69

اب الب ثالثال

:كيسنجرهنري .فلم يكن لهم ذلك) الشرقيون(لقد كان لنا ثورتنا النيوتنية، أما هم....

، 1995مؤسسة األبحاث العربية، : ، بيروتستشراقاإلإدوارد سعيد، .77ص

LAWS OF DYNAMICS قوانين الديناميكا المفاهيم األساسية 1.3

لقد عرفت القوة في . لنظرية الذي يبحث في قوانين حركة األجسام تحت تأثير القوىالديناميكا هي قسم الميكانيكا اأما في الكينماتيكا فلم . االستاتيكا بأنها ثابتة في المقدار واالتجاه، وهي بالتالي مقدار التأثير الميكانيكي بين األجسام المادية

أو اتجاها تؤثر / غير أن قوى متغيرة، مقدارا و. ر الهندسية البحتةتذكر القوة أبدا، إذ درست حركة الجسم من وجهة النظوعلى هذا األساس يمكن أن تكون القوى المؤثرة وردود األفعال بين . على األجسام المتحركة، عالوة على القوى الثابتة

. األجسام المتحركة متغيرة

و على موضع الجسم أو على سرجهته، أو على متغيرات وكما تبين التجارب العلمية، فقد تعتمد القوة على الزمن أولهذا فقوة نيوتن للجاذبية تعتمد على . أخرى ال مجال لذكرها اآلن، وقد تعتمد على اثنين من هذه المتغيرات أو كلها

عام، وبوجه. الجسم بالنسبة لسطح األرض، بينما تعتمد قوة مقاومة الوسط على سرعة حركة الجسم فيه) ارتفاع(موضع . فالديناميكا علم يأخذ بعين االعتبار تأثير القوى الفعالة، وقوى القصور لنفس األجسام المتحركة على حركتها

. إن قوة القصور لجسم ما، هو خاصية هذا الجسم لتغيير حركته إلى أسرع أو أبطأ تحت تأثير القوى المؤثرة عليهد األجسام أكثر بطء مما في جسم آخر تحت تأثير قوتين متكافئتين، فإن فعلى سبيل المثال، إذا كان التغير في سرعة أح. وتعتمد درجة قصور الجسم على كمية ما يحتويه هذا الجسم من مادة. الجسم األول يكون أكثر قصورا والعكس صحيح

ولذلك تعتبر الكتلة . سمويطلق على الكمية التي يعرف بها ما يحتويه الجسم من مادة وتحدد مقدار قوة قصوره بكتلة الج . دائما كمية موجبة في الميكانيكا

70

من جهة أخرى، فإن حركة الجسم ال تعتمد على كتلته الكلية والقوى المؤثرة عليه فقط، وإنما على األبعاد الهندسية غض النظر في وحتى نستطيع أن ن. للجسم نفسه، وعلى مواضع الجسيمات المكونة له، أي على توزيع الجسيمات وكتلها

الجسيمأو الجسيم الماديبداية دراسة الديناميكا عن تأثير أبعاد الجسم أو حتى توزيع جسيماته، نورد مفهوما جديدا هو particle . طبيعي ذو كتلة، أبعاده متناهية الصغر ويمكن اهمالها عند دراسة حركتهويعرف الجسيم بأنه وتصنف . عنصر

والحركة rectilinear translation motionالحركة االنتقالية المستقيمة : ك، كإحدى الحالتينحركة الجسيم تبعا لذلوبناء عليه، نعتبر كوكبا ما أثناء حركته حول الشمس، أو قذيفة مدفع عند تعيين مداها، أو . curvilinear motionالمنحنية

.بروتونا أثناء حركته في مسارع دائري جسيما ماديا

System النظامأو نظام الجسيمات الماديةدراسة حركة الجسيم المادين الطبيعي أن تسبق دراسة حركة وم

of Particles الجسم الجاسئ، أوحتى Rigid Body . قسم منهج الديناميكا عادة إلىوديناميكا ديناميكا الجسيمولهذا يتعيين القوة المؤثرة على الجسيم : األولى: ى المسألتين التاليتينكما تقسم مسائل الديناميكا إل. جاسئالنظام والجسم ال

عند معرفة القوة المؤثرة ) النظام(عند معرفة حركة هذا الجسيم، والثانية تعيين قانون حركة الجسيم ) النظام(المتحرك .اهذا وتعتبر األخيرة المسألة األساسية في الديناميك. عليه

اسيةقوانين الديناميكا األس 2.3

Motion Inertial قانون نيوتن األول، حركة القصوردفعه (إنها لمالحظة مألوفة أن نجعل جسما ساكنا فوق سطح مستو يتحرك نتيجة دفعه أو سحبه أو حتى دسره

ت . فعند زوال التأثير الميكانيكي المسبب للحركة يسكن الجسم. ميكانيكيا) بشدةدمن جاء بعده من ، وبأرسطوهذه الحقيقة ح؛ أي قوة تتطلب دسرا متواترا) المستقيمةاألفقية و(العلماء والفالسفة الطبيعيين، أن يفترض بأن الحركة المنتظمة السرعة

أيضا أن سرعة الجسم الساقط تتناسب طرديا مع صفته أرسطو، اعتقد الباب األولوكما ورد في . ثابتة مؤثرة على الجسم، في بواكير القرن غاليليووكان . ، بما يعني أن الجسم الثقيل أسرع في السقوط من الجسم األخف وزنا)وزنه(الطبيعية

إذ أدرك أن هذه النظرة المبنية على اإلدراك العام ال العلمي نظرية . السابع عشر أول من رأى الخطأ في هذا التفسيرهذه التجارب . دحرجة كرات ذوات أحجام مختلفة على سطوح مائلة وبادر وقد عدم الوسيلة ألن يوجد فراغا، إلى. خاطئة

وتبعا لذلك، استنتج بالمقارنة أن األجسام . بينت أن اإلنحدار على السطوح المائلة يعطي الكرات المختلفة تسارعا واحداوتنية، لم تكن معروفة لدى هذه الجدليات انبثقت عن مفاهيم ن. جميعها تتسارع بمعدل ثابت تقريبا عند سقوطها الحر

. ، فكان عليه أن يشق طريقه بنفسهغاليليو

إذ كان هذا كافيا للتعامل مع . يميل الجسم الساكن للبقاء ساكنا -قد عرف نصف مفهوم القصور أرسطووكان الثاني لمفهوم طريقه بحثا عن النصف غاليليووباقتناعه بكون كوبرنيكس وحركة األرض، تحسس . أرض غير متحركة

فاستحدث رحلة بحرية شيقة لسفينة تتحرك بسرعة ثابتة وبخط مستقيم . يميل الجسم المتحرك للبقاء متحركا - القصوروفي معرض مقارناته لفعاليات المبحرين أثناء الرحلة مع مثيالتها عند سكون . وذلك بعيد استقرارها في البحر بال حراك

إذ ال يستطيع أيا كان التأكد من الحالة التي هو فيها، أهي السكون أم الحركة بسرعة . الحالتين بالتمام السفينة تأكد له تكافؤفبقي أسير افتراض قروسطي . أخفق عند استخالصه النتائج في تعميم مبدأ القصورغاليليو إال أن . منتظمة ومستقيمة

71

داخلي ال عن مجرد الكتلة وعن تطبيق القوة، كما لم يستطع تحرير خاطئ يستند إلى أن مفعول األجسام ينجم عن نزوعالخاص باألجسام الساقطة، والذي طالما دعي قانون ) قانونه(ومن هنا كان . نفسه فكريا من أغالل الجاذبية األرضية

. الميكانيكا األول، لهو قانون يشوبه الخطأ وأخطأه الصواب

في تعميم مبدأ غاليليو في القصور إلى ما نهاية، وأعلنه قانون الميكانيكا األول الذي فقد أفلح دون تردد نيوتنأما ، ما لم تؤثر عليه قوة تغير من من الحركة المنتظمة بخط مستقيم يظل كل جسيم على حالته من السكون، أو: ينص

، لينتج أن الجسيم a = 0، فإن التسارع يكون صفرا F = 0إذا كانت القوة صفرا : أو بتعابير رياضية ولغوية. حالته هذه ثابتة يتحرك بسرجهةv = const.. مكافئة سرجهة ثابتـة أو(أي أن قوة صفرية تستلزم تسارعا صفريا بصورة(.

