IIP‐UFRN, Natal,  2013, lecture 2.S lf i f l d li i h i l d lSelftraping of electons and solitons in the Peierls model.

Landau theory of phase transitions with symmetry breakingsand Ginsburg‐Landau approach to their deformed states

2242

21

41

21 lbahH

242a>0 , h=0

Static states – extrema(minima) of 

dVH

0222 lbah

0 lbah

Our case: ζ and ∂ζ are not small vacuum electrons bring anomalous chargesOur case:   ζ and ∂ζ are not small, vacuum electrons bring anomalous charges, energies and spectra are not accessed by the order parameter alone.

Dream – a metal Reality ‐ insulator

CH

CH

CH

C CH H

Peierls effect ‐ one dimentional chain of equidistant atoms is unstable with respect to the dimerisation: Spontaneus symmetry braking results in an “insulating state” the gap is open

EE

Spontaneus symmetry braking results in an  insulating state , the gap is open. 

FDexp(‐

3

‐kF kF kF‐kF

EE

2kF2kF

2kF‐2kF

F

F

2kF

))(),(( xx π/2a ‐kF‐π/2a kF

xikxik FF ee

kv

H F*

)(

xkixki FF exexx 22 )(*)()( ee

kv

HF xik )(x

Charge Density Waves ‐ three models in one:1. Half‐filled band ‐ 1 e per unit cell,  ±2kF= ± π/a – the same point  –

only one degree of freedom in Δ; 2 Incommensurate 2k : complex field Δ= Δ +iΔ2. Incommensurate 2kF : complex field Δ Δ1+iΔ23. Small 2kF : quadratic dispersion near the band bottom –

Shroedinger rather than Dirac H.

Microscopics of local and instantaneous electronic states in CDWs .BCS‐like Peierls‐Fröhlich model for the CDW.Exact static solutions solitons of multi electronic modelsExact static solutions – solitons‐ of multi‐electronic models. Adiabatic generalization to dynamic processes – instantons. 

Incommensurate CDW : Acos(Qx+j) Q=2kfIncommensurate CDW :  Acos(Qx j) Q 2kfOrder parameter : Δ(x,t)~ Aexp(ij)Electronic states  y = y +exp(ikfx+ij /2) + y-exp(-ikfx-ij /2)

2

22

* 1t

x dxKiTr

22 t

phx

dxi

Justification of the mean‐field BCS, and for co‐observation of electrons and solitons: Small phonon frequency: experimentally ωph <0.1Δ

Homogeneous ground state of the Peierls‐Frohlich insulator.

22 kvE Fk

dkkvkvLEW FFE

el 22)(22

2

L

We subtract the energy of the parent metal where  kvE Fk

2gLWlat

F

Fel Log

vLW

2

2

FLnCKW 2

2 WMin2

0

For the ground state  Δ=Δ0  should be found selfconsistently

/1g

2

F

Lnv

CL 2 FvL

Min

/10

eF Fvg

lSpontaneous deformation forms the potential well  U for  an electron

Self‐trapping of an added electron in 1D ‐ polaron

Energy functional:U0

p p

22

2*

*

2* KUU

mPdxW

22 m

~1/2m*l2 ~ ‐U0 ~KU02l/2

K‐ elasticity contantΨ – electron wave functionm*‐ electron effective mass

Min over U0 : U0~1/Kl

E 1/2 *l2 U +KU 2l/2E=1/2m l2 ‐U0+KU02l/2

11

W

1/ll lKllm

W2

12

12*

Minimum W0 at l0~K/m* ,  W0< E0 <0

1/ll=∞ ‐ always unstable

7

At D>1 long range Coulomb interactions (ionic crystals) are necessary,to get self‐trapping without the barfrier, hence the name “polaron”

Add a single electron or hole near the gap rims, ±Δ0, allow for deformations of the gap:  amplitude  Δ=Δ0+δ and phase j dj /dx= j’ if applicable. Check for stability: )( C ec o stab ty

HLLL ˆ,, 00 )(; x

2

2

2

4

udxvL F

2

20

22

dx

vL

F

2

0)ˆ( EEH 0|| 2

)(ˆ)(* xHxdxH 22

ˆ0

2Fv

mpH

0,0)( EEH 0||

1||,0|| 22 dx )()(

20

20000 )/cosh(

1||//

x

Topological soliton !

