iiorjiabjle peajihm bpojebm - alas.matf.bg.ac.rsalas.matf.bg.ac.rs/~mi10103/predavanja/_a1/analiza i...
TRANSCRIPT
AHAJU13A I 3A 11H<I>OPMATI11.IAPE 1
22. cpe6pyap 2011.
IIorJiaBJLe 1
PEAJIHM BPOJEBM
1. OcHOBHe oco6HHe cKyrra peaJIHHX 6pojeBa R
Y OBOj TaqKll Hajrrpe neMO HaBeCTll aKCllOMe CKyrra peaJIHllX 6pojeaa ll
HajBaJKHllje OC06MHe KOje CJie,n;e ll3 OBllX aKCllOMa.
Ilo,n; cKyrroM peaJIHllX 6pojeaa rro,n;pa3yMeBaMo 6MJIO KOjM cKyrr R y KOMe
cy ,n;eqmHMCaHe orrepan;Mje ca6Hpaiba 11: MHOJKeiLa, 11: peJian;Mja rropeTKa ~ TaKo
,n;a cy 3a,n;oao.n:,eHe cJie,n;ene aKCMOMe.
A'X:cuoMe ca6upa7ba.
(I.l) 3a rrpoH3BOJLHe eJieMeHTe x, y E R aaJKM x + y = y + x.
(1.2) 3a rrpoH3BOJLHe eJieMeHTe x, y, z E R aaJKM (x + y) + z = x + (y + z).
(1.3) IlocTojM eJieMeHT 0 E R TaKaB ,n;a je x + 0 = x 3a caaKo x E R.
(1.4) 3a caaKM eJieMeHT x E R rrocTojM eJieMeHT y = -x E R TaKaB ,n;a je
X+ y = 0.
A'X:cuoMe Mno::xce'lba.
(ILl) 3a rrpOM3BOJbHe eJieMeHTe x, y E R aaJKM x · y = y · x.
(II.2) 3a rrpOH3BOJbHe eJieMeHTe x, y, z E R aaJKM (x · y) · z = x · (y · z).
(II.3) IIocTojM eJieMeHT 1 E R pa3Jill'IllT o,n; 0, TaKaB ,n;a je 1 · x = x 3a
caaKo x E R.
2 AHAJU13A I 3A HH1)0PMATH"4APE
(11.4) 3a caaKH eJieMeHT x E R (x =/:. 0) rrocTojH eJieMeHT y = x- 1 TaKaa
.ua j e x · y = 1. (II.5) 3a rrpoH3BOJI.He eJieMeHTe x, y, z E R aaam x(y + z) = xy + xz.
A-x:cuo.Me nopem-x:a.
(III.1) 3a rrpOH3BOJI.aH eJieMeHT x E R aaam x:::::; x.
(III.2) AKo eJieMeHTH x, y E R 3a,n:oaoJI.aaajy peJian;Hje x :::::; y H y :::::; x,
Ta,n:a je x = y.
(111.3) AKo eJieMeHTH x, y, z E R 3a,n:oaoJI.aaajy peJian;nje x :::::; y H y ~ z,
Ta,n:a je x:::::; z. (III.4) 3a rrpOH3BOJI.He eJieMeHTe x, y E R aaam 6ap je,n:Ha o.u peJian;Hja
X:::::; y H y:::::; X.
(II1.5) AKo je x :::::; y, Ta.n:a 3a rrpOH3BOJI.HO z E R aaam x + z :::::; y + z.
(111.6) AKo je 0:::::; x H 0:::::; y, Ta,n:a je TaKolje H 0:::::; x · y.
HarroMeHHMO ,n:a ce aKCHOMa (III.1) Ha3HBa oco6HHOM pecf>JieKCHBHOCTH
peJian;Hje IIOpeTKa, aKCHOMa (III.2) aHTHCHM8TpHl:.!HOIIIfiy, H aKCHOMa (111.3) oco6HHOM TpaH3HTHBHOCTH. AKcHoMa (III.4) rroKa3yje ,n:a cy npOH3BOJI.Ha .uaa
peaJIHa 6poja Meljyco6Ho ynope,n:Haa.
A-x:cuo.Ma Henpe-x:uih-wcmu.
(IV) AKo cy A H B IIPOH3BOJI.HH Heii.pa3HH cKynoaH peaJIHHX 6poj eaa
TaKBH .ua je A:::::; B y CMHCJIY .ua je 3a caaKo x E A H caaKo y E B HcnyllieHo
x :::::; y, Ta,n:a nocTojH HeKo z E R TaKo .ua je 3a npoH3BOJI.He eJieMeHTe x E A H
y E B HCITYib8HO X :::::; z :::::; y.
AKCHOMe (1.1)-(1.4) 3anpaBO 3Hal:.!e ,n:a je CTpyKTypa (R, +) KOMyTaTHBHa
rpyrra, a aKCHOMe rpyrre (I) 3aje,n:Ho ca aKCHOMaMa rpyne (II) 3Ha'le ,n:a je
CTPYKTypa (R, +, ·) jeo'Ho no.!be. AKcHoMe cae TPH rpyrre 3aje,n:Ho roaope .ua
je CTPYKTypa (R, +, ·) je,n:Ho ype1je'Ho no.!be.
AKcHoMa (IV) Ha3HBa ce a-x:cuo.MO.M Henpe-x:uoHocmu 3a cKyn peaJIHHx
6pojeaa.
IIOKa3yje Ce ,n:a je HaB8,U8HH CKYIT aKCHOMa HeiipOTHBpel:.!aH y CMHCJIY ,n:a
nocTojH 6ap je,n:Ha Iberoaa peaJIH3an;nja, H .ua caaKa .uaa cKyna Kojn 3a,n:oao
JI.aaajy rOpibe aKCHOMe HMajy CJIHl:.!HY CTpyKTypy, na ce MOry H,IJ;8HTHcpHKO
BaTH .
.llaJI.e ce 3a npoH3BOJI.He peaJIHe 6pojeae a, b yao,n:H IbHxoaa pa3JIHKa ca
a- b =a+ (-b),
_.1
AHAJB13A I 3A MH<POPMATM"Y:APE 7
n aKo rrpeTrrocTaBnMo ,n:a je y1 < y2, Ta,n:a 6n Herrocpe,n:Ho cJie,n:nJio ,n:a je
yf < y~, ,n:aKJie X < X, illTO je IIOHOBO KOHTpa,n:nKIJ;llja. TnMe je TeopeMa 0
erll3llCTeHD;lljll KOpeHa y IIOTIIYHOCTll ,L(OKa3aHa. 0 Bpoj y n3 oBe TeopeMe Ha3nBa ce n-mu.M 11:openoM rro3nTnBHOr 6poja
x, n 03HaqaBa ce ca yiX llJill ca x 1fn.
HarroMeHnMo ,n:a oBa orrepaunja CTerreHoBalba rroce,n:yje yo6nqajeHa o
co6nHe.
2. IIpomHpeHH cKyn peaJIHHX 6pojeBa
BpJIO qecTo ce cKyrr peaJIHnx 6pojeBa R rrpomnpyje ca ,n:Ba cpopMaJIHa
eJieMeHTa +oo n -oo, qnMe ce ,n:o6nja T3B. npow.upenu c~yn pea.!I.'HUX 6pojeea
R*. llaKJie,
R* = RU {-oo} U {+oo}.
TaqKe cKyrra R ce rrpnTOM Ha3nBajy KOHaqHnM.
CMaTpaMo ,n:a je -oo < +oo, n 3a cBaKo x E R Bamn -oo < x < +oo, qnMe ce peJiau;nja < ca CKyrra R rrpomHpyje Ha cKyrr R*.
OcnM Tora, qecTo ce y oBaj cKyrr yBo,n:n H cpopMaJIHH eJieMeHT oo, 3a
KOjH He ,I!;ecpHHllilleMO HHje,n:Hy peJian;njy THIIa X :::; 00 llJill 00 :::; X 3a X E R*
OCHM oo = oo. MrraK, 3a eJieMeHTe +oo, -oo, oo yBO,II;HMO cJie,n:ena rrpaBnJia
paqyHalba.
Ca6upa1be u ooy3u.Ma1be y c~yny R = R u { +oo} u { -oo} u { 00}:
x + (+oo) = +oo (x E R), x- (+oo) = -oo
x + (-oo) = -oo (x E R), x- (-oo) = +oo
(+oo) + (+oo) = +oo, (-oo) + (-oo) = -oo,
(x E R),
(x E R),
(+oo)- (-oo) = +oo, (-oo)- (+oo) = -oo, x + (oo) = oo (x E R).
Mno'JICe'Tbe y c~yny R:
x · (+oo) = +oo (x > 0),
x · ( -oo) = -oo (x > 0),
x·(oo)=oo (x#O),
x · (+oo) = -oo
x · (-oo) = +oo
(x < 0),
(x < 0),
- (-oo) = +oo, -(+oo) = -oo, -(oo) = oo,
(+oo)(+oo) = +oo, (+oo)(-oo) = -oo, (+oo)(oo) = oo,
(-oo)(-oo) = +oo, (-oo)(oo) = oo.
8 AHAJIH3A I 3A HH<I>OPMATHqAPE
Pev,unpO'I{'He apeiJHocmu y c'K:yny R:
1 1 1 1 -- = -- =- =0, +oo -oo oo 0 = 00.
1IeJbe1be y c'K:yny R:
X
0 =oo (xER,x=/=0), ~-X X +oo - -oo =
00 = 0 (x E R),
00=oo (xER),
X
-oo = -oo (x > 0), X
+oo = +oo (x > 0), X
-oo - = +oo (x < 0).
X
+oo = _ 00 (x < 0), X
ropl:be 3611pOBe, pa3JII1Ke, IIp0113BO,IJ;e, KOJIW.J:HI1Ke 11 peD;11IIpO~IHe Bpe,IJ;
HOCTI1 y cKyny R cMaTpaMo ",neqmHI1CaHI1M", 3a pa3JII1KY o,n 113pa3a
(oo) ± (oo), ±(oo) ± ( +oo), ±(oo) + ±( -oo),
(+oo)- (+oo), (-oo)+(+oo), (-oo)- (-oo),
0 · (+oo), 0·(-oo), 0 00 00 00
0. oo, 0'
- -'
-' ' +oo 00 -oo
+oo +oo +oo -oo -oo -oo - - - - - -
' ' ' ' ' +oo -oo 00 -oo +oo 00
KOje CMaTpaMO "He,neqHIHI1CaH11M".
IlojMOBI1 ±oo Ce TaKol)e MOry BpJIO KOp11CHO 11CK0p11CTI1TI1 KO,IJ; ,neqm
HI1Cal:ba cyrrpeMyMa 11 11HqmMyMa HeorpaHI1"tJeHI1X cKynoBa. Ha11Me, aKo He
rrpa3aH cKyn A ~ R Hl1je orpaHI1"tJeH ca ropl:he cTpaHe, Ta,na Ha ocHoBy
,neqmHI1D;I1je Y311MaMo ,na je
sup A= +oo.
CTora 3a rrpo113BOJDaH Henpa3aH cKyn A ~ R nocTojl1 I:heroB cynpeMyM
sup A Kao KOHa"tJaH peaJiaH 6poj, 11JII1 6poj +oo. AKo Herrpa3aH cKyn A Hl1je orpaHI1"tJeH ca ,nol:be cTpaHe, Ta,na ce Ha
OCHOBY KOHBeHI(I1je TaKol)e CTaBJba ,na je
inf A= -oo.
CTora je 11HqmMyM Herrpa3HOr cKyrra yBeK ,neqmHI1CaH Kao KOHa"tJaH pe
aJiaH 6poj 11JII1 Kao 6poj -oo.
3. MuTepBaJIH H OKOJIHHe
AHAJU13A I 3A I1H<I>OPMATI11.JAPE 3
M aKO je b =/= 0, IbMXOB KOJU1'-IHMK Ca
a b = ab-1.
Ilope.n. TOra YBO.LI.MMO M peJian;:ajy < Ca X < y aKO M CaMO aKO je X :::; y
M X ;j= y.
0CMM TOra KaJKeMO .n.a je X~ y aKO je y :::; X M X > y aKO je y <X.
Bpoj x E R Ha3HBa ce H.ezamumm.M aKo je x < 0, noJumue'H.u.M aKo je
X > 0, 'H.e'H.ezamUB'H.U.M aKO je X ~ 0, M 'H.en03UffiUB'H.U.M aKO je X :::; 0 .
.lla.n,e ce 3a rrpOM3BO.lliaH peaJiaH 6poj x yBO.LI.M anco.Aym'H.a epeaH.ocm
6poja x ca
{ x,
lxl = -x, x~O
x<O
MoJKe ce JiaKo .n.oKa3aTM .n.a 3a rrpoM3BO.lliHe peaJIHe 6pojeBe x, y BaJKM
T3B. H.ejeaH.a'K:ocm mpoyz.Aa
(1) lx + Yl :::; lxl + IYI,
M .n.a je lx + Yl = lxl + IYI aKo M caMo aKo je x, y > 0 MJIM x, y < 0, MJIH je je.n.aH
o,n; 6pojeBa x, y je,n;HaK HYJIM, a .n.pyrM je rrpOM3BO.lliaH.
3aTHM ,n;a je 3a IIpOM3BO.lliHO € > 0 Heje.n.HaKOCT lxl :::; € eKBMBaJieHTHa Ca
-€ :::; X :::; €, M .n.a 3a IIpOM3BO.lliHe peaJIHe 6pojeBe X, y BaJKe je.n.HaKOCTM
(2)
(3)
lxyl = lxiiYI,
I ~I= ~~~ (y =~=- o).
Iloce6HO, 3a CBaKO X ;j= 0 BaJKM je.n.HaKOCT
(4) 1~1 = 1~1 (x =I= 0).
OcMM Tara, HarroMeHHMO .n.a ce M3 Heje.n.HaKOCTM TpoyrJia JiaKo MOJKe
.LI.OKa3aTM .n.a je 3a IIpOM3BO.lliHe peaJIHe 6pojeBe X, y MCIIylbeHa Heje.n.HaKOCT
llxi-IYII:::; lx- Yl·
AKo cy ,n;aJLe X M y .LI.Ba rrpOM3BOJLHa peaJIHa 6poja, Ta.n.a neMO .n.eqm
HMCaTM max{x, y} = y aKO je X :::; y, M max{x, y} =X aKO je X ~ y. Vbpa3
max{x,y} Ha3:H:BaneMO "MaKCMMaJIHMM" O.LI. IIOCMaTpaHMX 6pojeBa X My.
4 AHAJU13A I 3A MH<I>OPMATMt.IAPE
CmPIHO neMO ca min{x, y} = X aKO je X ~ y, H min{x, y} X 2: y, ,n;e<f>HHHCaTH 11 MHHHMaJIHH11 (Tj. MaiMI) O,ll; 6pojeBa X H y.
y aKo je
2. llaJLe neMO yKpaTKO HaBeCTH HeKe HajBaJKHJfje IIO,ll;CKYIIOBe peaJIHlfX
6pojeBa.
Ilo,n; npupoihmM 6pojeeuMa rro,n;pa3yMeBaMo peaJIHe 6pojeBe o6JIMKa
1, 1 + 1 = 2, 1 + 1 + 1 = 3,
Ca N 03HaG:aBaMo cKyrr CBHX rrpMpO,n;HMX 6pojeBa.
Ilo,n; ~e.n,uM 6pojeeuMa rro,n;pa3yMeBaMo cBe 6pojeBe o6JixrKa 0, n, -n rrpM
G:eMy je n 6MJIO KojM rrpMpo,n;aH 6poj. CKyrr CBHX :o;eJIMX 6pojeBa 03HaG:aBaMo
ca Z. llaKJie,
z = {0, ±1, ±2, ±3, ... }.
IloKa3yje Ce ,n;a CKYII :o;eJIJfX 6pojeBa (Z, +, ·) rrpe,n;CTaBJLa KOMyTaTlfBHlf
rrpcTeH ca je,n;MHHUOM, aJIM ,n;a He rrpe,n;cTaBJLa rroJLe.
Ilo,n; pa~uona.n,nuM 6pojeeuMa rro,n;pa3yMeBaMo CBe 6pojeBe o6mma
P -1 - =pq ' q
rrpM G:eMy 6poj p E Z lf 6poj q E N. IlpMTOM o6MG:HO rrpeTIIOCTaBJLaMo ,n;a je
pa3JIOMaK p/ q pe,n;yKoBaH, Tj. ,n;a He rrocTojM 6poj k KOjlf MCTOBpeMeHo ,n;eJIM
6pojeBe p M q.
CKyrr CBHX pa:o;MoHaJIHHX 6pojeBa ce 03HaG:aBa ca Q. IloKa3yje ce
,n;a CKYII ( Q, +, ·) rrpe,n;CTaBJLa ype l)eHO IIOJLe, a JIM He 3a,ll;OBOJLaBa aKClfOMY
HerrpeKM,n;HOCTH (IV), rra j e Q =!= R. TaKo ce HarrpMMep rroKa3yj e ,n;a j e 6poj
../2 peaJiaH aJIM Hlfj e pa:o;MoHaJiaH 6poj.
BpojeBH H3 cKyrra R ""- Q Ha3MBajy ce upa~uona.n,nuM. OcMM Tora, MOJKe
ce IIOKa3aTH ,n;a je CKYII CBHX pa:o;HOHaJIHHX 6pojeBa Q npe6pojuB y CMHCJiy
,n;a ce CBH IheroBH eJieMeHTH Mory rropel)aTM y je,n;aH 6ecKoHaG:aH HH3. 3a
CKYII CBlfX MpaD;lfOHaJIHlfX 6pojeBa ce IIOKa3yje ,n;a HeMa OBY OC06MHy.
3. AKo je ,n;aJLe A rrpoM3BOJLaH Herrpa3aH rro,n;cKyrr peaJIHHX 6pojeBa,
Ta,n;a ce OH Ha3MBa ozpanu"le'HUM ca zop1be cmpane aKo rrocTojM 6poj b E R TaKaB ,n;a je 3a cBaKo x E A McrrylbeHo x ~ b.
CKyrr A Ha3MBa ce ozpanu"le'HUM ca 001be cmpane aKo rrocTojxr HeKo c E R TaKo ,n;a je 3a CBaKo x E A xrcrry!heHo x 2: c.
CKyrr A ~ R Ha3MBa ce ozpanu"le'HUM aKo je orpaHMG:eH H ca roplbe H ca
,n;olbe CTpaHe, ,n;aKJie rrocToje peaJIHlf 6pojeBM b, c TaKBH ,n;a je 3a cBaKo x E A lfCIIylbeHO C ~ X ~ b.
AHAJB13A I 3A MH<I>OPMAT1·f4APE 5
AKo je cKyrr A orpaHH"t!eH ca roplbe cTpaHe, Ta,n;a ce csaKH 6poj bE R TaKas ,n;a j e
x~b (x E A)
Ha3HBa MajopanmoM cKyrra A.
CJIH"t!HO ce ,n;eqmHmrre 11: Munopanma rrpOH3BOJbHOr CKyrra A orpaHH"tieHor
ca ,n;olbe CTpaHe.
AKo je A~ R rrpOH3BOJbaH Herrpa3aH cKyrr orpaHH"t!eH ca roplbe cTpaHe,
Ta,n;a ce peaJiaH 6poj s =sup A Ha3HBa cynpeMyMoM Tor cKyrra aKo je s je,n;Ha
MajopaHTa Tor cKyrra, 11: 3a csaKy ,n;pyry MajopaHTY b HCTor cKyrra saam ,n;a
je s ~ b. llaKJie, cyrrpeMyM cKyrra A, yKOJIHKO rrocTojH, rrpe,n;cTaBJba HajMalby
MajopaHTY TOr CKyrra.
TEOPEMA 1. Ilpou3BOJban nenpa3an cnyn A C R ozpanu"ten ca zop1be
cmpane uMa cynpeMyM .
.lloRa3. l!oKa3 OBOr TBptJeiba Ce MOJ-Ke ll3BeCTll IIpllMeHOM aKCllOMe
HerrpeKH,n;HOCTH. AKo ca B 03Ha"tiHMo cKyrr CBHX MajopaHaTa cKyrra A, Ta,n;a
cy cKyrroBH A 11: B Herrpa3Hll 11: samH ,n;a j e x ~ y 3a rrpoH3BOJbHe eJieMeHTe
x E A 11: y E B. CTora Ha ocHosy aKCHOMe HerrpeKH,n;HOCTll rrocTojH peaJiaH
6poj z TaKas ,n;a je x ~ z ~ y 3a cse 6pojese x E A H y E B. CTora je 6poj z
O"t!HrJie,n;Ho HajMallia MajopaHTa cKyrra A, rra je z = sup A. D
IlpHTOM Tpe6a HarJiaCHTll ,n;a cy, 3a rrpOH3BOJbaH Herrpa3aH cKyrr A orpaHH"t!eH ca ropllie CTpaHe, Moryna o6a cJiy"tiaja ,n;a cyrrpeMyM s =sup A E
A Kao 11: ,n;a s ~A. Ha rrpHMep aKo je cKyrr A= {0 ~ x ~ 1}, Ta,n;a jesup A= 1
H 6poj 1 E A, a aKo je A= {x:O < x < 1}, Ta,n;a je supA = 1H osaj 6poj
He rrpHrra,n;a cKyrry A. AKo 6poj sup A E A, oH,n;a ce OH Ha3HBa Ma'/'CcuMyMoM
cKyrra A 11: 03Ha"tiasa ce ca max A.
liaJbe, aKo je A ~ R rrpOH3BOJbaH cKyrr orpaHH"t!eH ca ,n;ollie CTpaHe,
Ta,n;a ce MOJ-Ke aHaJiorHo ,n;oKa3aTH ,n;a rrocTojH Iberosa Hajsena MHHopaHTa.
0Ha ce 03Ha"tiaBa ca r = inf A 11: Ha3HBa ce unrfiuMyMoM cnyna A. liaKJie, Ha
ocHosy ,n;e<f>HHHD;Hje, TO je peaJiaH 6poj r TaKas ,n;a je x 2:: r 3a csai<o x E A, ll 3a CBaKy ,n;pyry MllHOpaHTY m OBOr CI<yrra BaJ-Kll ,n;a je r 2:: m.
llpHTOM je Tai<otie Moryn cJiy"tiaj ,n;a 6poj r E A I<ao 11: cJiy"tiaj ,n;a 6poj
r ~ A. AI<o 6poj inf A E A, Ta,n;a ce OH Ha3HBa MU'I-£UMYMOM rrocMaTpaHor
ci<yrra.
113 rrpeTxo,n;HHX ,n;e<f>HHHD;Hj a rroce6Ho cJie,n;H ,n;a csaKH orpaHH"t!eHH He
rrpa3aH CI<yrr A ~ R rroce,n;yje cyrrpeMyM ll HH<f>HMYM y CI<yrry R.
6 AHAJil13A I 3A l1H<I>OPMA TJ1qAPE
lla.n.e HaBO,.ll;IfMO j om HeKe rrocJie,n:ui(e aKCHOMe HerrpeKH,n:HOCTH. CJie,n:e
l'i.a TeopeMa Ha3HBa ce ApxuMeooeo.M oco6uno.M cKyrra R.
TEOPEMA 2. Ax:o cy a u b npOU380Jb'HU noJUmUB'HU 6pojeeu, maoa nocmoju jeoan jeouncmeenu npupooan 6poj n max:ae oa je (n- 1) a :::; b < n a.
Ha ocHoBy oBe TeopeMe JiaKo ce ,n:oKa3yjy cJie,n:el'i.e rrocJie,n:ui(e HaBe,n:eHe
TeopeMe.
IIOCJIEJD1UA. (a) 3a npouJBOJban noJUmuean 6poj c nocmoju npupooan 6poj n max:ae oa je 1/n <c.
(6) Ax:o je X 2: 0 u Ja ceax:u npupooan 6poj n Ba'JICU X < 1/n, maoa je X= 0.
(I() 3a npouJBOJb'He pea.11,ne 6pojeee a u b max:ee oa je a < b, nocmoju 6ap jeOa'H pat~UO'Ha./l,a'H 6poj X max:a8 Oa je a < X < b.
CJie,n:el'i.a TeopeMa Ha3HBa ce TeopeMOM o rrocTojalhy n-Tor KopeHa H3
IIpOH3BOJI.HOr II03HTHBHOr 6poja.
TEOPEMA 3. 3a npouJBOJba'H noJumuean 6poj x u npupooan 6poj n
nocmoju u mo jeouncmeenu noJUmuean 6poj y max:ae oa je yn = x.
Jlo:Ka3. HeKa je A = {z E R: z 2: 0, zn :::; X}. CKyrr A je Herrpa3aH H
orpaHH"t!eH ca roplhe CTpaHe ( 6pojeM max{1, x}), rra Ha ocHoBy TeopeMe 1
rrocToju KOHa"tiaH cyrrpeMyM y = sup A. IIpuToM je O"t!HrJie,n:Ho y > 0. lla.rr,e
neMO ,ll;OKa3aTH ,n:a je yn = x. Hajrrpe rrpeTIIOCTaBHMO ,n:a je yn < x. AKO
03Ha"t!HMO c = X- yn, Ta,n:a je c > 0. 0CHM TOra, IIpHM€THMO ,n:a 3a CBaKO h
(0 < h:::; 1) KOpurnfi.elbeM 6HHOMH€ cpOpMyJie Ba/KH:
(y + h)n = t (~) yn-khk = Yn + h t (~) Yn-khk-1 :::; k=O k=l
:::; Yn + h t (~) yn-k = Yn + h [(1 + y)n _ Yn]. k=l
AKo ,n:a.rr,e H3a6epeMo h TaKa ,n:a je h < c/[(1+y)n-yn], Ta,n:a je (y+h)n:::;
yn + c = x, rra 6poj y + h E A, rnTo je KOHTpa,n;uKI(Hja ca rrpeTrrocTaBKOM ,n:a
je y =sup A. CTora je HeMoryl'i.e ,n:a je yn < x.
Ha rroTrryHo CJIH"t!aH Ha"tiHH .n;oKa3yje ce ,n:a je yn > x HeMoryl'i.e. CTora
je yn = x.
Haj3a,n:, ,n:oKa3aneMo ,n:a je 6poj y ca HaBe,n:eHHM oco6uHaMa je,n;HHCTBeH.
3aucTa, aKa 6u rrocTojaJia ,n:Ba 6poja Y1, Y2 > 0 TaKBa ,n:a je Y1 = Y2 = x,
AHAJU13A I 3A MH<I>OPMATMLIAPE 9
AKo cy a ¥I b ITpOH3BOJI:,HO peaJIHH 6pojeBH TaKBH .n;a je a < b, Ta,n;a ITO,n;
uH.mepea.!W.M (a, b) ITO,n;pa3yMeBaMo CKYIT
(a, b)= {x E R:a < x < b}.
Ta-ciKe a ¥I b Ta,n;a Ha3HBaMo KpajibHM TaqKaMa Tor HHTepBaJia, a CBaKH
OBaKaB HHTepBaJI Ha3HBaMo jorn H omeope'H.U.M uH.mepea.!W.M. OcHM Tora,
ITpa3aH CKYIT ITO KOHB8HD;Hj¥I TaKolje CMaTpaMO OTBOp8Hk'IM k'IHT8pBaJIOM.
AKo cy ,n;aJbe a ¥I b ITpOH3BOJI:,HH peaJIHH 6pojeBH TaKBH .n;a je a ::; b,
Ta,n;a ITO,n; 3ameopeH.U.M uH.mepea.!W.M [a, b] ITO.n;pa3yMeBaMo CKYIT
[a,b] = {x E R:a::; x::; b}.
IIoce6Ho 3a a= b .n;o611:jaMo CKYIT [a, a]= {a}. OcHM Tora ce ITO KOHBeH
:o;lljH ITpa3aH CKYIT TaKolje CMaTpa je,n;HHM 3aTBOp8Hk'IM k'IHT8pBaJIOM.
AKo je a < b, Ta.n;a ce CKYITOBH
[a, b)= {x E R:a::; x < b}, (a,b] = {x E R:a < x::; b}
Ha3¥IBajy no.~tyomeopeH.u.M U'Hmepea.ltu.Ma ca KpajibHM Ta"tiKaMa a H b. KaiKe
C8 ,n;a je ITpBH O,Il; Tk'IX k'IHT8pBaJia "3aTBOpeH y TaqKH a ll OTB0p8H y TaqK¥1
b", a ,n;pyrH O,II; THX HHT8pBaJia "OTBOpeH y TaqKH a H 3aTBOp8H TaqK¥1 b".
3a ITpOH3Bo.rr,He 6pojeBe a, bE R ce CKYITOBH
[a, +oo) = {x E: x 2:: a},
(-oo,b] = {x E R:x:::; b},
( -oo, +oo) = R,
(a,+oo) = {x E R:x >a},
(-oo,b) = {x E R:x < b},
TaKolje Ha3¥IBajy HHTepBaJIHMa, a o.n;roBapajyne TaqKe a ¥I b KpajibHM TaqKa
Ma OBHX HHT8pBaJia. llpllTOM C8 llHT8pBaJIH [a, +oo) ll ( -OO, b] Ha3llBajy
3aTBOp8HHM, a k'IHT8pBaJIH (a, +oo) ¥I ( -OO, b) OTB0p8HHM. l1HT8pBaJI ( -OO,
+oo) = R CMaTpa ce ¥I OTBOpeHHM H 3aTBopeHHM.
AKo cy a H b KOHaqHH 6pojeBH, Ta,n;a cy HHTepBaJIH o6JIHKa [a, b], [a, b), (a, b] ¥I (a, b) oqHrJie,n;Ho orpaHHqeHH CKYITOBH jep cy ca ,n;olbe CTpaHe orpaHH
qeHH KOHaqHHM 6pojeM a, a Ca rOpibe CTpaHe KOHaqHHM 6pojeM b. l1HT8pBaJIH
o6JIHKa [a, +oo), (a, +oo), ( -oo, b], ( -oo, b) H ( -oo, +oo) = R cy oqHrJie,n;Ho
HeorpaHHqeHH CKYITOBH.
IIo.n; uH.mepea.!tOJU ITo,n;pa3yMeBaMo HHTepBaJI 6HJIO Kor o.n; HaBe,n;eHHX
06JIHKa, a OB,n;e ITO KOHB8HD;Hj¥I ITpH,n;O,n;ajeMO H ITpa3aH CKyiT, KOjH TaKOlje
CMaTpaMO k'IHT8pBaJIOM.
10 AHAJU13A I 3A MH<I>OPMA TJ1qAPE
Ilo.n O'K:O.I!U'HOM Tal!Ke x E R rro,n;pa3yMeBaMo 6HJIO KOjH HHTepBaJI o6-
JIHKa (x- <5, X+ <5), HJIH 06JIHKa [x- <5, X+ <5] (<5 > 0), l!HjH je D;8HTap Tal!Ka
X. Ilo.n oeC'HOM O'K:O.!!U'HOM Tal!Ke X E R rro,n;pa3yMeBaMO 6HJIO KOjH HHTepBaJI
o6JIHKa [x,x+<5], [x,x+8), (x,x+8], (x,x+<S), rrpH lleMy je <5 > 0 rrpOH3Bo.rr.aH
6poj. CJIH"t.IHO, rro.n .11.eeoM o'K:O.I!U'HOM Tal!Ke x E R rro,n;pa3yMeBaMo 6HJIO KOjH
HHTepBaJI o6JIHKa [x- <5, x], (x- <5, x], [x- <5, x), (x- <5, x), rrpH lleMy je <5 > 0
IIpOH3BOJI.aH 6poj.
IlO,ll. O'K:O.!!U'HOM ma"t'K:e +oo IIO,n;pa3yMeBaMO 6HJIO KOjH HHT8pBaJI o6-
JIHKa [a, +oo) HJIH 06JIHKa (a, +oo), IIpH l!8MY je a 6HJIO KOjH peaJiaH 6poj, a
ITO)]; OKOJIHHOM Ta"t.IK8 -00 6HJIO KOjH HHT8pBaJI o6JIHKa ( -00, b] HJIH 06JIHKa
(-oo,b), IIpH "t.IeMy je b 6HJIO KOjH peaJiaH 6poj.
IIo.n; O'K:O.I!U'HOM ma"t'K:e oo, rro.n;pa3yMaBaMo 6HJIO KOjH cKyrr o6JIHKa !xi 2: a, Tj. CKYII (-oo,a]U[a,+oo), HJIH 6HJIO KOjH CKYII 06JIHKa !xi> a, IIpH ll8MY
je a 6HJIO KOjH HeHeraTHBaH 6poj.
AHAJH13A I 3A MH<I>OPMA TM1.JAPE 11
IIorJiaBJLe 2
HM30BM PEAJIHMX BPOJEBA
1. HH30BH H onep~Hje Ha~ HH30BHMa
Y OBOj Ta"tJKH IIOCMaTpaneMO HH30Be peaJIHHX 6pojeBa, KOje neMO KpaT
KO Ha3HBaTH H.U3oBu.Ma. CBaKH peaJiaH HH3 ,n;aKJie rrpe,n;cTaBJLa H3BecHo rrpec
JIHKaBa:Eua a: N H R cKyrra rrpHpo,n;HHX 6pojeBa N y cKyrr peaJIHHX 6pojeBa.
06H"tJHO ce 3a cBaKo n E N rrmrre a(n) = an, H peaJiaH 6poj an Ha3HBa ce
n-THM "tJJiaHoM HH3a. CaM HH3 ce OH,n;a o6H"tJHO 03Ha"tJaBa ca (an) (n E N), rroHeKa,n; ca {an: n EN}, rroHeKa,n; ca {a1, a2, .. . }, HJIH je,n;HOCTaBHO ca {an}·
Kao mTo je II03HaTo, Ha,n; rrpOH3BOJLHHM HH30BHMa Mory ce BpmHTH
o,n;peljeHe orrepa:o;Hje. TaKo aKo je (an) (n E N) rrpOH3BOJLaH peaJiaH HH3, 3a
rrpOH3BOJbaH peaJiaH 6poj a MO)KeMo ,n;a yo"tJHMO HH3 a(an) = (aan)· lberoB
n-TH "tJJiaH je ,n:aKJie o6JIHKa aan. HH3 a( an) Ha3HBa ce rrpOH3BO,n;OM HH3a (an) H peaJIHor 6poja a.
llaJLe, aKo cy (an) H (bn) (n EN) rrpOH3BOJLHH HH30BH, Ta,n;a rro,n: 36HpOM
OBHX HH30Ba rro,n;pa3yMeBaMo HH3 (an + bn)· lberoB n-TH "tJJiaH je ,n;aKJie
06JIHKa an+ bn, Tj. 36Hp n-THX "tJJiaHOBa ,LI;Ba IIOJia3Ha HH3a.
McTO TaKo, rro,n; pa3JIHKOM HH30Ba (an) H (bn) rro,n:pa3yMeBaMo HH3 (anbn), H lberoB n-TH "tJJiaH je o6JIHKa an- bn, Tj. pa3JIHKa n-THX "tJJiaHOBa ,n:Ba
ITOJia3Ha HH3a.
IIo,n: npOH3BO,LI;OM HH30Ba (an), (bn) no,n;pa3yMeBaMo HH3 (an bn), ,n;aKJie
HH3 "t!Hj H j e n-TH "tJJiaH j e,n;HaK an bn.
Ilo,n; KOJIH"t!HHKOM HH30Ba (an), (bn) rro,n;pa3yMeBaMo HH3 (an/bn) "tJHjH je
n-TH "tJJiaH je,n;HaK an/bn, ,n;aKJie KOJIH"t!HHK n-THX "tJJiaHOBa HH30Ba (an) H (bn), no,n: ,n:o,n;aTHOM npeTIIOCTaBKOM ,n;a je bn =/:- 0 3a cBaKo n E N.
12 AHAJU13A I 3A HH<I>OPMATH"Y:APE
HcTO TaKo, MOJKe ce IIOCMaTpani ll penurrpOl.IHa Bpe,.nHOCT 1/an Hll3a an
rro..n rrpeTrrOcTaBKOM ..na j e an =/= 0 3a CBaKo n E N.
HarroMeHHMO jorn ..na ce Hll3 (an) Ha3HBa ozpauu"te'Hu.M ca oo'lbe cmpaue aKo rrocToju peanaH 6poj a TaKaB ..na je 3a cBaKo n E N ucrryH>eHo an 2 a, 3aTHM ozpauu"teuu.M ca zop1be cmpa'He aKo rrocToju peanaH 6poj f3 TaKaB ..na je
3a cBaKo n E N ucrryH>eHo an :::; /3, ll ozpauu"teuu.M aKo je orpaHwieH ll ca
ropH>e ll ca ,.noH>e CTpaHe.
MoJKe ce JiaKo BH,.neTH ..na je Hll3 (an) orpaHH1IeH aKo H caMo aKo CBH
IberoBll 1!JiaHOBll rrpurra,.najy HeKOM orpaHH1IeHOM HHTepBany [a, /3]. HcTo
TaKO Hllje T8IIIKO ,ILOKa3aTll ,.na je Hll3 (an) OrpaHll1!8H aKO ll CaMO aKO je HH3
Janl orpaHH1IeH, a TaKol)e aKo ll caMo aKo rrocToju HeKH peanaH 6poj M 2 0
TaKaB ..naje Janl :::; M 3a CBaKo n EN.
MoJKe ce TaKol)e naKo BH,.neTH ..na BaJKe cne,.nena ,n;Ba CTaBa.
CTAB 1. (a) A1l:o je UU3 (an) ozpaUU"leu, maoa je 3a cea1l:O a E R u 'HU3 a(an) ma1>:o!je ozpauu"teu.
(6) A1l:o cy UU308U (an) u (bn) ozpa'HU"teuu, maoa cy u 'HU308U (an)± (bn), (an)(bn) ma1>:o!je ozpauu"teuu.
ll.mca3. (a) KaKo je Hll3 (an) orpaHH1IeH, rrocToju ll3BecTaH II03llTHBaH
6poj M TaKaB ..na je Janl :::; M 3a CBaKo n EN. O,n;aB,.ne je Jaanl = JaJJanJ:::; Jaj M 3a CBaKo n E N. CTora je ll Hll3 a (an) TaKol)e orpaHH1!8H.
(6) AKo cy Hll30Bll (an) ll (bn) orpaHH1!8Hll, rrocToje ll3B8CHll peaJIHll
6pojeBll M11 M2 2 0 TaKBll ..na je Jan! :::; M1 ll Jbnl :::; M2 3a CBaKO n E N. O,.naB,.ne je
Jan± bnJ:::; JanJ + JbnJ:::; M1 + M2
H Jan bnl = JanJlbnl :::; M1 M2 3a CBaKO n E N, rra cy H HH30Bll (an) ± (bn), (an) (bn) TaKol)e orpaHH1!8HH. 0
CTAB 2. A7>:o UU3 (an) 3aOOBO.Jbaea yc.;we oa je 3a cea1l:O n E N ucny'lbeuo
Jan I 2 6 > 0, maiJa je 'HU3 (lfan) 02paUU"leU.
l(o:Ka3. 3aucTa, KaKo je 3a cBaKo n E N ucrrylbeHo Jan I 2 5 > 0, cne..nu
..na je 11/anl = 1/Janl :::; 1/6, rra je ll Hll3 (lfan) TaKol)e orpaHH1!8H. 0
2. rpaHH"tiHa Bpe,LJ;HOCT HH3a
Je,.naH o..n HajBaJKHujux rrojMoBa Be3aHux 3a Hll30Be jecTe rrojaM rpaHH1!-
AHAJIH3A I 3A HH<i>OPMATH"LIAPE 13
He Bpe,IUIOCTH HH3a.
KoHa~aH 6poj a E R Ha3HBa ce zpa'HU~'HOM epeiJHowny HH3a (an) H rmme
ce
lim an= a n-+oo
aKO 3a CBaKO € > 0 IIOCTOjH npHpO,n;aH 6poj no
n;:::: no BaiKH
ian- al:::; E.
no(c) TaKaB .n;a 3a cBaKo
Ta.n;a KaiKeMo H .n;a HH3 an -+ a (" TeiKH Ka a") Ka.n;a n TeiKH Ka 6ecKoHa~
HOCTH.
AKO HH3 (an) HMa KOHa~HY rpaHH~HY Bpe,n;HOCT, OH,n;a Ce Ha3HBa rbO'H
eepze'Hm'HUM. Y cynpoTHOM, OH ce Ha3HBa iJueepzeHm'HUM.
Henocpe.n;Ho ce MOiKe BH,n;eTH .n;a je CBaKH r.:oHcmaHma'H 'HU3, Tj. HH3
TaKaB .n;a je an = a = canst 3a cBaKo n E N, KOHBepreHTaH H .n;a je IheroBa
rpaHH~Ha Bpe,n;HOCT je,n;HaKa a.
AKo je (an) npOH3BOJI.aH HH3 peaJIHHX 6pojeBa, Ta.n;a ce 3a npOH3BO
JI.aH HH3 npHpO,II;HHX 6pojeBa n1 < n2 < n3 < · · ·, HH3 (xk) = (ank) Ha3HBa
nOO'HU30M HH3a (an)· IlpHMeTHMO .n;a Ce Ta,n;a HH,II;YKD;HjOM JiaKO ,II;OKa3yje .n;a
je 3a cBaKo k E N HcnylheHo nk ;:::: k, o.n;aKJie cJie,n;H .n;a cBaKH TaKaB no.n;HH3
nk -+ 00 Ka,n;a k -+ 00. CBaKH HH3 je H HCTOBpeMeHO H je,n;aH CBOj IIO,II;HH3 KO,II;
Kora je n 1 = 1, n2 = 2, HT.n;. H yorrrriTe nk = k 3a cBaKo kEN.
MoiKe ce JiaKo noKa3aTH .n;a aKo HH3 (an) HMa rpaHH"t.IHY Bpe.n;HOCT
a, Ta.n;a H CBaKH IheroB no,n;HH3 HMa HCTY rpaHH~HY Bpe,n;HOCT. Mel)yTHM,
aKO H3BeCTaH TIO,II;HH3 (ank) HH3a (an) HMa rpaHH~HY Bpe,n;HOCT a, y OTiillTeM
CJiy~ajy HHje Ta~HO .n;a H :o;eo HH3 (an) yonmTe HMa rpaHH~HY Bpe,n;HOCT.
0~HrJie,II;HO je MeQyTHM .n;a aKO cear.;u IIO,II;HH3 (ank) HH3a (an) HMa rpaHH~HY
Bpe,n;HOCT a, Ta.n;a H :o;eo HH3 (an) HMa HCTY rpaHH~HY Bpe,n;HOCT, jep 3a IIO,II;HH3
MOiKeMO .n;a Y3MeMO H CaM HH3 (an).
HanoMeHHMO .n;aJI.e .n;a ce HH3 peaJIHHX 6pojeBa (an) Ha3HBa ce Kowuje
eu.M 'HU30M aKo 3a cBaKo E > 0 nocTojH HeKo no = n 0 (c) E N TaKo .n;a 3a cBe
HH.n;eKce m, n;:::: no BaiKH
(1) lam- ani:::; €.
Ta.n;a ce MOiKe .n;oKa3aTH cJie.n;ena TeopeMa.
TEOPEMA 1. Pea.JW'H 'HU3 (an) je r.:oHeepzeHma'H ar.;o u ca.Mo ar.;o Je
Kowujee.
14 AHAJH13A I 3A I1H<POPMA TI1"4APE
IIPHMEP. KopHmneibeM TeopeMe 1 MOiKe ce ,n:oKa3aTH ,n:a HH3
1 1 an= 1 +- + · · · +-2 n
(n EN)
,n:HBeprHpa. 3aHcTa, ,n:oKa3aneMo ,n:a oBaj HH3 HHje KomHjeB. KaKo je 3a
npOH3BOJbaH npHpO,n:aH 6poj n II CBaKO m > 2n HCITYibeHO
m1 n1 m 1 m 1
iam-ani=IL:k-Lkl=l L kl= L k> k=l k=l k=n+l k=n+l
1 1 n 1 > --+···+-- >- = -,
n + 1 n + n 2n 2
,n:aKJie lam -ani ~ 1/2 3a CBaKo n EN II m > 2n, 3aKJny-qyjeMo ,n:a nocMaTpaHH
HH3 HHje KomHjeB, na CTOra HHje HI! KOHBepreHTaH. Ta"I'.IHHje, OH je o,n:pel)eHO
,[(l!BepreHTaH, Tj. BaiKH
n 1 L k-+ +oo (n-+ oo). k=l
AKo ,n:aJbe 3a cBaKo M > 0 nocTojH H3BecTaH npHpo,n:aH 6poj n 0 = n0 (M) TaKaB ,n:a je 3a CBaKO n ~ no HCITyibeHO
iani ~M,
Ta,n:a nHmeMO limn-+oo an = oo.
AKo je CJIH"I'.!Ho, 3a cBe n ~ no(M) HcnyiheHo
an> M - '
Ta.n;a nHmeMo limn-+oo an = +oo, a aKo je 3a cBe n ~ n0 HcnyibeHo
an:::; -M,
OH.n;a nHmeMO limn-+oo an = -oo.
TaKo je HanpHMep
lim n = +oo, lim ( -n) = -oo, lim ( -1tn = oo. n-too n-+oo n-+oo
3aTHM II
lim qn = n-+oo
0, lql < 1
1, q = 1
He ITOCTOjH, q:::; -1
+oo, q > 1
AHAJII13A I 3A I1H<l>OPMATI1"Y:APE 15
HH3 an KOjH Team Ka je,n;HOM o,n; H3pa3a oo, ±oo TaKot)e ce rroHeKa,n;
Ha3:H:Ba KOHBepreHTHHM, aJIH Ce OH,L(a KOHBepreHI(Hja Ka 00, O,L(HOCHO Ka +oo HJIH Ka -OO CTpHKTHO HarJiaiiiaBa, ,n;a 6H Ce jaCHO pa3JIHKOBaJia 0,1:( yo6w:ra
jeHe KOHBepreHI(Hje Ka KOHaqHoj rpaH:H:qHoj Bpe,n;HOCTH.
CTAB 3. A-x:o zpa'HU"{'Ha apeihwcm 'HU3a nocmoju u npeiJcmaa.!ba 'X:D'H.a"{a'H
6poj, oniJa je o'Ha jeiJu'H.cmeena.
1Io:Ka3. IIpeTrrocTaBHMO cyrrpoTHO TBpt)eH>y ,n;a KOHBepreHTaH HH3 (an)
HMa ,n;Be pa3JIHq:H:Te rpaH:H:qHe Bpe,n;HOCTH a H b. Ta,n;a je c = ~!a- bl > 0.
CTora rrocTojH rrpHpo,n;aH 6poj n 1 TaKaB ,n;a je !an - a! < c 3a cBe rrpHpO,L(He
6pojeBe n ~ n 1, H rrpHpo,n;aH 6poj n 2 TaKaB ,n;a je !an- bl < c 3a CBe rrpHpo,n;He
6pojeBe n ~ n 2. O,n;aB,n;e cJie,n;H ,n;a rrocTojH 6ap je,n;aH rrpHpo,n;aH 6poj n > n1, n2 TaKaB ,n;a je !an- a! < c H !an- bl < E, o,n;aKJie ,n;o6:H:jaMo ,n;a je
!a- bl = !a- an+ an- bl :::; Ia- ani+ ian- bl < 2 c = Ia- bl,
IIITO je HeMoryne. CTora je je,n;HHO Moryne ,n;a je a= b. D
HarroMeHHMO ,n;a rrpeTxo,n;Ho TBpt)eH>e Baam H aKo rrocMaTpaMo He caMo
KOHaqHe rpaHH'!He Bpe,n;HOCTH Hero H Bpe,n;HOCTH oo H ±oo. To rroce6Ho 3Haq:H:
,n;a HH3 He MOJKe :H:MaTH HeKy KOHa'IHY rpaHH'IHY Bpe,n;HOCT H HeKy 0,1:( rpaHH'I
HHX Bpe,n;HOCTH 00 H ±oo, H 3aTHM He MOJKe :H:MaTH KaO rpaHH'!He Bpe,n;HOCTH
o6a H3pa3a +oo H -oo. Met)yTHM, aKo HMa 6ap je,n;Hy o,n; rpaHH'IHHX Bpe,n;
HOCTH +oo HJIH -00, OH Ta,n;a HMa H rpaHH'IHY Bpe,n;HOCT 00, jep H3pa3H ±oo rrpe,n;cTaB.rr,ajy caMo rroce6He o6JIHKe 6poja oo. 06paTHO He Mopa ,n;a BaJKH,
Tj. HH3 MOJKe :H:MaTH rpaHH'IHY Bpe,n;HOCT 00, a ,n;a HeMa HH j e,n;Hy 0,1:( rpaHH'I
HHX Bpe,L(HOCTH ±oo. 0BO ce MOJKe BH,L(eTH Ha IIpHMepy HH3a ( -1)nn. CBa
OBa TBpt)eH>a ce JiaKO MOry ,L(OKa3aTH Ha OCHOBY O,L(rOBapajyfiHX ,n;e<j}HHHI(Hja.
CTAB 4. Cea-x:u 'X:D'HBepze'Hma'H 'HU3 (an) -x:oju UMa -x:o'Ha"{'HY zpa'HU"{'HY
apeiJ'Hocm je ozpa'HU"{e'H.
1Imm3. IIpeTIIOCTaBHMO ,n;a je HH3 (an) KOHBepreHTaH H ,n;a je lim an = n-+oo
a. Ta,n;a rrocTojH 6ap H3BecTaH rrpHpo,n;aH 6poj n 0 TaKaB ,n;a je !an-al < 1 3a
cBe rrp:H:po,n;He 6pojeBe n ~ n 0 • O,n;aB,n;e je 3a CBaKo n ~no HcrryH>eHo
I an I = I an - a + a I :::; I an - a I + I a I < 1 + I a I,
rra je, aKo cTaBHMO M = max{1+lal, la1!, la2!, ... , lana-I I} O'IHrJie,n;Ho, 3a CBaKo
n EN HcrryH>eHo !an! :::; M. CTora je HH3 (an) orpaHH'IeH. D
16 AHAJU13A I 3A MH<I>OPMA TMl.IAPE
Tpe6a HarroMeHyT:a .n:a o6pHyTo TBpl)elhe y orrmTeM cJiyqajy H:aje Taq
HO, Tj. ,n:a orpaH:aqeH Hl13 He MOpa 6HTl1 KOHBepreHTaH. To ce MOiKe BH,L(eTH
Ha rrp:aMepy HH3a an= ( -1)n Koj:a je orpaH:aqeH, aJI:a H:aje KOHBepreHTaH.
Oc:aM Tora Tpe6a HarroMeHyT:a .n:a rrocToje :a Bap:ajaHTe roplher TBpl)elha
:a y cJiyqajy ,n:a je rpaH:aqHa Bpe,n:HOCT HH3a (an) 6ecKoHaqHa. Harrp:aMep,
aKo je limn-roo an = +oo, Ta.n;a ce JiaKo MOiKe ,n:oKa3aT:a .n:a Hl13 (an) H:aje
orpaH:aqeH ca roplhe cTpaHe, aJI:a jecTe orpaH:aqeH ca ,n:olbe CTpaHe. CJI:aqHo,
aKo je limn-roo an = -oo, Ta.n;a je TaKaB Hl13 HeorpaH:aqeH ca ,n:olbe CTpaHe,
aJI:a je orpaH:aqeH ca roplbe CTpaHe. HajTeiK:a cJiyqaj y OBOM rrorJie,n:y je
:arraK cJiyqaj Ka,n:a je limn-roo an = oo. Ta.n:a ce caMo MOiKe ,n:oKa3aT:a ,n:a je
(an) HeOrpaH:aqeH Hl13, aJIH OH rrpHTOM MOiKe 6HTl1 OI'paH:aqeH Ca ,L(Olbe MJIM
orpaH:aqeH ca roplhe cTpaHe, a :acTo TaKo :a HeorpaH:aqeH c a o6e cTpaHe.
0Ba Tpl1 liOCJie,n:Iba CJiyqaja Ce Mory HJIYCTpOBaTH Harrp:aMep Hl130Bl1Ma
an= n, an= -n, an= (-1)nn (n EN).
CTAB 5. Ax:o zpaH.U'l/.1-l.a epedH.ocm lim an = a nocmoju u x:oH.a'l/.H.a Je, n-too
mada je u lim lanl = lal. n-too
1lmm3. lloKa3 Herrocpe,n:Ho cJie,n::a 113 Heje,n:HaKocT:a
llanl-lall:::; ian- al. 0
llpeTXO,L(Hl1 CTaB liOCe6HO 3Haq:a ,n:a aKO je Hl13 (an) KOHBepreHTaH, Ta,n:a
je l1 O,L(I'OBapajyn:a Hl13 arrCOJIYTHHX Bpe,n:HOCTH lanl TaKol)e KOHBepreHTaH.
06pHyTO TBpl)elbe y OliillTeM CJiyqajy HHje TaqHO illTO Ce MOiKe BH,L(eTH Ha
Hl13Y (-1)n. 0Baj Hl13 ,L(HBepr:apa Ma,n:a O,L(I'OBapajyn:a Hl13 arrCOJIYTHHX Bpe,n:
HOCTH I( -1)nl = 1 KOHBepr:apa.
Tpe6a HarroMeHyTH ,n:a rrpeTXO,L(HH CTaB y HeKOM CMHCJIY BaiKH l1 aKO j e
rpaH:aqHa Bpe,n:HOCT a HH3a an je,n:aH o.n: c:aM6oJia oo, ±oo. Y TOM CJiyqajy ce
JiaKo MOiKe ,n:oKa3aT:a .n:a je limn-roo ianl = +oo.
CTAB 6. Ilpemnocmaeu.Mo da nocmoju x:oH.a'l/.H.a zpaH.U'l/.1-l.a epedH.ocm
lim an = a. Tada 3a npou3BO.IbaH. pea.1~.aH. 6poj a BaJ~Cu jedH.ax:ocm n-too
(2) lim aan =a a. n-too
1lm~a3. AKo je a = 0, TBpl)elhe je oq:arJie,n:Ho. AKo je a =I= 0, Ta,n:a 3a
rrpo:a3BOJI,HO c > 0 rrocToj:a HeK:arrp:apo,n:aH 6poj no TaKaB .n:a je ian -al < c/lal
AHAJil13A I 3A MH<POPMA TM"Y:APE 17
3a cBe n 2:: n0 • O.n;aB.n;e je 3a CBe rrpHpo.n;He 6pojeBe n 2:: no HcrryH>eHo
c laan - aal = !allan- al < lal ~ = c,
rra Ha ocHoBy .n;eqmHHD;Hje BaiKH je.n;HaKOCT (2). D
HarroMeHHMO .n;a je.n;HaKOCT (2) BaiKH 11: aKo je rpaHwma Bpe.n;HOCT a je.n;aH o.n; H3pa3a oo, +oo 11: -oo 11: a je peaJiaH 6poj pa3JIH"t.IHT o.n; HyJie.
IlpHTOM Tpe6a HMaTH y BH.n;y .n;a ce a a ( 3a a = oo, ±oo) .n;eqmHmrre ca
a(oo) = oo,
a(-oo) = -oo
a(+oo) = +oo (a> 0),
(a> 0), a( -oo) = +oo
a(+oo) = -oo
(a< 0).
(a< 0)
liOF\a3H CBHX THX peJiaD;Hja Ce H3BO,IJ;e Ha OCHOBY .n;eqmHHD;Hje O,IJ;rO
BapajynHX rpaHH"t.IHHX Bpe.n;HOCTH.
CTAB 7. IlpemnocmaBU.MO aa nocmoje 'IW'l-la'l{,'H.e zpa'H.U'l{,'H.e epeaH.ocmu
lim an = a u lim bn = b. Taaa 3a npouJBO.JbH.e pea./tH.e 6pojeee a, {3 ea;:xce n-too n-too jeaH.a-x;ocmu
(3)
(4)
lim (aan + f3bn) = aa + {3b; n-+oo
lim an bn = a b. n-too
1IoKa3H OBHX TBpl)eH>a cy JiaKH, H3Bo.n;e ce aHaJiorHo .n;oKa3y CTaBa 6,
If cymTHHCKH KOpHCTe Heje.n;HaKOCT TpoyrJia KOja Ba/KH 3a IIpOH3BOJbHa ,IJ;Ba
peaJIHa 6poja.
OrreT HarroMHH>eMo .n;a peJian;Hja ( 4) H3 rrpeTxO.n;Hor CTaBa Ba/KH 11: aKo
je je.n;Ha o.n; rpaHH"t.IHHX Bpe.n;HOCTH lim an = a, lim bn = b (HJIH o6e) je.n;-n-+oo n-+oo
HaKa je.n;HOM O,IJ; CHM60Jia 00, ±oo. IlpHTOM, aKO je je.n;Ha O,IJ; THX rpaHH"t.IHHX
Bpe.n;HOCTH 6eCKOHa"t.IHa a .n;pyra KOHa"t.IHa, KOHa"t.IHa rpaHH"t.IHa Bpe.n;HOCT MOpa
6HTH pa3JIH"t.IHTa o.n; HyJie. OcHM TOra, Tpe6a HMaTH y BH.n;y .n;a je y cKyrry
R* MHOIKeH>e eJieMeHaTa .n;eqmHHCaHo ca
a· oo = oo (a# 0), a(+oo) = +oo (a> 0), a(-oo) = -oo (a> 0),
a(+oo) = -oo (a< 0), a(-oo) = +oo (a< 0),
(oo) · (oo) = (oo) · (+oo) = (oo) · (-oo) = oo,
(+oo)(+oo) = +oo, (+oo)(-oo) = -oo, (-oo)(-oo) = +oo.
IlpHTOM Tpe6a HMaTH y BH,IJ;y .n;a IIpOH3BO,IJ;H 0 · 00, 0 · (+oo) If 0 · (-oo) yorrmTe HHcy .n;eqmHHCaHH, rra ce H3Y3HMajy H3 peJian;Hje ( 4).
18 AHAJII13A I 3A I1H<l>OPMATI1LJAPE
CTAB 8. Ax:o cy CBU "'tJW'HOBU 'HU3a (an) pa3AU"'tUmu oa 'HyAe, u zpa'HU"'t'Ha
Bpeanocm lim an = a je X:O'Ha'lt'Ha U pa3AU"'tUma 00 nyAe, maaa eaJICU jeanax;ocm n-too
(5) lim __!_ = ~ n-too an a
IlpeTxo,n;Ho TBpljeH>e Ba>Kn n 3a HeKe ,n;pyre Bpe,n;HOCTll 6poja a. H:a3
KOjH IIOCMaTpaMO y CBaKOM CJiy-qajy MOpa HMaTH OC06HHY ,n;a je an =/= 0 3a
cBaKo n E N. C ,n;pyre CTpaHe, rpaHH"tJ:Ha Bpe,n;HocT a MO>Ke 6:aT:a :a je,n;aH o,n;
6pojeBa a= 0, oo, +oo, -oo, rrpn "tleMy 3a pe:u:arrpo"tiHY Bpe,n;HOCT 1/a Y3HMaMo
pecrreKTHBHO Bpe,n;HOCTH 1/a = oo, 0, 0, 0. I1cTo TaKo OH Ba>K:a :a aKo Y3MeMo
,n;a j e a = +0 ( aKO cy CBH CBH "t!JiaHOBH an > 0 3a ,I(OBOJLHO BeJIHKe n), HJIH
aKO Y3MeMO ,n;a j e a = -0 ( aKO cy CBH "tiJiaHOBH an < 0 3a ,ll;OBOJLHO BeJIHKe
n), Ka,n;a pecrreKTHBHO Y3HMaMo ,n;a je 1/a = +oo, o,n;HOCHo 1/a = -oo.
CTAB 9. Ax:o zpanu"'tne epeanocmu lim an = a, lim bn = b nocmoje u n-too n-too
npeacmae.Jbajy x:ona"'tne 6pojeee, u npumo.M je bn =!= 0 3a ceax:o n E N u b =!= 0,
maaa BaJICU jeanax:ocm
(6) l. an a lm -b =-b.
n-too n
IIpeTxo,n;H:a cTaB Ba>K:a :a aKo je 6poj a KOHa"tJ:aH HJIH je,n;aH o,n; 6pojeBa oo,
±oo a 6poj b KOHa"tJ:aH HJIH je,n;aH O,I( 6pojeBa 0, 00, ±oo, IIO,I( rrpeTIIOCTaBKOM
,n;a je ,n;eqmHHCaH KOJIH"t!HHK ajb. 1IoKa3H O,ll;rOBapajyfiHX TBpl)eiLa y CBHM
OBHM CJiy-qajeBHMa cy CJIH"t!HH Ca ,I(OKa30M rrpeTXO,n;HOr TBpljeH>a.
Harrp:aMep, aKO je lim an = a KOHa"tlaH 6poj, CBH "tiJiaHOBH HH3a bn cy n-too
pa3JIH"t!HTH o,n; HyJie :a Ba>Kn lim bn = 0, Ta,n;a je n-too
l. an 1m-b = oo.
n-too n
CTAB 10. Ax:o 'HU3oeu (an), (bn) u.Majy zpanu"'tne epeanocmu a u b u
npumo.M 3a ceax:o n EN BaJICU an ~ bn, maaa je a~ b.
HarroMeHHMO ,n;a aKo HH30BH an :a bn HMajy KOHa"tJ:He rpaHH"t!He Bpe,n;
HOCTH a M b pecrreKTHBHO' M aKO 3a CBaKO n E N BaiKH an < bn' Ta,n;a He
MOiKeMO ,n;a 3aKJLY"t!HMO ,n;a BaiKH CTpora Heje,n;HaKOCT a < b, Ben CaMO KaO
M y rrpeTXO,n;HOM CTaBy ,n;a je a ~ b. 0Baj 3aKJLy"tlaK CJie,I(H H8IIOCpe,n;HO H3
rrpeTxO,n;Hor CTaBa jep H3 an < bn 3a cBaKo n E N cJie,n;n ,n;a je ncrryH>eHo
AHAJU13A I 3A l1H<I>OPMATl1"Y:APE 19
an :::; bn 3a CBaKo n E N. .lla 611 .n;oKa3aJI11 .na y orrmTeM cJiyl.laj y HeMaMo
CTpory Heje,n:HaKOCT a < b, YOl.lllMO H1130Be
1 an = ;:;:'
2 b =
n n (n EN).
Ta.na j e 3a cBaKo n 11crryH>eHo an < bn, a Jill j e
lim an= lim bn = 0. n-+oo n-+oo
3. Ta"tiRe HarOMHJiruHuna HH3a
.lla.rr.e yoq11MO 611JIO KOj11 peaJIH11 H113 (an) (n EN), 11 rrp0113BOJI.aH H>e
roB rro,n:H113 (ank) (k E N). AKo H113 (an) 11Ma rpaH11l.IHY Bpe,n;HOCT a, Ta,n;a
Ol.II1I'JI8.IJ:HO 11 H>8I'OB IIO,Il;HI13 (ank) HMa 11CTy rpaHlll.IHY Bpe,n;HOCT. IJoce6Ho,
aKO HI13 an KOHBepr11pa Ka KOHal.IHOM 6pojy a, Ta,n;a 11 H>8I'OB IIO,Il;HI13 (ank)
KOHBeprHpa Ka 11CTOM 6pojy. 0BO H8IIOCpe,n:HO CJI8.IJ:I1 113 TOI'a liTO aKO k -+ 00,
Ta.n;a 11 HI13 rrp11po,n;H11x 6pojeBa nk -+ oo, jep je n 1 < n2 < · · · rra je nk > k
(kEN) . .ilaJI.e neMO ,n;eqmH11CaTI1 IIOjaM Tal.IK8 Hai'OM11JiaBaH>a IIp0113BOJI.HOI' pe
aJIHOI' H113a (an).
Tal.!Ka a E R Ha311Ba ce ma"'.X:O.M Hazo.Mu.JtaBa'lba H113a (an) aKo rrocTOJ11
IIO,Il;H113 (ank) (k E N) ,n;aTOI' H113a KOj11 KOHBepr11pa Ka Tal.IK11 a.
CJIH"t.IHY .neqmHHD;Hjy MomeMo ,n;a ycBojHMO 11 3a TaqKe ±oo, l.IHMe je
rrojaM Tal.!Ke HaroMHJiaBaH>a ,n;eqmHHCaH 3a cBe Tal.!Ke a E R*. TaKo Ha rrp11Mep HI13 an = ( -1) n ( n E N) Ol.IHI' Jie,n;Ho HMa ,n;Be Tal.!Ke
HarOM11JiaBaH>a a = 1 11 a = -1.
CJie,n:etia TeopeMa Ha311Ba ce BoJin;aHo-BajeprriTpacoBOM TeopeMOM 3a
HI130Be.
TEOPEMA 2. (a) Ceax:u ozpa'Hu"'.e'H.u 'HUJ noceiJyje 6ap jeiJHy x:o'H.a"'.HY
ma"'.x:y Hazo.Mu.JtaBa'/ba.
( 6) Ceax:u pea.Jt'HU 'HUJ noceiJyje 6ap jeiJHy ma"'.x:y Hazo.Mu.JtaB'Iba y cx:yny
R*.
AKo je ,n:aJI.e (an) rrp0113BO.rr.aH peaJiaH H113, ca T(an) 03Hal.l11neMo cKyrr
CB11X H>eroB11X Tal.laKa HarOM11JiaBaH>a y cKyrry R*. Ha OCHOBY rrpeTxo.n;He
TeopeMe .no611jaMo .n;a je cKyrr T(an) Herrpa3aH .
.lla.rr.e neMO ca lim an :::; +oo 03Hal.I11T11 cyrrpeMyM CKyrra T(an), a ca n-+oo
lim an~ -oo 11Hcp11MYM cKyrra T(an). 06a OBa 6poja rrp11rra.najy CKyrry R*, 11 n-+oo
20 AHAJil13A I 3A MH<POPMATvP-IAPE
OCllM TOI'a MOiKe Ce ,IJ;OKa3aTll ,n;a OHM TaKOQe rrpe,n;CTaBJLajy Ta"tiKe Hai'OMllJia
Baiha IIOCMaTpaHOI' Hll3a. CTora je 5poj lim an HajBena Ta"t!Ka HarOMllJia-n-+oo
Ba!ha Hll3a (an), a 5poj lim an HajMaiha Ta"t!Ka HarOMMJiaBa!ha rrocMaTpaHor n-+oo
Hll3a. 0Ba .n;Ba 5poja ce pecrreKTllBHO Ha3nBajy "JIMMec cyrrepnop" n "JIMMec
MH<f>epnop" IIOCMaTpaHOI' Hll3a.
Ha rrpnMep, aKo je an= ( -l)n (n EN), Ta,n;a je lim an= 1 ll lim an= n-+oo n-+oo
-1.
Y OIIIIITeM CJiy-qajy nMaMo .n;a je lim an ~sup{ an} ll lim an 2: inf{ an}· n-+oo n-+oo
HaBo.n;nMo joiii je.n;Hy KapaKTepn3a:o;njy oBe ,n;Be rroce5He BeJIM"t!MHe rrpn-
.n;pyiKeHe rrpoll3BOJLHOM HM3y. Bpoj a = lim an ce o5n"t!HO KapaKTepniiie n-+oo
KaO Ta"t!Ka Hai'OMllJiaBaiba Hll3a (an) TaKBa ,n;a 3a CBaKO c > 0 IIOCTOjll CaMO
KOHa"t!HO MHOI'O "t!JiaHOBa IIOCMaTpaHOI' Hll3a 3a KOje je an > a+ c. Cm!"t!HO,
Ta"t!Ka b = lim an ce o6n"t!HO KapaKTepniiie Kao Ta"t!Ka HaroMnJiaBaiha ,n;aTor n-+oo
HM3a TaKBa ,n;a 3a CBaKO c > 0 IIOCTOjM CaMO KOHa"t!HO MHOI'O "tiJiaHOBa TOI'
Hll3a 3a Koje jean< b- c.
CJie,n;ene TBpl)eihe je je.n;Ho o.n; HajBaiKHMjnx TBpl)eiha Koja ce o,n;Hoce
Ha IIOCMaTpaHe IIOjMOBe.
CTAB 11. (a) Pea.tta'H 'HUJ (an) uMa zpa'HU"{'HY epeiJ1-tocm ax;o u caMo ax;o
ye lim an = lim an, mj. ax:o u caMo ax;o noceiJyje caMo jeiJ1-ty jeouucmeeuy n-+oo n-+oo
ma"{x;y uazoMu.ttaBa'/ba.
