implicação lógica
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LÓGICA MATEMÁTICA
CURSO: SISTEMAS DE INFORMAÇÃO 1º PERÍODO
Prof.: Hugo Souza
CENTRO UNIVERSITÁRIO – CESMAC FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS - FACET
Objetivo da aula de hoje...
• Continuaremos os conceitos de Lógica Proposicional
• Conheceremos os conceitos de Implicação Lógica
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Sumário
• Correção do Exercício passado
• Implicação Lógica
• Exercícios
• Iniciar Revisão para a Avaliação 1 – 2014.1
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Ementa
• Lógica Proposicional: – Sintaxe
– Semântica
– Propriedades Semânticas
– Método para determinação da validade de fórmulas
• Lógica de Predicados: – Sintaxe
– Semântica
– Propriedades Semânticas
– Resolução.
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Aviso!
• Avaliação 1
• 02/09/2014
• Assuntos:
– Introdução e história de lógica
– Lógica Proposicional
• Sintaxe
• Semântica (Operações Lógicas; Tabela Verdade; Tautologia, Contradição e Contingência)
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Implicação
• Definição:
Dadas as proposições compostas P e Q, diz-se que ocorre uma implicação lógica (ou relação de implicação) entre P e Q quando a proposição condicional P Q é uma tautologia.
• Notação: P Q
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Implicação
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- Portanto, dizemos que P Q quando nas respectivas
tabelas verdade dessas duas proposições não aparece V
na última coluna de P e F na última coluna de Q, com V e
F em uma mesma linha, isto é, não ocorre P e Q com
valores lógicos simultâneos respectivamente V e F.
- Em particular, toda proposição implica uma tautologia e
somente uma contradição implica outra contradição.
Implicação
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Exemplos:
a) 4 x 5 = 20 (2 + 1)² = 3².
Podemos usar o símbolo , pois a proposição
condicional: 4 x 5 = 20 3²= (2 + 1)² é verdadeira.
b) Não podemos escrever que 3 > 2 3 > 4, pois a
proposição condicional: 3 > 2 3 > 4 é falsa.
Implicação
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• Observação:
DIFERENTE
• O símbolo entre duas proposições dadas indica uma relação, isto é, que a proposição condicional associada é uma tautologia, enquanto realiza uma operação entre proposições dando origem a uma nova proposição p q (que pode conter valores lógicos V ou F).
Implicação
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Propriedade Reflexiva:
P(p,q,r,...) P(p,q,r,...)
Propriedade Transitiva:
SE P(p,q,r,...) Q(p,q,r,...) E
Q(p,q,r,...) R(p,q,r,...), ENTÃO
P(p,q,r,...) R(p,q,r,...)
Implicação
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p ^ q, p v q, p q
p q p ^ q p v q p q
V V V V V
V F F V F
F V F V F
F F F F V
Assim, diz-se que p ^ q p v q
e p ^ q p q
Implicação
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p ^ q, p v q, p q
p q p ^ q p v q p q
V V V V V V F F V F
F V F V F
F F F F V REGRA DE INFERÊNCIA: p p v q
(Adição)
Implicação
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p ^ q, p v q, p q
p q p ^ q p v q p q
V V V V V V F F V F
F V F V F
F F F F V
REGRA DE INFERÊNCIA: p ^ q p
(Simplificação)
Implicação
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p ^ q, p v q, p q
p q p ^ q p v q p q
V V V V V V F F V F
F V F V F
F F F F V
REGRA DE INFERÊNCIA: p ^ q q
(Simplificação)
Implicação
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(p v q) ^ ~p q
(p v q) ^ ~q p
REGRA DE INFERÊNCIA:
SILOGISMO DISJUNTIVO
Implicação
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(p q) ^ p q
REGRA MODUS ponens
(p q) ^ ~q ~p
REGRA MODUS tollens
Implicação
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• Teorema:
- A proposição P(p,q,r,...) IMPLICA a proposição
Q(p,q,r,...) se e somente se a condicional P Q é
tautológica.
• P(p,q,r,...) Q(p,q,r,...) se e somente se:
P Q = V (tautológica)
Implicação
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• P(p,q,r,...) Q(p,q,r,...) se e somente se:
P Q = V (tautológica).
• A condicional:
(p q) ^ (q ^ r) (p r) é Tautologia.
• Logo, deduz-se a implicação lógica:
(p q) ^ (q ^ r) p r
- (Regra do SILOGISMO HIPOTÉTICO)
Implicação
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Exemplo: Mostrar que (p ^ q) p
p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
- Como (p ^ q) p é uma tautologia, então (p ^ q) p, isto é, ocorre a implicação lógica.
(p ^ q) p
V
V
V
V
Implicação
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1. As tabelas-verdade das proposições p ^ q, p v q, p q são:
p ^ q p v q e p ^ q p q
- A proposição “p ^ q” é verdadeira (V)
somente na linha 1 e, nesta linha, as
proposições “p v q” e “p q” também
são verdadeiras (V). Logo, a primeira
posição implica cada uma das outras
posições, isto é:
Implicação
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- As mesmas tabelas-verdade também demonstram as importantes Regras de Inferência:
p p v q e q p v q (Adição)
p ^ q p e p ^ q q (Simplificação)
Implicação
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Regras de Inferência
Adição disjuntiva (AD) p p q
Simplificação conjuntiva(SIM) p q p ou p q q
Modus Ponens(MP) ( p q ) p q
Modus Tollens(MT) ( p q ) ~q ~p
Silogismo Disjuntivo(SD) ( p q ) ~q p
Silogismo Hipotético(SH) ( p q ) ( q r ) p r
Dilema Construtivo(DC) ( p q ) ( r s ) ( p r ) q s
Dilema Destrutivo(DD) ( p q ) ( r s ) ( ~q ~s ) ~p ~r
Absorção(ABS) p q p ( p q )
E por hoje...
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• Vamos ter uma revisão para a Avaliação 1
• Obrigado!
• Até a próxima aula!