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Apostila de cálculo.TRANSCRIPT
Disciplina
Cálculo Diferencial Integral
Coordenador da Disciplina
Prof. Jonatan Floriano da Silva
5ª Edição
Copyright © 2010. Todos os direitos reservados desta edição ao Instituto UFC Virtual. Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, dos autores.
Créditos desta disciplina
Realização
Autor
Prof. Celso Antonio Silva Barbosa
Colaborador
Prof. Marcelo Ferreira de Melo
Sumário Aula 01: Função ........................................................................................................................................ 01 Tópico 01: Conceito e Notação de Função ............................................................................................ 01 Tópico 02: Operações com funções ....................................................................................................... 07 Tópico 03: Gráfico de Função ................................................................................................................ 13 Tópico 04: Exemplos de Funções .......................................................................................................... 19 Aula 02: Limite e Continuidade ............................................................................................................... 28 Tópico 01: Limites de Funções .............................................................................................................. 28 Tópico 02: Limites no Infinito e Infinito ............................................................................................... 37 Tópico 03: Limites de Funções Envolvendo Seno e Co-seno ................................................................ 44 Tópico 04: Continuidades ...................................................................................................................... 48 Aula 03: Derivada ..................................................................................................................................... 53 Tópico 01: Reta Tangente ...................................................................................................................... 53 Tópico 02: Taxa de Variações ................................................................................................................ 58 Tópico 03: Derivadas de Funções .......................................................................................................... 61 Tópico 04: Fórmulas de Derivação ........................................................................................................ 70 Tópico 05: Derivação Implícita...............................................................................................................80 Aula 04: Aplicações da Derivada.............................................................................................................86 Tópico 01: Valores Extremos e Teorema do Valor Médio....................................................................86 Tópico02: Testes para Extremos Locais.................................................................................................94 Tópico 03: Convexidade, Concavidade e Gráfico................................................................................101 Aula 05: Funções Transcendentes..........................................................................................................113 Tópico 01: Funções Trigonométricas....................................................................................................113 Tópico 02: Funções Trigonométricas Inversas.....................................................................................120 Tópico 03: Função Logarítmica Natural...............................................................................................128 Tópico 04: Função Exponencial na Base Neperiana.............................................................................136 Tópico 05: Funções Exponencial e Logarítmica mais Gerais...............................................................140 Aula 06: Integrais e Aplicações...............................................................................................................145 Tópico 01: Integral Indefinida e Fórmulas de Integração.....................................................................145 Tópico 02: Aplicações da Integral Indefinida.......................................................................................158 Tópico 03: Integral Definida e Teorema Fundamental do Cálculo.......................................................166 Tópico 04: Área de uma Região no Plano.............................................................................................172
TÓPICO 01: CONCEITO E NOTAÇÃO DE FUNÇÃO
MULTIMÍDIA
Ligue o som do seu computador!
OBS.: Alguns recursos de multimídia utilizados em nossas aulas,
como vídeos legendados e animações, requerem a instalação da versão
mais atualizada do programa Adobe Flash Player©. Para baixar a versão
mais recente do programa Adobe Flash Player, clique aqui! [1]
Neste tópico será apresentada a"função"que é o elemento fundamental
no estudo do Cálculo Diferencial e Integral (Visite a aula online para realizar
download deste arquivo.). Inicialmente será definido o tipo particular de
função que se estudará neste texto, que é a função real de uma variável real;
existem funções mais gerais que tal função. Em seguida, serão definidas as
operações algébricas com funções e os conceitos de composição de funções e
função inversa. A função está presente em quase todos os ramos da
Matemática e em outras ciências, daí sua importância.
Antes de definir o que é função, considere alguns exemplos de relações
funcionais (São relações dadas através de equações (ou regras ou leis de
formações) envolvendo duas grandezas satisfazendo certas condições, tais
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
AULA 01: FUNÇÃO
FUNÇÃO
“A função está presente em quase todos os ramos da Matemática e
em outras ciências, inclusive em Física e Química, daí sua relevância na
vida prática; esta aula é o passo inicial de um longo percurso que o
estudante terá na sua formação. Em relação a outras partes da
Matemática que já estudamos até o Ensino Médio, o surgimento da
função é recente; a palavra “função” foi introduzida pelo matemático
alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) em 1694, para descrever
quantidades relacionadas a uma curva, que não tem nada haver com o
significado moderno; a palavra função foi posteriormente usada pelo
matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) e criou a notação usada
até a época atual; o entendimento moderno do significado de função foi
uma contribuição do matemático alemão Peter Gustav Lejuine Dirichlet
(1805-1859); entretanto, foi somente com a teoria dos conjuntos da
análise moderna do matemático inglês George Boole (1815-1864) e
outros, que o conceito finalmente teve sua formalização. Estendendo a
definição de função, os matemáticos foram capazes de estudar objetos
matemáticos, inicialmente considerados como puramente imaginários e
até chamados genericamente de “monstros”, tais objetos matemáticos
foram já no final do século XX, considerados de grande importância
para a construção de modelos matemáticos aplicados para explicar
fenômenos físicos.”
1
condições serão explicadas em seguida nos exemplos e comentários.) que o
estudante neste estágio já tenha utilizado.
EXEMPLO USADO NO COMÉRCIO:
Suponha que se deseja adquirir um determinado produto, então o
valor do produto (indicando esse valor por V) depende da quantidade do
produto que você necessita (indicando essa quantidade por q), observe que
uma mesma quantidade do produto não terá dois preços diferentes, neste
caso, diz-se que V é função de q.
EXEMPLO USADO EM FÍSICA
Se um carro se desloca da sua residência à rodoviária de seu
município, então até que o carro cheque num determinado local do
itinerário, já terá transcorrido algum tempo a partir do momento em que
ele estava na residência, isto é, à distância percorrida pelo carro
(chamando essa distância de s) depende do tempo (que se indica pela
letra t), além disso, após um certo tempo de iniciado o movimento do
carro, ele terá percorrido uma única distância, assim diz-se que s é função
de t.
EXEMPLO USADO EM GEOMETRIA PLANA:
A área de um círculo (indicando pela letra A) de raio r é dada pela
fórmula , como dois círculos de mesmo raio não terão áreas
diferentes, diz-se que A é função de r.
2
Como ficou claro através destes exemplos, para falar em relação
funcional, deve-se ter no mínimo duas grandezas, considerando duas
grandezas designadas por y e x, onde elas estão relacionadas para que uma
dependa da outra, então suponha que y depende de x; diz-se que y é função
de x, se para cada x a relação faz corresponder um único y.
Foi definido o que é uma grandeza depender funcionalmente de outra
através de uma relação, é de interesse algo mais formal, como segue: seja
não vazio onde R é o conjunto dos reais (Visite a aula online para
realizar download deste arquivo.) uma FUNÇÃO F DE A EM R, que se
indica por é uma relação associada a A e R tal que essa
relação faz corresponder a cada elemento um único elemento .
Para indicar que um determinado y foi obtido de algum x através da
função f, usa-se o símbolo " " que se lê "y é igual a f de x". O
conjunto A é chamado de domínio da função f e é comum ser indicado
por D(f), e o conjunto R é dito o contradomínio da função f. O elemento
f(x) que corresponde a x por intermédio da relação funcional é denominado
a imagem de x através de f (ou ainda, valor de f em x). A imagem
da função f é o conjunto indicado por I(f) e constituído pelas imagens de
todos os elementos através de f, ou seja:
I(f) = {y € R; y = f(x) e x € A}.
Diz-se ainda que o elemento arbitrário x (gerador do domínio de f) é a
VARIÁVEL INDEPENDENTE de f e que y = f (x) (gerador da imagem de f) é
a VARIÁVEL DEPENDENTE de f. Pelas razões mencionadas, uma função
é dita uma FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL.
Observe que uma função f está completamente definida, somente
quando são dados o domínio D(f) e a relação que estabelece a
correspondência dos elementos do D(f) com elementos de R; entretanto,
normalmente f é definida apenas pela relação (que é comum ser
uma equação) e possivelmente o domínio; quando na definição da
função, somente a relação for dada (isto é, o domínio não for
estabelecido), significa que o domínio da função é o conjunto de
todos os valores onde a relação faz sentido e a função é indicada
somente pela relação.
Por exemplo: se a função f é definida por com , significa que a
relação definindo f é dada pela equação e que o ; mas, se f é
definida apenas pela equação , então pois todo número real
pode ser elevado ao quadrado e invés de escrever "a função f definida por
com , escreve-se apenas "a função ".
3
OLHANDO DE PERTO
Este é o momento para revisar sobre: conjugado como é o produto de
conjugados, o conceito de valor absoluto e os diversos tipos de intervalos.
Você vai precisar a partir do próximo exercício.
CONJUGADO
Sejam a e b valores ou expressões obtidas através de operações
(adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação)
com valores numéricos ou literais, então a + b é o conjugado de a - b,
e a - b é o conjugado de a + b. Usando a propriedade distributiva dos
números reais, obtém-se que:
.
VALOR ABSOLUTO
Dado um número real a, o valor absoluto de a é indicado por
|a| e definido por . Por exemplo: (a) |3| = 3 pois 3 >
0; (b) pois -3 < 0. O valor absoluto tem as seguintes
propriedades:
(desigualdade
triangular);
(desigualdade triangular
generalizada);
.
INTERVALOS
Os intervalos são conjuntos numéricos definidos da seguinte
forma: se a e b R (onde R é o conjunto do reais) com a < b, os
intervalos são definidos como a seguir. Nas figuras, os eixos na cor
"azul" representam o conjunto dos reais e os intervalos estão
ilustrados na cor "laranja":
(a) Intervalo fechado,
(b) Intervalos abertos,
4
(c) Intervalos semifechados ou semi-abertos,
EXEMPLOS RESOLVIDOS
Dada a função , encontrar:
se e
(b) se ;
(c) O domínio e a imagem de f.
SOLUÇÃO
(a) Para achar os valores de f indicados, deve-se substituir em
os valores de x que são dados entre parênteses. Assim,
e
pois uma vez que ;
(b) Como , tem-se
(c) Sendo D(f) o conjunto de todos os valores de x onde tem
sentido, se , pois a raiz quadrada só está definida para
valores não negativos (isto é, valores maiores ou iguais a zero), assim
, ou seja, .
5
Para achar a imagem de f, considera-se os valores x no seu
domínio e então se obtém os valores correspondentes. Sendo
assim, , ou seja, se , daí , logo
.
EXEMPLOS PROPOSTOS
Se , mostrar que:
LEITURA COMPLEMENTAR
Sugiro que faça a leitura do texto Matemática: Do ensino a
aprendizagem, nesse material você encontrará algumas dicas de como
você poderá obter sucesso nessa nossa disciplina.
Boas leituras!
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao exercitando (Visite a aula online para realizar download deste
arquivo.)e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder,
individualmente ou em grupo. Os exercícios 4, 7, 10 e 14 do exercitando,
são os itens (a) a (d) QUESTÃO 1 do trabalho desta aula a ser postado no
PORTFÓLIO INDIVIDUAL do ambiente SOLAR. As questões 2 a 5 do
trabalho, serão indicadas nos tópicos seguintes desta aula. É exigido que o
trabalho desta aula seja postado no Portfólio, no período indicado na
Agenda do ambiente Solar, num único documento de texto (doc , docx
ou PDF) ou manuscrito e escaneado.
FONTES DAS IMAGENS
1. http://www.adobe.com/products/flashplayer/2. http://www.adobe.com/go/getflashplayer
Responsável: Prof. Jonatan Floriano da Silva
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual
6
TÓPICO 02: OPERAÇÕES COM FUNÇÕES
Neste tópico, serão definidas as operações algébricas com funções e
os conceitos de composição de funções e de função inversa; tais operações
e conceitos têm como objetivo maior, gerar novas funções a partir de
funções já conhecidas.
OPERAÇÕES ALGÉBRICAS
São as operações com funções que recebem os mesmos nomes das
operações básicas no conjunto dos reais, isto é, adição, subtração,
multiplicação e divisão. Lembre-se que o resultado da: adição é
chamado de "soma"; subtração é chamado de "diferença"; multiplicação
é chamado de "produto"; divisão é chamado de "quociente".
Sejam f e g funções que tenham parte de seus domínios (ou os seus
domínios) em comum, então:
A SOMA DE F E G É A FUNÇÃO INDICADA POR F + G E DEFINIDA POR:
(B) A DIFERENÇA DE F POR G É A FUNÇÃO INDICADA POR F - G E DEFINIDA POR:
(C) O PRODUTO DE F POR G É A FUNÇÃO INDICADA POR FG E É DEFINIDA POR:
(D) O QUOCIENTE DE F POR G É A FUNÇÃO INDICADA POR :
e é definida por:
Nas operações definidas de (a) até (d), o domínio da função resultante é
formado pelos valores de x que estejam na interseção dos domínios de f e g.
No caso particular do quociente, são excluídos os valores de x da interseção
dos domínios de f e g tais que g (x) = 0.
LEITURA COMPLEMENTAR
Leia os textos sobre
PROPRIEDADES DOS NÚMEROS REAIS -
No conjunto dos números reais, seus elementos devem ter as
mesmas propriedades básicas relativamente a igualdade onde o
mais importante são as relações entre os elementos desse conjunto.
