il moto di un proiettile a. martini. che ne diresti di bombardare questo nostro amico?
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IL MOTO DI UN PROIETTILE
A. Martini
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CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?
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CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?
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CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?
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CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?
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CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?
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CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?
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CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?
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CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?
BUUM
MMM
BUUM
MMM
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CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?
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CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?
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CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?
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CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?
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CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?
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CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?
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MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO?
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MA VOGLIAMO ESSERE SICURI DI COLPIRLO?
ALLORA CERCHIAMO DI CAPIRE COME SI MUOVE UN PROIETTILE, DESCRIVENDONE IL MOTO CON ALCUNE “SEMPLICI” EQUAZIONI.
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CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE, SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE?
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BUUM
MMMM
CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE, SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE?
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CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE, SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE?
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CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE, SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE?
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CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE, SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE?
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CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE, SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE?
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CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE, SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE?
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CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE, SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE?
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CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE, SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE?
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CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE, SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE?
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CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE, SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE?
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CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE, SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE?
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CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE, SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE?
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CHE COSA SUCCEDE AL PROIETTILE, SE IL CANNONE SPARA DA QUESTA POSIZIONE?
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VOGLIAMO VEDERCI PIU’ CHIARO?
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ALLORA METTIAMOCI DI FRONTE AL CANNONE
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ALLORA METTIAMOCI DI FRONTE AL CANNONE
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ALLORA METTIAMOCI DI FRONTE AL CANNONE
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ALLORA METTIAMOCI DI FRONTE AL CANNONEE OSSERVIAMO LO SPARO:
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ALLORA METTIAMOCI DI FRONTE AL CANNONEE OSSERVIAMO LO SPARO:
A T T E N Z I O N E !!!
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BUUMM
M
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BUUMM
M
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ALLORA METTIAMOCI DI FRONTE AL CANNONEE OSSERVIAMO LO SPARO:
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ALLORA METTIAMOCI DI FRONTE AL CANNONEE OSSERVIAMO LO SPARO:
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COME HAI NOTATO, VISTO DA QUI IL MOTO DEL PROIETTILE NON E’ UNIFORME:
SE LO ANALIZZASSIMO SCOPRIREMMO CHE E’ UN MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
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COME HAI NOTATO, VISTO DA QUI IL MOTO DEL PROIETTILE NON E’ UNIFORME:
SE LO ANALIZZASSIMO SCOPRIREMMO CHE E’ UN MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
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COME HAI NOTATO, VISTO DA QUI IL MOTO DEL PROIETTILE NON E’ UNIFORME:
SE LO ANALIZZASSIMO SCOPRIREMMO CHE E’ UN MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
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GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO
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A T T E N Z I O N E !!!
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GUARDIAMO ORA IL CANNONE DALL’ALTO
BUUUMMMM
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COME HAI NOTATO, VISTO DA QUI IL MOTO DEL PROIETTILE E’
RETTILINEO UNIFORME
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COME HAI NOTATO, VISTO DA QUI IL MOTO DEL PROIETTILE E’
RETTILINEO UNIFORME
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COME HAI NOTATO, VISTO DA QUI IL MOTO DEL PROIETTILE E’
RETTILINEO UNIFORME
![Page 99: IL MOTO DI UN PROIETTILE A. Martini. CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022110118/5542eb64497959361e8cdd8f/html5/thumbnails/99.jpg)
RETTILINEO UNIFORME
RETTILINEO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
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Sarà meglio verificare sperimentalmentequeste affermazioni!
![Page 101: IL MOTO DI UN PROIETTILE A. Martini. CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022110118/5542eb64497959361e8cdd8f/html5/thumbnails/101.jpg)
Per prima cosa studiamo la GITTATA
![Page 102: IL MOTO DI UN PROIETTILE A. Martini. CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022110118/5542eb64497959361e8cdd8f/html5/thumbnails/102.jpg)
Nel nostro laboratorio c’è una rotaia inclinata
![Page 103: IL MOTO DI UN PROIETTILE A. Martini. CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022110118/5542eb64497959361e8cdd8f/html5/thumbnails/103.jpg)
La cui inclinazione è variabile
![Page 104: IL MOTO DI UN PROIETTILE A. Martini. CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022110118/5542eb64497959361e8cdd8f/html5/thumbnails/104.jpg)
La cui inclinazione è variabile
![Page 105: IL MOTO DI UN PROIETTILE A. Martini. CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022110118/5542eb64497959361e8cdd8f/html5/thumbnails/105.jpg)
Posizioniamo una macchina fotografica di fronte a questa apparecchiatura
![Page 106: IL MOTO DI UN PROIETTILE A. Martini. CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022110118/5542eb64497959361e8cdd8f/html5/thumbnails/106.jpg)
Prendiamo ora una pallina d’acciaio
Ed una lampada stroboscopica
![Page 107: IL MOTO DI UN PROIETTILE A. Martini. CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022110118/5542eb64497959361e8cdd8f/html5/thumbnails/107.jpg)
Mettiamo la pallina in cima alla rotaia
![Page 108: IL MOTO DI UN PROIETTILE A. Martini. CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022110118/5542eb64497959361e8cdd8f/html5/thumbnails/108.jpg)
La illuminiamo con la lampada e la lasciamo andare, dopo aver aperto l’otturatore della macchina
![Page 109: IL MOTO DI UN PROIETTILE A. Martini. CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022110118/5542eb64497959361e8cdd8f/html5/thumbnails/109.jpg)
La illuminiamo con la lampada e la lasciamo andare, dopo aver aperto l’otturatore della macchina
![Page 110: IL MOTO DI UN PROIETTILE A. Martini. CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022110118/5542eb64497959361e8cdd8f/html5/thumbnails/110.jpg)
Hai visto com’è andata ?
