ﺕﺎﺴﻴﻤﳋﺍ ﺔﺑﺎﻴﻧ ﻲﺳﻮﺴﻟﺍ ﺭﺎﺘﺨﳌﺍ ﺎﺛ...

الرياضيات : مادة علي الشريف : األستاذ

نيابة اخلميسات .املختار السوسي .ثا[email protected]

أنشطة لبناء الدرس

)مفهوم العبارة ( :1نشاط رقم في الخانة " ×" لعالمة انقل الجدول التالي إلى دفترك ثم ضع ا ) 1

:المناسبة خطأ صحيح

4آل عدد زوجي قابل للقسمة على مجموع عددين فرديين هو عدد زوجي

عدد جذري 2 اإلزاحة تحافظ على المسافات

دالة زوجية2xالدالة هل توجد من بين الجمل الواردة في الجدول أعاله جمل صحيحة و ) 2

.خاطئة في آن واحد ___________________________________________

) نفي عبارة ( :2نشاط رقم أساسه أن آل ما قالته فاطمة ينفيه , في حوار جرى بين فاطمة و أحمد

آنقل الجدول التالي إلى دفترك ثم , أحمد و آل ما قاله أحمد تنفيه فاطمة :آملئه

حكمك على ماقاله أحمد ماقالته فاطمة قول فاطمة

حكمك على قول أحمد

2 IN∈ 7 2 5+ ≺

114516 4مضاعف ل

( )22 2− = −

____________________________________________ )عطف و فصل عبارتين ( :3نشاط رقم

آنقل التعابير التالية إلى دفترك ثم أتمم الفراغات بآستعمال إحدى أداتي لكي تصبح عبارات صحيحة معلال " و " أو " أو"الربط التاليتين

:جوابك في آل حالة 1 ( ( 1) 0x x − 1x يعني أ ن = =................ 0x = 2 ( ABCD معين يعني أن AB DC=.............. AB BC= 3 ( ABC متساوي األضالع يعني أنAB AC=..... AB BC= x لدينا IR من y وxليكن ) 4 y≤ يعني أن x y≺... x y= x لدينا IR من xليكن ) 5 x=....... x x= −.

1x لدينا IR من xن ليك ) 6 1x يعني أن ≻ ≺....... 1x −

1x لدينا IR من xليكن ) 7 1x يعني أن ≤ ≥....... 1x ≤ − ___________________________________________ ) آستلزام و تكافؤ عبارتين ( :4نشاط رقم

و غير متساوي الساقين نعتبر A مثلثا قائم الزاوية في ABCليكن :العبارات التالية

: P " ABCية في النقطة مثلث قائم الزاوA " : Q 2 2 2" "BC AB AC= + :R ABC مثلث متساوي الساقين و قائم الزاوية في النقطة A" :S " . 0"AB AC =.

A مثلث قائم الزاوية في النقطة ABCا آان إذ" لدينا

2 فإن 2 2" "BC AB AC= . عبارة صحيحة + Q صحيحة فإن العبارة Pالعبارةإذا آانت " نعبر عن ذلك بالقول

Q تستلزم العبارة Pصحيحة و نقول آذلك العبارة P: و نكتب Q⇒.

:هل اإلستلزامات التالية صحيحة ) 1 *Q P⇒ * P R⇒ * S P⇒ * P S⇒ كافئ العبارة تA مثلث قائم الزاوية في النقطة ABC(لدينا ) 2

2 2 2" "BC AB AC= +( . Q تكافئ العبارة Pنقول في هذه الحالة العبارة

P: و نكتب Q⇔. :حدد من بين العبارات التالية الصحيحة منها

. فردي n + 1 ⇔ زوجي IN : n من n ليكن –أ )IR : 2 من xليكن -ب 1)x = ⇔ 1x =.

) : IR * من xليكن -ج 0)x ⇔ 1( 0)x≺.

] منتصف I –د ]AB ⇔ 0IA BI+ =. ___________________________________________

) الدالة العبارية و المكممات ( :5نشاط رقم )2: نعتبر التعبير التالي ) ; 0x IR x x∈ − ≥

2xمن أجل ) 1 2)2 لدينا = 2 0)− . عبارة صحيحة ≤

من أجل 2

x 1 لدينا =

2

02 2

1 1 − ≥

عبارة خاطئة

2 هل التعبير 0x x− : صحيح من أجل ≤

1x) أ = 1) ب , −3

x 3x )ج , = 2) د , =5

x =.