إلى الحقيقة إذ استند في ذلك . اللبنة األولى في صرح الجاذبية نيوتنلقد شكل هذا الفهم الدقيق لمعنى القصور لإذا كانت حركة القمر والكواكب الطبيعية، في حالة انعدام القوة هي حركة في خط مستقيم، فإن كون حركة هذه : الواضحة

إذ ينبغي أن تؤثر قوة ما لكي تحرف الجرم السماوي عن مساره . األجرام مدارية فعال ومتسارعة يقتضي تفسيرا معيناأن هذه القوة متناسبة عكسيا مع مربع المسافة بين الكوكب نيوتنولقد وجد . حني حول الشمسالمستقيم إلى مساره المن

.universal law of gravitationقانون الجاذبية العام -المعين والشمس الجاذبة له

لى جسم ن أو اكثر مؤثرتين عفإذا كان مجموع قوتي. كذلك يمكن تطبيق قانون نيوتن األول على األجسام األرضيةمحصلة إذا لوحظ أن جسما ما يتحرك بدون تسارع، وجب أن تكون: والعكس بالعكس. تحرك الجسم بسرجهة ثابتة ،صفرا

، isolated body جسم معزولبيد أن هذا القانون يكون ذا داللة خاصة عندما يطبق على . القوى المؤثرة عليه صفراوعلى هذا يمكن تعريف .القوة معناه االنعزال) تأثير(إن غياب . تعريف القوة بدون معنى على عندها يستحوذ هذا القانون

. يتحرك الجسم المعزول الحر من التأثيرات الخارجية بسرجهة ثابتة :القانون األول لنيوتن

طبيق قانون نيوتن األول بالحركة تكيفنا ألن نفكر بطريقة أرسطوية أكثر من نيوتنية، فإن ت ةوبما أن خبرتنا المألوفمثال، تحتم علينا نزعتنا الطبيعية الرد . على أوضاع عادية قد يكون مربكا، بالرغم من بساطة هذا القانون المتناهية

هل تؤثر أية قوى على غواص هوائي أثناء سقوطه بالمظلة بسرعة ثابتة؟ ومن الطبيعي أن يكون : باإليجاب على السؤاللكن في الحقيقة ستكون محصلة القوى المؤثرة على الغواص . بي هذا ، مستندا إلى قوة الجاذبية المؤثرة عليهجوابنا االيجا

. الهوائي صفرا، فقوة احتكاك الهواء تبطل مفعول قوة الجاذبية

72

Reference of Frames أطر اإلسنادوتحدد عادة نقطة في . ت حول الموضع في المكان تستند الميكانيكا بشكل خاص والفيزياء بشكل عام إلى بيانا

فلتعيين موضع نقطة ما على خط مستقيم ، يكفي إحداثي واحد، بينما يلزم إحداثيان إثنان لتحديد . المكان بواسطة إحداثياتطوي على نقطة معينة، هي وكل نظام إحداثي ين. نقطة في مستوى، وثالثة إحداثيات لتحديد نقطة في مكان ثالثي األبعاد

. نقطة األصل، واتجاهات معينة أو محاور وتعليمات، تحدد تموضع النقاط في المكان نسبة إلى نقطة األصل والى المحاوروليس ثمة من نهاية لعدد األنظمة اإلحداثية، فهناك العديد من األنظمة المحددة الذي يكون مناسبا لمعضالت خاصة، إال أن

الديكارتية والقطبية واألسطوانية : ومن بين األنظمة األكثر شيوعا. ك أنظمة قليلة نسبيا تستخدم على نطاق واسعهنا ). الكرية(والكروية

وإطار اإلسناد هو فكرة أشمل من نظام . وعلى العموم، تشكل نقطة أصل مع فئة محاور ما يدعى بإطار إسنادوفي التطبيقات الميكانيكية يتم . إطار إسناد واحد وجود عدد متنوع من أنظمة اإلحداثيات فمن الممكن ضمن. اإلحداثيات

وعليه يمكن اعتبار أي جسم جاسيء أو . اختيار أطر اإلسناد على األغلب لكي ترتبط ارتباطا وثيقا باألشياء الماديةلة طائرات أو مركز األرض أو مركز الشمس أو مجموعة من األجسام الجاسئة، مثل عربة تحمل بندوال بسيطا أو حام

ولذلك يعرف إطار اإلسناد بإنه زاوية النظر التي يرى المشاهد العالم . مركز المجرة التي ننتمي إليها مركزا إلطار إسناد . من خاللها

لب إلى فئة معينة من وحتى يكتسب القانون األول لنيوتن معناه، ينبغي أن يرتبط بإطار إسناد معين، أو على األغ inertial frames ofوتسمى أطر اإلسناد التي يتحقق بالنسبة لها قانون القصور بأطر اإلسناد القصورية . أطر اإلسناد

reference . مكانية بحتة، ثابتة ومستقرة في مكانها، وفي أفضل الحاالت تتحرك بسرجهة وهذه األطر اإلسنادية أطرواإلطار القصوري بطبيعته ومركزه بالتحديد يكون معزوال عن التأثيرات . الزمن مطلق -د على الزمن ثابتة وال تعتم

. ولذلك، يتطابق مركز هذا اإلطار مع مركز الكون. الخارجية

فحركة سلحفاة تزحف لجحرها أو . هذه الحقيقة، رغم كل الدقة في حساب حركة األجسام، أضحت غير عمليةتنطلق في مسار زائدي حول األرض ال حركة قذيفة فضائية للقارات تنطلق لهدفها أو حتى حركة مركبة عابرة صاروخية

إذ تستند دراسة الحركتين األوليتين مباشرة إلى موقع أو نقطة انطالقهما كنقطة أصل إلحداثيات تعبر عن . يتم بهذا التعقيدطار ال يكون صالحا لدراسة الحركة الثالثة، إذ يكون عندها مركز األرض وهذا اإل. القصوري يكافئإطار إسناد معين

ولذلك يعرف إطار اإلسناد القصوري بأنه ذاك اإلطار . األفضل واألدق كنقطة أصل إلحداثيات تعبر عن إطار قصوريعدم تأثره بأية قوة، أو على وجه التقريب الذي يرتبط ارتباطا وثيقا بجسم غير متسارع، إذا تأثر فقط بقوة جاذبية، بدال من

؛ فموقع نقطة على سطح األرض كنقطة بداية حركة ولذلك. جسم تسارعه ذو رتبة أدنى من تسارع الجسم قيد الدراسةسيارة أو حتى طائرة يكفي كإطار قصوري لدراسة الحركتين، بينما ال يكفي ذلك لدراسة حركة مركبة فضائية تدور حول

عندها يكون مركز األرض األمثل لدراسة حركة المركبة الفضائية، لكن ليس للمدى الذي . رض أو تنطلق نحو القمراأل. لحظتها يكون مركز الشمس هو مركز اإلطار القصوري. يمكننا من دراسة حركة نيزك يغوص في أعماق الكون

ورة العلمية، التي حددت الشمس كمركز ثابت للنظام إلى الث بكوبرنيكسوبالطبع، فإن هذا الظرف بالضبط هو الذي أدى . ونحن نعلم اآلن أن الشمس ليست ثابتة تماما، إذ تدور حول المجرة بتسارع ضئيل جدا جدا. الشمسي

73

Mass Inertial قانون نيوتن الثاني، كتلة القصور من المعادلة نيوتنلقد انطلق . ي تؤثر عليهسرعة التغير في زخم الجسيم تساوي في المقدار واالتجاه القوة الت

F ( t2 - t1 ) = m ( v2 - v1 ) 1.3 ، رمزه change of momentum، والتغير في الزخم P ،P = F (t2 - t1)، رمزه impulse، بين الدفع والتي تبين العالقة

K ،K = m (v2 - v1) . ى . 1 عن قانونه الثاني نيوتنلذي عبر به أقرب ما يكون إلى الشكل ا 1.3وتعتبر المعادلةمسويسرجهتي الجسيم في اللحظتين v2و v1، لة القصور أو ببساطه كتلة الجسيم، بكتmثابت التناسب في تلك المعادلة

لى فحصل ع t = t2 - t1على الفترة الزمنية 1.3فقد قام بقسمة طرفي المعادلة Euler أويلر أما. t2و t1المتتاليتين المتساوية