Assim é que no conjunto dos reais R, existem as operações adição e
multiplicação, indicadas por "+ e .", em relação as quais R é
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
AULA 01: FUNÇÃO
7
fechado (isto significa que a adição e multiplicação de dois
elementos de R, são elementos de R) e para quaisquer os
seguintes axiomas são satisfeitos:
IGUALDADE
O símbolo "=" apareceu pela primeira vez em 1557 na
Inglaterra na obra "The Whetstone of Witte" do inglês Robert
Recorde (1510-1558), entretanto mais de um século passaria
para o sinal se tornar padrão; era comum na época usarem as
palavras "aequale ou sua abreviatura aeq, egaulx, eguale, etc"
no lugar do sinal.
OPERAÇÕES
Em 1489, o alemão Johann Widman (1462-1498),
publicou uma aritmética comercial intitulada "Rechenung auff
allen Kauffmanschafft", é o livro mais antigo em que nos sinais
" + e - " aparecem impressos, usados apenas para indicar
excesso e deficiência em medidas, como operadores
aritméticos eram usadas na época as palavras latinas "plus e
minus", posteriormente as suas iniciais "p e m" para a adição e
a subtração. Widmann admitiu que na biblioteca de Dresden,
havia um manuscrito de 1486 onde um estudante usou os
sinais. Tais sinais foram usados pela primeira vez como
símbolos operacionais pelo holandês Giel Vander Hoecke
numa obra de 1514. O sinal "x" para a multiplicação foi criado
pelo inglês William Oughtred (1574-1660) em sua "Clavis
Mathematicae" de 1631. O inglês Thomas Harriot (1560-1621),
em seu livro póstumo "Ars Analitycal Práxis", introduziu o
ponto como sinal de multiplicação. O ponto como sinal de
multiplicação de Harriot não se tornou popular, até que fosse
difundido em 1698 pelo alemão Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646-1716), este tinha objeção ao símbolo "x" acreditando que
seria confundido com uma variável. Leibniz também foi
responsável pelo uso do símbolo ":" para a divisão, publicado
em 1684 num periódico chamado "Acta Eruditorum". O
símbolo " " para a divisão foi usado primeiramente por
Johann Rahn (ou por Rhonius) (1622-1676) em sua obra
"Teutsche Algebra" de 1659. A barra horizontal já tinha sido
usada pelo italiano Leonardo Pisano Fibonacci (1170-1250) em
seu livro "Liber abaci" de 1202 (que já era conhecida antes na
Arábia), mas somente no século XVI o uso da barra horizontal
se tornou comum; a barra inclinada foi sugerida em 1845 pelo
hindu Augustus De Morgan (1806-1871); ambas as barras para
representar frações.
(a) Propriedades associativas,
(b) Propriedade comutativa,
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(c) Existência de elementos neutros na adição e multiplicação.
Existem 0 e 1 R tais que a + 0 = a e a . 1 = 1;
(d) Existência de elementos simétrico e inverso. Para todo
existe tal que e se existe onde ;
(e) Propriedade distributiva,
e "potência, raiz e fatorações - (Clique aqui para abrir) (Visite a aula
online para realizar download deste arquivo.)", não há o que perder, muito
provavelmente, ganhar.
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Dadas às funções e encontrar:
SOLUÇÃO
Das definições, tem-se
e
EXEMPLOS PROPOSTOS 1
Se e mostrar que:
Sejam f e g funções tais que o domínio de f contém parte da (ou toda a)
imagem de g, então a função composta de f com g (ou a composição de f
com g) é indicada por fog e definida por
(fog)(x) = f(g(x)).
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O domínio de fog é formado pelos valores de x no domínio de g e que g
(x) que pertence ao domínio de f. Observe o que foi escrito sobre a
composição de funções:
(a) Para achar a imagem de um valor x domínio da função composta
fog primeiro se acha a imagem de x através da função à direita da
composição (isto é, acha-se g (x)), depois se encontra a imagem do resultado
obtido com g através da função à esquerda da composição (ou seja,
encontra-se f (g(x))). Por exemplo, se e para obter
tem-se então
(b) O domínio de fog não é necessariamente igual ao domínio de g. Por
exemplo, sendo ainda então e
mas
EXEMPLO RESOLVIDO 2
Se f e g são as funções e
encontrar: fof, fog e gof.
SOLUÇÃO
Tem-se
e
EXEMPLOS PROPOSTOS 2
Se e provar que:
Observe do exemplo resolvido 2 que ou seja, em geral
a operação composição não é comutativa. Um caso especial da composição
de duas funções f e g, ocorre quando para todo
; neste caso, diz-se que g é a inversa de f em C e é
usada a notação (ou que f é a inversa de g em C, neste caso,
escreve-se ). Uma função que tem inversa, diz-se invertível. Vale
lembrar que existe o termo “inversível” usado para números que têm inverso,
isto é, números reais diferentes de zero.
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LEITURA COMPLEMENTAR
Leia o texto "símbolos lógicos (Visite a aula online para realizar
download deste arquivo.)", onde são apresentados vários símbolos
matemáticos que serão usados a partir deste momento juntamente com os
seus respectivos significados. Lembre-se só aprende quem é paciente e
persistente, além disso nunca sabemos tudo.
Uma função f é dita injetiva (ou biunívoca), se para quaisquer e
no D(f), tem-se (ou equivalente, .
Em outras palavras, f é injetiva, se para cada existe um único
tal que ; neste caso, a regra dada por agregada ao caráter de
unicidade de x, define uma função g tal que e então
observe que se tem as duas funções f e g tais que ; além
disso, como para todo e
para todo , pela definição de função inversa, e .
Resumindo, acaba de ser justificado o seguinte: se uma função f é injetiva,
então f possui inversa com domínio igual a imagem de f; e mais, a equação
que define a inversa de f é obtida resolvendo a equação y = f (x) para a
variável x.
EXEMPLO RESOLVIDO 3
Encontrar a inversa da função e verificar que
SOLUÇÃO
Sendo para achar a inversa de f, deve-se resolver esta
equação para a variável x. Assim, como
a função é definida por
ou então (trocando y por x).
(TROCANDO Y POR X)
Em geral a operação composição não é comutativa. Um caso
especial da composição de duas funções f e g, ocorre quando
para todo neste caso, diz-
se que g é a inversa de f em C e é usada a notação (ou que f
é a inversa de g em C, neste caso, escreve-se ). Uma função
que tem inversa, diz-se invertível. Vale lembrar que existe o
termo "inversível" usado para números que têm inverso, isto é,
números diferentes de zero.
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Tem-se
e similarmente, verifica-se que
EXEMPLOS PROPOSTOS 3
Se demonstrar que e verificar que
para todo .
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao exercitando (Visite a aula online para realizar download deste
arquivo.) e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder,
individualmente ou em grupo. O exercício 3 do exercitando é a QUESTÃO
2 do trabalho desta aula a ser postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do
ambiente SOLAR. As questões 3 a 5 do trabalho, serão indicadas nos
tópicos seguintes desta aula. É exigido que o trabalho desta aula seja
postado no PORTFÓLIO, no período indicado na AGENDA do ambiente
SOLAR, num único documento de texto (doc , docx ou PDF) ou
manuscrito e escaneado.
FONTES DAS IMAGENS
Responsável: Prof. Jonatan Floriano da Silva
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual
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TÓPICO 03: GRÁFICO DE FUNÇÃO
VERSÃO TEXTUAL
Neste tópico será apresentado o conceito de gráfico, será feita a
identificação do gráfico com a sua representação geométrica e a
caracterização de tal representação geométrica a partir do conceito de
função; além disso, serão estabelecidos alguns caminhos para achar
gráficos de funções a partir de gráficos já obtidos ou simplificar o
trabalho na construção de gráficos. A construção de gráficos é uma das
tarefas mais importantes do Cálculo, o que será rigorosamente
possível apenas na aula 04 (tópico 3); entretanto, este tópico e o
seguinte serão amplamente utilizados mesmo após ser efetuado o
estudo mais geral.
O gráfico de uma função f é o subconjunto do R2 (clique aqui) indicado
por G(f) e formado por todos os pares ordenados obtidos quando x varia no
domínio de f, isto é,
Um PAR ORDENADO de números reais são dois números onde é
especificado qual é o primeiro e o segundo dos números. Se x e y
representam números reais quaisquer, o par ordenado onde x é o
primeiro número e y o segundo é indicado por (x, y); assim, por
exemplo, . O conjunto de todos os pares ordenados de números
reais é indicado por R2 escrevendo-se
Como o gráfico de uma função f é um subconjunto do R2, este pode ser
representado no plano cartesiano (Visite a aula online para realizar
download deste arquivo.), como o lugar geométrico ( -- É a figura no plano
cartesiano representando geometricamente um subconjunto de pontos do
<strong><em>R<sup>2</sup></em></strong>.) determinado pelos
pontos (x, f(x)) com x D(f). Traçar (ou fazer) o gráfico de uma função
significa encontrar o mencionado lugar geométrico ou um esboço
significativo do lugar geométrico. É COMUM CHAMAR O TRAÇO (OU
ESBOÇO) DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO, APENAS DE "GRÁFICO DA
FUNÇÃO".
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
AULA 01: FUNÇÃO
13
Da definição de função, cada valor de x no domínio de uma função f,
correspondente a um único valor f(x) na imagem de f, assim o gráfico de f
não pode ser interceptado em mais de um ponto por uma reta paralela ao
eixo vertical do plano cartesiano.
VEJA
LEITURA COMPLEMENTAR
Leia o texto equação de primeiro grau (Visite a aula online para
realizar download deste arquivo.) e equacão de segundo grau (Visite a aula
online para realizar download deste arquivo.), que você não terá
dificuldades para seguir adiante.
Sendo assim, em particular, é possível verificar quando uma equação de
primeiro ou segundo grau em x e y define uma função. Por exemplo, o
gráfico de uma equação do primeiro grau do tipo x = c (isto é, uma reta
vertical) não é gráfico de nenhuma função, como também acontece com o
gráfico de uma equação do segundo grau quando este é uma circunferência,
uma elipse ou uma hipérbole. Uma equação de primeiro grau do tipo y = mx
+ b (cujo gráfico é uma reta não vertical), sempre define uma função;
também a equação de segundo grau que pode ser reduzida à forma
quadrática y = ax2 + bx + c com a 0 (cujo gráfico é uma parábola de eixo
vertical).
Pelo conceitos e comentários efetuados, se uma função é definida por
uma equação, pela definição, o seu gráfico é o gráfico da equação
considerando os valores da variável independente no domínio da função.
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Fazer o gráfico da função
INTRODUÇÃO DA DIDÁTICA MAGNA, DE COMÊNIO
14
Como foi visto no texto indicado na dica anterior, o gráfico da
equação y = x2 é uma parábola, então o gráfico de f é a parte dessa
parábola em que ou seja, a parte da parábola à direita do eixo Y
juntamente com a origem. O gráfico está na figura a seguir.
EXEMPLO PROPOSTO 1
Fazer o gráfico da função
No exemplo resolvido 1 foi usado o gráfico de uma das equações da
Geometria Analítica para obter o gráfico da função; na verdade de
informação precisa que se tem até este momento, pra traçar gráficos de
funções, são apenas os modelos de figuras associados às respectivas
equações estudadas na Geometria Analítica. A seguir serão vistas seis outras
maneiras de obter o gráfico de uma função a partir do conhecido gráfico de
outra função. Neste estágio, pouco se conhece de gráfico de equações, mas os
procedimentos poderão e deverão ser aplicados num estágio mais avançado.
Suponha que seja dado o gráfico de uma função f definida por y = f(x), então:
(a) O gráfico da função g(x) = f(x) + a onde a é uma constante ,
é dito uma TRANSLAÇÃO VERTICAL do gráfico de f. Observe que cada ponto
(x, y) no gráfico de f corresponde um ponto no gráfico de g, onde ,
assim o gráfico g é o gráfico de f deslocado a unidades para baixo se ou a
unidades para cima se .
VEJA
(b) O gráfico da função g(x) = f(x-a), onde a é uma constante , é
chamado uma TRANSLAÇÃO HORIZONTAL do gráfico de f. Cada ponto (x, y)
no gráfico de f corresponde um ponto no gráfico de g, onde
, assim o gráfico g é o gráfico de f deslocado a unidades
para esquerda se a < 0 ou a unidades para direita se a > 0.
VEJA
15
LEITURA COMPLEMENTAR
Leia o texto reflexão de pontos (Visite a aula online para realizar
download deste arquivo.); ajuda no entendimento das reflexões de
gráficos.
(c) O gráfico da função g(x) = -f(x) é dito uma REFLEXÃO EM RELAÇÃO
AO EIXO X do gráfico de f. Cada ponto (x, y) no gráfico de f corresponde um
ponto (x,-y) no gráfico de g, assim o gráfico g e o gráfico de f são simétricos
em relação ao eixo X.
VEJA
(d) O gráfico da função g(x) = f(-x) é denominado uma REFLEXÃO EM
RELAÇÃO AO EIXO Y do gráfico de f. Cada ponto (x, y) no gráfico de f
corresponde a um ponto (-x, y) no gráfico de g, logo os gráficos de g e f são
simétricos em relação ao eixo Y.
VEJA
(e) O gráfico da função g(x) = -f(-x) é designado uma REFLEXÃO EM
RELAÇÃO A ORIGEM do gráfico de f. Cada ponto (x, y) no gráfico de f
corresponde um ponto (-x, -y) no gráfico de g, assim o gráfico g e o gráfico de
f são simétricos em relação a origem.