(5) Pea.tta'H uuJ (an) x;oueepzupa ax:o u caMo ax:o uMa jeouy jeiJuucmeeuy
ma"{x;y uazoMu.ttaBa'lba u oua je x;oua'l(.a'H 6poj.
5. MOHOTOHH HH30BH
Hn3 peaJIHMX 6pojeBa (an) Ha3nBa ce pacmynuM aKO BaiKn a1 ~ a2 ~
a3 ~ · · ·, onaoajynuM aKo BaiKn a1 2: a2 2: a3 2: · · ·, cmpozo pacmynuM aKo
BaX3ll a1 < a2 < a3 < · · · n cmpozo onaiJajynuM aKo BaiKn a1 > a2 > a3 > · · ·. Orra.n;ajynn n pacTynn Hn3oBn Ha3nBajy ce KpaTKO MouomouuM Hll-
30BMMa, a cTporo pacTynn n CTporo orra.n;ajynn Hll30Bll KpaTKO cmpozo Mono
manuM Hll30BMMa.
MoiKe ce JiaKo Bn,n;eTn .n;a je Hll3 (an) pacTynn aKo n caMo aKo je Hll3
(-an) orra.n;ajynn, a Hll3 (an) je CTporo pacTynn aKo n caMo aKo je Hll3 (-an)
cTporo orra.n;aj y fin.
TEOPEMA 3. (a) Pacmy!iu 'HUJ (an) je x:oueepzeumau ax;o u caMo ax;o
AHAJU13A I 3A MH<I>OPMATMqAPE 21
je ozpm-tu"te'H ca zop'lbe cmpane.
(6) Cear;;u pacmyfiu nu3 (an) u.Ma zpanu"tny epeiJnocm y cr;;yny R*.
HarroMeHHMO .n;a CJIW-IHO TBpljelbe aaJKH 11: 3a orra.n;ajyne HH30Be.
6. OcaoBa rrpHpo,n;aHx JIOrapHTaMa
Yo~mMo ca.n;a cJie.n;enH HH3 rro3HTHBHHX 6pojeaa
an = ( 1 + ~) n = ( n + 1) n n nn
(n EN).
KaKo je Ha ocHoay BepHyJI:H:jeae Heje.n;HaKOCTH (1+hY~ > 1+ah 3a caaKo
a> 0 11: lhl < 1, Y3HMajynH .n;a je h = -1/(n + 1)2 11: a= n + 1, .n;o6HjaMo .n;a
3a caaKo n E N aaJK:H::
[ 1 J n+l (n + 1) 1 n
1 - (n + 1)2 > 1 - (n + 1)2 = 1 - n + 1 = n + 1 ·
0 .n;aa.n;e j e pe.n;oM
(n + 2)n+lnn > (n + 1)2n+l, (n + 2)n+l (n + 1)n -'----'------:""7 > ....:...._________.:._ (n + 1)n+l nn
( 1 )n+l ( 1 )n
1+n+1 > 1+; '
TJ. an+l >an 3a caaKo n EN. CTora je HH3 (an) CTporo pacTynH.
AKo .n;a.!he yo~mMo HH3
bn = (1 + - 1-)n n-1
(n?: 2),
Ta.n;a J e O"t.J:Hr Jie.n;Ho
an = ( 1 + ~) n < ( 1 + n ~ 1
) n = bn (n ?: 2),
.n;aKJie an < bn 3a caaKo n ?: 2. OcHM Tora, KaKo 3a CBaKo n ?: 2 Ba/K:H:
( 1 )n n 1
1 + 2 1 > 1 + 2 1 > 1 + -, n - n - n
.n;o6HjaMo .n;a je 3a caaKo n ?: 2:
n2n n + 1 > __ 2n+l ( (n2 - 1)n n ' n > n- 1t(n + l)n+l'
nn (n + 1)n+l -- > __ ..:..__ (n- 1)n nn+l (
1 ) n ( 1) n+l bn = 1 + n - 1 > 1 + ; = bn+l·
22 AHAJIH3A I 3A HH<POPMATH"tiAPE
CTora je HIB (bn) cTporo ona,n;ajyn:vr. O,n;aa,n;e cJie,n;:vr ,n;a je 3a caaKo
n 2: 2 :vrcnyH>eHo bn ::; b2 = 4, na je 36or an < bn 3a caaKo n E N O'l:vrrJie,n;Ho
:vrcnyH>eHo an < b2 = 4. O,n;aa,n;e cJie,n;:vr ,n;a je HH3 (an) pacTyn:vr :vr orpaH:vr'leH,
na Ha OCHOBY TeopeMe 3 OH KOHBepr:vrpa.
rpaHH'!Ha Bpe,n;HOCT
e = lim an= lim (1 + .!.)n n--+oo n--+oo n
Ha3:vraa ce oc'HOBOM npupoiJNux .ltozapumaMa :vrJI:vr "6pojeM e". flp:vroJimKHa
Bpe,n;HOCT OBOf OpOj a Ha ,n;eBeT ,n;en;:vrMaJia H3HOCH
e ~ 2, 718281828.
KaKo oc:vrM Tora 3a caaKo n 2: 2 aaam:
( 1 ) n ( 1 ) n-1 ( 1 ) n
bn = 1 + n - 1 = 1 + n - 1 1 + n - 1 = n - 1 an-1'
Henocpe,n;Ho ,n;o6:vrjaMo ,n;a je :vr
lim bn = lim an = e. n--+oo n--+oo
flp:vrTOM ce MO/Ke noKa3aT:vr ,n;a je 6poj e ::vrpau:vroHaJiaH :vr TpaHcn;eH,n;eH-
TaH.
3a npo:vr3BOJbaH no3:vrT:vrBaH 6poj x ce Ta,n;a JIOrap:vrTaM logex 6poja x 3a
ocHoay e 03Ha'!aaa ca ln x :vr Ha3:vrBa npupoiJNuM :vrJI:vr HenepoauM .~tozapumMOM
6poja x.
AHAJII13A I 3A I1H<I>OPMA TI1t.IAPE 23
ITorJiaBJLe 3
PEAJIHE <PYHKUHJE
1. OcHOBHe ,Il.eqn:IHH~Hje
Y OBOj Ta"l!Kti IIOCMaTpaneMO peaJIHe <flyHKD;Hje y = j(x) peaJIHOr apry
MeHTa X, KOje KpaTKO Ha3IIBaMO pea.tt'HUM ~Y'HX:V,UjaMa. 3a CBaKy TaKBY <flyHKI(Hjy rrpeTIIOCTaBJLaMO ,n;a je ,n;e<flHHHCaHa Ha H3BeC
HOM Herrpa3HOM CKyrry D peaJIHHX 5pojeBa, KOjH HHa"lle MOme 5HTH IIOTIIYHO
rrpoHJBOJLaH cKyrr. Haj-qemne je o5JiacT .n;e<flHHHCaHocTH D TaKBe <flyHKU:Hje
H3BecTaH HHTepBaJI I(a, b) ca KpajH:.HM Ta'IKaMa a H b ( -oo :::; a < b :::; +oo), KOjH MOIKe 5HTH OTBOpeH, 3aTBOpeH, IIOJiyOTBOpeH, orpaHH"lleH HJIH
HeorpaHH"l!eH.
CaMa <flYHKU:Hja y = f(x) rrpHTOM Mome 5HTH 3a,n;aTa ana.ttumu~x:u, Tj.
H3BeCHHM H3pa30M KOjH ca,n;piKH IIpOMeHJLHBY X, ma6.ttU~'HO, aKO je .n;e<flH
HHCaHa Ha HeKOM KOHa"l!HOM HJIH rrpe5pojHBOM CKYIIY Ta"llaKa, HJIH Ha HeKH
.n;pyrH Ha"l!HH.
AKo je <flyHKU:Hja f(x) 3a.n;aTa aHaJIHTH"l!KH, o5H"l!HO rro.n;pa3yMeBaMo ,n;a
je H:.eH .n;oMeH H:.eH npupodnu doMen, Tj. HajBenH cKyrr Ta"l!aKa 3a KojH o.n;ro
BapajynH H3pa3 KOjHM je ,n;e<flHHHCaHa Ta <flYHKIJ;Hja HMa CMHCJia, H Y3HMa
peaJIHe Bpe,n;HOCTH.
IlpHMep. AKo je f(x) = ,/1- x2 , Ta,n;a je cKyrr D {x:ixi:::; 1} IIpHpO,II;HH ,IJ;OMeH OBe <flyHKD;Hje.
2
AKo je f(x) = (x _ 2~(x _ 3), Ta.n;a je o.n;roBapajynH rrpHpo,n;HH .n;oMeH
OBe ¢YHKU:Hje cKyrr D = R" {2, 3}.
24 AHAJU13A I 3A I1H<I>OPMATI11:..JAPE
AKo cy ,n;aJI:.e f(x),g(x) rrpmBBOJI:.He ,n;Be peaJIHe <f>YHKI(llje .n;e<f>I1HI1CaHe
Ha I1CTOM CKyrry D ~ R, ra.n;a ce MOIKe .n;e<f>I1HI1CaTI1 lhl1XOB 36I1p, pa3JII1Ka,
IIpOI13BO,IJ;, KOJII1"1.IHI1K, IIpOI13BO,Il; <f>YHKI(llje I1 6poja, I1 pei(I1IIpO"tiHa Bpe,n;HOCT
<f>YHKI(llje "no ra"tiKaMa" rj. Ha cJie,n;enl1 Ha"I.II1H:
(1 0)
(20)
(30)
( 40)
(50)
(! ± g)(x) = f(x) ± g(x);
(Jg)(x) = f(x)g(x);
( /_) (x) = f(x); g g(x)
(af)(x) = af(x);
( J) ( x) = f tx) '
3a CBaKo xED. KoJII1"1.IHI1K (3°) .n;e<f>I1HI1CaH je caMO aKo je g(x) ::/= 0 3a cBaKo
xED, a peD;I1IIpO"tiHa Bpe,n;HOCT 1/ f(x) caMo aKo je f(x) ::/= 0 3a cBaKo xED.
2. HeKe BpcTe peaJIHHx ci>YH:Kil.Hja
PeaJIHa <f>yHKD;llj a f : D H R .n;e<f>I1Hl1CaHa Ha HeKOM CKyrry D ~ R Ha3I1Ba
ce 'IW'/-iCma'/-im?-iOM Ha TOM CKyrry aKO IIOCTOjl1 peaJiaH 6poj C TaKaB ,n;a je j(x) = c 3a cBaKo x E R. Ta.n;a rrmneMo f(x) = konst Ha cKyrry D .
.llaJI:.e rrperrrocraBI1MO .n;a je ,n;oMeH D <f>YHKI(llje f ( x) CI1MeTpi1"tiaH y
o,n;Hocy Ha 0, rj . .n;a 113 x E D CJie,n;11 .n;a 11 cyrrporHa ra"I.!Ka -x E D. Ta.n;a
ce <f>YHKD;llja y = f(x) Ha3l1Ba nap?-ioM aKo je 3a cBaKo x E D 11crrylheHo
f( -x) = f(x), 11 '1-ienap?-ioM aKo je 3a cBaKo xED llcrrylheHo f( -x) = - f(x). TaKo cy <f>yHKI(llje sin x 11 x 2n+l ( n E N) HerrapHe, a <f>YHKI(llje cos x 11
x 2n (n E N) rrapHe.
HarroMeHI1MO .n;a ce JiaKo MOIKe BI1.n;er11 .n;a j e rpa<f>I1K rra pHe <f>YHKI(llj e
CI1MeTpi1"tiaH y O,IJ;HOCy Ha y-ocy, a rpa<f>I1K HerrapHe <f>yHKI(llje CI1MeTpi1"tiaH y
O.n;HOCY Ha KOOp,Il;I1HaTHI1 IIO"tleTaK.
0CI1M TOr a, HaiiOMeHI1MO ,n;a Ce CBaKa peaJIHa <f>yHKI(llj a y = j (X) ,n;e<f>I1-
HI1CaHa Ha HeKOM ,IJ;OMeHy D KOjl1 je CI1MeTpi1"1.IaH y O,IJ;HOCY Ha 0, MOIKe IIpi1Ka-
3aTI1 y o6JII1KY 36I1pa je.n;He rrapHe 11 je.n;He HerrapHe <f>YHKD;llje. I1MaMo Hal1Me
.n;a BaJKI1:
f(x) + J( -x) + f(x)- f( -x) = g(x) + h(x), J(x) = n '"'
rrp11 "tie My j e
( ) =f(x)+f(-x) h( )-f(x)-f(-x) gx n , X- ,.... ,
AHAJU13A I 3A MH<POPMATM"Y:APE 25
3a cBaKo x E D. IlpYITOM je q>yHK:o;Yija g(x) O"tiYirJie,n:Ho rrapHa, a q>yHK:o;Yija
h(x) HerrapHa.
PeaJIHa q>yHK:o;Yija y = f(x) ,n:eq>YIHYICaHa Ha HeKOM cKyrry D Ha3YIBa ce
nepuoiJu"{'tWM (yiJecno) aKo rrocTojYI 6ap je,n:aH rro3YITYIBaH 6poj T TaKaB ,n:a YI3
xED cJie,n:YI ,n:a x+T ED YI rrpYITOM je f(x+T) = f(x). BYIJIO KOjYI rro3YITYIBaH
6poj T ca OBOM oco6YIHOM Ha3YIBa ce nepuoiJo.M q>yHK:o;Yij e f ( x). HajMaH>YI rro3YITYIBaH 6poj T ca OBOM oco6YIHOM, yKoJnrKo TaKaB 6poj
ITOCTOjYI, Ha3YIBa ce OC'HOB'HO.M nepUOOO.M q>yHKD;Yije j(x). TaKO cy q>yHKD;Yije
sin X Y1 COS X rrepYIO,ll;YI"tiHe ca OCHOBHOM rrepYIO,ll;OM j e,n:HaKOM 2 7r.
CJIYI"t!HO ce MOJKe ,n:eq>YIHYICaTYI YI rrepYio,n:YI"tiHa q>yHK:o;Yij a "y JieBo", a TaKo
l)e rrepYIO,ll;YI"tiHa q>yHKD;Yij a Yl y JieBO Yl y ,n:eCHO .
.llaJLe HarroMeHYIMO ,n:a ce peaJIHa q>yHK:o;Yija f: D H R Ha3YIBa ozpanu"{e
'HOM Ha cKyrry D aKo j e 3a HeKo M > 0 YI cBaKo x E D YicrryH>eHo
lf(x)l :S M,
,n:aKJie aKo je -M:::; f(x) :::; M 3a cBaKo x E D.
0Ha je ozpa'HU"{e'Ha ca zop1be cmpane aKo je 3a YI3BecTaH 6poj M E R YI
cBaKo x E D YicrryH>eHo f ( x) :::; M, YI ozpa'HU"{e'Ha ca iJo'lbe cmpane aKo j e 3a
YI3BeCTaH 6poj m E R YI CBaKo x ED YicrryH>eHo f(x) ~ m.
TaKo je HarrpYIMep q>yHK:o;Yija y = cos 2x orpaHYI"tleHa Ha :o;eJioj peaJIHoj
rrpaBoj R.
IIpeTrrOcTaBYIMO ,n:aJLe ,n:a je cKyrr D YIHTepBaJI, YI ,n:a je 3a CBaKo x1, x 2 E
D (x1 < x 2 ) YicrryH>eHa je,n:Ha o,n: peJia:o;Yija:
(1°) j(x1) :S j(x2);
(4°) f(xl) > f(x2).
(2°) f(xl) ~ j(x2); (3°) f(xl) < j(x2);
Ta,n:a ce OHa pecrreKTYIBHO Ha3YIBa pacmyfio.M, onaiJajyfioM, cmpozo pac
myfio.M, o,n:HOCHO cmpozo onaiJajyfioM ¢yn'l\.v,ujo.M.
Y CBaKOM O,ll; TYIX CJiy-qajeBa Ce OHa Ha3YJ:Ba .MO'HOffiO'HO.M q>yHKD;YijOM Ha
YIHTepBaJiy D.
0"tiYir Jie,n:Ho j e q>yHK:o;Yij a f ( x) ,n:eq>YIHYICaHa Ha YIHTepBaJiy D pacTyha
( O,ll;HOCHO CTpOI'O paCTyna) Ha TOM YIHTepBaJiy aKO Y1 CaMO aKO j e q>yHKD;Yij a
- f(x) orra,n:ajyha (o,n:HOCHO CTporo orra,n:ajyti.a) Ha TOM YIHTepBaJiy.
AKO j e ,n:aJLe y = j (X) 11pOY13BOJLHa CTpOI'O MOHOTOHa q>yHKD;Yij a Ha YIH
TepBaJiy D, Ta,n:a YI3 f(xl) = j(x2) CJie,n:YI ,n:a je x1 = x2, rra je f(x) 6YijeKTYIBHO
rrpeCJIYIKaBalbe YIHTepBaJia D y cKyrr E = f(D). CTora rrocTojYI o,n:roBapajyti.e
YIHBep3HO rrpecJIYIKaBalbe Tj. YIHBep3Ha q>yHK:o;Yija f- 1 : E H D.
26 AHAJU13A I 3A I1H<I>OPMATI1"Y:APE
HarroMeHHMO ,n:a je rrpHTOM rpaqmK HHBep3He cpyHKD;Hje f- 1 CHMeTpwmH
Ca rpacpHKOM cpyHKD;Hje j(x) y O,[(HOCy Ha rrpaBy y =X. 3aHCTa, HManeMO ,n:a
je
f(f) = { (x, f(x)): x E D}, r(f- 1) = { (y, f- 1(y)), y E E},
a KaKo je y E E = f(D) eKBHBaJieHTHO ca y = f(x) 3a HeKo x E D, cne,n;H ,n:a
je
r(f- 1) = { (f(x), x): X E D} .
y .......... \. ' ~:··?······· / r .. .. ~
' '
1 ' .
. ' .. ~ ... :
r}f·IJ' ·-... __ : _V Tif) 1
/f 0 ~ CJIHKa 3.1
.,.. ""'
KaKo je ,n:aJI.e rrpecJIHKaBa!be (x, y) H (y, x) O'!Hrne,n:Ho CHMeTpHja y
O,[(HOCy Ha rrpaBy y =X, HeiiOCpe,n:HO ,n:06HjaMO TBpl)e!be.
fipHMep. 3a cpyHKD;Hjy j(x) = X HManeMO ,n:a je j- 1 (x) = X, ,[(OK je 3a
cpyHKD;Hjy f(x) = x 3, f- 1(x) = x 113.
AKo je rroce6Ho cpyHKD;Hja y = f(x) 3a,n:aTa H3BeCHHM H3pa30M no x 11:
HHjeKTHBHa, Ta,n:a ce O,n:rOBapajyfi.a HHBep3Ha cpyHKD;Hja j- 1(x) HaJia3H TaKO
mTo ce cpopMyna y = f(x) pem11: (aKo je TO Moryne) no x, 'IHMe ce ,n:o611:ja
cpyHKD;Hja X= g(y), a 3aTHM IIpOMeHJI.HBe X If y 3aMeHe MeCTa, Tj. CTaBH Ce
y = g ( x) . Ta,n:a j e g = f -I .
3. EneMeHTapue <flyu~Hje
Mel)y CBaKaKo HajBaiKHHje peaJIHe cpyHKD;Hje crra,n:ajy ocnoene eJteMenmapne rfiynx;u,uje 11: H3Be,n:eHe o,n: ILHX onwme eJteMenmapne rfiy'Hx;u,uje.
ilo,n: OCHOBHHM eJieMeHTapHHM cpyHKD;HjaMa IIO,n:pa3yMeBaMO CJie,n:efi.e
BpCTe peaJIHHX cpyHKD;Hja:
(1 °) - IToJIHHOMe;
AHAJU13A I 3A MH<I>OPMATMl..IAPE
(2°) - PaunoHaJIHe <f>yHI<Unje;
(3°) - Er<crroHeHunjanHe <f>YHI<Unje;
(4°) - JiorapnTaMci<e <f>YHI<Unje;
(5°) - CTerreHe !f>YHI<Unje;
(6°) - TpnroHoMeTpnjci<e !f>YHI<Unje;
(7°) - Xnrrep6onn"t!Ke !f>YHKUHje;
(8°) - 11HBep3He TpllrOHOMeTplljCI<e lf>yHI<Ullje;
(9°) - 11aBep3He x~mep6onn"t!Ke !f>YHKUHje.
OrrncaneMo ,n;eTaJI.Hnje CBai<y o,n; OBHX BpcTa !f>YHI<Unja.
(1 °) - TionnHOM cTerreHa n (n E N0 ) je 6nno Koja !f>YHKUHja o6nnr<a
Pn(x) = aoxn + a1xn-l +···+an,
27
rrpn "t!eMy Je ao -:/= 0 n CBH Koe!f>nunjeHTll a0, a1, ... , an cy peaJIHH 6pojeBn.
OH j e O"t!Hr ne,n;Ho ,n;e!f>nHncaH 3a cBai<o peanHo x. AI<o j e n = 0, oH,n;a ,n;03BO
JI.aBaMo ,n;a je ao 6nno r<ojn peanaH 6poj, ,n;ar<ne n 6poj 0. 3a n = 0 ,n;o6njaMo ,n;a je
Po(x) = ao,
rra cy IIOJIHHOMH cTerreHa 0 KOHCTaHTHe !f>YHKUHje ( Cnnr<a 3.2). 3a n = 1 ,n;o6njaMo ,n;a je
P1(x) = aox + a1,
n Tai<Be <f>YHI<Unje Ha3nBajy ce AU'Heap'HUM if;y'Hr.v,ujaMa (Cnnr<a 3.3). 3a n = 2 ,n;o6njaMo ,n;a je
P2(x) = aox2 + a1x + a2,
n oBai<Be !f>YHKUHje Ha3nBajy ce r.eaapam'HUM if;yHr.v,ujaMa (Cnnr<a 3.4).
Yt y y '
I c.0-x y=ao +a,.x+c~-c-
I y=ao I I
I
I
Ia ~
X
.~o..o l
0 X
CJIH:Ke 3.2, 3.3, 3.4
, I
28 AHAJII13A I 3A MH<I>OPMA TMt.IAPE
l13 AJire6pe je IIHa"t.Je II03HaTO ,n;a CBaKM IIOJillHOM CTerreHa n :H:Ma Ha
jBMme n peaJIHMX HyJia x1, x2, ... , Xm, 3a Koje je ,n;aKJie Pn(xi) = 0 (i = 1, ... , m). IIocToje pa3HH rrpHMepM peaJIH:HX IIOJIHHOMa KOjH HeMajy HMje,n;Hy
peaJIHY HyJiy, HarrpHMep rroJIHHOM P(x) = x2 + 1.
(1)
(2°) - Pau, uo'Ha.lt:Ha rfiy'H'X;'U, uja j e 6MJIO Koj a <flyHKI(Mj a o6JIMKa
Pm(x) f(x) = Qn(x)'
IIpll "t.JeMy Je Pm(x) IIOJIMHOM CTerreHa m ~ 0, a Qn(x) je IIOJillHOM CTeiieHa
n ~ 1. AKo ,n;03BOJIHMO ,n;a j e n ~ 0, oH,n;a O"tmr Jie,n;Ho H IIOJIHHOMH rrpe,n;cTaB
JI.ajy pai(HOHaJIHe <flyHKI(Mje, aJIM ,n;a 6M pa3,IJ;BOjHJill KJiaCe (1 °) ll (2°) 06M"t.JHO
rrpeTrrOCTaBJl>aMo ,n;a je n ~ 1. Pai(MOHaJIHa <flyHKI(Mja (1) je ,n;e<flMHMCaHa 3a
CBe Bpe,n;HOCTM x 3a Koje je Qn(x) # 0, ,n;aKJie Ha I(eJioj peaJIHoj rrpaBoj ca
M3y3eTKOM Ta"t.JaKa x 1, ... , Xm peaJIHllX HyJia IIOJillHOMa Qn(X). HyJie IIOJIH
HOMa Qn(x) Ha3:H:Bajy ce CU'H2yAap'HU.M ma'l.(.'X;a.Ma <flYHKI(Mje f(x).
(2)
(3°) - EKCIIOHeHI(MjaJIHa <flyHKI(Mja je 6:H:JIO KOja <flyHKI(Mja 06JIHKa
y =ax '
IIpll "t.JeMy je a > 0 ll a # 1, ll OHa je ,n;e<flMHMCaHa ll II03llTllBHa 3a CBaKO
peaJIHO X. Bpoj a Ha3HBa ce OC'HOBO.M IIOCMaTpaHe <flyHKI(Hje.
AKo rrpeTrrocTaBMMo ,n;a je oHa Ben ,n;e<flMHMCaHa 3a Bpe,n;HoCTH a > 1, Ta,n;a Ce OHa 3a Bpe,n;HOCTH a < 1 ,n;e<flHH:Hme Ca ax = ( ~) -x. l[aJl>e neMO
yKpaTKO OIIMCaTH KaKO je OHa ,n;e<flHHMCaHa 3a Bpe,n;HOCTll OCHOBe a > 1.
\ \
\
" \ ' ' )-,
y==a ...............
y .!
y=a (a> 1)
...........
(0< a< 1' ' -..., .................. ...... __________ __
0 CJIH1m 3.5
X
AKo je apryMeHT x pai(MOHaJiaH 6poj (x E Q), Tj. x = p/ q (p E Z, q E N), Ta,n;a je Ha ocHoBy ,n;e<fl:H:HMI(Mje ax = aP/q = f((iP = (aP)l/q. AKo je x E R
AHAJU13A I 3A I1H<I>OPMAT:Vf4APE 29
IIpOIBBOJI>aH :apan;:aOHaJiaH 6poj, Ta.IJ;a MOJK€MO .IJ;a IIOCMaTpaMO CKYIIOBe A = { ar I r E Q, r < x} :a B = { ar I r E Q, r > x}. KaKo ce MOJKe JiaKo BH.IJ;eT:a .IJ;a j e
cKyrr A orpaH:a'ieH ca ropH>e CTpaHe, a cKyrr B orpaH:a'ieH ca .IJ;OH>e cTpaHe,
rrocToje KOHa'iHH sup A = a :a inf B = {3 :a rrp:aTOM je a :::; {3. lllTaa:ame,
HMje TemKo BM,n;eTM ,n;a je rrp:aTOM a = {3. Ta.n;a ,n;eqmHMmeMo ax = a = {3, M
<fJYHKD;Mja ax Ha3MBa Ce €KCIIOHeHD;MjaJIHOM <fJYHKIJ;MjOM Ca OCHOBOM a.
CTAB 1. (a) 3a npou3BO.!b'H.Y epeoHocm oc'H.oee a> 0 (a=/:- 1), ¢yHx;-quja
ax je no3umue'H.a 3a cee epeo'H.ocmu x E R, u 3a npou3BO.Jb'H.e epeo'H.ocmu XI, x 2 E
R ea:J~Ce jeo'H.ax;ocmu
ax1 +x2 = ax1 ax2, (ax1 )x2 = ax1 x2.
(6) Ex;cno'H.e'H.-quja.!ma ¢yHx;-quja ax je cmpozo pacmyfia 3a epeo'H.ocmu a> 1 u cmpozo onaoajyfia 3a epeo'H.ocmu a E (0, 1).
AKo je rroce6Ho a= e, <fJyHKD;Mja y =ex Ha3MBa ce npupoo'H.u.M ex;cno'H.e'H.-
moM.
Oc:aM Tora HarroMeH:aMo .IJ;a ce eKcrroHeHn;MjaJIHa <fJYHKD;Mja MOJKe .IJ;e<fJ:aH
:acaT:a :a 3a a= 1. Ha:aMe, Ha ocHoay KOHBeHn;Mje, cTaa.rr,a ce .IJ;a je F = 1 3a
caaKo x E R. Ha Taj Ha'i:aH ,n;o6MjaMo .IJ;a je eKcrroHeHn;MjaJIHa <fJYHKD;Mja ax
.IJ;e<fJ:aHMCaHa 3a CBaKO a > 0.
( 4°) - JI ozapuma.Mcx;a ¢yHx;-quja
y = logax,
.IJ;e<fJ:aHMCaHa 3a CBaKO a > 0 (a =/:- 1) je MHBep3Ha <fJyHKD;Hja €KCIIOH€HD;MjaJIHe
<fJYHKn;nje ax, .IJ;aKJie ,n;e<fJMHMCaHa je ca x = aY. IloKa3yje ce ,n;a je oHa ,n;e<fJn
HMCaHa 3a CBaKO X > 0, jep je €KCIIOHeHD;MjaJIHa <fJYHKD;Mja ax CTpOrO MOHO
TOHa 3a CBaKO a > 0 (a=/:- 1). Bpoj a Ha3:aBa ce OC'H.OBO.M IIOCMaTpaHe JIOra
pMTaMCKe <fJyHKD;Mje.
AKo je a= 10 o6M'iHO IIMmeMo logx yMecTo log10x, .n;oK 3a a= e o6M'iHO
rrnmeMo ln x yMecTo logex. MoJKe ce JiaKo an,n;eTn ,n;a aaJKe j e,n;HaKOCTM
logaa = 1, loga1 = 0, loga(XIX2) = logaXI + logax2,
3a rrpOM3BOJI>He XI, x2 > 0, n .n;a je <fJYHKn;nja logax CTporo pacTyna 3a a > 1
n CTporo orra.IJ;ajyna 3a a E (0, 1).
30 AHAJIM3A I 3A MH<I>OPMATM"4APE
I / Y =[oo t y.l.l i .
y _3..:__.)1/ /ra>l)
0 I 1 X
/ / Cmma 3.6
' ~-"/"
(5°) - Onwma cmenena tfiyn'K:v,uja je 6-viJio Koja <f>YHKII;nja o6JinKa
y = Xa: '
IIpll "t.JeMy je a 6MJIO KOjll peaJiaH 6poj ll X > 0. 0Ha je ,n;e<f>MHMCaHa IIOTIIYHO
CJill"tJHO KaO ll <f>yHKII;Mja ax C TOM pa3JIMKOM liTO CMO Bpe,n;HOCT X <f>MI<CMpaJIM
(n cTaBMJIM x = a), a Bpe,n;HOCT a je 3aMeH>eHa ca x n y3nMa cBe Moryne
II03llTllBHe B pe,n;HOCTll.
Hnje TemKo Bn,n;eTM .n;a Ta.n;a n.n;eHTll"tJKM BaiKM
Y = ea:[n X
'
3aTMM ,n;a je <f>yHKD;Mja Xa: II03llTllBHa 3a CBe Bpe,n;HOCTll X > 0, KaO ll ,n;a je 3a
IIpOll3BOJI,He peaJIHe 6pojeBe a, /3 ll X> 0 llCIIylheHO
(xa:).B = xa:.B.
OcnM Tora, 3a a = 0 .n;o6njaMo .n;a je x0 _ 1 3a cBaKo x > 0, .n;oK je 3a
a > 0 cpyHKn;nja xa: cTporo pacTyna, a 3a a < 0 cTporo orra.n;ajyna.
(6°) - Ocnoane mpuzono.Mempujc'K:e tfiyn'K:v,uje cy <f>YHKn;nje sinx, cosx, sinx cos x
tg x = -- 11 ctg x = -.--. 0He cy nepno.n;n"t!He, n TO npBe ,n;Be ca nepno.n;oM cosx smx
2rr, a .n;pyre .n;Be ca nepno.n;oM rr. IIpnTOM je cpyHKn;nja cosx napHa, a <f>yHKn;nje
sin x, tg x 11 ctg x cy Herr a pHe.
AHAJH13A I 3A I1H<I>OPMAT1f4APE 31
X
~: 10
y X
yf-\l~::~ LA,_ : -------• • )o
0 X
~ yr Y' J y=xt 1y=x
\''~1·-·-~; : ', ~'f
,Y~ -II \
y=xL_ : / i ... ,_
,.~ ; : - . X
y r y=/':_
~ y y
0 X 0 X 0 X
CJIHRa 3.7
Yt y=sinx YI
---······ II ,-;t : ---------------- _1'
y =cos x
\ --------vc··--; \-----------------· ----
4 : ;r; /" !T-----------------·o · n- \ 1 ·····
··-- s=z7i -~; ~-::t ) ra-~\ :r: I ----------------- ' : 0 "' . ·------ . I . x ----· . ···------·l·t-······---- ~ . - I ·--------
CJIHRa 3.8
q>yHKD;I1je sin X H COS X ,n;eqmHHCaHe cy 3a CB8 peaJIH8 Bp8,n;HOCTH X,
cpyHKU:Hja tg X 3a CB8 Ta"tiK8 peaJIH8 OC8 OCHM y TaqKaMa X y KOjHMa je
cosx = 0, Tj. ocHM y TaqKaMa 1rj2 + k1r (k E Z), a cpyHKU:Hja ctg x y CBHM
TaqKaMa peaJIH8 OCe OCHM y TaqKaMa y KOjHMa je sinx = 0, Tj. OCHM y
TaqKaMa o6JIHKa k1r (k E Z).
(7°) - lf1.wepme mpuzo'H.oMempujc'K:e ¢Y'H.'K:V,uje cy, Kao mTo je II03HaTo,
cpyHKU:Mje arc sin x, arc cos x, arc tg x, arc ctg x, a TaKol)e M o,n;roBapajyne BM
me3Ha qHe cf>YHKD;Mj e Arcsin x, Arccos x, Arctg x, Arcctg x.
32 AHAJIM3A I 3A MH<POPMATl'P-IAPE
y
X
-n:: "/ I 7 y I ./ ' ./ y I ~
CJIHRa 3.9
3a OCHOBH8 Bpe,n;HOCTH, Tj. je,n;H03Ha"tiH8 rpaHe OBHX cpyHKU:Hja 06H"t!HO
y3u:MaMo cJie,n;ene Bpe,n;HocTu::
arc sin x E [-7r"/2,7t"/2] (-1 ~ x ~ 1),
arc cos x E [0,1r] (-1 ~ x ~ 1),
arc tg x E (-7r/2,7r/2) (-oo < x < +oo),
arc ctg x E (0, 1r) ( -oo < x < +oo),
npu: "t!8MJ je Ha OCHOBJ ,n;ecpHHHU:Hje:
y =arc sin x {:=::=:} x = smy,
y =arc cos x {:=::=:} x =cosy,
y =arc tg x {:=::=:} X= tg y,
y =arc ctg x {:=::=:} x = ctg y.
Ocu:M Tara noKa3yje ce ,n;a Balfm:
Arcsinx = ( -1)karc sin x + k1r (k E Z),
Arccos x = ±arc cos x + 2k7r ( k E Z),
Arctg x =arc tg x + k1r (k E Z),
Arcctgx =arc ctg x + k1r (k E Z).
HanoMeHHMO ,n;a H3Me1jy cpyHKU:Hja arc sin x u: arc cos x nocToju: peJia-
U:HJa
(1) arc sin x +arc cos x = 7r/2 (-1~x~l).
AHAJU13A I 3A MH<I?OPMAT1ftiAPE
. y~
i .... ~ ' ..... ' ' ,...... ' : \!'- . i
7..{2 ___ .1 'J -arcs au:
-1 V]O u f~---~---rt/~ :...... : ' ' ~ . - :
S-lu"' f.?l'l.
.:c
. Y~~ y=arcrg.:c
rr.!2.
-' 4\o :
b;=arccosx ' .
-1 110 )1 /• .; :
. ,.. :
.1' : I : r·-·--r -rc :
Slika-I.,.2·J:-..
1 y=arcc:g:c. IJt
X
. ~~ :~.:c
-;r/l ~· 0 X
C.T.IHKa 3.10
3aFicTa, 3a 0 :::; x :::; 1 FIManeMo ,n;a
a= arc sin x E [0,7r/2], j3 =arc cos x E [0,7r/2],
x =sin a= cosj3 = sin(7r/2- /3),
o,n;aKJie je a = 7r /2- /3, Tj. a+ j3 = 7r /2. Haj3a,n;, 3a x E [-1, 0] FIMaMo ,n;a je
a = arc sin x E [ -7r /2, 0], j3 = arc cos x E [7r /2, 7r],
rra FI3 x =sin a = cos j3 cJie,n;FI ,n;a je orreT j3 = 7r /2- a, Tj. a+ j3 = 7r /2.
33
0CFIM TOra, FI3Mel)y <flyHKD;Fija arc tg X F1 arc ctg X IIOCTOjFI CJIFI~Ha B83a
(2) arc tg x +arc ctg x = 7r/2 (x E R).
3aFICTa, aKO 03Ha~FIMO
a= arc tg x, j3 =arc ctg x,
Ta,n;a j e x = tg a = ctg j3, rra pe,n;oM HaJia3FIMO ,n;a j e
sin a cos j3 . . -- = --:--/3 , sm a sm j3 - cos a cos j3 = 0, cosa sm
sin(a + j3- 7r/2) = 0.
KaKo yrao a E (-7r/2,7r/2), a yrao j3 E (0,7r), cJie,n;FI ,n;a a+ j3- 7r/2 E
(-7r,7r), o,n;aKne je a+ j3- 7r/2 = 0, Tj. a+ j3 = 7rj2.
34 AHAJU13A I 3A MH<I>OPMATM"Y:APE
(8°) - MaKo KJiace (8°) CTporo roBopetin He crra,.[(ajy y HajyJKH Kpyr
OCHOBHllX eJieMeHTapHHX ~yHKnnja, HIIaK neMO llX 360r ThllXOBe ll3y3eTHe
BaJKHOCTll HaBeCTll.
Ocnoene xunep6o.~tu"{r;;e rftynr;;v,uje cy ~YHKnnje sh x (" cnHyc xnrrep6oJIH"CI
Kll llKC"), 3aTHM ch X (" KOCHHYC Xlliiep60Jill"t!Kll llKC"), th X (" TaHI'eHC Xlliiep-
60Jill"'C!Kll llKC"), ll Cth X (" KOTaHI'eHC Xlliiep60Jill"t!Kll llKC"), KOje cy pe,.[(OM
,.[(e~HHHCaHe ca
sh X= ex- e-x 2
(x E R);
ex+ e-x ch x =
2 (x E R);
sh X ex - e-x e2x - 1 thx=--= =---
ch x ex + e-x e2x + 1 ch x ex + e-x e2x + 1
cth x = -- = = ---sh x ex -e-x e2x - 1
(x E R);
(x =f. 0);
<I>yHKnnje sh x, th x H cth x cy HerrapHe, a ~YHKnnja ch x je rrapHa.
IhHXOBll rpa~Hnll cy rrpHKa3aHll Ha CJie,.[(enHM CJIHKaMa (CJIHKe 3.11, 3.12, 3.13 ll 3.14).
y
y: 1/2 ex
X
y
\~ /Jy:c.h:.
/ / -r,
X j; y:~1
Cmn~e 3.11, 3.12
X
<f>yHKnHj e sh X, ch X, th X ll cth X Cy llHTepecaHTHe ll 360r TO I' a IIITO
3a ThHX BaJKe yorriiiTeTha O,.[(I'OBapajytinx a,.[(llnnoHnx TeopeMa 3a ocHOBHe
Tplli'OHOMeTpllj CKe ~YHKnnj e. 0Ba yorriiiTeTha HllCY IIpOCTe aHaJIOI'llj e y CMll
CJiy ,[(aCe ~YHKnnje sin X, COS X, tg X ll ctg X je,.[(HOCTaBHO 3aMeThyjy O,.[(I'OBapa
jynHM xnrrep6onn'IKHM ~YHKnnjaMa sh x, ch x, th x n cth x.
Je,.[(Ha O,.[( ocHOBHHX penannja Koje 3a,.[(OBOJLaBajy OBe ~YHKnnje je pena-
nnJa
ch 2 x - sh 2 x = 1 (x E R).
AHAJB13A I 3A I1H<I>OPMATJtf4APE
I 'I ~:: ~" ;i
'II\ il ""---
X a j
~ Cmme 3.13, 3.14
35
1~ dh X
X
(9°) - I1HBep3He nmep60Jill'IKe cpyHKIJ;Hje Cy llHBep3He cpyHKD;Hje OC
HOBHHX XHIIep60Jill'IKllX cpyHKD;Hja sh X ch X, th X ll cth X. 0He Ce pe,n;OM
03Ha'!aBajy ca ar sh x (x E R), Archx (x ~ 1), ar th x (lxl < 1) u ar cth x
(lxl > 1). ITpnTOM, KaKo je cpyHK:o;uja ch x ITapHa, o,n;roBapajyna HHBep3Ha
cpyHK:o;Hja Archx je ,n;B03Ha'!Ha, u IToce,n;yje ,n;Be rJiaBHe rpaHe Koje ce pa3-
JIHKyjy CaMO ITO 3HaKy.
CBe OBe HHBep3He cpyHKD;Hje cy llHTepecaHTHe ll ITO TOMe IIITO ce, 3a pa-
3JIHKY O,I( llHBep3HllX TpHrOHOMeTpHjCKHX cpyHKD;Hja, MOry ,I(HpeKTHO H3pa'Iy
HaTH. TaKo, aKo IToljeMo o,n; cpyHK:o;Hje y = sh x, HMaMO ,n;a je Ha ocHoBy
,n;e cpnHH:o;:vrj e
o,n;aKJie J e
ex- e-x y= 2
e2x - 1
2ex
(ex) 2 - 2(ex)y- 1 = 0.
O,n;aB,n;e, peiiiaBalbeM ITOCJie,n;Ibe je,n;Ha'!HHe Kao KBa,n;paTHe je,n;Ha'!:vrHe ITO
ex, HaJia3HMO ,n;a j e
ex = y ± y' y2 + 1.
KaKO je ex > 0 3a CBaKO peaJIHO X' CJie,n;H ,n;a je y ITOCJie,n;Iboj peJiaD;HJll
Moryn caMo 3HaK +, ITa je
ex= y + y'y2 + 1,
O,I(HOCHO
x = ln (y + y'y2 + 1).
O,n;aB,n;e 3aMeHOM ITpOMeHJI.HBHX x H y ,n;o6:vrjaMo Haj3a,n; ,n;a je
y = ar sh x = ln (x + y' x2 + 1) (x E R).
36 AHAJI113A I 3A l1H<I>OPMATI1l..JAPE
KaKo je cpyHKII.llja sh x HerrapHa 11 rrpeCJillKaBa rrpaBy R Ha II.eJiy TY
rrpaBy, CJie,n;ll 11 ,n;a je o,n;roBapajyna llHBep3Ha cpyHKII.llja ar sh x TaKot)e He
rrapHa 11 ,n;ecpllHllCaHa Ha II.eJioj rrpaBoj R. CJill'IHO, rroJia3etm o,n; cpyHKII.llje y = ch x, Tj. o,n; peJiaii.llje
ex+ e-x y=
2
e2x + 1
2ex
HaJia3llMO ,n;a je y ~ 1, a Herrocpe,n;HllM pemaBalheM oBe peJiaii.llje no x ,n;o6ll
jaMo ,n;a je
x = ±ln (y + j y2 - 1) (y ~ 1).
3aM€HOM IIpOM€H.llillBllX X ll y ,n;06lljaMO ,n;a je
y = ±ln (x + )x2- 1) (x ~ 1).
CTora je o,n;roBapajyna llHBep3Ha cpyHKII.llja Arch x ,n;B03Ha"t!Ha, a ca
ar ch x ce o6ll"tiHO 03Ha"tlaBa lheHa II03llTllBHa rpaHa . .IlaKJie CTaBJLaMo ,n;a je
ar ch x = ln ( x + / x 2 - 1) (x ~ 1).
<I>yHKII.llje th x (x E R) 11 cth x (xi= 0) cy llHa"tle o6ocTpaHo je,n;H03Ha"tiHe
11 HerrapHe, rra cy lhllXOBe llHBep3He cpyHKII.llje ar th x (x E R) 11 cth x (x i= 0) je,n;H03Ha"tiHO ,n;ecpllHllCaHe 11 TaKot)e HerrapHe. Mo:rKe ce JiaKo rroKa3aTll ,n;a cy
OHe 3a,n;aTe cpopMyJiaMa
ar th x = ~ ln ( 1 + x) 2 1-x
(ixl < 1), 1 (x-1) ar cth x = 2ln x + 1 (lxl > 1).
rpacpllii.ll rrpeTXO,IJ;H€ "tl€Tllpll llHB€p3H€ Xllii€p60Jill"tlK€ cpyHKII.llje cy
rrpe,n;cTaB.llieHll Ha cJie,n;enllM CJillKaMa.
y y:Y. X
/ /
/ ~~
/ --// y::.usln
X
/ /
't r.Au.J
J'~·y /// ----1
..!....-' / /' y= lrch ~
.--// . / I
/10 /
,I
' ......
Cmu~e 3.15, 3.16
;;
/ /
/ I I I
AHAJH13A I 3A I1H<POPMATI1qAPE
y
Y = J.rth :x
I I
-I
:X
CJIHKe 3.17, 3.18
37
/
/l.(c-th/
c~t. x.
Haj3a,n;, HarroMeH:rrMo ,n;a ce <f>yHKn;:rrja f(x) Ha3:rrBa (onwmoM) e.AeMe'H
mapnoM ¢Y'H'K:V,UjOM aKO Ce MOJKe ,n;o6HTH KaO pe3yJITaT rrp:rrMeHe KOHRt:IHO
MHoro orrepan;:rrj a ca6:rrpaH>a, o,n;y3:rrMaH>a, MHomeH>a, ,n;e.JbeH>a, cJiaraH>a :rr
o5pa30BaH>a peCTpHKI(Hja ,D;OMeHa, Ha,n; OCHOBHHM eJieMeHTapHHM <f>yHKI(HjaMa
1, ax (a> 0), logax (a> 0, a=/= 1), sinx :rr arc sin x.
Mome ce ,n;oKa3aT:rr ,n;a ce rrp:rrpo,n;H:rr .n;oMeH cBaKe eJieMeHTapHe <f>yHKn;:rrje
cacToj:rr o,n; KOHa-r.me yH:rrje HHTepBaJia peaJIHe oce, rrp:rr "t:IeMy HeK:rr o,n; T:rrx
HHTepBaJia Mory ,n;a Ce pe,n;yKyjy H CaMO Ha Ta"l!Ke.
38 AHAJU13A I 3A HH<I>OPMATH"Y:APE
llorJiaBJLe 4
rP AHM"4HE BPEllHOCTM 4>YHKUMJA
1. OcHOBHe Aelf>HHH~Hje
IIpeTnocTamrMo ,n;a je D C R npmBBOJbaH Henpa3aH no,n;cKyn cKyna
peaJIHHX 6pojeBa. Ta,n;a ce KOHaqHa HJIH 6ecKoHaqHa TaqKa x 0 E R Ha3HBa
ma"',X:O.M 11.a20.MU.II.aBa1ba cx;yna D aKO y CBaKOj H>eHOj OKOJIHHH ITOCTOjH 6ap
je,n;Ha Ta"t:J:Ka X E D (x =j:. Xo). llpHTOM Ta"t:J:Ka Xo MOJKe aJIH H He MOpa ,n;a
npmm,n;a caM oM cKyrry D.
Ha npHMep, aKo je CKYII D = I( a, b) 6HJIO KOjH KOHaqHH HHTepBaJI ca
KpajibHM TaqKaMa a H b (a< b), Ta,n;a je CKYIT CBHX IberOBHX Ta"t:J:aKa HarOMHJia
Baiba 3aTBOpeHH HHTepBaJI [a, b]. AKo jeD= {x1 , ... , xn} 6HJIO KOjH KOHa"t:J:HH
cKyn peaJIHHX 6pojeBa, Ta,n;a OH He rroce,n;yje HH je,n;Hy Ta"t:J:KY HaroMHJiaBaH>a
y cKyny R*. Mome ce JiaKo BH,n;eTH ,n;a je y OIIliiTeM cJiy-qajy TaqKa x 0 TaqKa HarOMH
JiaBaiLa cKyrra D aKo H caMo aKo nocTojH HH3 TaqaKa (xn) cKyna D TaKaB
,n;a je Xn =!= xo (n E N), KOjH KOHBeprHpa Ka TaqKH x0 • CBe Ta"t:J:Ke caMor
cKyrra D MOJKeMo ,n;a no,n;eJIHMO Ha TaqKe Koje npe,n;cTaBJbajy H>eroBe TaqKe
HarOMHJiaBaH>a, H npeOCTaJie TaqKe KOje Ha3HBaMO U30.11.0Ba'H.UM ffia'l(,X:aMa TOr
CKyna. Q-qnrJie,LUIO je HeKa Ta"t:J:Ka Xo E D H30JIOBaHa Ta"t:J:Ka TOr CKyna aKO H
CaMO aKO y HeKOj H>eHOj OKOJIHHH HeMa ,n;pyrHX Ta"t:J:aKa TOr CKyiia.
IIpeTnocTaBHMO ,n;aJbe ,n;a je peaJIHa <PYHK:U:Hja f(x) ,n;e!pHHHCaHa Ha He
KOM Henpa3HOM cKyny D, H ,n;a je x 0 E R TaqKa HaroMHJiaBaiUa cKyrra D.
Ta,n;a ce KOHa"t:J:aH 6poj A E R Ha3HBa zpa'H.U'l(,'H.O.M epeiJH.owfiy !pyHK:U:Hje f(x) y
TaqKH Xo aKO 3a CBaKO c > 0 ITOCTOjH HeKO 6 = 6(c) > 0 TaKO ,n;a je
(1) lf(x)- AI< c
AHAJU13A I 3A HH<I>OPMATH"Y:APE 39
3a CBe Bpe,n;HOCTH xED\ {xo} 3a Koje je Jx- xol < 6. Ta,n;a mrmeMo: lim f(x) =A, HJIH f(x) -+A Ka,n;a x-+ x0 •
x-+xo IIojaM rpaHHqHe Bpe,n;HOCTH ce JiaKo MOiKe yorrmTHTH 11: Ha Bpe,n;HOCTH
x 0 = ±oo. TaKo, aKo je x 0 = +oo, 3axTeBaMo ,n;a je Heje,n;HaKocT (1) HcrryH>eHa
3a CBe Bpe,n;HOCTH X E D 3a KOje je X > 6, a 3a Xo = -oo, ,n;a je OHa HCIIyH>eHa
3a CBe Bpe,n;HOCTH X E D 3a KOje je X < -6. TaKol;)e, rrpeTxo,n;Ha ,n;eqmHHD;Hja ce MOiKe yorrmTHTH 11: Ha cJiyqaj Ka,n;a
je A = ±oo HJIH qaK A = oo. Y TOM cJiyqajy, 3axTeBaMo ,n;a je yMeCTO
peJiaD;Hje ( 1) pecrreKTHBHO HCIIylbeHO CJie,n;ene: 3a CBaKO M > 0 IIOCTOjH
HeKo 6 = 6(M) > 0 TaKo ,n;a je f(x) > M, o,n;HOCHO f(x) < -M, o,n;HOCHO
Jj(x)J > M 3a o,n;roBapajyne Bpe,n;HOCTH x.
HT,L{.
joM.
TaKo j e HarrpHMep
. 1 hm- = oo, x-+OX
. 1 hm -1 I= +oo, x-+0 X
CBe rrpeTxo,n;He ,n;eqmHHn;Hje ce Mory o6je,n;HHHTH cJie,n;enoM ,n;eqnmHn;H-
AKo je x0 E R* TaqKa HaroMHJiaBaH>a cKyrra D, Ta,n;a ce 6poj A E
R Ha3HBa rpaHHqHoM Bpe,n;Homny <PYHK:u;:aje j(x) y TaqK:a xo aKo 3a cBaKy
OKOJIHHY V(A) Ta"t.IKe A rrocToj:a HeKa OKOJIHHa U(x0 ) TaqKe xo TaKBa ,n;a je
j(x) E V(A) 3a cBe Bpe.n;HOCTH x E D n U(x0 ) (x :/= x0 ).
TaKol;)e ce MOiKe roBopHTH :a o rpaHwmoj Bpe,n;HOCTH <flyHKD;Hje y = f(x) H aKO KO):( ,n;e<flHHHCalba Te Bpe,n;HOCTH Y3HMaMO y 063Hp CaMO IbeHe Bpe,n;HOCTH
x Koje cy Bene o.n: xo (,n;aKJie HaJia3e ce ",n;ecHo" o,n; TaqKe x0 ), o,n;HOCHO
MaH>e o,n; x 0 (.n;aKJie HaJia3e ce "JieBo" o.n: TaqKe x 0 ). O,n;roBapajyne rpaHHqHe
Bpe,n;HOCTH ce Ta.n;a 03HaqaBajy pe.n;oM ca
lim f(x), Tj. ca f(xo + 0), x-+xo+O
O):(HOCHO ca
lim f(x), Tj. ca f(xo- 0). x-+xo-0
rpaHHqHe Bpe,n;HOCTH j(xo + 0) H j(xo- 0), aKO OHe IIOCTOje, Ha3HBajy
ce jom :a .!!eeo.M u dec'HO.M zpa'HU"i'HO.M eped'Howfiy <PYHKD;Hje f(x) y TaqKH xo, HJIH jed'Hocmpa'Hu.M zpa'HU"i'HU.M eped'Hocmu.Ma.
Herrocpe,n;HO ce MOiKe ,n;oKa3aTH ,n;a je lim f(x) = A aKo H caMo aKo X-+Xo
je lim f(x) = lim f(x) = A. CTora rroce6Ho, aKo je <PYHKD;Hja f(x) x-+xo+O x-+xo-0
,n;e<flHHHCaHa 6ap y je,n;HOj TaqKH X < Xo H 6ap y je,n;HOj TaqKH X > Xo, H TaqKa
40 AHAJII13A I 3A I1H<I>OPMATI1"4APE
x0 je Ta"t!Ka HaraM:H:JiaBaH>a cKyna D, Ta,n;a rpaH:H:"t!Ha ape,n;HaCT cf>yHKUMje f(x) y Ta"t!K:H: Xo E R* nacTaj:H:, aKa 11: CaMa aKa nacTaj:H: JI8Ba 11: ,n;ecHa rpaH:H:"t!Ha
ape,n;HaCT y Taj Ta"t!KM, 11: aHe cy Mel)yca6Ha je,n;HaKe. AKa cf>YHKU:H:ja f(x) H:H:j e ,n;ecf>:H:H:H:caHa H:H: y j e,n;Haj Ta"t!K:H: x < x 0 , aHa nace,n;yj e a,n;raaa paj yny
rpaH:H:"t!HY Bpe,n;HaCT aKa 11: CaMa aKa naCTaj:H: Ib8Ha ,I{8CHa rpaH:H:"t!Ha Bpe,n;HaCT
y nacMaTpaHaj Ta"t!K:H:. CJI:H:"t!Ha aaJK:H: 11: y cJiy-qajy ,n;a cf>YHKU:H:ja f(x) H:H:je
,n;ecf>:H:H:H:CaHa H:H: y je,n;Haj Ta"t!K:H: X> Xo.
IIpHMepH. 1. Henacpe,n;Ha Ha acHaay ,n;ecf>:H:HMU:H:je HaJia3:H:Ma ,n;a je
lim(2 + 3x) = 8, x--+2
x 2 -1 lim = lim(x + 1) = 2. x--+1 X- 1 x-tl
2. AKa j e cf>yHKU:H:j a f ( x) = sgn x, Ta,n;a Henacpe,n;Ha HaJia3:H:Ma ,n;a j e
f(+0)=1,j(-0)=-l. 0
Ilp:H:MeHaM ,n;ecf>:H:H:H:U:H:je, H:H:je T8ITIKa ,n;aKa3aT:H: CJie,n;efi.y TeapeMy.
CTAB 1. A~o je pea.1t1W rj;yN~'4uja f(x) iJerj;uNuca'l-ta 1-ta Nenpamo.M c~yny
D C R u x0 je ma"t~a Nazo.Mu.!taea'Jba c~yna D, maiJa je lim f(x) = A (A E x-+xo
R*) a~o u ca.Mo a~o Ja cea~u NU3 (xn) ~ D \ {x0 } ~oju meJ~Cu ~a ma"t~U Xo oiJzoeapajynu NU3 6pojeea f(xn) --t A.
CTAB 2. A~o zpaNU"t'l-ta epeiJ1-tocm limx-+xo f(x) nocmoju, 01-tiJa je 01-ta
jeiJu1-tcmee1-ta.
IlpeTXO,n;Ha TBpl)eH>e BaJK:H: TaKalje 11: 3a je,n;HaCTpaHe rpaH:H:"t!He Bpe,n;
HaCT:H:.
CTAB 3. A~o rj;yN~'4uja f(x) u.Ma ROHa"tlay zpaNU"t'l-lY epeiJ1-tocm y ma"t~U
Xo E R*, 01-tiJa je ma rf;y1-t~'4uja ozpaNU"te'l-ta y 1-te~oj o~O.!tU'I-lU ma"t~e x 0.
AKa j e peaJIHa cf>YHKU:H:j a w ( x) ,n;ecf>:H:H:H:CaHa Ha HeKaM cKyny D ~ R* 11:
Ta"t!Ka x0 E R* je Ta"t!Ka HaraM:H:JiaBaH>a CKyna D, Ta,n;a ce Kame ,n;a je w(x) 6ec~o'l-ta"t'l-to .Ma.lta ee.!tU"tU'I-ta Ka,n;a x --t x0 aKa je lim w(x) = 0.
X-tXQ
Mame ce JiaKa BM,n;eT:H: ,n;a j e 3a peaJIHY cflyHKU:H:j y f ( x) ,n;ecfl:H:H:H:CaHy Ha
HeKaM CKyny D lim f(x) =A, np11: "t!eMy je A KaHa"tiaH 6paj aKa 11: caMa aKa x-+xo
je f(x)- A 6ecKaHa"tiHa MaJia aeJI:H:"t!:H:Ha Ka,n;a x --t x0 . TaKal)e, aKa je w1(x) 6ecKaHa"t!Ha MaJia B8JI:H:"t!:H:Ha Ka,n;a X --t Xo ,n;ecfl:H:H:H:CaHa Ha CKyny D1 11: w2(x) 6eCKaHa"t!Ha MaJia B8JI:H:"t!:H:Ha Ka,n;a X --t Xo ,n;ecfl:H:H:H:CaHa Ha CKyny D2, Ta,n;a Cy
wl(x) ± w2(x) 6eCKOHa"t!Ha MaJie B8JI:H:"t!:H:He Ha CKyrry Dl n D2.
AHAJU13A I 3A l1H<I>OPMATI11.1APE 41
Haj3a,n;, aKo je w(x) 6ecKoHa-qHo Mana Bemp.nma Ka,n;a x --7 x 0 ,n;eqni
mrcaHa Ha HeKOM cKyrry D, a <f>YHKu;uja cp(x) je orpaHwieHa Ha HeKoj OKOJIHHH
U(x0 )\{x0 } Ta't.IKe x0 , Ta,n;a je w(x)cp(x) TaKol)e 6ecKOHa"t.IHO Mana Ka,n;a x --7 xo.
CTAB 4. A1eo y ma't?CU x0 nocmoje ?CO'tta'tne zpanu'tne epeanocmu
lim f(x) u lim g(x), maaa ma1eo1je nocmoje u zpanu'tne epeanocmu lim [o:f(x) x-+xo x-+xo x-+xo
± ,Bg(x)] (o:, ,8 E R), lim j(x)g(x) u lim f(x)/ g(x), u eaJICe c.lleaene jea-x-+xo x-+xo
na?Cocmu:
(1 0)
(20)
(30)
lim [ 0: j (X) + ,8 g (X)] = 0: lim f (X) + ,8 lim g (X) x-+xo x-+xo x-+xo
(o:, ,8 E R);
lim [f(x)g(x)] = lim f(x) lim g(x); x-+xo x-+xo x-+xo
lim f(x) = limx-+xo f(x). x-+xo g(x) limx-+xo g(x)
IIpumoM noc.11ea'Tba jeana?Cocm ea:J~Cu a?Co je g(x) =J. 0 y ne?COJ o?Co.llunu
ma't?Ce xo u ocuM moza je limx-+xo g(x) =J. 0.
113 rrpeTXO,ll;HOr CTaBa IIOCe6HO CJie,ll;H ,n;a aKO rpaHH't.!He Bpe,n;HOCTH
limx-+xo f(x) H limx-+xo g(x) rrocToje H rrpe,n;cTaBJI.ajy KOHa"t.IHe 6pojeBe, Ta,n;a
TaKol)e IIOCTOje ll KOHa't.!He rpaHH't.!He Bpe,n;HOCTH limx-+xo (j(x) + g(x)) ll
limx-+xo (f(x)- g(x)) H Ba>Ke je,n;HaKOCTH
lim (j(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x), x-+xo x-+xo x-+xo
lim (j(x)- g(x)) = lim j(x)- lim g(x). x-+xo x-+xo x-+xo
HarroMeHHMO ocuM Tora ,n;a rrpeTxo,n;HH cTaB Ba>Ku u 3a je,n;HOCTpaHe
rpaHH't.!He Bpe,n;HOCTH <f>YHKD;Hja j(x) ll g(x), a HCTO TaKO ll aKO je Ta't.!Ka Xo = -00, +oo, 00. Ho Tpe6a HaiiOMeHyTH ,n;a je,n;HaKOCT (1 °) y OIIIIITeM CJiy"t.Iajy He
Ba>Ku aKo ,n;orrycTHMO ,n;a rpaHH't.!He Bpe,n;HOCTH A u B Y3HMajy u Bpe,n;HOCTH
oo, -oo u +oo.
IIpuMeHOM MaTeMaTH't.!Ke HH,1J;YKD;Hje ce ca,n;a naKo MO>Ke ,n;oKa3aTH ,n;a
Ba>Ku cne,n;enu cTaB.
CTAB 5. A1eo je k npou3Bo.!ba'H npupoaan 6poj, rfiyn?Cv,uje !I (x), ... , fk(x) cy aerjuNucane na ucmoM c1eyny D ~ R*, u nocmoje ?Cona'tne zpanu'tne epea
nocmu lim fi(x) = Ai (i = 1, ... 'k), maaa BaJICe jeana?Cocmu X-+Xo
k k k k
lim L o:di(x) = L o:iAi, X-+Xo
i=l i=l
lim IT fi(x) =IT Ai. X-+Xo
i=l i=l
42 AHAJH13A I 3A 11H<I>OPMAT11qAPE
O,n;aB,n;e rroce6Ho cne,n;H ,n;a, aKo rrocTojH KOHaqHa rpaHHqHa Bpe,n;HOCT
lim f(x) =A, Ta,n;a 3a rrpOH3BOJLaH rrpHpo,n;aH 6poj k Baiim je,n;HaKOCT x-+xo
lim (f(x))k = Ak X-+Xo "
CTAB 6. Ilpemnocmaau.Mo iJa nocmoju -x:o'Ha<tt'Ha zpa'HU<tt'Ha apeiJHocm
lim f(x) =A. A-x:o je y 'He-x:oj O'X:O.!l.U'HU ma<tt-x:e x0 ucny'lbe'Ho: X-+Xo
(a) f(x) ~ a, maiJa je ma-x:o!je u A~ a;
(6) f(x) ~ /3, maiJa je ma-x:o!je u A ~ /3;
(B) lf(x)l ~ M, maiJa je ma-x:o!je u IAI ~ M.
113 CTaBa 6 Herrocpe,n;Ho cne,n;H ,n;a aKo je rroce6Ho y HeKoj OKOJIHHH
TaqKe xo :vrcrry!heHo:
(a.l) f(x) >a, OH,n;a je A;::: a;
(6.1) f(x) < /3, OH,n;a je A~ /3;
(B.l) lf(x)l < M, oH,n;a je IAI ~ M.
l!aKJie, y OIIIIITeM CJiyqajy H3 TOra illTO je HaiipHMep j(x) > a y HeKOj
OKOJIHHH TaqKe x0 He c.11.eiJu ,n;a je lim f(x) >a. Cn:vrqHo BaJK:vr :vr 3a rrpeocTane x-+xo
)];Be rrpeTIIOCTaBKe.
113 CTaBa 6 TaKol)e Herrocpe,n;Ho cne,n;:vr ,n;a aKo je KOHaqHa rpaH:vrqHa
Bpe,n;HOCT lim j(x) > 0, Ta,n;a je y HeKOj OKOJIHHH IIOCMaTpaHe TaqKe HCIIy-x-+xo
!heHo f(x) > 0. Cn:vrqHo, aKo rrocToj:vr KOHaqHa rpaH:vrqHa Bpe,n;HOCT lim f(x) x-+xo
< 0, Ta,n;a je y HeKoj OKOJIHHH rrocMaTpaHe TaqKe f(x) < 0. CTora, aKo
IIOCTOjH KOHaqHa rpaH:vJ:qHa Bpe,LI;HOCT j(x) =f. 0, Ta,n;a je y HeKOj OKOJIHHH
IIOCMaTpaHe TaqKe HCIIylheHO j(x) =j:. 0.
Cne,n;ena ,n;Ba cTaBa rrpe,n;cTaBJLajy Herrocpe,n;He rrocne,n;:vr:u:e CTaBoBa 5 :vr
6.
IIOCJIEJlllUA 1. 3a npou3BO.Jba'H no.!l.U'HOM Pn(x) cmene'Ha n u ma<tt-x:y
xo E R aaJK.:u
lim Pn(x) = Pn(xo). X-+Xo
JloRa3. Ha ocHoBy CTaBa 5 :vrManeMo ,n;a 3a rrpo:vr3BOJLaH rrp:vrpo,n;aH
6 . k l" k k pOJ BaJKH lmx-+xo X = x 0 .
AHAJ1l13A I 3A l1H<POPMATl1"LIAPE 43
Yo'tiHMO .na&e rrpOH3BO&aH IIOJIHHOM Pn(x) = aoxn + a1xn-1 +···+an.
Ta.na je
lim Pn(x) = lim {aoxn + a1xn-1 +···+an}= x-txo x-+xo
= ao( lim xn) + a1( lim xn-1) +···+an= x-+xo x-+xo
= aoxo + a1xo- 1 +···+an= Pn(xo). D
IIOCJIEll.HUA 2. He'K:a je f(x) = ~:i:j npouJBOJb'Ha paquo'Ha.II.'Ha
¢Y'H'K:quja (n ~ 1). A?Co je xo 6u.;w 'K:oja 'Hecuwly.!tap'Ha ma"'.?Ca ¢y'H?C'l{Uje f(x) mj. Qn(xo) :j:. 0, maoa Ba;)ICU
Pm(x) lim ( )
x-+xo Qn X
Pm(xo) Qn(xo).
1Imm3. AKo je x0 6HJIO Koja HeCHHryJiapHa Ta'tiKa £PyHKD;Hje f(x), Tj.
Qn(x0 ) =f. 0, Ta.na je y HeKoj OKOJIHHH lx- x01 < 8 Te Ta"tiKe HcrrylbeHo Qn(x) =f.
0, rra Ha OCHOBY CTaBa 4 H IlocJie,[(HIJ;e 1 Baam
Pm(x) lim ( ) x-+xo Qn X
limx-+xo P m (X) limx-+xo Qn(x)
Pm(xo) Qn(xo) ·
D
lia.u.e fi.eMO HaBeCTH jom HeKOJIHKO BapHjaHTlf CTaBOBa 5 lf 6.
CTAB 7. A?Co je lim f(x) = B u lim g(x) = C npu "'.e.My je B < C x-txo x-+xo
(BE R, c E R*), maoa nocmoju U38eC'Ha O'K:O.!LU'Ha U(xo) ma"'.?Ce Xo ma'K:ea oa je f(x) < g(x) Ja cee epeo'Hocmu U(x0 ) \ {x0 }. IIoce6'Ho je y 'He?Coj ma'K:eoj O?CO.!LU'HU
ucny1be'Ho f(x) <C.
CTAB 8. A'K:o ¢Y'H?C'l{uje f(x) u g(x) u.Majy zpa'HU"'.'He epeo'Hocmu y ma"'.'K:U
Xo, u y 'He?Coj O'X:O.II.U'HU U(xo)\{xo} ucny1be'Hojef(x):::; g(x), maoaje lim f(x):::; x-txo
lim g(x). x-+xo
HarroMeHHMO ,[(a lfCKa3 OBOr CTaBa IIOCe6HO Baam aKO je y IIOCMaTpaHoj
OKOJIHHH HcrrylheHo f(x) < g(x). Tpe6a HarroMeHyTH .na H3 ycJIOBa f(x) < g(x) y IIOCMaTpaHOj OKOJIHHH y OillTeM CJiy"tiajy He CJie,[(H ,[(a je lim j(x) <
x-txo lim g(x), Ben caMo Heje.nHaKocT :::;.
