Introduccion a los sistemas de ecuaciones lineales

Departamento de Matematicas, CCIR/ITESM

19 de enero de 2011

Indice

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Ecuacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Sistema de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4. Representacion matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5. Solucion particular y general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6. Clasificacion de los sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.7. Metodo de solucion a un sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.8. Manipulacion de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.9. Operaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.10. Operaciones elementales de renglon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.11. Eliminacion matricial contra algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.12. Comentario final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1. Introduccion

En esta seccion se introducen los conceptos basicos referentes a los sistemas de ecuaciones lineales. Definire-mos cuando una ecuacion es una ecuacion lineal y cuando se tiene un sistema de ecuaciones lineales. La matrizaumentada del sistema se utilizara para representar convenientemente el total de la informacion del sistemay se describira como la manipulacion de ella equivale a la manipulacion del sistema de ecuaciones. Asimismo,se introducira la idea de la estrategia de eliminacion gaussiana para resolver un sistema de ecuaciones basadociertas operaciones llamadas operaciones elementales.

1.2. Ecuacion lineal

Definicion 1.1

Una ecuacion lineal con n variables x1, x2, . . . , xn es una igualdad matematica que puede escribirse en la forma:

a1 x1 + a2 x2 + + an xn = b (1)Los ai se conocen como los coeficientes de la ecuacion, y a b se le llama el termino constante. Las variableso incognitas xi representan cantidades desconocidas que se desean determinar. Si el valor de b es cero, se diceque la ecuacion es una ecuacion homogenea. Dada la ecuacion (1), a la nueva ecuacion

a1 x1 + a2 x2 + + an xn = 0 (2)

se le conoce como la ecuacion homogenea asociada. Es comun convenir en un ordenamiento de las incognitasxi; de acuerdo a ese orden, a la primera de ellas que no tenga coeficente cero se le llamara variable delantera,mientras que las restantes se les llamaran variables libres. Cuando una ecuacion aparece descrita como en

(1) se dice que la ecuacion esta en su forma canonica. Note que en la forma canonica todas las variables seencuentran en el primer miembro, mientras que los terminos donde ellas no aparecen quedan en el segundo.Ejemplo 1.1

Indique cuales opciones contienen ecuaciones lineales:

1. x y = 4 2x 3 y2. x+

2 y = 2w + 4 z

3. 5x y + 5 z = 1 + w4. x+ 5 y + z = 5

x

5. x 4 y4 = z6. 5x+ y + 5 z = 1 + 5 y7. cos (x) + 2 y 3 z = 18. 5

x+ y + z = 1

Solucion

Solamente las opciones 1, 2 y 6 contiene ecuaciones lineales. Los terminos resaltados impiden que pueda llevarsea la forma canonica Ejemplo 1.2

Indique cuales opciones contienen ecuaciones lineales y homogeneas:

1. x+ y + z = 1 4 y2. x = w 2 y23. 2x 3 y = 5 4x 9 y4. x+ y = w + z5. 3 4x = 3 3x+ 5 y6. x+ x y + z = 0

Solucion

Solamente las opciones 4 y 5 contiene ecuaciones lineales homogeneas. 2 y 6 no son lineales. 1 y 3 son linealespero no homogeneas

1.3. Sistema de ecuaciones lineales

Definicion 1.2

Un sistema de ecuaciones simultaneas, o tambien llamado un sistema lineal, es un conjunto de ecuacioneslineales. El problema de resolver tal sistema consiste en encontrar las soluciones que satisfacen simultaneamentetodas las ecuaciones del sistema. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones que puede serescrito en la forma:

a1 1 x1 + a1 2 x2 + + a1n xn = b1a2 1 x1 + a2 2 x2 + + a2n xn = b2

...am 1 x1 + am 2 x2 + + amn xn = bm

(3)

Los numeros a1 1, a1 2, . . . , a1n, a2 1, a2 2, . . . , a2n,. . . , am 1, am 2, . . . , amn, son los coeficientes del sistema,mientras que b1, b2, . . . , bm son los terminos constantes. Cuando todos los terminos constantes son cero, se diceque el sistema es un sistema lineal homogeneo. Un concepto que posteriormente cobrara importancia es el desistema homogeneo asociado a un sistema lineal: es el sistema que se obtiene haciendo ceros todos los terminosconstantes del sistema.

2

1.4. Representacion matricial

Una forma de abreviar la escritura de un sistema lineal y que, como se vera posteriormente, es muy con-veniente en el proceso de solucion es el de la matriz aumentada. Una matriz es un arreglo rectangular denumeros. Las alineaciones horizontales se llamaran filas de la matriz, mientras que las alineaciones verticalesde llamaran columnas de la matriz. La dimension de una matriz sera el producto indicado del numero derenglones por el numero de columnas de la matriz. As por ejemplo, se dira que la dimension de una matriz es4 3, lo cual indicara que el arreglo rectangular tendra 4 renglones y 3 columnas. La posicion de los renglonesen una matriz sera de arriba hacia abajo. Mientras que la posicion de las columnas sera de izquierda a derecha.Cuando se refiere al elemento (i, j) de una matriz, se refiere al elemento que esta en el renglon i y en la columnaj.

Definicion 1.3

La matriz aumentada de un sistema lineal es una matriz que representa el total de la informacion del sistema.Para formar la matriz aumentada, primeramente se conviene en un ordenamiento para las incognitas del sis-tema. Seguido de ello, cada ecuacion es reescrita en la forma canonica de acuerdo a tal orden. Si el sistematiene m ecuaciones y n incognitas la matriz aumentada tendra dimension m (n+ 1), donde cada renglon deella contendra la informacion de la ecuacion correspondiente. Cada una de las primeras n columnas de lamatriz estaran asociadas a una incognita y estaran dispuestas en el orden acordado: la primera columna rela-cionada con la primera incognita, la segunda columna con la segunda incognita, etcetera. La ultima columnaestara asociada a los segundos miembros de cada ecuacion. En terminos precisos, si a es el coeficiente en laecuacion i de la variable j, entonces el elemento (i, j) en la matriz aumentada es a. Por otro lado, si b es eltermino constante en la ecuacion i, entonces la matriz aumentada del sistema tendra b en la posicion (i, n+1).Veamos un ejemplo que ilustra como se forma la matriz de un sistema de ecuaciones lineales.

Ejemplo 1.3

Construya la matriz aumentada para el sistema lineal:

3x 5 z = 1y + 2x z = 0

2 y 4 z = 4Solucion

Para formar la matriz aumentada del sistema debemos convenir en un orden para las incognitas, digamos queconvenimos en el orden lexicografico o alfabetico: primero x, luego y y por ultimo z. Luego debemos conveniren un orden para las ecuaciones; aqu tomaremos el orden en cual estan dadas. El sistema se puede reescribircomo:

3x +0 y 5 z = 12x +1 y 1 z = 00x +2 y 4 z = 4

As, la matriz aumentada es: 3 0 5 12 1 1 0

0 2 4 4

o 3 0 5 : 12 1 1 : 0

0 2 4 : 4

o

3 0 5 12 1 1 0

0 2 4 4

En general, en la matriz aumentada se puede diferenciar la matriz de coeficientes y el vector de terminosconstantes de un sistema lineal. Para el ejemplo anterior, la matriz de coeficientes y el vector de terminos

3

constantes son respectivamente: 3 0 52 1 1

0 2 4

y

10

4

Observe que la matriz aumentada del sistema tiene 3 renglones y 4 columnas (un renglon por cada ecuacion,una columna por cada incognita mas una columna por los terminos constantes), por ello es que la matrizaumentada tiene dimension 3 4, mientras que la matriz de coeficientes es 3 3

1.5. Solucion particular y general

Definiremos ahora lo que buscamos para sistemas de ecuaciones lineales: primero en el caso de una ecuacionlineal y despues en el caso de un sistema de ecuaciones.

Definicion 1.4

Una solucion a una ecuacion es una asignacion xi = ci a cada una de las incognitas que al realizarse hace quela ecuacion se convierta en una identidad. Una identidad matematica o simplemente identidad es una relacionmatematica de igualdad que siempre es cierta sin importar que valor se asigne a las variables que contiene, porejemplo son identidades: sin2(x)+cos2(x) = 1 y (x+y)2 = x2+2x y+y2. Contrariamente a una identidad, unaecuacion solo es valida posiblemente para algunos valores. En general, distinguiremos dos tipos de soluciones.Cuando en cada asignacion xi = ci las ci tengan solo constantes diremos que se tiene una solucion particular.Mientras que si en alguna de ellas aparecen parametros libres se dira que se tiene una solucion. Por otrolado, la solucion general para una ecuacion es una formula matematica de donde pueden ser obtenidas todaslas soluciones a ella: usualmente estas formulas contienen variables o parametros libres. El concepto soluciongeneral cuando contiene parametros tiene dos implicaciones. Por un lado implica que no importa que valor seasigen a tales parametros lo que se obtiene es una solucion, y tambien se implica que si se da una solucionparticular de la ecuacion, debe ser posible encontrar valores especficos a los parametros para obtener dichasolucion. El concepto de solucion a un sistema de ecuaciones lineales es una extension directa al concepto desolucion a una ecuacion poniendo de manifiesto la simultaneidad del problema:Definicion 1.5

Una asignacion del tipo x1 = r1, x2 = r2, . . . , xn = rn para las incognitas de un sistema, se dice solucion a unsistema lineal, si esta sustitucion es una solucion a todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Si un sistematiene al menos una solucion se llama sistema consistente; en caso contrario, se dice sistema inconsistente.Ejemplo 1.4

Verifique que x = 3, y = 1, z = 2 es solucion a:

2x+ y 3 z = 1

Solucion

Sustitiyendo los valores de cada incognita en la ecuacion obtenemos:

2 (3) + (1) 3 (2) = 11 = 1

Como queda una identidad, x = 3, y = 1, z = 2 es solucion a la ecuacion Ejemplo 1.5

Verifique que x = 3, y = 1, z = 2 es solucion al sistema:

2x + y 3 z = 1x y 2 z = 0x + 2 y + z = 2

4

Solucion

Sustitiyendo en cada ecuacion tenemos:

2 (3) + (1) 3 (2) = 1 =1 1(3) (1) (2) = 0 =2 0(3) + 2(1) + (2) = 3 =3 2

Como la tercera de estas igualdades no se cumple, x = 3, y = 1, z = 2 no es solucion al sistema dadoIlustremos un poco la naturaleza de los sistemas de ecuaciones lineales. Los siguientes ejemplos contienensistemas de ecuaciones y su representacion grafica. En dichos ejemplos, se ilustra como son los posibles conjuntossolucion: cuando la solucion consta de un solo punto, solucion unica, cuando el numero de soluciones es infinito,y cuando no existe ninguna solucion al sistema.Ejemplo 1.6

Sistema con solucion unica:

3x+ 2 y = 6x y = 0

-

6

1 2 3 x

1

2

3

y

JJJJJJJJJJJ

JJ

r

x y = 0

3x+ 2 y = 6

En este caso, las rectas no son paralelas al tener diferente pendiente y deben cortarse en un solo punto Ejemplo 1.7

Sistema con infinitas soluciones:

3x+ 2 y = 66x+ 4 y = 12

-

6

1 2 3 x

1

2

3

yJJJJJJJJJJJJJ

3x+ 2 y = 6

6x+ 4 y = 12

En este caso, ambas ecuaciones representan la misma recta en el plano Ejemplo 1.8

Sistema inconsistente:

5

3x+ 2 y = 6.33x+ 3 y = 5.8

-

6

1 2 3 x

1

2

3

yJJJJJJJJJJJJJ

JJJJJJJJJJJJJ

3x+ 2 y = 6.3

3x+ 2 y = 5.8

En este caso, las ecuaciones representan rectas paralelas; al tener la misma pendiente y tener diferente ordenadaal origen no es posible que se cortenEjemplo 1.9

Sistema con solucion unica:

x+ 3 y z = 42x+ y + 3 z = 94x+ 2 y + z = 11

0

100

1 2

1

x2

3

2

y3

4

3

4

z

4

5

6

Ejemplo 1.10

Sistema con infinitas soluciones:

x+ 2 y z = 42x+ 5 y + 2 z = 9x+ 4 y + 7 z = 6

-4-2 y

02

4

-4-2

0x2

4

Ejemplo 1.11

Sistema inconsistente:

6

y 2 z = 52x y + z = 24x y = 4

-4

-4

-4

-2

-2-2

0z

00

2

xy

4

2244

Ejemplo 1.12

Sistema inconsistente:

2x y + z = 22x y + z = 22x y + z = 0

-4-2 y

02

4

-4-2

0x2

4

Ejemplo 1.13

Sistema inconsistente:

2x y + z = 22x y + z = 2

2x 2 y + 3 z = 0

-4-2 y

02

4

-4-2

0x2

4

1.6. Clasificacion de los sistemas de ecuaciones

Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones respecto a sus conjuntos solucion:

sistema consistente

7

con solucion unica con infinitas soluciones

sistema inconsistente

1.7. Metodo de solucion a un sistema lineal

Los sistemas de ecuaciones lineales mas sencillos de resolver son los sistemas de forma triangular. Considereel siguiente ejemplo.

