i.keleshek-2030.kz/mets/7/alg_8_tren_kz.pdf · 1 i. КВАДРАТ ТҮБІРЛЕР ЖӘНЕ...

1

I. КВАДРАТ ТҮБІРЛЕР

ЖӘНЕ ИРРАЦИОНАЛ ӨРНЕКТЕР

1. Иррационал және нақты сандар

1. Иррационал сандарды теріп жазыңдар: −3,81(4); 5,2; 6,888…; ;

−2,7517943…; 2

9 ; −0,1234…; 5,272727…; 8,4040040004…;

16,171819…; 9

2;

5

22 ; 0,1000…

2. Сандарды периодты ондық бөлшек түрінде жазыңдар: 3,5555…;

−0,001212…; 7

29

; −51,05151…; 5,842777…; 4; 25

12 ;

6

13.

3. Сандарды салыстырыңдар:

а) 0,3(12) және 0,312; в) −0,00123… және −0,00(123);

ә) 12,5432 және 12,5(432); г) 5

9 және 0,(5);

б) −5,878787 және 5,88; ғ) 7

212

және −2,(58).

4. Мыңдық үлеске дейін дөңгелектеңдер:

а) 2,584371…; в) −7,0(56);

ә) 8,(7); г) 14,(45);

б) = 3,14115926…; ғ) −0,76543….

5. Сандарды өсу ретімен жазыңдар:

а) 5,(45); 33

6; 8,(7); 8,765; 8,(765); −5,(5);

45

9 ; 8,1234…;

ә) −3,12; −3,(12); −3,1234…; 123

8; 12,(3);

120

38 ; .

6. Өзіңнің жасыңды үтірден кейін үшінші санға дейінгі дәлдікпен жыл

өлшемімен жазыңдар.

7. Санды жай бөлшек түрінде жазыңдар:

а) 0,(3); в) 2,(45);

ә) 2,(5); г) 4,0(82);

б) 1,0(6); ғ) 7,00(31).

2

8. Есептеңдер:

а) 0,(3) + 0,(6); в) 4,(2) – 2,(7);

ә) 5,(2) + 2,(1); г) 5,0(8) – 3,(23);

б) 8,(7) – 3,(12); ғ) 56,(39) + 18,0(41).

2. Квадрат түбірлер

1. Өрнектің мәнін табыңдар:

а) 36 ; г) 8 18 ;

ә) 144 ; ғ) 256 81 ;

б) 16 9 ; д) 4 255 289 : 256 ;

в) 169 ; е) 6 223 138 : 9 16 .


а) 422; г) 17,64;

ә) (−42)2; ғ) 176400;

б) 1764; д) 0,1764;

в) 1764; е) 0,001764.

3. Келесі өрнектің мағынасы бола ма:

а) 100 ; г) 2

3 ;

ә) 5 ; ғ) 225 ;

б) 9 ; д) 0 ;

в) 400 ; е) 81 ?

4. Келесі сандардың квадрат түбірін табыңдар: 81; 16900; 0,0004; 1,96;

67600.

5. Сандарды салыстырыңдар:

а) 25 және 24 ; в) 17 және 289 ;

ә) −7 және 2

7 ; г) 2 3 және 4;

б) 13 және 144 ; ғ) 7 2 және 5.

3

6. Сандарды өсу ретімен орналастырыңдар:

5; 3; 12; 14; 3,5; −3,2; 3,8.

7. Сандарды кему ретімен орналастырыңдар:

2; 17; 3,5; 4; 12; −3; 4.


а) 25 2 ; в) 2 2

8 7 ;

ә) 4 1

9 25 ; г)

2 0

2 3 3 2 ;

б)

2

5

8

; ғ) 2,25 0,64 2,25 0,64 .

9. x-тің қандай мәндерінде өрнектің мағынасы болады:

а) x ; в) 4 x ;

ә) x ; г) 3 5x ;

б) 4x ; ғ) 2

x ?


а) 4 16 ; в) 49 90 9 : 32 2 ;

ә) 3 25 ; г) 1 128 1

:4 200 4 ;

б) 0

3 2 ; ғ) 14 24

2 125 25

.

11. Калькуляторды пайдаланып есептеңдер (жауабын мыңдыққа дейін

дөңгелектеңдер:

а) 315 ; г) 3,26 8,71 ;

ә) 5247 ; ғ) 0,452 : 3,257 ;

б) 846 245 ; д) 12 132 845 :7 ;

в) 543 1327 ; е) 17 209 5821:13 .

4

12. Теңдеуді шешіңдер:

а) x = 2; в) 3x = 1;

ә) x = 3; г) 4x = −2

б) x = −4; ғ) 2x = 3.


а) х2 = 64; в) (х − 1)2 = 1;

ә) х2 = 7; г) (х + 5)2 = 0;

б) х2 = −4; ғ) (х + 2)2 = 25.

14. Егер шаршының бір қабырғасының ұзындығын екіге арттырып, көр-

шілес қабырғасын екіге кемітсе, пайда болған тіктөртбұрыштың

ауданы 117-ге тең болады. Осы шаршының қабырғасын табыңдар.

3. Квадрат түбірдің қасиеттері


а) 2

25 ; г) 2

18 ; ж) 43 4 ;

ә) 2

38 ; ғ) 2

15 ; з) 2

212 ;

б) 242 ; д) 48 ; и)

416

в) 2134 ; е)

62 ; к)

43 .

2. Өрнекті ықшамдаңдар:

а) 16 25; в) 9 121;

ә) 4 64; г) 16 81;

б) 0,25 36; ғ) 169 4.


а) 2 8; в) 24 6;

ә) 50 2; г) 5 45;

б) 3 12; ғ) 2 5 10.

5


а) 144

;25

в) 1

3 ;16

д) 13

1 ;36

ә) 9

;100

г) 32

1 ;49

е) 1

2 ;144

б) 6,4

;12,1

ғ) 61

3 ;100

ж) 144·25

.169


а) 3

;48

в) 99

;11

ә) 8

;50

г) 5

;45

б) 52

;13

ғ) 12

.75


а) 2 8 ; в) 72

8; д) 15 3 20 ;

ә) 6 54 ; г) 12 15

5

; е)

28 49

7

;

б) 50

2; ғ) 8 6 12 ; ж)

345618 50 .

6


а) 4а ; в)

12 20:a b ;

ә) 8b ; г)

1000 2000a b ;

б) 8 12a b ; ғ)

20 16:a b .

8. Түбір таңбасының астынан шығарыңдар:

а) 25 64 ; в) 21,69a , мұндағы a > 0;

6

ә) 144 36 ; г) 24b , мұндағы b < 0;

б) 49

400; ғ)

2

10

484b

a, мұндағы b > 0, a < 0.


а) 25 36 50 18 ; в) 1,69 0,04 1024 ;

ә) 1000000 ; г) 100 81

16 361

;

б) 36 144 0,01 ; ғ) 5 128

20 648

.


а) 2

2 2 ; в) 2 5 5 2 ;

ә) 2

3 3 ; г) 2

6x , мұндағы x < 6;

б) 7 2 7 2 ; ғ) 2 2 1a a , мұндағы a < −1.


а) 12 3 4 3 8 3 ; г) 45 80

245

;

ә) 7 5 15 5 9 5 ; ғ) 175 63

112

;

б) 27 8 3 48 75 ; д) 1 1

483 27 ;

в) 18 50 288 2 2 ; е) 1

0,5 32128

;


а) 8 18 ; в) 12 15 20 ;

ә) 98 8 ; г) 28 63 81 ;

б) 24 150 ; ғ) 18 512 169 .


а) 8 3 2 764 12 3a b a b , мұндағы a ≥ 0 және b ≥ 0;

7

ә) 3 4 227 12 15 15a b a b , мұндағы a ≤ 0 және b ≥ 0;

б) 8 3 714,4 0,04 16,9a b b , мұндағы a ≥ 0 және b ≤ 0;

в) 5 7 9 31 1 1 1

3 32 243 2a b a b , мұндағы a ≤ 0 және b ≤ 0.

