کامپیوتر علوم و آمار ، ریاض ده�ی دانش

کاربردی ریاض گروه

در آن کاربردهای بهینه�سازیمعکوسوانتخابسهام تخصیصو جریان، شبکه

نگارش

عموکاظم شیدا

راهنما استاد

دامنه سلیمان مجید دکتر

ارشد کارشناس درجه�ی دریافت برای پایان�نامه

رشته�ی در

عملیات) در تحقیق و کاربردی(بهینه�سازی ریاض

١٣٩٢ آذر

گان ذ ود ثارواز ا ه یشانازک سا موا ر پاسرن نروزگاران رد ن ا ودشان شو ید مایا رشارو ه پاسعا

ت ناشان نا س یو دا ر تو یادرسا شان یБЗر پاسق

اید ی ت جاند ی وش شان ی ی ت پاس و

م. ی م قد قدرم ا دروما را و ن ا

چکیده

ها ریزی خطی و مخروطی معکوس و کاربردهای آن مسائل برنامه ، مطالعه نامه هدف اصلی این پایان

سازی این مسائل و آمار به مدل سازی ، بهینه جریان باشد. پس از ارائه برخی مقدمات از مسائل شبکه می

پایه شرایط بهینگی مسائل ، یک روش حل که بر ریزی خطی معکوس پردازیم. برای مسائل برنامه می

، مطالعه کاربردهای مسائل خطی معکوس در کنیم. در ادامه ریزی خطی استوار است را مطرح می برنامه

دهیم که مسائل های جریان و مسائل تخصیص در دستور کار قرار خواهد گرفت. همچنین نشان می شبکه

شوند. در قسمت طی فرموله و حل میصورت مسائل مخرو مخروطی معکوس تحت برخی شرایط مجدداً به

سازی سهام مورد بررسی قرار گرفته نامه یک کاربرد مهم از مسائل مخروطی معکوس در بهینه پایانی پایان

است.

یزیر بکه جریان، مسئله تخصیص، برنامهنیمم هزینه در ش سازی معکوس، مسئله می بهینه واژگان کلیدی:

سازی سهام. مخروطی، بهینه

فتار پیش

مورد ریاض برنامه�ریزی در اخیر دهه�های در که است مباحث جمله از معکوس١ بهینه�سازی

دارند. صنعت و مدیریت اقتصاد، در زیادی کاربردهای مسائل این است. گرفته قرار توجه

این که به�طوری است شده داده x0 شدن نقطه �کنیم م فرض معکوس، خط برنامه�ریزی مسائل در

مقادیر تحت x0 که نماییم تعدیل طوری را هدف تابع ضرایب �خواهیم م �باشد. نم بهینه نقطه

نرم و ٢ نرم ،١ نرم (مانند مختلف نرم�های توسط �تواند م تعدیل این گردد. بهینه پارامترها جدید

کم�ترین با بهینه جواب ی به شدن جواب ی تبدیل مسائل این هدف شود. اندازه�گیری بی�نهایت)

شده� آورده [٨] مرجع در مسائل این کاربردهای از برخ است. هزینه ضرایب در ن مم تغییرات

است.

مسائل این �آیند. م شمار به محدب بهینه�سازی مسائل از زیرگروه ی مخروط برنامه�ریزی مسائل

محدب مخروط ی و آفین مجموعه ی اشتراک روی محدب تابع ی سازی �نیمم م به�صورت

دارند. فراوان کاربردهای سهام٢ بهینه�سازی در معکوس مخروط مسائل .[۶] �شوند م فرموله

مسائل به�صورت �توانند م هم نیمه�معین مسائل و دوم درجه مقید مسائل دوم، درجه مسائل چون

بهینه�سازی مسائل از گسترده بسیار دسته ی مخروط مسائل مطالعه با بنابراین شوند، فرموله مخروط

�کنیم. م بررس را معکوس

فصل�ها: بر مروری

اول: فصل

همچنین و جریان ه� شب و گراف� نظریه ماتریس�ها، از نیاز مورد گزاره�های و تعاریف فصل، این در

مراجع �ترین اصل آورده�ایم. را �گیرند م قرار استفاده مورد بعد فصول در که آمار از کل مفهوم چند

�باشند: م زیر مراجع فصل این

M.S. Bazaraa, J.J. Jarvis, Linear programming and network flows, Wiley, 1977.١Inverse Optimization٢Portfolio Optimization

ی

K.V. Mardia, J.T. Kent, J.M. Bibby, Multivariate analysis, Academic press.

