ﻢﻴﻫﺍﺮﺑﺇ ﻰﻴﺤﻳ ﻦﻳﺪﻟﺍ ﻰّ ﻠﻋ / // / ﺫﺎﺘﺳﻸﻟ … ·...

على الدين يحيى إبراهيمعلى الدين يحيى إبراهيمعلى الدين يحيى إبراهيمعلى الدين يحيى إبراهيم/ / / / لألستاذ لألستاذ لألستاذ لألستاذ الجبر والهندسة الفراغيةالجبر والهندسة الفراغيةالجبر والهندسة الفراغيةالجبر والهندسة الفراغيةمراجعة ليلة االمتحان فى مراجعة ليلة االمتحان فى مراجعة ليلة االمتحان فى مراجعة ليلة االمتحان فى

٠١١١٩٦٦٠٦١٦٠١١١٩٦٦٠٦١٦٠١١١٩٦٦٠٦١٦٠١١١٩٦٦٠٦١٦/ / / / ت ت ت ت ] ] ] ] سلسلة كتب اإلمتياز سلسلة كتب اإلمتياز سلسلة كتب اإلمتياز سلسلة كتب اإلمتياز [ [ [ [وما توفيقى إال باهللا وما توفيقى إال باهللا وما توفيقى إال باهللا وما توفيقى إال باهللا

١

قوان ا�باديل قوان ا�باديل قوان ا�باديل قوان ا�باديل ) ) ) ) �� ++++ ر–ن ) ....................( ) ....................( ) ....................( ) ....................( �� –ن ) ( ) ( ) ( ) ( �� –ن ( ( ( (ن = ر ل ل ل لن ) ) ) ) ��( ( ( (

)))) معلومة معلومة معلومة معلومة رويفضل استخدام هذا القانون عندما تكون ويفضل استخدام هذا القانون عندما تكون ويفضل استخدام هذا القانون عندما تكون ويفضل استخدام هذا القانون عندما تكون ( ( ( ( و هما عدد صحيح و هما عدد صحيح و هما عدد صحيح و هما عدد صحيح ن ≤≤≤≤ر= حيث عدد العوامل حيث عدد العوامل حيث عدد العوامل حيث عدد العوامل

�� =والعامل األخ5 والعامل األخ5 والعامل األخ5 والعامل األخ5 ، ، ، ، ن= عدد العوامل عدد العوامل عدد العوامل عدد العوامل �� × × × ×�� × × × × 2222× × × × ) ..... ) ..... ) ..... ) ..... 2222 –ن ) ( ) ( ) ( ) ( �� –ن ) ( ) ( ) ( ) ( �� –ن ( ( ( ( ن = ن| = ن ل ل ل ل ن ) ) ) ) ��( ( ( (

) ) ) ) ويستخدم هذا القانون عند اختصار ا;:وبات ويستخدم هذا القانون عند اختصار ا;:وبات ويستخدم هذا القانون عند اختصار ا;:وبات ويستخدم هذا القانون عند اختصار ا;:وبات ( ( ( ( �� –ن | ) ) ) ) �� –ن ( ( ( ( ن= مثس��مثس–ن مبس ن= ن مبس ) ) ) ) 2222( ( ( (

) ) ) ) Cهولة Cهولة Cهولة Cهولة رويفضل استخدامه عندما تكون ويفضل استخدامه عندما تكون ويفضل استخدامه عندما تكون ويفضل استخدامه عندما تكون ( ( ( ( = ر لللل ن ) ) ) ) @@@@( ( ( (

) ) ) )DDDD ( ( ( ( ل ل ل لن EEEE = | EEEE = ��

قوان ا�وافيققوان ا�وافيققوان ا�وافيققوان ا�وافيق

= =رق ن ) ) ) ) �� ((((

ن ≤≤≤≤ عدد صحيح عدد صحيح عدد صحيح عدد صحيح ر = عدد عوامل ا;قام عدد عوامل ا;قام عدد عوامل ا;قام عدد عوامل ا;قام =حيث عدد عوامل البسط حيث عدد عوامل البسط حيث عدد عوامل البسط حيث عدد عوامل البسط

كب5ة أو Cهولة كب5ة أو Cهولة كب5ة أو Cهولة كب5ة أو Cهولة ر ويستخدم إذا Kنت ويستخدم إذا Kنت ويستخدم إذا Kنت ويستخدم إذا Kنت =ر ق ن )))) �� ((((

ن ٢؛ ! > > > > ر ويستخدم إذا Kن ويستخدم إذا Kن ويستخدم إذا Kن ويستخدم إذا Kن ر –ن ق ن = ر ق ن: : : : قانون ا�بسيط قانون ا�بسيط قانون ا�بسيط قانون ا�بسيط ) ) ) ) 2222 ((((

ن= ه ++++ ر، ، ، ، أ أ أ أه =ر فإما فإما فإما فإما ه قن = ر ق ن: : : : إذا Kن إذا Kن إذا Kن إذا Kن ) ) ) ) @@@@ ((((

)))) DDDD ( ( ( ( ط = : : : : نون النسبة نون النسبة نون النسبة نون النسبة قاقاقاقاVطبVطبVطبVب ومقاما

تساوى العلم بسطا

ومقاما


ومقاما


ومقاما

�� = والفرق ب ا[\ل والفرق ب ا[\ل والفرق ب ا[\ل والفرق ب ا[\ل،،،، تساوى العلم بسطا

)))) aaaa ( ( ( ( قن = ن ق ن EEEE = ��

e ا�باديل وا�وافيق e ا�باديل وا�وافيق e ا�باديل وا�وافيق e ا�باديل وا�وافيق تمارين للمراجعةتمارين للمراجعةتمارين للمراجعةتمارين للمراجعة ] ] ] ]aaaa ، ، ، ، 2222[ [ [ [ ؟ ؟ ؟ ؟ ن ،،،، رمن من من من فما قيمة f فما قيمة f فما قيمة f فما قيمة �E�E�E�E f = ر ق ن ، ، ، ، ��E��E��E��E = ر ل ل ل ل نإذا Kن إذا Kن إذا Kن إذا Kن ))))��((((

، ، ، ، DaDaDaDa = 2222 ق ن ++++ مإذا Kن إذا Kن إذا Kن إذا Kن ) ) ) ) ��(((( ]]]]E2�E@E2�E@E2�E@E2�E@[[[[ م ++++ ن | أوجد قيمة أوجد قيمة أوجد قيمة أوجد قيمة 2222 = �� قم

]]]] �E�E�E�E ]]]] 2EE22EE22EE22EE2 قن أوجد قيمة أوجد قيمة أوجد قيمة أوجد قيمة ن 2E2E2E2E ٣؛ ! = 2222 ق نإذا Kن إذا Kن إذا Kن إذا Kن ) ) ) ) 2222((((

= �� ++++ ر ق نإذا Kن إذا Kن إذا Kن إذا Kن ) ) ) ) @@@@(((( ]]]]��[[[[ 2222 ++++ ر kkkk ق ن : : : : أوجد أوجد أوجد أوجد��E��E��E��E = 2222 قنوjن وjن وjن وjن DDDD ++++ ر �� ق ن

))))DDDD ( ( ( ( نK ن إذاK ن إذاK ن إذاK ل ل ل ل نإذا �� = DaDaDaDa ، ، ، ، ]]]] �m�m�m�m[ [ [ [ ر �� قن فأوجد قيمة فأوجد قيمة فأوجد قيمة فأوجد قيمة �2�E�2�E�2�E�2�E = ر ل ل ل ل ��

))))aaaa ( ( ( ( نK ن إذاK ن إذاK ن إذاK ر ق نإذا : : : : : : : : �� ++++ ر ق ن

]]]]�� ، ، ، ، mmmm [ [ [ [ ر ، ، ، ، ن فأوجد قيمة f منفأوجد قيمة f منفأوجد قيمة f منفأوجد قيمة f من DDDD :::: @@@@ :::: �� = �� ++++ ر ق ن

))))kkkk(((( ر ق ن ++++ ر ق ن: : : : أثبت أن أثبت أن أثبت أن أثبت أن– �� = رق �� ++++ ن

ن

ر ل

ر |

) ) ) )�� ++++ ر–ن ) ......... ( ) ......... ( ) ......... ( ) ......... ( �� –ن ) ( ) ( ) ( ) ( �� –ن ( ( ( ( ن �� × × × × �� × × × × 2222× × × × ).... ...... ).... ...... ).... ...... ).... ...... �� –ر ) ( ) ( ) ( ) ( �� –ر ( ( ( ( ر

�� ++++ ر–ن ر

ر ق ن �� -ر ق ن

ن | ر–ن |

ن ر ل

ر–ن | ر |



٢

))))mmmm(((( نK ن إذاK ن إذاK ن إذاK رق �� ++++ ن × × × × @@@@: : : : إذا ++++ �� = oooo × × × × : : : : ر ل ل ل ل ن فأوجد قيمة فأوجد قيمة فأوجد قيمة فأوجد قيمة ��E��E��E��E = 2222 –ن | وjن وjن وjن وjن ر ق ن

]]]] aaaa [ [ [ [ ر ق ن

))))oooo(((( نK ن إذاK ن إذاK ن إذاK 2 = @@@@ل ل ل ل ص ++++ س: : : : إذاaE2aE2aE2aE ، ، ، ، | �� ص ++++ س = DE@EDE@EDE@EDE@E س �� ق ص: : : : فأوجد قيمة فأوجد قيمة فأوجد قيمة فأوجد قيمة ] ] ] ] �E�E�E�E [ [ [ [

))))�E�E�E�E(((( نK ن إذاK ن إذاK ن إذاK ر ل ل ل ل ن: : : : إذا = k�Ek�Ek�Ek�E ] ] ] ] q . . . . ] ] ] ]aaaa ، ، ، ،aaaaعل العالقة صحيحة qعل العالقة صحيحة qعل العالقة صحيحة qعل العالقة صحيحة ن وأقل قيمة للعدد وأقل قيمة للعدد وأقل قيمة للعدد وأقل قيمة للعدد ر فأوجد قيمة فأوجد قيمة فأوجد قيمة فأوجد قيمة ر ق ن

× × × × kkkk = �� ++++ ر ل ل ل ل �� ++++ ن: : : : إذا Kن إذا Kن إذا Kن إذا Kن ))))��(((( × × × × 2222 =ر ق ن × × × × @@@@ ، ، ، ، ر ل ل ل ل ن

] ] ] ]��[ [ [ [ �� – ر –ن | فأوجد قيمة فأوجد قيمة فأوجد قيمة فأوجد قيمة �� –ر ق ن

أفrر حل ا�مارين أفrر حل ا�مارين أفrر حل ا�مارين أفrر حل ا�مارين ن ، ثم نعوض t ا�باديل ونعرف قيمة ، ثم نعوض t ا�باديل ونعرف قيمة ، ثم نعوض t ا�باديل ونعرف قيمة ، ثم نعوض t ا�باديل ونعرف قيمة رنعرف قيمة نعرف قيمة نعرف قيمة نعرف قيمة ة ة ة ة فيقفيقفيقفيقمن ا�ومن ا�ومن ا�ومن ا�و ))))��(((( ن ، ثم نعوض t ا�وفيقة األوx نعرف قيمة ، ثم نعوض t ا�وفيقة األوx نعرف قيمة ، ثم نعوض t ا�وفيقة األوx نعرف قيمة ، ثم نعوض t ا�وفيقة األوx نعرف قيمة ميمة يمة يمة يمة من ا�وفيقة اwانية نعرف قمن ا�وفيقة اwانية نعرف قمن ا�وفيقة اwانية نعرف قمن ا�وفيقة اwانية نعرف ق ))))��(((( �D�D�D�D =ن {ول ا�وفيقة �بديلة ونفكها ينتج yا {ول ا�وفيقة �بديلة ونفكها ينتج yا {ول ا�وفيقة �بديلة ونفكها ينتج yا {ول ا�وفيقة �بديلة ونفكها ينتج yا ))))2222(((( �� =ر ، ثم من العالقة األوx وباستخدام قانون ا�بسيط ينتج ، ثم من العالقة األوx وباستخدام قانون ا�بسيط ينتج ، ثم من العالقة األوx وباستخدام قانون ا�بسيط ينتج ، ثم من العالقة األوx وباستخدام قانون ا�بسيط ينتج �E�E�E�E =ن من ا�وفيقة اwانية نعرف قيمة من ا�وفيقة اwانية نعرف قيمة من ا�وفيقة اwانية نعرف قيمة من ا�وفيقة اwانية نعرف قيمة ))))@@@@(((())))DDDD(((( ينتج xينتج من ا�بديلة األو xينتج من ا�بديلة األو xينتج من ا�بديلة األو xن من ا�بديلة األو= mmmmانية ينتج ، ومن ا� ، ومن ا� ، ومن ا� ، ومن ا�wانية ينتج بديلة اwانية ينتج بديلة اwانية ينتج بديلة اw2222 =ر بديلة ا ))))aaaa(((( انية : : : : نستخدم قانون النسبة نستخدم قانون النسبة نستخدم قانون النسبة نستخدم قانون النسبةwانية اwانية اwانية اwا : : : : xاألو xاألو xاألو xة �� : : : : @@@@ =األوwاwة ، اwاwة ، اwاwة ، اwاwانية : : : : ، اwانية اwانية اwانية اwا= DDDD : : : : @@@@ ))))mmmm(((( ن من ا;:وب ينتج قيمة من ا;:وب ينتج قيمة من ا;:وب ينتج قيمة من ا;:وب ينتج قيمة= mmmm ونفكها باستخدام ا;:وبات ينتج xالعالقة األو t ونفكها باستخدام ا;:وبات ينتج ، ونعوض xالعالقة األو t ونفكها باستخدام ا;:وبات ينتج ، ونعوض xالعالقة األو t ونفكها باستخدام ا;:وبات ينتج ، ونعوض xالعالقة األو t 2222 =ر ، ونعوض ))))oooo(((( ينتج xينتج من العالقة األو xينتج من العالقة األو xينتج من العالقة األو xص ++++ سمن العالقة األو= aaaaانية ينتج ، وم ، وم ، وم ، ومwانية ينتج ن العالقة اwانية ينتج ن العالقة اwانية ينتج ن العالقة اwص ++++ س ��ن العالقة ا= kkkk ينتج

ينتج و�لهم معا ينتج و�لهم معا ينتج و�لهم معا DDDD =ص ، ، ، ، �� =س و�لهم معا

))))�E�E�E�E(((( | ر = k�Ek�Ek�Ek�E ر ومنها ومنها ومنها ومنها= aaaa ر = ن وأقل قيمة لـ وأقل قيمة لـ وأقل قيمة لـ وأقل قيمة لـ= aaaa @@@@ =ر ، ومن العالقة اwانية بقانون النسبة ينتج ، ومن العالقة اwانية بقانون النسبة ينتج ، ومن العالقة اwانية بقانون النسبة ينتج ، ومن العالقة اwانية بقانون النسبة ينتج aaaa =ن من العالقة األوx ينتج من العالقة األوx ينتج من العالقة األوx ينتج من العالقة األوx ينتج ))))��((((

نظرية ذات ا�ديننظرية ذات ا�ديننظرية ذات ا�ديننظرية ذات ا�دين

:::: عدد صحيح موجب فإن عدد صحيح موجب فإن عدد صحيح موجب فإن عدد صحيح موجب فإن ن ،،،،ي ي ي ي عددين حقيق عددين حقيق عددين حقيق عددين حقيقب ، ، ، ، ا إذا Kن إذا Kن إذا Kن إذا Kن

ا EEEE ق ن = ن ) ) ) ) ب ++++ ا ( ( ( ( ب �� ق ن ++++ ن

ب �� ق ن ++++ �� -ن ا �� ب 2222 ق ن ++++ �� -ن ا ��

بن ق ن ++++. . . . ............................ ...... ...... ...... ......++++ 2222 -ن ا 2222 ن

: : : :مالحظةمالحظةمالحظةمالحظة ....ا;وجبة ا;وجبة ا;وجبة ا;وجبة �يث نبدأ باإلشارة �يث نبدأ باإلشارة �يث نبدأ باإلشارة �يث نبدأ باإلشارة ) ) ) ) ---- ، ، ، ، ++++ ( ( ( ( فإن حدود ا;فكوك تتبادل اإلشارةفإن حدود ا;فكوك تتبادل اإلشارةفإن حدود ا;فكوك تتبادل اإلشارةفإن حدود ا;فكوك تتبادل اإلشارةإذا Kنت اإلشارة الوسطية ب ا�دين سا�ة إذا Kنت اإلشارة الوسطية ب ا�دين سا�ة إذا Kنت اإلشارة الوسطية ب ا�دين سا�ة إذا Kنت اإلشارة الوسطية ب ا�دين سا�ة

: : : :حالة خاصةحالة خاصةحالة خاصةحالة خاصة :::: عدد صحيح موجب فإن عدد صحيح موجب فإن عدد صحيح موجب فإن عدد صحيح موجب فإن ن، ، ، ، ح ي س إذا Kنت إذا Kنت إذا Kنت إذا Kنت

س �� ق ن ++++ �� = ن )))) س ++++ �� ( ( ( ( س �� ق ن ++++ ��

ن سن ق ن ++++ ...... ...... ...... ...... ++++ ر سر ق ن ++++ ....... ....... ....... ....... ++++ ��

س �� ق ن – �� = ن)))) س – �� ( ( ( ( س �� ق ن ++++ ��

ن سن ق ن ± ...... ...... ...... ...... ± ر سر ق ن ± ....... ....... ....... ....... - ��

: : : :مالحظةمالحظةمالحظةمالحظة

...... ] ...... ] ...... ] ...... ]++++ DDDD ح ++++ 2222 ح ++++ �� ح [ [ [ [ �� =لفردية الرتبة t ا;فكوك األول لفردية الرتبة t ا;فكوك األول لفردية الرتبة t ا;فكوك األول لفردية الرتبة t ا;فكوك األول ضعف ا�دود ا ضعف ا�دود ا ضعف ا�دود ا ضعف ا�دود ا =ن ) ) ) )ب – ا ( ( ( ( ++++ ن ) ) ) )ب ++++ ا ( ( ( (

........ ] ........ ] ........ ] ........ ]++++ aaaa ح ++++ @@@@ ح ++++ �� ح [ [ [ [ �� = ضعف ا�دود الزوجية الرتبة ضعف ا�دود الزوجية الرتبة ضعف ا�دود الزوجية الرتبة ضعف ا�دود الزوجية الرتبة =ن ) ) ) ) ب – ا( ( ( ( – ن ) ) ) )ب ++++ ا( ( ( ( ، ، ، ،



٣

ن ) ) ) )ب ++++ ا( ( ( ( ا�د العام t مفكوك ا�د العام t مفكوك ا�د العام t مفكوك ا�د العام t مفكوك = �� ++++ر ح

بر ق ن ر–ن ا ر

= �� ++++ر ح ب× × × × ) ) ) )�� –رتبة ا�د رتبة ا�د رتبة ا�د رتبة ا�د ( ( ( ( قن

)))) ا[\ل ا[\ل ا[\ل ا[\ل –العلم العلم العلم العلم ( ( ( ( الفرق الفرق الفرق الفرق ا× × × × ) ) ) )�� –رتبة ا�د رتبة ا�د رتبة ا�د رتبة ا�د ( ( ( (

t مفكوك ذات ا�دين t مفكوك ذات ا�دين t مفكوك ذات ا�دين t مفكوك ذات ا�دين ) ) ) ) أو ا�دين األوسط أو ا�دين األوسط أو ا�دين األوسط أو ا�دين األوسط ( ( ( ( ا�د األوسط ا�د األوسط ا�د األوسط ا�د األوسط ) ) ) )

أوال أوال أوال �� ++++ ن= عدد حدود ا;فكوك عدد حدود ا;فكوك عدد حدود ا;فكوك عدد حدود ا;فكوك : : : :زوجيةزوجيةزوجيةزوجيةن إذا Kنت إذا Kنت إذا Kنت إذا Kنت ) ) ) ) أوال

فرديا فرديا فرديا )))) �� ++++ ( ( ( ( ويكون للمفكوك حد أوسط واحد رتبته ويكون للمفكوك حد أوسط واحد رتبته ويكون للمفكوك حد أوسط واحد رتبته ويكون للمفكوك حد أوسط واحد رتبته فرديا

) ) ) ) ثانيا ثانيا ثانيا : : : : إذا Kنت ن فردية إذا Kنت ن فردية إذا Kنت ن فردية إذا Kنت ن فردية ))))ثانيا

ويكون للمفكوك حدان أوسطان رتبتاهما هما e ال�تيب �� ++++ ن= عدد حدود ا;فكوك عدد حدود ا;فكوك عدد حدود ا;فكوك عدد حدود ا;فكوك ويكون للمفكوك حدان أوسطان رتبتاهما هما e ال�تيب زوجيا ويكون للمفكوك حدان أوسطان رتبتاهما هما e ال�تيب زوجيا ويكون للمفكوك حدان أوسطان رتبتاهما هما e ال�تيب زوجيا . . . . وما يليه وما يليه وما يليه وما يليه ، ، ، ، زوجيا

ن ) ) ) )ا ++++ س( ( ( ( النسبة ب حدين متتا\ t مفكوك النسبة ب حدين متتا\ t مفكوك النسبة ب حدين متتا\ t مفكوك النسبة ب حدين متتا\ t مفكوك :::: فإن فإن فإن فإن ن ) ) ) )ا ++++ س( ( ( ( حدين متتا\ t مفكوك حدين متتا\ t مفكوك حدين متتا\ t مفكوك حدين متتا\ t مفكوك �� ++++ ر ح ، ، ، ، ر ح إذا Kن إذا Kن إذا Kن إذا Kن

....� األك� � األك� � األك� � األك� ) ) ) ) ر( ( ( ( بينما t ا�وافيق تكون بينما t ا�وافيق تكون بينما t ا�وافيق تكون بينما t ا�وافيق تكون ، ، ، ، األصغر األصغر األصغر األصغر ا[\لا[\لا[\لا[\لهنا � هنا � هنا � هنا � ) ) ) ) ر( ( ( ( تذكر أن تذكر أن تذكر أن تذكر أن × × × × =

× × × × = : : : : هامة هامة هامة هامة مالحظة مالحظة مالحظة مالحظة

ا�دين ا�دين ا�دين ا�دين e نظرية ذاتe نظرية ذاتe نظرية ذاتe نظرية ذاتتمارين للمراجعة تمارين للمراجعة تمارين للمراجعة تمارين للمراجعة

oooo )))) – ((((t مفكوك t مفكوك t مفكوك t مفكوك سأوجد ا�د ا�ا� من أوجد ا�د ا�ا� من أوجد ا�د ا�ا� من أوجد ا�د ا�ا� من ) ) ) ) ��((((

. . . .ن 2222س يساوى معامل ا�د ا�ى �توى يساوى معامل ا�د ا�ى �توى يساوى معامل ا�د ا�ى �توى يساوى معامل ا�د ا�ى �توى س أثبت أن ا�د ا�ا� من أثبت أن ا�د ا�ا� من أثبت أن ا�د ا�ا� من أثبت أن ا�د ا�ا� من ن 2222)))) ++++ @@@@س ((((t مفكوك t مفكوك t مفكوك t مفكوك ) ) ) ) ��((((

