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IL MOTOINTERNO
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. MI -1
INTERNO
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MOTO INTERNO - INTRODUZIONE
Nel moto interno, la presenza della parete si risente in tutto il fluido:lo strato limite (dinamico e termico) inizia a svilupparsi all’ingresso del condotto fino a raggiungere l’asse dello stesso
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. MI -2
Le discontinuità (curve etc.) provocano una perturbazione seguita da un ulteriore sviluppo.
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MOTO INTERNO - INTRODUZIONE
Anche lo strato limite termico si sviluppa, a differenza della velocità però la temperatura non può tendere ad un valore costante perchè altrimenti non ci potrebbe più essere apporto di energia nel condotto.
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. MI -3
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MOTO PIENAMENTE SVILUPPATO
0 , ( ) 0 0rr r
vv R v
r
∂ = = → =∂
Il moto si dice dinamicamente sviluppato quando
Salvo esplicito avviso, nel seguito si fa riferimento al moto incomprimibile assialsimmetrico in un condotto circolare o anulare, proprietà fisiche costanti.
Dall’equazione di continuità e dalla condizione di no-slip alla parete si ha
( ) , 0zz
vv f r
z
∂= =∂
La velocità media di portata è data da1
( )2 dR
zv v r r r m v A= π → =ρ∫ ɺ
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. MI -4
Il moto si dice termicamente sviluppato quando
( , ) ( ) ( , )
( ) ( )w m
m w
T r z T z Tr T r zf
T z T z R z z
− ∂∂ = → = − ∂ ∂
Ovvero quando il profilo di temperatura si mantiene simile a sè stesso.La temperatura media di miscela Tm conserva il flusso di energia (v. cap.3) ed è data da
2 0
1( ) ( , ) ( )2 d
R
m zT z T r z v r r rR v
= ππ ∫
La velocità media di portata è data da 2 0( )2 dzv v r r r m v A
R= π → =ρ
π ∫ ɺ
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LUNGHEZZA DI SVILUPPO
1
1T T D
T T D
Pr L L
Pr L L
< → δ > δ → <> → δ < δ → >
Il rapporto tra le lunghezze di sviluppo termica e dinamica dipende dal numero di Prandtl
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. MI -5
Nel moto laminare si ha approssimativamente
0.05DD
LRe
D=
0.05TD
LRe Pr
D=
Quindi per ReD = 2000, acqua (Pr = 7)
100 , 700D TL L
D D= =
Nel moto turbolento si può porre circa
1/6 4 54.4 10 10 20 30D TL LRe Re
D D≅ → = − ≅ −
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MOTO LAMINARE PIENAMENTE SVILUPPATO: CALCOLO DELLE PERDITE DI CARICO (1)
Moto di Hagen-Poiseuille (1839-40), moto pien. sviluppato
Eq. di continuità( )1
0 0r zr
r v vv
r r z
∂ ∂+ = → =
∂ ∂
Eq. di N-Ssu r e z
rr
vv
r
∂∂
rz
vv
z+ ∂
∂
2
2
1 rp v
rr
∂= − + ∂υ∂ρ ∂
1 rv
r r+ ∂
∂ 2rv
r−
2
2rv
z+ ∂
∂
rv
z zz
v vv
∂ + ∂∂ ∂
2
2
2
2
1 1z zzp v v v∂ ∂ ∂= − + υ + ∂+∂ ∂ ∂ρ ∂
( ) 0zz
vv f r
z
∂= =
∂
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. MI -6
rv zvr z
+∂ ∂ 2 2z zr r r
= − + υ + +∂ ∂ ∂ρ ∂
dalla prima si ha ( )0p
p g zr
∂ = → =∂
dalla seconda2
2
1 1z z zp v v v
z r r r r r r
∂ ∂ ∂ ∂ ∂=µ + = µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
dato che abbiamo una forma del tipo ( ) ( )g z f r=
possiamo porre entrambi i membri uguali ad una costante ( ) ( )g z f r A= =
(scompare la densità, come nel creeping flow)
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MOTO LAMINARE PIENAMENTE SVILUPPATO: CALCOLO DELLE PERDITE DI CARICO (2)
Quindi
integrando la seconda
cost =
1cost =z
p p
z L
v p
r r r L
∂ ∆= −∂
∂ ∂ ∆µ = − ∂ ∂
0 (no-slip)
0 0 (simmetria)
z
z
r R v
vr
r
= =∂= =∂
