:مجموعة األعداد المركبة

الكفاءات المستهدفة .إجراء العمليات الحسابية على األعداد المركبة

التمثيل الهندسي لعدد مركب

الحقة شعاع ؛ الحقة مرجح

مرافق عدد مركب

.خواص مرافق عدد مركب

.طويلة عدد مركب

عمدة عدد مركب ، الشكل المثلثي لعدد مركب

.ا النتقال من الشكل الجبري إلى الشكل المثلي و العكس .خواص الطويلة والعمدة لحل مسائل في األعداد المركبة وفي الهندسة

.توظيف دستور موافر لحل مسائل في األعداد المركبة وفي الهندسة

الجذران التربيعيان

.و حل معادالت يؤول حلها إلى حّل معادلة من الدرجة الثانية.حل معادالت من الدرجة الثانية الشكل األسي لعدد مركب غير معدوم

تمييزدائرة ونصف مستقيم :الدرس االول

مجموعة األعداد المركبة :نشاط

. ..... : الهدف من هذا النشاط هو حل المعادلة ذات المجهول الحقيقي

..... :إذا وفقط إذا حل للمعادلة أثبت أن )1

؟ على الشكلحتى تكتب المعادلة ما هي القيمة التي يجب إعطاؤها للعدد )2

في هذه الحالة ؟ ما هي قيمة

.، تأكد أنه من أجل كل عدد حقيقي )3

. . . نعتبر المعادلة )4

. تأكد أن هذه المعادلة ال تقبل حلوال حقيقية

.حيث نتخيل عدد نرمز له )5

.في هذه الحالة أكتب حلول المعادلة

. ، استنتج حال حقيقيا للمعادلة و أحسب )6

عين حلول المعادلة )7

x( )13 15 4x x= +

α β+( )1( )2( )( )3 3 3 5 4 0α β αβ α β+ + − + − =

αβ( )23 3 4α β+ =

3 3α β

x( )( )3 3 2 4 125x x x xα β− − = − +

2 4 125 0x x− + =( )3

" "i2 1i =−

( )3

( )3

2 i−( )3

2 i+( )1

.تعريف . عددان حقيقيان و و حيث يكتب على الشكل نسمي عددا مركبا كل عدد

:مالحظات و ترميز . : نرمز إلى مجموعة األعداد المركبة بِـ

. له بـ، و نرمز يسمى الجزء الحقيقي للعدد المركب العدد الحقيقي

. له بـ، و نرمز يسمى الجزء التخيلي للعدد المركب العدد الحقيقي

.حقيقي نقول أن العدد إذا كان

) .أو تخيلي محض أو تخيلي بحت ( تخيلي صرف نقول أن العدد إذا كان

.معدوما إذا و فقط إذا كان جزؤه الحقيقي معدوما و جزؤه التخيلي معدوما يكون العدد المركب

. و يعني أي

. تسمى الشكل الجبري للعدد المركب الكتابة

:تساوي عددين مركبين متساويين إذا وفقط إذا كان لهما نفس الجزء الحقيقي و نفس الجزء التخيلي و يكون عددان مركبان :تعريف

) و (معناه فان و أي اذاكان

: ℂالحساب في

2باعتبار أن ℝتجري بنفس قواعد الحساب في ℂان اجراء العمليات الحسابية في 1i = −

:مقلوب عدد مركب

يرمز له له مقلوب في كل عدد مركب غير معدوم :مبرهنة

. وحيد حيث عددا مركبا غير معدوم يوجد عدد مركب ليكن :ا� �هن

نحصل على بوضع

' z' :وعددان مركبان حيث z ليكن : تطبيق 1z zi= + ، 3z i= − +

z': أحسب - z+ ،'z z× ،'z iz+ ،2 2'z z+ ،3z− ،1

Z ،

'z

z

:الثانيالدرس التمثيل الهندسي لعدد مركب

:نشاط . المستوي منسوب إلى معلم متعامد و متجانس

)Re)عين في كل حالة من الحاالت التالية النقطة )1 ); Im( ))M z z

2z = ،3z i= − ،1 2z i= − ،3z i= + ،1 3z i= − +

zz x iy= +xy2 1i =−

iℂ

ixz( )Re z

iyz( )Im z

i0y=z

i0x=z

iz

0z=0x=0y=

iz x iy= +z

z'z

z x i y= +' ' 'z x i y= +'z z='x x='y y=

zℂ1

z

z'z' 1zz =

z x iy= +( )

2 2 2 2'

yxz i

x y x y

−= +

+ +

( ); ,O OI OJ��� ���

بحيث تكون صورته عين العدد المركب

.