14. Салыстырыңдар:

а) 85 және 9; г) 1

3 және

1

2;

ә) 123 және 12; ғ) 2 3 және 3 2 ;

б) 3 5 және 5 3 ; д) 513 және

135 ;

в) 2 13 және 3 7 ; е) 2

5 4 және 2

4 5 .

15. Калькуляторды пайдаланып, сандарды өсу ретімен орналастырың-

дар:

15 ; 3 3 ; 2 7 ; −5,3; 4; 30 ; 3,8; 7 2 .

4. Квадрат түбірлері бар өрнектерді түрлендіру

1. Көбейткішті түбір таңбасының астынан шығарыңдар:

а) 50 ; г) 36

50;

ә) 48 ; ғ) 108

144;

б) 288a ; д) 17

232

;

в) 4147x ; е) 7,22 .

2. Оң көбейткішті түбір таңбасының астына енгізіңдер:

а) 5 3 ; г) 4 2 x ;

ә) 8 2 ; ғ) 0,5 12 20x ;

б) 6 5 ; д) 1

612

x ;

в) 12 13 ; е) 1

72 24

x .

8


а) 5 18 8 32 ; в) 7 50 845 5 2 ;

ә) 7 75 4 48 ; г) 2 200 5 450 12 ;

б) 3 27 5 162 6 ; ғ) 1

5000 188

.

4. Көбейткішті түбір таңбасының астына енгізіп, оны ықшамдаңдар:

а) 2 3; в) 3 3x ;

ә) 3 5; г) 7b a , где a > 0, b < 0;

б) 7 2 ;a a ғ) 22 3x x .

5. Түбір таңбасының астынан шығарыңдар:

а) 375x ; г)

14 1818a b , мұндағы a ≥ 0, b ≤ 0;

ә) 5128a ; ғ)

21 13

8

15

75

a b

a;

б) 6243b , мұндағы b ≥ 0; д)

3169x ;

в) 10338a , мұндағы a ≤ 0; е)

7256a .

6. Көбейткішті түбір таңбасының астына енгізіп, оны ықшамдаңдар:

а) 5 2x x ; г) 33 2a a , мұндағы a < 0;

ә) 33 8a a ; ғ)

3 8b b , мұндағы b < 0;

б) 1

b bb

; д) 1

33

xx

;

в) 2

1 1x

x x , мұндағы x > 0; е)

15

5a

a

.

7. Бөлшектің бөлімін иррационалдықтан арылтыңдар:

а) 5

3; г)

4

3 1;

ә) 6

6; ғ)

12

3 5 ;

9

б) 15

2 5; д)

6

7 5 ;

в) 22

3 11; е)

18

12 3 .

8. Сандарды өсу ретімен жазыңдар:

а) 2 7 ; 4 5 ; 1

182

; 3

244

; 5 6 ; 9 1,2 ;

ә) 3 8 ; 7 3 ; 0,4 20 ; 5 5 ; 6 4 .

9. Бөлшектің бөлімін иррационалдықтан арылтыңдар:

а) 5 2

3

; г)

5 2

5 10

;

ә) 6 3

6

; ғ)

2 3 1

7 3

;

б) 5 2 12

2 2

; д)

1

a b;

в) 12 4 3

6 3

; е)

3

1

x

x.

10. Жақшаларды ашыңдар:

а) 2

a b ; в) 2 2 20 8 2 5 ;

ә) 2

3 2 ; г) 5 10 125 16,2 ;

б) 5 2 5 2 ; ғ) 3

3 x .

11. Бөлшекті қысқартыңдар:

а) a b

a b

; г)

2 13

13

b

b

;

ә) 5 7

75 21

; ғ)

2 2 5 5

5

a

a

;

10

б) 8

2 2

x

x

; д)

5 2 6

3 2

;

в) 45 75

5 15

; е)

3

2

7

7

x

x

.


а) 7 3 7 3 ; в) 3 2 15 5 ;

ә) 34 3 3 34 ; г) 7 2 14 2 ;

б) 13 2 39 2 3 ; ғ) 14 2 33 .

13. Салыстырыңдар:

а) 2 и 8 ; г) 5 2 и 2 3 ;

ә) 12 и 7 ; ғ) 4 5 и 3 6 ;

б) 10 и 2 2 ; д) 2 7 и 3 2 ;

в) 43 и 3 5 ; ж) 5 3 и 2 17 .

5. y x функциясы, оның қасиеттері мен графигі

1. Кестені толтырып, соның негізінде y x функциясының графигін

салыңдар:

x 0 0,49 1 9 10,24

y 0,5 1,5 2 2,5

2. y x функциясының графигіне мына нүкте тиісті ме:

а) A(3; 9); в) D(−25; −5);

ә) B(8; 2 2 ); г) E(256; 15);

б) C(16; 4); ғ) F(729; 27)?

3. а) y x ; в) 0,5 4y x ;

ә) y x ; г) 2

2

xy ;

б) y x ; ғ) y x

функциясының графигі A(324; 18) нүктесінен өте ме?

11

4. а) 2y x ; в) 2y x ;

ә) 3y x ; г) 0,5y x ;

б) 4y x ; ғ) 0,5y x

функциясының графигін салыңдар.

5. Мына функция өспелі ме, әлде кемімелі ме, соны анықтаңдар:

а) y x ; б) y x ;

ә) y x ; в) y x .

6. Функцияның нөлдерін анықтаңдар:

а) y x ; в) 3y x ;

ә) 2y x ; г) 8y x ;

б) 9y x ; ғ) 3 2y x .

7. Егер 3y x функциясының мәні:

а) 2; в) 6;

ә) 0; г) 2,5;

б) 2 ; ғ) 16-ға

тең болса, оның аргументінің мәнін табыңдар.

8. y x функциясының графигі мен:

а) y = 2,56; ә) y = x − 6

түзуінің қиылысу нүктелерінің координаталарын табыңдар.

9. Функцияның анықталу облысын табыңдар:

а) 3y x ; ә) 3y x ; б) 2y x .

10. Функцияның мәндер жиынын табыңдар:

а) 1y x ; ә) 3y x ; б) 2 4y x .

12

II. КВАДРАТ ТЕҢДЕУЛЕР

6. Квадрат теңдеулер. Толымсыз квадрат теңдеулер

1. Квадрат теңдеуді тауып, оның а, b, с коэффициенттерін көрсетіңдер:

а) 3х3 + 2х ‒ 3 = 0; в) 7х2 − 2х4 + 6 = 0;

ә) 4х + 2х2 − 3 = 0; г) х − 6х2 = 0;

б) 5 − 2х2 = 0; ғ) 2х − х2 + х3 = 0.

2. Квадрат теңдеудің коэффициенттерін көрсетіңдер:

а) 7х2 + 6х − 4 = 0; в) х2 + 4х = 0;

ә) 3х − 2х2 − 3 = 0; г) −х2 + 3 = 0;

б) –3х2 = 0; ғ) 3 + 2х − 3х2 = 0.

3. ах2 + bх + c = 0 түріндегі квадрат теңдеу құрыңдар, мұндағы:

а) а = 2, b = 1, c = −5; в) а = 5, b = −3, c = 0;

ә) а = −3, b = 2, c = 6; г) а = −5, b = −12, c = 4;

б) а = 1, b = 0, c = −4; ғ) а = 7, b = 0, c = 0.

4. Теңдеуді ах2 + bх + c = 0 түріне келтіріңдер:

а) (х − 1)(х + 1) + 2х − 7 = 0; в) 12х − (3х + 2)2 = 0;

ә) (2х + 1)2 + 6х − 4 = 0; г) 3х2 + (2х −3)(2х + 3) + 4х = 0;

б) 6 − (х + 2)(х − 2) − 3х = 0; ғ) 7 − (х + 3)2 = 0.


а) 12х2 + 6х = 0; в) 5х2 + 6х = 0; д) 3х2 + 12х = 0;

ә) 3х2 − 7х = 0; г) –4х2 + 8х = 0; е) 0,25х2 = 0;

б) х2 + 2х = 0; ғ) х − 4х2 = 0; ж) 144х2 = 0.