condiz. al contorno:
2 21
2 1 2= 0 ,4 4z
p r C p Rv C C C
L r L
∆ ∆− + + = =µ µ
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. MI -7
e quindi
22
2(PROFILO PARABOLICO1
4)=z
p rv R
L R
∆ − µ 2
max2 0
4
12 d
8 2
42
8
R
z
zw
r R
vp Rv v r r
R L
v p R v
r L R
R pQ v A
L
=
∆= π = =π µ
∂ ∆τ =µ = = µ∂
π ∆= =µ
∫
portata in volume
taglio alla parete
vel. media di portata
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MOTO LAMINARE PIENAMENTE SVILUPPATO: CALCOLO DELLE PERDITE DI CARICO (3)
2
2
4 64
216
2
w
D
wf
D
fv Re
cv Re
τ= =ρ
τ= =ρ fattore di Fanning
fattore di Darcy-Weisbach
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. MI -8
L’introduzione di Re porta a supporre una falsa dipendenza dalla densità della tensione di taglio alla parete.Attenzione a non confondere Darcy-Weisbach con Fanning (f = 4 c f )
In altre geometrie (vedi slide MI-14)
4diametro idraulico
h
hD b
C Af D
Re p= =
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MOTO PIENAMENTE SVILUPPATO: BILANCIO INTEGRALE DI QUANTITA’ DI MOTO
22 1( ) ( )2p p r r r L− π = τ π
Dall’equilibrio di un cilindro di raggio r, coassiale con il condotto, supponendo il moto pienamente sviluppato
Ricavando τ(r)
22 1( ) d
( )2 2 d
r p p r pr
r L z
π −τ = =π
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. MI -9
2 2 dr L zπ
Quindi la tensione di taglio nel fluido varia linearmente con r, e questo è indipendente dal profilo di velocità. In particolare, alla parete
d
2 dw
R p
zτ =
Uguagliando a si ottiene di nuovo, in maniera semplificata, Hagen – Poiseuille (ovvero si trova l’andamento del profilo di velocità)
d
dz
w
v
rτ =µ
d
dw bpp
z A
τ=oppure più in generale (canale prismatico)
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MOTO LAMINARE PIENAMENTE SVILUPPATO: BILANCIO INTEGRALE DI ENERGIA
Dal bilancio di entalpia scritto per un tratto dz di condotto (v. cap.3)
hm = entalpia di miscelaph = perimetro riscaldato
d"
dm
h
hm q p
z=ɺ
1d d dm p m
Th c T p
−β= +ρ
trascuro il contributo della pressione
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. MI -10
d "
dm h
p
T q p
z m c=ɺ
analoga a d
dw bpp
z A
τ=
l’equazione precedente ci dice anche l’ordine di grandezza di
2
d "
d
" "m h
pp p
q D q
c U D
T q
Um c
p
z c D
= ρ ρ
=
∼ɺ
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MOTO LAMINARE PIENAMENTE SVILUPPATO: COEFFICIENTE DI SCAMBIO (1)
Equazione di trasporto della temperatura (bilancio locale di entalpia trascurando il termine dovuto al gradiente di pressione, v. cap.3)
rv2 2
2 2
convezione = conduz. radiale + conduz. assia
"
l
1
"
e
z
T T T Tv
q a T a qU
az r r r z
T
r
∆
∂ ∂ ∂ ∂+ = + +∂
∂ ∂ ∂ ∂∂
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. MI -11
2p p
Uc U D D L c U D
ρ ρ
divido per 2 2p
a T T
D c D
∆ λ ∆=ρ
[ ]" "1 1D D
p
q D q D a DNu Nu
T L c U T U D L
+ → + λ ∆ ρ ∆
∼ ∼
DD D D
D
U D U D a D Nu DRe Pr Pe Nu
a a U D L Pe L
υ= = = → =υ
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MOTO LAMINARE PIENAMENTE SVILUPPATO: COEFFICIENTE DI SCAMBIO (2)
In definitiva allora
1 DD
D
Nu DNu
Pe L
+
∼
Il secondo termine (che rappresenta la conduzione assiale) è trascurabile a meno che Pe <<1 (met. liquidi)Per cui si ha per la conduzione laminare
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. MI -12
1Nu ∼
In effetti Polhausen ha calcolato, risolvendo
484.36 " cost
113.66 cost
D
D w
Nu q
Nu T
= = =
= =
2
2
1z
T T Tv a
z r r r
∂ ∂ ∂= + ∂ ∂ ∂
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SIGNIFICATO DEL NUMERO DI NUSSELT
" "
( )c
Dw m
h D q D q DNu
T T T= = =
λ ∆ λ − λ
ma nel moto laminare "r R
Tq