. ، ،C وD نقط من

z i ،4Dz =

z

AB

)1عين مجموعة النقط )E ،2( )E����� التي تحقق:

({1 Re( ), Im( ); Im( ) 0E M z z z= =

({2 Re( ), Im( );Re( ) 0E M z z z= =

إلتمثيل الهندسي لعدد مركب

. المستوي منسوب إلى معلم متعامد و متجانس

و ، ( إلى كل عدد مركب إحداثياها نرفق النقطة

يسمى كذلك و الشعاع تسمى صورة العدد المركب.

، نقول أن هي صورة عدد مركب وحيد . اوالحقة الشعاع

محور الفواصل يسمى المحور الحقيقي ،ألن األعداد الحقيقية هي .لواحق نقط محور الفواصل

عدد تخيلي صرف ألن كل محور التراتيب يسمى المحور التخيلي .هو الحقة نقطة من محور التراتيب

. المستوي يسمى المستوي المركب

عين العدد المركب ؛ نقطة من المستوي الحقتها العدد المركب :بالنسبة إلى

حامل محور الفواصل ؛ / 2مبدأ المعلم ؛ .المنصف األول / 4حامل محور التراتيب ؛

. المستوي منسوب إلى معلم متعامد و متجانس

�ي ا��� ���� ����$# ا�"�! � ا��% : 2 (1 )z x y i i= + + −

:التي يكون من أجلها عين مجموعة النقط

.حقيقيا

.تخيليا صرفا

شعاع ؛ الحقة مرجح

. المستوي المركب منسوب إلى معلم متعامد و متجانس

3المستوي ،لواحقها على الترتيب 2Az i= − + ،3 3Bz i= − + ،3Cz i= −

0Mنقطة من المستوي بحيث AD=����� �����

Mالحقة النقطة Mzنسمي

M

( ); ,O OI OJ��� ���

z x i y= +x∈ℝy ∈ ℝ

M( );x y

zOM����

z x i y= +

OM����

1 2a i= − +

( ); ,O OI OJ��� ���

M

( ); ,O OI OJ��� ���

عين مجموعة النقط )1

)}Re( ), Im( ); Im( ) 0E M z z z= =

)}Re( ), Im( );Re( ) 0E M z z z= =

إلتمثيل الهندسي لعدد مركبالمستوي منسوب إلى معلم متعامد و متجانس

إلى كل عدد مركب نرفق النقطة )

تسمى صورة العدد المركب النقطة صورة للعدد المركب

هي صورة عدد مركب وحيدكل نقطة

اوالحقة الشعاع الحقة النقطة محور الفواصل يسمى المحور الحقيقي ،ألن األعداد الحقيقية هي

لواحق نقط محور الفواصلمحور التراتيب يسمى المحور التخيلي

هو الحقة نقطة من محور التراتيب المستوي يسمى المستوي المركب

:مثال

نقطة من المستوي الحقتها العدد المركب نظيرة النقطة

مبدأ المعلم ؛ / 1حامل محور التراتيب ؛ / 3

المستوي منسوب إلى معلم متعامد و متجانس :تمرين

�ي ا��� ���� ����$# ا�"�! � ا��%

عين مجموعة النقط حقيقيا /1 تخيليا صرفا /2

شعاع ؛ الحقة مرجحالحقة

المستوي المركب منسوب إلى معلم متعامد و متجانس :نشاط

المستوي ،لواحقها على الترتيب M نقطة من المستوي بحيث

•2 1i =−

M

z

•M

zM

•

•

•

A

MA

z

z

.

،

2 ،1 2i+

2 i− + ،1 4i− + ،3 2i+ ،2 i−.

1 3− + ،2 2i− −

متعامد و متجانس المستوي المركب منسوب إلى معلم

( ; ,O OI OJ

( ) ( ){ , ; ,A Bα β

. Dzو Azبداللة BC AD=���� �����

2( )C B D Az z z z− = − .

المستوي المركب منسوب إلى معلم متعامد و متجانس

.الحقة و الحقة نقطتان من المستوي ، . هي الحقة الشعاع

مرجح الجملة ، عددان حقيقيان حيث

. هي الحقة النقطة

C ثالث نقط من المستوي لواحقها على الترتيبi ،2i

2OBعين الحقتي الشعاعين OC−���� ����

،3

2AB AC− +������ �����

.

،C وD 2أربع نقط من المستوي لواحقها على الترتيب i− +�ازي ا345ع ABCD(*ه� أن ا�*()$� � .

C 3على الترتيب قأربع النقط ذات اللواح 2i+ ،1 3i− +

] "�:9 ا��#78 ]AB.

;<*��@# G$?� <=�# ا�%@�( ) ( ) ( ){ }, 2 ; , 3 ; ,5A B C− .

