ﺔﻴﺭﺍﺭـﻤﺘﺴﻻﺍ ﺕﺎـﻴﺎـﻬﻨﻟﺍ...
TRANSCRIPT
السنة الثالثة ثانوي :المستــــوى
تجريبيــة عـلوم :الشـعــــبة
يةرارـات و االستمـايـالنه :الموضــــوع
2
النهايات و االستمرارية
المنھاج
النھايات و االستمرارية :المحتوى المعرفي
:الكفاءات المستهدفةالمنتهية أو غير (نهاية منتهية أو غير منتهية لدالة عند الحدود حساب
.لمجاالت مجموعة التعريف) المنتهية
حساب نهاية باستعمال المبرهنات المتعلقة بالعمليات على النهايات أو
.المقارنة وتركيب دالتين
.دراسة السلوك التقاربي لدالة
)ود حلول للمعادلة استعمال مبرهنة القيم المتوسطة إلثبات وج )=f x k،
k عدد حقيقي معطى.
3
:1نشاط
)المنحني )C المرسوم في الشكل المقابل باللون األحمر
}معرفة على fهو لدالة }1;1− − .
.المقاربة لهذا المنحني باللون األزرقرسمت المستقيمات :بواسطة قراءة بيانية
.حدد معادالت المستقيمات المقاربة .1 ؛ ∞+؛ ∞−عند كل من fعين نھايات الدالة .2
. 1و −1
:الحل
)للمنحني .1 )C 1 ثالث مستقيمات مقاربة أولها المستقيم الذي معادلته= −x الثاني المستقيم الذي ،
y=، و الثالث مائل معادلته x=1 معادلته x و ∞−عند+∞ . 2. ( ) ( )lim ; lim
→−∞ →+∞=−∞ =+∞
x xf x f x
( ) ( )1 1
lim ; lim> <⎯⎯→− ⎯⎯→−
=−∞ =+∞x x
f x f x
( ) ( )1 1
lim ; lim> <⎯⎯→ ⎯⎯→
=−∞ =+∞x x
f x f x
)بِـ *المعرفة على f نعتبر الدالة :2نشاط ) 2
32 1= + −f x xx
)و ليكن )C تمثيلها البياني في معلم( ); ,O I J.
)بين أن المستقيم .1 )Δ 2ذو المعادلة 1= +y x مستقيم مقارب للمنحني( )C و عند ∞+عند−∞.
)أدرس وضعية المنحني .2 )C بالنسبة إلى المستقيم المقارب المائل( )Δ.
:الحل
) :لدينا .1 ) ( ) 2
32 1− + = −f x xx
2و بما أن
3lim 0→−∞
⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠x x
2 و
3lim 0→+∞
⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠x x
) فإن )Δ مستقيم مقارب لـ( )C و عند ∞+عند−∞.
) :لدينا .2 ) ( ) 2
32 1− + = −f x xx
2و بما أن
3 0− <x
)فإن المنحني )C المستقيم المقارب تحتيقع( )Δ.
2 3-1-2-3
2
3
-1
-2
-3
0 1
1
x
y
2-1-2-3-4
2
3
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
0 1
1
x
y
4
النهاياتI - النهايات في الالنهاية و المستقيمات المقاربة ∞+منتهية لدالة عند نهاية. 1
[دالة معرفة على مجال من الشكل fلتكن :تعريف [;a + .عدد حقيقي lو ∞
)القول أن )f x ينتهي إلىl ماعندx مركزه يعني أن كل مجال مفتوح ∞+ينتهي إلىl
)يشمل كل قيم )f x قيم أجل منx ةكبيرال.
) نكتب و )limx
f x l→+∞
=
: مالحظات
1 (( )limx
f x l→+∞
)تكافئ = )lim ( ) 0→+∞
− =x
f x l
، ∞+ينتهي إلى xبيانيا هذا يعني أن عندما
.0ينتهي إلى MPالبعد
y=المستقيم ذو المعادلة l مستقيم مقارب أفقي
)للمنحني )C الممثل للدالةf عند+∞.
