im250 prof. eugênio rosa parte i formulação integral das equações de transporte
TRANSCRIPT
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Parte I
Formulação Integral
das Equações de Transporte
IM250 Prof. Eugênio Rosa
As Leis Físicas e o Conceito de Sistema
• “As leis da natureza não foram inventadas pelo homem, mas sim forçadas sobre ele pelo próprio mundo natural. São a expressão de uma ordem racional do mundo“; Max Planck
• As leis físicas foram desenvolvidas para sistemas: um conjunto de partículas (massa) com identidade fixa.
• Não há fluxo de massa na fronteira de um sistema, mas pode haver forças (pressão, tensão) e energia na forma de calor ou trabalho cruzando sua fronteira.
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Propriedades de Sistemas• Um sistema pode ser caracterizado pela sua
Massa, Quantidade de Movimento Linear, Energia, Entropia, entre outros parâmetros.
0Dt
DM
sis
ext
sis
FDt
VMD
WQ
Dt
ED
sis
S
sis
PT
Q
Dt
SD
Variação da Massa de um sistema é, por definição, nula:
Variação da Quant. de Movimento de um sistema - 2a lei de Newton
Variação da Energia de um sistema - 1a Lei da Termodinâmica
Variação da Entropia de um sistema - 2a Lei da Termodinâmica
Sinal Q & W: Q>0 se entra no sistema, W>0 se sai do sistema.
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Forma Genérica
• Se considerarmos B uma propriedade extensiva de um sistema, sua variação pode ser expressa genericamente por:
SDt
DB
sis
• Onde S representa um termo fonte adequado para o fenômeno que B representa: massa, quantidade de movimento, energia etc.
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Propriedade Não-Uniformes• A propriedade genérica B (massa, q. movimento,
energia etc) do sistema, em geral, não é uniforme no espaço.
• Ela pode ser convenientemente avaliada definindo-se uma propriedade intensiva b como:
m
Blim
0m
• De tal forma que a taxa de variação de B no sistema pode ser determinada por:
SdDt
D
sis
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Propriedades de Sistemas
• As equações que descrevem as variações das propriedades nos sistemas são postulados ou leis da física.
• Para constituirmos estas equações devemos especificar a natureza do termos fonte.
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Equação da Massa para um Sistema
• A equação da Massa é obtida fazendo-se b =1,
• Note que não há termo fonte de massa, pressupõe-se na ausência de efeitos nucleares.
0dDt
D
sis
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Equação da Q. Movimento para um Sistema
• A equação da Q. Movimento é obtida fazendo-se b = V,
• As forças externas são dividas em forças que agem na fronteira do sistema, Tensões T (natureza tensorial), e forças de campo que agem no volume do sistema .
extF
AsisdgndAdV
Dt
DT
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Equação da Energia para um Sistema
• A equação da Energia é obtida fazendo-se b =e, onde ‘e’ ainda não especificada neste estágio,
• Q e W só existem na fronteira do sistema, o calor é exclusivamente devido a condução térmica e o trabalho é aquele realizado pelas tensões que atuam na fronteira.
• O último termo refere-se a geração volumétrica de energia no interior do volume (reação química, dissipação efeito joule, etc)
dqdAVndAnqed
Dt
D
W
A
Q
Ak
sis
T
IM250 Prof. Eugênio Rosa
2a Lei para um Sistema
• A 2a Lei é obtida fazendo-se b = s,
• O primeiro e segundo termo referem-se a produção ou destruição de s devido a transferência de calor na fronteira e devido a geração de energia internamente ao volume.
• O último termo refere-se a produção de entropia devido as irreversibilidades do sistema, Ps 0.
A
k
sisPsd
T
qdAn
T
qsd
Dt
D
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Equações de Transporte ou Conservação?
• Os livros textos freqüentemente denominam a taxa de variação das propriedades dos sistemas por Equações de Transporte ou Equações de Conservação.