03الدرس مرافق عدد مركب

المستوي المركب منسوب إلى معلم صورته قي و عدد مركب حيث

بالنسبة لحامل محور الفواصل BC?*ة ا�"�#8

). و ( عدد مركب حيث يسمى مرافق العدد المركب و الذي نرمز له

.التفسير الهندسي لمرافق عدد مركبالمستوي المركب منسوب إلى معلم متعامد و متجانس

. عدد مركب حيث و ، صورة و

و لهما نفس الفاصلة و ترتيبان متناظران إذن

); ,O OI OJ��� ���

AzABzB

z zAB����

0α β+ ≠G)}, ; ,α β

z zα βG

z x i y= +M

M

z x i y= +x∈ℝy ∈ℝ

zz

z x i y= +

z'MzM'M

M'M

Mzعبر عن )12BCبين أن )2 AD=

���� �����

)2تحقق أن - )C B D Az z z z− = −

المستوي المركب منسوب إلى معلم متعامد و متجانس :خاصية

نقطتان من المستوي ، و

عددان حقيقيان حيث و

C، ، : مثــال

عين الحقتي الشعاعين -

، .: 01تمرين (*ه� أن ا�*()$� -

C، ، : 02تمرين - #�=> �?$ I #789 ا��:�"

- ;<*�$?� <=�# ا�

عدد مركب حيث : نشاط

'M #8�"ة ا�*?BC

M'عين الحقة

عدد مركب حيث : تعريفو الذي نرمز له العدد المركب

التفسير الهندسي لمرافق عدد مركبالمستوي المركب منسوب إلى معلم متعامد و متجانس

.

عدد مركب حيث صورة لتكن لهما نفس الفاصلة و ترتيبان متناظران إذن

B

B Az z−

αβ

A Bz zα β

α β

+

+

AB

AB

AB

z

( ); ,O OI OJ��� ���

z

x i y−

( ); ,O OI OJ��� ���

z

Mz

متناظرتان بالنسبة إلى حامل محور الفواصل

.مرافق عدد مركبخواص :نتائج من التعريف

. .

. .

z حقيقي معناهz z= . z D("7 ف*F �@?G�z z= −.

1: في كل حالة zعين مرافق :01مثال 2z i= + ،2 3z i= − +،z i= ،3z i=

:أكتب األعداد التالية على الشكل الجبري :02مثال( ) ( )2

1

1 2

iz

i i

+=

− +،

)تعطى الحلول على الشكل الجبري(التالية المعادالت ذات المجهول حل في المجموعة : ��01��� . أ ـ

. ب ـ

المرافق و العمليات

1zنعتبر العددين المركبين : نشاط i= ،2 1 2z i= +

1: أآ�Q@$ R ا�NOP ا�%M*ي اL$5اد - 2z z× ،( )2

1 2z z×،1

2

z

z ،1 2z z+

أآ�R *ا�T آL$ Nد � اL$5اد ا��)(�# $@Q ا�NOP ا�%M*ي -

. عدد مركب و مرافقه ، عدد مركب و مرافقه :خواص . .

. مع . . مع .

. و :عددان مركبان حيث و :ا� �هن أي و منه

. إذن و و

. إذن

.و االستدالل بالتراجع نستعمل الخاصية

نفس الطريقة بالنسبة ِلـ . و نقارن و نحسب نحسبللبرهان على

1 نضع :01تمرين

3

2 5

iz

i

−=

+2و

3

2 5

iz

i

+=

−

•z z=•( )2 Rez z z+ =

•( )2 Imz z i z− =•( )( ) ( )( )2 2

Re Imz z z z= +

••

1

4 6

3 2

iz

i

−=

+

ℂz

( )1 3i z i− = +

12

1

zi

z

+=

−

zz'z'z

•' 'z z z z+ = +•' 'z z z z= ⋅•n

nz z=( )n ∗∈ℕ

•1 1

z z

= 0z≠•

' '

z z

z z

= ' 0z ≠

z'zz x iy= +' ' 'z x iy= +

• ( )' ' 'z z x x y y i+ = + + +( )' ' 'z z x x y y i+ = + − +' ' 'z z x i y x i y+ = − + −

' 'z z z z+ = +

• ( )' ' ' ' 'z z xx yy xy x y i⋅ = − + +( )( )z ' ' 'z x i y x i y⋅ = − −

( )' ' ' ' 'z z xx yy xy x y i⋅ = − − +

' 'z z z z⋅ = ⋅

•n

nz z=' 'z z z z⋅ = ⋅

•1 1

z z

=

1

z

1

z' '

z z

z z

=

المستوي المركب منسوب إلى معلم متعامد و متجانس :��02���

: صورته وعدد مركب

N<ا �1 z ≠ ;XC:5 2

'1

zz

z

−=

−

�$# ا�"�! -��رة $?� %Fz Z?�) :