.∞−نحصل على تعريف و نتيجة مماثلة عند ) 2
:الدوال المرجعية
1lim :لدينا nمن اجل كل عدد طبيعي الغير المعدوم 0→∞
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠nx x
1limو كذلك 0→∞
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠x x
.
:المستقيم المقارب المائل. 2[دالة معرفة على مجال من الشكل fلتكن :تعريف [;+∞a.
:حيث على هذا المجال يمكن كتابة hودالة bو aإذا وجد عددين حقيقيين
( ) ( ).f x ax b h x= + )و + )lim 0x
h x→+∞
=
)فإنا نقول أن المستقيم )D ذو المعادلة := +y ax b
)مستقيم مقارب مائل للمنحنى )C الممثل للدالةf عند.+∞
:اتمالحظ
MNالبعد ، ∞+ينتهي إلى xبيانيا هذا يعني أن عندما. 1
)و 0 ينتهي إلى ) ( ) ( )= − + =MN f x ax B h x
)لمعرفة الوضعية النسبية لـ. 2 )C بالنسبة لـ( )D
:يجب معرفة إشارة الفرق
( ) ( ) ( ) ( )− = − + =f x y f x ax b h x
(C)
(D)
L + r
L - r
M
P
B X0 1
1
x
y
L
(C)
M
N(D)
f(x)
X0 1
1
x
y
α x + β
L
5
∞+نهاية الغير المنتهية عند . 3[دالة معرفة على مجال من الشكل fلتكن :تعريف [ ;+∞a .A و 'A عددين حقيقيين
)القول أن )f x عندما ) ∞−( ، ∞+ينتهي إلىx يعني أن كل مجال من الشكل ∞+ينتهي إلى] [ ;+∞A ،
( )'; ⎤ ⎡−∞⎦ ⎣A يشمل كل قيم( )f x من أجل كل قيمx الكبيرة.
): ونكتب )limx
f x→+∞
= )و ∞+ )limx
f x→+∞
= −∞
∞−نعرف بطريقة مماثلة النهايات الغير المنتهية عند :ةمالحظ
:الدوال المرجعية
:لدينا nمن أجل كل عدد طبيعي الغير المعدوم
( )lim n
xx
→+∞= )و ∞+ )lim
xx
→+∞= +∞
lim ( ) .n
xx
→−∞= .زوجي nإذا كان ∞+
lim ( ) .n
xx
→−∞= .فردي nإذا كان ∞−
∞−و ∞+ ال تقبل نهاية عن cosو sinالدوال :حذاري II - 0نھاية دالة عند عدد حقيقيx f دالة معرفة على مجال من الشكل] [ ] [0 0; ;∪a x x b
0xالنهاية الغير المنتهية عند . 1)القول أن :تعريف )f x عندما ) ∞−(، ∞+ينتهي إلىx 0ينتهي إلىx يعني أن كل مجال من الشكل] [;+∞A،
)';⎤ ⎡−∞⎦ ⎣A ( يشمل كل قيم( )f x من أجل كل قيمx 0القريبة منx .
): ونكتب )0
limx x
f x→
= +∞ ، )( )limx
f x→+∞
= −∞ (
(C)
A
f(x)
X0 1
1
x
y
(C)
-A
f(x)
-BX
0 1
1
x
y
6
x=0: المستقيم ذو المعادلة :مالحظة x مستقيم مقارب عمودي للمنحنى( )C الممثل للدالةf .