VEJA
16
Através do gráfico de uma função f num intervalo I D(f), pode-se
verificar se ela possui inversa em I, pois de acordo com o que foi tratado no
tópico 2 da aula 01, se o gráfico tem o aspecto ascendente ou descendente em
I, isto é, se a função f é CRESCENTE ou DECRESCENTE em I, ou ainda, se x1 e
x2 I com implica ou respectivamente, fará
com que f seja injetiva em I.
INVERSA
EM GERAL A OPERAÇÃO COMPOSIÇÃO NÃO É COMUTATIVA. UM
CASO ESPECIAL DA COMPOSIÇÃO DE DUAS FUNÇÕES F E G, OCORRE
QUANDO (fog) (x) = (gof) (x) = x PARA TODO
NESTE CASO, DIZ-SE QUE G É A INVERSA DE F EM C E É USADA A
NOTAÇÃO f = g-1 (OU QUE F É A INVERSA DE G EM C, NESTE CASO,
ESCREVE-SE f = g-1). UMA FUNÇÃO QUE TEM INVERSA, DIZ-SE
INVERTÍVEL. VALE LEMBRAR QUE EXISTE O TERMO "INVERSÍVEL"
USADO PARA NÚMEROS QUE TÊM INVERSO, ISTO É, NÚMEROS
DIFERENTES DE ZERO.
Na primeira figura, a curva não pode ser o gráfico de uma função que
tem inversa, pois x1/= x2 e y1 = y2, isto é, a função não seria injetiva; já nas
duas figuras seguintes as curvas poderiam ser gráficos de funções que
possuem inversas.
(f) Quando se tem o gráfico de uma função f, o gráfico de sua inversa f-1
(no mesmo sistema de coordenadas) é facilmente obtido, pois o gráfico de f-1
é a REFLEXÃO do gráfico de f em relação à reta y = x (isto é, para cada ponto
P no gráfico de f, existe um único ponto Q no gráfico de f-1, tais que P e Q são
simétricos em relação à reta y = x). Para ver isto basta usar que, y = f(x) se e
somente se x = f-1, ou seja, P(x, y) está no gráfico de f se e somente se Q(x, y)
está no gráfico de f-1.
VEJA
EXEMPLO RESOLVIDO 2
17
Fazer o gráfico da função
RESOLUÇÃO
EXEMPLO PROPOSTO 2
Fazer o gráfico da função
EXEMPLO RESOLVIDO 3
Fazer o gráfico da função
SOLUÇÃO
EXEMPLO PROPOSTO 3
Fazer o gráfico da função
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao EXERCITANDO (Visite a aula online para realizar download
deste arquivo.)e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder,
individualmente ou em grupo. Os exercícios 1 e 3 do exercitando, são os
itens (a) e (b) da QUESTÃO 3 do trabalho desta aula a ser postado no
PORTFÓLIO INDIVIDUAL do ambiente SOLAR. As questões 4 e 5 do
trabalho, serão indicadas no tópico seguinte desta aula.É exigido que o
trabalho desta aula seja postado no Portfólio, no período indicado na
Agenda do ambiente Solar, num único documento de texto (doc , docx
ou PDF) ou manuscrito e escaneado.
FONTES DAS IMAGENS
1. http://www.adobe.com/go/getflashplayer
Responsável: Prof. Jonatan Floriano da Silva
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual
18
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
AULA 01: FUNÇÃO
TÓPICO 04: EXEMPLOS DE FUNÇÕES
Neste tópico serão introduzidos exemplos de funções reais de uma
variável real juntamente com seus gráficos, que serão utilizadas nos
exemplos e exercícios no decorrer da disciplina. Os gráficos a serem
estudados, essencialmente serão decorrentes dos gráficos das equações de
primeiro e segundo graus vistas em Introdução ao Cálculo (Aulas 05 e 06).
Além disso, será também apresentada a função cujo gráfico é conhecido
como parábola cúbica e as funções seno e cosseno, cujo papel neste estágio
é ampliar o universo de exemplos de funções.
Uma função f é dita CONSTANTE, se f(x) = c para todo valor de x e alguma
constante c. Se f é a função definida por f(x) = x para todo x, então f é
chamada de FUNÇÃO IDENTIDADE. Uma FUNÇÃO ALGÉBRICA é uma
função definida através de um número finito de operações envolvendo as
funções constante e identidade. Essas operações são: adição, subtração,
multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Por exemplo, a função
definida por:
é uma função algébrica.
As funções polinomiais e racionais, que serão definidas a seguir, são
casos particulares de funções algébricas.
Uma FUNÇÃO POLINOMIAL f é definida por uma equação da forma:
onde n é um número inteiro maior ou igual a zero e ai(i = 0, 1, 2, ..., n) é
um número real fixo. Se an 0 então f é dita uma FUNÇÃO POLINOMIAL DE
GRAU N. Para n = 0, tem-se f(x) = an e se n = 1, obtém-se f(x) = a1 + a0 cujos
gráficos são retas pois se tratam de equações de primeiro grau em x e y; se n
= 2, então f(x) = a2x2 + a1x + a0 cujo gráfico é uma parábola (veja equação de
segundo grau – parábola) com eixo paralelo ao eixo Y. Os gráficos das
funções polinomiais de grau n ≥ 3 , não têm um modelo padronizado, como
acontece com os gráficos das funções polinomiais de grau n com n = 0,1 e 2;
apenas no caso particular da função polinomial de grau três que pode ser
escrita na forma f(x) = a(x - b)3 + c onde a ≠ 0, o gráfico de f tem um formato
padrão e é chamado de parábola cúbica.
19
O ponto (b, c) é dito o PONTO DE INFLEXÃO da parábola cúbica e pode
ser verificado a simetria do gráfico em relação ao ponto (b, c). A verificação
está proposta no exercício 29 do exercitando deste tópico. Os gráficos das
funções polinomiais de grau em geral, poderão ser estudados no tópico 3 da
aula 04, onde será visto que a parábola cúbica é o gráfico da citada função,
veja os exemplos resolvido e proposto 1 do tópico 3 da aula 04.
EXEMPLOS RESOLVIDOS 1
F azer
os gráficos das seguintes funções:
SOLUÇÃO
EXEMPLOS PROPOSTOS 1
Fazer os gráficos das seguintes funções:
20
Uma função racional é o quociente de duas funções polinomiais. Por
exemplo, a função definida por:
é uma função racional.
O exemplo seguinte ilustra como obter o gráfico de uma função racional,
que através de uma simplificação da sua equação, esta se torna uma função
polinomial de grau e de grau 3 do tipo apresentado. No tópico 3 da aula
04, será visto como fazer os gráficos de funções racionais, em que não é
possível fazer tal simplificação.
LEITURA COMPLEMENTAR
Leia o texto "Potência, raiz e fatorações" a partir do Teorema
Fundamental da Álgebra.EXEMPLOS RESOLVIDOS 2
Fazer os gráficos das funções:
SOLUÇÃO
21
EXEMPLOS PROPOSTOS 2
Fazer os gráficos das seguintes funções:
EXEMPLOS RESOLVIDOS 3
Fazer os gráficos das funções:
SOLUÇÃO
(a) Observe que x está no domínio de f se ou seja, se
. Fazendo e elevando ao quadrado os dois lados,
resulta em y2 = 1 - x2 daí x2 + y2 = 1. O gráfico desta última equação é acircunferência de centro na origem e raio igual a 1 (veja equação de segundo grau – circunferência). Logo, o gráfico da equação
é a parte desta circunferência cujos pontos têm a segunda coordenada
menor do que zero ou igual a zero (isto é, a semicircunferência abaixo
do eixo X juntamente com os pontos ) e que está na figura a
seguir.
(b) Um valor de x está no domínio de se isto é,
se . Elevando os dois lados da equação ao quadrado,
obtém-se assim . O gráfico desta última equação é uma
parábola com o eixo na posição horizontal (veja equação de segundo
grau – parábola), assim o gráfico da função dada é a parte desta
parábola cujos pontos têm a segunda coordenada maior do que zero ou
igual a zero (isto é, a parte da parábola que está acima do eixo X
juntamente com o ponto (2, 0)) e que está na figura a seguir. Observe
22
que o gráfico de g é também uma translação horizontal do gráfico
da função do exemplo resolvido 2 do tópico 3 desta aula.
(c) Observe que o domínio de h é o conjunto dos números reais.
Elevando ao cubo os dois lados da equação obtém-se
. Assim, a inversa de h é definida por cujo
gráfico é a parábola cúbica obtida no exemplo resolvido 1(c) deste
tópico. Pelas discussões efetuadas no tópico 1 desta aula, para ter o
gráfico de h, basta fazer a reflexão do gráfico de h-1 em torno da reta y = x e que está na figura a seguir.
DISCUSSÕES EFETUADAS NO TÓPICO 1 DESTA AULA
EXEMPLOS PROPOSTOS 3
Fazer os gráficos das seguintes funções:
Além de definir uma função usando as operações, também é possível definir uma função usando outras funções da seguinte forma: sejam f1 e f2funções com domínios D(f1) e D(f2) respectivamente, tal que
então a função f cujo domínio é e é definida por
é chamada uma FUNÇÃO DEFINIDA POR DUAS EQUAÇÕES. É comum
23
escrever a função f na seguinte forma simplificada,
Observe que a condição é indispensável para que f esteja
bem definida. Analogamente, pode-se definir uma função usando outras três
ou mais funções.
EXEMPLO RESOLVIDO 4
Fazer o gráfico da função
SOLUÇÃO
EXEMPLO PROPOSTO 4
Fazer o gráfico da função e concluir que está
na figura a seguir.
VEJA O CONCEITO E PROPRIEDADES DE VALOR ABSOLUTO
24
Uma função envolvendo valor absoluto é qualquer função definida por
uma ou mais equações em que aparece o símbolo de valor absoluto. O
exemplo seguinte, ilustra como obter o gráfico de algumas dessas funções.
EXEMPLOS RESOLVIDOS 5
Fazer os gráficos das funções:
SOLUÇÃO
EXEMPLOS PROPOSTOS 5
Fazer o gráfico das funções:
O símbolo [b] (lê-se, maior inteiro menor ou igual a b) é definido como o
maior número inteiro que é menor ou igual a b. Por exemplo:
. Uma FUNÇÃO ENVOLVENDO MAIOR
INTEIRO é qualquer função definida por uma equação em que aparece o
símbolo maior inteiro. O exemplo seguinte, ilustra como obter os gráficos de
algumas dessas funções.
EXEMPLOS RESOLVIDOS 6
Fazer os gráficos das funções:
SOLUÇÃO
25
EXEMPLOS PROPOSTOS 6
Fazer os gráficos das funções:
São consideradas como FUNÇÕES TRANSCENDENTES, as funções
trigonométricas, logarítmicas, hiperbólicas e as inversas de tais funções; ou
ainda, as funções obtidas através de um número finito de operações
envolvendo tais funções. As funções trigonométricas seno e co-seno serão
definidas a seguir, a fim de que possam ser utilizadas em exemplos e
exercícios, as demais funções transcendentes serão estudadas na Aula 05.
LEITURA COMPLEMENTAR
Leia o texto "Ângulo, Medida de Ângulo e Trigonometria" para fazer
uma revisão desses temas, vamos precisar a partir deste momento.
Seja x uma variável real, onde x representa a medida em radianos de um
arco da circunferência unitário de centro na origem a partir do ponto (1, 0)
então as funções SENO e CO-SENO são definidas, respectivamente, pelas
equações y = senx e y = cosx. Os gráficos destas funções, estão nas figuras a
seguir com os respectivos domínios e imagens. No tópico 3 da aula 04
(exemplo resolvido 3) os gráficos serão justificados.
26
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao EXERCITANDO e resolva a quantidade máxima de exercícios
que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios 2 e 5 do
exercitando, são as respectivas QUESTÕES 4 E 5 do trabalho desta aula
a ser postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do ambiente SOLAR. É exigido
que o trabalho desta aula seja postado no PORTFÓLIO, no período
indicado na AGENDA do ambiente SOLAR, num único documento de texto
(doc , docx ou PDF) ou manuscrito e escaneado.
FONTES DAS IMAGENS
Responsável: Prof. Jonatan Floriano da Silva
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual
27
TÓPICO 01: LIMITES DE FUNÇÕES
VERSÃO TEXTUAL
O estudo de limites estabelece a noção intuitiva de proximidades
das variáveis de uma função, isto será indispensável à compreensão de
aplicações que surgirão futuramente. Inicialmente serão apresentados
os termos e simbologias necessários para a linguagem básica; será
dado o conceito de limite; e em seguida serão abordadas técnicas de
cálculo de limites, usando alguns teoremas. O conceito de limite e sua
compreensão, são fundamentais para o estudo do Cálculo, pois os
conceitos de derivada e a integral definida, que constituem a
finalidade maior da parte básica do Cálculo, estão diretamente ligados
a limites.
Sejam x uma variável real e c um número real fixo, diz-se que x tende a
c (ou x se aproxima de c), indica-se pelo símbolo , se à medida que x
muda de valor, a distância de x a c se torna cada vez menor, isto é, se os
valores de x a serem assumidos, ficam cada vez mais próximos de c. Por
exemplo, tomando c = 1 a tabela seguinte ilustra x tendendo a 1.