F

mt t

mt

v v v2 1

2 1

وباستخدام صيغة النهاية، فإنF

m

tm

ddtt

lim

0

v v

أو بشكل آخر F = m a 2.3

aيساوي المشتقة األولى لسرجهته aحيث أن تسارع الجسيم ddtv . تعرف قانون نيوتن الثاني بصيغة 2.3هذه المعادلة

المؤثرة على الجسيم في المقدار ) المتجه الرئيسي للقوى(كتلة الجسيم وتسارعه يساوي القوة حاصل ضرب: أخرىوتبعا لذلك، إذا . كما يمكن الحصول على نفس النتيجة بدون الحصول على محصلة القوى المؤثرة على الجسيم. واالتجاه

جسيم التسارع الذي تكسبه إياه فيما لو أثرت تلك القوة أثرت عدة قوى على جسيم واحد فإن كل قوة من هذه القوى تكسب ال .لوحدها

انعداممدلول كتلة القصور نتخيل رائدي فضاء يحومان بحرية داخل قمرة سفينتهما الفضائية في حالة وكي نتدبرويمكن مالحظة أن رائدا نحيال انطلق . فهما يعومان بعيدا عن بعضهما البعض بطريقة معينة لحظة انفصالهما. الوزن

كما أن كرة مقذوفة من رائد . ر، وبخاصة كتلة قصوره األصغرإذ نعزو ذلك إلى كتلته األصغ. بسرعة أكبر من آخر بدينامنفرد وعائم في وسط القمرة ستتحرك بسرعة نسبة إلى قاذفها فضاء وإذا انطلقت .المضاد بتؤده المرتد في االتجاه هائلة

. من أربعمئة من كتلة رائد الفضاء أسرع من رائد الفضاء بأربعمئة مرة، فما مرد ذلك إال إلن كتلتها هي جزء واحد الكرة .ولذلك فمقاومتها للشروع بالحركة، إذن، هي أقل بأربعمئة مرة

هذه . يتناسب التغير في الحركة مع القوة المحركة المؤثرة، وتحدث بنفس اتجاه نفس الخط التي تؤثر فيه تلك القوة: نيوتنعبارة 1م والقوة بدال من الدفع، لذا يتوجب نقل عبارته تلك وهو يستخدم الحركة بدال من الزخ. هي ترجمة عبارة نيوتن األصلية باالتينية

: انظر. يتناسب التغير في الزخم مع الدفع المؤثر ويكون اتجاهه موازيا للدفع: لتنطق بالمصطلح الحديث على الصورة التالية .349ص . من قائمة المراجع العربية 1الفيزياء الكالسيكية والحديثة، مجلد . ك. و فورد

74

محصلة (فالتسارع يكون في اتجاه القوة . أن التناسب بين القوة والتسارع اتجاهي 2.3نالحظ من المعادلة االتجاهية هذا التناسب ال يستلزم أية صلة سببية بين . سرجهة واتجاههاالمؤثرة على الجسيم قيد الدراسة، بغض النظر عن ال) القوى

كذلك يكون من الصحيح . القوة والتسارع، إذ يكون طبيعيا إلى حد ما أن نفكر بالقوة كأنها السبب، والتسارع كأنه النتيجةفبوسعنا . أن نفكر بهذه الطريقةأن نقول أن التسارع يسبب القوة، بل إنه لمن األسهل أحيانا -سواء بسواء -منطقيا

أيا كان األمر، فإن الصيغة . نشعر بقوة إضافية آتية من خلف المقعد) يجعلنا(القول، مثال ، أن تسارع سيارة إلى األمام . بوصفها أحد نواميس الطبيعة، تنص فقط على أن القوة والتسارع يردان معا بطريقة معينة 2.3

الوزن والكتلة

. ، المساوية عدديا لوزن الجسمFgravلى كل األجسام الواقعة قرب سطح األرض قوة الجاذبية األرضية تؤثر عوقد بينت . لكنها تقاس على الوجه األنسب عندما يكون الجسم ساكنا. وتؤثر هذه القوة سواء أكان الجسم متحركا أم ساكنا

ن ارتفاع قليل، وباهمال مقاومة الهواء لها تسارع واحد هو تسارع ربة أن كل األجسام عند سقوطها على األرض متجالوبما أن قياس الوزن هو قياس ساكن، فإنه يزودنا بمعلومات هامة عن قوة طبيعية أساسية ومستقلةg . الجاذبية األرضية .عن قوانين الحركة

لدرجة جيدة من -سطح األرض يكون وزن الجسم بالقرب من: وتسفر دراسات قوة الجاذبية عن الحقائق التاليةواألهم من هذا . وتكون قوة الجاذبية المؤثرة على الجسم مستقلة عن نوع أو حالة حركته. مستقال عن موضعه -التقريب

. وذاك، أن الوزن يتناسب مع الكتلة تناسبا كونيا لكل المواد وسائر األحجام

فكتلة . ، فغالبا ما يكون هناك خلط بين هذين المفهومين)كتلة القصور(ن والكتلة ونظرا للتناسب المالحظ بين الوزالقصور التي تعرف في قانون نيوتن الثاني بثابت التناسب بين القوة والتسارع، هي مقياس للمقاومة المبذولة ضد التغيير

مقياس لشدة استجابة الجسم -وجه التحديد على -من ناحية أخرى فإن الوزن هو . في حركة جسم خاضع لنفس القوة، لغزا غامضا ألكثر من قرنين من نيوتنالطردي، الذي اكتشفه ) الوزن والكتلة(وقد ظل تناسبهما . المتحرك لقوة الجاذبية

على mوكلتة القصور Fgravهذا ويمكن كتابة التناسب التجريبي بين قوة الجاذبية . الزمن حتى بداية القرن العشرين الصورة

Fgrav = m g

، لنظام إحداثي ديكارتي، بحيث يشير إلى األعلى، k، مع متجه الوحدة zفإذا اختير محور . ثابت التناسب الجديد gحيث كانت المعادلة االتجاهية

Fgrav = - m g k

ألرض، ومستقال عن حجم وطبيعة المادة يكون دائما ثابتا في الموضع الواحد على سطح ا gومع أن الثابت وإن مقارنة قانون القوة هذا . 2خط العرض) زاوية(الموزونة، إال أنه يتفاوت قليال من موضع آلخر، وذلك باالعتماد على

قوة الوحيدة وإذا كانت قوة الجاذبية هي ال. ، ينبغي أن يكون لها نفس البعد كالتسارعgمع قانون نيوتن الثاني، لتبين أن المؤثرة على الجسم قيد الدراسة، فإن تسارعه يرتبط حسب قانون نيوتن الثاني

75

Fgrav = m a وبربط المعادلتين اإلتجاهيتين األخيرتين، ينتج للتو أن

a = - g k & a = g

= 31خط العرض) زاوية(بيع لثانية تر/متر 9.8وهذا تسارع ثابت متجه لألسفل، مقداره o 45

عادة gولذلك، يدعى . ’ . acceleration of gravity 2بتسارع الجاذبية

Law Third Newton’s قانون نيوتن الثالث

ورياضيا .االتجاه يؤثر الجسيمان المتفاعالن كل منهما على اآلخر بقوتين متساويتين في المقدار ومتعاكستين في عادلةنرمز لذلك بالم

Fij = Fji 3.3 يدل على الجسيم jيدل على الجسيم المتأثر بالقوة، والحرف السفلي الثاني iواصطالحا، سنجعل الحرف السفلي األول

. ترد كل قوى الطبيعة في أزواج متساوية ومتضادة :وبصورة أكثر تعميما، يمكن صياغة القانون كاألتي. المؤثر بالقوةلقانون يحتاج لتطبيقه إلى جسيمين متفاعلين على األقل، على عكس القانونين األول والثاني اللذين يمكن يالحظ أن هذا ا

. صياغتهما بداللة أجسام أو جسيمات منفردة

لكل فعل يوجد رد فعل مساو :نفسه للقانون نيوتنهذه الصياغة لقانون نيوتن الثالث ال تختلف كثيرا عن صياغة وإن كان استخدامه لكلمة فعل بدال من كلمة قوة . لفعلين المتبادلين بين الجسيمين يتساويان ويتضادانإن ا؛ أو ومضاد

