ikg3f3 pemodelan stokastik proses poisson · ikg3f3 pemodelan stokastik proses poisson dosen: aniq...

Proses MenghitungProses Poisson

Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)Waktu Tunggu (Waiting Time)Proses Poisson Non Homogen

IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIKProses Poisson

Dosen:Aniq A. Rohmawati, M.Si

TELKOM UNIVERSITY

JALAN TELEKOMUNIKASI 1, BANDUNG, INDONESIA

Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Proses Poisson



Proses Menghitung

Proses stokastik N(t), t ≥ 0 dikatakan proses menghitung (countingprocess) jika N(t) atau Nt menyatakan banyaknya peristiwa yangterjadi selama waktu t.




Contoh

MANAKAH YANG MERUPAKAN PROSES MENGHITUNG?

Banyaknya bayi yang lahir saat t.

Banyaknya orang yang datang ke ’Carepour’ dalam waktu [0, t]




Proses Menghitung

Proses menghitung N(t), t ≥ 0 memenuhi sifat:

N(t) ≥ 0

N(t) adalah bilangan bulat

Jika s < t, maka N(s) ≤ N(t)

Untuk s < t, N(t)− N(s) menyatakan banyaknya kejadian yangterjadi pada interval waktu (s, t]




Proses menghitung disebut proses dengan kenaikan bebas(independent increment) jika banyaknya kejadian yang terjadi padawaktu t (yaitu N(t))bebas dari banyaknya kejadian yang terjadi padawaktu antara t dan t + s (yaitu N(t + s)− N(t)).




Contoh

Bayi yang lahir sampai waktu t, ’ii’ kah? Bagaimana dengan’banyaknya gol yang diciptakan pemain sepak bola’?




Proses menghitung disebut kenaikan stasioner (stationaryincrement) jika banyaknya kejadian pada interval waktu(t1 + s, t2 + s] (yaitu N(t2 + s)− N(t1 + s)) mempunyai distribusiyang sama dengan banyaknya kejadian pada interval waktu (t1, t2](yaitu N(t2)− N(t1)), untuk semua t1 < t2, s > 0




Contoh

Banyaknya gol pemain sepak bola sampai waktu ke t, ’si’kah?




Little o

Fungsi f (h) dikatakan o(h) jika limh→0f (h)

h = 0CONTOH

Untuk interval waktu yang kecil (h > 0)

e−λh = Σ∞n=0(−λh)n

n!

= 1− λh +(−λh)2

2− (−λh)3

3!+ ...

e−λh = 1− λh + o(h)

(tidak ada kejadian pada interval waktu yang kecil), sehingga peluangada kejadian pada interval waktu yang kecil,

1− e−λh = λh + o(h)




Proses Poisson

Suatu proses menghitung N(t), t ≥ 0 dikatakan Proses Poissondengan laju (parameter) λ > 0 jika memenuhi

N(0) = 0

Proses mempunyai kenaikan bebas dan kenaikan stasioner

P(N(h) = 1) = λh + o(h), untuk h interval waktu yang pendek

P(N(h) ≥ 2) = o(h)




Catatan

Maka untuk t ≥ 0 berlaku

Pn(t) = P(N(t + s)− N(s) = n) =(λt)n

n!e−λt, k = 0, 1, 2, ...

adalah peluang bawa ada n kejadian yang terjadi pada interval t.




Catatan

N(t + s)− N(s) ∼ POI(λt)

E(N(t)) = λt dan Var(N(t)) = λt

Laju dari proses (rate) atau mean kejadian per satuan waktu t

λ =E(N(t))

t




Proses Poisson stasioner, maka

P (N(s + t)− N(s) = n) = P (N(t) = n|N(0) = 0) = Pt(t)

untuk sebarang s ≥ 0, t ≥ 0.




Latihan

Pelanggan tiba di toko ’Indomar’ mengikuti PP dengan laju 2 orangper jam. Jam kerja toko pukul 10.00− 18.00.