Os seguintes símbolos serão utilizados:
X→ C-
X→C+
X→ -∞ (MENOS INFINITO)
X→ +∞ (MAIS INFINITO)
X→ C-
x → c- (lê-se, x tende a c pela esquerda), para indicar que x tende a c
somente através de valores menores do que c;
X→C+
x→c+ (lê-se, x tende a c pela direita), para indicar que x tende a c
somente através de valores maiores do que c;
X→ -∞ (MENOS INFINITO)
x→ -∞ (lê-se, x tende a menos infinito), significa que x está decrescendo
de forma ilimitada, isto é, indica que os valores de x assumidos, estão
decrescendo e se afastando de qualquer número fixado;
X→ +∞ (MAIS INFINITO)
x →+∞ (lê-se, x tende a mais infinito), significa que x está crescendo de
forma ilimitada, isto é, indica que os valores de x assumidos, estão crescendo
e se afastando de qualquer número fixado;
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
AULA 02: LIMITE E CONTINUIDADE
28
Seja f uma função definida pela equação y = f(x) então se a variável x
tende a um valor fixo (pela esquerda, direita ou os dois lados) ou ainda a
mais ou menos infinito, as mesmas possibilidades ocorrem com a variável y.
Para considerar limites, é de interesse as sentenças indicadas no esquema a
seguir :
Inicialmente, serão usadas do esquema (*) apenas as sentenças:
onde a primeira alternativa significa que se pode ser
um único valor ou assumir dois valores distintos. Nas figuras seguintes estão
os gráficos de ,
ilustram as alternativas quanto a unicidade ou não de L.
Na primeira figura, à medida que x→2 (através de valores < 2 ou > 2) as
imagens correspondentes f(x) →3; na segunda figura, se x→1- então g(x) →2
e se x→1+ então g(x) →-1, assim quando x→1 as imagens correspondentes f
(x) não se aproximam de um único valor.
Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo c, exceto
possivelmente em c, então diz-se que o LIMITE DE F(X) QUANDO X TENDE
A C É IGUAL A L, indica-se por
se unicamente; isto significa que se à medida que
a distância de x a c (independendo de ou ) vai diminuindo, implica
que a distância de f(x) a L se torna cada vez menor. Em outras palavras:
se a distância de f(x) a L pode se tornar tão pequena quanto se
deseja, desde que se considere a distância de x a c suficientemente pequena.
A fim de entender a definição de limite, baseando-se nas noções de
distâncias, considere a função g dada acima juntamente com o seu gráfico,
verifica-se: o não é igual a -1, pois (por exemplo) não é possível ter
com x à esquerda de 1; também não é 2, pois (por
exemplo) é impossível ter com x à direita de 1; e claro que
29
para qualquer outro valor L diferente de -1 e 2, é possível estabelecer uma
situação análoga; portanto, não existe um único valor L tal que .
As letras gregas (lê-se, épsilon) e (lê-se, delta) são usadas para
expressar a definição de limite através dessas noções de distâncias, da
seguinte forma:
A condição é necessária, pois é de interesse as imagens f(x) dos
valores de x próximos de c e não para x = c. Esta última versão da definição
de limite, é a que é usada para demonstrar os resultados que decorrem
diretamente da definição.
EXEMPLOS RESOLVIDOS 1
Usar a definição de limite, para mostrar o limite indicado:
SOLUÇÃO
a) Sendo f(x) = 2x + 1, deve-se mostrar que dado qualquer ε > 0
existe δ > 0 tal que
Ou seja,
Logo, considerando tem-se
Isso mostra que . Qualquer valor δ1 com pode
também ser considerado como o δ que se procurava.
b) Sendo deve-se mostrar que dado qualquer ε > 0
existe δ > 0 tal que
Da experiência obtida no item (a), para encontrar um que
satisfaça tal condição, deve-se achar uma inequação envolvendo
apenas dependendo de x, para tanto é necessário determinar
um valor que majore o fator . Sendo assim, como se deseja que
os valores de x estejam próximos de 1, é possível considerar (por
exemplo) que (ou seja, é possível considerar que o
procurado seja menor que 1), logo
isto é, o valor 5 majora se . Assim, se , então
30
Deseja-se que ou seja, Portanto, tomando
como o menor dos dois valores,
obtém-se então
EXEMPLOS PROPOSTOS 1
Usar a definição de limite, para mostrar o limite indicado:
O limite definido (isto é, se é chamado de LIMITE BILATERAL. Os
limites se são ditos LIMITES UNILATERAIS à esquerda e à
direita, respectivamente; tais limites estão definidos a seguir:
Observe que x - c não aparece entre as barras de valor absoluto nas
definições dos limites unilaterais, pois e nas definições dos
limites à esquerda e à direita, respectivamente.
As demonstrações dos teoremas seguintes estão no texto complementar
indicado no final deste tópico. Os dois teoremas logo a seguir estabelecem a
unicidade do limite e critério de existência do limite bilateral a partir dos
limites unilaterais.
TEOREMA (UNICIDADE DO LIMITE) 1
TEOREMA (CRITÉRIO DE EXISTÊNCIA DO LIMITE BILATERAL) 2
TEOREMA 3
TEOREMA 4
TEOREMA (UNICIDADE DO LIMITE) 1
TEOREMA (CRITÉRIO DE EXISTÊNCIA DO LIMITE BILATERAL) 2
TEOREMA 3
Se a e b são números reais fixos, então
TEOREMA 4
31
(a) O limite da soma ou diferença é a soma ou diferença dos limites se o
limite de cada parcela da soma ou diferença existe, isto é,
(b) O limite o produto é o produto dos limites se o limite de cada fator
do produto existe, ou seja,
(c) O limite do quociente é o quociente dos limites se o limite da função
do numerador existe e o limite da função do denominador existe e é diferente
de zero, isto é,
(d) O limite da raiz n-ésima de uma função é a raiz n-ésima do limite da
função se existe a raiz n-ésima do limite da função, ou seja,
Do teorema (3), obtém-se:
onde (i) e (ii) significam que o limite quando da função constante é
igual à própria constante e o limite quando da função identidade é igual
a c, respectivamente.
Os itens (a) e (b) do teorema 4, podem ser estendidos para um número
finito de funções; mais precisamente, se
então:
Se decorrente de (iv), tem-se
Os resultados dos teoremas 3 e 4, continuam valendo se pode ser
substituído por . O exemplo seguinte ilustra a aplicação dos
teoremas 3 e 4 no cálculo de limites.
EXEMPLOS RESOLVIDOS 2
Calcular os limites indicados:
32
SOLUÇÃO
EXEMPLOS PROPOSTOS 2
Calcular os limites dados para concluir os valores indicados:
Se f é uma função definida por duas ou mais equações, então para
determinar o limite bilateral de f, em certos casos, deve-se considerar o
critério de existência do limite bilateral dado no teorema (2). O exemplo
seguinte ilustra o procedimento.
EXEMPLOS RESOLVIDOS 3
Dada a função, verificar se o limite indicado existe e caso exista, dar o
seu valor:
SOLUÇÃO
a) Para calcular o limite de f(x) quando x tende a 2 pela
esquerda, deve-se considerar f(x) = - x² + 2x+3, pois quando x → 2-
tem-se x < 2. Assim, obtém-se:
33
Por motivos análogos, acha-se
Como os limites unilaterais de f quando x tende a 2, existem e
são iguais a 3, concluí-se:
b) Tem-se e
. Como os limites unilaterais de g
quando x tende a -1, têm valores diferentes, o .
EXEMPLOS PROPOSTOS 3
Dada a função, verificar se o limite indicado existe, caso exista, dar o seu
valor:
Se , diz-se que o tem a FORMA
INDETERMINA 0/0, onde pode ser substituído por .
Existem ainda outras formas indeterminadas, que serão estudadas
posteriormente. O exemplo seguinte ilustra o procedimento para calcular
alguns limites que têm a forma indeterminada 0/0.
EXEMPLOS RESOLVIDOS 4
Calcular os limites indicados:
SOLUÇÃO
EXEMPLOS PROPOSTOS 4
34
Calcular os limites dados para concluir os valores indicados:
EXEMPLOS RESOLVIDOS 5
Calcular os limites indicados:
SOLUÇÃO
EXEMPLOS PROPOSTOS 5
Calcular os limites dados para concluir os valores indicados:
Outros teoremas que serão aplicados posteriormente, são os seguintes,
suas demonstrações estão no texto complementar indicado no final deste
tópico.
TEOREMA 5
Sejam f, g e h funções definidas num intervalo aberto I contendo
c, exceto talvez em c, onde
35
então
TEOREMA 6
Se com L < M, então existe tal
que implica que
Os dois resultados seguintes, seguem-se do teorema 6 e suas
demonstrações são sugeridas como exercícios.
COROLÁRIO 1
Se existem tais que:
(a) Se implica que
(b) Se implica que
COROLÁRIO 2
Se para todo x num intervalo aberto contendo c, exceto
talvez em c, , então
LEITURA COMPLEMENTAR
Leia o texto "Demonstrações dos Teoremas de Limites de Funções
(Visite a aula online para realizar download deste arquivo.)" para ver como
são demonstrados os teoremas enunciados neste tópico.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao EXERCITANDO (Visite a aula online para realizar download
deste arquivo.) e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder,
individualmente ou em grupo. Os exercícios: 2 e 12 são os respectivos
itens (a) e (b) da QUESTÃO 1; 13 e 21 são os respectivos itens (a) e (b)
da QUESTÃO 2 do trabalho desta aula a ser postado no PORTFÓLIO
INDIVIDUAL do ambiente SOLAR. As questões 3 até 5 do trabalho serão
indicadas nos tópicos seguintes desta aula. É exigido que o trabalho desta
aula seja postado no PORTFÓLIO, no período indicado na AGENDA do
ambiente SOLAR, num único documento de texto (doc , docx ou PDF) ou
manuscrito e escaneado.
FONTES DAS IMAGENS
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36
TÓPICO 02: LIMITES NO INFINITO E INFINITO
Considere do esquema * apresentado no tópico 1 desta aula ( <br> <img
src=imagens/02/img01.gif>) , apenas as alternativas
onde significa que se . Cada alternativa define um
LIMITE FINITO NO INFINITO da seguinte forma:
ALTERNATIVA 1
(a) Seja f uma função definida num intervalo aberto e ilimitado
inferiormente, então diz-se que o LIMITE DE F(X) QUANDO X
TENDE A É IGUAL A L, indica-se por se
. Em termos de e DIZ-SE QUE , SE PARA QUALQUER
EXISTE TAL QUE
ALTERNATIVA 2
(b) Seja f uma função definida num intervalo aberto e ilimitado
superiormente, então diz-se que o LIMITE DE F(X) QUANDO X
TENDE A É IGUAL A L, indica-se por se
Em termos de e DIZ-SE QUE SE
PARA QUALQUER EXISTE TAL QUE
No teorema 3 tópico 1 desta aula com a = 0 (isto é, se a função é
constante) e no teorema 4 do tópico 1 desta aula x c pode ser substituído
por ou . As demonstrações são análogas a quando x c. O
teorema seguinte, mais precisamente o seu corolário, poderá ser útil para
calcular limites no infinito.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
AULA 02: LIMITE E CONTINUIDADE
TEOREMA 3 TÓPICO 1 DESTA AULA
Se a e b são números reais fixos, então .
TEOREMA 4 DO TÓPICO 1 DESTA AULA
Se , então:
Do teorema (3), obtém-se:
onde (i) e (ii)
significam que o limite quando x c da função constante é igual à
própria constante e o limite quando x c da função identidade é igual
a c, respectivamente.
37
TEOREMA 1
Se n é um número inteiro positivo, então:
DEMONSTRAÇÃO
Será demonstrada a parte (a), a outra parte tem demonstração
análoga e está sugerida como exercício. Para demonstrar que
deve-se mostrar que para qualquer existe tal
que:
mas
Logo, tomando é verificada a afirmação. O que conclui a
demonstração.
Combinando resultados análogos aos dos teoremas 3 e 4(c) do tópico 1
desta aula quando e o teorema 1, segue-se o seguinte
resultado.
COROLÁRIO
Se r um número real e n é um número inteiro positivo, então:
O exemplo seguinte ilustra o cálculo de limites finitos no infinito.
EXEMPLOS RESOLVIDOS 1
Calcular os limites indicados:
Os itens (a) e (b) do teorema 4, podem ser estendidos para um
número finito de funções; mais precisamente, se
então:
Se , decorrente de (iv), tem-se:
38
SOLUÇÃO
(a) Dividindo por x o numerador e o denominador do
quociente tem-se
Pelo corolário, Pelo teorema análogo
ao teorema 3 do tópico 1 desta aula quando e
. Pelo teorema análogo ao teorema 4(a) quando
Logo do teorema análogo ao teorema 4(c) d o tópico 1 desta
aula quando conclui-se
(b) Dividindo o numerador e o denominador do quociente
por , tem-se
(c) Dividindo o numerador e o denominador do quociente
por x e no numerador pondo (pois os valores que
x está assumindo são positivos), tem-se
(d) Dividindo o numerador e o denominador do quociente
por x e no numerador pondo (pois os valores que x
está assumindo são negativos), obtém-se
EXEMPLOS PROPOSTOS 1
Calcular os limites indicados para concluir os valores dados:
39
Finalmente, considere o restante do esquema apresentado no tópico 1
desta aula, que ainda não foi visto, isto é,
onde cada alternativa define um LIMITE INFINITO, por exemplo, a
primeira da forma a seguir. Seja f uma função definida num intervalo aberto
contendo c, diz-se que o LIMITE DE F(X) QUANDO X TENDE A C É IGUAL
A indica-se por
Em termos de e DIZ-SE QUE SE PARA QUALQUER
EXISTE TAL QUE
O seguinte teorema poderá ser útil para calcular limites infinitos.
