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IL CONTROLLO STATISTICO DI QUALITA’

1. Introduzione Realizzare un prodotto di qualità significa produrre rispettando certe specifiche e livelli di

tolleranza prestabiliti, sulla base delle aspettative e preferenze dei clienti, che possono essere

consumatori finali o le stesse aziende nel caso di prodotti industriali. Nell'accezione più ampia,

infatti, si definisce qualità di un prodotto l'adeguatezza del medesimo all'uso per il quale è stato

realizzato, ovvero la capacità del prodotto di possedere le proprietà garantite dal produttore e di

soddisfare le esigenze del mercato.

Per produrre prodotti di alta qualità è necessario quindi conoscere le esigenze e i desideri dei

clienti; questo è compito del dipartimento marketing di un’azienda. Successivamente sarà

necessario tradurre tali esigenze in un progetto operativo, fino ad arrivare alla completa

ingegnerizzazione del processo produttivo che condurrà, finalmente, alla realizzazione del prodotto

fisico. Infine, l’organizzazione commerciale e distributiva provvederà alla consegna del prodotto al

cliente.

Da quanto appena detto si capisce che, nell’ottica di quella che viene definita qualità totale,

produrre con alti livelli di qualità significa migliorare tutti i processi aziendali che contribuiscono

alla produzione di prodotti o servizi, in vista della piena soddisfazione del cliente. Nello spirito

della qualità totale, gestire per processi vuol dire curare al massimo grado i collegamenti fra le varie

attività attraverso l’idea del “cliente interno”. L’insieme delle attività che si svolgono nell’azienda

viene considerato come un insieme di scambi fra clienti e fornitori interni. Qualità totale significa

non solo qualità esterna (verso il cliente finale) ma anche qualità interna, relativa a tutte le varie

transazioni che avvengono all’interno dell’azienda.

La connotazione dinamica del mercato presuppone un continuo controllo e adeguamento del

livello di qualità del prodotto. Diventa quindi necessario proporre un continuo miglioramento della

qualità, che richiede un coinvolgimento di tutti i processi aziendali. In questo senso la strategia della

qualità totale viene considerata come uno strumento per garantire la sopravvivenza e il successo

dell’azienda nel lungo periodo. Le esigenze del mercato, infatti, non sono statiche e vengono ad

essere, in qualche modo, correlate col livello stesso di qualità. Ad esempio, se la garanzia per le

auto è di 3 anni per quasi tutte le marche, il mercato accetterà questo valore come uno standard di

qualità. Se un produttore porta la garanzia a 5 anni lo standard tenderà ad alzarsi .

In tale quadro di riferimento troverà una sua giustificazione l'applicazione di metodologie

dirette al Controllo Statistico del Processo in quanto sono esse a rappresentare un primo valido

strumento a sostegno dell'attività di Decision Making ad ogni livello organizzativo per il

Controllo statistico di qualità

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raggiungimento della qualità. Infatti, nella presentazione dei metodi statistici per il controllo di

qualità, la nostra attenzione sarà focalizzata sul processo di produzione e sul prodotto/servizio che

ne esce. Tentiamo allora di esporre, in sintesi, le logiche che sottendono a questa metodologia.

Cominciamo col definire il Controllo Statistico di Processo. Come universalmente

riconosciuto esso può essere definito come una metodologia che, in riferimento ad una

determinata attività, operazione, fase o processo caratterizzato da ripetitività, fa ricorso a

tecniche statistiche al fine di definire, analizzare e verificare le condizioni che determinano la

variabilità dell'oggetto di analisi. In modo più sintetico, rifacendoci alla definizione fornita da

Juran potremmo definire l'SPC come "l'applicazione di tecniche statistiche per comprendere ed

analizzare le variabilità di un processo".

Gli studi sull'SPC non sono certo temi nuovi alla Qualità. Già nel 1924, infatti, il dott. W.A.

Shewart iniziò a sviluppare un approccio statistico al controllo di qualità, rilevando che il concetto

di variabilità riferito ai fenomeni naturali era ugualmente adeguato all'analisi e alla descrizione dei

processi produttivi. Con il contributo della statistica inferenziale e della statistica descrittiva, arrivò

allora alla descrizione sintetica di fenomeni più ampi da impiegare come modelli di supporto alle

attività di Problem Solving. Nacquero così le sue Carte di controllo uno degli strumenti statistici più

impiegati nell'analisi dei processi produttivi. Da allora i passi avanti compiuti sul tema sono stati

molti. Primo fra tutti il riconoscimento circa la validità di questi strumenti e un loro più vasto

impiego.

Il controllo Statistico della Qualità ha cessato di essere semplicemente un supporto al

cosiddetto "Scientific Management" per divenire strumento diffuso da collocare all'interno di un

vero e proprio approccio di gestione/organizzazione. In quest'ambito, le metodologie SPC seppur a

livelli differenti di approfondimento sono divenute patrimonio aziendale comune e condiviso a tutti

i livelli. Si è, in pratica, andato diffondendo all'interno dell'organizzazione un orientamento

finalizzato a coniugare l'approccio tradizionale ai problemi con un approccio fondato sullo

Statistical thinking come atteggiamento culturale. Va sottolineato, tuttavia, come ciò valga non solo

per ruoli tecnici piuttosto che manageriali, ma anche e soprattutto per coloro che, in quanto

operatori, possono incidere direttamente sul proprio processo attraverso un'analisi che si configura

come un vero e proprio Learning by doing.

Il processo produttivo opera nel tempo realizzando una serie di prodotti che possono essere

considerati elementi della popolazione di pezzi che il processo può produrre. E’ tuttavia presente

una variabilità delle prestazioni del processo in quanto nessun pezzo prodotto è uguale ad un altro.

Ovvero, misurando una medesima caratteristica X (che rappresenta l’elemento di qualità che

interessa) su ogni prodotto, si osserverà una certa variabilità della stessa. La presenza di variabilità


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giustifica pienamente l’approccio statistico. E infatti la modalità o valore della ca ratteristica X,

rilevata sul singolo prodotto, viene vista come la determinazione di una variabile casuale con una

data distribuzione di probabilità.

In particolare, si deve tenere conto che:

• in ogni punto nel tempo (ricordiamo che una peculiarità del processo di produzione è la

dimensione temporale), la grandezza X può essere descritta da un particolare modello

distributivo. Qui faremo riferimento ad un modello parametrico: conoscendo i valori dei

parametri siamo cioè in grado di identificare perfettamente la distribuzione (ad esempio, nel

modello normale, conoscendo i parametri media e varianza si identifica completamento la

distribuzione);

• lo specifico valore osservato su un prodotto può essere considerato come un valore generato dal

quel particolare modello e cioè può essere visto come un campione casuale semplice di 1 unità,

estratto dalla popolazione caratterizzata da quel modello distributivo;

• la distribuzione di X può cambiare nel tempo ovvero possono cambiare nel tempo i valori dei

parametri distributivi (es., nel modello normale, si viene a modificare il valore della media).

Quando intervengono tali modifiche significa che ci sono state variazioni sistematiche ovvero la

popolazione è cambiata.

Obiettivo ultimo quindi, nell'utilizzo di queste tecniche statistiche è quello di dotare l'impresa di

strumenti adeguati per migliorare il livello dei prodotti/servizi offerti/erogati attraverso

l'eliminazione di errori, difformità che causano ripetizioni di lavoro, controlli inutili e quindi

rallentamenti nei cicli di lavorazione. Garanzia di simili risultati sarà quindi, necessariamente una

conoscenza chiara e approfondita dei processi, l'identificazione delle caratteristiche critiche del

processo attraverso l'impiego di dati statisticamente significativi, in quanto tali analizzabili, che

consentano di determinare e interpretare performance e cause che determinano "cambiamenti

indesiderati" rispetto al normale funzionamento del processo in analisi.

Dopo queste premesse, il presente studio fornisce una sintetica descrizione delle principali

metodologie statistiche utilizzate nell’ambito del controllo e del miglioramento della qualità di

processo. Elenchiamo quindi tutte le principali tecniche statistiche impiegabili nella metodologia

SPC, utili ad analizzare nel modo più obiettivo il comportamento del processo:

• Foglio raccolta dati

• Diagramma di Pareto

• Diagramma causa-effetto


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• Istogramma di frequenza

• Diagramma di correlazione

• Analisi della stratificazione

• Carte di controllo

• Analisi della capability

Accenniamo solo ad alcuni dei possibili impieghi di questi strumenti, la cui descrizione verrà svolta

nei paragrafi successivi:

• la previsione della possibilità di raggiungere le tolleranze di progetto;

• la pianificazione di verifiche dei controlli di processo

• l'analisi di possibili interdipendenze tra i processi

• gli interventi correttivi durante la lavorazione

• la valutazione di nuove attrezzature

• l'elaborazione di specifiche

Molti altri evidentemente ve ne sono associabili alle differenti tecniche, che giustificano quindi

l'impiego e la scelta di uno strumento piuttosto che dell'altro.


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2. Fogli di raccolta dei dati I fogli di raccolta dati sono semplicemente dei moduli organizzati in modo tale da rendere

facile e rapida la raccolta dei dati, in funzione della loro successiva elaborazione. Risulta pertanto

chiaro che tali schede debbano essere progettate in modo tale da favorire la raccolta dei dati e

facilitare una loro interpretazione. Questo strumento di analisi è molto utilizzato in fase di

localizzazione ed analisi delle cause di dispersione dei processi produttivi e per l’individuazione di

eventuali unità difettose. Il foglio di raccolta dati é il supporto indispensabile sul quale riportare i

dati di cui abbiamo bisogno; esso va costruito in funzione di obbiettivi e finalità che possono essere

molto diversi da una situazione rispetto ad un’altra. Ad esempio:

• tipologia e numero di difetti;

• unità prodotte fuori specifica;

• rispetto di una sequenza di operazioni;

• valutazione complessiva di un problema;

• valutazione in dettaglio di un problema;

• grado di influenza sul problema di aspetti quali il turno, i materiali, le macchine;

Per ognuno di questi casi andrebbe sviluppato un foglio raccolta dati specifico che però

causerebbe difficoltà alla persona incaricata di impostare la raccolta dati. Per rendere agevole questa

operazione sono stati definiti alcuni fogli standard ai quali far riferimento. Questi fogli vengono di

volta in volta adattati alle specifiche esigenze di raccolta dati. I principali fogli standard sono i

seguenti:

• foglio di raccolta per dati numerabili;

• foglio di raccolta per dati misurabili;

• foglio di raccolta dati per posizione o concentrazione;

• foglio di sintesi;

• foglio impostato come lista di controllo;

Ogni tipo di foglio di raccolta dati ha una parte comune che riguarda le informazioni che

inquadrano la raccolta stessa, come ad esempio la data, la macchina o la procedura oggetto della

raccolta e così via. Poiché i dati raccolti servono come base per prendere decisioni, per non

vanificare la fase successiva di elaborazione, è

importante completare il foglio raccolta dati con

le informazioni che inquadrano la raccolta stessa.


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FOGLIO DI RACCOLTA PER DATI NUMERABILI

La progettazione del foglio è vincolata a due decisioni:

• come raccogliere i dati,

• per quanto tempo raccoglierli.

I dati possono essere raccolti per tipo di difetto, per macchina, per operatore, per turno, in funzione

delle cause che si sospettano essere più probabili. Il tempo di raccolta dipende invece dalla quantità

di dati che si possono raccogliere in un’unità di tempo e quindi dal ritmo del processo produttivo. Si

può fare l’esempio di un’azienda automobilistica per rilevare la difettosità nei fari al termine della

catena di montaggio. Si decide di raccogliere i dati per tipo di difetto e, supponendo che un

campione per essere rappresentativo debba essere di 5000, se la produzione è di 500 auto al giorno

si adotta un periodo di osservazione di 10 giorni. Si deve quindi dividere il foglio in 11 colonne,

una per ogni giorno più i totali. Dopo aver identificato i tipi di difetto che si riscontrano

maggiormente si divide il foglio in tante righe quanti sono i difetti più una per i difetti non compresi

nelle categorie individuate e uno per i totali. L’operatore, ogni qualvolta è presente un difetto, segna

un trattino sul foglio.

