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Introdução à Lógica ComputacionalILC 2019.2Aula: Lógica de Predicados II
Mestrando: Daniel da Silva CostaProfessora: Dra. Ana Cristina Bicharra GarciaUNIRIO
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Recordar é viver...
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Sintaxe
● Conectivos Lógicos: ¬, ∧, ∨, →, ⇔● Objetos: concretos, abstratos, fictícios● Termos: t1, t2, …, tn
○ Variáveis: x, y, z (“alguém”, “algo”, “algum”)○ Constantes: a, b, c (“João”, “Turma ILC”, “o ponto A”)
● Predicados: P, P(x), Q(x), R(x, z), T(x, y, z)○ Propriedades ou relações entre os objetos do universo
● Quantificadores: ∀ (Universal), ∃ (Existencial)
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Quantificadores
Para D = {a, b, c}
Quantificador Universal ⇔ Conjunção∀(x)[ colorido(x) ] ⇔ colorido(a) ∧ colorido(b) ∧ colorido(c)
Quantificador Existencial ⇔ Disjunção∃(x)[ colorido(x) ] ⇔ colorido(a) ∨ colorido(b) ∨ colorido(c)
[Pereira]
¬cor(a, azul)
M
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Fórmulas
● Definição de Fórmula: [PUCSP]○ Se A e B forem fórmulas então: (¬A), (A ∧ B) , (A ∨ B) ,
(A → B) e (A ⇔ B) são fórmulas.○ Se A for uma fórmula e x uma variável então (∀x)A e
(∃x)A são fórmulas.
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Fórmulas Atômicas
● Toda fórmula atômica é uma fórmula.● P(x), Q(y), R(x, z), T(x, y, z)● Sem quantificadores, apenas o predicado.● Exemplo: T(x, y, z)
○ “Pessoa X emprestou para pessoa Y um livro Z”.○ “João emprestou para Maria o livro O Senhor dos Anéis”.
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Quantificadores - Exemplos
1. Pedras preciosas são caras.2. Ninguém gosta de impostos. 3. Vegetarianos não gostam de açougueiros.
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Quantificadores - Negação
[PUCSP]
Seja a fórmula (∀x) P(x) e o conjunto universo U = { a, b, c }.
(∀x) P(x) ⇔ P(a) ∧ P(b) ∧ P(c)
Podemos considerar então que :
¬(∀x) P(x) ⇔ ¬( P(a) ∧ P(b) ∧ P(c) ) ⇔ ¬P(a) ∨ ¬P(b) ∨ ¬P(c)
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Quantificadores - Negação
Existe no mínimo um objeto em U tal que ¬P(x).
Logo:
¬(∀x) P(x) ⇔ (∃x) ¬P(x)
Segue-se que:
(1) ¬(∀x) P(x) ⇔ (∃x) ¬P(x)(2) ¬(∀x) ¬P(x) ⇔ (∃x) P(x)(3) ¬(∃x) P(x) ⇔ (∀x) ¬P(x)(4) ¬(∃x) ¬P(x) ⇔ (∀x) P(x)
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Quantificadores - Equivalência
[Pereira]
Nem toda estrada é perigosa.
(=?)
Algumas estradas não são perigosas.
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Quantificadores - Equivalência
Nem todo bêbado é fumante.
(=?)
Alguns bêbados são fumantes.
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Quantificadores - Equivalência
Nem todo ator americano é famoso.
(=?)
Alguns atores americanos não são famosos.
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Validade
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Exemplo 0 - [PUCSP]
Todos os humanos são racionais.
Alguns animais são humanos.___________________________________
Portanto, alguns animais são racionais.
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“Novas ferramentas”
● Instanciação● Funções de Skolem● Unificação
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Instanciação
(Variáveis Universais)
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Instanciação - Variável Universal
“Todo cão é fiel a alguém” [Pereira]
Fórmula: ∀x[ cão(x) → ∃y[ fiel(x, y) ] ]
Instância: cão( Totó ) → ∃y[ fiel( Totó, y ) ] / { x = Totó }
“Se Totó é um cão, então Totó é fiel a alguém.”
Fórmula e instância têm significados coerentes.Fonte da Imagem: http://1.bp.blogspot.com/-dG7aEjKdYNM/UOQu_lQBI2I/AAAAAAAAOI4/tndpJyF_ZRI/s1600/Pug_Dog2.jpg
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Instanciação - Variável Existencial
“Todo cão é fiel a alguém” [Pereira]
Fórmula: ∀x[ cão(x) → ∃y[ fiel(x, y) ] ]
Instância: ∀x[ cão(x) → fiel(x, Daniel) ] / { y = Daniel}
“Todo cão é fiel a Daniel.”
Fórmula e instância têm significados diferentes.