TEOREMA 2
Sejam então:
SOLUÇÃO
Será demonstrada a parte (a), as outras partes têm
demonstrações análogas e estão sugeridas como exercícios. Para
demonstrar a parte (a), deve-se mostrar que para qualquer
existe tal que:
Com para existe tal que
ESQUEMA APRESENTADO NO TÓPICO 1 DESTA AULA
Esquema de Limites
40
Sendo para (onde é positivo e arbitrário)
existe tal que
Seja então
Como é arbitrário, a demonstração está concluída.
O teorema continua válido se x c for substituído por
ou O teorema 2 não se aplica quando
, neste caso tem-se a forma indeterminada para que já foi
estudada. No limite bilateral infinito só pode ser determinado a partir dos
limites unilaterais, neste caso, se: e então
então
então escreve-se
EXEMPLOS RESOLVIDOS 2
Calcular os limites indicados:
SOLUÇÃO
(a) Tem-se
então de acordo com o teorema 2, o é infinito e
conforme foi mencionado é necessário calcular os limites
unilaterais.
Se x < 2 então
se x < 2. Assim, se então A conclusão que
pode ser obtida também da seguinte forma, embora
com menos rigor: como se x = 2 ou x = 3 então em outros
valores é < 0 ou > 0, daí nos intervalos
a expressão assume somente
valores negativos ou positivos, assim atribuindo um valor a x em
cada intervalo se obtém o sinal desta expressão no intervalo, de
acordo com a figura a seguir.
41
Logo, se então e daí
. Assim
se , pelo teorema 2(a),
Se x > 2 então x - 2 > 0 e se x < 3 então x - 3 < 0, daí
se 2 < x < 3. Assim, se então
Também, observando a figura anterior, tem-se
então . Logo
e se , pelo teorema 2(b),
Portanto, de (I) e (II), concluí-se que
(b) Dividindo o numerador e o denominador do quociente
por x2, tem-se
Com e se implica que
pois se do teorema 2(b), concluí-se
EXEMPLOS PROPOSTOS 2
Calcular os limites dados para concluir os resultados indicados:
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao EXERCITANDO (Visite a aula online para realizar download
deste arquivo.) e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder,
individualmente ou em grupo. Os exercícios: 1 e 3 são os respectivos itens
(a) e (b) da QUESTÃO 3; 9 E 17 SÃO OS RESPECTIVOS ITENS (A) E (B)
DA QUESTÃO 4 do trabalho desta aula a ser postado no PORTFÓLIO
INDIVIDUAL do ambiente SOLAR. A questão 5 do trabalho será indicada
no tópico 5 desta aula. É exigido que o trabalho desta aula seja postado no
42
Portfólio, no período indicado na Agenda do ambiente Solar, num
único documento de texto (doc , docx ou PDF) ou manuscrito e escaneado.
FONTES DAS IMAGENS
Responsável: Prof. Jonatan Floriano da Silva
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual
43
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
AULA 02: LIMITE E CONTINUIDADE
TÓPICO 03: LIMITES DE FUNÇÕES ENVOLVENDO SENO E CO-SENO
É comum limites do grupo de funções envolvendo as funções seno e
cosseno que têm a forma indeterminada 0/0, serem calculados usando o
LIMITE FUNDAMENTAL, dado por:
Para mostrar que será usado o teorema 5 do tópico 1 desta
aula, isto é, será provado que:
O TEOREMA 5 DO TÓPICO 1 DESTA AULA
Sejam f, g e h funções definidas num intervalo aberto I contendo c,
exceto talvez em c, onde para todo x em I com . Se então .
Inicialmente, considere e a figura seguinte:
Comparando as áreas do triângulo OBP, do setor circular OBP e do
triângulo OBQ, tem-se:
ou seja,
mas, e , logo fazendo a substituição
na desigualdade, obtém-se:
como é positivo (pois ) multiplicando por cada membro
da última desigualdade, encontra-se:
44
Como , desta última desigualdade e do teorema 5 do
tópico desta aula, tem-se:
Seja agora então . Logo, do resultado obtido, tem-se:
mas quando assim:
O exemplo seguinte ilustra a aplicação do limite demonstrado.
EXEMPLOS RESOLVIDOS 1
Mostrar que:
SOLUÇÃO
(a) Tem-se:
mas, logo (pelo teorema 4(b) do tópico
1 desta aula):
Portanto,
(b) Para mostrar esse limite, será usada a identidade . Do teorema 4(b) do tópico 1 desta aula e item (a)
deste exemplo, tem-se: assim (ainda
pelo teorema 4(b) do tópico 1 desta aula):
assim (pelo teorema 4(a) do tópico 1 desta aula):
fazendo, tem-se , logo:
45
TEOREMA 4(B) DO TÓPICO 1 DESTA AULA
Se , então:
Do teorema (3), obtém-se:
onde (i) e (ii) significam que o limite quando da função
constante é igual à própria constante e o limite quando da função
identidade é igual a c, respectivamente.
Os itens (a) e (b) do teorema 4, podem ser estendidos para um
número finito de funções; mais precisamente, se, então:
Se decorrente de (iv), tem-se: .
EXEMPLOS PROPOSTOS 1
Provar que:
EXEMPLOS RESOLVIDOS 2
SOLUÇÃO
(a) Observe que o limite dado tem a forma indeterminada 0/0.
Como:
e, além disso,
tem-se:
46
(b) O limite dado tem a forma indeterminada 0/0. Como tem-se:
mas, logo:
EXEMPLOS PROPOSTOS 2
Calcular os limites dados para concluir os valores indicados:
EXEMPLOS RESOLVIDOS 3
É possível mostrar que não existe (veja o exercício 72(c) do
exercitando deste tópico), entretanto mostrar que
SOLUÇÃO
Tem-se e para qualquer valor de (isto é,
é limitada para todo , portanto do resultado (ii) do
tópico 1 desta aula, segue-se que:
RESULTADO (II) DO TÓPICO 1 DESTA AULA)
Se e g é limitada em torno de c, então (mesmo
que não exista):
EXEMPLO PROPOSTO 3
Mostrar que (Sugestão: fazer ).
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao EXERCITANDOe resolva a quantidade máxima de exercícios
que puder, individualmente ou em grupo. A questão 5 do trabalho será
indicada no tópico seguinte desta aula. É exigido que o trabalho desta aula
seja postado no PORTFÓLIO, no período indicado na AGENDA do
ambiente SOLAR, num único documento de texto (doc , docx ou PDF) ou
manuscrito e escaneado.
FONTES DAS IMAGENS
47
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
AULA 02: LIMITE E CONTINUIDADE
TÓPICO 04: CONTINUIDADES
Para um determinado grupo de funções é possível estabelecer o limite
em relação a um valor, sem que a função esteja definida no valor; ou ainda,
mesmo sendo definida no valor e podendo estabelecer o limite, tal limite não
coincida com a imagem da função no valor. Por exemplo: então
.
Uma função f é CONTÍNUA NUM VALOR c do seu domínio, se o limite de
f(x) quando existe e é igual ao valor de f em c, isto é, se .
VERSÃO TEXTUAL
Este tópico trata dos conceitos de continuidade de funções num
valor e num intervalo, a compreensão de tais conceitos não apresenta
nenhuma dificuldade para o estudante que tenha assimilado a noção
intuitiva de limite. A parte teórica é finalizada com o "teorema do valor
intermediário", trata-se de um importante resultado que será usado
posteriormente, seu enunciado neste estágio deve-se a fato de ser
necessário apenas o conceito de continuidade na formulação de suas
hipóteses; entretanto, encontram-se nos exercícios 40 a 45 do
exercitando deste tópico algumas aplicações desse teorema.
EXEMPLOS RESOLVIDOS 1
Verificar que a função dada é contínua no valor indicado:
SOLUÇÃO
EXEMPLOS PROPOSTOS 1
Mostrar que a função dada é contínua no valor indicado:
EXEMPLO RESOLVIDO 2
Mostrar que as funções seno e cosseno são contínuas em zero.
48
SOLUÇÃO
No exemplo resolvido 1 do tópico 3 desta aula foi provado que logo, pela definição, isto
mostra que as funções seno e cosseno são contínuas em zero.
EXEMPLO RESOLVIDO 1 DO TÓPICO 3 DESTA AULA
EXEMPLO PROPOSTO 2
Provar que as funções seno e cosseno são contínuas em qualquer
número real c. Sugestão: veja o exemplo proposto 1 do tópico 3 desta aula.
EXEMPLO PROPOSTO 1 DO TÓPICO 3 DESTA AULA
Se uma função f não é contínua num valor c do seu domínio, diz-se que f
é DESCONTÍNUA em c.
Geometricamente, para que uma função f seja contínua num valor c, o
gráfico de f não deve apresentar interrupção em c. Nas figuras seguintes,
estão ilustrados os gráficos de algumas funções, que apresentam algum tipo
de interrupção relativa a um valor c, por serem descontínuas em c.
A primeira figura ilustra um exemplo em que o limite existe, mas é
diferente do valor da função e nas demais figuras o limite não existe.
Decorrente da definição de continuidade num valor e do teorema 4 do
tópico 1 desta aula, tem-se o seguinte teorema.
TEOREMA 4 DO TÓPICO 1 DESTA AULA
49
TEOREMA 1
Se f e g são funções contínuas num valor c, então: e fg são contínuas em c,
Com aplicações sucessivas deste teorema e baseando-se que as funções
constante e identidade são contínuas em qualquer valor, tem-se os seguintes
corolários.
COROLÁRIO 1 - Uma função polinomial é contínua em qualquer número
real.
COROLÁRIO 2 - Uma função racional é contínua em qualquer número
real em que ela esteja definida.
Por exemplo: a função é contínua em qualquer número real, pois ela é uma função polinomial; já a função é
contínua em todo número real exceto 1, pois ela é uma função racional e não
está definida apenas em 1.
O conceito de função contínua em um número, apenas acrescenta ao
conceito de limite, que o limite da função seja igual ao valor da função nesse
número. Logo, para expressar que uma função f é contínua num valor c,
usando , basta que seja omitida da definição de limite a condição
(isto é, 0 é menor do que ), uma vez que x pode ser igual a c na definição
de continuidade e substituir L por f(c), tal definição é formalizada a seguir.
Uma função f é CONTÍNUA NUM VALOR c, se f está definida em algum
intervalo aberto contendo c e para qualquer
Quanto à composição de funções, tem-se o teorema seguinte.
TEOREMA 2
Sejam e f contínua em a, então
DEMONSTRAÇÃO
50
Do teorema 2, segue-se o seguinte resultado.
COROLÁRIO - Sejam g contínua em c e f contínua em g(c), então fog é
contínua em c.
DEMONSTRAÇÃO
Como g é contínua em c, logo, como f é contínua em g
(c) pelo teorema 2, . O que conclui
a demonstração.
Sejam f uma função e c um valor no domínio de f, diz-se que f é:
CONTÍNUA NUM INTERVALO ABERTO
(a) Contínua num intervalo aberto I, se f é contínua em todos os
valores de I;
CONTÍNUA NUM INTERVALO SEMIFECHADO À ESQUERDA
(b) Contínua num intervalo semifechado à esquerda , se
f é contínua à direita de a e no intervalo aberto :
CONTÍNUA NUM INTERVALO SEMIFECHADO À DIREITA
(c) Contínua num intervalo semifechado à direita , se f
é contínua à esquerda de b e no intervalo aberto :
CONTÍNUA NUM INTERVALO FECHADO
(d) Contínua num intervalo fechado [a, b], se f é contínua em (a, b),
além disso, é contínua à direita de a e à esquerda de b.
EXEMPLO RESOLVIDO 3
Determinar os maiores intervalos em que é contínua a função
SOLUÇÃO
51
EXEMPLO PROPOSTO 3
Mostrar que [-1, 1] é o maior intervalo em que é contínua a função
O gráfico de uma função contínua num intervalo não apresenta
interrupção em sua extensão, essa noção geométrica sobre continuidade
pode ser justificada pelo teorema seguinte. A demonstração do teorema não
faz parte dos objetivos deste texto.
TEOREMA (DO VALOR INTERMEDIÁRIO) 3
Sejam f uma função contínua num intervalo I, a e b valores em I.
Então, dado qualquer valor r entre f(a) e f(b), existe pelo menos um valor c
em (a, b) tal que f(c) = r.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao EXERCITANDO e resolva a quantidade máxima de exercícios
que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios 10 e 33 são os
respectivos itens (a) e (b) da QUESTÃO 5 do trabalho desta aula a ser
postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAl do ambiente SOLAR.É exigido que o
trabalho desta aula seja postado no Portfólio, no período indicado na,
Agenda do ambiente Solar, num único documento de texto (doc , docx
ou PDF) ou manuscrito e escaneado.
FONTES DAS IMAGENS
Responsável: Prof. Jonatan Floriano da Silva
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual
52
TÓPICO 01: RETA TANGENTE
VERSÃO TEXTUAL
A partir desta aula, será visto como o limite pode ser aplicado em
diversos tipos de problemas que surgem em outras ciências além de
Matemática, como Física, Química, Biologia, etc. Este tópico trata de
um problema geométrico, cujo objetivo é chegar ao conceito de reta
tangente ao gráfico de uma função num ponto.