1( 'z ��?�= 2 ('z �@?G�

03الدرس . المستوي المركب منسوب إلى معلم متعامد و متجانس :نشاط

yو xبداللة OMعبر عن صورة إذا كانت عدد مركب حيث

.طويلة عدد مركب.1

).عددان حقيقيان و ( : عدد مركب حيث :تعريف .حيث العدد الحقيقي الموجب الذي نرمز له نسمي طويلة العدد المركب

1: أحسب :أمثلة 2i+ ،4 3i− −،7i−،2−

:مالحظات)عددا حقيقيا إذا كان • )z x= فإنz x=. zعددا تخيلي صرف اذا كان • iy= ن\Tz y=

: التفسير الهندسي لطويلة عدد مركب

عدد مركب حيث . متعامد و متجانسالمستوي المركب منسوب إلى معلم

zفإن صورة اذا كانت - OM=

Q@$N ا��*�?NzRو Mz الحقاتها من المستوي Nو من أجل كل نقطتين: 01خاصية - Mz z MN− =

BZو BZو AZثالث نقط متمايزة من المستوي لواحقها Cو B و Aإذا كانت :01خاصية

C: الترتيب فإنعلى A

B A

Z - Z AC =

Z - Z AB

. المستوي المركب منسوب إلى معلم متعامد و متجانس: 01تمرين

A ،B،C R?�*ا�� Q@$ (]�=ا�� !�C 2: _3ثAz = ،Bz i= − ،1 2Cz i= +

Z@`� . ABC )ه� Ma?7# ا� :طويلة عدد مركبخواص

. .

( ); ,O OI OJ��� ����

zM

M

( ); ,O OI OJ��� ���

zz x i y= +Mz

zz x i y= +xy

zz2 2z x y= +

z

z

( ); ,O OI OJ��� ���

zz x i y= +

Mz

M

( ); ,O OI OJ��� ���

• z z=• z z− =

(( 2

− +

.

،4 3Cz i= −،3wz =

z z i

�ا=�[) $@D Qو A ،B،Cتعطى النقط �

#Mآ*� _e اc�"�d آ�)(# >LbLة �L$ NOد � اL$5اد ا�

z r i= +

).عددان حقيقيان .صورة لتكن

. كل قيس بالرديان للزاوية الموجهة

' 0z

(O OI OJ

Mz

( ),OI OM��� ����

مع. .

.

) : أحسب طويلة كل عدد )21 i+ ،( ) ( )2 3 2i i− + − ،

))

5

4

2

2

i

i

− +

−

المستوي المركب منسوب إلى معلم متعامد و متجانس

R?�*ا�� Q@$ (]�=ا�� !�C ;)1: أرAz = ،3 2Bz i= − + ،4 3

�ي <=��[) �������3 � ا� 2z − =

Qإ� ���"�E #$��%� . ?$E� e_ أgPC ا�

�ي <=��[) �������1 � ا� 3 2z z i− = − −

#$��%� . ?$F� e_ أgPC ا�

04الدرس

عمدة عدد مركب ، الشكل المثلثي لعدد مركب

تعطى النقط إلى معلم متعامد و متجانس منسوب

3Bz i= ،1Cz i= +،1 3Dz i= −

_e اc�"�d آ�)(# >LbLة �L$ NOد � اL$5اد ا��*آD #Mو A ،B،Cين القطبيين للنقط

(M r بين أن صورة( )cos sinz r iθ θ= +

.معدومعمدة عدد مركب غير

عددان حقيقيان و ( : عدد مركب غير معدوم حيثلتكن إلى معلم متعامد و متجانس منسوبالمستوي المركب ال

كل قيس بالرديان للزاوية الموجهة و نرمز نسمي عمدة العدد المركب

.له عدد غير منته من العمد عدد مركب غير معدوم .عمدة ِلـ فإن عمدة ِلـ .و نكتب

.على الترتيب و انقطتان الحقتاهم

• z z z z⋅ = ⋅•' '

