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PROJETO DE GRADUAÇÃO

IMPLEMENTAÇÃO DE MÉTODO NUMÉRICO MULTIDIMENSIONAL PARA DETERMINAÇÃO DE

PARÂMETROS DE ENCRUAMENTO DE MATERIAIS DÚCTEIS POR ENSAIO DE TRAÇÃO

Por Bruno Arruda da Silva

Brasília, 21 de junho de 2017

UNIVERSIDADE DE BRASILIA

FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECANICA

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA

Faculdade de Tecnologia

Departamento de Engenharia Mecânica

PROJETO DE GRADUAÇÃO

IMPLEMENTAÇÃO DE MÉTODO NUMÉRICO MULTIDIMENSIONAL PARA DETERMINAÇÃO DE

PARÂMETROS DE ENCRUAMENTO DE MATERIAIS DÚCTEIS POR ENSAIO DE TRAÇÃO

Por

Bruno Arruda da Silva

Relatório submetido como requisito parcial para obtenção

do grau de Engenheiro Mecânico

Banca Examinadora

Prof. Dr. Lucival Malcher, UnB/ENM (Orientador)

Prof. Dr. Edgar Nobuo Mamiya, UnB/ENM

Prof. Dr. Fábio Comes de Castro, UnB/ENM

Brasília, 21 de junho de 2017

ii

Dedicatória

À minha mãe, Rosane, ao meu pai, Brademir,

e à minha irmã, Laís.


iii

Agradecimentos

Agradeço primeiramente à minha mãe, Rosane, e ao meu pai, Brademir, a quem devo tudo

aquilo que sou. Pela educação, pelo exemplo, pelo apoio, pelos incentivos, pelos conselhos,

pelas broncas, pelo carinho, pelo amor que recebi ao longo de toda minha vida. Obrigado.

Agradeço à minha irmã, Laís, que me acompanhou durante toda esta trajetória e com quem,

entre conversas e discussões, entre brigas e brincadeiras, também pude aprender. Obrigado.

Agradeço aos meus amigos, que me apresentaram outros lados da vida e que compartilharam

comigo suas experiências, que fazem parte da minha vida e que permitiram que eu fizesse parte

das suas, e que tornaram esta jornada muito mais leve, simples, alegre e divertida. Obrigado.

Agradeço a cada professor com quem tive a oportunidade de aprender e agradeço

especialmente ao Prof. Dr. Lucival Malcher, por ter me orientado ao longo deste último ano

neste trabalho sempre com muita atenção. Obrigado.

Agradeço aos colegas que tive durante todos estes anos de estudos, com quem pude discutir os

conteúdos que eram aprendidos, e agradeço ao colega Lucas Mangas, que muito me ajudou no

último semestre a refletir e a obter soluções para os problemas deste trabalho. Obrigado.

A cada um de vocês, que me ajudaram e que possibilitaram que eu chegasse até aqui. Obrigado.

Muito obrigado.


iv

RESUMO

Este Projeto de Graduação em Engenharia Mecânica aborda a utilização de métodos numéricos

de otimização para a determinação de parâmetros de encruamento de materiais dúcteis em

regime plástico por ensaio de tração, com o objetivo de implementar um método baseado em

programação numérica multidimensional, que para o presente trabalho foi escolhido como o

Método da Máxima Descida, também conhecido como Método de Cauchy. Portanto, foram

utilizados a combinação entre um modelo matemático de encruamento dos materiais e um

modelo elastoplástico, compondo o modelo constitutivo elastoplástico de von Mises

tridimensional com endurecimento isotrópico não-linear de Ludwick, e o Método de Elementos

Finitos (MEF) para a simulação do ensaio de tração uniaxial, de modo a comparar os resultados

numéricos obtidos e os dados experimentais para a determinação dos parâmetros de

encruamento dos materiais usando o método numérico implementado.

Palavras-chave: métodos numéricos de otimização; encruamento de materiais; regime

plástico, identificação de parâmetros; método multidimensional; método da máxima descida;

método de Cauchy.

ABSTRACT

This Mechanical Engineering Graduation Project approaches the use of numerical optimization

methods to determine strain-hardening parameters of ductile materials at plastic regime by

tensile testing, with the objective to implement a multi-dimensional numerical programming

based method, which for the present work was chosen as the Steepest Descent Method, also

known as Cauchy Method. Therefore, it was used a combination between a material strain-

hardening numerical model and an elastoplastic model, compounding the von Mises’s

elastoplastic constitutive model with Ludwick’s non-linear isotropic hardening, and the Finite

Elements Method (FEM) for the uniaxial tensile testing simulation, in order to compare the

numerical results obtained and the experimental data to determine the strain-hardening

parameters of materials using the implemented numerical method.

Keywords: numerical optimization methods; materials strain hardening; plastic regime;

parameters identification; multidimensional method; steepest descent method; Cauchy method.

v

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 1 1.1 CONTEXTUALIZAÇÃO .............................................................................................. 1 1.2 OBJETIVOS E COMENTÁRIOS INICIAIS ..................................................................... 2 1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO ..................................................................................... 2

2 ENCRUAMENTO DOS MATERIAIS .............................................................................. 4

2.1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 4 2.2 CURVA DE ENCRUAMENTO E TENSÃO DE ESCOAMENTO ............................................. 6 2.3 MODELOS MATEMÁTICOS DE ENCRUAMENTO DOS MATERIAIS .................................... 9 2.4 MODELO ELASTOPLÁSTICO .................................................................................... 10

3 PROBLEMAS DE ENGENHARIA E MÉTODOS NUMÉRICOS DE OTIMIZAÇÃO .......16

3.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 16 3.2 MÉTODOS NUMÉRICOS DE OTIMIZAÇÃO .................................................................. 18 3.3 MÉTODOS BASEADOS EM PROGRAMAÇÃO NUMÉRICA ............................................... 23 3.4 MÉTODOS UNIDIMENSIONAIS ................................................................................ 24

3.4.1 Método da Seção Áurea ................................................................................... 25 3.4.2 Método da Bissecção ....................................................................................... 27

3.5 MÉTODOS MULTIDIMENSIONAIS ............................................................................. 28 3.5.1 Método da Máxima Descida .............................................................................. 29 3.5.2 Método BFGS ................................................................................................. 30

3.6 MÉTODO NUMÉRICO PARA OBTENÇÃO DO COMPRIMENTO DO PASSO ......................... 31 4 METODOLOGIA ...........................................................................................................35

4.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 35 4.2 ENSAIO DE TRAÇÃO E TRATAMENTO DOS DADOS EXPERIMENTAIS ............................. 35 4.3 MODELAGEM DO PROBLEMA PELO MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS .......................... 41 4.4 OBTENÇÃO DE VALORES PARA COMPARAÇÃO DE RESULTADOS .................................. 43 4.5 ALGORITMO DE IDENTIFICAÇÃO DE PARÂMETROS .................................................... 46

5 APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS ......................................................................47

5.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 47 5.2 DETERMINAÇÃO DA ESTIMATIVA INICIAL E DO CRITÉRIO DE PARADA ........................ 47 5.3 RESULTADOS OBTIDOS ......................................................................................... 48

5.3.1 Aço 4340 normalizado ..................................................................................... 49 5.3.2 Aço 4340 recozido .......................................................................................... 50 5.3.3 Aço R4 como recebido ..................................................................................... 52 5.3.4 Aço R4 com tratamento térmico ....................................................................... 53 5.3.5 Aço U2 como recebido ..................................................................................... 54 5.3.6 Aço U2 com tratamento térmico ....................................................................... 55

5.4 ANÁLISE DOS RESULTADOS ................................................................................... 56 6 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ....................58

6.1 CONCLUSÕES ....................................................................................................... 58 6.2 RECOMENDAÇÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ........................................................ 59

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................................60 ANEXOS ..............................................................................................................................61

vi

LISTA DE FIGURAS

2.1. Curvas de encruamento para o aço 1040, para o latão e para o cobre em função do

percentual de trabalho a frio %CW (Callister & Rethwisch, 2012 – adaptado) ....... 5

2.2. Curva tensão-deformação mostrando recuperação elástica após deformação plástica

com aumento da tensão de escoamento devido ao encruamento (Callister &

Rethwisch, 2012 – adaptado) ......................................................................... 6

2.3. Curva tensão-deformação, acompanhada da evolução do estiramento do corpo de

prova, que se inicia após o limite de resistência à tração (LRT), representado por M

(Callister & Rethwisch, 2012 – adaptado) ........................................................ 7

2.4. Comparativo entre a curva tensão-deformação de engenharia, em azul, e a curva

tensão-deformação verdadeira, em vermelho (Callister & Rethwisch, 2012 –

adaptado) .................................................................................................... 8

2.5. Esquema de endurecimento isotrópico não-linear por um teste cíclico uniaxial,

mostrando a expansão do plano- (Souza Neto, Perić & Owen – adaptado) ......... 13

3.1. Exemplo de problema inverso de otimização de pré-forma (Stahlschmidt, 2010) . 17

3.2. Diferença entre a resposta calculada numericamente e a resposta experimental (Stahlschmidt, 2010) ................................................................................... 20

3.3. Processo utilizado pelos métodos numéricos de otimização (Stahlschmidt, 2010) . 22

4.1. Dimensões dos corpos de prova fabricados com materiais analisados neste trabalho

para o ensaio de tração, com a região útil destacada pela área hachurada ........... 36

4.2. Curvas força-deslocamento para os materiais analisados neste trabalho .............. 39

4.3. Curvas tensão-deformação (de engenharia e verdadeira) para os materiais

analisados neste trabalho .............................................................................. 40

4.4. Simplificação de um problema axissimétrico tridimensional (3D) para um problema

bidimensional (2D) utilizando apenas um quarto da seção plana que passa pelo eixo

de simetria .................................................................................................. 41

4.5. Malha utilizado nas simulações feitas pelo método de elementos finitos (MEF) ..... 42

4.6. Gráfico em mono-log com os valores para a estimativa inicial dos parâmetros σy0, H

e n obtidos com auxílio da função nlinfit do MATLAB® para os aços analisados neste

trabalho ...................................................................................................... 44

4.7. Curvas tensão-deformação verdadeira para os dados experimentais e para os

resultados obtidos pela função nlinfit do MATLAB® para os materiais analisados .. 45

5.1. Curvas força-deslocamento para os dados experimentais e para o Método da Máxima

Descida para o aço 4340 normalizado com estimativa inicial para o expoente de

encruamento n de 0,1 ................................................................................... 49

vii


Descida para o aço 4340 normalizado com estimativa inicial para o expoente de

encruamento n de 0,5 ................................................................................... 50


Descida para o aço 4340 recozido com estimativa inicial para o expoente de

encruamento de n 0,1 ................................................................................... 51


Descida para o aço 4340 recozido com estimativa inicial para o expoente de

encruamento de n 0,5 ................................................................................... 51


Descida para o aço R4 como recebido com estimativa inicial para o expoente de

encruamento de n 0,1 ................................................................................... 52


Descida para o aço R4 com tratamento térmico com estimativa inicial para o expoente

de encruamento n de 0,5 ............................................................................... 53


Descida para o aço U2 como recebido com estimativa inicial para o expoente de

encruamento n de 0,1 ................................................................................... 54


Descida para o aço U2 como recebido com estimativa inicial para o expoente de

encruamento n de 0,5 ................................................................................... 55


Descida para o aço U2 com tratamento térmico com estimativa inicial para o expoente

de encruamento n de 0,5 ............................................................................... 56

viii

LISTA DE TABELAS

2.1. Modelos matemáticos elastoplásticos de endurecimento isotrópico não-linear dos

materiais ...................................................................................................... 9

2.2. Modelo elastoplástico com endurecimento isotrópico não-linear de Ludwick ......... 10

2.3. Modelo constitutivo elastoplástico de von Mises unidimensional com endurecimento

isotrópico não-linear de Ludwick .................................................................... 14

3.1. Resumo dos tipos de problemas de engenharia ................................................ 18

3.2. Pontos de avaliação αr da função objetivo f (p) para a Fase I do Método da Seção

Áurea .......................................................................................................... 26

3.3. O algoritmo para o Método da Seção Áurea ...................................................... 27

3.4. O algoritmo para o Método da Bissecção .......................................................... 28

3.5 O algoritmo para o Método da Máxima Descida ................................................ 29

3.6. O algoritmo para o Método da BFGS................................................................ 31

3.7. O algoritmo para o Método da Interpolação Quadrática ..................................... 34

4.1. Resultados obtidos a partir do tratamento dos dados experimentais para a região

elástica ....................................................................................................... 37

4.2. Resultados obtidos a partir do tratamento dos dados experimentais para a o limite

de resistência à tração (LRT) ......................................................................... 38

4.3. Resultados obtidos a partir do tratamento dos dados experimentais para a região

plástica e de ruptura ..................................................................................... 38

4.4. Propriedades utilizados pelo método de elementos finitos (MEF) ........................ 42

4.5. Valores de máxima força F e respectivos valores de deslocamento ΔL e metade de

deslocamento (ΔL/2), este último utilizado para o critério de parada do MEF ........ 43

4.6. Valores para a estimativa inicial dos parâmetros σy0, H e n obtidos com auxílio da

função nlinfit do MATLAB® para os aços analisados neste trabalho ...................... 44

5.1. Critérios para a escolha das estimativas iniciais para os parâmetros σy0, H e n para

os materiais analisados neste trabalho ............................................................ 48

5.2. Resultados obtidos para os parâmetros σy0, H e n, para a função objetivo, tempo e

número de iterações para o aço 4340 normalizado ........................................... 49


número de iterações para o aço 4340 recozido ................................................. 50


número de iterações para o aço R4 como recebido ............................................ 52

ix


número de iterações para o aço R4 com tratamento térmico .............................. 53


número de iterações para o aço U2 como recebido ........................................... 54


número de iterações para o aço U2 com tratamento térmico .............................. 55

5.8. Resultados finais para os parâmetros σy0, H e n para os materiais analisados neste

trabalho obtidos pelo Método da Máxima Descida desenvolvido e implementado ... 57

5.9. Comparativo, em percentual, dos resultados obtidos para os parâmetros σy0, H e n

pelo Método da Máxima Descida e pela função nlinflit do MATLAB® .................... 57

x

LISTA DE SÍMBOLOS

Símbolos em Geral

A, B, C Pontos de avaliação para o Método da Interpolação Quadrática

A0 Área da seção transversal inicial [mm²]

Ad Área da seção transversal após a deformação [mm²]

Ai Área da seção transversal instantânea [mm²]

B (p) Matriz Hessiana aproximada

B(0) Estimativa inicial para a matriz Hessiana aproximada para o Método BFGS

B(k) Matrizes Hessiana aproximada na iteração k para o Método BFGS

D(k), E(k) Matrizes de correção do Método BFGS

E Módulo de elasticidade (ou módulo de Young) [MPa]

F Força [N]

H Módulo de endurecimento isotrópico [MPa]

H (p) Matriz Hessiana

H (p*) Matriz Hessiana no ponto de mínimo p*

I Intervalo de incerteza

Im Matriz identidade de ordem m

J2 Segundo invariante do tensor desviador

L Comprimento [mm]

L0 Comprimento inicial [mm]

Li Comprimento instantâneo [mm]

N Número total de pontos

�̅� Fluxo plástico

N Vetor de fluxo plástico

REXP Resposta experimental

RiEXP Resposta experimental para o ponto i

RNUM (p) Resposta calculada numericamente

RiNUM (p) Resposta calculada numericamente para o ponto i

a, b, c Constantes para o Método da Interpolação Quadrática

c(k) Gradiente da função objetivo na iteração k para o Método BFGS

d Parâmetro do modelo matemático de encruamento de Mahnken

d0 Diâmetro inicial [mm]

xi

d(k) Direção de busca

f Função

f (α*) Mínimo global

f (p) Função objetivo

g (p) Restrição de desigualdade

h Função para o Método da Interpolação Quadrática

i, j, k Incrementos de iteração

l (p) Restrição de igualdade

n Expoente de encruamento

p(0) Estimativa inicial para o parâmetro p

pinf Limite inferior do intervalo de incerteza I para o parâmetro p

psup Limite superior do intervalo de incerteza I para o parâmetro p

p1, p2, pn Parâmetros

p Vetor de parâmetros

p(0) Estimativa inicial para o vetor de parâmetros p

p(k) Vetor de parâmetros na iteração k

p* Ponto de mínimo

q Tensão equivalente de von Mises [MPa]

r Número total de pontos de avaliação do Método da Seção Áurea

qm Parâmetro do modelo matemático de encruamento de Mahnken [MPa]

s Tensor desviador

s(k) Mudança nos parâmetros na iteração k para o Método BFGS

t Tempo de processamento [min]

t0 Comprimento de passo inicial para o Método da Interpolação Quadrática

tol Tolerância

x Variável independente

x* Ponto de mínimo

y(k) Mudança do gradiente da função objetivo na iteração k para o Método BFGS

αa Ponto de avaliação do Método da Seção Áurea

αb Ponto de avaliação do Método da Seção Áurea

αinf Limite inferior do intervalo de incerteza I

αk Comprimento de passo

αméd Ponto médio do intervalo de incerteza I

αq Ponto de avaliação do Método da Seção Áurea

αsup Limite superior do intervalo de incerteza I

α* Ponto de mínimo

�̇� Multiplicador plástico

xii

δ Parâmetro do modelo matemático de encruamento de Kleinermann-Ponthot

δq Incremento para o Método da Seção Áurea

ε Deformação

ε Tensor deformação

εe Deformação elástica

εe Tensor deformação elástica

εp Deformação plástica

εp Tensor deformação plástica

휀�̅� Deformação plástica equivalente

휀�̇� Taxa de evolução da deformação plástica

휀�̇̅� Lei de evolução da deformação plástica equivalente

�̇�𝑝 Tensor das deformações plásticas

εs Parâmetro do modelo matemático de encruamento de Swift

εv Deformação verdadeira

ξ Parâmetro do modelo matemático de encruamento de Kleinermann-Ponthot [MPa]

σ Tensão [MPa]

σ Tensor tensão (de Cauchy)

σlrt Tensão limite de resistência à tração [MPa]

σs Parâmetro do modelo matemático de encruamento de Voce [MPa]

σv Tensão verdadeira [MPa]

σv,máx Tensão verdadeira [MPa]

σy Tensão de escoamento [MPa]

σy0 Tensão de escoamento inicial [MPa]

σyi Tensão de escoamento após recuperação elástica [MPa]

σ∞ Parâmetro do modelo matemático de encruamento de Kleinermann-Ponthot [MPa]

ϕ Função de escoamento

𝔻 Tensor constitutivo

ΔL Deslocamento [mm]

Δp(k) Incremento do vetor de parâmetros na iteração k

∇ f(p(k)) Gradiente da função objetivo f (p) no ponto p(k)

%CW Percentual de trabalho a frio

xiii

Siglas e Outros Símbolos

BFGS Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno (Método)

DFP David-Fletcher-Powell (Método)

LRT Limite de resistência à tração

MEF Método de elementos finitos

1D Unidimensional

2D Bidimensional

3D Tridimensional

1

1 INTRODUÇÃO

Este capítulo apresenta a contextualização, os

objetivos e comentários iniciais e a estrutura do

trabalho deste Projeto de Graduação em Engenharia

Mecânica.

