il linguaggio della matematica: insiemi e operazioni · (microsoft powerpoint - insiemi roberto.ppt...
TRANSCRIPT
![Page 1: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/1.jpg)
LICEO CLASSICO “L.EINAUDI”CERVINARA
Il linguaggio della Matematica: Insiemi e
1
Matematica: Insiemi e operazioni
Prof. Roberto Capone
![Page 2: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/2.jpg)
Il concetto di insieme è un
CONCETTOCONCETTO PRIMITIVO proprio come i PRIMITIVO proprio come i
concetti di punto, retta e piano introdotti concetti di punto, retta e piano introdotti
nella geometrianella geometria
2
![Page 3: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/3.jpg)
Il termine “insieme” in matematica indica una collezione di oggetti , più o meno come nel linguaggio comune
Si tratta di un concetto molto importante perché su di esso si fonda tutto l’edificio della matematica
La TEORIA DEGLI INSIEMI è strettamente connessa con molti settori della matematica
3
con molti settori della matematica
FUNZIONI
RELAZIONI
ALGEBRA
TEORIA DEI NUMERI ANALISI
GEOMETRIE
LOGICA
TEORIA DEGLI INSIEMI
![Page 4: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/4.jpg)
Affinché si possa parlare di insieme in senso matematico occorre poter stabilire senza ambiguità se un oggetto appartiene o meno all’insieme
Perciò in matematica si considerano insiemi solo quei raggruppamenti di
4
insiemi solo quei raggruppamenti di oggetti per cui è possibile stabilire, secondo un criterio oggettivo, se un oggetto appartiene o meno al raggruppamento
![Page 5: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/5.jpg)
� Ad esempio è un insieme matematicamente corretto l’insieme delle città della Lombardia.Infatti tutti sanno riconoscere le differenti città della regione
5
� Non è un insieme matematicamente corretto l’insieme dei ragazzi simpatici della classe.Ciò perché la simpatia di un compagno o di un altro è soggettiva
![Page 6: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/6.jpg)
Insiemi numerici
Abbiamo già incontrato alcuni insiemi ovvero dei raggruppamenti di elementi che hanno caratteristiche comuni
N l’insieme dei numeri naturaliZ l’insieme dei numeri interi
6
Z l’insieme dei numeri interiQ l’insieme dei numeri razionaliR l’insieme dei numeri reali
Tali insiemi si chiamano anche insiemi numericiUn insieme privo di elementi si chiama INSIEME VUOTO e si indica col simbolo Ø
![Page 7: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/7.jpg)
Simbologia
insiemi tradifferenza di Simbolo -
insiemi traneintersezio di Simbolo
insiemi traunione di Simbolo
zaappartenennon di Simbolo
zaappartenen di Simbolo
∩∪∉∈
7
Uuniverso ambienteall' rispettoA insiemedell' areComplementA C
Uuniverso ambienteall' rispettoA insiemedell' areComplement A
niproposizio tranedisgiunzio di Simbolo
niproposizio tranecongiunzio di Simbolo
che Tale /
vuotoInsieme
U
∨∧
∅
![Page 8: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/8.jpg)
Il simbolo di appartenenza
� Considera l'insieme A delle lettere dell'alfabeto che costituiscono la parola "mamma".
Attenzione all'uso dei simboli : essi esprimono sempre un legame tra
un elemento ed un insieme, mai tra Î
8
"mamma". Le lettere a, m appartengono a tale insieme e si scrivein simboli: a ∈∈∈∈ A, m ∈∈∈∈ A,
� Le lettere b e c non appartengono all’insieme e si scrive b∉∉∉∉A , c∉∉∉∉A ...
un elemento ed un insieme, mai tra due insiemi o tra due elementi. Il
nome dell'elemento è scritto a sinistra, quello dell'insieme a
destra.
Î
![Page 9: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/9.jpg)
Rappresentazione di un insieme
Per rappresentare un qualsiasi insieme possiamo utilizzare
Con i diagrammi di Eulero Venn:
9
Per rappresentare un qualsiasi insieme possiamo utilizzare tre diversi metodi. Si voglia ad esempio rappresentare l’insieme che chiameremo “A” di tutti gli amicidi Marco che sono: Andrea, Marta, Simone, Matteo, Anna, Martina.
Attraverso larappresentazione tabulare(estensiva):Enunciando la proprietà
caratteristica (intensiva):
![Page 10: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/10.jpg)
1) Rappresentazione tabulare
A = { Marta; Andrea; Matteo; Martina; Simone; Anna}
10
2) Rappresentazione per caratteristica
A = { x | x è amico di Marco}
![Page 11: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/11.jpg)
3) Rappresentazione con diagrammi di Eulero-Venn
Andrea •Matteo •
11
Matteo •Marta •
Martina •Simone Anna•
![Page 12: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/12.jpg)
Un insieme può essere contenuto in un altro
•1 •2
•0 •4BA
12
•2•3
Si dice allora che B è un sottoinsieme di A:
B ⊆⊆⊆⊆ A
![Page 13: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/13.jpg)
Esempi
13
![Page 14: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/14.jpg)
Esempi
14
![Page 15: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/15.jpg)
Esempi
15
![Page 16: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/16.jpg)
OPERAZIONI TRA INSIEMI
�Intersezione
�Unione
Differenza Complementare
16
�Differenza Complementare
�Prodotto Cartesiano
![Page 17: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/17.jpg)
A
Si definisce intersezionedi due insiemi A e B, l'insieme formato dagli elementi comuni ad A e B.