zz

z z=' 0z ≠

•' 'z z z z+ ≤ +

); ,O OI OJ��� ���

Mz

Mz

( ); ,O OI OJ��� ���

z x i y= +

z x i y= +xy

( ); ,O OI OJ��� ���

z( )arg z

z

z2kθ π+ ( )k ∈ℤz

( ) [ ]arg 2z θ π≡

AzBz

( ) (, , ,OA OB OI OB OI OA= −��� ���� ��� ���� ��� ���

مباشر: البرهان

أحسب طويلة كل عدد:01تطبيق

المستوي المركب منسوب إلى معلم متعامد و متجانس: 02تطبيق

A ،B،C وw R?�*ا�� Q@$ (]�=ا�� !�C ;)أر

1(E !�"ا� #$��%

- NهA ،B،C Qإ� ���"�- #$��%�$?� _e أgPC ا�2( (F !�"ا� #$��%

- #$��%�$?� _e أgPC ا�

عمدة عدد مركب ، الشكل المثلثي لعدد مركب

منسوبالمستوي :نشاط

R?�*2 :ا��Az = − ،3z i

ين القطبيين للنقط حداثياالعين - )qC*ض أن - );M r θ

عمدة عدد مركب غير عدد مركب غير معدوم حيث :تعريف

المستوي المركب ال في

نسمي عمدة العدد المركب

عدد مركب غير معدوم كل :مالحظات عمدة ِلـ إذا كان

و نكتب نقطتان الحقتاهم و

' 'z z z z⋅ = ⋅

•nnz z=

M

z

•

θ

•AB

) ( ), , ,OA OB OI OB OI OA= −��� ���� ��� ���� ��� ���

أي

.

:حيث يكتب على الشكل العدد .عدد مركب غير معدوم :تعريف

. هذا الشكل يسمى الشكل المثلثي ِلـ. و يكون عددان مركبان مكتوبان على الشكل المثلثي متساويين :خاصية إذا وفقط إذا كانت لهما نفس الطويلة وعمدتان متوافقتان بترديد

فإن و كان إذا كان :خاصية

. و

:أكتب على الشكل المثلثي األعداد التالية :مثال

• 1

2 2

2 2z i= + ،2

2 2

2 2z i= − + ، 3

2 2

2 2z i= − −

�b*�C01: عين في كل حالة من الحاالت التالية الطويلة والعمدة للعدد المركب

• 4 cos sin4 4

z iπ π = −

• 3 cos sin3 3

z iπ π = − +

• 5 sin cos6 6

z iπ π = +

• sin cos6 6

z iπ π

= −

05الدرس

cos :نشاط sinz iθ θ= + ،' cos ' sin 'z iθ θ= +

z'أكتب - z× ،2z ،1

zوا+*�*( . ، '�& ا�%$# ا��"�"!

'

z

z .'�& ا�%$# ا��"�"!

خواص عمدة عدد مركب غير معدوم-1 .عددان مركبان غير معدومين و :خواص

. .

.

C :التفسير الهندسي لـ A

B A

Z - Zarg

Z - Z

( ) ( ) ( ), arg argB AOA OB z z= −��� ����

•( ) ( )arg ,B Az z OI AB− =��� ����

zz( ) ( )( )cos sinz r iθ θ= +

r z=( )arg zθ=z

2π

( ) ( )( )cos sinz iλ θ θ= +0λ>

zλ=( )arg zθ=

z

z'z

• ( ) ( ) ( )arg . ' arg arg 'z z z z= +• ( ) ( )arg arg arg ''

zz z

z

= −

• ( ) ( )arg argnz n z=n ∗∈ℕ

على الترتيب فإن BZو BZو AZثالث نقط متمايزة من المستوي لواحقها Cو B و Aإذا كانت

(((( )))) C A

B A

Z - Z AB , AC =arg +2

Z - ZK

ππππ

���� �������� �������� �������� ����

الذي يحقق المساواة في كل حالة من الحاالت التالية مثل مجموعة النقط ذات الالحقة للعدد المركب:01تمرين : المقترحة

• arg( ) 3 22

iz kπ

π= +

• arg 21 4

zk

i

ππ = + +

• ( )arg( ) arg 2z z kπ= +

:النقط ذات اللواحق , , المستوي منسوب الى معلم متعامد ومتجانس:02تمرين

، ،1

32

zz

z=

1( �bدL7ا� � NO� #Mآ*� و $?� ا��O)(# ا�

.3z$?� ا��O)(# ا��*آL7@� #Mد )2

��a?� �ــMX�cos :اc�"�d ا��?��?� ا�12

πsو

12inπ

03تمرين

، ، لتكن النقط في المستوي المركب المنسوب إلى معلم متعامد ومتجانس

. ، ، التي لواحقها و

. أعط تفسيرا هندسيا لطويلة و عمدة العدد المركب) 1

.ما هي طبيعة المثلث) 2

05الدرس

الشكل األسي لعدد مركب غير معدوم

:نشاط

صورته، و 1عدد مركب طويلته .المستوي المركب منسوب إلى معلم متعامد و متجانس

لتكن العدد المركب الذي طويلته بكل عدد حقيقي ترفق الدالة التي ، لتكن .عمدة ِلـ . أي .عمدة له و 1 . و عددان حقيقيان ، أحسب و

z

( ); ,O OI OJ��� ���

ABC

1

6 2

2

iz

−=2 1z i= −

1z2z

( ); ,O OI OJ��� ���

A

BC3Az i=−3 2 3Bz i= +3 2 3Cz i=− +

B A

C A

z z

z z

−

−

ABC

( ); ,O OI OJ��� ���

0z0M

θ

0z( ) ( )0 cos sinz iθ θ= +fθ

θ( ) ( ) ( )cos sinf iθ θ θ= +

θ'θ( )'f θ θ+( ) ( )'f fθ θ⋅

:الحل أي

.