.... وقيمة ا�د األوسط وقيمة ا�د األوسط وقيمة ا�د األوسط وقيمة ا�د األوسط سأوجد ا�د ا�ا� من أوجد ا�د ا�ا� من أوجد ا�د ا�ا� من أوجد ا�د ا�ا� من mmmm)))) ++++ 2222س ((((t مفكوك t مفكوك t مفكوك t مفكوك ) ) ) ) 2222((((

، ، ، ، من ا;رات قدر ا�د اwا� من ا;رات قدر ا�د اwا� من ا;رات قدر ا�د اwا� من ا;رات قدر ا�د اwا� ؛@٣؛ % حسب قوى س ا�صاعدية يساوى حسب قوى س ا�صاعدية يساوى حسب قوى س ا�صاعدية يساوى حسب قوى س ا�صاعدية يساوى ن )))) س ++++ �� ((((إذا Kن ا�د الرابع من مفكوك إذا Kن ا�د الرابع من مفكوك إذا Kن ا�د الرابع من مفكوك إذا Kن ا�د الرابع من مفكوك ) ) ) ) @@@@((((

. . . . س ، ، ، ، ن أوجد قيم f منأوجد قيم f منأوجد قيم f منأوجد قيم f من. . . . يساوى ا�د السادس يساوى ا�د السادس يساوى ا�د السادس يساوى ا�د السادس ا�امس ا�امس ا�امس ا�امس وا�د وا�د وا�د وا�د

))))DDDD ( ( ( ( مفكوك t الثwعل ا�د اq مفكوك أوجد قيمة س ال� t الثwعل ا�د اq مفكوك أوجد قيمة س ال� t الثwعل ا�د اq مفكوك أوجد قيمة س ال� t الثwعل ا�د اq أوجد قيمة س ال�)))) �� ٢؛ ! ++++ ��س ((((kkkk ا�د السادس ا ا ا اس حسب قوى حسب قوى حسب قوى حسب قوى ا�د السادس �ناز\ة مساويا ا�د السادس �ناز\ة مساويا ا�د السادس �ناز\ة مساويا . . . . �ناز\ة مساويا

))))aaaa ( ( ( ( مفكوك t نت نسبة معامل ا�د السادس إ� معامل ا�د الرابعK مفكوك إذا t نت نسبة معامل ا�د السادس إ� معامل ا�د الرابعK مفكوك إذا t نت نسبة معامل ا�د السادس إ� معامل ا�د الرابعK مفكوك إذا t نت نسبة معامل ا�د السادس إ� معامل ا�د الرابعK إذا)))) @ ا�صاعدية ا�صاعدية ا�صاعدية ا�صاعدية س حسب قوى حسب قوى حسب قوى حسب قوى ن )))) س ++++ ٣؛

. . . . ن أوجد قيمةأوجد قيمةأوجد قيمةأوجد قيمة .... ٤؛ )تساوى تساوى تساوى تساوى

))))kkkk ( ( ( ( مفكوك t مفكوك t مفكوك t مفكوك t)))) �� ++++ �� امن وس حسب قوى حسب قوى حسب قوى حسب قوى ن )))) سwا�دين ا نت النسبة بK امن و ا�صاعدية إذاwا�دين ا نت النسبة بK امن و ا�صاعدية إذاwا�دين ا نت النسبة بK امن و ا�صاعدية إذاwا�دين ا نت النسبة بK العا� كنسبةالعا� كنسبةالعا� كنسبةالعا� كنسبة ا�صاعدية إذا �� :::: �m�m�m�m

. . . .نأحسب قيمة أحسب قيمة أحسب قيمة أحسب قيمة 2222 = س عندما عندما عندما عندما

))))mmmm ( ( ( ( مفكوك t الث والرابعwا� واwنت ا�دود اK مفكوك إذا t الث والرابعwا� واwنت ا�دود اK مفكوك إذا t الث والرابعwا� واwنت ا�دود اK مفكوك إذا t الث والرابعwا� واwنت ا�دود اK إذا))))حسب قوى س ا�ناز\ة � حسب قوى س ا�ناز\ة � حسب قوى س ا�ناز\ة � حسب قوى س ا�ناز\ة � ن )))) ا ++++ س �a�a�a�a ، ، ، ، �� ، ، ، ، @@m@@m@@m@@m. . . .

ن ، ، ، ، ا ، ، ، ، سأوجد قيم أوجد قيم أوجد قيم أوجد قيم

�� ++++ ن��

ن��

� ++++ ر ح

ر ح � ++++ ر -ن

راwا� اwا� اwا� اwا� األولاألولاألولاألول

� ++++ ر حمعامل معامل معامل معامل

ر حمعامل معامل معامل معامل � ++++ ر -ن

ر wا� wا� wا� wا� معامل امعامل امعامل امعامل ا

معامل األولمعامل األولمعامل األولمعامل األول

�� س 2222

��س 2222��

DDDD س

�� س



٤

))))oooo ( ( ( ( مفكوك t ن ا�د األوسطK مفكوك إذا t ن ا�د األوسطK مفكوك إذا t ن ا�د األوسطK مفكوك إذا t ن ا�د األوسطK إذا)))) �� ++++ س (((( �E�E�E�E؟ ؟ ؟ ؟ سما قيمة ما قيمة ما قيمة ما قيمة ضعف ا�د السابع ف ضعف ا�د السابع ف ضعف ا�د السابع ف ضعف ا�د السابع ف

))))�E�E�E�E ( ( ( ( مفكوك t نK مفكوك إذا t نK مفكوك إذا t نK مفكوك إذا t نK إذا)))) للعدد ن فأثبت أن فأثبت أن فأثبت أن فأثبت أن سحد خا� من حد خا� من حد خا� من حد خا� من ن )))) ++++ ��س للعدد ب أن تكون مضاعفا للعدد ب أن تكون مضاعفا للعدد ب أن تكون مضاعفا ثم أوجد ا�د ثم أوجد ا�د ثم أوجد ا�د ثم أوجد ا�د . . . . 2222 ب أن تكون مضاعفا

�� =ن عندما عندما عندما عندما س ا�ا� منا�ا� منا�ا� منا�ا� من

و¢ذا Kنت النسبة ب و¢ذا Kنت النسبة ب و¢ذا Kنت النسبة ب و¢ذا Kنت النسبة ب . . . . ��)))) ++++ ((((t مفكوك t مفكوك t مفكوك t مفكوك 2222 –أوجد ¡ من ا�د األوسط وا�د ا�ى �توى e سأوجد ¡ من ا�د األوسط وا�د ا�ى �توى e سأوجد ¡ من ا�د األوسط وا�د ا�ى �توى e سأوجد ¡ من ا�د األوسط وا�د ا�ى �توى e س ) ) ) ) ��((((

؟ ؟ ؟ ؟سفما قيمة فما قيمة فما قيمة فما قيمة kkkk : : : : oooo تساوىتساوىتساوىتساوىا�دين ا�دين ا�دين ا�دين هذين هذين هذين هذين

�E�E�E�E ) ) ) )ص ++++ س( ( ( ( أوجد ا�د الرابع من ا�داية وا�د الرابع من اyهاية t مفكوك أوجد ا�د الرابع من ا�داية وا�د الرابع من اyهاية t مفكوك أوجد ا�د الرابع من ا�داية وا�د الرابع من اyهاية t مفكوك أوجد ا�د الرابع من ا�داية وا�د الرابع من اyهاية t مفكوك ) ) ) ) ��((((

ن فأوجد قيمة فأوجد قيمة فأوجد قيمة فأوجد قيمة ٣؛ @ = س يساوى ا�د السابع t ا;فكوك نفسه عندما يساوى ا�د السابع t ا;فكوك نفسه عندما يساوى ا�د السابع t ا;فكوك نفسه عندما يساوى ا�د السابع t ا;فكوك نفسه عندما ن ) ) ) )س ++++ �� ( ( ( ( إذا Kن ا�د السادس t مفكوكإذا Kن ا�د السادس t مفكوكإذا Kن ا�د السادس t مفكوكإذا Kن ا�د السادس t مفكوك ) ) ) ) �2�2�2�2((((

ا�د السادس kkkk)))) ٢؛ ! ++++ ��س �� ((((ال� qعل ا�د اwالث t مفكوك ال� qعل ا�د اwالث t مفكوك ال� qعل ا�د اwالث t مفكوك ال� qعل ا�د اwالث t مفكوك س أوجد قيمةأوجد قيمةأوجد قيمةأوجد قيمة ) ) ) ) @�@�@�@�(((( ا�د السادس مساويا ا�د السادس مساويا ا�د السادس مساويا . . . . مساويا

))))�D�D�D�D ( ( ( ( ن معامل ا�دK ن معامل ا�دإذاK ن معامل ا�دإذاK ن معامل ا�دإذاK مفكوك إذا t مفكوك الرابع t مفكوك الرابع t مفكوك الرابع t الرابع ) ) ) )�� ++++ 2 هو هو هو هون ) ) ) ) سD2D2D2D ن فأوجد قيمة فأوجد قيمة فأوجد قيمة فأوجد قيمة . . . .

))))�a�a�a�a ( ( ( ( مفكوك t Vن ضعف معامل ا�د ا�ادى عK مفكوك إذا t Vن ضعف معامل ا�د ا�ادى عK مفكوك إذا t Vن ضعف معامل ا�د ا�ادى عK مفكوك إذا t Vن ضعف معامل ا�د ا�ادى عK إذا ) ) ) )�� – مفكوك 2222 يساوى يساوى يساوى يساوى ن ) ) ) ) س t مفكوك أمثال معامل ا�د العا� t مفكوك أمثال معامل ا�د العا� t مفكوك أمثال معامل ا�د العا� t أمثال معامل ا�د العا�

؟ ؟ ؟ ؟ ن فما قيمةفما قيمةفما قيمةفما قيمة �� –ن ) ) ) )ص ++++ ��( ( ( (

أفrر حل ا�مارين أفrر حل ا�مارين أفrر حل ا�مارين أفrر حل ا�مارين

٨ ؛١؛ & – = kkkk ح هو هو هو هو س ومنها ا�د ا�ا� من ومنها ا�د ا�ا� من ومنها ا�د ا�ا� من ومنها ا�د ا�ا� من aaaa =ئ ر EEEE =ر �m�m�m�m – 2222بوضع بوضع بوضع بوضع ))))��((((

سسبعد إ اد ا�د العام t أبسط صورة ¤د أن بعد إ اد ا�د العام t أبسط صورة ¤د أن بعد إ اد ا�د العام t أبسط صورة ¤د أن بعد إ اد ا�د العام t أبسط صورة ¤د أن ))))��((((س مرفوعة لألس مرفوعة لألس مرفوعة لأل نقوم بمساواته مرة بالصفر ومرة أخرى نقوم بمساواته مرة بالصفر ومرة أخرى نقوم بمساواته مرة بالصفر ومرة أخرى نقوم بمساواته مرة بالصفر ومرة أخرى )))) ر 2222 –ن aaaa ( ( ( ( مرفوعة لأل

....فنجد أن اyواتج متساوية فنجد أن اyواتج متساوية فنجد أن اyواتج متساوية فنجد أن اyواتج متساوية ن 2222بـ بـ بـ بـ س بالصفر ينتج ا�د ا�ا� من ))))2222((((

س بالصفر ينتج ا�د ا�ا� من نوجد ا�د العام t أبسط صورة ونساوى األس بالصفر ينتج ا�د ا�ا� من نوجد ا�د العام t أبسط صورة ونساوى األس بالصفر ينتج ا�د ا�ا� من نوجد ا�د العام t أبسط صورة ونساوى األ ، ا�د األوسط هو ا�د ، ا�د األوسط هو ا�د ، ا�د األوسط هو ا�د ، ا�د األوسط هو ا�د 2kDEE@2kDEE@2kDEE@2kDEE@ =س نوجد ا�د العام t أبسط صورة ونساوى األ

@@@@س �kDEEE�kDEEE�kDEEE�kDEEE =وقيمته وقيمته وقيمته وقيمته السادس السادس السادس السادس

) ) ) ) @@@@ –ن ( ( ( ( //// DDDD =س ومن العالقة اwانية نصل إ� ومن العالقة اwانية نصل إ� ومن العالقة اwانية نصل إ� ومن العالقة اwانية نصل إ� DEDEDEDE = ��س ) ) ) ) �� –ن ) ( ) ( ) ( ) ( �� –ن ( ( ( ( من العالقة األوx نصل إ� من العالقة األوx نصل إ� من العالقة األوx نصل إ� من العالقة األوx نصل إ� ))))@@@@((((

DDDD -= س أ، أ، أ، أ، ٦؛ % =س ثم عوض t العالقة اwانية ينتج ثم عوض t العالقة اwانية ينتج ثم عوض t العالقة اwانية ينتج ثم عوض t العالقة اwانية ينتج 2222 =ن أ، أ، أ، أ، �E�E�E�E =ن عوض من اwانية t األوx ينتج عوض من اwانية t األوx ينتج عوض من اwانية t األوx ينتج عوض من اwانية t األوx ينتج

))))DDDD(((( ٢؛ !_ =س ى قيم� ا�دين واالختصار ¤د أن قيمة ى قيم� ا�دين واالختصار ¤د أن قيمة ى قيم� ا�دين واالختصار ¤د أن قيمة ى قيم� ا�دين واالختصار ¤د أن قيمة من تساومن تساومن تساومن تساو

))))aaaa(((( ن ومنها ومنها ومنها ومنها ٤؛ ) = معامل ا�د الرابع معامل ا�د الرابع معامل ا�د الرابع معامل ا�د الرابع ////معامل ا�د ا�امس معامل ا�د ا�امس معامل ا�د ا�امس معامل ا�د ا�امس × × × × معامل ا�د ا�امس معامل ا�د ا�امس معامل ا�د ا�امس معامل ا�د ا�امس ////معامل ا�د السادس معامل ا�د السادس معامل ا�د السادس معامل ا�د السادس= mmmm

))))kkkk(((( العالقة ا;عطاة ينتج t العالقة ا;عطاة ينتج با�عويض t العالقة ا;عطاة ينتج با�عويض t العالقة ا;عطاة ينتج با�عويض t ن با�عويض= �D�D�D�D ))))mmmm(((( ح //// 2222 ح �� = �� / / / / �a�a�a�a ومنها ومنها ومنها ومنها ) ) ) ) ن– �� ( ( ( ( //// �� × × × × س //// ا= kkkk) ........... ) ........... ) ........... ) ........... �� ( ( ( ( ، ، ، ، 2222 ح //// @@@@ح = @@m@@m@@m@@m //// �� ومنها ومنها ومنها ومنها

ينتجينتجينتجينتج) ) ) ) ��(((( ، عوض t ، عوض t ، عوض t ، عوض mmmm t =ن {صل e {صل e {صل e {صل e ) ) ) ) ��((((e e e e ) ) ) ) ��((((وبقسمة وبقسمة وبقسمة وبقسمة ) ) ) ) �� ............. ( ............. ( ............. ( ............. (@@@@ =س //// ا × × × × 2222 //// ) ) ) ) �� –ن ( ( ( (

ينتج ينتج ينتج ينتج ) ) ) ) @@@@((((t t t t ) ) ) ) 2222((((ويض من ويض من ويض من ويض من وبا�عوبا�عوبا�عوبا�ع) ) ) ) @@@@ .............. ( .............. ( .............. ( .............. (�� = kkkkس ا {صل e {صل e {صل e {صل �a�a�a�a e = �� حومن ومن ومن ومن ) ) ) ) 2222. (. (. (. ( ......... ......... ......... ......... س �� =ا

�� =ا ، ، ، ، �� =س

))))oooo(((( ح aaaa = �� ح kkkk ح ئ kkkk //// ح aaaa = ! ٥؛ # =س ومنها ومنها ومنها ومنها ٢؛

))))�E�E�E�E(((( س بالصفر ينتجس بالصفر ينتج نوجد ا�د العام ونساوى األس بالصفر ينتج نوجد ا�د العام ونساوى األس بالصفر ينتج نوجد ا�د العام ونساوى األ تقبل القسمة تقبل القسمة تقبل القسمة تقبل القسمة ن �� عدد صحيح فالبد أن عدد صحيح فالبد أن عدد صحيح فالبد أن عدد صحيح فالبد أن ر وحيث أن وحيث أن وحيث أن وحيث أن 2222 //// ن �� =ر نوجد ا�د العام ونساوى األ

e e e e2222 ح= س ا� من ا� من ا� من ا� من ، ا�د ا� ، ا�د ا� ، ا�د ا� ، ا�د ا�2222 مضاعف للعدد مضاعف للعدد مضاعف للعدد مضاعف للعدد نأى أن أى أن أى أن أى أن oooo = @oD@oD@oD@oD

�� س

2222 ��س ��

س ��2222



٥

س @�kkkk = o�@o�@o�@o ح ئ kkkk = �� ++++ ؛!٢؛ @ =رتبة ا�د األوسط رتبة ا�د األوسط رتبة ا�د األوسط رتبة ا�د األوسط ))))��((((– aaaa e ا�د ا;حتوى ، e ا�د ا;حتوى ، e ا�د ا;حتوى ، e ح هو هو هو هو 2222 –س ، ا�د ا;حتوى aaaa = 2D�2D�2D�2D� س

– 2222

٢؛ # =س ومن قانون النسبة ينتج ومن قانون النسبة ينتج ومن قانون النسبة ينتج ومن قانون النسبة ينتج

ص 2222 ق �E�E�E�E = من ا�داية من ا�داية من ا�داية من ا�داية @@@@ ح ))))��((((س 2222 ق �E�E�E�E = من اyهاية من اyهاية من اyهاية من اyهاية @@@@ ح وبتبديل ا�دين يكون وبتبديل ا�دين يكون وبتبديل ا�دين يكون وبتبديل ا�دين يكون kkkkس 2222

kkkkص 2222

س DDDD قن ))))�2�2�2�2((((DDDD = قن aaaa س

aaaa قن ئ DDDD = @�@�@�@� =ن ومنها ومنها ومنها ومنها ٣؛ @ × × × × aaaa قن

٢؛ ! _ =س من العالقة ا;عطاة ينتج أن من العالقة ا;عطاة ينتج أن من العالقة ا;عطاة ينتج أن من العالقة ا;عطاة ينتج أن ))))@�@�@�@�(((())))�D�D�D�D(((( س= ��

))))�a�a�a�a(((( �� × × × × ق ن �E�E�E�E = 2222 × × × × �D�D�D�D =ن ومنها ومنها ومنها ومنها oooo ق �� –ن

األعداد ا;رªبةاألعداد ا;رªبةاألعداد ا;رªبةاألعداد ا;رªبة : : : : خواص العدد ت خواص العدد ت خواص العدد ت خواص العدد ت

�� = @@@@تتتت ت ت ت ت– = 2222تتتت �� – = ��تتتت / �� –[ =ت ت ت ت

:::: فإن فإن فإن فإن ++++ي صص ن¬ ¬ ¬ ¬ ول ول ول ول

ت ت ت ت–= 2222 ++++ ن @@@@تتتت �� – = �� ++++ ن @@@@تتتت ت ت ت ت= �� ++++ ن @@@@تتتت �� = ن @@@@تتتت

صصصص ت ت ت ت – س= / ع هو العدد هو العدد هو العدد هو العددص ت ت ت ت++++ س = ع مرافق العدد ا;رªبمرافق العدد ا;رªبمرافق العدد ا;رªبمرافق العدد ا;رªب Cموع مربع Cموع مربع Cموع مربع Cموع مربع = العددين ا;رªب ا;�افق العددين ا;رªب ا;�افق العددين ا;رªب ا;�افق العددين ا;رªب ا;�افق حاصل بحاصل بحاصل بحاصل ب •

ت ت ت ت ص–س = 2222))))ت ت ت ت ب– ا ( ( ( ( فإن فإن فإن فإن ت ت ت ت ص ++++ س= 2222))))ت ت ت ت ب ++++ ا( ( ( ( إذا Kن إذا Kن إذا Kن إذا Kن • ::::اص تساوى عددين مرªب اص تساوى عددين مرªب اص تساوى عددين مرªب اص تساوى عددين مرªب خوخوخوخو ::::إذا تساوى عددان مرªبان فإن إذا تساوى عددان مرªبان فإن إذا تساوى عددان مرªبان فإن إذا تساوى عددان مرªبان فإن ) ) ) ) ��(((( ا±زء ا�قي¯ للعدد اwا� ا±زء ا�قي¯ للعدد اwا� ا±زء ا�قي¯ للعدد اwا� ا±زء ا�قي¯ للعدد اwا�= ا±زء ا�قي¯ للعدد األول ا±زء ا�قي¯ للعدد األول ا±زء ا�قي¯ للعدد األول ا±زء ا�قي¯ للعدد األول

ا±زء ا�خي² للعدد اwا� ا±زء ا�خي² للعدد اwا� ا±زء ا�خي² للعدد اwا� ا±زء ا�خي² للعدد اwا�= ، ا±زء ا�خي² للعدد األول ، ا±زء ا�خي² للعدد األول ، ا±زء ا�خي² للعدد األول ، ا±زء ا�خي² للعدد األول @@@@ –= ص ، ، ، ، �� =س ت ص فإن ت ص فإن ت ص فإن ت ص فإن – �� =ت ت ت ت @@@@ ++++ س: : : : إذا Kن إذا Kن إذا Kن إذا Kن : : : : فمثال فمثال فمثال فمثال

....إذا انعدم عدد مرªب فإن ¡ من جزئه ا�قي¯ وجزئه ا�خي² ينعدم e حدة إذا انعدم عدد مرªب فإن ¡ من جزئه ا�قي¯ وجزئه ا�خي² ينعدم e حدة إذا انعدم عدد مرªب فإن ¡ من جزئه ا�قي¯ وجزئه ا�خي² ينعدم e حدة إذا انعدم عدد مرªب فإن ¡ من جزئه ا�قي¯ وجزئه ا�خي² ينعدم e حدة ) ) ) ) ��(((( ا;قياس والسعة لعدد مرªبا;قياس والسعة لعدد مرªبا;قياس والسعة لعدد مرªبا;قياس والسعة لعدد مرªب

)))) أوال أوال أوال ��ص ++++ ��س [ = ل ل ل ل =| ع | = عمقياس العدد ا;رªب مقياس العدد ا;رªب مقياس العدد ا;رªب مقياس العدد ا;رªب ) ) ) ) أوال))))

ثانيا ثانيا ثانيا ))))زاوية قطبية زاوية قطبية زاوية قطبية زاوية قطبية ( ( ( ( ممس سور السينات و ور السينات و ور السينات و ور السينات و مع االqاه ا;وجب ;حمع االqاه ا;وجب ;حمع االqاه ا;وجب ;حمع االqاه ا;وجب ;ح ع ال� يصنعها ال� يصنعها ال� يصنعها ال� يصنعها θ هو قياس الزاوية هو قياس الزاوية هو قياس الزاوية هو قياس الزاوية :::: عسعة العدد ا;رªب سعة العدد ا;رªب سعة العدد ا;رªب سعة العدد ا;رªب ) ) ) ) ثانيا إلشارθ µو{دد الربع ا�ى تقع فيه الزاوية و{دد الربع ا�ى تقع فيه الزاوية و{دد الربع ا�ى تقع فيه الزاوية و{دد الربع ا�ى تقع فيه الزاوية