INC, 1995.

دوم: فصل

که حل روش ی داد. خواهیم قرار بررس مورد را معکوس خط بهینه�سازی مسائل فصل این در

از دسته این کاربردهای �کنیم. م ارائه است استوار خط برنامه�ریزی مسائل بهینگ شرایط پایه بر

مسائل همچنین گرفت. خواهند قرار بحث مورد مفصل به�طور تخصیص و جریان ه شب در مسائل

گرفته�اند: قرار بررس مورد فصل این در زیر مراجع �کنیم. م بیان را معکوس محدود تخصیص

R.K. Ahuja, T.L. Magnanti, J.B. Orlin, Network flows, Prentice-Hall, 1993.

M.S. Bazaraa, J.J. Jarvis, Linear programming and network flows, Wiley, 1977.

E. Lawler, Combinatorial optimization: networks and matroids, Amazon, New

York, 1976.

J. Zhang, Z. Liu, Calculating some inverse linear programming problem, J.

Comput. Appl. Math. 72 (1996) 261-273.

سوم: فصل

با مسائل از دسته این حل است. اختصاصیافته نرم�ها از استفاده معکوسبا خط مسائل به فصل این

و معکوس مسیر کوتاه�ترین مسائل ادامه، در �شود. م داده توضیح بی�نهایت نرم و ی نرم از استفاده

هستند، جریان ه شب در معکوس بهینه�سازی خاصاز حالت�هایی معکوسکه فراگیر درخت �نیمم م

هستند: فصل این مراجع �ترین اصل زیر مراجع �شوند. م بررس

M.S. Bazaraa, J.J. Jarvis, Linear programming and network flows, Wiley, 1977.

J. Zhang, Z. Liu, A further study on inverse linear programming problems, J.

Comput. Appl. Math. 106 (1999) 345-359.

دو

چهارم: فصل

و کرده معرف را مخروط نوع سه گرفته�اند. قرار بحث مورد معکوس مخروط مسائل فصل این در

بهینه�سازی به فصل این پایان قسمت �کنیم. م اثبات و بیان آن�ها برای را ضعیف زائد مل م شرایط

برای است. پرداخته معکوس بهینه�سازی از استفاده با بازار نوسانات مدیریت ونگ چ و سهام

�باشند: م زیر مراجع از برگرفته فصل این مطالب �کنیم. م ارائه عددی مثال ی بیشتر توضیح

F. Alizadeh, Interior point methods in semidefinite programming with

applications to combinatorial optimization, SIAM J. Optim. 5 (1995) 13–51.

F. Alizadeh, Second-order cone programming, Math. Prog. Ser. B 95 (2003)

3–51.

A. Ben-Tal, A. Nemirovski, Lectures on modern convex optimization: analysis,

algorithms, and engineering applications, MPS-SIAM Series in Optimization,

SIAM, Philadelphia, PA, 2001.

G. Iyengar, W. Kang, Inverse conic programming with applications, Operations

Research Letters 33 (2005) 319 – 330.

J.L. Prigent, Portfolio optimization and performance analysis, Chapman,

Hall/CRC, 1958.

سه

اری... پاساجزای تعداد شمارش یعن اعداد و اعداد، وسیله به� آن نهادن بنا و آفرینش در تدبیر یعن ریاض

رسیدن و خدا، به رسیدن یعن آخر تا اول از و آخر، تا اول از یعن بی�نهایت و بی�نهایت، تا طبیعت

عشق. یعن خدا به

به و شد رهنمونمان دانش و علم طریق به و بخشید �مان هست که را تا ی پروردگار بی�کران سپاس

ساخت. روزی�مان را معرفت و علم از چین خوشه و نمود مفتخرمان دانش و علم رهروان همنشین

نکوشم. او خلق به خدمت جز یابم توفیق آن�که امید به اوست. از دارم چه هر که خدایی

سلیمان مجید دکتر آقای جناب پرمایه�ام، و دانشمند استاد به �کنم م تقدیم را سپاس�ها صادقانه�ترین

ننمودند دریغ من بر عرصه این در کم هیچ از فروتن و خلق حسن با سعه�صدر کمال در که دامنه،

سیاه تخته بر را سپیدی که گرانقدری استاد گرفتند. عهده بر را پایان�نامه این راهنمایی زحمت و

عاشقانه و صادقانه و ساختند فروزان وجودم محقر کلبه بر را هدایت روشن چراغ نگاشتند، زندگیم