0)()()()( *1 xxxx Charge of trapped electron is exactly compensated

Many‐body problem, a finite concentration of added particles.Low band filling: Shroedinger electrons on the deformable lattice

min, elU WWUW 2

221 Ug

dxW U 0)()ˆ(,ˆˆ 2 xEHUpH E2 g

)())((*}{ 2 xUxdxUEW )())((*}{ xUxdxUEW xEE

el

2 )()(*)(,0)()( 2 xxxxEU Ex

02)(4 UUE

0)()( xU

02)(4 EEE UUE

0)()(2

EE x

g

)()( BxUAx

Ansatz:  any term has the same structure

0)()( xU

0,1)()(

2 EE

EEE

BA

BxUAx 0)()(2

EE x

g

2g

1)()( EEE LBxUdxAxdx

02)(4 UUE

022)(4 UBUUUUEUA EE

02)(4 EEE UUE

06,024 UUUBEA EE

‐ The stationary KdV eq.

ii

Band near half‐filling: Dirac electrons

ii

a

xiaxix

2exp

2exp)(

E

el EWaiai exexx )(*)()(

latel WWWW

kvF

))(),(( xx

kv

HF

F

xik

)sin()()cos()(2)( xkxivxkxux FEFEE

EE gxvxuxW )(),(),( 2

2

E

EEEEEEEE xvxuxuxvxuxvxvxui )()()()()()()()( **'*'*

)(21

21 **

2 xFdxduvvu

ig EEE

EEEE

)()()( * xvxvxF EEE

0)(2 EE vxQEv 2)(xQ 0)( EE vxQEv )(xQ

A simple‐minded way to get a luck of exact solution:

EEE iEvuu EEE iEuvv EEE EEE

0)(2 EE uxPEu 2)(xP

0)(2 EE vxQEv 2)(xQ

And the self-consistency condition

)(21

21 **

2 xFdxduvvu

ig EEE

EEEE

)()()( * xvxvxF EEE

Ansatz:  any term has the same structure

)()()(2 EEE BxAxF

dxdx

,0,12 EE B

gA

g

0t6 2 Works if:

0cnst6 2

02' 242 CBA 02' 242 CBA B=0 for a kink

Two infinite sets of integrals of motion:

xi

ofseigenvalue...,))(2(, 242

dxdx x xiofseigenvalue

WWWW EW latel WWWW

E

el EW

Each term is an integral of motion of the mKdV equation

hence the total energy is invariant Expecting physically only the translational

06 32 xxt

0''6''' 2 A

hence the total energy is invariant. Expecting physically only the translational degeneracy, we insist the traveling solution  (x,t) = (x-ct)

0''6''' 2 AWe know the answer before obtaining it.

This simple minded anzats applies only to a single periodicityThis simple‐minded anzats applies only to a single periodicityA deeper view: may be hidden, even multiple, degeneracy

)/tanh( 00 x0

0 FvTopological soliton

1)(xu 0E

The single intragap state is at the midgap – “zero fermionic mode”

210)/cosh(2)(

00 xxub

ikx1xik )/tanh(

00 E 2,1,00 v

ikxk e

Lv

2ikx

kk e

Exik

Lu )/tanh(

2000

I t t f tImportant features: kink‐like (topologucal soliton) shape of deformations. The mid‐gap state at E0=0 Its wave function does not contain the component (v0=0) which enters self‐

consistently Eq.; hence any filling number νis allowed (s=0,1/2,0) Delocalized states (uk,vk) density is diluted which sums up to the compensating 

h h l l h b ( ) / hcharge ‐1: the total soliton charge becomes (‐1,0,1) – spin/charge separation These states show scattering phases which alone contribute to the soliton energy

Peculiarity:  weakly decaying phase shifts δk of u‐states affect the momentum quantizationaffect the momentum quantization 

,1)(tank

xk

nknLkn 22 10

k

122}{12 202

dkkdnoshiftskW

12414

12}{12

2020

00

dkdkk

dkkdk

noshiftskW kn

nc

tl tti2142

121

00

00

dk

dkdk

kk kk

compensatelattice1

00

200

dkk

One way to build the family of solutions – diverging kinks

0)( (x )2 +c 2 ‐ 4 ‐2A ‐B=0   0)(

2tanh

2tanh1)( 0

xxx coth0x

One trapped electron –stable intermediate position

Two trapped electrons –diverging pair of kinks

Polaron

0)(

0/2cosh211

0 1)(x

x

ixxp ,12

)()( 2/100

4/5

2/1220

0

20

2

22/)(1)(

xx

00 7.0

bE

2 00 0

Eb

Intragap levelsof bound state

07.02

bE

0b

‐Eb

created by the polaron

Polaron’s energy :

00 9.022

pW00 1.0 pWE

Almost compensated gain and cost of energies

1

0.75

0.5

0.25

50-5

0

-0.25

-0.5

Exact shapes:

-0.75

-1

Exact shapes:equilibrium polaron (upper thick line); pair of solitons with E=0.01)  (lower thick line). Thi li t h f ti l fl t ti (l t 5)Thin lines ‐ exact shapes of optimal fluctuations (lecture 5): necessary to create these states by tunneling. Their shapes are much less pronounced in comparison with  the final states which facilitates the tunneling.