الدوال المرجعية
0
1limx x>→
= ) 0نهاية يمين ( ∞+
0
1limx x<→
= ) 0نهاية يسار ( ∞+
20
1limx x→
= و ∞+0
1limx x→
= +∞
0xالنهاية المنتهية عند . 2)القول أن :تعريف )f x ينتهي إلىl ،)l يعني أن كل مجال مفتوح 0xينتهي إلى xعندما ) ∋
)يشمل كل قيم lمركزه )f x من أجل كل قيمx 0القريبة منx و نكتب:( )0
limx x
f x l→
=
:نتيجة للحفظ 0
sinlim 1x
xx→
=
III − عمليات على النھايات
f وg دالتان .a نقبل دون برهان المبرهنات التالية. ∞−أو ∞+عدد حقيقي أو:
:نهاية مجموع دالتين - 1
−∞ +∞ +∞ l∈ l∈ l∈ lim ( )x a
f x→
−∞ −∞ +∞ −∞ +∞ l′∈ lim ( )x a
g x→
l ∞+ ∞− ∞+ ح ع ت ∞− l′+ ( )lim ( ) ( )x a
f x g x→
+
:نهاية جداء دالتين - 2
0 0 −∞ +∞ +∞ 0l < 0l < 0l > 0l > l∈ lim ( )x a
f x→
−∞ +∞ −∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ l′∈ lim ( )x a
g x→
l ∞+ ∞− ∞− ∞+ ∞+ ∞− ∞+ ح ع ت ح ع ت l′× ( )lim ( ) ( )x a
f x g x→
×
:نهاية حاصل قسمة دالتين - 3
−∞ −∞ +∞ +∞ 0 −∞ −∞ +∞ +∞ l l l∈ lim ( )x a
f x→
−∞ +∞ −∞ +∞ 0 0l′< 0l′ > 0l′< 0l′> −∞ +∞ l ∗′∈ lim ( )x a
g x→
0 0 ∞+ ∞− ∞− ∞+ ح ع ت ح ع ت ح ع ت ح ع ت ح ع تll′
( )lim( )x a
f xg x→
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
) ح ع ت( " عدم التعيين" تسمى الحاالت التي ال تسمح فيها النظريات السابقة من استنتاج النهاية بحاالت :مالحظة
-A
0 1
1
x
y
(C)
aa-r a+r
A
0 1
1
x
y
7
IV - النھايات بالمقارنة l فيما يأتي ،l′ عددين حقيقين وa أو ∞+ هو إما عدد حقيقي أو−∞
: 1مبرهنة
f ،g دالتين حيث( )limx a
f x l→
)و = )lim 'x a
g x l→
=
): لدينا aإن كان بجوار - ) ( )f x g x≤ فإن'l l≤
: 2مبرهنة
f ،g دالتين
:لدينا aإن كان بجوار -
* ( ) ( )g x f x≥ و( )limx a
f x→
= ): فإن ∞+ )limx a
g x→
= +∞
* ( ) ( )f x g x≤ و( )limx a
g x→
= ): فإن ∞− )limx a
f x→
= −∞
: 3مبرهنة
f ،g وh ثالث دوال
): لدينا aإن كان بجوار - ) ( ) ( )g x f x h x≤ )مع ≥ )limx a
g x l→
)و = )limx a
h x l→
=
): فإن )limx a
f x l→
=
): لدينا aإن كان بجوار :حالة خاصة )( )f x l g x− )و ≥ )lim 0x a
g x→
=
): فإن )limx a
f x l→
=
C hC f
C g
L
0 1
1
x
y
8
:1تمرين
[مجالالمعرفة على ال fنعتبر الدالة [0 ; + :بــ ∞2
2
2 1( ) xf xx+
=
3) لــ −310 أعط قيم مقربة سعتها - 1 2 3 4 ), (1 0 0 ), (1 0 ), (1)f f f f
)إليك التمثيل - 2 )C للدالةf
)ضع تخمينا بخصوص نهاية )f x عند+∞
2نعتبر المجال المفتوح الذي مركزه - 3
[أي المجال 0.01ونصف قطره [1, 99 ; 2, 01
10xبين أن لـ [فإن < [( ) 1, 99 ; 2, 01∈f x
)يمكن كتابة ( )f x على الشكل( ) 2
12f xx
= + (
[نعتبر المجال - 4 [2 ; 2− +r r 0معr >
0xبين أن لــ x> )0x يطلب تعيينه بداللةr (
)كل قيم )f x تنتمي إلى المجال] [2 ; 2− +r r
.صغير بالقدر الذي نريده rماذا تستنتج علما أنه يمكن اختيار
:2تمرين
3 :بــ Rمعرفة على ال fنعتبر الدالة 2( ) 3f x x x= +
5)لــ أعط قيم - 1 1 8 2 ), (1 0 0 ), (1 0 ), (1)f f f f
)إليك التمثيل - 2 )C للدالةf
)ضع تخمينا بخصوص نهاية )f x عند+∞
[المجال نعتبر - 3 [100 ; + ∞
10xبين أن لــ [فإن < [( ) 100 ;f x ∈ + ∞
[نعتبر المجال - 4 [;A + 0Aمع ∞ >
xبين أن لـكل قيم A> . لدينا] [( ) ;f x A∈ + ∞
C hC f
C g
L
0 1
1
x
y
0 1
1
x
y
Cf
9
االستمرارية]المعرفة على f نعتبر الدالة :1نشاط : كما يلي −2;3[
( ) [ [( ) [ ]
2 3 ; 3;0
2 1 ; 0;2
⎧ = − ∈ −⎪⎨
= − + ∈⎪⎩
f x x x
f x x x
)أحسب .1 )3−f؛( )1−f؛( )0f؛( )1f؛( )2f
. f أرسم في معلم التمثيل البياني للدالة .2
]مستمرة على المجال fهل الدالة ؟−2;3[
:الحل
1. ( )3 6− =f؛ ( )1 2− = −f؛ ( )0 1=f ؛( )1 1= −f
)و )2 3= −f.