ایشان، شاگردی افتخار بی�ش سازند. تبدیل اندیشه�ها نقادی به را دانسته�ها نقال تا کردند تالش

است. من مباهات مایه�ی و عظیم افتخاری

بر �زنم م بوسه بوده�اند. من مشوق و حام همواره که یبایم ش خانواده�ی از �کنم م ر تش صمیمانه

آموختم. را ایستادگ صبرشان از و محبت رفتارشان از صالبت، نگاهشان از که مادری و پدر دستان

که چرا بودنم. بر است دلیل نامشان و سرم بر است افتخاری تاج بودنشان، که فداکاری والدین

وادی این در رفتن راه من به و گرفتند را دستم بوده�اند، �ام هست مایه پروردگار، از پس وجود دو این

کردند. معنا را بودن انسان و زندگ برایم که آموزگاران آموختند. را نشیب و فراز از پر زندگ

بودند، متحمل را فراوان زحمات تحصیل دوران طول در که �ام گرام اساتید تمام از قدران ضمن

دکتر فتح�آبادی، صالح حسن دکتر دامنه، سلیمان مجید دکتر آقایان جناب از دارم ویژه ر تش

چشمداشت بی راهنمایی�های و یاری�ها دلیل به زمان شیوا دکتر خانم سرکار و لموک رکن غالمرضا

جناب دلسوز، و فرزانه اساتید از همچنین نمودند. آسان�تر برایم را �ها سخت از بسیاری که ایشان

چهار

گرفتند عهده به را پایان�نامه این داوری زحمت که رسولیان عمید دکتر و دولت اردشیر دکتر آقایان

دارم. را امتنان و ر تش کمال

یاری مهم این رساندن انجام به در مرا نوع به که کسان تمام خدمت دارم خالصانه ر تش انتها در

گوید. سپاس را آنان زحمات از بخش خردترین، این که باشد نمودند.

عموکاظم شیدا

١٣٩٢ ماه آذر

پنج

مطالب فهرست

شش مطالب فهرست

هشت تصاویر لیست

١ اولیه مفاهیم و نمادگذاری مقدمه، ١

١ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . اولیه قضایای و تعاریف ١.١

٧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . جریان ه�های شب و گراف ٢.١

٩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . آمار از مفاهیم ٣.١

١٠ تخصیص و جریان ه شب در آن کاربرد و معکوس خط بهینه�سازی ٢

١٠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . مقدمه ١.٢

١١ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . معکوس خط مسائل ٢.٢

١۶ . . . . . . . . . . . . . . . جریان ه شب در معکوس هزینه �نیمم م مسئله ٣.٢

٢١ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . معکوس تخصیص مسائل ۴.٢

٢٧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . محدود معکوس تخصیص مسئله ۵.٢

٣٧ نرم�ها از استفاده با معکوس خط سازی بهینه ٣

٣٧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . مقدمه ١.٣

٣٨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . معکوس خط ریزی برنامه مسائل ٢.٣

۴١ . . . . . . . . . . . . . . . . . . ی نرم از استفاده با معکوس مسائل حل ٣.٣

شش

۴۴ . . . . . . . . . . ی نرم تحت کراندار متغیر�های با معکوس مسئله جواب ۴.٣

۴٩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . بی�نهایت نرم تحت معکوس مسائل ۵.٣

۵٢ . . . . . . . . . . . . . . . . ه شب در معکوس سازی بهینه از کاربردهایی ۶.٣

۵۶ معکوس مخروط بهینه�سازی ۴

۵۶ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . مقدمه ١.۴

۵٨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . معکوس مخروط مسائل ٢.۴

۶۵ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . سهام انتخاب ٣.۴

٨٠ مراجع

٨٣ انگلیس به فارس واژه�نامه

٨۶ فارس به انگلیس واژه�نامه

هفت

تصاویر لیست

٢٩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (٣٠.٢) مسئله گراف ١.٢

٣۵ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ۴.۴.٢ مثال G̃(y∗)گراف ٢.٢

٣۵ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ۴.۴.٢ مثال G+(y∗)گراف ٣.٢

هشت

١ فصل

اولیه مفاهیم و نمادگذاری مقدمه،

اولیه قضایای و تعاریف ١.١

�کنیم. م بیان ماتریس�ها نظریه و محدب آنالیز از را مقدمات نتایج و مفاهیم برخ بخش، این در

x بردار برای دو نرم و ی نرم .x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn و باشد طبیع عددی n کنید فرض

�شوند: م تعریف زیر به�صورت

L1(x) = ∥x∥1 =∑n

j=1 |xj|,

L2(x) = ∥x∥2 =√∑n

j=1 |xj|2

داریم: 1 ≤ p <∞ برای کل حالت در

Lp(x) = ∥x∥p =(∑n

j=1 |xj|p) 1

p,

داریم: p = ∞ برای و

L∞(x) = ∥x∥∞ = max1≤j≤n

(|xj|) .