X-+Xo
44 AHAJH13A I 3A YIH<POPMATYI"Y:APE
CTAB 9. IIpemnocmaBU.MO oa cy f(x), g(x) u h(x) mpu pea.rt'H.e rfty'H'K:V,Uje
oerftu'H.uca'He 'H.a 'H.e'K:o.M c'K:yny D, xo je ma"'.'K:a 'Hazo.Mu.rtaea'/ba c'K:yna D u 'H.a 'H.e'K:oj
o'K:o.rtu'Hu U(xo) \ {xo} ma"'.'K:e xo ucny'lbe'Ho je f(x)::::; g(x)::::; h(x). A'K:o je npumo.M
lim f(x) = lim h(x) = B, x-+xo x-+xo
npu "'.e.My je BE R*, maoa je u lim g(x) =B. X-+Xo
HanoMeHHMO ,L(a ce CTaB 9 aeoMa qecTo KOpHCTH y peaJmoj aHaJIH3H.
Y CJie,L(ena "t.IeTHpH TBp1)eH>a 10, 11, 12 H 13 HaBO,L(HMO H3BeCHa yon
illTelba CTaBa 4.
CTAB 10. A'K:o je zpa'HU"'.'Ha epeO'H.ocm lim f(x) = A 6ec'K:o'H.a"'.'Ha y X-+Xo
C.MUC.rty oa je A jeOa'H. 00 cu.M6o.rta oo, -oo, +oo, maoa 3a 6u.rto 'K:Oju 'K:O'Ha"'.a'H
6poj a =/= 0 eaJ~Cu jeO'H.a'K:ocm:
lim af(x) =a lim f(x). x-+x-0 x-+xo
CTAB 11. A'K:o nocmoje zpa'H.U"'.'He epeOHocmu lim f(x) =A, lim g(x) = x-+xo x-+xo
B u npumo.M je 6ap jeOa'H 00 6pojeea A, B 6eC'K:O'Ha"'.a'H a opyzu 'H.Uje jeO'H.a'K: 0,
maoa eaJ~Cu jeO'H.a'K:ocm
lim f(x)g(x) = ( lim f(x)) · ( lim g(x)) =A· B. x-+xo x-+xo x-+xo
CTAB 12. !Ipemnocmaeu.Mo oa je rfty'H.'K:V,Uja f(x) oerftu'H.Uca'H.a y 'H.e'K:oj
O'K:O.rtU'HU ma"'.'K:e Xo, oa je f(x) =I= 0 y moj O'K:O.rtU'HU u oa je lim f(x) = A, npu x-+xo
"'.e.My je A jeOa'H. oo cu.M6o.rta oo, +oo, -oo, 0, +0, -0. Taoa je
lim -1- = ~.
x-+xo f(x) A
CTAB 13. A'K:o cy rfty'H'K:V,Uje f(x) u g(x) oerftu'H.Uca'H.e y 'H.e'K:oj O'K:O.rtU'H.U
ma"'.'K:e xo, y moj O'K:O.rtu'Hu eaJ~Cu g(x) =!= 0, nocmoje zpa'HU"'.'He epeO'H.ocmu
lim f(x) = A, lim g(x) = B npu "'.e.My 6pojeeu A, B E R* u npumo.M je oerftu-x-+xo x-+xo
'H.UCa'H. 1bUXOB 'K:O.rtU"'.'HU'K: A/ B' maoa eaJICU jeO'H.a'K:ocm
lim f(x) = A x-+xo g(x) B'
AHAJII13A I 3A 11H<I>OPMATI1"Y:APE 45
CJie,l.(en.u CTaB rrpe,l.(cTaBJLa Herrocpe).(HY rrocJie).(.uu;y rrpeTXO,l.(HOr cTaBa.
IIOCJIE.UHUA 3. Hex;a je f(x) = ~:~;j npouJBO.!b'IW pav,uona.;r:Ha
¢y'Hx;v,uja (n 2: 1). Ax;o je Xo 6u.;w x;oja CU'H2y.Aapna ma"tx;a ¢y'Hx;v,uje f(x) maoa
ea:JfCu jeiJHax;ocm
(2) lim Pm(x) x-+xo Qn(x) = 00.
Fpa'HU"t'Ha epeo'Hocm C.AO:JfCe'He ¢y'Hx;v,uje
.llaJLe lleMO HaBeCTH jOIII je,l.(aH Ba)KaH CTaB KOjH Ce O,l.(HOCH Ha 3a
MeHy IIpOMeHJLHBe KO,l.( H3pal:!yHaBa:Eba rpaHH"t:!He Bpe,l.(HOCTII. Y CJIOBH KOjH
Ce IIpHTOM HaMeny Ha cpyHKD;Hjy X = x(t) cy KOMIIJIHKOBaHH, rra lleMO HX
rroce6HO H3JIO)KHT1L
IIpeTrrocTaBHMO ,l.(a je cpyHKu;.uja x = x(t) rrpoMeHJLHBe t, ,l.(ecp.uH.ucaHa
y HeKOj OKOJIHHH jt- t0 j < T Ta"t:IKe to, HHjeKTHBHa je y TOj OKOJIHHH, M .H:Ma
oco6.uHy ).(a HH3 tn ---+ to (tn =/= to, n E N) aKo .u caMo aKo O,l.(roBapajyn.u
HH3 x(tn) ---+ Xo = x(to). CBaKy TaKBY cpyHKu;.ujy Ha3.uBaneMo KpaTKO dcpyHKD;Hj OM.
Q-q.urJie,l.(HO, CBaKa d-cpyHKD;Hja X = x(t) .H:Ma O,l.(rOBapajyny HHBep3HY
cpyHKD;Hjy t = C 1 (x) M OBa HHBep3Ha cpyHKD;Hja je TaKol)e je,l.(Ha d-cpyHKD;Hja.
CTAB 14. Ax;o je ¢y'Hx;v,uja X = x(t) npOU380.!b'Ha d-¢ynx;v,uja, maoa
zpanu"t'Ha epeo'Hocm
(3) lim f(x) X-+Xo
nocmoju u npeocmae.!ba x;ona"ta'H 6poj ax;o u ca.Mo ax;o zpa'HU"t'Ha epeonocm
(4) lim f(x(t)) t-+to
nocmoju u npeocmae.!ba x;ona"ta'H 6poj.
Ax;o zpa'HU"t'Ha epeO'HOCm (3) nocmoju u ';;;O'Ha"t'Ha je, maoa Ba:JICU jeo'Hax;ocm
(5) lim f ( x) = lim f ( x ( t)). x-+xo t-+to
Ha OCHOBY rrpeTXO,l.(HOr CTaBa, KO,l.( HCIIHTHBaiLa ,l.(a JIM H3BeCHa cpyHKIJ;H
ja j(x) ,l.(ecpHH.H:CaHa y HeKOj OKOJIHHH 0 < jx-x0 j < {J Ta"t:!Ke Xo HMa rpaHH"t:!Hy
46 AHAJU13A I 3A MH<I>OPMA TMl..IAPE
ape,n:HOCT, l1 KO)l; I13pa"t!yHaBaiba Te rpaHI1"t!He Bpe)l;HOCTI1, yaeK MOiKeMO ,n:a
l13Bpilll1MO 3aMeHy IIpOMeHJLI1Be X y rrpOMeHJLI1BY t CMeHOM X = x(t), IIO)l;
YCJIOBOM ,n:a je X = x(t) 611JIO KOja d-<f>yHKD;l1ja KOja rrpeCJII1KaBa Ta"t!KY to y
Ta"t!KY Xo.
Tpe6a HaiiOMeHyTI1 ,n:a IIpeTXO)l;HO TBp!)eibe y OIIIIITeM CJiy-qajy Hl1je
Ta"t!HO aKO <f>yHKD;l1ja X= x(t) He IIpl1rra,n:a KJiaCI1 d-<f>yHKD;l1ja.
TaKo!)e Tpe6a HarroMeHyTI1 ,n:a rrpeTxO,n:Ho TBp!)eibe o 3aMeHI1 rrpoMeH
JLI1Be BaiKH l1 3a je,n:HOCTpaHe rpaHH"t!He Bpe,n:HOCTH, a HCTO TaKO l1 y CJiy"t!a
jeBHMa Ka,n:a je Ta"t!Ka xo HJIH rpaHH"t!Ha ape,n:HOCT A <f>yHK:O:Hje f(x) je,n:Ha o,n:
<f>opMaJIHI1X Ta"t!aKa oo, ±oo.
2. &a Ta6JIH"t1Ha JIHMeca
Y OBOM ,n:eJiy 3a,n:piKaneMO Ce Ha )];BeMa OCHOBHHM rpaHH"t!HHM Bpe,n:HOC
THMa KOje fieMO K0pl1CTI1Tl1 y ,n:aJLeM pa,n:y.
(6)
CTAB 15. Ba:J~Cu jeih·ta'K:ocm
l. sin x
1 lffi -- = . x-+0 X
.il.oRa3. 1IoKa3aneMo Hajrrpe ,n:a 3a caaKo x E (0, 1r /2) aaiKH rrpo,n:y:!KeHa
Hej e,n:HaKOCT
sinx < x < tg x.
Y TOM :O:HJLY YO"t!l1MO TpHrOHOMeTpHj CKH Kpyr IIOJiyrrpe"tiHHKa 1, OIIITap
yrao LAOB, ce"t!H:O:Y AB 11 TaHreHTY AC Ha Kpyry y Ta"t!Kl1 A.
~ 1\ Jc
·x
Cm~Ra 4.1
Ta,n:a 3a rroapiiiHHY Tpoyrna AOB, KpyiKHor ceKTOpa AOB 11 TpoyrJia
AOC Hana3HMO ,n:a je P(!.:. AOB) < P(ceKTopaAOB) < P(!.:. AOC). KaKo je
AHAJIH3A I 3A HH<I>OPMATH'"-IAPE
.n.aJI.e 1 · sinx x
P(ll AOB) = 2
, P(ceKTopaAOB) = 2,
P( [). AOC) = 1 . ~g X = tg2 X'
,II.06Hj aMO IIpO.n.yJ-KeHy Hej e,II.HaKOCT
sinx x tg x -2- < 2 < -2-,
TJ. sin x < x < tg x. 0 .n.aB.n.e .n.eJbeH:.eM ca x > 0 HaJia3HMO .n.a j e
TJ.
smx cosx < -- < 1,
X
smx 0 < 1 - -- < 1 - COS X.
X
KaKo je .n.aJbe 1 -cos x = 2 sin2 ~ < 2 sin~ < x, .n.o6HjaMo .n.a je
O,II.HOCHO
(7)
sinx 0 < 1--- < x,
X
I si:x _ 11 < lxl.
47
KaKo je <f>yHKIJ;Hja (sinx)/x 3a x =/=- 0 O't.J:HrJie,II.HO rrapHa, rrocJie.n.H:.a He
je.n.HaKOCT je Ta"t:J:Ha M 3a Bpe,II.HOCTH X E ( -7r /2, 0). H3 Heje.n.HaKOCTH (7) rrymTajynH .n.a x ---+ 0 Herrocpe.n.Ho cJie,II.ll .n.a je
1. sinx
0 lm -- = 1. x-+0 X
CTAB 16. BaJ~Cu jeihw-x;ocm
(8) lim (1 + x) 11x =e. x-+0
.llo:Ka3. 1IoKa3aneMo 3arrpaBo .n.a BaJ-Ke .n.Be je.n.HaKOCTH
(9) lim (1 + x)l/x _ x-++0 - e,
M
(10) lim (1 + x) 11x =e. X-+-0
48 AHAJIH3A I 3A HH<I>OPMATHYAPE
AI<o 3a MOMeHa T rrpeTrrocTaBHMO ,n;a cMo ,n;oi<a3aJur j e,n;Hai<OCT ( 9), Ta,n;a
yBol)ea.eM cMeHe x = -z/(1 + z), rrpH ~eMy je z > 0 H z---+ +0, ,n;o6HjaMo ,n;a
Je z - tl.l 1 - tl.l
lim (1 + x) 11x = lim (1- --) z = lim (--) z = x-t-0 z-t+O 1 + Z z-t+O 1 + Z
tl.l 1/ = lim ( 1 + z) = = lim ( 1 + z) z • ( 1 + z) = z-t+O z-t+O
= lim ( 1 + z) 1 I z · lim ( 1 + z) = e · 1 = e, z-t+O z-t+O
,n;a.KJie .n;oi<a3aJIH CMO H j e,n;Hai<OCT ( 10). CTora caMo rrpeocTaje ,n;a .n;oi<aa<eMo
je,n;Ha.KOCT (9). AI<o .n;aJLe yBe.n;eMo cMeHy x = 1/y, rrpH ~eMy y ---+ +oo, Ta.n;a ce je.n;
Hai<OCT (9) MO:>Ke HaiiHCaTH y o6mmy
(11) lim ( 1 + ~) Y = e. y-t+oo Y
C o63HpOM Ha CTaB 5, je.n;Hai<OCT (11) MOa<eMo ,n;a HarrmrreMo y o6JIHI<y
(12) ( 1 )Xn lim 1 +- =e. Xn-t+oo Xn
liai<Jie Tpe6a .n;a .n;oi<aa<eMo .n;a je 3a 6HJIO I<OjH HH3 Xn I<OJH Tea<H I<a
+oo, ll rrpHTOM je Xn =I= 0 3a CBai<o n E N HCIIylheHo
f(xn) = (1 + 1/xn)xn ---+e.
Kai<o Hll3 Xn ---+ +oo I<a.n;a n ---+ oo, MOa<eMo ,n;a rrpeTrrocTaBHMO ,n;a je
Xn > 1 3a CBai<o n E N. Kao mTo 3HaMo rrpHTOM j e
lim ( 1 + _!_ r = e, n-too n
rra jell 3a IIpOll3BOJLaH Hll3 rrpHpO.IJ;HHX 6pojeBa nk I<Ojll Te:>Kll I<a 00 llCIIyH:.eHO
l. ( 1 ) nk 1m 1 +- =e. k-too nk
liaJLe 3a cBai<o k EN cTaBHMO .n;a je nk = [xk]· Ta,n;a je 3a cBai<o kEN:
nk 5 Xk < nk + 1,
H nk ---+ +oo I<a.n;a k ---+ oo. Kai<o je rrpHTOM
1 1 1 ---<-<nk + 1 Xk - nk'
AHAJIH3A I 3A HH<l>OPMA THqAPE 49
HaJia3HMO .na J e
( 1 )nk ( 1)Xk ( 1)nk+l 1+ < 1+- < 1+-
nk + 1 Xk nk (kEN).
.IlaJbe HMaMo .na j e
( 1 )nk 1+ -
nk + 1
( ) nk+l
1+~ e 1 --+ -1 = e,
1 + nk+l
( 1 )"k+l ( 1 )"k ( 1 )
1 + nk = 1 + nk 1 + nk --+ e . 1 = e,
o,naKJie Herrocpe,nHo cJie,nH ,na j e H
( 1 ) Xk
lim 1 +- =e. k-+oo Xk
THMe je TBpl)elbe ,noKa3aHo. 0
3. AcHMIITOTe cpyH~m_Hja
IIpeTIIOCTaBHMO Hajrrpe .na je <f>yHKUHja f(x) .ne<f>HHHCaHa y HeKoj OKOJIH
HH 0 < lx- x01 < 6 Ta"tiKe xo. Ta.na ce rrpaBa x = xo y Koop,nHHaTHOj paBHH
Oxy Ha3HBa eepmux:a.JI/HOM acuMnmomoM <f>yHKUHje f(x) aKo rrocTojH je,nHa o.n
rpaHH"t!Hl1X Bpe,nHOCTH j(xo- 0), j(xo + 0) H je,nHaKa je 00. Y CaMOj Ta"t!KH
Xo <f>yHKUHj a MOJKe aJIH H He MOp a ,na 6y ,ne ,ne<f>HHHCaHa.
TaKo je HarrpHMep rrpaBa x = 0 BepTHKaJIHa acHMIITOTa <f>YHKUHje f(x) = 1/x jep je f( -0) = f( +0) = oo.
CJIH"t!HO ce .ne<f>HHmne H BepTHKaJIHa acHMIITOTa <f>YHKUHje f(x) Koja je
.n;e<f>HHHCaHa ca.Mo y nex:oj Aeeoj HJIH ca.Mo y nex:oj oecnoj OKOJIHHH Ta"t!Ke xo. PauuoHaJIHe <f>yHKrruje o6pa3yjy rrmpoKy KJiacy <f>YHKUHja Koje rro rrpa
BHJIY HMajy "t!HTaB HH3 BepTHKaJIHux acHMIITOTa. HaMMe, aKo yo"t!HMO 6HJIO
KOjy CHHryJiapHy Ta"t!KY Xo TaKBe <f>yHKUHje j(x) ( aKO 6ap je,nHa TaKBa Ta"t!Ka
IIOCTOjH, Ta,na je KaO illTO CMO Ben ,L(OKa3aJil1 limx-+xo j(x) = 00, O,JJ;aKJie CJie,L(H
.n;a je rrpaBa X= Xo BepTHKaJIHa aCHMIITOTa TaKBe <f>yHKUHje .
.IlaJbe neMO ,ne<f>HHHCaTl1 IIOjaM X:OCe aCUMnmome HeKe <f>yHKUHje. 0Baj
rrojaM yBeK ce Be3yje 3a je,nHy o.n; Ta"tlaKa +oo, -oo, a Hajrrpe neMo ra yBeCTH
3a Ta"t!KY +oo. IIpeTrrocTaBHMO Hajrrpe .n;a je <f>yHKuuja f(x) .n;e<f>HHHCaHa Ha HeKOM HH
TepBaJiy [a, +oo). Ta.n;a ce rrpaBa y = px + q Ha3uBa acuMnmomoM <f>YHKUHje
j(x) y Ta"t!KH +oo aKO Balf\H peJiaUHja
(13) lim [f(x)- px- q] = 0. x-++oo
50 AHAJUI3A I 3A Ir1H<I>OPMATJr1qAPE
llpyrHM pe~mMa, aKo ce cpyHK:o;Hja f(x) Mo>Ke HarmcaTH y o6JIHKY
f(x) = px + q + o(1),
Ka.n;a x ---1- + oo.
IlOTIIYHO CJilf-qHQ Ce .n;ecpHHHme H aCHMIITOTa cpyHKD;Hje f(x) y Ta-qKlf
-OO, aKO OHa IIOCTOjH.
Tpe6a HarroMeHyTH .n;a HeKe cpyHK:o;Hje y Ta-qKH +oo HMajy a HeKe HeMajy
aCHMIITOTe.
IlpHMep. <l>yHKD;Hja
1 f(x) = x + 2 +-
X (x ~ 1),
HMa aCHMIITOTY y =X+ 2 y Ta-qKH +oo, a cpyHKD;Hja
f(x) = x2 (x ~ 0)
HeMa aCHMIITOTY y Ta-qKlf +oo, jep je 3a IIpOH3BOJLHe Bpe.n;HOCTH rrapaMeTapa
p, q E R HcrrylheHo:
lim [x2 - px- q] = lim x2 (1- pjx- qjx2
) = x-t+oo x-t+oo
= ( lim x 2)( lim (1- pjx- qjx2
)) = x-t+oo x-t+oo
= (oo) · 1 = oo. 0
Tpe6a HarroMeHyTH .n:a aKo H3BecHa cpyHK:o;Hja f(x) HMa acHMIITOTY y
Ta-qKH +oo, TO He 3Ha-q:H .n;a OHa HMa aCHMIITOTy H y Ta-qKlf -00.
AKo cpyHK:o;Hja f(x) HMa acHMIITOTY y Ta-qKH +oo, Ta aCHMIITOTa Ha3HBa
ce xopu3oHma.lt'HOM aKo je napaMeTap p = 0, Tj. aKo Ba>KH
lim f(x) = q, x-t+oo
H 'IWCOM (y y>KeM CMHCJiy) aKO je p =j:. 0. Y mHpeM CMHCJiy, H KOCe H XOpH-
30HTaJIHe aCHMIITOTe Ha3HBajy Ce je.n;HHM HMeHOM 'K:OCe aCUMnmome.
Q-qlfrJie)l;HO je .n;a cpyHKD;Hje KOje cy .n;ecpHHHCaHe CaMO Ha HeKOM KOHa-q
HOM HHTepBaJiy (a, b) peaJIHe OCe, He MOry HMaTH KOCe HJIH XOpH30HTaJIHe
aCHMIITOTe.
AHAJU13A I 3A VIH<I>OPMATVI"Y:APE 51
CTAB 17. <Py'H'X:'IJ,Uja f(x) -x;oja je oerjJU'HUCa'Ha 'Ha '1-te'X:O.M U'HmepBa./l,y
[a, +oo) u.Ma acu.Mnmomy y ma"l.'X:U +oo a-x;o u ca.Mo a-x;o nocmoje 'X:O'Ha"l.'He zpa'HU"l.
'He epeo'Hocmu
(14)
(15)
H
p = lim f(x)' :z:-++oo X
q = lim [f(x)- px]. :z:-++oo
IlpHMep. Yol:IHMO <f>yHKD;Hjy f(x) = t + 1) (x =I= 0; 2). Ta.n;a je xx-2
. f(x) . x 3 + 1 p= hm --= hm =1
:z:-++oo X :z:-++oox2(x-2) '
l. [f ( ) ] l' [ x3 + 1 J l' 2x2 + 1 q = 1m X - X = 1m ( ) - X = 1m ( ..,., = 2, :z:-++oo :z:-++oo X X- 2 :z:-++oo X X-
na je npaBa y =X+ 2 aCHMITTOTa <f>yHKD;Hje j(x) Ka.n;a X--+ +oo. TaKolje ce JiaKo .n;oKa3yje .n;a je HCTa npaBa acHMITTOTa <f>yHKD;Hje f(x)
Ka.n;a x --+ - oo. Haae.n;eHa <f>YHKD;Hja o{.mrJie.n;Ho HMa H .n;Be BepTHKaJIHe acHMnToTe x = 0
H X= 2. 0
4. BecKoHatiHO MaJie neJIH"tiHHe
<l>yHKD;Hja j(x) .n;e<f>HHHCaHa y H8KOj OKOJIHHH Ta{.IKe Xo, OCHM 8B8HTy
aJIHO y TOj Tal:IKH, Ha3IIBa C8 6eC'X:O'Ha"l.'HO .AW./I,O.M Be./I,U"l.U'HO.M y OKOJIHHH Tal:IK8
xo aKo Ba:lim lim:z:-+:z:o f(x) = 0. Ta.n;a o6Hl:IHO nHrneMo f(x) = o(l).
CTAB 18. Ba-::xcu jeO'I-ta'X:ocm lim:z:-+:z:o f(x) = A, ca 'X:O'Ha"l.'HU.M 6poje.M A, a-x;o u ca.Mo a-x;o je rfiy'H'X:'IJ,Uja g(x) = f(x)- A 6ec-x;o'Ha"l.'HO Ma.11,a ee./I,U"l.U'Ha -x;aoa
X--+ XQ.
1IoKa3 OBor TBpljeH>a je Henocpe.n;aH.
HeKa cy .n;aJLe j (X), g (X) 6eCKOHal:IHO MaJie B8JIH11HH8 Ka.n;a X --+ XQ, H
HeKa llOCTOjH rpaHHl:IHa Bpe.n;HOCT
r lf(x)l = k:::; +oo. :z:~~o jg(x)j
Ta.n;a ce 3a k E (0, +oo) KalKe .n;a cy f(x) H g(x) 6ecKoHal:IHO MaJie BeJIH
l:IHHe ucmoz peoa Ka.n;a x--+ xo.
52 AHAJU13A I 3A MH<I>OPMATM"Y:APE
AKO je k = 0, Ta,I(a ce KalKe ,I(a cpyHKD;Mja j(x) HMa BUULU peiJ O,L( cpyHKD;Hje
g(x) Ka,I(a X --+ XQ, a aKO je k = +oo ,I(a cpyHKD;Mja g(x) U.Ma BUULU peiJ O,L(
cpyHKD;Mje j(x) Ka,I(a X--+ XQ. llpMTOM ce 3a k = 0 rmme f(x) = o(g(x)) Ka.na x --+ x0, a 3a k = +oo
rmme ce g(x) = o(f(x)) Ka.na x--+ xa. AKo je k = 1 Ta.na ce cpyHKD;Hje f(x) 11: g(x) Ha3MBajy e-x:euea.t~,enmnu.M
6eCKOHal.IHQ MaJIHM BeJIH"t!MHaMa, 11: Imme Ce j(x) rv g(x) Ka,I(a X--+ Xo.
IlpHMep. BeJIM'IHHe sin x 11: x cy eKBMBaJieHTHe 6ecKoHa"tiHO MaJie BeJIM
'IHHe Ka,I(a X --+ 0 .
.llaJI.e je x3 = o(x) Ka.na x--+ 0, jep je
x3 - = x 2 --+ 0 (x--+ 0). X
CJIM'IHO je x = o(JX) Ka.na x--+ 0 (x > 0), jep je
X JX = Vx--+ 0 (x--+ 0). 0
AHAJU13A I 3A HH<I>OPMATHqAPE 53
Ilor.rraBJ.Le 5
HEIIPEKHllHOCT ~YHKUHJA
1. JleQlHHHn_Hja H OCHOBHe OC06HHe
HerrpeKn,n;HOCT <J>yHK:o;nja crra,n;a y je,n;aH o,n; ocHOBHllX rrojMoBa MaTe
MaTllt.IKe aHaJiu3e.
llpeTIIOCTaBllMO ,n;a je peaJIHa <J>yHKD;llja f(x) ,n;eqmHHCaHa Ha HeKOM
Herrpa3HOM cKyrry D c R u ,n;a Tat.IKa x0 E D. lloce6Ho je OH,n;a xo KOHat.IaH
peanaH 6poj. Ta,n;a ce <PYHK:o;nja f(x) Ha3nBa nenper;;uih-to.M y ma"ir;;u xo aKo
3a CBaKO c > 0 IIOCTOjll HeKO 5 = 5(c) > 0 TaKO ,n;a je
(1) lf(x) - f(xo) I < c
3a cBaKo x E D 3a Koje je jx- xol < 5 . .llaKJie, Ha OCHOBY rop:a,e ,n;e<J>llHllD;llje HerrpeKll,ll;HOCT <J>yHKD;llje ,n;e<J>u
HllilleMO CaMO y Tat.IKaMa CKyrra D, KOje OCllM TOra MOpajy 6llTll KOHat.IHe, aJill
IIpllTOM He MOpajy 6llTll Tat.IKe HarOMllJiaBalba TOr CKyrra. Ha IIpllMep, aKO je
Tat.IKa xo E D ll30JIOBaHa Ta-qKa cKyrra D, Ta,n;a je <J>yHKu;nja f(x) Ot.IHrne,n;Ho
HerrpeKll,ll;Ha y CBaKOj TaKBOj Tat.IKll. llpllTOM o,n;rOBapajyfia rpaHllt.IHa Bpe,n;
HOCT lim f(x) Ot.IllrJie,IJ;HO He IIOCTOjll. X~Xo
AKo je Ta"tJ:Ka Xo ED Tat.IKa HaroMnJiaBa:a,a cKyrra D, Ta,n;a je ot.Iurne,n;Ho
<J>yHKD;llja f(x) HerrpeKll,ll;Ha y Tat.IKH Xo aKO ll CaMO aKO je rpam:It.IHa Bpe,n;HOCT
(2) lim f(x) = f(xo). X~XQ
Ta,n;a, Ha ocHoBy o,n;roBapajyher cTaBa o rpaHH"t!HllM Bpe,n;HOCTHMa He
rrocpe,n;Ho cne,n;u ,n;a je <J>yHKD;nja f(x) HerrpeKn,n;Ha y Tat.IKll x0 aKo u caMo aKo
54 AHAJII13A I 3A HH«<>OPMATHl..IAPE
3a cBaKI1 HH3 (xn) CD Koju TeiKH Ka Ta"t!KH xo (xn =I= xo, n EN), O,II.roBapajynu
HH3 Bpe,II.HOCTH j(xn) -+ j(xo) ·
Ha ocHoBy rrpeTXO,II.He ,II.eqmHu:o;uje Herrocpe,II.HO ce BH,II.H ,II.a je Ha rrpu
Mep, cBaKa KOHCTaHTHa <f>yHK:o;uja f(x) = c ,II.e<f>uHHCaHa Ha HeKOM cKyrry D HerrpeKH,II.Ha y CBHM CBOjHM Ta"tiKaMa, 3aTHM ,II.a je CBaKa peaJIHa <f>yHKD;Hja
j(x) ,II.e<f>HHHCaHa Ha HeKOM KOHa"tiHOM CKyrry D = {x1, ... , Xn} HerrpeKH,II.Ha, :11
,II.a je cBaKH peaJiaH HH3 x: N H R je,II.Ha HerrpeKH,II.Ha <f>yHK:o;uja Ha cKyrry N. KaCHHje neMO BH,II.eTH ,II.a cy OCHM TOra CBe eJieMeHTapHe <f>yHKD;Hje
HerrpeKH,II.He y CBHM Ta"t!KaMa y KOjHMa cy ,II.e<f>HHHCaHe. 0BO je YTOJIHKO
3Ha"tiajHHje illTO y rrpaKTH"t!HOM pa,II.y HajBHille HaHJia3HMO Ha eJieMeHTapHe
<f>yHKD;Hje.
Ha ,II.aJLe, rrpeTrrocTaBJLaMo ,II.a je peaJIHa <f>YHK:o;uja f(x) ,II.e<f>uHucaHa
Ha HeKOM Herrpa3HOM cKyrry D :11 .n;a Ta"tiKa x0 E D; rroce6Ho je OH.n;a yBeK xo KOHa"tiaH peaJiaH 6poj.
PenH neMO ,n;aJLe ,II.a je <f>yHKD;Hja f(x) 'Henper.;uiJna ca iJec'He cmpane y
ma"'.r.;U Xo aKO 3a CBaKO c > 0 IIOCTOjH HeKO c5 = c5(c) > 0 TaKO ,n;a je Heje,n;HaKOCT
(1) HCIIyH.eHa 3a CBaKO X E D 3 KOje je 0 < X- Xo < c5. J1 OB,n;e cy IIOHOBO
Moryna .n;Ba cJiy-qaja: rrpBH, ,II.a je xo H30JIOBaHa Ta"tiKa cKyrra D'to = { x E
D: x ~ x 0}, a ,II.pyru ,II.a je xo Ta"t!Ka HaroMuJiaBaH.a cKyrra D'to, Ka,II.a je
ropH.H ycJIOB eKBHBaJieHTaH ca ycJIOBOM .n;a j e
lim f(x) = f(xo), x-+xo+O
TJ. f(xo + 0) = f(xo). CJIH"t!HO ce ,II.e<f>uHume u HerrpeKH,II.HOCT ca JieBe CTpaHe y Ta"t!KH xo. Q-qurJie,II.HO je <f>YHKD;Hja j(x) HerrpeKH,II.Ha y Ta"t!KH Xo aKO :11 CaMO aKO
je OHa HCTOBpeMeHO HerrpeKH,II.Ha C JieBa :11 C ,II.eCHa y IIOCMaTpaHOj Ta"t!KH.
ci>yHKD;Hja f(x) .n;e<f>uHucaHa Ha HeKOM CKyrry DC R Ha3HBa ce 'Henper.;uiJ
'HOM 'Ha moM cr.;yny aKo je oHa HerrpeKH,n;Ha y CBaKoj Ta"t!KH cKyrra D. AKo je
D =I( a, b) (a< b) rrpOH3BOJLaH HHTepBaJI peaJIHe oce, Ta.n;a ce <f>yHKn;uja f(x) Ha3HBa Ce HerrpeKH)J;HOM Ha D aKO je HerrpeKH)J;Ha y CBaKOj Ta"t!KH X TOr HH
TepBaJia. AKo je <f>yHKn;uja f(x) HerrpeKu,II.Ha Ha HHTepBaJiy D :11 Do je 6uJio
KOjH IIO,II.HHTepBaJI HHTepBaJia D, Ta,II.a HeiiOCpe,n;HO CJie)J;H ,n;a je <f>yHKD;Hja
f ( x) HerrpeKH,II.Ha :11 Ha HHTepBaJiy Do. CKyrr CBHX peaJIHHx <f>YHKD;Hja f(x) Koje cy .n;eqmHucaHe H HerrpeKH,II.He
Ha HeKOM Herrpa3HOM cKyrry D ~ R 03Ha"tiaBa ce ca C(D). Iloce6Ho, aKo
je D = [a, b], Ta,II.a ce o.n;roBapajynn cKyrr 03Ha"tiaBa ca C[a, b]. Q-qurJie.n;Ho,
peaJIHa <f>YHKD;Hja f E C[a, b] aKo u caMo aKo je HerrpeKH,II.Ha y cBaKoj Ta"t!KH
AHAJU13A I 3A MH~OPMATM"4APE 55
x E (a, b), 3aniM HerrpeKM,n:Ha ca ,n:ecHe CTpaHe y Ta"t:J:KM a M HerrpeKM,n:Ha ca
JieBe CTpaHe y Ta"t:J:KM b. OcMM Tora, HarroMeHMMO ,n:a ce peaJIHa cpyHKD;Mja f(x) ,n:ecpMHMCaHa Ha
HeKOM 3aTBOpeHOM MHTepBaJiy [a, b] peaJIHe OCe (a < b) Ha3MBa iJeo no iJeo
nenpe~uiJnOM Ha TOM MHTepBaJiy, aKO IIOCTOjM KOHa"t:J:HO MHOrO Ta"t:J:aKa a = Xo < Xl < · · · < Xn = b IIOCMaTpaHOr MHTepBaJia TaKBMX ,n:a je cpyHKD;Mja
j(x) HerrpeKM,L(Ha Ha CBMM OTBOpeHMM MHTepBaJIMMa (Xj-l, Xj) (j = 1, ... , n) M
rroce,zzyje o,n:roaapajyne je,n:HocTpaHe rpaHH"t:J:He ape,n:HOCTM f(a+O), f(xj -0), f(xj + 0) (j = 1, ... , n- 1), f(b- 0).
AKo je cpyHKn;Mja f(x) ,n:ecpHHMCaHa y HeKoj OKOJIMHM Ta"t:J:Ke xo E D M
HMje HerrpeKM,n:Ha y Toj Ta"t:J:KM, oH,n:a ce Ta"t:J:Ka x 0 Ha3HBa ma"(.~OM npe~uaa
cpyHKn;Mje f(x). Ta,n:a Ta"t:J:Ka x0 He MO>Ke 6HTM M30JIOBaHa Ta"t:J:Ka cKyrra D, rra
rrpe,n:cTaBJba Ta"t:IKY HaroMMJiaBalha cKyrra D.
Ta"t:J:Ka rrpeKM,n:a x 0 cpyHKD;Mje f(x) Ha3HBa ce npe~uiJoM npee epcme aKo
IIOCTOje KOHa"t:J:He rpaHM"t:J:He Bpe,n:HOCTM j(xo- 0), j(xo + 0). AKo je cpyHKn;Mja f(x) ,n:ecpMHHCaHa caMo 3a x:::; x0 MJIH caMo 3a x ~ xo,
Ta,n:a Ce KO,U rrpeKM,Ua IIpBe BpCTe rrpeTIIOCTaBJLa ,n:a IIOCTOjH CaMO je,n:Ha O,L(
rpaHH"t:J:HHX Bpe,n:HOCTH j(xo- 0) H j(xo + 0). IIpeKH,n: rrpae BpcTe xo Ha3HBa ce om~.IW'IbUBUM aKo aa>KH f(xo - 0) =
f(xo + 0). AKo je xo OTKJIOihHBH rrpeK:a,n: Ta,n:a ape,n:HOCT cpyHKn;:aje f(x) y
Ta"t:J:KH xo MO>KeMo ,n:a rrpe,n:ecp:aHmrreMo ca ](xo) = f(x0 + 0) = f(xo- 0), rrocJie
"t:J:era TaKO ,n:o6:ajeHa cpyHKD;Hja IIOCTaje HerrpeKH,L(Ha y Ta"t:J:KH XQ. THMe ce H
orrpaa,n:aaa oaaj TepMHH "OTKJIOihHBOr rrpeK:a,n:a" .
CaaKa Ta"t:J:Ka rrpeK:a,n:a x 0 cpyHKn;:aje f(x) Koja HMje rrpae apcTe Ha3HBa
Ce npe~uiJOM iJpyze Bpcme HaBe,n:eHe cpyHKD;Hje.
IlpHMep. 3a Xea:acaj,n:oay cpyHKn;:ajy
x(x) = { 0, 1,
x<O
x~O
HMaDeMO ,n:a je X(-0) = 0 H X(+O) = 1, rra je Xo = 0 Ta"t:J:Ka rrpeKH,L(a IIpBe
BpCTe. Y CBMM OCTaJIHM Ta"t:J:KaMa OBa cpyHKD;Hja 6:ane HerrpeKH,L(Ha.
3a cpyHKD;Hjy j(x) ,n:ecpHHHCaHy Ca
{ x,
f(x) = 2, x¥=1
x=1
Ta"t:J:Ka Xo = 1 6:ane Ta"t:J:Ka OTKJIOihHBOr rrpeKH,L(a. 0
CJie,n:en:a cTaB Herrocpe,n:Ho cJie,n:H H3 o,n:roaapajyn:ax cTaaoaa o rpaHH"t:J:
HOJ Bpe,n:HOCTH.
56 AHAJH13A I 3A l1H~OPMATI1LIAPE
CTAB 1. A11:o je ¢yn11:u,uja f(x) nenpe11:uona y ma"t11:U x0, maoa nocmoju
'He1'i:a 01\:0AU'Ha U(xo) me ma"t1\:e ma11:Ba oa je ¢Y'H1'i:U,Uja f(x) 02pa'HU"te'Ha 'Ha C1'i:yny
D n U(xo). A11:o je npumo.M f(xo) =I= 0, maoa nocmoju 'He1\:a 01\:0AU'Ha U(xo) ma"t1\:e Xo
ma11:Ba oa 'Ha C1'i:yny D n U(xo) ¢Y'H1'i:U,Uja f(x) UMa ucmu 3'Ha11: 1\:ao u peaAa'H 6poj
f(xo).
CTAB 2. A11:o cy ¢Y'H11:U,Uje f(x) u g(x) nenpe11:UO'He y ma"t1\:U Xo, maoa cy
u ¢yn11:U, uje
af(x) + j3g(x) (a, j3 E R), f(x)g(x),
ma11:o!je nenpe11:uone y moj ma"t11:U.
f(x) g(x)
(g ( xo) =I= 0)
1I.m~a3. lloKa3atieMo Ha rrp:aMep rrpBM ,n;eo cTaBa, ,n;oK rrpeocTaJia ,n;Ba
,n;eJia rrperryrriTaMo "t!MTaouy.
AKo je a= j3 = 0, Ta,n;a je a f(x) +/3 g(x) 0-cf>yHKII.Mja, Koja je O"t!MrJie,n;Ho
HerrpeKM,IJ;Ha y CBMM Ta"tiKaMa.
llaJbe rrpeTrrocTaBMMO ,n;a je a, j3 =!= 0. Ta,n;a 3a rrpo:a3BOJI.HO c > 0
IIOCTOjM HeKa OKOJIMHa U1 Ta"t!Ke TaKBa ,n;a je lf(x)- j(xo)l < c/2lal 3a X E D n U1, M HeKa OKOJIMHa U2 MCTe Ta"t!Ke TaKBa ,n;a je lg(x)- g(xo)l < c/21/31 3a
X ED n u2. Ta,n;a je u = ul n u2 OKOJIMHa Ta"t!Ke Xo TaKBa ,n;a je
Ia f(x) + f3 g(x)-a f(xo)- f3 fg(xo)l :s; ialif(x)- f(xo)l + if3ilg(x)- g(xo)l < c c
< ial 2jaj + j3 21/31 =c.
CTora je :a cf>YHKII.Mja a f(x) + /3 g(x) HerrpeK:a,n;Ha y Ta"t!KM x0 •
AKo je je,n;aH o,n; 5pojeBa a, /3 je,n;HaK HYJIM, a ,n;pyr:a pa3JIM"t!MT o,n; HyJie,
,II;OKa3 ce M3BO,Il;M CJIM"t!HO. 0
CTAB 3. A11:o je ¢yn11:U,uja f(x) nenpe11:uona y ma"t11:U xo, a ¢Y'H1'i:U,Uja g(y) nenpe11:UO'Ha y ma"t11:U Yo = j(xo), maiJa je U CAO:)fee'Ha ¢Y'H1'i:U,Uja h(x) = g(f(x)) nenpe11:uona y ma"t11:U xo.
CJie,n;en:a cTaB ce o,n;Hoc:a Ha HerrpeK:a,n;HOCT MHBep3He cf>YHKII.:aje Herrpe
KM,n;He cf>yHKII.Mje. l1aKO je OBO y CyiiiTMHM je,n;HOCTaBaH CTaB, OH je M3y3eTHO
Ba/KaH 350r ,IJ;OKa3MBaiba HerrpeKM,IJ;HOCTM pa3HMX KJiaCa eJieMeHTapHMX cf>yHK
II.MJa.
CTAB 4. A11:o je ¢yn11:u,uja f(x) nenpe11:uona u cmpozo Monomona na
'He1\:0M unmepBaAy D ~ R u E = f(D), maoa je C1'i:yn E U3Becma'H U'HmepBaA
AHAJU13A I 3A HH<POPMATHqAPE 57
peaJI.'He oce, a U'Heep3'Ha tj;yHx:v,uja f- 1 : E H R je max:o!je Henpex:uo'Ha 'Ha cx:yny
E.
2. HenpeiG~,n;aocT eneMeHTapHHX lf>yH~m_Hja
Y OBOj TaqKll )l;OKa3aneMO Hajrrpe ,n;a cy OCHOBHe eJieMeHTapHe <flyHKil;Hje
ax (a > 0), logax (x > 0), xP (p E R), sinx HerrpeKH,n;He, a 3aTHM 11 ,n;a
cy cBe eJieMeHTapHe cpyHK:U:Hje HerrpeKH,n;He Ha o,n;roBapajynHM rrpHpO,n;HHM
)l;OMeHHMa Ha KOjHMa cy ,n;ecpi1Hl1CaHe.
CTAB 5. <PyHx:v,uja y = ax (x E R) je Henpex:uo'Ha 3a ceax:o a > 0.
1lo:Ka3. KaKo je 3a 611Jio Kojy Ta"t.IKY xo E R
ax - axo = axo (ax-xo - 1),
,n;oBOJI.HO j e ,n;oKa3a TH ,n;a j e cpyHK:U:Hj a ax HerrpeKH,n;Ha y Ta qK11 0. II peT
rrocTaBHMO Hajrrpe ,n;a je a > 1. YoqHMO rrpOI13BOJbHO E > 0, 6poj h ~ 0 11
YCJIOB
ah- 1 ~ E,
TJ. ycJIOB ah ~ 1 +E. KaKo je Ha ocHoBy BepHyJIHjeBe Heje,n;HaKOCTH
(1 + E)n ~ 1 + nE > a,
3a HeKo n = n0 E N, cJie,n;H ,n;a j e
rra je
1/no _ 1 < €. a -
CTora je 3a cBe Bpe,n;HOCTH h E [0, 1/no]HcrrylbeHo
0 ~ ah - 1 ~ a11no - 1 ~ E.
AKo je ,n;aJI.e hE [-1/n0, 0], Ta,n;a je
1 alhl < a 1/no < 1 + € < --' - - 1-E
1 alhl ~ 1- E,
1 1- aihi ~ E,
,n;aKJie h 1
0 < 1 - a = 1 - aihi ~ E.
58 AHAJIM3A I 3A MHcl>OPMA TM"Y:APE
CTora je 3a ape.IUIOCT¥1 hE [-1/no, 1/no] ¥IcrrylDeHo
lah- 11 :S E,
o,n;aKJie CJie,.n;¥1 ,n;a j e !f>YHK:O:¥Ij a ax HerrpeK¥I,n;Ha y 0. CTora j e OHa HerrpeK¥I,n;Ha
Ha :o;eJioj peaJIHoj rrpaaoj R. KaKo je 3a ape,.n;HOCT¥1 a< 1 (a> 0), ax= (1/a)-x (x E R), 3aT¥IM 1/a > 1
¥I -x je HerrpeK¥I,n;Ha !f>YHKD;¥Ija Ha :o;eJioj peaJIHOj rrpaaoj, Ha ocHoBy TeopeMe
0 HerrpeKl'l,.ll;HOCT¥1 CJIOIK8H8 lf>YHKD;¥Ije CJI8,11;¥1 ¥1 ,n;a je lf>YHKD;¥Ija ax H8IIp8K¥1,1l;Ha
¥I 3a ape,.n;HOCT¥1 a E (0, 1). CTora je oHa HerrpeK¥I,n;Ha 3a cae ape,IUIOCT¥1 a> 0
(a =f. 1). 0c¥IM Tora, KaKo ce 3a a = 1 Y3¥IMa ,n;a je F = x 3a caaKo x E R, CJI8,11;¥1 ,n;a je lf>YHKD;l'lja ax H8IIp8K¥1,1l;Ha Ha :o;eJioj peaJIHOj OC¥1 3a CBe Bpe,.n;HOCT¥1
a> 0. D
CTAB 6. JI ozapuma.Mc1w ¢y'Hr.:v,uja y = logax (x > 0) je 'Henper.:uiJ'Ha 'Ha
u'Hmepea.Jty (O,+oo), 3a cear.:o a> 0, a =/:.1.
lloKa3. KaKo je !f>yHKD;¥Ija f(x) =ax HerrpeK¥I,ll;Ha 3a rrp0¥13BOJI:.HO a> 0,
cTporo pacTyna 3a a > 1 ¥I cTporo orra,n;ajyna 3a a< 1, ¥I !f>yHK:O:¥Ija y = logax
je ¥1HB8p3Ha lf>yHKD;l'lja lf>yHKD;l'lje ax ,n;elf>¥IH¥1CaHa Ha ¥1HT8pBaJiy (0, +oo), Ha
OCHOBY CTaaa 4 o ¥IHBep3HOj if>YHKD;¥Ij¥I cJie,.n;¥1 ,n;a je !f>YHK:O:¥Ija y = logax
HerrpeK¥I,n;Ha Ha ¥IHTepaaJiy (0, +oo). D
CTAB 7. <Py'Hr.:v,uja f(x) = xP (p E R) je 'Henper.:uiJ'Ha 'Ha V,e.JtOM U'Hmep
ea.Jty (0, +oo).
lloKa3. KaKo je f(x) = xP = epln x ¥I !f>YHK:O:¥Ije ex, pln x cy HerrpeK¥I,n;He,
CJI8,11;¥1 ¥1 ,n;a j e lf>yHKD;l'lj a y = xP H8IIp8K¥1,1l;Ha Ha ¥1HT8pBaJiy ( 0, +oo) 3a CBaKO
pER. D
0c¥IM Tora, 3a Bpe,.n;HOCT¥1 p E No, !f>yHK:O:¥Ija y = xn je ,n;e!f>¥IH¥ICaHa 3a
IIp0¥13BOJI:.HO peaJIHO X. 0Ha je Ta,n;a, KaO liiTO CMO B¥1,11;8JI¥1 y rrpeTXO,ll;HOM
rrorJiaa.rr.y, HerrpeK¥I,n;Ha Ha :o;eJioj peaJIHoj rrpaaoj. MrraK, rroHOB¥IneMo Taj
,ll;OKa3 jOlii je,n;HOM.
KaKo je Ha ocHoay 6¥IHOMHe !f>opMyJie
(x + ht- Xn = (xn + (~) xn-lh + .. · + (~) hn)- xn =
(~)xn-lh+ (~)xn-lh2+ .. ·+ (~)hn, Herrocpe,IUio cJie,.n;¥1 ,n;a J e
lim [ (X + h t - xn J = 0. h--tO
AHAJU13A I 3A MH4lOPMATM"Y:APE 59
O,n;aB,n;e, Ha ocHoBy pe3yJITaTa H3 rrpeTxo.n;Hor rrorJiaBJI.a Herrocpe.n;Ho
,n;o5:ajaMo CJie,n;etie.
IIOCJIEJUIUA 1. Cear.;u no.~tunoM Pn(x) je nenper.;uona rftynr.;v,uja na
v,e.~toj pea.~tnoj npaeoj R.
Cear.;a pav,uona.~tna rftynr.;v,uja f(x) = ~:~:j je nenper.;uona y 6u.~to r.;ojoj
necunzy.~tapnoj ma"tr.;u.
R. CTAB 8. Pynr.;v,uja f(x) =sin x je nenper.;uona na v,e.~toj pea.~tnoj npaeoj
11.o:Ka3. MMatieMo ,n;a je y 5:aJio Kojoj Ta"t.IKH x 0 E R:
lf(x)- f(xo)l =I sinx- sinxol = 12 sin x ~ xo cos x ~ xo 1 ::::;
x-xo lx-xol :::;2lsin ') 1::::;2..., =lx-x0 1.
O,n;aB,n;e rrp:aMeHOM "E-8" Kp:aTep:ajyMa Herrocpe,n;Ho CJie,n;:a TBpl)eibe. D
CTAB 9. Pynr.;v,uja f(x) =cos x je nenper.;uona na v,e.~toj npaeoj R.
11.m~a3. Y rrpOH3BOJbHOj Ta"t.IKH x 0 E R HMatieMo ,na je:
lf(x)- f(xo)l =I cosx- cosxol = 1-2 sin x ~ xo sin x ~ xo 1::::;
X- Xo :::;2lsin ') l:::;lx-x0 1,
o,n;aKJie rrp:aMeHOM ~:-8 KpHTep:ajyMa Herrocpe,n;Ho CJie,n:a TBpl)eihe. D
IIOCJIEliMUA 2. Pynr.;v,uja f(x) = tg x je nenper.;uona na unmepea.ltUMa o6.~tur.;a Ik = (br- 1rj2, k1r + Jr/2) (k E Z).
11.o:Ka3. KaKo j e smx
f(x) = tg x = -, cosx
cpyHKII;Hj e Sin X, COS X cy HerrpeKH,n;He Ha rrpaBOj R, H COS X =/= 0 Ha HHTepBaJIHMa
h (k E Z), TBpl)eibe Herrocpe,n;Ho cJie,n:a Ha ocHoBy CTaBa 2. D
IIOCJIEliMUA 3. Pynr.;v,uja f(x) = ctg x je nenper.;uona na ceu.M unmepea.~tu.Ma h = (k1r, (k + l)1r) (k E Z).
11.o~<a3. KaKo je
f(x) = cosx sinx
60 AHAJH13A I 3A HH<l}OPMATMl:.:IAPE
<f>YHKD;Hje cosx, sinx cy HerrpeKH,n:He Ha rrpaBoj R, H cosx # 0 Ha HHTepBaJIHMa
Ik (k E Z), TBpljeH:.e Herrocpe,n:Ho CJie,n:H Ha ocHoBy CTaBa 4 (u;). D
CTAB 10. @yn'K:v,uje arc sin x u arc cos x cy nenpe11:uiJne na unmepea.!/,y
[-1, 1], a ¢ynr;;v,uje arc tg x u arc ctg x cy nenper;;uiJne na v,e.!/,oj npaeoj R.
llmca3. (a) KaKo je <f>yHKD;Hja f(x) = sinx HerrpeKH.n;Ha H CTporo pacTy
na Ha HHTepBaJiy [-?r/2, 7r/2], Ha OCHOBY CTaBa 4 0 HHB€p3HOj <f>yHKD;HjH
cJie.n;H H .n:a je <f>yHKD;Hja f- 1(x) =arc sin x HerrpeKH,n:Ha Ha HHTepBaJiy [-1, 1].
(6) KaKo je ,n:a.n.e <f>yHKD;Hja f(x) = cosx HerrpeKH,n:Ha H cTporo orra,n:ajy
na Ha MHT€pBaJiy [0, 1r], Ha OCHOBY HCTOr CTaBa CJI€,n:H H ,n:a je <f>yHKD;Hja
f- 1x =arc cos x HerrpeKH,n:Ha Ha HHTepBaJiy [-1, 1].
(u;) KaKo je <f>yHKn;Hja j(x) = tg x HerrpeKH,n:Ha H CTporo pacTyna Ha HH
TepBaJiy ( -7r /2, 7r /2), CJI€,I(H H ,n:a j e <f>YHKD;Hj a j-l (X) = arc tg X HerrpeKH,I(Ha
Ha HHTepBaJiy ( -oo, +oo).
(.n:) KaKo je <f>YHKn;nja f(x) = ctg x HerrpeKH.n;Ha H CTporo pacTyna Ha
HHTepBaJiy (0, 1r), cJie,n:H ,n:a je o,n:roBapajyna HHBep3Ha <f>yHKD;Hja f- 1(x) =
arc ctg x HerrpeKH.n;Ha Ha HHTepBaJiy ( -oo, +oo). D
CTAB 11. @yn'K:v,uja ar sh x je nenpe11:uiJna na v,e.!/,oj npaeoj R, ¢yn11:v,uja ar ch x (noJUmuena zpana) je nenpe11:uiJna na unmepea.!/,y [1, +oo), ¢yn11:v,uja ar th x je nenpe11:uiJna na unmepea.!/,y ( -1, 1), a ¢ynr;;v,uja ar cth x je nenpe11:uiJna
na ynuju unmepea.!/,a (-oo,-1) U (1,+oo).
Jimca3. (a) <l}yHKD;Hja ar sh X je HHB€p3Ha <f>yHKD;Hja <f>yHKD;Hje j(x) =
sh X, H KaO IIITO je II03HaTO Ba)KH je,n:HaKOCT:
ar sh x = ln (x + V x2 + 1) (x E R).
KaKo je KOMII03MD;Hja HerrpeKH,n:HHX <f>YHKD;Hja HerrpeKH.n;Ha <f>YHKD;Hja,
cJie.n;H H .n:a j e <f>yHKD;Hj a ar sh x HerrpeKM,n:Ha Ha n;eJioj peaJIHOj rrpaBoj R.
(6) <l}yHKn;nja arch x je .n;B03Ha"t.J:Ha <f>yHKD;Hja H H:.eHe o6e rpaHe ,n:e<f>H
HHCaHe cy ca
±ln (x+ Vx2 -1) (x 2: 1),
a II03MTHBHa rpaHa ca
ar ch x = ln (x + V x2 + 1) (x 2: 1).
KaKo cy cBe <f>YHKD;Mj e ln x, x, x 2 + 1, JX HerrpeKH,n:He, Herrocpe,n:Ho cJie,n:H
H .n:a je <f>yHKD;Hja ar ch x TaKolje HerrpeKM,n:Ha.
AHAJIH3A I 3A HH<I>OPMATHl.JAPE
(u) KaKo je .n:aJI.e 1 1+x
ar th x = -ln --2 1- x'
61
H OBa cpyHKUHja .n:ecpHHHCaHa je 3a Jxl < 1, H8IIOCpe.n;HO CJI8,1l;H ,[(a je H cpyHKUHja
ar th X H8IIp8KH,[(Ha Ha HHT8pBaJiy ( -1, 1).
(.n:) KaKo je Haj3a.n:
ar cth x = ~ ln x + 1 2 X -1'
H OBa cpyHKD;Hja je .n:ecpHHHCaHa Ha YHHjH HHT8pBaJia ( -oo, -1) U (1, +oo),
H8IIOCp8,1l;HO CJI8,1l;H ,[(a je H cpyHKUHja ar cth X HerrpeKH,[(Ha Ha YHHjH HHT8pBaJia
( -oo, -1) U (1, +oo). 0
KaKo cy Ha ocHoay CTaaoaa 5, 6, 7 H 8, ocHOBHe eJieMeHTapHe cpyHKUHje
ax, logax, xP H sin x HerrpeKH,[(He, Herrocpe):(Ho .n;o6Hj aMo cJie.n:eny orrrnTy Teo
peMy.
TEOPEMA 1. Cea11:a eJLeMe'Hmap'Ha rfiy'H'K:'IJ,Uja je 'Henpe'K:UO'Ha 'Ha cea11:oM
U'HmepeaJLy I 11:oju je Y'K:Jby"',e'H y 'lbe'H npupoo'Hu ooMe'H.
flaJI.e neMO KaO IIpHMepe H3pa~yHaTH jom H8KOJIHKO Ta6JIH~HHX rpaHH
~HHX Bpe.n;HOCTH.
(3)
IIpHMepH. 1. 3a cea11:o a> 0 (a=/= 1) ea:J~Cu jeo'Ha'K:ocm
HManeMo .n:a j e
1 loga(1 + x) = logae = ln a· lim x
x~O
loga(1 + x) = ~ loga(1 + x) = loga(1 + x)llx, X X
H KaKo (1+x) 11x--+ e Ka.n:a x--+ 0, H cpyHKUHja logax je HerrpeKH):(Ha, .n;o6HjaMo
.n:a je 1
. loga(1 + x) = loga lim(1 + x)llx = logae = ln a. hm x x~o x~O
2. 3a cea11:o a > 0 (a =!= 1) ea:J~Cu jeo'Ha'K:ocm
(4) ax -1
lim = ln a. x~O X
62 AHAJIM3A I 3A MH<I>OPMATM"Y:APE
3aMCTa, aKO YB8,li;8MO CMeHy X = loga (1 + y), Tj. 1 + y = ax, O,li;HOCHO
y =ax - 1, MManeMo .n;a x-+ 0 aKo M caMo aKo y-+ 0. O.n;aB,n;e je
l. ax- 1 l" y lm = lm -~=-
x-+0 X y-+0 loga (1 + y) 1 1
limy-+O loga (Hy) = log = ln a. y ae
3. )Jo?ca3ane.MO oa 3a cea'K:O p E R ea:J~Cu jeO'Ha'K:ocm
(5) lim (1 +x)P -1 x-+0 X = p.
3aMCTa, KaKO je
(1 + x)P- 1 8pln (Hx)- 1 pln (1 + x)
X pln(1+x) x
M pln (1 + x) -+ 0 Ka,n;a x-+ 0, .n;o6MjaMo ,n;a je
. (1+x)P-1 . epln(Hx)_1. pln(1+x) hm = hm · hm -----'-x-+0 X x-+0 p ln (1 + x) x-+0 X
l. eY - 1
1. ln ( 1 + x)
=p lm lm = y-+0 y x-+0 X
= p ·1·1 = p. D
3. <PyH:KD;_Hje aenpe:KH,D;He Ha 3aTBOpeHOM HHTepBaJiy
<l>yHKUMje HerrpeKM,li;H8 Ha OrpaHM~eHMM M 3aTBOp8HMM MHTepBanMMa
llOCe,n;yjy M3B8CHe OC06MH8 KOjMMa Ce M3,ll;Bajajy 0,11; <jlyHKUMja HerrpeKM,ll;HMX
Ha ,n;pyrMM BpCTaMa MHTepBana MRM CKYITOBa. HaBemfieMO 6ap ,li;B8 TaKBe
oco6MHe.
TEOPEMA 2 (Bon:o;aHo-KomMjeBa TeopeMa). A1>:o je tfiyn'K:u,uja f(x) nenpe'K:uOna na Jameopeno.M unmepeaAy [a, b] u ea:J~Cu f(a)f(b) < 0, maoa noc
moju 6ap jeona ma"i'K:a ~ E [a, b] y 'K:ojoj je f(~) = 0, mj. 6ap jeona nyAa rfiyn'K:u,uje
f(x) y naeeoeno.M unmepeaAy.
TEOPEMA 3 (OrrmTa BonuaHo-KomMjeBa TeopeMa). A1>:o je rfiyn'K:u,uja
f(x) nenpe'K:uiJna 1-ta 3ameope1-to.M U'l-tmepeaAy [a, b], f(a) =A, f(b) = B, u C je
npouJeoJba'H 6poj UJ.Mefjy 6pojeea A u B, maoa nocmoju ma'l{'K:a c E [a, b] ma'K:ea
oa je f(c) =c.
AHAJH13A I 3A I1H<I>OPMATJ1qAPE 63
~ t (b)
0 a. b ~
t (CL)
CJIH:Ka 5.1
llm<a3. AKo je A = B, TBpl)eH>e je ot:m:rJie,n;Ho. llaJLe rrpeTrrocTaBHMO
,n;a je A < B, 6poj C je 6HJIO KOjH 6poj H3 HHTepBaJia (A, B), H yotiHMO
<jJyHKIJ;Hjy g(x) = C- J(x). Ta,n;a je g(x) HerrpeKH,n;Ha <jJyHKn;Hja Ha HHTepBaJiy
[a, b] H rrpHTOM je f(a) = C- A> 0, f(b) = C- B < 0, rra Ha OCHOBY TeopeMe 2
IIOCTOjH HeKa TatiKa C E (a, b) 3a Kojy je g(c) = 0, O,li;HOCHO j(c) =C. IloTIIYHO
CJIH't!HO ce H3BO,n;H ,n;oKa3 H y cJiytiajy ,n;a je A > B. 0
TEOPEMA 4 (BajepniTpacoBa TeopeMa). Ax:o je f(x) npou3BO.Ib'Ha
H.enpex:UO'Ha ¢Y'HX:V,Uja 'Ha U'HmepBaAy [a,b] (a< b), maaa je O'Ha ozpa'HU"te'H.a 'Ha
moM uH.mepeaAy, u nocmoje ma"tx:e x1 , x 2 E [a, b] max:ee aa je 3a ceax:o x E [a, b] ucny'lbe'H.o
f(xl) ~ f(x) ~ j(x2).
llpyrHM petiHMa, <jJyHKIJ;Hja j(x) y H3BeCHHM TatiKaMa HHTepBaJia [a, b] ,li;OCTHa<e CBOj aiiCOJIYTHH MHHHMYM H CBOj arrCOJIYTHH MaKCHMyM.
HarroMeHHMO ,n;a BajeprriTpacoBa TeopeMa 3a <jJyHKn;Hje Koje cy ,n;e<jJH
HHcaHe Ha HHTepBaJIHMa KOjH HHCY KOHatiHH HJIH HHCY 3aTBOpeHH y OIIillTeM
CJiytiajy He Baa<H. HarrpHMep, aKO YO't!HMO 6HJIO KOj:H: HHTepBaJI 06JI:H:Ka (a, b) (a < b), Ta,n;a j e <jJyHKn;Hj a
1 f(x) = (x- a)(x- b)
HerrpeKH,li;Ha Ha TaKBOM HHTepBaJiy, aJI:H: H:H:je orpaH:H:'t!eHa Ha H>eMy.
CJIH't!aH KOHTparrp:H:Mep MOa<e Ce KOHCTpyHCaTH H 3a 6:H:JIO MOjH ,n;pyr:H:
HHTepBaJI o6JIHKa [a, b), (a, b], [a, +oo), (a, +oo), ( -oo, b], ( -oo, b) H ( -oo, +oo) =R.
64 AHAJU13A I 3A MH<I>OPMAT:VI"Y:APE
KopMcTenM rrpeTxo,n;Hy BajepmTpacoBy TeopeMy 11 orrmTy Bom:t.aHo
KomMjeBy TeopeMy, Herrocpe.n;Ho ,n;o6MjaMo cJie,n;etiy rrocJie.n;Mny.
IIOCJIE1U1UA 4. Ax:o je rfiynx:v,uja f(x) nenpex:uiJna na 3amaopeno.M
unmepaa.Ay [a, b] (a < b), u
f ( x 1) = min { f ( x) : a ::; x ::; b}, f ( x2) = max { f ( x) : a ::; x ::; b},
maoa je c.~tux:a unmepaa.Aa [a, b] oce Ox unmepaa.A [f(x1), f(x2)] oce Oy.
llo:Ka3. IIpe cBera, o~mrJie,n;Ho je ,n;a Ta~IKe f(x 1), j(x2) E f[a, b]. KaKo
je 3a CBaKO X E [a, b] MCIIyH>eHO j(xl) ::; j(x) ::; j(x2) CJie,LI;M ,n;a Ta"t!Ka
f(x) E [j(x1), j(x2)], na je ![a, b] ~ [j(x1), f(x2)]. AKo ,n;aJLe yo"t:IMMO 6MJIO
KOjy Ta"t!KY C E (j(xi), j(x2)], Ta,n;a Ha OCHOBY TeopeMe 3 IIOCTOjM 6ap je,n;Ha
Ta"t!Ka x E [a, b] TaKBa ,n;a je f(x) =C. O,n;aB,n;e ,n;o6:vrjaMo je,n;HaKOCT ![a, b] =
[f(x1), j(x2)]. D
AHAJU13A I 3A MH<I>OPMAT1-f4APE 65
IlornanJLe 6
M3B01l tJlYHKUMJE
1. OcHOBHe ,n_elj>HHH~Hje
Kaa<e ce .n:a je peanna ¢ynKn;Hja f(x) ,n:e<jlHHHcana na OTBopenoM HH
Tepnany (a, b) peanne npane iJurjepenu,uja6u.!£'1W Ta"t.IKH x E (a, b) aKo rrOCTOjH
H>eH H3BO,n: y Ta"t.IKH X, TJ. rpaHH"t.IHa Bpe,n:HOCT
f'(x) = lim f(x + 6.x)- f(x) = lim 6.f(x). ~x-+0 6.x ~x-+0 6.x
l13no.n: ¢ynKn;Hje f(x) y Ta"t.IKH x E (a, b) 03Ha"t.Iana ce jom H ca ~~. J13BO.ll: <jlyHKIJ;Hje f'(x) TaKol)e rrpe,n:cTan.n,a je,n:ny HOBY <jlyHKIJ;Hjy, KOja je
.n:ecpHHHcana na neKOM cKyrry D1 ~ D, KOjH Moa<e a H ne Mopa 6HTH je.n:naK ca
cKyrroM D, a neKa,n: Moa<e 6HTH H rrpa3aH. Ona cpynK:o;Hja na3HBa ce uJeoiJno.M
rjyHx:u,ujo.M ¢ynKn;Hj e f(x). MaKo CMO ce y rrpeTxo.n:noj .n:e¢HnHn;HjH orpaHH"t.IHJIH na x;ona"tnu omeo
P e1-tu HHTepnan D = (a, b) peanne oce, nanoMHH>eMo .n:a ce rrpeTxo,n:na .n:e<jlHHH
n;Hj a H3BO,n:a <jlyHKIJ;Hj e 6e3 HKaKBHX H3MeHa MOa<e rrpeHeTH H Ha peaJIHe <jlyHK
IJ;Hje KOje cy ,n:e<jlHHHCaHe Ha 6HJIO KaKBOM OTBOpeHOM HHTepBaJiy peaJIHe OCe,
.n:aKJie rroce6no na neorpamr"t.IeHHM HHTepnaJIHMa o6miKa (a, +oo), ( -oo, b) o.n:nocno ( -oo, +oo) = R. IIITanHme, MOIKe ce rrpeneTH H na peanne cpynKn;Hje
.n:ecpnHcane na neKOM cKyrry D ~ R KOjH 3aje.n:no ca cnaKoM cnojoM Ta"t.IKOM
xo ca,n:piKH H neKy OKOJIHHY U(xo) Te Ta"t.IKe. OnaKBH cKyrroBH na3Hnajy ce
omeopenu.M cx;ynoeu.Ma y cKyrry R.
Ca.n:a tieMo omrcaTH H3BO,n:ne ¢ynKn;uje neKHX ocnonnux eJieMenTapnux
cpyHKIJ;Hja.
66 AHAJH13A I 3A MH<POPMATMl.IAPE
1. Koucmaumua rftyux:v,uja f(x) = c je iJurftepeuv,uja6u.JLua ua v,e.JLoj npaeoj R, u 10eu uJeoiJ y npouJBO.Ib'NOj ma"l.x:u x E R je jeiJuax: 0 .
.iloK8.3. 3aHCTa, aKO je j(x) = canst = C, HManeMO ,n:a 3a npOH3BOJI.HO
~X Ba)KH ~f(x) _ c- c = O, --~X
o,n:aKJie je f'(x) = c' = 0.
2. 3a ceax:u npupoiJau 6poj n rftyux:v,uja xn je iJu¢epeuv,uja6u.JLua ua v,e;wj npaeoj R u Ja ceax:o pea.JLuo x ea:J~Cu (xn)' = nxn-1 .