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Funções de Skolem
(Variáveis Existenciais)
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Funções matemáticas
y = f(x) ⇔ { x ∈ A e y ∈ B }
Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)
Fonte: https://sc01.alicdn.com/kf/HTB19zvXn7OWBuNjSsppq6xPgpXa1/Commercial-Espresso-Coffee-Machine-Instant-Coin-Coffee.jpg_350x350.jpg
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Funções de Skolem
“Todo cão é fiel a alguém” [Pereira]
Fórmula: ∀x[ cão(x) → ∃y[ fiel(x, y) ] ]
{ y = dono(x) }Instância: ∀x[ cão(x) → fiel(x, dono(x)) ]
“Todo cão é fiel a seu dono.”
Fórmula e instância têm significados coerentes.
Thoralf Skolem
Fonte: https://en.wikipedia.org/wiki/Thoralf_Skolem
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Unificação
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Unificação
“Processo de encontrar um conjunto minimal de substituições que torna duas fórmulas idênticas.” [Pereira]
Nesse processo, uma variável pode ser substituída por uma constante, por uma variável ou por uma função. [Pereira]
● Exemplos: ○ gosta(Bia, x) e gosta(y, z) | { Bia/y, x/z }○ ama(Deus, y) e ama(x, filho(x)) | { Deus/x, y/filho(x) }
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Unificação
MGU - Unificador Mais Geral
Exemplo 1: Encontre o MGU de { p( x, f(x) ), p( y, f(a) ) }
MGU: { y/x, a/x }
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Unificação
Exemplo 2: { p( f(x), y, g(y) ), p( y, f(a), g(a) ) }
1) Conflito: { f(x), y } → { p( f(x), f(x), g(f(x)) ), p( f(x), f(a), g(a) ) }2) Conflito: { x, a } → { p( f(a), f(a), g(f(a)) ), p( f(a), f(a), g(a) ) }3) Conflito: { f(a), a } → Não é unificável.
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Unificação
Exemplo 3: { p( a, x, f( g(y) ) ), p( z, h(z, w), f(w) ) }
1) Conflito: { a, z } → { p( a, x, f( g(y) ) ), p( a, h(a, w), f(w) ) }2) Conflito: { x, h(a, w) } → { p( a, x, f( g(y) ) ), p( a, x, f(w) ) }3) Conflito: { g(y), w } → { p( a, x, f(w) ), p( a, x, f(w) ) }
2b) Conflito: { x, h(a, w) } → { p( a, h(a, w), f(w) ), p( a, h(a, w), f(w) ) }
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Prova por Árvore de Refutação
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Passos
1. FNC - Forma Normal Causal2. Negar a Conclusão3. Árvore de Refutação
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Prove a validade usando Árvore de
Refutação...
LÓGICA PROPOSICIONAL
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Exemplo 1
A → F¬F
________¬A
Chega-se num absurdo, portanto o argumento é válido.
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Exemplo 2
A → FF
________A
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Exemplo 3
A → FF
________¬A
Não chega em absurdo. Nada pode provar.
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Exemplo 4
J → G¬J → TG → C¬C
________T
Válido
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Exemplo 5
{ P ∨ ( Q ∨ R ), ¬R } ⊧ P ∨ Q
Válido
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Prove a validade usando Árvore de
Refutação...
LÓGICA DE PREDICADOS
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Exemplo 0 - [PUCSP]
Todos os humanos são racionais.
Alguns animais são humanos.___________________________________
Portanto, alguns animais são racionais.
Argumento Válido
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Exemplo 1 - [PUCSP]
(∀x)P(x) → (∃x)P(x)
Argumento Válido
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Exemplo 2 - [PUCSP]
Todos os cientistas são estudiosos. ⇔ (∀x)(C(x) → E(x))
Alguns cientistas são inventores. ⇔ (∃x)(C(x) ∧ I(x))__________________________________________________________
Alguns estudiosos são inventores. ⇔ (∃x)(E(x) ∧ I(x))
Argumento Válido
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Exemplo 3 - [PUCSP]
Nenhum estudante é velho. ⇔ (∀x)(E(x) → ¬V(x))
Alguns jovens não são estudantes. ⇔ (∃x)(J(x) ∧ ¬E(x))_____________________________________________________
Alguns velhos não são jovens. (∃x)(V(x) ∧ ¬J(x))
Argumento Não Válido
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Exemplo 4 - [PUCSP]
(∀x)(∃y)P(x, y) | P(a, a)
Argumento Não Válido
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Bibliografia
● [Pereira] Lógica de Predicados (Prof. Dr. Silvio do Lago Pereira)○ PDF:
https://www.ime.usp.br/~slago/IA-logicaDePredicados.pdf○ Apresentação: https://www.ime.usp.br/~slago/ia-3.pdf
● [Wikipedia]○ https://pt.wikipedia.org/wiki/Lógica_de_primeira_ordem
● [PUCSP] O CÁLCULO DE PREDICADOS DE 1a ORDEM○ https://www.pucsp.br/~logica/CalculodePredicados.htm
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