а) −3х2 + 12 = 0; в) 28 − 7х2 = 0;

ә) 3х2 − 27 = 0; г) −2х2 − 8 = 0;

б) х2 + 25 = 0; ғ) 15х − 3х2 = 0.

7. Екімүшенің толық квадратын бөліп шығарып, теңдеуді шешіңдер:

а) х2 − 4х − 5 = 0; в) х2 − 2х − 3 = 0;

ә) х2 + 2х − 3 = 0; г) х2 − 6х − 7 = 0;

б) х2 + 4х + 3 = 0; ғ) х2 + 8х + 7 = 0.

13

8. Квадрат теңдеу коэффициенттерінің: «Егер ах2 + bх + c = 0 тең-

деуінде а + b + c = 0 болса, онда 1x = 1 және 2x = c

a болады» қасиетін

пайдаланып, теңдеуді шешіңдер:

а) −5х2 + 9х − 4 = 0.

Шешуі: а = −5, b = 9, с = −4. а + b + c = 0, яғни –5 + 9 − 4 = 0 болған-

дықтан, х1 = 1 және х2 = c

a=

4

5.

Жауабы: 4

5; 1.

ә) 7х2 − 3х − 4 = 0; ғ) 6х2 − 7х + 1 = 0;

б) 5х2 + 6х − 11 = 0; д) 24х2 + х − 25 = 0;

в) 4х2 + 3х − 7 = 0; е) 15х2 − 9х − 6 = 0;

г) –2х2 + 6х − 4 = 0; ж) 10х2 + 3х − 13 = 0.

9. Квадрат теңдеу коэффициенттерінің: «Егер ах2 + bх + c = 0 теңдеуінде

а – b + c = 0 болса, онда 1x = −1 және 2x = c

a болады» қасиетін

пайдаланып, теңдеуді шешіңдер:

а) 4х2 + 6х + 2 = 0.

Шешуі: а = 4, b = 6, с = 2. а − b + c = 0, яғни 4 − 6 + 2 = 0 болғандықтан,

1x = −1 және 2x = c

a =

1

2 .

Жауабы: −1; 1

2 .

ә) 5х2 + 6х + 1 = 0; ғ) 24х2 + 27х + 3 = 0;

б) 9х2 + 4х − 5 = 0; д) 3х2 − 13х − 16 = 0;

в) 12х2 + 5х − 7 = 0; е) −х2 + 3х + 4 = 0;

г) −4х2 − 9х − 5 = 0; ж) 10х2 − 5х − 15 = 0.

7. Квадрат теңдеу түбірлерінің формулалары

1. Квадрат теңдеудің дискриминантын есептеңдер:

а) 5х2 + 6х − 4 = 0; в) −х2 + 5х − 8 = 0;

ә) 4х2 − 5х − 6 = 0; г) 4х2 + 12х + 9 = 0;

б) 9х2 + 6х + 1 = 0; ғ) −2х2 + 7х − 4 = 0.

2. Теңдеудің неше түбірі бар:

а) х2 − 3х − 4 = 0; в) 2х2 − 3х + 5 = 0;

14

ә) 5х2 + 2х − 7 = 0; г) 3х2 + 4х − 5 = 0;

б) 16х2 − 24х + 9 = 0; ғ) х2 + 9х + 4 = 0?


а) х2 − 5х + 6 = 0; д) х2 + 7х − 44 = 0;

ә) −3х2 + 5х + 2 = 0; е) х2 − 10х − 39 = 0;

б) −6х2 + 5х − 14 = 0; ж) 3х2 + х + 11= 0;

в) −12х2 + 7х − 1 = 0; з) 2х2 − х − 3 = 0;

г) −2х2 + 7х − 3 = 0; и) 3х2 − 5х − 2 = 0;

ғ) 3х2 + х − 7 = 0; к) х2 − 7х + 12 = 0.

4. Екінші коэффициенті жұп болатын квадрат теңдеу түбірлерінің фор-

муласын қолданып (b = 2k, 1D = k2 − ac, 1,2x = 1k D

a

), теңдеуді

шешіңдер:

а) х2 − 14х + 49 = 0; ғ) 16х2 − 2х − 5 = 0;

ә) −х2 − 2х + 24 = 0; д) 28х2 − 36х + 11 = 0;

б) 5х2 − 8х − 4 = 0; е) х2 − 10х − 39 = 0;

в) 4х2 + 12х − 7 = 0; ж) 3х2 + 14х + 16 = 0.

г) 5х2 + 4х − 1 = 0;

5. Теңдеуді тиімді тәсілмен шешіңдер:

а) 2х2 − 4х = 0; ж) 2х2 + 3х − 2 = 0;

ә) 2х2 + 3х − 5 = 0; з) −3х2 + 8х + 3 = 0;

б) х2 − 5х − 1 = 0; и) −х2 + 7х − 10 = 0;

в) 5х2 − 7х + 2 = 0; к) 5х2 + 8х + 3 = 0;

г) 3х2+ 2х − 5 = 0; қ) 9х2 − 6х + 1 = 0;

ғ) 6х2 + х − 1 = 0; л) 7х2 − 28 = 0;

д) х2 − 5х − 1 = 0; м) 5х2 − 7х + 1 = 0;

е) 2х2 − 9х + 4 = 0; н) 5х2 − 8х − 4 = 0.

8. Виет теоремасы

1. Теңдеудің түбірлері бар бола ма, соны анықтап, егер бар болса, олар-

дың қосындысы мен көбейтіндісін көрсетіңдер:

а) х2 − х + 1 = 0; ғ) х2 + 4х − 3 = 0;

ә) х2 + 3х − 2 = 0; д) х2 + 6х − 7 = 0;

б) х2 − 3х + 2 = 0; е) х2 + 5х − 8 = 0;

в) х2 − 5х + 50 = 0; ж) х2 − 11х − 10 = 0;

г) х2 − 7х − 9 = 0; з) х2 − 16х + 70 = 0.

15

2. Виет теоремасына кері теореманы қолданып, теңдеудің түбірлерін

таңдау арқылы табыңдар:

а) х2 + 7х + 10 = 0; ж) х2 − 9х + 14 = 0;

ә) х2 − х − 20 = 0; з) х2 + 13х + 42 = 0;

б) х2 + 11х + 24 = 0; и) х2 − х − 12 = 0;

в) х2 + 17х + 70 = 0; к) х2 + 12х + 35 = 0;

г) х2 + х − 12 = 0; қ) х2 − 10х + 21 = 0;

ғ) х2 + 11х + 28 = 0; л) х2 − х − 30 = 0;

д) х2 − 4х − 21 = 0; м) х2 − 9х + 20 = 0;

е) х2 + 7х − 18 = 0; н) х2 − 2х − 48 = 0.

3. Берілген түбірлері бойынша квадрат теңдеу құрыңдар:

а) −1 және 8; г) 1

3 және 2;

ә) −5 және −6; ғ) 2

5 және 1;

б) –2 және 4; д) −3 және –2;

в) 0,2 және 0,6; е) –4 және 2

3.

4. х2 + 2х + с = 0 теңдеуінің түбірлерінің бірі 2-ге тең. Оның екінші түбірі

мен с коэффициентін табыңдар.

5. х2 − 3х + с = 0 теңдеуінің түбірлерінің бірі −3-ке тең. Оның екінші

түбірі мен с коэффициентін табыңдар.

6. х2 + bх + 4 = 0 теңдеуінің түбірлерінің бірі 1-ге тең. Оның екінші түбірі

мен b коэффициентін табыңдар.

7. х2 + bх − 12 = 0 теңдеуінің түбірлерінің бірі 3-ке тең. Оның екінші

түбірі мен b коэффициентін табыңдар.

8. х2 + 5х + с = 0 теңдеуінің түбірлерінің бірі 7-ге тең. Оның екінші түбірі

мен c коэффициентін табыңдар.

9. х2 − bх − 6 = 0 теңдеуінің түбірлерінің бірі −2-ге тең. Оның екінші

түбірі мен b коэффициентін табыңдар.