Tipi di difetti individuati:

• lampada fulminata

• lampada male

avvitata

• baionetta faro

difettosa

• faro storto

• lampada sporca

Tabella 1.1

FOGLIO DI RACCOLTA PER DATI MISURABILI

Un altro tipo di foglio di raccolta è quello per dati misurabili; i dati vengono qui rappresentati sotto

forma di una distribuzione delle frequenze. Ciò richiede la definizione delle dimensioni delle classi

nelle quali distribuire i dati raccolti. In questo modo si ottiene una rappresentazione grafica che

consente di capire in maniera sintetica come si distribuiscono i prodotti esaminati in relazione alle

dimensioni e di valutare il numero di prodotti che non soddisfano le caratteristiche richieste.


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Un esempio può essere dato dalla misurazione di una dimensione di un certo particolare meccanico:

Tabella 1.2

FOGLIO DI RACCOLTA DATI PER POSIZIONE DEL DIFETTO

Per evidenziare difetti che risultano visibili ad un esame esteriore si usano fogli per posizione del

difetto. Nel foglio si rappresenta il prodotto che è oggetto di indagine in modo che sia possibile

identificare il tipo di difetto nella loro effettiva posizione e quindi evidenziare eventuali fenomeni di

concentrazione per poi risalire alle cause.

FOGLIO DI SINTESI

Supponiamo di aver seguito un fenomeno complesso e di aver registrato i dati su diversi fogli di

raccolta. Può essere utile per la piena comprensione del fenomeno sintetizzare successivamente i

dati raccolti in un unico foglio opportunamente costruito rispettando gli stessi criteri di

classificazione impiegati nella raccolta.

Un esempio può essere un foglio di sintesi della difettosità in cui i dati sono divisi per tipo di

difetto, macchina, giorno della settimana, turno (tabella 1.3):

Tabella 1.3


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Una volta terminata la registrazione un foglio di questo tipo può fornire numerose indicazioni: ad

esempio se le macchine o gli operatori dei vari turni hanno lo stesso comportamento in termini di

difettosità, se nel tempo si assiste o meno ad una concentrazione della difettosità.

FOGLIO IMPOSTATO COME LISTA DI CONTROLLO

La lista di controllo è un tipo di rappresentazione molto semplice che viene usata come promemoria

per controllare determinate caratteristiche o per verificare l’avvenuta esecuzione di operazioni.

Nella tabella 1.4 è riportata un lista di controllo relativa a un pannello elettrico.

Tabella 1.4


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3. Istogrammi Nell’ambito del controllo di processo è di capitale importanza interpretare i dati di output del

processo produttivo analizzato, per fotografarne la dispersione (cioè l’intervallo tra il massimo ed il

minimo dei valori) e capire la variabilità del fenomeno. Una volta che sono stati raccolti i dati (un

esempio di dati potrebbero essere le misure dello spessore delle lamine prodotte) è allora necessario

uno strumento per interpretarli correttamente. L’istog ramma, appunto, è uno strumento grafico che

consente di avere una visione completa e sintetica dei dati raccolti fornendo anche un indirizzo

all’analisi delle cause. Può essere allora utile monitorare, attraverso un istogramma, la dispersione

delle variabili più importanti e critiche del processo produttivo in modo da definire ipotesi e

contromisure per la risoluzione del problema.

L'istogramma, che non è altro che un diagramma a colonne, presenta in ordinata il numero di

osservazioni in ciascuna classe e in ascissa le classi (il centro di ogni colonna coincide con il

valore centrale della classe). Dove per classe si intende la dimensione di un intervallo di variabilità

dei dati che si è preso come base per la rappresentazione dei dati stessi.

Figura 2.1

Alla base della costruzione di un istogramma sta la valutazione dell’escursione dei dati, per

differenza tra il valore massimo ed il valore minimo, e la successiva suddivisione di questa per il

numero di classi, per ottenere l’intervallo d i classe. La scelta del numero di classi non segue

generalmente un criterio prestabilito ma spesso sta nell’esperienza del progettista il segreto per una

corretta decisione; comunque, in alcuni casi, può essere utile adottare dei criteri che fanno uso di

alcune formule empiriche (con K si indica il numero di classi e con N il numero dei dati in esame):

K=3,3 log N + 1

K = N1/2

Ottenuto l’intervallo di classe ( h ) a partire dalla classe più bassa, con intervallo dato da X L

(il valore minimo tra le misurazioni disponibili) e XL + h, le classi superiori saranno date per

successiva somma dell'intervallo di classe. In corrispondenza di ciascun intervallo verranno


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conteggiati il numero di valori, tra i dati raccolti, rientranti nell'intervallo di classe e riportati come

barra verticale sull'asse delle ordinate.

Considerare l’istogramma come uno strumento solo di rappresentazione e non di analisi è

fortemente sbagliato. Dopo avere costruito l’istogramma occorre infatti trarne informazioni utili;

spesso possiamo rilevare l’esistenza di problemi nel processo in esame a seconda dell’aspetto della

distribuzione. Importanti indicazioni sul comportamento del processo produttivo sono ottenibili con

l’analisi di alcuni aspetti dell’istogramma in esame:

FORMA DEL GRAFICO : può essere utile verificare se la distribuzione dei dati segue un andamento a

campana o al contrario siano presenti due o più picchi di frequenza (distribuzione bimodale o

multimodale) dovuti generalmente alla sovrapposizione di dati di origine diversa (due macchine,

due operatori). L’istogramma può rilevare una asimmetria ( skewness) nella distribuzione dei dati,

sintomatica di qualche errore nella raccolta dati o nella misurazione o nella sovrapposizione di dati

non omogenei; il processo può essere sbilanciato in senso positivo (più valori a sinistra) o negativo

(più valori a destra). Vadere figura 2.2

Figura 2.2

POSIZIONE O TENDENZA CENTRALE : l’istogramma evidenzia, anche,se la distribuzione de i dati

provenienti dall’output di processo è centrata sull’obbiettivo (valore nominale) fornendo indicazioni

sull’accuratezza del processo. Infatti dalla sovrapposizione dell’istogramma con la retta del valore obbiettivo si può

verificare il posizionamento del valore centrale dei dati rispetto al target assegnato (figura 2.3).


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PROCESSO CENTRATO PROCESSO POSIZIONATO PROCESSO POSIZIONATO TROPPO IN BASSO TROPPO IN ALTO Figura 2.3

DISPERSIONE : un istogramma consente inoltre di valutare la precisione del processo produttivo

tramite l’analisi di dispersione della distribuzione dei dati, anch e in relazione ai limiti di tolleranza.

Si possono osservare diagrammi a campana fortemente appiattiti, che indicano una forte dispersione

dei valori, e altri fortemente concentrati in corrispondenza del valore centrale. Importanti

valutazioni si ottengono confrontando l’istogramma dei dati con i limiti di tolleranza imposti in fase

di progetto ( figura 2.4).

Il processo è entro i limiti di tolleranza Il processo non ha margini

va ridotta la variabilità

Processo spostato in basso. Il processo Processo troppo variabile, va

deve essere centrato sui limiti ridotta la variabilità

Figura 2.4


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ESEMPIO

Una azienda farmaceutica decide di effettuare un controllo sul processo di iniezione di un

farmaco, per le cure tumorali, all’interno di appositi flaconi. L’azienda assume come tollerabili un

quantitativo minimo di medicinale nei flaconi pari a 82 ml e uno massimo di 118 ml e in fase di

progetto stabilisce un quantitativo obbiettivo di 95 ml . Gli operatori addetti a tale compito hanno a

disposizione le misure del contenuto dei flaconi del prodotto medicinale riportate nella tabella 2.1:

LUN MAR MER GIO VEN SAB LUN MAR MER GIO VEN SAB

8.00 94 97 92 94 106 108 95 98 111 85 109 110

9.00 108 118 92 100 109 92 105 111 96 110 108 97

10.00 105 97 101 102 93 99 97 109 95 96 103 88

11.00 85 96 93 93 94 92 108 99 95 91 88 96

12.00 93 103 95 99 101 80 98 101 106 95 103 83

13.00 111 100 90 98 110 85 111 109 104 97 115 93

14.00 109 92 108 89 103 95 91 99 95 93 105 97

15.00 102 99 86 96 110 92 94 99 87 114 100 102

16.00 99 115 84 89 110 85 93 101 84 89 113 91

17.00 93 104 84 86 109 99 100 100 94 91 113 109

Tabella 2.1

Per un’immediata valutazione sul processo si decide di costruire un istogramma dei dati di

output. Dalla tabella dei dati sono stati ricavati il valore massimo (M) e quello minimo (m). In

questo caso M=118 e m=80. Quindi calcolata l’escursione (R) come differenza tra il valore

massimo e quello minimo: R=M-m=38.

Il numero delle classi, indicato con K, si sceglie in funzione del numero dei dati e viene usato

il criterio della radice quadrata: K2=N. Nel qual caso, poiché N=120 si ottiene K=10.95 e per

approssimazione si ottiene K=10. L’ampiezza di ogni singola classe (h) è ottenuta dividendo

l’escursione di R per il numero delle classi K. Nel nostro caso si ottiene 3,8 arrotondato a 4 per

comodità.

A questo punto si definiscono i limiti delle classi iniziando dal valore minimo, che viene

assunto come limite inferiore della prima classe. Il limite superiore sarà dato da quello inferiore più

l’ampiezza di classe. I limiti delle classi successive si individuano sommando di volta in volta

l’ampiezza di classe.


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La tabella delle frequenze ed il relativo istogramma che si ottengono sono:

Figura 2.5

Dall’istogramma di figura 2.5 si può subito notare come i dati seguano approssimativamente

una distribuzione normale, con una piuttosto accentuata variabilità dei dati. Rispetto al target

aziendale il processo è abbastanza centrato, mentre in termini dei limiti di tolleranza il processo

sembra non avere margini per cui potrebbe essere necessaria una azione correttiva sulla variabilità

del processo.

CLASSI FREQUENZE

80/84 2

84/88 10

88/92 11

92/96 25

96/100 21

100/104 12

104/108 10

108/112 15

112/116 2

116/120 1


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4. Diagramma di Pareto L’analisi di Pareto è una potente tecnica di supporto all’azione del problem solving

frequentemente utilizzata nell’ambito del controllo statistico di processo. Questa è una metodologia

grafica che consente di individuare su basi oggettive, più che su sensazioni dovute all'urgenza del

momento, le priorità di intervento nella soluzione dei problemi evidenziando, tra una serie di cause,

quelle che incidono maggiormente sul fenomeno in esame. L'obiettivo è sviluppare una mentalità

atta a comprendere quali siano le poche cose più importanti, per concentrarsi solamente su esse.

Il principio alla base di tale analisi stabilisce che tra tutte le possibili cause, poche di esse sono

responsabili della maggior parte dei problemi riscontrati. Se registriamo i problemi che si verificano

a seconda della tipologia o della causa che li ha provocati, possiamo presto scoprire che la maggior

parte di essi (ed il conseguente costo) è attribuibile solamente ad una o poche cause tra le molte

individuate. Il diagramma di Pareto e' una semplice rappresentazione grafica del sopraesposto

principio, solitamente rappresentato come diagramma a barre,nel quale in ascissa sono riportati i

tipi di difetti ed in ordinata la loro incidenza percentuale.

Figura 3.1: Diagramma di pareto

Dal grafico 1 si nota come la particolare struttura del diagramma di Pareto, in cui le colonne

dell’ istogramma sono ordinate in ordine decrescente di frequenza, consenta un’individuazione

immediata degli aspetti prioritari da affrontare (su quanti e quali difetti concentrarci e quali

tipologie di difetti conviene trascurare). Generalmente per una maggiore completezza e chiarezza

grafica , accanto al diagramma a barre, viene tracciata la linea dei valori cumulati (la linea segnata

in rosso nella figura 3.1).

Un aspetto utile dell’analisi di Pareto, da tenere in considerazione se il nostro obiettivo è

ridurre i costi della qualità, è quello relativo ai costi del difetto. Si tratta di analizzare i costi di

riparazione per ogni tipo di difetto o in generale le perdite di denaro dovute ai difetti. Per fare questo


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si parte dall’analisi di Pareto e si costruisce un nuovo grafico cartesiano con le tipologie dei difetti in

ascisse e in ordinate il costo dei difetti, calcolato come il numero dei difetti moltiplicato il costo della

riparazione di quel difetto. L’analisi di questo nuovo diagramma ci permette di scopri re i reali punti di

intervento e quelli di maggiore convenienza. La figura 3.3 riporta un tipico esempio di analisi dei

costi in cui si può notare, da un confronto con il grafico di figura 3.2, come il difetto più frequente

non corrisponda necessariamente con quello più oneroso.