2x + 3 y 2 z = 12 y + z = 2

3 z = 6Estos sistemas se resuelven mediante sustitucion hacia atras. Este metodo consiste en resolver primero laultima ecuacion; con su solucion resolver la penultima ecuacion y as sucesivamente. En nuestro ejemplo:

De la ultima ecuacion: z = 2,Con el valor anterior la segunda ecuacion queda

2 y + (2) = 2por consiguiente y = 0,

Sustituyendo las incognitas despejadas la primera ecuacion queda:

2x+ 3 (0) 2 (2) = 1

Por consiguiente x = 3/2 Viendo lo sencillo de resolver los sistemas triangulares, el problema de resolver un sistema de ecuaciones linealesse convierte en el problema de transformar un sistema dado en un sistema de forma triangular que sea unsistema equivalente a el, es decir, un sistema nuevo cuyo conjunto solucion es el mismo que el conjunto solucional sistema original.

1.8. Manipulacion de ecuaciones

Cuando uno manipula sin cuidado una ecuacion para resolverla puede ocurrir que se pierdan soluciones oinclusive que se ganen soluciones que no lo son. Veamos los siguientes ejemplos. Si para resolver la ecuacion

x (x+ 3) = x

cancelamos x en ambos lados de la ecuacion, y resolvemos obtenemos que la unica solucion es x = 2, lo cuales incorrecto pues en la cancelacion perdimos la solucion x = 0. Si por otro, para resolver la ecuacion

x+ 2 1 = 2x+ 3despejamos el radical y elevamos al cuadrado, obtenemos la ecuacion cuadratica:

x+ 2 = (2x+ 4)2

la cual tiene como races x = 2 y x = 7/4, de las cuales x = 7/4 no es raz de la ecuacion inicial. Deestos ejemplos concluimos que la manipulacion a un sistema de ecuaciones lineales a resolver debe hacerse concuidado de manera que no se pierdan o ganen soluciones incorrectas. Dos sistemas de ecuaciones son sistemasequivalentes si ambos tienen el mismo conjunto solucion. Nuestra forma de proceder sera manipular el sistemade ecuaciones de manera que en cada paso se tenga un sistema equivalente al sistema del paso anterior.

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1.9. Operaciones elementales

Las tres reglas siguientes ayudan a triangularizar un sistema y garantizan la obtencion de sistemas deecuaciones equivalentes: estas reglas se conocen como operaciones elementales entre las ecuaciones del sistema.Las operaciones elementales con ecuaciones son:

Operacion de Intercambio: Intercambie dos ecuaciones (la de la posicion i con la de la posicion j):

Ei Ej (4)

La forma de interpretar la operacion sera la siguiente. Dado un cierto sistema de ecuaciones lineales, segenera un nuevo sistema de ecuaciones donde la diferencia entre ambos sera que la ecuacion i del nuevosistema sera la ecuacion j del sistema previo y la ecuacion j sera del nuevo sistema sera la ecuacion i delsistema previo.

SELinicial :

E1...

Ei1EiEi+1...

Ej1EjEj+1...En

Ei Ej SELnuevo :

E1...

Ei1EjEi+1...

Ej1Ei

Ej+1...En

Operacion de Escalamiento:Multiplique una ecuacion (la de la posicion i) por una constante diferentede cero (c):

Ei cEi, c 6= 0 (5)La forma de interpretar la operacion sera la siguiente. Dado un cierto sistema de ecuaciones lineales, segenera un nuevo sistema de ecuaciones donde la diferencia entre ambos sera que la ecuacion i del nuevosistema sera la ecuacion i del sistema previo multiplicada por el escalar c. La multiplicacion sera enambos miembros de la ecuacion.

SELinicial :

E1...

Ei1EiEi+1...En

Ei c Ei SELnuevo :

E1...

Ei1cEiEi+1...En

Operacion de Eliminacion: Sume a una ecuacion (la de la posicion j) un multiplo de otra ecuacion(la de la posicion i) y a la ecuacion resultante llamele de nuevo la ecuacion j:

Ej Ej + cEi (6)

La forma de interpretar la operacion sera la siguiente. Dado un cierto sistema de ecuaciones lineales, segenera un nuevo sistema de ecuaciones donde la diferencia entre ambos sera que la ecuacion j del nuevo

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sistema sera la ecuacion j del sistema previo a la cual se le ha sumado la ecuacion i del sistema previomultiplicada por el escalar c. La suma sera miembro a miembro.

SELinicial :

E1...

Ei1EiEi+1...

Ej1EjEj+1...En

Ej Ej + cEi SELnuevo :

E1...

Ei1EiEi+1...

Ej1Ej + c Ei

Ej+1...En

Es sencillo justificar que la aplicacion de alguna de las tres operaciones elementales anteriores convierten elsistema en uno equivalente. Para ello debe demostrarse que una sustitucion es solucion al primer sistema siy solo si es solucion al sistema resultante. Como las operaciones cambian una o dos ecuaciones basta razonarsobre las ecuaciones transformadas. Esta demostracion es realmente un ejercicio de escritura. Para llevar acabo las demostraciones use la siguiente notacion. Sea X = Xo una sustitucion de la forma x1 = a1, x2 = a2,. . . , xn = an donde las xi representan las incognitas del sistema y ai representan numeros reales. Diremosque la ecuacion E : IE = DE satisface X = Xo si el valor obtenido de sustitituir X = Xo en el ladoizquierdo, representado por Sus(X = Xo, IE), es igual al valor obtenido de sustituir X = Xo en el ladoderecho, representado por Sus(X = Xo, DE). Que la aplicacion de una operacion de intercambio de ecuacionesmantiene la equivalencia de entre los sistemas no requiere justificacion.Suponga que c 6= 0 y que la ecuacion E : c IE = cDE se obtiene de E : IE = DE multiplicandola porc as Sus(X = Xo, IE) = c Sus(X = Xo, IE) y Sus(X = Xo, DE) = c Sus(X = Xo, DE). Por tanto,Sus(X = Xo, IE) Sus(X = Xo, DE) = c (Sus(X = Xo, IE) Sus(X = Xo, DE)) = 0 si y solo si Sus(X =Xo, IE) Sus(X = Xo, DE) = 0. Esto dice que para c 6= 0, X = Xo es solucion a la ecuacion E si y solo si essolucion a cE. Lo anterior demuestra que si aplicamos una operacion de escalamiento el sistema obtenido esequivalente al sistema original.Supongamos ahora que usando las ecuaciones E1 : IE1 = DE1 y E2 : IE2 = DE2 se forma otro sistema deecuaciones E3 : E1 y E4 : IE2 + c IE1 = DE2 + c IE1 . Suponga ahora que X = X0 es solucion tanto a E1 comoa E2. Entonces

Sus(X = Xo, IE4) = Sus(X = Xo, IE2 + c IE1)= Sus(X = Xo, IE2) + c Sus(X = Xo, IE1)= Sus(X = Xo, DE2) + c Sus(X = Xo, DE1)= Sus(X = Xo, DE4)

probando que X = Xo es solucion a E4 y tambien a E3. Si suponemos ahora que X = Xo es solucion a E3 ya E4, entonces

Sus(X = Xo, IE2) = Sus(X = Xo, IE4 c IE3)= Sus(X = Xo, IE4) c Sus(X = Xo, IE3)= Sus(X = Xo, DE4) c Sus(X = Xo, DE3)= Sus(X = Xo, DE4 cDE3)= Sus(X = Xo, DE2)

probando que X = Xo es solucion a E2 y tambien a E1 (= E3). Lo anterior justifica que si aplicamos unaoperacion de eliminacion se obtiene un sistema equivalente al sistema original.

10

1.10. Operaciones elementales de renglon

En lugar de manejar ecuaciones es preferible manejar la matriz aumentada del sistema. Por ello es quelas anteriores operaciones entre ecuaciones pueden verse como operaciones entre renglones de una matriz. Laidea de estas operaciones elementales es que capturen las operaciones elementales entre las ecuaciones de unsistema lineal pero llevadas a la matriz aumentada. Aunque pueden llevarse a efecto a cualquier matriz, nonecesariamente a la matriz aumentada de un sistema lineal. Las operaciones elementales de renglon son:

Intercambio: Intercambie dos renglones (el de la posicion i con el de la posicion j):

Ri Rj (7)

Escalamiento: Multiplique un renglon (el de la posicion i) por una constante diferente de cero (c):

Ri cRi, c 6= 0 (8)

Eliminacion: Sume a un renglon (el de la posicion j) un multiplo de otro renglon (el de la posicion i):

Rj Rj + cRi (9)

Ejemplo 1.14

Resuelva el sistema:x + y z = 12x + y + 3 z = 103x + y + 2 z = 3

Solucion

Mantengamos el orden de las ecuaciones y el de las variables. El sistema y su matriz aumentada queda:

x + y z = 12x + y + 3 z = 103x + y + 2 z = 3

y

1 1 1 12 1 3 10

3 1 2 3

Lo que debemos hacer es eliminar la primera variable de las ecuaciones dos y tres. Para ello a la segundaecuacion le debemos sumar la primera ecuacion multiplicada por 2. Mientras que a la tercera le debemossumar la primera multiplicada por 3.