16

9. Квадрат үшмүшені көбейткіштерге жіктеу

1. Квадрат үшмүшенің түбірлерін табыңдар:

а) х2 + 4х + 3; в) 3х2 − 4х − 4; д) х2 + 12х − 28;

ә) х2 + 10х + 9; г) х2 − 9х + 14; е) х2 + 4х − 45;

б) х2 − 5х + 4; ғ) х2 − 16х + 39; ж) 3х2 + х − 4.

2. Квадрат үшмүшені көбейткіштерге жіктеңдер:

а) х2 − 5х − 6; в) −6х2 − х + 5; д) −х2 + 9х − 8;

ә) х2 − 5х + 6; г) 6х2 + 5х − 4; е) − х2 + 4х − 3;

б) −2х2 + 5х − 3; ғ) 3х2 − 2х − 8; ж) х2 + 3х – 28.

3. Бөлшекті қысқартыңдар:

а) 2 4 3

1

x x

x

; б)

2 6 7

7

x x

x

; г)

2

2 4

5 6

x

x x

;

ә) 2 4 5

1

x x

x

; в)

2 6

3

x x

x

; ғ)

2

5

3 10

x

x x

.

10. Квадрат теңдеулерді пайдаланып, мәтінді есептер шығару

1. Біреуі екіншісінен 14-ке артық болатын екі натурал санның көбей-

тіндісі 72-ге тең. Сол сандарды табыңдар.

2. Екі натурал санның көбейтіндісі 192-ге тең. Олардың біреуі екіншісі-

нен 4-ке кем болса, осы сандарды табыңдар.

3. Екі натурал санның біреуі екіншісінен 5-ке артық. Егер олардың кө-

бейтіндісі 24-ке тең болса, осы сандарды табыңдар.

4. Екі натурал санның біреуі екіншісінен 6-ға кем. Егер олардың көбей-

тіндісі 27-ге тең болса, осы сандарды табыңдар.

5. Тікбұрышты үшбұрыштың бір катеті екіншісінен 2-ге артық, ал

үшбұрыштың ауданы 112 см2-ге тең. Оның катеттерін табыңдар.

6. Тікбұрышты үшбұрыштың бір катеті екіншісінен 7 см-ге кем, ал ау-

даны 30 см2-ге тең. Оның катеттерінің қосындысын табыңдар.

7. Тіктөртбұрыштың бір қабырғасы екіншісінен 5 см-ге артық, ал ау-

даны 300 см2-ге тең. Оның диагоналін табыңдар.

17

8. Тіктөртбұрыштың ауданы 340 см2, ал оның бір қабырғасы

екіншісінен 3 см-ге артық. Тіктөртбұрыштың периметрін табыңдар.

9. Тіктөртбұрыштың периметрі 22 см, ал ауданы 30 см2. Тіктөртбұрыш-

тың қабырғаларын табыңдар.

10. Тіктөртбұрыштың ауданы 20 см2, ал периметрі 18 см. Тіктөртбұрыш-

тың қабырғаларын табыңдар.

11. Дәріс залында бір қатардағы орын саны қатар санынан 18-ге артық,

ал барлық орын саны 360. Ондағы қатар санын табыңдар.

12. Балалар кинотеатрында барлығы 480 орын бар және бір қатардағы

орын саны барлық қатар санынан 4-ке артық. Бір қатарда қанша орын

бар?

13. Тігінен жоғары лақтырылған денеге дейінгі биіктік мына заң

бойынша өзгереді: 2

02

gth t v t , мұндағы h – метрмен өлшенетін

биіктік, t – лақтырғаннан бастап секундпен өлшенетін уақыт. Егер

дене 0v = 50 м/с бастапқы жылдамдықпен лақтырылған болса, неше

секундтан кейін ол 80 м биіктікте болады? (g = 10 м/c2)

14. Тігінен жоғары лақтырылған денеге дейінгі биіктік мына заң бойын-

ша өзгереді: 2

02

gth t v t , мұндағы h – метрмен өлшенетін биіктік,

t – лақтырғаннан бастап секундпен өлшенетін уақыт. Егер дене

0v = 50 м/с бастапқы жылдамдықпен лақтырылған болса, неше се-

кундтан кейін ол 125 м биіктікте болады? (g = 10 м/c2)

15. Тізбектес екі натурал жұп сандардың көбейтіндісі 624-ке тең. Осы

сандарды табыңдар.

16. Тізбектес екі натурал тақ сандардың көбейтіндісі 575-ке тең. Осы сан-

дарды табыңдар.

17. Бастапқыда 0v = 17 м/с жылдамдықпен жүріп келе жатқан автокөлік

тұрақты а = 2 м/с2 үдеумен жылдамдықты тежей бастады. Жылдам-

дықты тежегеннен бастап t с ішінде ол 2

02

atS t v t (м) жол жүріп

18

өтті. Егер автокөлік жылдамдықты тежегеннен бастап 60 метр жүрген

болса, соған кеткен уақытты табыңдар.

11. Квадрат теңдеуге келтірілетін теңдеулер


а) х3 − 25х = 0; в) х4 − 25х2 = 0; д) х3 + 12х2 − 28х = 0;

ә) 2х3 − 8х = 0; г) 2х4 − 18х2 = 0; е) х3 + 8х2 − 9х = 0;

б) 5х3 − 20х = 0; ғ) 3х4 − 12х2 = 0; ж) х3 + 10х2 + 9х = 0.

2. Биквадрат теңдеуді шешіңдер:

а) х4 + 5х2 − 36 = 0; в) 4х4 + 15х2 − 4 = 0; д) х4 − 17х2 + 16 = 0;

ә) х4 + 8х2 − 9 = 0; г) 9х4 + 8х2 − 1 = 0; е) 2х4 + 7х2 − 4 = 0;

б) х4 + 5х2 − 36 = 0; ғ) х4 − 26х2 + 25 = 0; ж) х4 − х2 − 12 = 0.

3. Теңдеуді жаңа айнымалы енгізу тәсілін қолданып шешіңдер:

а) (х − 1)2 − 4(х − 1) + 3 = 0; д) (3х − 7)2 − 11(3х − 7) + 30 = 0;

ә) (2х + 3)2 − 5(2х + 3) + 4 = 0; е) (6х − 1)2 + 2(6х − 1) − 24 = 0;

б) (х + 2)2 − 2(х + 2) − 3 = 0; ж) (х2 + 4)2 + (х2 + 4) − 30 = 0;

в) (3х + 1)2 − 2(3х + 1) − 8 = 0; з) (х2 − 1)2 − 2(х2 − 1) − 3 = 0;

г) (2х + 1)2 − 6(2х + 1) + 10 = 0; и) (х2 − 3)2 + 6(х2 − 3) + 8 = 0;

ғ) (х − 2)2 − 7(х − 2) + 12 = 0; к) (х2 + 2)2 − 4(х2 + 2) − 12 = 0.

12. Бүтін және бөлшек-рационал теңдеулер

1. Теңдеудің түбірлерін табыңдар:

а) 2 6

0;2

x x

x

в)

25 4 10;

5 1

x x

x

ә) 2 5 6

0;2

x x

x

г)

23 2 10;

1

x x

x

б) 2 7 6

0;1

x x

x

ғ)

26 5 40.

2 1

x x

x


а) 2 6

;3 3

x x

x x

в)

2 6 5;

3 3

x x

x x

ә) 2 2 8

;2 2

x x

x x

г)

2 8 6;

4 4

x x

x x

19

б) 23 4

;1 1

x x

x x

ғ)

2 2 15.

5 5

x x

x x

3. Берілген бөлшектер тең болатындай х-тің мәнін табыңдар:

а) 2 3

1

x x

x

және

5

1

x

x

; в)

22 5

1

x x

x

және

3 1 x

;

ә) 25 4

5 2

x x

x

және

2 3

2 5

x

x

; г)

4x

x

және

2 10

4

x

x

;

б) 2 8

2

x x

x

және

12 2 x

; ғ) 3x

x

және

2 10

3

x

x

.