)2التعبير ) ; 0x IR x x∈ − x يصبح صحيحا من أجل بعض قيم ≤ .هذا التعبير يسمى دالة عبارية . و خاطئا من أجل قيم أخرى IRمن

___________________________________________ )مكمم الكوني ال ( :6نشاط رقم

)2 مجموعة حلول المتراجحة Eلتكن ) ; 0x IR x x∈ − ≥ Eحدد المجموعة ) 1

2 لدينا E منxلكل 0x x− عبارة صحيحة ≤)2نكتب ) ; 0x E x x∀ ∈ − E : 2من x و نقرأ لكل ≤ 0x x− ≥

صحيحتان ؟ هل العبارتان التاليتان) 2 *2( ) ; 0x IR x x∀ ∈ − ≥. *2( ) ; 0x Q x x∀ ∈ − ≥2( ) ; 0x Q x x∀ ∈ − ≥.

___________________________________________ )المكمم الوجودي ( :7نشاط رقم

2 تحقق المتراجحة Qتوجد عناصر من 0x x− ≥.

3مثال 2

x ;2 : نعبر عن هذا بالكتابة = 0x Q x x∃ ∈ − ≥

هل العبارتان التاليتان صحيحتان ؟ *( ) 2; 0x IN x x∃ ∈ − ≥

*( ) 2; 3 0x Q x∃ ∈ − =

متارين و أنشطة درس: مبادئ يف املنطق http://www.9alami.info



) اإلستدالل باإلستلزام المضاد للعكس (:8نشاط رقم Pأآتب العبارتين , عبارتين Q وPلتكن ) 1 Q⇒ و Q P⇒

ماذا تستنتج ؟ . بآستعمال عمليتي النفي و الفصل المطقيين فقط Pللبرهنة على أن : عمليا Q⇒ عبارة صحيحة نبين في بعض

Qاألحيان أن P⇒ هذا النوع من اإلستدالل يسمى باإلستلزام المضاد ) .آنتبه إلى ترتيب العبارات ( للعكس

: نعتبر العبارتين . عددا صحيحا طبيعيا nليكن ) 2: P " n و " عدد زوجي: Q " 2n عدد زوجي "

P: بين أن ) أ Q⇒. Qماذا يمكنك أن تقول عن اإلستلزام ) ب P⇒ ؟ . عدد فردي n عددا فرديا فإن 2nآستنتج أنه إذا آان ) ج :بين أن . بآستعمال اإلستدالل باإلستلزام المضاد للعكس ) 3)) أ )2 2 3 0 1a a a+ − ⟩ ⇒ . عدد حقيقي موجب a حيث ⟨

1) ب 11 1

a ba ba b+ + ≠ ⇒ ⇒≠ − −

عنصران من bو a حيث

{ }1IR −. ____________________________________________

)اإلستدالل بالتكافؤ ( :9نشاط رقم بطريقة مسترسلة " ⇔" نقترح عليك برهانين آ ستعمل فيهما الرمز

ليه مع إعطاء تعليل و المطلوب منك التعرف ع. أحد البرهانين خاطئ . .لجوابك

2 : لدينا IR من xليكن ) 1 23 2 3 4x x+ ≥ ⇔ + ≥ 2 1x⇔ ≥

1 x⇔ ≥

1 : لدينا IR منxليكن ) 2 12 2 0x xx x

+ ≥ ⇔ + − ≥

2 1 2 0x xx

+ −⇔ ≥

( )210

xx−

⇔ ≥

___________________________________________ )اإلستدالل بالخلف ( :10نشاط رقم Q(ارتين بحيث عب Q وPلتكن ) 1 P⇒ و ( 7Q P⇒

ماذا يمكنك أن تقول عن قيمة حقيقة العبارة , عبارة خاطئة Qإذاآانت P؟

نفترض أنها خاطئة, صحيحة Qللبرهنة على أن عبارة : عمليا Q: ثم نبين أن ) صحيحة Qأي ( P⇒ و Q P⇒ و هذا تناقض .هذا النوع من اإلستدالل يسمى اإلستدالل بالخلف . 2: عددين صحيحين بحيث b و aليكن ) 2 0a b+ =.

0b " العبارة Qو " عدد ال جذري 2" العبارة Pلتكن =" . عبارة خاطئة P عبارة خاطئة فإن Qبين أنه إذا آانت ) أ

؟ Pما هي قيمة حقيقة العبارة ) ب 0b: آستنتج أن ) ج =.