Despues de E2 E2 + (2)E1 y E3 E3 + 3E1 ( o R2 R2 + (2)R1 y R3 R3 + 3R1) obtenemos:x + y z = 1

y + 5 z = 8+ 4 y z = 6

y

1 1 1 10 1 5 8

0 4 1 6

Lo que debemos hacer ahora es eliminar la segunda variable de la ecuacion tres. Para ello a la tercera ecuacionle debemos sumar la segunda ecuacion multiplicada por 4. Despues de E3 E3 + 4E2 ( o R3 R3 + 4R2)obtenemos:

x + y z = 1 y + 5 z = 8

+ 19 z = 38y

1 1 1 10 1 5 8

0 0 19 38

A pesar de que el sistema es ya escalonado, es mas conveniente continuar el proceso de manera que quedenunos delanteros. Despues de E3 119 E3 (o R3 119 R3) obtenemos:

x + y z = 1 y + 5 z = 8

+ z = 2y

1 1 1 10 1 5 8

0 0 1 2

11

Eliminemos ahora la variable z de la primera y segunda ecuacion. Despues de E2 E2 + (5)E3 yE1 E1 + E3 ( o R2 R2 + (5)R3 y R1 R1 +R3) obtenemos:

x + y = 3 y = 2

+ z = 2y

1 1 0 30 1 0 2

0 0 1 2

Eliminemos ahora la variable y de la primera ecuacion. Despues de E1 E1 + E2 ( o R1 R1 +R2):

x = 1 y = 2

+ z = 2y

1 0 0 10 1 0 2

0 0 1 2

Para finalmente completar nuestra tareas, ajustemos los coeficientes de las variables. Despues de E1 (1)E1y E2 (1)E2 ( o R1 (1)R1 R2 (1)R2):

x = 1y = 2

z = 2y

1 0 0 10 1 0 2

0 0 1 2

La solucion es x = 1, y = 2, y z = 2. Generalmente, la forma de trabajo consiste solo en escribir la lamanipulacion de la matriz aumentada indicando en forma detallada las operaciones realizadas.

1 1 1 12 1 3 10

3 1 2 3

R2 R2 + (2)R1R3 R3 + 3R1

1 1 1 10 1 5 8

0 4 1 6

1 1 1 10 1 5 8

0 4 1 6

R3 R3 + 4R2

1 1 1 10 1 5 8

0 0 19 38

1 1 1 10 1 5 8

0 0 19 38

R3

1

19R3

1 1 1 10 1 5 8

0 0 1 2

1 1 1 10 1 5 8

0 0 1 2

R2 R2 + (5)R3R1 R1 +R3

1 1 0 30 1 0 2

0 0 1 2

1 1 0 30 1 0 2

0 0 1 2

R1 R1 +R2

1 0 0 10 1 0 2

0 0 1 2

1 0 0 10 1 0 2

0 0 1 2

R1 (1)R1R2 (1)R2

1 0 0 10 1 0 2

0 0 1 2

Por tanto, la solucion es: x = 1, y = 2, y z = 2

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Ejemplo 1.15

Resuelva el sistema2x + 3 y + 9 z = 4

3x 3 y 18 z = 4x + 2 y + 3 z = 1

Solucion

Manteniendo el orden de las incogintas x primero, y segundo, y z tercero la matriz aumentada del sistemaqueda:

2 3 9 43 3 18 41 2 3 1

Observe que para eliminar la variable x de la segunda ecuacion utilizando la primera ecuacion deberamosmultiplicar la primera ecuacion por 3/2 lo cual hace que debamos manejar fracciones. Que ademas de ladificultad natural que presentan se incurre en errores del tipo numerico cuando es necesario redondear numeros.Por otro lado, si dividimos la ecuacion 1 entre dos para que las operaciones se simplifiquen de nuevo aparecenfracciones. Aprovecharemos mejor el uno que aparece en la ecuacion 3 es conveniente primero el intercambiode los renglones 1 y 3. Intercambiando en la matriz los renglones 1 y 3:

2 3 9 43 3 18 4

1 2 3 1

R1 R3

1 2 3 13 3 18 4

2 3 9 4

Uilizando la ecuacion (el renglon) 1, que se llamara ecuacion (renglon) pivote, debemos hacer que las ecuaciones(renglones) inferiores no tengan la variable x, es decir, que tengan como coeficiente de x cero. Sumando alrenglon 2 el renglon1 multiplicado por 3, y al renglon 3 el renglon 1 multiplicado por -2 obtenemos:

1 2 3 13 3 18 4

2 3 9 4

R2 R2 + (3)R1R3 R3 + (2)R1

1 2 3 10 3 9 1

0 1 3 2

Ahora procederemos a eliminar la y de la ecuacion 3. Como en la discusion inicial, aprovecharemos que en elrenglon 3 aparece el coeficiente 1.Intercambiando los renglones 2 y 3 obtenemos:

1 2 3 10 3 9 1

0 1 3 2

R2 R3

1 2 3 10 1 3 2

0 3 9 1

Sumando al renglon 3 el renglon 2 multiplicado por 3 obtenemos:

1 2 3 10 1 3 2

0 3 9 1

R3 R3 + (3)R2

1 2 3 10 1 3 2

0 0 0 5

El ultimo renglon de esta matriz esta representando la ecuacion:

0x+ 0 y + 0 z = 5

Es decir,0 = 5

13

Evidentemente esta relacion nunca se puede satisfacer. Por tanto, el sistema es inconsistente: conjuntosolucion es el conjunto vaco

Regla general para inconsistencia:

Si en cualquier paso de la eliminacion aparece un renglon en la matriz aumentada con ceros exceptoel elemento correspondiente a la constante, el sistema sera inconsistente. (No se requiere terminarel proceso de eliminacion.)

Ejemplo 1.16

Resuelva el sistema2x + y + 3 z = 2

3x 3 y 3 z = 24x + 11 y 3 z = 2

Solucion

Manteniendo el orden de las incogintas x primero, y segundo, y z tercero la matriz aumentada del sistemaqueda:

2 1 3 23 3 3 24 11 3 2

Note que ahora no tenemos la fortuna de tener un 1 como primer coeficiente. Ni tampoco la division del renglonprimero por 2 es una buena opcion. En estos casos y cuando queramos mantener los numero de la matrizenteros, lo que conviene es una estrategia como la desarrollada en el metodo Montante. En este metodo se haceque los renglones donde se eliminara una variable se hagan multiplos en el coeficiente a eliminar del coeficientepivote. En este caso en el renglon 3, el elemento a hacer cero es un cuatro el cual ya es multiplo del elementopivote que es el 2. Pero en el renglon dos, el elemento a eliminar -3 no es multiplo de elemento pivote 2. Porconsiguiente, solo multiplicaremos de momento el renglon 2 por 2 de manera que el elemento a eliminar sea -6el cual es ya multiplo del elemento pivote 2. Multiplicamos el renglon 2 por 2:

2 1 3 23 3 3 2

4 11 3 2

R2 2R2

2 1 3 26 6 6 4

4 11 3 2

Procedemos a eliminar la variable x de los renglones inferiores.

2 1 3 26 6 6 4

4 11 3 2

R2 R2 + (3)R1R3 R3 + (2)R1

2 1 3 20 3 3 2

0 9 9 6

Es importante observar que el renglon 1 ya no debe ser empleado como pivote para eliminar la variable y en lossiguientes pasos; pues si se quisiera eliminar la y utilizando el renglon 1, volveramos a reaparecer la variablex en los renglones inferiores arruinando el trabajo de eliminarla que ya hemos hecho.Pocedamos a eliminar la variable y de la tercera ecuacion sumado al tercer renglon 2 el segundo multiplicadopor 3:

2 1 3 20 3 3 20 9 9 6

R3 R3 + (3)R2

2 1 3 20 3 3 2

0 0 0 0

14

Procedemos a trabajar con la variable y:

2 1 3 20 3 3 2

0 0 0 0

R2

1

3R2

2 1 3 20 1 1 2/3

0 0 0 0

Procedemos a eliminar la variable y de la primera ecuacion:

2 1 3 20 1 1 2/3

0 0 0 0

R1 R1 + (1)R2

2 0 4 8/30 1 1 2/3

0 0 0 0

Y ahora trabajando con la variable x:

2 0 4 8/30 1 1 2/3

0 0 0 0

R1

1

2R1

1 0 2 4/30 1 1 2/3

0 0 0 0

Para encontrar la solucion regresamos cada renglon a su forma de ecuacion.

1x + 0 y + 2 z = 4/30x + 1 y 1 z = 2/30x + 0 y + 0 z = 0

Despejando solo x y y obtenemosx = 4/3 2 zy = 2/3 + z

De donde observamos que queda una variable (z) sin restriccion. Esta variable se llamara variable libre ysu existencia indica que hay soluciones infinitas

Ejemplo 1.17

Resuelva el sistemax 2 y + 3 z = 18

2x 4 y + 7 z = 412x + 4 y 6 z = 36

Solucion

Manteniendo el orden de las incogintas x primero, y segundo, y z tercero la matriz aumentada del sistemaqueda:

1 2 3 182 4 7 412 4 6 36

Procedemos a eliminar x de las ecuaciones 2 y 3:

1 2 3 182 4 7 412 4 6 36

R2 R2 + (2)R1R3 R3 + (+2)R1

1 2 3 180 0 1 5

0 0 0 0

15

Procedemos a eliminar z de la ecuacion 1: 1 2 3 180 0 1 5

0 0 0 0

R1 R1 + (3)R2

1 2 0 30 0 1 5

0 0 0 0

Para encontrar la solucion regresamos cada renglon a su forma de ecuacion.

1x 2 y + 0 z = 30x + 0 y + 1 z = 50x + 0 y + 0 z = 0

Despejando solo x y z obtenemosx = 3 + 2 yz = 5

De donde observamos que queda una variable libre (y). Lo que indica que hay infinitas soluciones

Ejemplo 1.18

Resuelva el sistemax 2 y + 1 z = 1

3x 6 y + 3 z = 33x + 6 y 3 z = 3

Solucion

Manteniendo el orden de las incogintas x primero, y segundo, y z tercero la matriz aumentada del sistemaqueda:

1 2 1 13 6 3 33 6 3 3

Procedemos a eliminar x de las ecuaciones 2 y 3:

1 2 1 13 6 3 33 6 3 3

R2 R2 + (3)R1R3 R3 + (+3)R1

1 2 1 10 0 0 0

0 0 0 0

Convirtiendo el primer renglon en ecuacion y despejando x obtenemos:

x = 1 + 2 y zComo la solucion tiene dos variables libres (y y z) el sistema tiene soluciones infinitas. (Bastaba tener al menosuna variable libre)

1.11. Eliminacion matricial contra algebraica

Un punto que debera quedar claro es cual es el efecto del paso de eliminacion, cuando es adecuadamenteempleado. Para ilustrar esto, supongamos que estamos en el proceso de solucion de un sistema de ecuacioneslineales y que hemos arribado al paso:

+ a11 x + a12 y = b1+ a22 y = b2

16

Sabemos que lo que debemos hacer es sustituir el valor de y obtenido en la segunda ecuacion en la primera:

+a11 x+ a12 (b2/a22) = b2

y posteriormente debemos despejar al termino en x de la primera ecuacion:

+a11 x = b1 a12a22

b2

Esto lo hemos aprendido bien y nos resulta comodo y simple, porque insistir en el manejo matricial? Re-presentado el sistema en el estado que se tomo como inicial tendramos:

[a11 a12 b10 a22 b2

]

De acuerdo con el proceso de eliminacion debemos aplicar la operacion:

[a11 a12 b10 a22 b2

]R1R1

a12a22

R2[a11 0 b1 a12a22 b20 a22 b2

]

Observamos que al aplicar el paso de eliminacion, el efecto obtenido es el mismo que el sustituir el valor de unavariable ya despejada en una ecuacion donde aparece. Note que mientras que lo que se haca previamenteinvolucraba cuestiones algebraicas, en el manejo de matrices solo involucra cuestiones aritmeticas. Y porconsiguiente, este proceso es facil de implementar en un programa de computadora mientras que en el primercaso requera de un sistema computacional capaz de manejo simbolico al involucrar sustitucion y despeje,y por consiguiente requerira un sistema mas complejo. Es tambien importante observar que el numero deoperaciones aritmeticas que se realizan en el caso del manejo matricial es igual al que se hace en el caso de lasustitucion algebraica. En general: el resultado de sustituir en la ecuacion i (Ei) la incognita k despejada dela ecuacion j (Ej) equivale a realizar la operacion de eliminacion:

Ei Ei aikajk

Ej (10)

donde aik es el coeficiente de la incognita k en la ecuacion i y ajk es el coeficiente de la incognita k en laecuacion j. Note que si ajk es cero entonces la operacion no puede hacerse y desde el punto de vista operativosignifica que la incognita k no aparece en la ecuacion j y por tanto no puede despejarse de ella. Es importantesenalar que el proceso de eliminacion utilizando operaciones del tipo Ei Ei aikajk Ej es:

valido, al obtenerse los mismos resultados que siguiendo el proceso algebraico tradicional de despeje ysustitucion,

programable, al implementarse computacionalmente en forma sencilla, y

de igual de costo en terminos del numero de operaciones aritmeticas a realizar que el proceso algebraico.