а) 1

10 8

x

x x

; ғ)

103 x

x ;

ә) 4 1 3 1

;3

x x

x

д)

6 6 5;

1x x

б) 1

;2 3

x

x x

е)

1 2 1;

2x x

в) 1

;20

x

x x

ж)

5 4 3;

3 3x x

г) 21

4 xx

; з) 3 3

4.2x x

13. Мәтінді есептерді бөлшек-рационал теңдеулердің көмегімен

шығару

1. Екі жаяу бір мезгілде арасы 18 км екі елдімекеннен бір-біріне қарама-

қарсы шығып, 2 сағаттан соң кездесті. Егер жаяулардың біреуінің

жылдамдығы екіншісінен 1 км/сағ-қа кем болса, олардың әрқайсысы-

ның жылдамдығын табыңдар.

2. Екі велосипедші бір мезгілде арасы 60 км екі пункттен бір-біріне қа-

рама-қарсы шығып, 2 сағаттан соң кездесті. Егер велосипедшілердің

біреуінің жылдамдығы екіншісінікінен 2 км/сағ-қа артық болса, олар-

дың әрқайсысының жылдамдығын табыңдар.

3. Бөлшектің алымы бөлімінен 2-ге кем. Егер осы бөлшек пен оған кері

бөлшекті қосса, онда 130

63 шығады. Бастапқы бөлшекті табыңдар.

20

4. Жай бөлшектің бөлімі алымынан 7-ге артық. Егер осы бөлшекке оған

кері бөлшекті қосса, онда 19

330

шығады. Бастапқы бөлшекті табың-

дар.

5. Жай бөлшектің бөлімі оның алымынан 1-ге артық. Егер бөлшектің

алымына да, бөліміне де 4-ті қосса, онда бастапқы бөлшек 4

21-ке ар-

тады. Берілген бөлшекті табыңдар.

6. Жай бөлшектің алымы бөлімінен 2-ге кем. Егер бөлшектің алымын

1-ге, ал бөлімін 3-ке арттырса, онда бастапқы бөлшекке тең бөлшек

шығады. Берілген бөлшекті табыңдар.

7. Катер өзен ағысымен 80 км жүзіп барып, кері оралды және барлық

жолға 9 сағат жұмсады. Егер ағыс жылдамдығы 2 км/сағ болса, ка-

тердің меншікті жылдамдығын табыңдар.

8. Моторлы қайық өзен ағысымен 10 км және ағысқа қарсы 12 км жүзіп,

барлық жолға 2 сағат жұмсады. Өзен ағысының жылдамдығы

2 км/сағ болса, қайықтың меншікті жылдамдығын табыңдар.

9. Екі жұмысшы жұмысты 6 күнде орындап бітірді. Егер осы жұмысты

жеке орындауға олардың біреуі екіншісіне қарағанда 5 күн кем жұм-

сайтын болса, онда олардың әрқайсысы жеке неше күнде орын-

дайды?

10. Екі көтеру краны бірге жұмыс істеп, баржаны 12 сағатта түсіріп

болды. Егер осындай баржаны крандардың бірі екіншісінен 10 са-

ғатқа тезірек түсіретін болса, онда олардың әрқайсысы жеке неше са-

ғатта түсіреді?

21

III. КВАДРАТТЫҚ ФУНКЦИЯ

14. Квадраттық функцияның анықтамасы. y = ax2 + n функциясы

және оның графигі

1. Квадраттық функция бола ма, соны анықтаңдар:

а) y = 5x2 + 2; в) y = 5x − 2x2 + 8;

ә) y = 4x − 8; г) 25x2 + 36y2 = 81;

б) x = 4y −12x + 4; ғ) x = 2y2 + 1.

2. Функцияның графигін салыңдар:

а) y = x2 + 2; в) y = −3x2 + 6;

ә) y = 2x2; г) y = 2 − 0,5x2;

б) y = −x2 − 3; ғ) 21

4y x .

3. y = −5x2 + 8 функциясының графигіне:

а) A(–1; −3); в) E(0; −8);

ә) B(2; −12); г) F(0,2; −7,8);

б) C(–1; 3); ғ) L(1,4; −1,8)

нүктесі тиісті ме?

4. а) y = x2 + 2; в) y = 4x2 + 20;

ә) y = 8 − x2; г) y = 2 + 0,5x2;

б) y = −2x2 − 4; ғ) 215,5

4y x

функциясының графигі А(−2; 4) нүктесінен өте ме?

5. а) y = 5x2 − 4; в) y = 0,1x2 + 10;

ә) y = 8 − 2x2; г) y = −0,2 + 5x2;

б) y = x2 − 5; ғ) y = 4 − x2

параболасы төбесінің координаталарын және тармақтарының бағыт-

тарын анықтаңдар.

6. а) y = 3x2 параболасын Oy осі бойымен екі бірлікке төмен;

ә) y = −2x2 параболасын Oy осі бойымен 5 бірлікке жоғары;

б) y = 0,4x2 параболасын ордината осі бойымен бес бірлікке төмен;

в) y = −7x2 параболасын ордината осі бойымен бес жарым бірлікке

жоғары жылжытқанда шығатын параболаның теңдеуін жазыңдар.

7. а) y = 2x2 + 1; в) y = −3x2 + 8;

ә) y = 5 − 4x2; г) y = 0,5x2 + 0,1;

22

б) y = x2 + 1; ғ) y = − x2 – 5

функциясының графигі Ох осінен жоғары (төмен) жата ма немесе

оны қия ма, соны анықтаңдар.

8. Берілген функциялардың графиктерін салып, кестені толтырыңдар:

y = 2x2 − 2 y = 3x2 + 1 214

2y x y = −x2 − 5

Анықталу

облысы

Мәндер

жиыны

Кему ара-

лығы

Өсу аралығы

9. Кестені толтырыңдар:

y = 5x2 + 1 y = −x2 + 12 y = 12x2 + 1 y = −0,5 − 0,3x2 21

3y x

Аргументтің

мәні

Функцияның

мәні

10. Графигі 1-суретте бейнеленген квадраттық функцияны формуламен

беріңдер:

а)

ә)

1-сурет

admin

Rectangle

23

11. Кестеде аргументтің әртүрлі мәнеріндегі квадраттық функцияның

мәндері берілген. Осы функцияның формуласын жазып, графигін са-

лыңдар: x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3

y 41,4 24,6 12,6 5,4 3 5,4 12,6 24,6

15. y = a(x − m)2 функциясы және оның графигі

1. Бір координаталар жазықтығына:

а) y = x2, y = (x − 1)2 және y = (x + 2)2;

ә) y = 2x2, y = 2(x − 3)2 және y = 2(x + 4)2;

б) y = 0,3x2, y = 0,3(x + 4)2 және y = 0,5(x − 1)2;

в) y = −0,5x2, y = −0,5(x + 2)2 және y = −0,5(x − 4)2

функцияларының графиктерін салыңдар.

2. а) y = 8x2 параболасын Ox осі бойымен үш бірлікке солға;

ә) y = −x2 параболасын Ox осі бойымен бес бірлікке оңға;

б) y = 12,4x2 параболасын абсцисса осі бойымен он екі бірлікке оңға;

в) y = −7x2 параболасын абсцисса осі бойымен тоғыз жарым бірлікке

солға қарай жылжытқанда шығатын параболаның теңдеуін жазың-

дар.

3. y = 2(x + 8)2 функциясының графигіне:

а) A(−1; 98); в) M(0; 128);

ә) B(−6; 4); г) N(0,5; 32);

б) C(5; 169); ғ) K(1,5; 180,5)

нүктесі тиісті бола ма?

4. а) y = 2(x − 2)2; в) y = 9(7 − x)2;

ә) y = 4(x + 2)2; г) 21

74

y x ;

б) y = −9(x + 1)2; ғ) 2

0,5 6 2 5y x

функциясының графигі (−5; 36) нүктесінен өте ме?

5. Квадраттық функцияның теңдеуін y = a(x − m)2 түріне келтіріңдер:

а) y = x2 + 10x + 25; в) y − 4x2 + 8x = 4;

ә) y = −4(2 − x)2; г) x2 − 0,25y = −12(x + 3);

б) y = (3x + 6)2; ғ) 2 2 6 5y x y = 45.