• A primeira denominação sub-entende como uma propriedade específica é transportada (convecção e difusão) pelo campo.
• O termo conservação é igualmente aplicado porque o lado direito da equação deve ser igual ao seu lado esquerdo, isto é, o transporte deve ser igual ao termos fonte associados a produção ou destruição da propriedade!
IM250 Prof. Eugênio Rosa
• Os postulados físicos para sistemas são aplicados com sucesso para partículas e corpos rígidos.
• No entanto encontra-se dificuldade para aplicá-los em corpos que se deformam continuamente (FLUIDOS)!
• Veja se você conseguiria identificar, em qualquer instante de tempo, todas as partículas de fluido que compõe o sistema ao entrar em um reator com agitação, transferência de calor e trabalho:
Aplicação do Conceito de Sistema
IM250 Prof. Eugênio Rosa
sistema
Q W
m1
m1
sistema
Q W
m1
m1
Instante: t0
Instante: t0+Dt
IM250 Prof. Eugênio Rosa
• Para corpos que se deformam continuamente( gases e líquidos) é difícil realizar uma análise seguindo-se o sistema!
• É muito mais simples se ater a uma região no espaço (Volume de Controle) onde massa pode cruzar sua fronteira.
• O Teorema de Transporte de Reynolds (TTR) permite que se faça uma análise de um Sistema a partir do conceito de Volume de Controle!
Sistema x Volume de Controle
IM250 Prof. Eugênio Rosa
O Volume de Controle• O Volume de Controle V.C. é uma região do espaço onde se deseja
realizar a análise.• A sua fronteira com o meio externa é delimitada pela Superfície de
Controle, S.C.: massa, força e energia podem cruzar a S.C.• O Volume de Controle pode ser estacionário ou móvel no espaço;
fronteiras fixas ou deformáveis ou qualquer outra combinação;
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Teorema de Transporte de Reynolds • Ele descreve a variação da propriedade do
sistema em termos de propriedades medidas no Volume de Controle.
VC SC
rsis
dAVndVdt
dd
Dt
D
• A variação da propriedade B do sistema é igual a variação de B no V.C. mais o fluxo líquido de B que cruza a S.C.
onde Vr é a velocidade relativa do fluido em relação a fronteira, Vr = Vf - Vb
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Demonstração do Teorema de Transporte
de Reynolds
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Teorema de Transporte de Reynolds
( t0 ) (t0 + dt)
system control volume
I II
III
• No instante t0 a superfície de controle é coincidente com a fronteira do sistema.
• No instante t0+dt o sistema ‘deixa’ parcialmente o V.C. A região III está fora do V.C.; a região II ainda está dentro do V.C.; e a região I é preenchida por outro sistema.
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Teorema de Transporte de Reynolds
t
B
t
B
t
BBB
0t
Lim
t
BBB
0t
Lim
dt
dB
ttI
ttIII
tttII
ttI
tttII
ttIII
sys
( t0 ) (t0 + dt)
sistema volumecontrole
I II
III
A taxa de variação do sistema é escrita em função de propriedades do V.C.
• Sistema = (II)+(III)• V. C. = (I)+ (II)
Identificação do sistema e do VC no instante (t0 + dt) .
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Sistema com Propriedades Não-Uniformes
• Com freqüência ocorre que as propriedades de uma variável não são uniformes em toda extensão espacial do sistema.
• Neste caso, para representar adequadamente a massa ou qualquer outra propriedade do sistema devemos somar sua contribuição em toda extensão:
• Onde
vol vol
M dV & B dV
m
Blim
0m
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Teorema de Transporte de Reynolds
O primeiro termo representa a taxa de variação de B no V.C.
vol
tttII
ttI dV
dt
d
t
BBB
0t
Lim
( t0 ) (t0 + dt)
system control volume
I II
III
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Teorema de Transporte de ReynoldsOs 2o e 3o termos representam os fluxos de B para for a e para dentro do V.C.