1.12. Comentario final

Se recomienda al estudiante que revise a detalle el metodo anterior para su comprension: este metodoesta probado a ser el metodo mas eficiente en general para resolver ecuaciones. Aunque se sabe que es difcilabandonar lo que tantas veces se practico, se le pide que haga el esfuerzo por abandonar practicas diferentesde solucion.

17

Eliminacion gaussiana y otros algoritmos

Departamento de Matematicas, CCIR/ITESM

10 de enero de 2011

Indice

2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3. Forma escalonada por renglones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4. Pivotes de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.5. Algoritmo de eliminacion gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.6. Eliminacion Gaussiana: ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.7. Analisis de los conjuntos solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.8. Formula para todas las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.9. Algoritmo de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.10. Algoritmo de Gauss-Jordan: ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.11. Metodo Montante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.12. Metodo de Montante: ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.13. Diferencias operativas de los metodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.14. Complejidad de un algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.15. Complejidad del algoritmo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.16. Complejidad del algoritmo de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.17. Complejidad del algoritmo de Montante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.18. Comparativa de los algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.19. Algoritmos y computadoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.20. Y los determinantes del Metodo de Montante? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.21. Pero, que metodo me conviene seguir? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1. Introduccion

En esta lectura veremos procedimientos sistematicos para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Estosalgoritmos trabajan directamente sobre la matriz aumentada del sistema llevandola a la matriz de un sistematriangular que es equivalente al sistema inicial. La equivalencia del sistema triangular final con el inicial seargumenta debido a que el algoritmo solo utiliza los tres tipos de operaciones vistos en la lectura anterior y cuyaaplicacion individual siempre preserva la equivalencia. Los procedimientos que revisaremos son: el algoritmode Eliminacion Gaussiana, el algoritmo de Gauss-Jordan y el metodo Montante. Finalmente, se realizara unarevision sobre el trabajo computacional realizado por estas estrategias.

2.2. Objetivos

Sera importante que Usted

Entienda los conceptos: matriz escalonada y escalonada reducida.

Entienda y mecanice los procedimientos de

Eliminacion gaussiana, Eliminacion de Gauss-Jordan, y El metodo de Montante.

Conozca las diferencias en el proceder entre los algoritmos vistos.

Comprenda las reglas para analizar las soluciones a un sistema de ecuaciones.

Comprenda el concepto de complejidad de un algoritmo.

Conozca las diferencias en los costos de computo de los algoritmos vistos.

2.3. Forma escalonada por renglones

Los algoritmos que veremos trabajan sobre la matriz aumentada y realizan sobre de ella operaciones elemen-tales de renglon como fueron definidas en la lectura anterior. Esta matriz ira transformandose paulatinamentea una matriz que posee ciertas propiedades. Lo que haremos primeramente es definir estas.

Definicion 2.1Una matriz se dice matriz escalonada si cumple:

1. En caso de tener renglones de ceros, todos ellos estan en la parte inferior de la matriz.

2. El elemento delantero de cada renglon no cero (despues del primer renglon) se encuentra a la derechadel elemento delantero del renglon anterior.

Y se llama matriz escalonada reducida si es escalonada y ademas cumple:

3. El elemento delantero de cualquier renglon no cero es 1.

4. Todos los elementos arriba y abajo de un 1 delantero son cero.

Ejemplo 2.1Indique porque las siguientes matrices no son escalonadas:

2 3 10 0 00 0 1

, 2 3 10 5 2

0 2 1

,

2 3 10 0 20 3 20 0 0

, 0 0 00 1 3

0 0 3

, 0 0 30 1 3

5 1 3

SolucionEn el primer ejemplo, tiene un renglon de ceros y no aparece hasta el final; no se cumple la condicion 1. Enel segundo ejemplo, cuando comparamos la posicion del primer elemento no cero del segundo renglon (5) conla posicion del primer elemento no cero del tercer renglon (2) vemos que el 2 no esta a la derecha del 5; no secumple la condicion 2. En el tercer ejemplo, el renglon de cero aparece hasta abajo, pero cuando se comparanlos elementos delanteros de los renglones 2 y 3 el inferior no esta a la derecha del elemento delantero superior:se cumple la condicion 1 pero no la 2. En el cuarto ejemplo, falla de nuevo la condicion 1. En el ultimo ejemplo,recuerde solo hay escalonada de derecha a izquierda; el elemento delantero del renglon 2 no esta a la derechade delantero del renglon 1 Ejemplo 2.2Indique porque las siguientes matrices s son escalonadas:

2 3 10 5 20 0 1

,

2 3 10 1 20 0 00 0 0

, 0 2 30 0 3

0 0 0

, 1 2 00 0 0

0 0 0

, 0 0 00 0 0

0 0 0

2

SolucionObserve que las matrices listadas cumplen las condiciones 1 y 2 Ejemplo 2.3Indique porque las siguientes matrices son escalonadas pero no reducidas:

1 3 10 1 00 0 2

, 1 2 10 1 2

0 0 1

,

1 0 10 1 00 0 10 0 0

, 1 1 30 0 1

0 0 0

, 0 1 30 0 1

0 0 0

SolucionEn el primer ejemplo, esta fallando la condicion 3: el elemento delantero del renglon 3 debe ser 1. En elsegundo ejemplo, la condicion 3 se cumple pero la condicion 4 falla: arriba de los 1 delanteros debe haber soloceros. En los ejemplos 3, 4 y 5, note que la condicion 4 dice que todos los elementos superiores a los elementosdelanteros deben ser cero. En estos ejemplos no se cumple tan condicion Ejemplo 2.4Verifique que las siguientes matrices s son escalonadas reducidas:

1 0 00 1 00 0 1

,

1 0 30 1 10 0 00 0 0

, 0 1 00 0 1

0 0 0

, 1 3 40 0 0

0 0 0

, 0 0 00 0 0

0 0 0

SolucionObserve que en el ejemplo 2, el elemento (2,3) no es delantero por ello no se impone la condicion que el elementosuperior sea cero. La matriz es efectivamente escalonada reducida

2.4. Pivotes de una matriz

Cuando una matriz esta en su forma escalonada, los primeros elementos diferentes de cero de cada renglonreciben el nombre de elementos pivote o simplemente pivotes. Note que por ser el pivote el primer elementono cero del renglon, no hay forma que un renglon tenga mas de un pivote: puede no tener pivote en caso deque sea un renglon de ceros, pero no puede tener dos o mas. Note tambien que por estar escalonada la matriz,no hay forma que dos pivotes queden en la misma columna: puede una columna no tener pivote, pero si tienepivote no puede tener dos o mas. De este hecho, concluimos que una matriz m n no puede tener mas de mpivotes porque tiene a los mas uno por cada renglon. Y por otro lado, no puede tener mas de n pivotes pues alo mas tiene un pivote por cada columna. Es decir, el numero de pivotes debe ser menor o igual que el mnimonumero entre m y n.

2.5. Algoritmo de eliminacion gaussiana

El Algoritmo de Gauss o de Eliminacion gaussiana consta de los siguientes pasos:

1. Determine la primer columna (a la izquierda) no cero.

2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercambielo por un renglon que no tenga cero.

3. Obtenga ceros abajo del elemento delantero sumando multiplos adecuados a los renglones debajo de el.

4. Cubra el renglon y la columna de trabajo y repita el proceso comenzando en el paso 1. Al termino delciclo entre el paso 1 al 4 (es decir cuando se han barrido todos los renglones), la matriz debera tenerforma de escalon.

5. Comenzando con el ultimo renglon no cero avance hacia arriba para que en cada renglon tenga un 1delantero y arriba de el queden solo ceros. Para ello debera sumar multiplos adecuados del renglon a losrenglones correspondientes.

3

Es importante observar que en el metodo de eliminacion Gaussiana:

Los pasos del 1 a 4 aplicados repetidamente escalonan la matriz; el paso 5 aplicado repetidamente reducela matriz.

En el paso 2, si el elemento no es cero no se realiza intercambio.

En el paso 3, los elementos que se hacen cero son solo los inferiores al pivote.

2.6. Eliminacion Gaussiana: ejemplo

Ejemplo 2.5Aplique el algoritmo de Gauss a la matriz: 3 6 9 32 4 8 0

2 3 4 1

Solucion

En nuestro caso la primer columna tiene elementos diferentes de cero, continua entonces en el paso 2. Siendo elelemento (1, 1) diferente de cero se continua con el paso 3. El elemento (1, 1) sera usado como pivote para hacerceros debajo de el; para ello debemos sumar multiplos adecuados del renglon pivote a los renglones inferiores: 3 6 9 32 4 8 0

2 3 4 1

R2R2(2/3)R1R3R3(2/3)R1

3 6 9 30 0 2 20 1 2 1

(1)El algoritmo procede tapando el renglon de trabajo, en este caso el primero. Al repetir el paso 1, el algoritmobusca la primer columna diferente de cero; en este caso se mueve a la segunda columna y continua con elpaso 2. En vista que elemento (2, 2) es cero debemos buscar en la parte inferior de la columna 2 un elementodiferente de cero y realizar un intercambio de renglones: 3 6 9 30 0 2 2

0 1 2 1

R2R3 3 6 9 30 1 2 1

0 0 2 2

(2)Continuamos ahora con el paso 3. En este caso los elementos por debajo del elemento (2, 2) son cero, y elalgoritmo procede a la siguiente columa. El algortimo termina en sus pasos 1 al 4. Procede al paso 5.

La matriz es ahora escalonada, el siguiente paso es hacer 1 cada pivote y posteriormente hacer cero arribade cada uno de ellos. Hagamos 1 el elemento (3, 3): 3 6 9 30 1 2 1

0 0 2 2

R31/(2)R3 3 6 9 30 1 2 1

0 0 1 1

(3)Debemos hacer cero por arriba del elemento pivote (3, 3): 3 6 9 30 1 2 1

0 0 1 1

R1R1(9)R3R2R2(2)R3

3 6 0 120 1 0 30 0 1 1

(4)

4

Procedamos con el siguiente elemento pivote (2, 2); el elemento ya es 1 y ahora debemos proceder a hacercero por arriba de el: 3 6 0 120 1 0 3

0 0 1 1

R1R16R2 3 0 0 60 1 0 3

0 0 1 1

(5)El algoritmo concluye haciendo 1 el pivote del primer renglon: 3 0 0 60 1 0 3

0 0 1 1

R11/3R1 1 0 0 20 1 0 3

0 0 1 1

(6)2.7. Analisis de los conjuntos solucion

Una vez escalonando o reduciendo la matriz aumentada de un sistema, hay que saber con precision que sepuede decir sobre el conjunto de soluciones. Solo hay tres posibles resultados en el analisis:

El sistema no tiene solucion: sistema inconsistente.