Figura 3.2 Figura 3.3

Un altro aspetto da tenere in considerazione dell’analisi di Pareto, è che permette di

confrontare due rappresentazioni dello stesso fenomeno in tempi differenti, evidenziando quindi i

risultati dell’azione di miglioramento effettuata. Il diagramma viene ridisegnato dopo l’introduzione

di cambiamenti ed affiancato a quello originario in modo da evidenziare l’effetto delle modifiche.

Nel grafico di figura 3.4 è stato effettuato ad esempio un confronto tra due diagrammi in istanti di

tempo successivi.

Figura 3.4

Vediamo quali sono le fasi principali da seguire per la stesura del diagramma di Pareto:

a) IDENTIFICAZIONE DELLE CARATTERISTICHE D'INTERESSE DEL PROCESSO


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vengono individuate le cause principali di errore e non conformità riscontrabili nel processo

produttivo

b) DEFINIZIONE DEL PERIODO DI OSSERVAZIONE DEL FENOMENO

viene stabilito quando e per quanto tempo raccogliere le informazioni secondo il tempo necessario

per avere dati sufficienti all’analisi

c) RILEVAZIONE E RACCOLTA DATI

viene determinata la frequenza di non conformità (o di errori ) prodotte, nel periodo di tempo in

questione, da ogni causa individuata. Successivamente i difetti, con le corrispondenti quantità

rilevate, sono registrate all’interno di un foglio di raccolta ordinate in senso decrescente di quantità

di errore.

d) COSTRUZIONE DEL DIAGRAMMA A BARRE

si calcola il valore percentuale per ogni causa e si costruisce il relativo istogramma, ponendo in

ascissa le diverse tipologie di difetti o cause e in ordinata la loro incidenza percentuale.

ESEMPIO Andiamo ad analizzare il processo di produzione di uno stabilimento che produce pezzi meccanici

per automobili. Supponiamo che ogni giorno dallo stabilimento escano un certo numero di prodotti

difettosi. Si vuole stabilire quale tipologia di difetti, riscontrati in produzione, incide maggiormente

sulla difettosità dei prodotti.

Attraverso una discussione con i diversi responsabili si individuano le cause che si suppone possano

influire sulla difettosità del prodotto e si stabilisce un periodo di osservazione di quattro mesi per la

raccolta delle informazioni.Una volta deciso come raccogliere i dati non resta che preparare il foglio

di raccolta e rilevare le informazioni utili alla nostra analisi. Il foglio compilato risulta la base per la

costruzione del diagramma di Pareto.

DIFETTI GEN FEB MAR APR TOT

Guarnizione rotta \ \ \ \\ 5

Pezzi mancanti \\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\ \\ 22

Pezzi sbagliati \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 147

Montaggio errato \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\ \\\\ 34

Superficie rugosa \\\\\\\\\\ \\\\\\ 16

Rivestimento graffiato \\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\\\\\\\\\\\\ 112

Componente A difettoso \\ \ 3

Componente B difettoso \\\\ \ \ 6

Componente C difettoso \\\\\ 5

Totale 92 91 84 81 350

Tabella 3.1


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Riordiniamo i dati in una nuova tabella per ordine di importanza e raggruppiamo i tipi di difetto che

appaiono un numero di volte trascurabile sotto la voce varie, quindi valutiamo il valore percentuale

di ogni tipo di difetto.

Tabella 3.2 Sulla base dei dati ottenuti possiamo compilare il relativo diagramma di Pareto :

Figura 3.5

Nel nostro caso il primo difetto rappresenta il 42% della difettosità ed assieme al secondo difetto ricopre ben il 74% della difettosità globale; è evidente come una azione correttiva sul processo debba rivolgersi, in maniera prioritaria, verso le prime due tipologie di difetti.

DIFETTI N° %

Pezzi sbagliati 147 42,0

Rivestimento graffiato 112 32,0

Montaggio errato 34 9,7

Pezzi mancanti 22 6,3

Superficie rugosa 16 4,6

Altre cause 19 5,4

Totale 350 100


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5. Diagramma causa-effetto Messi a punto in Giappone da Kauru Ishikawa nel 1943, i diagrammi di causa effetto (detti per

questo anche diagrammi di Ishikawa) sono tra gli strumenti più usati per la soluzione dei problemi

di qualità. Il diagramma causa-effetto è un diagramma che mostra le relazioni tra una caratteristica e

i suoi fattori o cause. Esso è dunque la rappresentazione grafica di tutte le possibili cause relative ad

un fenomeno. Può essere inteso sia come mezzo per la rappresentazione sintetica delle cause di un

problema, sia come strumento per l'individuazione delle cause stesse e quindi delle soluzioni del

problema.

Solitamente il diagramma prende una forma a lisca di pesce, da cui il nome alternativo di

diagramma a lisca di pesce (vedi figura). Il problema di cui si vuole studiare la soluzione viene

infatti disposto al termine di una linea, ai lati della quale si innestano altre linee che rappresentano

le diramazioni principali, ovvero le cause primarie del problema; su queste si innestano a loro volta

le cause secondarie, alle quali possono essere congiunte altre sottocause, e così via. In questo modo

sono rappresentate, in modo ordinato, tutte le possibili cause che potrebbero determinare un

problema, fornendo un’ottima base di partenza p er l’indagine delle vere cause che influenzano

l’effetto in esame

Figura 4.1

L’analisi causa -effetto nel suo significato più completo è il processo che porta alla definizione

precisa dell’effetto che vogliam o studiare e, attraverso la fotografia della situazione ottenuta con la

costruzione del diagramma, permette di fare una analisi delle vere cause che influenzano l’effetto in

esame. Possiamo individuare perciò 3 momenti che costituiscono questa fase di analisi:

CAUSA 3 CAUSA 4

EFFETTO

CAUSE EFFETTI

CAUSA 1 CAUSA 2


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IDENTIFICAZIONE DELL’ EFFETTO CHE SI VUOLE STUDIARE

L’identificazione dell’effetto è alla base di un’efficace analisi, in quanto meglio sarà definito

l’effetto in esame, tanto più l’analisi sarà mirata ed efficace.

COSTRUZIONE DEL DIAGRAMMA CAUSA EFFETTO

Per la costruzione del diagramma causa-effetto è necessario individuare tutte le possibili cause

dell’effetto studiato; la ricerca delle cause può seguire tre diversi metodi :

• metodo della classificazione delle cause : si individuano prima di tutto le categorie principali di

cause che serviranno per sviluppare in modo ordinato l’analisi di dettaglio (un criterio di

suddivisione può essere quello di individuare le seguenti categorie: macchine, manodopera,

metodi, materiali) e successivamente si procede alla associazione delle cause specifiche (magari la

ricerca può essere fatta in gruppo con un procedimento di tipo brainstorming). Le cause suggerite

vengono riportate sul diagramma come rametti dei quattro rami principali (le categorie principali).

Le cause riportate possono poi successivamente venire ramificate a loro volta trattandole come

effetti per trovarne le cause. Questo procedimento si porta avanti finché il livello di dettaglio non

si ritiene sufficiente all’analisi.

• metodo per elencazione delle cause : con questo metodo si parte da una semplice elencazione

delle cause; l’elenco deve essere il più ampio e completo possibile e viene compilato attraverso

un’azione di brainstorming. In una seconda fase le cause devono essere strutturate evidenziando le

relazione reciproche sotto forma di diagramma. La difficoltà è nella costruzione logica delle

relazioni reciproche tra le cause quindi nella loro organizzazione nel diagramma causa-effetto.

• metodo per fasi di processo : questo metodo è particolarmente utile quando il fenomeno che

vogliamo esaminare avviene attraverso fasi ben definite e separate, per esempio un processo

produttivo composto dalle lavorazioni A,B,C (figura 4.2).

Figura 4.2


20

Un esempio può essere dato dallo studio di un processo costituito da sgrassatura e cromatura.

Figura 4.3

Come si può vedere il vantaggio del metodo per fasi di processo è quello di potere esaminare

singolarmente ogni fase di lavoro.

ANALISI DEL DIAGRAMMA COSTRUITO

Come detto la costruzione del diagramma dà origine a uno schema molto ricco; scopo dell’analisi

sarà quindi esaminare criticamente le cause per individuare quelle più importanti e probabili e

verificare quelle che effettivamente influenzano il problema. L’individuazione delle cause più

probabili avviene attraverso un’analisi critica, se non si possiedono dati si procede attraverso una

discussione. Successivamente si procede alla definizione delle cause più importanti valutando il

peso che ognuna può avere nei confronti dell’effetto ( l’esito dovrebbe essere un elenco ordinato per

importanza delle cause probabili).

Se le cause sono state individuate e ordinate in modo appropriato si riesce presto a determinare la

vera causa che influenza il fenomeno in oggetto; ci si può così concentrare su come rimuoverla

definitivamente.

Il diagramma di causa-effetto è indubbiamente un valido strumento di presentazione dei dati.

Come metodo per la ricerca delle soluzioni di un problema, invece, non sempre risulta efficace. Il

rischio può in effetti essere costituito dalla eccessiva formalizzazione del processo che porta ad

analizzare cause ritenute già in partenza ininfluenti. Altro limite è nel fatto che esaminando una

causa alla volta, si possono facilmente perdere le interazioni tra le diverse cause.


21

ESEMPIO

In un industria manifatturiera vengono valutate le cause che producono delle cattive saldature

durante il processo di produzione. I responsabili del controllo di processo decidono di costruire un

diagramma causa effetto coinvolgendo tutti gli operatori interessati, in modo da rappresentare in

modo ordinato tutte le possibili cause che potrebbero determinare le cattive saldature. Per

l’individuazione delle cause viene adottato il metodo della loro classificazione in categorie gen erali

(macchine,manodopera,metodi,materiali).

Il diagramma che risulta dalla discussione tra i diversi responsabili sarà di questo tipo (figura 4.4):

Figura 4.4

Individuate le cause più probabili ed importanti, vengono poste a verifica per poter così individuare

quella che influisce in maniera decisiva sull’effetto in esame.


22

6. Analisi per stratificazione L’analisi per stratificazione consiste nella suddivisione dei dati raccolti in una serie di

sottogruppi omogenei, che permettano una migliore comprensione del fenomeno che si sta

analizzando. Attraverso l’analisi per stratificazione è possibile far emergere tutta una serie di

informazioni, già contenute nei dati raccolti, ma che non sarebbero così evidenti senza

l’applicazion e di questo tipo di analisi.

L'obiettivo della stratificazione é quello di far parlare i dati, cioè di individuare il fattore o i

fattori più significativi relativamente ai dati che rappresentano un certo fenomeno. La stratificazione

é un'operazione indispensabile per un ottimale sviluppo risolutivo di un problema. Infatti, se i dati

sono mescolati tra di loro, é facile confonderli o non riuscire ad interpretarli, dunque basare le

considerazioni successive su informazioni vaghe o addirittura errate.

Per stratificare è dunque necessario prima di tutto definire la caratteristica da analizzare;

bisogna rappresentare poi i dati relativi al fenomeno in modo complessivo. Una volta individuati i

fattori di stratificazione più adeguati si classificano i dati in gruppi omogenei secondo i fattori

prescelti per poi rappresentarli graficamente e confrontare i gruppi così ottenuti. Se si rivelano

differenze tra i vari gruppi, la stratificazione ha avuto successo.

E’ bene poi tenere presente che la comprensione di un fe nomeno diventa più completa con

l’aumentare del numero dei fattori di classificazione, è necessario quindi stratificare secondo tutti

quei fattori che si ritiene possano essere utili alla definizione del fenomeno. Per individuare i fattori

ci si può domandare: Come incide…………sul fenomeno? La parola mancante il più delle volte è

un fattore di stratificazione.

Consideriamo ad esempio che in un certo reparto si stia studiando un difetto di produzione e

si siano raccolti dei dati rappresentati con un istogramma generale dei difetti (figura 6.1).