.iloK8.3. 3a n = 1 TBpl)elbe je o-.:.mrJI8,Zl;HO Ta'.J:HO jep je
(x + ~x)- x = 1,
na 3a cBaKo x E R Ba)KH x' = 1.
llaJI.e neMO npeTITOCTaBHTH .n:a je n ~ 2. Ta.n:a je 3a CBaKo ~X f. 0:
(x+~x)n-xn
~X
(xn + (7)xn-1~x + ... + (~)(~x)n)- xn
~X
(~)xn-1~x + ... + (~)(~x)n ~X
= nxn-1 + (~) xn-2~x + ... + (~) (~x)n-1.
KaKo ca,n:a ~x, ( ~x) 2, ... , ( ~x) n-1 -t 0 Ka,n:a ~x -t 0, Henoc pe,n:Ho ,n:o-
6HjaMo ,n:a je
( n)' l" (x + ~x)n- Xn n-1 x = 1m = nx . ~X40 ~X
KaCHHje neMO ,Zl;OKa3aTH H .n:a je cpyHKI(Hja XCt (x > 0) ,n:HcpepeHI(Hja-
6HJIHa Ha I(8JIOj ITOJiynpaBOj X > 0 3a CBaKH peaJiaH 6poj a, H ,n:a lb8H H3BO,Zl;
3a,Zl;OBOJI>aBa CJIW·IaH JCJIOB.
3. 3a ceax:o a > 0 (a f. 1) rftyux:v,uja ax je iJurftepeuv,uja6u.JLua ua v,e.JLoj npaeoj R, u Ja ceax:o pea.Jtuo x ea:J~Cu jeiJuax:ocm (ax)' =ax ln a .
.iloRa3. 3aHCTa, Ha OCHOBJ ,n:ecpHHHI(Hje HMall8MO ,n:a je
ax+~x - ax a~x - 1 (ax)' = lim ~ = lim ax ~
~x40 X ~x40 X a~x -1
= ax lim = axln a. ~x40 ~X
AHAJU13A I 3A MH<POPMATM"Y:APE 67
I1oce6Ho 3a a = e ,n;o6Hj aMo ,n;a j e 3a CBaKo x E R HcnyH>eHo (ex)' = ex.
4. Py'H'K:V,Uja sin X je ourftepe'Hv,uja6U.Jt'Ha 'Ha v,e.Jtoj npaeoj R, u 3a C8a'K:O
pea.Jt'HO x ea~u jeo'Ha'K:ocm (sinx)' = cosx.
,lloKa3. 3aHcTa, HManeMo ,n;a je
sin(x + .6.x)- sinx .6.x
2 cos(x +¥)sin¥ .6.x
• t::.x .6.x) sm2 cos(x + 2 . - t::.x
2
KaKo j e ca,n;a
1. sin t::.x lffi 2
t::.x-+0 t::.x = 1 ~ ' lim cos(x + .6.x) = cos x,
t::.x-+0 2 2
Herrocpe,n;Ho ,n;o6HjaMo ,n;a je
(sin x)' = lim sin ( x + .6.x) - sin x t::.x-+0 .6.x = cos x.
5. Py'H'K:V,Uja cos X je ourftepe'Hv,uja6U.Jt'Ha 'Ha v,e.Jtoj npaeoj R u 3a C8a'K:O pea.Jt'HO x ea:>~eu jeO'Ha'K:ocm (cos x )' = -sin x.
,llm~a3. 3aHcTa, HManeMo ,n;a je
cos(x + .6.x)- cosx .6.x
2 sin(x + ¥) sin¥
.6.x
O,n;aB,n;e Henocpe,n;Ho ,n;o6HjaMo .n:a je
sin t::.x 2
t::.x 2
.6.x sin(x + 2).
(cosx)' = lim cos(x + .6.x)- cosx . t::.x-+0 .6.x = - sm x.
6. Py'H'K:V,Uje sh X u ch X cy ourftepe'Hv,uja6U.Jt'He 'Ha v,e.Jtoj pea.Jt'HOj npaeoj R u Ja cea'K:o pea.Jt'HO x ea~e jeO'Ha'K:ocmu (sh x)' = ch x u (ch x)' = sh x.
,llmca3. ilpHMeTHMO Hajrrpe ,n;a 3a IIpOH3BOJbHe peaJIHe 6pojeBe X l1 y
BaiKH H,IJ;eHTH"t!HOCT
sh x - sh y = 2sh x - y ch x + y 2 2 .
0Ba je.n:HaKOCT ce JiaKo npoBepaBa pa3BHjaH>eM ,n;ecHe CTpaHe je.n:HaKoc
TH l1 KOpHIIIll€Ib€M ,n;eqmHHD;Hje cpyHKD;Hja sh X l1 ch X.
68 AHAJH13A I 3A 11H<I>OPMAT:Vf4APE
113 IIOCJie,I(Jhe je,n;HaKOCTI1 ,uo611jaM0 ,ua 3a 1Ip0113BO.ll>He Bpe,n;HOCT11 X 11
D.x BaJ£11:
(sh x)' = lim sh (x + D.x) - sh x = ~x--*o D.x
2 Sh ~X Ch (X + ~X ) =lim 2 2 =
~x--*o D.x sh ~x D.x
= lim ~ 2 ch (x + -2
) = ~X--*0 T
= 1 · ch x = ch x.
Y rrpeTXO,I(HOM ,UOKa3y K0p11CTI1JI11 CMO je,n;Hy TaKot)e BaJ-KHY rpaHI1"t!HY
Bpe,n;HOCT Ha OCHOBY KOje je
1. sh x Im -- = 1.
X--*0 X
Ha11Me, 11ManeMo ,ua je
h x -x 2x 1 1. s x
1. e - e
1. e -
Im -- = Im = Im ---X--*0 X X--*0 2X X--*0 2xeX
1 e2x- 1 = lim - lim = 1 · 1n e = 1 · 1 = 1.
X--*0 eX X--*0 2X
.llaJLe IIp11MeT11MO ,n:a CJII1"t!HO 3a IIp0113BOJLHe peaJIHe 6pojeBe X 11 y BaJ£11
11,I(eHTI1"t!HOCT x-y x+y
ch x - ch y = 2sh -- sh --2 2 .
113 OBe je,n;HaKOCTI1 ,n;0611jaMO ,n;a 3a IIp0113BOJLHe Bpe,UHOCTI1 X 11 b.x BaJ£11:
(ch x)' = lim ch (x + D.x)- ch x ~x--*o D.x =
= lim 2 sh ¥ sh ( x + ¥) ~x--*o D.x =
sh ~x = lim 2 h ( D.x ~X--*0 ~X s X + 2) =
= 1 · sh x = sh x.
7. 3a npou3BO.JbHO a > 0 (a =/= 1) u ceax:o x =/= 0 rfiyHx:v,uja logalxl je
iJu¢epeHv,uja6u.!I.Ha Ha v,e.!l.oj npaeoj R ca UJY3emx:oM ma"f,x;e 0, u 3a ceax:o x =/= 0
BaJtCu jeiJHax:ocm (loga I xi)' = 1/ x1n a.
llmca3. 3ai1CTa, 3a CBaKO X > 0 11 CBaKO ,UOBOJLHO MaJIO b.x =/= 0, 11ManeMo ,ua je
loga ( x + D.x) - logax loga ~ D.x - D.x
_!_ loga ( 1 + ¥) X .a.x
X
AHAJH13A I 3A YIH<l>OPMATYit.IAPE 69
o,n;aKJie je yBol)eH>eM cMeHe Ax/x = y:
(1 )'-
1. 1loga(1+¥) _ 1
1. loga(1+y) _1
1 _ 1
ogax - 1m - Ll -- 1m -- ogae- --. Llx--tO X --'!:. X y--tO y X xln a
X
3a Bpe,n;HOCTH X < 0, ,ll;OKa3 je IIOTIIYHO CJIH"t.IaH.
Yl3 rrpeTXO,L(He j e,n;HaKOCTH IIOCe6HO 3a a = e ,n;o6111j aMO ,n;a j e 3a CBaKO
X -=/= 0 HCIIyH>eHO 1
(ln !xi)'= -. D X
I1 peTXO,ll;HHM IIpHMepHMa CMO ,ll;OKa3aJIH ,n;a cy rrpaKTH"f.IHO CBe OCHOBHe
eJieMeHTapHe <jlyHKD;Hje ,ll;H<jlepeH:o;Hja6HJIHe Ha o,n;rOBapajynHM HHTepBaJIHMa
Ha KOjHM cy ,n;e<jlHHHCaHe. HemTo KaCHHje ,n;oKa3aneMo ,n;a cy 111 rrpeocTaJie
OCHOBHe eJieMeHTapHe <jlyHKI(Hje, a H CBe MOryne eJieMeHTapHe <jlyHKI(Hje,
,ll;H<jlepeH:o;Hja6HJIHe Ha O,n;rOBapajynHM HHTepBaJIHMa Ha KOjHMa cy ,n;e<jlH
HHCaHe. 0BH pe3yJITaTH Cy O,ll; H3y3eTHOr 3Ha"t.Iaja KO,ll; pa3JIH"f.IHTHX IIpHMeHa
.n;H<jlepeH:o;HjaJIHOr pa"t.IyHa, jep ce y THM rrpHMeHaMa cpeneMo rrpeTeamo ca
eJieMeHTapHHM <jlyHKI(HjaMa.
I10CTOje HHa"t.Ie MHOro6pojHH IIpHMepH <jlyHKI(Hja KOje HeMajy 1113BO,ll; y
HeKOj HJIH y CBHM Ta"t.IKaMa HHTepBaJia ,n;e<jlHHHCaHOCTH. HarrpHMep, <jlyHKI(Hja
f(x) = lxl Koja je .n;e<jlHHHCaHa 3a caaKo x E R HeMa H3BO.n; y HYJIH. 3aHcTa,
3a Ax > 0 HManeMo .n;a je
f(Ax)- f(O) = Ax = 1,
A Ax
o,n;aKJie cJie,n;H ,n;a j e
f'(+O) = lim Aj(x) = 1. Llx--t+O Ax
C .n;pyre cTpaHe 3a Ax < 0 HManeMo .n;a je
!(Ax)- f(O) = -Ax = _1
, Ax Ax
o,n;aKJie j e
f'(-0)= lim Aj(0)=-1. Llx--t-0 Ax
CTora H3BO.n; y HYJIH oae <jlyHK:o;Hj e, Tj. rpaHH"f.!Ha ape.n;HOCT
lim Aj(O) Llx--tO Ax
He IIOCTOJH.
70 AHAJil13A I 3A MH<I>OPMATM"llAPE
CJie,n;en:rr cTaB cJie,n;:rr Herrocpe,n;Ho H3 ,n;eqmHHn;:rrje H3Bo,n;a <f>yHKn;:rrje.
CTAB 1. ?PynK:v,uja f: (a, b) H R je ourfiepenv,uja6u.A'Ha y ma"{,r;;U X E (a, b) ar.:o u ca.Mo ar.:o nocmoju r.:oncmmi.ma A E R mar.:ea oa Ja .6.x -+ 0 ea;J~Cu paJeoj
.6.f(x) =A .6.x + o(.6.x).
Ar.:o je rfiynr.:v,uja f(x) ourfiepenv,uja6U.A1-ta y ma"{.r;;U X maoa je A= f'(x).
Hape,n;H:rr cTaB ,n;aje Heorrxo,n;aH ycJioB ,n;:rr<f>epeHn;:rrja6:rrJIHOCTH <f>YHKn;:rrje.
CTAB 2. Ar.:o je rfiynr.:v,uja f: (a, b) H R ourfiepenv,uja6U.A'Ha y ma"{.r;;U
X E (a, b) maiJa je O'Ha nenper.:uiJna y moj ma"{.r.:U.
lloRa3. AKo je <f>yHKn;:rrja f: (a, b) H R ,n;H<f>epeHn;:rrja6:rrJIHa y Ta"t.IKH
x E (a, b), Ta,n;a 3a HeKo A E R :rr ,n;OBOJI.HO MaJie Bpe,n;HOCTH .6.x BaiK:rr pa3Boj
.6.f(x) =A .6.x + .6.x o(l).
AKo .6.x-+ 0 Ta,n;a o(l) -+ 0, rra o,n;aB,n;e CJie,n;H ,n;a .6.f(x) -+ 0. CTora je
<f>yHI<D;Hja j(x) H8IIpeKH,IJ;Ha y Ta~IKH X. 0
llaJI.e neMO penH ,n;a je <f>YHKD;Hja f: (a, b) H R ourfiepenv,uja6U.A'Ha 'Ha
unmepea.Ay D = (a, b) aKo rroce,n;yje H3BO,n; y CBHM Ta"t.IKaMa HHTepBaJia D. 113
rrpeTXO,IJ;HOr CTaBa CJI8)J;H ,n;a CBaKa <f>YHKD;Hja ,n;:rr<f>epeHD;Hja6HJIHa Ha D;8JIOM
HHT8pBaJiy (a, b) MOpa 6HTH H8IIp8KH,IJ;Ha Ha TOM HHTepBaJiy.
Y O"t.IHMO ,n;aJI.e rrpo:rr3BOJI.Hy <f>yHKn;:rrj y f : (a, b) H R. AKo j e OHa ,n;:rr<f>e
peHn;:rrja6:rrJIHa y Ta"t.IKH xo E (a, b), Ta,n;a ce rrpaBa
y- f(xo) = f'(xo)(x- xo)
Ha3:rrBa man2enmo.M r.:puee y = f(x) y Ta"t.IKH P(xo, f(xo)).
l!aKJI8 1 TaHr8HTa KpHBe y = j(x) ,n;e<f>HHHCaHa je CaMO y Ta"t.IKaMa Xo E
(a, b) y Koj:rrMa je <f>yHKn;:rrja y = f(x) ,n;:rr<f>epeHn;:rrja6:rrJIHa. 0Ha rrpoJia3:rr Kpo3
Ta"t.IKY P(xo, j(xo)) Ha rpa<f>:rrKy OBe <f>yHKD;Hje, H lb8H KOe<f>:rrn;:rrjeHT rrpaBn;a
je,n;HaK je H3BO,ll.y j'(xo) Te <f>yHKD;Hje y Ta"t.IKH Xo.
IIoKa3yje ce ,n;a oBa TaHreHTa rrpe,n;cTaBJI.a rpaHH"t.IaH rroJioiKaj ce1:.1:rrn;a
PQ (Q(xo+.6.x, f(xo+.6.x)) Ka,n;a .6.x-+ 0, Ha rpa<f>:rrKy oBe <f>yHKn;:rrje. lliTaB:rr
rne, IIOKa3yje ce ,n;a OBaj rpaHH"t.IaH IIOJIOiKaj C81:.!HD;a IIOCTOjH, aKO H CaMO aKO
AHAJIH3A I 3A HH<I>OPMAT:VrtJAPE 71
je IIOCMaTpaHa <f>yHK:O:I1ja ,.n:n<f>epeH:o;I1ja6I1JIHa y Tal:JKI1 XQ.
0
0
CJIHKa 6.1
IIpHMep. AKo je HarrpnMep f(x) = sinx (0 < x < 7r/2), Ta,.n:a je f'(x) = cosx, f'(7r/4) = ../2/2, f(7r/4) = ../2/2, na je je,.n:Hal:InHa TaHreHTe y Tal:IKI1
P(7r/4, ../2/2): V2 V2 7f
y- 2 = 2(x- 4),
TJ.
V2 V2 - ~) 0 y=2x+2(1 4.
Ca.n:a HaBo,.n:nMo HeKOJII1KO orriiiTI1X oco6nHa .n:n<f>epeHIJ;I1j a6nJIHI1X <f>YHK-
D;I1J a.
CTAB 3. A~o je rfiy'H~'L!Uja f(x) oerfiU'HUCa'Ha 'Ha U'Hmep8aJ£y (a, b) u ourfie
pe'H'L!Uja6UJ£'Ha y ma"i~U X E (a, b), maoa je 3a cea~o a E R u rfiy'H~'L!Uja af(x) OU~epe'H'L!Uja6UJ£'Ha y moj ma"i~U U Ba'JICU jeO'Ha~ocm
(af(x))' = af'(x).
Ha ocHoBy rrpeTxo,.n:Hor TBpljelba cne.n:n .n:a je <f>YHK:o;nja f(x) .n:n<f>epeH
:o;nja6nnHa y Tal:IKI1 x E (a, b) aKo 11 caMo aKo je <f>YHK:o;nja - f(x) .n:n<f>epeH:o;I1-
ja6nnHa y Toj Tal:IKI1, 11 Ta,.n:a BaJKn (- f(x))' =- f'(x).
CTAB 4. A~o cy rfiy'H~'L!Uje f(x) u g(x) oe~U'HUca'He 'Ha U'HmepeaJ£y (a, b) u ourfiepe'H'L!Uja6UJ£'He y ma"i~U X E (a, b), maoa je u rfiy'H~'L!uja f(x) + g(x) ourfie
pe'H'L!Uja6UJ£'Ha y moj ma"i~U u eaJSCu jeo'Ha~ocm
(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x).
72 AHAJU13A I 3A l1H<I>OPMATl1qAPE
Oc:rrM Tora, H:rrje TemKo HaBecT:rr rrp:rrMep ,n;Be <flyHKo;:rrje ,n;e<fl:rrH:rrcaHe Ha
HHTepBaJiy (a, b) KOje HHCY ,n;:rr<flepeHIJ;Hja6:rrJIHe y <flHKCHpaHOj TaqK:rr X, aJIH
je lbHXOB 36:rrp ,n;:rr<flepeHn;:rrja6:rrJiaH y Toj TaqK:rr. Harrp:rrMep, aKo yoq:rrMo
<flyHKIJ;:rrje f(x) = txt :rr g(x) = -txt Ha peaJIHOj rrpaBoj R, Ta,n;a oHe H:rrcy
,n;:rr<flepeHIJ;Hja6:rrJIHe y TaqKH 0, aJIH je lbHXOB 36Hp j(x) + g(x) = 0 <flyHKIJ;Hja
,n;:rr<flepeHn;:rrja6:rrJIHa Ha n;eJioj peaJIHOj rrpaBoj, rra THMe :rr y TaqK:rr 0.
CTora rrpeTxo,n;H:rr CTaB o6eJ6eljyje caMo o,n;peljeHe ,n;oBOJbHe ycJioBe rro,n;
KOj:rrMa je 36Hp ,[(Be <flYHKIJ;Hje ,n;:rr<flepeHIJ;Hja6:rrJIHa <flyHKIJ;Hja y IIOCMaTpaHOj
TaqKH.
Ha ocHoBy rrpeTxo,n;Ha ,n;Ba cTaBa TaKolje ,n;o6:rrjaMo ,n;a aKo cy <flyHKn;:rrje
j(x) ,n;e<flHHHCaHe Ha HHTepBaJiy (a, b) H ,n;:rr<flepeHIJ;Hja6HJIHe y TaqK:rr X, Ta,n;a
je y TOj TaqK:rr TaKOlje ,n;:rr<flepeHIJ;Hja6HJIHa H <flyHKIJ;Hja j(x) - g(x) H Baam
je,n;HaKOCT
(f(x)- g(x))' = J'(x)- g'(x).
KoM6:rrHan;:rrjoM oBa ,n;Ba CTaBa TaKolje ce JiaKo ,n;oKaJyje ,n;a aKo cy
<flYHKIJ;Hje j(x) H g(x) ,n;e<fl:rrHHCaHe Ha HHTepBaJiy (a, b) H ,n;:rr<flepeHIJ;Hja6HJIHe y
TaqK:rr x, Ta,n;a je 3a rrpo:rr3BOJDHe peaJIHe 6pojeBe a :rr f3 <flyHKn;:rrja af(x)+f3g(x) TaKolje ,n;:rrcpepeHIJ;Hja6HJIHa y TaqK:rr X H Baam je,n;HaKOCT
(af(x) + (3g(x))' = af'(x) + f3g'(x).
llp:rrMeHOM HH,L(yKIJ;Hje Ce ca,n;a rrpeTXO,L(HO TBpljeiLe MO:>Ke Herrocpe,n;HO
YOIIillTHTH Ha rrpOH3BOJLaH KOHaqaH 6poj <flyHKIJ;Hja. l!aKJie, aKO cy ft(x), ... ,
fk(X) IIpOH3BOJDHe <flyHKIJ;Hje ,n;e<flHHHCaHe Ha HHTepBaJiy (a, b) H ,n;:rr<flepeHIJ;H
ja6:rrJIHe y TaqK:rr x E (a, b), Ta,n;a je Ja rrpo:rrJBOJDHe peaJIHe 6pojeBe a1, ... , ak <flyHKn;:rrja a 1ft(x)+· · ·+akfk(x) TaKolje ,n;:rr<flepeHn;:rrja6:rrJIHa y TaqK:rr x :rr Baa<:rr
je,n;HaKOCT
(alft(x) + · · · + akfk(x))' = aff(x) + · · · + akf~(x).
CTAB 5. A-x:o cy rfty'H'K:V,Uje f(x) u g(x) aerjJU'HUca'/-le 1-la U'Hmep8a.JLy (a, b) u aurftepeHv,uja6U.JL'/-le y ma'l.(,'K:U X E (a, b), maaa je u rfty'H'K:V,Uja f(x)g(x) aurftepe'H
v,uja6U.JL'Ha y ma'l.(,'K:U x, u aa~u jeaHa-x:ocm
(f(x )g(x) )' = !' (x )g(x) + f(x )g' (x).
llpeTXO,L(HH CTaB Ha3HBa Ce Jf aj6'HUV,08U.M npaBU.!LO.M 0 H3BO,L(y IIpOH3BO,L(a
,L(Bejy <flyHKIJ;Hja.
AHAJH13A I 3A l1H<I?OPMATI11.JAPE 73
OcVIM Tora, HVIje TernKo HaBeCTVI npVIMep ,n;Be <f>YHKD;VIje f(x) VI g(x) ,n;eqnmVIcaHe Ha VIHTepBaJiy (a, b), Koje HVICY ,n;vr<f>epeHn;VIja6VIJIHe y HeKoj Ta"t.JKVI
X E (a, b), aJIVI je H>VIXOB npOVI3BO,ll; ,ll;VIcpepeHn;VIja6VIJiaH y ITOCMaTpaHOj Ta'IKVI.
lloBOJI.HO je y3enr <jJyHKn;VIje f(x) = g(x) = lxl (x E R), Koje HVICY ,n;vr<f>epeH
n;VIj a6VIJIHe y Ta'IKVI 0, aJIVI j e H>HXOB npOVI3BO,ll; j 2 (X) = x 2, cpyHKIJ;VIj a ,ll;VIcpe
peH:o;VIja6HJIHa y Ta"t.JKH 0, VI Ha n;eJioj peaJIHOj npaBoj R. CTora npeTxo,n;HVI cTaB o6e36el)yje caMo o,n;pel)eHe ,n;oBo.n.He ycJioBe no,n;
KOjHMa je rrpOVI3BO,ll; ,ll;Be <f>yHKD;Hje ,ll;VIcpepeHn;VIja6VIJIHa cpyHKIJ;VIja y IIOCMaTpa
HOj Ta"t.JKVI.
l1CTO KaO VI 3a 36Hp cpyHKIJ;VIja, llpVIMeHOM VIH,ll;yKIJ;Hje Ce npeTXO,ll;HVI
CTaB MO}Ke yOITIIITVITVI Ha IIpOH3BOJLaH KOHa"t.JaH 6poj cpyHKIJ;VIja. llaKJie, aKO
cy fi(x), ... , fk(x) npOVI3BOJLHe peaJIHe cpyHKIJ;VIje ,n;ecpVIHVICaHe Ha VIHTepBaJiy
(a, b) H ,n;vrcpepeHn;VIja6VIJIHe y Ta"t.JKVI X E (a, b), Ta,n;a je VI H>VIXOB npOH3BO,ll;
n:=lfi(x) = ft(x) · · · fk(X) TaKol)e ,ll;VIcpepeHIJ;VIja6HJIHa cpyHKIJ;VIja y TOj Ta'IKVI,
VI Ba}KVI j e,n;HaKOCT
(JI(x) · · · fk(x))' = f~(x)h(x) · · · !k(x) + · · · + JI(x) · · · fk-l(x)f~(x).
CTAB 6. A~o cy rfiyn~v,uje f(x) u g(x) oerfiunucane na unmepeaAy (a, b), ourfiepenv,uja6UA'He y ma"i~U X E (a, b) u npumo.M je g(x) i= 0, maoa je u rfiyn~v,uja j(x)jg(x) ourfiepenv,uja6UA'Ha y moj ma"i~U U Ba'JICU jeona~ocm
(f(x))' = f'(x)g(x)- f(x)g'(x). g(x) g2(x)
TaKol)e HarrOMVIH>eMo ,n;a KOJIH'IHVIK ,n;Bejy <jJyHKn;Hja y Ta'IKVI x MO*e ,n;a
ITOCTOjVI VI aKO HVIje,n;Ha O,ll; TVIX cpyHKIJ;VIja HVIje ,ll;VIcpepeHIJ;VIja6HJIHa y TOj Ta"t.JKVI.
HanpHMep, aKo Y3MeMo ,n;a je f(x) = g(x) = l+lxl, Ta,n;a HVIje,n;Ha o,n; <jJyHKn;VIja
j(x), g(x) HVIje ,n;VI<f>epeH:o;VIja6VIJIHa y Ta"t.JKVI 0, aJIH je H>VIXOB KOJIVI'IHVIK, Tj.
cpyHKIJ;VIja
f(x) = 1 g(x)
O'IHrJie,ll;HO ,ll;VIcpepeHn;VIja6VIJIHa y Ta"t.JKVI 0.
CTora npeTxo.n;aH CTaB o6e36el)yje caMo o,n;pel)eHe ,n;oBOJLHe ycJioBe no,n;
KOjHMa je KOJIVI'IHVIK ,ll;Bejy cpyHKIJ;VIja ,ll;VIcpepeHn;VIja6VIJIHa <f>yHKIJ;VIja y ITOCMa
TpaHOj Ta"t.JKVI.
IIpHMepH. 1. i.Pyn~v,uja f(x) = tg X je ourfiepenv,uja6UA'Ha y CBU.M ma"i~a
.Ma peaA'He npaee ca UJy3em~O.M ma"ia~a br + 7r /2 (k E Z) y ~oju.Ma nuje oerfiu'HUCa'Ha. Y cea~oj ma"i~u x f. k1r + 1r /2 (k E Z) ea:J~Cu jeona~ocm:
(tgx)' = +. COS X
74 AHAJIM3A I 3A MH<I>OPMATMl..JAPE
ll.mm3. 3aHcTa, y rrpOH3BOJLHoj Ta"f.IKH x =I= br + 1r /2 ( k E Z) HManeMo
,n;a j e HCIIylbeHO:
(tg x)' = (sinx) = (sinx)'(cosx)- (sinx)(cosx)' cosx
.llaKJie aaam
(cos x) (cos x) - (sin x) (- sin x) cos2 x
cos 2 x + sin 2 x 1 cos2 x cos2 x ·
1 (tg x)' = cos2 x ·
2. Py'H'/C'!.{Uja f(x) = ctg X je au¢epe'H'!.{Uja6U.Jt1-ta y CBUM ma'l(.r;;a.M.a pea.Jtne
npaee R ca U3y3emr;;o.M. ma'l(.ar;;a k7r ( k E Z) y r;;oju.M.a nuje ae¢unucana. y cear;;oj
ma"lr;;u x =I= k1r ( k E Z) ea:Jfeu jeanar;;ocm:
1 ) '-- -2 . (ctg x - sin x
ll_OI<a3. 3aHCTa, aKO je X IIpOH3BOJLHa Ta"tJKa pa3JIH"f.IHTa O,ll; Ta"tJaKa k1r
(k E Z), Ta,n;a je
( )' (cosx)' (cosx)'(sinx)- (cosx)(sinx)' ctg x = -- = ...:.___...:.__'-----..:~~-_.:._.:.-_:.._
sinx sin2 x (- sin x) (sin x) - (cos x) (cos x)
sin2 x - sin 2 x - cos 2 x 1
- sin2 x - sin2 x ·
.llaKJie, ,n;o6HjaMo ,n;a je
1 (ctg x)' =- sin2 x.
3. Py'H'/C'!.{Uja th X je au¢epe'H'!.{Uja6U.Jt'Ha na '!.{e.Jtoj pea.Jtnoj npaeoj R, u 3a
cear;;o pea.Jtno x ea:Jfeu jeanar;;ocm
1 ( th X)
1
= ch 2 X.
Py'H'IC'!.{Uja cth X je au¢epe'H'!.{Uja6umta 'Ha '!.{e.Jtoj pea.Jt'HOj npaeoj R ca UJY-
3emr;;o.M. ma'l(.r;;e 0 y r;;ojoj 'HUje ae¢unucana. Ja cear;;o X =j= 0 BaJfCU jeanar;;ocm
1 ( cth x)' = - sh 2 x ·
AHAJII13A I 3A I1H<I>OPMA TM"LJAPE 75
.IloKa3H OBHX je.L(HaKOCTH cy BpJIO CJIH"tiHH o.n;rOBapajynHM ,Il;OKa3HMa 3a
<f>YHK:o;Hje tg x H ctg x, rra HX H30CTaBJbaMo. OcHM Tara, y .n:oKa3y o6e HaBe
.n:eHe je.L(HaKOCTH KOpHCTH Ce H je.n;Ha O,Il; OCHOBHHX peJiaD;Hje 3a XHIIep60JIH"tiKe
<f>yHKD;Hje, Ta"tiHHje H,Il;eHTH"tiHOCT ch 2x- sh 2 x = 1.
CJie.n;el'iH cTaB o.n;HOCH ce Ha H3BO.LI: CJIO)KeHe <f>yHK:o;Hje.
CTAB 7. A1eo je ¢yn1ev,uja y = f(x) i1u¢epenv,uja6u1ma y ma"{.'ICU x, a
¢yn1ev,uja z = g(y) je iJu¢epenv,uja6uAna y ma"{.'ICU y = f(x), maiJa je CAO:J1Cena
¢yn'ICv,uja z(x) = g(f(x)) iJu¢epenv,uja6uAna y ma"{.'ICU x u Ba:J1Cu
(g(f(x))' = g'(y)J'(x).
IIpHMep. 3a npou3BO.Jb'HO a E R ¢yn1ev,uja X0 je iJu¢epenv,uja6uAna na
v,eAo.M unmepeaAy (0, +oo), u ea:J1Cu jei1na1eocm
(xa)' =a xa-1.
1IoKa3. KaKO je Ha OCHOBY .n:eqmHHD;Hje X 0 = e0 In X' Ha OCHOBY CTaBa 0
H3BO.n:y CJIO)KeHe <f>yHKD;Hje, .n;o6HjaMO .n;a je
(xa)' = (ealn x)' = (eg(x))' = eg(x) g'(x) = ealn x (aln x)' = a
= X 0 (-) =a X 0
-1 . 0
X
CJie.n;el'iH cTaB o.n;HOCH ce Ha H3BO.LI: HHBep3He <f>YHK:o;Hje.
CTAB 8. He1ea je ¢yn1ev,uja y = f(x) nenpe1euiJna cmpozo .Monomona ¢yn1ev,uja y ne1eoj o'ICoAunu ma"{.'ICe x u y = f- 1(x) 1bena uneep3na ¢yn1ev,uja. A1eo
je ¢yn1ev,uja f(x) iJu¢epenv,uja6uAna y ma"{.'ICU f- 1(x) u ea:J1Cu j'(f-1 (x)) =f. 0, maiJa je ¢yn1ev,uja f- 1 (x) iJu¢epenv,uja6uAna y ma"{.'ICU x u npumo.M ea:J1Cu
u-1 (x))' = ~ - .. J ~ ~ •
Tpe6a HarroMeHyTH H .n:a rrpeTXO,Il;HO TBpl)eH>e Ba)KH H aKO je f'(f- 1x) je.n;aH O,Il; 6pojeBa 0, +0, -0, 00, +oo, -OO, a pe:o;HIIpO"tiHe Bpe.n;HOCTH OBHX 6po
jeBa .n;e<f>HHHCaHe cy pe.n;OM Ca 00, +oo, -OO, 0, +0, -0 . .IloKa3H OBHX TBpl)elha
cy IIOTIIYHO CJIH"tiHH rrpeTXO,Il;HOM ,Il;OKa3y. IlpHTOM je 6eCKOHa"tiHa Bpe.L(HOCT
H3BO,Il;a .n;e<f>HHHCaHa y CJie.n;enoj Ta"tiKH.
76 AHAJIH3A I 3A HH<I>OPMATH"LIAPE
IIpHMepH. 1. llo'IW3ane.Mo aa ea:JICU jea'Ha'X:OCm
(arc sin x)' = 1
(!xl < 1). v1- x 2
AKo 03HaqHMO f(x) = sinx (-n/2::; x::; n/2), Ta,n:a je y =arc sin x =
j- 1(x), na je Ha OCHOBY TeopeMe 0 H3BO,l(y HHBep3He cf>YHKU:Hje:
. )' (f-l(x))'- _1_ y' =(arc sm x = - f'(y)'
KaKo je f(y) = siny H f'(y) = cosy = y'1- sin2 y Vr-1---x-,..2, ,n:06Hj aMO ,n:a j e
1 y' = (arc sin x)' = VI"-=- x2 (!xl < 1).
y'1- j2(y)
0Ba cf>yHKUHja M:Ma KOHaqaH H3BO,l( CaMO y TaqKaMa HHTepBaJia ( -1, 1), ,.[(OK je y TaqKaMa ±1 OBaj H3BO,l( je,n:HaK +oo.
2 . .llaJLe DeMO ,l(OKa3aTH ,n;a BaiKH
(arc cos x)' =- J 1 (!xl < 1).
1 - x2
KaKo 3a 6HJIO Koje x E [-1; 1] H,n;eHTHqKH BaiKH
arc sin x +arc cos x = 1r /2,
,n:o6HjaMo ,n:a je
arc cos x = n/2- arc sin x (!x! ::; 1).
CTora je !f>YHKUHja arc cos x ,n;H<f>epeHUHja6HJIHa Ha HHTepBaJiy ( -1, 1)
H BaiKH:
(arc cos x)' = (n/2- arc sin x)' =-(arc sin x)' =-1
(!xi< 1). J1- x2
3 . .llaJLe DeMO ,Il;OKa3aTH ,n;a BaiKH
1 (arc tg x)' = • ') (x E R).
AHAJII13A I 3A l1H<POPMATI1LIAPE
AKo 03Ha"t:IHMO f(x) = tg x (rr/2 < x < rr/2), Ta,[(a je y arc tg x, rra je 3a rrpoH3BO.ffiHO x E R:
77
f-l(x) =
1 1 2 1 - 1 u-l(x))' = f'(y) = -1- =cos y = 1 + tg2y - 1 + x2.
cos2 y
4. JiaJbe fie.Mo iJo'K:aJamu iJa ea::xcu:
1 (arc ctg x)' = - ? (x E R).
1+x
KaKo je 3a rrpOH3BOJI.HO x E R:
arc ctg x = rr/2- arc tg x,
H !flYHK:O:Hj a arc tg x j e ):(HcpepeH:o;Hj a6HJIHa 3a rrpoH3BOJI.HO x E R, ,[(06Hj aMo
):(aje
(arc ctg x)' = (rr/2- arc tg x)' =-(arc tg x)' = --1
_ 1+x
5. J1o'K:a3al'ie.Mo iJa ea::xcu c.aeiJefia jeiJna'K:ocm:
(ar sh x)' = 1
(x E R). Jx 2 + 1
(x E R).
0Ba je):(HaKOCT MO>Ke Ce ,[(OKa3aTVI 6ap Ha BHme Ha"t.IHHa. Je,[(aH 0,[(
lbHX je, KOpVImnelbeM TeOpeMe 0 HHBep3HOj cpyHK:O:HjH, a ):(pyrVI je ,[(HpeKTHHM
,[(HcpepeH:o;HpalbeM H3pa3a 3a HaBe,[(eHe cpyHK:O:Hje, C 063HpOM ,[(a cy OHH 3a
CBaKy 0,[( OBVIX cpyHK:O:Hj a eKCIIJIVI:O:VITHO II03HaTH H je,[(HOCTaBHH. 0B):(e neMO
,[(OKa3 H3BeCTH KOpHCTellVI ):(pyrH 0,[( OBVIX Ha"t:IHHa.
IIo3HaTo je ,[(a je ):(a je 3a rrpoH3BOJI.HO x E R:
f ( x) = ar sh x = ln ( x + y' x2 + 1).
0 ,[(aB,[(e ,[(HpeKTHHM ,[(HcpepeHD;HpalbeM ,[(06Hj aMO ,[(a j e
!'(x) = 1 + xjvx2 + 1 = _1
x + J x 2 + 1 JX2 + 1
6. J1aJbe fie.Mo iJo'K:a3amu Oa 3a no3umueny zpany ¢Y'H'K:'IJ,Uje ar ch X ea::xcu:
(arch x)' = 1 (lxl > 1). Jx2 -1
78 AHAJil13A I 3A l1H<I>OPMATl1l.JAPE
KaKo 3a II03HTHBHY rpaHy <f>YHKUHje f(x) =arch x HMaMo ,n;a je
f(x) = +ln (x + /x2 - 1) (lxl > 1),
Herrocpe,n;HHM ,n;H<f>epeHuHpaH>eM ,n;o6Hj aMo ,n;a j e
I - 1 + X/VX2- 1 = __ 1 f (x)- x + Jx2 _ 1 JX2- 1 (lxl > 1).
0Baj H3BO,IJ; HMa ,IJ;aKJie KOHa"t.IHy Bpe,n;HOCT 3a lxl > 1, ,IJ;OK je y Ta"t.IKaMa
±1 je,n;HaK +oo.
7. CaiJa !ie.Mo iJo11:a3amu iJa je
1 (ar th x)' = , '> (lxl < 1).
fi03HaTO je ,n;a 3a rrpOH3BOJbHY Bpe,n;HOCT X E ( -1, 1) BaJI<H:
1 1+x 1 1 f(x) = ar th x = -In -- = -In (1 + x)- -In (1- x).
2 1-x 2 2
O,n;aB,n;e ,n;o6HjaMo ,n;a je 3a lxl < 1:
J'(x) = - ,_ 1 , + 1 = _1
8. HajJaiJ iJor,;aJa!ie.Mo iJa ea:xcu jeiJna11:ocm:
(ar cth x)' = 21 (lxl > 1).
X -1
KaKo je 3a rrpOH3BOJLHO x TaKBO ,n;a je lxl > 1:
1 x+1 1 1 f(x) = ar cth x = -
2ln -- = -
2ln lx + 11- -ln lx -11,
x-1 2
,n;n<f>epeHunpaH>eM ,n;o6Hj aMo ,n;a j e
f'(x) = _~1 1 1 2(x- 1) = x2 - 1 ·
0
2. J e,n;HOCTpa.HH H fieCKOHRqHH H3BO,LJ;H
Yo"t.IMMO rrpOM3BOJbHY peaJIHY <f>yHKUMjy f ( x) ,n;e<f>HHMCaHy Ha 3aTBOpe
HOM HHTepBaJiy [a, b]. Ha OCHOBY rrpeTxo,n;Hnx pa3MaTpaH>a ,n;e<f>HHMCaH je
AHAJU13A I 3A MH<I>OPMA TM"Y:APE 79
rrojaM H3BO,Il;a !f>YHKUHje y 6HJIO KOjoj Tal:!KH X E (a, b). Ca.n;a neMo .n;e!f>H
HHCaTH rrojaM H3BO)l;a <f>yHKUHje j(x) y KpajFbHM Tal:!KaMa a H b HHT8pBaJia
[a, b]. <l>yHKUHja j(x) Ha3HBa C8 ourpepenv,uja6U./I,'HO.M y ma"t'K:U a aKO IIOCTOjH
Fb8H OeC'HU U3800 y Ta"t!KH a, Tj. rpaHH"t!Ha Bpe.n;HOCT
f~(a) = lim f(a + llx)- J(a) Llx-++0 llx .
CJIH"t!HO ce cpyHKUHja f(x) Ha3HBa ourfiepenv,uja6U./I,'HO.M y ma"t'K:U b aKO
IIOCTOjH Fb8H .1/,eBU U3800 y Ta"t!KH b, Tj. rpaHH"t!Ha Bp8,Il;HOCT
J!_(b) = lim f(b + llx)- f(b) Llx-+-0 llx
.IlaJLe Ce KaiKe .n;a je lf>yHKUHja j(x) .n;elf>HHHCaHa Ha 3aTBOp8HOM HHTep
BaJiy [a, b] ourpepe'HV,Uja6U./I,'Ha 'Ha moM U'HmepBa./l,y aKO je ,Il;Hcpep8HUHja6HJIHa y
CBHM yHyTpaiiiFbHM Ta"t!KaMa OBOr HHT8pBaJia, a TaKol)e H y KpajFbHM Tal:!KaMa
a H b. IIpHTOM y KpajFhHM Tal:!KaMa a H b rrpeTrrocTaBJLaMo .n;a ce pa.n;H o je.n;
HOCTpaHoM (JI8BOM O,Il;HOCHO ,Il;8CHOM) H3BO)l;y OB8 lf>yHKUHje.
AKo !f>YHKUHja f: [a, b] H R HMa .n;ecHH H3Bo.n; f~(a), Ta.n;a ce rrpaBa
Y- f(a) = f~(a)(x- a)
Ha3HBa oecno.M manzenmo.M oBe !f>YHKUHje y Tal:!KH a.
~
I
D
A I
I
tA/j '\~B /~
'\
a..... b
C JlliiRa 6. 2
"' '\ X
CJIH"t!HO, aKo y Tal:!KH b rrocTojH JieBH H3Bo.n; J!_(b), Ta.n;a ce rrpaBa
y- f(b) = j!_(b)(x- b)
80 AHAJH13A I 3A I1H<I>OPMATI1l.JAPE
Ha3HBa .11.eBoM manzenmoM y TaqKH b.
fipeTIIOCTaBHMO ,n;a.rr,e ,n;a je cjlyHKIJ;Hja j(x) ,n;ecjlHHHCaHa y H8KOj OKOJIHHH
TaqKe x. KaiKe ce ,n;a oHa y Toj TaqKH HMa 6ec'lw'l-ta"W'H U3BoiJ aKo BaiKH
lim f(x + ~x)- f(x) = oo. t.x-+0 ~X
Ta,n;a rrHIIIeMo H f'(x) = oo. CJIHqHo ce Mory ,n;ecjlHHHCaTH H Bpe,n;HOCTH
H3BO,IJ;a +oo H -OO. AKO H3BO,IJ; j'(x) HMa je,n;Hy O,IJ; Bpe,n;HOCTH ±oo, OH,IJ;a OH
HMa H Bpe,n;HOCT 00, aJIH o6paTHO He MOpa ,n;a BaiKH.
IIpHMep. AKo je f(x) = ylx (x ~ 0), Ta,n;a je 3a x = 0 H ~x > 0:
~f(x) _ Vf5:X- 0 = _l_---+ +oo, ~X - ~X .J;S:X
rra je f~(O) = +oo. 0
reoMeTpHjCKH, YCJIOB (3) 3HaqH ,n;a TaHr8HTa Ha rpacjlHKY cjlyHKIJ;Hje y =
j(x) y TaqKH X IIOCTOjH H ,n;a je rrapaJieJIHa Ca OCOM Qy (CJIHKa 6.3).
1.-\ Cl
1
----+-----~--~------------~ 0 1 X
CJIHKa 6.3
3. l[HcpepeHn_HjaJI cpyHK:u_Hje
fipeTIIOCTaBHMO ,n;a je cjlyHKIJ;Hja j(x) ,n;ecjlHHHCaHa Ha HHTepBaJiy (a, b) H
,n;HcjlepeHn;Hja6HJIHa y TaqKH x E (a, b). Ta,n;a je 3a ,n;OBOJLHO MaJie Bpe,n;HOCTH
~X HCIIyH>eHO
~f(x) = f(x + ~x)- f(x) = f'(x)~x + o(l) ~x.
AHAJU13A I 3A l1H<I>OPMATI1"Y:APE 81
Y TOM cJiy"tiajy ce H3pa3
d f(x) = !' (x) ~x,
rrp11: "tleMy je ~x npou3BO.Iba'tt pea.tw'H 6poj, Ha3HBa iJu~epeHu,ujaJtoM ~yHr;;u,uje
f(x) y Ta"tiKH x, rrp11: rrpHparriTajy He3aBHCHe rrpoMeH.lliHBe 3a ~x. IloHeKa,n: ce
,n:mpepeHn;HjaJI df(x) 03Ha"tiaBa KpaTKO caMo cad f, rrp11: "tieMy ce rro,n:pa3yMeBa
,n:a ce pa"tiyHa c o63HpOM Ha Ta"t!KY x 11: rrpHparriTaj rrpoMeHJLHBe o,n: ~x.
KaKo 3a ,n:oBOJLHO MaJie Bpe,n:HOCTH ~x Baam
~f(x) = d f(x) + o(1) ~x ~ d f(x),
,n:H<f>epeHn;Hj aJI d f ( x) rrpe,n:cTaBJLa r JiaBHH ,n:eo rrpHparnTaj a <f>YHKD;Hj e f ( x) y
OKOJIHHH Ta"t!Ke X.
llpHMep. AKo je f(x) df(x) = 2x ~x = 4.
x 2 11: ~x 1, HManeMo ,n:a Je 3a x
KaKo j e 3a f' ( x) =I 0 O"t!Hr Jie,n:Ho HcrrylheHO
~f(x) = 1 o(1) --+ 1 d f(x) + f'(x)
2,
Ka,n:a ~X --7 0, 3aK.rr,y-qyjeMO ,n:a cy <fJyHKD;Hje ~j(x) 11: d j(x), KaO <fJyHKD;Hje O,L(
~X, €KBHBaJI€HTH€ 6eCKOHa"tiHO MaJie B€JIH"t!HHe Ka,n:a ~X --7 0.
<I>opMyJia
(1) ~f(x) ~ d f(x),
3a ,L(OBOJLHO MaJie Bpe,n:HOCTH ~X, Ce HHa"tle ,L(OCTa "tleCTO KOpHCTH KO,L( 11:3pa-qy
HaBalha Bpe,n:HOCTH <fJYHKD;Hje j(x) y OKOJIHHH Ta"t!K€ X. <l>opMyJia (1) Ce
O"t!Hr JI€,L(HO MOJKe HaiiHCa TH y 06JIHKY
(2) f(x + ~x) ~ f(x) + J'(x)~x.
llpHMep. H3pa'IJ,y'Hamu npu6JtUJIC'HY epeiJHocm 6poja l = v/16 + 2, 962.
Yo"tiHMO <f>YHKD;Hjy J(x) = v16 + x2, Ta"t!KY X= 3 11: rrpM:parnTaj ~X= -0.04. l1ManeMo ,n:a je
](3) = 5, J'(x) = v16x+ x2' !'(3) = ~'
82 AHAJIH3A I 3A HH<I>OPMA TH"Y:APE
rra je Ha OCHOBY cpopMyJie (2):
3 l = j(2, 96) ~ j(3) + j'(3) ~X= 5-5 0, 04 ~ 4, 976. 0
AKo je cpyHK:o;H:ja f(x) ,n:H:cpepeH:o;Mja6H:JIHa y Ta"t.IKH: xo ED= (a, b), Ta,n:a
je je,n:Ha"t.IH:Ha TaHreHTe Ha KpH:Boj y = f(x) y Ta"t.IKH: P(xo, f(xo)):
y- f(xo) = !'(xo)(x- xo).
AKo yBe,n:eMo 03HaKy x- x0 = ~x, oBa je,n:Ha"t.IH:Ha rrocTaje
Y- f(xo) = f'(xo)~x = d f(xo).
CTora reoMeTpH:j CKH: ,n:H:cpepeH:o;H:j aJI d f ( x) rrpe,n:cTaBJba rrpH:pamTaj op
,LI:H:HaTe Ha rpacpH:KY ¢YHK:o;H:je y = f(x) rrpH: rrpoMeHH: apryMeHTa x o,n: Ta"t.IKe
x ,n:o Ta"t.IKe x + dx (dx = ~x).
dt I
0 .,. -,.------;< o t .AX "o AX
Cmn<a 6.4
X
CMH:cao je,n:HaKOCTH: ~x = dx je H:Ha"t.Ie y TOMe ,n:a je 3a H:,n:eHTH:"t.IHY
cpyHK:o;Mjy f(x) = x, Koja ce o6H:"t.IHO 03Ha"t.IaBa caMo ca x, O"t.IH:rJie,n:Ho H:crry
lbeHO d f(x) = dx = ~x. CTora cpopMyJie (2) H: (3) MOIKeMo ,n:a HarrH:meMo y
o6JIH:Ky:
(4)
(5)
d f(x) = !' (x) dx,
f(x + dx) ~ f(x) + !' (x) dx,
rrpH: "t.IeMy je y cpopMyJiu (4) dx rrpOH3BOJhaH peaJiaH 6poj, a y ¢opMyJiu (5) dx IIp0ll3BOJbaH ,LI:OBOJhHO MaJIH peaJiaH 6poj.
AHAJH13A I 3A MH<l>OPMATM"l!APE 83
CTAB 9. Ax:o cy !fiyux:v,uje f(x) u g(x) au!fiepeuv,uja6UJ1,1-£e y ma'lf.X:U X E
(a,b), maiJa Ba;)ICU:
(10)
(20)
(30)
d (af + {3g) = adf + {3dg (a,{3 E R),
d(f . g) = ( d f) . g + f . ( d g)'
d (f) = (d f). g- f. (d g). g g2
JIOCJI,eO'Iba jeauax:ocm Ba;)ICU noiJ npemnocmaBX:OM Oa je g(x) "/= 0.
4. Jii3BO,LJ;R mt:mer pe,rr,a
IlpeTIIOCTaBHMO ,n;a je <jlyHKII.Hja j(x) ,Il;H<jlepeHII.Hja6miHa Ha II.eJIOM llH
TepBaJiy D = (a,b), Tj. ,n;a rrocTojH o,n;roBapajyna H3BO,n;Ha <jlyHKII.Hja f'(x) (xED). AKo je <jlyHKII.Hja f'(x) ,n;H<jlepeH:a.Hja6HJIHa y Tat.IKH xED, Ta,n;a ce
H>eH ll3BO,Il; (j'(x))' y Tat.IKH X Ha3HBa Opy2UM U38000M Te <jlyHKII.Hje y Ta"t.IKH
X, ll 03Hat.IaBa ce ca j"(x). llaKJie, Ha OCHOBy ,n;eqJHHHII.Hje HMaMO ,n;a je
f"(x) = (f'(x))' = ddx (f'(x)).
CJIHt.IHO, aKo Ha neJIOM HHTepBaJiy (a, b) (HJIH 6ap y HeKoj OKOJIHHH
IIOCMaTpaHe Tat.IKe x) IIOCTOjH ,n;pyrH ll3BO,Il; j"(x) <jlyHKII.Hje j(x) H aKO je OH
,n;mpepeH:a.Hja6HJiaH y Tat.IKH x, OH,n;a ce o,n;roBapajynH H3BO,n;
f"'(x) = (f"(x))' = !!:_(f"(x)) dx
Ha3HBa mpefiUM U38000M <jlyHKII.Hje j(x) y IIOCMaTpaHOj Tat.IKH, HT,Il;.
YorrmTe, 3a 6HJIO KOjH rrpHpo,n;aH 6poj n ce ca
f(n)(x) = u<n-l)(x))' = !!:_u(n-l)(x)) dx
,n;eqJHHHme n-TH H3BO,Il; <jlyHKII.Hje j(x) y Tat.IKH X.
<l>yHKII.Hj a Koj a HMa H3BO,n; n-Tor pe,n;a Ha3HBa ce n rryTa M<jlepeH:a.Hj a-
6HJIHOM.
IlpHMep. AKo je f(x) = x3 (x E R), Ta,n;a je f'(x) = 3x2 , f"(x) = 6x, f( 3)(x) = 6 H f(n)(x) = 0 3a CBaKo x E R H n ~ 4.
HarroMeHHMO ,n;a <jlyHKII.Hj a f ( x) MOJKe 6HTH n rryTa ,n;H<jlepeH:a.Hj a6HJIHa
Ha IIOCMaTpaHOM HHTepBaJiy, a ,n;a y HeKOj Tat.IKH TOr llHTepBaJia (HJIH CBHM
H>erOBHM Tat.IKaMa) HHje n + 1 rryTa ,Il;H<jlepeHII.Hja6HJIHa.
84 AHAJII13A I 3A I1H<POPMATI1"llAPE
HarrpiiMep <f>YHK:o;IIja f(x) = x lxl je ,n:IIcflepeH:o;IIja6IIJIHa Ha IIHTepBaJiy
(-1, 1), II IIpiiTOM je f'(x) = lxl (-1 <X< 1), aJIII y Ta"tiKII 0, HeMa o,n:ro
Bapajy'fm ,n:pyrii II3BO,L{, jep cflyHKD;IIja lxl HIIje ,n:IIcflepeH:o;IIja6IIJIHa y 0.
CTAB 10. Ax:o je rjynx:'4uja f(x) n nyma iJurjJepen'4uja6u.~~,na na unmep
ea.11,y (a, b), maiJa ana uMa cee Mozyfie uJeode nuxez peda j(k)(x) (k < n) na
moM unmepea.11,y, u ceu onu npeiJcmae.!bajy nenpex:udne rjjynx:'4uje .
.IlaJbe DeMO 3a IIpOII3BOJbaH OTBOpeHII IIHTepBaJI (a, b) II IIpiipO,n:aH 6poj
n ca C(n)(a, b) 03Ha"tiiiTII CKYII CBIIX peaJIHIIX cflyHKD;IIja f(x) KOje IIMajy CBe
II3BO,L{8 f'(x), f"(x), ... , j(n)(x) Ha IIHT8pBaJiy (a, b), II IIpiiTOM je II3BO,L{ j(n)(x) TaKol)e HerrpeKII,n:Ha cflyHK:o;IIja. HaBe,n:eHa KJiaca cflyHK:o;IIja C(n) (a, b) je o,n:
II3Y38TH8 BaiKHOCTII y pa3HIIM IIpiiMeHaMa ,n:IIcflepeHD;IIjaJIHOr pa"tiyHa.
OciiM Tora, 03Ha"tiiineMo:
00
C00 (a, b)= n cCn)(a, b). n=l
.IlaKJie, MOiK8MO ,n:a Ka/KeMO ,n:a j e KJiaca C00 (a, b) CKYII CBIIX peaJIHIIX
cflyHKD;IIja ,n:ecfliiHIICaHIIX Ha IIHTepBaJiy (a, b) KOje Ha TOM IIHTepBaJiy IIMajy
H3Bo,n:e 6IIJIO KOr pe,n:a n (n E N). IIpiiTOM ycJIOB HerrpeKII,n:HOCTII KOjii ce
IIOMIIIhe KO,L{ ,n:ecfJIIHIID;IIje KJiace C(n)(a, b) He ,n:aje HIIliiTa HOBO, 3arrpaBO OH
ayTOMaD;KII CJI8,L{II II3 IIOCTOjalha Hape,n:HOr II3BO,L{a j(n+l) (x) Ha IIHTepBaJiy
(a, b). KJiaca coo (a, b) j e TaKo l)e o,n: II3y3eTHe BaiKHOCTII y rrpiiMeHaMa ,n:IIcfle
peH:o;IIjaJIHor pa"tiyHa, rroce6Ho 36or "tiiiiheHII:o;e ,n:a cBe eJieMeHTapHe cflyHKD;IIje
,n:ecfJIIHHCaHe Ha IIHT8pBaJiy (a, b) IIpiirra,n:ajy OBOj KJiaCII.
CJie,n:ena, T3B. orrrnTa Jiaj 6HII:o;oBa cflopMyJia MOJKe KOpiicHo ,n:a rrocJiyiKII
KO,L{ II3pa"tiyHaBalha n-TOr II3BO,n:a IIpOII3BO,L{a cflyHKD;IIja j(x), g(x).
CTAB 11. Ax:o cy rjynx:'4uje f(x) u g(x) n nyma iJurjJepen'4uja6u.11,'He na
unmepea.11,y D = (a, b), mada je u rjjynx:'4uja f(x)g(x) max:ofje n nyma iJurfiepen
'4Uja6u.~~,na na moM unmepea.11,y u eaxu jeiJnax:ocm
(f(x)g(x))(n) = t (~) f(n-k) (x) g(k) (x) k=l
(xED).
IIpHMep. AKo je f(x) = x2, g(x) = sinx, Ha ocHOBY Jiaj6HIID;OBe <f>op-
AHAJIM3A I 3A MH<I>OPMATM"Y:APE
MyJie .n;o6HjaMo .n;a je
(x2 sinx)' = (x2)' sinx + x2 (sinx)' = 2x sinx + x2 cosx,
(x2 sinx)" = (x2)" sinx + 2(x2)'(sinx)' + x2 (sinx)" =
= 2 sinx + 4x cosx- x2 sinx = = (2- x 2
) sinx + 4x cosx. 0
85
AKo je cpyHKUHja f(x) .n;BarryT .n;HcpepeHuHja6HJIHa Ha HHTepBaJiy D =
(a, b), Ta.n;a OCHM .n;ncpepeHUHjaJia d f(x) = f'(x) dx, MO>KeMo .n;a o6pa3yjeMo
l1 lheH iJpyzu iJu¢epe'H:U,UJa.!1, Ha OCHOBY je.n;HaKOCTH
d2 f = d (df).
Herrocpe.n;Ho cJie.n;n .n;a je d2 f = (J'(x) dx)' dx = f"(x) (dx) (dx) = f"(x) (dx) 2 • AKo ca.n;a yBe.n;eMo 03HaKy (dx) 2 = d x 2 , .n;o6njaMo .n;a je
d2 f = f"(x) dx2.
Y OBOj je.n;HaKOCTH je d X IIOTIIYHO IIpOI13BOJI.Ha KOHCTaHTa.
IIoTrryHo CJIH"t.J:HO, aKo je <f>YHKUHja f(x) n rryTa .n;n<f>epeHunja6HJIHa Ha
HHTepBaJiy D = (a, b), Ta.n;a ca
dn J = d (d j(n-1))
MO>KeMo .n;a .n;ecpnHnmeMo lheH n-TH .n;HcpepeHuHjaJI y Ta"t.J:KH x. Herrocpe.n;Ho
ce .n;oKa3yje .n;a je
dn J = j(n)(x) dxn,
3a rrpon3BOJI.HO x E D 11 rrpoH3BOJI.aH peaJiaH 6poj d x. II pHTOM j e d xn ( d x )n 3a rrpoH3BOJI.aH rrpHpo.n;aH 6poj n.
86 AHAJIM3A I 3A MH<POPMA TMl..JAPE
IIornaBJLe 7
~YHllAMEHTARHETEOPEME
BH~EPEHUMJARHOrPAqYHA
1. HajnaarnHje TeopeMe
Y OBOM ,n;eJiy naBemneMo neKe o,n; najBa)KHHjnx TeopeMa ,n;mpepenu;n
JaJinor pal.Iyna.
IIpeTrrOcTaBHMO najrrpe ,n;a je <f>ynKu;nja f(x) ,n;e<f>Hnncana y HeKoj oKo
JIHHH lx-xol < l Ta"tiKe xo.
Kajf{e ce ,n;a y Tal.IKH xo <f>ynKu;nja f(x) nMa .JW1W.J1,'HU Max:cu.My.M aKo
IIOCTOjH HeKa OKOJIHHa ix- Xol < c5 (c5 > 0) Tal.IKe Xo y KOjoj Ba)KH
(1) f(x) ~ f(xo).
CJIHl.IHO ce Ka)Ke ,n;a y Ta~IKH xo <f>YHKD;Hja f(x) nMa .Jl,OX:a.Jl,'HU .MU'HU.MY.M
aKO IIOCTOjH HeKa OKOJIHHa ix- Xoi < c5 Tal.IKe Xo y KOjoj Ba)KH
(2) f(x) ~ f(xo).
Tal.IKe JioKaJinor MaKCHMyMa 11 Tal.IKe JIOKaJIHOr MHHHMyMa <f>yHK:UHje
Ha3HBajy Ce je,n;HHM HMeHOM ma'tlX:a.Ma .Jl,O'K:a.Jl,'HUX ex;cmpe.My.Ma IIOCMaTpaHe
tPYHKD;Hj e.
Mo)Ke ce Herrocpe,n;Ho BH,n;eTn ,n;a je Tal.IKa x0 E (a, b) Tal.IKa JIOKaJIHOr
MaKCHMyMa tPYHKD;Hje j(x) aKO H CaMO aKO ORa rrpe,n;cTaBJLa Tal.IKY JIOKaJIHOr
MHHHMyMa tPYHKD;Hj e - j (X).
AHAJU13A I 3A HH<POPMA TH1.JAPE 87
HarrpMMep, aKo je f(x) = c rrpOM3BOJLHa KOHCTaHTHa <f>yHKUMja Ha MH
TepBaJiy (a, b), Ta.n;a je CBaKa Ta"t.IKa XQ E (a, b) Ta"t.IKa JIOKaJIHOr MaKCMMyMa
M Ta"t.IKa JIOKaJIHOr MHHyMaMa <f>yHKUMje j(x). AKo je j(x) = x 2 , Ta,n;a je Ta"t.IKa x0 = 0 je.n;uHa Ta"t.IKa JIOKaJIHOr MMHM
MyMa OBe <f>yHKUMje Ha MHTepBaJiy ( -oo, +oo), a Ta"t.IKe JIOKaJIHOr MaKCHMyMa
He IIOCTOJe.
TEOPEMA 1 (<PepMaOBa TeopeMa). Ax:o je ¢ynx:-quja f(x) oe¢unucana na unmepea/l,y (a,b), ou¢epen-quja6u/l,na y ma"ix:u x0 moz unmepea/l,a, u y moj ma"iX:U U.M.a JI,O'IWJI,HU ex:cmpe.M.y.M., maoa je j'(xo) = 0.
llm~a3. IIpeTIIOCTaBMMO Hajrrpe .n;a je Ta"t.IKa x0 E (a, b) Ta"t.IKa JIOKaJIHOr
MaKCMMyMa <f>YHKuuje f(x). Ta.n;a je 3a .n;oBOJLHO MaJie Bpe,n;HOCTM ~x Mcrry
H>eHo f(x 0 ) :::; f(xo). O,n;aB,n;e je 3a Bpe,n;HOCTM ~x > 0
f(xo + ~x) - f(xo) ~X :::; 0,
rra je rrpeJiaCKOM Ha rpaHM"tiHY Bpe,n;HOCT j'(xo + 0) :::; 0, a TMMe M f'(xo) :::; 0.
CJIM"t.IHO je 3a Bpe,n;HOCTM ~x < 0 McrryH>eHo
f(xo + ~x) - f(xo) ~X 2: 0,
ITa je rrpeJiaCKOM Ha rpaHM"tiHY Bpe,n;HOCT j'(xo + 0) 2: 0, a TMMe M j'(xo) 2: 0. O.n;aB,n;e cJie,n;M ,n;a je f'(x 0 ) = 0.
AKo je .n;a.11e xo E (a, b) Ta"t.IKa JIOKaJIHor MMHMMyMa <f>YHKUMje f(x), Ta.n;a
je OHa MCTOBpeMeHO M Ta"t.IKa JIOKaJIHOr MaKCMMyMa <f>yHKUMje -j(x), rra je
(-f(xo))' = -f'(xo) = 0, o.n;aKJie je IIOHOBO f'(x 0 ) = 0. 0
f'eoMeTpMjCKM, <flepMaOB CTaB 3Ha"t.IM ,n;a je y CBaKOj Ta"t.IKM JIOKaJIHOr
eKCTpeMyMa <f>yHKUMje j(x) y KOjoj je <f>yHKUMja j(x) M .U.M<f>epeHUMja6MJIHa,
TaHreHTa Ha rpa<f>MKY <f>YHKUMje f(x) rrapaJieJIHa ca ocoM Ox.
~
~ ::j(?-)
0 1..
CJIHKa 7.1
88 AHAJU13A I 3A HH<T?OPMATHliAPE
HanoMeHVIMO .n:a cpyHKUVIj a f ( x) yonrnTe He Mop a 6VITVI ,n:VIcpepeHu;VIj a-
6mma y Ta'IKVI JIOKaJmor eKcTpeMyMa. Ha npVIMep, cpyHKUVIja f(x) = lxl ,n:ecpVIHVICaHa Ha VIHTepBaJiy ( -oo, +oo), liMa JIOKaJIHVI MVIHVIMJM y Ta'!KVI Xo =
0, aJIVI y Toj Ta-rKVI HVIje .L(I1:cpepeHu;VIja6mma. CTora je y rrpeTxo,n:HOM cTaBy
npeTITOCTaBKa 0 ,n:VIcpepeHIJ;VIja611:JIHOCTVI y Ta'!KVI eKCTpeMyMa HeOIIXO,L(Ha.
Ta-rKe y KOjVIMa je cpyHKUVIja f(x) .L(I1:cpepeHu;Hja6VIJIHa 11: VI3BO,n: f'(x) = 0
Ha3HBajy ce cmau,uo'Hap'HUM ma"l11:aMa cpyHKUHje f(x). CTora, aKo je cpyHKUVIja
j(x) ,L(VIcpepeHIJ;VIja6HJIHa Ha IJ;eJIOM VIHTepBaJiy (a, b), Ta,n:a IheHe Ta'!Ke JIOKaJI
HVIX eKCTpeMyMa TpaamMO Meljy CTaiJ;VIOHapHHM Ta'!KaMa Te cpJHKIJ;VIje. llp11:
TOM Tpe6a HarJiaCVITVI ,n:a HVIje CBaKa CTaiJ;HOHapHa Ta'!Ka cpyHKIJ;VIje VICTOBpe
MeHO 11: Ta-rKa JIOKaJIHOr eKCTpeMyMa. Ha npHMep, aKo je f(x) = x3 (lxl < 1), Ta,n:a je Ta-rKa x0 = 0 CTaUHOHapHa Ta-rKa OBe cpyHKUVIje jep je f'(x) = 3x2
11: j 1 (0) = 0, aJIVI OBa Ta'!Ka HVIje JIOKaJIHVI eKCTpeMyM ITOCMaTpaHe cpyHKIJ;Hje
jep je 3a np011:3BOJbHO MaJie Bpe,n:HOCTI1: E > 0 VICITJiheHO j( -E) = -e3 < 0 11:
f(e) = e3 > 0.
TEOPEMA 2 (PoJIOBa TeopeMa). IlpemnocmaeUMO oa je ¢Y'H11:U,Uja
j(x) 'Henpe11:UO'Ha 'Ha 3ameope'HOM U'HmepeaAy (a, b] U ou¢epe'HU,Uja6UA'Ha y CBUM
ma"l11:aMa omeope'H02 U'HmpeeaAa D =(a, b). A11:o je npumo.M f(a) = f(b), maoa
nocmoju 6ap jeo'Ha ma"l11:a ~ E (a, b) y 11:ojoj je !'(~) = 0.
nm~a3. reoMeTpVIjCKVI, PoJIOBa TeopeMa 3Ha'!VI ,n:a IIOCTOjH 6ap je,n:Ha
Ta-rKa HHTepBaJia (a, b) y Kojoj je TaHreHTa KpVIBe y = f(x) napaJieJIHa ca
ocoM Ox. 1IoKa3 oBe TeopeMe VI3BO,n:H ce Henocpe,n:Ho 11:3 <T?epMaoBe TeopeMe,
11: Ha OCHOBJ 'IVIIheHI-IIJ;e ,n:a HenpeKVI,L(Ha cpJHKIJ;VIj a Ha 3aTBOpeHOM VIHTepBaJiy
[a, b] ,L(OCTVI/Ke Ha TOM VIHTepBaJiy CBOjy MaKCVIMaJIHY Bpe,n:HOCT.
llpeTITOCTaBVIMO Hajnpe ,n:a je cpyHKIJ;VIja j(x) KOHCTaHTHa Ha IJ;eJIOM 11:
HTepBaJiy [a, b]. Ta.n:a je y cBaKoj Ta'!KVI x E (a, b] HcnyiLeHo f'(x) = 0 .
.Ila.rr,e rrpeTIIOCTaBVIMO ,n:a ITOCTOjVI 6ap je,n:Ha Ta'!Ka X E (a, b) TaKBa ,n:a
je f(x) > f(a). C o63VIpOM ,n:a je cpyHKIJ;VIja f(x) HenpeKVI,n:Ha Ha 3aTBopeHOM
VIHTepBaJiy [a, b], Ha OCHOBJ je,n:He O,L( TeOpeMa 0 cpyHKIJ;HjaMa HenpeKVI,L(HVIM
Ha 3aTBOpeHOM 11:HTepBaJiy, 3aK.rr,y-ryjeMO ,n:a OHa ,L(OCTVIJKe CBojy MaKCVIMaJIHVI
Bpe,n:HOCT y HeKOj Ta'IKVI ~ TOr VIHTepBaJia. llpVITOM O'IVIrJie,L(HO Ta'!Ka ~ E
(a, b). Ho Ta,n:a je Ha ocHoBy <T?epMaoBe TeopeMe f'(~) = 0.