24

6. Парабола төбесінің координаталарын және симметрия осінің тең-

деуін жазыңдар:

а) y = 5(x − 12)2; в) y = 2(10 − x)2;

ә) y = −3(x + 7)2; г) 22

33

y x ;

б) y = −(8 + x)2; ғ) 2

0,5 4 3 3 .y x

7. y = 6x2 функциясының графигін қалай жылжытып:

а) y = 6(x − 1)2; в) y = 6(4 − x)2;

ә) y = 6(x + 3)2; г) 2

6 5 6y x ;

б) y = 6(2 + x)2; ғ) 2

6 7 1y x

параболасын алуға болады?

8. Мына функциялардың графиктерін салып, кестені толтырыңдар:

y = 2(x + 3)2 y = −(x − 5)2 21

124

y x y = −5(8 − x)2

Анықталу

облысы

Мәндер

жиыны

Кему ара-

лығы

Өсу аралығы


y = 8(x + 1)2 y = −2(x − 3)2 23

74

y x y = 2,5(16 − x)2

Аргумент-

тің мәні 5 4

Функция-

ның мәні −288 160

10. Графигі 2-суретте кескінделген квадраттық функцияны формуламен

беріңдер:

25

а)

ә)

2-сурет

11. Кестеде аргументтің әртүрлі мәндеріндегі квадраттық функцияның

мәндері берілген. Осы функцияның формуласын жазып, оның графи-

гін салыңдар:

x −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2

y −18 −8 −2 0 −2 −8 −18 −32

16. y = a(x − m)2 + n функциясы және оның графигі

1. Бір координаталар жазықтығына:

а) y = −x2 және y = −(x − 1)2 + 2;

ә) y = 2x2 және y = 2(x − 4)2 + 3;

б) y = 2,5x2 және y = 2,5(x + 2)2 − 1;

в) y = −0,5x2 және y = −0,5(x + 4)2 – 3

функцияларының графиктерін салыңдар.

2. а) y = 5x2 параболасын Ох осі бойымен 2 бірлікке солға және Oy осі

бойымен 7 бірлікке жоғары;

ә) y = −12x2 параболасын Ох осі бойымен 4 бірлікке оңға және Oy осі

бойымен 10 бірлікке төмен;

б) y = −0,25x2 параболасын абсцисса осі бойымен 0,3 бірлікке оңға

және ордината осі бойымен 2,6 бірлікке жоғары;

в) y = −104x2 параболасын абсцисса осі бойымен 28 бірлікке солға

және ордината осі бойымен 205 бірлікке төмен қарай жылжытқанда

шығатын параболаның теңдеуін жазыңдар.

26

3. y = 3(x − 11)2 + 17 функциясының графигіне:

а) A(–5; 1553); в) D(15; 65);

ә) B(12; 26); г) E(2; 260);

б) C(5; 35); ғ) F(11,5; 19,25)


4. а) y = −2(x − 2)2 −11; в) y = 9(7 − x)2 − 24;

ә) y = 8(x − 6)2 − 69; г) 21

9 5,8;5

y x

б) y = 3(x + 1)2 − 35; ғ) 2

0,1 6 2 1,9y x

функциясының графигі А(3; 13) нүктесінен өте ме?

5. Квадраттық функцияның графигін y = a(x − m)2 + n түріне келтіріңдер:

а) y = x2 + 16x + 65; в) 2y − 16x2 + 32x = 16;

ә) y = (2x − 5)2; г) 5x2 + 10 − y + 1 = 0;

б) y + 5 = −(6x + 24)2; ғ) 2 2 5 5 1 5 .x y x

6. Парабола төбесінің координаталарын және симметрия осінің тең-

деуін жазыңдар:

а) y = (x − 2)2 + 3; в) y = 2(5 − x)2 − 10;

ә) y = 4(x − 12)2 − 8; г) 21

18 3;9

y x

б) y = 5 − (7 + x)2; ғ) y = 4 + 0,1(x + √3)2.

7. а) y = 4(x − 1)2 + 3; в) y = 4(4 − x)2 − 150;

ә) y = 8 + 4(x − 6)2; г) y = 5 + (2x − 12)2;

б) y = 4(2 + x)2 − 0,85; ғ) y = 6 − 4(x − 1)2

параболасын алу үшін у = 4х2 функциясының графигін қалай жыл-

жыту керек?

8. Функциялардың графиктерін салып, кестені толтырыңдар:

y = (x + 5)2 − 4 y = 4 − (8 − x)2 21

7 32

y x y = −3(5 − x)2 + 1

Анықталу

облысы

Мәндер

жиыны

Кему

аралығы

27

Өсу

аралығы

Функция-

ның нөлдері


Аргументтің мәні Функцияның мәні

y = 4(x + 3)2 − 8 3

y = −2(x + 9)2 + 17 −321

25

12 347

y x 5

y = 1,5(24 − x)2 + 2 296


беріңдер:

а)

ә)

3-сурет

11. Кестеде аргументтің әртүрлі мәндеріндегі квадраттық функцияның

мәндері берілген. Осы функцияның формуласын жазып, графигін са-

лыңдар:

x –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2

y 2 –4 – 6 –4 2 12 26 42

28

17. y = ax2 + bx + c функциясы және оның графигі

1. k-ның қандай мәнінде y = f(x) функциясының графигі А(x; y) нүктесі

арқылы өтеді:

а) y = 2x2 + kx + 15, А(3; 11);

ә) y = x2 + 5x – k, А(–2; 10);

б) y = kx2 + 7x + 12, А(5; 0);

в) y = kx2 + kx + k, А(8; −73)?

2. Парабола төбесінің координаталарын табыңдар:

а) y = x2 + 6x + 9; в) y = 2x2 − 12x + 23;

ә) y = x2 − 8x + 16; г) y = x2 + 14x + 30;

б) y = x2 + 5x; ғ) y = 0,5x2 + 8x + 81.

3. Квадраттық функцияның графигін y = a(x − m)2 + n түріне келтіріңдер:

а) y = x2 + 12x − 1; в) y = 4x2 − 96x + 580;

ә) y = x2 − 10x − 25; г) y = 4x2 − 12x;

б) y = 5x2 + 5x − 1; ғ) y = 0,1x2 + 3x.

4. Функцияның графигін салыңдар:

а) y = x2 + 8x + 3; в) y = 3x2 + 6x − 1;

ә) y = x2 − 6x + 5; г) y = 0,5x2 + 3x − 0,5;

б) y = −2x2 + 16x − 26; ғ) 2x2 − y = 8x − 1.

5. y = 3x2 + 6x − 15 функциясының графигіне:

а) A(0; 15); в) D(2; 3);

ә) B(10; 345); г) E(–12; 345);

б) C(–5; 90); ғ) F(–1; −12)


6. а) y = 3x2 − 12x + 11; в) y = 813 − 238x + 17x2;

ә) y = 8x2 − 96 + 308; г) 21

14 7,754

y x ;

б) y = 3x2 + 6x − 87; ғ) 2

0,1 2 6 2 3,8y x

функциясының графигі А(5; 28) нүктесінен өте ме?

7. Функцияның ең үлкен немесе ең кіші мәнін табыңдар:

а) y = 5x2 − 4x; в) y = 38 − 48x + 12x2;

ә) y = −3x2 + 42x; г) 210,125 7,5;

2y x x

б) y = −5x2 + 70x − 242; ғ) y = 4x + 0,25x2 + 16.

29

8. Функцияның графигін салып, кестені толтырыңдар:

Анықталу

облысы

Мәндер

жиыны

Кему

аралығы

Өсу

аралығы

Функция-

ның нөл-

дері

y = 2x2 + 16x + 14

y = −x2 − 14x − 50

2 213 2,5

2y x x

y = −1,5x2−12x − 21

9. Егер:

а) парабола төбесінің координаталары A(3; −11) және ол B(3; −11)

нүктесі арқылы өтетін болса;

ә) функцияның нөлдері −3 және 1 болса, ал парабола төбесінің коор-

динаталары (–1; −13) болса,

у = ах2 + bх + с түріндегі квадраттық функцияның формуласын жа-

зыңдар.