1.1 CONTEXTUALIZAÇÃO

Estudos na área de plasticidade não são novidade, já existem há mais de uma centena de anos com

a elaboração de modelos elastoplásticos e modelos matemáticos de encruamento de materiais, como,

por exemplo, os modelos que são apresentados no Capítulo 2 deste relatório, utilizados para o

desenvolvimento do restante do trabalho.

Mais recentemente, entretanto, devido ao avanço computacional observado nas últimas duas

décadas, as pesquisas sobre o assunto foram impulsionadas, principalmente pelo surgimento de novos

métodos computacionais, à difusão do método de elementos finitos (MEF) e à proposição de novas

teorias sobre plasticidade, muitas das quais se beneficiam justamente do uso computacional para se

firmarem. E é neste contexto que este Projeto de Graduação em Engenharia Mecânica se encaixa.

O encruamento dos materiais, um dos temas deste trabalho, é um fenômeno que ocorre somente

quando o regime plástico é atingido, aumentando a dureza e a resistência dos materiais devido apenas à

deformação plástica, o que pode ser desejável mesmo apesar de alguns efeitos colaterais que aparecem

junto, como a diminuição da ductilidade.

É utilizado na indústria, por exemplo, para melhorar as propriedades mecânicas dos metais durante

os processos de fabricação, seguido por um tratamento térmico de recozimento para reduzir ou mesmo

remover efeitos indesejáveis. Por este motivo, identificar os parâmetros de encruamento dos materiais

e, consequentemente, suas propriedades mecânicas é extremamente importante.

Para se fazer isso, são utilizados métodos numéricos de otimização, outro tema deste trabalho. Com

o desenvolvimento computacional dos dias de hoje, é possível obter resultados muito rapidamente. E

quanto mais rápido os resultados são obtidos, melhor, porque se reduz o tempo de utilização do

computador, que pode então ser utilizado para obter mais resultados ou mesmo para outras finalidades,

reduzindo também o chamado custo computacional.

Dentre os métodos numéricos de otimização existentes, os métodos multidimensionais, como o

Método da Máxima Descida, são sabidamente os mais eficientes para problemas com mais de um

parâmetro, uma vez que atua em todos os parâmetros a serem otimizados simultaneamente, sendo assim

mais rápidos que métodos de univariáveis como o Método da Seção Áurea ou o Método da Bissecção,

atualmente disponíveis na Universidade de Brasília, que atuam em um parâmetro a ser otimizado de

cada vez.

2

Para se fazer uma discussão a respeito das vantagens e desvantagens de cada um destes métodos

numéricos de otimização, o Método da Seção Áurea, o Método da Bissecção, o Método da Máxima

Descida e o Método BFGS serão apresentados ao longo deste relatório.

Dessa forma, deseja-se implementar na Universidade de Brasília o Método da Máxima Descida, um

método numérico multidimensional, para a determinação de parâmetros de encruamento de materiais

dúcteis por ensaio de tração.

1.2 OBJETIVOS E COMENTÁRIOS INICIAIS

O objetivo deste Projeto de Graduação em Engenharia Mecânica é implementar um método

numérico multidimensional (método numérico de otimização baseado em programação numérica

multidimensional) para a determinação dos parâmetros que caracterizam o encruamento (endurecimento

por deformação plástica a frio) dos materiais dúcteis por meio de ensaio de tração.

Para isso, são necessários também métodos experimentais e métodos de elementos finitos (MEF)

para a comparação e calibração do método numérico e sua validação. Os métodos experimentais

utilizados são ensaios de tração de corpos de prova para a obtenção de dados experimentais.

Estes dados experimentais são utilizados juntamente pelo método numérico de otimização e pelo

método de elementos finitos (MEF) para identificar os parâmetros que compõe a curva de encruamento

dos materiais analisados. O processo se repete até que as curvas obtidas pelo método experimental e

pelo método numérico sejam aproximadamente coincidentes.

O método numérico implementado e utilizado para a obtenção de resultados foi o Método da

Máxima Descida, um método numérico de otimização baseado em programação numérico

multidimensional, ou simplesmente método numérico multidimensional.

1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO

Este trabalho está dividido em seis capítulos, contando com este capítulo introdutório,

desenvolvendo-se em revisões bibliográficas a respeito de modelos elastoplásticos de encruamento dos

materiais, de problemas de engenharia e de métodos numéricos de otimização, até chegar à metodologia

desenvolvida e aplicada para que os objetivos do trabalho possam ser atingidos, aos resultados obtidos

a partir dessa metodologia e às análises, conclusões e recomendações para trabalhos futuros.

O Capítulo 1 apresenta a contextualização do tema do trabalho, os objetivos que se desejam atingir

ao seu final e a organização do trabalho.

O Capítulo 2 traz uma revisão bibliográfica a respeito de modelos elastoplásticos de endurecimento

dos materiais, explicando em que consiste e como funciona o fenômeno do encruamento e apresentando

3

diferentes modelos existentes na literatura, além de selecionar um destes modelos para ser utilizado no

trabalho, e uma breve explicação sobre a teoria de plasticidade.

Já o Capítulo 3 expõe uma revisão bibliográfica sobre os tipos de problemas de engenharia, suas

características e suas classificações, e sobre os métodos numéricos de otimização e suas classificações,

além de exemplos, como o Método da Seção Áurea, o Método da Bissecção, o Método da Máxima

Descida e o Método BFGS.

No Capítulo 4, é apresentada a metodologia desenvolvida e aplicada para este trabalho, incluindo os

materiais utilizados, os ensaios experimentais aplicados e o tratamento dos dados obtidos, a

determinação de uma estimativa inicial para a identificação dos parâmetros de encruamento dos

materiais e a explicação de como é feita a modelagem do problema pelo método de elementos finitos.

No Capítulo 5, os resultados obtidos pelo método numérico multidimensional implementado para a

determinação dos parâmetros de encruamento de cada material analisado são apresentados, bem como

as respectivas análises para cada um deles, utilizando-se para isso do auxílio de tabelas e de figuras.

Por fim, no Capítulo 6, estão dispostas as conclusões inferidas para este trabalho, que se referem

basicamente ao método numérico multidimensional implementado e seus resultados, e as

recomendações para trabalhos futuros.

Além disso, ao final deste relatório se encontram as referências bibliográficas utilizadas para o

desenvolvimento do trabalho e dois códigos computacionais em anexo, dentre eles o código em

MATLAB® do método numérico multidimensional implementado, o Método da Máxima Descida.

4

2 ENCRUAMENTO DOS MATERIAIS

Este capítulo apresenta uma revisão bibliográfica

sobre o fenômeno de encruamento dos materiais, além

de diferentes modelos matemáticos de encruamento

presentes na literatura, dentre os quais o modelo que

será utilizado no restante deste trabalho.

2.1 INTRODUÇÃO

O fenômeno de encruamento ocorre quando os materiais sofrem endurecimento devido à

deformação plástica, aumentando também sua resistência como consequência. Também é conhecido

como endurecimento por trabalho ou como trabalho a frio, este último devido ao fato de o fenômeno

ocorrer a temperaturas inferiores à temperatura de fusão do material, geralmente à temperatura ambiente.

É importante notar que o encruamento dos materiais está intrinsecamente relacionado à deformação

plástica. Sendo assim, este fenômeno apenas é observado em níveis de tensão acima da tensão limite de

escoamento inicial σy0 do material.

Por vezes, a literatura prefere expressar o grau de deformação plástica como percentual de trabalho

a frio %CW (do inglês, “percent cold work”) ao invés de deformação plástica εp propriamente dita

(Callister & Rethwisch, 2012). O percentual de trabalho a frio %CW é definido por uma relação entre a

área da seção transversal inicial A0 e a área da seção transversal após a deformação Ad de acordo com a

Eq. (2.1).

%𝐶𝑊 = (𝐴0 − 𝐴𝑑

𝐴0)×100 (2.1)

A Figura (2.1) apresenta, como exemplos, as curvas de encruamento para o aço 1040, para o latão e

para o cobre, mostrando (a) o aumento da tensão de escoamento σy em função do percentual de trabalho

a frio %CW e (b) o aumento da tensão limite de resistência à tração σlrt em função do percentual de

trabalho a frio %CW.

Contudo, o encruamento traz consigo a diminuição da ductilidade do material como efeito colateral

negativo, ou seja, o endurecimento do material por deformação plástica faz com que o material fique

mais frágil e sofra fratura com deformações totais menores.

Na indústria, o encruamento é, então, utilizado para melhorar as propriedades mecânicas dos metais

durante os processos de fabricação, sendo que os efeitos colaterais podem ser reduzidos, ou mesmo

removidos, com um tratamento térmico de recozimento.

O fenômeno de encruamento dos materiais pode ser explicado pela interação entre campos de

discordância. A densidade de discordâncias na estrutura cristalina do material aumenta com a

deformação devido à multiplicação das discordâncias ou à formação de novas discordâncias, de modo

5

que a distância de separação média entre as discordâncias na estrutura cristalina do material diminui, ou

seja, as discordâncias ficam mais próximas umas das outras.

Estas interações entre campos de discordância são repulsivas, resultando em uma maior dificuldade

de movimentação de uma discordância pela presença das demais. Dessa forma, quanto maior a

densidade de discordâncias, maior é a resistência à movimentação de discordâncias por outras

discordâncias. Assim, a tensão necessária para deformar o material aumenta.

(a) Aumento da tensão de escoamento σy em função

do percentual de trabalho a frio %CW.

(b) Aumento da tensão limite de resistência à tração

σlrt em função do percentual de trabalho a frio %CW.

Figura 2.1. Curvas de encruamento para o aço 1040, para o latão e para o cobre em função do percentual de

trabalho a frio %CW (Callister & Rethwisch, 2012 – adaptado).

O fenômeno do encruamento pode ser bem observado durante um ensaio de tração em que ocorre a

liberação completa da carga (descarga completa), seguida de reaplicação de carga, conforme

apresentado pela curva tensão-deformação da Fig. (2.2).

Neste ensaio, o material é carregado até um nível de tensão além da tensão de escoamento inicial

σy0, atingindo, portanto, a região plástica. Em seguida, ocorre a liberação completa da carga, de modo

que o material fique livre de tensões externas. Por fim, o material é novamente carregado até atingir a

região plástica e se observa um aumento na resistência ao escoamento do material, que passa a ter uma

tensão de escoamento após recuperação elástica σyi, sendo σyi > σy0.

É muito importante notar que o fenômeno do encruamento ocorre apenas caso haja deformação

plástica, o que fica claro com auxílio da Fig. (2.2). Caso contrário, se houver apenas deformação elástica,

não há mudanças na estrutura cristalina do material, que se restitui elasticamente, e a tensão de

escoamento σy não se altera.

6

Figura 2.2 Curva tensão-deformação mostrando recuperação elástica após deformação plástica com aumento da

tensão de escoamento devido ao encruamento (Callister & Rethwisch, 2012 – adaptado).

2.2 CURVA DE ENCRUAMENTO E TENSÃO DE ESCOAMENTO

Conforme pôde ser observado da seção anterior, o fenômeno do encruamento faz com que a

resistência dos materiais aumente, de modo que estes consigam resistir a níveis de tensão maiores em

relação à deformação sofrida. Por esta razão, é conveniente e, de fato, necessário utilizar os conceitos

de tensão verdadeira σv e deformação verdadeira εv.

Durante o ensaio mecânico de tração uniaxial de um corpo de prova cilíndrico sem entalhe de

comprimento inicial L0, diâmetro inicial d0 e área da seção transversal inicial A0, uma força F é aplicada

ao corpo de prova, o qual sofre um deslocamento ΔL. A tensão σ e a deformação ε, então, são calculadas

de acordo com as Eqs. (2.2) e (2.3).

σ = 𝐹

𝐴0 (2.2)

ε = ∆𝐿

𝐿0 (2.3)

Estas grandezas são, por vezes, denominadas tensão de engenharia e deformação de engenharia

respectivamente, com as quais é possível construir a curva tensão-deformação de engenharia. No cálculo

da tensão (de engenharia) σ, considera-se, com finalidade de simplificar a obtenção dos dados

experimentais, que a área da seção transversal é constante durante todo o ensaio.

7

Entretanto, observa-se na prática que a área da seção transversal varia, especialmente na região

intermediária, onde ocorre o estiramento ou “empescoçamento” do corpo de prova, com diminuição da

área da seção transversal, conforme mostra a Fig. (2.3).

Figura 2.3. Curva tensão-deformação, acompanhada da evolução do estiramento do corpo de prova, que se inicia

após o limite de resistência à tração (LRT), representado por M (Callister & Rethwisch, 2012 – adaptado).

Dessa forma, a tensão é, na realidade, maior do que aquela calculada pela Eq. (2.2). Assim, a tensão

verdadeira σv é dada pela razão entre a força F e a área da seção transversal instantânea Ai do corpo de

prova, conforme mostra a Eq. (2.4).

σ𝑣 = 𝐹

𝐴𝑖 (2.4)

Analogamente, tem-se o comprimento instantâneo Li do corpo de prova e, como consequência, o

conceito de deformação verdadeira εv, dada pela Eq. (2.5).

휀𝑣 = ln (𝐿𝑖

𝐿0) (2.5)

Considerando-se que não há variação de volume do corpo de prova, vale a Eq. (2.6),

𝐴0 𝐿0 = 𝐴𝑖 𝐿𝑖 (2.6)

e a tensão (de engenharia) σ e a tensão verdadeira σv se relacionam pela Eq. (2.7), enquanto que a

deformação (de engenharia) ε e a deformação verdadeira εv se relacionam pela Eq. (2.8).

8

𝜎𝑣 = 𝜎 (1 + 휀) (2.7)

휀𝑣 = ln(1 + 휀) (2.8)

A Figura (2.4) ilustra um comparativo entre a curva tensão-deformação de engenharia e a curva

tensão-deformação verdadeira, mostrando que a tensão verdadeira σv é, de fato, maior que a tensão (de

engenharia) σ depois de uma certa deformação ε. O ponto M na curva tensão-deformação de engenharia

representa o limite de resistência à tração do material e início do estiramento do corpo de prova,

enquanto que o ponto M’ é o ponto correspondente para a curva tensão-deformação verdadeira.

Além disso, é importante notar que a tensão verdadeira σv continua crescendo indefinidamente,

mesmo após o limite de resistência à tração e o início do estiramento (representados pelo ponto M’), até

que ocorra a fratura (ruptura) do corpo de prova.

Figura 2.4. Comparativo entre a curva tensão-deformação de engenharia, em azul, e a curva tensão-deformação

verdadeira, em vermelho (Callister & Rethwisch, 2012 – adaptado).

Este trabalho, então, está interessado na porção da curva tensão-deformação verdadeira além da

tensão de escoamento inicial σy0, que compreende a região plástica do material, na qual ocorre o

fenômeno do encruamento, conforme explicado anteriormente.

Para este trabalho, será considerado que a deformação no regime plástico corresponde à deformação

plástica equivalente 휀�̅� e que a tensão verdadeira σv na região plástica corresponde à tensão de

escoamento σy. Dessa forma, vale a relação apresentada pela Eq. (2.9).

𝜎𝑦 = 𝜎𝑦(휀�̅�) (2.9)

9

2.3 MODELOS MATEMÁTICOS DE ENCRUAMENTO DOS MATERIAIS

O comportamento real dos materiais na região plástica é bastante complexo. Às vezes, a fim de

simplificar a solução de um problema de condição de contorno, é preciso idealizar ou aproximar os

comportamentos plásticos. A adequação de uma idealização em particular depende da real aplicação

(Khan & Huang, 1995). Para o caso deste trabalho, será considerado que o encruamento dos materiais

acontece de maneira não-linear, que é o caso mais comum observado na prática.

A Tabela (2.1) apresenta da Eq. (2.10) à Eq. (2.17) alguns modelos matemáticos elastoplásticos de

endurecimento isotrópico não-linear dos materiais que foram obtidos empiricamente presentes na

literatura, dentre os quais alguns bastante famosos, como o modelo de Ludwick, o modelo de Ramberg-

Osgood e o modelo de Holloman.

Em todos estes modelos, está sendo considerado apenas o regime plástico, de forma que sejam

relacionados tensão de escoamento σy e deformação plástica equivalente 휀�̅�, conforme apresentado pela

Eq. (2.9) por meio de constantes, propriedades de cada material, que são os parâmetros a serem

identificados com auxílio de um método numérico de otimização.

Tabela 2.1. Modelos matemáticos elastoplásticos de endurecimento isotrópico não-linear dos materiais.

Modelo Matemático Parâmetros Nome do modelo Eq.