.S.Cr
Ir
IIIrtt
Itt
III
dAVn
t
dAVnt
t
dAVnt
0t
Lim
t
B
t
B
0t
Lim
( t0 ) (t0 + dt)
system control volume
I II
IIIn
Vr Leaving C.V.n.Vr >0
n
VrEntering C.V. n.Vr <0
IM250 Prof. Eugênio Rosa
• Taxa de variação do sistema escrita em termos de propriedades do Volume de Controle,
.V.C .S.C
rsys
dAVndVdt
d
dt
dB
• A variação de B no sistema é igual a variação de B no V.C. mais o fluxo líquido de B que cruza a S.C.
• A derivada ‘lagrangeana’ do sistema é determinida para uma região no espaço por meio do TTR.
Teorema de Transporte de Reynolds
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Forma Integral das Equações de Transporte • O TTR permite escrever as Equações de Transporte
a partir do conceito de Volume de Controle:
b( / )B M
Source
Massa 1 0
Movimento V
1a Lei e
2a Lei s
S Source
VCSCVC SCr dfdAJ dAVnd
dt
d
CVCS
dgndA
T
VCSCSC
k dqdAVndAnq
T
SC VC
k PsdT
qdAn
T
q
J e f são fontes genéricos associados a SC e ao VC
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Conservação da Massa
.C.V .C.S
r 0dAnVddt
d
A Eq. da conservação da massa é obtida fazendo-se
B = M, b = 1. Não há fontes de superfície ou de volume; DM/Dt = 0 por definição de sistema!
S Source
VCSCVC SCr dfdAJ dAVnd
dt
d
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Ex. – Escoamento de água (incompressível) com velocidade uniforme nas seções. Determine a vazão mássica em (3). São conhecidas as áreas em (1), (2) e (3) e as velocidades nas seções (1) e (2) são, respectivamente: U1 e U2+cos(wt).
O balanço de massa fica sendo os fluxos que entram e saem do VC:
0MAVAV 32211
Comentário: não importa se as velocidades são transientes, não há termo de acumulação, a vazão instantânea que entra é igual àquela que sai!
Fluido incompressível, r = constante e fronteira não deformável, então o termo de acumulação é nulo;
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Ex. – Água escoa em regime permanente através de uma placa porosa, avalie a vazão da massa na seção bc se o perfil de velocidades na seção cd é:
• Trace uma superfície de controle
5,1y
2y
3U
u
m=?
• Aplique o balanço de massa para R.P.
0dAnV.C.S
r
0mdxwVdywyudywU bc
L
000
• Calcule os fluxos em cada face da S.C.:
71 0
10 bc
w
V LU w m
U
s/kg42,1mbc • Note que mbc>0, portanto o fluxo de massa cruza a S.C. para fora!
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Ex. – Um tanque de volume fixo contém salmoura, com densidade inicial ri. Água pura (dens. rA) entra no tanque e mistura-se perfeitamente com a salmoura. Determine uma expressão para a taxa de variação da densidade da salmoura rm com o tempo.
• Trace uma S.C.
• Crie um referencial
x
y
• Balanço de massa: como há uma mistura ‘perfeita’, a densidade média no volume é igual àquela da saída, rm então:
0QQdt
dmA
m • Como vol. const., então a vazão
volumétrica na entrada e saída são iguais a Q
0dAnVddt
d
.C.Sr
.C.V
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Ex. – continuação
• Separando os termos vamos ter:
• Integrando,
x
y
• Onde ri é a concentração inicial.
• Reconhecendo que V/Q é a constante de tempo, t, a razão das densidades pode ser então representada por:
dtQd
Am
m
tQ
Ai
Am e
t
Ai
Am e
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Ex. – continuação
• Qual é a relação entre a densidade da salmoura e a concentração volumétrica do sal?