إلشارµ تبعا إلشارµ تبعا إلشارµ تبعا = θ ويكون ظا ويكون ظا ويكون ظا ويكون ظا ص ، ، ، ، س تبعا

] .] .] .] .ط ط ط ط �� ، ، ، ، EEEE [ [ [ [ ي θإنه قيمة السعة األساسية إذا Kنإنه قيمة السعة األساسية إذا Kنإنه قيمة السعة األساسية إذا Kنإنه قيمة السعة األساسية إذا Kن ع ا[ال e سعة العدد ا;رªب ا[ال e سعة العدد ا;رªب ا[ال e سعة العدد ا;رªب ا[ال e سعة العدد ا;رªبθويقال للعدد ويقال للعدد ويقال للعدد ويقال للعدد ت ت ت ت 2222[ – �� = ع إل اد السعة األساسية للعدد إل اد السعة األساسية للعدد إل اد السعة األساسية للعدد إل اد السعة األساسية للعدد : : : : فمثال فمثال فمثال فمثال θ = 2aE2aE2aE2aE – aEaEaEaE = 2EE2EE2EE2EE DDDD إ aEaEaEaE DDDD = ه إ 2222[= ه ويكون ظا ويكون ظا ويكون ظا ويكون ظا الربع الرابع الربع الرابع الربع الرابع الربع الرابع ي θ إ EEEE < < < < 2222[ – =ص ، ، ، ، EEEE > > > > �� =س

ص س



٦

سيةالصورة ا;ثلثيةالصورة ا;ثلثيةالصورة ا;ثلثيةالصورة ا;ثلثيةسية والصورة األسية والصورة األسية والصورة األ للعدد ا;رªب للعدد ا;رªب للعدد ا;رªب للعدد ا;رªب والصورة األ

سية = Θت ت ت ت ه ل ل ل ل = )))) θ ت جا ت جا ت جا ت جا ++++ θجتا جتا جتا جتا ( ( ( ( ل ل ل ل = ع � � � � ص ت ت ت ت ++++ س= ع الصورة ا;ثلثية للعدد ا;رªب الصورة ا;ثلثية للعدد ا;رªب الصورة ا;ثلثية للعدد ا;رªب الصورة ا;ثلثية للعدد ا;رªب سية الصورة األسية الصورة األسية الصورة األ الصورة األ

: : : : هامة هامة هامة هامة مالحظات مالحظات مالحظات مالحظات العدد e الصورة العدد e الصورة العدد e الصورة العدد e الصورة عة األساسية لعدد مرªب من صورته ا;ثلثية ب أن تضععة األساسية لعدد مرªب من صورته ا;ثلثية ب أن تضععة األساسية لعدد مرªب من صورته ا;ثلثية ب أن تضععة األساسية لعدد مرªب من صورته ا;ثلثية ب أن تضعسسسسإذا طلب منك إ اد الإذا طلب منك إ اد الإذا طلب منك إ اد الإذا طلب منك إ اد ال ))))��((((

θفتكون السعة األساسية � فتكون السعة األساسية � فتكون السعة األساسية � فتكون السعة األساسية � ) ) ) ) θ ت جا ت جا ت جا ت جا ++++ θجتا جتا جتا جتا ( ( ( ( ل ل ل ل ا;ثلثية ن:ب مقياسيهما و¤مع سعاتهما ا;ثلثية ن:ب مقياسيهما و¤مع سعاتهما ا;ثلثية ن:ب مقياسيهما و¤مع سعاتهما ا;ثلثية ن:ب مقياسيهما و¤مع سعاتهما عند ب عددين مرªب e الصورة عند ب عددين مرªب e الصورة عند ب عددين مرªب e الصورة عند ب عددين مرªب e الصورة ))))��(((( عند قسمة عددين مرªب e الصورة ا;ثلثية نقسم مقياسيهما ونطرح سعاتهما عند قسمة عددين مرªب e الصورة ا;ثلثية نقسم مقياسيهما ونطرح سعاتهما عند قسمة عددين مرªب e الصورة ا;ثلثية نقسم مقياسيهما ونطرح سعاتهما عند قسمة عددين مرªب e الصورة ا;ثلثية نقسم مقياسيهما ونطرح سعاتهما ))))2222(((( : : : : من ا;فيد معرفة الصورة ا;ثلثية لألعداد ا;رªبة األربعة ا�ا\ة من ا;فيد معرفة الصورة ا;ثلثية لألعداد ا;رªبة األربعة ا�ا\ة من ا;فيد معرفة الصورة ا;ثلثية لألعداد ا;رªبة األربعة ا�ا\ة من ا;فيد معرفة الصورة ا;ثلثية لألعداد ا;رªبة األربعة ا�ا\ة ))))@@@@((((

، ، ، ، �mE�mE�mE�mE ت جا ت جا ت جا ت جا ++++ �mE�mE�mE�mE جتا جتا جتا جتا = �� – ، ، ، ، EEEE ت جا ت جا ت جا ت جا ++++ EEEE جتا جتا جتا جتا = �� كما موضح بالش¬ ا;قابل كما موضح بالش¬ ا;قابل كما موضح بالش¬ ا;قابل كما موضح بالش¬ ا;قابل �kE�kE�kE�kE ت جا ت جا ت جا ت جا ++++ �kE�kE�kE�kE جتا جتا جتا جتا = ت ت ت ت – ، ، ، ، oEoEoEoE ت جا ت جا ت جا ت جا ++++ oEoEoEoE جتا جتا جتا جتا =ت ت ت ت

))))DDDD(((( ] ] ] ] ل ل ل ل ) ) ) ) جتا جتا جتا جتاθ ++++ ت جا ت جا ت جا ت جا θ [ ( [ ( [ ( [ ( = ل ل ل ل )))) ر حيث حيث حيث حيث )))) ت جا ت جا ت جا ت جا ++++ جتا جتا جتا جتا= EEEE ، ، ، ، �� ، ، ، ، �� مرة مرة مرة مرة ك إ� إ� إ� إ�

تمارين للمراجعة e األعداد ا;رªبةتمارين للمراجعة e األعداد ا;رªبةتمارين للمراجعة e األعداد ا;رªبةتمارين للمراجعة e األعداد ا;رªبة )))) م DDDD – ل ل ل ل �2�2�2�2 (((( ٣؛ @[ م�افقان ثم أوجد قيمة م�افقان ثم أوجد قيمة م�افقان ثم أوجد قيمة م�افقان ثم أوجد قيمة م ، ، ، ، لللل : : : : برهن أن برهن أن برهن أن برهن أن =م ، ، ، ، =إذا Kن ل إذا Kن ل إذا Kن ل إذا Kن ل ) ) ) ) ��((((

��)))) ((((: : : : ضع e الصورة األسية ضع e الصورة األسية ضع e الصورة األسية ضع e الصورة األسية ) ) ) ) ��((((

. . . . t الصورة األسية t الصورة األسية t الصورة األسية t الصورة األسية e الصورة ا;ثلثية ثم أوجد جذريه ال�بيعيe الصورة ا;ثلثية ثم أوجد جذريه ال�بيعيe الصورة ا;ثلثية ثم أوجد جذريه ال�بيعيe الصورة ا;ثلثية ثم أوجد جذريه ال�بيعي ت ت ت ت 2222[ – �� ضع ا;قدار ضع ا;قدار ضع ا;قدار ضع ا;قدار ) ) ) ) 2222((((

.... t الصورة األسية t الصورة األسية t الصورة األسية t الصورة األسية e الصورة ا;ثلثية ثم أوجد جذريه ال�بيعيe الصورة ا;ثلثية ثم أوجد جذريه ال�بيعيe الصورة ا;ثلثية ثم أوجد جذريه ال�بيعيe الصورة ا;ثلثية ثم أوجد جذريه ال�بيعي ضع ا;قدار ضع ا;قدار ضع ا;قدار ضع ا;قدار ) ) ) ) @@@@((((

))))DDDD ( ( ( ( نتK نت إذاK نت إذاK نت إذاK س إذا= �� ) ) ) ) جتا جتا جتا جتاθθθθ - ت جا ت جا ت جا ت جا θθθθ ( ( ( ( ، ، ، ، جا جا جا جا =ص θθθθ ++++ ت جتا ت جتا ت جتا ت جتا θθθθ س ص : : : : أوجد ا;قياس والسعة ل¬ من أوجد ا;قياس والسعة ل¬ من أوجد ا;قياس والسعة ل¬ من أوجد ا;قياس والسعة ل¬ من ، ، ، ،

))))aaaa ( ( ( ( س ت ت ت ت – ��س : : : : دلة دلة دلة دلة حل ا;عاحل ا;عاحل ا;عاحل ا;عا ++++ �� = EEEEب س حيث حيث حيث حيثªب عدد مرªب عدد مرªب عدد مرªعدد مر....

))))kkkk ( ( ( ( الصورة األسية e الصورة األسية ضع e الصورة األسية ضع e الصورة األسية ضع e ضع ) ) ) ) ت جا ت جا ت جا ت جا ++++ جتا جتا جتا جتا ) ( ) ( ) ( ) ( ت جا ت جا ت جا ت جا – جتا جتا جتا جتا ( ( ( (

))))mmmm ( ( ( ( نK نإذاK نإذاK نإذاK س ص 2222 – 2222ص ++++ 2222سسسس فأثبت أن فأثبت أن فأثبت أن فأثبت أن =ص ، ، ، ، =س : : : : إذا =– ��

))))oooo ( ( ( ( نتK نت إذاK نت إذاK نت إذاK جتا جتا جتا جتا =س إذا �E�E�E�E ++++ ت جا ت جا ت جا ت جا �E�E�E�E ، ، ، ، جتا جتا جتا جتا =ص �D�D�D�D ++++ ت جا ت جا ت جا ت جا �D�D�D�D . . . . الصورة e الصورة أوجد e الصورة أوجد e الصورة أوجد e ص 2222س العدد العدد العدد العدد ت ت ت تب ++++ ا أوجد��

))))�E�E�E�E ( ( ( ( ¼ققان ا;عادلة ص ،،،، سأوجد قيم� أوجد قيم� أوجد قيم� أوجد قيم� اللت ¼ققان ا;عادلة ا�قيقيت اللت ¼ققان ا;عادلة ا�قيقيت اللت ¼ققان ا;عادلة ا�قيقيت اللت ا�قيقيت ) : ) : ) : ) :ت ت ت ت ص ++++ س ((((�� = DDDD ++++ �� ت ت ت ت

؛@٥؛ ! = ++++ : : : : ال� ¼قق ا;عادلة ال� ¼قق ا;عادلة ال� ¼قق ا;عادلة ال� ¼قق ا;عادلة ص ، ، ، ، سأوجد قيمة f من أوجد قيمة f من أوجد قيمة f من أوجد قيمة f من ) ) ) ) ��(((( . . . . ت ت ت ت 2222[ �� – �� : : : : أوجد ا±ذرين ال�بيعي للعددأوجد ا±ذرين ال�بيعي للعددأوجد ا±ذرين ال�بيعي للعددأوجد ا±ذرين ال�بيعي للعدد ) ) ) ) ��((((

�� = ��)))) ت ت ت ت – 2222[ ((((e الصورة ا;ثلثية ثم أثبت أن e الصورة ا;ثلثية ثم أثبت أن e الصورة ا;ثلثية ثم أثبت أن e الصورة ا;ثلثية ثم أثبت أن ت ت ت ت – 2222[ ضع العددضع العددضع العددضع العدد ) ) ) ) �2�2�2�2((((

@@@@)))) ((((ية ثم أوجد قيمة ية ثم أوجد قيمة ية ثم أوجد قيمة ية ثم أوجد قيمة ت e الصورة ا;ثلث ت e الصورة ا;ثلث ت e الصورة ا;ثلث ت e الصورة ا;ثلث++++ �� ، ، ، ، ت ت ت ت��[ : : : : ضع ¡ من العددينضع ¡ من العددينضع ¡ من العددينضع ¡ من العددين ) ) ) ) @�@�@�@�((((

))))�D�D�D�D ( ( ( ( بªب أوجد ا;قياس والسعة األساسية للعدد ا;رªب أوجد ا;قياس والسعة األساسية للعدد ا;رªب أوجد ا;قياس والسعة األساسية للعدد ا;رªت ت ت ت 2222[ ++++ �� = �� عحيث حيث حيث حيث = ع أوجد ا;قياس والسعة األساسية للعدد ا;ر ، ، ، ،

�� – ��

ت ت ت ت –

تتتت

�� θ ++++ط ط ط ط ر �� ك

ك θ ++++ط ط ط ط ر ��

ك

�� ك

ت ت ت ت++++ �� ت ت ت ت++++ ��

ت ت ت ت�� ++++ �� ت ت ت ت++++ ��@@@@ ت ت ت ت++++ 2222[

�� ) ) ) ) DDDD – 2222 ]2222 ت ت ت ت (((( �� ++++ ت ت ت ت 2222[ ��

س ص

ططططaaaa

طططط@@@@

ططططaaaa

طططط@@@@

– �� ++++ ]2222 ��

– �� ++++ ]2222 ��

ت ص ت ص ت ص ت ص ++++ س 2222 ت ت ت ت ++++ ��

ت ص ت ص ت ص ت ص �� ++++ س ت ت ت ت – ��

ت ت ت ت ��[ ت ت ت ت ++++ ��

�� ع �� ع 2222 ع



٧

ورةورةورةورة t الص t الص t الص t الصع ثم أوجد ا±ذرين ال�بيعي للعددثم أوجد ا±ذرين ال�بيعي للعددثم أوجد ا±ذرين ال�بيعي للعددثم أوجد ا±ذرين ال�بيعي للعدد) ) ) ) θ ت جا ت جا ت جا ت جا – θجتا جتا جتا جتا ( ( ( (= 2222 ع، ، ، ، �� ) ) ) )θ ٢؛ ! ت جا ت جا ت جا ت جا ++++ θ ٢؛ ! جتاجتاجتاجتا( ( ( ( = �� ع

ط ط ط ط ٦؛ % = θاألسية عندما األسية عندما األسية عندما األسية عندما


2222 ////) ) ) ) ت ت ت ت mmmm – aaaa ( ( ( ( [ =ع = ، بفرض ا;قدار ، بفرض ا;قدار ، بفرض ا;قدار ، بفرض ا;قدار م�افقان م�افقان م�افقان م�افقان م ل ، ل ، ل ، ل ، ئ تتتت ٢؛ ! ++++ ٢؛ # = م ، ، ، ، تتتت ٢؛ ! – ٢؛ # =ل ل ل ل ))))��((((

) ) ) ) ت ت ت ت – 2222 ( ( ( ( ٣؛ ! _=

ط ت ط ت ط ت ط ت٣؛ % ه @@@@ = �� ع ئ ت ت ت ت 2222[ �� – �� = �� ع ت وبال�بيع ت وبال�بيع ت وبال�بيع ت وبال�بيع – 2222[ =ع ))))��(((())))2222(((( ، ، ، ، ) ) ) ) aEaEaEaE ت جا ت جا ت جا ت جا ++++ aEaEaEaEجتا جتا جتا جتا ( ( ( ( @@@@ = �� ++++ ت ت ت ت 2222[ �� =ع بعد ا�بسيط بعد ا�بسيط بعد ا�بسيط بعد ا�بسيط ))))@@@@((((

) ) ) ) ��E��E��E��E ت جا ت جا ت جا ت جا ++++ ��E��E��E��Eجتا جتا جتا جتا ( ( ( ( �� = �� ع، ، ، ، ) ) ) ) 2E2E2E2E ت جا ت جا ت جا ت جا ++++ 2E2E2E2Eجتا جتا جتا جتا ( ( ( ( �� = �� ع

))))DDDD(((( جتا جتا جتا جتا[[[[ ��= س ) ) ) ) – θ ( ( ( (++++ ت جا ت جا ت جا ت جا ) ) ) )– θ ( ( ( ( [ [ [ [ جتا جتا جتا جتا = = = = ، ص ، ص ، ص ، ص ) ) ) )oEoEoEoE – θ ( ( ( ( ++++ ت جا ت جا ت جا ت جا ) ) ) )oEoEoEoE – θ ( ( ( (

) ) ) ) ط ط ط ط ٢؛ # ت جا ت جا ت جا ت جا++++ طططط ٢؛ #جتاجتاجتاجتا ( ( ( ( �� =، ، ، ، ) ] ) ] ) ] ) ] oEoEoEoE – �� θ( ( ( ( ت جا ت جا ت جا ت جا ++++ ) ) ) ) oEoEoEoE – �� θ( ( ( ( جتا جتا جتا جتا [ [ [ [ �� =س ص

))))aaaa(((( موعة ا�ل : : : : باستخدام القانون العام باستخدام القانون العام باستخدام القانون العام باستخدام القانون العامC موعة ا�لC موعة ا�لC موعة ا�لC= ! ٢؛ ) ) ) ) �� _ ]ت ت ت ت ) ) ) ) ٥ ))))kkkk(((( الصورة القياسية فنجد أن t الصورة القياسية فنجد أن نضع العدد األول t الصورة القياسية فنجد أن نضع العدد األول t الصورة القياسية فنجد أن نضع العدد األول t نضع العدد األولθ = 22E22E22E22E 2 = وعند ب العددين تكون السعة األساسية وعند ب العددين تكون السعة األساسية وعند ب العددين تكون السعة األساسية وعند ب العددين تكون السعة األساسيةkD2kD2kD2kD = �D�D�D�D

))))mmmm(((( س الحظ أن الحظ أن الحظ أن الحظ أن= ω ، ، ، ، ص= ω�� وبا�عويض ينتج ا;طلوب وبا�عويض ينتج ا;طلوب وبا�عويض ينتج ا;طلوب وبا�عويض ينتج ا;طلوب

))))oooo(((( جتا جتا جتا جتا = ��ص 2222س aEaEaEaE ++++ ت جا ت جا ت جا ت جا aEaEaEaE = ! ت ت ت ت٢؛ # ++++ ٢؛

))))�E�E�E�E(((( ع= ] oooo ++++ �� ت ت ت ت@@@@ ++++ ت ت ت ت �� = ] ) ) ) ) ص ، ، ، ، 2222 _= س ومنها ومنها ومنها ومنها ) ) ) ) ت ت ت ت �� ++++ 2222 ( ( ( ( _ = ��)))) ت ت ت ت �� ++++ 2222 =_ ��

٥؛ # = ص= س و�لهم ينتج و�لهم ينتج و�لهم ينتج و�لهم ينتج ص ، ، ، ، سمع ثم نوجد معاد� t مع ثم نوجد معاد� t مع ثم نوجد معاد� t مع ثم نوجد معاد� t بواسطة ا;قص ا;قفول نوحد ا;قامات ونفك و¤بواسطة ا;قص ا;قفول نوحد ا;قامات ونفك و¤بواسطة ا;قص ا;قفول نوحد ا;قامات ونفك و¤بواسطة ا;قص ا;قفول نوحد ا;قامات ونفك و¤ ))))��((((

)))) ت ت ت ت – 2222[ ( ( ( (_ ويكون ا±ذرين هما ويكون ا±ذرين هما ويكون ا±ذرين هما ويكون ا±ذرين هما �� ت ت ت ت++++ ت ت ت ت 2222[ �� – 2222 =نكمل ا;قدار \كون مربع Kمل نكمل ا;قدار \كون مربع Kمل نكمل ا;قدار \كون مربع Kمل نكمل ا;قدار \كون مربع Kمل ))))��((((

�� = �� × × × × �� =) ) ) ) ط ط ط ط �� ت جا ت جا ت جا ت جا ++++ ط ط ط ط ��جتا جتا جتا جتا ( ( ( ( �� = �� ع ئ) ) ) ) ط ط ط ط ؛!٦؛ ! ت جا ت جا ت جا ت جا ++++ ط ط ط ط ؛!٦؛ !جتا جتا جتا جتا ( ( ( ( �� = ع ))))�2�2�2�2(((( �� –= ، ا;طلوب ، ا;طلوب ، ا;طلوب ، ا;طلوب ) ) ) ) D@D@D@D@ ت جا ت جا ت جا ت جا ++++ D@D@D@D@جتا جتا جتا جتا ( ( ( ( ��[ = �� ع، ، ، ، ) ) ) ) oEoEoEoE ت جا ت جا ت جا ت جا ++++ oEoEoEoEجتا جتا جتا جتا ( ( ( ( ��[ = �� ع ))))@�@�@�@�((((

))))�D�D�D�D(((( ع �� = �� ) ) ) ) جتا جتا جتا جتاaEaEaEaE ++++ ت جا ت جا ت جا ت جا aEaEaEaE ( ( ( ( ، ، ، ،جتا جتا جتا جتا = �� ع θ ++++ ت جا ت جا ت جا ت جا θ ، ، ، ، جتا جتا جتا جتا = 2222 ع ) ) ) )2aE2aE2aE2aE – θ ( ( ( ( ++++ ت جا ت جا ت جا ت جا ) ) ) )2aE2aE2aE2aE – θ ( ( ( (

) ) ) ) ط ط ط ط �� ت جا ت جا ت جا ت جا ++++ ط ط ط ط ��جتا جتا جتا جتا ( ( ( ( �� =ع وÀ ا�الة ا;طلوبة وÀ ا�الة ا;طلوبة وÀ ا�الة ا;طلوبة وÀ ا�الة ا;طلوبة ] ] ] ] ) ) ) )aEaEaEaE ++++ �� θ( ( ( ( ت جا ت جا ت جا ت جا ++++ ) ) ) ) aEaEaEaE ++++ �� θ( ( ( ( جتا جتا جتا جتا [ [ [ [ �� =ع

ط ت ط ت ط ت ط ت�� ه ��[ = ، ا±ذر اwا� ، ا±ذر اwا� ، ا±ذر اwا� ، ا±ذر اwا� ط تط تط تط ت ه ��[ =ا±ذر األول ا±ذر األول ا±ذر األول ا±ذر األول

]

س ص

]



٨

ا±ذور ا�كعيبية للواحد الصحيحا±ذور ا�كعيبية للواحد الصحيحا±ذور ا�كعيبية للواحد الصحيحا±ذور ا�كعيبية للواحد الصحيح

:::: ¤د أن ا±ذور ا�كعيبية للواحد الصحيح � ¤د أن ا±ذور ا�كعيبية للواحد الصحيح � ¤د أن ا±ذور ا�كعيبية للواحد الصحيح � ¤د أن ا±ذور ا�كعيبية للواحد الصحيح � �� =2222س عند حل ا;عادلة عند حل ا;عادلة عند حل ا;عادلة عند حل ا;عادلة

،،،، ω ،،،، �� : : : : ونرمز Áا بالرموز ونرمز Áا بالرموز ونرمز Áا بالرموز ونرمز Áا بالرموز ) ) ) ) ت ت ت ت ٢؛ # ---- ٢؛ ! ----( ( ( ( ، ، ، ، ) ) ) ) ت ت ت ت ٢؛ # ++++ ٢؛ ! ----( ( ( ( ، ، ، ، ��ω��

خواص ا±ذور ا�كعيبية للواحد الصحيح خواص ا±ذور ا�كعيبية للواحد الصحيح خواص ا±ذور ا�كعيبية للواحد الصحيح خواص ا±ذور ا�كعيبية للواحد الصحيح

))))��(((( �� ++++ ω ++++ ω�� = EEEE ئ ω ++++ ω�� =– �� ،،،، �� ++++ ω =– ω��، ، ، ، �� ++++ ω�� =– ω

))))��(((( ω2222 = �� ئ = ω �� ، ، ، ، = ω��

ω القوى الصحيحة للعددالقوى الصحيحة للعددالقوى الصحيحة للعددالقوى الصحيحة للعدد

فإن ن إذا Kنتإذا Kنتإذا Kنتإذا Kنت موجبا

صحيحا

فإن عددا

موجبا

صحيحا

فإن عددا

موجبا

صحيحا

فإن عددا

موجبا

صحيحا

��ω = �� ++++ ن ω ، ، ، ، ω2222 = �� ++++ ن ω2222 ، ، ، ، �� = ن ω2222: : : : عددا

تمارين للمراجعة e ا±ذور ا�كعيبية للواحد الصحيح تمارين للمراجعة e ا±ذور ا�كعيبية للواحد الصحيح تمارين للمراجعة e ا±ذور ا�كعيبية للواحد الصحيح تمارين للمراجعة e ا±ذور ا�كعيبية للواحد الصحيح

،،،،� أحد ا±ذرين ا�كعيبي ا�خيلي للواحد الصحيح � أحد ا±ذرين ا�كعيبي ا�خيلي للواحد الصحيح � أحد ا±ذرين ا�كعيبي ا�خيلي للواحد الصحيح � أحد ا±ذرين ا�كعيبي ا�خيلي للواحد الصحيح ω حيث حيث حيث حيث�� –= ++++ أثبت أن أثبت أن أثبت أن أثبت أن ) ) ) ) ��((((

....أعداد حقيقية أعداد حقيقية أعداد حقيقية أعداد حقيقية ل ل ل ل ، ، ، ، ع ، ، ، ، ص ، ، ، ، س

. . . . أحد ا±ذرين ا�كعيبي للواحد الصحيح أحد ا±ذرين ا�كعيبي للواحد الصحيح أحد ا±ذرين ا�كعيبي للواحد الصحيح أحد ا±ذرين ا�كعيبي للواحد الصحيح ω حيث حيث حيث حيث��)))) (((( ++++ ��)))) ((((أوجد قيمة أوجد قيمة أوجد قيمة أوجد قيمة ) ) ) ) ��((((

��)))) (((( – ��)))) ((((: : : : أوجد قيمة أوجد قيمة أوجد قيمة أوجد قيمة ) ) ) ) 2222((((

: : : : � أحد ا±ذرين ال�بيعي للمقدار � أحد ا±ذرين ال�بيعي للمقدار � أحد ا±ذرين ال�بيعي للمقدار � أحد ا±ذرين ال�بيعي للمقدار ت ت ت ت ٢؛ #أثبت أن أثبت أن أثبت أن أثبت أن ) ) ) ) @@@@((((

))))DDDD ( ( ( ( أثبت أنأثبت أنأثبت أنأثبت أن : : : : ω�� – ω = _ ]2222 ت ثم أوجد قيمة ا;قدار ت ثم أوجد قيمة ا;قدار ت ثم أوجد قيمة ا;قدار ت ثم أوجد قيمة ا;قدار : : : :)))) – ((((@@@@

))))aaaa(((( أثبت أن أثبت أن أثبت أن أثبت أن : : : :)))) – ((((�� =– $ ٣؛

))))kkkk ( ( ( ( أوجد قيمة أوجد قيمة أوجد قيمة أوجد قيمة : : : :)))) �� – ++++ ω�� ) () () () ( �� ++++ ω – ((((


Ä Ä Ä Ä وناخد ا;ش�ك وÃتوناخد ا;ش�ك وÃتوناخد ا;ش�ك وÃتوناخد ا;ش�ك وÃت ω2222× × × × اwا� ن:ب ل اwا� ن:ب ل اwا� ن:ب ل اwا� ن:ب ل وÀ الكÂوÀ الكÂوÀ الكÂوÀ الكω2222 Â × × × × سt الكÂ األول ن:ب t الكÂ األول ن:ب t الكÂ األول ن:ب t الكÂ األول ن:ب ))))��((((

٣؛ ! =ربع وبسط وÅع يكون اyاتج ربع وبسط وÅع يكون اyاتج ربع وبسط وÅع يكون اyاتج ربع وبسط وÅع يكون اyاتج ))))��(((( صفر صفر صفر صفر =ربع وبسط وÅع يكون اyاتج ربع وبسط وÅع يكون اyاتج ربع وبسط وÅع يكون اyاتج ربع وبسط وÅع يكون اyاتج ))))2222((((

تتتت ٢؛ # _: : : : جذرى ا;قدار هما جذرى ا;قدار هما جذرى ا;قدار هما جذرى ا;قدار هما إ �� ت ت ت ت٤؛ ) = ٤؛ ) –= ا;قدار ا;قدار ا;قدار ا;قدار ))))@@@@((((

))))DDDD(((( ) ) ) )ω�� – ω( ( ( ( �� = ω@@@@ – �� ω2222 ++++ ω�� = = = =ω ++++ ω�� ++++ �� – 2222 =– 2222 إ ω�� – ω = _ ]2222 ت ت ت ت

oooo = نصل إ� ا;قدار نصل إ� ا;قدار نصل إ� ا;قدار نصل إ� ا;قدار t × × × ×ω2222 الكÂ اwا� t الكÂ اwا� t الكÂ اwا� t الكÂ اwا� �� ون:ب العدد ون:ب العدد ون:ب العدد ون:ب العدد ω2222× × × × الكÂ األول الكÂ األول الكÂ األول الكÂ األول DDDDt t t tن:ب العدد ن:ب العدد ن:ب العدد ن:ب العدد

))))aaaa(((( اتجyع واÅاتج وحد ا;قامات ثم بسط وyع واÅاتج وحد ا;قامات ثم بسط وyع واÅاتج وحد ا;قامات ثم بسط وyع واÅ٣؛ $ –= وحد ا;قامات ثم بسط و ) ) ) ) باستخدام القانون با;سألة السابقة باستخدام القانون با;سألة السابقة باستخدام القانون با;سألة السابقة باستخدام القانون با;سألة السابقة ملحوظة يمكنك ا�ل ملحوظة يمكنك ا�ل ملحوظة يمكنك ا�ل ملحوظة يمكنك ا�ل ( ( ( ( ))))kkkk(((( ا;قدار ا;قدار ا;قدار ا;قدار= ) ) ) ) �� – �� ω ++++ ω�� ) ( ) ( ) ( ) ( �� ++++ ω – DDDD ω�� ( ( ( ( = �m�m�m�m

�� ω��

�� ω

ص ω ++++ س

ω��

ص ++++ س

ωع ��

لللل ++++

ωل ل ل ل ++++ ع

ω

�� ++++ �� ω ω

��

�� ++++ �� ω

�� ω��

++++ �� ω@@@@

ωmmmm

– �� ωDDDD

�� ++++ �E�E�E�E ω ++++ �E�E�E�E ω�� – 2222 ω – 2222 ω��

DDDD – 2222 ω��

DDDD ω – 2222

�� – kkkk ω �� – kkkk ω��

�� ++++ �� ω

�� ++++ �� ω��

�� ω��

DDDD ω



٩

ا;حدداتا;حدداتا;حدداتا;حددات

))))طريقة كرامر طريقة كرامر طريقة كرامر طريقة كرامر ( ( ( ( تخدام ا;حددات t حل ا;عادالت ا�طيةتخدام ا;حددات t حل ا;عادالت ا�طيةتخدام ا;حددات t حل ا;عادالت ا�طيةتخدام ا;حددات t حل ا;عادالت ا�طيةسسسسإإإإ ∆ نوجد Æدد ا;عامالت وهو نوجد Æدد ا;عامالت وهو نوجد Æدد ا;عامالت وهو نوجد Æدد ا;عامالت وهو ))))��((((

))))�� ( ( ( ( e صل} e صل} e صل} e ن عمود معامالت ∆ من من من من ��∆ {صلrوابت مwن عمود معامالت بوضع عمود اrوابت مwن عمود معامالت بوضع عمود اrوابت مwن عمود معامالت بوضع عمود اrوابت مwس بوضع عمود ا

e و{صل e و{صل e و{صل e ن عمود معامالت ∆ من من من من ��∆ و{صلrوابت مwن عمود معامالت بوضع عمود اrوابت مwن عمود معامالت بوضع عمود اrوابت مwن عمود معامالت بوضع عمود اrوابت مwص بوضع عمود ا

e و{صل e و{صل e و{صل e ن عمود معامالت ∆ من من من من 2222∆ و{صلrوابت مwن عمود معامالت بوضع عمود اrوابت مwن عمود معامالت بوضع عمود اrوابت مwن عمود معامالت بوضع عمود اrوابت مwع بوضع عمود ا

=ع ، ، ، ، =ص ، ، ، ، =س

))))سنقتe Ä دراسته فقط سنقتe Ä دراسته فقط سنقتe Ä دراسته فقط سنقتe Ä دراسته فقط ( ( ( ( يكون للمعادالت حل وحيد يكون للمعادالت حل وحيد يكون للمعادالت حل وحيد يكون للمعادالت حل وحيد EEEE ≠ ∆ إذا Kن إذا Kن إذا Kن إذا Kن ::::مالحظة مالحظة مالحظة مالحظة . . . . Æدود من ا�لول Æدود من ا�لول Æدود من ا�لول Æدود من ا�لول يكون للمعادالت عدد غ5 يكون للمعادالت عدد غ5 يكون للمعادالت عدد غ5 يكون للمعادالت عدد غEEEE 5 = ∆و¢ذا Kن و¢ذا Kن و¢ذا Kن و¢ذا Kن

خواص ا;حدداتخواص ا;حدداتخواص ا;حدداتخواص ا;حددات :::: ا�االت اآلتية ا�االت اآلتية ا�االت اآلتية ا�االت اآلتية ttttقيمة ا;حدد ال تتغ5 قيمة ا;حدد ال تتغ5 قيمة ا;حدد ال تتغ5 قيمة ا;حدد ال تتغ5

....إذا بدلت الصفوف باألعمدة واألعمدة بالصفوف بنفس ترتيبها فإن قيمة ا;حدد ال تتغ5 إذا بدلت الصفوف باألعمدة واألعمدة بالصفوف بنفس ترتيبها فإن قيمة ا;حدد ال تتغ5 إذا بدلت الصفوف باألعمدة واألعمدة بالصفوف بنفس ترتيبها فإن قيمة ا;حدد ال تتغ5 إذا بدلت الصفوف باألعمدة واألعمدة بالصفوف بنفس ترتيبها فإن قيمة ا;حدد ال تتغ5 ))))��(((( . . . . أو أحد أعمدته أو أحد أعمدته أو أحد أعمدته أو أحد أعمدته فكه عن طريق عناÉ أحد صفوفه فكه عن طريق عناÉ أحد صفوفه فكه عن طريق عناÉ أحد صفوفه فكه عن طريق عناÉ أحد صفوفه إذا تم إذا تم إذا تم إذا تم ))))��(((( فإن قيمة فإن قيمة فإن قيمة فإن قيمة ) ) ) ) أو عمود آخر أو عمود آخر أو عمود آخر أو عمود آخر ( ( ( ( Æ tدد مضاعفات نظائرها من صف آخر Æ tدد مضاعفات نظائرها من صف آخر Æ tدد مضاعفات نظائرها من صف آخر Æ tدد مضاعفات نظائرها من صف آخر ) ) ) ) أو عمودأو عمودأو عمودأو عمود( ( ( ( إذا أضيفت لعناÉ أى صف إذا أضيفت لعناÉ أى صف إذا أضيفت لعناÉ أى صف إذا أضيفت لعناÉ أى صف ))))2222((((

ا;حدد ال تتغ5 ا;حدد ال تتغ5 ا;حدد ال تتغ5 ا;حدد ال تتغ5 ....وتستخدم هذه ا�اصية للحصول e أك� عدد من األصفار t أى صف أو عمود وبذلك يسهل علينا فك ا;حدد وتستخدم هذه ا�اصية للحصول e أك� عدد من األصفار t أى صف أو عمود وبذلك يسهل علينا فك ا;حدد وتستخدم هذه ا�اصية للحصول e أك� عدد من األصفار t أى صف أو عمود وبذلك يسهل علينا فك ا;حدد وتستخدم هذه ا�اصية للحصول e أك� عدد من األصفار t أى صف أو عمود وبذلك يسهل علينا فك ا;حدد

: : : : صفر t ا�االت اآلتية صفر t ا�االت اآلتية صفر t ا�االت اآلتية صفر t ا�االت اآلتية تساوى التساوى التساوى التساوى القيمة ا;حدد قيمة ا;حدد قيمة ا;حدد قيمة ا;حدد . . . . Ëها أصفار Ëها أصفار Ëها أصفار Ëها أصفار ) ) ) ) د د د د أو عموأو عموأو عموأو عمو( ( ( ( إذا Kنت عناÉ صف إذا Kنت عناÉ صف إذا Kنت عناÉ صف إذا Kنت عناÉ صف ) ) ) ) ��(((( ) . ) . ) . ) . أو عمودان أو عمودان أو عمودان أو عمودان ( ( ( ( إذا تساوى صفان إذا تساوى صفان إذا تساوى صفان إذا تساوى صفان ) ) ) ) ��(((( لصف ) ) ) ) أو أعمدته أو أعمدته أو أعمدته أو أعمدته ( ( ( ( إذا Kن أحد صفوفه إذا Kن أحد صفوفه إذا Kن أحد صفوفه إذا Kن أحد صفوفه ) ) ) ) 2222((((

لصف مضاعفا لصف مضاعفا لصف مضاعفا . . . . آخر آخر آخر آخر ) ) ) ) أو عمود أو عمود أو عمود أو عمود ( ( ( ( مضاعفا

) ) ) ) أو عمودين أو عمودين أو عمودين أو عمودين ( ( ( ( نغ5 إشارة ا;حدد إذا بدyا صف نغ5 إشارة ا;حدد إذا بدyا صف نغ5 إشارة ا;حدد إذا بدyا صف نغ5 إشارة ا;حدد إذا بدyا صف م� تتغ5 إشارة ا;حدد ؟م� تتغ5 إشارة ا;حدد ؟م� تتغ5 إشارة ا;حدد ؟م� تتغ5 إشارة ا;حدد ؟

: : : : إخراج العامل ا;ش�كإخراج العامل ا;ش�كإخراج العامل ا;ش�كإخراج العامل ا;ش�ك Æدد Æدد Æدد Æدد × × × × عند ب عدد عند ب عدد عند ب عدد عند ب عدد و�لك و�لك و�لك و�لك ) ) ) ) أو عمود أو عمود أو عمود أو عمود ( ( ( ( من عناÉ صف من عناÉ صف من عناÉ صف من عناÉ صف يمكن إخراج Íمل مش�ك خارج ا;حدديمكن إخراج Íمل مش�ك خارج ا;حدديمكن إخراج Íمل مش�ك خارج ا;حدديمكن إخراج Íمل مش�ك خارج ا;حدد ....عمود واحد فقط عمود واحد فقط عمود واحد فقط عمود واحد فقط عناÉ صف واحد أو عناÉ صف واحد أو عناÉ صف واحد أو عناÉ صف واحد أو × × × × فأننا ن:ب هذا العدد فأننا ن:ب هذا العدد فأننا ن:ب هذا العدد فأننا ن:ب هذا العدد

::::¼ويل Æدد إ� Cموع Æددين ¼ويل Æدد إ� Cموع Æددين ¼ويل Æدد إ� Cموع Æددين ¼ويل Æدد إ� Cموع Æددين كن كتابتها كن كتابتها كن كتابتها كن كتابتها فإن قيمة ا;حدد يم فإن قيمة ا;حدد يم فإن قيمة ا;حدد يم فإن قيمة ا;حدد يمعنÄينعنÄينعنÄينعنÄينكمجموع كمجموع كمجموع كمجموع ) ) ) ) أو عمود أو عمود أو عمود أو عمود ( ( ( ( t أى Æدد إذا كتبت Åيع عناÉ أى صف t أى Æدد إذا كتبت Åيع عناÉ أى صف t أى Æدد إذا كتبت Åيع عناÉ أى صف t أى Æدد إذا كتبت Åيع عناÉ أى صف كمجموع قيم� Æددين كمجموع قيم� Æددين كمجموع قيم� Æددين كمجموع قيم� Æددين ::::حدد e الصورة ا;ثلثة حدد e الصورة ا;ثلثة حدد e الصورة ا;ثلثة حدد e الصورة ا;ثلثة ا;ا;ا;ا; Îه ¼ت القطر الرئيÉيع عناÅ هو ا;حدد ا�ى Îه ¼ت القطر الرئيÉيع عناÅ هو ا;حدد ا�ى Îه ¼ت القطر الرئيÉيع عناÅ هو ا;حدد ا�ى Îه ¼ت القطر الرئيÉيع عناÅ أصفار أصفار أصفار أصفار ) ) ) ) أو فوقه أو فوقه أو فوقه أو فوقه ( ( ( ( هو ا;حدد ا�ى

Îالقطر الرئي Éالصورة ا;ثلثة تساوى حاصل ب عنا e قيمة ا;حدد Îالقطر الرئي Éالصورة ا;ثلثة تساوى حاصل ب عنا e قيمة ا;حدد Îالقطر الرئي Éالصورة ا;ثلثة تساوى حاصل ب عنا e قيمة ا;حدد Îالقطر الرئي Éالصورة ا;ثلثة تساوى حاصل ب عنا e قيمة ا;حدد . . . .

�� مم مم

�� مم مم

2222 مم مم



١٠

تمارين للمراجعة e ا;حدداتتمارين للمراجعة e ا;حدداتتمارين للمراجعة e ا;حدداتتمارين للمراجعة e ا;حددات : : : : اآلتية اآلتية اآلتية اآلتية باستخدام طريقة كرامر حل ا;عادالتباستخدام طريقة كرامر حل ا;عادالتباستخدام طريقة كرامر حل ا;عادالتباستخدام طريقة كرامر حل ا;عادالت ) ) ) ) ��((((

@@@@ =ع ++++ ص 2222 – ، ، ، ، �� – =ع – ص ، ، ، ، �� = ص ++++ س ~ ا 2222 =ع DDDD ++++ ص �� ++++ س EEEE ، ، ، ، 2222 = ع –ص ++++ س ، ، ، ، �� – =ع ++++ ص ++++ س �� ~ ب

�� ج �� ب ��ا �� ج �� ب ++++ س ��ا س �� ب ++++ ��ا : : : : أثبت أن أثبت أن أثبت أن أثبت أن ) ) ) ) ��((((

�� ج �� ب ��ا ) ) ) ) �� س– �� ( ( ( ( = �� ج �� ب ++++ س ��ا س �� ب ++++ ��ا 2222 ج 2222 ب 2222ا 2222 ج 2222 ب ++++ س 2222ا س 2222 ب ++++ 2222ا

�� ص ل ل ل ل ++++ �� س ا �� ص �� س : : : : باستخدام خصائص ا;حددات أوجد قيمة ا;حدد باستخدام خصائص ا;حددات أوجد قيمة ا;حدد باستخدام خصائص ا;حددات أوجد قيمة ا;حدد باستخدام خصائص ا;حددات أوجد قيمة ا;حدد ) ) ) ) 2222(((( �� صل ل ل ل ++++ �� س ا �� ص �� س 2222 صل ل ل ل ++++ 2222 س ا 2222 ص 2222 س

��لللل لللل �� : : : : أثبت أن أثبت أن أثبت أن أثبت أن يدون فك ا;حدد يدون فك ا;حدد يدون فك ا;حدد يدون فك ا;حدد ) ) ) ) @@@@(((( ) ) ) ) لللل – ن ) ( ) ( ) ( ) (ن – م ) ( ) ( ) ( ) (م – لللل ( ( ( ( = ��م م �� ن ن ��

))))DDDD ( ( ( ( باستخدام خصائص ا;حددات أوجد قيمة ا;حدد باستخدام خصائص ا;حددات أوجد قيمة ا;حدد باستخدام خصائص ا;حددات أوجد قيمة ا;حدد باستخدام خصائص ا;حددات أوجد قيمة ا;حدد : : : : ) ) ) )ب ++++ ��ا ��( ( ( ( ��ا ��

��ب ++++ �� ب ��ا ��

) ) ) )�� ب ++++ ��ا( ( ( ( ��ا ��

��ب ++++ �� ب ��ا ��

) ) ) )2222 ب ++++ 2222ا( ( ( ( 2222ا ��

2222ب ++++ �� 2222 ب 2222ا ��

))))aaaa ( ( ( ( س ��جتاجتاجتاجتا �� س ��جاجاجاجا : : : : ائص ا;حددات أوجد قيمة ا;حدد ائص ا;حددات أوجد قيمة ا;حدد ائص ا;حددات أوجد قيمة ا;حدد ائص ا;حددات أوجد قيمة ا;حدد باستخدام خصباستخدام خصباستخدام خصباستخدام خص ص ��جتاجتاجتاجتا �� ص ��جاجاجاجا ع ��جتاجتاجتاجتا �� ع ��جاجاجاجا

))))kkkk ( ( ( ( أوجد قيمة ك �يث يكون أوجد قيمة ك �يث يكون أوجد قيمة ك �يث يكون أوجد قيمة ك �يث يكون ) ) ) ) 2222 ++++ س : : : : أحد عوامل ا;حدد أحد عوامل ا;حدد أحد عوامل ا;حدد أحد عوامل ا;حدد ) ) ) ) �� –س DDDD 2222 ك س �� –ك @@@@ –ك �� ++++ ك ��

))))mmmm ( ( ( ( نK ن إذاK ن إذاK ن إذاK ع ص س: : : : إذا DDDD س DDDD ص DDDD ع ن 2222 ++++ ع م 2222 ++++ ص ل ل ل ل 2222 ++++ س : : : : فأوجد قيمة فأوجد قيمة فأوجد قيمة فأوجد قيمة �� = ن م ل ل ل ل

õ و ه �� õ – ن – و �� م – ه �� ل ل ل ل

))))oooo(((( س 2222 �� ++++ س �� س ::::حل ا;عادلة حل ا;عادلة حل ا;عادلة حل ا;عادلة ++++ �� صفر صفر صفر صفر = 2222 ++++ س @@@@ 2222 ++++ س 2222 �� ++++ س �� oooo ++++ س aaaa �E�E�E�E ++++ س DDDD 2222 ++++ س 2222



١١

أفrر حل ا�مارينأفrر حل ا�مارينأفrر حل ا�مارينأفrر حل ا�مارين �� =ع ، ، ، ، �� –= ص ، ، ، ، �� =ئ س �� –= 2222 مم ، ، ، ، �� = �� مم ، ، ، ، @@@@ –= �� مم ، ، ، ، �� –= مم ~ ا ))))��((((