17
B
l’intersezione è la parte colorata
A ∩∩∩∩ B = {x x ∈∈∈∈ A e x ∈∈∈∈ B}
![Page 18: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/18.jpg)
Dati ad esempio i due insiemiA = {0,1,2,3,4}e B = {2,4,6},
l’intersezione tra A e B è data dal seguente insieme:
A ∩∩∩∩ B = {2, 4}
18
A ∩∩∩∩ B = {2, 4}
Il simbolo ∩∩∩∩ è il simbolo che caratterizza l’operazione. Si può leggere “A intersecato B” oppure “A e B”.
![Page 19: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/19.jpg)
Con i diagrammi di Venn, il risultato dell’esempio precedente sarà indicato
così:
19
![Page 20: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/20.jpg)
Esempio……Esempio……
Siano E={10, 11, 15, 16},
F={13, 15, 16, 17},
Allora I = E ∩∩∩∩ F = {15, 16}
20
![Page 21: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/21.jpg)
CASI PARTICOLARI DELL’INTERSEZIONE
21
![Page 22: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/22.jpg)
Si definisce unionedi due insiemi A e B, l'insieme degli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi dati.
A
22
l’unione è la parte colorata
A
BA ∪∪∪∪ B = {x x ∈∈∈∈ A o x ∈∈∈∈ B}
![Page 23: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/23.jpg)
Dati ad esempio i due insiemiA = {1,2,3,5}e B = {2,3,4,6}, l’unionetra A e B è data dal seguente insieme:
A ∪∪∪∪ B = {1,2,3,4,5,6}
23
A ∪∪∪∪ B = {1,2,3,4,5,6}
Il simbolo ∪∪∪∪ è il simbolo che caratterizza l’operazione. Si può leggere “A unito B” oppure “A o B”.
![Page 24: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/24.jpg)
Con i diagrammi di Venn, il risultato dell’esempio precedente sarà:
24
![Page 25: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/25.jpg)
Esempio……Esempio……
Siano E={1, 2, 3}
F={4, 5, 6},
Allora R = E ∪∪∪∪ F = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
25
![Page 26: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/26.jpg)
CASI PARTICOLARI DELL’UNIONE
26
![Page 27: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/27.jpg)
Si definisce differenza complementarefra due insiemi B ed A l’insieme degli
elementi di B che non appartengono ad A.
BB
27
B
A
B
AB - A è la parte colorata in figura.
Si ha, per definizione: B – A = {x x ∈∈∈∈ B e x ∉∉∉∉ A}
![Page 28: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/28.jpg)
L’operazione di differenza complementarenon soddisfa la proprietà commutativa, cioè:
B-A ≠Α-B
28
Infatti...
![Page 29: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/29.jpg)
Dati ad esempio i due insiemiB = {1,2,3,5}e A= {2,3}, accade che:
B - A = {1,5}
29
B - A = {1,5}
A - B = { }
![Page 30: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/30.jpg)
Con i diagrammi di Venn, l’esempio precedente diventa:
DD - A
30
.1 .2
.3.5
A.1
.2 .3
.5
![Page 31: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/31.jpg)
Esempio……Esempio……
Siano E={a, b,c,d}
F={c, d, e, f, g},
Quindi D = E - F = {a, b}
31
![Page 32: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/32.jpg)
Si definisce prodotto cartesianotra due insiemi A e B non vuoti l'insieme formato da tutte le coppie ordinatetali che il 1° elemento ∈∈∈∈ ad A ed il 2° elemento ∈∈∈∈ a B.
32
Dati gli insiemi
A={2, 4} B={a,f}
AxB={(2,a);(2,f);(4,a);(4,f)}
![Page 33: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/33.jpg)
Attenzione: per l’operazione
prodotto cartesianonon vale la proprietà commutativa! ΑxΒ≠ΒxΑ
Infatti, dati gli insiemi
33
A={2, 4} B={a,f}
AxB={(2,a);(2,f);(4,a);(4,f)}
BxA={(a,2);(a,4);(f,2);(f,4)}
![Page 34: Il linguaggio della Matematica: Insiemi e operazioni · (Microsoft PowerPoint - Insiemi Roberto.ppt [modalit\340 compatibilit\340]) Author: roberto Created Date: 9/12/2010 12:09:29](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022021720/5bafdfec09d3f2c70e8d61eb/html5/thumbnails/34.jpg)
Proprietà delle operazioniLe operazioni di intersezione, unione e complementazione godono delle seguenti proprietà:
toassorbimen di Legge AB)(AA
AB)(AA
aassociativ Proprietà CB)(AC)(BA
CB)(AC)(BA
acommutativ Proprietà ABBA
ABBA
aidempotenz di Proprietà AAA
AAA
==
==
==
==
IU
UI
UUUU
IIII
UU
II
U
I
34di Leggi
BABA
BABA
arietàComplement UAA
AA
vadistributi Proprietà C)(AB)(AC)(BA
C)(AB)(AC)(BA
AB)(AA
=
=
=
∅=
==
=
IU
UI
U
I
UIUIU
IUIUI
IU
De Morgan