أنه عند رسم المنحني الممثلنالحظ .انظر الشكل المقابل .2
]على المجال fللدالة حتميا برفع القلم عند النقطة نقوم −2;3[
مستمرة على المجال ليست fو بالتالي فالدالة 0 ذات الفاصلة
[ ]3;2−.
}المعرفة على fنعتبر الدالة :2نشاط ) :كما يلي −2;0{ )2
2
12
x xf xx x+ +
=−
2إشارة xحدد حسب قيم .1 2x x−.
.2 عند fأدرس نهاية الدالة .2
.∞− عند fأدرس نهاية الدالة .3
:الحل
)نالحظ أن .1 )2 2 2x x x x− = :و بتطبيق قاعدة إشارة ثالثي الحدود من الدرجة الثانية نحصل على −−∞ 0 2 +∞ x
+ 0 − 0 + 2 2x x−
): لدينا .2 )2
2lim 1 7x
x x→
+ + )و = )2
2lim 2 0x
x x→
− =
0بما أنه من أجل 2x< < ،2 2 0x x− )فإن > )2
limx
f x<⎯⎯→
= −∞
2xو بما أنه من أجل > ،2 2 0x x− )فإن < )2
limx
f x>⎯⎯→
= +∞
): لدينا .3 )2 2lim 1 limx x
x x x→−∞ →−∞
+ + = = )و ∞+ )2 2lim 2 limx x
x x x→−∞ →−∞
− = = +∞
2-1-2-3
2
3
4
5
6
7
-1
-2
-3
-4
0 1
1
x
y
10
:يمكننا من إزالتها فنحصل على 2 من الواضح أننا بصدد حالة عدم التعيين إال أن تطبيق القاعدة
( )2
2lim lim 1x x
xf xx→−∞ →−∞
= =
I - تعريف االستمرارية .fDمنعدد حقيقي aو fDمعرفة علىدالة f:تعريف
يعني أن نهاية الدالة a مستمرة عند fقول أن الدالةن
f عندa هي( )f a.
f مستمرة عند a 1 يعني-f عرفة على مجال مI يشملa.
2 - ( )lim ( )x a
f x f a→
=
Iمستمرة على مجال fالدالة تكون :مالحظة
.قيمة منهمستمرة عند كل إذا كانت
عندما يمكن Iمستمرة على مجال fتكون الدالة :التفسير البياني
).اليد ( رسم منحنيها البياني على هذا المجال دون رفع القلم
: مثال
[المعرفة على المجال fالدالة ) :بِـ −3;2] )f x x=
[و الممثلة في الشكل المقابل مستمرة على المجال [2;3−
.ألنه باستطاعتنا رسم تمثيلها البياني بدون رفع القلم
نتائج
.مستمرة على الدوال كثيرات الحدود •
.مستمرة على cosو sin الدوال •
.مجموعة تعريفها كل دالة ناطقة مستمرة على •
:أمثلة
o 32 الحدود كثيرة الدالة 3 5x x x+ .مستمرة على −
o 2 الناطقة الدالة
2 34
xxx
+−
[مستمرة على كل من المجاالت [; 2−∞ − ،] [و −2;2] [2;+∞.