беріңдер:

а)

ә)

4-сурет

30

18. Мәтінді есептерді квадраттық функцияның қасиеттерін

қолданып шығару

1. 28 санын көбейтіндісі ең үлкен болатындай екі санның қосындысы

түрінде көрсетіңдер.

2. Біреуі екіншісінен 20-ға артық, ал көбейтіндісі ең кіші мәнді қабыл-

дайтын сандарды табыңдар.

3. Ұзындығы 48 м-ге тең сымды майыстырып, тіктөртбұрыш жасаған.

Оның ауданы ең үлкен болуы үшін тіктөртбұрыштың қабырғалары-

ның ұзындықтары қандай болуы керек?

4. Доп бастапқы 30 м/с жылдамдықпен тігінен жоғары қарай лақтырыл-

ған. Доп ең көп дегенде қандай биіктікке жететінін табыңдар

(g = 10 м/c2, 2

02

gth t v t м).

31

IV. СТАТИСТИКА ЭЛЕМЕНТТЕРІ

19. Жиіліктің кестелері, полигондары және гистограммалары

1. Берілгендерді вариациялық қатар түрінде көрсетіңдер (өсу немесе

кему ретімен орналастырыңдар) және оның модасын, медианасын

және арифметикалық ортасын анықтаңдар: 84, 91, 86, 86, 85, 80, 90,

86, 84, 94, 86, 87, 83, 84.

2. 7-сынып оқушыларының жазғы демалыс кезінде оқыған кітап бетте-

рінің саны туралы мәліметті пайдаланып, жиіліктің аралық кестесін

толтырыңдар. 708, 406, 427, 323, 380, 274, 476, 229, 444, 693, 307, 358,

204, 400, 513, 288, 658, 125, 381, 360. Бет

саны 101–200 201–300 301–400 401–500 501–600 601–700 701–800

Оқушы-

лар саны

3. 8-сынып оқушыларының сантиметрмен өлшенген бойлары туралы

мәліметті пайдаланып, аралығы 5 см болатындай жиіліктің аралық

кестесін құрыңдар: 143, 158, 168, 142, 154, 157, 171, 140, 174, 146, 165,

149, 145, 150, 153, 153, 158, 145, 152, 152, 143, 143, 175, 164, 161, 163.

Бойы

Жиілігі

Жинақтал-

ған жиілік

4. Жиіліктердің аралық кестесіндегі мәліметтері бойынша жиіліктің по-

лигоны мен гистограммасын салыңдар. 1–3 4–6 7–9 10–12 13–15 16–18 16–18

15 7 10 4 8 12 12

5. Ғылыми жоба жазу аясында оқушы өзінің сыныптастарының әлеу-

меттік желілерде өткізетін уақыттары туралы сауалнама жүргізді.

Алынған мәліметтер негізінде жиіліктер гистограммасын құрды

(5-сурет). Жиіліктердің аралық кестесін құрып, алынған деректерді

талдаңдар (сауалнамаға қанша оқушы қатысқан, бос уақытының

неше пайызын оқушылар әлеуметтік желілерде өткізеді және т. б.)

6. Алдыңғы тапсырмадағы оқушы арнайы қосымша әзірледі, оны теле-

фонға орнатса, ол әлеуметтік желілерде отырған уақытты есептейтін

32

болады. Ол оны өз сыныптастарының телефондарына орнатып, жаңа

мәліметтер жиынтығын алып, сол бойынша жиіліктер полигонын

тұрғызды (6-сурет). Өздігінен жиіліктердің аралық кестесін құрып,

гистограммасын салыңдар. Алынған мәліметтерді талдаңдар. Олар-

дың сауалнама кезінде алынған мәліметтерден айырмашылығы бар

ма? Егер бар болса, қаншалықты көп? Осы мәліметтерді қандай тә-

сілмен салыстыруға болады?

5-сурет

6-сурет

20. Дисперсия және стандартты ауытқу

1. Мына формуланы қолданып, нені анықтауға болады:

а) 2

ix x

n

; б) ix

xn

;

ә) ix x

n

; в) 1 2 x x x ?

2. Егер дисперсия:

а) 16; б) 4,84;

ә) 2; в) 5,76-ға тең болса,

стандартты ауытқудың мәнін табыңдар.

3. Мектептегі математикадан факультатив сабаққа қатысатын оқушы-

лардың жас мөлшері мынандай: 16, 15, 12, 17, 11, 13, 15, 12, 14, 13,

33

16, 17, 15. Осы мәліметтерді вариациялық қатар түрінде көрсетіп,

оқушылардың орта жасын анықтаңдар.

4. Қаңтар айының бірінші аптасындағы орташа температураның өзгеруі

туралы кестеде келтірілген мәліметтер бойынша дисперсия мен стан-

дартты ауытқуды бірлікке дейінгі дәлдікпен есептеңдер.

1 қаңтар 2 қаңтар 3 қаңтар 4 қаңтар 5 қаңтар 6 қаңтар 7 қаңтар

–13 °С –13 °С –14 °С –16 °С –3 °С –7 °С –6 °С

5. Сандық тізбектің арифметикалық ортасы мен стандартты ауытқуын

табыңдар: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

6. Бір көшедегі ғимараттардың қабаттары сандық тізбек түрінде көрсе-

тілген: 5, 9, 12, 10, 8, 9, 9, 9, 6, 9, 15, 8, 5, 9, 9, 12, 8, 5, 5. Оны вариа-

циялық қатар түрінде көрсетіп, оның: а) құлашын; ә) модасын; б) ме-

дианасын; в) арифметикалық ортасын; г) стандартты ауытқуын есеп-

теңдер.

34

V. ТЕҢСІЗДІКТЕР

21. Квадрат теңсіздіктер

1. –1; 0; 2 сандары:

а) х2 − 5х − 6 > 0; в) х2 − 1 > 0;

ә) 2х2 − х – 1 ≥ 0; г) х2 + 8х + 7 ≤ 0;

б) х2 − 3х ≥ 0; ғ) 3х2 − 4х − 1 < 0

теңсіздігінің шешімі бола ма?

2. Функцияның графигін пайдаланып (7-сурет), x-тің қандай мәнде-

рінде:

а) у < 0; ә) у ≥ 0; б) у = 0 болатынын анықтаңдар.

7-сурет

3. Функцияның графигін пайдаланып (8-сурет):

а) функцияның нөлдерін; ә) х-тің қандай мәндерінде у > 0;

б) х-тің қандай мәндерінде у ≤ 0 болатынын көрсетіңдер.

а) ә) б)

8-сурет

4. Квадраттық функцияның жобалы графигін пайдаланып, теңсіздікті

шешіңдер:

а) х2 − 7х + 10 > 0; ғ) х2 + 11х + 28 ≥ 0; и) х2 − х – 12 ≥ 0;

ә) х2 − х – 20 ≤ 0; д) х2 − 4х – 21 ≤ 0; к) х2 + 12х + 35 ≤ 0;

б) х2 + 11х + 24 ≥ 0; е) х2 + 7х – 18 < 0; қ) х2 − 10х + 21 > 0;

в) х2 + 17х + 70 < 0; ж) х2 − 9х + 14 > 0; л) х2 − х – 30 < 0;

г) х2 + х – 12 > 0; з) х2 + 13х + 42 < 0; м) х2 − 9х + 20 ≥ 0.

35

5. х-тің қандай мәндерінде өрнектің мағынасы бар болады:

а) 2 9;x в) 2 5 ;x x

ә) 2 9;x г) 2 4 ;x x

б) 2 4 3x x ; ғ)

2 7 10x x ?

6. х айнымалысының қандай мәндерінде у = х2 − 4х функциясы оң мән-

дерді қабылдайды?

7. х айнымалысының қандай мәндерінде у = х2 − 2х – 3 функциясы теріс

мәндерді қабылдайды?