Se il nostro amico fosse stato il bersaglio, l’avremmo colpito ?
![Page 111: IL MOTO DI UN PROIETTILE A. Martini. CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022110118/5542eb64497959361e8cdd8f/html5/thumbnails/111.jpg)
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![Page 114: IL MOTO DI UN PROIETTILE A. Martini. CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022110118/5542eb64497959361e8cdd8f/html5/thumbnails/114.jpg)
(a+b) nSen
+sen
Vogliamo cercare di non sbagliare?
Allora affidiamoci alla matematica e cerchiamo di scrivere un’equazione che descriva la gittata e che ci
permetta di controllarla
![Page 115: IL MOTO DI UN PROIETTILE A. Martini. CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022110118/5542eb64497959361e8cdd8f/html5/thumbnails/115.jpg)
(a+b) nSen
+sen
![Page 116: IL MOTO DI UN PROIETTILE A. Martini. CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022110118/5542eb64497959361e8cdd8f/html5/thumbnails/116.jpg)
Io vi aiuto volentieri, ma ho bisogno di alcune precisazioni del professor Albert
![Page 117: IL MOTO DI UN PROIETTILE A. Martini. CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022110118/5542eb64497959361e8cdd8f/html5/thumbnails/117.jpg)
Sentiamo: cosa vuoi sapere? Vorrei sapere:
A quale altezza arriva il proiettile
Quanto tempo impiega ad arrivare al suolo
E dove cade
![Page 118: IL MOTO DI UN PROIETTILE A. Martini. CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022110118/5542eb64497959361e8cdd8f/html5/thumbnails/118.jpg)
Dunque, consideriamo un sistema di riferimento XY
Y
X
![Page 119: IL MOTO DI UN PROIETTILE A. Martini. CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022110118/5542eb64497959361e8cdd8f/html5/thumbnails/119.jpg)
E supponiamo che il proiettile abbia una velocità iniziale V secondo una direzione che forma con l’asse X un angolo
Y
X
V
![Page 120: IL MOTO DI UN PROIETTILE A. Martini. CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022110118/5542eb64497959361e8cdd8f/html5/thumbnails/120.jpg)
In questo caso l’altezza h raggiunta dal proiettile
Y
X
V
h
È uguale a quella che avrebbe raggiunto se fosse stato lanciato verso l’alto a velocità Vy
Vy
![Page 121: IL MOTO DI UN PROIETTILE A. Martini. CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022110118/5542eb64497959361e8cdd8f/html5/thumbnails/121.jpg)
Bene, allora adesso ti calcolo questa altezza
Y
X
V
h
Vy
![Page 122: IL MOTO DI UN PROIETTILE A. Martini. CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022110118/5542eb64497959361e8cdd8f/html5/thumbnails/122.jpg)
Nella direzione h, il moto è uniformemente accelerato, con accelerazione uguale a -g
Y
X
V
h
Vy
Nell’apice la velocità è uguale a zero e alla base è uguale a Vy, per cui possiamo applicare una nota relazione della cinematica:
Vf2 – Vi
2 = 2as
02 – Vy2 = - 2gh
Poiché è:
Vy = V sen Si ha:
-V 2 sen2 2gh
E quindi:
g
senVh
2
22
![Page 123: IL MOTO DI UN PROIETTILE A. Martini. CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022110118/5542eb64497959361e8cdd8f/html5/thumbnails/123.jpg)
Nella direzione h, il moto è uniformemente accelerato, con accelerazione uguale a -g
Y
X
V
h
Vy
Nell’apice la velocità è uguale a zero e alla base è uguale a Vy, per cui possiamo applicare una nota relazione della cinematica:
Vf2 – Vi
2 = 2as
02 – Vy2 = - 2gh
Poiché è:
Vy = V sen Si ha:
-V 2 sen2 2gh
E quindi:
g
senVh
2
22
![Page 124: IL MOTO DI UN PROIETTILE A. Martini. CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022110118/5542eb64497959361e8cdd8f/html5/thumbnails/124.jpg)
h g
senVh
2
22
Molto bene questa formula me la ricorderò sicuramente
![Page 125: IL MOTO DI UN PROIETTILE A. Martini. CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022110118/5542eb64497959361e8cdd8f/html5/thumbnails/125.jpg)
Ora vorrei sapere il tempo totale della durata del moto del proiettile
![Page 126: IL MOTO DI UN PROIETTILE A. Martini. CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022110118/5542eb64497959361e8cdd8f/html5/thumbnails/126.jpg)
Per raggiungere l’altezza h, il proiettile impiega un tempo t1 che può essere calcolato con la relazione:
Ora vorrei sapere il tempo totale della durata del moto del proiettile