𝜎𝑦 = 𝜎𝑦0 + 𝐻 휀�̅�𝑛 σy0, H, n

Ludwick, 1909

(Khan & Huang, 1995) (2.10)

𝜎𝑦 = 𝜎𝑦0 tanh (𝐸 휀�̅�

𝜎𝑦0) σy0, E

Prager, 1938

(Khan & Huang, 1995) (2.11)

휀�̅� =𝜎𝑦

𝐸+ 𝐻 (

𝜎𝑦

𝐸)𝑛

E, H, n Ramberg-Osgood, 1943

(Ramberg & Osgood, 1943) (2.12)

𝜎𝑦 = 𝐻 휀�̅�𝑛 H, n

Holloman, 1944

(Khan & Huang, 1995) (2.13)

𝜎𝑦 = 𝐻 (휀𝑠 + 휀�̅�)𝑛

H, εs, n Swift, 1947

(Khan & Huang, 1995) (2.14)

𝜎𝑦 = 𝜎𝑦0 + (𝜎𝑠 − 𝜎𝑦0)(1 − 𝑒−𝑛 ̅𝑝) σy0, σs, n Voce, 1948

(Khan & Huang, 1995) (2.15)

𝜎𝑦 = 𝜎𝑦0 + 𝑞𝑚 (1 − 𝑒−𝑑 ̅𝑝) + 𝐻 휀�̅� σy0, qm, d, H Mahnken, 2002

(Mahnken, 2002) (2.16)

𝜎𝑦 = 𝜎𝑦0 + 𝜉 휀�̅� + (𝜎∞ − 𝜎𝑦0)(1 − 𝑒−𝛿 ̅𝑝) σy0, ξ, σ∞, δ Kleinermann-Ponthot, 2003

(Kleinermann & Ponthot, 2003) (2.17)

10

Da Tabela (2.1), algumas das constantes são mais relevantes que outras e valem a pena ser

destacadas, como é o caso da tensão de escoamento inicial σy0 e do módulo de elasticidade (ou módulo

de Young) E. Por vezes, também são nomeados o módulo de endurecimento isotrópico H e o expoente

de encruamento n, mas estas denominações não são regra, podendo variar de modelo para modelo, assim

se deve consultar a bibliografia para confirmar se é caso.

Para este trabalho, decidiu-se utilizar o modelo elastoplástico com endurecimento isotrópico não-

linear proposto por Ludwick, que possui três parâmetros, σy0, H e n, conforme apresentado anteriormente

pela Eq. (2.10) na Tab. (2.1). Para que fique claro e explícito que este será o modelo utilizado, o modelo

de Ludwick é destacado e apresentado novamente pela Tab. (2.2).

Tabela 2.2. Modelo elastoplástico com endurecimento isotrópico não-linear de Ludwick.

𝜎𝑦 = 𝜎𝑦0 + 𝐻 휀�̅�𝑛 (2.10)

2.4 MODELO ELASTOPLÁSTICO

O modelo constitutivo elastoplástico utilizado para a simulação do problema pelo programa

Hyplas© (Souza Neto et at, 1996-2001) baseado no Método dos Elementos Finitos (MEF) foi o modelo

elastoplástico de von Mises tridimensional com endurecimento isotrópico não-linear de Ludwick. O

modelo é apresentado de forma resumida na Tab. (2.4) ao final desta seção e deste capítulo.

O modelo elastoplástico de von Mises, proposto em 1913, é apropriado para descrever o

comportamento plástico de materiais dúcteis. Segundo este modelo, o material entra em regime plástico

quando o segundo invariante do tensor desviador J2 atinge um valor crítico, o que para o caso

unidimensional (1D), como é o caso em estudo por este trabalho, equivale diz que o material entra em

regime plástico quando a tensão aplicada ao material atinge a tensão de escoamento inicial σy0, o que

está de acordo com o que fora explicado nas seções anteriores deste capítulo.

Começando a abordagem, então, pelo modelo elastoplástico de von Mises unidimensional, para

posteriormente passar para o modelo elastoplástico de von Mises tridimensional, o tensor tensão (de

Cauchy) σ para o estado de tensão uniaxial é apresentado pela Eq. (2.18)

𝝈 = [𝜎 0 00 0 00 0 0

] (2.18)

e, consequentemente, o tensor desviador s, também para o estado de tensão uniaxial é apresentado em

seguida pela Eq. (2.19).

11

𝒔 =

[ 2

3 𝜎 0 0

0 −1

3 𝜎 0

0 0 −1

3 𝜎]

(2.19)

O segundo invariante do tensor desviador J2 é definido conforme a Eq. (2.20). Assim, o segundo

invariante do tensor desviador para o estado de tensão uniaxial é dado pela Eq. (2.21).

𝐽2 ≡1

2 (𝑠1

2 + 𝑠22 + 𝑠3

2) (2.20)

𝐽2 =1

3 𝜎2 (2.21)

Já a tensão equivalente de von Mises q é definida de acordo com a Eq. (2.22) para o caso geral

tridimensional e dada pela Eq. (2.23) para o estado de tensão uniaxial.

𝑞 ≡ √3 𝐽2 (2.22)

𝑞 = |𝜎| (2.23)

Finalmente, a função de escoamento ϕ, que indica o valor crítico do segundo invariante do tensor

desviador J2 para o modelo elastoplástico de von Mises, ou seja, indica se o material está em regime

elástico, é definida pela Eq. (2.24) para o caso tridimensional e calculada pela Eq. (2.25) para o caso

unidimensional, sendo que o para regime elástico é deve ser observado o caso em que ϕ ≤ 0, caso

contrário o material já se encontra em regime plástico.

𝜙 = 𝑞 − 𝜎𝑦 = √3 𝐽2 − 𝜎𝑦 (2.24)

𝜙 = |𝜎| − 𝜎𝑦 (2.25)

Seguindo por hora apenas com o caso uniaxial, define-se a lei de fluxo plástico de acordo com

a taxa de evolução da deformação plástica 휀�̇�, conforme a Eq. (2.26), que é a relação entre o

multiplicador plástico �̇� e o fluxo plástico �̅�

휀�̇� = �̇� �̅� (2.26)

12

sendo que o multiplicador plástico �̇� é um número não-negativo, isto é, �̇� ≥ 0, e o vetor de fluxo plástico

�̅� é dado pela Eq. (2.27) para o caso unidimensional, sendo que 𝑠𝑖𝑔𝑛 (𝜎) representa a função sinal para

a tensão σ.

�̅� =𝜕𝜙

𝜕𝜎=

𝜎

|𝜎|= 𝑠𝑖𝑔𝑛 (𝜎) (2.27)

Tem-se, então, a regra de complementariedade, dada pela Eq. (2.27).

𝜙 �̇� = 0 (2.27)

A Tabela (2.3) ao final desta seção apresenta um resumo do modelo elastoplástico de von Mises

unidimensional com endurecimento isotrópico não-linear de Ludwick.

Seguindo agora com o caso tridimensional, as definições para tensor tensão (de Cauchy) σ, tensor

desviador s, segundo invariante do tensor desviador J2, tensão equivalente de von Mises q, função de

escoamento ϕ e regra de complementariedade permanecem as mesmas, de acordo com as Eqs. (2.18),

(2.19), (2.20), (2.22), (2.24) e (2.27).

Contudo, para o caso tridimensional a lei de fluxo plástico é definida pelo tensor das deformações

plásticas �̇�𝑝, que relaciona o multiplicador plástico �̇� e o vetor de fluxo plástico N, segundo a Eq. (2.28).

�̇�𝑝 ≡ �̇� 𝑵 (2.28)

onde o vetor de fluxo plástico N é definido pela Eq. (2.29).

𝑵 ≡𝜕𝜙

𝜕𝝈=

3

2𝑞𝒔 (2.29)

Dessa forma, a lei de evolução da deformação plástica equivalente 휀�̇̅� é definida de acordo com a

Eq. (2.30), definindo também simultaneamente o multiplicador plástico �̇�.

휀�̇̅� ≡ √2

3 �̇�𝑝: �̇�𝑝 = �̇� (2.30)

Um resumo do modelo elastoplástico de von Mises tridimensional com endurecimento isotrópico

não-linear de Ludwick é apresentado pela Tab. (2.4) ao final desta seção.

13

O modelo escolhido para este trabalho considera que há endurecimento isotrópico não-linear, de

acordo com o modelo de Ludwig, dado pela Eq. (2.10). Este fenômeno pode ser representado no plano-

π como uma expansão igualmente não-linear da superfície de escoamento, conforme pode ser observado

na Fig. (2.5).

Na prática, isso significa um aumento, também não-linear, da tensão de escoamento σy0 e,

consequentemente, o endurecimento do material, que é exatamente o fenômeno de encruamento

explicado ao longo deste capítulo.

Figura 2.5. Esquema de endurecimento isotrópico não-linear por um teste cíclico uniaxial, mostrando a expansão

do plano-π (Souza Neto, Perić & Owen – adaptado).

Com estas informações e o modelo pronto, o problema é resolvido pelo Método de Elementos Finitos

(MEF). O método parte do pressuposto inicial de que toda a deformação aplicada é elástica no chamado

“estado tentativa”.

Em seguida, este pressuposto é testado pela fase de “admissibilidade plástica”, na qual é avaliado o

sinal da função de escoamento ϕ: caso ϕ ≤ 0, o passo foi, de fato, elástico e uma nova iteração pode ser

feita; caso contrário, se ϕ > 0, o passo foi, na verdade, plástico e é preciso passar por um “corretor

plástico”.

A fase do “corretor plástico” nada mais é do que resolver um sistema de equações não-lineares, o

que é feito pelo Método de Newton-Raphson, a fim de se determinar quanto realmente houve de

deformação elástica e quanto houve de deformação plástica.

Dessa forma, o Método de Elementos Finitos é capaz de determinar valores de força e deslocamento

numéricos, mesmo para a região plástica e para grandes deformações, que podem ser utilizados para

comparar com os dados experimentais obtidos por ensaio de tração e, por fim, determinar os parâmetros

de encruamento dos materiais.

14

Conforme foi citado anteriormente, a Tab. (2.3) apresentada a seguir mostra um resumo do modelo

constitutivo elastoplástico de von Mises unidimensional com endurecimento isotrópico não-linear de

Ludwick, enquanto que a Tab. (2.4) mostra o modelo constitutivo elastoplástico de von Mises

tridimensional com endurecimento isotrópico não-linear de Ludwick, que é de fato utilizado pelo

programa Hyplas© (Souza Neto et at, 1996-2001).

Tabela 2.3. Modelo constitutivo elastoplástico de von Mises unidimensional com endurecimento

isotrópico não-linear de Ludwick.

i) Decomposição aditiva da deformação

휀 = 휀𝑒 + 휀𝑝

ii) Lei de Hooke

𝜎 = 𝐸 휀𝑒

iii) Função de escoamento

𝜙 = |𝜎| − 𝜎𝑦,

𝜎𝑦 = 𝜎𝑦0 + 𝐻 휀�̅�𝑛

iv) Lei de fluxo plástico

휀�̇� = �̇� �̅�,

�̅� =𝜕𝜙

𝜕𝜎=

𝜎

|𝜎|= 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜎)

v) Regra de complementariedade

�̇� ≥ 0, 𝜙 ≤ 0, �̇� 𝜙 = 0

15

Tabela 2.4. Modelo constitutivo elastoplástico de von Mises tridimensional com endurecimento

isotrópico não-linear de Ludwick.

i) Decomposição aditiva da deformação

𝜺 = 𝜺𝑒 + 𝜺𝑝

ii) Lei de Hooke

𝝈 = 𝔻 ∶ 𝜺𝑒

iii) Função de escoamento

𝜙 = √3 𝐽2 − 𝜎𝑦,

𝐽2 = √3

2 𝒔 ∶ 𝒔

𝜎𝑦 = 𝜎𝑦0 + 𝐻 휀�̅�𝑛

iv) Lei de fluxo plástico

𝜺�̇� = �̇� 𝑵,

𝑵 =𝜕𝜙

𝜕𝝈=

3

2𝑞𝒔

e lei de evolução para outras variáveis internas

휀�̇̅� = √2

3 �̇�𝑝 ∶ �̇�𝑝 = �̇�

v) Regra de complementariedade

�̇� ≥ 0, 𝜙 ≤ 0, �̇� 𝜙 = 0

16

3 PROBLEMAS DE ENGENHARIA E MÉTODOS NUMÉRICOS DE OTIMIZAÇÃO

Este capítulo apresenta uma revisão bibliográfica

sobre os tipos de problemas de engenharia e suas

subdivisões e sobre os métodos numéricos de

otimização e suas subdivisões, além de alguns

exemplos destes métodos numéricos de otimização.

3.1 INTRODUÇÃO

Quando se trata de problemas de engenharia, estes podem ser classificados entre (a) problemas

diretos ou (b) problemas inversos. Os problemas inversos podem, por sua vez, serem classificados entre

(i) problemas de otimização de pré-forma e (ii) problemas de identificação de parâmetros.

Em geral, os problemas de engenharia, independentemente de serem problemas diretos ou problemas

inversos, podem ser resolvidos por meio de simulações numéricas. Estas simulações numéricas de

problemas de engenharia apresentam pelo menos nove características em comum, podendo ter uma

décima característica, identificada abaixo por (*), no caso dos problemas de identificação de parâmetros.

Essas características são:

▪ Geometria inicial;

▪ Modelo constitutivo;

▪ Parâmetros materiais;

▪ Malha do modelo;

▪ Condições de contorno;

▪ Parâmetros de integração no tempo;

▪ Geometria final;

▪ Tensões e deformações;

▪ Evolução de grandezas no processo; e

▪ Dados experimentais (*).

A maneira como essas características se dividem entre o modelo inicial e o modelo final define como

o problema é classificado.

O tema deste trabalho está diretamente relacionado aos problemas inversos de identificação de

parâmetros. Logo, uma breve explicação de cada um dos tipos de problemas de engenharia citados acima

será feita ainda nesta seção e, posteriormente, o problema inverso de identificação de parâmetros será

descrito mais detalhadamente, dando assim uma base sólida para o desenvolvimento mais aprofundado

deste trabalho.

17

Os problemas diretos são os problemas clássicos de Engenharia e são também os problemas mais

comuns. É o problema de projeto, dimensionamento ou análise de um componente. Para este tipo de

problema, conhece-se a geometria inicial do componente a ser analisado, o modelo constitutivo que

descreve os fenômenos físicos por este sofridos e seu comportamento frente a eles, as propriedades e os

parâmetros dos materiais e as condições de contorno, e se deseja obter as respostas para a geometria ao

final do processo, as tensões e as deformações sofridas pelo componente, além de como estas evoluíram

durante o processo.

Os problemas inversos, por outro lado, procuram determinar as condições iniciais do processo, a

geometria inicial do componente, o modelo constitutivo envolvido ou os parâmetros característicos dos

materiais utilizados a partir de informações do final do processo ou de dados experimentais conhecidos.

Os problemas inversos de otimização de pré-forma, por exemplo, têm por objetivo determinar a

geometria inicial que um componente deve ter para que a exata geometria final desejada seja obtida

depois de passar por um processo de fabricação, como conformação mecânica por exemplo. A geometria

inicial de um componente é o resultado final fornecido por um problema inverso de otimização de pré-

forma. A Figura (3.1) ilustra claramente o problema inverso de otimização de pré-forma.

Figura 3.1. Exemplo de problema inverso de otimização de pré-forma (Stahlschmidt, 2010).

Já os problemas inversos de identificação de parâmetros, objeto de estudo deste trabalho, procuram

determinar o modelo constitutivo e/ou os parâmetros materiais que caracterizam o processo. Para isso,

utilizam dados experimentais, conforme citado anteriormente. Além disso, é necessário, em geral, um

método numérico de otimização para aproximar a solução desejada dos dados reais dentro de certa

tolerância adequadamente definida para o caso.

A Tabela (3.1) apresenta um resumo dos tipos de problemas de engenharia com a divisão das

características desses problemas entre o estado inicial e o estado final.

Os problemas inversos de identificação de parâmetros, em geral, utilizam métodos numéricos de

otimização para serem resolvidos. Estes métodos numéricos de otimização são, basicamente,

ferramentas matemáticas não analíticas utilizadas para se obter um resultado numérico o mais próximo

possível do resultado real quando o problema não tem uma solução analítica, quando não se conhece a

solução analítica exata que resolva o problema ou quando a solução analítica é muito complexa.

18

Tabela 3.1. Resumo dos tipos de problemas de engenharia.

Tipo de problema Dados iniciais Dados finais P

rob

lem

a d

iret

o

▪ Geometria inicial

▪ Modelo constitutivo

▪ Parâmetros materiais

▪ Malha do modelo

▪ Condições de contorno

▪ Parâmetros de integração no

tempo

▪ Geometria final

▪ Tensões e deformações

▪ Evolução de grandezas no

processo

Pro

ble

ma

inver

so

Otimização de

pré-forma

▪ Geometria final



▪ Malha do modelo



tempo




processo

Identificação de

parâmetros

▪ Dados experimentais (*)


▪ Malha do modelo



tempo



▪ Geometria final



processo

De fato, os métodos analíticos apenas são aplicáveis para os problemas inversos de identificação de

parâmetros quando as expressões envolvidas são relativamente, o que não é o caso para as expressões

em questão. Portanto, métodos analíticos não são aplicáveis para resolver o problema de identificação

de parâmetros deste trabalho, o qual recorrerá, então, aos métodos numéricos de otimização, que serão

apresentados mais a fundo nas seções a seguir.

3.2 MÉTODOS NUMÉRICOS DE OTIMIZAÇÃO

Nos métodos numéricos de otimização aplicados a problemas inversos de identificação de

parâmetros, o objetivo é determinar um vetor de parâmetros p = {p1, p2, ..., pn} que minimiza a diferença

entre uma resposta calculada numericamente RNUM (p) e uma resposta experimental REXP dentro de certa

tolerância (erro) tol previamente estabelecida.

19

É importante observar que, neste caso, a resposta calculada numericamente RNUM (p) é uma função

do vetor de parâmetros p = {p1, p2, ..., pn}, geralmente determinada pelo modelo constitutivo utilizado

no problema inverso de identificação de parâmetros.

No caso deste trabalho, por exemplo, a resposta experimental REXP é obtida por meio de ensaios

mecânicos de tração em corpos de prova – são os dados experimentais. Esta resposta experimental REXP

é então comparada com a resposta calculada numericamente RNUM (p), obtida pela solução de um

problema direto utilizando métodos numéricos, como por exemplo o Método de Elementos Finitos

(MEF). O vetor de parâmetros p = {p1, p2, ..., pn} que se deseja determinar são propriedades

características do material analisado – são os parâmetros materiais.