: 1تطبيق
]الدالة المعرفة على fلتكن ]: كما يلي −5;2[ [2;0x ∈ − ; ( ) 2 2f x x= + [ ]0;2∈x ; ( ) 2 1f x x= −
[ ]2;5∈x ; ( ) 11
xf xx+
=−
؟ 0مستمرة عند f؟ هل الدالة 0نهاية عند fهل تقبل الدالة. fمثل بيانيا الدالة. 1
] مستمرة على fهل الدالة. 2 ؟ −5;2[
2 3 4-1-23
2
3
4
-1
-2
0 1
1
x
y
2 3-1-2
2
3
-1
-2
-3
-4
-5
0 1
1
x
y
11
: الحل
.أنظر الشكل المقابل. 1
)لدينا من جهة )0
lim 2x
f x<⎯⎯→
ثانية و لدينا من جهة =
( )0
lim 1x
f x>⎯⎯→
= .0ال تقبل نهاية عند f الدالة إذن .−
.0 عند االستمرارال تقبل f الدالةومنه
و بالتالي فهي 0 غير مستمرة عند fالدالة . 2
]المجال غير مستمرة على ]2;5−.
.نالحظ أنه غير ممكن رسم تمثيلها البياني دون رفع القلم
: 2تطبيق
]المعرفة على fنعتبر الدالة ): بِـ −1;2] )( )f x E x x= +
)حيث الدالة )x E x هي الدالة الجزء الصحيح
)عين عبارة. 1 )f x على كل من المجاالت التالية :[ [2; 1− − ،[ ] و −0;1] [0;1
)أرسم في معلم. 2 ); ,O I J المنحني الممثل للدالةf.
]مستمرة على المجال fهل الدالة. 3 ؟ −1;2]
:الحل
]من أجل . 1 [2; 1x ∈ − )لدينا − ) 2E x = −
)ومنه ) 2f x x= − +
]من أجل [1;0x ∈ )لدينا − ) 1E x = −
)ومنه ) 1f x x= − +
]من أجل [0;1x )لدينا ∋ ) 0E x =
)ومنه )f x x=
.انظر الشكل المقابل. 2
]ليست مستمرة على المجال fالدالة. 3 [2;1−
. 1 عند ؛ 0 عند؛ −1 ألنها غير مستمرة عند
2 3 4 5 6-1-2-3
2
3
4
5
6
-1
-2
0 1
1
x
y
2 3-1-2-3
2
-1
-2
-3
-4
-5
0 1
1
x
y
12
.البياني دون رفع القلم كما نالحظ أنه ال يمكن رسم منحنيها
II - المستمرة نظريات على العمليات للدوال
:فان Iعلى مجال دالتين مستمرتين gو f إذا كانت
1 - f g+ وf gα β+ على مستمرةI حيثα وβ عددان حقيقيان.
2 -nf حيثn∈ على مستمرةI.
f/فان Iعلى ال تنعدم gإذا - 3 g وng nحيث − Iعلى مستمرة ∋
Iعلى مستمرة gفان Iعلى موجبة gإذا - 4
Jعلى مستمرة gو Jو تأخذ قيمها في المجال Iعلى مستمرة fإذا - 5
gفان f على مستمرةI .I f J g R
g f
III - مبرهنة القيم المتوسطة ]و مستمرة على مجال دالة معرفة f :مبرهنة .1 ];a b.
)محصور بين kمن أجل كل عدد حقيقي )f a و( )f bيوجد على األقل عدد حقيقي ،c
)بحيث bو a محصور بين )f c k=.
:التفسير البياني. 2
f دالة معرفة و مستمرة على مجال[ ];a b وليكن ( )L
)منحنيها البياني في معلم ); ,O I J.
)محصور بين kكل عدد حقيقي من أجل )f a و( )f b ،
)المستقيم )Dذو المعادلةy k= يقطع على األقل مرة واحدة
)المنحني )L في نقطة فاصلتهاc محصورة بينa وb.