.3 غير واضح المعالم

. ن الثالث التي تستوجب الفهم، هو أنه قانون قوة وليس قانون حركة بصورة مباشرةومن أهم مظاهر قانون نيوت ال عن الحركة وال عن القوى المؤثرة على الجسم المتحرك أو الساكن والتي تنشأ عن أي شيء ،شيء فهو ال يفصح بأي

إذا تأثر جسم : على سبيل المثال ينص القانونف. آخر غير الجسم الثاني، وال عن نوع القوة المؤثرة بين الجسمين المتفاعلين، بغضF ، إنجذبت األرض من الجسم إلى األعلى بمحصلة قوة مقدارها أيضا Fإلى أسفل بقوة جاذبية األرض، مقدارها

متحركا أو النظر عن أية قوى أخرى قد تؤثر على النظام المكون من الجسم واألرض، وبغض النظر عما إذا كان الجسم قانون -الكلية المؤثرة على كل منهما ) محصلة القوى(وتتحدد حركة كل من األرض والجسم بالقوة . يستقر على منضدة

كما أن قوة جذب الجسم . الجسم وقوة جاذبية األرض هي واحدة من بين مجموعة القوى الممكنة المؤثرة على. نيوتن الثانيواحدة وبموجب قانون نيوتن الثالث تكون هاتان . ين مجموعة القوى المؤثرة على األرضمن ب لألرض هي مجرد قوة

.القوتان متساويتين ومتضادتين، أي أنهما زوج متناظر

international gravity formulaتتغير قيمة تسارع الجاذبية األرضية بداللة خط العرض حسب الصيغة الدولية للجاذبية 2g = 9.781 ( 1 + 0.5310-3 sin2 - 5.910-6 sin2 2 )

وبالتالي فتسارع الجاذبية في القدس، خط . تسارع الجاذبية لمستوى سطح البحر عند خط االستواء go = 9.781 [m/s2]حيث أن = 31العرض

o45

.بالتحديد 2.7والبند الباب السابعانظر . g = 9.795 [m/s2]يساوي ’، لها ضدaction فعل ، ولربما فقط لسبب لغوي مفاده أن كلمة تغير الزخمو القوةفهومي م فعلربما قصد بذلك شمول مفهوم 3

من 1الفيزياء الكالسيكية والحديثة، مجلد . ك. فورد و: ظرأن. ليس لها مثل ذلك قوة، في حين أن reactionرد فعل مناسب، .349ص . قائمة المراجع العربية

76

فاألرض ال تشد الكواكب والقمر بقوة . لذلك يساعدنا قانون نيوتن الثالث على االستنتاج أن قوة الجاذبية متبادلةوإن هذا التبادل في ). األجرام(جرام تفعل الشيء ذاته فتتعرض األرض لقوى جاذبيتها جاذبيتها فحسب، بل إن تلك األ

فالمشتري مثال، بضخامة كتلته يشوش على . الجذب الناتج عن قوة الجاذبية ليؤدي إلى تعقيدات في حركات الكواكب .مدارات الكوكب المجاور له، أي زحل

ع أيضا لقانون رد الفعل، بالرغم من عدم ظهور هاتين القوتين في وبالطبع فإن سقوط األجسام على األرض يخض. إن التفاحة تسقط على األرض الن هذه األخيرة تجذبها إليها، ولكن التفاحة تجذب األرض اليها بنفس القوة تماما. الحال

لتفاحة على األرض وبعبارة أدق، فإن كال من التفاحة واألرض، تسقطان على بعضهما البعض، ولكن سرعة سقوط افالقوى المتساوية والمتضادة للجذب المتبادل بين األرض والتفاحة، تعطي . تختلف عن سرعة سقوط األرض على التفاحة

متر لكل ثانية تربيع بينما تعطي األرض تسارعا يقل عن تسارع التفاحة بنسبة كتلة األرض إلى 9.8التفاحة تسارعا قدره كتلة األرض أكبر من كتلة التفاحة بعدد ال متناه من المرات فإن هذا يجعل األرض ال تنتقل من وحيث أن . كتلة التفاحة

ولهذا السبب نقول أن التفاحة تسقط على األرض بدال من قولنا . مكانها إال بمقدار ضئيل جدا يمكن اعتباره مساويا للصفر . بأن كال من التفاحة واألرض تسقطان على بعضهما البعض

DimensionsUnits and وحدات القياس واألبعاد 3.3

إن استخدام قانون نيوتن الثاني يتطلب . تقاس الكميات الفيزيائية نوعيا بوحدات بعدية وكميا بوحدات عدديةكونة له وهي القوة والكتلة استعمال مجموعة متجانسة من الوحدات، حيث يبين القانون المذكور العالقة بين الوحدات الم

إن الوحدات المستخدمة ألي كميتين من الكميات الثالث الوارد ذكرها تحدد وحدة الكمية الثالثة اشتقاقا من . والتسارع تكونان أساسيتين، بما يعني أن وحدة التسارع تصبح [T]والزمن [L]لقد اصطلح على أن وحدتي الطول . القانون نفسه

وعليه نميز المجموعتين . ولذلك علينا اختيار أي من الكميتين المتبقيتين، الكتلة، أو القوة ستكون أساسية . [LT2]مميزة : التاليتين

Units of Systems Absolute مجموعة الوحدات المطلقة -1

القوة فتشتق من هذه الوحدات انطالقا من أساسية، أما [M]والكتلة [T]والزمن [L]تعتبر فيها وحدات الطول . وحدة القوة بالقوة الآلزمة الكساب وحدة الكتلة تسارعا مقداره وحدة تسارعوتعرف تبعا لذلك، . قانون نيوتن الثانيالمتر لكل ثانية تربيع أما الكتلة مجموعة وحدات مطلقة حيث يقاس التسارع ب SIللوحدات النظام الدوليوتعتبر مجموعة

بالقوة التي تكسب كتلة ، المشتقة من الوحدتين الباقيتين ستعرف وحدة القوةوعلى هذا األساس فإن . فتقاس بالكيلوغراماتكما . 1[ kg.m/s2 ]=[N]1 لنيوتنباوتعرف هذه القوة . مقدارها كيلوغرام واحد تسارعا مقداره متر واحد لكل ثانية تربيع

CGS س غ ثينتمي نظام 4

، ووحداته السنتمتر للطول والغرام للكتلة والثانية للزمن إلى مجموعة الوحدات المطلقة تماما بـالقوة التي تكسبها ، الذي يعرف [dyne] الداينبوتقاس القوة عندئذ . SI للوحدات للنظام الدوليمثلما هو الحال بالنسبة

. رام الواحد عند التأثير عليها بتسارع مقداره سنتمتر واحد لكل ثانية تربيعكتلة الغ

77

Units of Systems Gravitational التثاقلية مجموعة الوحدات -2

. وحدات أساسية، أما الكتلة فتشتق من هذه الوحدات [F]، والقوة [T]، والزمن [L]تعتبر فيها وحدات الطول بقوة فتعرف وحدة القوة أما. عليها بوحدة قوة بـالكتلة التي تتسارع بوحدة تسارع عند التأثير دة الكتلةوحوتعرف

ةعياري جذب األرض لكتلة Standard Mass .ةدحالقوة بالنسبة وإذا تغير موقع تحديد الكتلة العيارية فستتغير تبعا لذلك وإن الوحدة التثاقلية تعني الوحدة التي تتغير عند تغير موقع الكتلة العيارية بالنسبة لمجال .لمجالها األرضي، أي موقعها

. نها غير مرتبطة بموقع الكتلة العيارية نسبة إلى سطح األرضأبينما يحدد مفهوم الوحدة المطلقة . جاذبية األرض

ةالمعادلة التفاضلية لحركة جسيم تحت تأثير قوى محدد 4.3

، وتؤثر عليه m، كتلته Pاعتبر حركة الجسيم التي Fnو..... F1 ،F2 ،F3مجموعة القوى المحددة