Figura 6.1

Stratificando questi dati si possono ottenere delle informazioni utili; ad esempio, se questo

reparto lavora a due turni, può essere utile stratificare i dati stessi nei due turni ed osservare se vi

sono delle differenze.


23

Nel caso in esame, come evidenziato negli altri due istogrammi riportati di seguito,

osserviamo che la dispersione nel primo turno é minore rispetto a quella del secondo.

Istogramma dei difetti nel primo turno Istogramma dei difetti nel secondo turno


Questa osservazione ci da una chiave di lettura della situazione; ci dice infatti che il secondo

turno ha una situazione meno positiva. Questa prima informazione ci fornisce la base per

un'ulteriore analisi più approfondita orientata al secondo turno.

In modo analogo a quanto visto per l’istogramma, la stratificazione consente di ottenere degli

utili risultati anche se applicata ai restanti strumenti della qualità, in particolare al diagramma di

Pareto e a quello di correlazione. Le suddivisioni logiche in cui vengono raggruppati i dati sono

dette fattori di stratificazione. Esempi tipici di fattori di stratificazioni sono:

• tempo (turno, giorno, settimana)

• operatori (anzianità, esperienza, sesso)

• macchine e/o attrezzature (modello, tipo, età, tecnologia, utensile)

• materiale (fornitore, composizione, consegna)

• metodo di controllo di misura (tipo di strumento di controllo, addetto alle analisi)


24

7. Carte di controllo Al fine di ottenere livelli di qualità accettabili può essere determinante intraprendere una

azione di monitoraggio della variabilità (la fluttuazione dei valori misurati attorno alla media) del

processo produttivo; una eccessiva variabilità comporterebbe infatti una non rispondenza del

prodotto alle sue caratteristiche funzionali.

In ogni processo produttivo è presente una variabilità intrinseca che non dipende da cause

esterne detta variabilità naturale, originata da una serie di fluttuazioni interne al processo, risultato

di numerose piccole cause che operano casualmente (dette cause comuni o casuali). Tali cause

risiedono nel sistema di produzione e non possono essere attribuite ad esempio a macchine,

dipendenti o fornitori particolari; in questo caso la causa ultima risiede e va ricercata nel sistema di

produzione, che deve essere modificato, e non in un aspetto specifico del processo. Un processo

produttivo la cui fonte di variabilità è imputabile esclusivamente a questo tipo di cause è un

processo prevedibile, che può essere descritto mediante leggi statistiche. Si parla in questo caso di

processo “sotto controllo statistico”.

Sulla variabilità del processo possono però intervenire fattori esterni che ne alterano la

variabilità naturale e generano una variabilità non prevedibile che disturba il funzionamento del

processo. Tali fattori, denominati cause speciali di variazione, determinano la quota eccezionale di

variabilità del processo e rappresentano grosse fluttuazioni nei dati, che non sono imputabili al

processo oggetto di analisi. Queste fluttuazioni sono il risultato di cambiamenti nel processo, che

possono indicare il verificarsi di problemi oppure, al contrario, l’insorgere di novità interessanti da

esplorare. Esempi di fattori di variabilità speciali possono essere: scarsa esperienza e professionalità

del personale, utilizzo di metodologie produttive non appropriate, sistemi di produzione non

adeguati. Un processo la cui variabilità risente oltre che di cause comuni anche di cause speciali di

variazione ha un andamento imprevedibile, per cui si parlerà di processo “fuori controllo statistico”.

Saper distinguere fra le due cause di variabilità è essenziale, in quanto mentre le cause

speciali di variazione possono essere corrette (se necessario) senza modificare il processo, le cause

ordinarie di variazione, essendo fluttuazioni intrinseche al processo produttivo, possono essere

ridotte solo cambiando il processo medesimo. La carta di controllo, supportando l’analista nel

riconoscimento della causa di variazione, consente di individuare un processo fuori controllo

consentendo di evitare due errori tipici. Il primo consiste nell’interpretare una causa comune di

variazione come una causa straordinaria; in questo caso si potrebbe esercitare un’azione correttiva

eccessiva che può a sua volta aumentare la variabilità del processo. Il secondo è l’errore speculare, e

si commette quando una variazione straordinaria viene trattata come una variazione comune. In

questo caso, si rischia di non intervenire prontamente e adeguatamente per “correggere” il sistema.


25

Le carte di controllo rappresentano uno dei metodi più utilizzati per il controllo statistico di

produzione. Messe a punto negli anni '30 da Walter Shewthard, il loro utilizzo si è rapidamente

diffuso negli Stati Uniti e poi in Giappone già prima della seconda guerra mondiale. Negli anni

successivi alla guerra la loro utilità è stata messa in discussione per il fatto di non fornire alcuno

strumento per la risoluzione dei problemi. Tuttavia ancora oggi le carte di controllo sono lo

strumento principe nel controllo statistico di processo.

Le carte di controllo sono essenzialmente rappresentazioni grafiche di un processo nel tempo

che, basandosi su teorie statistiche, rimangono di facile interpretazione e utilizzo anche per utenti

meno esperti. In letteratura esistono diversi tipi di carte di controllo, la cui forma generale è

riportata in figura.

Figura 7.1

Le tre linee orizzontali continue chiamate linea centrale (CL), limite superiore di controllo

(UCL) e limite inferiore di controllo (LCL) definiscono la tendenza centrale e un range di

variazione naturale per i valori riportati sul grafico. I limiti inferiori e superiori sono calcolati in

base a una distribuzione di frequenza teorica che cambia in funzione del tipo di dati che vengono

analizzati (gaussiana, Poisson, binomiale, …). Tipicamente una carta di controllo stabilisce dei

limiti che si collocano a ± 3 scarti quadratici medi dalla misura statistica di interesse (media,

proporzione, range, ecc.). Quindi in generale per costruire una carta possiamo seguire la seguente

semplice regola (indicando con W una statistica campionaria generica) :

CL = E[W]

UCL = E[W] + 3 (Var[W] ) 1/2

LCL = E[W] – 3 (Var[W]) 1/2


26

Data una distribuzione di frequenza teorica di riferimento, ad esempio la gaussiana,

l’interpretazione dei valori esterni alle linee di controllo inferiore e superiore è simile a quella di un

generico test statistico di ipotesi, indicando come statisticamente significativi i valori che sono fuori

controllo, testimonianza questa di un processo non omogeneo o comunque di un processo che

produce un output sensibilmente diverso da quello di riferimento. Dunque, indipendentemente dal

tipo di carta di controllo utilizzata, la lettura può considerarsi sempre la stessa.

Una volta definiti i limiti di controllo, plottando i dati all’interno del grafico, la carta ci

consente di individuare eventuali andamenti sistematici (pattern) dei valori che rappresentano il

processo nel tempo e di stabilire se ciascun punto cade all’interno o all’esterno dei limiti imposti. In

questo modo si individua immediatamente un processo fuori controllo.

Nella pratica raramente vengono considerate singole osservazioni, il più delle volte i valori

riportati nelle carte di controllo rappresentano a loro volta il risultato di una stima campionaria

(pertanto il singolo valore riportato nella carta di controllo non rappresenta una singola misura, ma,

ad esempio, la media di una serie di misure eseguite campionando vari elementi dallo stesso lotto). I

vari campioni utilizzati (che possono essere più o meno grandi in funzione della produzione presa in

esame) vengono chiamati sottogruppi e si presume che al loro interno presentino la sola variabilità

casuale, mentre le cause speciali di variazione (se presenti) possono determinare solamente la

variabilità fra diversi sottogruppi.

Il grafico 7.2 mostra un tipico esempio di carta di controllo in cui al diciannovesimo periodo

si ha un fuori controllo (un punto fuoriesce dai limiti di controllo), questo è sintomatico di un

processo fuori controllo statistico sulla cui variabilità intervengono cause speciali di variazione.

Figura 7.2

La presenza di tutti i punti della carta all’interno dei limiti di contr ollo è solo una condizione

necessaria ma non sufficiente per poter dire che un processo è in controllo. Si possono individuare

sequenze temporali particolari che evidenziano che qualcosa di anomalo sta intervenendo nel

processo.

ALLARM

UCL

LCL


27

Figura 7.3

Nella carta riportata in figura 7.3 la maggioranza dei punti è collocata al di sotto del limite

centrale, questo induce a pensare ad una anomalia nel processo, dovuta ad esempio ad un operatore

inesperto o ad un difetto di macchina. Situazioni analoghe possono presentarsi anche nel caso in cui

si evidenzia un andamento ciclico dei dati dovuto sicuramente a delle cause ricorrenti (un ambiente

climaticamente non controllato durante le stagioni estreme può essere un esempio di causa) o nel

caso in cui i punti del tracciato tendano a cadere vicino ai due limiti di controllo con assenza di

punti nel centro (si parla di mistura), creando un effetto come quello mostrato in figura 7.5 (questo

evidenzia la presenza di due popolazioni distinte che possono essere, ad esempio, il risultato di due

operatori che settano la macchina in modo diverso all’inizio dei turni).


Un caso ancora più evidente si verifica quando il tracciato dei valori segue un trend di crescita

(o di decrescita) indicando una anomalia di processo dovuta ad esempio all’usura dell’utensile (si

parla di tendenza) , ad una diminuzione dell’abilità dell’operatore o ad un peggioram ento

dell’omogeneità del materiale.

UCL

LCL

UCL

LCL


28

Figura 7.6

L’individuazione di eventuali anomalie nel tracciato di dati di una carta di controllo non è

comunque compito semplice e necessita di esperienza e di una buona conoscenza del processo in

esame. Esistono però delle semplici regole pratiche a supporto del lavoro dell’analista, come il test

delle zone. Questo test è costruito in base al presupposto che la probabilità che una serie successiva

di punti cada, per effetto del caso, in una data zona della carta di controllo sia piccola: ciò consente

di concludere che siamo in presenza di una causa speciale e non di una causa comune di variazione.

Allora un processo è fuori controllo nei seguenti casi:

1) Uno o più punti cadono fuori dei limiti di controllo

2) Nel caso in cui la carta di controllo sia divisa in zone, quando:

a) 2 punti, tra 3 consecutivi, sono nella zona A,

dalla stessa parte rispetto al valor medio

b) 4 punti, tra 5 consecutivi, sono dalla stessa parte

rispetto al valor medio e in zona B

c) Nove punti consecutivi sono dalla stessa parte

rispetto al valor medio

d) Ci sono 6 punti consecutivi crescenti o decrescenti

e) Ci sono 14 punti consecutivi che si alternano su e giù

f) Ci sono 15 punti consecutivi in zona C (sopra e sotto il valor medio)

Una volta riconosciuto il fuori controllo del processo, compito dell’analista è di identificare le

cause straordinarie di variazione. Se questi fattori determinano un peggioramento del prodotto,

l’esperto deve pianificare strategie volte a eliminarl i; se al contrario i fattori straordinari di

variazione occorsi hanno portato a un miglioramento della qualità, il processo deve essere

modificato in modo da incorporarli al suo interno. In questo modo, la causa straordinaria di

variazione del vecchio processo diventa nel processo modificato una causa comune di variazione. I

limiti di controllo andranno modificati (è necessario ricalcolare tutti gli simatori) quando sono state

UCL

LCL

Lim ite d i C o ntro llo S up erio re

Lim ite d i C o ntro llo Inferio re

M ed iaZo na C

Zo na C

Zo na B

Zo na B

Zo na A

Zo na A

+σσ

-σσ

-2σσ

-3σσ

+ 2 σσ

+ 3 σσ


29

trovate e rimosse le cause di fuori controllo, fino a quando il processo non viene cambiato. In

questo caso, nel nuovo calcolo vanno tenuti in considerazione solo i dati del nuovo processo.

Le carte di controllo comunemente utilizzate prendono il nome da Shewhart, il quale per

primo utilizzò i dati a sua disposizione formulando diversi modelli grafici che si differenziano in

base alle caratteristiche stesse dei dati e che sostanzialmente si dividono in due gruppi:

• per variabili (utilizzano delle misure quantitative),

• per attributi (utilizzano delle misure qualitative).

Esistono in letteratura anche altri tipi di Carte di controllo; tra queste, la Carta CuSum (Cumulative

Sum) si dimostra molto utile in diverse occasioni.

