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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLÁN Lic.: MATEMÁTICAS APLICADAS Y COMPUTACIÓN ASIGNATURA: Optimización 1 PLANTEAMIENTO DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL PROFESORA: Guadalupe del Carmen Rodríguez Integrantes del equipo: Pedraza Huerta Carolina Zarco Nolasco Alberto

Octubre 2015

Música: Shine Intérprete: Bond Álbum: Remixed, octubre 2002

Hola que tal amigos, en este video vamos a explicar un planteamiento de un problema de programación lineal sobre un fabricante de camisas para caballero y blusas de dama, el cual necesita optimizar sus utilidades. Los integrantes son: Pedraza Huerta Carolina Zarco Nolasco Alberto

30 – 45 segundos

Introducción

Programación lineal: Concepto, historia, características, elementos de un modelo de programación lineal, clasificación de los métodos


La programación lineal es un tipo de programación matemática destinada a la asignación eficiente de recursos limitados a actividades conocidas con el objetivo de satisfacer las metas, tales como, maximizar ganancias o minimizar costos. Fue desarrollada en la segunda guerra mundial. La programación lineal es un conjunto de técnicas racionales de análisis y de resolución de problemas que tiene por objeto ayudar a los responsables en las decisiones sobre asuntos en los que interviene un gran número de variables. El nombre de programación lineal procede de un término militar, programar, que significa 'realizar planes o propuestas de tiempo para el entrenamiento, la logística o el despliegue de las unidades de combate'. Se considera a L. V.

45 – 60 segundos

Kantoróvich uno de sus creadores. La presentó en su libro Métodos matemáticos para la organización y la producción (1939) y la desarrolló en su trabajo Sobre la transferencia de masas (1942). Kantoróvich recibió el premio Nobel de economía en 1975 por sus aportaciones al problema de la asignación óptima de recursos humanos. Uno de momentos más importantes fue la aparición del método del simplex. Desarrollado por G. B. Dantzig en 1947, consiste en la utilización de un algoritmo para optimizar el valor de la función objetivo teniendo en cuenta las restricciones planteadas. Nos centraremos en el tema de problemas simples de programación lineal en los que solamente existen solo 2 variables de decisión, es decir,

problemas bidimensionales. Los elementos de un modelo de programación lineal son: 1 Variables de decisión: son cantidades desconocidas en el problema que se quieren conocer para tomar decisiones. 2 una función objetivo que puede ser maximizar o minimizar 3 Un conjunto de restricciones que limitan las variables de decisión a valores factibles, generalmente positivos. Existen 3 tipos de modelos icónicos, conceptuales y analógicos

Planteamiento

PLANTEAMIENTO DE UN

PROBLEMA DE

PROGRAMACION LINEAL:

Raúl es un pequeño fabricante de camisas para caballero y blusas de dama para las tiendas de descuento Waldos, corporación que aceptará toda la producción surtida por Pedrito, El proceso de producción incluye el corte, la costura, y el empaque. Se ha empleado a


Para maximizar las ganancias establecemos la función objetivo que está dada por las utilidades que genera ambas prendas por unidad, es decir, 8 pesos las camisas y 12 pesos las blusas. Todo esto corresponde a una maximización, puesto

30 – 60 segundos

25 trabajadores en el departamento de corte, 35 en el de costura y 5 en empaque. La fábrica trabaja un turno de 8 horas, 5 días a la semana. La siguiente tabla muestra los requerimientos de tiempo y utilidad por unidad para las dos prendas: Tiempo de producción (minutos x unidad)

Producto

Corte

Costura

Empaque

utilidad

Camisas

20 70 12 $8

Blusas

60 60 4 $12

Plantear el modelo lineal que maximice las ganancias:

𝑴𝒂𝒙 𝒛 = 𝟖𝒙𝟏 + 𝟏𝟐𝒙𝟐 𝒙𝒊

→ 𝑬𝒔 𝒆𝒍 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒊 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐 𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒊𝒓 𝒊 = {𝒄𝒂𝒎𝒊𝒔𝒂𝒔, 𝒃𝒍𝒖𝒔𝒂𝒔}