El sistema tiene una unica solucion.

El sistema tiene infinitas soluciones.

Regla de Inconsistencia

El sistema es inconsistente si aparece un pivote en la columna de terminos constantes.

Ejemplo 2.6Son inconsistentes los sistemas cuya matriz aumentada se convierte mediante operaciones elementales en:

1 0 0 00 1 2 00 0 0 10 0 0 0

,

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

, [ 1 1 1 20 0 0 3]

Regla de Consistencia

Es consistente cualquier sistema en cuya matriz escalonada no aparece ningun pivote en la columnade terminos constantes.

Ejemplo 2.7Son consistentes los sistemas cuya matriz aumentada se convierte mediante operaciones elementales en:

1 1 1 30 2 2 20 0 3 1

,

1 0 3 10 1 2 10 0 1 10 0 0 0

, [ 1 1 1 20 1 1 1]

Regla de la Solucion Unica

Siendo un sistema consistente, el sistema tiene solucion unica si en la matriz escalonada la columnade cada variable hay un pivote.

5

Ejemplo 2.8Tienen solucion unica lo sistemas cuya matriz aumentada se convierte mediante operaciones elementales en:

1 1 1 30 2 2 20 0 3 1

,

1 0 3 10 1 2 10 0 1 10 0 0 0

Regla para Soluciones Infinitas

Si un sistema es consistente, el sistema tiene soluciones infinitas si en la matriz escalonada hay unacolumna de una variable sin pivote.

Ejemplo 2.9Tienen soluciones infinitas lo sistemas cuya matriz aumentada se convierte mediante operaciones elementalesen: [

1 1 1 30 2 2 2

],

1 1 1 30 2 2 20 0 0 0

,

1 0 3 10 1 2 10 0 0 00 0 0 0

Nota Importante

Observe que de los ejemplos anteriores que los renglones de ceros pueden ocurrir en cualquiera delos casos: puede haber renglones de ceros en la matriz y el sistema ser inconsistente, consistentecon solucion unica o consistente con infinitas soluciones. Es decir, los renglones de ceros no dan engeneral informacion sobre como es el conjunto solucion.

Pueden ocurrir o no cuando el sistema sea inconsistente:1 1 2 00 1 3 00 0 0 10 0 0 0

, 1 6 2 00 1 1 0

0 0 0 1

Pueden ocurrir o no cuando el sistema tenga solucion unica:

1 0 1 40 1 2 10 0 1 10 0 0 0

, 1 0 1 40 1 2 1

0 0 1 1

Pueden ocurrir o no cuando el sistema tenga infinitas soluciones: 1 0 1 40 1 2 1

0 0 0 0

, [ 1 0 1 40 1 2 1

]

Ejemplo 2.10Se tiene un sistema de ecuaciones que tiene una matriz aumentada 8 5 y al reducirla tiene un total de 5pivotes, entonces ..

6

A es inconsistente.

B hay soluciones infinitas.

C tiene solucion unica.

D si la ultima columna hay pivote, inconsistente. Si no, unica.

E si la ultima columna hay pivote, inconsistente. Si no, infinitas.

SolucionPuesto que la matriz escalonada de tiene 5 pivotes y la matriz tiene 5 columnas, entonces toda columna tienepivote. En particular, la ultima columna tendra pivote. Como la matriz es aumentada, entonces la columnacorrespondiente a las constantes tendra pivote. Por lo tanto, el sistema original sera inconsistente. La opcionque describe la situacion es A

Ejemplo 2.11Se tiene un sistema de ecuaciones que tiene una matriz aumentada 5 5 y al reducirla tiene un total de 4pivotes, entonces ..

A es inconsistente.

B tiene solucion unica.

C hay soluciones infinitas.

D si en la ultima columna hay pivote, inconsistente. Si no, unica.

E si la ultima columna hay pivote, inconsistente. Si no, infinitas.

SolucionPuesto que la matriz reducida es 55 y tiene 4 pivotes, la ultima columna tiene la posibilidad de tener pivote.En cuyo caso, el sistema sera inconsistente. Tambien se tiene la posibilidad de que la ultima columna no tengapivote. En cuyo caso, el sistema sera consistente y los cuatro pivotes estaran en las primeras columnas. Y portanto, en este caso la columna de cada variable tendra pivote y por consiguiente cada variable sera fija. Y porlo tanto, en este caso habra solucion unica. La respuesta que describe mejor la situacion es la D Ejemplo 2.12Se tiene un sistema homogeneo de ecuaciones que tiene una matriz aumentada 5 6 y al reducirla tiene untotal de 5 pivotes, entonces ..

A tiene solucion unica.

B si la ultima columna hay pivote, inconsistente. Si no unica.

C es inconsistente.

D hay soluciones infinitas.

E si la ultima columna hay pivote, inconsistente. Si no infinitas.

7

SolucionPuesto que el sistema es homogeneo, en la columna de las constantes habra solo ceros. Por la naturaleza de lasoperaciones elementales, en la matriz reducida solo habra ceros en tal columna. Por tanto, no habra pivotesen la columna de las constantes. Por tanto, el sistema sera consistente y los 5 pivotes estaran en las primerascolumnas y por tanto, en la columna de cada variable habra pivote. Por tanto, el sistema sera consistente consolucion unica

2.8. Formula para todas las soluciones

Veamos ahora una estrategia para obtener la formula de donde se obtienen todas las soluciones a un siste-mas de ecuaciones lineales cuando el sistema tiene infinitas soluciones. Ilustraremos esto mediante un par deejemplos.

Ejemplo 2.13Manejando el orden x, y, z, w escriba en forma vectorial la solucion general al sistema:

4w + 2x + 6 y + 2 z = 2

w + 3x + 9 y + 4 z = 144w + 3x + 9 y + 3 z = 3

3w + 4x + 12 y + 4 z = 11

Reporte las coordenadas del vector que multiplica a la variable libre en la solucion resultante.

Solucion (Y metodo general)Paso 1: Apliquemos Gauss a la matriz aumentada

Formamos la matriz aumentada con el orden que sugiere el problema (x, y, z, w):2 6 2 4 23 9 4 1 143 9 3 4 34 12 4 3 11

1 3 0 0 30 0 1 0 20 0 0 1 30 0 0 0 0

Al aplicar las reglas de analisis, observamos que el sistema es consistente (al no haber pivote en la columnade las constantes) y con soluciones infinitas (al ser y una variable libre, recuerde que las variables fijas sonaquellas en cuya columna hay pivote)

Paso 2: Convierta cada renglon no cero en ecuacionEl renglon 1 de la reducida que:

x + 3 y = 3El renglon 2 queda:

z = 2y el renglon 3 queda:

w = 3

8

Paso 3: De cada ecuacion, despeje la variable delantera.

x + 3 y = 3 x = 3 3 yz = 2 z = 2w = 3 w = 3

Paso 4: Se complementan las ecuaciones introduciendo ecuaciones donde cada variable librees igual a s misma.

x = 3 3 yy = yz = 2w = 3

Paso 5: Se reescribe en forma vectorial las solucionesxyzw

=3 3 y

y23

Paso 6: Se separa el segundo miembro de acuerdo a las constantes y a las variables libresxyzw

=3

02

3

+ y3

100

Lo anterior es la formula general para todas las soluciones del sistema original; el concepto de variable libreindica que se puede tomar cualquier valor y que con el se produce una solucion. Tambien, aunque esto no es tanevidente, que cualquier otra solucion puede obtenerse de esta formula para valores adecuados de las variableslibres

Ejemplo 2.14Determine la solucion general en forma vectorial para el sistema:

6w 2x + 3 y + 3 z = 35w + 2x + y 2 z = 2w 4x + 2 y + 5 z = 1

13w 8x + 8 y + 11 z = 7

SolucionSigamos la metodologa descrita en el ejemplo anterior:

9

Aplicamos Gauss a la matriz aumentada (orden: x, y, z, w):2 3 3 6 3

2 1 2 5 24 2 5 1 18 8 11 13 7

1 0 9/8 9/8 3/80 1 1/4 11/4 5/40 0 0 0 00 0 0 0 0

Convertimos cada renglon diferentes de cero de la matriz reducida a una ecuacion:

x 9/8 z + 9/8w = 3/8y + 1/4 z + 11/4w = 5/4

Ahora, despejamos las variables fijas (x y y):

x = 3/8 + 9/8 z 9/8wy = 5/4 1/4 z 11/4w

Complementamos las ecuaciones con ecuaciones donde cada variable libre esta igualada a s misma:

x = 3/8 + 9/8 z 9/8wy = 5/4 1/4 z 11/4wz = zw = w

Ahora, le damos a lo anterior la forma de una igualdad entre vectores:xyzw

=

3/8 + 9/8 z 9/8w5/4 1/4 z 11/4w

zw

Finalmente, separamos el lado izquierdo de acuerdo a las variables libres:

xyzw

=

3/85/400

+ z

9/81/4

10

+ w9/811/4

01

2.9. Algoritmo de Gauss-Jordan

El Algoritmo de Gauss-Jordan consta de los siguientes pasos:

1. Determine la primer columna (a la izquierda) no cero.

2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercambielo por un renglon que no tenga cero. Multiplicandoapropiadamente el renglon, hagalo 1. Este primer 1 sera llamado 1 pivote.

3. Obtenga ceros arriba y abajo del 1 pivote sumando multiplos adecuados a los renglones debajo de renglonpivote en la matriz completa.

4. Cubra la columna y el renglon de trabajo y repita el proceso comenzando en el paso 1 con la columnasiguiente.

Es importante observar que en el metodo de Gauss-Jordan:

En la idea general, la matriz se va escalonando y reduciendo a la vez.

En el paso 2, si el elemento no es cero no se realiza intercambio.

En el paso 3, los elementos que se hacen cero no solo son los inferiores al pivote (Eliminacion Gaussiana)sino tambien los superiores.

10

2.10. Algoritmo de Gauss-Jordan: ejemplo

Ejemplo 2.15Aplique el algoritmo de Gauss-Jordan a la matriz: 3 6 9 32 4 8 0

2 3 4 1

SolucionEn el paso 1 se ubica la primer columna diferente de cero: es la primer columna. En el paso 2 se revisa si elprimer elemento es diferente de cero el cual es nuestro caso. Procedemos ahora con el paso 3. Contrario alalgoritmo de Gauss, el algoritmo de Gauss-Jordan primero crea los 1s pivote: 3 6 9 32 4 8 0

2 3 4 1

R11/3R1 1 2 3 12 4 8 02 3 4 1

(7)Posteriormente hace cero debajo de el: 1 2 3 12 4 8 0

2 3 4 1

R2R22R1R3R3(2)R1

1 2 3 10 0 2 20 1 2 1

(8)Cubrimos ahora la primer columna y el primer renglon y repetimos el procedimiento. En el paso 1 identificamosla primer columna diferente de cero de la parte no cubierta. La primer columna cumple. Apliquemos el paso2 ahora. En este caso el elemento (2, 2) es cero y se debera buscar un elemento inferior que sea diferente decero: 1 2 3 10 0 2 2

0 1 2 1

R2R3 1 2 3 10 1 2 1

0 0 2 2

(9)El elemento pivote (2, 2) ya es 1; el algoritmo procede ahora a hacer ceros arriba y debajo de el: 1 2 3 10 1 2 1

0 0 2 2

R1R12R2 1 0 1 10 1 2 1

0 0 2 2

(10)Cubrimos ahora la segunda columna y el segundo renglon de la matriz. Y procedemos de nuevo con el paso 1.La columna de la matriz descubierta se reduce a un solo elemento y que no es cero. Procedemos con el paso 2.El pivote es ahora el elemento (3, 3); primero se crea el 1 pivote: 1 0 1 10 1 2 1

0 0 2 2

R31/(2)R3 1 0 1 10 1 2 1

0 0 1 1

(11)Posteriormente, se hacen ceros arriba y debajo de el: 1 0 1 10 1 2 1

0 0 1 1

R1R11R3R2R2(2)R3

1 0 0 20 1 0 30 0 1 1

(12)

11

2.11. Metodo Montante

El Algoritmo Montante es una estrategia desarrollada en los 70s por el profesor Mario Rene Montante enaquel entonces profesor de FIME de la UANL, Mexico. El metodo trabaja bajo el supuesto principal que lamatriz es solo de numeros enteros y que no se realizara ninguna division entre enteros salvo al final. Estominimiza el total de errores por redondeo. El metodo procede de una forma semejante al de Gauss-Jordan sinhacer uno los pivotes y forzando a que los elementos que se haran cero sean multiplos del pivote. El metodoconsta de los siguientes pasos:

1. Determine la primer columna (a la izquierda) no cero.

2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercambielo por un renglon que no tenga cero. Este sellamara elemento pivote x.