+ .....+ F ،F = F1 + F2 + F3) متجهها الرئيسي( محصلتها

Fn ،إذا كان المتجه . 1.3كل ـشr يعرف تموضع هذا، 35.2يعرف تسارعه، معادلة aالجسيم والمتجه

a r

ddt

2

2، فإن المعادلة التفاضلية لحركة هذا الجسيم يتم

2.3الواردتين أعاله في المعادلة aو Fباستبدال كل من

F r m

ddt

2

2 4.3

O

r

F2F1

F4

F3

Fn

F

P

1.3كل ـش

. كما يمكن تعريف نفس المعادلة بأي من اإلحداثيات المختلفة. جسيم ديناميكياهذه المعادلة االتجاهية تصلح لوصف حركة ال فنكتب المعادلة. أشكاال قياسية أخرى 4.3عندئذ تأخذ المعادلة

Fx i + Fy j + Fz k = m ax i + m ay j + m az k 1.4.3

في اإلحداثيات الديكارتية، أو المعادلةFn en + Ft et = m an en + m at et 2.4.3

في اإلحداثيات الطبيعية، أو المعادلةFr er + F e = m ar er + m a e 3.4.3

.في اإلحداثيات القطبية

4 CGS مختصرة من الكلمات اإلنجليزيةCentimeter Gram Second.

78

حـل المسـائـل

يقوم حل مسائل الديناميكا على تكامل المعادالت التفاضلية والذي يشمل

.قدر اإلمكان االبتدائيموضع الجسيم اختيار نقطة األصل إلطار إسناد قصوري منطبقة على -1

للحركة، الديكارتي، أو القطبي، أو الطبيعي بحيث يكون إحداثي واحد منطبقا على امتداد الالزمتحديد نظام اإلحداثيات -2 . الحركة قدر اإلمكان

. االبتدائي على الرسم، وليس في موضع خاص له كالموضع arbitraryتمثيل الجسيم في موضع اعتباطي -3

، 4.3تحديد القوى المؤثرة على الجسيم المتحرك في اللحظة المعينة، وتكوين المعادلة التفاضلية لحركته، مثل المعادلة -4 . أو إحدى مركباتها المختلفة

تكامل من الشروط ثابت أو ثوابت ال إيجادالتفاضلية بالطرق الرياضية المعروفة بما يلزم ذلك ) المعادالت(حل المعادلة -5 . االبتدائية للحركة

يتطلب حل الثانية تعيين معادلة حركة جسيم تحت . وكما ذكر سابقا في بداية هذا الباب، يوجد في الديناميكا مسألتانهة على متغيرات ثالث هي الزمن والسرج بآخر وإذا اعتبرنا أن القوة تعتمد بشكل أو. تأثير قوة محددة، وهي لذلك األعقد

على مسائل محددة، ناقتصر حليلذلك، . والمسافة، فإن حل هذه المسألة سيكون معقدا وفي أحسن األحوال سيكون حال عاما . كأن تعتمد القوة على الزمن، أو على السرجهة، أو على المسافة وبشكل منفرد

القوة تعتمد على الزمن

المعادلة التفاضلية لحركة هذا الجسيم m a = F(t) 5.3

aوألن التسارع يساوي مشتقة السرجهة األولى ، ddtv جراء التكامل عليها يبين أن إالناتجة و 5.3، فإن ترتيب المعادلة

سرجهة الجسيم تتحدد بالمعادلة التكاملية

v v o

t

mt dt1

0

F( ) 6.3

vوحيث أن السرجهة تساوي مشتقة متجه الموضع ، ddtr جراء التكامل المحدود يبين أن إو 6.3، فإن ترتيب المعادلة

تموضع الجسيم يتحدد بالمعادلة التكاملية التالية

r r F

o o

tt

tm

t dt dtv 1

00

( ) 7.3

. بتدائية للتكاملكثابتي تكامل تتحدد قيمهما من الشروط اال voو roحيث يظهر الثابتان

79

1.3ؤال م ـس، إذا ما تحرك من السكون من الموضع االبتدائي F = 6t2 iكيلوغرامات وتؤثر عليه القوة 5حركة الجسيم الذي كتلته اوجد معادلة

ro = 5 i.

الـحــل

يكون iبتطبيق قانون نيوتن الثاني لحركة هذا الجسيم ولالتجاه m a = F(t) 5 dvx /dt = 6t2

vxo = 0لتكاملية ، حيث تحرك الجسم من السكون يعني أن تتحدد سرعة الجسيم بالمعادلة ا

d t dtx

tx

vv

0

2

0

12 . vx = 0.4 t3

وبكتابة السرعة في المعادلة األخيرة بداللة مشتقة موضع الجسم

vx = dx / dt dx t dtx t

5

3

0

0 4 .

االعتبار الشروط االبتدائية للحركةجراء التكامل المحدود واألخذ بعين إنحدد المسافة المقطوعة بعد x = 0.1 t4 + 5

. والتي تمثل معادلة حركة الجسيم

القوة تعتمد على السرجهة

المعادلة التفاضلية لحركة هذا الجسيم m a = F(v) 8.3

وألن التسارع يساوي مشتقة السرجهة األولىa

ddtv

جراء التكامل المحدود يعطي الزمن إوترتيبه ثم 8.3لة فإن استبدال ذلك في المعاد

md

dttv

vv

v

F( )o

0

t = f { v , vo , F(v)} 9.3

أو كدالة سرجهة v = g { t , vo , F(v) } 10.3

vوباستبدال ddtr ترتيبها و نحصل على تموضع الجسيم جراء التكامل المحدودإفي هذه المعادلة ثم

r F r g t d to o

t

{ , , ( ) }v v0

r = h ( t , vo , F(v) , ro ) 11.3

. دوال محددة hو f ،gحيث أن كال من

80

2.3ؤال م ـس - = F ويتحرك تحت تأثير قوة االهتزاز الخطية mالذي كتلته linear damperوجد معادلة حركة ممتص الصدمات الخطي أ

kvحيث ، k ثابت التناسب وv سرعته باألمتار لكل ثانية، إذا ناظرت اللحظة االبتدائيةto = 0 السرعة االبتدائيةvo عندما كان .i االتجاهاعتبر الحركة في . xo = 0ممتص الصدمات على بعد

الـحـل

قانون نيوتن الثاني لحركة هذا الجسيم m a = F i m ax = - k v 1

للتكامل يكون الحل زمنيا 1كمشتقة السرجهة األولى، ثم ترتيب المعادلة axاستبدال التسارع وب

mk

d d to

tv

vv

v

0

t mk o

ln v v

أو كدالة سرعة v v

okt me / 2

حل معادلة الحركة التالية، كمشتقة الموضع، وترتيبها للتكامل يكون ال2وباستبدال السرجهة، في المعادلة

xm

keo kt m v

( )/1 3

القوة تعتمد على المسافة

المعادلة التفاضلية لحركة هذا الجسيم m a = F(r) 12.3

aوباستبدال التسارع r

v vdd

جراء التكامل المحدود يكون إ، ثم ترتيبها و12.3في المعادلة

12

2 2

0

m do( ) ( )v v F r rr

r

13.3

التالي implicitوالتي يمكن حلها بداللة الموضع بالشكل الضمني r = q ( ro , vo , v , F(r) ) 14.3

. دالة محددة qحيث أن

3.3 ؤال مـس تسارع جسيم معرف بالعالقة

a = 3 x2/3 - x/4 [m/s2] 1 ؟ الجسيم ذو كتلة، مقدارها الوحدة، vmaxوما سرعة الجسيم القصوى . ديةاحسب سرعة الجسيم عندما تكون القوة المؤثرة ذات قيمة ح

. Po(0,0,0)يتحرك بدون سرعة ابتدائية من النقطة الـحــل

القوة حسب قانون نيوتن الثاني

F = ma = 1 { 3 x2/3 - x/4 } [ N ] 2

81

فنكتب . بالصفر xوينا مشتقتها بداللة إذا سا) أكبر قيمة(ذات قيمة حدية ) القوة ( وتكون

dFdx

x

2 1

401 3/ x = 512 [m] 3

aفنعوض التسارع xنحدد سرعة الجسيم كدالة مسافة ddr

v v التي تؤول بعد ترتيبها واستبدال الشروط االبتدائية 1في المعادلة ،

جراء التكامل إلى الشكل التالي إو

v vd = 3 14

2 3x x dx/

v 2 = 2 95

18

5 3 2x x/

4

نجد مقدار السرعة x = 512 [m]وباستبدال

v = 228.97 [m/s] 5

فنكتب . بداللة المسافة بالصفر) أو مربع السرعة(فتتحدد من مساواة مشتقة السرعة ) الحدية(أما السرعة القصوى

ddx

=2v 2 9

553

28

2 3 14

02 3 2 3 1 3x x x x/ / /

6

وحلها يعطي x1 = 0 & x2 = 1728 [m] 7

في معادلة x1ثبات رياضيا أن استبدال ومن السهولة بمكان اإلبينما min. valueيعطي السرعة الصغرى 5السرعة وعليه . max. valueيعطي السرعة العظمى x2استبدال