7.1 CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI

Quando la rispondenza della caratteristica del prodotto, ottenuto con il processo oggetto del

controllo, è espressa attraverso una misura, allora si dice cha la qualità è espressa per variabili. . E’

questo il caso di misurazioni di grandezze quali: lunghezza, peso, ecc. che hanno, generalmente,

una precisa unità di misura. Ad esempio si consideri di controllare un processo di tempra attraverso

la rilevazione della misura di durezza dei pezzi in uscita. In questi casi vanno utilizzate le cosidette

carte per variabili.

I dati espressi per variabili hanno le seguenti proprietà :

• sono misurabili su una scala numerica tramite unità di lunghezza, diametro, peso,

temperatura, ecc. ;

• sono continui. L’accuratezza della loro misura dipenderà perciò dalla risoluzione dello

strumento di misura ;

• se riferiti alla stessa unità di misura, possono essere confrontati numericamente,

permettendo di ricavare informazioni come media e dispersione.

Tipicamente, le carte di controllo per dati quantitativi vengono sviluppate in coppia: una ha lo

scopo di monitorare la variabilità del processo (carta X ) e l’altra riguarda la media del processo

(carta R o carta S). Perché un processo possa essere considerato sotto controllo è necessario che

entrambe le carte non presentino valori esterni ai limiti di controllo. La combinazione delle carte di

controllo aumenta la possibilità di individuare un processo fuori controllo e, rispetto alla carta

singola, fornisce una maggiore quantità di informazioni utili per eliminare le cause speciali di


30

variazione. La letteratura ha sviluppato diversi tipi di carte per dati quantitativi; fra queste si è

scelto di presentare le carte più tipiche, per lo studio del range (o escursione) e della media del

processo.

In funzione della numerosità del campione e delle misure effettuate vengono definite le

seguenti carte di controllo:

Statistica Carta di controllo

Media e escursione carta X e R

Media e deviazione standard carta X e S

Media e variazione mobile carta Moving Range

CARTA DELL’ESCURSIONE E CARTA DELLA MEDIA (CARTA X – R)

Le Carte X medio e le Carte R sono le più utilizzate nel controllo e nell'analisi delle variabili

di un processo. Le misurazioni inerenti ad una specifica caratteristica del processo sono raccolte in

sottogruppi di limitate dimensioni (n ≤ 10), generalmente da due a sei per ogni campione.

La carta di controllo sul range del processo (dove per range si intende Ri = max(xj) - min(xj)

per j=1,…,n relativo al sottogruppo i-esimo di numerosità n) permette di effettuare un’analisi

preliminare delle cause di variabilità: la presenza di valori esterni ai limiti di controllo in questa

carta segnala l’esistenza di fonti straordinarie di variabilità, le quali devono essere identificate ed

eliminate prima di continuare nell’analisi. Per costruire i limiti di controllo intorno al range occorre

stimare il range medio ( E[R] ) e lo scarto quadratico medio del range (σ R). Un fuori controllo

rilevato dalla carta del range corrisponderà necessariamente ad un processo fuori controllo anche

per la carta della media, mentre il viceversa non necessariamente si verifica.

La carta di controllo per la media del processo (Carta X ), necessaria alla valutazione del

processo dal punto di vista della media, è costruita sulla base di k sottogruppi (ciascuno per ogni

istante temporale), ognuno composto da n unità. Per calcolare i limiti di controllo della media, è

necessario determinare la media delle medie relative ai sottogruppi (che indicheremo con ) per la

stima della media del processo ( µ ) ed effettuare la stima della deviazione standard del processo

(σ )


31

Vediamo però più in dettaglio come si costruiscono le carte di controllo della media e

dell’escursione per un processo produttivo; in pratica vediamo quali sono le formule che ci

consentono di calcolare i limiti di controllo nei due diversi casi.

Si supponga che una determinata caratteristica dell’output del processo produttivo a bbia

media •µ e deviazione standard σ note entrambe. Come noto la media di un campione di

dimensione n, n

xx i∑= , è uno stimatore della media della popolazione ed è distribuita

normalmente con media µ e deviazione standard σ / n . In questo caso i limiti di controllo per la

carta della media sono:

CL = µ

UCL = µ •+ 3•σ / n

LCL = µ •- 3•σ / n

L’aver fissato i limiti a 3 volte la deviazione standard corrisponde ad assumere un rischio di prima

specie α = 0,0013. Ciò vuol dire che i campioni la cui variabilità rientra nella normale variabilità

del processo produttivo dovrebbero restare all’interno dei limiti di tolleranza, mentre dovrebbero

uscire quei campioni la cui variabilità è dovuta ad una causa di deriva del processo.

Il problema è che nei casi reali non sono noti né la media né la varianza del processo

produttivo. In tal caso, per costruire la carta della media, occorre una stima della deviazione

standard (la stima di quest’ultima, a causa della piccola numerosità del campi one, non può essere

ottenuta con la stima della d.s. dei dati) e della media del processo produttivo.

A tal proposito può essere utilizzata l’escursione relativa

W = R / σ

per la quale, media e deviazione standard sono dati da E(W) = d2, D(W) = d3 (i valori d2 e d3

dipendono solo da n e sono tabulati).

In questo modo la deviazione standard del processo σ viene stimata come:

σ = σ R / d2 ⇒ σ̂ = R / d2 ( come stimatore di E[R] utilizziamo R )

Mentre lo stimatore della media sarà ricavato come:

k

xX

k

ii∑

== 1

Si hanno quindi i seguenti limiti di controllo per la carta della media :


32

UCL = X + 3 R / (d2 n ) = X + A R

CL = X

LCL = X - 3 R / (d2 n ) = X - A R

dove A è un parametro dipendente dalla numerosità di ciascun sottogruppo ottenibile con l’ausilio

di apposite tabelle del tipo di quella riportata in seguito. Mentre con R si indica la media degli Ri di

ciascun sottogruppo.

Analogo discorso va fatto per la determinazione dei limiti di controllo della carta R. La carta

di controllo teorica a 3 sigma per R ha i limiti teorici E(R) ± 3σ R.

Il valore stimato della deviazione standard del range σ R sarà:

R = σ • W ⇒ σ R = σ d3

23ˆ

dR

dR =σ

mentre la stima di E(R) è ottenuta, come accennato, dalla media campionaria delle escursioni :

k

RR

k

ii∑

== 1

Per cui i limiti di controllo della carta del range saranno: UCL = R (1 + 3 d3/d2) = B R CL = R LCL = R (1 - 3 d3/d2) = C R

anche in questo caso B e C sono dei parametri, introdotti per semplicità, dipendenti dalla

numerosità dei sottogruppi, riportati in apposite tabelle. La tabella 7.1 contiene i valori dei

parametri A,B,C utilizzati nella costruzione delle carte R ed X


33

Tabella 7.1 ESEMPIO : costruzione carta R e carta X Si richiede di porre sotto controllo statistico un processo automatico per la produzione di imbuti

cilindrici. In particolare occorre controllare il diametro interno degli imbuti. A tal fine, si decide di

estrarre 25 campioni o sottogruppi di numerosità 5 ciascuno ad intervalli regolari di una settimana :

k = 25 n = 5

E’ evidente come sia necessario utilizzare

una carta di controllo per variabili in

quanto la rispondenza della caratteristica

del prodotto è espressa attraverso una

misura (diametro interno degli imbuti). I

dati ottenuti per ciascun campione sono

mostrati nella tabella 7.2, che oltre ai dati

riporta la media ( x ) e il range ( Ri )

calcolati per ciascun campione.

Tabella 7.2

N° elementi

A

C

B

1 2,660 0,000 3,267

2 1,880 0,000 3,267

3 1,023 0,000 2,575

4 0,729 0,000 2,282

5 0,577 0,000 2,115

6 0,483 0,000 2,004

7 0,419 0,076 1,924

8 0,373 0,136 1,864

9 0,337 0,184 1,816

10 0,308 0,223 1,777


34

Si calcolano i valori di X e R ottenendo rispettivamente: X = 74,0014 R = 0,2268 Poiché la numerosità di ciascun sottogruppo è n = 5, dalla tabella 7.1 si evince come i valori dei

parametri A,B,C siano rispettivamente :

A = 0,577 B = 2,115 C = 0

Si procede quindi alla valutazione della variabilità del processo tramite la costruzione della carta R

(riportata in figura 7.7), ottenuta plottando i dati del range nella colonna verde, i cui limiti sono:

UCL = 0,0479 CL = 0,02268 LCL = 0

e al monitoraggio della media del processo con la costruzione della carta X (riportata in figura

7.8), ottenuta invece riportando sulla carta i dati delle medie in colonna gialla, i cui limiti sono:

UCL = 74,014 CL = 74,001 LCL = 73,988

Figura 7.7

Figura 7.8 La carta dell’escursione mostra un allarme, cioè un punto fuori dai limiti di controllo, relativo al

sottogruppo 14. Come era facile attendersi anche la carta della media mostra un fuori controllo in


35

corrispondenza del campione 1. A seguito dell’allarme rilevato si analizza quanto accaduto nella

settimana in cui è stato estratto il campione 14 e si evidenzia una causa speciale di variazione che

viene prontamente rimossa.

Al fine di procedere alla nuova costruzione delle carte di controllo, si rianalizzano i dati avendo

cura di rimuovere quelli relativi al campione 14 (k diviene pari a 24). I dati sono riportati nella

nuova tabella 7.3 in base alla quale i nuovi valori di X e R sono pari a :

X = 74,0019

R = 0,0215

Tabella 7.2 Alla luce dei nuovi valori di X e R i limiti di controllo della carta R sono: UCL = 0,0456 CL = 0,2154 LCL = 0

mentre i nuovi limiti della carta X della media sono:

UCL = 74,014 CL = 74,0019 LCL = 73,988

Figura 7.9


36

Figura 7.10

Le nuove carte, come è facile notare, non evidenziano alcun allarme per quanto concerne la

variabilità del processo produttivo (la carta dell’escursione non presenta punti al di fuori dei limiti)

mentre la carta della media denuncia un fuori controllo sul primo sottogruppo. Al fine di avere un

processo in controllo statistico anche per quanto riguarda la carta della media si analizza quanto

accaduto nella settimana in cui è stato estratto il campione 1 e si individua la causa speciale di

variazione che viene prontamente rimossa.

CARTA DELLA DEVIAZIONE STANDARD E CARTA DELLA MEDIA (CARTA X – S)

Quando il numero n dei componenti i sottogruppi è maggiore di 10 alla Carta R si preferisce

generalmente la Carta S : il range R infatti, calcola la variabilità di un campione semplicemente

come la differenza tra il campione di valore più alto e quello di valore più basso. Quando il numero

dei campioni diventa alto questo tipo di stima risulta impreciso, e si deve ricorrere al calcolo della

deviazione standard S. La deviazione standard è un indice che tiene conto di quanto i valori che

costituiscono una certa popolazione o campione differiscono dal valore medio.

Anche le carte X - medio e le carte s sono usate in congiunzione. Lo scarto campionario S è

un indicatore molto efficiente della variabilità di un processo, specialmente per campioni di grandi

dimensioni, ma è meno facile da calcolare e meno sensibile alle cause speciali di variabilità che

determinano l'anomalia di un unico valore in un campione ; il range, infatti, definito come la

differenza tra il valore massimo e il minimo dei valori all’interno di un campione, mette bene in

evidenza valori che si allontanano eccessivamente dagli altri.

Se consideriamo ciascun sottogruppo, per il calcolo della deviazione standard si preferisce

utilizzare una forma del tipo:

( )

−

−= ∑

=

n

iii xx

nS

1

2

11


37

Esistono poi due importanti relazioni che saranno utili per il calcolo dei limiti di controllo della

carta S;

[ ] ( )( )( ) σσ ⋅=

−ΓΓ

−= 42/1

2/1

2c

nn

nSE ( )2

41 cs −⋅= σσ

La prima relazione indica che il valor medio E[S] della deviazione standard S dei campioni è

proporzionale alla deviazione standard σ della popolazione tramite il parametro c4, che dipende

dalla numerosità dei campioni n ed è tabulato. La seconda relazione pone invece in relazione la

deviazione standard σ •S delle deviazioni standard dei campioni, con quella della popolazione σ •

Alla luce di queste ultime considerazioni è facile ricavare i limiti di controllo delle carte X -S.