عددين b و aأنه إذا آان , 2بين بآستعمال نفس طريقة السؤال

متجهتين غير مستقيميتين v و u حقيقين و _.: بحيث . 0a u b v+ 0a فإن = 0b و = =

.___________________________________________ )اإلستدالل بفصل الحاالت ( :11نشاط رقم

: الدالة العبارية P عددا صحيحا طبيعيا و nليكن "( 1)n n n: عدد زوجي + IN∈. " :أنقل و إمالء الجدول التالي ) 1

n 1 2 3 4 5 6 n(n+1)

: في الحاالت المذآورة في الجدول Pثم حدد قيمة العبارة 2n نفترض أن) أ ) 2 k= حيث k عدد صحيح طبيعي .

)أ حسب 1)n n .P ثم آستنتج قيمة حقيقة الدالة العبارية k بداللة +2نفترض أن ) ب 1n k= . عدد صحيح طبيعي k حيث +

)أحسب 1)n n .Pقيمة حقيقة الدالة العبارية ثم آستنتج k بداللة +

: حدد حقيقة اإلستلزام التالي ) ج )( 1)n n 2( ⇒) زوجي + 1n k= ) أو + 2n k=

: ثم آستنتج قيمة حقيقة )( 1)n n )) زوجي + )n IN∈ ⇒

____________________________________________ )اإلستدالل بالترجع ( :12نشاط رقم

)نعتبرالخاصية )P n 2n n⟩ حيث n ينتمي إلى IN.

)تحقق من أن العبارة ) 1 )0P صحيحة .

)بين أ ن ) 2 ) ( )1P n P n⇒ من n عبارة صحيحة مهما يكن+IN.

)بآستعمال اإلستدالل اإلستنتاجي آ ستنتج أ ن العبارة ) 3 )5P صحيحة___________________________________________

تمارين تطبيقية :1التمرين التطبيقي رقم

:أعط نفي آل عبارة من العبارات اآلتية محددا قيمة حقيقتها ) 1:P " 17 8 9 "+.

:Q 9 3" "4 2≠.

:R " "Qπ ∈. :حدد قيمة حقيقة العبارات اآلتية ) 2

:P 2 10"π 4" و ≤ 0π− ⟩. :Q cos( ) 1"π )cos" أو = ) 1π = −. :R " آل متوازي األضالع قطراه متعامدان هو مربع"

___________________________________________ :2التمرين التطبيقي رقم

.حدد من بين العبارات اآلتية الصحيحة منها و الخاطئة ) 1:P " 0 "IN Z IN∈ ⇒ ⊂

:Q 3" 3 3 1"2

⟩ ⇒ ⟩

:R ( )2" 3 2 5 3 2 5"+ ⟨ ⇒ + =



ت نيابة اخلميسا.املختار السوسي .ثا[email protected]

:نفس السؤال ) 2:P ( ) 2" ; 1 1"a IR a a∈ = ⇔ =

:Q ( ) 2" ; 1 3a IR a a+∈ = ⇔ ⟩

:R " 2 2 1 1 "x x x+ − = ⇔ = ___________________________________________

:3التمرين التطبيقي رقم .ستعمال المكممات عبر عن النصوص التالية بإ) 1 k يوجد على االقل عدد صحيح طبيعي n لكل عدد صحيح طبيعي -أ

kبحيث n≥ . . مربع آل عدد حقيقي موجب -ب 4عف للعدد هو مضا8 آل عدد صحيح طبيعي يقبل القسمةعلى -ج :أوجد العبارات النافية للعبارات اآلتية ) 20x( -أ ) أو ≥ ) (; 0x IR x∀ ∈ ≥.

) -ب ) ( )2; 1x IN x x∃ ∈ + ⟩. ____________________________________________

:4التمرين التطبيقي رقم I عنصرين منb وaو , Iعلى مجال دالة تزايدية قطعا f لتكن

) بحيث )f a b= و ( )f b a= بين أ ن : a b= __________________________________________

:5التمرين التطبيقي رقم عنصرين من b و a و , I دالة تزايدية قطعا على مجال fلتكن ) 1I بحيث ( )f a b= و ( )f b a= , بين أن :a b=. . عددين حقيقيين b و aليكن ) 2