Portanto, mesmo o problema inverso de identificação de parâmetros pode se utilizar de problemas

diretos para encontrar a resposta calculada numericamente RNUM (p) que mais se adequa ao objeto de

estudo, ou seja, a resposta calculada numericamente RNUM (p) que se encontra dentro da tolerância tol

estabelecida quando comparada à resposta experimental REXP.

A comparação entre a resposta experimental REXP e a resposta calculada numericamente RNUM (p) é

feita por uma função matemática, chamada de função objetivo f (p). Como o interesse é que a resposta

experimental REXP e a resposta calculada numericamente RNUM (p) sejam o mais próximo possível, a

função objetivo f (p) deve ser minimizada.

Os aspectos teóricos dos métodos numéricos de otimização a serem observados são:

i) Função objetivo f (p):

Função matemática a ser minimizada; neste caso, utilizada para minimizar a diferença entre

a resposta experimental REXP e a resposta calculada numericamente RNUM (p).

ii) Vetor de parâmetros p = {p1, p2, ..., pn}:

Variáveis independentes (ou parâmetros), que formam o vetor de parâmetros p, das quais

depende a função objetivo f (p); neste caso, a resposta calculada numericamente RNUM (p)

somente, presente na função objetivo f (p), depende destes parâmetros.

iii) Restrições de desigualdade g (p) e de igualdade l (p):

Limites impostos ao sistema ou estabelecidos pelas leis naturais que governam o sistema, a

que estão sujeitas as variáveis de projeto p; dadas por:

▪ 𝑔 (𝒑)𝑖 ≤ 0, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛; e

▪ 𝑙 (𝒑)𝑗 = 0, 𝑗 = 1, 2, … ,𝑚;

no caso do problema de identificação de parâmetros, as restrições de desigualdade g (p) e de

igualdade l (p) não são necessárias.

iv) Região de busca ou região viável:

Região do espaço definida pelas variáveis de projeto p e delimitada pelas restrições, em cujo

interior ou fronteira se localiza o ponto ótimo da função objetivo f (p).

20

Neste trabalho, a função objetivo f (p) será dada pelo método dos mínimos quadrados, conforma a

Eq. (3.1), visto que esta função leva a uma rápida convergência na maioria dos métodos numéricos de

otimização. Na Equação (3.1), RiNUM (p) representa a resposta calculada numericamente para o ponto i,

RiEXP representa a resposta experimental no ponto i e N representa o número total de pontos utilizados

para o ajuste, neste caso o número total de pontos experimentais.

𝑓(𝒑) = √1

𝑁 ∑ (

𝑅𝑖𝑁𝑈𝑀(𝒑) − 𝑅𝑖

𝐸𝑋𝑃

𝑅𝑖𝐸𝑋𝑃 )

2𝑁

𝑖 = 1

(3.1)

A Figura (3.2) ilustra este método. Nela, os pontos experimentais (discretos) representam a resposta

experimental RiEXP para todos os N pontos experimentais e a curva gerada pelo método de elementos

finitos (contínua) representa a resposta calculada numericamente RiNUM (p), que é função dos parâmetros

materiais p que se desejam definir.

Figura 3.2. Diferença entre a resposta calculada numericamente e a resposta experimental (Stahlschmidt, 2010).

A ideia é alterar o conjunto de parâmetros materiais p até que a curva gerada pelo método de

elementos finitos esteja suficientemente próxima aos pontos experimentais, ou seja, até que a diferença

entre a resposta calculada numericamente RiNUM (p) para o ponto i em todos os N pontos e a resposta

experimental RiEXP no ponto i para todos os N pontos esteja dentro da tolerância tol estabelecida,

diferença esta que é determinada pela função objetivo f (p), obtida pelo método dos mínimos quadrados

no caso deste trabalho, conforme apresentado pela Eq. (3.1).

Para a determinação de um ponto de mínimo local sem restrições, é preciso atender a duas condições

analíticas básicas: (a) a condição necessária e (b) a condição suficiente. Em funções de uma única

variável independente, como por exemplo f (x), em que o ponto de mínimo é x*, tem-se:

21

▪ Condição necessária:

A condição necessária é dada pela Eq. (3.2)

𝑓′ (𝑥∗) = 0, (3.2)

ou seja, é necessário que a primeira derivada em relação à variável independente no ponto de

mínimo x* seja igual a zero, em conformidade com as teorias básicas do Cálculo.

▪ Condição suficiente:

A condição suficiente é dada pela Eq. (3.3)

𝑓′′ (𝑥∗) > 0, (3.3)

ou seja, é necessário que a segunda derivada em relação à variável independente no ponto de

mínimo x* seja positiva, também em conformidade com as teorias básicas do Cálculo; caso fosse

negativa, tratar-se-ia de um ponto de máximo, e caso fosse igual a zero, tratar-se-ia de um ponto

de inflexão.

Analogamente, para funções de mais de uma variável independente, como é em geral o caso da

função objetivo f (p) nos problemas de identificação de parâmetros, em que p é um vetor de variáveis

independentes e o p* é ponto de mínimo, é possível definir a condição necessária e a condição suficiente

para problemas sem restrições por meio da expansão de Taylor (Arora, 2004):

▪ Condição necessária:

A condição necessária é dada pela Eq. (3.4)

∇𝑓 (𝒑∗) = 0, (3.4)

ou seja, é necessário que o gradiente da função no ponto de mínimo p* seja igual a zero.

▪ Condição suficiente:

A condição suficiente é dada pela Eq. (3.5)

𝒅𝑻 𝑯 (𝒑∗) 𝒅 > 0, (3.5)

em que H (p*) é a matriz Hessiana calculada no ponto de mínimo p*, definida pela Eq. (3.6), e

d = p – p*; esta condição será verdadeira se e somente se a matriz Hessiana for positiva definida.

𝑯 (𝒑∗) = [𝜕2𝑓

𝜕𝑝𝑖 𝜕𝑝𝑗](𝑛 × 𝑛)

(3.6)

Contudo, os métodos numéricos de otimização são não analíticos. Por isso, são criados algoritmos

para encontrar sua solução. Estes algoritmos precisam de uma estimativa inicial p(0), que é ajustada por

22

um processo iterativo até que a diferença entre a resposta calculada numericamente RNUM (p) e a resposta

experimental REXP esteja dentro da tolerância tol estabelecida, ou seja, a estimativa inicial p(0) é ajustada

pelo processo iterativo até que seja encontrado o ponto de mínimo p* para a função objetivo f (p).

A Figura (3.3) mostra o processo utilizado pelos métodos numéricos de otimização aplicado ao

problema inverso de identificação de parâmetros.

Figura 3.3. Processo utilizado pelos métodos numéricos de otimização (Stahlschmidt, 2010).

Alguns exemplos de métodos numéricos de otimização serão apresentados a seguir, bem como o

algoritmo que pode ser utilizado a partir dele. Para facilitar o entendimento de cada um desses métodos,

estes serão subdivididos.

Existem diversas formas de se classificar os métodos numéricos de otimização existentes na

literatura. Neste trabalho, os métodos numéricos de otimização serão classificados primeiramente em

(a) métodos baseados em programação numérica, (b) métodos evolucionários e (c) métodos híbridos.

Os métodos baseados em programação numérica podem ainda ser classificados, dentre outras

formas, em (a) métodos unidimensionais e (b) métodos multidimensionais. Neste trabalho, serão

apresentados como exemplos de métodos unidimensionais o Método da Seção Áurea e o Método da

Bissecção e como exemplos de método multidimensional, tema deste trabalho, o Método da Máxima

Descida e o Método BFGS.

23

O método evolucionário não será abordado neste trabalho, já que não faz parte do objetivo, mas vale

a pena ser estudado. Os métodos híbridos também não serão abordados pelo mesmo motivo, mas estes

se tratam simplesmente de uma combinação de dois ou mais métodos, de forma a agregar vantagens de

ambos e a utilizar um para combater a desvantagem do outro.

3.3 MÉTODOS BASEADOS EM PROGRAMAÇÃO NUMÉRICA

Os métodos baseados em programação numérica são os métodos mais comuns de otimização.

Conforme citado anteriormente, estes métodos podem ser classificados de diversas formas diferentes.

Uma das principais formas, que será utilizada neste trabalho, classifica-os em (a) métodos

unidimensionais e (b) métodos multidimensionais.

Podem ainda ser classificados com base na quantidade de derivadas da função objetivo f (p) que são

utilizadas para definir o ponto de mínimo p*. Por esse viés, estes métodos podem ser classificados em

(a) métodos de ordem zero, (b) métodos de primeira ordem e (c) métodos de segunda ordem. Métodos

de ordem zero são aqueles que não utilizam derivadas da função objetivo f (p); métodos de primeira

ordem utilizam apenas a primeira derivada da função objetivo f (p); e métodos de segunda ordem

utilizam até a segunda derivada da função objetivo f (p).

Conforme explicitado na seção anterior, os métodos numéricos de otimização se utilizam de

algoritmos para a solução do problema, nos quais uma estimativa inicial p(0) é ajustada por um processo

iterativo até que a diferença entre a resposta calculada numericamente RNUM (p) e a resposta experimental

REXP esteja dentro da tolerância tol estabelecida, ou seja, até que seja encontrado o ponto de mínimo p*

para a função objetivo f (p).

O processo iterativo utilizado pelos métodos baseados em programação numérica para ajustar a

estimativa inicial p(0) até que seja encontrado o ponto de mínimo p* que pode ser resumido por meio da

Eq. (3.7), onde p(k) é o vetor dos parâmetros na iteração k. Assim, este vetor é ajustado na iteração k+1

por um incremento Δp(k+1) segundo algum dos métodos numéricos de otimização, que serão apresentados

mais a frente neste trabalho.

𝒑(𝒌+𝟏) = 𝒑(𝒌) + ∆𝒑(𝒌+𝟏), 𝑘 = 0, 1, 2, … (3.7)

O incremento Δp(k) pode ser decomposto em duas partes: o comprimento de passo αk e a direção de

busca d(k), conforme apresenta a Eq. (3.8).

∆𝒑(𝒌) = 𝛼𝑘 𝒅(𝒌) (3.8)

24

Portanto, os métodos baseados em programação numérica estão realmente preocupados em

determinar o incremento Δp(k) até que se encontre o ponto de mínimo p* para a função objetivo f (p),

momento no qual a iteração é interrompida.

A determinação do incremento Δp(k) pode, então, ser dividida em dois casos: (a) determinar o

comprimento de passo αk ou (b) determinar a direção de busca d(k). Essa divisão é utilizada para

classificar os métodos baseados em programação numérica, conforme citado anteriormente.

Os métodos unidimensionais procuram determinar o comprimento de passo αk, tendo como

exemplos o Método da Seção Áurea e o Método da Bissecção. Já os métodos multidimensionais

procuram determinar a direção de busca d(k), tendo como exemplos o Método da Máxima Descida e o

Método BFGS.

Resumidamente, então, os métodos baseados em programação numérica utilizam uma estimativa

inicial p(0) razoável para o ponto de mínimo p* da função objetivo f (p) e, por meio de um processo

iterativo, vão aproximando o vetor dos parâmetros p deste ponto de mínimo p*, utilizando-se para isso

de algum dos métodos numéricos de otimização para o cálculo do comprimento de passo αk e da direção

de busca d(k).

3.4 MÉTODOS UNIDIMENSIONAIS

Em geral, os métodos unidimensionais se utilizam de técnicas como os métodos de redução de

intervalos. Nesse tipo de método, admite-se que a função objetivo tem um mínimo global f (α*) dentro

de um intervalo 0 ≤ α* ≤ α. Procura-se, então, determinar o ponto de mínimo α*.

Contudo, como os métodos numéricos são não analíticos, não é possível determinar o ponto de

mínimo α* exato. De fato, o que se determina é o intervalo em que este ponto de mínimo α* se encontra,

ou seja, se determina um limite inferior αinf e um limite superior αsup entre os quais o ponto de mínimo

α* está situado. Este intervalo é denominado intervalo de incerteza I e é calculado conforme a Eq. (3.9).

𝐼 = 𝛼𝑠𝑢𝑝 − 𝛼𝑖𝑛𝑓 (3.9)

Assim, os métodos de redução de intervalos têm como objetivo, como o próprio nome diz, reduzir

este intervalo de incerteza I até que seu valor seja suficientemente pequeno, isto é, até que o intervalo

de incerteza I seja menor que a tolerância tol previamente estabelecida (I < tol). Quando esta condição

for atingida, o ponto de mínimo α* será dado pela Eq. (3.10).

𝛼∗ = 𝛼𝑖𝑛𝑓 + 𝛼𝑠𝑢𝑝

2 (3.10)

Neste trabalho, serão apresentados como exemplos de métodos unidimensionais tanto o Método da

Seção Áurea quanto o Método da Bissecção, dois dos principais exemplos deste tipo de método.

25

3.4.1 Método da Seção Áurea

O Método da Seção Áurea é classificado como um método unidimensional de ordem zero, uma vez

que não se utiliza de derivadas da função objetivo f (p) para ser aplicado, utilizando para tanto então a

simples comparação do valor da função objetivo f (p) em diferentes pontos. É um dos melhores métodos

da classe de redução de intervalos, uma vez que necessita de um número menor de avaliações da função

objetivo f (p) em relação a outros métodos do mesmo tipo (Arora, 2004).

Em sua aplicação, é dividido em duas fases: (a) Fase I e (b) Fase II. Na Fase I, o método avalia a

função objetivo f (p) em pontos predeterminados e, em seguida, os compara para então definir o intervalo

de incerteza I em que o mínimo se encontra. Na Fase II, o método refina o intervalo de incerteza I

definido na Fase I, diminuindo-o até que este seja menor que a tolerância tol previamente estabelecida,

convergindo e encontrando o ponto de mínimo α*. Ambas as fases são explicadas mais detalhadamente

a seguir.

a) Fase I

Na primeira fase do Método da Seção Áurea, o interesse então é determinar o intervalo de incerteza

I em que o mínimo se encontra para, na Fase II, refiná-lo até que o ponto de mínimo α* seja finalmente

encontrado.

É importante, contudo, saber que, caso o intervalo de incerteza I em que o mínimo se encontra já

seja conhecido, esta fase pode ser ignorada, partindo-se da Fase II para a aplicação do método. A Fase

II é o algoritmo principal desse método.

Caso a Fase I seja necessária, o primeiro passo é selecionar um incremento δq ≠ 0 para definir os

pontos de avaliação αr da função objetivo f (p). Estes pontos são definidos de acordo com a Eq. (3.11).

O fator de 1,618 vem justamente da Razão Áurea, motivo pelo qual o Método da Seção Áurea recebe

esse nome.

𝛼𝑟 = ∑𝛿𝑟 (1,618)𝑗

𝑟

𝑗=0

(3.11)

Assim, os pontos cinco primeiros pontos de avaliação αr são os apresentados na Tab. (3.2) a seguir.

Os pontos de avaliação αr da função objetivo f (p) são determinados de forma iterativa até que se obtenha

r tal que f (αr-1) < f (αr) e f (αr-1) < f (αr-2), condições que garantem que o ponto de mínimo α* já tenha

sido passado e que este se encontra entre o ponto αr-2 e o ponto αr.

Então, os limites inferior e superior do intervalo de incerteza I são redefinidos de acordo com estes

pontos, de forma que αr-2 seja o limite inferior e αr seja o limite superior. Os valores dos novos limites

inferior e superior do intervalo de incerteza I são dados pelas Eqs. (3.12) e Eq. (3.13), respectivamente.

26

Tabela 3.2. Pontos de avaliação αr da função objetivo f (p) para a Fase I do Método da Seção Áurea.

𝑟 𝛼𝑟

𝑟 = 0 𝛼0 = 𝛿𝑟

𝑟 = 1 𝛼1 = 𝛿𝑟 + 1,618 𝛿𝑟 = 2,618 𝛿𝑟

𝑟 = 2 𝛼2 = 2,618 𝛿𝑟 + (1,618)2 𝛿𝑟 = 5,236 𝛿𝑟

𝑟 = 3 𝛼3 = 5,236 𝛿𝑟 + (1,618)3 𝛿𝑟 = 9,472 𝛿𝑟

𝑟 = 4 𝛼4 = 9,472 𝛿𝑟 + (1,618)4 𝛿𝑟 = 16,326 𝛿𝑟

𝛼𝑖𝑛𝑓 = 𝛼𝑟−2 = ∑𝛿𝑟 (1,618)𝑗

r−2

𝑗=0

(3.12)

𝛼𝑠𝑢𝑝 = 𝛼𝑟 = ∑𝛿𝑟 (1,618)𝑗

𝑟

𝑗=0

(3.13)

Finalizando a Fase I do Método da Seção Áurea, define-se o intervalo de incerteza I que será

utilizado na Fase II pela Eq. (3.14).

𝐼 = 𝛼𝑠𝑢𝑝 − 𝛼𝑖𝑛𝑓 = 2,618 (1,618)𝑟−1 𝛿𝑟 (3.14)

b) Fase II

Na segunda fase do Método da Seção Áurea, o ponto de mínimo α* finalmente é determinado. Isso

acontece com um processo iterativo que refina o intervalo de incerteza I definido na Fase I do método,

diminuindo-o até que este seja menor que a tolerância tol estabelecida. O ponto de mínimo α* será,

então, a média entre o limite inferior αinf e o limite superior αsup do intervalo de incerteza I, conforme

mostrado anteriormente pela Eq. (3.10).

Este processo iterativo se dá pela avaliação da função objetivo f (p) em pontos do intervalo de

incerteza I determinados pelo Método da Seção Áurea. O método precisa de dois pontos dentro do

intervalo de incerteza I para realizar tais avaliações, localizados a 0,382 I (ou 0,618 I) de cada

extremidade. O fator de 0,382 também vem da Razão Áurea. Dessa forma, os pontos de avaliação αa e

αb são determinados pela Eq. (3.15) e pela Eq. (3.16).

𝛼𝑎 = 𝛼𝑖𝑛𝑓 + 0,382 𝐼 (3.15)

27

𝛼𝑏 = 𝛼𝑖𝑛𝑓 + 0,618 𝐼 (3.16)

Em seguida, é necessário avaliar a função objetivo f (p) nos pontos de avaliação αa e αb. Assim,

▪ Se f (αa) < f (αb), o ponto de mínimo está entre αinf e αb;

▪ Se f (αa) > f (αb), o ponto de mínimo está entre αa e αsup; ou

▪ Se f (αa) = f (αb), o ponto de mínimo está entre αa e αb.