r =
∂= λ∂
per cui gradiente alla parete
( ) / gradiente medior R
Dw m
T
rNu
T T D=
∂∂
= =−
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. MI -13
( ) / gradiente mediow mT T D−
Per il moto esterno si può anche considerare
"T
Tq
∆λδ
≃
da cui " distanza dal bordo di attacco
spessore strato limite termico (o.d.g.)xT
q x xNu
T= =
λ ∆ δ≃
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CONDOTTI NON CIRCOLARI (1)
4h
b
AD
p=
hf DC c Re=
Diametro idraulico
Fattore di Fanning
2
2h
wf
D
Cc
v Re
τ= =ρ
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. MI -14
216exp(0.294 0.068 0.318)C B B= + −
Attenzione: il fattore di Darcy-Weisbach vale
2 4
2
f
pf c
v L
D
∆= =ρ
Per altre sezioni, approssimativamente(v. tabella per definizione di B )
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CONDOTTI NON CIRCOLARI (2)
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. MI -15
Effetto della forma del condotto su f e Nu
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ESEMPIO
Tubo circolare, q”w = 0.1 W/cm2, m = 10 g/s, R =10 mm
Acqua, T = 20°C, µ = 10-3 Pas, λ = 0.6 W/m K, Pr = 7
TROVARE: ReD , LD , LT , hc , Tw-Tm
4637 (moto laminare)D
v D mRe
D
L
ρ= = =µ π µ
ɺ
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. MI -16
24.36 134 W/m K
"7.6K (nel moto sviluppato)
c
w mc
NuNu h
Dq
T Th
λ= → = =
− = =
0.05 32 0.64m
0.05 224 4.48m
DD D
TD T
LRe L
DL
Re Pr LD
= = → =
= = → =
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MOTO TURBOLENTO: EQUAZIONI
Condotto circolare, moto stazionario, simmetria assiale, moto sviluppato
zv
z
∂∂
1( ) 0 0r
zz
rr v v
vv
r
z
r
∂+∂
∂
→ =
∂
=
rv+ ( )1 1 zM
z
rz
p vr
z r r
v
v
r r
T
zv
∂ ∂ ∂= − + υ + ε ρ ∂ ∂ ∂
∂ +∂
∂∂
( )1H
Tr a
r r
T
r r
∂ ∂= + ε ∂ ∂∂
∂
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. MI -17
z∂ r rr r∂ ∂∂
Quindi rimane
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1
1 1 1"
zM app
z H appp
p vr r
z r r r r r
T Tv r a r q
z r r r c r r
∂ ∂ ∂ ∂= υ + ε = τ ρ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂= + ε = ∂ ∂ ∂ ρ ∂
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MOTO TURBOLENTO: determinazione di ττττw (1)
Bilancio locale
( ) ( ) ( )1 1 1 1zM app lam tur
p vr r r
z r r r r r r r
∂ ∂ ∂ ∂ ∂= υ + ε = τ = τ + τ ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Bilancio integrale (v. slide MI-9)
d ( )( )
2 d w
r p r rr
z R
ττ = → =τ
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. MI -18
Per cui il taglio ha comunque andamento lineare, con una compo-nente laminare ed una turbolenta.
Una volta trovato il taglio alla parete o v* ho anche il coefficiente di Darcy-Weisbach
2
4
2
wfv
τ=ρ oppure da
2*
* 8w vv f
v
τ = → = ρ
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MOTO TURBOLENTO: determinazione di ττττw (2)
Per determinare τw parto da un profilo di velocità (calcoli omessi).
E ottengo (per n = 7)
0.25
0.316, 20000D
D
f ReRe
= <
Posso usare il profilo 1/n (Blasius)1/
max= 1 , 6 10n
z
rv v n
R − = −
NB: se cambio n cambia l’ esponente di Re
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. MI -19
Oppure usare il profilo universale di velocità (Prandtl)
Ottenendo
5.5 2.50ln*
vv y
v+ += = +
( )82.5ln 2.58
* D
vRe f
v f= = −
Ovvero (con qualche aggiustamento di costanti)
( )10.869ln 0.8DRe f
f= −
NB: se cambio n cambia l’ esponente di Re
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MOTO TURBOLENTO: determinazione di ττττw (2)
Quanto detto in precedenza vale per tubi lisci.Per tubi scabri Colebrook propone, modificando la relazione di Prandtl:
che è la relazione riportata sul diagramma di Moody.
