il problema
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IL PROBLEMA. ESTRAZIONE DI RADICE QUADRATA DI UN NUMERO NEGATIVO. Matematicamente si può:. decidere che tale calcolo non interessa creare un insieme di numeri in cui tale calcolo si può eseguire. Optiamo per la seconda ipotesi ok !. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
IL PROBLEMA
ESTRAZIONE DI RADICE ESTRAZIONE DI RADICE QUADRATA DI UN NUMERO QUADRATA DI UN NUMERO
NEGATIVONEGATIVO
9
Matematicamente si può:Matematicamente si può:
decidere che tale calcolo non interessa
creare un insieme di numeri in cui tale calcolo si può eseguire
Optiamo per la secondaOptiamo per la secondaipotesi ipotesi
ok ! ok !
i 1
Cominciamo con l’osservare che non vi è alcun numero reale il cui quadrato sia uguale a -1.
Però nulla impedisce di creare un nuovo “numero”, fuori dall’insieme R dei numeri reali, il quale soddisfi a questa condizione.
Questo nuovo numero si suole indicare con la lettera i e si chiama
unità immaginaria
si ha quindi per definizionesi ha quindi per definizione
i = -12
l’unità immaginaria è un po’ l’unità immaginaria è un po’ “strana”“strana”
l’unità immaginaria ha, con le sue potenze, un “piede” nell’insieme dei numeri reali
le sue potenze sono “cicliche” di ciclo 4, infatti i valori si ripetono ogni quattro
i
-1 +1
-i
in un riferimento cartesiano ortogonalein un riferimento cartesiano ortogonaleponiamo
sull’asse delle ascisse
i numeri realii numeri reali
sull’asse delle ascisse
i numeri realii numeri reali
sull’asse delle ordinate
i “numeri immaginari”i “numeri immaginari”
ottenuti moltiplicando un numero reale per l’unità immaginaria i
sull’asse delle ordinate
i “numeri immaginari”i “numeri immaginari”
ottenuti moltiplicando un numero reale per l’unità immaginaria i
Rappresentazione GeometricaRappresentazione Geometrica
a
b
P=(a,b)
chiamiamochiamiamo
numero complessonumero complesso
un numero del tipo
a+ib
con a e b numeri reali
a si chiama parte reale del numero complesso
ib si chiama parte immaginaria del numero
complesso
è natoè nato un nuovo insieme di
numeri
i numeri complessi
Rappresentiamo con un insieme Rappresentiamo con un insieme tutti i numeri che conosciamotutti i numeri che conosciamo
RealiImmaginari
Complessi
abi
a+ib
Diamo qualche definizioneDiamo qualche definizione
a+ib=c+id se e solo se a = c e b = d
a+ib > c+id non si può stabilire a+ib e a-ib
complessi coniugati
Somma algebrica di numeri Somma algebrica di numeri complessicomplessi
(a+ib)+(c+id)
(a+c)+(b+d)i
esempiesempi(3+2i)+(-5+7i)=-2+9i(-2-4i)+(-3+5i)=-5+i
(4+7i)-(-2+5i)=(4+7i)+(2-5i)=6+2i(1+2i)+(1-2i)=2 ???????(1+2i)-(1-2i)=(1+2i)+(-1+2i)=4i??????
Prodotto di numeri complessiProdotto di numeri complessi
(a+ib) (c+id) = ac+adi+bci+bdi2 =ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(bc+ad)i
in particolare:
(a+ib) (a-ib) = a2- b2i2 = a2 + b2
Bella cosa……..! Nell’insieme dei numeri
complessila somma di due quadrati è scomponibile in fattori!!!
Si però i fattori sono numeri complessi!!!
esempiesempi
(3+2i) (4-i) = (12+2)(-3+8)i = 14+5i
(3+2i) (3-2i) = 9 + 4 =13somma di due quadrati
Reciproco di un numero Reciproco di un numero complessocomplesso
Si definisce reciproco del numero complesso c + idil numero complesso c - id_ c2 + d2
infatti il loro prodotto è uguale a 1
Quoziente di numeri Quoziente di numeri complessicomplessi
(a+ib) / (c+id) = (a+ib) __1___ (c+id)
= (a+ib) (c-id) c2+d2
esempioesempio
i
ii
iiii
iiii
10
17
10
1
10
171
10
2155619
352
19
352
3
152352
RIASSUMIAMORIASSUMIAMO
quello che abbiamo imparato
introducendo i numeri immaginari
Avevamo un problema 9
l’abbiamo risolto
abbiamo creato l’insieme dei numeri complessi a + ib
abbiamo visto che tale insieme contiene sia i numeri reali già noti che i numeri immaginari
abbiamo visto che in questo nuovo insieme valgono regole uguali a quelle già note
ma in più che in esso si possono fare operazioni vietate nell’insieme dei reali
=3i