O limite inferior αinf e o limite superior αsup são, então, redefinidos de acordo, fazendo com o

intervalo de incerteza I seja reduzido. O processo é repetido até que se obtenha um intervalo de incerteza

I que seja menor que a tolerância tol estabelecida. Quando esta condição for alcançada, o ponto de

mínimo α* é finalmente calculado, conforme a Eq. (3.10).

O algoritmo para Método da Seção Áurea é apresentado pela Tab. (3.3) a seguir, a qual também

resume a teoria do método, apresentada anteriormente.

Tabela 3.3. O algoritmo para o Método da Seção Áurea.

i) Determinar o limite inferior αinf e o limite superior αsup do intervalo de incerteza I;

ii) Calcular αa e αb segundo a Eq. (3.15) e a Eq. (3.16);

iii) Calcular f (αa) e f (αb) e comparar seus valores;

iv) ▪ Se f (αa) < f (αb), então αinf := αinf e αsup := αb

▪ Se f (αa) > f (αb), então αinf := αa e αsup := αsup

▪ Se f (αa) = f (αb), então αinf := αa e αsup := αb

v) Se o novo intervalo de incerteza I for maior que a tolerância tol (I > tol), retornar para (ii).

Se o novo intervalo de incerteza I for menor que a tolerância tol (I < ε), o ponto de mínimo

α* é finalmente determinado pela Eq. (3.10).

3.4.2 Método da Bissecção

O Método da Bissecção, a exemplo do Método da Seção Áurea, também é um método

unidimensional, porém de primeira ordem, visto que depende do cálculo da derivada primeira da função

objetivo f (p). E assim como o Método da Seção Áurea, é um método de redução de intervalos, portanto

também se utiliza de um intervalo de incerteza I, dado pela Eq. (3.9), e de uma tolerância tol estabelecida.

O refinamento do intervalo de incerteza I é feito pela comparação entre o sinal da primeira derivada

da função objetivo f (p) no ponto médio αméd do intervalo de incerteza I, dado pela Eq. (3.17), e o sinal

da primeira derivada da função objetivo f (p) no limite inferior αinf e no limite superior αsup.

28

𝛼𝑚é𝑑 = 𝛼𝑖𝑛𝑓 + 𝛼𝑠𝑢𝑝

2 (3.17)

A avaliação da função objetivo f (p), então, é feita da seguinte forma:

▪ Se f’(αméd) tem o mesmo sinal de f’(αinf), o ponto de mínimo está entre αméd e αsup; ou

▪ Se f’(αméd) tem o mesmo sinal de f’(αsup), o ponto de mínimo está entre αinf e αméd.

O limite inferior αinf e o limite superior αsup são, então, redefinidos de acordo, fazendo com o

intervalo de incerteza I seja reduzido. No caso do Método da Bissecção, o intervalo de incerteza I é

reduzido pela metade a cada iteração. O processo é repetido até que se obtenha um intervalo de incerteza

I que seja menor que a tolerância tol estabelecida. Quando esta condição for alcançada, o ponto de

mínimo α* é finalmente calculado, conforme a Eq. (3.10). O algoritmo para Método da Bissecção é

apresentado pela Tab. (3.4) a seguir.

Tabela 3.4. O algoritmo para o Método da Bissecção.

i) Determinar o limite inferior αinf e o limite superior αsup do intervalo de incerteza I;

ii) Calcular o ponto médio αméd conforme a Eq. (3.17);

iii) Calcular as primeiras derivadas da função objetivo f (p) no ponto médio αméd, no limite

inferior αinf e no limite superior αsup, ou seja, calcular f’(αméd), f’(αinf) e f’(αsup);

iv) ▪ Se f’(αméd) tem o mesmo sinal de f’(αinf), então αinf := αméd e αsup := αsup

▪ Se f’(αméd) tem o mesmo sinal de f’(αsup), então αinf := αinf e αsup := αméd

v) Se o novo intervalo de incerteza I for maior que a tolerância tol (I > ε), retornar para (ii). Se

o novo intervalo de incerteza I for menor que a tolerância tol (I < ε), o ponto de mínimo α*

é finalmente determinado pela Eq. (3.10).

3.5 MÉTODOS MULTIDIMENSIONAIS

Conforme citado anteriormente, os métodos numéricos multidimensionais procuram determinar a

direção de busca d(k), ao invés de procurar determinar o comprimento de passo αk como os métodos

unidimensionais. Além disso, os métodos multidimensionais necessitam apenas de uma estimativa

inicial p(0) para minimizar o valor da função objetivo f (p) e obter os parâmetros p(k), ao invés de um

intervalo de incerteza I, que pode ser mais difícil de ser determinado, uma vez que é necessário garantir

que o menor valor da função objetivo f (p) se encontra neste intervalo de incerteza I. Por fim, os métodos

multidimensionais atuam ao mesmo tempo em todos os parâmetros a serem determinados. Estas são as

três principais características dos métodos numéricos multidimensionais.

29

Dentre os métodos multidimensionais, tema deste Projeto de Graduação, que valem a pena serem

citados neste trabalho, encontram-se o Método da Máxima Descida, método numérico multidimensional

escolhido para ser implementado neste Projeto de Graduação, e o Método BFGS, os quais será

apresentado a seguir.

3.5.1 Método da Máxima Descida

O Método da Máxima Descida, desenvolvido por Augustin-Louis Cauchy – e, por isso, apresentado

por vezes também como Método de Cauchy – em 1847, é um exemplo de método numérico de

otimização baseado em programação numérica multidimensional, ou simplesmente método numérico

multidimensional.

Este foi o método numérico multidimensional escolhido neste trabalho para ser implementado para

a determinação dos parâmetros de encruamento de materiais dúcteis por ensaio de tração, objetivo do

Projeto de Graduação.

O Método da Máxima Descida faz uso do vetor gradiente para minimizar a função objetivo f (p),

mais precisamente, faz uso do negativo do vetor gradiente como a direção de busca d(k), caracterizando-

se, dessa forma, de fato como um método numérico multidimensional e atuando em todos os parâmetros

a serem determinados simultaneamente. É um método bastante simples de ser aplicado, mas ainda assim

um método clássico e bastante elegante, que cumpre bem seu papel

Bem como a maioria dos métodos numéricos de otimização, o Método da Máxima Descida necessita

de uma estimativa inicial p(0) para que seja obtido o menor valor possível para a função objetivo f (p),

isto é, até que a função objetivo f (p) seja minimizada, considerando-se a tolerância tol previamente

estabelecida para o problema. Já o comprimento do passo αk pode ser obtido analiticamente ou

numericamente, dependendo principalmente da função objetivo f (p).

Sendo assim, o Método da Máxima Descida pode ser resumido em um algoritmo, apresentado na

Tab. (3.5) a seguir (Rao, 2009 – adaptado). Observa-se que é realmente um método bastante simples,

com apenas 4 passos a serem seguidos iterativamente.

Tabela 3.5. O algoritmo para o Método da Máxima Descida.

i) Definir uma estimativa inicial p(0) para o vetor de parâmetros ;

ii) Obter a direção de busca d(k) de modo que d(k) = -∇ f(p(k));

iii) Calcular o comprimento de passo αk na direção de busca d(k) que minimize f (p(k) + ak d(k)) e

atualizar o vetor de parâmetros p(k) como p(k+1) = p(k) + ak d(k);

iv) Verificar a convergência pelo critério estabelecido, considerando a tolerância tol. Se o

critério de convergência não for atendido, retornar para (ii); caso contrário o vetor de

parâmetros p(k) foi determinado.

30

3.5.2 Método BFGS

O Método BFGS, assim chamado em homenagem a Boyden, Fletcher, Goldfarb e Shanno, que

desenvolveram simultaneamente o método em 1970, é um dos exemplos de método multidimensional,

sendo também um método quasi-Newton.

Os chamados métodos quasi-Newton utilizam informações do gradiente da função objetivo f (p)

para construir uma aproximação da matriz Hessiana H (p), sendo, portanto, uma modificação do método

de Newton. A matriz Hessiana aproximada é denotada por B (p), assim B (p) ≈ H (p).

Apenas a título de comparação, outro método quasi-Newton bastante semelhante ao Método BFGS

é o Método DFP (David-Fletcher-Powell), que também se utiliza uma aproximação da matriz Hessiana

H (p). A diferença entre os dois métodos é que, enquanto o Método BFGS atualiza iterativamente a

matriz Hessiana H (p) direta, o Método DFP atualiza iterativamente a inversa da matriz Hessiana H (p).

Mesmo se utilizando apenas de uma aproximação da matriz Hessiana H (p), característica dos

métodos quasi-Newton, estes métodos são também de segunda ordem, já que esta matriz é composta

por derivadas segundas da função objetivo f (p) em relação ao vetor de parâmetros p.

Portanto, tem convergência quadrática, sendo assim mais rápido que métodos de ordem zero ou

primeira ordem. Além disso, dentre os métodos quasi-Newton, o Método BFGS é comprovadamente o

mais eficiente e o mais efetivo nas aplicações (Arora, 2004).

A matriz Hessiana aproximada B (p) para a iteração k+1 é obtida pela Eq. (3.18).

𝑩(𝒌+𝟏) = 𝑩(𝒌) + 𝑫(𝒌) + 𝑬(𝒌) (3.18)

Já as matrizes de correção D(k) e E(k) são obtidas pela Eq. (3.19) e pela Eq. (3.20), respectivamente,

assim como o gradiente c(k), a mudança no gradiente y(k) e a mudança nos parâmetros s(k) são obtidos

pela Eq. (3.21), pela Eq. (3.22) e pela Eq. (3.23), respectivamente.

𝑫(𝒌) = 𝒚(𝒌) 𝒚(𝒌)𝑻

(𝒚(𝒌) ∙ 𝒔(𝒌)) (3.19)

𝑬(𝒌) = 𝒄(𝒌) 𝒄(𝒌)𝑻

(𝒄(𝒌) ∙ 𝒅(𝒌)) (3.20)

𝒄(𝒌) = ∇𝑓(𝒑(𝒌)) (3.21)

𝒚(𝒌) = 𝒄(𝒌+𝟏) − 𝒄(𝒌) (3.22)

𝒔(𝒌) = 𝛼𝑘 𝒅(𝒌) (3.23)

31

A Tabela (3.6) a seguir apresenta um resumo da aplicação do Método BFGS em forma de algoritmo

(Arora, 2004). É possível notar que é um método mais elaborado e, consequentemente, mais complexo

que o Método da Máxima Descida, com mais passos a serem seguidos iterativamente, 9 no total.

Tabela 3.6. O algoritmo para o Método da BFGS.

i) Definir uma estimativa inicial p(0) para o vetor de parâmetros;

ii) Escolher uma matriz positiva definida simétrica n × n, onde n é o número de parâmetros,

como uma estimativa inicial para a matriz Hessiana aproximada B(0) (na ausência de maiores

informações, faça B(0) = Im);

iii) Calcular o gradiente c(k) = ∇ f(p(k));

iv) Calcular a norma do gradiente ||c(k)||; se a norma do gradiente ||c(k)|| for menor que a tolerância

tol, ou seja, se ||c(k)|| < tol, a matriz Hessiana aproximada B(k) foi determinada; caso

contrário, continuar o processo;

v) Resolver o sistema linear de equações B(k) d(k) = -c(k) para obter a direção de busca d(k);

vi) Calcular o comprimento de passo αk que minimize f (p(k) + ak d(k));

vii) Atualizar o vetor de parâmetros p(k) como p(k+1) = p(k) + ak d(k)

viii) Atualizar a matriz Hessiana aproximada B(k) conforme a Eq. (3.18);

ix) Retornar para (iii).

3.6 MÉTODO NUMÉRICO PARA OBTENÇÃO DO COMPRIMENTO DO PASSO

Um comentário adicional a respeito de métodos numéricos de otimização se faz necessário aqui

devido à complexidade da função objetivo f (p) do presente trabalho. A função objetivo f (p) escolhida

para o trabalho foi a dada pelo método dos mínimos quadrados, conforme apresentado no começo deste

Capítulo 3 pela Eq. (3.1).

Como a função depende da resposta calculada numericamente RNUM (p), que é dada pelo método de

elementos finitos (MEF), não é possível saber o formato da função objetivo f (p) de forma analítica, o

que impossibilita a determinação do comprimento do passo αk também de forma analítica, que é o usual

para problemas numéricos de otimização.

Além disso, conforme será apresentado no Capítulo 4, o módulo de endurecimento isotrópico H e o

expoente de encruamento n, parâmetros que realmente serão determinados pelo método numérico, têm

ordens de grandeza muito diferentes, sendo de 103 para o módulo de endurecimento isotrópico H e de

10-1 para o expoente de encruamento n. Assim, optou-se por determinar um comprimento de passo αk

32

para cada parâmetro, de maneira que o comprimento de passo αk seja tratado como um vetor, ao invés

de um escalar.

Dito isso, recorreu-se a um método numérico para a determinação do comprimento de passo αk para

cada parâmetro. O método numérico encontrado para resolver o problema e que se mostrou bastante

eficaz, cumprindo seu papel, foi o Método da Interpolação Quadrática, que tem uso justamente para

determinar o comprimento de passo αk de funções objetivos f (p) cujas derivadas parciais em relação aos

parâmetros não estão disponíveis ou são difíceis de calcular (Rao, 2009).

O Método da Interpolação Quadrática utiliza os valores da função objetivo f (p), que se deseja

minimizar, para determinar o comprimento de passo αk em três estágios. No primeiro estágio, a direção

de busca d(k) é normalizada. Já no segundo estágio, a função objetivo f (p) é aproximada por uma função

quadrática na forma apresentada pela Eq. (3.24), cujo mínimo será o comprimento de passo αk. Mas caso

o comprimento de passo αk encontrado no segundo estágio não seja suficientemente próximo do mínimo

real, um terceiro estágio é utilizado, definindo-se uma nova função quadrática, mas no mesmo formato

dado pela Eq. (3.24), processo conhecido como “refitting”, até que o mínimo real seja atingido.

ℎ (𝛼𝑘) = 𝑎 + 𝑏 𝛼𝑘 + 𝑐 𝛼𝑘2 (3.24)

Para o caso deste trabalho, o terceiro estágio não se faz necessário, porque, após o implementar

juntamente com o restante do método, foi notado que este não influenciava o resultado final

significativamente, mas impactava consideravelmente no tempo de processamento, assim foi desativado

do código principal, mas continua disponível para ativação caso necessário ou mesmo para simples

referência.

Além disso, como se decidiu por determinar um comprimento de passo αk para cada parâmetro a ser

determinado, o primeiro estágio é simplificado, já que basta utilizar apenas o sinal da direção de busca

d(k), que dessa forma esta já será normalizada.

Resta o segundo estágio do Método da Interpolação Quadrática. A Eq. (3.24) apresentada

anteriormente tem aquele formato justamente porque uma função quadrática, que dá nome ao método,

é a função polinomial de menor ordem para qual um mínimo finito pode existir.

Conforme explicado na Seção 3.2 deste capítulo, a condição necessária para que o mínimo da função

h exista, dada pela Eq. (3.2), é apresentada pela Eq. (3.25)

𝑑ℎ

𝑑𝛼𝑘= 𝑏 + 2 𝑐 𝛼𝑘 = 0 (3.25)

o que implica no resultado apresentado pela Eq. (3.26)

33

𝛼𝑘 = −𝑏

2𝑐 (3.26)

Ainda de acordo com a Seção 3.3 deste capítulo, a condição suficiente para o mínimo da função h

é, por sua vez, dada pela Eq. (3.3) e mostrada pela Eq. (3.27)

𝑑ℎ2

𝑑2𝛼𝑘= 𝑐 > 0 (3.27)

Para definir as constantes a, b, c da Eq. (3.24), pede-se avaliar o valor da função objetivo f (p) em

três pontos, A, B e C, ou seja, faz-se αk = A, αk = B e αk = C, para os quais os valores da função objetivo

f (p) são, então, dados pela Eq. (3.28)

𝑓𝐴 = 𝑎 + 𝑏 𝐴 + 𝑐 𝐴2

𝑓𝐵 = 𝑎 + 𝑏 𝐵 + 𝑐 𝐵

𝑓𝐶 = 𝑎 + 𝑏 𝐶 + 𝑐 𝐶2

(3.28)

Para facilitar a aplicação do método, escolhe-se A = 0, B = t0 e C = 2 t0, em que t0 é um comprimento

de passo arbitrário, compatível com a ordem de grandeza do parâmetro a ser determinado. Esta escolha

é feita porque já se conhece o valor da função objetivo f (p) para A = 0, reduzindo-se assim uma avaliação

da função objetivo f (p). Dessa forma, a solução da Eq. (3.28) se reduz às Eqs. (3.29) a (3.32).

𝑎 = 𝑓𝐴 (3.29)

𝑏 =4 𝑓𝐵 − 3 𝑓𝐴 − 𝑓𝐶

2 𝑡0 (3.30)

𝑐 =𝑓𝑐 + 𝑓𝐴 − 2 𝑓𝐵

2 𝑡02 (3.31)

𝛼𝑘 =4 𝑓𝐵 − 3 𝑓𝐴 − 𝑓𝐶

4 𝑓𝐵 − 2 𝑓𝐶 − 2 𝑓𝐴 𝑡0 (3.32)

O algoritmo (Rao, 2009) apresentado na Tab. (3.7) pode ser utilizado para determinar o

comprimento de passo αk, garantindo ainda que a constante c é, de fato, positiva (c > 0), conforme a Eq.

(3.27) e que o comprimento de passo αk mínimo se encontra entre 0 e 2 t0 (0 < αk < 2 t0).

34

Tabela 3.7. O algoritmo para o Método da Interpolação Quadrática.

i) Assumindo que fA = f (αk = 0) e um comprimento de passo inicial t0, avaliar a função objetivo

f (p) em t0 e definir f1 = f (αk = t0);

ii) Se f1 > fA, definir fC = f1 e avaliar a função objetivo f (p) em t0/2, definir fB = f (αk = t0/2) e

calcular o comprimento do passo αk de acordo com a Eq. (3.32);

iii) Se f1 ≤ fA, definir fB = f1 e avaliar a função objetivo em 2 t0, definir f2 = f (αk = 2 t0);

iv) Se f2 > f1, definir fC = f2 e calcular o comprimento do passo αk de acordo com a Eq. (3.32);

v) Se f2 < f1, definir f1 = f2 e t0 = 2 t0, e retornar (iii).