يكون

vmin = 0 & vmax = 386.4 [m/s] 8 تغیر القوة والسرعة بداللة المسافة . x2و x1للقيمتين aقيم التسارع افحص

01728

السرعة64

512

القوة

F[N]

x [m]

v[m/s]

0

386

229

تغیر القوة والسرعة بداللة المسافة

01728

السرعة64

512

القوة

F[N]

x [m]

v[m/s]

0

386

229

أسـئـلـة مـحـلـولـة

4.3 ؤال مـسثانية عندما يتحرك من السكون على سطح t =20ثانية و t =10كيلوغرام في اللحظتين 12وجد سرعة وتسارع صندوق، كتلته أ

تتغير زمنيا كما F، إذا ما سحب الصندوق بقوة أفقية d =0.186، والديناميكي s =0.2أفقي وخشن، معامل احتكاكه االستاتيكي .2 الرسم البيانيفي

الـحـل. موازيا للحركة لليمين Oxبحيث ينطبق على الموقع االبتدائي لحركة الصندوق ونمد المحور Oنحدد نقطة األصل في الموقع الشروط االبتدائية للحركة هي

82

t = 0 , x = 0 , vx = vo = 0

ثرة على الصندوق وهي قوة الوزن ، القوى المؤ3 الرسمونحدد على mg لألسفل، قوة رد فعل السطحN لألعلى، القوة األفقيةF لليمينونحدد . بين السطح والصندوق لليسار بعكس الحركة F االحتكاكوقوة

. لليمين باتجاه الحركة aأخيرا متجه التسارع

المرحلة األولى

التي تزداد بانتظام ( Fحب حركة الصندوق معدومة حتى تتغلب قوة السبين السطح Fsعلى قوة االحتكاك االستاتيكي ) 10حتى الثانية

أي أن . والصندوق

F = Fs 1

4.3كل م ـش

tثانية التي تزداد طرديا بداللة الزمن 10و 0قوة السحب األفقية بين اللحظتين F = 4 t 2

من قانون نيوتن الثاني لحركة الصندوق Fالحتكاك بينما تتحدد قوة ا

m a = F + F + N + m g 3

يعطي Oyعلى المحور 3مسقط المعادلة

0 = N - mg N = mg 4

بينما قوة االحتكاك بداللة معامل االحتكاك االستاتيكي Fs = s N Fs = s mg 5

ينتج أن 1وتعويضهم في المعادلة 5من المعادلة Fsو 2من المعادلة Fوباستبدال

t = 0.25 s mg = 0.25 0.2 12 9.8

t = 5.88 [s] 6

. ثانية حتى يبدأ الصندوق بالحراك يمينا متغلبا على قوة االحتكاك االستاتيكي 5.88أي يجب أن يمر

المرحلة الثانية على 3سقاط المعادلة إوب. 3 مـرس، ، وذلك تحت تأثير القوى المختلفةثانية t =5.88ن عند اللحظة يبدأ الصندوق الحركة من السكو

نجد أن Oxالمحور m a = F - Fd 7

قوة االحتكاك الديناميكي الناتجة من الحركة Fdحيث تكافئ

F

F[N] 40

10

20 o

F

y

x

a F

N

mg

1

2

3

سطح خشن

t[s]

83

Fd = d mg = 0.186 12 9.8 = 21.87 [N] 8 كدالة تسارع زمنية 7، يكون حل المعادلة الناتجة 2من المعادلة Fو 8معادلة من ال Fdوباستبدال

a t 13

18228. 9

ثانية يكون التسارع t =10ثانية و t =5.88وفي اللحظتين a t=5.88 [ s ] = 0.137 [m/s2] , a t=10 [ s ] = 1.51 [m/s2]

جراء التكامل المحدود إوبترتيب الناتج و. ، كمشتقة سرعة9 ، معادلة aتتحدد سرعة الصندوق باستبدال

dvv

0 5.88

13

18228

t dtt

.

v = 0.167 t2 - 1.8228 t + 4.955 10 ثانية تكون السرعة t =10وفي اللحظة

v t=10 [ s ] = 3.43 [m/s] 11

المرحلة الثالثة بعد قسمة طرفيها على 7وتؤول المعادلة . 2 رسم بيانيثابتة مقدارا واتجاها، Fتكون القوة. ثانية وبعدها t =10تبدأ من اللحظة

إلى الشكل الجديد التالي mالكتلة

a 40 218712

. = 1.51 [m /s2 ] t 10 [s] 12

أي أن . يضاوحيث أن محصلة القوى ثابتة مقدارا واتجاها يكون التسارع ثابتا مقدارا واتجاها أ a = 1.51 [m /s2 ] i t 10 [s]

aأخيرا تتحدد سرعة الصندوق بعد استبدال ddt

v جراء التكامل المحدودإو 12في المعادلة

d =v v

3.43 10

151 . dtt

v = 1.51 t - 11.67

ثانية يكون t =20وفي اللحظة v = 18.53 [ m /s ] 13

5.3ؤال م ـسأطنان، أفقيا وبخط مستقيم، تحت تأثير القوة 8تطير طائرة، كتلتها

t = 32[s]أوجد سرعة الطائرة في اللحظة . F = Fxاألفقية والمسافة المقطوعة حتى تلك اللحظة، إذا كانت سرعة الطائرة

أهمل قوة . to = 0عند الزمن vo = 320 [m/s]االبتدائية .كاك الهواء احت

الـحــلللحركة في ثانية t 0 16قانون نيوتن الثاني للفترة الزمنية

كخط حركة الطائرة xخط مستقيم، على محور

O

-32

64

16

F[kN]

t[s]32

5.3 م كلـش

84

(t)Fxm x t s16[N]1064=x[kg]108

33

أو ax = t0.5=x [m/s2] t ( 0,16 ) 1

ومن هذه المعادلة تتحدد سرعة الطائرة بتكامل طرفيها، أو ovv 2t25.0x

للمعادلة التالية تخضعنجد أن سرعة الطائرة to = 0و vo = 320 [m/s]بتدائية وبتعويض الشروط اال

v 0 25 320. t2 2

t = 16 [s]سرعة الطائرة في نهاية الفترة األولى، اللحظة

v16 = vt=16 [s] = 0.25 162 + 320 = 384 [m/s] إلى 1وتبعا لذلك تؤول المعادلة . F = 32 [kN]تتعرض الطائرة إلى قوة كبح مقدارها t 16 [s] [s] 32في الفترة الثانية

الشكل الجديد التالي

N][k32=x[kg]108 3 4=x [m/s2] , t(16,32) 3

dtومرة أخرى؛ تتحدد السرعة في الفترة الثانية بعد استبدال dvxa جراء تكامل المعادلة الناتجة أخذين بعين إ، ثم 3في المعادلة

االعتبار الشروط االبتدائية الجديدة

d d tt

vv

384 16

4 4

لشكل البارامتري ولتؤول تبعا لذلك معادلة السرعة إلى اv 448 4 t 5

t = 32 [s]سرعة الطائرة في نهاية الفترة الثانية، اللحظة v32 = 448 - 4 32 v32 = 320 [m/s]

المسافة المقطوعة

جراء إ، ثمx سافة وذلك باستبدال السرعة بمشتقة الم 2، من المعادلة t 0 [s] 16تتحدد المسافة المقطوعة في الجزء األول التكامل

x x t to163

0160 25

3320

.

