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IL CALCOLO DEI LIMITI
• Le operazioni sui limiti
• Le forme indeterminate
• le funzioni continue
• Gli asintoti
• Il grafico probabile di una funzione
Prof. Giovanni Ianne
1/19Prof Giovanni Ianne
LE OPERAZIONI SUI LIMITI
Teorema sul limite della somma, differenza, prodotto e quozienteSiano date due funzioni: . Sia
Sia .
RXf 1: RXg 2: 21 XXX
Xper oneaccumulazi d' puntoun 0x
0
2
210
1
lim
,con lim
esistono Se :Ipotesi
xxlxg
Rllxxlxf
0
2
2
1
0
21
0
21
0lcon )(
)( lim
)()(lim
)()(lim
esistono :Tesi
xxl
l
xg
xf
xxllxgxf
xxllxgxf
2/19Prof Giovanni Ianne
Secondo teorema sul limite di un quoziente
Supponiamo che il si presenti sotto la forma
allora si hanno tre casi:
1.
2.
3.
0
)(
)(lim
xxxg
xf
0-Rlcon 0
l
0)(:)(/)( 000 xgxxIxxI
0x xg(x)
f(x)lim il l
0)(:)(/)( 000 xgxxIxxI
0x xg(x)
f(x)lim il l
0)(,0)(/)(,)( 2100210 xgxgxxIxxxI
0xx g(x)
f(x)lim il esisteNon
3/19Prof Giovanni Ianne
Teorema sul limite del prodotto di una funzione per una costante
Sia e sia 0RK RXf :
0
)(lim
:
xxRlxf
esisteseIpotesi
0xxKllimKf(x)
esiste :Tesi
4/19Prof Giovanni Ianne
Teorema sul limite della radice di una funzione
Sia
Osservazione: se < 0 il teorema vale solo se n è dispari.
RXf :
0
0)(lim
:
xxlxf
esisteseIpotesi
0
0
n
xx
)(limf(x)lim
esiste :
nn lxx
xf
Tesi
l
5/19Prof Giovanni Ianne
Teorema sul limite della potenza di una funzione
Sia RXf :
0
)(lim
:
xxRlxf
esisteseIpotesi
0
n
0
n
xx
positivo interon con l)(lim
f(x)lim
esiste :
n
xxxf
Tesi
6/19Prof Giovanni Ianne
Teorema sul limite di una funzione esponenziale con esponente una funzione
Sia e sia 1Kcon RK RXf :
0
)(lim
:
xxRlxf
esisteseIpotesi
0
)(limf(x)
xxlimK
esiste :
0 lxxxf
KK
Tesi
7/19Prof Giovanni Ianne
Teorema sul limite del logaritmo di una funzione
Sia RXf :
0
0)(lim
:
xxlxf
esisteseIpotesi
0
0
xx
log)(lim
log)(limlog
esiste :
lxx
xfxf
Tesi
8/19Prof Giovanni Ianne
LE FORME INDETERMINATE
• Le forme indeterminate o di indecisione che si possono incontrare nel
calcolo dei limiti sono sette:
• Le forme indeterminate che studieremo sono del tipo:
00 ,0 ,1 , ,0
0 0, ,
e
0
0
9/19Prof Giovanni Ianne
FUNZIONI CONTINUESTESSO LIMITE, VALORI DIVERSI
Le due funzioni hanno lo stesso limite per x che tende a x0 = 1.
Il valore del limite è l = 2.
Nel primo caso il valore del limite coincide con quello della funzione in x0 : f(x0) = l.
Nel secondo caso il valore di f non coincide con quello del limite.
La prima funzione è continua in x = 1, la seconda è discontinua.
10/19Prof Giovanni Ianne
LA DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUADEFINIZIONE
Funzione continua in un punto
Siano f(x) una funzione definita in un
intervallo [a; b] e x0 un punto interno
all’intervallo. La funzione f(x) si dice
continua nel punto x0 quando esiste il
limite di f(x) per e tale limite è
uguale al valore f(x0) della funzione
calcolata in x0 :
.
La funzione è continua nel punto quando:
• esiste il valore della funzione nel punto
• esiste ed è finito il limite della funzione per
• il limite coincide con il valore della funzione nel punto
)()()f(x )()(:)(/)( 0
00
000
xfxfossiaxfxfxIxxI
0x0x
0xx 0x 0(xfl
11/19Prof Giovanni Ianne
LA DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA
Una funzione può essere definita
continua anche negli estremi
dell’intervallo di definizione [a; b].