�� =ع ، ، ، ، DDDD =ص ، ، ، ، @@@@ – =ئ س DDDD = 2222 مم ، ، ، ، �D�D�D�D = �� مم ، ، ، ، �E�E�E�E –= �� مم ، ، ، ، DDDD =مم ~ب

ينتج ا;طلوب ينتج ا;طلوب ينتج ا;طلوب ينتج ا;طلوب �� ع × × × × س– �� عÍمل مش�ك من العمود اwا� ثم Íمل مش�ك من العمود اwا� ثم Íمل مش�ك من العمود اwا� ثم Íمل مش�ك من العمود اwا� ثم ) ) ) ) �� س– ��( ( ( ( ثم نأخذ ثم نأخذ ثم نأخذ ثم نأخذ �� ع × × × × س– �� ع ))))��((((

EEEE =ا;حدد ا;حدد ا;حدد ا;حدد إ ل Íمل مش�ك من العمود اwالث فتتساوى عناÉ العمودين اwا� واwالث ل Íمل مش�ك من العمود اwالث فتتساوى عناÉ العمودين اwا� واwالث ل Íمل مش�ك من العمود اwالث فتتساوى عناÉ العمودين اwا� واwالث ل Íمل مش�ك من العمود اwالث فتتساوى عناÉ العمودين اwا� واwالث ثم نأخذ ثم نأخذ ثم نأخذ ثم نأخذ�� ع × × × × ا – 2222 ع ))))2222((((

Íمل مش�ك من الصف األول والصف اwالث Íمل مش�ك من الصف األول والصف اwالث Íمل مش�ك من الصف األول والصف اwالث Íمل مش�ك من الصف األول والصف اwالث ) ) ) ) م م م م –ن ن ن ن ) ( ) ( ) ( ) ( م م م م –ل ل ل ل ( ( ( ( ثم {لل ونأخذ ثم {لل ونأخذ ثم {لل ونأخذ ثم {لل ونأخذ �� ص – 2222 ص، ، ، ، �� ص – �� ص ))))@@@@((((

. . . . ونفك ا;حدد عن طريق العنÄ اwا� t العمود األول ينتج ا;طلوب ونفك ا;حدد عن طريق العنÄ اwا� t العمود األول ينتج ا;طلوب ونفك ا;حدد عن طريق العنÄ اwا� t العمود األول ينتج ا;طلوب ونفك ا;حدد عن طريق العنÄ اwا� t العمود األول ينتج ا;طلوب �� ص – 2222 صثمثمثمثم

))))DDDD(((( ا �� ع– �� عy ا ينتجy ا ينتجy ا ينتجy صفر صفر صفر صفر = قيمة ا;حدد قيمة ا;حدد قيمة ا;حدد قيمة ا;حدد إ 2222 ع �� =�� ع ينتج

))))aaaa(((( ا 2222 ع ++++ �� عy ا ينتجy ا ينتجy ا ينتجy صفر صفر صفر صفر= قيمة ا;حدد قيمة ا;حدد قيمة ا;حدد قيمة ا;حدد إ �� ع =�� ع ينتج

))))kkkk(((( عل ا;حدد �� =سq عل ا;حددq عل ا;حددq عل ا;حددq = EEEE ا�� ع –�� ع ثم ثم ثم ثمwالعمود ا t الثwا Äا� ثم نفك بواسطة العنwالعمود ا t الثwا Äا� ثم نفك بواسطة العنwالعمود ا t الثwا Äا� ثم نفك بواسطة العنwالعمود ا t الثwا Äثم نفك بواسطة العن

aaaa –= ك أ، أ، أ، أ، EEEE =ك ومنها ومنها ومنها ومنها EEEE = ) ] ) ] ) ] ) ] @@@@ –ك ( ( ( ( 2222 –ك DDDD [ [ [ [ ك– ))))mmmm(((( نأخذ نأخذ نأخذ نأخذDDDDمÍ مÍ مÍ مÍ ص – �� صل مش�ك من الصف األول ثم ل مش�ك من الصف األول ثم ل مش�ك من الصف األول ثم ل مش�ك من الصف األول ثم ��

�� ص – 2222 ص Íمل مش�ك من الصف اwا� ثم Íمل مش�ك من الصف اwا� ثم Íمل مش�ك من الصف اwا� ثم Íمل مش�ك من الصف اwا� ثم 2222نأخذ نأخذ نأخذ نأخذ

2aE2aE2aE2aE = ينتج yا ا±واب ينتج yا ا±واب ينتج yا ا±واب ينتج yا ا±واب �� Íمل مش�ك من الصف اwالث ثم نعوض عن ا;حدد ا�اÏ بالقيمة Íمل مش�ك من الصف اwالث ثم نعوض عن ا;حدد ا�اÏ بالقيمة Íمل مش�ك من الصف اwالث ثم نعوض عن ا;حدد ا�اÏ بالقيمة Íمل مش�ك من الصف اwالث ثم نعوض عن ا;حدد ا�اÏ بالقيمة ��نأخذ نأخذ نأخذ نأخذ ))))oooo(((( الث�� ع × × × × �� – 2222 عثم ثم ثم ثم �� ع × × × × 2222 – 2222 ع ثم ثم ثم ثم �� ع × × × × �� – �� عwالعمود ا t الثwا Äالث ثم نفك ا;حدد بالعنwالعمود ا t الثwا Äالث ثم نفك ا;حدد بالعنwالعمود ا t الثwا Äالث ثم نفك ا;حدد بالعنwالعمود ا t الثwا Äثم نفك ا;حدد بالعن

�� –= س أ، أ، أ، أ، EEEE =س ومنها ومنها ومنها ومنها EEEE = �� ) ) ) )�� ++++ س ( ( ( ( س 2222 – ئ EEEE = ) ] ) ] ) ] ) ] �� ++++ س �� ( ( ( ( – س – × × × × س [ [ [ [ س 2222 إ



١٢

اÁندسة الفراغية اÁندسة الفراغية اÁندسة الفراغية اÁندسة الفراغية أوال أوال أوال نظريات وحقائق هندسيةنظريات وحقائق هندسيةنظريات وحقائق هندسيةنظريات وحقائق هندسية : : : : عبارات اإلكمالعبارات اإلكمالعبارات اإلكمالعبارات اإلكمال: : : : أوال

::::توى توى توى توى حاالت تعي ا;سحاالت تعي ا;سحاالت تعي ا;سحاالت تعي ا;س ))))��(((( . . . . ثالث نقط ليست e استقامة واحدة ثالث نقط ليست e استقامة واحدة ثالث نقط ليست e استقامة واحدة ثالث نقط ليست e استقامة واحدة ) ) ) ) ا( ( ( ( . . . . مسنقيم ونقطة ال تنتÑ إ\ه مسنقيم ونقطة ال تنتÑ إ\ه مسنقيم ونقطة ال تنتÑ إ\ه مسنقيم ونقطة ال تنتÑ إ\ه ) ) ) ) ب(((( . . . . مستقيمان متقاطعان مستقيمان متقاطعان مستقيمان متقاطعان مستقيمان متقاطعان ) ) ) ) ج((((

إذا اش�ك مستويان t ثالث نقط ليست e استقامة واحدة فإنهما ينطبقان إذا اش�ك مستويان t ثالث نقط ليست e استقامة واحدة فإنهما ينطبقان إذا اش�ك مستويان t ثالث نقط ليست e استقامة واحدة فإنهما ينطبقان إذا اش�ك مستويان t ثالث نقط ليست e استقامة واحدة فإنهما ينطبقان ))))��(((( ه t ا;ستوىه t ا;ستوىه t ا;ستوىه t ا;ستوىإذا اش�ك مستقيم ومستو t نقطت Òتلفت فإن ا;ستقيم يقع بأكملإذا اش�ك مستقيم ومستو t نقطت Òتلفت فإن ا;ستقيم يقع بأكملإذا اش�ك مستقيم ومستو t نقطت Òتلفت فإن ا;ستقيم يقع بأكملإذا اش�ك مستقيم ومستو t نقطت Òتلفت فإن ا;ستقيم يقع بأكمل ))))2222(((( . . . . � الزاوية ال� يصنعها أحدهما مع أى مستقيم قاطع Ó ويوازى اآلخر � الزاوية ال� يصنعها أحدهما مع أى مستقيم قاطع Ó ويوازى اآلخر � الزاوية ال� يصنعها أحدهما مع أى مستقيم قاطع Ó ويوازى اآلخر � الزاوية ال� يصنعها أحدهما مع أى مستقيم قاطع Ó ويوازى اآلخر : : : : الزاوية ب مستقيم متخالف الزاوية ب مستقيم متخالف الزاوية ب مستقيم متخالف الزاوية ب مستقيم متخالف ))))@@@@(((())))DDDD(((( يع ا;ستقيمات ال� تنشأ عن تقاطع هذا ا;ستوى مع ا;ستويات ال� ¼توىÅ يع ا;ستقيمات ال� تنشأ عن تقاطع هذا ا;ستوى مع ا;ستويات ال� ¼توى إذا وازى مستقيم مستويا فإنه يوازىÅ يع ا;ستقيمات ال� تنشأ عن تقاطع هذا ا;ستوى مع ا;ستويات ال� ¼توى إذا وازى مستقيم مستويا فإنه يوازىÅ يع ا;ستقيمات ال� تنشأ عن تقاطع هذا ا;ستوى مع ا;ستويات ال� ¼توى إذا وازى مستقيم مستويا فإنه يوازىÅ إذا وازى مستقيم مستويا فإنه يوازى

....ا;ستقيم ا;ستقيم ا;ستقيم ا;ستقيم هذا هذا هذا هذا ))))aaaa(((( ا;ستوى فإنه يوازى ذلك ا;ستوى إذإذإذإذ t

t ا;ستوى فإنه يوازى ذلك ا;ستوى ا وازى مستقيم خارج مستوى مستقيما t ا;ستوى فإنه يوازى ذلك ا;ستوى ا وازى مستقيم خارج مستوى مستقيما t ا;ستوى فإنه يوازى ذلك ا;ستوى ا وازى مستقيم خارج مستوى مستقيما ....ا وازى مستقيم خارج مستوى مستقيما

))))kkkk(((( ا;ستوى t للمستقيم ا;علوم يقع للمستقيم ا;علوم يقع t ا;ستوى إذا وازى مستقيم مستويا فا;ستقيم ا�ى يمر بأى نقطة من نقط ا;ستوى موازيا للمستقيم ا;علوم يقع t ا;ستوى إذا وازى مستقيم مستويا فا;ستقيم ا�ى يمر بأى نقطة من نقط ا;ستوى موازيا للمستقيم ا;علوم يقع t ا;ستوى إذا وازى مستقيم مستويا فا;ستقيم ا�ى يمر بأى نقطة من نقط ا;ستوى موازيا ....إذا وازى مستقيم مستويا فا;ستقيم ا�ى يمر بأى نقطة من نقط ا;ستوى موازيا

))))mmmm(((( فخطا تقاطعه معهما يكونان متوازي متوازي إذا قطع مستو مستوي فخطا تقاطعه معهما يكونان متوازي متوازي إذا قطع مستو مستوي فخطا تقاطعه معهما يكونان متوازي متوازي إذا قطع مستو مستوي فخطا تقاطعه معهما يكونان متوازي متوازي إذا قطع مستو مستوي.... ))))oooo(((( فإنه يقطع اآلخر متوازي فإنه يقطع اآلخر إذا قطع مستقيم أحد مستوي متوازي فإنه يقطع اآلخر إذا قطع مستقيم أحد مستوي متوازي فإنه يقطع اآلخر إذا قطع مستقيم أحد مستوي متوازي إذا قطع مستقيم أحد مستوي.... ))))�E�E�E�E((((

إذا توازى مستقيمان ومر بكل منهما مستو وتقاطع ا;ستويان Kن خط تقاطعهما موازيا إذا توازى مستقيمان ومر بكل منهما مستو وتقاطع ا;ستويان Kن خط تقاطعهما موازيا إذا توازى مستقيمان ومر بكل منهما مستو وتقاطع ا;ستويان Kن خط تقاطعهما موازيا ....ذين ا;ستقيم ذين ا;ستقيم ذين ا;ستقيم ذين ا;ستقيم ÁÁÁÁإذا توازى مستقيمان ومر بكل منهما مستو وتقاطع ا;ستويان Kن خط تقاطعهما موازيا

....إذا وازى مستقيم ¡ من مستوي متقاطع فإنه يوازى خط تقاطعهما إذا وازى مستقيم ¡ من مستوي متقاطع فإنه يوازى خط تقاطعهما إذا وازى مستقيم ¡ من مستوي متقاطع فإنه يوازى خط تقاطعهما إذا وازى مستقيم ¡ من مستوي متقاطع فإنه يوازى خط تقاطعهما ))))��(((( ....ات متوازية بمستقيم فإن أطوال القطع ا;ستقيمة ا;حصورة بينهما تكون متناسبة ات متوازية بمستقيم فإن أطوال القطع ا;ستقيمة ا;حصورة بينهما تكون متناسبة ات متوازية بمستقيم فإن أطوال القطع ا;ستقيمة ا;حصورة بينهما تكون متناسبة ات متوازية بمستقيم فإن أطوال القطع ا;ستقيمة ا;حصورة بينهما تكون متناسبة إذا قطعت عدة مستويإذا قطعت عدة مستويإذا قطعت عدة مستويإذا قطعت عدة مستوي ))))��(((( إذا تقاطع مستقيمان t مستو وjنا موازي ;ستقيم متقاطع t مستو آخر Kن مستوى ا;ستقيم األو\ إذا تقاطع مستقيمان t مستو وjنا موازي ;ستقيم متقاطع t مستو آخر Kن مستوى ا;ستقيم األو\ إذا تقاطع مستقيمان t مستو وjنا موازي ;ستقيم متقاطع t مستو آخر Kن مستوى ا;ستقيم األو\ إذا تقاطع مستقيمان t مستو وjنا موازي ;ستقيم متقاطع t مستو آخر Kن مستوى ا;ستقيم األو\ ))))�2�2�2�2((((

;ستوى ;ستوى موازيا ;ستوى موازيا ;ستوى موازيا ....ا;ستقيم اآلخرين ا;ستقيم اآلخرين ا;ستقيم اآلخرين ا;ستقيم اآلخرين موازيا

))))�@�@�@�@(((( e eإذا Kن مستقيم عموديا eإذا Kن مستقيم عموديا eإذا Kن مستقيم عموديا f مستقيم t ا;ستوى قيل أن ا;ستقيم عمودى e ا;ستوى أو ا;ستوى عمودى f e مستقيم t ا;ستوى قيل أن ا;ستقيم عمودى e ا;ستوى أو ا;ستوى عمودى f e مستقيم t ا;ستوى قيل أن ا;ستقيم عمودى e ا;ستوى أو ا;ستوى عمودى f e مستقيم t ا;ستوى قيل أن ا;ستقيم عمودى e ا;ستوى أو ا;ستوى عمودى e إذا Kن مستقيم عموديا

....ا;ستقيم ا;ستقيم ا;ستقيم ا;ستقيم ))))�D�D�D�D(((( مستويهما e

e مستويهما ا;ستقيم العمودى f e من مستقيم متقاطع من نقطة تقاطعما يكون عموديا e مستويهما ا;ستقيم العمودى f e من مستقيم متقاطع من نقطة تقاطعما يكون عموديا e مستويهما ا;ستقيم العمودى f e من مستقيم متقاطع من نقطة تقاطعما يكون عموديا ....ا;ستقيم العمودى f e من مستقيم متقاطع من نقطة تقاطعما يكون عموديا

))))�a�a�a�a(((( مستو يكون عمودي t غ5 متوازي أى مستقيم e مستو يكون عمودي ا;ستقيم العمودى t غ5 متوازي أى مستقيم e مستو يكون عمودي ا;ستقيم العمودى t غ5 متوازي أى مستقيم e مستو يكون عمودي ا;ستقيم العمودى t غ5 متوازي أى مستقيم e هذا ا;ستوى ا;ستقيم العمودى e هذا ا;ستوى e هذا ا;ستوى e هذا ا;ستوى e .... ))))�k�k�k�k(((( هذا ا;ستوى أيضا e ن ا;ستقيم اآلخر عمودياK مستو e ن أحدهما عمودياjهذا ا;ستوى أيضا إذا توازى مستقيمان و e ن ا;ستقيم اآلخر عمودياK مستو e ن أحدهما عمودياjهذا ا;ستوى أيضا إذا توازى مستقيمان و e ن ا;ستقيم اآلخر عمودياK مستو e ن أحدهما عمودياjهذا ا;ستوى أيضا إذا توازى مستقيمان و e ن ا;ستقيم اآلخر عمودياK مستو e ن أحدهما عمودياjإذا توازى مستقيمان و.... ))))�m�m�m�m ( ( ( ( منهما f e منهما يتوازى مستويان إذا وجد مستقيم واحد عمودى f e منهما يتوازى مستويان إذا وجد مستقيم واحد عمودى f e منهما يتوازى مستويان إذا وجد مستقيم واحد عمودى f e يتوازى مستويان إذا وجد مستقيم واحد عمودى.... ))))�o�o�o�o ( ( ( ( أحدهما فإنه يكون عمو e ن عمودياjو متوازي أحدهما فإنه يكون عموإذا قطع مستقيم مستوي e ن عمودياjو متوازي أحدهما فإنه يكون عموإذا قطع مستقيم مستوي e ن عمودياjو متوازي أحدهما فإنه يكون عموإذا قطع مستقيم مستوي e ن عمودياjو متوازي اآلخر إذا قطع مستقيم مستوي e اآلخر ديا e اآلخر ديا e اآلخر ديا e ديا.... ))))�E�E�E�E(((( e مستوى واحد عمودى t مستقيم معلوم من نقطة معينة عليه تقع e يع ا;ستقيمات العموديةÅe مستوى واحد عمودى t مستقيم معلوم من نقطة معينة عليه تقع e يع ا;ستقيمات العموديةÅe مستوى واحد عمودى t مستقيم معلوم من نقطة معينة عليه تقع e يع ا;ستقيمات العموديةÅe مستوى واحد عمودى t مستقيم معلوم من نقطة معينة عليه تقع e يع ا;ستقيمات العموديةÅا;ستقيم ا;ستقيم ا;ستقيم ا;ستقيم هذا هذا هذا هذا ....يوجد مستوى واحد وواحد فقط عمودى e مستقيم من نقطة عليه يوجد مستوى واحد وواحد فقط عمودى e مستقيم من نقطة عليه يوجد مستوى واحد وواحد فقط عمودى e مستقيم من نقطة عليه يوجد مستوى واحد وواحد فقط عمودى e مستقيم من نقطة عليه ))))��(((( ....ا;ستقيمان العموديان e مستوى واحد متوازيان ا;ستقيمان العموديان e مستوى واحد متوازيان ا;ستقيمان العموديان e مستوى واحد متوازيان ا;ستقيمان العموديان e مستوى واحد متوازيان ))))��(((( f e من مستوي فإنهما يكونان موازي إذا Kن إذا Kن إذا Kن إذا Kن ))))�2�2�2�2((((

f e من مستوي فإنهما يكونان موازي مستقيم عموديا f e من مستوي فإنهما يكونان موازي مستقيم عموديا f e من مستوي فإنهما يكونان موازي مستقيم عموديا ....مستقيم عموديا

e اآلخر ))))@�@�@�@�(((( e أحد مستوي متوازي فإنه يكون عموديا

e اآلخر إذا Kن مستقيم عموديا

e أحد مستوي متوازي فإنه يكون عموديا





....إذا Kن مستقيم عموديا



١٣

))))�D�D�D�D(((( اور قطعة مستقيمةÆ اور قطعة مستقيمة مستوىÆ اور قطعة مستقيمة مستوىÆ اور قطعة مستقيمة مستوىÆ هذه القطعة من نقطة منتصفها : : : : مستوى e هذه القطعة من نقطة منتصفها هو ا;ستوى العمودى e هذه القطعة من نقطة منتصفها هو ا;ستوى العمودى e هذه القطعة من نقطة منتصفها هو ا;ستوى العمودى e هو ا;ستوى العمودى.... ))))�a�a�a�a(((( مست e مستمسقط نقطة معلومة e مستمسقط نقطة معلومة e مستمسقط نقطة معلومة e ذلك ا;ستوى : : : : وى معلوم وى معلوم وى معلوم وى معلوم مسقط نقطة معلومة e قطة عموديةyذلك ا;ستوى هو موقع القطعة ا;ستقيمة ا;رسومة من ا e قطة عموديةyذلك ا;ستوى هو موقع القطعة ا;ستقيمة ا;رسومة من ا e قطة عموديةyذلك ا;ستوى هو موقع القطعة ا;ستقيمة ا;رسومة من ا e قطة عموديةyهو موقع القطعة ا;ستقيمة ا;رسومة من ا.... ))))�k�k�k�k(((( الزاوية ب الزاوية ب الزاوية ب ا;ستوى : : : : ومستوى ومستوى ومستوى ومستوىمستقيممستقيممستقيممستقيمالزاوية ب e القطعة ا;ستقيمة ومسقطها ا;ستوى � الزاوية ب e القطعة ا;ستقيمة ومسقطها ا;ستوى � الزاوية ب e القطعة ا;ستقيمة ومسقطها ا;ستوى � الزاوية ب e القطعة ا;ستقيمة ومسقطها زاوية ميل ا;ستقيم . . . . � الزاوية ب Ñزاوية ميل ا;ستقيم وتس Ñزاوية ميل ا;ستقيم وتس Ñزاوية ميل ا;ستقيم وتس Ñوتس

e e e e ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى.... ))))�m�m�m�m((((

إذا رسم مستقيم مائل e مستوى وjن عموديا إذا رسم مستقيم مائل e مستوى وjن عموديا إذا رسم مستقيم مائل e مستوى وjن عموديا e مستقيم t ا;ستوى فإن مسقط ا;ستقيم ا;ائل e ا;ستوى e مستقيم t ا;ستوى فإن مسقط ا;ستقيم ا;ائل e ا;ستوى e مستقيم t ا;ستوى فإن مسقط ا;ستقيم ا;ائل e ا;ستوى e مستقيم t ا;ستوى فإن مسقط ا;ستقيم ا;ائل e ا;ستوى إذا رسم مستقيم مائل e مستوى وjن عموديا

يكون عموديا يكون عموديا يكون عموديا ....e هذا ا;ستقيم e هذا ا;ستقيم e هذا ا;ستقيم e هذا ا;ستقيم يكون عموديا