3. Obtenga ceros arriba y abajo del pivote x primeramente multiplicando cada renglon por x y posterior-mente sumando multiplos del renglon pivote. En terminos de operaciones elementales lo que se realizaes que para cada renglon i diferente del renglon pivote hacer

Ri xRiRi Ri ai,mRm

4. Repita el proceso comenzando en el paso 1 para el renglon siguiente.

El principal comentario es que en el paso 3 la instruccion Ri xRi tiene la intencion de hacer que el elementoa hacer 0 se haga un multiplo del elemento pivote de forma tal que no se requiere ninguna division en lainstruccion de eliminacion.

2.12. Metodo de Montante: ejemplo

Ejemplo 2.16Aplique el algoritmo de Montante a la matriz: 3 6 9 32 4 8 0

2 3 4 1

SolucionDebemos multiplicar el renglon 2 y 3 por el elemento (1, 1): 3 6 9 32 4 8 0

2 3 4 1

R23R2R33R3

3 6 9 36 12 24 06 9 12 3

(13)Ahora la cancelacion procede utilizando el renglon 1 con los elementos (2, 1) y (3, 1) anteriores a la multipli-cacion: 3 6 9 36 12 24 0

6 9 12 3

R2R2(2)R1R3R3(2)R1

3 6 9 30 0 6 60 3 6 3

(14)Ahora deberemos intercambiar los renglones 2 y 3 para tener un pivote en (2, 2): 3 6 9 30 0 6 6

0 3 6 3

R2R3 3 6 9 30 3 6 3

0 0 6 6

(15)12

Para eliminar el elemento arriba del pivote (2, 2) el algoritmo procede multiplicando el renglon 1 por el pivote(2, 2): 3 6 9 30 3 6 3

0 0 6 6

R13R1 9 18 27 90 3 6 3

0 0 6 6

(16)La cancelacion arriba del pivote (2, 2) procede restando al renglon 1 el renglon pivote por el contenido previodel elemento (1, 2): 9 18 27 90 3 6 3

0 0 6 6

R1R1(6)R2 9 0 9 90 3 6 3

0 0 6 6

(17)Ahora el pivote es el elemento (3, 3) y debemos hacer cero arriba de el. Para ello el algoritmo procede multi-plicando los renglones donde se hara la cancelacion por el elemento pivote: 9 0 9 90 3 6 3

0 0 6 6

R16R1R26R2

54 0 54 540 18 36 180 0 6 6

(18)La cancelacion procede restando los multiplos del renglon 3 usando los elementos anteriores a la multiplicacion: 54 0 54 540 18 36 18

0 0 6 6

R1R1(9)R3R2R2(6)R3

54 0 0 1080 18 0 540 0 6 6

(19)Las unicas divisiones proceden al final:

54 0 0 1080 18 0 540 0 6 6

R1 1/(54)R1R2 1/(18)R2

R31/(6)R3

1 0 0 20 1 0 30 0 1 1

(20)2.13. Diferencias operativas de los metodos

Veamos ahora un ejemplo donde se manifiesta las diferencias de operacion entre los metodos

Ejemplo 2.17Para la matriz: [

23 13 10 11 3

]indique cual sera el siguiente paso de acuerdo a:

a) Eliminacion Gaussiana

b) Metodo de Gauss-Jordan

c) Metodo de Montante

entre las opciones:

1) R1 11R12) R1 123 R13) R1 R1 1311 R2

13

4) R2 111 R2Respuesta:Recuerde que el algoritmo de eliminacion gaussiana primeramente escalona la matriz y luego reduce. En estecaso la matriz ya esta escalonada: por tanto, eliminacion gaussiana prepara la reduccion haciendo 1 el ele-mento pivote inferior. Por tanto, eliminacion gaussiana debe hacer 1 el elemento (2, 2), lo cual coincide con laopcion 4. En el caso del Gauss-Jordan, se realiza la reduccion preparando el pivote de arriba para abajo. Portanto, Gauss-Jordan debe hacer uno el elemento (1, 1), lo que coincide con la opcion 2. El metodo Montanteva escalonando y reduciendo la matriz de arriba hacia abajo evitanto las divisiones. Estando escalonada lamatriz, Montante trabajara con el elemento (2, 2) para hacer cero en la parte superior. En este caso particular,Montante hara que el elemento (1, 2) fuera multiplo del pivote (2, 2). As Montante, debe multiplicar el renglon1 por el elemento pivote (2, 2). Esto corresponde a la opcion 1. Resumiendo: Eliminacion Gaussiana 4,Gauss-Jordan 2, Montante 1

2.14. Complejidad de un algoritmo

Existen dos medidas importantes de una estrategia de solucion o algoritmo en la resolucion de un problema.El concepto de algoritmo es el de un procedimento sistematico y muy bien especficado para realizar una tareadeterminada. La primer medida de un algoritmo es su certeza, es decir, la total confianza de que cuando elalgoritmo es aplicado en un cierto problema, encontrara la solucion correcta o bien indicara que el problema notiene solucion. La otra medida es la complejidad de un algoritmo, es decir, la cantidad de trabajo involucradopor aquella persona o sistema de computo que lleva a cabo cada uno de los pasos. En los algoritmos donde sebuscan soluciones numericas el principal indicador de la medida de trabajo o complejidad es el conteo totalde las operaciones aritmeticas realizadas desde el inicio del programa hasta la obtencion de la solucion. Lasoperaciones que se contabilizan son las operaciones de suma, multiplicacion, sustraccion, y division. Puestoque para las computadoras recientes el tiempo invertido por su procesador en una suma es el mismo que elrealizado por una multiplicacion, resta, o division, en el conteo de operaciones no se especifica si fueron unas uotras. La palabra FLOP (FLoating point OPeration) refiere a una operacion entre numeros reales y abarcasuma, resta, multiplicacion, o division. Actualmente, en computacion la palabra FLOPS es utilizada comoacronimo de FLoating point Operations Per Second, pero en el area de analisis de algoritmos y para nosotrostiene el significado que ya explicamos y FLOPs sera el plural de FLOP.

El analisis que realizaremos de la complejidad de los algoritmos vistos sera contando el numero totalde FLOPs que se invierte cuando se aplica a un sistema lineal de n ecuaciones con n incognitas general.Despreciaremos en nuestro analisis el esfuerzo computacional de preguntar si un numero es diferente de cero,as como los posibles intercambios entre los renglones para darle la forma escalonada. Sobre este ultimo punto,la mayora de las implementaciones computacionales de los algoritmos poseen trucos de programacion paraevitar el movimiento de numeros en la memoria de la computadora utilizando apuntadores y vectores dendices. Un hecho que asumiremos es que nunca nos encontraremos con una columna de ceros. De encontrarsetal columna el trabajo computacional se reducira porque la matriz con la cual se opera tiene menos numeros,y esto no es un caso general. Este tipo de suposiciones se conoce como el analisis del peor de los casos. Enlos siguientes analisis, haremos el truco de introducir la variable m que ira bajando sobre los renglones de lamatriz.

2.15. Complejidad del algoritmo de Gauss

Supongamos que estamos aplicamos el algoritmo de eliminacion gaussiana a un sistema n por n y queestamos trabajando ya con el renglon m. Consideraremos primero el trabajo realizado por los pasos 1 al 4 yposteriormente el trabajo realizado en el paso 5. Es importante notar que el proceso de Gauss avanza dejando

14

la matriz escalonada hasta la columna de trabajo:

a1,1 a1,2 a1,m1 a1,m 0 a2,2 a2,m1 a2,m ...

.... . .

......

...0 0 am1,m1 am1,m 0 0 0 am,m ...

.... . .

......

...0 0 0 an,m

1 Ciclo del paso 1 al 4

Al asumir que am,m es diferente de cero, pasamos al paso 3. En el paso 3 hay que hacer cero debajo delelemento (m,m), para cada uno de los m n renglones inferiores Ri; para ello habra que

calcular el factor f = ai,m/am,m por el cual debe multiplicarse el renglon Rm, lo cual implicarealizar una division, y posteriormente

realizar la operacion:Ri Ri f Rm.

En este caso, en el renglon i hay ceros hasta antes de la columna m, en el elemento (i,m) quedara uncero (el factor f fue calculado para ello), as que los unicos elementos que deberan calcularse son loselementos del renglon i desde la columna (m+1) y hasta terminar, es decir, hasta la columna n+1,es decir, un total de (n+1) (m+1)+1 = nm+1 elementos, y para cada uno de ellos habra quehacer am+1,j am+1,j f am,j , es decir para cada uno de ellos habra que hacer 2 FLOPs, siendoun total de n m + 1 elementos, el numero total de FLOPs que habra que realizar para hacer laoperacion Ri Rif Rm es, incluyendo la division para calcular f , 2(nm+1)+1 = 2n2m+3.

Como esto habra que aplicarlo a todos los renglones por debajo del renglon m y hasta el n, entoncespara realizar un ciclo desde el paso 1 hasta el paso 4 deben hacerse (nm) (2n 2m + 3) FLOPS. Elciclo del paso 1 al paso 4 y su repeticion ira avanzando m desde 1 hasta n 1. Por consiguiente el totalde FLOPs sera:

n1m=1

(nm) (2n 2m + 3) = 23n3 +

1

2n2 7

6n.

El ciclo en el paso 5 inicia en el ultimo renglon, hace 1 el elemento pivote y luego a cada renglon superior elresta el renglon inferior multiplicado por la constante adecuada. As, si asumimos que se esta trabajando en elrenglon m la matriz se vera:

a1,1 a1,2 a1,m 0 0 a1,n+10 a2,2 a2,m 0 0 a2,n+1...

.... . .

......

......

...0 0 am,m 0 0 am,n+10 0 0 1 0 am+1,n+1...

.... . .

......

. . ....

...0 0 0 0 1 an,n+1

Es decir, que

en el renglon m solo existiran dos elementos diferentes de cero; el elemento (m,m) y el elemento(m,n + 1).

