي باقيمانده زمانبندي كنيد از بين حاالت مشابه يكي را به دلخواه انتخاب كنيد

كارهايي كه زمانبندي شده اند از ليست : (3)قدم برويد ١حذف كنيد اگر كاري باقيمانده باشد به قدم

د در غ اينصورت توقف كن

1,it2,it

١مدت انجام توسط ماشين

٢٣٩٣٨١٥٦مدت انجام توسط ماشين

٦٢٤١٧٤٧

i١٢٣٤٥٦٧كار

:مثال

5317624 →→→→→→ 36:Cmax

n / 3/ F/ Fmax الگوريتم جانسون براي

ارائه شد قابل تعميم به n / 2 / f / Fmaxالگوريتم جانسون كه براي حالت خاصي از مسئله

n / 3 / F / Fmax است اين حالت وقتي است كه يكي از دو شرط زير برقرار باشد

از كوچكترين زمان فرآيند ماشين 2بزرگترين زمان فرآيند ماشين ١))()(. بزرگتر نباشد1 1.. ili tMintMAX ≤

از كوچكترين زمان فرآيند 2ند ماشينيبزرگترين زمان فرآ )۲

)()(باشد بزرگتر3ماشين 3.2. ii tMintMax ≤

2 و يا در حالت 2,1 زمانهاي انجام روي ماشينهاي 1در حالت : نکته

كنيم و آنها را را با هم جمع مي3,2زمانهاي انجام روي ماشينهاي

مطابق الگوريتم جانسون با " كنيم و مجددا يك ماشين فرض مي

n / 2 / F / Fmax آنهائی که با هم جمع ( .كنيم عمل مي

) می گردد يک ماشين فرض می شوند

)مثال برای حالت اول

M3۱۰۲۰۵۱۵۲۱۴

M2۴۴۳۴۳۲

M1۷۵۱۰۸۱۲۱۵

۱۲۳۴۵۶کار

)مثال برای حالت دوم

M3۷۵۱۰۸۱۲۱۵

M2۴۴۳۴۳۲

M1۱۰۱۲۵۴۲۷

۱۲۳۴۵۶کار

:در مثال اول

M2۱۰۲۰۵۱۵۲۱۴

M1۱۱۹۱۳۱۲۱۵۱۷

۱۲۳۴۵۶کار

۵→ ١→٣→۶→۴→٢: در مثال دوم

M2۱۱۹۱۳۱۲۱۵۱۷

M1۱۰۱۲۵۴۲۷

۱۲۳۴۵۶کار

١→٢→۶→٣→۴→۵