CJIVI-raH ,n:oKa3 BaJKVI 11: aKo nocTojVI 6ap je,n:Ha Ta-rKa x E (a, b) y Kojoj
je f(x) < f(a). 0
CJie,n:ena TeopeMa Ha3VIBa ce JiazpaHJICoeoM meopeMoM o cpeo'Tboj epeo
'Hocmu.
AHAJU13A I 3A MH<I>OPMATM"LJAPE 89
TEOPEMA 3 ( JiarpamKOBa TeopeMa). IIpemnocmaBUMO oa je tjy'H'K:V,U
ja f(x) nenpe'K:UO'Ha 'Ha 3ameope'HOM U'HmepBaAy (a, b] U outjepenv,uja6UA'Ha y
ceuM ma'l.(,'K:aMa omeopenoz unmepeaAa (a, b). Taoa nocmoju 6ap jeana ma'l.(,'K:a
~ E (a, b) ma'K:Ba oa je
f(b)- f(a) = !'(~)(b- a).
Jlm~a3. reoMeTp:M:jCK:M:, OBa TeopeMa 3Ha"tm ,n;a IIOCTOj:M: 6ap je,n;Ha Ta"tJ:Ka
~ E D = (a, b) y Kojoj je o.n;roBapajyna TaHreHTa Ha Kp:M:Boj y = f(x) rra
paJieJma ca ce"tJ::M:D;OM AB, rrp11: "tJ:eMy je Ta"tJ:Ka A = (a, f(a)) 11: Ta"t!Ka B =
(b, f(b)). (CJI:M:Ka 7.2).
t ' o I ~
~ ; ~ ~ ~ ~
CJIHRa 7.2
. f(b)- f(a) Yo"t!:M:MO cj>yHKD;:M:JY g(x) = f(x)- b _a x Ha :M:HTepBaJiy [a, b]. 0Ha
je O"tJ::M:rJie,n;Ho TaKolje HerrpeK:M:.n;Ha Ha 3aTBopeHoM :M:HTepBaJiy [a, b] 11: .n;l1:cj>e
peH:o;:M:ja6:M:JIHa Ha OTBOpeHoM HHTepBaJiy (a, b). Oc:M:M Tora je g(a) = g(b) = bf(a)- af(b) . --'---.:.._;_----=----'---'-. CTora Ha ocHoBy PoJioBe TeopeMe rrocTOJ:M: l1:3BecHa Ta"tJ:Ka
b-a
~ E (a, b) TaKBa ,n;a je g1 (~) = 0, O,ll;HOCHO j'(~) = j(bi =~(a). 0
.liaJI.e neMO HaBeCT:M: HeKOJI:M:KO Herrocpe.n;H:M:X IIOCJie,ll;:M:Ua JlarpaHa<OBe
TeopeMe.
IIOCJIEllllUA 1. AK:o je tjy'H'K:V,Uja f(x) outjepenv,uja6UA'Ha 'Ha omeo
pe'HOM U'HmepeaAy (a, b) U npumoM je j'(x) = 0 y CBaK:oj ma'l.(,'K:U X E (a, b), maoa
je ona K:oncmanmna ifiynK:v,uja na v,eAoM unmepeaAy (a, b).
JloKa3. IJpeTIIOCTaB:M:MO ,n;a je Xo cp:M:KC:M:paHa Ta"tJ:Ka :M:HTepBaJia (a, b) l1: X E (a, b) (x =/= Xo) je IIpOI1:3BOJIHa Ta"tJ:Ka TOr HHTepBaJia. AKO je X < Xo, Ta,n;a cpyHKD;:M:j a j (X) O"t!:M:r Jie,ll;HO 3a,ll;OBOJI.aBa yCJIOBe J1 arpaHa<OBe TeopeMe Ha
90 AHAJH13A I 3A l1H<I>OPMATI1LIAPE
3aTBOpeHoM HHTepBaJiy [x, xo]. CTora rrocToji::I Ta"t!Ka ~ E (x, x0 ) TaKBa .n:a je
f(x)- f(xo) = !'(~)(x- xo).
KaKo je !'(~) = 0, o,.n:aB,.n:e cJie,.n:I::I .n:a je f(x) = f(x 0 ).
Ha rroTrryHo CJIH"tJ:aH Ha"t!HH ,.n:oKa3yje ce .n:a je f(x) = f(x 0 ) aKo je x > xo. CTora je cpyHKI(Hja f(x) KOHCTaHTHa Ha ueJIOM HHTepBany (a, b). 0
HarroMeHI::IMO .n:a CJIH"t!HO TBp0efue Ba~I::I H 3a rrpoH3Bo~aH HHTepBaJI
o6JII::IKa [a, b], [a, b), (a, b], (a, +oo), [a, +oo), ( -oo, b), ( -oo, b] H ( -oo, +oo) =
R. IlpHTOM ce caMo .n:o,.n:aTHO Ko,.n: HHTepBaJia [a, b] 3aXTeBa HerrpeKI::I,I(HOCT
cpyHKI(Hje f(x) y KpajfuHM Ta"t!KaMa a H b, Ko.n: HHTepBaJia [a, b), [a, +oo)
HerrpeKI::I,.n:HOCT y Kpajfuoj Ta"t!KH a, a KO,.n: I::IHTepBaJia (a, b] H ( -oo, b] HerrpeKI::I,.n:
HOCT y KpajfuOj Ta"t!KH b.
IJpi::IMepa pa,.n:H, cpopMyJIHCaneMO Bapi::IjaHTY OBOr TBp0efua 3a OrpaHI::I
"tJ:eHI::I 3aTBOpeHH l::IHTepBaJI [a, b].
IIOCJIEllHUA 2. Ax:o je tfiyux:v,uja f(x) outfiepeuv,uja6u.;ma ua omeopeuo.M uumepeaAy (a, b) u uenpex:uoua ua 3ameopeuo.M uumepeaAy [a, b], u y ceax:oj ma"{.x;u x E (a, b) eaJICu f'(x) = 0, maoa je oua x:oucmaumua ua v,eAo.M uumep
eaAy [a, b].
IIOCJIEJU1UA 3. Ax:o cy tfiyux:v,uje f(x) u g(x) iJutjepeuv,uja6uA'He ua
omeopeuo.M uumepeaAy (a, b), u npu moM je f'(x) = g'(x) y ceax:oj ma"{.X:U x E
(a, b), maiJa je f(x) = g(x) + C 3a U3Becuy peaA'HY X:O'HCmaumy C.
Jlo:Ka3. lloBOJLHO je yo"t!HTH cpyHKI(Hjy h(x) = f(x)- g(x) H rrpHMeHI::ITH
IlocJie.n:HUY 1 Ha cpyHKU:Hjy h(x). 0
IlOTIIYHO CJII::I"t!HO TBp0efue Ba~I::I l::I 3a IIpOI::I3BOJLHe l::IHTepBaJie 06JII::IKa
[a,b], [a, b), (a,b], (a,+oo), [a,+oo), (-oo,b), (-oo,b]H (-oo,+oo) = R. Ilpi::I
TOM Ce CaMO ,I(O,I(aTHO KO,I( l::IHTepBaJia [a, b] 3aXTeBa HerrpeKH,I(HOCT cpyHKU:Hje
j(x) y Kpajful::IM Ta"tJ:KaMa a H b, KO,I( l::IHTepBaJia [a, b), [a,+oo) HerrpeKI::I,I(HOCT
y KpajfuOj Ta"t!KH a, a KO,I( l::IHTepBaJia (a, b]H ( -OO, b] HerrpeKI::I,I(HOCT y KpajfuOj
Ta"t!Kl::I b.
Ilpi::IMepa pa,.n:H, cpOpMyJIHCaneMO l::I ,I(OKa3aneMO Bapi::IjaHTY OBOr TBp-
0efua 3a 6HJIO KOjH 3aTBOpeHI::I OrpaHI::I"t!eHH l::IHTepBaJI 06JII::IKa [a, b].
IIOCJIEJIHUA 4. Ax:o cy tjyu11:v,uje f(x) u g(x) outfiepeuv,uja6uAne ua
omeopeuo.M uumepeaAy (a, b) u uenpe11:uoue ua 3ameopeuo.M uumepeaAy [a, b], u
AHAJIM3A I 3A MH<I>OPMATMl.{APE 91
npumo.M je f'(x) = g'(x) y ceax;oj ma"t'K:U X E (a, b), maoa je f(x) = g(x) + C 3a
U3BecHy pea.JtHY 'K:OHcmanmy C.
,llmcro. liOBOJbHO je YOl.IHTH <f>yHKII.Hjy h(x) = j(x)- g(x) H 1IpHM€HHTH
llocJie,n:nny 2 Ha <f>YHKII.Hjy h(x). D
2. JlOIIHTaJIOBO IIpaBHJIO
JlOIIHTaJIOBO rrpaBHJIO CJIYiKH 3a O,n:pel)HBa:H>e rpaHHl.IHHX Bp€,ll;HOCTH
lim f(x) x~xo g(x)
THIIa 0/0 HJIH oojoo, IIO,ll; rrpeTIIOCTaBKOM ,n:a je <f>yHKII.Hja g(x) =/= 0 y H€KOj
)l;OBOJLHO MaJIOj OKOJIHHH Tal.IKe Xo. C 063HpOM ,n:a ce OHO l.leCTO KOpHCTH H
3a rpaHHl.IH€ Tal.IKe HHT€pBaJia ,n:e<f>HHHCaHOCTH IIOCMaTpaHHX <f>yHKII.Hja, OH,ll;a
Ce OHO 06Hl.IHO <f>OpMyJIHIII€ y CMHCJIY je,n:HOCTpaHe rpaHHl.IH€ Bpe,n:HOCTH.
TEOPEMA 4. IIpemnocmaBU.MO oa cy ¢ynx;v,uje f(x) u g(x) Henpe'K:UO'He
'Ha U'HmepBa.Jty [xo, Xo + 6) (6 > 0), Ou¢epe'HV,Uja6U.Jt'He y U'Hmepea.Jty (xo, Xo + 6), u npumo.M je g'(x) =I= 0 3a ceax;o x E (xo, xo + 6) u f(xo) = g(xo) = 0.
Ax;o npumo.M nocmoju x;ona"tna zpaHu"tna epeOHocm lim (f'(x)jg'(x)), x~xa+O
maoa nocmoju u zpa'HU"t'Ha epeonocm lim (f(x)jg(x)) u BaJICU jeOHa'K:ocm x-txa+O
(3) lim f(x) = lim f'(x) x-txa+O g(x) x-txa+O g'(x)
HarroMeHHMO ,n:a JiorrnTaJioBo rrpaBHJIO rro,n: CJIHl.IHHM rrpeTIIOCTaBKaMa
BaiKH H 3a IIpOH3BOJbHY JieBy OKOJIHHY (xo- 6, Xo] Tal.IK€ Xo, a HCTO TaKO H
IIO)l; IIpeTIIOCTaBKOM ,n:a je rpaHHl.IHa Bp€,ll;HOCT
je.n;HaKa +oo, -oo HJIH caMo oo.
l. !' (x) lm -
X~Xo g' (x)
0Ha IIO)l; CJIHl.IHHM rrpeTIIOCTaBKaMa TaKol)e BaiKH H aKO Je Tal.IKa Xo je,n:Ha o,n: Tal.laKa +oo, -oo H oo.
0CHM TOra, yMeCTO YCJIOBa j(xo) = g(xo) = 0, OHa TaKol)e BaiKH H aKO
je limx-txo f(x) = limx~xo g(x) = 00.
IlpHM€pH. 1. fipHMeHOM JlOIIHTaJIOBOr rrpaBHJia IIOHOBO neMO ,ll;OKa3a
TH .n:a Je
l. smx lm -- = 1.
x-tO X
92 AHAJIM3A I 3A MH<I>OPMATMqAPE
3aMCTa, cpyHKD;Mje j(x) = sinx 11: g(x) = X cy HerrpeKM,li;He y OKOJIMHM
D = [-6, 6] Tal.IKe 0 (6 > 0), ,nM<f>epeHn;Mja6MJIHe y Toj OKOJIMHM, Baam g'(x) = 1
3a CBaKO X, j(O) = g(O) = 0 M IIOCTOjM rpaHMl.IHa Bpe,nHOCT
lim f' ( x) = lim cos x = lim cos x = cos 0 = 1. x-+0 g1 (X) x-+0 x' x-+0 1
CTora je Ha ocHoBy JlorrMTaJIOBor rrpaBMJia
l. sin x lm -- = 1.
x-+0 X
2. IlpMMeHOM JIOIIMTaJIOBOr rrpaBMJia IIOHOBO neMO ,l{OKa3aTM ,na je
lim ln(1 +x) = 1. x-+0 X
3aMCTa, KaKO cpyHKD;Mje j(x) = ln (1 + x) 11: g(x) = X 3a,nOBOJLaBajy
ycJioBe JlorrMTaJioBor rrpaBMJia y Tal.IKM x 0 = 0, .n;o6MjaMo ,na je
lim ln (1 + x) =lim l!x =lim _1_ = 1. x-+0 X x-+0 1 x-+0 1 + X
0
HarroMeHMMO ,na~e ,na ce OCMM rrpeTxo.n;Ho HaBe,neHor JlorrMTaJIOBOr
rrpaBMJia .n;ocTa l.IecTo KOpHCTM 11: onwme Jlonuma.~toeo npaeu.Jto Koje ce <f>op
MYJIMme Ha cJie,nenM Hal.IMH.
TEOPEMA 5. Jlpemnocmaeu.Mo iJa cy rfiynr.v,uje f(x), g(x) n-nyma nenper.uiJno iJu¢epenv,uja6u.~tne na unmepea.Jty (x0 , x0 + 6), 3amuM iJa je
lim f(x) = · · · = lim f(n-l)(x) = 0, x-+xo+O x-+xo+O
lim g(x) = · · · = lim g(n-l)(x) = 0, x-+xo+O x-+xo+O
nocmoje zpanu"l.ne epeiJnocmu
lim f ( n) (X) , lim g ( n) ( x) , x-+xo+O x-+xo+O
u npumo.M je limx-+xo+O g(n) (x) f. 0. TaiJa aa::xcu jeiJnar.ocm
(4) lim f(x) = · · · = lim j(n)(x). x-+xo+O g(x) x-+xo+O g(n)(x)
AHAJU13A I 3A HH<I>OPMATllYAPE 93
IlpHMep. Ha ocHoBy orrmTer JiorrMTaJioBor rrpaBMJia M3pa"t.IyHaneMo
rpaHM"t.IHY Bpe,n;HOCT
l. sin x - x - x3 /6 lffi 3 .
:z:-+0 X
KaKo <jlyHK:o;Mje f(x) = sinx- x- x3 /6, g(x) = x 3 3a n = 3 3a,n;oBOJLaBajy
ycJioBe TeopeMe 5, 11 OCMM Tor a BaJim
f(O) = 0, f'(x) = cosx -1- x2 /2, j'(O) = 0,
f"(x) =- sinx- x, J"(O) = 0,
j"'(x) =- cosx- 1, f"'(O) = -2,
g(O) = 0, g'(x) = 3x2, g'(O) = 0,
g"(x) = 6x, g"(O) = 0, g"'(x) = 6 i 0,
Herrocpe,n;Ho HaJia3MMO ,n;a J e
. sinx- x- x3 /6 _ lim f"'(x) = -2/6 = -1/3. 0
hm 3 - -+0 g"' (x) x-+0 X x
3. TejnopoBa «j>opMyna
flajrrpe neMO HaB8CTM je,n;HO IIOMOnHO TBp})eibe KOje Ce O,LI;HOCM Ha IIpOM-
3BOJLaH IIOJIMHOM 06JIMKa
(5) T(x) = ao + a1x + · · · + anxn.
IlpMTOM Tpe5a HaiiOM8HYTM ,n;a, 3a pa3JIMKY O,l( ycTaJLeHe IIp8TIIOCTaBK8
,n;a je HajcTapMjM "t.JJiaH an i 0, OB,n;e ,n;o3BOJLaBaMo 11 ,n;a je an = 0, ,n;aKJie
KOe<jlM:o;Mj8HTli ao, a1, ... , an cy IIOTIIYHO IIp0113BOJLHli peaJIHli 5pojeBM. IlpeMa
TOMe, CT8II8H IIOJIMHOMa (5) je je,n;aH O,l( 5pojeBa 0, 1, 2, ... , n.
JleMa 1. Ana je xo npoUJBO./ba'H ¢uncupanu pea.1wn 6poj, maiJa ce ceanu nOJI,U'HOM o6.11,una (5) MO:J~Ce nanucamu y o6.11,uny
n T(i) (xo) · (6) T(x) = bo + b1(x- xo) + · · · + bn(x- xot = L .
1 (x- xo)l
1,. i=O
Bpojeeu bo, b1, ... , bn cy jeiJnoJ'Ha"{'HO oiJpe!jenu nOJI,U'HOMOM T(x), u npu . T(i)(xo)
moM Ja ceano t = 0, 1, ... , n ea:J~Cu bi = .1
• 1,,
IIoJI,U'HOM T(x) je cmenena n ana u caMo ana je bn i 0.
94 AHAJil13A I 3A l1H<I>OPMATl1'Y:APE
roplba cpopMyJia ,Il;OKa3aHa 3a CJiy-qaj IIOJIHHOMa MOJKe ,n:a IIOCJIY>KH 3a
arrpOKCHMHpaibe cpyHKIJ;Hje j(x) y OKOJIHHH Ta"tiKe Xo HeKHM IIOJIHHOMOM cpHK
CHpaHOr CTeiieHa n.
II peTrrOCTaBHMO ,n:a j e ¢YHK:o;Hj a f ( x) n rryTa ,n:H<flepeH:o;Hj a6HJIHa Ha HH
TepBany D =(a, b), H Ta"tiKa xo E (a, b). Ta,n:a ce IIOJIHHOM
~ f(k)(xo) k Tn(x, xo) = L......t u (x- xo) =
k=O
f'(xo) f(n)(xo) n = f(xo) + (x- xo) + .. · + (x- xo)
1! n!
Ha3HBa Tej.~~,opoeuM no.fi,U'HOMOM pe,n:a n <fJYHK:o;Hje f(x) y OKOJIHHH Ta"tiKe x0.
l13pa3
Rn(x) = f(x)- Tn(x,xo) =
f'(xo) f(n)(xo) n = f(x)- f(xo)- (x- xo)- · · ·- (x- xo)
1! n!
Ha3HBa ce ocmamx:oM pe,n:a n. KaKo O"tfHrJie,n:Ho
Rn(x) ---7 0 (x---+ xo),
OCTaTaK rrpe,n:cTaBJba 6eCKOHa"4:HO MaJiy BeJIH"tfHHY Ka,n:a X ---7 Xo. Y cne,n:etioj TeopeMH rrpHKa3yje ce ocTaTaK Rn(x) y JiarpaHJKOBOM o6-
JIHKy.
TEOPEMA 6. IlpemnocmaBUMO oa je rfiynx:v,uja f(x) n + 1 nyma ourfie
penv,uja6U.fl,'/-ta na unmepea.11,y D = (a, b). Taoa 3a npou3BOJb'He ma'l{.x:e x 0, xED
nocmoju nex:o ~ U3Mefjy ma'l{.ax;a x u x 0 max:o oa eaJK:u
(7) j(n+l) (~)
Rn(x) = f(x)- Tn(x, xo) = 1 )I (x- xot+1.
n+ 1.
IlpHMeTHMO ,n:a Ce <flopMyJia (7) MO>Ke HaiiHCaTH y 06JIHKy:
R ( ) _ f(n+l)(xo + (}(x- Xo)) ( _ )n+l
n X - ( )I X Xo , n+ 1.
3a HeKo (} E (0, 1). OcTaTaK Rn(x) y <flopMyJIH (7) Ha3HBa ce HHa"tfe ocmamx:oM
y Jlazpa'H.JK:OBOM 06./I,U'/\:y.
Y Hape,n:Hoj TeopeMH ce ocTaTaK Rn(x) rrpHKa3yje y T3B. IIeanoeoM
o6.~~,ux;y.
AHAJII13A I 3A MH<I?OPMATM"Y:APE 95
TEOPEMA 7. A1Co je ¢Y'H'ICU,Uja f(x) n nyma ou¢epe'Hu,uja6u.;ma 'Ha U'H
mepBaJty D = (a, b)' mao a 3a npOU380.!b'HY ma"{'ICY Xo E D BaJICU
(8)
mJ.
Rn(x) = o((x- xot) (x ---t xo),
lim Rn(x) = 0. x-+xo (x- xo)n
HarroMeHHMO .n;a ce 3a xo = 0 cpopMy Jia ( 8) Tj. cpopMy Jia
f" (0) f(n) (0) f(x) = f(O) + f'(O) x + -
2- x 2 + · · · + ... xn + Rn(x)
Ha3HBa Ma'ICJtope'HOBOM ¢op.MyJto.M. IIpHTOM je
3a HeKo () E (0, 1).
j(n+l)(()x) xn+I Rn(x) = (n + 1)!
IlpHMepH. 1. AKo je cpyHKD;Hja f(x) =ex (x E R), Ta.n;a je 3a rrpoH3BO
JLaH rrpHpo.n;HH 6poj n HCIIylheHo f'(x) = f"(x) = ·· · = f(n)(x) =ex, rra
cpOpMyJia (8) HMa 06JIHK:
x2 xn ex = 1 + x + - + .. · + - + R (x).
21 I n . n.
2. AKo je f(x) = sinx (x E R), Ta.n;a cpopMyJia (8) rrorrpHMa o6JIHK
x3 x5 x2n-1 sinx = x-- +- + .. · + (-1)n-l + R2 (x).
3! 5! (2n-1)! n
3. AKo je f(x) = cosx (x E R), Ta.n;a je
x2 x4 x2n cosx = 1--+- + .. · + (-l)n __ + R2 +I(x).
2! 4! (2n)! n
4. AKo je f(x) = ln (1 + x) ( -1 < x < 1), cpopMyJia (8) rrorrpHMa o6JIHK
x2 x3 xn ln (1 + x) = x- 2 + 3- .. · + ( -1t-1
--;- + Rn(x).
96 AHAJII13A I 3A l1H<I>OPMATI1l.IAPE
5. AKo je j(x) = (1 + x)a (-1 < x < 1), <f>opMyJia (8) rrorrpHMa o6JIHK
(1 + x)a = 1 + (7)x + (~)x2 + · · · + (~)xn + Rn(x),
rrpH "tJeMy j e
(~) a(a- 1) ···(a- k + 1) k!
(k E N 0 ). D
4. J1HTepBaJIH MOHOTOHOCTH <f>yu~Hje
3a O~pe~HBaffie IIOHamaffia <f>YHK~Hje y IIOCMaTpaHOM HHTepBaJiy 0~
CYlliTHHCKOr 3Ha"tJaja je O~pe~HBaffie IIO~HHTepaaJia y KOjHMa OHa paCT8 HJIH
orra~a, o~HOCHO CTporo pacTe HJIH CTporo orra~a. OaH rro~HHTepaaJIH Ha3H
aajy Ce HHT8pBaJIHMa MOHOTOHOCTH <f>YHK~Hje.
CJie~ene TBp~effie O~HOCH ce Ha O~pe~HBaffie HHTepBaJia MOHOTOHOCTH
~<f>epeH~Hj a6HJIHe <f>yHK~Hj e.
CTAB 1. Hex:a je ffiynx:v,uja f(x) nenpex:uiJna na 3ameopenoM unmepea.~ty [a, b] u iJu¢epenv,uja6u.~tna na omeopenoM unmepea.~ty (a, b). TaiJa je na
unmepea.~ty [a, b] ffiynx:v,uja f(x): (1°) - pacmyna ax:o u ca.Mo ax:o je f'(x) ~ 0 (a< x <b);
(2°) - onaiJajyna ax:o u ca.Mo ax:o je f'(x) ~ 0 (a< x < b);
(3°) - cmpozo pacmyna ax:o je f'(x) > 0 (a< x <b); (4°) - cmpozo onaiJajyna ax:o je f'(x) < 0 (a< x <b).
IIpHMeTHMO ~a ce rrpeTxo~HH CTaa MOJKe rrpHMeHHTH caMo Ha ~H<f>e
peH~Hja6HJIHe <f>yHK~Hje Ha HHTepaaJiy (a, b). AKo rrocMaTpaHa <f>yHK~Hja
HHje ~H<f>epeH~Hja6HJIHa, Ta~a ffi8H8 HHT8pBaJie MOHOTOHOCTH O~pe~yjeMO
~peKTHHM KOpHmneffieM YCJIOBa MOHOTOHOCTH, ~aKJI8 yrrope~HBaffieM Bp8k
HOCTH j(x1 ) H j(x2 ) 3a IIpOH3BOJbH8 Ta't.JK8 x 1 < X 2 H3 HHTepBaJia y KOMe je
~e<f>HHHCaHa <f>yHK~Hja j(x).
IlpHMep. Yo'IHMO <f>YHK~Hjy f(x) = x2 - 4x. Ta~a je f'(x) = 2x- 4 < 0 aKo H caMo aKo je x < 2 H f'(x) > 0 aKo H caMo aKo je x > 2. CTora
je Ha HHTepaaJiy ( -oo, 2) rrocMaTpaHa <f>YHK~Hja CTporo orra~ajyna, a Ha
HHTepaaJiy (2, +oo) CTporo pacTyna. 0
HarroMeHHMO jom ~a <f>YHK~Hja f(x) MOJKe 6HTH cTporo pacTyna Ha
H8KOM HHTepBaJiy a ~a je IIpHTOM y H8KOj ffi8HOj Ta't.JKH HCIIYffi8HO j'(x) = 0.
AHAJIM3A I 3A MH<POPMATMYAPE 97
Ha rrpuMep, !f>YHKD;I·rja f(x) = x3 je cTporo pacTyna Ha R, aJIH je f'(O) = 0.
36or TOra y rrpeTXO,LI;HOM CTaBy TBpl)elba liO,ll; (3°) ll ( 4°) BaJKe CaMO y je,n;HOM
CMepy, a He ll y CMHCJIY "aKO ll CaMO aKO".
~J r ~~~ h.IJA . t('( d
I
J( it ) ,l .1~ I J 1 'I ; I . r ,,
> --·~ ----- I .. -! - ~ x2- · ~ ',t: 0: a. ~ X-z,. b x 0
I
I I
CJIH:Ka 7.3
5. ERcTpeMae Bpe,n;u:ocTH <f>yaro:~uje
Kao mTo CMO BH,n;eJIH y TatrKH 1, aKo je !f>yHKIJ;Hja f(x) ,n;u!f>epeHIJ;Hja-
6uJIHa Ha llHT€pBaJiy (a, b), OH,n;a lb€H€ TatrKe JIOKaJIHllX eKCTpeMyMa TpaJKHMO
Mel)y CTaiJ;HOHapHHM TatrKaMa Te lf>yHKIJ;Hje, KOje cy OliHCaHe YCJIOBOM f'(x) = 0.
CJie,n;eliu cTaB ,n;aje ,n;oBOJbHe ycJiose 3a rrocTojaiLe JIOKaJIHOr eKcTpeMy-
Ma.
CTAB 2. IlpemnocmaeuMo iJa je ¢ynr;;v,uja f(x) iJu¢epenv,uja6u,//,na y unmepea,//,y (a, b) u ma"'.r;;a x0 E (a, b). Ar;;o je npumoM y ner;;oj or;;o,//,U'HU me ma"'.r;;e ucny'Rleno:
(1°) f'(x)::::; 0 (x < xo) u f'(x) 2': 0 (x > xo), maiJa je xo ma"'.r;;a ,//,Or;;a,//,'/-£02 MunuMyMa ¢ynr;;v,uje f(x).
Ar;;o je nar;; y ner;;oj or;;o,//,unu me ma"'.r;;e ucny'Rleno:
(2°) f'(x) 2': 0 (x < xo) u f'(x) ::::; 0 (x > xo), maiJa je xo ma"'.r;;a ,//,Or;;a,//,'/-£02 Mar;;cuMyMa ¢ynr;;v,uje f(x).
3a yCJIOB (1 °) 06HtrHO ce KaJKe ,n;a "lf>yHKIJ;Hj a f' (X) rrp:H: rrpOJiaCKY Kp03
TatrKy Xo Melha 3HaK O,LI; MHHYC Ka ITJiyc", a 3a YCJIOB (2°) ,n;a "lf>yHKIJ;Hja f'(x) lipll rrpOJiaCKY Kp03 TY TatrKy Me:a,a 3HaK 0,11; liJiyC Ka MHHyc".
liaKJie, aKO lf>yHKIJ;Hja f'(x) lipll rrpOJiaCKY Kp03 TatrKy Xo Melha 3HaK,
OH,n;a lf>yHKIJ;Hja f(x) HMa JIOKaJIHll €KCTpeMyM y TatiKll Xo.
98 AHAJB13A I 3A MH<I>OPMATMl.IAPE
CJI11"t!HO ce Mo:>Ke ,n:oKa3aT11 ,n:a aKo 113BO,n:Ha <f>YHKIJ;11j a f' ( x) rrp11 rrpo
nacKy Kp03 Ta"tiKY xo ue .Me1ba Jua-x:, OH,n:a <f>YHKIJ;11ja f(x) y Ta"t!K11 x0 HeMa
JIOKaJIH11 eKCTpeMyM.
OB,n:e Tpe6a Harnac11T11 ,n:a cy ycJIOB11 f'(x) ::; 0 11 f'(x) ~ 0 y HeKoj . .
JieBOJ 11JI11 ,n:eCHOJ OKOJI11H11 Ta"t!Ke XQ BeOMa pecTp11KT11BH11, 11 ,n:a y OIIliiTeM
cny-qajy He Mopajy ,n:a Ba:>Ke.
it(
VJ= ~Cx) '~ f h ...... ; .r
0
OmiRa 7.4
llpHMep. 1. 3a <f>yHKIJ;11jy f(x) = x2 + 2x 11MaMo ,n:a je f'(x) = 2x + 2 = 2(x+1), rra je Ta"t!Ka x 0 = -1 je,n:11Ha CTau;11oHapHa Ta"t!Ka oBe <f>yHKIJ;11je. KaKo
je rrp11TOM f'(x) < 0 3a x < -1 11 f'(x) > 0 3a x > -1, cne,n:11 ,n:a je x0 = -1 Ta"t!Ka JIOKaJIHOI' M11H11MyMa OBe <f>yHKI(11je.
Cne,n:erm cTaB ,n:aj e HeiiiTO .npyra-q11j e ycnoBe 3a rrocToj aH>e JIOKaJIHOr
eKCTpeMyMa y CTai(110HapHOj Ta"t!K11 <f>yHKI(11je.
CTAB 3. IIpemnocmaBU.MO oa je rfiyu-x:v,uja f(x) n nyma ourfiepeuv,uja-
6u.tma ua uumepea.~ty (a, b), ma"t-x:a Xo E (a, b) u a a xu:
(9) !' (xo) = · · · = f(n-l) (xo) = 0, A= j(n) (xo) # 0.
Taoa je Ja napuo n u
(a) A > 0, x0 ma"t-x:a cmpozoz .~to-x:a.~tuoz .MU'HU.MyMa;
(6) A< 0, xo ma"t-x:a cmpozoz .~to-x:a.~tuoz .Ma-x:cu.My.Ma.
3a uenapuo n, rfiyu-x:v,uja f(x) ue.Ma .JI,O'X:a.~tuu e-x:cmpe.My.M y ma"t-x:u Xo.
HarroMeH11MO ,n:a je y CTaBy 3 rroce6Ho je.n;HOCTaBaH cny-qaj Ka.n;a je
n = 2, ,n:aKne f'(xo) = 0 11 A = f"(xo) # 0. Ta.na je 3a f"(xo) < 0, xo
AHAJII13A I 3A I1H<I>OPMATI1"4APE 99
Ta'!Ka JIOKaJIHOr MaKCHMyMa <f>yHKD;Hje j(x), a 3a j"(xo) > 0, Ta"t.J:Ka JIOKaJIHOr
MHHHMyMa OBe <f>yHKD;Hje.
OcHM Tora HarroMeHHMO ,n;a <f>yHKD;Hja MOJKe 6HTH H 6ecKoHa"t.J:HO ,n;H<f>e
peHn;Hja6HnHa Ha HHTepsany (a, b), a ,n;a cy IIpHTOM y HeKOj lb8HOj Ta'!KH
JIOKaJIHor eKcTpeMyMa x0 E (a, b) CBH lb8HH H3BO,n;H je,n;HaKH HYJIH. HarrpHMep,
aKO J8
{
1/x2 ....t. 0 f(x) = e- ' x'
0, X= 0
Ta,n;a je O'!HrJie,IJ;HO XQ = 0 Ta'!Ka aiiCOJIYTHOr MHHHMyMa <f>yHKD;Hje j(x), aJIH
ce MOIKe ,IJ;OKa3aTH ,n;a je <f>YHKD;Hja j(x) 6eCKOHa'IHO ,n;H<f>epeHD;Hja6HJIHa Ha
neJioj peanHoj rrpasoj R, H ,n;a cy rrpHTOM CBH lbeHH H3BO,n;H y Ta"t.J:KH 0 je,n;HaKH
HYJIH.
CTora CTas 3 ca,n;piKH caMo o,n;pe ljeHe OOBO.!b'He ycJtoee rro,n; KOjHMa
<f>yHKD;Hja j(x) HMa (o,n;HOCHO HeMa) 8KCTpeMyM y IIOCMaTpaHOj Ta'IKH.
llpHMep. 3a <f>yHKD;Hjy y = x4 - 5 HManeMO ,n;a je y' = 4x3 = 0 aKO H
caMo aKo je x = 0. CTora je Ta'!Ka x = 0 je,n;HHa cTan;HoHapHa Ta"t.J:Ka ose
<f>yHKn;Hje. KaKo je ,n;aJLe y" = 12x2, yC3) = 24x, yC4) = 24, HManeMo ,n;a je
y" (0) = 0, y(J) (0) = 0, yC4) (0) = 24 > 0,
rra je X= 0 Ta'!Ka JIOKaJIHOr MHHHMyMa IIOCMaTpaHe <f>yHKD;Hje. 0
6. KoaBe:KcaocT :u: ROH:KaBHOCT q,ya~Hje
<l>yHKD;Hja j(x) Ha3HBa Ce 1W'H8e'X:C'HOM Ha HHTepsany (a, b) aKO 3a IIpOH3-
BOJLH8 Ta"t.J:Ke x 1, X2 E (a, b) (xl < x 2) H IIpOH3BOJLaH rrapaMeTap t E (0, 1) BaJKH
Hej e,n;HaKOCT
(10) j(tx1 + (1- t)x2) :::; tj(x1) + (1- t)j(x2).
Je,n;aH O,IJ; OCHOBHHX IIpHMepa KOHB8KCHe <flyHKD;Hje 6HJia 6H IIpOH3BOJLHa
JIHHeapHa <f>YHKD;Hja, Tj. 6HJIO KOja <f>YHKD;Hja o6JIHKa j(x) = ax+b, IIpH "t.J:8MY
cy a H b IIpOH3BOJLHe peaJIHe KOHCTaHT8.
<l>yHKD;Hja j(x) Ha3HBa Ce cmp020 'X:O'HBe'X:C'HOM Ha HHT8pBaJiy (a, b) aKO
IIO,IJ; CJIH"t.J:HHM rrpeTIIOCTaBKaMa y Heje,n;HaKOCTH (10) BaiKH 3HaK CTpOre Heje,n;
HaKOCTH.
Je,n;aH O,n; OCHOBHHX rrpHMepa CTpOrO KOHB8KCHe <f>yHKD;Hje 6HJia 6H <f>yHK
D;Hja f(x) = x2 (x E R).
"!
100 AHAJU13A I 3A I1H<l>OPMATI11.IAPE
.IlaJbe HaiiOMeHHMO ,.ua ce cpyHKUHja j(x) Ha3HBa 'K:O'H'IWB'HOM Ha HHTep
BaJiy (a, b) aKO 3a IIpOH3BOJbHe Ta"t.J:Ke Xb X2 E (a, b) (x1 < X2) H rrpOH3BOJbHO
t E (0, 1) BaJim Heje,UHaKOCT
(11) j(tx1 + (1- t)x2) 2: tj(x1) + (1- t)j(x2).
Je,.uaH O,.U OCHOBHHX IIpHMepa KOHKaBHe cpyHKUHje 6HJia 6H IIpOH3BOJbHa
JIHHeapHa cpyHKUHja, Tj. cpyHKUHja o6JIHKa j(x) =ax+ b, IIpH "t.IeMy cy aM b IIpOH3BOJbHe peaJIHe KOHCTaHTe.
<l>yHKUHja j(x) Ha3HBa Ce cmp020 'K:O'H'K:aB'HOM aKO IIO,.U CJIH"t.J:HHM rrpeT
IIOCTaBKaMa y Heje,.uHaKOCTH (11) Ba/KH 3HaK CTpOre Heje,n;HaKOCTH.
Je,.uaH O,.U OCHOBHHX IIpHMepa CTporo KOHKaBHe cpyHKUHje 6HJia 6H cpyHK
UHja f(x) = -x2 (x E R). Mo>Ke Ce Herrocpe,.UHO BH,.UeTH ,.ua je cpyHKUHja j(x) KOHBeKCHa Ha HHTep
BaJiy (a, b) aKO H CaMO aKO je cpyHKUHja- j(x) KOHKaBHa Ha HCTOM HHTepBaJiy.
CJIH"t.IHO je cpyHKUHja j(x) CTporo KOHBeKCHa Ha HHTepBaJiy (a, b) aKO H CaMO
aKO je cpyHKUHja - j(x) CTpOrO KOHKaBHa Ha HCTOM HHTepBaJiy.
AKo je f(x) rrpOH3BOJLHa ¢YHKunja ,.ue¢nHncaHa Ha HHTepBany (a, b) H
X1 < x2 Ta"t.J:Ke H3 OBor HHTepBana, yo"t.IHMO Ta"t.J:Ke E(xb f(xl)), F(x2, j(x2)), G(x, f(x)) Ha rpaqmKy oBe ¢YHKUHje, rrpH "t.IeMy je x = tx1 + (1- t)x2 (0 < t < 1), H Ta"t.IKY H(x, y) Ha rrpeceKy ce-qnue EF H rrpaBe x = tx1 + (1- t)x2.
Ta,.ua yCJIOB KOHBeKCHOCTH cpyHKUHje j(x) Ha HHTepBaJiy (a, b) 3Ha"t.IH ,.ua
ce 3a x = tx1 + (1 - t)x2 (0 < t < 1) Ta"t.J:Ka H(x, y) Ha ce"t.J:HUH EF HaJia3H
H3Ha,.u TatiKe G, MJIM ce eBeHTyanHo rroKnarra ca !hOM (CnHKa 7.5).
CJIH"t.IHO, ycnoB KOHKaBHOCTH ¢YHKUHje f(x) Ha HHTepBany (a, b) 3Ha"t.IH
,.ua ce 3a x = tx1 + (1- t)x2 (0 < t < 1) Ta"t.J:Ka H(x, y) Ha ce"t.IHUH EF HaJia3H
Hcrro,.u Ta"t.J:Ke G, HJIH ce eBeHTyanHo rroKnarra ca H>OM (CnHKa 7.6).
G- f:"
~I 'D '•t
13 A
A
0 Gt ~ X ~{:, ~ Ol 0.. ~ '::£- :XQ. it .·x
Cmn~e 7.5 H 7.6
AHAJI113A I 3A MHq>OPMATvP-IAPE 101
CTAB 4. IlpemnocmaBUMO oa je f(x) ourfiepeH:u,uja6UA'Ha rfiy'H'Iw,uja y U'H
mepBaAy (a,b). Taoa je o1-ta 'IW'HBe-x:c'Ha y uNmepeaAy (a,b) a-x:o u caMo a-x:o
je rfiyN-x:v,uja f' (x) pacmyfia 1-ta nocMampa'HOM U'l-tmepeaAy, u 'K:O'H'K:aB'I-ta 1-ta U'H
mepeaAy (a, b) a-x:o u caMo a-x:o je rfiyN-x:v,uja f'(x) onaoajyfia 1-ta nocMampa1-toM
U'HmepeaAy.
Cmf'IHO TBpl)eH>e Baif\li 11 3a CTpOrO KOHBeKCHe 11 CTpOrO KOHKaBHe <f>yHK-
I(11Je.
CTAB 5. IIpemnocmaBUMO oa je f(x) ourfiepe1-tv,uja6UA1-ta rfiy'H'K:V,Uja y
uNmepeaAy (a, b). TaiJa je o1-ta cmpozo 'K:01-tee-x:c1-ta y u'l-tmepeaAy (a, b) a-x:o u
caMo a-x:o je rfiyN-x:v,uja f'(x) cmpozo pacmyfia 1-ta nocMampa1-toM U'HmepeaAy, u
cmpozo -x:o1-t-x:ae1-ta 1-ta u'l-tmepeaAy (a, b) a-x:o u caMo a-x:o je rfiyN-x:v,uja f'(x) cmpozo
onaoajyfia 1-ta nOCMampa'HOM U'HmepBaAy.
CJie,IJ;ena ,IJ;Ba CTaBa rrpe,IJ;cTaBJLajy HajnaJKHI1je cTanone KOjl1 ce o,IJ;Hoce
Ha KOHBeKCHOCT 11 KOHKaBHOCT <f>yHKI(11ja.
CTAB 6. A'/\:0 je rfiy'H'/\:V,Uja f(x) oeanym ourfiepe1-tv,uja6UA'Ha 1-ta U'HmepeaAy
(a, b), mao a je 01-ta '1\:01-tBe'K:C'Ha 1-ta mOM U'HmepeaAy a'/\:0 U CaMO a'/\:0 3a CBa'/\:0
x E (a, b) BaJICu f"(x) :::: 0, u '1\:0'H'/\:aB'I-ta 1-ta moM uNmepeaAy a-x:o u caMo a-x:o 3a
cea-x:o x E (a, b) eaJICu f"(x) ~ 0.
CTAB 7. A-x:o je rPY1-t'K:V,Uja f(x) oeanym ourfiepe1-tv,uja6UA1-ta 1-ta U'HmepBaAy
(a, b), mao a je 01-ta cmpozo '1\:0'HBe'/\:c'Ha 1-ta moM uNmepeaAy a'/\:o 3a cea-x:o x E (a, b)
eaJICU f"(x) > 0, u cmpozo 'K:O'H'/\:aB'Ha 1-ta moM u'l-tmepeaAy a'/\:o 3a cea'/\:o x E (a, b)
eaJICu f"(x) < 0.
Ha ocHony CTana 6 ce 3a ,IJ;BarryT ,IJ;11<f>epeHI(I1ja611JIHe <f>yHKI(11je o,IJ;pe-
1)11naH>e 11HTepBaJia KOHBeKCHOCTI1 11 11HTepBaJia KOHKaBHOCTI1 <f>yHKI(I1je CBO)J;I:i
Ha O,Il;pe1ji1BaH>e 11HTepBaJia y KOji1Ma je pecrreKTI1BHO 11CIIyH>eHO j 11 (x) :::: 0
O,IJ;HOCHO j"(x) ~ 0.
CJie,IJ;enl1 CTaB y IIOTIIYHOCTI1 B113Y€JIHO OIII1Cyje yCJIOBe KOHB€KCHOCTI1
11 KOHKaBHOCTI1 ,IJ;11<f>epeHI(11ja611JIHe <f>yHKI(11je.
CTAB 8. IlpemnocmaBUMO oa je ¢Y1-t'/\:V,Uja f(x) ou¢epe1-tV,Uja6uA'Ha 1-ta
u'l-tmepeaAy (a, b). Tao a je o1-ta '1\:0'HBe'/\:c'l-ta 1-ta moM uNmepeaAy a'/\:o u caMo a'/\:o
ma"l.'/\:e 'RJeNoz zpa¢u-x:a 1-tucy ucnoo ma"ia'/\:a '/beNe ma1-t2e1-tme y npou3BO.!b'Hoj ma"i'/\:U
xo E (a,b).
01-ta je 'K:O'H'/\:aB'Ha 1-ta nocMampa'HOM U'HmepeaAy a-x:o u caMo a'/\:o ma"i-x:e
102 AHAJI113A I 3A 11H<I>OPMAT11"Y:APE
'1be'Hoz zpa¢u'K:a Hucy u;m,ao ma'll.a'K:a '1be'He ma'Hze'Hme y npouJBO.Jb'HOj ma'li.'K:u x 0 E
(a, b).
HarroMeHHMO ,n:a CJIH"t.IHO TBp})e:Eue Ba)KH H 3a CTpOrO KOHBeKCHe H 3a
CTpOrO KOHKaBHe <f>yHKD;Hje. ilpHTOM ce KO,LI; CTpOrO KOHBeKCHHX <f>yHKD;Hja
3axTeBa ,n:a j e
f(x)- f(xo)- !'(xo)(x- xo) > 0,
3a CBaKO X E (a, b) (X =/:. XQ), a KO,LI; CTpore KOHKaBHOCTH ,n:a j e
f(x) - f(xo) - !' (xo)(x- xo) < 0
3a CBaKo x E (a, b) (x =/:. xo).
1 g
0 "' h
7 a. -:f._ ~- :X. ~ ':L
CJIH:Ka 7.7
7. IIpeBojae Tat~Re <f>ymm,Hje
IIpeBojHa Ta"t!Ka (rpa<f>HKa) <f>YHKD;Hje y = f(x) je Ta"t!Ka y Kojoj KpHBa
y = j(x) Melba KOHBeKCHOCT, Tj. y HeKOM HHTepBaJiy (Xo- J11 Xo) je CTpOrO
KOHBeKCHa (HJIH CTpOrO KOHKaBHa), a y HeKOM HHTepBaJiy (xo, Xo + J2) je
CTpOrO KOHKaBHa (pecrreKTHBHO CTpOrO KOHBeKCHa).
llpHMep. AKo je f(x) = x3 HManeMo ,n:a je
f"(x) = 6x < 0 (x < 0), H f"(x) > 0 (x > 0),
rra je Ta"t.IKa xo = 0 rrpeBojHa Ta"t!Ka o,n:roBapajyne KpHBe. 0
AKo je xo rrpeBojHa Ta"t.IKa KpHBe y = f(x) H <f>yHKUHja f(x) je KJiace
C2 y HeKoj OKOJIHHH Te Ta"t!Ke, Ta,n:a ce Herrocpe,n:Ho MO)Ke ,n:oKa3aTH ,n:a je
!" (xo) = 0.
AHAJIH3A I 3A HHci>OPMA TH"Y:APE 103
O,n;aB,n;e CJie,[(l1 ,n;a rrpeBOjHe Ta"t.J:Ke <j>yHKil;I1je f(x) KOja je KJiace C2(a, b) o,n;pel)yjeMO 113Mel)y Ta"t:IaKa Te <j>yHKD;I1je y KOji1Ma je ,n;pyr11 113BO,[( je,n;HaK
HY m1. HarroMeH11MO ,n;a 113 f" ( x) = 0 He CJie,n;l1 Heorrxo,n;Ho ,n;a j e Ta"t:IKa x0
rrpeBojHa Ta"tiKa <j>yHK:O:I1je f(x). TaKo je Harrp11Mep CBaKa JII1HeapHa <j>yHK:o;11ja
f(x) = ax+b KJiace C2 (11 KJiace C00) Ha 1:!11TaBoj peaJIHOj rrpaBoj R, 11 IIPI1TOM
je f"(x) = 0 y cBaKoj Ta"t:IKI1 x E R. Mel)yTI1M, MO/Ke ce Herrocpe,n;Ho B11,[(eTI1
,[(a OBa <j>yHKD;I1ja HeMa Hl1 je,n;Hy rrpeBOjHy Ta"t:IKy.
HaBe,n;I1MO jom je,n;aH rrp11Mep oBaKBOr Tl1rra. AKo je f(x) = x4 , Ta,n;a je
f'(x) = 4x3 , f"(x) = 12x2, rra je f"(O) = 0, aJII1 Ta"t:IKa xo = 0 Hl1je rrpeBojHa
Ta"t:IKa OBe <j>yHKD;I1je, jep je j"(x) > 0 3a CBaKO X oj:. 0.
CJie,n;en11 CTaB je Herrocpe,n;aH.
CTAB 9. Her.:a je rfiyHr.:v,uja f(x) r.:Aace C2 (a, b), ma"lr.:a x 0 E (a, b), ea:JICu f"(xo) = 0, u npu npoAacr.:y r.:po3 ma"'.r.:y x0 rfiyHr.:v,uja f"(x) .Me'Tba 3'H.ar.:, mj. Ba:JICU
f"(x) < 0 (x < xo), j"(x) > 0 (x > xo),
UAU
f"(x)>O (x<xo), f"(x)<O (x>xo).
Taoa je xo npeeoj'H.a ma"lr.:a rfiy'Hr.:v,uje f(x).
BEIKBE I13 AHAJII13E I 1
IlorJiaBJLe 1
PEAJIHM BPOJEBM
3AL{A TAK 1. 1Iox:a3amu oa 3a npOU3BO.Ib'He pea.!t'He 6pojeee x, y ea;;,cu
nejeonax:ocm mp oyz.11,a
Jx + yJ ::; JxJ + JyJ.
Oopeoumu nompe6an u ooeo.lban yc./I,OB x:aoa y oeoj nejeonax:ocmu ea;;,cu
3nax: jeonax:ocmu.
Pemelbe. l1ManeMo ,n;a je Jx + yj = e(x + y), rrpH "tJ:eMy je e = 1 3a
x + y 2: 0 H e = -1 3a x + y ::; 0. KaKo je O"tJ:HrJie,n;Ho eX ::; Jxj H ey ::; Jyj, ca6HpaiheM ,n;o6HjaMo ,n;a je
Jx + yJ =eX+ ey ::; JxJ + JyJ.
AKo je je,n;aH o,n; 6pojeBa x, y = 0, Ta.n;a O"t!HrJie,n;Ho BaJKH 3HaK Je,n;
HaKOCTH y IIOCMaTpaHOj Heje,n;HaKOCTH.
AKo cy o6a 6poja x, y > 0, Ta,n;a je H 6poj x + y > 0, rra O"t!HrJie,n;Ho H
Ta,n;a Baam 3HaK je,n;HaKOCTH.
AKo cy o6a 6poja x, y < 0, Ta,n;a je H 6poj x + y < 0, rra TaKolSe H Ta,n;a
BaiKH 3HaK je,n;HaKOCTH.
Haj3a,n; aKo je je,n;aH o,n; 6pojeBa x, y rr03HTHBaH a ,n;pyrH HeraTHBaH, Ha
IIpHMep X > 0 H y < 0, Ta,n;a 3a IIpOH3BOJbHY Bpe,n;HOCT 6poja e = ±1 6ap y
je,n;HOj 0)]; Heje,n;HaKOCTH eX :'S jxj, ey :'S jyJ Ba1Kl1 3HaK CTpOre Heje,n;HaKOCTl1,
rra je
Jx + yJ =ex+ ey < JxJ + JyJ.
2 BE}KBE H3 AHAJIH3E I
CTora 3HaK je,n:HaKOCTH y OBoj Heje,n:HaKOCTH BaiK:u aKo :u caMo aKo je
je,n:aH o,n: 6pojeBa x, y = 0 HJIH cy o6a 6poja x, y :ucTor 3HaKa. 0
3A.UATAK 2. Jlo1w3amu oa 3a npou3BO.!b'He pea.1me 6pojeee a u b ea:J~Cu HejeOHax;ocm
(1) ilal- lbll :::; Ia- bl.
Pemelbe. Hej e,n:HaKoCT ( 1) eKBHBaJieHTHa j e ca ,n:Be Hej e,n:HaKoCTH
-Ia- bl :::; lal- lbl :::; Ia- bl,
TJ. Ca Heje,n:HaKOCTHMa
lal :::; lbl + Ia- bl, lbl :::; lal + Ia- bl.
AKo ,n:oKaiKeMo rrpBy o,n: OBHX HeJe,n:HaKOCTH, Ta,n:a ce ,n:pyra o,n: lhHX
,n:o6:uja Herrocpe,n:HOM 3aMeHOM 6pojeBa a 11: b. Ca,n:a je ,n:OBOJLHO rrp:uMeTHTH
,n:a rrpBa Heje,n:HaKOCT CJie,n::u Herrocpe,n:Ho H3 Heje,n:HaKOCTH TpoyrJia, jep je
lal = lb +a- bl :::; lbl + Ia- bl. 0
AKo cy a :u b rrpoH3BOJLHH peaJIHH 6pojeB:u, Ta,n:a ce 6pojeB:u max{ a, b}
:u min{ a, b} ,n:e<f>HHMIIIY ca
max{ a, b} = { : a?.b a:::; b'
min{ a, b} = {: a:::;b a?_b
3A1IA TAK 3. Jlox;a3amu oa 3a npOU3BO.!b'He pea.!t'He 6pojeee a u b
ea:J~Ce jeoHax;ocmu
max{ a, b} = a+ b + Ia- bl 2 '
min {a, b} = a + b - I a - b 1 2 .
Pemelbe. AKo je a?. b, Ta,n:a je Ia- bl =a- b, rra je
a+ b + Ia- bl _ a+ b +(a- b) =a= max{ a, b}, 2 - 2
a+b-la-bl = a+b-(a-b) =b=min{a,b}.
BEIKBE 113 AHAJ1113E I 3
Cm1"t!aH ,n;oKa3 BaiKM M aKo je a :::; b. D
3Al(ATAK 4. ,llo'K:a3amu iJa Ja npou3BO.Jb'He peaA'He 6pojeee x 1 , ... , Xn eaJ~Cu yonwme'Ha Hejed'Ha'K:ocm mpoyua
(1) [x1 + .. · + Xn[:::; [x1[ + .. · + [xnl·
Pemelbe. l!oKa3 neMO M3BeCTM MH,IJ;yKn;MjOM ITO n.
3a n = 1 OBa Heje,n;HaKOCT je O"tiMrJie,IJ;HO Ta"tiHa. 0CMM TOra, OHa Je
O"t!MrJie,IJ;HO Ta"tiHa M 3a n = 2, KaO illTO CMO BM,IJ;eJIM y rrpeTXO,Il;HOM 3a,n;aTKy.
l!aJbe rrpeTIIOCTaBMMO ,n;a je OHa Ta"tiHa 3a IIpMpO,Il;aH 6poj n M ,IJ;OKaiKMMO
,n;a je oHa Ta..:!Ha M 3a cJie,n;enM rrpMpo,n;aH 6poj n+l. AKo yo"tiMMO rrpoM3BOJbHe
peaJIHe 6pojeBe x 1 , ... , Xn, Xn+1, Ta,n;a je Ha OCHOBY MH,IJ;YKTMBHe rrpeTIIOCTaBKe
rrpMMelheHe Ha 6pojeBe Y1 = x1, ... , Yn-1 = Xn-1, Yn = Xn + Xn+1 McrrylheHo
[x1 + · .. + Xn+11 = IY1 + · · · + Yn[ :::;
:::; [Y1[ + · · · + [Ynl = [x1[ + · · · + [xn-1[ + [xn + Xn+1i·
KaKo je Ha OCHOBY rrpeTxo,n;Hor 3a,n;aTKa
[xn + Xn+1i:::; [xn[ + [xn+1[,
Herrocpe,n;Ho CJie,n;M ,n;a j e
[x1 + · · · + Xn+1[:::; [x1[ + · · · + [xn-1[ + [xn[ + [xn+11·
CTora je Heje,n;HaKOCT ( 1) Ta"tiHa M 3a cJie,n;enM rrpMpo,n;aH 6poj n + 1.
Ha ocHoBy rrpMHn;Mrra MH,n;yKn;Mje, CJie,n;M ,n;a je oBa Heje,n;HaKOCT Ta"tiHa
3a cBe rrpMpo,n;He 6pojeBe n. OcMM Tora, MOiKe ce ,n;oKa3aTM ,n;a je,n;HaKOCT y OBoj Heje,n;HaKOCTM Ba*M
aKO M CaMO aKO cy CBM 6pojeBM Xi KOjM cy pa3JIM"t!HTM 0)]; HyJie MCTOr 3HaKa,
Tj. CBM cy II03MTMBHM HJIM cy CBM HeraTMBHM. 0
3AJIATAK 5. ,llo'K:a3amu iJa Ja npouJeo.Jba'H peaAa'H 6poj x > -1 u
cea'K:o n E N eaJ~Cu mJe. Bep'HyAujeea Hejed'Ha'K:ocm
( 1 + x t 2: 1 + nx.
Pemelbe. 1IoKa3 neMO M3BeCTM rrpMMeHOM MaTeMaTM"tiKe MH)J;yKIJ;Mje.
4 BE>KBE 113 AHAJII13E I
3a n = 1 oBa Heje.n;HaKOCT je oq:rrrJie.n;Ho TaqHa. AKo rrpeTIIOCTaB:rrMo .n:a
je oHa TaqHa 3a rrp:rrpo.n;aH 6poj n, Ta.n;a je
(1 + x)n+l = (1 + xt (1 + x) ~ (1 + nx)(1 + x) =
= 1 + (n + 1)x + nx2 ~ 1 + (n + 1)x,
.n;aKJie oHa je TaqHa :rr 3a cJie.n;en:rr rrp:rrpo.n;aH 6poj n + 1. CTora Ha ocHoBy
rrp:rrmJ;:rrrra :rrH.n:yKo;:rrj e, oHa Ba)K:rr 3a cBe rrp:rrpo.n;He 6poj eBe n. 0
3A,.UA TAK 6*. Jlo'K:a3amu aa 3a npOU380.!b'He pea.tme 6pojeee a u b u
npupoaan 6poj n ea:J~Cu mJe. 6unoMna ¢opMy.tw
(1) (a+bt = :t (~)an-kbk, k=O
npu "ieMy cy
(n) = n(n- 1) · · · (n- k + 1) k k! (0 ~ k ~ n)
m3B. 6unOM'HU 'K:oe¢uu,ujenmu.
Pemelbe. l!oKa3 neMO H3B8CTH HH.IJ:YKD;HjOM ITO n. 3a n = 1 TBpl)eH>e je oq:rrrJie.n;Ho TaqHo. AKo .n;aJbe rrpeTrrocTaB:rrMo .n:a
je OHO TaqHo 3a rrp:rrpo.n;aH 6poj n, Ta.n;a je
(a+b)"+l = (a+b)"(a+b) = (~ (~)an-kbk)(a+b) =
=((~)an+ (7)an-lb+ .. ·+ (~)bn)(a+b) =
(~)an+l + (7)anb+ ... + (~)abn+
+ ( ~) an b + ... + ( n : 1) abn + ( ~) bn+ 1.
KaKo je .n;aJLe 3a rrpo:rr3BOJLHO k = 0, 1, ... , n- 1
(n) ( n ) = n ( n - 1) .. · ( n - k + 1) n ( n - 1) .. · ( n - k) = k + k + 1 k! + k!(k + 1)
n .. · (n- k + 1) = (k + 1)! (k + 1 + n- k) =
n(n-1) .. ·(n-k+1) = (n + 1) . =
(n+ 1)
- k+ 1 '
BEIKBE 113 AHAJIH3E I 5
H OCHM TOra
(~) =1= (n;1), (~) =1= (~:~), .n;o6HjaMo .n;a je
(a+bt+l= (n;1)an+1+ (n:1)anb+···+ (n:1)abn+ (~:~)bn+l.
CTora oaa ¢opMyna aaiim H 3a cne.n;enH npHpo.n;HH 6poj n + 1, rra Ha
ocHoay rrpHH:o;Hna HH,JzyK:o;Hje aaJKH H 3a cae npHpO.n;He 6pojeae n. D
3All.ATAK 7. }]o'K:a3amu oa 3a cea'K:u npupooa1-t 6poj n 2: 2 eaJ~Cu
3 + 5 + · · · + (2n- 1) = n2 - 1.
PemeH>e . .IToKa3 neMO H3B€CTH MeTO,LJ;OM MaTeMaTHl:.J:Ke HH,JzyKD;Hje.
3a n = 2 Tapl)elbe je Ol:.IHrJie.n;Ho Tal:.IHO. AKo .n;a.rr,e rrpeTnocTaBHMO .n;a
je oHo Tal:.IHO 3a npHpo.n;aH 6poj n 2: 2, H 03Hal:.IHMO 36Hp ca neae CTpaHe
rrocMa TpaHe j e.n;HaKOCTH ca Sn, Ta.n;a j e Sn = n 2 - 1. 0 .n;aa.n;e j e Ol:.l:Hr Jie.n;Ho
Sn+l = Sn + (2n + 1) = n2- 1 + 2n + 1 = n2 + 2n = (n + 1) 2
- 1,
rra je Tapl)elbe Tal:.IHO H 3a cJie.n;enH npHpo.n;aH 6poj n + 1.
CTora je OHO Tal:.IHO 3a caaKH rrpHpo.n;aH 6poj n 2: 2. D
3A1I.ATAK 8. }]o'K:a3amu oa 3a cea'K:u npupooa1-t 6poj n eaJ~Cu
1 · 2 · 3 + 2. 3. 4 + ... + n(n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 4 .
PemeH>e. l[oKa3 neMO H3B€CTH TaKol)e MeTO,li;OM MaTeMaTHl:.J:Ke HH,JzyK-
:o;Hj e.
Tapl)elbe je Ol:.IHrJie.n;Ho Tal:.IHO 3a n = 1. AKo .n;a.rr,e rrocMaTpaHH 36Hp
03Hal:.IHMO ca Sn H rrpeTrrocTaBHMO .n;a je 3a rrpHpo.n;aH 6poj n Sn = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)/4, Ta.n;a je Ol:.IHrJie.n;Ho
Sn+l = Sn + (n + 1)(n + 2)(n + 3) = _ n(n+1)(n+2)(n+3) +(n+1)(n+2)(n+3) = - 4
(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) 4
rra je Tapl)elbe Tal:.IHO H 3a cJie.n;enH rrpHpo.n;HH 6poj n + 1. CTora oHo aaJKH
3a rrpOH3BOJLaH npHpo.n;aH 6poj n. D
6 BE>KBE l13 AHAJII13E I
3AJIATAK 9. Ax:o je S ~ R npou3BO.!bau uenpa3au cx:yn u a E R, oe¢uuuwu.Mo a+S = {a+xl XES}. Llox:a3amu oaje maoa sup(a+S) = a+sup s u inf(a + S) =a+ inf S.
PemeJbe. IIpeTrrocTaBHMO Hajrrpe ,n;a je sup(S) = +oo. Ta,n;a rrocToj:a
H3BeCTaH HH3 Xn E S TaKaB ,n;a Xn -t +oo. O,n;aB,n;e CJie,n;:a ,n;a 3a rrpOH3BOJI.HO
a E R, HH3 a+ Xn--+ a+ oo = +oo, o,n;aKJie je sup( a+ S) = +oo.
llaJI.e rrpeTrrocTaBHMO ,n;a je sup(S) = M KOHal:IaH 6poj. Ta,n;a je 3a
rrpOH3BOJI.HO xES :acrryiheHo x:::; m. O,n;aB,n;e je a+ x:::; a+ M, rra je a+ M
j e,n;Ho roplhe orpaH:al:Ieihe cKyrra a + S. AKo j e ,n;aJI.e A < aM, CJie,n;H ,n;a j e
A-a< M, rra rrocToj:a H3BecTaH 6poj x 0 E S TaKaB ,n;a je x 0 >A-a. O,n;aB,n;e
je a+ xo > A, o,n;aKJie Herrocpe,n;Ho ,n;o6:ajaMo ,n;a je sup(a + S) = a+ M =
a+ sup(S).
llaJI.e IIOCMaTpajMO inf(S) H rrpeTIIOCTaBHMO ,n;a je Hajrrpe inf(S) = -00.
Ta,n;a rrocToj:a H3BecTaH HH3 Xn E S TaKaB ,n;a Xn -t -oo. O,n;aB,n;e CJie,n;:a ,n;a
HH3 a+ Xn -t-oo, rra je inf(a + S) = -oo =a+ oo.
Haj3a,n;, rrpeTrrocTaBHMO ,n;a je inf(S) = m KOHal:IaH 6poj. Ta,n;a je 3a
cBaKo xES :acrryiheHo x 2: m. O,n;aB,n;e je a+ x 2: a+ m (xES), rra je a+ m
je,n;Ha MHHopaHTa cKyrra a+ S. AKo je ,n;aJI.e A > a+ m, Ta,n;a je A- a > m,
rra rrocToj:a H3BecTaH eJieMeHT xo E S TaKaB ,n;a je x0 > A - a. O,n;aB,n;e je
a+ x0 >A, rra je Herrocpe,n;Ho inf(a + S) =a+ m =a+ inf(S). 0
3AJIATAK 10. Hex:a je S cx:yn ceux upav,uoua.~tuux 6pojeea u3 uu
mepea.~ta (1,2). Oopeoumu supS, infS, u ucnumamu oa .~tu nocmoje maxS u
minS.
Pemelbe. OllHrJie,n;Ho je S = Q' n (1, 2), a ,n;oKa3aneMo ,n;a je supS= 2 :a inf S = 1. 3a rrpOH3BOJI.aH 6poj x E S HMaMo .n;a je x < 2, rra je x :::; 2. AKo
,n;aJI.e yol:IHMO 6:aJio Koj:a 6poj A < 2, Ta,n;a rrocToj:a 6ap je,n;aH :apa:o;:aoHaJiaH
6poj x 0 E (1, 2), ,n;aKJie x 0 E S, Koj:a je Ben:a o,n; 6poja A, rra Ha ocHoBy
,n;eqmH:a:o;:aje ,n;o6:ajaMo ,n;a je supS= 2.
CJIHl:IHO 3a rrpoH3BOJI.aH 6poj x E S HMaMo .n;a je x > 1, rra je x 2: 1.
llaJI.e, aKo yollHMO 6:aJio Koj:a 6poj A > 1, rrocToj:a 6ap je,n;aH :apa:o;:aoHaJiaH
6poj xo E (1, 2), ,n;aKJie xo E S, Koj:a je Malh:a o,n; 6poja A, na Ha OCHOBY
,n;eqmH:a:o;:aje ,n;o6:ajaMo .n;a je inf S = 1.
KaKo 6poj eB:a 1 :a 2 He rrp:arra,n;aj y cKyrry S, cJie,n;:a ,n;a max S :a min S He
IIOCTOje. 0
3AJIATAK 11 *. Ax:o je S ~ R npou3BO.!bau uenpa3au cx:yn, oox:a3amu
oa je 3a ceax:o a > 0 ucny1beuo sup(aS) = a sup(S), a 3a ceax:o a < 0,
BEJKBE 113 AHAJIM3E I 7
sup( aS)= a inf(S), npu "{e.My je aS= {ax: xES}.
Pemelbe. Hajrrpe rrpeTIIOCTaBHMO ,[(a je a > 0. AKo je sup(S) = +oo,
Ta,[(a IIOCTOjH H3BecTaH Hll3 (xn) ~ S TaKaB ,n;a Xn ---+ +oo. Ta,[(a HH3 a Xn ---+ a· (+oo) = +oo, rra je sup(aS) = +oo =a· sup(S) .
.ilaJbe rrpeTrrocTaBHMO ,n;a je sup(S) = M KOHa"tiaH 6poj. Ta,n;a je 3a
CBaKH eJieMeHT XES llCIIylbeHO X~ M, rra je MHOJ-KelbeM ca a> 0, ax~ aM.
CTora j e aM j e,n;Ho roplbe orpaHH"tielhe cKyrra aS. AKo ,n;aJbe yo"tiHMO 6HJIO
KOjH 6poj A < aM, Ta,[(a je Aja < M, rra rrocTojH H3BecTaH eJieMeHT x 0 E S
TaKaB ,n;a je x 0 > Aja. CTora je axo > A, 11: O,[(aB,[(e CJie,n;H ,n;a je sup(aS) =
asup(S).