• Reconhecendo que as densidades do sal e da água pura são: rs e rA, então a densidade da mistura é:
x
y
• Onde C é a concentração volumétrica do sal, isto é, a razão entre o volume que ele ocupa e o volume da mistura,
C1C ASm
aguasal
salC
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Fronteira Deformável x
Fronteira Fixa
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Ex. – Um acumulador hidráulico reduz os pulsos de pressão acumulando ou descarregando óleo no seu interior. Considerando que a vazão instantânea de óleo que entra é Q e que a velocidade instantânea de saída é V numa área A, determine a taxa a qual o acumulador ganha ou perde óleo.
0AVQdtd
A taxa de acumulação é:
ar
Q V,A
• Trace uma superfície de controle
• Aplique o balanço de massa
• Crie um referencial
x
y
Fronteira fixa
Fronteira deformável
0dAnVddt
d
.C.Sr
.C.V
AVQdt
d
Ou,
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Exemplo– Um pistão de área Ap desliza num cilindro com velocidade Vb. Na extremidade oposta do cilindro há uma abertura de área A. Determine a velocidade de saída do jato. Considere o fluido incompressível.
• Trace uma superfície de controle
• Aplique o balanço de massa:
0dAnVddt
d
.C.Sr
.C.V
• Calcule as integrais:
VbVs
• Crie um referencial
x
y
0AV
dt
hAdS
P
h(t)
• Reconhecendo que ´-dh/dt = Vb, então: b P SV A V A 0- r× × +r× × =
Fronteira fixa
Fronteira deformável
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Problema Desafio – Inicialmente o raio interno de um balão elástico é Ri e ar no seu interior está a pressão e temperatura Pi e T0.
Ele começa a ser enchido por um fluxo de ar com velocidade V1 e densidade r1 pela seção (1) de área A1. A pressão externa ao balão é atmosférica, Patm. Considere o ar como um gás perfeito e o processo de enchimento se dá a temperatura constante T0.
Determine a taxa de variação da densidade do ar no balão rb e R com o fluxo de ar na entrada. Utilize a equação de Laplace-Young para determinar a diferença de pressão em função do raio durante o processo de enchimento.
Ri
Pi
Patm
T0
R
P
Patm
rb
T0
V1A1r1
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Teorema de Leibniz
IM250 Prof. Eugênio Rosa
• Pode ocorrer uma função f(t) definida pela integral:
dxt,xft
tB
tA
• A derivada de f(t) é definida pelo teorema de Leibniz:
dt
dAt,Af
dt
dBt,Bfdx
t
t,xfdxt,xf
tdt
td tB
tA
tB
tA
• Note que se os limites de integração forem fixos no tempo então
dx
t
t,xfdxt,xf
tdt
td tB
tA
tB
tA
• Qual seria a derivada da função f(t) em relação a t?
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Representação Gráficaf
x
f(x,t+dt)
A(t+dt) B(t+dt)
2
8
3
10
16
4 f(x,t)
f(A) f(B)
A(t) B(t)
7 9
5
tdt
dA
tt
f
tdt
dB
dxt,xft
tB
tA
dt
dAt,Af
dx
t
t,xftB
tA
dt
dBt,Bf
4,3,2,1áreadxt
t
t,xftB
tA
10,9,5,4áreatdt
dBt,Bf
8,7,6,1áreatdt
dAt,Af
Agrupando os termos e fazendo dt->0, tem-se:
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Extensão para Volumes do Teorema de Leibniz
• Onde A(t) e B(t) são volumes deformáveis cuja forma depende do tempo t.
• df/dt depende da taxa de variação do volume (ou vazão volumétrica) nas fronteiras!
dt
dAt,Af
dt
dBt,Bfd
t
t,xfdxt,xf
tdt
td tB
tA
tB
tA
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Como eu aplico o T. Leibnitz em Mec Flu?