Tentukan peluang 2 pelanggan datang pada pukul 13.00− 15.00

Tentukan mean dan variansi kedatangan pelanggan selama jamkerja




Panggilan telepon suatu kedai delivery order 14045 mengikuti PPdengan laju 8/jam. Tentukan peluang terdapat 2 panggilan teleponpada setengah jam pertama, diketahui terdapat 5 panggilan teleponpada setengah jam kedua?




Waktu Antar Kedatangan (Interarrival Time)

Berdasarkan proses menghitung N(t), t ≥ 0.

Perhatikan bahwa kejadian - kejadian tersebut dapat terjadi kapan sajadalam interval.

Panjang interval ini disebut dengan waktu antar kedatangan.




Distribusi Waktu Antar Kedatangan

Waktu antar kedatangan Xn, n = 1, 2, ... dari suatu PP adalah salingbebas dan berdistribusi Eksponensial dengan parameter λ

X1,X2,X3, ...Xn ∼ EXP(λ)

dengan,

E(Xn) =1λ

; Var(Xn) =1λ2

Karakteristik: Memory less properties




Waktu Tunggu (Waiting Time)

Waktu menunggu sampai kejadian ke-n,

t1 + (t2 − t1) + (t3 − t2) + ...+ (tn − tn−1)

Jika Sn adalah waktu sampai kejadian ke-n, maka

Sn = X1 + X2 + ...+ Xn, n = 1, 2, ...




Distribusi Waktu Tunggu

PROSES POISSON

N(t) ∼ POI(λt) dan X(n) ∼ EXP(λ)

WAKTU TUNGGU

S(n) = Σnk=1Xn, S0 = 0

Untuk Xn, n = 1, 2, ... saling bebas dan X(n) ∼ EXP(λ), makaS(n) ∼ GAM(λ)

P(Sn ≤ t) =

∫ t

0

(λ(λt)n−1e−λt

(n− 1)!

)dt




Latihan

Segerombolan imigran datang ke suatu wilayah dengan rate λ = 1hari

mengikuti proses Poisson.

Hitung ekspektasi waktu sampai imigran ke-10 tiba?

Berapa peluang waktu tunggu antara kedatangan ke-10 danke-11 lebih dari 2 hari?




The time required to repair a machine is an exponentially distributedrandom variable with mean 1

2 (hours)

What is the probability that a repair time exceeds 12 hour

What is the probability that a repair takes at least 12 12 hours

given that its duration exceeds 12 hours




Misalkan Andi tiba di suatu ’Bank or Bang’ dengan satu ’Teler’. Diamelihat lima orang di bank, satu sedang dilayani oleh ’Teler’ dansisanya sedang antri. Andi bergabung dalam antrian. Jika waktupelayanan berdistribusi eksponensial dengan rate µ. Berapa expectedof time Andi akan menghabiskan waktu di ’Bank or Bang’?




Hubungan Sn dan Nt

Sn ≤ t⇔ N(t) ≥ n




Distribusi Bersyarat Waktu Antar Kedatangan

Distribusi bersyarat waktu antar kedatangan pertama X1, diberikanada kejadian pada waktu [0, t], untuk s ≤ t

P(X1 ≤ s|N(t) = 1) =P(X1 ≤ s,N(t) = 1)

P(N(t) = 1)

=P(N(s) = 1)P(N(t)− N(s) = 0)

P(N(t) = 1)

=P(N(s) = 1)P(N(t − s) = 0)

P(N(t) = 1)

=λse−λse−λ(t−s)

λte−λt =st




Superposisi Proses Poisson

Misalkan proses N1(t), t ≥ 0 juga merupakan proses Poisson denganlaju λ dan µ, maka {N1(t) + N2(t), t ≥ 0} juga merupakan ProsesPoisson dengan laju λ+ µ