))))�o�o�o�o(((( e مستقيم فيه Kن هذا ا;ستقيم ا;ائل عموديا

إذا رسم مستقيم مائل e مستو وjن مسقطه e ا;ستوى عموديا

e مستقيم فيه Kن هذا ا;ستقيم ا;ائل عموديا






....ا;ستقيم ا;ستقيم ا;ستقيم ا;ستقيم e ذلك e ذلك e ذلك e ذلك ))))2E2E2E2E(((( زاوية زوجية إذاإذاإذاإذا : : : : الزاوية الزوجيةالزاوية الزوجيةالزاوية الزوجيةالزاوية الزوجية Ñمع ذلك ا�د يس ا;ستوي Õحد مش�ك فإن ا¼اد نص مستوي Õصy نK زاوية زوجية Ñمع ذلك ا�د يس ا;ستوي Õحد مش�ك فإن ا¼اد نص مستوي Õصy نK زاوية زوجية Ñمع ذلك ا�د يس ا;ستوي Õحد مش�ك فإن ا¼اد نص مستوي Õصy نK زاوية زوجية Ñمع ذلك ا�د يس ا;ستوي Õحد مش�ك فإن ا¼اد نص مستوي Õصy نK .... ....� الزاوية ا�ادثة من تقاطع هذه الزاوية الزوجية مع أى مستوى عمودى e حرفها � الزاوية ا�ادثة من تقاطع هذه الزاوية الزوجية مع أى مستوى عمودى e حرفها � الزاوية ا�ادثة من تقاطع هذه الزاوية الزوجية مع أى مستوى عمودى e حرفها � الزاوية ا�ادثة من تقاطع هذه الزاوية الزوجية مع أى مستوى عمودى e حرفها : : : : الزاوية ا;ستوية لزاوية زوجيةالزاوية ا;ستوية لزاوية زوجيةالزاوية ا;ستوية لزاوية زوجيةالزاوية ا;ستوية لزاوية زوجية ))))�2�2�2�2(((( قياسقياسقياسقياسÅيع الزوايا ا;ستوية لزاوية زوجية تكون متساوية الÅيع الزوايا ا;ستوية لزاوية زوجية تكون متساوية الÅيع الزوايا ا;ستوية لزاوية زوجية تكون متساوية الÅيع الزوايا ا;ستوية لزاوية زوجية تكون متساوية ال ))))�2�2�2�2(((( ....يقال ;ستوي إنهما متعامدان إذا نشأ عن تقاطعهما أربع زوايا زوجية قوائم يقال ;ستوي إنهما متعامدان إذا نشأ عن تقاطعهما أربع زوايا زوجية قوائم يقال ;ستوي إنهما متعامدان إذا نشأ عن تقاطعهما أربع زوايا زوجية قوائم يقال ;ستوي إنهما متعامدان إذا نشأ عن تقاطعهما أربع زوايا زوجية قوائم ))))22222222(((( e ذلك ا;ستوى ))))@2@2@2@2((((

e مستو ف¬ مستوى �وى هذا ا;ستقيم يكون عموديا

e ذلك ا;ستوى إذا Kن مستقيم عموديا






....إذا Kن مستقيم عموديا

))))2D2D2D2D(((( ن هذاK خط ا�قاطع e أحدهما مستقيم عمودى t ن هذاإذا تعامد مستويان ورسمK خط ا�قاطع e أحدهما مستقيم عمودى t ن هذاإذا تعامد مستويان ورسمK خط ا�قاطع e أحدهما مستقيم عمودى t ن هذاإذا تعامد مستويان ورسمK خط ا�قاطع e أحدهما مستقيم عمودى t ا;ستوى اآلخر إذا تعامد مستويان ورسم e e ا;ستوى اآلخر ا;ستقيم عموديا e ا;ستوى اآلخر ا;ستقيم عموديا e ا;ستوى اآلخر ا;ستقيم عموديا .... ا;ستقيم عموديا

))))2a2a2a2a(((( ا;ستوى e e مستو ثالث Kن خط تقاطع هذين ا;ستوي عموديا

e ا;ستوى إذا Kن f من مستوي متقاطع عموديا

e مستو ثالث Kن خط تقاطع هذين ا;ستوي عموديا





إذا Kن f من مستوي متقاطع عموديا

....اwالث اwالث اwالث اwالث ))))2k2k2k2k(((( رم القائمÁرم القائماÁرم القائماÁرم القائماÁهذه : : : : ا e رمÁزه هو موقع العمود ا;رسوم من رأس اªهذه هو هرم قاعدته سطح مضلع منتظم مر e رمÁزه هو موقع العمود ا;رسوم من رأس اªهذه هو هرم قاعدته سطح مضلع منتظم مر e رمÁزه هو موقع العمود ا;رسوم من رأس اªهذه هو هرم قاعدته سطح مضلع منتظم مر e رمÁزه هو موقع العمود ا;رسوم من رأس اªالقاعدة القاعدة القاعدة القاعدة هو هرم قاعدته سطح مضلع منتظم مر.... ))))2m2m2m2m(((( رم القائمÁرم القائمخواص اÁرم القائمخواص اÁرم القائمخواص اÁخواص ا: : : :

....األحرف ا±انبية للهرم القائم متساوية t الطول األحرف ا±انبية للهرم القائم متساوية t الطول األحرف ا±انبية للهرم القائم متساوية t الطول األحرف ا±انبية للهرم القائم متساوية t الطول ) ) ) ) ا( ( ( ( ....األوجه ا±انبية للهرم القائم مثلثات متساوية الساق ومتطابقة األوجه ا±انبية للهرم القائم مثلثات متساوية الساق ومتطابقة األوجه ا±انبية للهرم القائم مثلثات متساوية الساق ومتطابقة األوجه ا±انبية للهرم القائم مثلثات متساوية الساق ومتطابقة ) ) ) ) ب(((( ....األرتفاÍت ا±انبية للهرم القائم متساوية t الطول األرتفاÍت ا±انبية للهرم القائم متساوية t الطول األرتفاÍت ا±انبية للهرم القائم متساوية t الطول األرتفاÍت ا±انبية للهرم القائم متساوية t الطول ) ) ) ) ج((((

))))2o2o2o2o(((( ا;نتظم Öالwرم اÁا;نتظما Öالwرم اÁا;نتظما Öالwرم اÁا;نتظما Öالwرم اÁائم أوجهه األربعة مثلثات متساوية األضالع ائم أوجهه األربعة مثلثات متساوية األضالع ائم أوجهه األربعة مثلثات متساوية األضالع ائم أوجهه األربعة مثلثات متساوية األضالع هو هرم قهو هرم قهو هرم قهو هرم ق : : : : ا . . . .

ثانيا ثانيا ثانيا عمليات حسابيةعمليات حسابيةعمليات حسابيةعمليات حسابية: : : : عبارات اإلكمال عبارات اإلكمال عبارات اإلكمال عبارات اإلكمال : : : : ثانيا

2222[قطر ا;كعب ا�ى طول حرفه ل يساوى ل قطر ا;كعب ا�ى طول حرفه ل يساوى ل قطر ا;كعب ا�ى طول حرفه ل يساوى ل قطر ا;كعب ا�ى طول حرفه ل يساوى ل ) ) ) ) ��((((

�� ل ل ل لaaaaمساحة سطح ا;كعب ا�ى طول حرفه ل تساوى مساحة سطح ا;كعب ا�ى طول حرفه ل تساوى مساحة سطح ا;كعب ا�ى طول حرفه ل تساوى مساحة سطح ا;كعب ا�ى طول حرفه ل تساوى ))))��((((

2222حجم ا;كعب ا�ى طول حرفه ل يساوى لحجم ا;كعب ا�ى طول حرفه ل يساوى لحجم ا;كعب ا�ى طول حرفه ل يساوى لحجم ا;كعب ا�ى طول حرفه ل يساوى ل ))))2222((((

�� ع ++++��ص ++++��س [ يساوى يساوى يساوى يساوى ع ، ، ، ، ص ، ، ، ، سى أبعاده اwالثة ى أبعاده اwالثة ى أبعاده اwالثة ى أبعاده اwالثة قطر متوازى ا;ستطيالت ا�قطر متوازى ا;ستطيالت ا�قطر متوازى ا;ستطيالت ا�قطر متوازى ا;ستطيالت ا� ))))@@@@((((

))))DDDD ( ( ( ( ا;نتظم ا�ى طول حرفه ل يكون طول ارتفاعه ل Öالwرم اÁا;نتظم ا�ى طول حرفه ل يكون طول ارتفاعه ل ا Öالwرم اÁا;نتظم ا�ى طول حرفه ل يكون طول ارتفاعه ل ا Öالwرم اÁا;نتظم ا�ى طول حرفه ل يكون طول ارتفاعه ل ا Öالwرم اÁفيه � ٣؛ @[ا أى وجه فيه � وقياس الزاوية ب أى وجه فيه � وقياس الزاوية ب أى وجه فيه � وقياس الزاوية ب أى وجه ه وقياس الزاوية ب

٣؛ != هجتا جتا جتا جتا حيث حيث حيث حيث ........... . ........... . ........... . ........... .=سنتيم�ات فإن طول قطره سنتيم�ات فإن طول قطره سنتيم�ات فإن طول قطره سنتيم�ات فإن طول قطره من ال من ال من ال من ال�� ، ، ، ، 2222 ، ، ، ، @@@@إذا Kنت أبعاد متوازى مستطيالت � إذا Kنت أبعاد متوازى مستطيالت � إذا Kنت أبعاد متوازى مستطيالت � إذا Kنت أبعاد متوازى مستطيالت � ))))@@@@(((())))DDDD(((( � الثةwموع أطوال أقطار متوازى ا;ستطيالت ا�ى أبعاده اC � الثةwموع أطوال أقطار متوازى ا;ستطيالت ا�ى أبعاده اC � الثةwموع أطوال أقطار متوازى ا;ستطيالت ا�ى أبعاده اC � الثةwموع أطوال أقطار متوازى ا;ستطيالت ا�ى أبعاده اC : : : :@@@@ ، ، ، ، 2222 ، ، ، ، �� سم يساوى سم يساوى سم يساوى سم يساوى . .............. . .............. . .............. . .............. ))))aaaa(((( ن طول حرف ا;كعبK ن طول حرف ا;كعب إذاK ن طول حرف ا;كعب إذاK ن طول حرف ا;كعب إذاK إذاDDDD سم سم سم سم ............... ............... ............... ............... سم فإن طول قطره يساوى سم فإن طول قطره يساوى سم فإن طول قطره يساوى سم فإن طول قطره يساوى . . . .



١٤

))))kkkk(((( ن طول قطر مكعبK ن طول قطر مكعب إذاK ن طول قطر مكعب إذاK ن طول قطر مكعب إذاK إذاDDDD ]2222 سم فإن مساحة سطحه سم فإن مساحة سطحه سم فإن مساحة سطحه سم فإن مساحة سطحه . .............. . .............. . .............. . ..............

))))mmmm(((( نت مساحة سطح ا;كعب ذذذذإإإإK نت مساحة سطح ا;كعب اK نت مساحة سطح ا;كعب اK نت مساحة سطح ا;كعب اK اoaoaoaoaفإن طول قطره فإن طول قطره فإن طول قطره فإن طول قطره �� سم سم سم سم . ................... ................... ................... ..................

))))oooo(((( ن حجم مكعب يساوىK ن حجم مكعب يساوى إذاK ن حجم مكعب يساوى إذاK ن حجم مكعب يساوى إذاK إذاa@a@a@a@موع مساحات أوجهه تساوى 2222 سم سم سم سمC موع مساحات أوجهه تساوى فإنC موع مساحات أوجهه تساوى فإنC موع مساحات أوجهه تساوى فإنC فإن . ................. . ................. . ................. . .................

ثاwا ثاwا ثاwا عبارات صح أم خطأعبارات صح أم خطأعبارات صح أم خطأعبارات صح أم خطأ: : : : ثاwا

: : : : يحة وأى منها خاطئة مع إÍدة صياغة ا±ملة ا�اطئة بصورتها الصحيحة يحة وأى منها خاطئة مع إÍدة صياغة ا±ملة ا�اطئة بصورتها الصحيحة يحة وأى منها خاطئة مع إÍدة صياغة ا±ملة ا�اطئة بصورتها الصحيحة يحة وأى منها خاطئة مع إÍدة صياغة ا±ملة ا�اطئة بصورتها الصحيحة ب أى من ا±مل اآلتية صحب أى من ا±مل اآلتية صحب أى من ا±مل اآلتية صحب أى من ا±مل اآلتية صح ....Cموعة ا;ستويات العمودية e مستو واحد تكون متوازية Cموعة ا;ستويات العمودية e مستو واحد تكون متوازية Cموعة ا;ستويات العمودية e مستو واحد تكون متوازية Cموعة ا;ستويات العمودية e مستو واحد تكون متوازية ))))��(((( ....الزاوية ا;ستوية للزاوية الزوجية � ال� تنشأ من قطع الزاوية الزوجية بمستو يمر �رفها الزاوية ا;ستوية للزاوية الزوجية � ال� تنشأ من قطع الزاوية الزوجية بمستو يمر �رفها الزاوية ا;ستوية للزاوية الزوجية � ال� تنشأ من قطع الزاوية الزوجية بمستو يمر �رفها الزاوية ا;ستوية للزاوية الزوجية � ال� تنشأ من قطع الزاوية الزوجية بمستو يمر �رفها ))))��(((( . . . . سس يقعان t مستوى مائل e ا;ستوى يقعان t مستوى مائل e ا;ستوى يقعان t مستوى مائل e ا;ستوى يقعان t مستوى مائل e ا;ستوى سسا;ائل ومسقطه e مستوى ما ا;ائل ومسقطه e مستوى ما ا;ائل ومسقطه e مستوى ما ا;ائل ومسقطه e مستوى ما ))))2222(((( e مستويهما ))))@@@@((((

e مستويهما ا;ستقيم العمودى f e من مستقيم متوازي يكون عموديا e مستويهما ا;ستقيم العمودى f e من مستقيم متوازي يكون عموديا e مستويهما ا;ستقيم العمودى f e من مستقيم متوازي يكون عموديا . . . . ا;ستقيم العمودى f e من مستقيم متوازي يكون عموديا

))))DDDD(((( ا;ستويان ا;وازيان ;ستقيم واحد متوازيان ا;ستويان ا;وازيان ;ستقيم واحد متوازيان ا;ستويان ا;وازيان ;ستقيم واحد متوازيان ا;ستويان ا;وازيان ;ستقيم واحد متوازيان.... ))))aaaa(((( فإنه يوازى خط تقاطعهما متقاطع فإنه يوازى خط تقاطعهما إذا وازى مستقيم ¡ من مستوي متقاطع فإنه يوازى خط تقاطعهما إذا وازى مستقيم ¡ من مستوي متقاطع فإنه يوازى خط تقاطعهما إذا وازى مستقيم ¡ من مستوي متقاطع إذا وازى مستقيم ¡ من مستوي . . . . ))))kkkk(((( نفس ا;ستوى يتعامد ا;ستيتعامد ا;ستيتعامد ا;ستيتعامد ا;ست e

e نفس ا;ستوى قيمان إذا Kن f منهما عموديا e نفس ا;ستوى قيمان إذا Kن f منهما عموديا e نفس ا;ستوى قيمان إذا Kن f منهما عموديا . . . . قيمان إذا Kن f منهما عموديا

))))mmmm(((( فخطا ا�قاطع مستقيمان متخالفان متوازي فخطا ا�قاطع مستقيمان متخالفان إذا قطع مستو مستوي متوازي فخطا ا�قاطع مستقيمان متخالفان إذا قطع مستو مستوي متوازي فخطا ا�قاطع مستقيمان متخالفان إذا قطع مستو مستوي متوازي إذا قطع مستو مستوي . . . . ))))oooo(((( مقطع متوازى ا;ستطيالت بمستو يقطع أربعة أحرف متوازية فيه هو سطح مستطيل مقطع متوازى ا;ستطيالت بمستو يقطع أربعة أحرف متوازية فيه هو سطح مستطيل مقطع متوازى ا;ستطيالت بمستو يقطع أربعة أحرف متوازية فيه هو سطح مستطيل مقطع متوازى ا;ستطيالت بمستو يقطع أربعة أحرف متوازية فيه هو سطح مستطيل . . . . ))))�E�E�E�E((((

ا;ستقيم العمودى e مستقيم t ا;ستوى يكون عموديا ا;ستقيم العمودى e مستقيم t ا;ستوى يكون عموديا ا;ستقيم العمودى e مستقيم t ا;ستوى يكون عموديا . . . . e ذلك ا;ستوى e ذلك ا;ستوى e ذلك ا;ستوى e ذلك ا;ستوى ا;ستقيم العمودى e مستقيم t ا;ستوى يكون عموديا

. . . . f مستقيم متخالف t الفراغ يمكن أن يمر بهما مستويان متوازيان f مستقيم متخالف t الفراغ يمكن أن يمر بهما مستويان متوازيان f مستقيم متخالف t الفراغ يمكن أن يمر بهما مستويان متوازيان f مستقيم متخالف t الفراغ يمكن أن يمر بهما مستويان متوازيان ))))��(((( فإنه يوازى f مستقيم واقع t ا;ستوى ))))��((((

فإنه يوازى f مستقيم واقع t ا;ستوى إذا وازى مستقيم مستويا فإنه يوازى f مستقيم واقع t ا;ستوى إذا وازى مستقيم مستويا فإنه يوازى f مستقيم واقع t ا;ستوى إذا وازى مستقيم مستويا . . . . إذا وازى مستقيم مستويا

f e من مستوي فإنهما يكونان متوازي ))))�2�2�2�2(((( f e من مستوي فإنهما يكونان متوازي إذا Kن مستقيم عموديا f e من مستوي فإنهما يكونان متوازي إذا Kن مستقيم عموديا f e من مستوي فإنهما يكونان متوازي إذا Kن مستقيم عموديا . . . . إذا Kن مستقيم عموديا

. . . . لزوجية ب مستوي برسم مستوى عمودى e خط تقاطع ا;ستوي لزوجية ب مستوي برسم مستوى عمودى e خط تقاطع ا;ستوي لزوجية ب مستوي برسم مستوى عمودى e خط تقاطع ا;ستوي لزوجية ب مستوي برسم مستوى عمودى e خط تقاطع ا;ستوي تقاس الزاوية اتقاس الزاوية اتقاس الزاوية اتقاس الزاوية ا ))))@�@�@�@�((((

رابعا رابعا رابعا عبارات e هيئة أسئلة خفيفةعبارات e هيئة أسئلة خفيفةعبارات e هيئة أسئلة خفيفةعبارات e هيئة أسئلة خفيفة: : : : رابعا

.............. ............... ............... ............... .هو ا;ستقيم هو ا;ستقيم هو ا;ستقيم هو ا;ستقيم ج ////ج/ / / / ا ا مع ا;ستوى مع ا;ستوى مع ا;ستوى مع ا;ستوى ////ا ب ج منشور ثالÖ ، فإن خط تقاطع ا;ستوى منشور ثالÖ ، فإن خط تقاطع ا;ستوى منشور ثالÖ ، فإن خط تقاطع ا;ستوى منشور ثالÖ ، فإن خط تقاطع ا;ستوى ////ج ////ب////اب ج ا ))))��(((( ................ . ................ . ................ . ................ . أحرف متوازية فيه هو سطح أحرف متوازية فيه هو سطح أحرف متوازية فيه هو سطح أحرف متوازية فيه هو سطح مقطع متوازى السطوح بمستوى بقطع أربعة مقطع متوازى السطوح بمستوى بقطع أربعة مقطع متوازى السطوح بمستوى بقطع أربعة مقطع متوازى السطوح بمستوى بقطع أربعة ))))��(((( .................. . .................. . .................. . .................. . أقطار متوازى السطوح � القطع ا;ستقيمة ال� تصل ب أقطار متوازى السطوح � القطع ا;ستقيمة ال� تصل ب أقطار متوازى السطوح � القطع ا;ستقيمة ال� تصل ب أقطار متوازى السطوح � القطع ا;ستقيمة ال� تصل ب ))))2222(((( أى أربع نقط تقع t مستو ؟ ))))@@@@((((

أى أربع نقط تقع t مستو ؟ هل دائما أى أربع نقط تقع t مستو ؟ هل دائما أى أربع نقط تقع t مستو ؟ هل دائما هل دائما

))))DDDD(((( الفراغ متوازيان ؟ t مستقيم ثالث e الفراغ متوازيان ؟ هل ا;ستقيمان العمودان t مستقيم ثالث e الفراغ متوازيان ؟ هل ا;ستقيمان العمودان t مستقيم ثالث e الفراغ متوازيان ؟ هل ا;ستقيمان العمودان t مستقيم ثالث e هل ا;ستقيمان العمودان ))))aaaa(((( ؟ ما أقل عدد من ا;ستوما أقل عدد من ا;ستوما أقل عدد من ا;ستوما أقل عدد من ا;ستو

؟ يات ¼دد Cسما ؟ يات ¼دد Cسما ؟ يات ¼دد Cسما يات ¼دد Cسما

))))kkkk(((( ا;ستقيم ؟ e e مستو فهل يكون ا;ستوى عمودا

e ا;ستقيم ؟ إذا Kن مستقيم عمودا

e مستو فهل يكون ا;ستوى عمودا





إذا Kن مستقيم عمودا

))))mmmm(((( ن لK ن ل إذاK ن ل إذاK ن ل إذاK ، �� ، ل ، ل ، ل ، ل ��إذا ، مستقيم ، مستقيم ، مستقيم مستويان فإن مستويان فإن مستويان فإن مستويان فإنصص ، ، ، ، سس مستقيم : : : :

��ل OOOOOOOO �� فإن لفإن لفإن لفإن ل سس OOOOOOOO �� ، ل سسOO@OO@OO@OO@ �� لللل إذا Kنإذا Kنإذا Kنإذا Kن ~ا

صص OOOOOOOO سس فإنفإنفإنفإن �� ل OOOOOOOO صص ، ��ل OO@OO@OO@OO@ سس إذا Kنإذا Kنإذا Kنإذا Kن ~ب

�� لللل OOOOOOOO �� فإن لفإن لفإن لفإن ل صص OOOOOOOO سس ، صصخ �� لللل ، سسخ �� لللل إذا Kنإذا Kنإذا Kنإذا Kن ~ج



١٥

õ~ ن لK ن لإذاK ن لإذاK ن لإذاK فإن لفإن لفإن لفإن ل ف= سس ط صص ، سسخ �� إذا �� OOOOOOOO صص

متخالف متخالف متخالف متخالف �� لللل ، �� أو لأو لأو لأو ل �� لللل OOOOOOOO �� فإن لفإن لفإن لفإن ل ف= �� لللل ط �� إذا Kن لإذا Kن لإذا Kن لإذا Kن ل ~ه

))))oooo(((( أى ا�االت اآلتية يكو t أى ا�االت اآلتية يكوأذكر t أى ا�االت اآلتية يكوأذكر t أى ا�االت اآلتية يكوأذكر t ا;ستوىأذكر e e ا;ستوىن ا;ستقيم عموديا e ا;ستوىن ا;ستقيم عموديا e ا;ستوىن ا;ستقيم عموديا : : : : ن ا;ستقيم عموديا

e مستقيم t ا;ستوى ~ا e مستقيم t ا;ستوى ا;ستقيم عموديا e مستقيم t ا;ستوى ا;ستقيم عموديا e مستقيم t ا;ستوى ا;ستقيم عموديا . . . . ا;ستقيم عموديا

.... ا;ستقيم عمودى f e من مستقيم متقاطع t ا;ستوى ويمر بنقطة تقاطعهما ا;ستقيم عمودى f e من مستقيم متقاطع t ا;ستوى ويمر بنقطة تقاطعهما ا;ستقيم عمودى f e من مستقيم متقاطع t ا;ستوى ويمر بنقطة تقاطعهما ا;ستقيم عمودى f e من مستقيم متقاطع t ا;ستوى ويمر بنقطة تقاطعهما ~ب . . . . ا;ستقيم عمودى e مستقيم t ا;ستوى ا;ستقيم عمودى e مستقيم t ا;ستوى ا;ستقيم عمودى e مستقيم t ا;ستوى ا;ستقيم عمودى e مستقيم t ا;ستوى ~ج õ~متقاطع مستقيم e متقاطع ا;ستقيم عمودى مستقيم e متقاطع ا;ستقيم عمودى مستقيم e متقاطع ا;ستقيم عمودى مستقيم e ا;ستوى وال يمر بنقطة تقاطعهما ا;ستقيم عمودى t ا;ستوى وال يمر بنقطة تقاطعهما t ا;ستوى وال يمر بنقطة تقاطعهما t ا;ستوى وال يمر بنقطة تقاطعهما t . . . .