Ca,n;a rrpeTrrocTaBHMO ,n;a je a< 0, 11: HeKa je Hajrrpe inf(S) = -oo. Ta,n;a
IIOCTOjll ll3BeCTaH Hll3 Xn E S TaKaB ,n;a Xn ---7 -OO. Q,n;aB,[(e je MHOJ-KelbeM ca
a< 0, axn---+ a· ( -oo) = +oo, ,n;aKJie sup( aS) = +oo =a· inf(S).
Haj3a,[(, rrpeTrrocTaBHMO ,n;a je a < 0 11: inf(S) = m je KOHa"tlaH 6poj.
Ta,n;a je 3a CBaKH eJieMeHT x E S HcrryH>eHo x 2: m, rra je MHOJ-KelbeM ca
a, ax ~ am. CTora je am je,n;Ho roplbe orpaHH"tlelhe cKyrra aS. .ilaJbe
rrpeTrrocTaBHMO ,n;a je A < am 6HJIO KOjH peaJiaH 6poj. Ta,[(a je Aja > m,
rra Ha OCHOBY ,n;eqmHHD;Hje HHtilHMyMa, IIOCTOjll 6ap je,n;aH eJieMeHT Xo E S
TaKaB ,n;a je x 0 < Aj a. Ta,n;a je axo > A, o,n;aKJie Herrocpe,n;Ho cJie,n;H ,n;a je am
cyrrpeMyM cKyrra aS, Tj. sup(aS) =a sup(S). 0
3A,UA TAK 12. Mcnumamu oa J1,U je 6poj X = 5, 12762762762 ...
pa'l{UO'HaJta'H, u y nomepoH.o.M cAy"iajy Ha!iu npupooHe 6pojeee m u n max:ee oa
je x = mjn.
Pemelbe. HaBe,n;eHH 6poj je cBaKaKo pan;HoHaJiaH jep HMa rpyrry 762
Koja ce y3aCTOIIHO rroHaBJba. IIpHTOM je O"t!HrJie,[(HO
512 5 8 512 5 1 X= -
10-0
+ 762 · 10- + 762 · 10- + · · · = -10
-0
+ 762 · 10- -1
-_-10
-_--::-3
- 512 ~ - 10.245 0 - 100 + 99900 -
8 BEMBE 113 AHAJU13E I
IIornaBJLe 2
PEAJIHM HM30BM
3A1IATAK 1. lJox;a3amu oa nu3
x;oneepzupa.
n+3 Xn = 2n + 1 (n EN)
Pemelbe. Ilpeu na"iun. Yo"t.J:IIMO 6poj a = ~ II ,n;oKaiKIIMO ,n;a HII3 (xn) KOHBepriipa Ka 6pojy a. 11ManeMo ,n;a je
lx _ ~I = I n + 3 _ ~I = 12n + 6- 2n- 11 =
n 2 2n + 1 2 2n + 1 5 5
= <-. 2n + 1 2n
AKo j e ,n;aJLe c > 0 rrpOII3BOJLHO MaJIII 6poj, IIManeMo ,n;a j e 5 /2n < c
aKo je n > 5/2c. CTora je 3a Te Bpe,n;HOCTII n O"t.J:IIrJie,n;Ho lxn- ~~~c. T . 1. 1 liMe CMO ,IJ;OKa3JIII ,n;a je lffin-+oo Xn = 2.
llpyzu na"iun. 11ManeMo ,n;a je
. . n + 3 . 1 + 3/n hrn X n = hrn = hrn =
n-+oo n-+oo 2n + 1 n-+oo 2 + 1/ n
lirnn-+oo(1 + 3/n) _ 1 + lirnn-+oo(3/n) lirnn-+oo(2 + 1/n) - 2 + lirnn-+oo(1/n)
1 + 0 = ~. 0 2 + 0 2
3A1IATAK 2. lJox;a3amu oa 1-tU3 Xn = ( -1)n (n EN) oueepzupa.
BEIKBE 113 AHAJII13E I 9
PemeH:.e. llpeTrrocTaBHMO ,n:a ,n:anr HH3 KOHBeprHpa Ka HeKoj TaqKH
a E R, H rro,n:ceTHMO ,n:a caaKH rro,n:HH3 KOHBepreHTHor HH3a KOHBeprHpa Ka
HCTOj rpaHHqHOj Bpe,n:HOCTH. YoqHMO ,n:a.n,e CJie,n:ena ,L(Ba IIO,L(HH3a OBOr mBa:
X2n = 1 (n EN), X2n-l = -1 (n EN).
KaKo cy o6a oaa rro,n:HH3a KOHBepreHTHa, rrpll qeMy rrpall Telim Ka TaqKll
+1 a ,n:pyrll Ka TaqKll -1, ,n:06MjaMO ,n:a je a= 1 = -1, illTO je KOHTpa,n:llKD;llja.
CTora je rrocMaTpaHM Hll3 ,n:MBepreHTaH. D
HarroMeHMMO ,n:a ce rroTrryHo CJillqHo ,n:oKa3yje ,n:a 6MJIO KOjll peaJIHH Hll3
KOjll MMa 6ap ,n:ae pa3JillqMTe TaqKe HaroMMJiaBa!ha ,n:MaeprMpa.
3AllATAK 3. (a) Jior.;aJamu iJa 'HU3 (xn) me:J~Cu r.;a 0 ar.;o u caMo ar.;o
'HU3 lxn I me:J~CU r.;a 0.
(6) lla AU je ma"i'HO iJa yonwme 'HU3 (xn) r.;o'Heepzupa ar.;o u caMo ar.;o
oiJzoeapajynu 'HU3 ancoAymHux epeiJHocm (lxnl) 'I'W'HBepzupa?
PemeH:.e. (a) HM3 Xn -+ 0 Ka,n:a n -+ oo aKo ll caMo aKo 3a caaKo
c > 0 rrocTojM ll3BecTaH 6poj no E N TaKaB ,n:a 3a caaKo n 2: n 0 BaiKM lxn I ::; c. Ho oaaj ycJIOB je oqMrJie,n:Ho eKBMBaJieHTaH ca rrpeTIIOCTaBKOM ,n:a Hll3
arrcoJiyTHllX ape,n:HOCTll lxn I -+ 0. (6) Y orrmTeM CJiyqajy II03HaTO je ,n:a ll3 KOHBepreHD;Mje Hll3a (xn) rrpeMa
HeKOM KOHaqHOM 6pojy a CJie,L(ll KOHBepreHD;llja Hll3a (lxnl) rrpeMa 6pojy lal. 06paTHO y OIIillTeM CJiyqajy He MOpa ,n:a 6y,n:e TaqHO illTO Ce Bll,L(ll Ha IIpllMepy
Hll3a Xn = ( -1) n. OH ,n:MBeprMpa Ma,n:a Hll3 arrcoJiyTHllX ape,n:HOCTll lxn I = 1 KOHBeprMpa. D
3AllATAK 4. Jior.;aJamu iJa 'HU3 (xn) r.;oHeepzupa ar.;o u caMo ar.;o
cear.;u 'Tbezoe nod'HU3 r.;oHeepzupa.
Pemelbe. AKo caaKM rro,n:Hll3 ,n:aTor Hll3a (xn) KOHBeprMpa, oH,n:a M caM
Taj Hll3 KOHBeprllpa j ep rrpe,n:CTaBJba j e,n:aH CBOj IIO,L(Hll3.
06paTHO, aKO HH3 (xn) KOHBeprMpa ll aKo je limn-+oo Xn = a, OH,n:a 3a
CBaKO c > 0 IIOCTOjll HeKO no E N TaKO ,n:a 3a CBe llH,L(eKCe n 2: no BaiKll
lxn - al ::; c. AKo ,n:a.n,e yoqllMO 6MJIO KOjll rro,n:Hll3 Yk = Xnk oaor Hll3a
(n1 < n2, · · ·), oH,n:a je 36or k ::; nk (k E N) oqllrJie,n:Ho McrrylheHo
IYk - al ::; c (k ;::: no)
jep je nk 2: k 2: no 3a caaKo k E N. CTora ll rro,n:Hll3 Yk = Xnk -+ a Ka,n:a
k-+ oo. D
10 BE>KBE 113 AHAJIH3E I
. 2mr 3A1IATAK 5. Hcnumamu x;o'Heepze'HV,UJY 'HU3a Xn =cos -3- (n EN).
Pemelbe. Yo'!IIMO cJie,n;ena ,n;aa rro,n;H:a3a ,n;aTor HII3a:
X3n = cos(2mr) = 1 (n EN),
2(3n - 2)7r 471" 1 x3n_2 =cos
3 = cos3 = -2 (n EN).
KaKo cy oa:a rro,n;HH30BH KOHBepreHTHH :a :aMajy pa3JIH'IHTe rpaHH'IHe
Bpe,n;HOCTH, 3aKJLy'lyjeMO ,n;a je ,n;aTH HH3 ,Il;HBepreHTaH. 0
3A1IATAK 6. Ax;o je q npou3eo.lba'H pea.1ta'H 6poj max;ae oa je JqJ < 1,
oox;a3amu oa je
(1) lim qn = 0. n-+oo
Pemelbe. Tapl)elbe je O'!HrJie,n;HO Ta'!HO 3a q = 0, rra neMO rrpeT
IIOCTaBHTH ,n;a je 0 < JqJ < 1. Ta,n;a je b = 1/JqJ > 1, rra rrp:aMeHoM 6:aHOMHe
<jlopMyJie HaJia3HMO ,n;a je
-1- = bn = (1 + b- 1)n =
JqJn
= 1 + n(b- 1) + (~) (b- 1)2 + ... + (~) (b -l)n >
> 1 + n ( b - 1) ( n E N).
O,n;aa,n;e je 3a rrpo:a3BOJbaH rrp:apo,n;aH 6poj n
JqJn < - ~- -, < ~ , .
KaKo je limn-+oo (1/n) = 0, H3 rrpeTxO,n;He Heje,n;HaKOCTH ,n;o6:ajaMo ,n;a je
lim JqJn = 0, n-+oo
,n;aKJie limn-+oo qn = 0. 0
3A1IA TAK 7. A x;o nocmoju, U3pa"iy'Hamu zpa'HU"i'HY epeo'Hocm
( 1 1 1 ) lim -+-+ .. ·+ .
n-+oo 1 · 2 2 · 3 n(n + 1)
Pemelbe. IIp:aMeTHMO ,n;a 3a caaK:a rrp:apo,n;aH 6poj k aa/K:a
1 1 1 k(k + 1) = k - k + 1.
BElliBE H3 AHAJIH3E I
O,n;aB,n;e je cyMMpalbeM rro k = 1, ... , n
n 1 n 1 1 I: k(k + 1) =I: (k- k + 1) = k=l k=l
= ( 1- ~) + (~- ~) + · · · + (~- n ~ 1) =
1 =1---.
n+1
0 ,n;aB,n;e j e Herrocpe,n;Ho
n
nl~~ L -'- 1 , = 1. 0
k=l
CJie,n;enM 3a,n;aTaK M3,n;MKTMpaTM 3a ,n;oManM.
3A1IATAK 8. 1Io1w3amu oa 1w3
1 1 1 an=-+-+···+ (n EN)
1·3 2·4 n(n+2)
~oHeepzupa u 1bezoea zpaHu"-ma epeoHocm jeoHa~a je 3/4.
Pemelbe. KaKo je 3a rrpoM3BOJbaH rrpMpo,n;aH 6poj k MCIIylbeHo
1 1(1 1 ) k(k + 2) = 2 k - k + 2 '
MManeMo ,n;a j e
n 1 n 1 1 1 an = L k ( k + 2) = L 2 ( k - k + 2) =
k=l k=l
= ~ (~ + ~ + ... + !) - ~ (~ + ... + _1_) = 2 1 2 n 2 3 n+2
1(1 1) 1( 1 1 ) =2 1+2 -2 n+1+n+2 = 3 1 2n + 3 4-2 (n+ 1)(n+ 2)"
11
1 1 KaKo HM3 -- + -- -+ 0 Ka,n;a n -+ oo, Herrocpe,n;Ho cJie,n;M ,n;a HM3
n+1 n+2 an-+ 3/4 Ka,n;a n-+ oo. CTora je lim an= 3/4. 0
n-l-oo
12 BEIKBE 113 AHAJII13E I
3A1IATAK 9. A1>:o je limn--+oo Xn = a, do1>:a3amu da je 3a 6uJto 1>:oju
npupoda'H 6poj m
lim x~ =am. n--+oo
Pemelbe. I1ManeMo ,n:a j e
lim x~ = lim x n · · · x n = ( lim Xn) · · · ( lim Xn) = a · · · a = am, n--+oo n--+oo n--+oo n--+oo
jep je limn--+oo Xn =a. 0
(1)
3A1IATAK 10. j]o1>:a3amu iJa je 3a 6uJto 1>:oju 6poj a> 1 ucny'lbe'Ho
lim !!_ = 0. n--+oo an
Pemelhe. KaKo je Ha OCHOBY 6HHOMHe <f>opMyJie 3a cBaKH rrpHpo,n:aH
6poj n 2: 2 HCIIy!heHO
an= (1 +a- 1)n = 1 + (~)(a- 1) + (~)(a- 1)2 + · · · + (~)(a- 1)n >
> (~)(a -1) 2,
,n:o 6Hj aMo ,n:a j e 3a n 2: 2
n n 0 < ----;- < n(n-1) (a_ 1)2 a ~
2 (n- 1)(a- 1)2 ·
O,n:aB,n:e Herrocpe,n:Ho ,n:o6HjaMo je.n;HaKOCT (1). 0
3A1IA TAK 11. 11 01\:a3amu iJa je 3a 6uJto 1>:oje k > 0 u a > 1 ucny'lbe'Ho
(1) nk
lim-= 0. n--+oo an
Pemelhe. HeKa je m 6HJIO KOjH <f>HKCHpaHH rrpHpo,n:HH 6poj BenH o,n:
peaJIHor 6poja k. Ta,n:a je
nk nm n n m 0<-<-- --[ l
m
an an - (al/mr - (bn) '
rrpH -qeMy je b = a11m > 1. KaKo je Ha OCHOBY rrpeTXO,n:Hor 3a,n:aTKa lim (njbn) n--+oo
= 0, ,n:o6HjaMo ,n:a je
lim ( bn ) m = ( lim bn ) m = 0, n--+oo n n--+oo n
BEIKBE 113 AHAJI113E I 13
rra O~Hr JI8,1UIO BaiKH j e,n;HaKOCT ( 1). Je,n;HaKOCT (1) O~HrJie,IJ;HO BaiKH 11: 3a IIpOI1:3BO~He peaJIHe 6pojeBe a
TaKBe ,n;a je Ia! > 1. D
3A1IATAK 12. Jlox:a3amu oa 3a npou3eo.!ban pea.11,an 6poj a eaJ~Cu
(1) an
lim -1
= 0. n-+oo n.
Pemelbe. AKo 03Ha"t!HMO k = [Ia!], Ta,n;a je Ia! < k + 1, rra je 3a
rrpmBBO~Ho n 2:: k + 1 ncrrylheHo
I an I = iai· · ·Ia! = iaik . _El ... ~ < n! n! k! k + 1 n
~ (_EL__)n-k < k! k + 1 .
KaKo je q = _klal < 1 n qn-k ---+ 0 Ka,n;a n ---+ oo, jep n- k ---+ +oo, +1
rryrriTajynH ,n;a n---+ oo, Herrocpe,n;Ho cne,n;11 ,n;a je
TJ.
lim lain = 0, n-+oo n!
an lim -
1 = 0. D
n-+oo n.
3A1IATAK 13. Jlox:a3amu oa je limn-+oo y'a = 1 3a npou3eo.!ban 6poj
a> 0.
Pemelbe. AKo je a= 1, TBpl)elhe je o~nrne,n;HO Ta~Ho.
II peTrrocTaBHMO ,n;aJI.e ,n;a j e a > 1. Ta,n;a j e y'a > 1 3a cBaKn rrp11po,n;aH
6poj n, rra je a= (1 + yfa -l)n =
= 1 + n( yfa- 1) + · · · (~) ( y'a- 1)n >
>1+n(yta-1).
CTora je a- 1 > n( y'a- 1), o,n;aKne je 0 < y'a- 1 < a~l (n EN). 113 rrocne,n;Ihe Heje,n;HaKOCTH Herrocpe,n;Ho cne,n;n ,n;a je limn-+oo y'a = 1.
Haj3a,n; rrpeTrrocTaBHMO ,n;a je a E (0, 1). Ta,n;a je b = 1/a > 1, rra je n(;; 1 1 . . v u, = n f1T:: = n/L' o,n;aKJie J e Ha OCHOBY rrpeTXO,IJ;HOr cJiy~aJ a
y1/a vb 1 1
• nC = - = 1. hm ya = . n
14 BEJKBE M3 AHAJ1M3E I
3AllA TAK 14. Jio~a3amu oa 3a cea~o a> 1 ea::xcu
lim logan = O. n-too n
Peme11>e. 3a cnaKo n 2: 2 IIManeMo ,.n;a je logan > 0, rra je II (logan)/n > 0. llaJLe yo~mMo rrpOII3BOJLHO c > 0. KaKo je a > 1 cJie,.n;II ,.n;a je ac > 1, rra je
Ha ocHony 3a,.n;aTKa 9 limn-+oo -( n) = 0. CTora rrocTojii ll3BecTaH rrpiipo,.n;aH ac n
6poj n 0 TaKaB ,.n;a je 3a cne rrpiipo,.n;He 6pojene n 2: n 0 IIcrrylbeHo n/acn :::; 1,
Tj. n::; acn. O,.n;an,.n;e ,.n;o6IIjaMo ,.n;a je logan ::; loga ( acn) =en 3a n 2: no, rra je
logan 0<--<c n - (n 2: no).
M3 rrocJie,.n;lbe Heje,.n;HaKOCTII CJie,.n;II ,.n;a je
1. logan _ O
0 lm - . n-too n
3A1I.ATAK 15. llo~a3amu oa je limn-+oo y'ri = 1.
Peme11>e. MManeMo ,.n;a je Ja cnaKII rrpiipo,.n;aH 6poj n 2: 2 IIcrrylbeHo
n = (1 + y'n- 1)n = 1 + (~) ( y'n -1) + · · · + (~) ( y'n -1)n >
> (~) ( y'n _ 1)2 = n(n0- 1) ( y'n _ 1)2.
O,.n;an,.n;e je 3a cnaKo n 2: 2:
( y'n- 1)2:::; ___ 2~ n -1'
v'2 IV'n- 11:S 1n-1'
II Herrocpe,.n;Ho limn-too y'ri = 1. 0
3AllATAK 16. Kopucmefiu Kowujee ~pumepujy.M, oo~a3amu oa je
'HU3 1 1
X =1+-+···+-n 22 n2 (n EN)
~O'HB epzeHma'H.
Peme11>e. 3a rrpoii3BOJLHe 6pojene n,p EN IIManeMo ,.n;a je
n 1 Xn = L P'
k=l
n+p 1
Xn+p = L k2' k=l
BEJKBE I13 AHAJII13E I
na je o,n;roBapajynn KorrnrjeB o,n;ceG:aK:
n+p 1 lxn+p - Xn I = Xn+p - Xn = L k2 <
n+l
n+p 1 n+p 1 1
< I: k(k -1) = I: (k -1- k) = k=n+l k=n+l
= (~- _1_) + (-1-- _1_) + ... n n+1 n+1 n+2
+ (n + ~ -1 - n: p) = 1 1 1
= ---- < -. n n+p n
15
O,n;aB,n;e Henocpe,n;Ho cJie,n;n ,n;a je lxn+p- Xnl S c aKO je n > 1/c n p je
npon3BOJI.aH rrpnpo,n;aH 6poj.
CTora Ha ocHOBy KorrmjeBor KpnTepnjyMa cJie,n;n ,n;a Hll3 (xn) KOHBep
rnpa. 0
KaKo je 3a rrpon3BOJI.aH rrpnpo,n;aH 6poj n ;:::: 2 n p;:::: 2, 1/nP ::; 1/n2, ll3
IIp8TXO,Il;HOr 3a,n;aTKa CJI8,Il;ll ,n;a je CBaKH Hll3 06JinKa
1 1 X =1+-+···+-
n 2P nP
KOHBepreHTaH. Mome ce nHaG:e ,n;oKa3aTn ,n;a oBaKaB HH3 KOHBeprnpa 3a CBe
Bpe,n;HOCTll peaJIHOr rrapaMeTpa p > 1.
3A,UA TAK 17. Kopucme1iu Kowujee KpumepujyM, OOKa3amu oa 'H.U3
1 1 Xn = 1 +- + · · · +-2 n
(n EN)
oueepzupa.
Pemelbe. 3a rrpon3BOJI.aH rrpnpo,n;aH 6poj n, yoG:HMO KoumjeB o,n;ceG:aK
lx2n- Xnl oBor HH3a. I1ManeMo ,n;a je
2n 1 n 1 2n 1 2n 1 1 1
lx2n-Xni=IL:k-L:kl=l L kl= L k>n·2n=2· k=l k=l k=n+l k=n+l
CTora Ha OCHOBY KomnjeBor KpllTepnjyMa 3aKJI.yqyjeMo ,n;a Hll3 (xn)
,n;nBeprnpa. 0
16 BE>KBE 113 AHAJI113E I
KaKo je 3a cBaKH npupo,n;aH 6poj k H npoH3BOJLHO p < 1 k~ > k, Henocpe,n;Ho CJie,n;u ,n;a H CBH HH30BH o6JIHKa Xn = 1 + 2
1P + · · · + ;P ,n;uBeprupajy
3a Bpe,n;HOCTH napaMeTpa p < 1.
CJie,n;enu 3a,n;aTaK H3,n;HKTupaTu 3a ,n;oManu.
3AllATAK 18. Hanu cee ma"-{,x;e nazoMu.ll.aea1ba nu3a
1 1 1 an=-+-+···+-.
1 3 2n- 1
. 1 1 Pemelhe. KaKo Je 3a cBaKo k = 1, 2, ... ucrrylheHo k > -k, ca6u-
2 - 1 2 pa!heM ,n;o6ujaMo ,n;a je 3a cBaKo n E N ucrry!heHo
1 1 1 an > ~ + 2 · 2 + ... + 2n'
bn . b ""n 1 K . O,II;HOCHO an > 2 , llpll l:.I€MY J e n = L...,k=l k. aKO J e ,n;aJLe IT03HaTO ,n;a Hll3
bn -+ +oo Ka,n;a n -+ oo, Herrocpe,n;Ho CJie,n;u ,n;a H HH3 an -+ +oo Ka,n;a n -+ oo. CTora ITOCMaTpaHH Hll3 an HMa CaMO je,n;Hy Tal:.IKY HarOMHJiaBalba, ll TO je
Tal:!Ka +oo. 0
3A1IATAK 19. Hanu cee ma"-{,x;e nazo.Mu.ll.aea1ba nu3a
nJr an = -v'n + 5 cos 3 ( n E N).
Pemelhe. Kopmnl'i.e!heM ,n;eqmHHD;Hje, ,IJ;OKa3aneMO ,n;a Hll3 an -+ -()(). AKo j e M > 0 rrpoH3BOJI.aH no3HTHBaH 6poj, 36or orpaHHl:.leHOCTH cpyHKD;Hj e
cosx HMaMo ,n;a je an :=:; -fo + 5. KaKo je -fo + 5 :=:; -M 3a CBe npHpO,n;He
6pojeBe n 3a KOje je n ~ (M + 5) 2, HMaMO ,n;a je 3a Te Bpe,n;HOCTll n llCIIy!heHO
an :=:; -M. CTora Ha OCHOBY ,n;ecpHHHD;Hje Hll3 an -+ -oo. 0
Ko,n; npaKTHl:.IHOr pemaBa!ha 3a,n;aTaKa, l:.leCTO ce MOJKe KOpHCTHTH cJie,n;e
ne TBpl)elhe. IIpHTOM, aKO je (an) rrpOll3BOJLaH peaJiaH Hll3, Ta,n;a neMO ca
T(an) 03Hal:.IMTH !heroB cKyrr Tal:.laKa HaroMHJiaBa!ha.
TBP'BElbE. llpemnocmaBUMO aa cy (an) u (bn) pea.II.'HU 'HU30BU.
(a) 3a npoU3BO.!ba'H pea.11.an 6poj a eaJ~Cu T(a(an)) = aT(an)· (6) Ax:o nu3 an- bn-+ 0 x:a()a n-+ oo, ma()a je T(an) = T(bn)·
(u;) Ax:o HU3 an- bn-+ a x;a()a n-+ oo, ma()a je T(an) =a+ T(bn)·
BEIKBE l13 AHAJII13E I 17
(,n:) A~o je an = an bn npu "ie.My 'HU3 an -r 1 ~aaa n -r oo, maaa je
T(an) = T(bn)·
llaJI.e HarroMeHHMO ,n:a ce HH30BH ca oco6HHOM an+k =an (n = 1, 2, ... ),
3a H3BeCTaH IIpHpo,n:aH 6poj k, Ha3HBajy nepUOOU"i'HUM, a 6poj k Ha3HBa Ce
nepUOOOM OBaKBOr HH3a. CKyii Ta'!aKa HarOMHJiaBalba TaKBOr HH3a je BeOMa
je,n:HOCTaBaH, Ha:H:Me ,n:oKa3yje ce ,n:a je T(an) = { a1, ... , ak}· THrrH'!aH rrepH
o,n:H'IaH HH3 je HH3 sin(2mr / k), KOjH HMa rrep11o,n:y k.
3A.UATAK 20. Ha!iu cee ma"i~e H.azoMU.I!aBa7ba 'HUJa
3n- 1 . ( n) an = - n + 2 sm n 2 (n EN).
Pemelbe. KaKo je HH3
3n - 1 . ( 1r ) . ( n) an = - , ..... Sin n 2 = an Sin n 2 ,
11: 3n- 1 1- 1/n
an = - n + 2 = - 3 1 + 2/n -r - 3
Ka,n:a n -roo, Herrocpe,n:Ho cJie,n:H ,n:a je
T(an) = -3 · T( sin (~7r) ).
KaKo j e ,n:aJLe HH3 bn = sin ( n21r) rrepHO,ll;H'IaH ca rrep:H:o,n:oM 4, Tj. bn+4 =
bn 3a CBaKo n EN, cJie,n:H ,n:a cy H>eroBe Ta'!Ke HaroMHJiaBaH>a yrrpaBo b1, b2, b3
11: b4. HaJia3HMO ,n:a je b1 = 1, b2 = b4 = 0 11 b3 = -1, rra cy cBe Ta'!Ke
HaroMHJiaBaH>a HH3a an ,n:aTe ca T(an) = { -3, 0, 3}. 0
3AllATAK 21. Ha!iu cee ma"i~e 'Ha20MU.I!aea1ba 'HUJa
1 . nn ( N) an = 3Vn + 4 sm 4 n E .
Pemelbe. KaKo HH3 1
&;" -r 0 Ka,n:a n -r oo, HH30BH an 11: 4sin(nn/4) 3yn
HMajy HCTe Ta'IKe HarOMHJiaBalba. KaKO je HH3 bn = sin(nn/4) rrepHO,ll;H'!aH
ca rrepHo,n:oM 8, Tj. bn+B = bn 3a CBaKH rrpHpo,n:aH 6poj n, H>eroBe j e,n:HHe
Ta'!Ke HaroMHJiaBaH>a cy b1, ... , bs. HaJia3HMO ,n:a je b1 = b3 = V'i/2, b2 = 1, b4 = bs = 0, bs = b7 = -V'i/2 11 b6 = -1. CTora cy cBe Ta'IKe HaroMHJiaBaH>a
HH3a an ,n:aTe ca T(an) = { -4, -2V2, 0, 2J2, 4}. 0
18 BEIKBE 113 AHAJ1M3E I
3A1IATAK 22. Hcnumamu x:onaepzenv,ujy u ozpanu"ienocm nu3a
2n3- n2 + 5 (n EN). an= 'l '
Pemelbe. KaKo je
_ 2n3(1 - 1l2n + 5l2n3) _ 2
1 - 1l2n + 5l2n3 _ an - 2 I I 2 ) - n - 2n ·an, n (1-1 n+4 n 1-1ln+4ln2
lim 2n = +oo, lim an = 1, n-+oo n-+oo
Herrocpe,n;Ho CJie,n;H ,n;a j e
lim an = lim 2n · lim an= +oo · 1 = +oo. n-+oo n-+oo n-+oo
CTora HH3 an --+ +oo Ka,n;a n--+ oo. O,n;aB,n;e cJie,n;H ,n;a je oH HeorpaHH~eH
ca rop:a,e cTpaHe, a orpaHH~eH ca ,n;o:a,e CTpaHe. OcHM Tora, HanH neMo 6ap
je,n;Ho :a,eroBo ,n;o:a,e orpaHH~e:a,e. KaKo je 2n3 - n2 + 5 = n 2 (2n- 1) +52:: 6 11
n2- n + 4 = n(n -1) + 4 2:: 4, Herrocpe,n;Ho CJie,n;H ,n;a je an > 0 3a csaKo n E N.
CTora je 6poj 0 je,n;Ha :a,eroBa MHHopaHTa. 0
3Al[ATAK 23. Hcnumamu ozpattu"ienocm 'HU3a
2 niT an = n cos 5 ( n E N).
Pemelbe. llocMaTpaHH HH3 je HeorpaHH~eH 11 ca ropH>e 11 ca ,n;o:a,e
CTpaHe jep je 3a nk = 10k (k = 1, 2, ... ) Hcny:a,eHo ank = (nk) 2 = (10k) 2
100k2 --+ +oo Ka,n;a k --+ oo, a 3a nk = 10k + 5 (k = 1, 2, ... ) HcrryH>eHo ank =
-(nk) 2 = -(10k + 5) 2 --+ -oo Ka,n;a k--+ oo. 0
3A1IATAK 24. Ax:o nu3 an --+ -oo, oox:aJamu no oetfiunuv,uju oa je on ozpattu"iett oozope. C.Jtu"i'HO map!je'lbe u Ja nuJ an x:oju me::xcu x:a +oo.
Peme11>e. KaKo HH3 an --+ -oo, rrocTojH H3BecTaH rrpHpo,n;aH 6poj no
TaKaB ,n;a je 3a CBe n 2:: no HCIIyH>eHO an ~ -1. 0,n;aB,n;e CJI8,IJ;l1 ,n;a IIOCTOjH
HajBHill8 no - 1 (,n;aKJie HajBHille KOHa~HO MHOrO) ~JiaHOBa OBOr Hl13a KOjH Cy
BenH o,n; -1. Y3HMajynH oH,n;a 3a b 6HJIO KojH peaJiaH 6poj KOjH je BenH
o,n; -1 11 o,n; HajBener o,n; THX KOHa~Ho MHoro 6pojesa HH3a, ,n;o611jaMo je,n;Ho
rop:a,e orpaHH~e:a,e rrocMaTpaHor HH3a. CTora je TaKas HH3 orpaHH~eH ca
rop:a,e CTpaHe.
BEJKBE I13 AHAJ1I13E I 19
ilOTITYHO CJill'IHO ce ,1I:OKa3yje ll ,n:a je 6:rrJIO KOjll HH3 KOjH TeJKH Ka +oo
orpaH:rr'!eH ca ,n:Oihe CTpaHe. D
3Al{ATAK 25. A-x:o HuJ an-+ +oo a 'HUJ bn je ozpaHu"ie'H, oo-x:aJamu
Oa 'HU3 an+ bn -+ +oo.
PemeH:>e. KaKo je HH3 bn orpaHH'!eH, OH Mopa 6HTH orpaHH'leH H ca
,n:OII>e CTpaHe, na nocTojH KOHa'laH 6poj m E R TaKas ,n:a je 3a cse n E N HcnyiheHo bn ~ m. AKo j e ,n:a.llie M 6HJIO KaKo semrKH IT03HTHBaH 6poj, Ta,n:a
H3 npeTITOCTaBKe ,n:a an --+ +oo Ka,n:a n --+ 00, CJie,n:H ,n:a ITOCTOjH np:rrpo,n:aH
6poj n 0 TaKas ,n:a je 3a cBe n ~ n 0 HcnyiheHo an ~ M- m. KaKo je ,n:a.llie 3a
CBe n EN HcnyiheHo M- m ~ M- bn, cne,n:H ,n:a je 3a CBe n ~no HcnyiheHo
an ~ M- bn, Tj. an + bn ~ M. CTora Ha OCHOBY ,n:eqmHH:o;:rrje cne,n:H ,n:a Hll3
an + bn -+ +oo Ka,n:a n -+ oo. D
3Al{ATAK 26. Hcnumamu ozpa'HU"ie'Hocm 'HUJa
n 3 + 1 an = - ~ _ ( n E N).
PemeH:>e. KaKo je
an= n 3 + 1 2n -7
n3 (1 + 1/n3)
2n(1 - 7 /2n) n2 1 + 1/n3
-2 1-7/2n'
lim (- n2
) = -oo, n-+oo 2
1. 1 + 1/n3
lm = 1, n-+oo 1 - 7 /2n
Hanocpe,n:HO CJie,n:H ,n:a je lim an = -oo. 1 = -oo. CTora je llOCMaTpaHH HH3 n-+oo
HeorpaH:rr'!eH ca ,n:oihe cTpaHe. O,n:aB,n:e Henocpe,n:Ho cne,n:H :rr ,n:a oH Mopa 6HTH
orpaH:rr'!eH ca ropihe CTpaHe. KaKo je oqHrne,n:Ho an > 0 caMo 3a n = 1, 2, 3
H a1 = 2/5, a2 = 3 H a3 = 28, Henocpe,n:Ho cne,n::rr ,n:a je an :::; 28 3a cBaKH
npHpo,n:aH 6poj n. 0
3AJIATAK 27. Hatiu zpa'HU"i'He epeiJHocmu:
(a)
(.n:)
( 3 ) 2n ( 2n + 2) 3n lim 1 + - , ( 6) lim 2 1
, ( n) n-+oo n n-+oo n + lim n (ln ( n + 3) - ln n) .
n-+oo
. (n2+1 n2 hm
n-+oo n2- 2) '
PemeH:>e. (a) KopHCTenH ,n:a je lim (1 + .!. r = e, ,n:o6:rrjaMO ,n:a je n-+oo n
( 3 ) 2n ( 3 )
11 · .1. 2n [ ( 3 )
11 ] 6 lim 1 + - = lim 1 + -
3 n = lim 1 + -
3 = e6 . n-+oo n n-+oo n n-+oo n
20 BEJ>KBE l13 AHAJII13E I
(6) CJHP·IHO ce M y OBOM cJiy"t.Iajy ,n;o6Mja ,n;a je:
l. ( 2n + 2) 3n l" (1 1 ) (2n+l)· 2~+1 3/2 1m = 1m + = e
n-+oo 2n + 1 n-+oo 2n + 1
. 1. 3n 3
3a TO illTO J e lffi 2 1
= -2
. n-+oo n +
(u;) .Ila.rr,e je:
lim (n2 + 1) = lim (1 + ~3-)n2 n-+oo n 2 - 2 n-too n2 - 2
3 n2
-2 3n 2
= lim (1 + 2 ) -3-· n2-2 = e3, n-too n - 2
. . l" 3n2 3 Jep Je 1m 2 = .
n-+oo n - 2
(,n;) HajJa,n;, MMaMo ,n;a je
lim n(ln (n + 3)- ln n) = lim n(ln n + 3) = lim ln (1 + ~ r = n-+oo n-too n n-+oo n
( 3) .!L3 = lim ln 1 + - 3 = 3. 0 n-too n
BEIKBE 113 AHAJII13E I 21
IIorJiaBJLe 3
rPAHJ1qHE BPE1IHOCTI1 ~YHI<UHJA
1. rpaHH'tiHe Bpe,n;HOCTH
Y OBOM ,ll;eJiy KOpHCTHneMO HeKOJIHKO OCHOBHHX rpaHH"t.IHHX Bpe,li;HOCTH
<f>yHKD;Hja. 0He ce KpaTKO Ha3HBajy "Ta6JIH"t.J:HHM JIHMeCHMa".
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
. smx hmx-+0 -- = 1.
X
limx-+o(1 + x) 11x =e.
limx-+0 loga (1 + x) = _1_ X Ina
(a> O,a :f-1).
1. In (1 + x) lffix-+0 = 1.
X
. (1 + x)P- 1 hmx-+0 = p (pER).
X
ax- 1 limx-+0 =lna (a>O,a:f-1).
X
. ex -1 hmx-+0 = 1.
X
(8) lirnx-++oo ax= +oo (a> 1).
(9) lirnx-+-oo ax = 0 (a > 1).
(10) lirnx-++oo ax= 0 (0 <a< 1).
(11) limx-+-oo ax= +oo (0 <a< 1).
0CHM TOra, KOpHCTHneMO H "t.J:HibeHHD;y )J;a cy CBe OCHOBHe eJieMeHTapHe
22 BE>KBE I13 AHAJ1I13E I
<f>YHKI.l;I1je, KaO If CBe eJieMeHTapHe <f>YHKD;Hje HenpeKII)l;He Ha CBaKOM IIHTep
BaJiy :a3 o,n:roBapajyne o6JiacT:a ,n:e<f>:aH:acaHOCT:a.
3AliATAK 1. ,llox:aJamu da je:
(a)
(.n:)
1. arcsmx
1 lm = ; x-+0 X
lim arctgx = 1. x-+0 X
(6) tgx
lim- = 1; (D;) x-+0 X
lim x ctg x = 1; x-+0
Pemelhe. (a) Y Be,n:nMo cMeHy arcsin x = t, Tj. x = sin t :a npnMeTHMO
,n:a 360r HenpeKH)l;HOCTII <f>yHKD;Hje arcsinx, t --t 0 Ka,n:a X --t 0. 3aMeHOM
,n:o6:ajaMo ,n:a je
lim arcsin x = lim -.-t- = 1 . = ! = 1. x-+0 x t-+0 sm t lim sm t 1 t-+0 t
(6) llaJLe je:
1. tg x 1. sin x 1. (sin x 1 ) Im--= 1m =1m --·-- =
x-+0 X x-+0 X COS X x-+0 X COS X
1. sin x
1. 1
= Im -- . Im -- = 1 . 1 = 1. x-+0 X x-+0 COS X
(D;) Ca,n:a Ha ocHoBy npeTxo,n:He je,n:HaKOCT:a nMaMo ,n:a je:
( ) 1. x li'm 1 - 1 = ! = 1. lim X ctg X = 1m -- = tg x - l' !KE 1 x-+0 x-+0 tg X x-+0 x lmx-+0 x
(.n:) AKo yBe,n:eMo cMeHy x = tgt, Ta,n:a 36or HenpeK:a,n:HOCTII <f>yHKD;Hje
t = arctg x ,n:o6:ajaMo ,n;a aKo x --t 0 Ta,n:a t = arctg x --t 0, na je
lim arctg x = lim _t_ = 1 = ~ = 1. 0 x-+0 x t-+0 tg t limt-+0 !¥ 1
3AliA TAK 2. H3pa"tyHamu zpaHU"tHe epedHocmu
(a)
(.n:)
lim sin(ax) (a-=/= 0), (6) x-+0 x + x2
1. sinx + 3ln (1 + x) Im .
x-+0 X
r sinx lm -- ( ) x-+0 xl/3 ' D;
lim tgx x-+0 x2 '
Pemelhe. (a) I1ManeMo ,n:a j e
1. sin( ax)
1. sin( ax) a
1. sin( ax)
1. a
lm = lm ·--= lm . Im--= x-+0 X + x 2 x-+0 ax 1 + X x-+0 ax x-+0 1 + X
a = 1·- =a.
1
BEIKBE 113 AHAJII13E I 23
(6) 1IaJLe je:
l. sin x
1. sin x 213 1
. sin x 1. 2; 3 1m -- = 1m --x = 1m -- 1m x = 1 · 0 = 0.
x--+0 xl/3 x--+0 X x--+0 X x--+0
(n;) Ca.n;a je:
. tg X • tg X 1 . tg X . 1 hm -- = hm -- · - = hm -- · hm - = 1 · oo = oo. x--+0 x2 x--+0 X X x--+0 X x--+0 X
(.n;) Haj3a.n; HMaMo .n;a je:
l. sinx + 3ln (1 + x) _
1. sinx
3 1. ln (1 + x) _
1 3 1 _
4 lm - lm -- + lm - + . - . D x--+0 X x--+0 X x--+0 X
3A..UATAK 3. Jlo'K:aJamu da ea:Jfee c.~tedene jed'Ha'K:ocmu:
(a) l . sh x ( ) lmx--+0- = 1; 6 X
. chx- 1 _ 1. ( ) hmx--+0 2 - 2' I(
X
thx = 1. limx--+0 ---;:-
Pemmne. (a) l1ManeMo .n;a je
X
ex- e-x= ~(e2x -1), 2x ex 2x
shx
o.n;aKJie je
sh x 1 e2x - 1 eY - 1 lim -- = lim - lim
2 = 1 · lim = ln e = 1.
x--+0 X x--+0 eX x--+0 X y--+0 y
O.n;aB.n;e .n;o6HjaMo .n;a je shx = x + o(x) Ka.n;a x -t 0.
( 6) Ca.n;a neMO ,Il;OKa3a Tl'I l'I,IJ;eHTl'I"t.JHOCT
chx = 1 + 2sh2(x/2) (x E R).
3aHCTa, l'IManeMO .n;a je 3a IIpOH3BOJLHO peaJIHO X:
1 + 2sh2 (~) = 1 + 2 (ex/2
- e-x/2)2 _ 2 2 -
= 1 + 2(ex +e-x- 2) - ex+ e-x 4 - - = chx.
CTora je:
. ch x - 1 _ . 2sh 2 ( ~) _ . 1 [ sh ~ J 2 _ 1 hm - hm - hm- -- - -. x--+0 x 2 x--+0 x 2 x--+0 2 ~ 2
24 BEIKBE l13 AHAJII13E I
(II.) Haj3a,n; HMaMo ,n;a je:
1. thx 1. (shx 1 ) 1. shx 1. 1 lm -- = lm -- . -- = lm -- . lm -- = 1 . 1 = 1. x~O X x~O X chx x~O X x~O chx
1- cosx 1 3Al[ATAK 4. Jior;;a3amu oa je !~ x2 = 2·
Pemelbe. KaKo je
1 - cos x = 2 sin 2 ~ = ~ ( sin ~ )
2
x 2 x 2 2 ~ ' 2
H BaiKH sin x s· t
1. 2 1. m Im--= Im--=1 x~O ~ t~O t '
,n;o6Hj aMo ,n;a j e lim 1 - cos x = ~. x~O x2 2
0 ,n;aB,n;e cJie,n;H ,n;a j e
1-cosx = ~ +o(1), x2 2
O,LI;HOCHO x2
1- cosx = 2 + o(x2),
Ka,n;a x -t 0. D
D
. 1-~ 3Al[ATAK 5. lf3pa1iy1-wmu zpa'Hu"i'HY epeiJHocm hm _ .
H
x~O 2x
Pemelbe. KaKo je 3a x =/= 0
j (X) = 1 -~ = 1 - COS X 1 2x2 2x2 1 + ijcosx+ .Vcos2 x
----::--=-2 - 2 ----2 sin
2 ~ 1 1 ( sin ~ ) 2
1
= 2x2 1+ijcosx+.Vcos2 x-4 ~ 1+ijcosx+.Vcos2 x'
sin~ lim --2 = 1 x~O ~ '
2
1 lim ~ x~O 1 + ijcos X +cos2 X
1 3'
Herrocpe,n;Ho CJie,n;H ,n;a Je
lim f(x) = ~ · 1 · ~ = ..!... D x~O 4 3 12
BE>KBE l13 AHAJIH3E I 25
3AllATAK 6. 1lo1w3amu oa je 3a npou3BOJb'He 6pojeee au b ucny1beno
1. sin ax - sin bx b 1m =a-
x-tO sin X .
Peme:a.e. KaKo je
1. smx Im -- = 1,
x--tO X
CJie,IUI ,n.:a je sinx = x + o(x). O,n.:aB,n.:e je
sin ax- sinbx _ ax+ o(x)- bx- o(x) sinx - x + o(x)
x(a- b + o(1)) x(1 + o(1))
a-b+o(l) 1 + o(1) '
rra Je:
1. sin ax - sin bx b 1m =a- . 0
x--tO X
3A1!ATAK 7. ,llo1w3amu oa zpanu"{Ha epeoHocm limx--t+oo sinx ne nocmoju.
Peme:a.e. Yo"tJHMO cJie,n.:ene HH3oBe peaJIHHX 6pojeBa:
Xn = 2n7r, Yn = 2n7r + 7r /2 (n EN).
0HH o6a T8)K8 Ka +oo Ka,n.:a n -1 00 ll IIpllTOM je
sin Xn = sin(2n7r) = 0, sin Yn = sin(2n7r + 1r /2) = 1 (n EN).
CTora rpaHH'IHa Bpe,n.:HOCT limx--t+oo sin x He rrocToju. 0
3AllA TAK 8. Jiox:a3amu oa je
lim ( J x 2 + x - 1 - J x 2 - x + 1) = 1. x--t+oo
Y CJie,n.:eneM 3a,n.:aTKY HaBO.D.:ll Ce OIIillTll M8TO,n.: 3a H3pa'IyHaBalbe rpa
Hll'IHHX Bpe,n.:HOCTH THIIa 100•
3AllATAK 9. Ax:o cy rfiynx:v,uje f(x), g(x) oerfiunucane y nex:oj OX:O.ItU
'HU ma"{x;e Xo, f(x) =f. 0 y moj ox:o.ttunu, limx--txo f(x) = 0 u limx--txo f(x)g(x) =A, oox:a3amu oa je
lim (1 + j(x))g(x) = 8 A x--txo •
26 BE:>KBE I13 AHAJII13E I
PemeH.e. I1ManeMo ,n;a je
(1 + f(x))g(x) = eg(x)ln(l+/(x)) = ef(x)g(x)·ln(~t!){x)).
KaKo je ,n;aJI:.e
ln (1 + f(x)) = 1, lim f(x)g(x) =A, limx-txo /"{' x-+xo
H cpyHKD;Hja ex je HerrpeKH,n;Ha Ha n;eJioj rrpaBoj R, ,n;o6HjaMO ,n;a je
lim (1 + f(x))g(x) = elimx-+xo f(x)g(x)·limx-+xo ln(/tRx)) = A·l = A 0 x-+xo e e .
HarroMeHHMO ,n;a CJIH"LiaH pe3yJITaT BaJim H aKo ce yMecTo KOHa"LIHe Ta"LJ:Ke
XQ pa,n;H H 0 Ta"LIKaMa 00, +oo HJIH -00.
3AJIATAK 10. OiJpeiJumu zpanu"lny epeiJnocm
w = lim(cosx) 1/x2
• x-+0
PemeH.e. 0Ba rpaHH"LJ:Ha Bpe,n;HOCT je THrra 100 M yKJiarra ce y rrpeTxo,n;
HH 3a,n;aTaK. IIpMTOM je x 0 = 0,
f (X) = COS X - 1,
KaKo je Ha ocHoBy 3a,n;aTKa 9:
1 g(x) = x2 (x =I= 0).
~~ f(x)g(x) = lim cos x- 1 - 1 x-tO 2 - --X 2'
Ha OCHOBy rrpeTXO,Il;HOr 3a,n;aTKa ,n;o6HjaMO ,n;a je
w = lim(cosx) 11x2 = e- 1/2. 0
x-tO
3All_ATAK 11. Jlox:aJamu iJa je
w = lim ( x2 + 1 ) x2
x-too x2- 2 = e3.
PemeH.e. 0Ba rpaHH"LIHa Bpe,n;HOCT je TaKol)e THIIa 100, rra ce MO:>Ke
IIpHMeHHTH CJIH"LJ:aH MeTO,IJ; KaO H KO,Il; 3a,n;aTKa 9.
rra je
BEIKBE 113 AHAJ1I13E I
Y OBOM CJiy-qajy HMalleMO ,n;a je
x 2 + 1 f (X) = 2 '"' - 1, g (X) = x 2,
X -
x2 + 1 - x2 + 2 3x2
lim f(x)g(x) = lim 2 2 · x2 = lim 2 2
= 3, X--700 X--+00 X - X--700 X -
o,n;aKJie je w = e3. D
3AllATAK 12. Zfox;a3amu oa je
(a) lim [tg (~ + x)ttg 2x = e; (6) lim ctg (~- xttgJx = e213 •
x--+0 x--+0 4
27
3AllATAK 13. Ax;o je f(x) = ~~~~ npou3BO./b'Ha pav,uo'Ha.fi,'Ha rjyHx;
v,uja, Oox;a3amu Oa je y 6U.fi,O x;ojoj 'lbe'HOj CU'HZy.fl,ap'HOj ma"1.x;U Xo Ucny'lbe'HO
lim f(x) =co. x--+xo
PemeiLe. KaKo je x0 CHHryJiapHa Ta"'4:Ka cpyHKD;Hje f(x), HMaMo ,n;a je
Q(x0 ) = 0. Ta,n;a je P(x0 ) =I= 0 jep rrpeTrrocTaBJLaMo ,n;a je pa3JIOMaK P(x)/Q(x) pe,n;yKOBaH. KaKo je Q(x0 ) = 0, rrocTojH rrpHpo,n;aH 6poj l II rroJIHHOM S(x) TaKaB ,n;a je Q(x) = (x- x0) 1S(x). Ta,n;a je 3a x =I= xo
P(x) f(x) = (x- xo) 1S(x) ·
KaKo je P(xo), S(xo) =I= 0, ,n;o6HjaMo ,n;a je
lim 1 · P(x) = lim 1 · lim P(x) = x--+xo (x- Xo) 1 S(x) x--+xo (x- xo) 1 x--+xo S(x)
= [ lim 1 ] . P(xo) =co, x--+xo (x- x0 ) 1 S(xo)
rra je limx--+xo f(x) =co. D
3AllA TAK 14. Zfox;a3amu oa je
. x+3 hm =+co. x--+2 x4 - 8x2 + 16
PemeiLe. H:~.mneMo ,n;a je
1. X + 3 l' X + 3 l' 1 X + 3 lm = lm = lm---x--+2 x4 - 8x2 + 16 x--+2 (x2 - 4) 2 x--+2 (x- 2)2 (x + 2) 2
. 1 . x+3 5 = ;~ (x- 2) 2 . ;~ (x + 2) 2 =(+co)· -16 =+co. 0
28 BE>KBE 113 AHAJII13E I
3A1IATAK 15. )Jo~aJamu da je
( ) l. X + 2 ( 6) 1. X + 2 a 1m ( ) 3( 4) = -oo; lillx-+1+0 ( ) 3( ) = +oo.
x-+1-0 X- 1 X+ X- 1 X+ 4
PemeH:.e. I1ManeMo ,n;a je
l. X + 2 [ 1. 1 ] [ 1. X + 2] lill = lill . lill--= x-+1-0 (x- 1)3(x + 4) x-+1-0 (x- 1)3 x-+1-0 x + 4
3 = (-oo) · 5 = -oo.
Cm-I'IHO je:
r x+2 [ li 1 J [ r x+2] xJ~o (x- 1)3(x + 4) = x-+~0 (x- 1)3 . xJ~o x + 4 =
3 = ( +oo) · 5 = +oo. 0
3A1IA TAK 16. JfJpa'llyHamu zpa'HU'll'HY epedHocm
l. x 2 - 3x + 2 lill 3 .
x-+1 x - 2x + 1
PemeH:.e. I1ManeMo ,n;a je 3a x f 1
x 2 - 3x + 2 _ (x- 1)(x- 2) _ x- 2 x3-2x+1- (x-1)(x2 +x-1)- x 2 +x-1'
o,n;aKJieJe
l. x 2
- 3x + 2 1. x - 2
0 lill = lill = -1. x-+ 1 x3 - 2x + 1 x-+ 1 x2 + x - 1
3A1IATAK 17. Jlo~aJamu oa BaJICu:
1. ( X+ 2 )x2
lill = 0. x-+oo 2x + 1
PemeH:.e. KaKo je 2:: ~ > 0 3a ,n;oBOJLHO BemiKe Bpe,n;HOCTH JxJ ~ M H
OCHM TOI'a
x+2 x(1+2/x) 1 1+2/x 1 --= =-· ---+-2x+1 2x(1+1/2x) 2 1+1/2x 2
(x--+ oo),
BE}KBE M3 AHAJIM3E I 29
,.n;06HjaMO ,.n;a je 3a ,IJ;OBOJl>HO BeJIHKe Bpe,.n;HOCTH jxj:
( X + 2 ) X
2
< ( ~) X2
= x2 •
2x + 1 - 4 q
KaKo je q = 3/4 E (0, 1) H x 2 -+ +oo Ka,.n;a x-+ oo, Ha ocHOBY rrpeTxo,.n;Hor
3a,.n;aTKa cJie,.n;H ,.n;a qx2
-+ 0, rra je
1. ( X+ 2 )x2
lm = 0 x-+oo 2x + 1 ·
0
2. AcHMITTOTe lflyn:K~Hja
3A.ll.ATAK 18. Jio-x;a3amu oa rjy'H'X:'l{uja f(x) oerjuHucaHa Ha He'X:o.M
u'Hmepea.Ay (a, +oo) .MO~e u.Mamu ca.Mo jeo'Hy -x;ocy acu.Mnmomy y ma"t'X:U +oo.
Pemelhe. IIpeTIIOCTaBHMO ,.n;a cpyHKD;Hja f(x) HMa Kocy acHMIITOTY y =
ax+ by Ta'lKH +oo. Ta,.n;a je
a= lim f(x), b = lim [f(x)- ax], x-++oo X x-++oo
o,.n;aKJie cJie..n;H ,.n;a cy rrapaMeTpH a H b je,.n;H03Ha1..!HO o,.n;pel)eHH cpyHKD;HjoM f(x).
CTora y Ta1..!KH +oo MOJKe rrocTojaTH caMo je..n;Ha acHMIITOTa cpyHKD;Hje
f(x). CJIH'laH 3aKJby1..!aK BaJKH H 3a Ta'lKY -oo. 0
3A.ll.ATAK 19. Jio-x;a3amu oa rjyH-x;'l{uja f(x) oerjuHucaHa Ha He-x;o.M
u'Hmepea.Ay (a, +oo) He .Mo~e u.Mamu ucmoepe.Me'Ho u -x;ocy u xopu3o'Hma.A'HY
acu.Mnmomy y ma"t-x;u +oo.
Pemelbe. KaKo je xopH30HTaJIHa acHMIITOTa caMo rroce6aH cJiy'laj Koce
aCHMIITOTe, TBpl)eH>e 3a,.n;aTKa CJie,IJ;H H3 rrpeTXO,IJ;HOI' 3a,IJ;aTKa. 0
3A.ll.ATAK 20. Jio-x;a3amu oa rjyH-x;'l{uja f(x) oerjuHucaHa Ha no.Aynpa
eoj [a, +oo) u.Ma xopu3o'Hma.A'HY acu.Mnmomy y ma"t-x;u +oo a-x;o u ca.Mo a-x;o noc
moju 'X:O'Ha"t'Ha zpa'HU"t'Ha epeO'HOCm f(+oo). A-x;o je b = f(+oo), maoa je ma
acu.M nmoma y = b.
Pemelhe. IIpeTIIOCTaBHMO ,.n;a rrocTojH KOHa'lHa rpaHH1..!Ha Bpe,.n;HOCT b =
f( +oo). Ta,.n;a je
lim [f(x)- b] = 0, x-++oo
30 BEIKBE 113 AHAJII13E I
rra je rrpaBa y = 0 ·X+ b = b XOpH30HTaJIHa aCHMIITOTa <f>YHKIJ;Hje j(x). 06paTHO, aKO je rrpaBa y = b XOpH30HTaJIHa aCHMIITOTa OBe <f>yHKIJ;Hje,
Ta,n;a Je
lim [f(x)- b] = 0, x--++oo
rra je limx--++oo j(x) = b, Tj. IIOCTOjH KOHaqHa rpaHHqHa Bpe,n;HOCT j(+oo) = b. 0
IJpeTIIOCTaBHMO ,n;aJLe ,n;a je <f>yHKIJ;Hja j(x) ,n;e<f>HHHCaHa Ha HeKOM CKyrry
lxl >a (a> 0), ,n;aKJie Ha yHHjrr HHTepBaJia ( -oo, -a) U (a, +oo) H ,n;a je rrpaBa
y = kx + b aCHMIITOTa OBe <f>yHKIJ;Hje y TaqKH +oo. AKo je rrpHTOM <f>YHKIJ;Hja f(x) napH.a, Ta,n;a ce MOllie ,n;oKa3aTH ,n;a je
rrpaBa y = -kx + b aCHMIITOTa OBe <f>yHKIJ;Hje y TaqKH -00.
AKo je <f>YHKIJ;Hja f(x) HenapH.a, Ta;n;a ce MOllie ,n;oKa3aTH ,n;a je rrpaBa
y = kx- b aCHMIITOTa OBe <f>yHKIJ;Hje y TaqKH -OO.
3A1IATAK 21. Hanu cee acuMnmome rftyHr;;v,uje f(x) = \11 + x 2 (x E
R).
Pemelbe. KaKo je <f>YHKIJ;Hja f(x) oqrrrJie,n;Ho rrapHa, o,n;pe,n;HneMo Ha
jrrpe acHMIITOTY OBe <f>yHKo;Hje y TaqKH +oo. KaKo je
lim f(x) = lim v'1 + x2 = lim x/1 + 1jx2
x--++oo X x--++oo X x--++oo X
= lim /1 + 1/x2 = 1, x--++oo
,n;o6HjaMo ,n;a je rrapaMeTap k = 1. llaJLe je
lim [f ( x) - kx] = lim [ y' 1 + x2 - x J = lim 1 + x
2 - x
2
x--++oo x--++oo x--++oo v'1 + x2 + x
l. 1
= lm = 0 x--++oo v'l + x2 +X '
o,n;aKJie je rrapaMeTap b = 0. CTora je rrpaBa y = x acHMIITOTa OBe <f>yHKu;rrje
y TaqKH +oo. 36or rrapHOCTU OBe <f>YHKIJ;Hje CJie,IJ;H ,n;a je rrpaBa y = -X aCHMIITOTa OBe
<f>YHKIJ;Hje y TaqKH -00. 0
x2 3AllATAK 22. Hanu acuMnmome r;;puee f(x) =
2 2 1·
x -x-
Pemelbe. KaKo je
x2 J(x) = (x _ 1)(2x + 1)
BEIKBE 113 AHAJII13E I 31
paii;MOHaJIHa <f>yHKII;Mja, OHa je ,n;e<f>MHMCaHa 3a X=/= 1; -1/2. IlpMTOM cy rrpaBe
X= -1/2 M X= 1 BepTMKaJIHe aCMMIITOTe OBe <f>yHKII;Mje jep je:
/(1- 0) = /(1 + 0) = !( -1/2- 0) = !( -1/2 + 0) = ()(),
KaKo j e ,n;aJhe
lim f(x) = lim f(x) = ~' x~+oo x~-oo 2
CJie,n;H ,n;a je rrpaBa y = ~ XOpM30HTaJIHa aCMMIITOTa OBe <f>yHKII;Mje M y Ta"t!KM
+oo M y Ta"t!KM -00 . .IlpyrMX aCMMIITOTa OBa <f>yHKII;Mja He MOJKe MMaTM Ha
OCHOBY TBpl)eH>a 0 je,n;MHCTBeHOCTM KOCe aCMMIITOTe. 0
3AllATAK 23. Hafiu cee acu.Mnmome ¢yn'K;u,uje
f(x) = _ x3
Pemelhe. KaKo je x2 + 2x + 4 = (x + 1)2 + 3 2: 3, pan;MOHaJIHa <f>yHKII;Mja
j(x) O"t!MrJie,IJ;HO je ,n;e<f>MHMCaHa M HerrpeKM,IJ;Ha y CBMM Ta"tiKaMa peaJIHe rrpaBe,
rra HeMa BepTMKaJIHMX aCMMIITOTa.
EBeHTyaJIHe Koce acMMIITOTe <f>yHKn;Mje rroTpaJKMneMo y o6JIMKY y =
ax+ b. KaKo je
f(x) x3 x2
X x(x 2 + 2x + 4) x2 + 2x + 4'
,n;o6MjaMo ,n;a je
lim f ( x) = lim f ( x) = 1, x~+oo x~-oo
rra je rrapaMeTap a = 1. lla.llie je
x3 x3 - x3 - 2x2 - 4x f(x) -ax= x2 + 2x + 4 - x = x2 + 2x + 4
-2x2 - 4x
x2 + 2x + 4'
o,n;aKJie je
lim [f(x)- x] = lim [f(x)- x] = -2. x~+oo x~-oo
CTora je rrapaMeTap b = -2. O,n;aB,n;e cJie,n;M ,n;a je rrpaBa y = x- 2 Koca
acMMIITOTa oBe <f>YHKII;Hje M y Ta"t!KM +oo M y Ta"t!KM -oo. D
3AllATAK 24. Ha!iu cee acu.Mnmome ¢yn'K;u,uje f(x) = 2x + sinx (x E R).
32 BEJ-KBE l13 AHAJIM3E I
Pemelbe. <I>yHK:UIIj a f ( x) j e HerrpeKII)J;Ha Ha n;eJioj rrpaBoj R rra HeM a
BepTIIKaJIHIIX aciiMIITOTa. KaKo je HerrapHa, rroTpaiKIIneMo caMo IDeHe aciiMII
TOTe Ha rroJiyocii [0, +oo). KaKo je
1. f ( x)
1. (
2 sin x )
2 1m--= 1m+--=, x-t+oo X x-t+oo X
)J;06IIjaMo )J;a je rrapaMeTap a= 2. Ho KaKo je f(x)- 2x = sinx, II rpaHII"t!Ha
Bpe)J;HOCT 1imx-t+oo sin X He IIOCTOjii, CJie)J;II )J;a cpyHKI(IIja j(x) He IIOCe)J;yje
HIIKaKBe aCIIMIITOTe.
CTora oHa HeMa aciiMIITOTa HII y Ta"t!KII +oo HII y Ta"t!KII -oo. D
3A1IATAK 25. Jlor;;aJamu oa noAuuoM f(x) = Pn(x) cmeneua n (n E N0 ) uMa acuMnmomy y ma"-lr;;u +oo ar;;o u caMo ar;;o je n = 0 UAU n = 1. Y
moM cAy"-lajy je npaaa y = P(x) 'lbezoea acuMnmoma.
Pemelhe. AKo je n ~ 1, Tj. P(x) = aox+a1 , Ta)J;a je rrpaBa y = aox+a1 O"t!IIrJie)J;Ho aciiMIITOTa cpyHKD;IIje f(x) = P(x).
HeKa je )J;aJI.e n 2:2 II Pn(x) = aoxn+·· ·+an (ao =f. 0). Ta)J;a je 3a x =1- 0:
f(x) xn(ao + ai/x + · · · + an/xn) - = --~--------------~~ X X
= xn-l(ao + ai/x + · · · + an/xn) rv aoxn-I,
O)J;aKJie CJie)J;II )J;a j e
lim f(x) = oo. x-t+oo X
CTora y cJiy"t.Iajy )J;a je n 2: 2 cf>YHKD;IIja f(x) HeMa KOCIIX aciiMIITOTa. D
4x2 -1 3A1IATAK 26. Hanu cee acuMnmome ¢yur;;7J,uje f(x) = _ + x+
+sin ( ~). X
Pemelhe. <I>yHKD;IIja f(x) )J;ecpiiHIICaHa je 3a x =f. 0 II x =1- -2. AKo
x---+ -2 + 0, Ta)J;a
4( -2) 2 - 1 1 15 1 f(x)---+ =sin (--)=--sin-= +oo,
+0 2 +0 2
rra je Ta"t!Ka X= -2 je)J;Ha BepTIIKaJIHa aCIIMIITOTa cpyHKI(IIje j(x). AKo x---+ 0, cJie)J;II )J;a je
1 . 1 J ( x) rv - 2 + sm ( O) ,
BEJKBE 113 AHAJIM3E I 33
rra o,n;roBapajyna rpampma Bpe,n;HOCT He rrocTojH. CTora Tal.!Ka x = 0 HHje
BepTHKaJIHa aCHMIITOTa OBe <f>yHKII.Hje.
Koce (H xopvi30HTaJIHe) acHMIITOTe oBe <f>YHKII.Hje TpaJKHMO y o6JIHKY
y =ax+ b. IlpBo rrocMaTpajMo Tal.IKY +oo. KaKo je
X
4x2- 1 1 . 1 x(x + 2) +- sm- ---+ 4 X X '
f(x)
Ka,n;a x ---+ +oo, ,n;o6HjaMo ,n;a je a = 4. lla.rr,e KaKo
4x2 - 1 1 -8x - 1 1 f(x)- 4x = - 4x +sin ( -) = +sin (-) ---+ -8,
x+2 x x+2 x
Ka,n;a x ---+ +oo, CJie,n;n ,n;a je b = -8. CTora je y Tal.IKH +oo, o,n;roBapajyna
KOCa aCHMIITOTa y = 4x- 8.
MeTa acHMIITOTa ce ,n;o6Hja II y Tal.IKII -oo. D
3A1IATAK 27. Oopeoumu cae acu.Mnmome ¢y'Hx:v,uje
2x2+1+sinx (x#0;1). y = x -1 3x
34 BEIKBE 113 AHAJII13E I
IIorJia.BJLe 4
HEIIPEKI11IHOCT tPYHKU11JA
3A..UATAK 1. Hcnumamu Henpe~uihwcm ¢YH~v,uja
(a)
(,~)
fr(x) = sgn x; (6) j4(x) = sgn (x- x3 )
Pemelbe. (a) <PyHKD;Hj a
h(x) = sgn (1 + x2 ); (u;)
(x E R). h(x) = 1 + (sgnx) 2;
fr(x)= 0, x=O {
1, X> 0
-1, X< 0
je KaO KOHCTaHTHa, QqHrJI8,LJ;HO HerrpeKH,LJ;Ha Ha HHTepBaJIHMa (-00, 0), (O,+oo), a y TaqKH x 0 = 0 HMa rrpeKH,LJ; rrpae apcTe jep Ba)fm f(+O) = 1 =/=
f(O), !( -0) = -1 =/= f(O). (6) .liaJl>e je 3a caaKo x E R 1 + x2 2: 1, rra je h(x) = sgn (1 + x2
) = 1.
CTora j e ¢YHKD;Hj a h ( x) HerrpeKH,LJ;Ha Ha u;enoj peanHoj rrpaaoj R.
(u;) .liaJl>e je 3a caaKo x =!= 0, h(x) = 1+1 = 2, a 3a x = 0 h(O) = 1+0 = 1.
CTora je <flyHKD;Hja h(x) HerrpeKH,LJ;Ha Ha HHTepaaJIHMa ( -oo, 0), (0, +oo), a y TaqKH Xo = 0 HMa rrpeKH,LJ; IIpBe BpCTe jep je j( +0) = 2 =/= j(O) = 1, f( -0) = 2 =/= f(O) = 1.
(,n;) Ca,n;a naKo HaJia3HMO ,n;a je H3pa3 x(1 - x 2 ) rro3HTHBaH 3a ape,n;
HOCTH X 113 HHTepBaJia (-oo, -1) H (0, 1), 3aTHM je,n;HaK 0 3a X= 0, 1,-1 , H
HeraTHBaH Ha HHTepaaJIHMa ( -1, 0) H (1, +oo). CTora je
{
1,
j4(x) = sgn (x- x3) = 0,
-1,
aKO j e X < -1 HJIH 0 < X < 1
aKO j e X = 0, ± 1
aKO j e - 1 < X < 0 HJIH X > 1.
BEIKBE 113 AHAJI113E I 35
O,!J;aB,ll;e cJie,ll;M ,ll;a je cpyHK:O:Mja j4(x) HenpeKM,ll;Ha Ha MHTepBaJIMMa ( -oo,
-1), (-1,0), (0,1) M (1,+oo), a y ra"t.J:KaMa 0,±1MMa npeKM,ll;e npBe Bpcre
jep je
f(-1- 0) = 1 =I= j(-1) = 0, J(-1 + 0) = -1 =I= J(-1) = 0,
j( -0) = -1 =/= j(O) = 0, j( +0) = 1 =/= j(O) = 0,
j(1- 0) = 1 =/= j(O) = 0, j(1 + 0) = -1 =/= j(O) = 0. 0
3Al[ATAK 2. Hcnumamu iJa .ltU je if;yn'K;-quja
() { 0 , x=O
f X = x sin(l/x) , 0 < x :::; 1r
nenpe'K;uiJna na unmepea.~ty [0, 1r] .