22. Теңсіздіктерді интервалдар әдісімен шешу

1. Теңсіздікті интервалдар әдісімен шешіңдер:

а) x2 − 9 > 0; в) х2 − х − 42 < 0; д) 3х2 − 7х + 2 ≥ 0;

ә) х2 + 13х ≥ 0; г) х2 + 4х – 5 ≤ 0; е) 4х2 − 11х – 3 < 0;

б) 16 – х2 < 0; ғ) х2 + 13х + 12 ≥ 0; ж) 3х3 − 2х2 – 8х ≤ 0.

2. Теңсіздікті шешіңдер:

а) (х – 2)(х + 3) ≤ 0; д) (х2 − 4)(х − 4) < 0;

ә) (х + 6)(х + 2) ≥ 0; е) (х2 − 9)(4х – 5) ≤ 0;

б) (х – 7)(х + 1) < 0; ж) (х2 − 25)(х + 2) > 0;

в) х(х – 1)(х + 2) > 0; з) (х2 − 7х + 6)(х – 3) ≥ 0;

г) (х – 4)(х + 5)(х – 1) ≤ 0; и) (4х2 + 3х – 1)(х + 2) < 0;

ғ) (х + 1)(х + 2)(х – 3) ≥ 0; к) (х2 + х – 12)(х – 1) ≤ 0.

3. Теңсіздікті шешіңдер:

а) 2

0;x

x

в)

30;

1

x

x

д)

2 10;

5

x

x

ә) 1

0;3

x

x

г)

2 40;

5

x

x

е)

2 40;

3

x

x

б) 4

0;2

x

x

ғ)

3 6 0;

4

x

x

ж)

2 6 50.

2

x x

x


а) у = 2 16x ; в) у =

2 4 5x x ;

ә) у = 2100 x ; г) у =

2 10 11x x ;

б) у = 2 4x x ; ғ) у =

2 3 10x x .

36

5. Теңсіздіктің ең үлкен натурал шешімін табыңдар:

а) х2 − х – 30 < 0; в) −х2 + 5х + 36 > 0;

ә) −х2 + х + 6 ≥ 0; г) х2 − 11х + 30 ≤ 0;

б) 2х2 − 9х + 4 < 0; ғ) −х2 + 8х – 7 > 0.

23. Мәтінді есептерді теңсіздіктерді пайдалану арқылы шешу.

1. Екі бүтін санның біреуі екіншісінен 2-ге артық, ал олардың көбейтін-

дісі 3-тен кем. Сол сандарды табыңдар.

2. Тізбектес екі санның көбейтіндісі 6-дан кем және 0-ге тең емес. Осы

сандарды табыңдар.

3. Тіктөртбұрыштың ұзындығы енінен 3 см-ге артық. Тіктөртбұрыштың

ауданы 28 см2-ден кем болуы үшін оның ұзындығы қандай болуы

керек?

4. Тіктөртбұрыштың ені ұзындығынан 4 см-ге кем. Тіктөртбұрыштың

ауданы 21 см2-ден артық болуы үшін оның ені қандай болуы керек?

5. Шаршының бір қабырғасын 3 см-ге қысқартып, ал оған іргелес қа-

бырғасын 1 см-ге ұзартты. Сонда шыққан тіктөртбұрыштың ауданы

32 см2-ден кем болды. Шаршының қабырғасын табыңдар.

24. Бір айнымалысы бар сызықтық емес теңсіздіктер жүйесі

1. Теңсіздіктер жүйесін шешіңдер:

а) 2

0,

15 56 0;

x

x x

ғ)

24 100 0,

1;

x

x

ә) 24 5 7 0,

3;

x x

x

д)

2 23 24 0,

2 5 3;

x x

x x

б) 2 10 16 0,

3;

x x

x

е)

2 14 32 0,

4 1 2 5;

x x

x x

в) 2 13 22 0,

4 0;

x x

x

ж)

2

2

20 0,

3 10 0.

x x

x x

г) 2 121 0,

5 3;

x

x

37


а) 2 4 5y x x ; в) 2 6 4 4y x x x ;

ә) 2 1 3y x x ; г) 2 6 8 3;y x x x

б) 2 4 5 1y x x x ; ғ) 24 3 3y x x x .

3. Теңсіздіктер жүйесінің ең кіші бүтін шешімін табыңдар:

а) 2 36 0,

2 0;

x

x

ғ)

24 5 7 0,

3;

x x

x

ә) 2 5 6 0,

5 2;

x x

x

д)

2 7 44 0,

3 5;x

x x

б) 2 4 32 0,

4 1;

x x

x

е)

2 17 16 0,

1 7;

x x

x

в)

5 18 0,

1 3 18 0;

x x

x x

ж) 2 8 15 0,

1 10.

x x

x

г)

2 144 0,

2 11 0;

x

x x

38

Мазмұны

I. КВАДРАТ ТҮБІРЛЕР ЖӘНЕ ИРРАЦИОНАЛ ӨРНЕКТЕР ............ 1

1. Иррационал және нақты сандар ................................................... 1

2. Квадрат түбірлер ............................................................................ 2

3. Квадрат түбірдің қасиеттері .......................................................... 4

4. Квадрат түбірлері бар өрнектерді түрлендіру ............................. 7

5. y x функциясы, оның қасиеттері мен графигі ..................... 10

II. КВАДРАТ ТЕҢДЕУЛЕР .................................................................... 12

6. Квадрат теңдеулер. Толымсыз квадрат теңдеулер ................... 12

7. Квадрат теңдеу түбірлерінің формулалары ............................... 13

8. Виет теоремасы ............................................................................ 14

9. Квадрат үшмүшені көбейткіштерге жіктеу ............................... 16

10. Квадрат теңдеулерді пайдаланып, мәтінді есептер шығару .... 16

11. Квадрат теңдеуге келтірілетін теңдеулер .................................. 18

12. Бүтін және бөлшек-рационал теңдеулер ................................... 18

13. Мәтінді есептерді бөлшек-рационал

теңдеулердің көмегімен шығару ....................................................... 19

III. КВАДРАТТЫҚ ФУНКЦИЯ .............................................................. 21

14. Квадраттық функцияның анықтамасы.

y = ax2 + n функциясы және оның графигі ........................................ 21

15. y = a(x − m)2 функциясы және оның графигі ............................. 23

16. y = a(x − m)2 + n функциясы және оның графигі ....................... 25

17. y = ax2 + bx + c функциясы және оның графигі ......................... 28

18. Мәтінді есептерді квадраттық

функцияның қасиеттерін қолданып шығару .................................... 30

IV. СТАТИСТИКА ЭЛЕМЕНТТЕРІ ....................................................... 31

19. Жиіліктің кестелері, полигондары және гистограммалары ..... 31

20. Дисперсия және стандартты ауытқу .......................................... 32

V. ТЕҢСІЗДІКТЕР ................................................................................... 34

21. Квадрат теңсіздіктер .................................................................... 34

22. Теңсіздіктерді интервалдар әдісімен шешу .............................. 35

23. Мәтінді есептерді теңсіздіктерді пайдалану арқылы шешу. ... 36

24. Бір айнымалысы бар сызықтық емес теңсіздіктер жүйесі ....... 36

КОЛУБЕКОВА Ольга Ивановна

АЛИБЕКОВ Саят Шукурлюкович

Алгебра

Жалпы білім беретін мектептің

8-сынып оқушыларына арналған жаттықтырғыш.

Бастапқы деңгей

Редакторы С. Ш. Алибеков

Техникалық редакторы И. Н. Лебедев

Мұқаба дизайны Е. Е. Велькер

Корректорлары Р. С. Какаманова

А. М. Коновалова

«Келешек-2030» ЖШС

Қазақстан Республикасы,

020000, Көкшетау қ.

Баспа кеңсесі: Абай к-сі, 112а,

тел.: 8 (7162) 72-29-43 (қабылдау бөлімі),

8 (7162) 44-18-64, +7 708 444 18 64,

ұялы тел.: +7 702 781 06 78, +7 705 745 09 75.

http://www.keleshek-2030.kz, E-mail: [email protected]

i.keleshek-2030.kz/mets/7/alg_8_tren_kz.pdf · 1 i. КВАДРАТ ТҮБІРЛЕР ЖӘНЕ...

Documents