• onde Vb é a velocidade da fronteira.• A derivada da integral do volume deformável é igual:
1. A integral da derivada da propriedade no V.C.
2. Mais um termo de fluxo associado com a deformação da fronteira.
dAnVdt
dt
DeformávelFronteira
btt
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Como fica o T.T. Reynolds?
dAnVdAnVdtdt
dB
.C.Sr
V.C. no B Variação Taxa
DeformávelFronteira
btSISTEMA
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Ex. revisitado
• A velocidade da fronteira pode ser determinada a partir do balanço de massa:
QVA
.C.Sr
AV
DeformávelFronteira
b
0
t
dAnVdAnVdt
0
b
ar
Q V,A
x
y
Fronteira fixa
Fronteira deformável Vb
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Exemplo revisitado
• A velocidade da fronteira pode ser determinada a partir do balanço de massa:
AV
.C.Sr
AV
DeformávelFronteira
b
0
t
s
Pb
dAnVdAnVdt
0
VbVs
h(t)
Fronteira fixa
Fronteira deformável
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Conservação da Quantidade de Movimento
2ª Lei de Newton
ext
sist
DVd F
Dt ����������������������������
IM250 Prof. Eugênio Rosa
O que é um Ref. Não-Inercial?
• Um referencial é inercial se ele não tiver aceleração em relação a um referencial ‘estacionário’.
• Um referencial NI é aquele que pode apresentar aceleração linear, angular, centrífuga ou de coriolis em relação a um referencial ‘estacionário’
• Exemplos de referencial NI e I:• 1. ref. seguindo VC que acelera em relação ref.
estacionário• 2. ref. seguindo VC que descreve um arco de curva• 3. ref. Seguindo VC que se desloca com velocidade
constante em relação a um ref. Estacionário , este é Inercial!
IM250 Prof. Eugênio Rosa
A 2a Lei de Newton
• Para referenciais NI é necessário relacionar a aceleração do referencial NI (xyz) a um referencial estacionário (XYZ).
ext
XYZ
sistema Fdt
Vmd
xyzext
xyz
sistema amFdt
Vmd
• A variação de quantidade de movimento de um sistema é igual a somatória das forças externas desde que o referencial seja Inercial.
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Posição Relativa
• O ref (xyz) gira com w e é localizado pelo vetor posição R.
• A posição do sistema PXYZ = R + r
• O problema fundamental é estabelecer a aceleração relativa do referencial NI a um estacionário.
X
Y
Z
y
x
z
R
Pr
w
sistema
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Movimento Relativo• A velocidade observada no ref (XYZ) é dada pela
velocidade de translação de (xyz) (dR/dt = Vrf) mais a velocidade de translação e rotação do sistema em relação ao ref (xyz) (Vxyz e wxr)
X
Y
Z
y
x
z
R
Pr
w
sistema
rdt
rd
dt
Rd
dt
Pd
rVVV xyzrfXYZ
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Aceleração Inercial x Não-Inercial A aceleração do ref. (XYZ) é obtida derivando-se as
velocidades relativas .
xyzXYZ rfdV d xrdV dV
dt dt dt dt
rr r r r
Aceleração Inercial
Acel. retilínea do ref
(xyz)
Aceleração de rotação ref (xyz)
xyz
d r V xr
dt
r rr r r rXYZ xyz xyz a a V
rr r r
Aceleração linear medida no ref (xyz)
XYZ xyz xyz rfd
a a 2 V a r r dt
rrr r r r r r r r
Aceleração angular (xyz)
Aceleração centrífuga
Aceleração retilínea no (xyz)
Aceleração Coriolis
rfar
IM250 Prof. Eugênio Rosa
• A aceleração Inercial é composta por duas parcelas: – (1) axyz : acel. do sistema medida do referencial N.I.,
– (2) arel: termo de aceleração relativa,
XYZ xyz rel a a a r r r
Aceleração Inercial x Não-Inercial
2
rel xyz2d R d
a r r 2 Vdtdt
r r rr r r r r r
O termo (1) é simplesmente a aceleração medida do referencial N.I. Se o referencial estiver com velocidade linear constante então aXYZ = axyz e arel = 0
O termo (2) compõe com a axyz a aceleração inercial! Ele tem 4 parcelas : (i) aceleração linear e (ii) aceleração devido a rotação do referencial:
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Como fica a Eq. da Massa?