Infatti i limiti della carta S a tre sigma, in via teorica hanno la forma :

E[S] ± 3σ S

Siano,allora, S1, S2, . . . , Sk gli scarti quadratici medi calcolati sui k campioni di ampiezza n. Come

stima di E(S) utilizziamo la media campionaria delle Si

k

SS

k

ii∑

== 1

e come stima di σ S utilizziamo (data la stima della deviazione standard del processo 4/ˆ cS=σ ):

( ) 244 1/ˆ ccSS −⋅=σ

I limiti di controllo a tre sigma per la carta S sono allora:

UCL = ( ) 244 1/3 ccSS −⋅⋅+ = B2 S

CL = S

LCL = ( ) 244 1/3 ccSS −⋅⋅− = C2 S


38

dove B2 e C2 sono sempre valori tabellati in funzione della numerosità del sottogruppo.

I limiti della carta di controllo della media, in base alla nuova stima di σ •S attraverso la deviazione

campionaria S, diventano:

UCL = ( )ncSX ⋅⋅+ 4/3 = X + A2 S

CL = X

LCL = ( )ncSX ⋅⋅− 4/3 = X - A2 S

anche A2 è un parametro opportunamente tabellato in funzione di n.

Le regole di costruzione e di interpretazione della carta X medio - S sono le stesse della carta

X medio - R.

CARTE PER MISURE SINGOLE

A differenza delle Carte precedenti che raggruppano e valutano campioni di dati composti da

diversi individui, le Carte per misure singole (spesso indicate col nome di Carte per gli Individui),

sono caratterizzate dall'analisi di quantità individuali di misure. Ogni sottogruppo è cioè composto

di un unico elemento, situazione tipica di produzioni per le quali:

• il processo lavora con cadenza troppo lenta

• la misurazione da effettuare su un’unità ne comporta la distruzione

• la produzione avviene in lotti all’interno dei quali la variabilità è praticamente nulla per cui sono

inutili misure ripetute

• su ciascun pezzo è impostata un’ispezione automatica

Un campione unitario non fornisce nessuna stima per µ quindi non possiamo utilizzare le carte X ,

R e S. Ecco allora la necessità di introdurre un nuovo tipo di carta di controllo.

Per una Carta individuale l’indice di dispersone viene calcolato utilizzando l’ escursione mobile

(moving range), definita come il valore assoluto della differenza tra due osservazioni successive

MRi = ii xx −+1 dove xi+1 è la misura presente e xi è la misura precedente.


39

Ovviamente se i campioni sono k il numero dei moving range è k -1 (MR1 non esiste).

Per la compilazione di questo tipo di carta si seguono considerazioni analoghe a quelle fatte

per la carta R e la carta X , tenendo conto che, nella determinazione dei diversi parametri statistici,

al posto della semplice escursione Ri va utilizzato il valore calcolato di MRi. Per cui lo stimatore

della E[R] è ricavato come:

1

1

1

−=

∑−

=

k

MRMR

k

ii

Utilizzando i valori B e C per n = 2 della carta R si ottiene la carta di controllo per le escursioni

campionarie per le osservazioni singole, i cui limiti sono:

UCL = B MR = 3,267 MR

CL = MR

LCL = C MR = 0

Mentre i limiti per la carta di controllo per la media, osservato che lo stimatore della deviazione

standard è dato da 2

ˆdMR=σ (con d2 che vale 1,128) , sono:

UCL = x + 3 ( )2/ dMR = x + 2,66 MR

CL = x

LCL = x - 3 ( )2/ dMR = x - 2,66 MR

Poiché gli k-1 moving range sono correlati tra loro, si dovrà fare particolare attenzione ai

calcoli e all’interpretazione della carta ed inoltre l’utilizzo di una carta Moving Range deve essere

sempre accompagnato da uno studio della distribuzione di probabilità dei campioni, per valutare che

sia di tipo gaussiano. Non calcolando medie, infatti, il Teorema del Limite Centrale non è

applicabile, a differenza delle carte precedenti.


40

ESEMPIO : costruzione carte di controllo per misure singole Consideriamo una azienda manifatturiera produttrice di bulloni. Il magement decide di effettuare un

monitoraggio della media e della varianza del processo. L’azienda dispone, in uscita dalla catena di

montaggio, un meccanismo di ispezione automatica di ciascuno dei pezzi prodotti. Il monitoraggio

viene condotto sulla misura del diametro esterno dei pezzi in uscita. I dati a disposizione degli

addetti al controllo sono riportati nella seguente tabella, in cui sono riportati i diametri interni dei

primi 15 bulloni in uscita dal processo.

K = 15 n = 1

Tabella 7.3 Per la costruzione della carta di controllo del range è necessario il calcolo del moving range, come

valore assoluto delle differenze tra due osservazioni successive. Nella tabella 7.3 sono riportati i 14

(15-1) valori del moving range, in colonna arancione.

Alla luce dei dati ottenuti è stato possibile determinare i valori di MR e di x : MR = 0,4429 x = 10,02 Per cui i limiti di controllo della carta del range saranno: UCL = 1,4469 CL = 0,4429 LCL = 0 mentre i limiti della carta della media saranno del tipo: UCL = 11,198 CL = 10,02 LCL = 8,842 Le carte di controllo con i seguenti limiti sono costruite nelle figure seguenti. Per la carta del range

vengono plottati i valori in colonna arancione (relativi ai MR) mentre nella carta della media sono

riportati i dati relativi alla colonna in grigio (le singole misure).


41

Figura 7.11

Figura 7.12 Le carte non evidenziano alcun allarme sia per quanto concerne la variabilità del processo

produttivo che per quanto riguarda la media. Il processo può essere ritenuto in controllo statistico.

7.2 CARTE DI CONTROLLO PER ATTRIBUTI

Quando la qualità di un processo produttivo è espressa da una variabile binaria che esprime la

conformità o la non conformità del prodotto alle specifiche progettuali, le carte per variabili sono

sostituite dalle carte per attributi.

Ad esempio, si consideri di controllare il diametro di un pezzo cilindrico in uscita da un

processo di tornitura attraverso un calibro passa- non passa; quando il pezzo passa attraverso il

calibro esso è conforme, altrimenti non lo è.

I dati attributi vengono espressi come variabili di tipo dicotomico conformi/non conformi ma

anche come variabili classificate per non conformità. La non conformità è relativa ad un particolare

attributo dell'oggetto prodotto, che non e' conforme alle specifiche, mentre un pezzo è non

conforme in riferimento alle sue proprietà complessive.


42

Un pezzo non conforme potrà dunque essere caratterizzato da una o più non conformità.

Le carte di controllo per attributi sono quelle per:

• frazioni di non conformi carta p

• numero di non conformi carta np

• numero di non conformità carta c

• numero di non conformità per unità carta u

CARTA P

Queste sono le carte per attributi più diffuse ed utilizzate. Sono infatti impiegate per

monitorare la qualità di un processo produttivo attraverso la determinazione della frazione

(proporzione) di pezzi rigettati come non conformi. Tale frazione è definita come il rapporto tra il

numero di pezzi trovati non conformi e il numero totale di pezzi costituenti la popolazione.

In questo caso la misura della qualità X sul singolo prodotto si limita ad una classificazione

del tipo: pezzo conforme, pezzo non conforme (o pezzo difettoso). La v.c. X può assumere solo due

modalità o valori che possiamo codificare come:

X=1 non conformità del prodotto

X=0 conformità del prodotto

La distribuzione adatta a rappresentare questo tipo di popolazione è la Bernoulliana, che ha

funzione di massa di probabilità:

p(x)= px (1-p)1-x

dove p = P(X=1) è la probabilità che il processo produca un pezzo non conforme. Da notare che

E(X) = p

Var(X) = p(1-p);


43

sia la media sia la varianza sono funzioni del parametro p.

In questo caso il monitoraggio attraverso la carta ha lo scopo di tenere sotto controllo il valore di p;

poiché V(X)=p(1–p), accade che tenendo basso p si tiene bassa sia la media sia la varianza del

processo.

Anche in questo caso il sistema di monitoraggio opera mediante l’estrazione di k sottogruppi

estratti dal processo produttivo, ciascuno di dimensione n, sui quali viene stimata la proporzione di

pezzi non conformi

nx

p i=ˆ

essendo xi il numero di pezzi non conformi nel campione;ciascun ip̂ verrà plottato sulla carta di

controllo.

In generale, è necessario usare dimensioni campionarie abbastanza elevate, infatti gran parte dei

processi produttivi ha una proporzione p di pezzi non conformi molto bassa (p<0.05) e, quindi, se

scegliessimo ad esempio n=5 molti campioni non conterrebbero alcuna unità non conforme.

Per l’individuazione dei limiti di cont rollo si usa generalmente l’approssimazione normale

della v.c. Binomiale, per il teorema del limite centrale (questo procedimento è giustificato dal fatto

che n assume valori abbastanza alti). Quindi p̂ è distribuita approssimativamente come una

gaussiana

( )

−≈

npp

pNp1

,ˆ

Si possono allora valutare i limiti di controllo indicando, comunque, una distinsione tra il caso in

cui il livello di difettosità del processo p è noto, perché un valore standard o in quanto definito dal

management, dal caso in cui occorre una stima di p.

Quando p è noto i limiti saranno del tipo:

UCL = ( )( ) nppp /13 −⋅+ CL = p LCL = ( )( ) nppp /13 −⋅−

mentre per un livello di difettosità del processo p incognito si adotta una stima del tipo:


44

k

pp

k

ii∑

== 1

ˆ

ed i limiti assumeranno la forma

UCL = ( )( ) nppp /13 −⋅+

CL = p

LCL = ( )( ) nppp /13 −⋅−

E’ interessante notare che, in conseguenza del basso valore di p, una numerosità troppo ridotta

può determinare LCL<0. Un valore negativo per il limite di controllo inferiore non è assolutamente

informativo, in quanto la proporzione di pezzi non conformi su ogni campione è, al minimo, 0. Se

vogliamo LCL>0 allora dovrà essere :

( )( ) nppp /13 −⋅− ⇒ n>9(1–p)/p. (ad esempio, con p=0.05 si avrà n=171)

Si potrà obiettare che, il monitoraggio di p ha lo scopo di individuare eventuali shift verso

l’alto (aumento della probabilità di produrre pezzi non co nformi e quindi peggioramento della

qualità) e che il limite LCL abbia, in pratica, poca importanza. In realtà è utile verificare anche la

presenza di eventuali shift verso il basso quali risultato di miglioramenti operati sul processo

produttivo

Spesso capita che la dimensione dei sottogruppi estratti dal processo sia diversa. In tal caso la

costruzione della carta p si basa sulla determinazione di un valore medio di n (da sostituire ad n

nella formula dei limiti di controllo), calcolato come segue:

k

nn

k

ii∑

== 1

ed utilizzando come stima di p:

∑∑==

=k

ii

k

ii nxp

11

/

ESEMPIO : costruzione carta di controllo p


45

Un’azienda manifatturiera vuole sottoporre a controllo statistico di qualità il processo di produzione

di un cuscinetto metallico. Il management dell’azienda decide di monitorare un campione, di

numerosità variabile, di prodotti per un periodo di 32 giorni, valutando per ciascun cuscinetto la

presenza o meno di oggetti difettosi. Ciascun cuscinetto è definito non conforme nel momento in

cui presenta almeno un difetto relativo alle caratteristiche che ne definiscono le specifiche di

qualità.

k = 32

Nella Tabella 7… sono riportati i numeri e le proporzioni di cuscinetti “non conformi” rilevati per

ciascuno dei 28 giorni considerati.

Tabella 7.4 E’ evidente come per questo tipo di dati il monitoraggio del processo deve essere condotto

attraverso la stesura di una carta p per la frazione di non conformi.

Inoltre poiché la dimensione di ciascun sottogruppo è variabile sarà necessaria la valutazione di un

valore medio della numerosità n.