A reta tangente ( Da palavra latina “tangere” que significa “tocar”.) a
uma circunferência, parábola, elipse e a um ramo de uma hipérbole num
ponto, é definida em Geometria Analítica, como a reta que intercepta essas
cônicas somente nesse ponto , nesse estágio, a unicidade desse ponto de
interseção é um argumento indispensável para chegar às equações das retas.
Este conceito de reta tangente, não se aplica a uma curva qualquer;
entretanto, para uma reta ser tangente a uma curva num ponto , será
exigido que pelo menos em algum arco da curva em torno de , a reta não
intercepte a curva noutro ponto, além disso, outras considerações são
exigidas conforme será visto a seguir.
CÔNICAS SOMENTE NESSE PONTO
Este conceito foi usado para as cônicas e outras curvas especiais
através de vários séculos pelos gregos antigos e era satisfatório devido o
desconhecimento nessa época de curvas mais gerais.
LEITURA COMPLEMENTAR
Lembra-se que o texto "equação de primeiro grau (Visite a aula online
para realizar download deste arquivo.)" já foi sugerido para leitura, caso
ache necessário, leia novamente que a sua compreensão neste tópico será
satisfatória.
A equação de uma reta fica determinada, quando são conhecidos um
ponto e a declividade da reta. Portanto para encontrar a equação da reta
tangente a uma curva num ponto dado, resta obter a declividade da reta.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
AULA 03: DERIVADA
53
Seja f uma função contínua em , para definir a declividade da reta
tangente ao gráfico de f no ponto , considere a reta contendo e
outro ponto P (x,y) do gráfico de f, tal reta é chamada de reta secante.
RETA SECANTE
Como o triângulo na figura é retângulo, a declividade da reta
secante contendo e P, é
mas , assim
Considerando o ponto fixo e o ponto P tendendo ao ponto ao longo
da curva (isto é, P aproximando-se de sem sair da curva, ou equivalente,
fazendo ), se a reta secante tem uma posição limite, esta posição limite
é definida como a da reta tangente à curva no ponto Po.
PONTO PO
Assim, a declividade da reta tangente ao gráfico de f no ponto
pode ser vista como o limite da declividade da reta secante quando , ou
seja,
se o limite existe.
Existem situações onde é útil mudar neste limite a variável x para uma
variável , fazendo , ou seja, equivale a
assim
VARIÁVEL
54
É histórico e tradicional indicar esta variável usando a letra grega
(lê-se, delta) seguida da letra x, posteriormente, por razões de
simplicidade, será usada apenas uma letra minúscula do nosso alfabeto.
Evidentemente que se existe, a reta tangente não pode ser vertical;
assim é relevante examinar o tipo de não existência do limite de se a reta
tangente é vertical. Isto significa que deverá ser analisado os limites
unilaterais de se a reta tangente é vertical. Inicialmente, considere a reta
tangente vertical como o limite da secante girando no sentido anti-horário.
ANTI-HORÁRIO
Observe (na figura) que se , então , assim
pois . Seja agora a reta tangente vertical
como o limite da secante girando no sentido horário.
SENTIDO HORÁRIO
Note (na figura) que se , então , logo
pois
Portanto, é sugestivo que a definição de reta tangente seja como a
seguir. Seja f uma função contínua em , então a RETA TANGENTE ao
gráfico de f no ponto é a reta de equação:
55
OBSERVAÇÃO
Observe que a reta tangente ao gráfico de uma função f num ponto,
está definida apenas nos casos de inexistência do limite de em que
, isto é, nos outros casos em que não existe, diz-se
que o gráfico de f não tem reta tangente em .
A RETA NORMAL a uma curva num ponto, é a reta perpendicular a reta
tangente à curva nesse ponto.
Na figura estão a reta tangente ao gráfico de f num ponto na cor
"laranja" e a reta normal ao gráfico nesse ponto na cor "preta".
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Achar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da parábola
no ponto A(1,1). Fazer os gráficos da parábola e das retas.
SOLUÇÃO
Fazendo , tem-se
é a declividade da reta tangente ao gráfico da equação no
ponto A. Portanto é uma equação da reta tangente, que
simplificando dá . Como é a declividade da
reta perpendicular à reta de declividade igual a 2, tem-se
como uma equação da reta normal ao gráfico da
equação dada em A, que simplificando dá . Os gráficos
estão na figura a seguir.
EXEMPLO PROPOSTO
Mostrar que e são as equações das retas tangente
e normal à curva no ponto em que x = 1, respectivamente. Fazer os
gráficos da curva e das retas.
LEITURA COMPLEMENTAR
56
Leia o texto "Movimento Retilíneo (Visite a aula online para realizar
download deste arquivo.)", onde você pode ver uma aplicação em Física de
limite.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao EXERCITANDO (Visite a aula online para realizar download
deste arquivo.) e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder,
individualmente ou em grupo. Os exercícios 3 e 5 do exercitando, são os
respectivos itens (a) e (b) da QUESTÃO 1 do trabalho desta aula a ser
postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do ambiente SOLAR. As questões 2
a 5 do trabalho, serão indicadas nos tópicos seguintes desta aula. É
exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio, no período
indicado na Agenda do ambiente Solar, num único documento de texto
(doc , docx ou PDF) ou manuscrito e escaneado.
FONTES DAS IMAGENS
1. http://www.adobe.com/go/getflashplayer
Responsável: Prof. Jonatan Floriano da Silva
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual
57
TÓPICO 02: TAXA DE VARIAÇÕES
VERSÃO TEXTUAL
Os conceitos de declividade da reta tangente ao gráfico de uma
função num ponto e velocidade de uma partícula em movimento
retilíneo num instante, embora pareçam bastante distintos, têm muito
em comum e historicamente serviram de inspiração para a criação de
uma teoria mais geral. Este tópico faz uma única interpretação dos
limites envolvidos nos conceitos de reta tangente e velocidade.
Limites análogos aos das definições de , e , vistos no tópico 1 e
texto complementar indicado no final do tópico 1 desta aula, são usados em
outras aplicações, assim é sugestivo fazer uma uniformização. Seja f uma
função definida de a , se x varia de a , então y varia de
a ; indicando por a variação de correspondente a
variação de , tem-se
Assim, a TAXA (OU RAZÃO) MÉDIA DE VARIAÇÃO de pela variação
de é dada por
Quando se faz , diz-se que é uma VARIAÇÃO INSTANTÂNEA de
(ou uma variação infinitesimal do valor ). Suponha que f seja contínua
em , então implica que , logo sendo f contínua em é
possível interpretar que é taxa (ou razão) de duas quantidades
infinitesimais. Se tal limite existe, ele é dito a TAXA (OU RAZÃO)
INSTANTÂNEA DE VARIAÇÃO de y em relação a x em , então sendo
, tem-se
Assim, pode-se dizer: declividade da reta tangente, velocidade e
aceleração instantâneas são taxas de variações infinitesimais.
Outros exemplos aparecem em:
QUÍMICA
Quando é de interesse achar a taxa em que uma substância se
modifica em relação ao tempo ao reagir com outra;
BIOLOGIA
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
AULA 03: DERIVADA
58
Para saber a taxa em que a quantidade de bactérias diminui ou
aumenta numa cultura com o passar do tempo;
FÍSICA
Para achar num circuito a taxa de variação da corrente elétrica em
relação ao tempo.
Em geral, a taxa de variação de uma grandeza em relação ao tempo,
também é chamada de VELOCIDADE DE VARIAÇÃO da grandeza.
É possível também considerar taxas de variação em relação a uma
grandeza que não seja o tempo, por exemplo: a taxa de variação do volume
de um gás em relação à pressão; a taxa de variação da corrente elétrica em
relação à resistência, etc.
EXEMPLO RESOLVIDO
A variação da pressão num gás confinado, faz com que ele sofra uma
dilatação (isto é, altere de volume), a LEI DE BOYLE-MARIOTTE para a
dilatação de um gás estabelece: em temperatura constante, o produto da
pressão pelo volume do gás é constante, ou seja, pV = c onde p é a
PRESSÃO (isto é, a força em newtons por unidade de volume) que age
sobre o gás, V é o volume do gás e c é uma constante. Se um gás
confinado, num determinado instante, está submetido a uma pressão de
, achar a taxa de variação do volume do gás nesse instante, fazendo
c = 75.
SOLUÇÃO
Substituindo c por 75 e colocando V em termos de p, tem-se
, assim a taxa de variação
O valor negativo de significa que o volume está
diminuindo nesse instante.
EXEMPLO PROPOSTO
A LEI DE OHM afirma: num condutor, a razão da diferença de
potencial (ou força eletromotriz, que é escrita abreviadamente como
FEM) V entre dois pontos do condutor pela intensidade da corrente elétrica
59
I é constante e igual a resistência elétrica R, isto é, V / I = R. Se um condutor
está submetido uma fem de 220 volts, provar que a taxa de variação da
intensidade da corrente elétrica I em relação a resistência ( -- A resistência
de um condutor pode variar quando ele é submetido a variações de
temperatura.) quando ela é 10 ohms é igual a -2,2 ampères por ohms.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao EXERCITANDO (Visite a aula online para realizar download
deste arquivo.) e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder,
individualmente ou em grupo. As questões 2 a 5 do trabalho, serão
indicadas no tópico seguinte desta aula. É exigido que o trabalho desta
aula seja postado no Portfólio, no período indicado na Agenda do
ambiente Solar, num único documento de texto (doc , docx ou PDF) ou
manuscrito e escaneado.
FONTES DAS IMAGENS
1. http://www.adobe.com/go/getflashplayer
Responsável: Prof. Jonatan Floriano da Silva
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual
60
TÓPICO 03: DERIVADAS DE FUNÇÕES
VERSÃO TEXTUAL
Neste tópico inicialmente será definida uma função usando limite,
tal função desempenha um papel de grande importância em várias
áreas da Matemática, além de ter relevantes aplicações em outras
ciências; essa função chama-se derivada. A imagem da derivada de
uma função num valor, pode ser vista, por exemplo, como a inclinação
da reta tangente a uma curva num ponto, a velocidade de uma
partícula, a razão (ou taxa) de quantidades muito pequenas; onde a
interpretação depende do tipo de grandeza representada por tal
função. Posteriormente, serão examinados o problema de existência
da derivada e a relação entre derivada e continuidade. O tópico é
finalizado com os conceitos de derivadas de ordens superior a
primeira, que serão indispensáveis em várias aplicações futuras.
A DERIVADA PRIMEIRA (ou simplesmente, a derivada) de uma função
f é a função indicada por f ' (lê-se, f linha) e definida num valor por
se este limite existir. Além do símbolo f '(x), utiliza-se também as
seguintes notações para indicar a derivada de f num valor x onde ela existe:
Como foi mencionado no tópico 1 desta aula, a fim de simplificar, se for
desnecessário usar a variável , será usada apenas uma letra minúscula do
nosso alfabeto, por exemplo h ou t invés de .
EXEMPLOS RESOLVIDOS 1
Calcular a derivada da função dada:
SOLUÇÃO
(a) Como , tem-se
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
AULA 03: DERIVADA
61
assim
(b) Sendo tem-se
logo
EXEMPLOS PROPOSTOS 1
Mostrar que se:
O limite que estabelece a derivada de uma função f num valor
particular onde ela existe, pode ser encontrado de uma das seguintes
maneiras:
(a) Substituindo x por na fórmula para f '(x), que fica
(b) Fazendo , assim equivale a que
resulta em
62
Sejam uma função f, um intervalo aberto e diz-se que f é
DERIVÁVEL em (ou diferenciável em ), se f '( ) existe.
EXEMPLO RESOLVIDO 2
Mostrar que a função não é derivável em 0.
SOLUÇÃO
Deve-se mostrar que f '(0) não existe. Tem-se que
mas (do teorema 3 do tópico 1 da aula 02) e (do
teorema 4(d) do tópico 1 da aula 02) onde
se logo (pelo teorema 2(a) do tópico 2 da aula 02)
portanto f '(0) não existe.
DO TEOREMA 4(D) DO TÓPICO 1 DA AULA 02
Se então:
(d)O limite da raiz n-ésima de uma função está bem definido, o seu
valor é a raiz n-ésima do limite da função, desde que exista a raiz
n-ésima do limite da função, ou seja,
TEOREMA 2(A) DO TÓPICO 2 DA AULA 02
Sejam então:
O teorema continua válido se for substituído por
ou
EXEMPLO PROPOSTO 2
Provar que a função não é derivável em 0.
Observe que embora a função f do exemplo resolvido 2 seja contínua em
todo o conjunto dos números reais, f não é derivável. Isto é, em geral,
DO TEOREMA 3 DO TÓPICO 1 DA AULA 02
Se a e b são números reais fixos, então
Do teorema (1), obtém-se:
63
continuidade não implica em diferenciabilidade; entretanto, se uma função é
derivável num valor, ela é contínua nesse valor, conforme verificado no
teorema a seguir.
TEOREMA
Se f é uma função derivável em , então f é contínua em .