))))�E�E�E�E(((( من f e مع الرسم طريقة ا�صول من ب f e مع الرسم طريقة ا�صول من ب f e مع الرسم طريقة ا�صول من ب f e مع الرسم طريقة ا�صول ب : : : : الزاوية ب مستقيم ومستوى الزاوية ب مستقيم ومستوى الزاوية ب مستقيم ومستوى الزاوية ب مستقيم ومستوى ~ بالزاوية ب مستقيم متخالف الزاوية ب مستقيم متخالف الزاوية ب مستقيم متخالف الزاوية ب مستقيم متخالف ~ ا

عمليات حسابية عمليات حسابية عمليات حسابية عمليات حسابية : : : : حل عبارات اإلكمال حل عبارات اإلكمال حل عبارات اإلكمال حل عبارات اإلكمال �� سم سم سم سمkkkk(((( �DE�DE�DE�DE(((( سم سم سم سمDDDD ]2222 ))))aaaa(((( سم سم سم سم�D�D�D�D ))))DDDD(((( سم سم سم سم �2�2�2�2 ))))@@@@(((())))mmmm(((( @@@@ ]2222 ))))oooo(((( oaoaoaoaسم سم سم سم ��

حل عبارات صح أم خطأ حل عبارات صح أم خطأ حل عبارات صح أم خطأ حل عبارات صح أم خطأ ضض ))))@@@@(((( ضض ))))2222(((( ضض ))))��(((( ضض ))))��(((())))DDDD(((( ضض ))))aaaa(((( ض ))))kkkk(((( ضض ))))mmmm(((( ضض ))))oooo(((( ض ))))�E�E�E�E(((( ضض ))))��(((( ض ))))��(((( ضض

ض ))))@�@�@�@�(((( ض ))))�2�2�2�2((((

حل عبارات e هيئة أسئلة خفيفة حل عبارات e هيئة أسئلة خفيفة حل عبارات e هيئة أسئلة خفيفة حل عبارات e هيئة أسئلة خفيفة س ا;ستوى س ا;ستوى س ا;ستوى س ا;ستوى رأس غ5 واقع t نفرأس غ5 واقع t نفرأس غ5 واقع t نفرأس غ5 واقع t نف ))))2222(((( متوازى أضالعمتوازى أضالعمتوازى أضالعمتوازى أضالع ))))��(((( ////اج ))))��(((( ال تقع األربعة نقط t مستو واحد إال عندما تقع e خط مستقيم متقاطع أو متوازي ال تقع األربعة نقط t مستو واحد إال عندما تقع e خط مستقيم متقاطع أو متوازي ال تقع األربعة نقط t مستو واحد إال عندما تقع e خط مستقيم متقاطع أو متوازي ال تقع األربعة نقط t مستو واحد إال عندما تقع e خط مستقيم متقاطع أو متوازي ))))@@@@(((())))DDDD(((( مستو واحد t ناK ثالث ال يتوازيا إال إذا e مستو واحد ا;ستقيمان العموديان t ناK ثالث ال يتوازيا إال إذا e مستو واحد ا;ستقيمان العموديان t ناK ثالث ال يتوازيا إال إذا e مستو واحد ا;ستقيمان العموديان t ناK ثالث ال يتوازيا إال إذا e ا;ستقيمان العموديان ))))aaaa((((

أربعة مستويات وتع هرما أربعة مستويات وتع هرما أربعة مستويات وتع هرما ا;ستوى يكون عمودى e ا;ستقيم ا;ستوى يكون عمودى e ا;ستقيم ا;ستوى يكون عمودى e ا;ستقيم ا;ستوى يكون عمودى e ا;ستقيم ))))kkkk(((( أربعة مستويات وتع هرما

))))mmmm(((( ضض~ ج ضض~ ب ضض~ ا õ ~ض~ ه ض

))))oooo(((( ا�ا� ا�ا� ا�ا� با�ا� ، ، ، ، õ فقط فقط فقط فقط



١٦

خامسا خامسا خامسا اyظريات ا;طلوب حفظها بال�هاناyظريات ا;طلوب حفظها بال�هاناyظريات ا;طلوب حفظها بال�هاناyظريات ا;طلوب حفظها بال�هان : : : : خامسا

) ) ) )��( ( ( ( نظرية نظرية نظرية نظرية ا;ستوى مع ا;ستويات ال� ¼توى ذلكا;ستوى مع ا;ستويات ال� ¼توى ذلكا;ستوى مع ا;ستويات ال� ¼توى ذلكا;ستوى مع ا;ستويات ال� ¼توى ذلكإذا وازى مستقيم مستويا فانه يوازى Åيع ا;ستقيمات ال� تنشأ عن تقاطع هذا إذا وازى مستقيم مستويا فانه يوازى Åيع ا;ستقيمات ال� تنشأ عن تقاطع هذا إذا وازى مستقيم مستويا فانه يوازى Åيع ا;ستقيمات ال� تنشأ عن تقاطع هذا إذا وازى مستقيم مستويا فانه يوازى Åيع ا;ستقيمات ال� تنشأ عن تقاطع هذا

....ا;ستقيم ا;ستقيم ا;ستقيم ا;ستقيم :::: ا;عطياتا;عطياتا;عطياتا;عطيات

ا;ستوى س ا;ستوى س ا;ستوى س ا;ستوى س @@OO@@OO@@OO@@OOا ب ) ) ) ) ��(((( õ@@ج t t t t سس ويقطع ا;ستوى ويقطع ا;ستوى ويقطع ا;ستوى ويقطع ا;ستوى ا ب أى مستو �توى أى مستو �توى أى مستو �توى أى مستو �توى صص ) ) ) ) ��((((

: : : : ا;طلوبا;طلوبا;طلوبا;طلوب õ@ج OO@@OO@@OO@@OO@@ا ب

: : : : ال�هان ال�هان ال�هان ال�هان سس ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى OOOOOOOO ا ب مب

ف = سس ط ا ب إ سس خ õ@مب ج ، ، ، ،

ف = õط ج إ ا ب صص يقعان t مستو واحد وهو يقعان t مستو واحد وهو يقعان t مستو واحد وهو يقعان t مستو واحد وهو õ@ج ،،،،مب ا ب ، ، ، ،

õ@ج OOOOOOOO إ ا ب ) ) ) )@@@@( ( ( ( نظرية نظرية نظرية نظرية

إذا رسم مستقيم مائل e مستو وjن عموديا e مستقيم t ا;ستوى فإنه مسقط ا;ستقيم ا;ائل e ا;ستوى يكونإذا رسم مستقيم مائل e مستو وjن عموديا e مستقيم t ا;ستوى فإنه مسقط ا;ستقيم ا;ائل e ا;ستوى يكونإذا رسم مستقيم مائل e مستو وjن عموديا e مستقيم t ا;ستوى فإنه مسقط ا;ستقيم ا;ائل e ا;ستوى يكونإذا رسم مستقيم مائل e مستو وjن عموديا e مستقيم t ا;ستوى فإنه مسقط ا;ستقيم ا;ائل e ا;ستوى يكون ....عموديا e هذا ا;ستقيم عموديا e هذا ا;ستقيم عموديا e هذا ا;ستقيم عموديا e هذا ا;ستقيم

:::: ا;عطيات ا;عطيات ا;عطيات ا;عطيات

سس ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ⊥⊥⊥⊥ ا ن ))))��(((( سس الواقع t ا;ستوى الواقع t ا;ستوى الواقع t ا;ستوى الواقع t ا;ستوى õ@ج ⊥⊥⊥⊥ ا ب ا;ائل ا;ائل ا;ائل ا;ائل ))))��((((

: : : : ا;طلوب ا;طلوب ا;طلوب ا;طلوب õ@@ج ⊥⊥⊥⊥ ن ب : : : : إثبات أن إثبات أن إثبات أن إثبات أن

: : : : ال�هان ال�هان ال�هان ال�هان ا;ستوى س ا;ستوى س ا;ستوى س ا;ستوى س ⊥⊥⊥⊥ ا ن مب õ ج ⊥⊥⊥⊥ ا ن إ f مستقيم فيه f مستقيم فيه f مستقيم فيه f مستقيم فيه ⊥⊥⊥⊥ ا ن إ

) ) ) ) معطى معطى معطى معطى ( ( ( ( õ ج ⊥⊥⊥⊥ ا ب مب، ، ، ،

ا ب ، ، ، ، ا ن f من f من f من f من ⊥⊥⊥⊥ õ ج إ

ا ن ب عمودى e مستويهما عمودى e مستويهما عمودى e مستويهما عمودى e مستويهما õ@ ج إ ا ن ب أى مستقيم t ا;ستوى أى مستقيم t ا;ستوى أى مستقيم t ا;ستوى أى مستقيم t ا;ستوى ⊥⊥⊥⊥ õ ج إ ن ب ⊥⊥⊥⊥ õ ج إ

ج

ب

ا

õ@ سس@

ن

ا ب

ج

õ@ @ سس

صص

٠

٠



١٧

) ) ) )@@@@( ( ( ( عكس نظرية عكس نظرية عكس نظرية عكس نظرية ذا ا;ستقيم ا;ائل عموديا e ذا ا;ستقيم ا;ائل عموديا e ذا ا;ستقيم ا;ائل عموديا e ذا ا;ستقيم ا;ائل عموديا e إذا رسم مستقيم مائل e مستو وjن مسقطه e ا;ستوى عموديا e مستقيم فيه Kن هإذا رسم مستقيم مائل e مستو وjن مسقطه e ا;ستوى عموديا e مستقيم فيه Kن هإذا رسم مستقيم مائل e مستو وjن مسقطه e ا;ستوى عموديا e مستقيم فيه Kن هإذا رسم مستقيم مائل e مستو وjن مسقطه e ا;ستوى عموديا e مستقيم فيه Kن ه

....ا;ستقيم ا;ستقيم ا;ستقيم ا;ستقيم ذلكذلكذلكذلك :::: ا;عطيات ا;عطيات ا;عطيات ا;عطيات

مائل e ا;ستوى س مائل e ا;ستوى س مائل e ا;ستوى س مائل e ا;ستوى س ا ب ) ) ) ) ��(((( سس الواقع t ا;ستوى الواقع t ا;ستوى الواقع t ا;ستوى الواقع t ا;ستوى õ ج ⊥⊥⊥⊥ ن ب مسقطهمسقطهمسقطهمسقطه) ) ) ) ��((((

:::: ا;طلوب ا;طلوب ا;طلوب ا;طلوب õ ج ⊥⊥⊥⊥ ا ب : : : : إثبات أن إثبات أن إثبات أن إثبات أن

:::: ال�هان ال�هان ال�هان ال�هان سسا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ⊥⊥⊥⊥ ا ن مب

ستقيم t ا;ستوى س ستقيم t ا;ستوى س ستقيم t ا;ستوى س ستقيم t ا;ستوى س عمودى f e م عمودى f e م عمودى f e م عمودى f e ما ن إ

õ ج ⊥⊥⊥⊥ ا ن إ ن ب ، ، ، ، ا ن f من f من f من f من ⊥⊥⊥⊥ õ ج إ õ ج ⊥⊥⊥⊥ ن ب مب، ، ، ،

ا ن ب عمودى e مستويهما عمودى e مستويهما عمودى e مستويهما عمودى e مستويهما ⊥⊥⊥⊥ õ@@@ ج إ ا ب ⊥⊥⊥⊥ õ ج إ ا ن ب أى مستقيم t ا;ستوى أى مستقيم t ا;ستوى أى مستقيم t ا;ستوى أى مستقيم t ا;ستوى ⊥⊥⊥⊥ õ ج إ

) ) ) ) DDDD( ( ( ( نظرية نظرية نظرية نظرية . . . .إذا Kن مستقيم عموديا e مستو ف¬ مستو �وى هذا ا;ستقيم يكون عموديا e ذلك ا;ستوىإذا Kن مستقيم عموديا e مستو ف¬ مستو �وى هذا ا;ستقيم يكون عموديا e ذلك ا;ستوىإذا Kن مستقيم عموديا e مستو ف¬ مستو �وى هذا ا;ستقيم يكون عموديا e ذلك ا;ستوىإذا Kن مستقيم عموديا e مستو ف¬ مستو �وى هذا ا;ستقيم يكون عموديا e ذلك ا;ستوى :::: ا;عطيات ا;عطيات ا;عطيات ا;عطيات

ج عند عند عند عند سس ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ⊥⊥⊥⊥ ه ج ) ) ) ) ��(((( ا ب t ا;ستقيم t ا;ستقيم t ا;ستقيم t ا;ستقيم سس ويقطع ا;ستوى ويقطع ا;ستوى ويقطع ا;ستوى ويقطع ا;ستوى ج ه �وى ا;ستقيم �وى ا;ستقيم �وى ا;ستقيم �وى ا;ستقيم صص ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ) ) ) ) ��((((

:::: ا;طلوب ا;طلوب ا;طلوب ا;طلوب سس ⊥⊥⊥⊥ صص : : : : إثبات أن إثبات أن إثبات أن إثبات أن :::: ال�هان ال�هان ال�هان ال�هان سس t ا;ستوى t ا;ستوى t ا;ستوى t ا;ستوى ب ا ⊥⊥⊥⊥ õ ج نرسمنرسمنرسمنرسم

) ) ) ) معطى معطى معطى معطى ( ( ( ( سس ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ⊥⊥⊥⊥ ه ج مب سس الواقع t الواقع t الواقع t الواقع t ج õ ⊥⊥⊥⊥ ه ج إ

DDDDoEoEoEoE = ) ) ) ) ظه ج õ( ( ( ( ق إ صص ، ، ، ،سس اyاشئة عن تقاطع ا;ستوي اyاشئة عن تقاطع ا;ستوي اyاشئة عن تقاطع ا;ستوي اyاشئة عن تقاطع ا;ستوي زاوية مستوية الحدى الزوايا الزوجية زاوية مستوية الحدى الزوايا الزوجية زاوية مستوية الحدى الزوايا الزوجية زاوية مستوية الحدى الزوايا الزوجية ه ج õ ال مب، ، ، ،

سس ا;ستوىا;ستوىا;ستوىا;ستوى ⊥⊥⊥⊥ صص ا;ستوىا;ستوىا;ستوىا;ستوى إ

ه

ج ا

ب

صص

سسõ@ @

ج

ب

ا

õ@ سس@

ن



١٨

تمارين للمراجعة تمارين للمراجعة تمارين للمراجعة تمارين للمراجعة

DDDDaEaEaEaE =) ) ) ) ظ ب ا õ ( ( ( ( ق، ، ، ، سم سم سم سم �� مع طول ضلعه مع طول ضلعه مع طول ضلعه مع طول ضلعه õ ج ب ا متوازى سطوح قائم قاعدته متوازى سطوح قائم قاعدته متوازى سطوح قائم قاعدته متوازى سطوح قائم قاعدته ////õ ////ج////ب ////ا õ ج ب ا ))))��((((

سم سم سم سم �a�a�a�a = ////اا، ، ، ،

أوال أوال أوال /õ@ ب ، ، ، ، / جاأحسب طول f من القطرين أحسب طول f من القطرين أحسب طول f من القطرين أحسب طول f من القطرين : : : : أوال

ثانيا ثانيا ثانيا .... متعامدان متعامدان متعامدان متعامدان õ//// õ ////ب ب ، ، ، ، ج ////ج////ااتوي توي توي توي أثبت أن ا;سأثبت أن ا;سأثبت أن ا;سأثبت أن ا;س : : : : ثانيا

/ج بي õحيث حيث حيث حيث /ج ب ⊥⊥⊥⊥ @/õ مثم رسم ثم رسم ثم رسم ثم رسم ج ب اا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ⊥⊥⊥⊥ /م ارسم رسم رسم رسم . . . . DDDD2E2E2E2E =) ) ) ) ؟ ب ( ( ( (ق ، ، ، ، امثلث قائم الزاوية t مثلث قائم الزاوية t مثلث قائم الزاوية t مثلث قائم الزاوية t ج با ))))��(((( õ ج õ = 2222 ب أثبت أن أثبت أن أثبت أن أثبت أن

: : : : سم أوجد سم أوجد سم أوجد سم أوجد mmmm سم وارتفاعه سم وارتفاعه سم وارتفاعه سم وارتفاعه ��[ aaaa طول ضلع قاعدته طول ضلع قاعدته طول ضلع قاعدته طول ضلع قاعدته هرم رباÚ قائم هرم رباÚ قائم هرم رباÚ قائم هرم رباÚ قائم õ ج ب ا م ))))2222((((

أوال أوال أوال قياس زاوية ميل حرفه ا±انe Û القاعدة قياس زاوية ميل حرفه ا±انe Û القاعدة قياس زاوية ميل حرفه ا±انe Û القاعدة قياس زاوية ميل حرفه ا±انe Û القاعدة : : : : أوال

ثانيا ثانيا ثانيا قياس زاوية ميل وجهه ا±انe Û القاعدة قياس زاوية ميل وجهه ا±انe Û القاعدة قياس زاوية ميل وجهه ا±انe Û القاعدة قياس زاوية ميل وجهه ا±انe Û القاعدة : : : : ثانيا

::::أثبت أن أثبت أن أثبت أن أثبت أن سم سم سم سم aaaa مكعب طول حرفه يساوى مكعب طول حرفه يساوى مكعب طول حرفه يساوى مكعب طول حرفه يساوى////õ ////ج ////ب////ا õ ج ب ا ))))@@@@((((

أوال أوال أوال وأحسب مساحة سطحه وأحسب مساحة سطحه وأحسب مساحة سطحه وأحسب مساحة سطحه . . . . متساوى األضالع متساوى األضالع متساوى األضالع متساوى األضالع ج ا ////õا;ثلث ا;ثلث ا;ثلث ا;ثلث : : : : أوال

ثانيا ثانيا ثانيا /////ج ب ⊥⊥⊥⊥ / ب ا : : : : ثانيا

ثاwا ثاwا ثاwا /ب ////õ ⊥⊥⊥⊥ /ج ا : : : : ثاwا

))))DDDD(((( ج با م õ قائم طول ضلع قاعدته Úقائم طول ضلع قاعدته هرم ربا Úقائم طول ضلع قاعدته هرم ربا Úقائم طول ضلع قاعدته هرم ربا Úالقاعدة يساوى ب ا م سم وظل زاوية ميل الوجه سم وظل زاوية ميل الوجه سم وظل زاوية ميل الوجه سم وظل زاوية ميل الوجه@�@�@�@�هرم ربا e القاعدة يساوى e القاعدة يساوى e القاعدة يساوى e $ ٣؛

أوال أوال أوال ب ا مأوجد ارتفاع اÁرم وªذلك مساحة الوجه أوجد ارتفاع اÁرم وªذلك مساحة الوجه أوجد ارتفاع اÁرم وªذلك مساحة الوجه أوجد ارتفاع اÁرم وªذلك مساحة الوجه : : : : أوال

ثانيا ثانيا ثانيا . . . . متعامدان متعامدان متعامدان متعامدان õ م ب ، ، ، ، ج ا مأثبت أن ا;ستوي أثبت أن ا;ستوي أثبت أن ا;ستوي أثبت أن ا;ستوي : : : : ثانيا

))))aaaa(((( ج ب ا t مثلث قائم الزاويةt مثلث قائم الزاويةt مثلث قائم الزاويةt مستوى ا;ثلث /م ا ، ، ، ،ب مثلث قائم الزاوية e مستوى ا;ثلث عمود e مستوى ا;ثلث عمود e مستوى ا;ثلث عمود e اثبت أن اثبت أن اثبت أن اثبت أن . . . . عمود : : : : /ج ب ⊥⊥⊥⊥ /بم م م م ] ] ] ] ��[[[[ ما 2222[ = ج مفأثبت أن فأثبت أن فأثبت أن فأثبت أن DDDD@D@D@D@D = ) ) ) ) ب ج ا( ( ( ( ق= ) ) ) ) ب م ا( ( ( ( قإذا Kن إذا Kن إذا Kن إذا Kن ] ] ] ] ��[[[[

))))kkkk(((( قاعدته ج ب ا م Öقاعدته هرم ثال Öقاعدته هرم ثال Öقاعدته هرم ثال Öمثلث متساوى األضالع طول ضلعه مثلث متساوى األضالع طول ضلعه مثلث متساوى األضالع طول ضلعه مثلث متساوى األضالع طول ضلعه ج ب ا هرم ثال�m�m�m�m 2222 : : : : �� = ا س : : : : م س حيث حيث حيث حيث /ا م ي س، ، ، ، سم سم سم سم متساوى الساق ثم أوجد متساوى الساق ثم أوجد متساوى الساق ثم أوجد متساوى الساق ثم أوجد س ص عأثبت أن مثلث أثبت أن مثلث أثبت أن مثلث أثبت أن مثلث . . . . ع t t t t / ج م ، ، ، ، صt t t t /م بورسم مستوى يوازى القاعدة فقطع ورسم مستوى يوازى القاعدة فقطع ورسم مستوى يوازى القاعدة فقطع ورسم مستوى يوازى القاعدة فقطع ....سطحه سطحه سطحه سطحه مساحة مساحة مساحة مساحة

))))mmmm(((( ج با õ فيه Öفيه هرم ثال Öفيه هرم ثال Öفيه هرم ثال Öج = باهرم ثال õ ، ، ، ، قطة يمر يمر يمر يمر سس رسم مستوى رسم مستوى رسم مستوى رسم مستوى . . . . / ج ب منتصف منتصف منتصف منتصف سyقطةباyقطةباyقطةباyج ، ، ، ، / ب ا ويوازى ¡ من ويوازى ¡ من ويوازى ¡ من ويوازى ¡ من س با õ/@ . . . . مع مع مع مع ك عس ص اثبت أن الش¬اثبت أن الش¬اثبت أن الش¬اثبت أن الش¬ . . . . ك t t t t/ ج اوقطع وقطع وقطع وقطع ع õ / t t t t ا وقطعوقطعوقطعوقطع ، ، ، ، ص õ / t t t t بفقطع فقطع فقطع فقطع