𝟐𝟎𝒙𝟏 + 𝟔𝟎𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟓(𝟖)(𝟔𝟎)(𝟓) 𝟕𝟎𝒙𝟏 + 𝟔𝟎𝒙𝟐 ≤ 𝟑𝟓(𝟖)(𝟔𝟎)(𝟓)

𝟏𝟐𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 ≤ 𝟓(𝟖)(𝟔𝟎)(𝟓)

𝒙𝒊 ≥ 𝟎 ∈ ℤ

que estamos hablando de ganancias. Las restricciones del problema están dadas al tiempo de producción de minutos por unidad, pero el problema dice que se trabaja en un turno de 8 horas, 5 días a la semana, por lo tanto se multiplica el número de empleados de cada departamento por las 8 horas, los 5 días y 60 segundos que tiene 1 minuto. Todas las variables mayores o iguales a cero siendo enteras puesto que se fabrican prendas enteras.

Método de

A continuación se abordará como se resuelve el modelo por el método simplex y una visualización por el

Música: Shine Intérpre

Escribimos el modelo en su forma estándar. Planteamos la tabla a

100-120 segs

sol. 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟓 Sol:

𝒁𝒋

− 𝑪𝒋

-8 -12 0 0 0 0

𝒙𝟑 20 60 1 0 0 60000

𝒙𝟒 70 60 0 1 0 84000

𝒙𝟓 12 4 0 0 1 12000

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟓 Sol:

𝒁𝒋

− 𝑪𝒋

-4 0 1/5 0 0 12000

𝒙𝟐 1/3 1 1/60

0 0 1000

𝒙𝟒 50 0 -1 1 0 24000

𝒙𝟓 32/3

0 -1/15

0 1 8000

𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟓 Sol:

𝒁𝒋

− 𝑪𝒋

0 0 3/25 4 0 13920

método gráfico.

te: Bond Álbum: Remixed, octubre 2002

partir de la forma estándar e igualando la función objetivo a 0, para el renglón Zj-Cj. El método simplex consiste en:

1. Seleccionar una nueva variable entre la base y tomar la variable no básica que tenga el valor más negativo.

2. Seleccionar una variable básica que salga de la base. Tomar la variable básica que tenga la razón más pequeña del lado RHS dividido por el coeficiente positivo de la variable en cuestión.

3. Usar operaciones fila para encontrar la nueva solución básica factible, es

𝒙𝟐 0 1 7/300

-1/3 0 940

𝒙𝟏 1 0 -1/50

1 0 480

𝒙𝟓 0 0 11/75

-32/3

1 2880

decir, el elemento pivote debe hacerse 1 y el resto de la columna hacerse 0.

4. Repetir el procedimiento hasta no tener variables básicas negativas.

5. Interpretar los resultados obtenidos del método.

Por lo que nuestra tabla queda de la siguiente manera:

Resultados

𝑴𝒂𝒙 𝒛 = 𝟖𝒙𝟏 + 𝟏𝟐𝒙𝟐

𝒙𝒊


𝟐𝟎𝒙𝟏 + 𝟔𝟎𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟓(𝟖)(𝟔𝟎)(𝟓) 𝟕𝟎𝒙𝟏 + 𝟔𝟎𝒙𝟐 ≤ 𝟑𝟓(𝟖)(𝟔𝟎)(𝟓)

𝟏𝟐𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 ≤ 𝟓(𝟖)(𝟔𝟎)(𝟓)

𝒙𝒊 ≥ 𝟎 ∈ ℤ


Con el proceso del método simplex podemos concluir que el resultado de las variables son: x1= 480, x2=840, x3=x4=x6=0 y x5=2880. Interpretando dichos resultados en el modelo tenemos que: la producción a la semana será de 480 camisas y