35

4 METODOLOGIA

Este capítulo apresenta a metodologia aplicada para o

desenvolvimento deste trabalho, a qual possibilitou a

comparação entre os resultados obtidos para a

inferência de conclusões. Tanto os resultados quanto

as conclusões, então, serão apresentados em capítulos

separados mais a frente neste relatório.

4.1 INTRODUÇÃO

Para que seja possível a análise dos resultados deste e de qualquer outro trabalho, é necessário que

haja uma metodologia padronizada e consistente, que permita ao final do processo a comparação dos

dados obtidos e, finalmente, a inferência de conclusões, alcançando-se então o objetivo do trabalho.

A metodologia utilizada ao longo deste Projeto de Graduação é apresentada detalhadamente nas

seções a seguir, desde os materiais utilizados, passando pelos ensaios de tração aplicados aos corpos de

prova feitos destes materiais e pelo tratamento dos dados experimentais obtidos a partir destes ensaios

e chegando obtenção de valores para a comparação dos resultados e calibração do Método da Máxima

Descida, método numérico multidimensional a ser implementado neste trabalho, e à modelagem do

problema pelo método de elementos finitos (MEF).

Com esta metodologia, o problema em questão pôde ser resolvido, determinando-se ao final do

processo os parâmetros de encruamento dos materiais analisados por ensaio de tração, utilizando-se o

método numérico multidimensional implementado, alcançando-se desta forma o objetivo do trabalho.

4.2 ENSAIO DE TRAÇÃO E TRATAMENTO DOS DADOS EXPERIMENTAIS

Os materiais utilizados para as análises feitas neste trabalho foram algumas ligas de aço, a saber:

▪ Aço 4340, com tratamento térmico de normalização;

▪ Aço 4340, com tratamento térmico de recozimento;

▪ Aço R4, como recebido;

▪ Aço R4, com tratamentos térmicos de têmpera e revenimento;

▪ Aço U2, como recebido; e

▪ Aço U2, com tratamento térmico (para se aproximar das propriedades mecânicas do aço R4

com tratamentos térmicos de têmpera e revenimento).

Os corpos de prova fabricados nos materiais utilizados para este trabalho foram, então, submetidos

a ensaios de tração para a obtenção dos dados experimentais. Estes corpos de prova tinham o formato

cilíndrico apresentado na Fig. (4.1).

36

A região útil dos corpos de prova, isto é, a região que de fato foi analisada e onde fora afixado o clip

gauge, cujo comprimento inicial era L0 = 25 mm, é a região central dos corpos de prova, que possui

diâmetro inicial d0 = 8 mm de seção transversal. Esta região está destacada na Fig. (4.1) pela área

hachurada.

Figura 4.1. Dimensões dos corpos de prova fabricados com materiais analisados neste trabalho para o ensaio de

tração, com a região útil destacada pela área hachurada.

Os dados experimentais obtidos de força F e deslocamento ΔL ao longo do ensaio foram tratados de

tal forma que foi possível calcular todos os dados necessários para o prosseguimento do trabalho.

Primeiramente, foram calculados a tensão σ e a deformação ε no corpo de prova, ponto a ponto, a

partir das Eqs. (2.2) e (2.3) respectivamente. Em seguida, a tensão de escoamento inicial σy0 foi

determinada, utilizando-se para isso do critério de 0,2% da deformação ε.

Dessa forma, uma reta paralela à curva tensão-deformação na região puramente elástica (região

linear) foi traçada a partir do ponto de 0,2% de deformação ε. Então, a equação da reta auxiliar foi obtida

por regressão linear e, com esta equação, valores para a tensão σ com a deformação ε defasada em 0,002

foram calculados. O ponto em que a curva completa de tensão-deformação e a reta se cruzam é

considerado como o ponto em que se observa a tensão de escoamento inicial σy0 dos materiais. Além

disso, com este procedimento foi possível obter o módulo de elasticidade (ou módulo de Young) E dos

materiais, definida pelo coeficiente angular da reta.

37

Logo depois, foram calculadas a tensão verdadeira σv e a deformação verdadeira εv, partindo dos

valores de tensão σ e a deformação ε obtidos anteriormente, pelas Eqs. (2.7) e (2.8) respectivamente.

Com base em todos os dados obtidos até então, os valores de tensão verdadeira σv e a deformação

verdadeira εv que estivessem abaixo da tensão de escoamento inicial σy0 foram desprezados, visto que,

por este trabalho ter como objetivo determinar os parâmetros de encruamento dos materiais, o interesse

está voltado para a região plástica da curva de tensão-deformação verdadeira.

Por fim, o ponto de máxima tensão verdadeira σv,máx foi determinado e os valores de tensão

verdadeira σv e a deformação verdadeira εv que estivessem acima deste máximo também foram

desprezados, uma vez que o fenômeno do encruamento ocorre apenas até este ponto.

Os dados restantes de tensão verdadeira σv e a deformação verdadeira εv se encontram em uma faixa

entre a tensão de escoamento inicial σy0 e a máxima tensão verdadeira máxima σv,máx, região que se

encontra em regime plástico e na qual ocorre o encruamento dos materiais.

Estes dados serão utilizados para a obtenção da estimativa inicial p(0) para a identificação dos

parâmetros da curva de encruamento pelo método numérico, conforme será explicado mais

detalhadamente na Seção 4.4 deste capítulo.

Os principais resultados obtidos a partir do tratamento dos dados experimentais são apresentados

nas Tabs. (4.1) a (4.3) a seguir, divididos respectivamente em região elástica, limite de resistência à

tração (LRT) e região plástica e de ruptura. Além destes resultados, as curvas força-deslocamento e as

curvas tensão-deformação (tanto de engenharia quanto verdadeira) para cada material são apresentadas

nas Fig. (4.2) e (4.3).

Tabela 4.1. Resultados obtidos a partir do tratamento dos dados experimentais para a região elástica.

Material

Resultados para a Região Elástica

E [GPa] σy0 [MPa] εy0 [ ] (%) Fy0 [kN] ΔLy0 [mm]

Aço 4340 normalizado 197,9 693,9 0,547 34,85 0,1367

Aço 4340 recozido 203,1 492,5 0,308 24,74 0,0769

Aço R4 como recebido 206,0 693,9 0,535 34,86 0,1337

Aço R4 com trat. térmico 204,9 910,4 0,485 45,79 0,1213

Aço U2 como recebido 202,2 344,7 0,278 17,33 0,0696

Aço U2 com trat. térmico 205,1 902,5 0,478 45,37 0,1194

38

Tabela 4.2. Resultados obtidos a partir do tratamento dos dados experimentais para o limite de

resistência à tração (LRT).

Material

Resultados para o Limite de Resistência à Tração

σlrt [MPa] εlrt [ ] (%) Flrt [kN] ΔLlrt [mm]

Aço 4340 normalizado 1053,7 7,342 52,94 1,8354

Aço 4340 recozido 703,2 11,513 35,33 2,8783

Aço R4 como recebido 926,7 5,613 46,58 1,4032

Aço R4 com trat. térmico 962,2 6,426 48,37 1,6066

Aço U2 como recebido 601,7 15,506 30,24 3,8765

Aço U2 com trat. térmico 952,8 5,925 47,89 1,4814

Tabela 4.3. Resultados obtidos a partir do tratamento dos dados experimentais para a região plástica e

de ruptura.

Material

Resultados para a Região Plástica e de Ruptura

σv,máx [MPa] σr [MPa] εmáx [ ] (%) ΔLmáx [mm]

Aço 4340 normalizado 1144,3 1035,0 10,319 2,5797

Aço 4340 recozido 807,5 456,8 24,772 6,1930

Aço R4 como recebido 990,0 903,2 8,872 2,2180

Aço R4 com trat. térmico 1031,1 940,8 8,545 2,1363

Aço U2 como recebido 700,8 598,5 16,870 4,2175

Aço U2 com trat. térmico 1013,8 925,5 8,002 2,0006

39

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41

4.3 MODELAGEM DO PROBLEMA PELO MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

O problema de ensaio de tração unidimensional ao longo do eixo do corpo de prova cilíndrico pode

ser tratado como um problema axissimétrico, isto é, é um problema que é simétrico em planos que

passam pelo eixo do corpo de prova cilíndrico.

Portanto, em uma análise por elementos finitos, não é necessário fazer a simulação do problema em

um corpo de prova virtual completo com suas três dimensões, basta fazer a simulação do problema em

uma seção plana do corpo de prova que passe pelo eixo deste. Assim, um problema tridimensional (3D)

pode ser resolvido de forma equivalente por meio de um problema bidimensional (2D), que é muito

mais simples e, consequentemente, muito mais rápido, envolvendo um menor custo computacional.

Além disso, também devido ao fato de o problema ser axissimétrico, esta seção plana por ser dividida

pelo eixo do corpo de prova (que também é o eixo de simetria) em duas metades (esquerda e direita).

Por fim, a seção plana já dividida em duas metades pode ser novamente dividida em duas metades,

sendo agora uma acima e outra abaixo da seção transversal intermediária do corpo de prova cilíndrico.

Assim, apenas um quarto da seção plana do corpo de prova que passa pelo eixo precisa ser simulado

pelo método de elementos finitos (MEF), conforme está ilustrado na Fig. (4.4). Dessa maneira, menos

nós e menos elementos são necessários para calcular as variáveis do problema numericamente, também

simplificando a resolução do problema, aumentando a agilidade e reduzindo o custo computacional.

Figura 4.4. Simplificação de um problema axissimétrico tridimensional (3D) para um problema bidimensional

(2D) utilizando apenas um quarto da seção plana que passa pelo eixo de simetria.

42

Contudo, devido a esta simplificação, os valores para o deslocamento ΔL devem ser divididos pela

metade, em conformidade com a divisão da seção plana em duas metades, já que é considerado que

metade do deslocamento ΔL ocorre na metade superior da seção plana e que outra metade do

deslocamento ΔL ocorre na metade inferior da seção plana. Os valores para a força F, por outro lado,

permanecem os mesmos.

Em relação a malha que de fato foi utilizada nas simulações pelo método de elementos finitos, esta

é apresentada na Fig. (4.5). Para todos os materiais analisados, a malha utilizada foi a mesma, uma malha

estrutura constituída de 561 nós e 500 elementos. Trata-se de uma malha relativamente grossa, escolhida

dessa maneira para que fosse obtida a convergência de forma mais rápida.

Os elementos são quadrilaterais de quatro nós e o método de integração utilizado foi a integração

completa com quatro pontos de Gauss. Um resumo destas informações a respeito das propriedades

utilizadas pelo método de elementos finitos se encontra na Tab. (4.4) apresentada a seguir.

Figura 4.5. Malha utilizada nas simulações feitas pelo método de elementos finitos (MEF).

Tabela 4.4. Propriedades utilizados pelo método de elementos finitos (MEF).

Características do Método de Elementos Finitos (MEF)

Malha estruturada grossa

561 nós

500 elementos

Elementos quadrilaterais de quatro nós

Integração completa com quatro pontos de Gauss

43

O critério de parada do método de elementos finitos é atingido quando o deslocamento ΔL é tal que

se tem a máxima força F exercida sobre o corpo de prova, uma vez que após este ponto a tensão limite

de resistência à tração σlrt é superada e não se observa mais o fenômeno de encruamento na matriz do

material. Devido às simplificações para a aplicação do método de elementos finitos apresentadas

anteriormente, o valor utilizado para o critério de parada é de metade do deslocamento (ΔL/2).

Os valores de deslocamento ΔL para os quais se tem a máxima força F e os respectivos valores de

metade do deslocamento (ΔL/2), que é utilizado como critério de parada, para cada material utilizado

são apresentados na Tab. (4.5).

Tabela 4.5. Valores de máxima força F e respectivos valores de deslocamento ΔL e metade de

deslocamento (ΔL/2), este último utilizado para o critério de parada do MEF.

Material Força

F [N]

Deslocamento

ΔL [mm]

Metade do deslocamento

(ΔL/2) [mm]

Aço 4340 normalizado 52938,2 1,8354 0,9177

Aço 4340 recozido 35329,9 2,8783 1,4391

Aço R4 como recebido 46582,8 1,4032 0,7016

Aço R4 com trat. térmico 48366,9 1,6066 0,8033

Aço U2 como recebido 30242,4 3,8765 1,9383

Aço U2 com trat. térmico 47892,7 1,4814 0,7407

4.4 OBTENÇÃO DE VALORES PARA COMPARAÇÃO DE RESULTADOS

Após o tratamento dos dados experimentais conforme explicado na Seção 4.2 e a obtenção dos

valores de tensão verdadeira σv e de deformação verdadeira εv para a região elastoplástica, na qual ocorre

o fenômeno do encruamento no material, os dados foram tratados por mais um passo para a

determinação da estimativa inicial p(0) necessária para a identificação dos parâmetros de encruamento

pelo Método Máxima Descida.

Conforme apresentado no Capítulo 2, o modelo matemático de encruamento dos materiais

relacionando o fenômeno com os parâmetros a serem identificados que será utilizada neste trabalho é o

modelo elastoplástico com endurecimento isotrópico não linear de Ludwick, dado pela Eq. (2.10).

Assim, os parâmetros que se deseja determinar são σy0, H e n. Contudo, a tensão de escoamento

inicial σy0 é já conhecido, conforme foi apresentado também na Seção 4.2, durante a explicação sobre o

tratamento dos dados experimentais. Portanto, apenas os outros dois parâmetros precisam ser estimados.

44

Para isso, o software MATLAB® foi utilizado. Os valores de tensão verdadeira σv e de deformação

verdadeira εv para a região plástica foram, então, inseridos no software e, com auxílio de uma de suas

funções, nlinfit, a estimativa inicial p(0) para cada um dos parâmetros restantes pôde ser obtida.

O algoritmo utilizado, desenvolvido pelo Prof. Dr. Lucival Malcher e modificado para se adequar a

este trabalho, se encontra no Anexo I ao final deste relatório. Os valores obtidos com auxílio da função

nlinfit do MATLAB® para a estimativa inicial dos parâmetros H e n, além do valor obtido para a

estimativa inicial do parâmetro σy0, são apresentados na Tab. (4.6) e na Fig. (4.6) a seguir.

Além disso, as curvas tensão-deformação verdadeira para os dados experimentais e para os

resultados obtidos pela função nlinfit do MATLAB® para os materiais analisados neste trabalho são

apresentadas na Fig. (4.7), mostrando o ajuste entre as curvas obtidas por este método.

Tabela 4.6. Valores para a estimativa inicial dos parâmetros σy0, H e n obtidos com auxílio da função

nlinfit do MATLAB® para os aços analisados neste trabalho.

Material Parâmetros

σy0 [MPa] H [MPa] n [ ]

Aço 4340 normalizado 693,9 1222,5 0,370

Aço 4340 recozido 492,5 983,2 0,533





Figura 4.6. Gráfico em mono-log com os valores para a estimativa inicial dos parâmetros σy0, H e n obtidos com

auxílio da função nlinfit do MATLAB® para os aços analisados neste trabalho.

45

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46

É interessante notar a partir da Tab. (4.6) e da Fig. (4.6) que a tensão de escoamento σy0 e o módulo

de endurecimento isotrópico H têm ordem de grandeza 103 e que o módulo de endurecimento isotrópico

H é sempre maior que a tensão de escoamento inicial σy0 (pelo menos para os materiais analisados neste

trabalho), enquanto que o expoente de encruamento n tem ordem de grandeza 10-1 e está sempre entre 0

e 1, isto é, 0 < n < 1. Estas observações são importantes para a sequência deste trabalho, já que ajudam

a definir uma estimativa inicial para os parâmetros a serem determinados pelo método numérico.

4.5 ALGORITMO DE IDENTIFICAÇÃO DE PARÂMETROS

O último passo para que finalmente seja feita a identificação de parâmetros de encruamento dos

materiais é o processamento pelo programa PARFINDER3, desenvolvido para este trabalho pelo

presente autor com orientação do Prof. Dr. Lucival Malcher e apresentado no Anexo II deste relatório.

Conforme já foi mencionado, o programa PARFINDER3 utiliza o Método da Máxima Descida, um

método numérico multidimensional, para que ao final de sua rotina sejam determinados os parâmetros

de encruamento dos materiais analisados.

O usuário do programa precisa informar apenas uma estimativa inicial para o vetor de parâmetros

p(0), além de uma tolerância tol. Como opcional, o usuário do programa pode informar também um valor

multiplicador para o cálculo do comprimento do passo, para acelerar ou desacelerar o processo, o que

dependendo do caso pode ser aconselhável.

O usuário pode também, caso deseje, alterar os valores de perturbação para o cálculo numérico do

gradiente da função objetivo ou os valores de perturbação para o cálculo do comprimento do passo, o

que é, contudo, desencorajado, porque os valores presentes no código foram selecionados após

exaustivas iterações do código e são compatíveis com a natureza do problema.

O programa, então, faz todo o processamento necessário para a determinação dos parâmetros de

encruamento do material, conforme apresentado ao longo deste trabalho.

É necessário, ainda, que os dados experimentais, a malha, as condições de contorno e o programa

de elementos finitos HYPLAS© (Souza Neto et at, 1996–2001) estejam todos no mesmo diretório do

programa PARFINDER3, para que estes possam interagir entre si iterativamente de forma adequada.

Ao final do processamento, o programa apresenta os resultados para valores para os parâmetros σy0,

H, e n e, ainda, o valor final para a função objetivo f (p), o tempo de processamento t necessário para a

convergência e o número de iterações.

Os resultados obtidos para os materiais utilizados neste trabalho são apresentados no Capítulo 5,

além de uma breve análise geral a respeito do método, a qual é, então, aprofundada nas conclusões

apresentadas em seguida, no Capítulo 6.