أي

ونستنتج أن .صورتيهما تم التفكير في الترميز األسي للعدد األسية تحول مجموع عددين إلى جداء ةبما أن الدال . نضع

.الشكل األسي لعدد مركب غير معدوم

:1الشكل األسي لعدد مركب طويلته.1

.حيث. عمدة له يكتب و 1العدد المركب الذي طويلته :تعريف .هذا الترميز يسمى ترميز أولر

02 :نتائج 2 ; ; 1i i

ie i e i eπ π

−= − = )و = ) ( 2 ) ; i i i k ie e e eθ π θ θ π θ+ += − =

.الشكل األسي لعدد مركب غير معدوم.2

. عمدة له يكتب و غير المعدوم الذي طويلته العدد المركب :تعريف .الشكل األسي للعدد المركب هذه الكتابة تسمى

1 :أكتب األعداد التالية على شكلها األسي : 01مثال 2 2z i= − ،2 3 3 3z i= − ،3

5

4z i= ،4 1z = −

: أكتب على الشكل الجبري كل من األعداد :02مثال3

46i

eπ

،3

25i

eπ

،1

2ie π ،

2

32 3i

eπ

.قواعد الحساب على الشكل األسي .3

.عددان حقيقيان و :خواص

. .

.دستور موافر .4 :غير معدوم لدينا من أجل كل عدد طبيعي .عمدة له و عدد مركب طويلته :خواص

.

' :مثال 1z i= − + ،3z i= +

z :أكتب األعداد التالية على شكلها األسي ،z ،'z ،'z z× ،5z ،'

z

z

:تمرين1 3

2

iz

+=

- Rأآ�z �`@`� .$@Q ا�NOP ا�

- �7?Ma دL$ Nآ N<أ � rCأ sM_أn :6 1nz z+ =

( ) ( ) ( )' cos ' sin 'f θ θ θ θ θ θ+ = + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )' cos cos ' sin sin ' sin cos ' sin ' cosf iθ θ θ θ θ θ θ θ θ θ+ = − + +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )' cos sin cos ' sin 'f f i iθ θ θ θ θ θ⋅ = + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )' cos cos ' sin sin ' sin cos ' sin ' cosf f iθ θ θ θ θ θ θ θ θ θ⋅ = − + +

( ) ( ) ( )' 'f f fθ θ θ θ+ = ⋅

0z

0 .iz e θ=

θie θ( ) ( )cos sinie iθ θ θ= +

zrθiz re θ=

z

θ'θ

•( )' 'i i ie e eθ θ θ θ+= ⋅•

( )''

ii

i

ee

e

θθ θ

θ

−=• i ie eθ θ−=

zrθn

( )n

i ine eθ θ=

06الدرس

.الجذران التربيعيان لعدد مركب

L$3د *آu R :نشاط 4u i= −

z: نضع - x iy= +

2(?� أن - 4z = D("7 :2 2 3

2 4

x y

xy

− =

= −

)تقبل حلين هما Iتحقق أن الجملة - )2, 1− ،( )2,1−

)ذا ���"�c ؟ -

يحقق zنسمي جذرا تربيعيا كل عدد مركب.عدد مركب :تعريف

.كل عدد مركب غير معدوم له جذران تربيعيان متناظران :مالحظة uإليجاد الجذريين التربيعيين للعدد المركب iα β= +

#@�: N�C ا�%

2 2

2 2 2 2

2

x y

xy

x y

αα

α β

− =

= −

+ = +

8: الجذريين التربيعيين عين -: تطبيق 6u i= − + ،1 2 2u i= −

ω2z ω=

07الدرس المعادالت من الدرجة الثانية

و ، حيث ....: المعادلة ذات المجهول المركب ℂنعتبر في :نشاط . أعداد مركبة و

2 بين أن - 2 0az bz c+ + = D("7

حسب ∆0بين أنه اذا كان المعادلة - تفبل حلين حقيقين ≤

∆���0ض أن - ≺ )و� )2

i∆ = −∆ . .ا����� ��� ا����د�

.المعادالت من الدرجة الثانية أعداد مركبة و و ، حيث ....: لتكن المعادلة ذات المجهول المركب

.

نحصل على بوضع

. يؤول إلى حل المعادلة حل المعادلة .