DEMONSTRAÇÃO
Deve-se mostrar que se existe, então
Observe que além
disso
pois e existem e
pois é constante; logo (aplicando o teorema 4(a) do tópico 1
da aula 02)
APLICANDO O TEOREMA 4(A) DO TÓPICO 1 DA AULA 02
Se então:
(a) O limite da soma ou diferença é a soma ou diferença dos
limites se o limite de cada parcela da soma existe, isto é,
O que conclui a demonstração.
A derivada de uma função num valor é um limite bilateral, assim uma
forma de verificar a existência da derivada, é o critério da existência do limite
bilateral dado no teorema 2 do tópico 1 da aula 02, mais precisamente,
indicando e definindo a DERIVADA À ESQUERDA e a DERIVADA À DIREITA
de f em por
TEOREMA 2 DO TÓPICO 1 DA AULA 02
O se, e somente se,
64
respectivamente, então: (existe) se, e somente se,
existem e são iguais a L. Os números são também chamados
DERIVADAS LATERAIS de f em . Uma função é DERIVÁVEL NUM
INTERVALO (ou diferenciável em I) se ela é derivável em todos os
valores de I; caso I seja semifechado ou fechado, a derivada no valor
extremo inferior ou superior do intervalo é a derivada à direita ou à
esquerda, respectivamente. Uma FUNÇÃO DERIVÁVEL é a função derivável
em todos os valores do seu domínio.
EXEMPLO RESOLVIDO 3
Verificar se a função é derivável em 1.
SOLUÇÃO
Tem-se
(substituindo pois se
e
e
(substituindo pois
Como , obtém-se que f '(1) não existe,
assim f não é derivável em 1.
EXEMPLO PROPOSTO 3
Provar que a função é derivável em 1.
Como as funções dos exemplos resolvidos 2 e 3 são contínuas em 0 e
1, respectivamente, mas não são deriváveis em 0 e 1, tais funções justificam
que a recíproca do último teorema não é verdadeira, ou seja, continuidade
não implica em diferenciabilidade.
OBSERVAÇÃO
Observe ainda, que o teorema afirma: SE F NÃO É CONTÍNUA EM ,
ENTÃO F NÃO É DERIVÁVEL EM . Isto não é aplicável nos exemplos
citados, mas pode ser usado (por exemplo) para mostrar que a função
65
não é derivável em zero, pois f não é contínua em zero.
Derivando uma função f pela segunda vez, isto é, derivando a função f ',
tem-se a DERIVADA SEGUNDA de f, que é indicada por f " (lê-se, f duas
linhas) e definida por
para todo x no domínio de f ' onde este limite existe. Similarmente,
define-se a DERIVADA TERCEIRA de f, que é indicada por , como a
derivada primeira de f ". Em geral, se n é um número inteiro maior ou igual
a 2, a DERIVADA N-ÉSIMA (ou a derivada de ordem n) de f, que é indicada
por , é a derivada primeira da função , onde em particular
. Usa-se ainda, as seguintes notações para a derivada de
ordem n da função f:
particularmente, as notações
são usadas para simbolizar a derivada segunda de f.
EXEMPLO RESOLVIDO 4
Encontrar f "(3) se
SOLUÇÃO
Inicialmente, deve-se ter a derivada primeira
de f para x arbitrário. Do exemplo resolvido 1(b) deste tópico, tem-
se
Portanto
66
EXEMPLO PROPOSTO 4
Mostrar que se
Conforme foi visto no texto complementar indicado no final do tópico 1
desta aula, se s = f(t) é a equação de movimento retilíneo de uma partícula,
então as derivadas primeira e segunda de f, são a velocidade e a aceleração
instantâneas da partícula, respectivamente.
EXEMPLOS RESOLVIDOS 5
Considere a distância percorrida por uma partícula no
tempo t, se o movimento é retilíneo e o tempo começa a ser medido de
zero:
(a) Encontrar o instante em que a partícula está em repouso e os
intervalos de tempo em que a partícula se desloca para direita ou
esquerda;
(b) Mostrar que partícula se desloca com aceleração constante.
SOLUÇÃO
(a) Seja calculando num tempo qualquer,
tem-se
logo
Inicialmente, veja a análise no começo da solução do exemplo
resolvido do texto complementar indicado no final do tópico 1 desta
aula. A partícula estará em repouso se isto é, se t = 1. Se
então logo neste intervalo de tempo a partícula se
desloca apenas para esquerda; e se t > 1 então assim após
uma unidade de tempo a partícula se desloca somente para direita.
EXEMPLO RESOLVIDO DO TEXTO COMPLEMENTAR INDICADO NO
FINAL DO TÓPICO 1 DESTA AULA.
EXEMPLO RESOLVIDO. Se é a distãncia
percorrida por uma partícula no tempo t, supondo que o
deslocamento é retilíneo e o tempo começa a ser medido de
zero, mostrar que a partícula no instante:
(a) t = 1 está em repouso;
(b) t = 0,5 se desloca para esquerda.
SOLUÇÃO. Nos instantes em que a partícula está em
repouso, a velocidade instantânea é zero. Assim entre esses
67
instantes a velocidade é menor ou maior que zero e a partícula
estará se movendo para esquerda ou para direita. Para
verificar tal fato, suponha que
então (pelo corolário 1 do teorema 6 do tópico 1 da aula 3),
para valores de em algum intervalo aberto contendo
zero, exceto mas logo ou seja,
Portanto se em a partícula estará se
movendo para esquerda. Analogamente, prova-se que se
em a partícula estará se movendo para direita.
(b) Sendo a aceleração da partícula num tempo
qualquer é
portanto a aceleração tem o mesmo valor para todo
valor de t, ou seja, a aceleração é constante.
EXEMPLOS PROPOSTOS 5
Se é a distância percorrida por uma partícula no tempo
t, supondo que o deslocamento é retilíneo e o tempo começa a ser medido de
zero, provar que:
(a) No instante t = 2 a partícula está em repouso e nos intervalos de tempo (0,2) e (2,+∞) a partícula se desloca para esquerda e direita, respectivamente;
(b) A aceleração instantânea da partícula no instante em que t = 1 é igual a 6 e neste instante sua velocidade está aumentando.
ATIVIDADE DE PORFÓLIO
Vá ao EXERCITANDO (Visite a aula online para realizar download
deste arquivo.) e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder,
individualmente ou em grupo. Os exercícios do exercitando: 3, 5 e 23 são
os respectivos itens (a) a (c) da QUESTÃO 2 do trabalho desta aula a ser
postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do ambiente SOLAR. As questões3
a 5 do trabalho desta aula, serão indicados nos tópicos seguintes desta
aula. É exigido que o trabalho desta aula seja postado no PORTFÓLIO, no
período indicado na AGENDA do ambiente SOLAR, num único documento
de texto (doc , docx ou PDF) ou manuscrito e escaneado.
68
FONTES DAS IMAGENS
1. http://www.adobe.com/go/getflashplayer
Responsável: Prof. Jonatan Floriano da Silva
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual
69
TÓPICO 04: FÓRMULAS DE DERIVAÇÃO
VERSÃO TEXTUAL
A derivada de uma função, até este momento, foi efetuada através
da sua definição; entretanto, tal procedimento quando usado para
funções mais complexas requer excessivo trabalho ou dificuldades.
Neste tópico, serão apresentados os teoremas e corolários que
permitem encontrar a derivada de uma função (num valor onde ela
existe) através de fórmulas, onde as suas demonstrações serão
efetuadas no texto complementar indicado no final deste tópico; as
fórmulas para derivar as funções seno e cosseno, serão estabelecidas
no final do tópico.
O que se chama DERIVAÇÃO (ou diferenciação) é o processo usado para
encontrar a derivada de uma função. Os teoremas que serão estabelecidos a
seguir, dão um conjunto de fórmulas que permitem encontrar a derivada de
uma função num valor onde ela existe, as demonstrações de alguns itens
serão efetuadas no texto complementar indicado no final deste tópico.
TEOREMA 1
Se a e b são constantes, r é racional e é derivável, então
TEOREMA 2
Sejam f e g funções deriváveis num valor x, então a derivada:
(A) DA SOMA DE F COM G
Da soma de f com g é dada por
(B) DO PRODUTO DE F POR G
Do produto de f por g é dada por
(C) DO QUOCIENTE DE F POR G
Do quociente de f por g é dada por
Do teorema (1), obtém-se:
A FÓRMULA (I)
Significa que a derivada da função constante é igual a função nula.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
AULA 03: DERIVADA
70
A FÓRMULA (II)
Significa que a derivada da função identidade é igual a função
constante e igual a um.
EXEMPLOS RESOLVIDOS 1
Calcular a derivada das seguintes funções:
SOLUÇÃO (A)
(a) Aplicando o resultado (iii) (<img
src=imagens/04/imagem06.gif>) , tem-se
Usando o teorema 1,tem-se
TEOREMA 1
Se a e b são constantes, r é racional e é
derivável, então
Do teorema (1), obtém-se:
e b = 0.
Logo, substituindo os resultados obtidos, encontra-se
SOLUÇÃO (B)
SOLUÇÃO (C)
71
SOLUÇÃO (D)
(d) Sendo , do teorema 2(b), tem-se
TEOREMA 2(B)
mas Logo,
substituindo os resultados obtidos, encontra-se
SOLUÇÃO (E)
(e) Sendo , aplicando o teorema 2(c), tem-se
TEOREMA 2(C)
mas . Logo, substituindo os
resultados obtidos, encontra-se
EXEMPLOS PROPOSTOS 1
Mostrar que se:
72
O teorema a seguir permite encontrar a derivada da composta de duas
funções a partir das derivadas das funções, isto é, sem efetuar a
composição; a fórmula estabelecida pelo teorema é conhecida como a
"REGRA DA CADEIA".
TEOREMA 3
Sejam f e g funções deriváveis e definidas por e então é derivável, além
disso
Como aplicações imediatas da regra da cadeia, tem-se os resultados (I) e
(II) a seguir.
(I)
(II)
73
EXEMPLOS RESOLVIDOS 2
Calcular:
SOLUÇÃO (A)
Uma segunda solução pode ser obtida, considerando a variável
intermediária u mencionada no enunciado do teorema 3 deste
tópico, assim fazendo
TEOREMA 3
74
SOLUÇÃO (B)
Do resultado (ii) do teorema 3 tem-se
RESULTADO (II) DO TEOREMA 3
EXEMPLOS PROPOSTOS 2
Mostrar que se:
TEOREMA 4
Sejam r um número racional, f e g deriváveis tal que então
75
EXEMPLO RESOLVIDO 3
Calcular .
SOLUÇÃO
Aplicando o teorema 2(c) tem-se
TEOREMA 2(C)
mas (do teorema 1(ii) e do teorema 4) e
logo substituindo os resultados encontrados, obtém-se:
TEOREMA 1(II)
Portanto, a derivada segunda da função f é dada por
EXEMPLO PROPOSTO 3
EXEMPLOS RESOLVIDOS 4
Achar a derivada das seguintes funções:
76
SOLUÇÃO
EXEMPLOS PROPOSTOS 4
Provar que se:
A seguir, serão encontradas as derivadas das funções seno e co-seno. Da
definição de derivada, obtém-se
mas
logo
como pois senx e cosx são constantes em
relação a t, além disso (conforme exemplo resolvido 2(a) do
tópico 3 da aula 02) e (como foi visto no tópico 2 da aula 02), tem-
se
EXEMPLO RESOLVIDO 2(A) DO TÓPICO 3 DA AULA 02
77
Se u é uma função de x e derivável, da regra da cadeia (enunciada no
teorema 3 deste tópico),
obtém-se
A derivada da função co-seno é obtida, aplicando-se a fórmula da
derivada da função seno e as identidades
Sendo assim,
Sendo ainda u uma função de x e derivável, pela regra da cadeia,
EXEMPLOS RESOLVIDOS 5
Calcular a derivada da função dada:
SOLUÇÃO
EXEMPLOS PROPOSTOS 5
78
Provar que se:
LEITURA COMPLEMENTAR
No texto "Demonstrações das Fórmulas de Derivação" (clique aqui
para abrir) (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.),
estão as demonstrações a maioria das fórmulas apresentadas neste tópico.
É uma boa oportunidade para rever recursos algébricos gerais com limites
que possuem a forma indeterminada 0/0. É recomendável, pelo menos
uma leitura atenciosa.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao exercitando (CLIQUE AQUI PARA ABRIR) (Visite a aula online
para realizar download deste arquivo.)e resolva a quantidade máxima de
exercícios que puder, individualmente ou em grupo. No exercitando, os
exercícios: 9 e 27 são os respectivos itens (a) e (b) da QUESTÃO 3; 35 e 41
são os respectivos itens (a) e (b) da QUESTÃO 4 do trabalho desta aula a
ser postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do ambiente SOLAR. A questão
5 do trabalho, será indicada no tópico seguinte desta aula. É exigido que o
trabalho desta aula seja postado no Portfólio, no período indicado na
Agenda do ambiente Solar, num único documento de texto (doc , docx
ou PDF) ou manuscrito e escaneado.
FONTES DAS IMAGENS
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79
TÓPICO 05: DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
VERSÃO TEXTUAL
Esta aula é finalizada, vendo o processo para encontrar a derivada
de uma função definida por uma equação em que a variável
dependente não esteja isolada, diretamente da equação (isto é, sem
resolver a equação), processo esse conhecido como derivação
implícita.
Se na equação que define uma função f, a variável dependente y está
isolada, diz-se que f (ou y) está DEFINIDA EXPLICITAMENTE como uma
função de x. Por exemplo, na equação
y está definida explicitamente como uma função de x.