)بالنسبة للشكل المقابل( )D يقطع( )L فواصلها تيننقط في
). 2cو 1cبعلى الترتي
) المعادلة. 3 ) =f x k
]دالة معرفة و مستمرة على مجال fإذا كانت ];a b فإنه من أجل كل عدد حقيقيk محصور
)بين )f a و( )f bالمعادلة ،( )f x k= تقبل على األقل حالc محصورا بينa وb.
]دالة مستمرة على مجال fإذا كانت :حالة خاصة ];a b
k
c1c2
2 3 4 5-1-2-3-4-5-6
2
3
4
5
-1
-2
0 1
1
x
y
13
)و كان ) ( ) 0f a f b× )محصور بين 0العدد( > )f a و( )f b (
)بحيث bو aمحصور بين cفإنه يوجد على األقل عدد حقيقي ) 0f c =
]تنعدم على األقل مرة واحدة على fأي أن ];a b.
) وجود حل على األقل للمعادلةمبرهنة القيم المتوسطة تؤكد فقط :مالحظة )f x k=
.أما تعيين الحلول أو قيم مقربة لها فيتم بإتباع خوارزميات مختلفة
]المجال الدالة المعرفة على fلتكن :مثال [0;+∞
ـِ ) ـ ب ) 2 1f x x x= − −
f مستمرة على دالة معرفة و [ [0;+∞
) لدينا )1 1f = )و − )2 3 2f = − ،
) محصور بين 0 العدد )1f و( )2f ومنه ،
) مبرهنة القيم المتوسطة، المعادلةحسب ) 0f x =
.2 و 1 تقبل على األقل حال محصورا بين
: تمرين
،برهن باستعمال مبرهنة القيم المتوسطة
3 أن المعادلة 5 1 0x x+ + [ المجالفي تقبل على األقل حال = [0,20; 0,19− −.
]إلثبات وجود حلول معادلة على مجال :طريقة ];a b باستعمال مبرهنة القيم المتوسطة نتبع الخطوات التالية:
)نكتب المعادلة على الشكل • )f x k=.
]على المجال fنتحقق من استمرارية الدالة • ];a b.
)محصور بين kنتحقق من أن العدد • )f a و( )f b.
3يمكن كتابة المعادلة :الحل 5 1 0x x+ + )على الشكل = ) 0f x =
3: بِـ هي الدالة المعرفة على fحيث 5 1( )f x x x+ +=
[ المجال م علىثو من دالة كثير حدود و بالتالي فهي مستمرة على fالدالة [0,20; 0,19− −.
)لدينا )0,20 0,008f − = )و − )0,19 0,04314− =f ومنه لدينا
[على مستمرة fالدالة [0,20; 0,19− )و − )0,20 ( 0,19) 0f f− × − <
)بحيث αيوجد عدد مبرهنة القيم المتوسطةإذن حسب ) 0f α =.
2 3 4-1-2
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
0 1
1
x
y
14
3 المعادلةومنه 5 1 0x x+ + [ المجالفي αلها حل = [0,20; 0,19− −.
يمكن مراقبة النتيجة باستعمال حاسبة بيانية بحيث يتم :مالحظة
.ثم مالحظة تقاطعها مع حامل محور الفواصل fتمثيل الدالة
VI - الرتيبة تماما الدوال المستمرة و ]الدوال المستمرة و الرتيبة تماما على مجال ];a b
]دالة مستمرة و رتيبة تماما على مجال fإذا كانت :مبرهنة ];a b فإنه من أجل كل عدد حقيقيk محصور بين
( )f a و( )f bالمعادلة ،( )f x k= تقبل حال وحيدا في المجال[ ];a b.
:البرهان
]تماما على المجالمستمرة و رتيبة fنفرض أن الدالة ];a b.
)محصور بين عدد حقيقي kو ليكن )f a و( )f b . ومنه حسب مبرهنة
)بحيث bو aمحصور بين cيوجد على األقل عدد حقيقيالقيم المتوسطة، )f c k=.
cلنفرض أنه يوجد عدد حقيقي آخر )و يحقق bو aمحصور بين، cمختلف عن ′ )f c k′ =.
cيكون لدينا حينئذ c )و ≠′ ) ( )f c f c ]المجال على fو هذا يناقض الرتابة التامة للدالة =′ ];a b.