Il valore dell’n medio in questione sarà:

n = 19926/32 =622,69

Il livello di difettosità del processo è incognito e quindi va stimato con il calcolo di p che in questo

caso vale:

p = 666/19926 = 0,0334 Per cui i limiti di controllo della carta p di monitoraggio del processo in questione, avrà i seguenti

limiti di controllo:


46

UCL= ( )( ) 69,622/0334,010334,030334,0 −⋅⋅+ = 0,055

CL= 0334,0

LCL= ( )( ) 69,622/0334,010334,030334,0 −⋅⋅− = 0,0118

Plottando sulla carta p, con i seguenti limiti, i valori delle proporzioni segnati nella colonna in

verde, otteniamo:

Figura 7.13 Osserviamo che la carta descrive un sistema in stato di controllo statistico (nessun valore esterno ai

limiti di controllo) e non evidenzia nessun andamento sistematico delle osservazioni, le quali

sembrano oscillare casualmente intorno alla media p . In questo caso, come si è visto, non serve

agire sui singoli valori: se le oscillazioni sembrano comunque eccessive, il management dovrà

intervenire sull’intero processo modificandolo radicalmente.

CARTA NP

Invece che costruire la carta per la frazione di non conformi p possiamo costruire direttamente

la carta per il numero di non conformità. Infatti se p è la frazione di pezzi non conformi, np

rappresenta il numero di pezzi non conformi.

L’utilizzo della carta del numero di difettosi è indicata quando la numerosità di ciascun

sottogruppo estratto dal processo è costante.

Si rammenta che utilizzando il numero di eventi e non la frequenza (come nel caso

precedente) il valore della media e della varianza in una distribuzione binomiale sono pari

rispettivamente a np ed a np(1-p).


47

Pertanto i parametri della CC, nel caso sia richiesta la stima della difettosità del processo,

sono:

UCL = ( )ppnpn −⋅⋅+ 13

CL = pn

LCL = ( )ppnpn −⋅⋅− 13

Da questa carta di controllo, quando utilizzabile, si ottengono informazioni simili a quelle

ottenibili con la carta p.

ESEMPIO : costruzione carta di controllo np

Consideriamo sempre il caso di un’azienda manifatturiera questa volta dedicata alla produzione di

pezzi metallici. Il monitoraggio del processo viene questa volta condotto mediante una carta np per

numero di pezzi difettosi.

Consideriamo la tabella 7.5 in cui sono riportati i dati necessari all’analisi.

Tabella 7.5

Poiché abbiamo che la numerosità totale dei prodotti campionati è:

N= 10000 ed il numero di sottogruppi e di pezzi che li compongono sono: k=10


48

n=1000

i valori del parametro p e di conseguenza di pn saranno:

( )nkxpk

ii ⋅= ∑

=

/1

= 78/10000 = 0,078

pn = 7,8

Per cui i limiti di controllo della carta di controllo saranno:

UCL = 15,845 CL = 7,8 LCL = -0,245 ⇒ LCL = 0

(il limite di controllo inferiore è stato annullato per le stesse considerazioni fatte per la carta p)

Riportando i dati in colonna arancione relativi al numero di pezzi difettosi, la carta di controllo

assumerà il seguente aspetto :

Figura 7.14 La carta evidenzia un processo in controllo statistico, visto che nessun punto oltrepassa i limiti. CARTA C

In determinate circostanze, la misura di qualità consiste, non nel monitoraggio di prodotti non

conformi in output dal processo, ma nella enumerazione dei difetti (non conformità) presenti sul

prodotto. Questo può esser il caso di prodotti complessi come un’automobile dove è importante la

valutazione di diverse difformità per causare la classificazione del prodotto come non conforme.


49

In tal caso, la misura di qualità X può assumere tutti i valori interi 0,1,2,…,T dove T è il

massimo numero di difetti che il prodotto può possedere. Sotto certe condizioni (la probabilità di

presentarsi di un difetto non dipende dal presentarsi o meno di nessuno degli altri difetti; ogni

difetto ha la stessa importanza, ai fini della valutazione della qualità del prodotto) la X può essere

adeguatamente descritta da un processo di tipo Poisson, con funzione di massa di probabilità:

0,!

)( >=−

cxec

xpcx

per cui si scriverà: X~Poisson(c).

Si ricorda che, per la distribuzione Poisson, vale E(X)=Var(X)=c, e quindi c indica il numero

atteso di difetti presenti sul prodotto ma è anche una misura di variabilità.

Per l’individuazione dei limiti di controllo si usa generalmente l’approssimazione della della

Poisson alla Gaussiana N(c, c). Questo procedimento richiede una numerosità n adeguata.

Quindi noto il numero medio di difetti prodotti dal processo oggetto di analisi (perché

indicato dal management) o stimato attraverso il calcolo di:

k

cc

k

ii∑

== 1 essendo ci il numero di difetti nell’unità i

i limiti di controllo della carta c a tre sigma saranno del tipo:

UCL = cc ⋅+ 3

CL = c

LCL = cc ⋅− 3

Attraverso questi limiti di controllo è quindi possibile effettuare il monitoraggio dei difetti presenti

per ciascun prodotto, in modo da stabilire se il processo è in controllo o meno.

ESEMPIO : costruzione carta di controllo c


50

Consideriamo una società rivolta all’assembla ggio di moto. Uno dei processi è quello di spruzzare

le moto con una verniciatura finale. Recentemente si sono avuti però dei problemi con i clienti che

protestano su difetti della verniciatura del modello 700D.

Il management del reparto verniciatura, ha deciso di registrare dati sul numero di difetti riscontrati

sulle moto per monitorare e migliorare il processo di verniciatura. Sono stati registrati i dati presenti

nella tabella 7.6, così come le moto uscivano dal processo di verniciatura.

k = 40

Tabella 7.6

Per il monitoraggio del processo utilizziamo una carta di controllo c per numero di difetti, come è

chiaro capire dal tipo di dati a disposizione.

Il valore stimato del numero medio di difetti prodotti dal processo sarà:

c = 448/40 = 11,2

ed i limiti della carta allora saranno: UCL = 21,23 CL = 11,2 LCL= 1,16 Plottando i dati relativi al numero di difetti per ciascuna moto all’interno dei seguenti limiti si

ottiene un processo in controllo statistico come indicato nella figura 7.15:

Figura 7.15


51

CARTA U

Questo tipo di carta di controllo per attributi è sostanzialmente analoga alla carta c presentata

in precedenza, anche se si basa sul calcolo del numero medio di non conformità per unità di

riferimento. Se vengono rilevate c difformità in n unità di riferimento di un sottogruppo, avremo

che il numero medio di tali difformità per unità di riferimento è:

u =c/n

Anche u la assumiamo distribuita secondo una una v.c. Poisson (n u ). Da questo si ricava che

la media di difetti su un campione di numerosità n ha valore atteso u e varianza u /n. La media

campionaria è anche in questo caso la statistica test.

Infatti il valore stimato del parametro della distribuzione di poisson è:

k

uu

k

ii∑

== 1

I limiti di controllo a tre sigma, operando sempre una approssimazione della distribuzione ad una

normale, saranno allora:

UCL = nuu /3+ CL =u

LCL = nuu /3−

Il monitoraggio per questa carta di controllo avviene quindi monitorando i diversi valori del

numero medio di difetti per campione (ui), in relazione ai predetti limiti.

ESEMPIO : costruzione carta di controllo u Un’azienda manifatturiera vuole sottoporre al controllo statistico di

qualità un certo prodotto.

Viene rilevato il numero di elementi difettosi di un campione composto

da 15 lotti, ognuno dei quali è formato da 50 elementi del prodotto in

esame.

I dati sono riportati in tabella 7.7

k=15 n=50 Tabella 7.7


52

Per costruire la carta di controllo u sarà quindi necessario in primis calcolare per ciascun lotto il

numero medio di difformità ui .I valori ottenuti sono riportati nella tabella 7.8

Tabella 7.8 Il valore medio delle ui allora sarà pari a: u = 0,2226 e la carta di controllo allora avrà i seguenti limiti di controllo:

UCL = 0,4228 CL =0,2226 LCL =0,02247

Allora la carta di controllo del processo che si ottiene riportando i dati nella colonna gialla

all’interno dei limiti prefissati sarà :

Figura 7.16 Osserviamo che il processo non è perfettamente sotto controllo, poiché, in corrispondenza del lotto

15, il valore eccede il limite superiore di controllo. Compito del management in questo caso sarà

quello di indagare le cause di variazione straordinaria che hanno determinato il “fuori controllo” del


53

sistema e introdurre delle azioni correttive per modificare i risultati nel caso che la causa

straordinaria di variazione si verifichi un’altra volta.

7.3 CARTE DI CONTROLLO CUSUM

Nel caso di monitoraggio del processo attraverso le carte di controllo, la carta CUSUM

(CUmulative SUM) è un’efficace alternativa alla carta di controllo di Shewhart, analizzate fin ora,

per individuare piccoli shift nei parametri.

Nel monitoraggio della media, per esempio, a causa della ridotta dimensione campionaria,

può accadere che la carta della media X non riesca ad individuare piccoli shift del valore della

media. Valori bassi di n comportano, infatti, intervalli di accettazione più ampi e, di conseguenza,

una maggiore probabilità di accettare l’ipotesi nulla quando è falsa . La carta CUSUM risolve questo

problema in quanto incorpora tutta l’informazione della sequenza dei campioni estratti. Questo tipo

di carta di controllo può trovare utile impiego nei casi in cui n assume valori bassi (anche n=1).

Le carte Shewart, infatti, utilizzano le informazioni solo dell’ultimo campione osservato;

all’istante t non tengono conto dell’informazione contenuta nelle osservazioni effettuate agli istanti

t - 1, t - 2, . . . Le carte CUSUM si basano, invece, sull’idea di sommare gli scostamenti (positivi o

negativi) dal valore centrale e quindi risultano più sensibili ad un aumento o ad una diminuzione

della caratteristica che si sta monitorando.

Con riferimento al monitoraggio della media, la più semplice forma di carta CUSUM è quella

basata sulla grandezza iS . Questa per una determinata serie di osservazioni x1,x2,, …, xi è definita

come:

∑=

−=i

lli xS

10 )( µ

nella quale µ0 rappresenta il parametro del processo sotto controllo. Ogni valore della iS viene

riportato sulla carta di controllo in corrispondenza del campione i-esimo.

Si può facilmente osservare che E(Si)=0 e quindi, se il processo rimane sotto controllo, Si

fluttuerà casualmente intorno allo 0. Se c’è uno shift verso l’alto (µ>µ0) Si presenterà un trend

verso l’alto.

Nel caso di piccoli spostamenti della media, questi vengono ad essere cumulati e quindi

evidenziati nel grafico del CUSUM. Al contrario, un forte shift può non essere immediatamente

riconosciuto perché, proprio a causa della sommatoria estesa alla sequenza dei campioni, accade

che tale variazione può rimanere nascosta dai dati dei campioni precedenti. Quindi, per individuare

forti shift è preferibile la carta di controllo di Shewhart.


54

Il grafico 7.17 rappresenta un tipico esempio di carta CUSUM per la media in cui è

evidenziato un trend di crescita dei dati, sintomatico di una deriva del processo dai suoi standard.

Campioni

Si (

Dia

met

ro)

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 5 10 15 20 25 30

Figura 7.17

Per verificare se i dati rappresentati su una carta CUSUM sono sotto controllo, a volte, si utilizza

una procedura grafica proposta da Barnard nel 1959 conosciuta come maschera a ‘V’. Il suo nome

deriva dalla sua particolare forma a V e viene adoperata sovrapponendola alla classica carta

CUSUM. La Fig. 7.18 mostra un diagramma della maschera a V.

Figura 7.18

Il punto di origine della maschera a V è posto in corrispondenza dell’ultimo punto del

tracciato delle somme cumulate ed il vertice che unisce i due rami è collocato ad una distanza d da

l’origine. I l imiti di controllo sono definiti dalla lunghezza di d e dall’angolo è, che possono essere


55

scelti in modo che la maschera offra la stessa probabilità statistica di controllo dei limiti di

intervento/guardia tradizionali, conferendo al grafico di CUSUM una corrispondenza con la carta

Shewhart.

I limiti della maschera a V possono essere definiti anche mediante l’ausilio di altri due

parametri: h e k (vedere figura 7…)

I dati sulla carta CUSUM vengono esaminati appoggiando la maschera sui dati, con

l’estremità sinistra del segmento di lunghezza d allineata di volta in volta a ciascun punto. La linea

d è sempre mantenuta parallela all’asse x. Se i punti corrispondenti ai dati precedenti rientrano nei

bracci della maschera, il sistema è sotto controllo. Quando essi cadono esternamente ai bracci della

maschera, il sistema è fuori controllo. La Fig. 7.19 illustra l’uso di una maschera a V, posizionata su

due posizioni diverse, su dati CUSUM soggetti a deriva. Al punto A della Figura 7.19 tutti i dati

precedenti rientrano visibilmente nei bracci della maschera ed il sistema è sotto controllo, mentre al

punto B alcuni i dati precedenti si trovano al di sotto del braccio inferiore della maschera, indicando

che il sistema è fuori controllo.