N

Fatal effect upon kinks: lifting of degeneracy, hence confinement.

Nature present:cis-isomer of (CH)xBuild-in inequivalence of bonds = nonzero starting “mass”.

Confinement – the linear growth of the attraction energy while the particle divergeConfinement  the linear growth of the attraction energy while the particle diverge. 

Confinement of kinks pairs into 2e charged (bipolaron) or neutral (exciton).

W

Energy difference per unit length is a constant confinement force F.0-0

)()( tNon degenerate ground state

)()( xx ie conste

2 )(xW i 2

)(g

W ilat

22

F

e

F

eF

F vvLog

vLW

21

2 2

FFF

2*

ex K

iTr

Phases of ’s are fixed,

dexi no degeneracy

model with confinement of solitons is “illigitimately” exactly solvable: The symmetry lifting term ~Δ in the energy density does not belong to integrals of motion of the mKdV eq.

2tanh

2tanh1)( 0

xxx

cosh0 bE

0

cos

bE0

e

tanhcossincos4

40E

2 kinks cannot diverge far away anymore. They form a loose bound state – a particle with the charge 2e  ‐ the bipolaron

New ingredient –fconfinement energy

Towards the lattice dynamics: kinetic energy and effective mass of a soliton

L i

22

* 11x dxi

Tr

Lagrangian:

222 t

phx

x dxgi

Tr

vtx

vtxtx tanh),( 0

22

2),(

kin gtx

dxW

2

21 vMW skin

phg 2

*44 20

30M

0* *220

2220 mv

MphFph

S

20*

Fvm

Complex order parameter Incommensurate CDWsComplex order parameter , Incommensurate CDWs.Noninteger variable charges.

2

22

21

21)()()(),();(),(

gxxxvxuxxW EE

E

EEEE xuxvxvxui )()()()( **

)()()()()( ** xvxvxuxux

)()()()()( **i

)()()()()(1 xvxvxuxux EEEE

)()()()()(2 xvxuxuxvxi EEEE

0)(2 **1

vvuuW 0)(2 21

EEE

EE vvuu

g

1 ** W 0)(12 **22

2

EEE

EE uvvu

igW

Now – two independent self‐consistency eds.

Anzats: family of chordus solitons in the complex plane of Δ

// eq 2q

V

V1

‐

E

V2

cos001 E)tanh()( 002 xkkx

sin00 kVn() ‐ selftrapping branches of total energy for chordus solitons with intragap state fillings n =1 and n=2.

The ‐ filled spit‐off state E0 is intragap but not the midgap !Charge conjugation symmetry is broken. Noninteger, variable charge q.If no constraints on θ, the equillibrium solution for just one electron occupying the split off sate is θ=π hence q=0: particle with spin ½ and no charge – the spinon.

Sequence of chordus solitons develops from the bare θ=0 through the amplitude soliton AS at 2θ=π to the full phase slip 2θ=2π. Intra‐gap split‐off state E evolves from  0 to ‐0 providing the spectral flow across the gap together with the electrons’ conversion.

)tanh( 001 xkik0

0 FvTopological soliton

The single intragap state is at the midgap “zero fermionic mode”

2/)( 0k

xub

The single intragap state is at the midgap – zero fermionic mode

cos001 E sin00 k

)cosh()(

0xkb

ikxk ev 1ikxxikk )/tanh( 0000 k L2ikx

kk e

ELu )(

20000

Important features:1. kink‐like (topological soliton) shape of deformations.2 Intragap may not be mid‐gap state at E0≠02. Intragap, may not be mid gap ,state at E0≠03. Its wave function does contain the component  which enters self‐consisteny Eq.; 

hence the filling  affects the equilibrium shape.4. Delocalized states (uk,vk) density is diluted which sums up to the compensating ( k, k) y p p g

charge 0>q>‐15. These states show scattering phases which alone contribute to the soliton energy

Noninteger variable charge: sources and problems.