:مبرهنة

.أعداد مركبة و و ، حيث :لتكن المعادلة ذات المجهول المركب .مميزها

. امضاعف ، المعادلة تقبل حال إذا كان

:، المعادلة تقبل حلين متمايزين إذا كان

و

.جذر تربيعي ِلـ حيث

:المعادلة ذات المجهول ℂحل في :01تطبيق

1(

2(

3(

z( )12 0a z b z c+ + =abc

0a≠2

22 4

bz

a a

+ =

△

2 4b ac= −△

z( )12 0a z b z c+ + =abc

0a≠2 2

2 22

4

2 4

b c b b aca z b z c a z z a z

a a a a

− + + = + + = + −

2 4b ac= −△

2

222 4

ba z b z c a z

a a

+ + = + −

△( )1

2

22 4

bz

a a

+ =

△

z2 0a z b z c+ + =abc0a≠

2 4b ac= −△

•0=△2

bz

a=−

•0≠△

'2

bz

a

ω− −=''

2

bz

a

ω− +=

ω△

z

22 6 5 0z z− + =

2 8 3 64 0z z− + =

( )2 2 cos 1 0z zθ− + =

2:المعادلة ذات المجهول ℂحل في 02تطبيق 3 2 0z z+ + =

�ل ا��7)د�# -@= c�"�d4ا 23 2 0z z+ + =

: المعادلة ℂنعتبر في :��03��� 3 22 16 0...(E)z z+ − =

) .E(هو حل للمعادلة 2بين أن العدد -

:حتى يكون من أجل كل عدد مركب و أوجد العددين الحقيقيين -

3 2 22 16 ( 2)( )z z z z az b+ − = − + +

) E(للمعادلة ℂفيحل -

08الدرس

تمييزدائرة ونصف مستقيم%4ط: k عدد حقيقي موجب تماما وθθθθ عدد حقيقي حيث[[[[ [[[[0 ; 2θ∈ πθ∈ πθ∈ πθ∈ π

i :التي تحقق Zذات الالحقة Mمجموعة النقط ) E(نسمي0Z = Z + k . e θθθθ

A<=�# ا�"�0Z #8حيث

1 / R�0arg (z-zو 0Z - Zا= ) (?dL"ه c}(�"ا� *�T e_

IR*يمسح Kثابت و qCθθθθ*ض / 2vو شعاع توجيهه Aهي نصف المستقيم المفتوح الذي مبداؤه ) E(بين ان

Uذو الالحقة ����]]]] :حيث ]]]] arg (u) = 2θ πθ πθ πθ π

IRيمسح θθθθثابت و qCK*ض /3

KوC:9 �8*ه) Aالتي مركزها ) C(هي الدائرة ) E((?� ان

حقيقي موجب تماما K /1:امثلة

:التي تحقق Zذات الالحقة Mمجموعة النقط ) E(عين i6Z = 1 + k . eππππ

2/θعدد حقيقي

iZ = -1 +i+ 2e :التي تحقق Zذات الالحقة Mمجموعة النقط ) E( عين θθθθ

تطبيق

(O ; u , v)في المستوى المركب المنسوب إلى معلم متعامد و متجانس � �� �� �� ).cm 2الوحدة (؛ �

AZذات الالحقة Aنعتبر النقطة . R = 1و نصف القطر Aذات المركز (C)و الدائرة 1 =

z

abz

I ( نعتبر النقطةF و النقطة 2ذات الالحقةB ذات الالحقةi3

BZ = 1 + eππππ

ذات الالحقة Eو النقطةُ 2

E BZ = 1 + Z . . (C)نقطة من الدائرة Bبين أن -1))))عين قيس للزاوية -2 ))))AF , AB

���� �������� �������� �������� ���� .

Bعين الشكل األسي للعدد -3 AZ - Z وE AZ - Z . .على استقامة واحدة E و Bو Aاستنتج أن النقط -4

II ( لتكن النقطتانM وM′′′′ ذات الالحقتينZ وZ′′′′ حيث : 2Z = 1 + Z′′′′ وZ 0 , Z 1≠ ≠≠ ≠≠ ≠≠ ≠

Zما هو التفسير الهندسي لـ - - 1

Z - 1

Zحيث ′′′′ ≠Z 0 و 1 ≠≠ ≠≠ ≠≠ ≠ .