47

5 APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS

Este capítulo apresenta os resultados obtidos neste

trabalho a partir dos dados experimentais disponíveis

e da metodologia, apresentada no Capítulo 4, que

permitem a inferência de importantes conclusões a

respeito do tema do Projeto de Graduação, que por sua

vez serão apresentadas no Capítulo 6.

5.1 INTRODUÇÃO

Conforme mencionado ao longo deste relatório, o método numérico multidimensional

implementado e utilizado para determinar os parâmetros de encruamento dos materiais dúcteis por

ensaio de tração para este trabalho foi o Método da Máxima Descida.

Os resultados foram obtidos após um tratamento prévio dos dados experimentais obtidos, conforme

explicado no Capítulo 4, para as seguintes ligas de aço:

▪ Aço 4340 normalizado;

▪ Aço 4340 recozido;

▪ Aço R4 como recebido;

▪ Aço R4 com tratamento térmico;

▪ Aço U2 como recebido; e

▪ Aço U2 com tratamento térmico.

5.2 DETERMINAÇÃO DA ESTIMATIVA INICIAL E DO CRITÉRIO DE PARADA

Para possibilitar a análise do desempenho do método numérico de otimização utilizado, a simulação

numérica foi feita seguindo sempre uma mesma lógica de forma sistemática: como os valores para o

módulo de endurecimento isotrópico H obtidos pela função nlinfit do MATLAB® foram sempre

maiores que os valores de tensão de escoamento inicial σy0, decidiu-se utilizar o próprio valor de tensão

de escoamento inicial σy0 como estimativa inicial para o módulo de endurecimento isotrópico H.

Essa escolha também ajuda o método, uma vez que foi observado durante o desenvolvimento do

trabalho que é melhor para o código que o módulo de endurecimento isotrópico H aumente ao invés de

diminuir, porque assim se obtém melhores resultados e um menor tempo de processamento.

Já para o expoente de encruamento n, foram escolhidos dois valores como estimativa inicial: 0,1 e

0,5. Estes valores foram escolhidos também para garantir um procedimento sistemático para a

determinação dos parâmetros de encruamento: como os valores para expoente de encruamento obtidos

pela função nlinfit do MATLAB® variaram entre 0 e 1 (0 < n < 1), uma estimativa inicial de 0,1

garantiria que o resultado final sempre seria melhor que a estimativa inicial e uma estimativa inicial de

0,5 se encontra no centro do intervalo observado para este parâmetro.

48

As estimativas iniciais para os parâmetros σy0, H e n, determinadas conforme explicado

anteriormente são apresentadas de forma resumida na Tab. (5.1).

Tabela 5.1. Critérios para a escolha das estimativas iniciais para os parâmetros σy0, H e n para os

materiais analisados neste trabalho.

Parâmetro Critério

σy0 Tensão de escoamento inicial σy0 obtida

pelos dados experimentais

H Igual à estimativa inicial para σy0

n 0,1 e 0,5

Foram adotados dois critérios de parada para o método. O primeiro critério de parada adotado foi

que a diferença entre o valor da função objetivo f (p) entre uma iteração e outra deveria ser menor do

que 10-3, porque se observou ao longo do trabalho que para tal diferença os resultados eram satisfatórios

e não variavam consideravelmente entre uma iteração e outra.

O outro critério adotado foi que o valor da função objetivo f (p) deveria ser menor que 3×10-2,

novamente porque se observou ao longo do trabalho que para este valor os resultados eram, em geral,

satisfatórios, apesar de variar de um material para outro. Assim, o código convergia e parava o processo

de iteração quando ambos os critérios fossem atingidos simultaneamente.

5.3 RESULTADOS OBTIDOS

Os resultados obtidos para os parâmetros σy0, H e n pelo Método da Máxima Descida, o valor final

da função objetivo f (p), o tempo de processamento t e o número de iterações obtidos para o aço 4340

normalizado, para o aço 4340 recozido, para o aço R4 como recebido, para o aço R4 com tratamento

térmico, para o aço U2 como recebido e para o aço U2 com tratamento térmico são mostrados nas

Subseções 5.3.1 a 5.3.6 a seguir, pelas Tabs. (5.2) a (5.7) e pelas Figs. (5.1) a (5.9).

Para o processamento do método, foi utilizado um laptop fabricado pela empresa Dell Inc., modelo

Vostro 5480, com sistema operacional Windows 10 Home Single Language de 64 bits da Microsoft

Corporation©, 5ª geração do processador Intel® Core™ i7-5500U CPU @ 2.40 GHz com base em x64 e

placa de vídeo NVIDIA® GeForce® 830M com memória dedicada de 2 GB, sempre conectado à fonte

de energia elétrica principal, no plano de energia “Equilibrado (recomendável)”.

A análise e o resumo dos resultados obtidos são apresentados após estas subseções, ao final do

capítulo, com os valores obtidos para os parâmetros σy0, H e n pelo Método da Máxima Descida

compilados na Tab. (5.8) e com a comparação entre o método numérico multidimensional e a função

nlinfit do MATLAB®, cujos valores foram apresentados na Tab. (4.6) do Capítulo 4, na Tab. (5.9).

49

Dessa forma, é possível inferir conclusões para o método numérico multidimensional desenvolvido

e implementado neste trabalho. Conclusões mais aprofundadas sobre o método e sobre o trabalho como

um todo serão apresentados em seguida, no Capítulo 6.

5.3.1 Aço 4340 normalizado

Começando pelo aço 4340 normalizado, os resultados obtidos para os parâmetros σy0, H e n, para

função objetivo f (p), tempo de processamento t e número de iterações pelo Método da Máxima Descida

são apresentados na Tab. (5.2). Além disso, as curvas força-deformação experimental e numérica obtidas

pelo Método da Máxima Descida para o aço 4340 normalizado são apresentadas nas Figs. (5.1) e (5.2).

Tabela 5.2. Resultados obtidos para os parâmetros σy0, H e n, para a função objetivo, tempo e número de

iterações para o aço 4340 normalizado.

Aço 4340 normalizado

Estimativa

inicial para n σy0 [MPa] H [MPa] n [ ] f (p) t [min]

Nº. de

iterações.

0,1 693,9 1196,9 0,364 2,99×10-2 89,31 75

0,5 693,9 1282,2 0,386 2,75×10-2 11,47 7

Figura 5.1. Curvas força-deslocamento para os dados experimentais e para o Método da Máxima Descida para o

aço 4340 normalizado com estimativa inicial para o expoente de encruamento n de 0,1.

50


aço 4340 normalizado com estimativa inicial para o expoente de encruamento n de 0,5.

5.3.2 Aço 4340 recozido

Para o aço 4340 recozido, os resultados obtidos para os parâmetros σy0, H e n, e para função objetivo

f (p), tempo de processamento t e número de iterações pelo Método da Máxima Descida são apresentados

na Tab. (5.3). As curvas força-deformação experimental e numérica obtidas pelo Método da Máxima

Descida para o aço 4340 recozido são mostradas nas Figs. (5.3) e (5.4).


iterações para o aço 4340 recozido.

Aço 4340 recozido

Estimativa


Nº. de

iterações.

0,1 492,5 1087,8 0,560 2,99×10-2 105,78 83

0,5 492,5 1088,4 0,560 2,99×10-2 62,68 43

51


aço 4340 recozido com estimativa inicial para o expoente de encruamento n de 0,1.


aço 4340 recozido com estimativa inicial para o expoente de encruamento n de 0,5.

52

5.3.3 Aço R4 como recebido

Para o aço R4 como recebido, os resultados para os parâmetros σy0, H e n, função objetivo f (p),

tempo de processamento t e número de iterações são apresentados na Tab. (5.4) e as curvas força-

deformação experimental e numérica são mostradas nas Fig. (5.5).

Para o caso do aço R4 como recebido, optou-se por apresentar apenas os resultados obtidos para a

estimativa inicial para o expoente de encruamento n de 0,1, devido ao fato que, para este material,

somente para este material e somente para este caso de estimativa inicial para o expoente de encruamento

n de 0,5, os resultados obtidos não foram satisfatórios e, por isso, foram desconsiderados.


iterações para o aço R4 como recebido.

Aço R4 como recebido

Estimativa


Nº. de

iterações.

0,1 693,9 701,1 0,288 2,47×10-2 22,98 13

0,5 - - - - - -


aço R4 como recebido com estimativa inicial para o expoente de encruamento n de 0,1.

53

5.3.4 Aço R4 com tratamento térmico

Para o aço R4 com tratamento térmico, os resultados obtidos para os parâmetros σy0, H e n, função

objetivo f (p), tempo de processamento t e número de iterações são apresentados na Tab. (5.5) e as curvas

força-deformação experimental e numérica são mostradas nas Fig. (5.6).

Para o caso do aço R4 com tratamento térmico, optou-se por apresentar apenas os resultados obtidos

para a estimativa inicial para o expoente de encruamento n de 0,5, devido ao fato que, para este material,

o valor para o expoente de encruamento n obtido pela função nlinfit do MATLAB® foi muito maior que

0,1, conforme pode ser observado na Tab. (4.6), assim o tempo de processamento t seria muito elevado.


iterações para o aço R4 com tratamento térmico.


Estimativa


Nº. de

iterações.

0,1 - - - - - -

0,5 910,4 1437,4 0,886 4,98×10-3 97,43 104


aço R4 com tratamento térmico com estimativa inicial para o expoente de encruamento n de 0,5.

54

5.3.5 Aço U2 como recebido

Para o aço U2 como recebido, os resultados obtidos para σy0, H e n, função objetivo f (p), tempo de

processamento t e número de iterações pelo Método da Máxima Descida são apresentados na Tab. (5.6).

As curvas força-deformação experimental e numérica obtidas pelo Método da Máxima Descida para o

aço U2 como recebido são mostradas nas Figs. (5.7) e (5.8).


iterações para o aço U2 como recebido.

Aço U2 como recebido

Estimativa


Nº. de

iterações.

0,1 344,7 805,9 0,415 2,97×10-2 79,44 67

0,5 344,7 942,3 0,465 2,59×10-2 34,25 18


aço U2 como recebido com estimativa inicial para o expoente de encruamento n de 0,1.

55


aço U2 como recebido com estimativa inicial para o expoente de encruamento n de 0,5.

5.3.6 Aço U2 com tratamento térmico

Para o aço U2 com tratamento térmico, os resultados obtidos para os parâmetros σy0, H e n, função

objetivo f (p), tempo de processamento t e número de iterações são apresentados na Tab. (5.7) e as curvas

força-deformação experimental e numérica são mostradas nas Fig. (5.9).

Assim como ocorreu para o caso do aço R4 com tratamento térmico, para o aço U2 com tratamento

térmico se optou por apresentar apenas os resultados obtidos para a estimativa inicial para o expoente

de encruamento n de 0,5, já que o valor para o expoente de encruamento n obtido pela função nlinfit do

MATLAB® foi muito maior que 0,1 e, assim, o tempo de processamento t seria muito elevado.


iterações para o aço U2 com tratamento térmico.


Estimativa


Nº. de

iterações.

0,1 - - - - - -

0,5 902,5 1223,8 0,821 3,99×10-3 55,84 37

56


aço U2 com tratamento térmico com estimativa inicial para o expoente de encruamento n de 0,5.

5.4 ANÁLISE DOS RESULTADOS

Analisando-se primeiramente as Figs. (5.1) a (5.9), é possível dizer que o ajuste das curvas para o

Método da Máxima Descida foi satisfatório, o que é confirmado quando se observa que o valor da função

objetivo f (p), que compara os dados experimentais com os resultados obtidos pelo método numérico de

otimização associado ao Método de Elementos Finitos (MEF), é menor que 3×10-2 para todos os casos.

Além disso, comparando-se os resultados obtidos pelo Método da Máxima Descida com os

resultados obtidos pela função nlinfit do MATLAB®, confirma-se que os valores obtidos são uma boa

aproximação para os parâmetros de encruamento dos materiais analisados neste trabalho, conforme pode

ser observado na Tab. (5.9).

Em relação ao tempo de processamento, é interessante notar como a estimativa inicial para o

expoente de encruamento n influenciou neste aspecto. Em geral, para a estimativa inicial para o expoente

de encruamento n de 0,1, o tempo de processamento foi mais elevado que o tempo de processamento

para a estimativa inicial para o expoente de encruamento n de 0,5.

De fato, o menor tempo de processamento foi obtido para uma estimativa inicial para o expoente de

encruamento n de 0,5 – para o aço 4340 normalizado, apenas 7 iterações em 11,47 minutos, o que é um

tempo de processamento bastante baixo –, enquanto que o maior tempo de processamento foi obtido

57

para uma estimativa inicial para o expoente de encruamento n de 0,1 – para o aço 4340 recozido, 83

iterações em 105,78 minutos, quase 2 horas, o que representa um tempo elevadíssimo.

Isso possivelmente pode ser explicado pelo fato de que a estimativa inicial para o expoente de

encruamento n de 0,5 é mais próxima do resultado final do que a estimativa inicial para o expoente de

encruamento n de 0,1 em todos os casos. De fato, era de se esperar que quanto mais distante do valor

correto para o parâmetro, maior fosse o tempo de processamento.

Por outro lado, é muito importante observar que, independentemente da estimativa inicial para o

expoente de encruamento n, os resultados foram muito próximos uns dos outros para um mesmo

material, o que é um fator muito positivo.

Tabela 5.8. Resultados finais para os parâmetros σy0, H e n para os materiais analisados neste trabalho

obtidos pelo Método da Máxima Descida desenvolvido e implementado.

Material Parâmetros

σy0 [MPa] H [MPa] n [ ]

Aço 4340 normalizado 693,9 1282,2 0,386

Aço 4340 recozido 492,5 1088,4 0,560





Tabela 5.9. Comparativo, em percentual, dos resultados obtidos para os parâmetros σy0, H e n pelo

Método da Máxima Descida e pela função nlinfit do MATLAB®.

Material Método da Máxima Descida × nlinfit

H [MPa] n [ ]

Aço 4340 normalizado 4,9% 4,4%

Aço 4340 recozido 10,7% 5,1%

Aço R4 como recebido -2,9% -6,1%

Aço R4 com trat. térmico -11,6% -5,3%

Aço U2 como recebido 1,7% 0,5%

Aço U2 com trat. térmico -8,6% -4,3%

58

6 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

Este capítulo apresenta as conclusões obtidas a partir

da metodologia aplicada e dos resultados obtidos para

a determinação de parâmetros de encruamento de

materiais dúcteis por ensaio de tração utilizando um

método numérico multidimensional, bem como

recomendações para trabalhos futuros.

6.1 CONCLUSÕES

Conforme foi possível observar no capítulo anterior, quando foram feitas as análises dos resultados,

pode-se dizer que os valores obtidos para os parâmetros de encruamento dos materiais analisados neste

trabalho pelo Método da Máxima Descida foram satisfatórios.

As curvas de força-deslocamento utilizadas para comparação entre os dados experimentais e os

dados numéricos pelo método dos mínimos quadrados tiveram um bom ajuste entre si e os valores finais

obtidos para a função objetivo f (p) foram consideravelmente baixos.

Além disso, os valores obtidos pelo método desenvolvido e implementado no trabalho se

aproximaram bastante dos valores obtidos pela função nlinfit do MATLAB®. Vale lembrar e ressaltar

aqui que o Método da Máxima Descida utiliza dados de força e deslocamento, enquanto que a função

nlinfit utiliza dados de tensão e deformação verdadeiras, o que pode também causar e explicar alguma

diferença entre os resultados obtidos.

Apesar de o tempo de processamento para a maioria dos casos ter sido relativamente alto, fator

negativo do método, a independência dos resultados em relação à estimativa inicial é um ponto muito

positivo do método implementado, já que nem sempre os valores para os parâmetros de encruamento

dos materiais são de fácil acesso na literatura, de forma que não é necessário saber algum valor

previamente para que seja obtido um bom resultado final.

Além disso, a independência de um intervalo em que o parâmetro deve estar contido para que o

método numérico alcance a convergência é outro ponto muito positivo do método numérico

multidimensional implementado, já que a possibilidade se cometer erros ou de não se obter a

convergência diminui consideravelmente.

O alto tempo de processamento, característica negativa até então do método, pode ter origem em

alguns fatores observados ao longo do trabalho, como por exemplo a malha utilizada pelo Método de

Elementos Finitos que pode estar muito mais refinada do que o necessário; a tolerância e o critério de

parada muito pequenos e muito rigorosos. Estes são fatores que poderiam ser corrigidos com o

aprimoramento e a calibração do código desenvolvido ao longo de um semestre.

59

Fatores que contribuem para o elevado tempo de processamento e que seria mais difíceis de ser

corrigidos incluem, principalmente, a utilização do Método de Elementos Finitos (MEF) para o cálculo

do gradiente da função, que é feito, ainda, de maneira individual para cada parâmetro a ser determinado,

e para o cálculo do comprimento do passo, que precisa de algumas iterações para acontecer. É difícil

pensar em alguma outra maneira de se calcular o gradiente numericamente sem se utilizar o Método de

Elementos Finitos, mas para o caso do comprimento do passo há formas de se acelerar seu cálculo,

sendo necessário apenas algum tempo para calibrar e acertar algum fator multiplicador que auxiliasse

nessa questão.

Outra limitação do método desenvolvido foi a possibilidade não excluída de localização de mínimos

locais ao longo do processo, ao invés do mínimo global da função objetivo f (p). Isso foi observado, por

exemplo, para o aço R4 como recebido, que obteve um resultado ruim para a estimativa inicial para o

expoente de encruamento n de 0,5, única caso, porém, que este fato ocorreu durante todo o trabalho,

sendo, então, considerado como uma exceção, como de fato é.

Observou-se que a estimativa inicial para o expoente de encruamento n influenciou

consideravelmente no tempo de processamento, como era de se esperar, porém não influenciou nos

resultados obtidos, o que é um bom sinal para o método desenvolvido, visto que isso significa que os

resultados independem da estimativa inicial.

6.2 RECOMENDAÇÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

Como recomendações para trabalhos futuros para a continuação deste Projeto de Graduação ou para

outros trabalhos na mesma vertente, dá-se algumas orientações baseadas na experiência de ter abordado

o tema de métodos numéricos para a determinação de parâmetros de encruamento dos materiais.