• Nada muda!
• Lembre-se porém que pode ser mais simples de realizar a análise a partir do referencial inercial móvel (xyz).
rsys V.C. S.C
dM dd n V dA 0
dt dt
rrÒ
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Como fica a Eq. da Q. Movimento?
• As velocidades são medidas do referencial (xyz),
• onde a aceleração relativa, arel é,
xyz r xyz CAMPO SUP MEC rel
V.C. S.C. V.C.
dV d n V V dA F F F a d
dt r r r r r rr r
Ò
2
rel xyz2
d R da r 2 V r
dt dt
r r rr r r r r r
CAMPO
V.C.
SUP
S.C. S.C.
MEC
F gd ; atua em todo o V.C.
F n p dA n dA; atua somente na S.C.
F um eixo ou barra cruza a S.C.
r r
r r r
rÒ Ò
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Casos Especiais de arel
• 2. Sistemas Não-Inerciais com deslocamento linear apenas ( = 0):
1. Sistemas Não-Inerciais caso Geral:
rel rf xyzd
a a r r 2 V dt
r rr r r r r r r
3. Sistemas Não-Inerciais com rotação constante apenas:
rel xyza 2 V r rr r r r r
2 2rel rfa a d R dt r r
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Alguns devaneios sobre os efeitos do termo de
aceleração de Coriolis…
IM250 Prof. Eugênio Rosa
A aceleração de Coriolis
• Enquanto que os termos de aceleração retilínea, rotação e centrífugo são relativamente familiares, o mesmo não é verdade para o termo de Coriolis!
• O termo de Coriolis faz surgir uma força perpendicular ao plano definido pelos vetores velocidade e rotação
2 V
V2
. .
Filme 1
Filme 2
IM250 Prof. Eugênio Rosa
A aceleração de Coriolis• Um jato de líquido num vaso cilíndrico sem e com
rotação descreverá trajetórias diferentes devido ao termo de Coriolis
Sem rotação: trajetória retilínea Com rotação: trajetória curva
2V
2
V
V2
Vista lateral tanque
Ñão deixe de assistir Rotating Flows
V2
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Porque os furacões no hemisfério N giram no sentido anti-horário e no S no sentido horário?
• Ciclone em Sta. Catarina, 2004
• Sentido: horário
• Ciclone Fran, golfo do México, 1996
• Sentido: anti- horário
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Estrutura do Furacão (Hurricane)
• Próximo ao solo, devido a rotação das massas, é criado uma região de baixa pressão que faz com que o ar seja succionado em direção ao ‘olho’
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Hemisfério Norte
• É a ação da aceleração de Coriolis e a rotação do planeta que produzem o sentido da rotação.
Vxyz
w, w N
2
V
Vista lateral
(1) V2
2V
V
V2
V2
IM250 Prof. Eugênio Rosa
EXEMPLOS
IM250 Prof. Eugênio Rosa
C.S.
(1) (2)Patm
Pat
mPatm
P1
21
2 1 1 atm x
dm V V P P F
4
&
Fx<0
Veja no link: força de reação de jato de água, causada por um bocal, é capaz de levantar um carro.
IM250 Prof. Eugênio Rosa
• Exemplo Determine a força de arrasto em uma placa plana devido ao atrito viscoso. Considere regime permanente. A velocidade em (a-b) é uniforme e vale Uo, a velocidade em (c-d) é variável e descrita por u(y). A pressão é atmosférica. Encontre uma expressão da força de arrasto em função do perfil de velocidades. L é a largura da placa
Uo u(y)
(a)
(b)
(d)
(c)
x
y
S.C.