1 2 18.71.74 0.869ln
DDf Re f
ε= − +
(forma implicita)
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. MI -20
Moody.
2
2h
L vp f
D∆ = ρ
Una volta che ho fposso calcolare ∆pda
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MOTO TURBOLENTO: Riepilogo delle correlazioni per f
Cf
Re= Moto laminare, C = 50-96 (tubi circolari C = 64)
0.25
0.316f
Re= Blasius, tubi lisci, Re < 2x104
0.20
0.184f
Re= Tubi lisci, 2x104 < Re < 106
( )10.869 ln 0.8Re f
f= −
tubi lisci, Prandtl-Von Karman-Nikuradse, estrapolabile ad altissimo Re
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. MI -21
f
1 2.510.869 ln
3.7Df Re f
ε= − +
Colebrook, tutto il range del moto turbolento
1 2 5601.74 0.869 ln ,
/Re
D Df
ε = − > ε tubi scabri, moto pienamente turbolento
21.11
6.90.782 ln
3.7f
Re D
− ε = − +
Haaland, approssima le cinque precedenti e non è in forma implicita
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MOTO TURBOLENTO: Scambio termico
Vista la similitudine delle equazioni, si adotta l’analogia di Reynolds-Colburn
Quindi se
se
2 /3 1/31 1
2 8 8D f D D
fSt Pr c f Nu Re Pr= = → =
0.75 0.330.25
0.3160.039D
D
f Nu Re PrRe
= → =
0.8 0.330.20
0.1840.023D Df Nu Re Pr
Re= → =
(correlazione di Colburn)
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. MI -22
se 0.200.023D D
D
f Nu Re PrRe
= → =
In seguito sono state proposte correlazioni più articolate che comunque sono nella forma Nu = f (Re, Pr), che deriva anche dall’analisi dimensionale.
Salvo diverso avviso, le proprietà fisiche si calcolano alla temperatura del film:
2m w
f
T TT
+=
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MOTO TURBOLENTO: Riepilogo delle principali correlazioni di scambio termico
0.8
5
0.023
0.7 120 , 2500 1.2 10 / 60
0.4 riscaldamento , 0.3 raffreddamento
nNu Re Pr
Pr Re L D
n n
=< < < < ⋅ >
= =Dittus-Bolter
0.14
0.8 0.330.027w
Nu Re Pr µ= µ
Sieder-Tate
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. MI -23
40.7 16700 , 10
w
Pr Re
µ
< < >
( )
( )2 /3
6 6
10008
1 12.7 18
0.5 10 , 2300 5 10
fRe Pr
Nuf
Pr
Pr Re
−=
+ −
< < < < ⋅
Gnielinski (f dato da Colebrook)
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ESEMPIO – Scambio termico in moto turbolento
Tubo circolare, D =15 mm , v = 4 m/s, acqua, T m= 40°C, T w= 80°C,
TROVARE: Nu
( )
0.20
0.33 2
90900 (moto turbolento)
0.1840.019 (tubo liscio)
Colburn 14500W/m K346
D
D
D D c
v DRe
fRe
fNu Re Pr h
ρ= =µ
= =
= = =
6 260 C 0.47 10 m /s , 3.01, 0.65 W/mKfT Pr−= ° → υ= × = λ =
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. MI -24
( )0.8 0.4
0.14
0.8 0.33
Colburn 14500W/m K8
Dittus Bolter (risc) 0.023
Sieder-Tate 0.027
Gni
346
383
44
el
6
D D c
D D
Dw
Nu Re Pr h
Nu Re Pr
Nu Re Pr
= = =
= =
µ= = µ
( )
( )( )
( )
2
2/3
2
10008inski , 0.019 19300W/m K
1 12.7 18
Gnielinski, tubo scabr
46
o , 0.03 27000W/m4 K
0
64
D c
D c
fRe Pr
f Nu hf
Pr
f Nu h
−= = = =
+ −
= = =
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EFFETTI DI IMBOCCO – PERDITE DI CARICO
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. MI -25
All’imbocco lo strato limite è più sottile, per cui la tensione di taglio e la caduta di pressione sono maggiori. E’ presente anche una perdita per accelerazione (dovuta al cambio di profilo del fluido con conseguente variazione di quantità di moto, v. cap.3)
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EFFETTI DI IMBOCCO – SCAMBIO TERMICO
Quindi Nu aumenta all’imbocco. La zona di imbocco può essere una frazione significativa del
Nella zona di imbocco Nux è una funzione del numero di Prandtl e del numero di Graetz:
/DRe Pr
Gzx D
=
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. MI -26
una frazione significativa del condotto, trascurarla porta a sottostimare lo scambio termico.