Pode-se utilizar um modelo matemático de encruamento diferente, para verificar se o ajuste da curva

e o valor da função objetivo f (p) melhoram em relação ao modelo utilizado neste trabalho, o modelo de

endurecimento isotrópico não-linear de Ludwick. Apesar de o ajuste da curva ter sido considerado

satisfatório e o valor da função objetivo f (p) ter sido bastante pequeno para a maioria dos casos, é

possível que estes sejam melhores com modelos mais adequados para os materiais analisados neste

trabalho.

Pode-se também implementar o Método BFGS, um método numérico multidimensional com

convergência quadrática e, portanto, muito mais rápido e eficiente que muitos outros métodos

numéricos, inclusive que o Método da Máxima Descida, aqui implementado.

Por fim, pode-se ainda avaliar a implementação de métodos numéricos híbridos, que nada mais são

que a combinação de dois ou mais métodos numéricos, de forma a agregar as vantagens de cada um e

diminuir as desvantagens de ambos. Um método híbrido poderia então, por exemplo, combinar a

eficiência do Método BFGS e a precisão de um método evolucionário, que evita que o problema de

otimização encontre mínimos locais, mas que por outro lado é bastante moroso.

60

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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2004.

CALLISTER, W.D.; RETHWISCH, D. G. Fundamentals of materials science and engineering: an

integrated approach. 4. ed. Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, Inc., 2012.

CALLISTER, W.D.; RETHWISCH, D. G. Materials science and engineering: an introduction. 8. ed.

Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, Inc., 2009.

KHAN, A. S.; HUANG, S. Continuum theory of plasticity. 1. ed. New York, New York: John Wiley

& Sons, Inc., 1995.

KLEINERMANN, J. P.; PONTHOT, J. P. Parameter identification and shape/process optimization in

metal forming simulation. Journal of materials processing technology, v. 139, p. 521–526,

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LOPES, J. P. Análise de vida à fadiga sob carregamentos não proporcionais através de modelo de

dano contínuo. 2016. 183 p. Dissertação (Mestrado em Ciências Mecânicas) – Departamento de

Engenharia Mecânica, Universidade de Brasília, Brasília, Distrito Federal.

MACHADO, L. Q. Determinação de parâmetros de encruamento de materiais dúcteis através de

um ensaio de dureza. 2016. 77 p. Dissertação (Graduação em Engenharia Mecânica) –

Departamento de Engenharia Mecânica, Universidade de Brasília, Brasília, Distrito Federal.

MAHNKEN, R. Theoretical, numerical and identification aspects of a new model class for ductile

damage. International journal of plasticity, v. 18, p. 801–831, Elsevier, 2 May 2002.

PONTHOT, J. P.; KLEINERMANN, J. P. A cascade optimization methodology for automatic parameter

identification and shape/process optimization in metal forming simulation. Computer methods in

applied mechanics and engineering, v. 195, p. 5472–5508, North-Holland, 15 Aug. 2006.

RAMBERG, W.; OSGOOD, W. R. Description of stress-strain curves by three parameters.

Washington, District of Columbia: National Advisory Committee For Aeronautics, 1943. 21 p.

(Technical Note No. 902).

RAO, S. S. Engineering optimization: theory and practice. 4. ed. Hoboken, New Jersey: John Wiley

& Sons, Inc., 2009.

SOUZA NETO, E. A.; PERIĆ, D.; OWEN, D. R. J. Computational methods for plasticity: theory and

applications. Chichester, West Sussex: John Wiley & Sons Ltd, 2008.

STAHLSCHMIDT, J. Estudos de identificação de parâmetros elasto-plásticos utilizando métodos

de otimização. 2010. 99 p. Dissertação (Mestrado em Ciência e Engenharia de Materiais) – Centro

de Ciências Tecnológicas, Universidade do Estado de Santa Catarina, Joinville, Santa Catarina.

61

ANEXOS

Pág.

Anexo I Algoritmo em MATLAB® para determinação da estimativa inicial 62

Anexo II PARFINDER 3 – Algoritmo em MATLAB® para identificação de parâmetros 63

62

ANEXO I: Algoritmo em MATLAB® para determinação da estimativa inicial

close all clear all % clc

%% Ler dados do primeiro worksheet para um array numerico: load dados4340norm.txt A = dados4340norm;

% Separacao das variaveis independente (x) e dependente (y): x_R4 = A(:, 1); y_R4 = A(:, 2);

% MaxIter = 10000; % opts = statset('MaxIter',MaxIter);

%% Fitting data with the Power Equation

x = x_R4; y = y_R4;

% Grafico - dado Experimental plot(x,y,'o') hold on

%% Usando a funcao nlinfit

% Passo necessario para evitar overflowing X = x; y = y;

% Modelo da funcao sigma_y0 = y_R4(1); modelfun = @(b, x) (sigma_y0 + b(1) * (x.^(b(2)))); beta0 = [1000 0.5]; % Cálculos dos coeficientes mdl = nlinfit(X,y,modelfun, beta0);%opts);

% Equacao de Ramberg-Osgood y_mdl = sigma_y0 + mdl(1)* (x.^(mdl(2)));

% Grafico nlinfit plot (X, y_mdl, 'r*') set(gcf,'Color','white') grid on xlabel('Deformação verdadeira \epsilon_v [ ]') ylabel('Tensão verdadeira \sigma_v [MPa]') legend('Dados experimentais', 'Regressão usando

nlinfit','Location','NorthWest')

disp(mdl)

63

ANEXO II: PARFINDER 3 – Algoritmo em MATLAB® para determinação de parâmetros

%% Projeto de Graduação % Universidade de Brasília % Faculdade de Tecnologia % Departamento de Engenharia Mecânica

% Implementação de Método Numérico Multidimensional para Determinação de % Parâmetros de Encruamento de Materiais Dúcteis por Ensaio de Tração

% Professor Orientador: Dr. Lucival Malcher % Aluno: Bruno Arruda da Silva Matrícula: 11/0009509

%% Parfinder3

function parfinder3alpha

% Função 'parfinder3alpha' % % Descrição: Para um comportamento elasto-plástico descrito por n % parâmetros, esta função determina o vetor dos parâmetros (p) através do % método dos mínimos quadrados, utilizando o método multidimensional da % máxima descida, comparando uma resposta experimental a uma resposta % numérica, obtida pelo Método dos Elementos Finitos.

clear all close all clc

% Estimativa Inicial pstart=[910.4; 910.4; 0.5]; n = length(pstart);

% Resolução do problema tstart=tic;

p = mmd(pstart);

t=toc(tstart); thoras=t/3600; tmin=t/60;

graf='N'; f=minquad(p,graf,0);

% Resultados disp('Após otimização, os parâmetros são:') disp(' '); for i=1:n aux=horzcat('p(',num2str(i),') = ',num2str(p(i))); disp(aux); disp(' '); end

64

% Arquivo de saída dos resultados % Título pID=fopen('PARFINDER_OUTPUT.par','w+'); aux=horzcat('\r\n','-------------------------------------------------',... '-------------------------','\r\n','\t\t\t PARFINDER','\r\n',... '-----------------------------------------------------------------',... '---------','\r\n'); fprintf(pID,aux);

% Intervalo inicial aux=horzcat('\r\n','\t\t\t INTERVALOS INICIAIS','\r\n',... '-----------------------------------------------------------------',... '---------','\r\n'); fprintf(pID,aux); aux=horzcat('\tPARÂMETRO\t\tP_SUP\t\t\t P_INF','\r\n',... '-----------------------------------------------------------------',... '---------','\r\n'); fprintf(pID,aux); for i=1:n fprintf(pID,'\t %u\t\t\t%6.2f\r\n',i,... pstart(i)); end

% Resultados aux=horzcat('\r\n','\t\t\t RESULTADOS','\r\n',... '-----------------------------------------------------------------',... '---------','\r\n'); fprintf(pID,aux); aux=horzcat('\tPARÂMETRO\t\t\t\t\t P_ÓTIMO','\r\n',... '-----------------------------------------------------------------',... '---------','\r\n'); fprintf(pID,aux); for i=1:n fprintf(pID,'\t %u\t\t\t \t\t\t %6.2f\r\n',i,... p(i)); end

fprintf(pID,'\r\nA função objetivo é %1.8f\r\n',f);

fprintf(pID,'\r\nForam gastos %4.2f min (%2.2f h) de computação.\n',... tmin,thoras); fclose(pID);

end

%% Método da Máxima Descida

function pot = mmd(pstart)

% Função 'mmd' % % Descrição: método numérico de otimização multidimensional da máxima % descida. Dado uma estimativa inicial, esta função identifica os % parâmetros ótimos que minimizam a função objetivo (minquad). % % Uso: pot = mmd(p) % p: vetor dos parâmetros a serem identificados.

n=length(pstart); % Número de parâmetros tolm=1E-4; % Tolerância do método

65

tolf=3E-3; % Tolerância da função objetivo

% Inicialização do arquivo das iterações: iterID=fopen('PARFINDER_ITEROUT.out','w+'); aux=horzcat('\r\n','\t\t\t REGISTRO DE ITERAÇÕES','\r\n',... '-----------------------------------------------------------------',... '---------','\r\n'); fprintf(iterID,aux); aux=horzcat('\tPARÂMETRO\t\tGLOBAL_ITER\t\tLOCAL_ITER','\r\n',... '-----------------------------------------------------------------',... '---------','\r\n'); fprintf(iterID,aux); fclose(iterID);

% Primeira iteração: pn=pstart;

j=1; erro=0; t2acum = 0;

globitername(j,erro);

graf='Y'; fn=minquad(pn,graf,j); erro=abs(fn); g = grad(pn,fn,n);

if erro<tolf pot=pn; else while erro>tolm || fn>tolf

t_iter=tic;

j=j+1; globitername(j,erro);

d=-sign(g); a=alpha(d,pn,n,fn);

deltap=a.*d;

pn=pn+deltap;

fk=fn; fn=minquad(pn,graf,j);

g=grad(pn,fn,n); % norma=norm(g,2);

erro=abs(fk-fn);

t2=toc(t_iter); t2min=t2/60; t2acum = t2acum + t2min;

iterfile(j,fn,t2min,t2acum);

end

66

pot=pn; end

end

%% Cálculo do gradiente

function g = grad(p,f,n)

% Função 'grad' % % Descrição: função que calcula numericamente o gradiente da função % objetivo a partir de um determinado incremento, compatível com a % ordem de grandeza de cada parâmetro. % % Uso: g = grad(p,f,n) % p: vetor dos parâmetros a serem identificados % f: valor da função objetivo para o vetor de parâmetros atual % n: número de parâmetros a serem identificados

pert=[0; 10; 0.01]; grad=zeros(n,1);

graf='N';

pk=p;

for k=2:n

di=zeros(n,1); di(k)=1; p=p+di.*pert;

f_pert=minquad(p,graf,0); grad(k)=(f_pert-f)/pert(k);

p=pk;

end

g = grad;

end

%% Cálculo do Comprimento do Passo

function alpha = alpha(d,p,n,fn)

% Função 'alpha' % % Descrição: função que calcula numericamente comprimento do passo % para o Método da Máxima Descida a partir de um determinado incremento % compatível com a ordem de grandeza de cada parâmetro, e de um fator % multiplicador (para acelerar ou desacelerar o método), compatível com % a estimativa inicial do parâmetro. % % Uso: alpha = alpha(d,p,n,fn) % d: vetor direção de busca

67

% p: vetor dos parâmetros a serem identificados % n: número de parâmetros a serem identificados % fn: valor da função objetivo para o vetor de parâmetros atual

pert=[0; 10; 0.01]; mult=[0; 1.2; 1]; alpha=zeros(n,1);

graf='N';

for k=2:length(d)

%Stage 1 di=zeros(n,1); di(k)=1; di=di.*mult; S=di.*sign(d(k));

%Stage 2 t0=pert(k);

fA=fn; f1=minquad(p+t0*S,graf,0);

if f1<=fA while f1<=fA fB=f1; f2=minquad(p+2*t0*S,graf,0); if f2>f1 fC=f2; lambda=(4*fB-3*fA-fC)/(4*fB-2*fC-2*fA)*t0; break elseif f2<f1 f1=f2; t0=2*t0; end end elseif f1>fA fC=f1; t0=t0/2; fB=minquad(p+t0*S,graf,0); lambda=(4*fB-3*fA-fC)/(4*fB-2*fC-2*fA)*(t0); % f2=minquad(p+lambda*S,graf,0); % if fB>f2 % fB=f2; % t0=lambda; %elseif fB<f2 %fB=fB; %t0=t0; % end end

% %Stage 3 % % A=0; % B=t0; % C=2*t0; % % a=fA; % b=(4*fB-3*fA-fC)/(2*t0); % c=(fC+fA-2*fB)/(2*t0^2); %

68

% h=a+b*lambda+c*lambda^2; % flambda=minquad(p+lambda*S,graf,0); % crit=abs((h-flambda)/flambda); % % while crit>abs(fn) % if lambda>B && flambda<fB % A=B; fA=fB; % B=lambda; fB=flambda; % %C=C; fC=fC; % elseif lambda>B && flambda>fB % %A=A; fA=fA; % %B=B; fB=fB; % C=lambda; fC=flambda; % elseif lambda<B && flambda<fB % %A=A; fA=fA; % C=B; fC=fB; % B=lambda; fB=flambda; % elseif lambda<B && flambda>fB % A=lambda; fA=flambda; % %B=B; fB=fB; % %C=C; fC=fC; % end % % lambda=(fA*(B^2-C^2)+fB*(C^2-A^2)+fC*(A^2-B^2))/(2*(fA*(B-

C)+fB*(C-A)+fC*(A-B))); % % a=(fA*B*C*(C-B)+fB*C*A*(A-C)+fC*A*B*(B-A))/((A-B)*(B-C)*(C-A)); % b=(fA*(B^2-C^2)+fB*(C^2-A^2)+fC*(A^2-B^2))/((A-B)*(B-C)*(C-A)); % c=-(fA*(B-C)+fB*(C-A)+fC*(A-B))/((A-B)*(B-C)*(C-A)); % % h=a+b*lambda+c*lambda^2; % flambda=minquad(p+lambda*S,graf,0); % crit=abs((h-flambda)/flambda); % % end

alpha(k)=lambda;

end

end

%% Método dos Mínimos Quadrados

function f=minquad(p,graf,j)

% Função 'minquad' % % Descrição: Calcula a função objetivo de acordo com o método dos mínimos % quadrados para a diferença entre a resposta experimental e a resposta % calculada pelo Método dos Elementos Finitos. Assim, dado o conjunto de % parâmetros a serem identificados (p), a função cria um arquivo com os % parâmetros para uso no programa do MEF, lê a curva experimental, chama o % programa de elementos finitos e lê a curva do MEF, para, em seguida, % calcular a função objetivo. % % Uso: f = minquad(p,graf) % p: vetor dos parâmetros a serem identificados; % graf: mostrar ou não o gráfico; % j: número da iteração; % f: valor da função objetivo calculada por mínimos quadrados.

69

% Registro dos parâmetros para uso no programa do MEF: pID=fopen('FEM_OPTARQ.har','w+'); fprintf(pID,'%14.10f\t',p); fclose(pID);

% Leitura da curva experimental: % Assume-se que o deslocamento está na coluna 3 e a força na coluna 6 expID=fopen('EXP_OPTARQ.cur','r'); A=dlmread('EXP_OPTARQ.cur'); fclose(expID); dexp=A(:,1); % deslocamento exp fexp=A(:,2); % força exp

% Programa de Elementos Finitos: ! FEM_OPT.bat

% Leitura das forças do MEF: mefID=fopen('FEM_OPTARQ.gnu','r'); B=dlmread('FEM_OPTARQ.gnu'); fclose(mefID); fmef=B(:,6); % força num dmef=B(:,3); % deslocamento num

% Interpolação: fmefin=interp1(dmef,fmef,dexp);

% Cálculo dos mínimos quadrados: suma=0; N1=length(dmef); N2=length(dexp); N=max(N1,N2); m=0; for i=1:N if isnan(fmefin(i)) m=m+1; else suma=suma+((fmefin(i)-fexp(i))/fexp(i))^2; end end f=sqrt(suma/(N-m));

if strcmp(graf,'Y') figure(1) plot(dexp,fexp,'r','LineWidth',1.5); hold on set(gcf,'Color','white') plot(dmef,fmef,'b-.','LineWidth',1.5); xlabel('Deslocamento [mm]'); ylabel('Força [N]'); legend('Curva Experimental','Curva Numérica','Location','NorthWest'); hold off

% axis([0 0.9 4.5E4 5.2E4]); h=axis; ytot=h(4)-h(3); ymin=h(3);

text(0.75*h(2),0.30*ytot+ymin,['Nº de iterações: ',num2str(j)]) text(0.75*h(2),0.25*ytot+ymin,['f = ',num2str(sprintf('%0.3e',f))])

70

text(0.75*h(2),0.15*ytot+ymin,['\sigma_{y0} = ',num2str(p(1),4),'

MPa']) text(0.75*h(2),0.10*ytot+ymin,['H = ',num2str(p(2),5),' MPa']) text(0.75*h(2),0.05*ytot+ymin,['n = ',num2str(p(3),3)])

saveas(gcf,[num2str(j),'.png'])

end

end

%%

function globitername(i,err) aux=horzcat('_________________________________________________________',... '____________________'); disp(aux); aux=horzcat(' | ',... ' |'); disp(aux); aux=horzcat(' | ',... ' |'); disp(aux); aux=horzcat(' | ITERAÇÃO DE NÚMERO ', num2str(i),' ',... ' |'); disp(aux); if i~=1 aux=horzcat(' | ERRO IGUAL A ', num2str(err),' ',... ' |'); end disp(aux); aux=horzcat(' | ',... ' |'); disp(aux); aux=horzcat(' | ',... ' |'); disp(aux); aux=horzcat('_________________________________________________________',... '____________________'); disp(aux);

pause(0.01);

end

%%

function iterfile(globaliter,err,t2m,t2a)%,dir)

iID=fopen('PARFINDER_ITEROUT.out','a'); fprintf(iID,'\t %u\t\t\t %u\t\t\t %u\t\t\t

%u\r\n',globaliter,err,t2m,... t2a); fclose(iID);

end

implementaÇÃo de mÉtodo numÉrico multidimensional … · this mechanical engineering graduation...

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