1: بين أن 2

b ⟩

11 أ و 2

a b a+ ⟩ ⇒ ⟩

_____________________________________ :6التمرين التطبيقي رقم

23: نضع *IN منnلكل ) 1 2n nnA = −

IN* : 2من n تحقق من أن لكل1 2 7.3 n

n nA A+ = + .nA يقسم IN* : 7 من n بين بالترجع أ ن لكل ) 2

___________________________________________ تمارين الدعم و التثبيت المكممات -على العبارات العمليات

: 1التمرين رقم :أ عط قيمة حقيقة العبارات التالية

) على المستقيمA هي المسقط العمودي للنقطة Cالنقطة ) " 1 )BC ".A القائم الزاوية في ABCفي المثلث

22الشكل القانوني للحدودية )" 2 6 1x x− + + :

هو 23 12

2 4x

− + + "

3( ( )9 3= ) و − )( )23 9− =

4 (( )3 7 3+ ) عدد جدري π( أ و ⟨

5 ( ( )12 ) و ≠3 )4 2=

: 2التمرين رقم التي تكون فيها الدالة العبارية x مجموعة األعداد الحقيقية Sحدد

: صحيحة في آل من الحاالت التالية 1 ( (1 , 2)"u x− 1))2 و ) , (1 ))v x x− x مستقيميتان − IR∈" 2 ( 2" ; 12 0"x IR x x∈ − − =. 3 ( 3 2" ; 4 5 2 0"x IR x x x∈ − + − =.

____________________________________________ : 3التمرين رقم

.أ آتب العبارات التالية بآستعمال المكممات و الروابط المنطقية

pa يكتب a عدد جدريآل ) 1q

q* و p∈Ζحيث = IN∈

يوجد عدد صحيح طبيعي و حيد أ صغر من أ و يساوي جميع ) 2 .األعداد الصحيحة الطبيعية

بحيث p يوجد عدد صحيح نسبي و حيد IR منxمهما يكن ) 31p x p≤ ≤ +. nبحيث IN من n يوجد على االقل IR من xلكل ) 4 x≥ 4هو مضاعف للعدد 8آل عدد صحيح طبيعي يقبل القسمة على ) 52k بحيثZ منp يوجد Z من k لكل ) 6 p= 2 أ و 1k p= + 7 ( ABCث قائم الزاوية فيمثلA إ ذا و فقط إذا آان I منتصف

] القطعة ]BC يبعد بنفس المسافة عن رؤوس المثلثABC ___________________________________________

: 4التمرين رقم :ثم آ ستنتج صحتها من العبارات التالية عبارة حدد نفي آل

( ) ( ) 02x/Qx:P 2 ≠−∈∃

( ) ( )( ) 5m2n3/ZmZn:Q =−∈∃∈∀

( ) ( ) ( ) yx1x2/IRxIRy:R 2 ⟨

+∈∃∈∀

__________________________________________ )اإلستدالل بفصل الحاالت ( : 5التمرين رقم

): بين أ ن ) 1 ) 2; 1 0x IR x x∀ ∈ + + ⟩

2: المعادلة IRحل في ) 2 2 5 0x x− − + =

: حل النظمة ) 32 1 4

2 6

x y

x y

− − =

+ =.

): بين أن ) 4 )( )1 2n n n+ + ___________________________________________

) ستلزام المضاد للعكس اإلستدالل باإل( :6التمرين رقم y: بين أ ن ) 1 z⟩ 2 أ وx y z x z+ ⟩ ⇒ zو y و x حيث ⟨

أ عداد حقيقية

2 ( ( )2x11x0x:IRx +≠+⇒≠∈∀

3 ( ( )( ) 7yxyxx

43yIRy;x 2 ≠

+−

⇒−≠∈∀

4 ( )( ) ( )( )1 1 1 1x y x y x y≠ ⇒ + − ≠ − + ( ) 2,x y IR∀ ∈

املنطق يف مبادئ أنشطة درس: و متارين http://www.9alami.info



)اإلستدالل بالتكافؤ ( :7التمرين رقم . أعداد حقيقية c و b و aليكن ) 12: بين أ ن ) أ 2 2a b c ab ac bc+ + ≥ + +

3: بين أ ن ) ب 3a a b b a b+ = + ⇔ = [عددين حقيقيين من المجال b و aليكن ) 2 [1,1−

1: بين أ ن 11a bab+

− ⟨ ⟨+

.

. عددا حقيقيا xليكن ) 3

1: بين أ ن 2 1 212 5 1 3

xx

− ⟨ ⇔ ⟨ ⟨+

.