Definisi

Proses menghitung N1(t), t ≥ 0 dikatakan PP Non Homogen atau nonstasioner dengan fungsi intensitas λ(t) jika memenuhi,

N(0) = 0

Proses mempunyai kenaikan bebas

P(N(t + h)− N(t) = 1) = λ(t)h + o(h)

P(N(t + h)− N(t) ≥ 2) = o(h)




Proses Poisson homogen mempunyai parameter λ. Proses Poissonnon homogen mempunyai parameter λ(t), λ(t) disebut fungsiintensitas

m(t) =

∫ t

0λ(x)dx

sehingga,

Pk(t) = P(N(t) = k|N(0) = 0)

=[m(t)]ke−m(t)

k!




sehingga,

E[N(t)] = m(t)




Latihan

’McE’ a chicken stand stand that opens at 8 AM. From 8 until 11 AMcustomers seem to arrive, on the average, at steadily increasing ratethat starts with an initial rate of 5 customers per hour 8 AM andreaches a maximum of 20 customers per hours at 11 AM. From 11AM until 1 PM the average rate seems to remain constant at 20customers per hours. However, the average arrival rate then dropssteadily from 1 PM until closing time at 5 PM at which time it has thevalue of 12 customers per hours. If we assume that the numbers ofcustomers arriving at McE’s stand during disjoint time periods areindependent, then what is a good probability model for the preceding?What is the probability that no customers arrive between 8.30 AMand 9.30 AM morning?




Banyaknya pelanggan yang datang ke suatu toko mengikuti PPdengan laju 3 orang perjam

Tentukan nilai harapan jumlah pelanggan yang datang antarapukul 08.00 - 10.00 di suatu pagi.

Tentukan peluang bahwa untuk menunggu datangnya 7pelanggan dibutuhkan waktu lebih dari 2 jam




Penjualan tiket pertunjukan ’Ini Wayang’ mengikuti tiga PP sebagaiberikut

Penjualan harga sebenarnya dengan laju 2/jam

Penjualan tiket harga diskon dengan laju 4/jam

Penjuaalan tiket VIP dengan laju 0.3/jam




1 Waktu harapan hingga penjualan tiket berikutnya2 Waktu harapan hingga penjualan tiket VIP berikutnya3 Peluang bahwa penjualan setelah tiket harga sebenarnya adalah

tiket harga sebenarnya yang lain4 Peluang bahwa tiket VIP akan djual pada 30 menit kedepan5 Peluang bahwa setidaknya 2 dari 3 tiket yang dijual berikutnya

adalah tiket diskon




λ = λTS + λTD + λTV = 6.3, E(T) = ...

E(TV) = ...λTSλ = ...

P(TV <12) = ...

Misalkan N banyaknya tiket harga diskon yang terjual, sehinggaN ∼ B(3, λTD

λ )P(N ≥ 2) = ...




Supermarket buka dari pukul 10.00 - 20.00 Pelanggan datangmengikuti PP non homogen dengan fungsi intensitas:

Hitung rataan kedatangan pelanggan pada waktu kerja

Hitung rataan kedatangan pelanggan pada waktu kerja padapukul 16.00 - 18.00




Misalkan Tk menyatakan waktu yang dibutuhkan (elapsed time) untukklaim - klaim asuransi diproses. T1 menyatakan waktu yangdibutuhkan hingga klaim pertama diproses. Diketahui T1,T2, ... salingbebas dan berdistribusi

f (t) = 0.1e−0.1t, t > 0

t dalam setengah jam. Hitung peluang bahwa setidaknya sebuah klaimakan diproses 5 jam kedepan? Berapa peluang setidaknya 3 klaimdiproses dalam 5 jam?




P(T ≤ 10) = ...

P(N10 ≥ 3) = ...


ikg3f3 pemodelan stokastik proses poisson · ikg3f3 pemodelan stokastik proses poisson dosen: aniq...

Documents