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Il ragionamento classico
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La logica
• Si basa su una grammatica che consente di derivare da un insieme di proposizioni iniziali date come vere (ASSIOMI) tutte le proposizioni con essi congruenti (TEOREMI).
• Una grammatica è un insieme di regole formali che consente di decidere se una proposizione è ben formata oppure no.
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La logica
• La logica è costruita a partire da due classi di oggetti:
• Termini: denotano gli oggetti di cui si parla
• Costanti predicative o predicati: denotano relazioni tra oggetti (in un numero qualsiasi)
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La logica
• Si chiama formula atomica la proposizione ottenuta applicando un predicato ad uno o più termini.
• Esempi: cane(Milù) un argomento uccide(Bruto, Cesare) due
argomenti
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I Linguaggi L1 e L2
• Esistono due livelli di linguaggio logico:
• L1 o logica delle proposizioni (Logica Booleana o aritmetica)• L2 o logica dei predicati (Logica matematica)
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Il Linguaggio L1 oCalcolo proposizionale
• La ‘grammatica’ della logica del primo ordine (Linguaggio L1) è definita dalla Tavola di Verità di 4 simboli che consentono di formare formule complesse a partire da formule atomiche.
• Questi simboli si chiamano connettivi logici.
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I connettivi logici
• La negazione ()• L’unione ()• La disgiunzione ()• L’implicazione ()
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Definizione dei connettivi logici
A B A AB AB AB
1 1 0 1 1 1
1 0 0 1 0 0
0 1 1 1 0 1
0 0 1 0 0 1
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Interpretazione di una formula atomica
Per attribuire un valore di verità ad una formula atomica (dire se una certa proposizione è vera o falsa) è necessario fissare una interpretazione relativamente ad un dominio
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Interpretazione di una formula atomica
Esempio: cane(Milù) ha valore 1 se nel nostro ‘mondo’ esiste un cane di nome Milù, ovvero se Milù appartiene all’insieme dei cani del nostro ‘mondo’.
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Algebra degli insiemi di Boole
Attribuire un valore di verità ad una proposizione quindi è equivalente a dire se un certo elemento appartiene ad un dato insieme.
E’ possibile riformulare il linguaggio L1 in termini di operazioni tra insiemi.
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Algebra degli insiemi di Boole
La negazione corrisponde all’operazione di complemento ad uno:
A A AA
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Algebra degli insiemi di Boole
L’unione corrisponde all’operazione di unione di insiemi
A A A B
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Algebra degli insiemi di Boole
La disgiunzione corrisponde all’operazione di intersezione di insiemi
A A B
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Algebra degli insiemi di Boole
L’implicazione è sempre vera tranne quando A è vera e B è falsa, quindi è sempre vera tranne che per la porzione ‘colorata’ di A:
A B
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Definizione di algebra (ad usum delphini)
Un algebra è un insieme chiuso di elementi su cui è definita una operazione di somma e di prodotto per uno scalare che godono delle proprietà ‘standard’ della somma e del prodotto…(commutatività, esistenza dell’elemento neutro…)
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Tautologie e Teorie Logiche
Una formula logica si definisce tautologica o logicamente valida se è sempre vera, a prescindere dalle interpretazioni dei termini che in essa compaiono.
L’insieme degli assiomi e di tutte le tautologie che da essi si possono derivare si chiama TEORIA LOGICA.
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Linguaggio L2: la logica dei predicati
Si ottiene a partire da L1 ampliando la ‘grammatica’ con l’introduzione di due nuovi simboli:
Il quantificatore esistenziale: e il quantificatore universale:
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Significato del quantificatore universale
x A(x) si legge per ogni individuo x è vero A(x). x è una variabile (o simbolo non terminale), cioè un valore che sostituisce un termine generico.
L’espressione x A(x) si chiama formula quantificata universalmente.
Significa che A(x) è vero qualunque sia il termine che sostituisce x in un dato dominio.
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Significato del quantificatore esistenziale
x A(x) si legge esiste x tale che A(x) è vero.
L’espressione x A(x) consente di affermare che in un certo dominio esisrte almeno un individuo che possiede la proprietà A.