Campioni

Si (

Dia

met

ro)

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 5 10 15 20 25 30

Figura 7.19

Pertanto, i limiti di controllo possono essere definiti dalla lunghezza di h e di k, e devono

quindi essere scelti con attenzione. In linea teorica possiamo definire delle formule che permettono

il calcolo dei due coefficienti, appena menzionati, sulla base della conoscenza dei valori di α •(errore

di primo tipo) , di β (errore di secondo tipo) e di δ (l’ammontare dello shift dalla media del processo

che vogliamo investigare):

A

B


56

Se ad esempio scegliessimo un α = 0,0027 (equivalente al criterio del ± 3σ usato per le carte di

Shewhart ), un β =0,01 e decidiamo di voler investigare uno schift dalla media di 1, cioè •• otterremo

un k=0,5 ed un h compreso all’incirca tra 2 e 3.


57

8. ANALISI DELLA CAPACITA’ DI PROCESSO

Le carte di controllo, viste in precedenza, sono un potente mezzo per mantenere un processo

sotto controllo statistico, indicando le azioni correttive che devono essere intraprese al fine di

eliminare le cause di variabilità indesiderata, le cause speciali di variazione. Le carte di controllo

non tengono conto, però, delle specifiche a cui il processo deve attenersi, come ad esempio le

tolleranze di lavorazione o altre caratteristiche richieste al prodotto in output al processo. Il loro

utilizzo non è dunque sufficiente a comprendere la reale capacità di un processo, né come questo

può essere migliorato.

Si è già detto come nell’attuale scenario economico è il c liente a stabilire la qualità di un

servizio o di un prodotto. Il management di un’azienda deve prestare ascolto al cliente per poterne

tradurre i bisogni e le aspettative in caratteristiche facilmente misurabili. Il management determina

poi i limiti della specificazione di queste caratteristiche. I limiti di specificazione rappresentano,

dunque, le specificazioni tecniche che il management fissa in risposta ai bisogni e alle aspettative

dei consumatori. Il limite di specificazione superiore (USL) è il più grande dei valori che una

caratteristica, oggetto di analisi, può assumere conformemente alle aspettative del consumatore. Il

limite di specificazione inferiore (LSL) è il più piccolo dei valori che una caratteristica di interesse

può assumere conformemente alle aspettative del consumatore.

Ad esempio, se consideriamo la produzione di palline da golf, secondo gli standard delle

caratteristiche fisiche, tre elementi caratterizzano la qualità della pallina: il diametro, il peso, la

distanza massima raggiungibile in situazioni prestabilite. Ci limitiamo a considerare il diametro che

deve essere all’incirca 4 cm e, supponiamo, non inferiore a 3.5 né superiore a 4.5 cm.

I valori 3.5 e 4.5 rappresentano, rispettivamente, i limiti di specificazione inferiore (LSL:

lower specification limit) e superiore (USL: upper specification limit), 4 cm rappresenta il valore

target A, che, in presenza di due limiti di specificazione, è generalmente centrato rispetto a USL e

LSL:

A =(LSL+USL)/2

Vale la pena notare che i limiti di specificazione non dipendono dalla popolazione ovvero non

dipendono dal modello distributivo (e cioè dai suoi parametri) ma sono stabiliti all’esterno del

processo. Nel caso della pallina da golf, tali specifiche saranno stabilite dalle organizzazioni

internazionali che regolamentano le competizioni sportive.

Se un processo soddisfa i limiti superiori e inferiori ed è centrato rispetto al valore target

assegnato, si dice che è capace di soddisfare il cliente. La capacità del processo si riferisce, allora,

alla capacità che lo stesso ha di soddisfare le richieste dei clienti.


58

In pratica la capacità del processo va valutata monitorando due aspetti caratteristici del

processo :

1) VARIABILITÀ DEL PROCESSO IN CONTROLLO

2) CENTRATURA DEL PROCESSO RISPETTO AD UN TARGET DI RIFERIMENTO

Dalle due figure 8.1 e 8.2 siamo in grado di apprezzare le due possibili cause che influenzano

la probabilità di pezzi non conformi alle specifiche progettuali.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3 4 5LSL=3.5 USL=4.5 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3 3.5 4 4.5 54.2 USL=4.5LSL=3.5 Fig. 8.1 Caso di eccessiva variabilità X~N(4;0.04) Fig. 8.2 Processo non centrato sul target X~N(4.2;0.0225)

L’eccessiva variabilità (Fig. 8.1) determina un’ampia porzione di area al di fuori dei limiti di

specificazione, nelle due direzioni. Nell’esempio della figura (consultando le tabelle della

distribuzione normale ) si ha una probabilità pari a 0.0124 di produrre pezzi non conformi (in media

1.24 pezzi su 100).

Nel caso di variabilità molto bassa, la distanza fra media e il valore target (Fig. 8.2) può

determinare un’ampia porzione di area, in questo caso, però, al di fuori di uno solo dei due limiti di

specificazione. Nell’esempio della figura si ha una probabilità pari a 0.0228 di avere pezzi non

conformi (2.28 pezzi su 100).

Certamente le due situazioni di eccessiva variabilità e non ‘centratura’ della distribuzione

rispetto al target possono agire anche simultaneamente. E’ pertanto importante definire misure di

process capability in grado di evidenziare l’effetto delle due possibili cause responsabili di

un’eventuale cattiva prestazione del processo. Per questo motivo sono state introdotte specifiche

misure di process capability.

L’utilizzo di queste misure risulta spesso particolarmente comodo se fatto in congiunzione

con le carte di controllo, poiché in questo modo, oltre a non dover raccogliere appositamente i dati,


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la capacità del processo può essere analizzata indipendentemente dalla presenza di cause speciali di

variazione (opportunamente individuate dalle carte) la cui influenza incide su variabilità e

centratura del processo.

Un semplice strumento impiegato per l’analisi di capacità di processo è l’istogramma di

frequenze di cui abbiamo già parlato in precedenza. Utile alla valutazione della centratura e della

rispondenza del processo ai limiti di specifica è anche l’impiego di particolari grafici chiamati

CARTE DI TOLLERANZA. In figura 8.3 è riportato un esempio di carta di tolleranza relativa ad un

processo in cui sono stati campionati 25 sottogruppi di numerosità 5.

Figura 8.3

Questo semplice strumento grafico riporta in corrispondenza di ciascun sottogruppo i dati

relativi a ciascun elemento ispezionato al suo interno, uniti da una linea verticale. Quindi un

confronto delle linee, così ottenute, con i limiti di specifica e il valore target, fornisce un immediata

visualizzazione della centratura e della dispersione naturale del processo.

Ma la misura della capacità di un processo produttivo viene più spesso effettuata mediante

l’ausilio di particola ri indici statistici, in grado di relazionare le prestazioni o il potenziale del

processo con il soddisfacimento a specifiche imposte.

Il diffuso impiego di tali indici di capacità è imputabile alla possibilità di riassumere in

modo molto conciso i dati di un processo produttivo, con il vantaggio, rispetto ad altri strumenti

statisti, di essere quantità adimensionali, e quindi facilmente interpretabili e paragonabili tra loro; si

prestano a confrontare infatti la capacità di processo rispetto a dimensioni differenti di qualità

nonché a confrontare processi diversi.

Tornando all’esempio delle palline da golf, è possibile confrontare la capacità di processo

rispetto al peso con quella relativa al diametro (diversa unità di misura: grammi, cm.) oppure quella

USL

LSL


60

rispetto al diametro con quella relativa alla distanza massima di lancio (si tratta di due misure di

lunghezza ma con diversa scala: cm. e metri).

Descriviamo, a questo punto, gli indici di process capability usualmente impiegati nel

controllo statistico di qualità. Il primo è definito come:

σ6LSLUSL

Cp−=

L’indice Cp confronta l’ampiezza dell’intervallo di conformità, cioè la dispersione ammissibile per

il processo (numeratore) con la variabilità naturale del processo rappresentata dal valore 6σ , detta

anche Tolleranza Naturale (denominatore). A questo proposito è importante dire che, la grandezza

6σ è considerata una misura della cosiddetta variabilità naturale del processo in stato di sotto

controllo. Per una distribuzione normale, l’int ervallo compreso fra i due estremi µ ±3σ•include il

99.73% dei valori di X e, in corrispondenza, si ha il 0.27% di valori esterni. Questa misura di

variabilità naturale si è dimostrata, nella pratica, particolarmente efficace nella costruzione di indici

e misure per il monitoraggio del processo. Infatti processi che sono inferiori alla soglia di

conformità del 99.73%, sono da ritenersi poco capaci.

Per cui, se l’intervallo di specificazione è maggiore di 6σ (ovvero se l’indice Cp>1) significa

che, mediamente, si producono meno del 2.7% di pezzi non conformi e cioè che il processo è

capable. Un valore superiore a 1 è un segnale positivo anche se, attualmente, le aziende tendono a

porsi obiettivi più ambiziosi come l’ottenimento di un valore di Cp pari a 2 (si tratta dell’obiettivo

della strategia 6-SIGMA, introdotta dalla Motorola).

Si può facilmente notare, però, che l’indice Cp è funzione solo della variabilità del processo e

non tiene conto della posizione della media rispetto ai limiti di specificazione. Con riferimento alle

figure 8.1 e 8.2, ad esempio, vediamo che il secondo processo (2.28 pezzi non conformi su 100) ha

una capacità inferiore al primo (1.24 pezzi non conformi su 100) ma ciò non viene segnalato da Cp

che, addirittura, ci fa apparire migliore il processo di Fig. 8.2:

USL=4.5, LSL=3.5; target 4

Cp=0,83 relativo a X~N(4;0.04)

Cp=1,11 relativo a X~N(4.2;0.0225)


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Quindi poiché Cp controlla solo la dispersione del processo, senza fornire alcuna informazione

sulla sua centratura, si introduce l’indice Cp,k , che tiene conto anche del grado di ‘centratura’ del

processo rispetto al target:

{ }σ

µµ3

−−= USL;LSLminC k,p

E’ interessante notare che Cp e Cp,k sono legati dalla seguente relazione:

Cp,k= (1-k) Cp, 0≤ k ≤1

dove

)LSLUSL(.|)LSLUSL(.|

k−

−+=50

50 µ

Come si può facilmente verificare, se A=(LSL+USL)/2 e cioè se la media è centrata rispetto ai

limiti di specificazione allora k=0 e i due indici coincidono. Se ciò non accade è da preferire il

calcolo di Cp,k che tiene conto anche della distanza della media dal valore target (che, ripetiamo, è

centrato rispetto ai limiti di specificazione).

Anche per Cp,k il valore 1 separa situazioni di cattiva prestazione (inferiori a 1) da quelle di

buona prestazione del processo. Calcolando questo indice per i casi in figua 8.1 e 8.2 vediamo che

Cp,k è in grado di segnalare il peggiore rendimento del processo :

USL=4.5, LSL=3.5; target 4

Cp,k =0,83 relativo a X~N(4;0.04)

Cp,k =0,67 relativo a X~N(4.2;0.0225)

In generale, è consigliabile utilizzare tutti e due gli indici. Con riferimento al caso

X~N(4.2;0.0225), ad esempio, il valore Cp,k<1 ci segnalerebbe una cattiva capacità del processo,

mentre il valore Cp >1 indica una situazione buona relativamente alla variabilità del processo. Si

conclude che, nel complesso, il processo non è capace (Cp,k<1), ma ciò è da attribuire soprattutto al

fatto che la media non è centrata rispetto all’intervallo di conformità (ovvero la media è lontana dal

valore target), mentre la varianza appare adeguatamente bassa (Cp>1). Un miglioramento potrà

essere pertanto realizzato abbassando il valore σ in modo da avvicinarlo al valore target.

il controllo statistico di qualita’ 1. introduzioneold a.pdf · determinata attività,...

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