تكون على استقامة واحدة ′′′′Mو Mو Aاستنتج أن النقط -2

2Z: إذا وفقط إذا كان

Z-1∈∈∈∈ ℝℝℝℝ

09الدرس

ا<$Lاد ا��*آM# و ا����3bت ا�"�8?#

المستوي المركب منسوب إلى معلم متعامد و متجانس :نشاط

M نقطة ذات الالحقةZ وM′′′′ نقطة ذات الالحقةZ′′′′

′′′′MMعين الحقة الشعاع / 1������������������������

Zبداللة ′′′′Zثم عبر عن

2/*k ∈∈∈∈ ℝℝℝℝ 0وM 0نقطة ذات الالحقةZ 0 و ≠≠≠≠0Z Z حيث 0M M M Mk′′′′ ====

������� ������������� ������������� ������������� ������

�' � 'Z′′′′ بداللة Z

3 / θ ∈θ ∈θ ∈θ ∈ ℝℝℝℝ 0M 0نقطة ذات الالحقةZ

حيث 0

0

M M = 1

M M

′′′′))))و )))) [[[[ ]]]]0 0M M ; M M = 2′′′′ θ πθ πθ πθ π

������ ������������� ������������� ������������� �������

�' � 'Z′′′′ بداللة Z

( ); ,O OI OJ��� ���

خاصية . ′′′′Zذات الالحقة ′′′′Mالنقطة Zالحقتها Mالتحويل النقطي الذي يرفق بكل نقطة Sليكن Z: إذا كان • = Z + ′′′′ ββββ حيث : β ∈β ∈β ∈β ∈ ℂℂℂℂ

vانسحاب شعاعه S: فإن ββββذو الالحقة ����

0: إذا كان • 0Z - Z = k (Z - Z 0Zحيث ′′′′( ∈∈∈∈ ℂℂℂℂ و

*k ∈∈∈∈ ℝℝℝℝ فإنS تحاكي نسبتهk 0و مركزه النقطةM ذات . 0Zالالحقة

i: إذا كان •0 0Z - Z = e (Z - Z )θθθθ′′′′ 0حيثZ ∈∈∈∈ ℂℂℂℂ و θ ∈θ ∈θ ∈θ ∈ ℝℝℝℝ

. θθθθوزاويته 0Zذات الالحقة 0Mدوران مركزه النقطة Sفإن

: البرهان

Zإذا كان • = Z + ′′′′ ββββ فإنMM

Z - Z = Z = ′′′′

′′′′ ββββ������������������������

′′′′MMمن المستوي فإن الشعاع Mومنه من أجل كل نقطة ������������������������

.ثابت ′′′′MMشعاعهانسحاب S ومنه

������������������������

0إذا كان • 0Z - Z = k (Z - Z ذات 0Mفإن صورة النقطة ′′′′(

≠≠≠≠0Z Zومن أجل . هي نفسها S بواسطة 0Zالالحقة

0*: فإن

0

Z - Z = k , k

Z - Z

′′′′∈∈∈∈ ℝℝℝℝ .

0: ومنه

0

M M = k

M M

′′′′

)))): فإن k > 0فإذا كان )))) [[[[ ]]]]0 0M M ; M M = 0 2′′′′ ππππ������ ������������� ������������� ������������� �������

)))): فإن k < 0و إذا كان )))) [[[[ ]]]]0 0M M ; M M = 2′′′′ π ππ ππ ππ π������ ������������� ������������� ������������� �������

0Mوفي الحالتين النقط , M , M′′′′ على استقامة واحدة.

0النسبة

0

M M = k

M M

′′′′ kو نسبته 0Mتميز تحاكي مركزه

iإذا كان •0 0Z - Z = e (Z - Z )θθθθ′′′′ 0فإن صورة النقطةM 0ذات الالحقةZ بواسطةf ومن . هي نفسها

≠≠≠≠0Z Z: أجل

i0: فإن

0

Z - Z = e

Z - Zθθθθ′′′′

0: ومنه

0

M M = 1

M M

′′′′))))و )))) [[[[ ]]]]0 0M M ; M M = 2′′′′ θ πθ πθ πθ π

������ ������������� ������������� ������������� �������

. θθθθو زاويته 0Mهاتين العالقتين تميزان دوران مركزه JK L�01

: في كل حالة مما يلي ′′′′Zذات الالحقة ′′′′Mالنقطة Zذات الالحقة Mالذي يرفق بالنقطة Sادرس طبيعة التحويل

3) Z = 3Z′′′′ 2) Z = Z + i + 1′′′′ 1) Z = Z - 1′′′′

26) Z = (i + 1) Z + i

2′′′′ 5) Z = iZ′′′′ 4) Z = -2Z + i + 2′′′′

JK L�01

صورتي العددين المركبين و النقطتانلتكن ، معلم الالمستوي منسوب إلى

.على الترتيب و

.قائم ومتقايس الساقين بين أن المثلث أ ـ

. إلى النقطة ، والنقطةإلى النقطة عين مركز وزاوية الدوران الذي يحول النقطة ب ـ

؟ما هي طبيعة الرباعي . بهذا الدوران صورة النقطة لتكن النقطة Pـ ـ

( ); ;O u v� �

AB

4 2a i= +3b i= −

OAB

ABBO

COABOC