Correlazione di Al-ArabiPer l’effetto di imbocco, in moto turbolento
( )0.1
1/6 0.81
/ 30000.68
1/
D
z D
Pr ReNu
Nu z D∞
+
= +
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COEFFICIENTE GLOBALE DI SCAMBIO –RESISTENZA TERMICA
( ) ( ) ( )1 1 2 2' ' " "c c
AQ h A T T T T h A T T
t
λ= − = − = −ɺ
1 2
1 1 1 1T
c c
tR
uA A h h
= = + + λ
Scambio termico attraverso una parete, stazionario, no irraggiamento
( ) 1 21 2
T
T TQ u A T T
R
−= − =ɺ
T'
T1 hc2hc1
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. MI -27
1 2c cuA A h hλ
Le resistenze termiche in serie si sommano.
Per aumentare la potenza termica Q con ∆Tcostante, si devono aumentare u o A.
L’ aumento di A può non essere possibile in componenti miniaturizzati.
Per determinare u, è inutile essere molto accurati nel calcolare le basse resistenze termiche.
Per aumentare u, bisogna cominciare dalla resistenza termica più alta (ovvero, il più basso hc).
Q Rt2 Rt3Rt1T1 T' T" T2
q" T''
t x
T2
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ESEMPIO: TUBO IN CROSSFLOW
Diametro interno Di = 20 mm, spessore t = 2 mm, lunghezza L = 2 m, materiale acciaio inox λ = 16 W/m K
Interno: acqua, 80 °C, vi = 4 m/s, Esterno: aria, 20 °C, ve = 15 m/s
Trovare: RT, WT, T’, T”
Per il tubo t << D per cui si può considerare parete piana
In questo caso De ≠ Di →Ae ≠ Ai per cui bisogna modificare la definizione di RT
1 1T Ti Tp Te
i ci m e ce
tR R R R
Ah A A h
= + = + + λ
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. MI -28
i ci m e ceAh A A hλ
Dove Am = (Ai + Ae)/2
0.002
0.021 2 16Tpm
tR
A= = =
λ π ⋅ ⋅ ⋅0.001 K/W
Per l’esterno Re = 23700 , Pr = 0.7, Nu = 96, hc = 105.3 W/m2 K (v. in fondo)
Per l’interno Re = 205000 , Pr = 2.4, Nu = 536, hc = 17900 W/m2 K (Gnielinski)
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ESEMPIO: TUBO IN CROSSFLOW - 2
Quindi si ha
Da cui RT = 0.051 + 0.001 + 0.0044 = 0.0514 K/W, in maggior parte dovuta a Rte
1 1
0.020 2 17900Tii c
RA h
= = =π⋅ ⋅ ⋅
0.00044 K/W
1 1
0.020 2 159Tei ce
RA h
= = =π⋅ ⋅ ⋅
0.051 K/W
Per migliorare lo scambio termico bisogna agire su Rte
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. MI -29
Si ha poi WT = (Ti-Te)/RT = 1166 W
Ovvero il ∆T si concentra sulla resistenza termica maggiore.
E per quanto riguarda le temperature di parete:
T’ = Ti – WT Rti = 79.5 °C (interno tubo)
T” = Te + WT Rte = 78.9 °C (esterno tubo)
Si definisce anche coefficiente globale di scambio o conduttanza di parete
Riferito qui all’area media del tubo2
1 1 W120
0.021 2 0.051 m Km T
uA R
= = =π⋅ ⋅ ⋅
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ESEMPIO: TUBO IN CROSSFLOW - 3
Correlazioni di scambio termico per cilindro in crossflow (da Mills)
P. Di Marco – Termofluidodinamica Appl. MI -30