15

2 Ciclo del paso 5.Las operaciones implicadas en el paso 5 seran

Rm 1am,mRmPor la observacion anterior, para esto se requiere solo una division; la del termino constante entreel elemento pivote, la del pivote entre s mismo ya sabemos que dara 1 y no se realizara, simplementeen la posicion (m,m) pondremos un 1

Rj Rj aj,mRmPor la misma observacion anterior, esta operacion solo requiere una multiplicacion y una resta, estasoperaciones solo tienen que ver con los terminos constantes. Los nuevos elementos aj,m seran cero.Como hay m 1 renglones superiores, el total de operaciones en un ciclo del paso 5 sera:

2 (m 1) + 1 = 2m 1

Por consiguiente el total de FLOPs en el paso 5 sera:

1m=n

(2m 1) = n2

Por consiguiente, en general cuando se aplica en algoritmo de eliminacion gaussiana a un sistema n n elnumero de FLOPs es:

2

3n3 +

3

2n2 7

6n (21)

2.16. Complejidad del algoritmo de Gauss-Jordan

Supongamos que estamos aplicando el algoritmo a una matriz aumentada n por n + 1 y que estamostrabajando con el renglon m. El algoritmo avanza del primer renglon hasta el ultimo. Es importante notar queel proceso de Gauss-Jordan avanza dejando la matriz reducida hasta el renglon de trabajo Rm:

1 0 0 a1,m 0 1 0 a2,m ...

.... . .

......

...0 0 1 am1,m 0 0 0 am,m ...

.... . .

......

...0 0 0 an,m

Supongamos que estamos ubicados en el renglon m, lo que debemos hacer es hacer un uno pivote en la posicion(m,m) y posteriormente hacer ceros por arriba y por debajo de el.

1. Paso 2.Lo que debe hacerse es dividir el renglon entre el elemento pivote: en dicho renglon, antes de la columnam hay ceros, en el elemento (m,m) quedara un 1, as que los unicos elementos a calcular en el renglonm son apartir de la columna m + 1 y hasta la columna n + 1. As deberan hacerse

(n + 1) (m + 1) + 1 = nm + 1

divisiones.

16

2. Paso 3.Para cada renglon i diferente de m debemos realizar

Ri Ri ai,mRm.Como el renglon m tiene ceros antes de la columna m y en ai,m quedara un cero, los unicos elementosque se calcularan son ai,j ai,j ai,mam,j , desde j = m + 1 y hasta j = n + 1, es decir un total de(n+ 1) (m+ 1) + 1 = nm+ 1. Como para cada uno de ellos se realizan dos operaciones entonces eltotal de FLOPs para hacer un cero en un renglon arriba o abajo de (m,m) se requieren 2 (nm + 1)Como hay en total n renglones , el numero total de FLOPs en el paso 3 sera: (n 1) 2 (nm + 1) Porconsiguiente, en una iteracion del paso 2 seguido del paso 3 se haran nm + 1 + (n 1) 2 (nm + 1)

Como el algoritmo de Gauss-Jordan itera los pasos 2 y 3 recorriendo todos los renglones, el numero total deFLOPs sera:

nm=1

(nm + 1 + (n 1) 2 (nm + 1)) = n3 + 12n2 1

2n

As, la complejidad del algoritmo de Gauss-Jordan es:

n3 +1

2n2 1

2n (22)

2.17. Complejidad del algoritmo de Montante

Supongamos que aplicamos el algoritmo a una matriz aumentada n por n + 1. El algoritmo avanza delprimer renglon hasta el ultimo. Es importante notar que el proceso de Montante avanza dejando la matriz dela siguiente forma hasta la columna de trabajo:

a1,1 0 0 a1,m 0 a2,2 0 a2,m ...

.... . .

......

...0 0 am1,m1 am1,m 0 0 0 am,m ...

.... . .

......

...0 0 0 an,m

Supongamos que estamos ubicados en el renglon m, lo que debemos hacer es hacer ceros por arriba y por

debajo de el.

Multiplicacion de los renglones superiores por am,m.Esto implica realizar multiplicaciones por un total de:

(m 1) (nm + 1) + m 1

Multiplicacion de los renglones inferiores por am,m.Esto implica realizar multiplicaciones por un total de:

(nm) (nm + 1)

A cada renglon diferente de m aplicarle Ri Ri ai,mRmEsto da un total de:

(n 1) 2 (nm + 1)

17

Sumando los terminos anteriores, el total de FLOPs para el trabajo con el renglon m es:

3n2 3mn + 4m 4

Por consiguiente, al repetir estos pasos desde el primer renglon hasta el ultimo daran un total de FLOPs:

nm=1

(3n2 3mn + 4m 4) = 3

2n3 +

1

2n2 2n

Posteriormente habra que hacer 1 cada elemento pivote realizando n divisiones adicionales. As, la complejidaddel algoritmo de Montante es:

3

2n3 +

1

2n2 n (23)

2.18. Comparativa de los algoritmos

A pesar que la complejidad de los algoritmos indica que el algoritmo de eliminacion gaussiana es mejorpor tener la menor complejidad, la version en computadora paralela (muchos procesadores) del algoritmo deGauss-Jordan tiene una menor complejidad que la version paralela del algoritmo de Eliminacion Gaussiana. Alasignarle a cada procesador la instruccion Ri Rif Rj , eliminacion gaussiana los ejecuta de i = j+1, . . . , nmientras que Gauss-Jordan los ejecuta para i 6= j, aprovechando los procesadores mas eficientemente. Elalgoritmo de Montante tiene la ventaja que si se utiliza para matrices con coeficientes enteros las unicasdivisiones realizadas seran las ultimas, lo cual reduce sustancialmente el error numerico. Una desventajaimportante del algoritmo de Montante es que los coeficientes en la matriz pueden crecer considerablemente.En resumen, aunque el mejor algoritmo general para resolver un sistema de ecuaciones lineales es el algoritmode eliminacion gaussiana, puede haber situaciones particulares al problema o al ambiente de computo quehaga que otro algoritmo tenga ventajas sobre el. Por ello es que es conveniente conocer otras alternativas pararesolver problemas y conocer sus ventajas o desventajas.

2.19. Algoritmos y computadoras

Las computadoras operan realizando instrucciones basicas paso a paso. Dichas instrucciones son ejecutadasen forma sncrona con un reloj interno. En nuestros das (ano de 2005), es comun escuchar que la velocidad deuna computadora se mida en algunos pocos gigahertz, digamos por ejemplo 1.3 Gigahertz. Ello quiere decirque el reloj interno de una computadora ejecutara 1.3 109 ciclos en un segundo. Lo cual equivale a decir queaproximadamente dicha computadora ejecutara 1.3 109 instrucciones basicas en un segundo.

El tiempo de ejecucion de un FLOP en las computadoras puede variar; en algunas computadoras toma eltiempo de 1, 2 o en algunos casos 3, instrucciones basicas para completar un FLOP. Si seguimos el ejemplode la computadora de 1.3 Ghz y suponemos que nuestra hipotetica computadora tome 2 instrucciones basicaspara completar un FLOP, podramos decir que cada FLOP tomara 1/(1.3 109)/2 segundos. Para teneruna idea del uso de la complejidad del algoritmo para determinar tiempos de computo, digamos que se deseautilizar un programa que realiza el algoritmo de Gauss en dicha computadora para resolver un sistema de100 100. Entonces, dicho programa realizara 681550 FLOPs, por consiguiente el tiempo que tomara soloen operaciones de punto flotante sera 681550/(1.3 109)/2 0.000262 segundos. Mientras que para unsistema 1000 1000 sera de .256986 segundos y para uno de 10000 10000 sera de 256.467 segundos. Enambientes de manufactura donde se utiliza el metodo del elemento finito para hacer simulaciones, es comuntrabajar con matrices de mas de 106 106. Resolver un sistema 106 106 en tal computadora se requerira,contando solo tiempo por operaciones de punto flotante, un poco mas de 8 anos en ser resuelto. Ademas,requerira mas de 900 terabytes para ser almacenado. Por ello, es que existen algoritmos especializados queaprovechan el hecho de que la matriz tiene una forma particular para economizar operaciones y espacio.

18

2.20. Y los determinantes del Metodo de Montante?

En la definicion original del metodo de Montante como fue propuesto por su creador, se haca referenciaa determinantes de 2 por 2. En la presentacion dada en esta lectura hemos omitido tal referencia y hemospreferido reducir el metodo a operaciones elementales de renglon las cuales creemos que hacen el metodo masclaro y que no requieren ningun otro concepto. Para corroborar la equivalencia, vea los siguientes calculos alaplicar el metodo Montante en la matriz dada y compare los contenidos de la matriz intermedia en la posicion(2, 2) o (3, 2) con la matriz inicial. Primeramente obligamos a que sean multiplos de (1, 1) los contenidos de(2, 1) y (3, 1): a11 a12 a21 a22

a31 a32

R2a11R2R3a11R3

a11 a12 a11a21 a11a22 a11a31 a11a32

(24)Posteriormente, se procede a hacerlos cero utilizando el elemento pivote (1, 1): a11 a12 a11a21 a11a22

a11a31 a11a32

R2R2a21R1R3R3a31R3 a11 a12 0 a11a22 a21a12

0 a11a32 a31a12

(25)

Viendo los contenidos finales de (2, 2) o de (3, 2) la referencia a los determinantes 2 por 2 en la matriz iniciales obvia, aunque consideramos que tambien innecesaria.

2.21. Pero, que metodo me conviene seguir?

Como se vera mas adelante en el curso, debido al significado de cada numero en la reducida, la matriz redu-cida obtenida de una matriz dada es unica. Esto significa que cualquier procedimiento basado en operacioneselementales de renglon debe llevar al mismo resultado. Por tanto, esto nos da la posibilidad de seguir cualquierestrategia basada en operaciones elementales de renglon para reducir una matriz. Lo que normalmente se hacees revisar a simple vista en cada momento aquel elemento que conviene que sea pivote de manera que involucreo menor numero de operaciones o bien operaciones menos complejas. Sin duda, el hacer un numero razonablede ejemplos le ira construyendo la intuicion del camino personal de reduccion de una matriz.

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Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Departamento de Matematicas, CCIR/ITESM

10 de enero de 2011

Indice

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3. Fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4. Determinacion de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.5. Balanceo de Reacciones Qumicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.6. Aplicaciones a Manufactura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.7. Aplicaciones Diversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.8. Transferencia de Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.9. Splines cubicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.10. Suma de los primeros cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.11. Integracion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1. Introduccion

En esta lectura veremos algunas aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales. Las aplicaciones de laresoluciones de sistemas son innumerables, y por consiguiente es imposible pretender cubrir las aplicaciones.Queda como reto personal encontrar situaciones donde surgan este tipo de problemas.

3.2. Objetivo

La lectura pretende que usted conozca algunas de las situaciones que conducen a la resolucion de un sistemade ecuaciones lineales. Notablemente, la tecnica de las fracciones parciales, el ajuste de curvas y algunos mas.

3.3. Fracciones parciales

Una tecnica muy conveniente utilizada en algunas tareas matematicas es aquella conocida como fraccionesparciales. Esta se aplica para simplificar integrales o transformadas de Laplace, por citar algunos ejemplos. Laidea principal consiste en cambiar la forma que puede ser expresado un cociente entre polinomios a otra formamas conveniente para cierto tipo de calculo.