DEFINIZIONE
f(x) è continua a destra in x0, se f(x0)
coincide con il limite destro di f(x)
per x che tende a x0 :
.
DEFINIZIONE
f(x) è continua a sinistra in x0, se f(x0)
coincide con il limite sinistro di f(x)
per x che tende a x0 :
.
DEFINIZIONE
Funzione continua in un
intervallo
Una funzione definita in [a; b] si
dice continua nell’intervallo [a; b]
se è continua in ogni punto
dell’intervallo.
ESEMPIO
La funzione
non è continua in x0 = 1,
non è continua nell’intervallo [0;1],ma è continua nell’intervallo [1;2].
12/19Prof Giovanni Ianne
GLI ASINTOTI
Un asintoto di una funzione è una retta la cui distanza dal grafico dellafunzione tende a zero man mano che un generico punto P sul grafico siallontana all’ infinito.
y y y
0 x 0 x 0 x
Asintoto verticale Asintoto orizzontale Asintoto obliquo
13/19Prof Giovanni Ianne
ASINTOTI VERTICALI
Definizione
Sia
Sia
RRXf : Xper destra a oneaccumulazi d' x0Sia
funzione della grafico ilper sinistra a verticaleasintoto
x xequazione di retta 0
èLa
0x x
limf(x) il e sisteSe
RRXf : Xper sinistra a oneaccumulazi d' x0Sia
funzione della grafico ilper destra a verticaleasintoto
x xequazione di retta 0
èLa
0x x
limf(x) il e sisteSe
14/19Prof Giovanni Ianne
ASINTOTI ORIZZONTALI
Definizione
Sia
Sia
RXf : ntesuperiorme limitatonon X
funzione della grafico ilper destra a eorizzontal asintoto
qy equazione di retta èLa
x
limf(x) il e RqsisteSe
RXf : nteinferiorme limitatonon X
funzione della grafico ilper sinistra a eorizzontal asintoto
qy equazione di retta èLa
x
limf(x) il e RqsisteSe
15/19Prof Giovanni Ianne
ASINTOTI OBLIQUI
Definizione
Sia
Sia
RXf : ntesuperiorme limitatonon X
funzione della grafico ilper destra a obliquo asintoto 0m q,mxy equazione di retta
èLa
x
0)(limf(x) il e qmxxfsisteSe
RXf : nteinferiorme limitatonon X
funzione della grafico ilper sinistra a obliquo asintoto 0m
q,mxy equazione di retta è
La
x
0)(limf(x) il e qmxxfsisteSe
16/19Prof Giovanni Ianne
LA RICERCA DEGLI ASINTOTI OBLIQUI
TEOREMA
Sia
Sia
RXf : ntesuperiorme limitatonon X
funzione della grafico ilper destra a obliquo asintoto 0m q,mxy equazione di retta
èLa
xmx-f(x) lim .2
x
0x
f(x) lim 1.
: e
q
m
finitisistonoSe
RXf : nteinferiorme limitatonon X
funzione della grafico ilper sinistra a obliquo asintoto 0m
q,mxy equazione di retta è
La
xmx-f(x) lim .2
x
0x
f(x) lim 1.
:finiti e
q
m
sistonoSe
17/19Prof Giovanni Ianne
CONSIDERAZIONI FINALI SUGLI ASINTOTI
Poiché gli asintoti si ottengono dalle soluzioni di limiti, si puòaffermare che:
• le funzioni razionali intere non hanno asintoti
• le funzioni razionali fratte hanno tanti asintoti verticali quanti sono gli
zeri del denominatore
• le funzioni irrazionali possono avere solo asintoti verticali
• le funzioni trigonometriche possono avere solo asintoti verticali
• l’ esistenza di un asintoto orizzontale a destra esclude l’ esistenza di
quello obliquo a destra
• l’ esistenza di un asintoto orizzontale a sinistra esclude l’ esistenza di
quello obliquo a sinistra
18/19Prof Giovanni Ianne
IL GRAFICO PROBABILE DI UNA FUNZIONE
Per rappresentare il grafico probabile di una funzione occorre:
• determinare il dominio
• studiare eventuali simmetrie
• determinare le eventuali intersezioni con gli assi cartesiani
• studiare il segno
• calcolare i limiti agli estremi del dominio e studiare i punti di
discontinuità
• determinare gli asintoti
19/19Prof Giovanni Ianne