)( 0k kxx 00 )()( sin00 k)(cosh2

)(0

20

0 xkx kk

k ELx

0

)(

)()()(

sin00 k

=2 – spin degeneracy of filled band states

)()()( 0000 xxxk

k

p g y0 ‐ filling of the split‐off state.Compensation of 0(x) by local dilatations ~1/L of L delocalized statesL  delocalized states.Picture of a classical motion of the soliton Δ(x‐vt): Fraction 1‐2 of the charge emoves and gives the current,

f h h h l d b dFraction 2 of the charge e is homogeneously distributed over the whole length L, it gives no current. Problem: after quantization of the soliton, the whole complex of Bose field Δ and q pthe fermions becomes a wave function distributed over L– will the local and the delocalized charges recombine?

The total energy via its density 

kx 20

20

2 )(

)()()( 00 xExxw kkc

)()( 00 xExwb xkgk

ggxwlat

02

020

2 cosh)(

)()()( 00Lkk

kc

Cos)()( 0000

xwwwxw cblat

The amplitude soliton, θ=π/2 – the energy is zero! – wrong result.The same tric of phase shifts as for the real‐field model 

12

recovers the missed term:

The energyW (2/ π)is here but it is totally delocalized;

LLxw 12Sin)( 0

The energy Ws (2/ π)is  here, but it is totally delocalized;it does not move with the soliton.Where does it  all come from?

Trick around the problem

ddW

ddWdx

ddW 2

2

1

1

sin00

ddW

Integrate with the boundary condition W(0) = ν ∆ corresponding to

ddd 21

Integrate with the boundary condition W(0) = ν0∆0, corresponding to electrons at the momentum k = 0 for an undeformed superstructure,

sincos)( 00W

00

0 sin)(WWS

0

0

SOILITONS WITH NONINTEGER VARIABLE CHARGES – new life in 2000’s:What can constrain the chiral angle and makes the charge noninteger?1 Strict constraint from two interfering dimerizations1. Strict constraint from two interfering dimerizations.

21

22

Joint effect of build‐in ∆i and spontaneous ∆e contributions to gap ∆.Joint effect of build in ∆i and spontaneous ∆e contributions to gap ∆.‐ from the build‐in site dimerization – inequivalence of sites A and B.‐ from spontaneous dimerization of bonds ∆i=∆b ‐ the Peierls effect.

22

21

21

K

iiii

Trx

x

21

2021 )(, cnst

Combined Peiels effect  in  diatomic linear chain  =π/2

Joint effect of extrinsic ∆e and intrinsic ∆i contributions to dimerization gap ∆.

∆e comes from the build‐in site dimerization – non‐equivalence of sites A and B.

∆i comes from spontaneous dimerization of bonds, the Peierls effect.

R`

R

R`

R

∆i comes from spontaneous dimerization of bonds, the Peierls effect.

E

R R

E

22 F

Fie

kF‐kF kF‐kF

33

Threshold effect : ∆i WILL NOT be spontaneously generated 

if ∆e already exceeds the wanted optimal Peierls gap.

2. Soft universal constraint from the additional integral of motion –the energy term linear in gradient iA(Δ*∂xΔ‐Δ∂xΔ*)

k l d‐ Like vector potential A×current in a superconductor or stress shifting the wave number in a CDW.

E

dxd

dxdiB

vdxW

F

**

2

FB

1

2sinsin2cos2)( 2

00

BW

Does not affect the equilibrium points for Homogeneous CDW

2

eqS 00 E 0 B

2

**22

2

21 )()(

)(),(),( igc

gx

dxxxxW

E

F xxiv *12

*2

*12

*21

*1 )()(

2

1

2

1

*2

1

)(

)(ˆ

Eix

xx

iH

222 )(

xix

02 **

* ic 02*

ic02 *

222*1

gic

gE

i **

02221 ggE

1

2

dxLiI **

2 8dx

LI

21

1

Two infinite sets of integrals of motion:

xi *

...,)(,|| **2

dxidxxi

WWWW EW

and eigenvalues of

latel WWWW

E

el EW

Each term is an integral of motion of the NLSE equation

02 2 xxti

g q

hence the total energy is invariant. Expecting physically only the translational degeneracy, we insist the traveling solution (x t) = (x-ct)

0'||2'' 2 ic

Its solution is our former chordus soliton.

(x,t) (x ct)

We could have known the answer before obtaining it.