Ejemplo 3.1Determine los valores de las constantes a y b para que satisfagan:

1

(x 2)(x + 3) =a

x 2 +b

x + 3

SolucionSe debe cumplir:

1(x2)(x+3) =

ax2 +

bx+3

= a (x+3)+b (x2)(x2) (x+3)

= a x+3 a+ b x 2 b(x2)(x+3)

= (3 a2 b)+ (a+b)x(x2)(x+3)Esto se cumple si:

1 + 0 x = 1 = (3 a 2 b) + (a + b)xEs decir, si:

3 a 2 b = 1a + b = 0

El cual tiene como solucion:

a =1

5y b = 1

5

Ejemplo 3.2(Forma dudosa) Determine los valores de las constantes a y b para que satisfagan:

2 + 2x + 2x2

(x + 1)(x2 + 1)=

a

x + 1+

b

x2 + 1

SolucionSe debe cumplir:

2+2x+2x2

(x+1)(x2+1)= ax+1 +

bx2+1

= a (x2+1)+b (x+1)

(x+1) (x2+1)

= a x2 + a+ b x+ b

(x+1)(x2+1)

= (a+b)+ (b)x+a x2

(x+1)(x2+1)

Esto se cumple si:2 + 2x + 2x2 = (a + b) + (b)x + a x2

Es decir, si:a + b = 2

+ b = 2a = 2

El cual no tiene solucion. Que puede andar mal? La forma propuesta para la expresion en fracciones parcia-les.Ejemplo 3.3Determine los valores de las constantes a, b y c para que satisfagan:

2 + 2x + 2x2

(x + 1)(x2 + 1)=

a

x + 1+b x + c

x2 + 1

2

SolucionSe debe cumplir:

2x2+2x+2(x+1)(x2+1)

= ax+1 +bx+cx2+1

= a(x2+1)+(bx+c)(x+1)(x+1)(x2+1)

= ax2+a+bx2+bx+cx+c

(x+1)(x2+1)

= (a+b)x2+(b+c)x+(a+c)

(x+1)(x2+1)

Esto se cumple si:2x2 + 2x + 2 = (a + b)x2 + (b + c)x + (a + c)

Es decir, si:a + b = 2

b + c = 2a + c = 2

El cual tiene como solucion:a = 1, b = 1 y c = 1

3.4. Determinacion de curvas

Un problema comun en diferentes areas es la determinacion de curvas. es decir el problema de encontrarla funcion que pasa por un conjunto de puntos. Usualmente se conoce la naturaleza de la funcion, es decir, seconoce la forma que debe tener la funcion. Por ejemplo, lnea recta, parabola o exponencial etc. Lo que sehace para resolver este tipo de problemas es describir la forma mas general de la funcion mediante parametrosconstantes. Y posteriormente se determinan estos parametros haciendo pasar la funcion por los puntos cono-cidos.

Ejemplo 3.4Determine la funcion cudratica que pasa por los puntos P (1, 4), Q(1, 2), y R(2, 3).SolucionLa forma mas general de una cuadratica es:

f(x) = a x2 + b x + c

donde los coeficientes a, b, y c son constantes numericas. El problema consiste en determinar estos coeficientes.As pues los parametros a, b, y c se vuelven ahora las incognitas. Y para poderlas determinar requerimos deecuaciones o igualdades que deben satisfacer. Para determinar estas ecuaciones debemos usar los puntos.Para que la funcion pase por el punto P (1, 4) se debe cumplir que

f(x = 1) = 4

es decir, se debe cumplir:a (1)2 + b (1) + c = 4

es decir, se debe cumplir:a + b + c = 4

Procediendo de igual manera con el punto Q(1, 2): formulamos la ecuacion:

a b + c = 2

3

y para R(2, 3):4a + 2b + c = 3

Resumiendo para que la funcion f(x) = a x2 + b x + c pase por los puntos P , Q, y R deben cumplirse lasecuaciones:

a + b + c = 4a b + c = 2

4a + 2b + c = 3

La solucion a este sistema es:

a = 23, b = 1, y c =

11

3

La misma situacion presentada en el problema de las fracciones parciales que originaba un sistema inconsis-tente, se puede presentar en la determinacion de funciones. Y la conclusion es similar: si el sistema originadoes inconsistente lo que se concluye es que no existe una funcion con esa forma general que pase exactamentepor los puntos dados.

Ejemplo 3.5Conociendo la solucion general a una ED:

y(t) = C1 et + C2 e

t + C3 e3 t

Determine en orden los valores de las constantes C1, C2, y C3 para que se cumpla:

y(0) = 0, y(0) = 1, y(0) = 2

SolucionEn este caso las incognitas son las constantes C1, C2, y C3. Para determinarlas requerimos las ecuaciones ypara ellas debemos determinar las derivadas de y(t):

y(t) = C1 et + C2 e

t + C3 e3 t

y(t) = C1 et C2 et + 3C3 e3 ty(t) = C1 et + C2 et + 9C3 e3 t

Usando las condiciones iniciales y las derivadas calculadas tenemos:

0 = C1 + C2 + C31 = C1 C2 + 3C32 = C1 + C2 + 9C3

La solucion es: C1 = 0, C2 = 1/4 y C3 = 1/4.

3.5. Balanceo de Reacciones Qumicas

Una aplicacion sencilla de los sistemas de ecuaciones se da en el balanceo de reacciones qumicas. Laproblematica consiste en determinar el numero entero de moleculas que intervienen en una reaccion qumicacuidando siempre que el numero de atomos de cada sustancia se preserve.

Ejemplo 3.6Balancee la reaccion qumica

aCH4 + bO2 cCO2 + dH2OSolucion

Para determinar los coeficientes a, b, c, y d que representan el numero de moleculas de las sustancias en la

4

reaccion debemos igualar el numero de atomos en cada miembro:Por los atomos de carbono

a = c

Por los atomos de oxgeno

2 b = 2 c + d

Por los atomos de hidrogeno

4 a = 2 d

Este sistema es consistente y origina infinitas soluciones. La formula general para las soluciones queda:

a = 12 db = dc = 12 d

El valor mas pequeno de d que hace que los numeros de moleculas sean enteros positivos es d = 2:

a = 1, b = 2, c = 1, y d = 2

3.6. Aplicaciones a Manufactura

Ejemplo 3.7Patito computers fabrica tres modelos de computadoras personales: canon, clon, y lenta-pero-segura. Paraarmar una computadora modelo canon necesita 12 horas de ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 mas parainstalar sus programas. Para una clon requiere 10 horas de ensamblado, 2 para probarla, y 2 para instalarprogramas. Y por ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensamblado, 1.5 para probarla, y 1.5 parainstalar programas. Si la fabrica dispone en horas por mes de 556 para ensamble, 120 para pruebas, y 103horas para instalacion de programas, cuantas computadoras se pueden producir por mes?SolucionEn nuestro caso las incognitas el numero de cada tipo de computadora a producir:

x = numero de computadoras canony = numero de computadoras clonz = numero de computadoras lenta-pero-segura

Para determinar las ecuaciones debemos utilizar los tiempos de ensamblado, pruebas, e instalacion de progra-mas.Ensamblado

556(total) = 12x(canon) + 10 y(clon) + 6 z(lenta)

Pruebas

120(total) = 2.5x(canon) + 2 y(clon) + 1.5 z(lenta)

Instalacion de programas

103(total) = 2x(canon) + 2 y(clon) + 1.5 z(lenta)

Al resolver este sistema obtenemos:x = 34, y = 4, z = 18

5

Dado lo comun de las aplicaciones hacia el area de manufactura, existe una forma simple de construir la matrizdel sistema de ecuaciones que en general se trabaja como una tabla:

En la ultima columna aparecen los recursos: un renglon para cada tipo de recursos y en cuya posicionfinal se pone el total de recursos disponibles.

En las primera columnas se colocan los objetos o modelos a ser ensamblados o construidos: en cadaposicion se coloca el total de recursos que consume en forma unitaria cada tipo de objeto.

Recursos requeridos por unidad

Recurso Canon Clon Lenta Total

Ensamble 12 10 6 556

Pruebas 2.5 2 1.5 120

Instalacion 2 2 1.5 103

3.7. Aplicaciones Diversas

Ejemplo 3.8Un negociante internacional necesita, en promedio, cantidades fijas de yenes japoneses, francos franceses, ymarcos alemanes para cada uno de sus viajes de negocios. Este ano viajo tres veces. La primera vez cambio untotal de $434 a la siguiente paridad: 100 yenes, 1.5 francos y 1.2 marcos por dolar. La segunda vez, cambio untotal de $406 con las siguientes tasas: 100 yenes, 1.2 francos, y 1.5 marcos por dolar. La tercera vez cambio $434en total, a $125 yenes, 1.2 francos, y 1.2 marcos por dolar. Que cantidades de yenes, francos y marcoscompro cada vez?SolucionEn nuestro caso las incognitas son las cantidades de moneda extranjera requerida que se mantuvo fija en lostres viajes:

x = cantidad de yenesy = cantidad de francosz = cantidad de marcos

Primera vez:

434(total) =1

100x +

1

1.5y +

1

1.2z

Segunda vez:

406(total) =1

100x +

1

1.2y +

1

1.5z

Tercera vez:

434(total) =1

125x +

1

1.2y +

1

1.2z

Resolviendo el sistema anterior obtenemos:

x = 10500, y = 126, z = 294

3.8. Transferencia de Calor

Ejemplo 3.9Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de Calor es determinar la temperatura en estado establede una placa delgada cuando se conocen las temperaturas alrededor de la placa. Suponga que la placa de lasiguiente figura representa una seccion transversal perpendicular a la placa.

6

TCN

TCS

TCO TCE

t t tt t t t tt t t t t

t t tT4

T1

T5

T2

T6

T3

Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las tempreaturas interiores de los nodos de la red. La temperatura en un nodoes aproximadamente igual al promedio de las temperaturas de los cuatro nodos mas cercanos arriba, abajo, ala derecha, y a la izquierda. As por ejemplo

T1 = (TCN + T2 + T4 + TCO) /4.

Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que

TCN = 25o, TCE = 37

o, TCS = 10o, TCO = 31

o

Reporte solo el valor de T2.SolucionLas ecuaciones para las temperaturas de los puntos interiores a la placa T1 a T6 quedan:

T1 = (TCN + T2 + T4 + TCO)/4T2 = (TCN + T3 + T5 + T1)/4T3 = (TCN + TCE + T6 + T2)/4T4 = (T1 + T5 + TCS + TCO)/4T5 = (T2 + T6 + TCS + T4)/4T6 = (T3 + TCE + TCS + T5)/4

Usando los datos de las temperaturas a los costados de la placa y convirtiendo cada ecuacion a la formacanonica queda (conviene multiplicar por 4 cada ecuacion):

4T1 T2 T4 = 56T1 + 4T2 T3 T5 = 25

T2 + 4T3 T6 = 62T1 + 4T4 T5 = 41

T2 T4 + 4T5 T6 = 10 T3 T5 + 4T6 = 47

Quedando

T1 T2 T3 T4 T5 T64 1 0 1 0 0 561 4 1 0 1 0 25

0 1 4 0 0 1 621 0 0 4 1 0 41

0 1 0 1 4 1 100 0 1 0 1 4 47

7

Al reducir la matriz obtenemos la solucion:

T1 = 25.527T2 = 24.496T3 = 27.527T4 = 21.614T5 = 19.931T6 = 23.614

3.9. Splines cubicos

Ejemplo 3.10Determine los coeficientes que deben tener los polinomios

S1(x) = A1 + B1 (x 0.4) + C1 (x 0.4)2 + D1 (x 0.4)3

S2(x) = A2 + B2 (x 0.5) + C2 (x 0.5)2 + D2 (x 0.5)3

para que se cumpla:1. S1(0.4) = 0.528571 2. S1(0.5) = 0.8959263. S2(0.5) = 0.895926 4. S2(0.6) = 0.3561825. S1(0.5) = S2(0.5) 6. S1 (0.5) = S2 (0.5)7. S1 (0.4) = 0 8. S2 (0.6) = 0

Lo que debe hacer es tomar como incognitas dichos coeficientes, usar las condiciones anteriores para construirecuaciones, y resolver el sistema que se forma.La condicion 1. lleva a la ecuacion A1 = 0.528571La condicion 2.