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Apparato deduttivo
È un insieme di procedure che consentono di derivare dagli assiomi di una teoria tutti i teoremi (formule non contraddittorie con gli assiomi) che appartengono alla teoria stessa.
Dimostrare un teorema significa decidere se una data formula appartiene o no ad una teoria.
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Apparato deduttivo
Un apparato deduttivo è costituito da regole per realizzare inferenze corrette
ovvero non fallaci.
Le principali regole di inferenza sono 2:Modus PonensRegola di particolarizzazione
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Modus ponens
A AB B
Se A è vera e A implica B allora per definizione di implicazione è vera B
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Regola di particolarizzazione
x A(x) A(t)
Consente di derivare istanze o esempi specifici da una formula quantificata universalmente.
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Il calcolo automaticoo ragionamento formale
Utilizza l’apparato deduttivo del Linguaggio L2 per dimostrare teoremi ovvero per riconoscere tutte le formule che fanno implicitamente parte di una data Teoria logica.
DOMANDA: Esiste una verifica meccanica per definire qualunque verità matematica?
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I limiti del ragionamento formaleDato un sistema di assiomi (…) si
pongono due questioni rilevanti:1) Problema della coerenza: Da questo
sistema potrà mai essere dedotta una affermazione contraddittoria?
2) Problema della completezza: è possibile derivare tutte le proposizioni vere in modo automatico a partire dagli assiomi?
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I limiti del ragionamento formaleDOMANDA: La logica è un sistema
coerente e completo? Hilbert, Università di Bologna, 1928
RISPOSTA: NOPrimo Teorema di Incompletezza di GödelVienna, Accademia delle Scienze, 1930
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Genio e… regolatezza1 Usando una codifica data associo ad
ogni espressione formale un numero naturale
2 Quindi una espressione formale che dice qualcosa sui numeri naturali dice qualcosa su altre espressioni formali
3 Esiste l’espressione formale G che dice di se stessa: “Io non sono formalmente dimostrabile”
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Genio e… regolatezza4 Allora delle due l’una:• G è vera e allora esiste una
espressione non formalmente dimostrabile e il sistema (aritmetico, quindi L1) è incompleto
• G è falsa e allora abbiamo dedotto una proposizione contraddittoria usando una inferenza valida. Quindi il sistema è incoerente.
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I limiti del calcolo classicoQuindi il calcolo classico NON basta a se
stesso e non si può automatizzare il ragionamento matematico.
Qualcosa resta fuori…
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Un nuovo tipo di matematicaTuttavia l’uso del calcolatore ha permesso
di risolvere problemi matematici ritenuti insolubili utilizzando strategie esaustive e cioè analizzando una ad una tutte le alternative possibili. Per esempio:
il matematico definisce la forma che necessariamente deve avere una soluzione e il calcolatore esamina tutte le soluzioni di quella forma.
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Dalla logica al senso comune
Aspetti del ragionamento di senso comune non considerati dal ragionamento logico classico:
Verità che cambiano nel tempoNecessarietà o obbligatorietà di una azione
Questi aspetti conducono all’evoluzione del formalismo logico e all’introduzione delle LOGICHE MODALI
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Logica deontica
Si usa per formalizzare conoscenze relative all’ambito giuridico (ciò che è permesso, ciò che lecito…)
Usa gli operatori modali O e P:• O indica ciò che è obbligatorio• P indica ciò che è permesso
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Assiomi della Logica deontica
Definiscono il senso degli operatori P e O:PA ¬O ¬A
OAPAGli assiomi indicano che sono permesse
tutte e sole le cose che non sono esplicitamente vietate e che ciò che è obbligatorio deve essere anche permesso
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Logica Temporale Modale
Si utilizza soprattutto nella pianificazione di azioni. L’idea è di costruire una successione di mondi ciascuno dei quali rappresenta lo stato delle cose ad un certo istante di tempo:
t1, t2, t3, t4….
m1, m2, m3, m4….
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Logica Temporale Modale
Gli operatori introdotti sono del tipo�, , o�A significa A è vero da ora in poi A significa A sarà vero da un qualche t
futuro in poioA significa A sarà vero dal prossimo
istante di tempo in poi