))))oooo(((( ا;ستوى ج ،،،، ب ،،،، ا t ا;ستوى ثالث نقط t ا;ستوى ثالث نقط t ا;ستوى ثالث نقط t استقامة واحدة س سثالث نقط e استقامة واحدة ليست e استقامة واحدة ليست e استقامة واحدة ليست e الث . . . . ليستwالث رسمت القطع اwالث رسمت القطع اwالث رسمت القطع اwع ج ،،،، /ب ص ،،،، /سارسمت القطع ا/ e عمودية e عمودية e عمودية e جهة واحدة منه . . . . سس عمودية Àجهة واحدة منه و Àجهة واحدة منه و Àجهة واحدة منه و Àن . . . . وjن وjن وjن وjس او = aaaa سس ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى /صس فإذا قطع فإذا قطع فإذا قطع فإذا قطع ، ، ، ، سم سم سم سم @@@@ = ع ج =ب ص ، ، ، ، سم سم سم سمt t t t õ /ج ب OOOOOOOO /ه õ فأثبت أن فأثبت أن فأثبت أن فأثبت أن . . . . ه t t t t س ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى / س عوقطع وقطع وقطع وقطع ))))�E�E�E�E ( ( ( ( ج ب ا م Öهرم ثال Öهرم ثال Öهرم ثال Öاألحرف ع، ، ، ، ص ، ، ، ، س ....هرم ثال e األحرف ثالث نقط e األحرف ثالث نقط e األحرف ثالث نقط e ال�تيب �يث /ج م، ، ، ، /م ب، ، ، ، /ام ثالث نقط e ال�تيب �يث e ال�تيب �يث e ال�تيب �يث e = =

. . . . t لt لt لt ل/ ص ع \قطع \قطع \قطع \قطع / م قورسم ورسم ورسم ورسم /ج ب ي ق و¢ذا فرضت و¢ذا فرضت و¢ذا فرضت و¢ذا فرضت ج ب ا ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى OO@OO@OO@OO@ س ص عأثبت أن ا;ستوى أثبت أن ا;ستوى أثبت أن ا;ستوى أثبت أن ا;ستوى . . . . ٣؛ ! = . . . . ل ل ل ل س @@@@ = ق ا: : : : فأثبت أن فأثبت أن فأثبت أن فأثبت أن سس أربع نقط ليست t مستوى واحد ، رسم ا;ستوى أربع نقط ليست t مستوى واحد ، رسم ا;ستوى أربع نقط ليست t مستوى واحد ، رسم ا;ستوى أربع نقط ليست t مستوى واحد ، رسم ا;ستوى õ ، ، ، ، ج ، ، ، ، ب ، ، ، ، ا ))))��((((

قاطعا قاطعا قاطعا ص ، ، ، ، سط ط ط ط t اyق t اyق t اyق t اyق/õ ا ، ، ، ، /ا ج ، ، ، ، /اب قاطعا

م س س ا

صم ب ص

عم ج ع



١٩

. . . . õ ب ج ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى OO@OO@OO@OO@ سس أثبت أن ا;ستوى أثبت أن ا;ستوى أثبت أن ا;ستوى أثبت أن ا;ستوى ٤؛ ! = = =: : : : e ال�تيب �يث Kن e ال�تيب �يث Kن e ال�تيب �يث Kن e ال�تيب �يث Kن ع، ، ، ، . . . . س ص ع سم فأوجد مساحة سطح ا;ثلث سم فأوجد مساحة سطح ا;ثلث سم فأوجد مساحة سطح ا;ثلث سم فأوجد مساحة سطح ا;ثلث õ = �E�E�E�E ب سم ، سم ، سم ، سم ، õ = �a�a�a�a ج سم ، سم ، سم ، سم ، �� = ج بو¢ذا Kن و¢ذا Kن و¢ذا Kن و¢ذا Kن

رسم رسم رسم رسم ، ، ، ، سم سم سم سم õ = �E�E�E�E ]2222 ب�يث �يث �يث �يث ج ب اا;ثلث ا;ثلث ا;ثلث ا;ثلث مستوى مستوى مستوى مستوى ⊥⊥⊥⊥ / õ برسم رسم رسم رسم ، ، ، ، سم سم سم سم �E�E�E�E =ب ا ، ، ، ، DDDD2E2E2E2E = ) ) ) ) ؟ا ( ( ( (قمثلث فيه مثلث فيه مثلث فيه مثلث فيه ج ب ا ) ) ) ) ��(((( . . . . ج ب ا ، ، ، ، ج ا õ ثم أحسب قياس الزاوية الزوجية ب ا;ستوي ثم أحسب قياس الزاوية الزوجية ب ا;ستوي ثم أحسب قياس الزاوية الزوجية ب ا;ستوي ثم أحسب قياس الزاوية الزوجية ب ا;ستوي / ج ا ⊥⊥⊥⊥/ ه õ أثبت أنأثبت أنأثبت أنأثبت أن . . . . ه يقطعه t يقطعه t يقطعه t يقطعه t/ج ا ⊥⊥⊥⊥ / ه ب

/ج ا ⊥⊥⊥⊥ / نبرسم رسم رسم رسم . . . . سم سم سم سم �� =ب ا ، ، ، ، DDDDaEaEaEaE = ) ) ) ) ؟ا (((( ق مثلث فيه مثلث فيه مثلث فيه مثلث فيه ج ب ا ) ) ) ) �2�2�2�2(((( t ويقطعها t ويقطعها t ويقطعها t ن ج ب اا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ⊥⊥⊥⊥ / ه ب ،،،، نويقطعهاjن وjن وjن وjه بو = aaaa سم سم سم سم . . . .

أوال أوال أوال /ج ا ⊥⊥⊥⊥ / ه ن: : : : أثبت أن أثبت أن أثبت أن أثبت أن : : : : أوال

ثانيا ثانيا ثانيا ) ) ) )ه – جا – ب ال ( ( ( ( قأوجد أوجد أوجد أوجد : : : : ثانيا

))))�@�@�@�@(((( õ فيه ا ب ج Öفيه هرم ثال Öفيه هرم ثال Öفيه هرم ثال Öهرم ثال õ ا/ f e عمودية f e عمودية f e عمودية f e ه ي ب ج حيث حيث حيث حيث /عع ب ج /ا هرسمت رسمت رسمت رسمت . . . . /ا ج ، ، ، ، /اب عمودية/ . . . . ا ه õ ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى عع/ ب ج: : : : اثبت أن اثبت أن اثبت أن اثبت أن

))))�D�D�D�D ( ( ( ( ج با õ فيه Öفيه هرم ثال Öفيه هرم ثال Öفيه هرم ثال Öج با;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ⊥⊥⊥⊥ / باهرم ثال õ . . . . جاا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ⊥⊥⊥⊥ / ه برسم رسم رسم رسم õ . . . . أثبت أن أثبت أن أثبت أن أثبت أن : : : :

أوال أوال أوال ه ب ا ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ⊥⊥⊥⊥ / õ ج: : : : أوال

ثانيا ثانيا ثانيا . . . . متعامدان متعامدان متعامدان متعامدان ه با ، ، ، ، ا õ جا;ستويان ا;ستويان ا;ستويان ا;ستويان : : : : ثانيا

))))�a�a�a�a ( ( ( ( ا;ستوى مرمرمرمر م t ز دائرة تقعª ا;ستوى t ز دائرة تقعª ا;ستوى t ز دائرة تقعª ا;ستوى t ز دائرة تقعªا[ائرة / ب ا ، ، ، ،س س t ا[ائرة وتر t ا[ائرة وتر t ا[ائرة وتر t مرسم رسم رسم رسم ، ، ، ، وتر õ / ⊥⊥⊥⊥ نت سسا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوىjنتوjنتوjنتوjبامنتصف منتصف منتصف منتصف ج و / . . . .

أوال أوال أوال م ج õا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ⊥⊥⊥⊥ / با: : : : أثبت أن أثبت أن أثبت أن أثبت أن : : : : أوال

ثانيا ثانيا ثانيا . . . . با õا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ⊥⊥⊥⊥ / ه م فأثبت أن فأثبت أن فأثبت أن فأثبت أن / ج õ ⊥⊥⊥⊥ / ه مإذا رسم إذا رسم إذا رسم إذا رسم : : : : ثانيا

ثاwا ثاwا ثاwا / ج õفأوجد طول فأوجد طول فأوجد طول فأوجد طول سم سم سم سم ��[ DDDD = ه م وjن وjن وjن وjن �� : : : : �� بنسبة بنسبة بنسبة بنسبة /ج õ تقسمتقسمتقسمتقسم ه إذا Kنتإذا Kنتإذا Kنتإذا Kنت: : : : ثاwا

))))�k�k�k�k(((( ب جم ا õ قائم قاعدته Úقائم قاعدته هرم ربا Úقائم قاعدته هرم ربا Úقائم قاعدته هرم ربا Úب جا هرم ربا õ ب ا �يث �يث �يث �يث= aaaa ]�� Ûسم ، طول حرفه ا±ان Ûسم ، طول حرفه ا±ان Ûسم ، طول حرفه ا±ان Ûأوجد أوجد أوجد أوجد . . . . سم سم سم سم �� = سم ، طول حرفه ا±ان : : : : ) ) ) )

أوال أوال أوال ....طول ارتفاع اÁرم طول ارتفاع اÁرم طول ارتفاع اÁرم طول ارتفاع اÁرم ) ) ) ) أوال

) ) ) ) ثانيا ثانيا ثانيا . . . .õ ب جاقاعدة قاعدة قاعدة قاعدة e مستوى ال e مستوى ال e مستوى ال e مستوى ال/م بقياس زاوية ميل قياس زاوية ميل قياس زاوية ميل قياس زاوية ميل ) ) ) ) ثانيا

) ) ) ) ثاwا ثاwا ثاwا . . . . õ ب جا ، ، ، ، م ا ب ::::ظل الزاوية ب ا;ستوي ظل الزاوية ب ا;ستوي ظل الزاوية ب ا;ستوي ظل الزاوية ب ا;ستوي ) ) ) ) ثاwا


، ، ، ، aEaEaEaE = �� ]2222 جا جا جا جا �� × × × × �� =إ ا ج ) ) ) ) نقطة تقاطع قطرى ا;ع نقطة تقاطع قطرى ا;ع نقطة تقاطع قطرى ا;ع نقطة تقاطع قطرى ا;ع محيث حيث حيث حيث ( ( ( ( م قائم الزاوية t قائم الزاوية t قائم الزاوية t قائم الزاوية t مم ا ب م ))))��((((

õ//// õ ////ب ب ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى خ /õب ولكن ولكن ولكن ولكن ج ////ج ////ا اا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى عع /õ ب ، ، ، ، �� = aEaEaEaE جتا جتا جتا جتا �� × × × × �� = õ ب aEaEaEaE ظا ظا ظا ظا õ ج= 2E2E2E2E ظا ظا ظا ظا õ ب= õا ، ، ، ، /عع ب ج /õ إ ا/ عع ب ج /õ مب م ) ) ) ) ��(((())))2222 ( ( ( ( mmmm//// DDDDD2D2D2D2 ، ، ، ، @@@@//// DDDDa�a�a�a� ////õ@õ بعع / ا جبت أن بت أن بت أن بت أن ثم تثثم تثثم تثثم تث �� سم سم سم سم�m�m�m�m ]2222 = فتكون مساحته فتكون مساحته فتكون مساحته فتكون مساحته ��[ aaaa = متساوى األضالع وطول ضلعه متساوى األضالع وطول ضلعه متساوى األضالع وطول ضلعه متساوى األضالع وطول ضلعه ////مم ا ج ج ))))@@@@((((

))))DDDD ( ( ( ( ونثبت أن ظا ونثبت أن ظا ونثبت أن ظا ونثبت أن ظا /م ه ونصل ونصل ونصل ونصل /عع ا ب/ ن هنرسم نرسم نرسم نرسم ) ) ) )رم ( ( ( ( م ن ومنها ومنها ومنها ومنها ٣؛ $ = ) ) ) ) ظم ه نÁرم ارتفاع اÁرم ارتفاع اÁرم ارتفاع اÁارتفاع ا ( ( ( (= �a�a�a�a سم سم سم سم ،،،،

م ا ج وهو Æتوى t ا;ستوى وهو Æتوى t ا;ستوى وهو Æتوى t ا;ستوى وهو Æتوى t ا;ستوى õ م ب ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى عع/ ا ج ، ، ، ، �� سم سم سم سمE�@E�@E�@E@� =م ه × × × × با × × × × ٢؛ ! = ) ) ) ) مم ا ب ه( ( ( ( مـ مـ مـ مـ ))))aaaa(((( ا م 2222[ = ل ل ل ل 2222[ =م ج ل ، ل ، ل ، ل ، ��[ =ئ ا ج ل ل ل ل =ب ج = ا ب = م ا ، ، ، ، /عع ب ج/ م بئ / ب ج عع /ب ا ))))kkkk(((( س ع = ص ع = س ص نثبت توازى األضالع ا;تناظرة ومن ا�ناسب ينتج أن نثبت توازى األضالع ا;تناظرة ومن ا�ناسب ينتج أن نثبت توازى األضالع ا;تناظرة ومن ا�ناسب ينتج أن نثبت توازى األضالع ا;تناظرة ومن ا�ناسب ينتج أن= kkkk~~~~�� ، ، ، ، مساحته مساحته مساحته مساحته = ��~~~~@D@D@D@D ))))mmmm(((( س ك/ OOOOOOOO ذلك /ا بªذلك ويساوى نصفه وªذلك ويساوى نصفه وªذلك ويساوى نصفه وªس ك= س ص متوازى ثم نثبت متوازى ثم نثبت متوازى ثم نثبت متوازى ثم نثبت س ص ع ك الش¬ الش¬ الش¬ الش¬ إ / ص ع ويساوى نصفه و

سا اب

ص ا ج ا

ع ا õ ا



٢٠

))))oooo ( ( ( ( ب ص/ OOOOOOOO ذلك /ا سªذلك نعمل منها تناسب وªذلك نعمل منها تناسب وªذلك نعمل منها تناسب وªج ع نعمل منها تناسب و/ OOOOOOOO /ا س ونعمل منها تناسب وينتج من ا�ناسب ونعمل منها تناسب وينتج من ا�ناسب ونعمل منها تناسب وينتج من ا�ناسب ونعمل منها تناسب وينتج من ا�ناسب õ ه/ OOOOOOOO ب ج/ ))))�E�E�E�E(((( ئ ا�وازى ا�وازى ا�وازى ا�وازى ثم ثم ثم ثم توازى توازى توازى توازى ئا�ناسب ا�ناسب ا�ناسب ا�ناسب توازى ا;ستوي توازى ا;ستوي توازى ا;ستوي ل ل ل لس ثم ثم ثم ثم توازى ا;ستوي / OOOOOOOO يؤدى للمطلوب يؤدى للمطلوب يؤدى للمطلوب يؤدى للمطلوب/ا ق

�� سم سم سم سمoaoaoaoa =) ) ) ) د د د د مم ب ج( ( ( ( ا;طلوب األول ثم مـ ا;طلوب األول ثم مـ ا;طلوب األول ثم مـ ا;طلوب األول ثم مـ ئ / د د د دج // // // // /ص ع ، ، ، ، /ب ج // // // // /ص سمن ا�ناسب من ا�ناسب من ا�ناسب من ا�ناسب ))))��((((

�� سم سم سم سم@�@�@�@� = oaoaoaoa × × × × ٤؛ ! = ) ) ) ) مم س ص ع( ( ( ( مـ مـ مـ مـ

aEaEaEaE DDDD = ) ) ) ) ب– / ا ج– õ ( ( ( ( ق= ) ) ) ) ظه ب õ ( ( ( ( ق ، ، ، ، 2E2E2E2E = �E�E�E�E جا جا جا جا �E�E�E�E =ب ه ))))��(((( 2E2E2E2E DDDD = ) ) ) ) ب ن ه ظ( ( ( ( ق لب األول مسقط ومائل والطلب اwا� لب األول مسقط ومائل والطلب اwا� لب األول مسقط ومائل والطلب اwا� لب األول مسقط ومائل والطلب اwا� الطالطالطالط: : : : السابقة السابقة السابقة السابقة ) ) ) ) ��((((نفس فكرة ا;سألة نفس فكرة ا;سألة نفس فكرة ا;سألة نفس فكرة ا;سألة ))))�2�2�2�2(((())))�@�@�@�@(((( õها ، ، ، ، / ا / e عموديان e عموديان e عموديان e ه اا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى عع /جب ئ /جب عموديان õ ))))�D�D�D�D(((( هب ، ، ، ، / با / e عموديان e عموديان e عموديان e جب عموديان õ/ جب ئ õ/ جب، ، ، ، ه ا ب ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى عع õ/ جا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى ا;ستوى خ õ ينتج ا;طلوب ينتج ا;طلوب ينتج ا;طلوب ينتج ا;طلوب ا

))))�a�a�a�a(((( من عع/ا ب f من f من f من f م õ/ ، ، ، ، من عع /م ه ثم ثم ثم ثم /م ج f من f من f من f ثم ثم ثم ثم /م ه ، ، ، ، /ا ب ) ) ) ) ه = �� ) ) ) )م ه õ × × × × ه ج ئ ع ج= �D�D�D�D سم سم سم سم ))))�k�k�k�k(((( م ن ¤د ¤د ¤د ¤د مم م ا ن من من من من /م ن ، {سب طول ، {سب طول ، {سب طول ، {سب طول سم سم سم سم�� =طول قطر ا;ربع طول قطر ا;ربع طول قطر ا;ربع طول قطر ا;ربع= aaaa ]2222 ، ز ا;ربعªز ا;ربع ، سم حيث ن مرªز ا;ربع ، سم حيث ن مرªز ا;ربع ، سم حيث ن مرªسم حيث ن مر

e زوايا ميل األحرف ا±انبيةe زوايا ميل األحرف ا±انبيةe زوايا ميل األحرف ا±انبيةe منها زوايا ميل األحرف ا±انبية Þمنها القاعدة متساوية و Þمنها القاعدة متساوية و Þمنها القاعدة متساوية و Þم ب ن ظ ( ( ( ( ق= القاعدة متساوية و ( ( ( ( = aEaEaEaE DDDD ، ، ، ، م ه ونصل ونصل ونصل ونصل /عع ا ب /ن هنرسم نرسم نرسم نرسم/ m@m@m@m//// akakakak DDDD@ = ) ) ) ) م ه ن ظ ( ( ( ( ئ ق aaaa[ = ) ) ) ) م ه ن ظ( ( ( ( حيث ظا حيث ظا حيث ظا حيث ظا ) ) ) ) ج– ا ب –ال م ( ( ( ( ق= ) ) ) ) م ه ن ظ ( ( ( ( قو{سب و{سب و{سب و{سب



٢١

@ @@ómbäië@óöbäic@OòßbÈÛa@òíìãbrÛa@pbjÛb�ë@òjÜ�@ @

@áØîÛg@æbznßüa@òÜ÷�c@åÇ@òibu⁄a@ÝjÓ@òíŠë‹šë@ñ‡îÐß@|öb—ã@Z@ @

) ) ) )��( ( ( ( @@@@òíëŠë@åÈànië@ÝßbØÛbi@òÜ÷�þa@òÓŠë@c‹ÓcóÜÇ@òßýÇ@Éšë@é×�n�@ô‰Ûa@ôŠbîn‚þa@Þaû�Ûa@N@ @

) ) ) )��( ( ( ( @@@òîãbznßüa@@òÓŠìÛa@kîm�i@‡îÔnm@üë@òÛìè�@ÝÓþa@¶g@Ýè�þa@åß@EbuŠ‡nß@òÜ÷�þa@Ý¢@c‡icN@ @

) ) ) )2222( ( ( ( @@ibug@ÝÈuc@ò×Ý@@òîi‹ÈÛa@òÌÜÛbi@Þaû�Ûa@áÓŠ@òibn×@Éß@ñ‡í‡u@òzÐ–@òía‡i@óÏ@‡í‡u@Þaû�@ @

@ @))))@knØã@Eýrß@::::@Þëþa@Þaû�Ûa@òibug@((((@@ @

) ) ) )@@@@( ( ( ( @@@Á£@bèäîi@Ý—Ðm@æc@óÜÇ@òîÛbnnß@æìØm@‡yaìÛa@Þaû�Ûa@pa‹ÔÏ@N@ @

) ) ) )DDDD( ( ( ( @@@Þaû�ÜÛ@˜ƒÜß@òibn×@Ý›Ðí]]]]@ìç@bà×@éÜÔã@÷îÛë@[[[[@éîÏ@pbjÜĐÛa@òÏb×@‡í‡¥ë@@N@ @

) ) ) )aaaa( ( ( ( @@@bèîÏ@�ØÐnÛa@oÜuc@ónÛa@òîö�§a@âbßc@dĐ‚@òßýÇë@bènibug@åß@oîènãa@ónÛa@òîö�§a@âbßc@|–@òßýÇ@Éš@ @

@ @òÈua‹¾a@‡äÇ@bça‹m@óny@ÙÛˆë@@Þaû�Ûa@óÏ@òiìÜĐß@òîö�u@ôc@ó�äm@ýÏN@ @

) ) ) )kkkk( ( ( ( @@m@ü‡ÔÐ@¶g@ÝÔnãc@Ýi@�ØÐnÛa@óÏ@Ea�j×@EbnÓë@òÜ÷�c@åÇ@òibu⁄a@åß@oîènãc@aˆg@óny@ô‹‚c@@òÜ÷�þa@òÏb×@ @

@ @ÙÛˆë@ò×ë�¾a@õa�uÿÛ@ÉuŠdÏ@@Ùí‡í@µi@åß@æbznßüa@oÓë@l‹�m@â‡Ç@Ò‡èiN@ @

) ) ) )mmmm( ( ( ( @@@ôŠbîn‚üa@Þaû�Ûa@Ý¥@æc@æŁa@ÙäØº@òÜßb×@òÈua‹ß@bènÈua‹ßë@æbznßüa@òÜ÷�c@Ý×@Ýy@åß@õbènãüa@‡Èi@N@ @

) ) ) )oooo( ( ( ( @@@éÈÐã@åß@‹r×c@êŠ‹š@ÙÛ‰Ï@æbznßüa@õbäqc@òvînäÛa@óÏ@‹ØÐm@ü@N@ @

) ) ) )�E�E�E�E( ( ( ( @@@@ÙÛ@ë‡Ç@�×c@ìèÏ@ÙjÜÓ@¶g@EbÔí‹�@ÒìƒÜÛ@ÝÈ¤@üë@éîÜÇ@Ý×ìnÏ@�a@óÜÇ@óÓbjÛaë@ÙîÜÇ@bß@oí†c@‡ÔÛ@N@ @

@ @@ @

�a@æˆhi@ÖìÐnÛaë@�bväÛbi@ÉîàvÜÛ@ómaìÇ†@˜Ûb‚@Éß@@ @

ﻢﻴﻫﺍﺮﺑﺇ ﻰﻴﺤﻳ ﻦﻳﺪﻟﺍ ﻰّ ﻠﻋ / // / ﺫﺎﺘﺳﻸﻟ … ·...

Documents