0 25

316 320 163.

x16 - xo = 5.461 [km] 6

بعد استبدال السرعة بمشتقة المسافة 5ثانية من تكامل المعادلة t =32ثانية و t =16كما تتحدد المسافة المقطوعة بين اللحظتين وترتيبها

x x t t32 162

16

32448 2 x32 - x16 = 5.632 [km] 7

المسافة 32وبجمع المسافتين الناتجتين نجد أن الطائرة قطعت حتى الثانية x = 5.461 + 5.632 = 11.093[km] 8

85

6.3ؤال م ـس باإلزاحةيتحدد موضع جسيم يتحرك على خط مستقيم

S = t3

3 + 12 t + 8 [m]

مقيسا من لحظة البداية، وما تسارعه لحظتها الثانية/مترا 48زم ليصل الجسيم إلى سرعة الأوجد الزمن ال .حيث يقاس الزمن بالثانية ثانية؟ t =4؟ وأخيرا، ما اإلزاحة الكلية للجسيم مقيسة من لحظة البداية حتى

الـحـل احة بداللة الزمنزإلتتحدد سرعة وتسارع الجسيم بالتفاضل المتتالي ل

v dSdt

= t2 + 12 [m/s] 1

a d Sdt

ddt

2

2 v = 2 t [m/s2] 2

لنجد الزمن المطلوب 1مترا في الثانية في المعادلة v =48وعلى هذا األساس نعوض السرعة

48 = t2 + 12 [m/s] t = 6 [s]

فإن ) رياضيا يمثل الحركة قبل لحظة البداية إذ ال معنى عملي له(البة لغاء جواب اإلشارة السإوبt = 6 [s]

2تسارع الجسيم من المعادلة

a = 2 t = 26 = 12 [m/s2]

الكلية للجسيم مقيسة من لحظة البداية حتى الثانية اإلزاحة ثواني t =4الرابعة،

S = S4 - S0 [ m ]

S = 43

3 + 12 4 + 8 - 8 [m]

S = 69.33 [m]

وهذه األخيرة يمكن تمثيلها بالمساحة المحصورة تحت المنحنى v = t2 + 12 ،وذلك بين اللحظتين 6.3م شكل ،t =0 حتى

. ثانية t =4اللحظة

1.0 2.0 3.0 4.0t

28

20

12

4

v متر70= المساحة

0

Area=0.5[(12+13)+(13+16)+ (16+21)+(21+28)]

1.0 2.0 3.0 4.0t

28

20

12

4

v متر70= المساحة

0

Area=0.5[(12+13)+(13+16)+ (16+21)+(21+28)]

كتكامل السرعة اإلزاحة :6.3كل م ـش

7.3 ؤال مـس الهواء لجسم صاعد للسماء بالعالقة االتجاهية تتحدد مقاومة

Fv = - k2 mg v2 k

احسب االرتفاع األقصى للجسم وزمن صعوده لهذا االرتفاع إذا ما انطلق بالسرجهة . سرعته vوزن الجسم و mgثابت، k2حيث . vo االبتدائية

86

الـحــلاطيا للجسم أثناء صعوده عليه لتمثل موقعا اعتب Pوالنقطة Oyنحدد المحور

القوى المؤثرة على الجسم هي قوة . بداية الحركة Oلألعلى، بينما تمثل النقطة وتبعا . قوة مقاومة الهواء لألسفل بعكس الحركة لألعلى Fvلألسفل، mgوزنه

المعادلة التفاضلية لحركة الجسم . لذلك ، نحدد متجه تسارع الجسم لألعلى22 ymgkmgym

من الطرفين mوحل هذه المعادلة بداللة التسارع يعطي بعد اختصار

]yk[1 gy 22 1 وباستبدال التسارع

dtydy

ترتيب المعادلة جراء التكامل المحدودإو 1ومن ثم

t

0

y

ov22 dtg

yk1yd

2

7.3كل م ـش tيعطي زمن الرحلة

ykarctankarctankg1t o

v 3

0yالزمن الالزم للوصول ألقصى ارتفاع يعني استبدال v 3في المعادلة

ovkarctankg1T 4

أما االرتفاع الذي يصله الجسم فيتحدد باستبدال ydydyy

يب على التكامل المحدود ، ولنحصل بعد الترت1في المعادلة

y

0

y

ov22 ydg

yk1ydy

gy

vk1yk1ln

k21

2o

2

22

2

يعطي yوالذي حله بداللة

22

2o

2

2 yk1k1ln

kg21y

v 5

0yيتحدد االرتفاع األقصى بوضع v 5في المعادلة

2o

22max k1ln

kg21yH v 6

8.3ؤال م ـس

F، وذلك تحت تأثير قوة الجاذبية vo = vo kعموديا لألعلى وبالسرجهة االبتدائية أطلقت قذيفة من سطح األرض er rGMm

r

2 .

وما أقصى ارتفاع تصله القذيفة؟ . كتب العالقة بين السـرعة وارتفاع القذيفةأ

y

y

Hm

ax

mg

Fv

vo

O

a

P

vf = 0 أقصى ارتفاع

87

حــلـال yتتم الحركة في االتجاه الرأسي ، ولذلك نكتب قوة الجاذبية كمركبة

rer

GMmr 2F Fy

gR my

2

2 j 1

والتي تساوي مضروب الكتلة والتسارع

ymyF 2

ولالتجاه الرأسي يكون 2و 1ومن تساوي المعادلتين

2y

2gRy 3

وباستبدال dy

ydyy

أخرى 3نكتب المعادلة بصيغة

dy2y

2gRydy 4

أو بعد إجراء التكامل

8.3 شـكل مy

R

2

y

2gRy v

v o

v v2

o gRy R

2 22 1 1 5

بداللة 5حل المعادلة الناتجة . v = 0، والسرعة النهائية تؤول للصفر ymax = H + Rوصول القذيفة ألقصى ارتفاع ، يعني أن يعطي voالسرعة

v o gRR R H

2 22 1 1

v o

2 gRHR H

6

H، فإن السرعة االبتدائية تحسب بداللة H<<Rقريبة من سطح األرض فإن Hوكلما كانت

v o

2 2

1gRH

R Hg H

HR

v o 2 g H 7

Rحسب بداللة ، فإن السرعة االبتدائية تH>>Rكبيرة جدا، Hأما إذا كانت

v o

2 2

1gRH

R HgR

RH

v o 2 g R 8

9.3ؤال م ـس أوجد أقصى مدىrange كتلتها وأقصى ارتفاع تصله قذيفة ،m ، االبتدائية من سرجهةباحتكاك مهمل وبالفي الهواء تنطلق

Oالموقع vo = vo cos i + vo sin j

األرض

Fr

vo

H

R

v

1

y

أقصى ارتفاع

88

الـحــللليمين Oxلألعلى والمحور Oyنحدد المحور . Oأصل اإلحداثيات الديكارتية الثابتة في الموقع االبتدائي للقذيفة نحدد نقطة

قوة .، ونحدد القوى المؤثرة عليها في ذلك الموضعPندرس حركة القذيفة في موقع اعتباطي . Oxyبحيث تتم الحركة في المستوى بداللة مركباتها الثالث 2.2ولذلك نكتب معادلة الحركة . لألسفلالمؤثرة وتؤثر دة الوحيهي القوة mg = -mg jالوزن

0xm 1

gmym 2

0zm 3 لحل هذه المعادالت نحدد الشروط االبتدائية للحركة

t = t0 = 0 ro = 0 &

vo= vo cos i + vo sin j 4

vo

y

xz

OD

H

P

v

mgxT

9.3كل م ـش

mو بعد قسمة الطرفين على الكتلة 4مع األخذ بعين االعتبار الشروط االبتدائية للحركة 1- 3التكامل األول على المعادالت وبإجراء نجد أن مركبات السرجهة

cosovx 5 sinvtgy o

6

0z 7

يعطي مركبات اإلزاحة 5 - 7اء التكامل الثاني على المعادالت األخيرة جرإكما أن x = vo t cos 8 y = - g t2 / 2 + vo t sin 9 z = 0 10

نحصل على معادلة حركة القذيفة 9وتعويضه في المعادلة 8من المعادلة tوباستبدال الزمن

y x gv

xo

tancos

2 2 2

2 11

يجب . ئ، إذ يرسم مسار القذيفة في الفراغ معادلة القطع المكافOxyة القذيفة حركة منحنية تتم في المستوى الرأسي وبالتالي فحركعلى القذيفة جعلها ال تتحرك حركة في خط مستقيم وذلك الن متجه السرجهة ال يتسامت مع متجهmg المعرفة أن تأثير قوة الوزن