30-40 segs

𝑴𝒂𝒙 𝒛 = 𝟖(𝟒𝟖𝟎) + 𝟏𝟐(𝟖𝟒𝟎)= 𝟏𝟑𝟗𝟐𝟎

𝒙𝒊


20(480) + 60(840) = 𝟔𝟎, 𝟎𝟎𝟎≤ 𝟔𝟎, 𝟎𝟎𝟎

70(480) + 60(840) = 𝟖𝟒, 𝟎𝟎𝟎≤ 𝟖𝟒, 𝟎𝟎𝟎

12(480) + 4(840) = 𝟗, 𝟏𝟐𝟎≤ 𝟏𝟐, 𝟎𝟎𝟎

𝒙𝒊 ≥ 𝟎 ∈ ℤ

840 blusas con una utilidad total de $13,920.00. El departamento de corte utiliza todo el tiempo disponible, asi como el departamento de costura, mientras que el departamento de empaque tiene 2880 min sobrantes, lo que equivale a 48 horas.

Créditos de imágenes, voces, música y producción

FES Acatlán. [Fes Acatlán Unam]. Recuperado de Twitter: https://twitter.com/fes_acatlan [Logo: MAC.]. México 2015. Recuperado del sitio web: https://sites.google.com/site/ricrod23/extras/tora Anónimo. [Imagen de Programación lineal]. Recuperado del sitio web: http://www.ugr.es/~proman/IO1Grado/Cuestionario6/ResolucionGrafica_506.htm Anónimo. [Imagen de Segunda Guerra Mundial]. Recuperado del sitio web: Anónimo. [Imagen de Programación lineal: método gráfico].Recuperado del sitio: http://isra-io.blogspot.mx/2010/06/programacion-lineal-metodo-simplex-un.html Anónimo. [Imagen de George B. Dantzig]. Recuperado del sitio web: http://www.nap.edu/read/12473/chapter/18

Producción: Zarco Nolasco Alberto Guión: Pedraza Huerta Carolina & Zarco Nolasco Alberto Música de fondo: Bond – Shine. Música recuperada de https://www.youtube.com/watch?v=nWzwKBoW_OA Lugar y Fecha: Naucalpan, Estado de México, México. Octubre de 2015


Producción dirigida por Zarco Nolasco Alberto Guión y voces: Pedraza Huerta Carolina & Zarco Nolasco Alberto

Naucalpan, Estado de México, México. Octubre de 2015

10-15 segs

Anónimo. [Imagen de método simplex]. Recuperado del sitio:http://www.ingenieria-industrial.net/index.php?accion=1&id=85 Anónimo. [Imagen de modelo de programación lineal].Recuperado del sitio:http://www.monografias.com/trabajos69/programacion-lineal-planificacion-produccion-confecciones/image001.gif Anónimo. [Imagen de clasificación de los modelos].Recuperado del sitio web:http://image.slidesharecdn.com/claseniii-modelosdesistemas-100920091842-phpapp02/95/modelos-de-sistemas-5-728.jpg?cb=1284974445 Anónimo. [Imagen de planteamiento]. Recuperado del sitio web: https://www.emaze.com/@ALZTTRTC/Presentacion-proyecto.pptx Anónimo. [Imagen de problema solución]. Recuperado del sitio web: http://ifconsulting.pe/blog/plan-de-accion-consultoria/ [Imagen blusa] https://www.google.com/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0CAcQjRxqFQoTCLjD0sHkn8gCFc8GkgodFF8KPQ&url=http%3A%2F%2Fes.123rf.com%2Fimagenes-de-archivo%2Fblusas.html&psig=AFQjCNEI7lOjcqwm685VBnruopkya8LE2g&ust=1443736537101364 [Imagen pantalón] http://www.megustasermujer.com/wp-content/uploads/2013/07/pantalones-

ajustados-de-mujer.jpg [Imagen depto. de corte] http://www.intermoda.hn/wp-content/uploads/2013/01/corte2.jpg [Imagen depto. de costura] http://estatico.vozpopuli.com/imagenes/Noticias/A865A2A8-BEE3-C455-4E0C-89CC1EBF1190.jpg/resizeMod/0/1200/Talleres-de-costura-de-Inditex-en-la-sede-central-de-Arteixo-La-Coruna.jpg [Imagen depto. de empaque] http://tadi.es/imagenes/serveis/manipulacion.jpg

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