___________________________________________ )اإلستدالل بآستعمال مثال مضاد ( :8التمرين رقم

) بين أن العبارة ) 1 ) 1* ; 2x IR xx

∀ ∈ + . خاطئة ≤

: بما يلي IR العددية المعرفة علىfنعتبر الدالة ) 22( ) 2 3f x x x= − +

.ن أ ن ليست زوجية و ال فردية بي . أ عداد حقيقية d وc و b و aلتكن ) 3

بين أ ن العبارة a b

a c b dc d≠

⇒ + ≠ + ≠ . عبارة خاطئة

___________________________________________ )ستعمال اإلستلزامات المتتاليةاإلستدالل بآ( :9التمرين رقم

.ا عددا حقيقيxليكن ) 1

1: بين أ ن 12 4 13 1

xx

⟨ ⟨ ⇒ ⟨ ⟨−

) : بين أن ) 2 ) 1; 1 01

x IR x xx

+∀ ∈ = − ⇒ =+

)بين أ ن ) 3 )2 2 2( , ) ; 0 0 0a b IR a b a ∀bو ∈ + = ⇒ = = .ليكن و عددين حقيقيين موجبين ) 4

): بين أ ن )2 2 2 1x y x y x y+ + = + ⇒ = =

___________________________________________ )اإلستدالل اإلستنتاجي : ( 10تمرين رقم ال2 عددين حقيقيين بحيث b وaليكن ) 1 2 1a b+ =

2a : بين أن b+ ≤.

1a بحيث IR عنصرين من x وa ليكن ) 2 1x و ⟩ ⟨

2 : بين أ ن –أ 2 1ax x a a x x+ − ⟨ − +

2 : آ ستنتج أ ن –ب 2 1ax x a x x+ − ⟨− + +

2 : ثم آستنتج أ ن 54

ax x a+ − ⟨

تذآر أ ن 2 2

2

2 4A Ax Ax x

− = − −

) اإلستدالل بالخلف ( : 11التمرين رقم لتكن و و أ عداد حقيقية ) 1

: ن أ ن النظمة بي2 3 33 2 3

2

x zy xy z

− ⟩ − ≥ − ≤

. ليس لها حل

6: بين أ ن ) 2 Q∉ 2 و 3 Q+ ∉. 3 ( ABCD متوازي األضالع مرآزه O.

I منتصف [ ]AB و J 2: النقطة المعرفة بما يلي3

BJ BC=

) بين أ ن المستقيمين –أ )AB و ( )IJ غير متوازيين.

) بين أ ن المستقيم- ب )IJ ال يمر من O. ___________________________________________

) رجع اإلستدالل بالت( : 21التمرين رقم :*IN منnبين بالترجع أ ن لكل ) 1

) أ ( )

21nnn...321 +

=++++

) ب ( )( )

61n21nnn...21 222 ++

=+++

) ج ( ) 2

333

21nnn...21

+

=+++

4 يقسم 9: بين أ ن ) 2 6 1n n+ − ( )*n IN∀ ∈

2 يقسم 11: بين أ ن ) 3 6 53 2n n−+ ( )*n IN∀ ∈ ___________________________________________

:1مسألة رقم أزواج و قارب و احد نريد تنظيم رحالت يوجد على ضفة نهر ثالثة

ألآثر من لنقل األزواج إلى ضفة أ خرى بواسطة القارب الذي ال يسع .زوجها شخصين دون السماح ببقاء زوجة مع رجل آخر في غياب

آيف السبيل إلى ذلك ؟ ___________________________________________

:2مسألة رقم 1"أ ن قدم أ حد التالميذ برهان على : على الشكل التالي ="2

aعددين حقيقيين بحيث b و aليكن ( b= 2 إ ذنa ab= 2: و منه 2 22 2a b ab ab b ab+ − = + − ) أ ي ) ( )2a b b a b− = a إ ذن− b b− 2a أ ي = b=

aو بما أ ن b= 1 فإ ن 2= ( . آ آتشف الخطأ الذي آ رتكبه هذا التلميذ

___________________________________________ :3مسألة رقم

1: بينما قدمت تلميذة تحريرا آخر لكي تجد أ ن 0,999.....= a....0,999 بحيث aنعتبر العدد الحقيقي ( = 10ن إ ذ 9,999...a 10و منه = 9a a− =

9: إذن 9a 1a و بالتالي = 1: أ ي = 0,999...= ( .آ آتشف الخطأ الذي آرتكبته هذه التلميذة


ﺕﺎﺴﻴﻤﳋﺍ ﺔﺑﺎﻴﻧ ﻲﺳﻮﺴﻟﺍ ﺭﺎﺘﺨﳌﺍ ﺎﺛ...

Documents