Peme:a.e. <l?yHK:O:Mja f(x) = xsin(l/x) je O"t.J:MrJie,ll;HO HenpeKM,ll;Ha Ha
MHTepBaJiy (0, 1r], rra jorn Tpe6a MCllMTaTM IbeHy HerrpeKM,ll;HOCT y Ta"t.J:Kll 0.
KaKo je 3a npOM3BOJbHO c > 0
lf(x)- f(O)I = lxsin!- 01 = lxll sin !1 :S lxl :S c, X X
aKo je x E (O,c-), cJie,ll;M ,ll;a je cpyHK:O:Mja f(x) HenpeKM,ll;Ha My ra"t.J:KM 0. Crora
je OHa HerrpeKM,ll;Ha Ha I(eJIOM MHTepBaJiy [0, 7r]. 0
3AllATAK 3. OiJpeiJumu ma"J,'K;e npe'K;ui)a u 'TbUXOB 'K;apa'K;mep if;yn'K;-quje
1 f(x) = cos2
- (x =I= 0), f(O) = 0. X
Peme:a.e. <l>yHKI(Mja j(x) je HenpeKM,ll;Ha y CBMM Ta"t.J:KaMa X=/= 0.
Yo"t.J:MMO ,ll;aJLe HM3 ra"t.J:aKa Xn = 1/n7r (n EN) KOjM reJf<M Ka 0. KaKo je
f(O) = 0 M
f(xn) = cos2 (n7r) = [( -1t] 2 = 1,
cJie,ll;M ,ll;a j e 0 ra "t.J:Ka npeKM,ll;a cpyHK:O:Mj e f ( x). AKo ,ll;aJDe yo"t.J:MMO HM3 ra "t.J:aKa
Yn = 1/(n7r + 7r/2), ra,ll;a Yn -t 0 aJIM je
f(Yn) = cos2
(n7r + 7r/2) = 0 (n EN).
O,!J;aB,ll;e cJie,ll;M ,ll;a rpaHM"t.J:Ha Bpe,ll;HOCT limx-++0 f(x) He nocrojM, na je
ra"t.J:Ka xo = 0 ra"t.J:Ka npeKM,ll;a ,ll;pyre Bpcre. 0
36 BEIKBE 113 AHAJII13E I
3A,.UATAK 4. OiJpedumu ma"f-r;;e nper;;uda u 1buxoey epcmy rfiyur;;v,uje
X
f(x) = sinx ·
PemeH>e. <PyHKD;Hja f(x) HHje ,n;eqmHHCaHa y Ta-.:IKaMa x y KOjHMa je
sinx = 0, Tj. y TaqKaMa Xk = k1r (k E Z). KaKo je
lim f(x) = lim_;:_= 1, x-+0 x-+0 Sill X
y TaqKH x 0 = 0 cf>YHKD;Hja f(x) HMa OTKJIOffiHBH rrpeKH,n;. KaKo je ,n;a.rr,e
lim f(x) = lim _;:_ = ( k1r)k ( +oo) = ( -1)k k1r( +oo), x-+k7r+O x-+k7r+O Sill X -1
lim f ( x) = ( -1) k k1r (-oo), x-+k7r-O
cJie,n;H ,n;a cy TaqKe Xk (k E Z-...... {0}) TaqKe 6ecKOHa-.:mor rrpeKH,n;a. 0
3A,.UATAK 5* (3a caMOCTaJIHH pa,n;). Hcnumamu da AU ce rfiyw~v,uja 1
f(x) = x 2 cos- (x =/=- 0) Moxe doderfimmcamu y ma"f-KU 0, mar;;o iJa 6yiJe uenpex
r;;udua ua R.
3A,.UATAK 6. Pyur;;v,uja f(x) dama je ca f( -1) = 0, /(4) = 5, f(x) = ax+ 2 (0 < x:::; 2) u f(x) = x 2 (2 < x:::; 3). Hcnumamu da AU ce napaMemap a
Moxe uJa6pamu mar;;o da oua 6yde uenper;;udua y ceuM ma"f-KaMa doMeua.
PemeH>e. lloMeH ,n;aTe cf>yHKD;Hje je D = { -1; 4} U {0, 3]. Y TaqKaMa
-1 H 4 je OHa HerrpeKH,li;Ha, jep cy OBe TaqKe H30JIOBaHe TaqKe ,li;OMeHa. Ha
HHTepBaJiy (0, 2) je HerrpeKH,li;Ha KaO JIHHeapHa cf>YHKD;Hja. Ha HHTepBaJiy (2; 3] je TaKolje HerrpeKH,n;Ha. 3a a= 1 je lim f(x) = 4, lim f(x) = 4 H /(2) = 4,
x-+2-0 x-+2+0 rra je HerrpeKH,n;Ha H y TaqKH 2, a THMe H Ha D;eJIOM ,li;OMeHy.
3a a =1=- 1 je rrpeKH,n;Ha y TaqKH 2, jep je /(2) = 4 H /(2- 0) = 2a + 2 =/=- 4. CTora je oHa HerrpeKH,n;Ha Ha D aKo H caMo aKo je a= 1. 0
3A,.UATAK 7. Hcnumamu uenper;;uduocm rfiyur;;v,uja f(x) = [x] ( -1:::; x:::; 1) u g(x) = [sinx] (0:::; x:::; 21r), ar;;o je [x] uajeefiu v,eo 6poj r;;oju uuje eefiu
oiJ peaAuoz 6poja x.
PemeH>e. Mome ce Herrocpe,n;Ho BH,n;eTH ,n;a je f(x) = [x] = -1 3a -1 :::;
x < 0, f(x) = 0 3a 0 :::; x < 1 H !(1) = 1. O,n;aB,n;e ce JiaKo 3aKJLyqyje ,n;a
je cf>yHKD;Hja f(x) (x E [-1, 1]) HerrpeKH,n;Ha Ha cKyrry [-1; 0) U (0; 1), aJIH je
rrpeKH.L(Ha y TaqKaMa 0 H 1.
BEIKBE M:3 AHAJIM:3E I 37
TaKol)e ce Ha ocHoBy ,n;e<f>I-m:au:aje JiaKo MO~~<e BH,n;eT:a ,n;a je g(x) = 0
3a X E [0;7r/2)U(7r/2,7r), g(x) = -13a X E (7r;27r) H g(7r/2) = 1,g(27r) = 0.
O,n;aB,n;e Herrocpe,n;Ho cJie,n;:a ,n;a je OHa Ha HHTepBaJiy [0; 27r] HerrpeK:a,n;Ha Ha
CKYIIY [0; 71"/2) U (7r/2, 7r) U (7r, 271"), H rrpeKH,IJ;Ha je y Ta"tiKaMa 71"/2, 7r H 271". 0
3Al[ATAK 8. Hcnumamu Nenpe'K:uihwcm ¢YN'K:V,Uje y = [ 2 x J, a'K:o
X + 1 je [x] (x E R) Najeefiu v,eo 6poj 'K:oju Nuje eefiu oo 6poja x.
Pemelbe. Hajrrpe rrp:aMeT:H:MO ,n;a je cpyHKU::aja g(x) = xj(x2+1) HerrpeK::a
,n;Ha Ha ueJioj peaJIHoj rrpaBoj, jep HeMa c::aHryJiap::aTeTa Ha R. l!a.rr.e rrp:aMe
T:H:MO ,n;a je 3a x > 0 :acrryH>eHo 0 < xj(x2 + 1) ::::; 1/2, rra je 3a x > 0 :acrryH>eHo
g(x) E [0; 1). KaKo je <f>YHKU::aja [x] HerrpeK::a,n;Ha Ha :H:HTepBaJiy [0, 1), cJie,n;::a ,n;a
j e <f>yHKU:H:j a j (X) KaO KOMII03:H:U:H:j a ,IJ;Be HerrpeKH,IJ;He <f>yHKUHj e, HerrpeK:H:,IJ;Ha
y cBaKoj Ta"t!K:H: x > 0. CJiw.mo ce ,n;oKa3yje ,n;a je 3a x < 0 ::acrryH>eHo
-1/2 < xj(x2 + 1) < 0, rra KaKo je <f>YHKU::aja [x] HerrpeK::a,n;Ha Ha HHTepBaJiy
[-1,0), CJie,n;::a ,n;a je <f>yHKUHja j(x), KaO KOMII03HUHja HerrpeKH,II;HHX <f>YHKU:H:ja,
HerrpeK:H:,IJ;Ha Ha IIOJIYOCH X < 0. Y Ta"t!KH X = 0 je IIOCMaTpaHa <f>yHKU:H:ja
rrpeK::a,n;Ha, jep je f(O) = 0, aJI:a je 3a ,n;oBo.rr.Ho MaJie x < 0, f(x) = -1, rra je
f( -0) = -1 =1- f(O). 0
3Al[ATAK 9. Hcnumamu Nenpe'K:UONocm ¢YN'K:V,uje
1 f(x) = x2(x- 1).
Pemelbe. <I>yHKu::aja f(x) je pau:aoHaJIHa <f>yHKu::aja :a ,n;e<f>:aH:acaHa je 3a
cBaKo x =1- 0, 1, ,n;aKJie Ha HHTepBaJI::aMa ( -oo, 0), (0, 1), (1, +oo). KaKo je
f( -0) = -oo, f( +0) = -oo, /(1- 0) = -oo, /(1 + 0) = +oo,
Ta"t!Ke 0 H 1 cy Ta"t!Ke rrpeK::a,n;a ,n;pyre BpCTe OBe <f>yHKU:H:je. 0
3Al[ATAK 10. Hafiu ma"t'K:e npe'K:uOa ¢YN'K:v,uje f(x) oe¢uNucaNe ca
{ x 2
, 0 ::::; x :S 1 f(x) = >.- x, 1 < x::::; 2
Pemelbe. <I>yHKUHj a f ( x) j e O"t!Hr Jie,n;Ho HerrpeK::a,n;Ha Ha :H:HTepBaJI::aMa
[0, 1) :a (1, 2], rra je HerrpeK:a,n;Ha :aHa H>HXOBoj yH:aj::a [0, 1) U (1, 2]. CTora jom
ca~w Tpe6a :acrr::aTaT::a H>eHy HerrpeK::a,n;HOCT y Ta"t!K:H: 1. KaKo j e f (1) = 1 :a
/(1-0)= lim x2 =1, /(1+0)= lim (>.-x)=>.-1, x--tl-0 x--tl+O
38 BEJKBE 113 AHAJII13E I
MMaMO ,n;a je y Ta't!KM 1 cpyHKD;Mja j(x) HerrpeKM,n;Ha aKO M CaMO aKO je A= 2.
AKo je >. i= 2, cpyHKD;Hja f(x) MMa rrpeKH,n; rrpBe BpcTe y Ta't!KM x 0 = 1. D
3A,UATAR 11. Jlox;aJamu aa ¢ynx;v,uja
{
1- cosx
f(x) = x 2 '
2, X= 0
0 <X :S 7r/2
UMa Offi'K;.!W'IVUBU npex;ui) y ma"l'K;U X= 0.
Pemelbe. .IlaTa cpyHKD;Mja je O't!MrJie,n;Ho HerrpeKM,n;Ha Ha MHTepBaJiy
(0,7r/2]. KaKo je ,n;a.Jbe Ha ocHoBy je,n;Hor o,n; 3a,n;aTaKa M3 IIorJiaBJI.a 2:
l. 1- cosx 1 lffi --
x-tO x2 - 2'
M j(O) = 2, 3aKJI.y-qyjeMO ,n;a je OHa rrpeKM,ll;Ha y Ta't!KM HyJia M ,n;a y TOj Ta't!KM
MMa OTKJIOH>MBM rrpeKM,n;. AKo rrpMTOM ,n;ecpMHMmeMo cpyHKUMjy g(x) ca
{
1- cosx
g(x) = x 2 '
1/2, X= 0
0<x:S7r/2
OBa cpyHKUMja 6Mne O't!MrJie,ll;HO HerrpeKM,IJ;Ha y Ta't!KM 0, a TMMe M Ha UeJIOM
MHTepBaJiy [0, 1r /2]. D
3A,UATAR 12. Ax;o je ¢ynx;v,uja f(x) nenpex;uana na unmepea.11,y
[a, +oo) U nocmoju 'K;O'Ha"l'Ha zpa'HU"l'Ha Bp eO'HOCm limx-t+oo j (X), aox;a3amu Oa je
¢ynx;v,uja f(x) ozpanu"lena na unmepea.11,y [a, +oo).
Pemelhe. HeKa je limx-t+oo f(x) = A. Ta,n;a rrocTOjM M3BecTaH 6poj
M >a TaKaB ,n;a je 3a CBe Bpe,n;HOCTM x ~ M McrryH>eHo
lf(x)- AI :S 1.
O,n;aB,n;e je 3a Bpe,n;HOCTH x ~ !vi
lf(x)l = lf(x)- A+ AI :S lf(x)- AI+ IAI :S 1 + IAI,
rra je cpyHKUMja f(x) orpaHM'tleHa Ha MHTepBaJiy [M, +oo). KaKo je cpyHKUMja
HerrpeKM,n;Ha Ha 3aTBopeHOM MHTepBaJiy [a, M], OHa Mopa 6MTM orpaHH'tleHa
Ha MHTepBaJiy [a, M]. Haj 3a,n;, M3 orpaHM'tleHOCTM cpyHKUMj e f ( x) Ha HHTep
BaJIMMa [a, M] M [!vi, +oo), cJie,n;M M H>eHa orpaHM'tleHOCT Ha ueJioj rroJiyocM
[a, +oo). D
BEJ-KBE 113 AHAJ1113E I
IIorJiaBJLe 5
l13B01l q,YHKUMJE
1. ll3paqyHaBalbe H3BO~a .PYH~Hje
3A11ATAK 1. lhpa"{y'Hamu cee .Mozyne u3eoiJe no.JI.U'HO.Ma f(x)
x 5 - 2x4 + x 3 + 5x2 - 1 u 'lbuxoey epeiJHocm y ma"{'IW 0.
39
P€-elbe. Kao IIITO je rro3HaTo, IIOJIMHOM je eJieMeHTapHa <j>yHKD;Mja
,n;e<j>MHMCaHa Ha n;eJioj peaJIHoj rrpaBoj R, rra MMa M3Bo,n;e 6vrJio Kor pe,n;a Ha
R, ,n;aKJie rrpMrra,n;a KJiacM coo (R). IlpMJIMKOM ,n;M<j>epeHn;npalha IIOJIHHOMa ce
lberOB CTeiieH CMalhyje 3a 1, TaKO ,n;a IIOCJie ,Il;OBOJLHOr 6poja ,n;H<j>epeHD;ll
palba yBeK ,n;o6njaMO <j>yHKD;Hjy KOja je M,Il;eHTM'!KM je,n;HaKa 0. Y KOHKpeTHOM
cJiy-qajy MManeMo ,n;a je:
f ( x) = x5 - 2x4 + x 3 + 5x2
- 1,
f'(x) = 5x4- 8x3 + 3x2 +lOx,
!" (x) = 20x3- 24x2 + 6x + 10,
j(3 )(x) = 60x2 - 48x + 6,
JC4) (x) = 120x- 48,
JC5)(x) = 120, j(6 )(x) = 0, f(n)(x) = 0 (n ~ 6).
Iloce6Ho je y Ta'!KM 0:
!'(0) = 0, !"(0) = 10, /(3)(0) = 6, /(4)(0) = -48, /(5)(0) = 120,
f(n)(O) = 0 (n ~ 6). D
40 BE>KBE 113 AHAJI113E I
3A,UATAK 2. Jlo-x;aJamu oa cea-x;u noAmWM Pn(x) cmene'Ha n JaooeoJbaea jeoH.a-x;ocmu
p~n)(x) = konst, p~n+ 1)(x) = 0.
Pemelbe. Yo"t..IIIMO 6IIJIO KOjii IIOJIIIHOM Pn(x) = a0xn + a1xn- 1 +···+an cTerreHa n ( a0 =j:. 0). Ta,n;a j e
P~(x) = naoxn-1 + (n- 1)a1xn-2 + · · · + an-1,
P~(x) = n(n- 1)aoxn-2 + (n -1)(n- 2)a1xn-3 + · · · + 2 · 1an-2,
HT,l(. IlocJie n y3aCTOIIHHX ,n;HcpepeHI:l;Hpaffia ,n;06HjaMO ,n;a je
p~n)(x) = n!a0 = konst, p~k)(x) = 0 (k ~ n + 1). D
3A,UATAK 3. Hafiu npea oea U3BOOa ¢Y'H'X:V,Uje f(x) = X in Jx + 1J
(X =j:. -1) U ?bUXOBY Bp eO'HOCm y ma"-l'X:U 0.
Pemelbe. KaKo je (ln JxJ)' = 1/x (x =j:. 0), HaJia3HMO ,n;a je
j'(x) = (x)1 ln Jx + 1J + x (ln Jx + 1J)1 =
X 1 = ln Jx + 1J + -- = ln Jx + 1J + 1 - --
1,
x+ 1 x+
j" (X) = X ~ 1 + I-- '1 '\? (X =j:. 1).
O,n;aB,n;e je j 1(0) = 0, f"(O) = 2.
HarroMeHHMO ,n;a je H oBa <PYHK:o;Hja eJieMeHTapHa H ,n;ecpHHHCaHa Ha
OTBOpeHOM CKyrry X =j:. 0, rra Ha TOM CKyrry IIOCe,n;yje H3BO,n;e 6HJIO KOr pe,n;a.
D
3A,UATAK 4. Hafiu npeu uJeoo ¢yH.-x;v,uje f(x) = /x + ijX (x > 0) u ?bezoey epeoH.ocm y ma"-l'X:U 1.
Pemelbe. 11 oBa <PYHK:o;Hja je eJieMeHTapHa H ,n;ecpHHHCaHa Ha cKyrry
X > 0, rra je 6eCKOHa"t..J:HO ,n;IIcpepeHIJ;Hja6HJIHa Ha TOM CKyrry.
Ha ocHoBy TeopeMe o .n;HcpepeH:o;Hpaffiy CJIOIKeHe <PYHKIJ;Hje, HaJia3HMO
,n;a J e:
! I ( ) _ 1 ( 3!:".) I 1 ( 1 ) x- x+vx= 1+--= 2/x + ijX .jx + ijX 3x2/3
3x213 + 1
6x2/3 V x + ijX
BEIKBE l13 AHAJIM3E I 41
O,n;aB,n;e je f'(1) = 2/3J2. D
3A,UATAK 5. Jf3pa"{y'Hamu npea iJea uJeoiJa rfiy'Hr.:v,uje f(x) = xx
(x > 0), r.;ao u 'lbuxoey epeiJHocm y ma"{r.;U 1.
Pemelhe. l1ManeMo ,n;a j e f ( x) = ex In x, na j e Ha ocHoBy TeopeMe o
,U¥~cf>epeHil~Ipalhy CJIOJKeHe cf>yHKil;IIje:
J'(x) = ( exlnx) (x lnx)' = (lnx + 1)exlnx = (lnx + 1)xx,
1 f"(x) = (lnx + 1)'xx + (lnx + 1)(xx)' =- xx + (lnx + 1)(1nx + 1) xx =
X
= [ ~ + (ln X + 1) 2] XX.
O,n;aB,n;e je f'(1) = 1, !"(1) = 2. D
3A,UATAK 6. Hafiu npea mpu uJeoiJa rfiy'Hr.:v,uje f(x) = ex2
u u3pa"{y
'Hamu 'lbuxoey epeiJ'Hocm y 0.
Pemelhe. l1ManeMo ,n;a je:
( 2)' 2 2 2 f"(x) = ex =ex (x )' = 2xex ,
2 2 I 2 2 f"(x) = 2(x)'ex + 2x(ex ) = 2ex + 2x(2x)ex =
2 2 2 = 2ex + 4x ex '
(3) 2 2 2 2 2 2 3 2 f (x) = 2ex (2x) + 8xex + 4x (ex )' = 4xex + 8xex + 8x ex =
= (12x + 8x3 )ex2
•
O,n;aB,n;e HaJia3HMO ,n;a je f'(O) = 0, f"(O) = 2, f(3)(0) = 0. D
3A,UATAK 7. Ar.:o je rfiy'Hr.:v,uja f(x) n nyma iJu¢epeHv,uja6uA'Ha 'Ha U'HmepeaAy D = (a, b), iJor.:aJamu iJa je rfiy'Hr.:v,uja g(x) = !(ax+ {3) (a =/:- 0) mar.;olje n nyma iJu¢epe'Hv,uja6uA'Ha 'Ha U'HmepeaAy D1 = ~D- {3, u npumoM je
g(k) (x) = ak f(k) (ax+ {3) (k=1,2, ... ,n).
Pemelhe. KaKo je cf>YHK:o;uja h(x) = ax+ {3 5ecKOHa"t!HO ,n;ucf>epeH:o;Hja-
6HJIHa Ha :o;eJIOj npaBOj R, Ha OCHOBy TeopeMe 0 ll3BO,Uy CJIOJKeHe cf>yHKD;Hje
cf>YHK:o;uja g(x) = f(ax + {3) 6une ,n;ucf>epeH:o;uja6HJIHa Ha HHTepBaJiy D 1 , u
llpHTOM Je
g'(x) =!'(ax+ {3) (ax+ {3)' =a f'(ax + {3).
42 BEIKBE 113 AHAJil13E I
Cm11.IHO je 11 cpyHK:o;Hja g'(x) ,n:HcpepeH:o;Hja6HJIHa Ha HCTOM HHTepBaJiy 11
IIpl1TOM Je
g11 (X) = o? j" ( CI.X + (3).
HacTaBJI.ajynH OBaj rrocTyrraK n rryTa, 3aKJI.yqyjeMo ,n:a je cpyHK:o;Hja
g(x) n rryTa ,n:HcpepeH:o;Hja6HJIHa Ha HHTepBaJiy D 1, 11 rrpHTOM je
g(n)(x) = Cl.n j(n)(ax + (3). 0
IIpeTrrocTaBHMO ,n:aJI.e ,n:a je cpyHK:o;Hja f(x) ,n:ecpHHHCaHa y HeKoj OKOJIHHH
lx- Xol < 0 Ta'!Ke XQ, 11 ,n:a IIOCTOje rpaHH'!He Bpe,n:HOCT11
f~(xo) = lim f(x)- f(xo) x~xo-0 X- Xo '
f~(xo) = lim f(x)- f(xo) x~xo+O X- Xo
Ta,n:a ce OBe rpaHH'!He Bpe,n:HOCT11 Ha311Bajy pe,n:OM ~eeuM 11 oecNUM
U38000M cpyHKD;Hje j(x) y Ta'!Kl1 XQ, l1JI11 jeONOCmpaNUM U3800UMa Te cpyHKD;Hje
y IIOCMaTpaHOj Ta'!Kl1. Il03HaTO je ,n:a je cpyHKD;Hja j(x) ,ll;11cpepeHD;l1ja611JIHa y
Ta'!Kl1 Xo aKO 11 CaMO aKO IIOCTOje O,ll;rOBapajynH je,n:HOCTpaHH l13BO,ll;l1 11 OHM
cy Mel)yco6Ho je,n:HaKH, Tj. Baa-m f'_(xo) = f~(xo).
3AJIATAK 8. Oopeoumu cee ma"i-x:e y -x:ojuMa cy ¢yn-x:v,uje f(x)
sgnx U g(x) = lxl ou¢epenv,uja6u~Ne.
Pemelbe. (a) KaKo je
{
1, X> 0
f(x)=sgnx= 0, x=O -1, X< 0
cpyHKD;Hja j(x) je O'!l1rJie,ll;HO ,ll;11cpepeHD;l1ja611JIHa y CB11M Ta'!KaMa X ~ 0, 11
IIpl1TOM je j'(x) = 0 3a CBaKO X~ 0.
Y Ta'!Kl1 X= 0 cpyHKD;Hja j(x) Hl1je ,ll;11cpepeHD;l1ja611JIHa jep je KaO IIITO . . Je II03HaTO y TOJ Ta'!Kl1 OHa IIpeKH,ll;Ha.
(6) KaKo je
g(x) = lxl = { x, -x,
x~O
X< 0'
cpyHKD;Hja g(x) je O'!l1rJie,ll;HO ,ll;HcpepeH:o;Hja611JIHa y CB11M Ta'!KaMa X =f 0 11
IIpl1TOM Je
{ 1,
g'(x) = -1, x>O
x<O
BElKBE 113 AHAJII13E I 43
liaJI.e Herrocpe,nHo HaJia3MMO ,n;a je
g~ (0) = lim g(x)- g(O) x-+-0 x-O =-1,
g~(O) = lim g(x)- g(O) x-++0 X- 0 = +1.
KaKO je g~(O) =f. g~(O), Ha OCHOBy II03HaTOr TeOpMjCKOr CTaBa, 3a
KJI.y'IyjeMO ,na cpyHK:o;Mja g(x) HMje ,n;McpepeH:o;Mja6MJIHa y Ta'IKM 0. CTora
je OHa ,Il;I1cpepeH:o;Mja6MJIHa CaMO y Ta'IKaMa X ;j= 0, Tj. Ha YHI1jl1 MHTepBaJia
( -oo, 0) U (0, +oo). D
3A1IATAK 9. Oopeoumu cee ma"i'K:e y 'K:oju.Ma ce c..1eoe!ie rfiy'H'K:V,uje
ourfiepem~uja6U..1'He: (a) sgn (x2-2x); (6) [x] (" aHTje" O,ll. X E R); (:o;) [1/x]; (,n;) sgn(1/x); (e) lx2 -2x-5l; (cp) lx+1l+lx-2l; (r) lxl 3.
3A1IATAK 10. Oopeoumu uJeoo rfiy'H'K:v,uje
{ X+)., X:::; 0
f(x)= (x-1)2, x>O
y ceu.M ma"i'K:a.Ma y 'K:oju.Ma O'H nocmoju.
Pemelhe. <I>yHK:o;Mja f(x) je O'IMrJie,n;Ho ,n;McpepeH:o;Mja6MJIHa y CBMM
Ta'IKaMa X =f. 0 I1 IIpi1TOM je
'( ) { 1, X < 0 j X = 2(x- 1), x > 0
KaKo je !( -0) = )., f( +0) = 1, y cJiy'Iajy ,n;a je ). =f. 1 cpyHK:o;Mja f(x) je rrpeKM,n;Ha y 0, rra HMje HM ,nMcpepeH:o;Mja6MJIHa y Ta'IKM 0. AKo je ). = 1, cpyHK:o;Mj a f ( x) j e HerrpeKM,n;Ha y Ta 'IKM 0. KaKo j e Ta,n;a
!~(0) = 1, !~(0) = 2,
cpyHK:o;Mja f(x) HM 3a ). = 1 HMje ,nMcpepeH:o;Mja6MJIHa y Ta'IKM 0. D
3A1IA TAK 11. .llo'K:aJamu oa je PY'H'K:V,Uja
{ x sin 1, x =f. 0
f(x) = 0, ; = 0
6eC'K:O'Ha"i'HO oupepe'HV,Uja6u.;ma y CBU.M ma"i'K:a.Ma X =f. 0, a..1U y ma"i'K:U 0 'HUje
oupepe'HV,Uja6U..1'Ha.
44 BEIKBE 113 AHAJI113E I
Peme11:.e. KaKo je j(x) eJieMeHTapHa <PYHKD;Hja .n;e<PHHHCaHa y CBHM
TaqKaMa X f 0, CJI€,IJ;H .n;a je OHa 6eCKOHaqHO ,II;H<PepeHD;Hja6:H:JIHa y CBHM
TaqKaMa HHT€pBaJia ( -00, 0) H y CBHM TaqKaMa HHTepBaJia (0, +oo). CTora
jom Tpe6a .n;oKa3aTH .n;a OHa He rroce.n;yje H3Bo.n; y TaqKH 0. KaKo je 3a 6HJIO Koje h > 0:
f (h) - f ( 0) h sin * . 1 h = h = smh,
MOiKe ce JiaKO BH,IJ;eTH .n;a .n;eCHH H3BO,IJ; OBe <PYHKD;Hje j~(O) yorrmTe He IIOCTOjH.
3a:H:CTa, aKO yoqHMO HH30B€ 6pojeBa
1 Xn = 2mr + Jr/2'
1 Yn = 2n7r- 1rj2 (n EN),
Ta.n;a OHH o6a TeiKe Ka 0 Ka.n;a n--+ oo, aJIH je
sin_..!._ = sin(2n7r + 1r /2) = 1, Xn
sin_..!._= sin(2n7r- 1rj2) = -1 (n EN), Yn
rra H3BO,IJ; j~ (0) He IIOCTOjH.
CTora <PYHKD;Hja f(x) HHje .n;H<PepeHn:Hja6HJIHa y TaqKH 0. D
3A,.UATAK 12. Jlo1-ca3amu da je rpyn11:v,uja f(x) = x lxl iJurftepenv,uja-6u.t£Ha na v,e.t£oj npaaoj R, a.t£u ne.Ma dpyzu U3Bod y ma~11:u 0.
Peme11:.e. 11ManeMo .n;a je j(O) = 0 H
{ x2, x > 0
f(x) = -x2, x < 0
rra je <PYHKD;Hja j(x) Qq:H:rJie,IJ;HO 6eCKOHaqHO ,IJ;H<PepeHD;Hja6:H:JIHa y CBHM Taq
KaMa xi= 0. IIoce6Ho HaJia3HMO .n;a je 3a x f 0:
{ 2x,
j'(x) = -2x,
llaJLe je:
x>O x<O
j' ( 0) = lim f (h) - f ( 0) = lim h 2
-0 = lim h = 0
+ h-t+O h h-t+O h h-t+O '
f~(O) = lim f(h)- f(O) = lim -h2
-0 = lim (-h)= 0.
h--t-0 h h--t-0 h h--t-0
O.n;aB.n;e cJie.n;H .n;a H3BO.n; f'(O) rrocTojH H .n;a je f'(O) = 0.
BEJKBE 113 AHAJII13E I 45
CTora MOJKeMo .n;a KaJKeMo .n;a je y rrpmi3BOJbHOj Tat.IKH x E R HcrryH>eHo
f'(x) = 2lxl.
KaKo cpyHKD;Hja lxl HHje .n;HcpepeHn;Hja6miHa y 0, cJie,n;H .n;a cpyHKD;Hja
f(x) HeMa .n;pyrH H3BO,n y Tat.IKH 0. D
3Al(ATAK 13. Jior,;a3amu oa ¢yHr,;v,uja f(x) = x 3lxl (x E R) npunaoa
r,;.aacu C3(R) \ C4(R).
Pemelbe. Yot.IHMO OIIIIITHje, cpyHKD;Hjy f(x) = xn lxl (x E R, n E N).
KaKo je
{
xn+l,x > 0
f(x) = 0, x = 0 ,
-xn+l X< 0 '
H cpyHKD;Hja xm (m E N) je .n;HcpepeHn;Hja6HJIHa 3a cBaKH rrpHpo.n;aH 6poj m,
CJie,n:H .n;a je cpyHKD;Hja f(x) ,n;HcpepeHn;Hja6HJIHa y CBaKoj Tat.IKH x f. 0. IIpHTOM
je
J'(x) = { (n+ 1)xn,x > 0 . -(n+ 1)xn,x < 0
OcHM Tora, Ha OCHOBY ,n:ecpHHHD;Hje ce JiaKo MOJKe BH,n:eTH .n;a je f'(O) = 0. CTora je f'(x) = (n + 1)xn-l lxl (x E R). O,n:aB,n:e rrpHMeHOM HH,II:yKD;Hje,
Herrocpe,n:Ho cJie,n:H ,n:a je f"(x) = (n + 1)nxn-2 lxl, ... , j(n)(x) = (n + 1)!lxl, rra
Ol.IHI'Jie,II:HO f(x) E cn(R). MeijyTHM, KaKO H3BO,n: cpyHKTI;Hje lxl y 0 He IIOCTOjH,
Herrocpe,n:HO CJie,n:H ,n:a cpyHKTI;Hj a f (X) tJ. cn+l ( R). D
je
3Al(ATAK 14. Jior,;a3amu oa 3a 6u.ao r,;oju npupooa'H 6poj n BaJICu:
(1) (sinx)(n) = sin(x + mr/2), (2) (cosx)(n) = cos(x + mr/2).
Pemelbe. 11oKa3 o6e cpopMyJie H3BeiiineMo HH.n:yKn;HjoM no n. <I>opMyJia (1) Ot.IHrJie,n:Ho je Tat.IHa 3a n = 1 jep je
(sin x )' = cos x = sin(x + 1r /2).
AKo rrpeTnocTaBHMO ,n:a cpopMy Jia ( 1) BaJKH 3a rrpHpo,n:aH 6poj n, Ta,n:a
(sinx)(n+l) = [(sinx)(n)J' = [ sin(x + mr/2)]' =
= cos(x + n1r /2) = sin(x + n1r /2 + 1r /2) = = sin(x + (n + 1)7r /2).
CTora cpopMyJia (1) BaJKH 3a CBe rrpHpo,n:He 6pojeBe n.
46
Je
BEIKBE 113 AHAJI113E I
<PopMyJia (2) je TaKol)e O'II1:rJie,n;Ho Ta'!Ha 3a n = 1 jep je
(cosx)' =- sinx == cos(x + 1rj2).
AKo rrpeTrrocTaBHMO ,n;a <j>opMyJia (2) BaJKH 3a rrpupo,n;aH 6poj n, Ta,n;a
(cosx)(n+l) = [(cosx)(n)J' = [ cos(x + n7r/2)J' =
= - sin(x + n1r /2) = cos(x + n1r /2 + 1r /2) =
= cos(x + (n + 1)7r/2).
CTora oBa <j>opMyJia BaJKH 3a CBe rrpupo,n;He 6pojeBe n. 0
3A,UATAK 15. Hanu n-mu uaeoa rfiyux;v,uje f(x) = Jf+X (x 2: -1).
Pemelbe. Ha ocHoBy omriTe <j>opMyJie, HManeMo ,n;a je 3a 6uJio Koju
rrpupo,n;aH 6poj n ucrryiheHo:
f(n)(x) = [(1 + x)l/2](n) =
1 1 1 ( ) 1/2-n = = -( __ 1) ... (-- n + 1) · 1 + x 2 2 2
_1(-1)(-3)·(3-2n)(1 +x)l/2-n= - 2n
_ ( -l)n- 1(2n- 3)!! (1 + x)l/2-n. 0 - 2n
3A,UATAK 16. Hanu n-mu u3eoa rfiyux;v,uje f(x) = ln (1 + 2x) (x > -1/2).
Pemelbe. 11ManeMo ,n;a je
1 2 f'(x)= (1+2x)'= =2(1+2x)- 1
, 1 + 2x 1 + 2x
rra je 3a 6uJio Koju rrpHpo,n;aH 6poj n:
f(n)(x) = 2n( -1)( -2) · · · ( -n + 1)(1 + 2x)-n =
= ( -1t-l2n (n- 1)!(1 + 2x)-n.
<PopMaJiaH ,I.J;OKa3 OBe OIIIIITe <j>OpMyJie MOJKe Ce JiaKO ll3BeCTH HH,I.J;yKD;H
jOM. 0
3A,UATAK 17. Hanu n-mu u3eoa rfiyux;v,uje f(x) = sin3 x.
BE>KBE 113 AHAJ1l13E I 47
PemeJLe. <I>yHKUHja f(x) = sin3 x je eneMeHTapHa H .n;eqmHHCaHa Ha
uenoj rrpaBoj R, rra je 6ecKoHaqHo .n;H<flepeHUHja6HJIHa Ha uenoj rrpaBoj R. Ko,n: TpHrOHOMeTpHjCKHX <fJYHKUHja oBaKBor nma, Bpno qecTo ce KO,n: Haname
:a,a H3BO,n:a IIpHMe:a,yje IIOCTyiiaK CHHJKaBa:a,a CT8II8Ha. TaKO HaJia3HMO ,n:a je
f ( ) . 2 . 1 - cos 2x . sin x sin x cos 2x
X = Sln X Sln X = Sln X = -- - = 2 2 2
sin x 1 ( . 3
. ) 3 . 1 . = -- - - sm x - sm x = - sm x - - sm 3x. 2 4 4 4
O,n:aB,n:e Herrocpe,n:Ho ,n:o6HjaMo ,n:a je 3a 6HJIO KOjH rrpHpo,n:aH 6poj n:
f(n)(x) = ~ sin(x + mr/2)-3; sin(3x + mr/2). D
3A1IATAK 18. )Jo'K:a3amu oa je U3800 napue ourftepem~uja6U.!£'/-te rftyu'K
u,uje ua uumepeaAy (-a, a) (a> 0) uenapua rftyu'Ku,uja, a U3eoo uenapue ourftep
euu,uja6u.!£ue rftyu'Ku,uje ua uumepea.!£y (-a, a) napua rftyu'Ku,uja.
PemeJLe. YoqHMO 6Hno Kojy ,n:H<flepeHuHja6HJIHY <flyHKUHjy Ha HHTep
Bany (-a, a), H rrpeTrrocTaBHMO ,n:aje OHa rrapHa. Ta,n:aje 3a 6HJIO Kojy TaqKy
xo E (-a, a):
!'(-xo) = lim f(x)- f(-xo) = _ lim f(-x)- f(xo) = x->-xo x- Xo x->-xo -x- ( -xo)
. !( -x)- !( -xo) . f(y)- !( -xo) =- hm =- hm =
-x->xo -x- ( -xo) .. y->xo y- ( -xo)
= -f'(-xo).
CTora je H3BO.n;Ha <flyHKIJ:Hja f'(x) HerrapHa Ha rrocMaTpaHOM HHTepBany.
Iloce6Ho je Ta,n:a f'(O) = 0.
l[aJLe IIp8TIIOCTaBHMO ,n:a j e <flyHKI(Hj a j (X) ,n:n<flepeHI(Hj a6HJIHa Ha HH
T8pBaJiy (-a, a) n HerrapHa. Ta,n:a je 3a 6Hno Kojy Ta"tiKY x 0 E (-a, a):
!'( ) _ 1. f(x)- !( -xo) _
1. - !( -x) + f(xo) _
-xo - 1m - 1m -x->-xo X - Xo x->-xo X - Xo
. !( -x)- f( -xo) . f(y)- !( -xo) =hm =hm =
-x->xo -x - ( -xo) y->xo y- ( -xo)
= !' ( -xo).
CTora je H3BO,n:Ha <flyHKUHja f'(x) rrapHa Ha rrocMaTpaHOM HHTepBany.
D
48 BE>KBE H3 AHAJIH3E I
3A1IATAK 19. A1\:o je rfiy'H1\:V,Uja f(x) iJurfiepeHv,uja6u.~~,'Ha Ha U'HmepBa.JI,y (a, b) u npumoM je f'(x) = 0 3a cBa1\:o x E (a, b), iJo1\:a3amu iJa je maiJa f(x) 1\:0'Hcma'Hm'Ha rfiy'H1\:V,Uja 'Ha nocJ.tampa'HOM U'Hmepea.~~,y.
A1\:o je rfiy'H1\:V,Uja f(x) iJeanym iJurfiepeHv,uja6U.JI,'Ha 'Ha u'Hmepea.~~,y (a, b) u npumoM je f"(x) = 0 Ja cea1\:o x E (a, b), iJo1\:a3amu iJa je maiJa f(x) .JI,U'Heap'Ha rfiy'H1\:V,Uja 'Ha uHmepea.~~,y (a, b).
Pemelhe. IIpeTIIOCTam-IMo Hajrrpe ,n;a je f'(x) = 0 3a cBaKo x E (a, b).
KaKO je OCHM TOra If H3BO)J; <f>YHKD;Hje g(x) = 0 TaKol)e H)J;eHTWIKH je,n;HaK
HYJIH Ha HHTepBaJiy [a, b], Ha OCHOBY je,n;He IIOCJie,n;mJ;e JlarpaH:>KOBe TeopeMe
CJie,n;H ,n;a je j(x)- g(x) = p KOHCTaHTHa <f>YHKD;Hja Ha HHTepBaJiy (a, b), ,n;aKJie
f(x)=p(a<x<b).
lla.Jbe rrpeTrrocTaBHMO ,n;a je f"(x) = 0 Ha HHTepBaJiy (a, b). Ta,n;a je
Ha OCHOBY )J;OKa3aHOr ,n;eJia TBp 1jelha j' (X) = p KOHCTaHTHa <f>yHKD;Hj a Ha IIOC
MaTpaHOM HHTepBaJiy. AKo ,n;a.Jbe yo"t.J:HMO <f>YHKD;Hjy g(x) = px, HManeMo
,n;a je g'(x) = p, rra je f'(x) - g'(x) = (f(x) - g(x))' = 0 Ha HHTepBaJiy
(a, b). O,n;aB,n;e Ha OCHOBY HCTe rrocJie,n;Hn;e JiarpaH:>KoBe TeopeMe cJie,n;H ,n;a
je j(x)- g(x) = j(x)- pX = q KOHCTaHTHa <f>yHKD;Hja Ha HHTepBaJiy (a, b), rra
j e f ( x) = px + q. 0
2. MoHoTOHOCT H KOHBeKcHocT cpyHR~Hja
3A1IATAK 20. llo1\:a3amu iJa je rfiy'H1\:V,Uja f(x) = tg x cmpozo pacmy
fia 'Ha U'Hmepea.JI,UJ'vta (k7r -7r/2, k7r + 7r/2) (k E Z), a rfiy'H1\:V,uja g(x) = arctgx je cmpozo pacmyfia 'Ha v,e.11,oj pea.JI,'HOj npaeoj R.
Pemelhe. HManeMo ,n;a j e f' ( x) = - 1-2
- > 0 3a cBaKo x =!= k7r + 7r /2 COS X
(k E Z), o.n;aKJie cJie.n;H rrpBH ,n;eo TBpl)elha.
llaJLe j e g' ( x) = ( arctgx )' = , ,1
') > 0 3a CBaKo peaJIHO x, o,n;aKJie
cJie,n;u ,n;pyru ,n;eo TBp1jelha. 0
3A1IATAK 21. Hafiu U'Hmepea.11,e MO'HomoHocmu rfiy'H1\:V,uje f(x) 1 -') (xER).
+x
Peme!he. KaKo j e f' ( x) = 1
- x: ( x E R), Herrocpe,n;Ho cJie,n;u ,n;a j e 1+x
f'(x) > 0 3a lxl < 1 11 f'(x) < 0 3a lxl > 1. CTora Ha HHTepBaJiy ( -1, 1) <f>yHKn;uja f(x) CTporo pacTe, aHa llHTepBaJiuMa ( -oo, -1) M (1, +oo) CTporo
BE:rKBE 113 AHAJII13E I
orra,n:a. D
3AllATAK 22. Hafiu uHmepeaJte MOHomoHocmu rfty'HK:V,uje f(x) x3 e-x (x E R).
PemeH>e. KaKo je
f'(x) = 3x2e-x- x3 e-x = x2 (3- x)e-x,
49
,n:o6MjaMo ,n:a je f'(x) > 0 3a x < 3 M f'(x) < 0 3a x > 3. CTora Ha MHTep
BaJiy ( -oo, 3) <f>yHKQMja f(x) cTporo pacTe, a Ha MHTepBaJiy (3, +oo) cTporo
orra,n:a. D
3AllATAK 23. Oopeoumu uHmepeaJte MO'HomoHocmu rftyHK:V,uje f(x)
=sin~ (O<x<n/2). X
PemeH>e. 11ManeMo ,n;a j e
1 1 !'(x) =- x2 cos-;;;'
rra je f'(x) > 0 3a cos~ < 0 M f'(x) < 0 3a cos~ > 0. CTora Herrocpe,n;Ho X X
HaJia3MMO ,n;a je j'(x) > 0, Tj. <f>yHKD;Mja j(x) CTpOrO paCTe Ha MHTepBaJIMMa
I _ ( 1 1 ) n - (2n + 3/2) )n' (2n + 1/2)n
(n E No),
M j'(x) < 0, Tj. <f>yHKD;Mja j(x) CTpOrO Orra,n:a Ha MHTepBaJIMMa
2 7r) lo=(;;>2' I-( 1 1 )
n - (2n + 5/2)n' (2n + 3/2)7r
3AllATAK 24. JloK:aJamu oa ceaK:u noJtuHoM
(n E No). 0
P(x) = aoxn + a1xn- 1 +···+an ( n 2: 1 , ao =I= 0)
npeocmae.!ba cmpozo MO'HomoHy rfty'HK:V,ujy y uHmepeaJtu.Ma ( -oo, -a) u (a, +oo), Ja uJeecma'H OOBO./b'HO eeJtU'K:U 6poj a > 0.
Pemelbe. AKo yo'IHMO oBaj rroJIMHOM 3a ,n:oBO.lliHO BeJIMKe Bpe.n;HOCTM x,
TJ. Bpe,n;HOCTM x 3a Koje je lxl 2: M, Ta,n:a je
P'(x) = naoxn- 1 + (n- 1)a1xn-2 + · · · + an-1 = n-1[ (n-1)a11 an-1 1 J = naox 1 + - + ... + ---- rv
nao x na0 xn-1
rv naoxn-1
50 BEJKBE M3 AHAJH13E I
O,IJ;aB,IJ;e Herrocpe,IJ;HO cJie,IJ;I:I ,IJ;a rrocToji:I I:I3BecTaH ,IJ;OBOJLHO BeJII:IKI:I rro-
3I:ITI:IBaH 6poj a TaKaB ,IJ;a j e 3HaK I:I3BO,IJ;a P' ( x) KOHCTaHTaH ( rro3I:ITI:IBaH I:IJII:I
HeraTI:IBaH) Ha cBaKOM o,IJ; I:IHTepBaJia (-oo, -a), (a,+oo), rra je IIOJII:IHOM P(x)
CTpOrO MOHOTOHa cpyHKIJ;I:Ij a Ha CBaKOM O,IJ; HaBe,IJ;eHI:IX l:IHTepBaJia. 0
3All.ATAK 25. 1Io~a3amu oa 3a cea~o X E (0, 7r/2) Ba:JICU nejeona~ocm
(1) 2x . - < smx < x. 7r
Pemelhe. Yo'II:IMO Hajrrpe cpyHKIJ;I:Ijy
f(x) = x- sinx (0 <X< 7r/2).
Ta,IJ;a je f'(x) = 1- cosx > 0 3a x E (0,7r/2), rra cpyHK:u;I:Ija f(x) cTporo
pacTe y rrocMaTpaHOM I:IHTepBaJiy. KaKo je f(O) = 0, CJie,IJ;I:I ,IJ;a je f(x) > 0 3a
X E (0,7r/2), O,IJ;aKJie CJie,IJ;I:I Heje,IJ;HaKOCT sinx <X. llaJLe yo'II:IMO cpyHK:u;Mjy
( ) . 2x
g x = smx--7r
Herrocpe,IJ;HO HaJia3I:IMO ,IJ;a je
g'(x) = cosx- ~ 7r
(0 <X< 1rj2).
(0 <X< 7r/2).
AKo ca x0 03Ha'II:IMO 6poj I:I3l:IHTepBaJia (0,7r/2) TaKaB ,IJ;aje cosx = 2/7r, Ta,IJ;a je O'II:IrJie,IJ;HO g'(x) > 0 3a x E (O,xo) I:I g'(x) < 0 3a x E (x0 ,7r/2). CTora
cpyHK:UI:Ija g(x) CTporo pacTe Ha I:IHTepBaJiy (0, x0 ) I:I CTporo orra,IJ;a Ha I:IHTep
BaJiy (x0 , 1r /2). KaKo je rrpl:ITOM g(O) = g(1r /2) = 0, o,IJ;aB,IJ;e Herrocpe,IJ;HO CJie,IJ;I:I
,IJ;a je cpyHKIJ;I:Ija g(x) > 0 Ha :u;eJIOM l:IHTepBaJiy (0,7r/2), O,IJ;aKJie ,IJ;06I:IjaMO . . 2x
0 HeJe,IJ;HaKOCT smx > -. 7r
3All_ATAK 26. Ha!iu unmepea.1te ~onee~cnocmu rfiyn~v,uja
R); (a) tgx (-1rj2 < x < 7r/2); (6) arctgx (x E R), (:u;) shx (x E
(,IJ;) chx (xER).
Pemelbe. (a) KaKo je
1 (tgx)' = cos2x'
(tgx)" = smx cos3 x
( -7r /2 < X < 7r /2),
BEIKBE 113 AHAJII13E I 51
HMaMO ,n;a je (tgx)" > 0 Ha HHTepBaJiy (0,7r/2) H (tgx)" < 0 Ha HHTep
BaJiy (-7r/2,0). CTOI'a je OBa cpyHKI(Hja KOHBeKCHa Ha HHTepBaJiy [0,7r/2)
H KOHKaBHa Ha HHTepBaJiy ( -7r /2, 0].
(6) AKo 03Ha'IHMO y = arctgx (x E R), Ta,n;a je
1 y' = 1 + x2'
2x y" = - (1 + x2 ) (x E R),
rra je cpyHKI(Hja KOHBeKCHa Ha HHTepBaJiy ( -oo, 0] H KOHKaBHa Ha HHTepBaJiy
[O,+oo). (I() AKo 03Ha 'IHMO y = sh x, Ta,n;a j e
y' = (shx)' = chx > 0, y" = (shx)" = (chx)' = shx,
rra je y" > 0 3a X > 0 H y" < 0 3a X < 0. CTora je OBa cpyHKI(Hja KOHKaBHa Ha
HHTepBaJiy ( -OO, 0] H KOHBeKCHa Ha HHTepBaJiy [0, +oo).
(,n;) AKo 03Ha'IHMO y = ch x, Ta,n;a j e
y' = (chx)' = shx, y" = (chx)" = (shx)' = chx (x E R),
rra je y" > 0 3a cBaKo x E R. CTora je oBa cpyHKI(Hja KOHBeKcHa Ha I(enoj
rrpaBoj R. 0
3A..UATAK 27. Hanu unmepea.Jte x:oneex:cnocmu u x:onx:aenocmu
¢ynx:v,uje f(x) = x + x 513 (x E R).
Pemelbe. KaKo je
!' (x) = 1 + ~x2/3 3 '
!" (x) = 10 x-1/3 = 10 1 9 9 xl/3'
HMaMo ,n;a je f"(x) > 0 3a x > 0 H f"(x) < 0 3a x < 0. CTora je cpyHKI(Hja f(x) KOHBeKCHa Ha llHTepBaJiy (O,+oo), H KOHKaBHa Ha HHTepBaJiy (-oo,O). 0
3A..UA TAK 28. OiJpeiJumu unmepea.Jte x:oneex:cnocmu u x:onx:aenocmu
¢ynx:v,uje
f(x) = x 4- 4x3 + 6x- 2.
Pemelbe. I1ManeMo ,n;a je
f'(x) = 4x3- 12x2 + 6,
f"(x) = 12x2- 24x = 12x(x- 2).
52 BEIKBE l13 AHAJII13E I
O,n;aB,n;e CJie,n;11 ,n;a je f"(x) > 0 3a x < 0 11 x > 2, 11 f"(x) < 0 3a
0 < x < 2. CTora je <f>yHKD;Mja f(x) KOHBeKcHa Ha l1HTepBaJil1Ma ( -oo, 0) 11
(2, +oo), l1 KOHKaBHa Ha l1HTepBaJiy (0, 2). 0
3A,ilATAK 29. 1Io1w3amu iJa je if;ynK:v,uja f(x) = xP (x > 0) cmpozo
K:oneeK:cna na v,e.n.oM unmepea.Jty (0, +oo) 3a p > 1 u 3a p < 0, cmpozo K:onK:aena
na oeoM unmepea.Jty 3a 0 < p < 1, u ucmoepeMeno K:oneeK:cna u K:O'HK:aena 3a
p=Oup=l.
Pemelbe. l1ManeMo ,n;a je 3a rrpol13BOJI.Ho p E R 11 x > 0:
f'(x) =pxP- 1 , f"(x) =p(p-1)xP-2 •
CTora je 3a p > 1MJII1 p < 011 CBe Bpe,n;HOCTI1 x > 0 O'll1rJie,n;Ho f"(x) > 0,
a 3a 0 < p < 1 f" ( x) < 0. 0 ,n;aB,n;e ,n;o611j aMo ,n;a j e j e oHa cTporo KOHBeKcHa
3a p < 0 11 3a p > 1, a cTporo KOHKaBHa 3a 0 < p < 1.
3a Bpe,n;HOCTI1 p = 0 l1 3a p = 1, l1MaMO ,n;a je pecrreKTl1BHO j(x) = 1
o,n;HOCHO f(x) = x, rra je oBa <f>yHKn;Mja JIMHeapHa. CTora je OHa l1CTOBpeMeHo
l1 KOHBeKCHa l1 KOHKaBHa Ha IIOCMaTpaHOM l1HTepBaJiy (0, +oo). 0
3A,ilA TAK 30. lloK:a3amu iJa je if;ynx;v,uja ax (x > 0) cmpozo 'K:O'H
eeK:cna 3a 6u.Jto K:oje a > 0 (a =J. 1), a if;ynx;v,uja logax (a > 0, a =J. 1) cmpozo K:oneeK:cna 3a a < 1 u cmpozo K:onx;aena 3a a > 1.
Pemelbe. KaKO j e ax = exln X' l1MaMO ,n;a j e
(ax)' =·(exlnx)' = exlnx(xlna)' = (lna)ax,
(ax)"= (lna)(lna)ax = (lna) 2ax,
rra je (ax)" > 0 3a CBaKo peaJIHO x. CTora je <f>YHKn;Mja y
KOHBeKCHa 3a CBaKO a > 0 (a =j:. 1).
llaJI.e je logax = i~~' o,n;aKJie je
1 (logax)' = xlna'
1 (logax)
11
= - x2ln a·
ax CTpOrO
CTora j e (logax)" > 0 3a cBaKo x > 0 11 a < 1, ,n;aKJie <f>yHKn;l1j a logax j e
CTpOrO KOHBeKCHa 3a a < 1. CJII1'IHO HaJia3l1MO l1 ,n;a je OHa CTpOrO KOHKaBHa
3a 611JIO Koje a > 1. 0
3A,ilATAK 31. lloK:a3amu iJa je if;ynK:v,uja f(x) unmepea.Jty ( -oo, +oo).
lxl K:oneeK:cna na
BEJKBE 113 AHAJI113E I 53
PemeH.e. C o63IIpOM ,n:a cpyHK:o;IIja f(x) = Jxl HIIje ,n:IIcpepeH:o;IIja6IIJIHa
y 0, OHa HeMa HII ,n:pyrii II3BO,n: y 0, rra neMO .ll:OKa3 II3BeCTII ,n:IIpeKTHO Ha
OCHOBY ,n:ecpiiHIID;IIj e.
Je
Yo"lliiMO 6IIJIO Koje ,n:Be Ta"l!Ke x1, x2 E R II rrapaMeTap t E (0, 1). Ta.n:a
j(tx1 + (1- t)x2) = Jtx1 + (1- t)x2J ~
~ Jtx1J + J(1- t)x2J = tJx1J + (1- t)Jx2l = = tj(x1) + (1- t)j(x2),
rra je cpyHK:o;IIja f(x) = Jxl 3aiiCTa KOHBeKcHa Ha :o;enoj rrpaBoj R. HaiiOMeHIIMO ,n:a je OBa cpyHKD;IIja JIIIHeapHa Ha CBaKOM O.ll: IIHTepBaJia
( -OO, 0] II [0, +oo) IIOHaOC06, rra Ha CBaKOM O,n: TIIX IIO,n:IIHTepBaJia rrpe,n:CTaB.Tha
IICTOBpeMeHO II KOHBeKCHY II KOHKaBHY cpyHKD;IIjy. 0
3A.UATAK 32. Ax:o je ¢y'Hx:v,uja f(x) x:o'Heex:c'Ha 'Ha 'Hex:o.M U'Hmep
eaAy D, iJox:aJamu iJa je ¢y'Hx:v,uja af(x) x:o'Heex:c'Ha 'Ha mo.M U'HmepeaAy Ja
a 2: 0, u x:o'Hx:ae'Ha Ja a ~ 0.
Pemelhe. AKo je a = 0, Ta,n:a je cpyHK:o;IIja af(x) = 0 Ha rrocMaTpaHOM
IIHTepBaJiy, rra je OHa IICTOBpeMeHO II KOHBeKCHa II KOHKaBHa.
fla.n,e rrpeTIIOCTaBIIMO ,n:a je Cl'. > 0. 36or KOHBeKCHOCTII cpyHKD;IIje j(x), Ta,n:a 3a rrpOII3BO.ThHe Ta"l!Ke x1, x2 E D II rrapaMeTap t E (0, 1) IIMaMo .n:a je
(1) j(tx1 + (1- t)x2) ~ tj(x1) + (1- t)j(x2).
O,n:aB,n:e je
aj(tx1 + (1- t)x2) ~ atj(x1) + a(1- t)j(x2),
rra j e II cpyHKD;IIj a CY.j (X) KOHBeKCHa Ha IIHTepBaJiy D.
AKo j e a < 0 Ta,n:a II3 Hej e,n:HaKOCTII ( 1) cne,n:II .n:a j e
aj(tx1 + (1- t)x2) 2: atf(xl) + a(1- t)j(x2),
rra je cpyHK:O:IIja af(x) KOHKaBHa Ha IIHTepBany D. D
3A.UATAK 33. Jlox:aJamu iJa je J6up iJee x:o'Heex:c'He ¢y'Hx:v,uje 'Ha
U'HmepeaAy (a, b) max:olje x:o'Heex:c'Ha ¢y'Hx:v,uja 'Ha mo.M U'HmepeaAy. CAU"{'HO
meplje1be eaxu u Ja iJee x:o'Hx:ae'He, iJee cmpozo x:o'Heex:c'He x:ao u iJee cmpozo
x:o'Hx:ae'He ¢y'Hx:v, uje.
54 BEJ-KBE H3 AHAJ1H3E I
3A...UATAK 34. lfcnumamu x:o'Heex:c'Hocm u cmpozy x:o'Heex:cHocm
¢yHnv,uje y = ax2 + bx + c 3a pa3AU'l(,ume epedHocmu peaA'H02 napa.Mempa a.
Pemelbe. IIocMaTpaHa cpyHKU:IIja je KBa,n:paTHa, na je 6ecKOHRqHo ,n:II
cpepeHu;IIja6IIJIHa Ha R. IIpiiTOM je y"(x) = 2a.
AKo je a > 0, o,n:aB,n:e CJie,n:II ,n:a je f" (x) > 0 3a cBaKo x E R, na je
<flyHKII;IIja CTpOrO KOHB8KCHa, a TllMe ll KOHB8KCHa Ha II;eJIOj peaJIHOj npaBoj.
AKo je a < 0, IIMaMo ,n:a je f"(x) < 0 3a CBaKo x E R, na je cpyHKII;nja f(x)
CTpOrO KOHKaBHa, a TIIMe ll KOHKaBHa Ha II;eJIOj peaJIHOj npaBOj.
Haj3a,n:, aKo je a = 0, ,n:o6nja ce ,n:a je cpyHKII;Hja y = bx + c JIHHeapHa
(II 3a b = 0 n 3a b f. 0), a 3a oBy cpyHKu;njy je no3HaTo ,n:a je IICTOBpeMeHo n
KOHBeKCHa ll KOHKaBHa, ll ,n:a Hll y je,n:Hoj Ta'!Kll Hllje HllTll CTpOrO KOHBeKCHa
HIITH CTporo KOHKaBHa. D
3A...UATAK 35. 11ona3amu da je ¢y'Hnv,uja x 4 cmpozo x:oHeex:c'Ha 'Ha
R, a ¢y'Hx:v,uja x 3 'HUje 'HU noHeex:c'Ha 'HU noHnae'Ha Ha R. Haliu U'HmepeaAe y
noju.Ma je ¢y'Hx:v,uja y = x 3 cmpozo noHeex:cHa, odHOCHO cmpozo x:o'Hx:aeHa.
3A...UATAK 36. lla AU je ceax:a ma'l(,x;a y x:ojoj je J"(x) = 0 npeeoj'Ha
ma'l(,r;a ¢yHx:v,uje? Yo'l(,umu npu.Mep ¢yHx:v,uje y = x 4 u ma'l(,x;e 0.
3. JlOIIHTaJIOBO rrpaBHJIO
3A1IA TAK 3 7. IIpuMeHoM JI onumaAoeoz npaeuAa, dox:a3amu da
ea::xce CAedelie jedH.ax:ocmu:
(a) 1. sin x lm -- = 1,
x-+0 X (6) lim ln (1 + x)
x-+0 X = 1, (u:) lim ( 1 + x) 1 I x = 1. x-+0
Pemelbe. (a) Ha ocHoBy J1orriiTaJIOBor npaBnJia, nManeMo ,n:a je
1. sin x
1. (sin x)'
1. cos x
1 Im--= 1m = Im--=. x-+0 X x-+0 x' x-+0 1
(6) .llaJbe je CJIII'IHO:
lim ln (1 + x) = lim (ln (1 + x))' = lim l~x = 1. x-+0 X x-+0 x' x-+0 1
(u:) Haj3a,n:, KaKo je
(1 + x)!fx _ In (l+x) -e "' '
BEIKBE M3 AHAJ1l13E I 55
360r HerrpeKH):(HOCTH <f>YHKIJ;Hje ex, ):(06:ajaMO ):(a je
Je
lim(1 + x)1/x- 1" ln(l+x) X--+0 - 1m e X =
x--+0
= elimx-+0 In {l+x) x = e1 =e. 0
3A1IATAK 38. IlpuMe'HOM Jionuma.Jt0802 npa8U.Jta OO'/W3amu oa je
1. x2
- 3x + 2 Im = 00.
x--+1 x3 - 2x2 +X
Pemelbe. AKo 03Ha'!HMO f(x) = x2 - 3x + 2, g(x) = x 3 - 2x2 + x, Ta):(a
g(1) = 0,
/(0) = 0,
g'(x) = 3x2- 4x + 1, g'(O) = 0,
f'(x) = 2x- 3, f'(O) = -1 # 0,
rra cy y je):(HOj 0):( Bap:ajaHTH J10IIHTaJIOBOr rrpaBHJia HCIIylhemr YCJIOBH 3a
rrp:aMeHy oBor rrpaBHJia. Ha ocHOBY Te Bap:ajaHTe J1orr:aTaJIOBOr rrpaBHJia,
CJie):(H ):(a j e
1. x2 -3x+2
1. (x2 -3x+2)'
1. 2x-3
lm = Im = lffi ~:::-----x--+1 x3 - 2x2 + x x--+0 (x3 - 2x2 + x)' x--+0 3x2 - 4x + 1
2x- 3 =lim = oo. 0
x--+0 ((x- 1)(3x- 1)
3A1IATAK 39. J1o'K:a3amu oa je
1. arctg x - 1r /2 _
1 Im --. x--++oo ln(1+1/x)
Pemelbe. KaKo je :a oBa rpaHH'!Ha Bpe):(HOCT THrra 0/0, MOJKeMo ):(a
IIpHMeHHMO J10IIHTaJIOBO rrpaBHJIO, 'IHMe ):(06HjaMO ):(a je
. arctgx- rr/2 1. (arctgx- rr/2)'
hm = 1m , x--++oo ln(1+1/x) x--++oo [ln(1+1/x)]
= lim ~ = - lim x2 (1 + 1/ x) = x--++oo l+i/x (- 1jx2) x--++oo 1 + x2
lim 1 + 1/ x = -1. 0 x--++oo 1 + 1/x2
56 BE>KBE 113 AHAJII13E I
3A1I.ATAK 40. Jf3pa"--,y1-tamu zpa'HU"-1,1-tY epeiJ1-tocm
. (1 + x )0 - 1 - ax
w = hm 2 x--+0 X (a E R).
PemeJLe. AKo 03Ha"t.J:HMO f(x) = (1 + x) 0- 1- ax, g(x) = x2, Ta,n:a je
g(O) = 0, g1(x) = (x 2)
1 = 2x, g1(0) = 0, g"(x) = 2, g"(O) = 2 =1- 0,
f(O) = 0, j 1(x) = a(1 + x)a-l- a, j'(O) = 0,
J"(x) = a(a- 1)(1 + x)a-2, f"(O) = a(a- 1),
rra cy Hcrryi:heHH ycJIOBH 3a ,n:BOCTPYKY rrpHMeHy JiorrHTaJioBor rrpaBHJia. CTo
ra je
lim (1 + x)0
- 1- ax = lim f'(x) = lim f"(x) = a(a- 1) = (a). 0 x--+0 x2 x--+0 g1(x) x--+0 g"(x) 2 2
3A1I.ATAK 41. J1ox;a3amu oa BaJICU jeO'Hax;ocm
_ 1. sinx- x + x3 /6 1
W- 1m --x--+0 x 5 - 120 ·
PemeJLe. BmrrecTpyKoM rrpHMeHoM JiorrHTaJIOBor rrpaBHJia ,n:o6HjaMo
.n:a je:
1. sinx-x+x3/6
1. (sinx-x+x3/6) 1
w = lm = lm = x--+0 x5 x--+0 (x5) 1
=lim cosx- 1 + x 2 /2 =lim (cosx -1 + x2
/2)1
= x--+0 5x4 x--+0 ( 5x4 ) 1
1. - Sin X + X
1. (X - Sin X) 1
= lm = lm ...;..__..,-----=-~ x--+0 20x3 x--+0 (20x3) 1
=lim 1- cosx =lim (1- cosx)1
= x--+0 60x2 x--+0 ( 60x2) 1
= lim sinx = _1_. 0 x--+0 120x 120
3All.ATAK 42. Ha!iu cAeiJe!iy zpa'HU"--,'HY epeiJ'Hocm:
ex - 1 - X - x 2 /2 lim ~ . x--+0 X
BEIKBE 113 AHAJil13E I 57
Peme:a.e. B:vnrrecTpyKOM rrpHMeHOM JiorrHTaJioBor rrpaBHJia .II.06HjaMo
.II.a je ex - 1 - x - x 2 /2 ex - 1 - x
lim =lim = x~O x 3 x~O 3x2
ex - 1 ex 1 = lim = lim - = -. 0 x~O 6x x~O 6 6
3A1I.ATAK 43. Ilpu.Me'HO.M Jionuma.JWB02 npaeu.;r,a, OO'Yba3amu oa ea-
;xcu:
(a) . ex- 1- x- x 2 /2- x 3 /6 hmx~O = 1;
cosx + x2/2- 1
(6) 1. sin3x- 3xex + 3x2 _
18 lmx~O . 3j - · arc tg x - sm x - x 6
3A1I.ATAK 44. 1Io'Yba3amu oa je
lim ln (1 + x)- x + x2 /2- x
3 /3 = -~.
x~O x 4 4
Peme:a.e. Ha ocHOBY JiorrHTaJioBor rrpaBHJia .II.06HjaMo .II.a je:
1. ln (1 + x)- x + x2 /2- x3 /3
1. (1 + x)-1 - 1 + x- x2
lffi = lffi x~o x4 x~O 4x3
= lim -(1 + x)-2 + 1- 2x = lim 2(1 + x)-3- 2 = x~O 12x2 x~O 24x
= lim -6(1 + x)-4 = -~. 0 x~O 24 4
3A1I.ATAK 45. 1Io'Yba3amu oa je
. x3 - 6x + 6 sin x
0 hm = . x~o 2x3- 3x2 + 6x- 6ln (1 + x)
Peme:a.e. C o63HpOM .II.a cy 11: 6pojHJia:o; II HMeHHJia:o; rrocMaTpaHor
pa3JIOMKa 6ecKoHa "t.J:HO .II.HcpepeH:o;Hj a6HJIHe cpyHK:o;Hj e Ha cKyrry R, 11: .II.a j e
rpaHH"t.J:Ha Bpe.II.HOCT THrra 0/0, "t.J:eTBopocTpyKOM rrpHMeHOM JiorrHTaJIOBOr
rrpaBHJia .II.06HjaMO .II.a je Tpa*eHa rpaHH"t.J:Ha Bpe.II.HOCT je.II.HaKa 0. 0
3A1I.A TAK 46. Arbo je n ¢u'Ybcupanu npupOO'H,U 6poj, ucnumamu oa xn
.;w nocmoju zpaHU"i'Ha epeonocm lim -X~OO eX
58 BElKBE 113 AHAJII13E I
Pemelbe. l!oKa3aneMO ,ll;a He rrocTojH jep ce f(+oo) H f(-oo) pa3-
JIHKyjy. HaHMe, aKO X -t +oo, Ta,ll;a je Ha OCHOBy JIOIIHTaJIOBOr rrpaBHJia
xn n xn-l n(n- 1)xn-2 nl lim - = lim = lim = · · · = lim -· = 0.
x-++oo eX X-t+oo eX X-t+oo eX x-t+oo eX
Ca ,ll;pyre CTpaHe je 3a x--+ -oo, x = -lx!, rra je
xn ;,; = ( -1)nlxln elxl
' I:: I = lxln elxl -t +oo.