]من cو بالتالي يوجد عدد حقيقي وحيد ];a b بحيث( )f c k= أي أنc هو الحل الوحيد للمعادلة( )f x k=.
:مثال
[الدالة المعرفة على fلتكن [;2−∞
)بِـ ) 32
f xx
=−
[ مستمرة و متناقصة تماما على fالدالة [; 2− ∞
)و لدينا ) 0xLim f x→−∞
)و = )2x
Lim f x<⎯⎯→
= −∞.
[من kإذن من أجل كل عدد حقيقي [;0−∞ ،
)المعادلة )f x k= 0 تقبل حال وحيداx
[ في المجال [; 2− ∞.
y = k
(C)
2 3-1-2-3-4-5-6-7-8-9
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0 1
1
x
y
15
:تطبيق
)3: بِـ المجال المعرفة على gنعتبر الدالة ) 1200 100x x xg = − −
) أحسب. 1 )g x′ ثم شكل جدول تغيرات الدالةg.
.على شاشة حاسبة بيانية باختيار نافذة مناسبة gأرسم التمثيل البياني للدالة. 2
) بين أن المعادلة. 3 ) 0xg ] تقبل حال وحيدا في المجال = ]20;40.
. −210 باستعمال حاسبة بيانية أوجد حصرا لهذا الحل سعته. 4
:الحل
.معرفة، مستمرة و قابلة لالشتقاق على gالدالة ) 1
)، من xمن أجل كلو ) ( )( )3 20 20g x x x′ = − )و + )20 15900g − )و = )20 16100g = −
) و لدينا ) 3
x xLim g x Lim x→−∞ →−∞
= = )و ∞− ) 3
x xLim g x Lim x→+∞ →+∞
= = +∞
+∞ 20 20− −∞ x +0 - 0 + ( )g x′
+∞ 15900
16100− −∞
( )g x
] المجال على) 3 .مستمرة و متزايدة تماما gالدالة ،40;20[
)لدينا )20 16100 0g = − ) و > )40 15900 0g = 16100 بمأن و < 0 15900− ≤ )أي ≥ ) ( )0 20 ; 40g g∈⎡ ⎤⎣ ⎦
]يوجد عدد وحيد مبرهنة القيم المتوسطةإذن حسب ]20;40c )بحيث ∋ ) 0g c =
يظهر الجدول القيم التالية 0,01و باستعمال الحاسبة البيانية و باختيار الخطوة cلتعيين حصرا للحل) 4
(34,68) 6, 280768g = (34,69)و − 17,810709g 34,68: و منه نستنتج الحصر التالي = 34,69c< <.
c.....34,6826و هكذا نقرأ ≈
16
: أعمال موجھة ) 23صفحة 1الكتاب المدرسي الجزء ( حصر لحل معادلة بالتنصيف إيجاد * ]دالة مستمرة و رتيبة تماما على مجال fبصفة عامة إذا كانت :المبدأ ];a b بحيث ( ) ( ) 0f a f b× <
)، المعادلة مبرهنة القيم المتوسطةفإن، حسب ) 0f x ]في المجال α تقبل حال وحيدا = ];a b.
نعلم أن 2
a bm +]هو مركز المجال = ];a b .b m a
)إذا كان . 1 ) ( ) 0f a f m× aفإن > mα< <.
)إذا كان . 2 ) ( ) 0f a f m× mفإن < bα< <.
:αتعيين حصر لِـ
)بِـ المعرفة على fنعتبر الدالة :مثال ) 3 3 3f x x x= − −
) رهن أن المعادلةنب. 1 ) 0f x ] في المجال α تقبل حال وحيدا = ]2;3.