![Page 127: IL MOTO DI UN PROIETTILE A. Martini. CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022110118/5542eb64497959361e8cdd8f/html5/thumbnails/127.jpg)
Per raggiungere l’altezza h, il proiettile impiega un tempo t1 che può essere calcolato con la relazione:
t
Va
Ora basta sostituire le grandezze corrispondenti, per ottenere:
1
0
t
Vseng
Da qui si ricava:
g
Vsent
1
Un tempo uguale viene impiegato dal proiettile per ricadere al suolo, quindi il tempo totale sarà:
g
Vsent
2
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g
Vsent
2
Bene, vorrà dire che cercherò di ricordare anche questa formula, assieme a quell’altra
g
senVh
2
22
![Page 129: IL MOTO DI UN PROIETTILE A. Martini. CHE NE DIRESTI DI BOMBARDARE QUESTO NOSTRO AMICO?](https://reader037.vdocuments.pub/reader037/viewer/2022110118/5542eb64497959361e8cdd8f/html5/thumbnails/129.jpg)
g
Vsent
2
E ora forse è giunto il momento di calcolare la GITTATA S, cioè lo spostamento che il proiettile avrebbe fatto nel tempo t, se si fosse mosso di moto rettilineo uniforme, con velocità:
V cos
g
senVh
2
22
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g
Vsent
2
E ora forse è giunto il momento di calcolare la GITTATA S, cioè lo spostamento che il proiettile avrebbe fatto nel tempo t, se si fosse mosso di moto rettilineo uniforme, con velocità:
V cos
g
senVh
2
22
Eccomi qua: son pronto!
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g
Vsent
2
Questo spostamento quindi è ricavabile con l’equazione del moto rettilineo uniforme:
g
senVh
2
22 S = Vt
Nel nostro caso scriveremo:
S = V t cos Ora sostituiamo:
g
VsenVS
2cos
Da cui si ottiene:
cos2 2
seng
VS
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g
Vsent
2
Questo spostamento quindi è ricavabile con l’equazione del moto rettilineo uniforme:
g
senVh
2
22 S = Vt
Nel nostro caso scriveremo:
S = V t cos Ora sostituiamo:
g
VsenVS
2cos
Da cui si ottiene:
cos2 2
seng
VS
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g
Vsent
2
Questo spostamento quindi è ricavabile con l’equazione del moto rettilineo uniforme:
g
senVh
2
22 S = Vt
Nel nostro caso scriveremo:
S = V t cos Ora sostituiamo:
g
VsenVS
2cos
Da cui si ottiene:
cos2 2
seng
VS Ma allora è facilissimo
calcolare la gittata e anche trovare la condizione per avere la
GITTATA MASSIMA
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cos2 2
seng
VS
E’ chiaro che in questa formula, a parità di velocità iniziale V, la gittata è massima quando è massimo il termine
sen cos
Bene, adesso tocca a me!
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cos2 2
seng
VS
Sarai d’accordo con me che S è massimo
quando la funzione sen cos è massima
E questo si verifica per l’angolo per cui la derivata prima di sen cos è uguale a zero e la derivata seconda è minore di 1.
Calcoliamo allora la derivata prima di sen cos
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cosseny
senseny coscos'
0coscos sensen
Per le formule di prostaferesi si ha:
2coscoscos sensen
Per cui:
02cos Poiché l’angolo , nel nostro caso non può superare i 90° (per ovvi motivi), la relazione precedente è verificata per
= 45°
dato che il coseno di 90° è uguale a zero.:
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Per essere sicuri che per un angolo di 45° la gittata sia massima, e non minima, occorre che, contemporaneamente, la derivata seconda della funzione y (y”) sia minore di1.
22' senz
Essendo il seno di 90° uguale a uno, risulta:
Possiamo allora affermare che la gittata maggiore di tutte, a parità della velocità di partenza, si ha per l’angolo:
= 45°
Calcoliamo, dunque, da derivata di z = cos 2
2"' yz
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Possiamo verificare quanto ci ha insegnato il professor Mat facendo un esperimento con l’apparecchiatura vista in precedenza. A quel punto saremo in grado di colpire il bersaglio!
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FINE
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FINE ?
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No, non è finita, perché dobbiamo ancora dimostrare sperimentalmente che il moto del proiettile è composto da un moto rettilineo uniforme orizzontale ed uno uniformemente accelerato verticale.
Per fare questo utilizzeremo un Marmug ed uno speciale trampolino di lancio
FINE !