CTora je f(-oo) = +oo H f(+oo) = 0. KaKo je f(-oo) =/ f(+oo), O,ll;ro
Bapajyna rpaHW.IHa Bpe,ll;HOCT j(oo) He IIOCTOjH. 0
3Al[ATAK 4 7. J13pa"1.y1-wmu zpa'HU"1.'HY eped'Hocm
w =lim (ctgx- ~). x-+0 X
Pemelbe. KaKo je ropH>a rpaHH'!Ha Bpe,ll;HOCT THrra oo- oo, Ha H>Y ce He
MO/Ke ,ll;HpeKTHO IIpHMeHHTH HHje,ll;Ha BapHjaHTa JIOIIHTaJIOBOr rrpaBHJia. 36or
Tora neMo je TpaHc<jlopMHCaTH Ha rrorO,ll;HHjH o6JIHK THrra 0/0. l1ManeMo ,ll;a
Je 1 COS X 1 X COS X - Sill X
ctg x - - = -.- - - = . x smx x x smx
rra je Ha OHOBY JioiiHTaJIOBOr rrpaBHJia:
1. X COS X - sin X
1. COS X - X sin X - COS X
w = lm = lm = x-+0 x sin x x-+0 sin x + x cos x
1. -X sin X
1. - sin X - X COS X
= lm = lm = x-+0 sin X + X COS X x-+0 2 COS X - X sin X
_ sinO_ 0 ----0.
2
3Al[ATAK 48. J13pa"1.y1-tamu zpa'HU"1.'HY eped'l-tocm
w = lim ( arctg x) 1/x2 x-+0 X
Pemelbe. KaKo je oBa rpaHH'!Ha Bpe,ll;HOCT THIIa 100, rrpHMeHHDeMo
Hajrrpe MeTO,ll; ",ll;OIIyHe ,ll;O 1". HaHMe, cTaBHneMo
arctgx = 1 + f(x), X
f(x) = arctgx _ 1 = arctgx- x, X X
1 g(x) = x2'
BEJKBE 113 AHAJII13E I 59
H HaflH neMO rpaHHqHy Bpe,ll;HOCT
lim f(x)g(x) _ 1. arctgx- x x-+0 - 1m x-+0 x3
KaKO je OBa rpaHHqHa Bpe,n;HOCT THIIa 0/0 H HCIIylbeHH cy ycJIOBH 3a
IIpHMeHy OCHOBHOr JlOIIHTaJIOBOr rrpaBHJia, Ha OCHOBY TOr rrpaBHJia HaJia3HMO
,n;a Je ~ -1 -x2
( ) r l+x - lim lim j(x)g X = x~ 3x2 - x-+0 3x2(1 +X x-+0
-1 1 -lim = --- x-+0 3(1 + x 2) 3
O,n;aB,n;e je Haj3a,n;
[ ] f(x)g(x)
W = ~~ (1 + j(x))1/f(x) = elimx-+Df(x)g(x) = e-1/3.
3AllATAK 49. 113pa"{y'Hamu zpa'HU"{'HY epea'Hocm
w = lim (~arctgx)x. x-++oo rr
0
PemeH.e. 0Ba rpaH:aqHa Bpe,n;HOCT je THrra 100 ca BeoMa je,n;HocTaBHOM
cpyHKD;HjOM y eKCIIOHeHTy, rra Ce MO/Ke IIpHMeHHTH CJie,n;enH MeTO,ll;. l1ManeMO
,n;a je
rrp::a qeMy je
-( 2 )X f(x)- ;arctgx = eg(x),
(2 ) ln(larctgx)
g(x)=xln ;arctgx = \;x
ln (2/rr) + ln (arctg x) 1/x
(x > 0).
lia.n:.e neMO Ha OCHOBY JlOIIHTaJIOBOr rrpaBHJia HanH rpaHHqHy Bpe,ll;
HOCT u = limx-++oo g(x). l1ManeMo ,n;a je
_1_. 1
u = lim arctg x I+X"Z x-++oo 1 -X2
O,n;aB,n;e Haj3a,n; ,n;o6::ajaMo ,n;a je
1. 1 x 2
lm x-++oo arctg x 1 + x 2
w = lim eg(x) = elimx-++oo g(x) = e-2/rr. 0 x-++oo
2
rr
60 BE>KBE 113 AHAJ1l13E I
3All_ATAK 50. H3pa"{y'Hamu 2pa'HU"{'HY epea'Hocm
w =lim (sinx)l/x2 x--+0 X
Peme:a.e. KaKo j e 11: onaj JU:IMec nma 100, npuMem·Ili.eMo MeTo,n: ,n:onyHe
,n:o 1. HauMe cTanuneMo:
. . f ( x) = sm x _ 1 = sm x - x ,
X X
1 g(x) = x2'
ll Hanll neMo limx--+0 f(x)g(x). Ha OCHOBY JJonuTaJIOBOr npaBHJia llManeMO
,n:a je
l. f ( ) ( ) 1. sin x - x 1. cos x - 1 1. - sin x 1 1m X g X = Im = Im = Im = --.
x--+0 x--+0 x3 x--+0 3x2 x--+0 6x 6
0 ,n:an,n:e j e
w = lim (sinx)l/x2 x--+0 X = e-1/6 D
HanoMeHHMO ,n;a CMO on,n;e ll3JIOJKMJIM ,n;na MeTo,n;a HaJiaJKe!ba rpaHM'IHMX
Bpe,n;HOCTll TMIIa 100• J e,n:aH O,LI; IbllX j e MeTO,l( ",l(OIIyHe ,l(O 1" , a ,n:pyrll MeTO,l( j e
MeTO,LI; npe,LI;CTaBJI.aiLa IIOCMaTpaHe £flyHKIJ;Hje y 06JIMKY eg(x), ,n;aKJie IIOCTyiiaK
,LI;ll3aiLa Ha CTeneH, M 3aTHM TpaJKeiLe rpaHll"t!He npe,n;HOCTll limx-+xo g(x). Y onmTeM cJiy"Y:ajy He MOJKe ce penu Koju je o,n; ona ,n;na MeTo,n;a ycnemHujn,
jep TO yneK 3aBllCll O,LI; 06JIHKa IIOCMaTpaHe £flyHKIJ;llje.
4. TejJiopoBa lflopMyJia
Hajnpe neMO HaBeCTll ,LI;Ba o6JIMKa TejJiopone £PopMyJia.
1. Ax:o je rfiy'HX:V,Uja f(x) n + 1 nyma aurfiepe'Hv,uja6UJt'Ha 'Ha U'HmepeaJty
[a, b], maaa 3a ceax;o X E (a, b] Ba'JICU rpop.MyJta
( 1) f (X) = f (a) + f' i ~) (X - a) + · · · + f ( ~~,(a) (X - a r + Rn (X),
npu "{e.My je ( )n+l
R (x) = f(n+l)(~) x- a n (n + 1)!
u ma"{x;a ~ je 'Hex:a ma"{x;a U'HmepeaJta (a, x).
BEIKBE H3 AHAJIH3E I 61
2. Ax:o je ¢ynx:71uja f(x) de¢unucana y nex:oj ox:oAunu ma<ttx:e x0 u y ma<ttx:u x0 nocmoju U3BOd f(n) (xo), wmo noce6no ma<ttu da y nex:oj ox:oAunu me ma<ttx:e
nocmoje u ceu U3Bodu do peda n- 1 Jax:Jby<ttno, mada ea:J1Cu ¢op.MyAa
(2) ~ f(k)(xo) k
f(x) = L u (x- xo) + o((x- x0 )n). k=1
<l>opMyJia (1) Ha3HBa ce TejJiopOBOM cpopMyJIOM ca ocTaTKOM y Jia
rpaHJKOBOM o6JIHKy, a cpopMyJia (2) JIOKaJIHOM TejJiopoBoM cpopMyJioM. AKa
y OBHM cpopMyJiaMa rroce6Ho y3MeMo ,.[(a je a = x 0 = 0, O,I(roBapajyne cpop-
MyJie Ha3HBajy ce MeKJiopeHOBHM cpopMyJiaMa.
AKo rroce6Ho Y3MeMo ,.[(a je cpyHKQHja f(x) je,n:Ha O,I( cpyHKD;Hja ex, sinx, cosx, (1 + x)P (p E R) H ln (1 + x), H3 JIOKaJIHHX MeKJIOpeHOBHX cpopMyJia
,n:o6HjaMo cJie,n:ene pa3Boje.
x2 xn ex= 1 + x +- + · · · +- + o(xn)·
2 ' l n. x3 x2n-1
sinx = x- - + · · · + ( -1)n-1 + o(x2n). 3! (2n- 1)! ' x2 x2n
cosx = 1-- + ... + (-l)n __ + o(x2n+1)· 2! (2n)! '
(1 + x)P = x + px + (~)x2 + · · · + (~)xn + o(xn).
2 n
ln(1+x)=x-~ +···+(-l)n-1 xn +o(xn).
3A.UATAK 51. Hafiu pa3eoje cAedefiux ¢ynx:71uja:
(a)
(6)
(n;)
(,.[()
(e)
(cp)
2x -1 f(x) =
1 do "tAa?-W x 4 . 113pa<ttynamu j(4)(0).
x+
f(x) = V1- 2x + x3 - .V1- 3x + x2 do <ttAana x3.
f(x) = e2x-x2
do <ttAana x 5 .
f(x) = ln (1 + sinx) do <ttAana x3 .
f(x) = tg x do <ttAana x 5.
f(x) = (1 + x)X do <ttAa'Ha x 4 •
Pemelhe. (a) HManeMo ,.[(a je:
2(x + 1)- 3 3 f(x) = = 2- - = 2- 3(1 + x)-1 =
x+1 x+1 = 2- 3(1- x + x2 - x3 + x4 + o(x4
)) =
= -1 + 3x- 3x2 + 3x3- 3x4 + o(x4
).
62 BEIKBE I13 AHAJII13E I
O,n;aB,n;e je j(4)(0) = -3 · 4! = -3 · 24 = -72.
(6) I1ManeMo ,n;a je:
!I(x) = V1- 2x + x 3 = (1 + ( -2x + x3)) 112 =
= 1 + t( -2x + x3) + ( 1 ~2) ( -2x + x3)2 + (1 ~2) ( -2x + x3)3 + o(x3) =
1 1 1 = 1 + -( -2x + x3)- -(2x- x2)2 + -( -2x + x 3)3 + o(x3)
2 8 16 '
h(x) = \h- 3x + x2 = (1 + ( -3x + x2))
113 = 1 2 1( 22 5 23 3 =1--(3x-x )-- 3x-x) --(3x-x) +o(x ). 3 9 81
O,n;aB,n;e je cpel)ImalheM:
1 f(x) = fr (x)- h(x) = 5x2 + x 3 + o(x3).
(n;) I1ManeMo ,n;a je:
1 1 1 f(x) = 1 + (2x- x2) + 2(2x- x2)2 + 6(2x- x2)3 +
24 (2x- x 2)4+
1 + 120 (2x- x2)5 + o(x5),
O,Il;aKJie je IIOCJie pa3Blljalha CBllX ca6llpaKa ITO 6llHOMHOj <flopMyJill ll cpel)ll-
Balha: . 2 23 5415 5 j(x) = 1 + 2x + x - -x - -x - -x + o(x ).
3 4 15
(,n;) KopllmnelheM pa3Boja <f>YHKD;llje ln (1 + x), a 3aTllM <f>yHKn;llje sinx y OKOJillHll Ta'!Ke 0, ,n;06:0:jaMO ,n;a je:
sin2 x sin3 x f(x) = ln (1 + sinx) = sinx- -
2- + -
3- + o(sin3 x) =
3 1 3 1 3 X 4 ( X ( 4 )2 X ( 4))3 ( 3)) = (x-- + o(x )) -- x-- +ox ) + -(x-- +ox +ox = 6 2 6 3 6
x 3 1 1 = x- 6- 2(x2 + o(x3)) + 3(x3 + o(x3)) + o(x3) =
x3 x2 x3 x2 x3 = x- - - - + - + o(x3) = x- - + - + o(x3).
6 2 3 2 6
(e) I1ManeMo ,n;a j e:
BEJKBE 113 AHAJIH3E I
f(x) = tgx, f(O) = 0,
f'(x) = ~ = cos-2 x, j'(O) = 1, COS X
f"(x)=2 sinx' !"(0)=0, cos3 x
j(J)(x) = 6sin2
x + _2_, f(J)(O) = 2, cos4 x cos2 x
/(4)( ) _ 24sin3 x 12sinx 4sinx
X- + + ' cos5 x cos4 x cos x
j(s)(x) = 120sin4
x _ 24 sin2
x + ~' cos6 x cos4 x cos2 x
j(4 ) (0) = 0,
f(S) (0) = 16.
0 ,n;aB,n;e HaJia3HMo ,n;a j e
tgx = f(O) + j'(O)x + f"(O) x 2 + f(J) x3 + j(4)(0) x4 + j(s)(O) x5 + o(x6) =
2 6 24 120 x 3 2
= x + 3 + 15 x5 + o(x6).
( cf>) KopHCTenH pa3BOj cpyHK:O:Hje ex HaJia311MO ,n;a je:
x2ln 2 (1 + x) f(x)=1+xln(1+x)+ n +o(x4
),
11 KaKO J8
x2 x3 x3 x4 xln(1 +x) = x(x- 2 + 3 +o(x3
)) = x 2- 2 + 3 +o(x4
),
x 2 x3 2 x x 2 2 x2ln2 (1 + x) = x2 (x- 2 + 3 + o(x3
)) = x4 (1- 2 + 3 + o(x2)) =
= x4 (1 + o(1)) = x4 + o(x4),
,n;o611jaMo Haj3a,n; ,n;a je
x3 x4 x 4 x3 5 f(x) = 1 + (x 2
- 2 + 3 ) + 2 + o(x4) = 1 + x2
- 2 + 6x 4 + o(x4). 0
63
3A1IATAK 52. llpemnocmaeu.Mo oa je f(x) = 1 + kx + o(x) 'K:aoa X~ 0. ll.o'K:a3amu Oa je maiJa
lim (f(x))lfx _ k x-+0 - e .
Pemelbe. KaKo f(x) ~ 1 Ka,n;a x ~ 0, CJie,n;H ,n;a je f(x) > 0 y HeKoj
OKOJIHHH Tat.IKe 0. O,n;aB,n;e ,n;o611jaMo ,n;a je y Toj OKOJIHHH:
(!( ))1/x In f(x) In (l+kx+o(x))
x =e x =e x •
64 BEIKBE 113 AHAJI113E I
Kaxm j e ,n;a.lbe
ln (1 + kx + o(x)) = kx + o(x) = k + o(1), X X
Haj3a,n; ,n;o6HjaMo ,n;a je
lim(f(x)) 11x =lim ek+o(l) = ek. 0 x--+0 x--+0
3A,UATAK 53. OiJpeiJumu zpew:r;;y c.~~,eiJenux npu6./I,U'JIC'HUX ¢opMy./l,a
Ha H.aeeiJeHu.M uHmepea./l,u.Ma:
(a)
(6)
(~)
x2 xn ex ~ 1 + x + - + .. · + -
2 n! (O:::;x:::;1)
x3 sinx ~ x- 6 (lxl:::; 1/2)
x x 2
v'f+X ~ 1 +--- (0 <X< 1). 2 8 - -
PemeiLe. (a) KopHcTenH TejJiopoBy cpopMyJiy ca JiarpaHiKOBHM o6-
JIHKOM OCTaTKa, ,[(06HjaMO ,n;a je
Rn(x) =ex-t xk = f(n+l)(~) n+l
k=Ok! (n+1)!x ·
KaKo je 3a cpyHK~Hjy f(x) =ex' J(k)(x) =ex 3a CBaKO kEN, ,n;o6HjaMO
,n;a je f(n+l)(~) = e.; :::; e aKo x E [0, 1]. O,n;aB,n;e ,n;o6HjaMo ,n;a je Ha TOM
HHTepBaJiy: xn+l 1
0 :::; Rn ( x) :::; ( n + 1)! :::; ( n + 1)! ( n E N).
(6) AKo je f(x) = sinx H n = 3, ,n;o6HjaMo ,n;a je:
IR3(x)l = lf(x)- (x- ~3
)1 =I f(s~!(~) x51 =
I cos ~llxl 5 lxl 5 (1/2) 5 1 1 = <-< = =-
120 - 120- 120 32·120 3840
(~) lla.lbe 3a cpyHK~Hjy f(x) = v'f+X = (1 + x) 112 11: n = 2 HMaMo ,n;a je:
IJ(x)- (1 + ~- x2) I= l/(3)(~)11 13 2 8 c X •
BEIKBE 113 AHAJII13E I 65
rrp:a 1:.1eMy Ta1:.!Ka ~ E (0, x). KaKo je ,n;aJI.e
j(3)(x) = (1/2) (1 + x)-5/2 = -~--1 3 8(1+x)5/2'
,n;o6:ajaMo ,n;a je lf(3) (~)I :::; 3/8, o,n;aKJie je
3/8 13 1 I 3 1 IR2(x)l:::; 61x = 16 xi :::; 16' 0
3AllA TAK 54. OiJpeiJumu 3a r.;oje epeiJnocmu npo.Men.lbuee x je ca
ma"{'tWwJiy oiJ 10-4 ma"{'Ha if;op.My.Jw cos x = 1- x 2 /2.
Pemelbe. Kop:acTen:a TejJiopoBy cpopMyJiy ca ocTaTKOM y JiarpamKo
BOM 06JIMKY 3a <f>yHKI(Mjy j(x) = COSX M n = 2, ,n;o6:ajaMO ,n;a je
x2 j(4)(C) R2(x) = cosx- (1- -) = ., 4 _ (cos~) 4
2 " X - ., X ,
o ,n;aKJI e j e lxl 4 lxl 4
IR2(x)l :S 4! = 24 .
AKo je ca,n;a fxl 4 /24:::; 10-4 , Tj. lxl:::; 0,1J24 = 0,222, ,n;o6:ajaMo ,n;a
je fR 2(x)l :::; 10-4 • CTora je OBa cpopMyJia Ta1:.!Ha 6ap 3a Bpe,n;HOCTM x M3
MHTepBaJia [ -0, 222; 0, 222]. 0
3AllATAK 55. H3pa"{ynamu Je na iJee iJe7J,u.MaAe.
Pemelbe. KaKo j e
2 n xn+l (J x x ex ex = 1 +X+ 2f + · · · + n! + (n + 1)! '
3a HeKO () E (0; 1), MMaMO ,n;a je 3a X= 1/2:
1 I xn+l (Jx I 2n\l 1/2 2 1 1 1Rn(2)1= (n+1)!e :::; (n+1)!e < 2n+l(n+1)! = 2n(n+1)! < 102'
jep je e112 < 2. 1Io6:ajeHa Heje,n;HaKOCT je Ta1:.!Ha 3a n = 3, rra je
1 1 1 1 1 1 Je ~ 1 + 2 + 22 . 2 + 23 .6 = 1 + 2 + 8 + 48 = 1' 64· 0
3AllATAK 56. H3pa"{ynamu sin 2° na mpu iJe7J,U.MaAe.
66 BEIKBE I13 AHAJII13E I
Pemelbe. MaKJiopeHoBa <flopMyJia ca JiarpaHa<OBHM o6JIHKOM ocTaTKa
3a cpyHKn;:rrjy sinx rJiac:a:
x3 x2n-1 sinx ~ x-- + ... + (-1)n-1 __ _
3! (2n- 1)!'
I
x2n+1
1 IR2n+ll = (2n + 1)! cosBx (0 < e < 1).
C 063HpOM ,n;a je 2° = :a H OCTaTaK Tpe6a ,n;a je MalbH O,L( 1~4 , Heje,n;HaKOCT
x2n+1 I x2n+1 7!'2n+l 5 IR2n+11 = I (2n + 1 )! cos Bx ::; (2n + 1 )! < go2n+1 (2n + 1)! < 104
je Ta"tiHa 3a n = 1, rra je sin 2° ~ :0 = 0, 035. D
3AJIATAK 57. Kopuw!ie'lbeM rftyn"'v,uje y = V'1 +xu Ma"'.twpenoee rftopMy.!!e, U3pa"iynamu ~ ca ma"inow!iy oo 0,001.
Pemelbe. IIp:rrMeTHMO ,n;a je 29 = 27 + 2, ~ = -?/27 + 2 = 3 {.11 + 2/27,
o,n;aKJie je rrp:rrMeHOM <flopMyJie
1x 1(1-1) -?/1 + x = (1 + x) 113 = 1 + L + 3 3 + ... +
1! 2! 1 ... (1- n + 1)
+ 3 3 I xn + Rn(x)' n.
R ( ) = ~(~- 1) .. · (~- n) n+1(1 + ll )1/3-n-1 n X (n + 1)! X ox ,
3a lxl < 1, e E (0, 1). O,n;aB,n;e je
3r;::;;\ ( 2 2 . 2 2 . 2 . 2 . 5 25 . 5 )
y ~~ = 3 1 + 81 - 812 + 813 - 814 + ... + Rn .
.llaJI,e :aMaMo ,n;a je
3·2·2 3IR11 < ~·" < o, oo2,
3. 23 .5 3IR21 < ~.-1 < o, 0003.
CTora neMO y3eTH ,n;a je n = 3, rra je
.ij29 = 3(1 + 0, 024 - 0, 0006) ~ 3, 072. D
3AJIATAK 58. JipemnocmaeuMo oa je rftyn"'v,uja f(x) n nyma ourftepenv,uja6u.!!na na unmepea.!!y (-a, a).
BEIKBE 113 AHAJII13E I 67
A1\:o je o'Ha '1-la moM U'Hmepea.Jty nap'Ha, iJo1\:aJamu iJa 1be'H Tej.Jtopoe no.Jtu-
'1-l OM n j(k)( )
Tn(x) = L .. 0 xk
k=O
caiJpxu caMo nap'He cmene'He x2, x4, ... , x2k (2k ~ n).
A1\:o je O'Ha '1-la moM u'Hmepea.Jty '1-lenap'Ha, iJo1\:aJamu iJa 1be'H Tej.Jtopoe no.Jtu
'1-lOM Tn(x) caiJpxu caMo '1-lenap'He cmene'He x,x3, ... ,x2k-l (2k- 1 ~ n).
Pemelhe. IIpeTrrocTaBHMO Hajrrpe ,n;a je ljlyHK:o;:aja f(x) rrapHa :a n
rryTa ,n;HljlepeH:o;:aj a6mma Ha HHTepBaJiy (-a, a). Ta,n;a cy CBH IbeH:a HerrapHH
H3BO,n;H f'(x), j(3)(x), ... HerrapHe ljlyHK:o;:aje, o,n;aKJie cJie,n;:a ,n;a je
j'(O) = /(3)(0) = · · · = 0.
CTora o,n;roBapajyh:a TejJiopoB IIOJIHHOM ca,n;pJKH caMO rrapHe cTerreHe.
lia.n:.e rrpeTIIOCTaBHMO ,n;a je ljlyHKD;Hja HerrapHa Ha IIOCMaTpaHOM HH
TepBaJiy. Ta,n;a cy CBH IbeH:a rrapHH H3Bo,n;:a f(x) = f( 0 )(x),J"(x), ... HerrapHe
ljlyHK:o;:aj e Ha TOM HHTepBaJiy, rra cy IbHXOBe Bpe,n;HOCTH y 0 j e,n;HaKe 0. CTora
IheH TejJiopoB rroJIHHOM ca,n;pJKH caMo HerrapHe CTerreHe. 0
5. EKCTpeMHe Bpe,IJ;HOCTH .PYHKD;_Hja
3Al{ATAK 59. Hanu e1\:cmpeMyMe rjy'H1\:'4uje f(x) (x E R).
x 3 - 3x + 4
Peme:Ihe. KaKo je f'(x) = 3x2 - 3 = 3(x2 - 1), CTa:o;:aoHapHe Ta"tiKe
ljlyHK:o;:aje f(x) o,n;pel)eHe cy ycJIOBOM f'(x) = 3(x2 - 1) = 0.
O,n;aB,n;e HaJia3HMO ,n;a cy je,n;:aHe CTa:o;:aoHapHe Ta"tiKe OBe ljlyHK:o;:aje x1 =
-1, x2 = 1. KaKo je f"(x) = 6x, ,n;o6:ajaMo ,n;a je f"(-1) = -6 < 0, !"(1) = 6 > 0.
CTora y Ta"tiKH x1 = -1 ljlyHK:o;:aja f(x) HMa JIOKaJIHH MaKCHMYM f( -1) = 6, a y Ta"tiKH x 2 = 1 HMa JIOKaJIHH MHHHMYM j(1) = 2. 0
x 2 +4 3Al{ATAK 60. Hanu e1\:cmpeMyMe rjy'H1\:'4uje f(x) = (x =/= 0). X
Pemelhe. l1ManeMo ,n;a je
4 f(x) = x + -,
X
!' ( x) = 1 _ _±_ _ x2
- 4 x2- 2 X
(x =/= 0).
68 BEJKBE 113 AHAJII13E I
CTora <f>yHKD;Hja f(x) HMa ,n;Be cTan;:rroHapHe Ta"t.IKe x 1 = -2 H x 2 = 2.
KaKo je ,n;aJI.e f"(x) = 8/x3, ,n;o6:rrjaMo ,n;a je !"( -2) = -1 < 0 :rr !"(2) = 1 > 0.
CTora y Ta'IKH x1 = -2 <f>yHKD;Hja f(x) HMa JIOKaJIHH MaKCHMYM !( -2) = -4, a y Ta"t.IKH Xz = 2 JIOKaJIHH MHHHMYM j(2) = 4. 0
3AllA TAK 61. OiJpeiJumu ma"ix;e ex;cmpeMyMa ¢yux;71,uje f(x) = xn
(n EN) ua 'IJ,MOj npaeoj R.
Peme:a.e. AKo je n = 1, Tj. f(x) = x, <f>YHKD;Hja f(x) HeMa cTa
D;HOHapHHX Ta"t.IaKa rra HH eKCTpeMyMa. l!aJI.e DeMO rrpeTIIOCTaBHTH ,n;a je
n 2:: 2. KaKo je f'(x) = nxn-l, cJie,n;:rr ,n;a OBa <f>YHKD;:rrja HMa je,n;Hy je,n;HHY
CTaD;HOHapHy Ta"t.IKY XQ = 0. 3a rrapHe Bpe,n;HOCTH n, OBa Ta'!Ka je Ta"t.IKa MH
HHMyMa jep je f(x) = xn 2:: f(O) = 0 3a CBaKO X E R. 3a HerrapHe Bpe,n;HOCTH
n Ta"t.IKa x 0 = 0 HHje Ta"t.IKa eKCTpeMyMa jep je 3a E > 0: f(~:) =En > f(O) = 0,
a 3a E < 0: f( -E) = ( -E)n < f(O) = 0. 0
3AllATAK 62. Ha!iu ex;cmpeMyMe ¢yux;71,uje
f(x) = arctg x- ~ln (1 + x 2)
2
Peme:a.e. KaKo je
f'(x) = _1 X
1 +x2
(x E R).
1-x 1 + x 2 '
<f>yHKo;:rrja f(x) HMa je,n;Hy je,n;HHY CTan;:rroHapHy Ta"t.IKY xo = 1. KaKo je f'(x) > 0 3a x < 1 H f'(x) < 0 3a x > 1, cJie,n;:rr ,n;a je Ta'IKa x0 = 1 Ta'IKa JIOKaJIHOr
MaKCHMyMa <f>yHKD;Hje j(x). 0Baj MaKCHMYM H3HOCH j(1) = 7r/4- !ln2. 0
3AllATAK 63. Ha!iu ex;cmpeMyMe ¢yux;71,uje f(x) = xm(l - x)n
(m,n E N;x E R).
Peme:a.e. <I>yaKn;:rrja f(x) je eJieMeaTapaa, rra je ,n;:rr<f>epeHn;:rrja6:rrJIHa aa
n;eJioj rrpaBoj R. KaKo je
f'(x) = mxm- 1(1- x)n- nxm(l- xt- 1 = xm- 1(1- x)n-1 [m(1- x)- nx] = = xm- 1(1- x)n- 1[m- mx- nx] = (m + n)xm- 1(1- xt-1 ( m - x],
m+n
,n;o6:rrjaMo ,n;a cy je,n;:rrae cTan;:rroaapae Ta"t.IKe oBe <f>yHKD;Hje
x 1 = 0 (3a m > 1), Xz = 1 (3a n > 1), m
X3 = m+n
BEJKBE H3 AHAJIH3E I 69
KaKo je 3a rrapHe Bpe,n:HOCT11 m ~ 2 11 ,n:OBOJLHO MaJio E > 0, f'(E) < 0 11
j'(E) > 0, TO y Ta"t!KH Xl = 0 lf>yHKD;11ja j(x) 11Ma JIOKaJIH11 M11Hl1MYM j(O) = 0. 3a HerrapHe Bpe,n:HOCT11 m ~ 3 11MaMO ,n:a je j'( -E) > 0 11 j'(E) > 0, rra
eKcTpeMyM y Ta"t!KH x 1 = 0 He rrocToj11. CJI11"t!HO BaJK11 11 3a m = 1.
AHaJiorHo BaJK11 11 y Ta"t!K11 x2 = 1. AKo je n ~ 2 rrapHo, Ta,n:a je
j'(1- E) < 0 11 j'(1 +E) > 0, rra y TOj Ta"t!K11 lf>YHKD;11ja j(x) 11Ma JIOKaJIH11
M11H11MYM !(1) = 0. AKo je n ~ 3 HerrapHo, Ta,n:a je !' (1- E) > 0 11 !'(1 +E) > 0, rra eKcTpeMyM y oBoj Ta"t!K11 He rrocToj11. CJI11"t!HO BaJK11 11 3a n = 1.
Haj3a,n: 3a Ta"t!KY X3 = m/(m + n) 11MaMo ,n:a je
j'(x3- c) > 0, J'(x3 +E) < 0,
rra y Ta"t!K11 x 3 lf>YHKD;11ja j(x) 11Ma JIOKaJIH11 MaKC11MYM
mmnn f(x3) = (m + n)m+n. 0
3A1IATAK 64. Hanu ex;cmpe.My.Me ¢yHx;v,uje f(x) = ~ {/(1- x)2.
Pemel:be. <I>yHKD;11ja f(x) je ,n:elf>11H11CaHa Ha n;eJioj peaJIHoj rrpaBoj u
IIp11TOM je
f'(x) = ~x-2/3( 1 _ x)2/3 _ ~xl/3( 1 - x)-1/3 = 3 3
1 = _ x)l/3 [(1- x)- 2x] =
1 1 =- (x--).
3
CTora OBaj 113BO,n: rrocToj11 caMo y Ta"tiKaMa x =/= 0; 1. O,n:aB,n:e ,n:o611jaMo
,n:a je je,n:11Ha CTaD;110HapHa Ta"t!Ka cpyHKD;11je Xl = 1/3, a je,n:HHH KaH,II;11,II;aTH 3a
Ta"t!Ke eKcTpeMyMa cy Ta"t!Ke x 1 = 1/3, x 2 = 0 11 x 3 = 1. KaKo je 3a E > 0:
f'(~-E)>O, f'(~+c)<O,
CJie,n:u ,n:a y Ta"t!KH x 1 = 1/3 cpyHKD;Hja j(x) HMa JIOKaJIH11 MaKCHMYM j(1/3) =
13/3. l!aJLe je 3a E > 0:
f'(E)>O, j'(E)>O,
rra y Ta"t!KH X 2 = 0 cpyHKD;Hja j(x) HeMa eKCTpeMyMa.
Haj3a,n: 11MaMo ,n:a je
f'(1-E)<0, j'(1+E)>0,
70 BE>KBE I13 AHAJII13E I
rra y TaqKH x3 = 1 <f>yHKIJ;Hja j(x) HMa JIOKaJIHH MHHHMYM j(1) = 0. 0
3A1IATAK 65. Ha!iu anco.Aymnu MU'HUMYM u anco.Aymnu MaKCUMYM
¢ynr;;v,uje
f(x) = __2 (x 2:: 0).
Pemelbe. KaKo je
J'(x) = 1- x2 ... . I)'
CJie,LI;H ,n;a je je.LI;HHa CTaD;HOHapHa TaqKa OBe <f>yHKD;Hje Ha HHTepBaJiy [0, +oo)
TaqKa Xo = 1. KaKO je j'(x) > 0 Ha HHTepBaJiy [0, 1) H j'(x) < 0 Ha HHTepBaJiy
(1, +oo), CJie,LI;H ,n;a y TaqKH Xo <f>YHKD;Hja j(x) HMa JIOKaJIHH MaKCHMYM j(1) = 1/2. flaJbe je j(O) = 0, j(x) 2:: 0 3a CBaKO X 2:: 0 H
1. X l" 1 0 !ill = lffi = '
x-++oo 1 + x 2 x-++oo X+ 1/x
o,n;aKJie .n;o6Hj aMo ,n;a j e
inf{j(x): x 2:: 0} = 0, sup{f(x): x;:::: 0} = 1. 0
3A,UATA:K 66. Hanu anco.Aymnu MU'HuMyM u anco.Aymnu Mar;;cuMyM
¢ynKv,uje J(x) = x2 - 2x- 3 na unmepea.Ay [-2,5].
Pemelbe. I1ManeMo .n;a je f'(x) = 2x- 2 = 2(x- 1), rra Je Je,LJ;HHa
CTaD;HOHapHa TaqKa OBe <f>yHKIJ;Hje Xo = 1, H OHa IIpHIIa,n;a IIOCMaTpaHOM HH
TepBaJiy [-2, 5]. KaKo je f'(x) < 0 3a x < 1 H f'(x) > 0 3a x > 1, y TaqKH
XQ = 1 <f>yHKIJ;Hja j(x) HMa JIOKaJIHH MHHHMYM j(1) = -4. Jom Tpe6a HCIIH
TaTH Bpe,n;HOCTH <f>yHKIJ;Hje j(x) Ha KpajeBHMa IIOCMaTpaHOr HHTepBaJia.
KaKo je J( -2) = 5 H f(5) = 12, BH.LI;HMO ,n;a je
inf{j(x): -2::; x::; 5} = -4, sup{f(x): -2::; x::; 5} = 12. 0
3A1IATAK 67. Ha!iu anco.Aymne eKcmpeMyMe ¢ynr;;v,uje
f(x) = e-x2
cos x2
na npaeoj R.
BEJtCBE 113 AHAJI113E I 71
PemeH:.e. KaKo j e <f>YHKD;I:Ij a f ( x) ,ll;e<f>HHHCaHa Ha :o;e;wj pea;moj rrpaBoj
H rrapHa, )];OBOJbHO je pa3MOTpHTH CaMO H>eHe Bpe,ll;HOCTH 3a X 2: 0. :vlManeMO
)];a j e
f'(x) = -2hxe-x2
cos(n/4- x2 ),
rra cy cTa:o;HoHapHe TaqKe oBe <f>yHK:o;Hje O,ll;pel)eHe ca
xo = 0, Yk = yi2kn + 3n/4 (kENo).
KaKo j e )];aJbe
f(O) = 1, 1 -2k7r-3rr/4, f(yk) =- y2e lim f(x) = 0, x-++oo
)];06HjaMo )];a je
inf{J(x): x E R} =- ~ 1 1
, sup{f(x): x E R} = 1. 0 2e3rr 4
3AllATAK 68. Hanu e'K:cmpeMyMe u npeeoj'tte ma"i'K:e if;y'H'K:t{Uje y =
x2 e-x (x E R).
3AllATAK 69. Hanu anco.Jtym'He ec'K:mpeMyMe c.JteiJenux if;y'H'K:t{uja:
(a)
(6)
(:o;)
f(x) = x4 -2x2 +3 'Ha u'Hmepea.Jty [-3; 2], 11:ao u '/Ve'He npeeoj'He ma"i'K:e;
g(x) = sin(x2 + 4) 'Ha U'Hmepea.Jty [-1, 1];
h(x) = {/x2 (1- x) 'Ha U'HmepeaAy [-1/2; +3/2];
()];7 k(x) = -1x- x 2 'Ha U'HmepeaAy [1/4; 4/5].
6. MciHITHBalbe TOKa <f>YHR~Hja
ilO)]; HCIIHTHBaH>eM TOKa <f>yHKD;Hj e IIO,ll;pa3yMeBaMO HaJia:rKeH>e CJie)];enHX
IIO,ll;aTaKa Be3aHHX 3a IIOCMaTpaHy <f>yHKD;Hjy.
1. 0)];peljHBaH>e IIpHpO,ll;HOr )];OMeHa <f>yHKII.Hje, Tj. MaKCHMaJIHOr CKyrra
Ha KOMe je OHa ,ll;e<f>HHHCaHa H HCIIHTHBaH>e IbeHOr IIOHamaH>a y rpaHH'IHHM
TaqKaMa TOr CKyrra.
2. O,ll;pel)HBa.Ibe )];a JIH je OHa rrapHa, HerrapHa , rrepHO)];H'!Ha HJIH Herre
pHO)];HqHa, HerrpeKH)];Ha HJIH rrpeKH)];Ha, O,ll;peljHBaH>e .IbeHHX TaqaKa IIpeKH)];a
H BpCTa rrpeKH)];a.
3. Q,ll;peljHBa.Iba .IbeHHX HyJia H HHTepBaJia y KOjHMa je II03HTHBHa HJIH
HeraTHBHa.
72 BEJKBE 113 AHAJII13E I
4. Hcmrnma!he Ha KOjHM cKyrroBHMa Ta1:.!aKa je oHa ,n;mpepeH:QHja6HJIHa.
5. O,n;pel)HBalbe Ibemrx BepTHKaJIHHX H KOCHX acHMIITOTa, yKJLy-qyjynH
H XOpH30HTaJIHe.
6. 0,n;pel)HBalbe HHTepBaJia MOHOTOHOCTH cpyHK:QHje, IbeHHX CTa:QHOHap
HMX Ta 1:.!aKa, KaO H Ta 1:.!aKa eKCTpeMyMa ( JIOKaJIHHX H aiiCOJIYTHHX).
7. 0,n;pel)HBalbe HHTepBaJia KOHBeKCHOCTH H KOHKaBHOCTH cpyHK:QHje,
KaO H IheHHX rrpeBOjHHX Ta1:.!aKa.
Y3 IIOMOn CBHX OBHX IIO,!J;aTaKa, HJIH 6ap OHHX KOje MOJKeMO ,n;a yc
TaHOBHMO 3a ,n;aTy cpyHK:QHjy, IIpHCTyrra Ce II;pTalby rpaqmKa ,n;aTe cpyHKII;Hje.
V,UJa:
3A1I.ATAK 70. Jfcnumamu mo-x; u Hav,pmamu zpa¢u-x; cAeoenux ¢yn-x;-
(a)
(,n;)
(r)
1
y = ex(x- 1) ; (6)
x-2 y = ln x + 1'
y = vx2 + 1- vx2 -1; (u:) y = xarctgx;
(1 + x)3/2 y = r- ; (cp) Y = 21/x;
1
Pemelhe. (a) <PyHKII;Mja f(x) = ex(x- 1) je ,n;ecpHHHCaHa 3a cBe Bpe,n;
HOCTH X=/= 0; 1, H HHje HH rrapHa HH HerrapHa. CTora je IbeH IIpHpO,n;HH ,!J;OMeH
cKyrr D = R" {0; 1} = ( -oo, 0) U (0, 1) U (1, +oo). KaKo je 3a CBaKo x E D HCIIylheHO
1 1 !(2 + x) = !(2- x),
rpacpHK oBe cpyHKII;Hje je CHMeTpH1:.!aH y o,n;Hocy Ha rrpaBy x = 1/2. CTora je
,!J;OBOJLHO HCIIHTaTH IheH TOK 3a Bpe,n;HOCTH X :2: 1/2 (x =/= 1).
KaKo je f(x) > 0 3a cBaKo x =I= 0; 1, cpyHKII;Hja HeMa peaJIHHX HyJia.
llaJLe je
1 1 1 --
/(2) = e-1/4 = e-4, f ( 1 - 0) = lim e (1 - E) (-E) = 0 €-++0 '
1 1
/(1 + 0) = lim e(1 + E)E = +oo, €-++0
f ( + oo) = lim ex ( x - 1) = 0. x-++oo
CTora cy npaBe x = 0 H x = 1 BepTHKaJIHe acHMIITOTe OBe cf>YHKII;Hje, a
IIpaBa y = 0 je XOpH30HTaJIHa aCHMIITOTa OBe cpyHKII;Hje y Ta1:.!KaMa ±oo.
BE>KBE 113 AHAJ1113E I 73
<l?yHKUIIj a f ( x) j e o-.:riir Jie,n;Ho ,n;IIcpepeHn;IIj a6IIJIHa Ha n;eJioM ,.noMeHy D,
II IIpiiTOM j e 1
J'(x) = 1- 2x ex(x- 1). x2(x- 1)2
O,n;aB,.ne cJie,.nii ,.na je !'(1/2) = 0, II f'(x) < 0 3a x > 1/2 (x =f- 1). CTora
je oBa cpyHKn;IIja cTporo pacTyna Ha IIHTepBaJIIIMa ( -oo, 0) II (0, 1/2) II CTporo
orra,n;ajyna Ha IIHTepBaJIIIMa (1/2, 1) II (1, +oo). O,.naB,n;e CJie,.nii ,.na je Ta-.:rKa
X= 1/2 Ta"tiKa JIOKaJIHOr MaKCIIMyMa OBe cpyHKI(IIje II IIpiiTOM je j(1/2) = e-4.
HaJia3enii ,.npyrii II3Bo,n; oBe cpyHKn;IIje MOiKe ce rroKa3aTII ,n;a je f"(x) > 0
3a x < 0 II x > 1 II f"(x) < 0 3a 0 < x < 1. CTora je OBa cpyHKII;IIja
KOHBeKCHa Ha IIHTepBaJIIIMa ( -00, 0) II (1, +oo), II KOHKaBHa Ha IIHTepBaJiy
(0, 1). 0CIIM TOra OHe HeMa rrpeBOjHIIX Ta'IaKa. 113 CBIIX OBIIX IIO,II;aTaKa
MOiKeMo rrpii6JIIIiKHO ,.na Han;pTaMo rpacjliiK oBe cjlyHKn;IIje. OH oH,n;a II3rJie,.na
Kao Ha cJie,n;enoj CJIIII(II.
31-Y
2
X
-3 -2 -I 2 3
CJIHKa 6.1
(6) <l?yHKn;IIja f(x) = )x2 + 1- vx2 - 1 je o-.:riirJie,.nHo ,.necjliiHIICaHa caMo
3a lxl 2 1, ,.naKJie Ha yHIIjii IIHTepBaJia ( -oo, -1) U (1, +oo) II rrapHa. CTora
neMO je IIOCMaTpaTII Hajrrpe 3a Bpe,.nHOCTil X 2 1.
0-.:rilr Jie,li;HO j e j (X) > 0 3a X 2 1, rra cpyHKI(Ilj a j (X) HeM a HY Jia II IIpiiTOM
je j(1) = )2. 0Ha je O'IIlrJie,li;HO ,.niicpepeHI(IIja6IIJIHa Ha I(eJIOM IIpilpO,li;HOM
,.noMeHy. KaKo je ,n;aJbe
f(x) = x2 + 1- (x
2- 1) = 2
v x2 + 1 + v x2 - 1 v x2 + 1 + vx2 - 1
2 -+0 x( J1 + 1/x2 + yl1- 1/x2)
74 BEJKBE 113 AHAJII13E I
Ka,n;a X --t +oo, CJI8)J;If ,n;a je rrpaBa y = 0 XOpH30HTaJIHa aCHMIITOTa OBe
cpyHKD;Hja Ka,n;a X --t +oo, a 360r rrapHOCTH OBe cpyHKD;Hje If Ka,II;a X --t -00.
Jla.rr,e je:
X f'(x)=~ -
X
Jx2 -1
x(Jx2 -1-Jx2+1)
Jx4 -1
rra oBaj H3BO,n; HMa KOHaqHy Bpe,n;HOCT caMo 3a 3a lxl > 1. O,n;aB,n;e TaKol)e
CJie,n;H ,n;a je f'(x) < 0 3a x > 1, rra oBa cpyHKn;Hja CTporo orra,n;a 3a x > 1,
a 36or rrapHOCTH TaKol)e H cTporo pacTe 3a x < -1. CTan;HoHapHHX Ta"tiaKa
oBa cpyHKD;Hja HeMa. O,n;aB,n;e TaKol)e 3aK.rr,y-qyjeMo ,n;a cy Ta"tiKe x = ±1 Ta"t!Ke
JIOKaJIHHX MaKCHMyMa OBe cpyHKD;Hje ll IIpHTOM je j(1) = j( -1) = J2. OcHM Tora HaJia3HMO ,n;a je
!" ( x) = J x2 + 1 - x2 I J x2 + 1 x 2 + 1
1 1
J x 2 - 1 - x 2 I J x 2 - 1
x 2 -1
(x2 + 1)3/2 + (x2 _ 1)3/2 > 0
3a X> 1 (H 3a X< -1), rra je cpyHKD;Hja j(x) KOHB8KCHa Ha D;eJIOM IIpHpO,II;HOM
,n;oMeHy. IIpeBojHHX Ta"tiaKa oBa cpyHKD;Hja HeMa.
Ha OCHOBY CBHX OBHX rro,n;aTaKa MOIKeMo rrpH6JIHIKHO ,n;a Han;pTaMo rpa
cpHK oBe cpyHKD;Hje. OH je rrp:wma3aH Ha CJIHD;H 6.2.
J'
2
f2
-3 -2 2 -~
C.mu~a 6.2
(n;) <I>yHKD;Hja f(x) = x arctgx je ,n;ecpHHHCaHa Ha n;eJioj peaJIHOj rrpaBoj
If rrapHa. CTora neMO je IIOCMaTpaTH caMO 3a Bpe,n;HOCTH X~ 0. 0"tiHrJie,n;Ho je f(O) = 0 II f(x) > 0 3a x > 0. JlaJLe je
lim f(x) = ~ lim x = +oo. x-++oo 2x-++oo
BEJKBE 113 AHAJI113E I
<l>yHKIJ;lij a j (X) j e CBY ,n;a ,Il;IIcpepeH:o;IIj aO:tUIHa II IIpiiTOM j e
!'(x) = arctgx + x ~ > 0 1+x
75
3a X > 0 II j'(O) = 0, rra je X = 0 je,n;IIHa CTaD;IIOHapHa Ta"tiKa OBe cpyHKD;IIje.
KaKo je cpyHK:o;IIja f(x) CTporo pacTyna Ha IIHTepBaJiy (0, +oo), II 36or rrap
HOCTII, CTpOrO orra,n;ajyna Ha IIHTepBaJiy (-oo,O), CJie,IJ;H ,n;a je Ta"tiKa X= 0
Ta"tiKa JIOKaJIHOr MIIHIIMyMa OBe cpyHKD;IIje. KaKO je j(x) > 0 3a X=/= 0, CJie,IJ;II
,n;a je OBa Ta"tiKa II Ta"liKa aiiCOJIYTHOr MIIHIIMyMa IIOCMaTpaHe cpyHKD;IIje.
llaJLe IIMaMo ,n;a je:
f(x) = arctgx--+ ~' (x--+ +oo), X 2
1r · 1r arctgx- 7r/2 f(x)- 2x=x(arctgx- 2)= ., ,
rra je Ha OCHOBY JIOIIIITaJIOBOr rrpaBIIJia:
lim [f(x)- 1rx] = lim x-++oo 2 x-++oo
1
1 + x2 1
x2
x2 lim = -1.
x-++oo 1 + x 2
CTora je rrpaBa y = 1rxj2-1 Koca aciiMIITOTa oBe cpyHK:o;IIje y Ta"I.IKH +oo,
II 360r rrapHOCTII OBe cpyHKD;IIje TaKol)e rrpaBa y = -1fXj2 -1 KOCa aCIIMIITOTa
OBe cpyHKD;IIje y Ta"I.IKH -00.
KaKo je ,n;aJLe
1 1 + x 2- 2x2
f"(x) = 1 + x2 + (1 + x2)2
2
1 1- x2 - + -,--------
1+x2 (1+x2)2
1 + x 2 + 1- x 2
(1 + x2)2 (1 + x2)2 > 0,
3a CBaKo x E R, cJie,n;H ,n:a je cpyHK:o;Hja f(x) CTporo KOHBeKCHa Ha :o;eJioj rrpaBoj
R. CTora oHa yorrmTe HeMa rrpeBojHIIX Ta"tiaKa.
Ha OCHOBY OBIIX IIO,ll;aTaKa, MO>Ke ce IIpii6JIII>KHO Ha:o;pTaTH rpacpiiK OBe
cpyHK:UIIje. OH je rrpe,n;cTaBJLeH Ha CJIII:UII 6.3.
76 BEIKBE l13 AHAJII13E I
;:
-3
C.TIHRa 6. 3
( ) ""' . f ( ) sin x . . ,I( '±'YHKIJ;11Ja X = Je Qq11rJie,l(HO .l(eqmH11CaHa Ha :o;eJIOJ pe-
2 + cosx aJIHoj npaBoj, HenapHa je, 11 nep110.l(11qHa ca nep110,l(OM w = 27r. Oc11M Tora
oHa j e oq11r Jie.l(HO 11 ,l(11£flepeH:o;11j a611JIHa Ha :o;eJioj peaJIHoj npaBoj. 0 ,l(aB,l(e
CJie,l(11 ,l(a je ,l(OBOJLHO 11CII11TaT11 H>eH TOK Ha 11HTepBaJiy [0, 1r], q11Me 360r O
C0611He H€IIapHOCT11 ayTOMaTCK11 .l(0611jaMO 11 H>eH TOK Ha 11HTepBaJiy [-rr, rr]. 36or OC0611He nep110)l_11qHQCT11, T11Me je IIOTIIYHO O,l(pel)eH H>eH TOK 11 3a CBe
OCTaJie Bpe.l(HOCT11 IIpOMeHJL11Be X •
.llaKJie Hajnpe IIOCMaTpaMO H>eHe Bpe,l(HOCT11 Ha 11HTepBaJiy (0, rr]. l1Ma
neMO ,l(a je j(O) = j(rr) = 0 11 j(x) > 0 3a X E (0, rr) . .llaJLe je:
j' (X) = COS X ( 2 + COS X) - sin X (- sin X) = (2 +cos x) 2
2 cos x + cos2 x + sin 2 x 2 cos x + 1
( 2 + COS X) 2 - ( 2 + COS X) 2 '
na cy CTaiJ;110HapeHe TaqKe OBe £flyHKIJ;11je O.l(pel)eHe je,l(Haq11HOM COSX = -1/2. 0.l(aB,l(e ,l(0611jaMO ,l(a je je.l(11Ha CTaiJ;110HapHa TaqKa OBe £flyHKIJ;11je Ha 11HTep
BaJiy [0, rr] TaqKa x = 2rr /3.
KaKo je ,l(aJbe f'(x) > 0 3a 0 :::; x < 2rr/3 11 f'(x) < 0 3a 2rr/3 < x :::; rr, cJie,l(11 ,l(a je £flyHK:o;11ja f(x) cTporo pacTyna Ha 11HTepBaJiy (0, 2rr/3) 11
cTporo ona,l(ajyna Ha 11HTepBaJiy (2rr /3, rr). CTora OHa y TaqK11 x0 = 2rr /3 11Ma JIOKaJIH11 MaKC11MYM y TaqK11 X= 2rr/3 11 OH 113HOC11 j(xo) = )3.
KaKo je OBa £flyHK:o;11ja nep110,l(11'!Ha 11 HeKOHCTaHTHa, MOJ-Ke ce ,l(OKa3aT11
.l(a OHa HeMa KOC11X aC11MIITOTa. Ocmvt Tora, KaKo je ,l(e£fl11H11CaHa 11 HenpeK11k
Ha Ha IJ;8JIOj peaJIHOj IIpaBOj OHa H8Ma H11 BepT11KaJIH11X aC11MIITOTa.
BEIKBE I13 AHAJII13E I 77
rpacf>HK OBe cf>YHKD;Hje je rrpe,n:cTaBJbeH Ha CJie,n:enoj CJIHIJ:H.
0.6 .Y
0.4
0.2 v .\ .r I I I
·2 -! /10
l 2 3\ 4
·0.2
-0.4
·0.6
Cmuca 6.4
(1 + x)3/2 (e) <l>yHKD;Hja j(x) = yfx je ,n:ecf>HHHCaHa 3a CBe Bpe,n:HOCTH X> 0,
TJ. Ha HHTepBaJiy D = (0, +oo). KaKo je f(x) > 0 3a CBaKo xED, HeMa HyJia.
l[a.rr,e je
lim f(x) = +oo, x-+0
rra je rrpaBa x = 0 BepTHKaJIHa acHMIITOTa cf>YHKO:Hje. KaKo je
. (1+x)3/2 . ~(1+x)1/2 . hrn 112 = hrn 1 112 = hrn 3y'x(1 + x) = +oo,
x-++oo x x-++oo 2x- x-++oo
IIOCMaTpaHa cf>YHKO:Hja HeMa XOpH30HTaJIHy aCHMIITOTy. l(a.rr,e je
_ . f(x) _ . (1 + x) 312 _ • / )3/2 _
k- hrn -- - hrn 312 - hm (1 + 1 x - 1, x-++oo X x-++oo X x-++oo
y'(1 +x)3 - v? n = lim (f(x)- x) = lim y'x =
x-++oo x-++oo X
=lim (1+x)3-x3 =lim 3x2+3x+1 x-++oo y'x( j(1 + x)3 + VXJ) x-++oo x2 + jx(1 + x)3
= lim 3 + 3/x + 1/x2
= ~' x-++oo 1 + j(1 + 1/x)3 2
O,n:aKJie CJie,n:H ,n:a j e rrpaBa y = X+ 3/2 KOCa aCHMIITOTa OBe cf>yHKO:Hj e y Ta"t!KH
+oo. <l>yHKO:Hja je ,n:H<jlepeHO:Hja6HJIHa Ha n:eJIOM ,L(OMeHy H IIpHTOM je
f' (X) = 2x: 1 v 1 + X 3 .
X
78 BEJKBE 113 AHAJIM3E I
3a x > 1/2 je f'(x) > 0, a 3a x < 1/2 je f'(x) < 0, n ocnM Tora
je f'(x) = 0 3a x = 1/2, na je x = 1/2 je.n;nHa cTa:o;noHapHa Ta"tiKa .n;aTe
cpyHK:o;nje. KaKo je cpyHK:o;nja f(x) cTporo ona.n;ajyna Ha HHTepBaJiy (0, 1/2), H CTporo pacTyna Ha HHTepBaJiy (1/2, +oo), cJie.n;H .n;a je Ta"tiKa x = 1/2 Ta"tiKa
JIOKaJIHOr MHHHMyMa OBe cpyHKD;Hje. KaKO je .n;aJLe j(x) > 0 3a X > 0, CJie,IJ;H .n;a
je OBa Ta"tiKa H Ta"tiKa anCOJIYTHOr MHHHMyMa ITOCMaTpaHe cpyHKD;Hje . .ilaJLe
je
3 > 0, f"(x) = 4-H=x5=-y-1 + x
3a CBaKO X E D, O,IJ;aKJie CJie,IJ;H .n;a j e cpyHKD;Hj a CTpOrO KOHBeKCHa Ha "tiHTaBOj
o6JiaCTH D. CTora oHa HeMa npeBojHHX Ta"tiaKa.
Ha OCHOBY .n;o6HjeHHX no.n;aTaKa, MOJKe ce npH6JIHJKHO Ha:o;pTaTH rpacpHK
OBe cpyHKD;Hje (BH,IJ;eTH CJI. 6.5).
·2 -l Ol _1. l 2
2
CJmRa 6.5
X
4 5
(cp) !f?yHKD;Hja j(x) = 21/x je .n;ecpHHHCaHa 3a CBe Bpe.n;HOCTH X=/= 0, na je
lheH .n;oMeH cKyn D = R \ {0} = ( -oo, 0) U (0, +oo). !f?yHK:o;Hja HHje HH napHa
HH HenapHa H HeMa peaJIHHX HyJia jep je f(x) > 0 3a cBaKo =/= 0. lia.lhe je
lim 21/x = lim 21/x = 1 x-l--oo x-++oo '
na je y = 1 XOpH30HTaJIHa aCHMITTOTa ,IJ;aTe cpyHKD;Hje. !f?yHKD;Hja HMa H Bep
THKaJIHY aCHMITTOTy X= 0 aJIH CaMO ca .n;ecHe CTpaHe jep je:
lim 21/x = 0, lim 21/x = +oo. x-+-0 x-++0
liaTa cpyHKD;Hja je ,ll;HcpepeH:o;Hja6HJIHa Ha "tiHTaBOM ,ll;OMeHy H npHTOM je
f'(x) = -21/xln2 2 0
X
BEIKBE H3 AHAJIH3E I 79
KaKo je f'(x) < 0 3a cBaKo x =!= 0, cpyHKil;I-Ija je cTporo orra,n;ajyna Ha
l.UITaBOM ,Il;OMeHy H HeMa CTaiJ;HOHapHHX Tal.!aKa . .llaJLe HaJia3HMO ,n;a je
f"(x) = 21/x1n 2 2x + ln 2 X
KaKo je f"(x) < 0 3a x < -(ln 2)/2 n f"(x) > 0 3a x > -(ln 2)/2, ,n;aTa
cpyHKIJ;Hj a j e KOHB€KCHa Ha HHT€pBaJiy (-I~ 2, +oo), H KOHKaBHa Ha HHT€pBaJiy
( -00, - 1~ 2). Y Tal.!KH X = l~ 2 HMa rrpeBOj. Ha OCHOBy OBHX IIO,IJ;aTaKa MO/Ke
ce rrpn6JIHIKHO Ha:o;pTaTn rpacpnK oBe cpyHK:o;nje. OH je rrpnKa3aH Ha cJin:o;n
6.6.
y
6 [:
J -15 -10 -) - I a 5 10 15 20 :c
CJIHRa 6.6
x-2 (r) <I>yHKIJ;Hja j(x) = ln -- ,n;ecpHHHCaHa je 3a CBe Bpe,n;HOCTH X=/= -1
x+1 .. x-2 0 D
3a KOJ€ J€ -- > 0. ,n;aB,n;e JiaKO HaJia3HMO ,n;a je Ib€H ,Il;OM€H CKYII = x+1
( -oo, -1) U (2, +oo).
MoiKe ce JiaKo Bn,n;eTn ,n;a OBa cpyHK:o;nja HeMa peaJIHHX HyJia. 0Ha je x-2 x-2 .
II03HTHBHa 3a -- > 1, O,Il;HOCHO 3a X< -1, a HeraTHBHa 3a -- < 1, TJ. x+1 x+1
3a x > 2 . .llaJLe je
lim f(x) = 0, lim f(x) = 0, x~-oo x~+oo
rra je x-oca xopn30HTaJIHa acnMrrTOTa OBe cpyHK:o;nje. TaKol)e ce MOiKe JiaKo
BH,Il;€TH ,n;a OBa cpyHKIJ;Hja HMa H BepTHKaJIHe aCHMIITOTe, H TO cy rrpaBe X= -1
n x = 2, jep je
lim f(x) = +oo, lim f(x) = -oo. x~-1-0 x~2+0
80 BEIKBE 113 AHAJII13E I
<l>yRKUHj a f ( x )j e .IJ;HcpepeR:u;nj a6HJIRa Ra .IJ;OMeRy D, a H>eR rrpBH H3Bo.n;
rJiacn
f' (X) = , _3, , ,
OR je II03HTHBaR 3a caaKo x E D, rra cpyRK:o;Hja CTporo pacTe Ra caaKOM o.n; HRTepaaJia ( -oo, -1), (2, +oo). CTa:u;noRapRnx Ta"tmKa ReM a. llpyrn H3BO.n;
OBe cpyRKD;llj e r JiaCH
"( ) 3(1- 2x) f x = (x + 1)2(x- 1))2).
O.n;aa.n;e ce JiaKo RaJia3H .n;a je ORa KORBeKcRa Ra HRTepaaJiy ( -oo, -1), n KORKaBRa Ra HRTepaaJiy (2, +oo). IlpeaojRnx Ta"tiaKa ReMa. Ha CJIH:UH 6.7 je rrpn6JIHJKRO Ra:o;pTaR rpacpnK oae cpyRK:o;Hje. D
) r~ ____-/
-:S -5 ~ -3 -2 -1/ a/ ~ f 7 : ~ .I
-1
-2
-3
-4
CJIH:Ka 6.7
3Al{ATAK 71. Hcnumamu mo,. u nav,pmamu zparfiu,.e c:aeae1iux rfiyn,.V,UJa:
(a)
(.n;)
y = e11x- x; (6) cosx
Y = . (e) 3 + sinx'
y=x-2arctgx; (:u;) y=arth(1+2x);
y = ln ( 2 + x) - ln ( 3 - x) .
Pemelbe. (a) OcTaBJl>a ce 3a caMOCTaJiaR pa.IJ;.
(6) <l>yRK:o;nja f(x) = x- 2 arctg x je O"t!HrJie,n;Ro .n;ecpnRncaRa Ra :u;eJioj
pea;moj rrpaaoj, RerrapHa je, H 6ecKoRa"tiRO .n;HcpepeR:o;Hja6HJIRa Ra R. IlocMa
TpaRa cpyRKD;Hja O"t!HrJie,Il;RO Rllje rrepHO,Il;ll"t!Ra. 36or RerrapROCTll, llCIIHTane
MO H>eRO IIORaillaibe CaMO 3a X 2: 0.
KaKo je cpyRK:o;nja f(x) RerrpeKH.IJ;Ra Ra R, oRa ReMa aepTHKaJIRHX acnMrr
TOTa. llaJDe, KaKO je
lim (x- 2arctgx) = +oo- 2 ~ = +oo, x~oo 2
BEIKBE l13 AHAJII13E I 81
OHa H8Ma XOpll30HTaJIHY aCHMIITOTY y TaqKll +oo, a THMe 360r HerrapHOCTll
Hll y TaqKll -00.
KaKo ce JiaKo MOiKe BH,n;eTH, ILeHa Koca acHMIITOTa y TaqKH +oo Je
rrpaBa y =X- 7r, a KOCa aCHMIITOTa y TaqKll -OO je rrpaBa y =X+ 7r.
llaJbe je y' = x:-1
, rra je cpyHK:qHja f(x) cTporo pacTyna 3a x < -1, X + 1
CTporo orra,n;ajyna 3a -1 < x < 1, H rroHoBo cTporo pacTyna 3a x > 1.
CTora je TaqKa -1 TaqKa JIOKaJIHOr MaKCHMyMa KOjHH3HOCH y(-1) = -1+~,
a TaqKa 1 TaqKa JIOKaJIHOr MllHHMyMa KOjll H3HOCH -1 - ~.
KaKo je y" = ( 4x 2) 2 , cpyHK:qHja f(x) je cTporo KOHKaBHa 3a x < 0,
1+x H CTpOrO KOHB8KCHa 3a X > 0. CTora je TaqKa X = 0 ILeHa je,n;HHa rrpeBOjHa
TaqKa.
(:q) IIo3HaTo je, a JiaKO ce H Herrocpe.n;Ho HaJia3H, ,n;a je
0 ,n;aB,n;e j e
1 1+x arth ( x) = -ln -- ( -1 < x < 1).
2 1-x
1 1 f(x) = arth(1 + 2x) = -ln( -1- -).
2 X
O,n;aB.n;e CJie,n;H ,n;a je ,n;oMeH rrocMaTpaHe cpyHK:qHje D = {x: 11 + 2xl < 1} = ( -1; 0). 0Ba cpyHKnHja HHje Hll rrapHa Hll HerrapHa, jep IL8H ,IJ;OM8H HHje Cll
M8TpHqaH y o,n;Hocy Ha 0. lla.lhe je 3a x < -1/2, f(x) < 0, 3a x > -1/2 je
f(x) > 0, H !( -1/2) = 0. 3a x -t -1 HMaMo ,n;a f(x) -t -oo, 3a x -t -0 HMaMo ,n;a f(x) -t +oo.
OcHM Tora je
!' ( x) = - 2x ( x1 + 1) > 0 ( -1 < x < 0)'
rra je cpyHKnHja f(x) cTporo pacTyna Ha HHTepBaJiy ( -1; 0).
0Ha HeMa XOpll30HTaJIHllX HllTll KOCHX aCHMIITOTa, jep HHje ,n;ecpHHHCaHa
y TaqKaMa ±oo. J1Ma CaMO 2 B8pTHKaJIHe aCHMIITOTe X= -1 ll X= 0. lla.Jhe
Je !"( ) 1 2x + 1
x = -2 x2 (x + 1)2'
rra je 3a X E ( -1; -1/2), f"(x) < 0, H cpyHK:qHja je CTporo KOHKaBHa. 3a
X E (-1/2;0) HMaMO ,n;a je j"(x) > 0, rra je cpyHKnHja j(x) CTpOrO KOHB8KCHa.
TaqKa x = -1/2 je oqHrJie,n;Ho rrpeBojHa TaqKa oBe cpyHKnHje.
(,n;) llaTa cpyHK:qHja je oqHrJie,n;Ho ,n;ecpHHHCaHa Ha :qeJioj peaJIHoj rrpaBoj
H rrepHO,IJ;H'!Ha Ca rrepHO,IJ;OM 27r, rra j e ,Il;OBOJhHO HCIIHTa Tll IL8HO IIOHaiiiaiLe
82 BEIKBE 113 AHAJII13E I
Ha HHTepBaJiy [0, 27r]. I1MaMO ,n;a je j(O) = j(27r) = 1/3, 3aTHM j(x) > 0
3a x E (0,7r/2) U (37r/2,27r), n f(x) < 0 3a 7r/2 < x < 37r/2. IIpnTOM je
j(7r) = -1/3. K . J'( ) 3 sinx+l/3 rh • • aKo Je x = - (3+sinx) 2 , Henocpe,n;Ho CJie,n;n ,n;a 't'YHKD;HJa aKo Je
x1 E (7r,37r/2) TaKBO ,n;a je sinx = -1/3 n x2 E (37r/2,27r) TaKBO ,n;a je sinx2 = -1/3, Ta,n;a je f'(x) < 0 3a x E (O,x1), na cpyHKn;nja f(x) y HHTepBaJiy (O,x1) cTporo ona,n;a. llaJbe je 3a x E (x1, x2), f' (x) > 0, na cpyHKn;nja y HHTepBaJiy
(x 11 x2) cTporo pacTe. OcnM Tora je 3a x E (x2, 27r) ncny:a,eHo J'(x) < 0, na cpyHKn;nja y HHTepBaJiy (x2, 27r) cTporo ona,n;a. CTora OHa Ha HHTepBaJiy
[0, 27r] HMa aiiCOJIYTHH MHHHMYM y Ta-.:mn x 1 j(xl) = -../2/4 < -1/3, a y
Ta"t.J:Kll x 2 aiiCOJIYTHH MaKCHMYM j(x2) = V2/4 > 1/3.
(e) Henocpe,n;Ho ce Bn,n;n ,n;a je ,n;aTa cpyHKn;nja ,n;ecpnHncaHa 3a x > -2 n
x < 3, ,n;aKJie Ha HHTepBaJiy ( -2; 3). IIpnTOM ce JiaKo ,n;oKa3yje ,n;a je f( -2 + 0) = -00 ll j(3-0) = +oo, na cy npaBe X= -2 ll X= 3 BepTHKaJIHe aCHMIITOTe
oBe cpyHKn;nje. OcnM Tora, cpyHKn;nja f(x) HeMa Kocnx HJIH xopn30HTaJIHHX
aCHMIITOTa jep HHje ,n;ecpHHHCaHa y Ta"t.J:KaMa +oo HJIH -00. 0Ha HHje Hll
napHa HH HenapHa. llaJbe je f(x) < 0 3a x < 1/2, f(x) > 0 3a x > 1/2 n
!(1/2) = 0. To jom 3aBpmHTH. y', y nT,n;. D
-:: frJ ' ~ .• /:-f.. :,I