ومساواة الناتج بالصفر xبداللة y، وذلك بحساب مشتقة 11ع تصله القذيفة من المعادلة ويتحدد أقصى ارتفا. القوةdydx

g xo

tancos

v 2 2

0 xgT

ov 2 2

2sin

12

، نحصل بعد ترتيب المعادلة األولى على أقصى ارتفاع 12بقيمتها من المعادلة 11في المعادلة xوباستبدال

22sing21

maxyH oTxx

v 13

xTتمثل منتصف المسافة، فإن أقصى مدى تصله القذيفة يتحدد كضعف المسافة 12من المعادلة xوألن

89

D xgT

o 222v sin

14

في المعادلة = 45إذ يكون ذلك عند الزاوية. التي تعطي القذيفة أقصى مدى ممكن أخيرا، من السهولة بمكان معرفة الزاوية 14

D Dgo max

v 2 15

10.3 ؤال مـس

إذا ابتدأ الصندوق الحركة من . على سطح أفقي وأملس c، مشبوك مع زنبرك معامل مرونته mيتحرك صندوق، كتلته . للحركة أوجد معادلة حركة الصندوق كدالة إزاحة وزمن، مبينا أثر الشروط االبتدائية. vo = vo iبالسرجهة االبتدائيةxo الموضع

xo

O

vo

mg

a

x

O

Fc v

y

2رســـم 1رســـم

xo

O

vo

mg

a

x

O

Fc v

y

2رســـم 1رســـم 11.3كل م ـش

ـلـالـح. لليمين موازيا للحركة Oxنمد المحور . ، بحيث تنطبق على وضع االستقرار للزنبرك Oنحدد نقطة األصل في الموقع

الشروط االبتدائية للحركة هي t = to = 0 x = xo & v = vo 1

في الزنبرك لليسار بعكس اإلزاحة Fcلألسفل، القوة المرنة mgزنه قوة و: القوى المؤثرة على الصندوق وهي 2نحدد على الرسم ixaكما نحدد متجه تسارع الصندوق . لألعلى Nوقوة رد فعل السطح قانون نيوتن الثاني لحركة الصندوق ولالتجاه . لليمينx

xcxm 2

dxوباستبدال xdxx

ترتيبها يكون ومن ثم dxcxxdxm 3

نجد أن 1، مع األخذ بعين االعتبار الشروط االبتدائية للحركة 3التكامل المحدود على المعادلة وبإجراء 2

o22

o2 xxcxm v 4

وحل هذه المعادلة بداللة السرعة يعطي

2o

22o xxm

cvx 5

كدالة إزاحة بداللة الزمن يتطلب اجراء التكامل 5معادلة كما أن حل ال

dt dx

cm

x x

t

o ox

x

o0 2 2 2

v

لنجد أن الزمن

90

t mc

xmc

x

xmc

xo o

o

o o

arcsin arcsinv v2 2 2 2

6

ومنها اإلزاحة

x mc

x cm

to o

v 2 2 sin 7

حيث إن

arcsinx

mc

x

o

o ov 2 2 8

وتعتبر المعادالت المذكورة . ام المقاومة ولشروط ابتدائية اعتباطيةتمثل حال لمعادالت الحركة الذبذبية عند انعد 8و 7هذه المعادالت . في بعد واحد harmonic motionمثاال على الحركة التوافقية

11.3ؤال م ـسما بعد القمر الصناعي عن األرض الذي يجعل قوتا الجذب بينه وبين كل من األرض والقمر متساويتين؟ القمر الصناعي

. voمن سطح األرض بسرعة ابتدائية مقدارها يصعد عموديا الـحــل

نقطة يصلها القمر الصناعي تتساوى عندها قوتي الجذب بينه وبين كل Cنفترض أن أي أن. من األرض والقمر

FCM = FCE 1 . Cقوة جذب القمر للقمر الصناعي في الموقع FCMقوة جذب األرض و FCEحيث أن

Fتجاهية لقوة الجذب الكونينستخدم العالقة اال er rGMm

r

2 لنجد أن

FCMMGM m

d r

( )2 & FCE

EGM mr

2

2

كتلة األرض، كما أن باقي الرموز MEكتلة القمر بينما MMثابت الجاذبية، Gحيث أن تب باختصار قليلنك 1في المعادلة 2وباستبدال العالقتين . المرافق الشكلتعرف من

Mr

Md r

E M2 2

( )

3 األرض

القمر

FCE

FCM

C

vo

rd

-rd

األرض

القمر

FCE

FCM

C

vo

rd

-rd

11.3كل م ـش rأو كعالقة جديدة بداللة

r dMM

M

E

1 4

91

نجد أن جدول المعلومات الفلكية في الباب السادسومن

r

384400

1 7 35 105 97 10

22

24..

= 346000 [km] 5

12.3ؤال م ـستبدأ السلسلة باالنزالق باحتكاك مهمل وذلك عندما يتدلى جزء منها . على منضدة أفقية M، وكتلتها Lتتواجد سلسلة حديدية طولها

. عن الحافة الرأسية للمنضدة aطوله

أكتب معادلة حركة السلسلة كدالة زمنية وما الزمن الالزم كي تبرح المنضدة؟ -1

تبرح بها السلسلة المنضدة؟ فما أقصى سرعة إذا كان معامل االحتكاك بين السلسلة والمنضدة -2

L - a

y

L - ya

ygLM

LM(L- y)g

May

LM(L- y)g

LM(L- y)gF=N=

N

4رســم3رســم2رســم 1رســم

L - a

y

L - ya

ygLM ygLM

LM(L- y)g LM(L- y)g

May

LM(L- y)gLM(L- y)g

LM(L- y)gF=N= LM(L- y)g LM(L- y)gF=N=

N

4رســم3رســم2رســم 1رســم

12.3م كل ـش

الـحــل

M، لذلك فكتلة وحدة طولها M، وكتلتها Lطول السلسلة . ، ومن ثم نلغيه في المعادالت الناتجة > 0نفترض حالة االحتكاك أوال، L

.

yM، فإن كتلته yإذا افترضنا جزء متدليا من السلسلة، طوله L

ygM، وقوة وزنه L

تؤثر على الجزء المتبقي من . باتجاه األسفل

M(L-y)وكتلته (L - y)السلسلة على السطح األفقي للمنضدة، طوله L

gM(L-y)، قوة الوزن L

( L - y )لألسفل وقوة االحتكاك

g LM F = N = الخلف كتلة -قانون نيوتن الثاني لحركة الجزء المتحرك . والقوة األخيرة تعيق حركة السلسلة بأكملها. باتجاه

دة أعاله قوة وزن الجزء المتدلي مطروحا منها قوة االحتكاك الوار: بينما القوة المؤثرة فهي محصلة القوتين ayوتسارعها Mالسلسلة

M ay = ML

y g - ML

(L-y) g 1

yayوباستبدال بقليل من االختصار بالصيغة التالية 1، نكتب المعادلة

Lgy [ y + ( y - L )] 2

dyولحساب سرعة انزالق السلسلة عن السطح األفقي نستبدل . التي تمثل المعادلة التفاضلية لحركة السلسلةydyy

2في المعادلة ،

ونعيد ترتيبها

92

Lgydy [ y + ( y - L )] dy 3

vo = 0يتبعها yo = aللشروط االبتدائية الكينماتيكية 3التكامل على طرفي المعادلة وبإجراء

v

0

ydy = gL

[ ya

y

+ ( y - L )] dy

v 2 2 2 2 2

2 2

gL

y a y L a L [ ( ) ( ) ] 4

السالبة، إذ ال معنى للجذر السالب اإلشارة إلغاءأو كدالة سرعة بعد

v gL

y a y L a L2 2 2 2 [ ( ) ( ) 5

5في المعادلة y = Lالسرعة القصوى للسلسلة تحدث عندما تصبح

v gL

L a L a2 2 2 ( ) 6

ينتج أن السرعة القصوى 5في المعادلة = 0وبإلغاء الحد الذي يشمل االحتكاك

v gL

y a2 2 7

وبتعويض السرعة كمشتقة مسافة يكون

dy

y a

gL

d t2 2

lny y a

agL

t

2 2

8

8في المعادلة y = Lعند التعويض ينشأ T ةالمنضدالزمن الالزم للسلسلة كي تبرح

T Lg

L L aa

ln

2 2

9