�کند. م صدق شوارتز١ کوش نامساوی در داخل ضرب ،Rn اقلیدس فضای در .١.١.١ قضیه

یعن

|⟨x, y⟩|2 ≤ ⟨x, x⟩.⟨y, y⟩ ∀x, y ∈ Rn,

١Cauchy-Schwartz

١

y و x اگر تنها و اگر �دهد م رخ تساوی حالت است. y در x داخل ضرب بیانگر ⟨x.y⟩ آن در که

باشند. خط وابسته

هرگاه: است قطری٢ D ∈ Rn×n ماتریس .٢.١.١ تعریف

1 ≤ i, j ≤ n, i ̸= j ⇒ dij = 0

که �دهند، م نمایش D = diag(d11, d22, . . . , dnn)به�صورت معموال را قطری ماتریس

D =

d11 0 . . . 00 d22 . . . 0... ... . . . ...0 0 . . . dnn

گوییم مثبت۴) معین (نیمه مثبت٣ معین را A ∈ Rn×n متقارن مربع ماتریس .٣.١.١ تعریف

باشیم: داشته 0 ̸= x ∈ Rn هر ازای به هرگاه �دهیم م نشان (A ≽ 0) A ≻ 0 نماد با را آن� و

.(xTAx ≥ 0) xTAx > 0

تعریف زیر به�صورت x ∈ Rn بردار Q−نرم ،Q شده داده مثبت معین ماتریس برای تعریف١.١.۴.

�شود: م

∥x∥Q =√xTQx.

وجود L مثلث پایین ماتریس است. مثبت معین و متقارن ماتریس ی A فرضکنید .۵.١.١ قضیه

�نامیم. م ۵ چولس تجزیه را تجزیه این .A = LLT که به�طوری دارد

و x1, x2 ∈ X هر ازای به هرگاه نامیم، محدب۶ مجموعه ی را X ⊆ Rn [۴] .۶.١.١ تعریف

باشیم: داشته λ ∈ [0, 1]

λx1 + (1− λ)x2 ∈ X.

٢Diagonal٣Positive Definite۴Positive Semi-definite۵Cholesky Decomposition۶Convex

٢

است: زیر صورت به مجموعه�ای ابرصفحه٧ ی [۴] .٧.١.١ تعریف

H = {x : pTx = q}

.q ∈ R و p ∈ Rn ،p ̸= 0 آن در که

هرگاه: گوییم، مخروط٨ ی را K ⊆ Rn [۴] .٨.١.١ تعریف

λx ∈ K ∀(x ∈ K , λ ≥ 0).

.K ̸= Rn و K ̸= {0} هرگاه نامیم سره٩ را K ناته مخروط

هرگاه: گوییم، تیز)١٠ (نوک راس مخروط ی را K ⊆ Rn [۴] .٩.١.١ تعریف

K ∩ (−K ) = {0}.

�شود: م تعریف زیر بصورت a ≥ b رابطه a, b ∈ Rm بردار دو برای [۶] .١٠.١.١ تعریف

a ≥ b⇔ ai ≥ bi, ∀i = 1, . . . ,m. (١.١)

داراست: را زیر خواص (١.١) رابطه .a, b, c, d ∈ Rm کنید فرض

a ≥ a بازتابی: خاصیت (١

a ≥ b & b ≥ a⇒ a = b : تقارن پاد خاصیت (٢

a ≥ b & b ≥ c⇒ a ≥ c تعدی: خاصیت (٣

: خط خاصیت (۴

.λa ≥ λb آن�گاه باشد، نامنف حقیق عدد λ ≥ 0 و a ≥ b اگر (∗)

.a ≥ b & c ≥ d⇒ a+ c ≥ b+ d (∗∗)

استفاده با �توان م دارد، فراوان کاربردهای و �شود م نامیده طبیع ترتیب که فوق ترتیب بر عالوه٧Hyperplane٨Cone٩Proper١٠Pointed

٣