0
Resp D u U u Ldy
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Efeitos de Mudança de Direção na Quantidade de Movimento
IM250 Prof. Eugênio Rosa
• 4.58 – Água escoa em regime permanente através de um cotovelo de 180o. Na entrada do cotovelo a pressão manométrica é 96 kPa. Água é descarregada para a atmosfera. Admita que as propriedades são uniformes nas seções de entrada e saída, A1= 2600mm2, A2=650mm2 e V1=3,05 m/s. Determine a componente horizontal da força necessária para manter o cotovelo no lugar.
F
1 2 1 1F m V V P A
IM250 Prof. Eugênio Rosa
HOW IS LIFT GENERATED?
• Lift occurs when a moving flow of fluid is turned by a solid object.
• When the flow is turned in one direction it causes a change in the momentum flux which, in turn, requires an equal force in the opposite direction (THE LIFT), according to Newton's Third Law of action and reaction.
IM250 Prof. Eugênio Rosa
HO
W IS
LIF
T G
EN
ER
AT
ED
?
• If one draws a control surface C.S. encompassing a solid body which by some means deflects the flow downward, there must be a vertical net force acting on the C.S. accordingly to the Newton’s Law:
• In equilibrium, the lift force is equal to the body weight: L = W!
Momentum flux face N
weightControl Surface
Momentum flux face S
Momentum flux face E
Momentum flux face W
y y ny n
CS CS CS
V V n dA pn dA dA L r r
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Animais com propulsão baseada na sucção-injeção
Água viva (jellyfish)filme
Polvo (octopus)filme
Efeitos de Sucção e Injeção na Quantidade de Movimento
IM250 Prof. Eugênio Rosa
SUCÇÃO X INJEÇÃO (filme)Diferenças
Área de baixa
pressão Área de pressão atmosf
Área Baixa Pressão: linhas de corrente radiais em sentido ao centro.Descarga de um Jato: linhas de corrente paralelas a pressão atmosférica.
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Superfície de Controle Deformável
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Ex. 4. 191 – Determine a freqüência natural de oscilação de um tubo e U. Despreze o atrito. FILME
h+
h-
H
g
z
L
Considere:•Uma S.C. se movendo com a interface livre do líquido: vr=vf-vb=0• Tubo com seção transversal constante e igual a A•Velocidade no tubo igual a taxa de variação do nível, V = dh/dt
2
2 L2H n L
2
Resposta :
h t h Cos td h g
h h t 1 gdt H 1 f
2 H
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Referencial Não Inercial
IM250 Prof. Eugênio Rosa
O carro com massa inicial M0 parte do repouso propelido pelo jato horizontal (Vj, Aj e r) que sai de seu reservatório a velocidade constante. A pista é horizontal e não há atrito nas rodas nem resistência do ar ao movimento. A) Determine a velocidade em função do tempo e a aceleração.
Resposta: A) U/Vj = Ln[1/(1-t*)] onde t* =t/t e t = (M0/m)
U
M0
Vj
Aj
r
Obs.: Vj é a velocidade do jato para um observador que se move com o carro
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Exemplo I – Um carro com massa inicial M0 é feito por um tubo de área A com um comprimento horizontal L e um vertical h0. Na sua extremidade tem uma válvula de abertura rápida e a água está armazenada numa altura h0.
A) determine a equação para movimento do carro ao abrir a válvula.B) faça uma análise do movimento considerando que após os instantes iniciais de abertura da válvula o nível de água varia linearmente com o tempo (observação experimental)
Resposta: A) -rALd2h/dt2 + rA(dh/dt)^2 = -MdU/dt
V
Lh(t)
h0S.C. se movo junto com o
carro
Ref N.I.Move com
Vcarro