]ومن ثم على دالة كثير حدود و بالتالي فهي مستمرة و قابلة لالشتقاق على fــ لدينا من جھة و الدالة 3;2[
)المشتقة ) 23 3f x x′ = ]موجبة في المجال − )أي 3;2[ ) 0f x′ ] تماما على مجال متزايدة f منه و < ]2;3
)و لدينا من جھة ثانية )2 1f = )و − )3 15f )ومنه = ) ( )2 3 0f f× ، حسب مبرهنة القيم المتوسطة إذن و >
)المعادلة ) 0f x 2حيث α تقبل حال وحيدا = 3α< n = 0 و في هذه الحالة 3 – 2= 1سعة الحصر >
2. 2 2,5 3
) لدينا )2,5 5,125f 2إذن = 2,5α< n = 1 و في هذه الحالة 2,5 – 2 = 0,5سعة الحصر >
3 . 2 2,25 2,5
) لدينا )2,25 1,640625f 2إذن = 2, 25α< n = 2 و في هذه الحالة 2,25 – 2 = 0,25سعة الحصر >
2 2,125 2,25
) لدينا )2,125 0,220703125f 2إذن = 2,125α< n = 3 و في هذه الحالة 2,125 – 2 = 0,125سعة الحصر >
2 2,0625 2,125
17
) لدينا )2,0625 0,413818359f = 2,0625إذن − 2,125α< و في 2,125 – 06252, = 0,0625سعة الحصر >
.و هكذا نواصل بنفس الطريقة . n = 4هذه الحالة
مرحلة ؟ nما هي سعة الحصر المحصل عليه بعد :سؤال
1سعة الحصر هي : لجوابا 12 2
n
n⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
؟ 5-10 اصغر من αيكون سعة الحصر لـ nابتداءا من أي قيمة لــ :سؤال
51: نحل المتراجحة :الجواب 102n
52و منه >− 10n− 52و منه >− 10n 5ln10ومنه <ln 2
n 16,61nأي أن < >
17nو منه ابتداء من = .
:استعمال مجدول
:نقرا النتيجة من المجدول
n a b m= (a+b) / 2 ( )f a ( )f b ( )f m b - a 0 2 3 2,5 -1 15 5,125 1 1 2 2,5 2,25 -1 5,125 1,640625 0,5 2 2 2,25 2,125 -1 1,640625 0,2207031 0,25 3 2 2,125 2,0625 -1 0,2207031 -0,4138184 0,125 4 2,0625 2,125 2,09375 -0,4138184 0,2207031 -0,1026917 0,0625 5 2,09375 2,125 2,109375 -0,1026917 0,2207031 0,0574608 0,03125 6 2,09375 2,109375 2,1015625 -0,1026917 0,0574608 -0,0230002 0,015625 7 2,1015625 2,109375 2,1054688 -0,0230002 0,0574608 0,0171339 0,0078125 8 2,1015625 2,1054688 2,1035156 -0,0230002 0,0171339 -0,0029572 0,0039063 9 2,1035156 2,1054688 2,1044922 -0,0029572 0,0171339 0,0070823 0,0019531 10 2,1035156 2,1044922 2,1040039 -0,0029572 0,0070823 0,002061 0,0009766 11 2,1035156 2,1040039 2,1037598 -0,0029572 0,002061 -0,0004485 0,0004883 12 2,1037598 2,1040039 2,1038818 -0,0004485 0,002061 0,0008062 0,0002441 13 2,1037598 2,1038818 2,1038208 -0,0004485 0,0008062 0,0001788 0,0001221 14 2,1037598 2,1038208 2,1037903 -0,0004485 0,0001788 -0,0001348 6,104E-05 15 2,1037903 2,1038208 2,1038055 -0,0001348 0,0001788 2,199E-05 3,052E-05 16 2,1037903 2,1038055 2,1037979 -0,0001348 2,199E-05 -5,643E-05 1,526E-05 17 2,1037979 2,1038055 2,1038017 -5,643E-05 2,199E-05 -1,722E-05 7,629E-06 18 2,1038017 2,1038055 2,1038036 -1,722E-05 2,199E-05 2,384E-06 3,815E-06 19 2,1038017 2,1038036 2,1038027 -1,722E-05 2,384E-06 -7,418E-06 1,907E-06 20 2,1038027 2,1038036 2,1038032 -7,418E-06 2,384E-06 -2,517E-06 9,537E-07