Se numa equação que define uma ou mais funções, a variável
dependente y não está isolada, diz-se que y está DEFINIDA
IMPLICITAMENTE como uma ou mais funções de x. Por exemplo, na equação
y está definida implicitamente como uma ou mais funções de x; neste
caso, resolvendo a equação , assim y pode ser
explicitada através das equações
que definem duas funções com domínios (por exemplo) iguais ao
intervalo [-2, 2].
É comum, numa equação em que a variável y está implícita, haver
dificuldades para explicitar y em termos de x, como por exemplo na equação
daí a necessidade de um processo para encontrar Dxy sem resolver a
equação para y, esse processo usa também as fórmulas de derivação dadas
no tópico 1 desta aula e é chamado DERIVAÇÃO IMPLÍCITA. Os exemplos
seguintes ilustram o processo de derivação implícita. Os teoremas e
resultado (iii) citados no exemplo resolvido1a seguir, são do tópico 4 desta
aula.
EXEMPLOS RESOLVIDOS 1
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
AULA 03: DERIVADA
80
Encontrar Dxy se x e y são dadas nas equações seguintes:
SOLUÇÃO
(a) Derivando os dois lados da equação dada em relação a x,
tem-se
assim (pelo teorema 2(a))
TEOREMA 2(A)
mas (pelo teorema 1) , (pelo teorema 4,
colocando y no lugar de , substituindo os
resultados encontrados, obtém-se
TEOREMA 1
TEOREMA 4
(b) Derivando os dois lados da equação dada em relação a x,
obtém-se
logo (pelo resultado (iii) do teorema 2(a) ( -- <img
src=imagens/05/imagem16.gif>) )
Aplicando o teorema 2(b) para derivar os produtos, tem-se
TEOREMA 2(B)
81
mas (pelo teorema 1) , (pelo
teorema 4)
Portanto, substituindo os resultados obtidos, obtém-se:
passando todos as parcelas que têm Dxy para o primeiro
membro e as que não têm para o segundo membro da equação,
acha-se
colocando Dxy em evidência, tem-se
portanto (passando o coeficiente de para o segundo membro da
equação)
EXEMPLOS PROPOSTOS 1
Provar que se:
O exemplo seguinte ilustra como obter derivadas de ordem superior a
primeira de funções implícitas.
EXEMPLOS RESOLVIDOS 2
Calcular para x e y dadas na equação:
SOLUÇÃO
82
EXEMPLOS PROPOSTOS 2
Provar que se:
Um grupo de problemas sobre razão instantânea de variação e que usa
derivação implícita na sua solução é o seguinte: se duas variáveis y e x estão
83
relacionadas através de uma única equação e por sua vez cada uma destas
variáveis são funções do tempo t, quando se deseja encontrar a razão (ou
taxa) instantânea de variação de y ou de x em relação a t, usa-se derivação
implícita; esse tipo de problema, chama-se PROBLEMA DE TAXAS
RELACIONADAS. Lembrando do tópico 3 da aula 03, que a razão instantânea
de variação de uma grandeza em relação ao tempo, também é chamada de
velocidade de variação da grandeza. O exemplo a seguir ilustra o referido
tipo de problema.
EXEMPLOS RESOLVIDOS 3
Se um gás confinado, num certo instante, tem a pressão de 50 N/cm2,
o volume de 10 cm3 e a pressão está aumentando a razão de 4(N/cm2) por
minuto, encontrar a velocidade de variação do volume do gás nesse
instante.
SOLUÇÃO
A Lei de Boyle-Mariotte (enunciada no exemplo resolvido do
tópico 2 da aula 03) relaciona a pressão e o volume do gás. Deseja-
se achar DtV no instante em que:
por minuto. Como pV = c obtém-se:
LEI DE BOYLE-MARIOTTE
Lei de Boyle-Mariotte para a dilatação de um gás
estabelece: em temperatura constante, o produto da pressão
pelo volume do gás é constante, ou seja, pV = c onde p é a
pressão (isto é, a força em newtons por unidade de volume)
que age sobre o gás, V é o volume do gás e c é uma constante.
assim
é a razão instantânea de variação do volume do gás em relação
ao tempo, num tempo qualquer. Substituindo os dados do
problema, tem-se a razão de variação do volume do gás em relação
ao tempo no instante considerado, que é
O valor negativo de DtV, significa que o volume do gás está
diminuindo à medida que o tempo passa.
EXEMPLO PROPOSTO 3
84
Se num condutor de resistência constante igual a 10 ohms, num
determinado instante, a taxa de variação da diferença de potencial é de 20
volts por segundo, mostrar que a velocidade de variação da intensidade da
corrente elétrica nesse instante é de 2 ampères por segundo. Sugestão: use a
Lei de Ohm enunciada no exemplo proposto do tópico 2 da aula 03.
LEI DE OHM
LEI DE OHM afirma: num condutor, a razão da diferença de
potencial (ou força eletromotriz, que é escrita abreviadamente como
FEM) V entre dois pontos do condutor pela intensidade da corrente
elétrica I é constante e igual a resistência elétrica R, isto é, V/I = R.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao EXERCITANDO (Visite a aula online para realizar download
deste arquivo.) e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder,
individualmente ou em grupo. Os exercícios 11 e 19 do exercitando, são
os respectivos itens(a) e (b) da QUESTÃO 5 do trabalho desta aula a ser
postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do ambiente SOLAR.É exigido que o
trabalho desta aula seja postado no Portfólio, no período indicado na
Agenda do ambiente Solar, num único documento de texto (doc , docx
ou PDF) ou manuscrito e escaneado.
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85
TÓPICO 01: VALORES EXTREMOS E TEOREMA DO VALOR MÉDIO
VERSÃO TEXTUAL
Este tópico trata dos conceitos e resultados básicos necessários às
aplicações da derivada que serão estudadas nesta aula. Inicialmente
serão introduzidos os conceitos de valores mínimo e máximo locais de
uma função, posteriormente serão definidos os valores mínimo e
máximo absolutos de uma função. Esses valores locais e absolutos são
também chamados de valores extremos da função, são fundamentais
ao estudo de gráficos de funções usando derivadas (a ser realizado no
tópico 3 desta aula) e aparecem também numa variedade de
problemas muito comuns que serão vistos no texto complementar a
ser indicado no final do tópico 3 desta aula). Este tópico será
finalizado com o importante resultado conhecido como o "teorema do
valor médio de Lagrange", trata-se de um resultado teórico de extrema
importância na demonstração de vários outros resultados que serão
tratados posteriormente.
Sejam f uma função com domínio e , diz-se que f tem um:
• VALOR MÍNIMO LOCAL (ou um valor mínimo relativo) em m, se existe
um intervalo aberto com tal que para todo ;
• VALOR MÁXIMO LOCAL (ou um valor máximo relativo) em m, se
existe um intervalo aberto com tal que para todo .
Um valor mínimo ou máximo local de uma função, é chamado de
VALOR EXTREMO LOCAL(ou valor extremo relativo) da função e um ponto
correspondente a um desses valores é dito um PONTO EXTREMO LOCAL (ou
um ponto extremo relativo) do gráfico da função.
Geometricamente, um ponto extremo local significa que localmente esse
é o ponto mais baixo ou mais alto do gráfico, conforme o ponto seja de
mínimo ou de máximo, respectivamente. Por exemplo, seja a função
o gráfico de f está na figura seguinte.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
AULA 04: APLICAÇÕES DA DERIVADA
86
OBSERVAÇÃO
Como pode ser observado no gráfico, a função f tem valor mínimo
local igual a -2 em 1 e valor máximo local igual a 1 em 0, assim (-1,2) é
ponto de mínimo local e (0,1) é ponto de máximo local do gráfico de f.
O teorema a seguir mostra como determinar os possíveis valores de m,
onde uma função derivável em m tem um extremo local.
TEOREMA 1
Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo m e
derivável em m. Se f tem um valor extremo local em m, então f ' (m) = 0.
DEMONSTRAÇÃO
Suponha que f tenha valor mínimo local em m, então
para todo x num intervalo aberto I contendo m. Daí
para todo x em I. Como f é derivável em m, os limites de
quando x tende a m pela esquerda e pela direita, existem e são iguais
a f'(m), logo (pela versão do corolário 2 do teorema 6 do tópico 01 da
aula 02 para limites unilaterais), tem-se:
COROLÁRIO 2
assim
Analogamente, demonstra-se o teorema se f tem valor máximo
local em m.
Geometricamente, o teorema 1 tem a seguinte interpretação: se uma
função f tem um valor extremo local em m, onde ela é derivável, então a reta
tangente ao gráfico de f no ponto (m,f(m)) é uma reta horizontal. Observe
que a recíproca do teorema 1, em geral, não é verdadeira; por exemplo, se f
é a função definida por (dada exemplo resolvido 1(c) do tópico 4 da
aula 01) então f é derivável e f '(0) = 0, mas f não tem valor extremo local
em 0. A diferenciabilidade de uma função, num valor onde ela tem um
extremo local, é indispensável para que a derivada se anule nesse valor, isto
é, uma função f pode ter um extremo local num valor, sem que f '(m) seja
igual a 0; por exemplo, a função definida por (veja exemplo
87
resolvido 5(a) do tópico 4 da aula 01) tem mínimo local em 0 e f '(0) não
existe.
EXEMPLO RESOLVIDO 1(C) DO TÓPICO 4 DA AULA 01
Fazer os gráficos das seguintes funções:
(a)
SOLUÇÃO.
(c) O gráfico da função é uma parábola cúbica, onde
comparando com a equação geral, tem-se a = 1, b = 0 e c = 0. Assim, o
ponto de inflexão do gráfico é (0,0) e o gráfico contém os pontos (-1,-1)
e (1,1). Marcando os pontos encontrados e seguindo o modelo da figura,
obtém-se o gráfico de h que está na figura a seguir.
EXEMPLO RESOLVIDO 5(A) DO TÓPICO 4 DA AULA 01
Fazer os gráficos das funções:
(a) (FUNÇÃO VALOR ABSOLUTO);
SOLUÇÃO.
(a) Observe que o domínio de f é o conjunto dos números reais.
Usando a definição de valor absoluto, tem-se
que reduz f a uma função definida por duas equações. Assim,
fazendo os gráficos de , tem-se o
gráfico de f que está na figura a seguir.
Um valor m no domínio de uma função f, onde f '(m) se anula ou não
existe, chama-se um VALOR CRÍTICO de f. Assim, dos comentários já feitos,
concluí-se: OS VALORES CRÍTICOS DE UMA FUNÇÃO, SÃO OS POSSÍVEIS
VALORES ONDE A FUNÇÃO PODE TER UM EXTREMO LOCAL.
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Encontrar os valores críticos da função
88
SOLUÇÃO
Tem-se
daí f '(x) = 0 para x = 8 e f '(x) não existe para x = 0, como os
números e estão no domínio de f, estes são os valores críticos de f.
No tópico 2 desta aula (exemplo resolvido 1), onde a teoria estará
mais desenvolvida, será verificado de forma simples, se nestes
valores críticos a função f tem extremos locais.
EXEMPLO PROPOSTO 1
Provar que 0 e 1 são os únicos valores críticos da função
Sejam I um subconjunto no domínio de uma função f e , então se
ou para todo diz-se que f(m) é um VALOR MÍNIMO
ABSOLUTO ou um VALOR MÁXIMO ABSOLUTO de f em I,
respectivamente, ou ainda, que f (m) é um VALOR EXTREMO ABSOLUTO
de f em I; além disso, (m,f(m)) é chamado de PONTO EXTREMO
ABSOLUTO do gráfico de f em I. Geometricamente, um ponto extremo
absoluto do gráfico de f em I, significa que esse ponto é o mais baixo ou o
mais alto do gráfico f em I, conforme o ponto seja de mínimo ou de máximo,
respectivamente. Por exemplo: a função tem valor mínimo
absoluto igual a g (0) = 1 e valor máximo absoluto igual a g (2) = 3 em
[0,2]; a função tem valor máximo absoluto igual a h (1) = 1 em
seu domínio; a função seno (definida no tópico 4 da aula 01) tem
valor mínimo absoluto igual a e valor máximo absoluto igual a
no seu domínio para todo inteiro
FUNÇÃO SENO
Seja x uma variável real, onde x representa a medida em
radianos de um arco da circunferênciada unitário de centro na origem a
partir do ponto (1,0), então a função SENO é definida pela equação y
=senx. O gráfico desta função está na figura a seguir com o domínio e
imagem. No tópico 3 desta aula(exemplo resolvido 3) o gráfico será
justificado.
É comum nas soluções de problemas envolvendo valores extremos
absolutos, a necessidade de determinar se uma função definida num
intervalo, tem valor extremo absoluto nesse intervalo. 0 teorema de
89
Weirstrass ( -- Karl Weirtrass (1815-1897), matemático alemão.) , cuja
demonstração ( -- Pode ser encontrada na referência (Curso de Análise -
Lima, Elon Lages, Editora Edgard Blucher Ltda, 1976) não faz parte dos
objetivos deste texto, dá a condição suficiente para que uma função tenha
valores extremos absolutos num intervalo fechado; devido à importância
desse teorema, ele será enunciado a seguir.
TEOREMA (DE WEIRSTRASS) 2
Se f é uma função contínua num intervalo fechado [a,b] então f tem
valores mínimo e máximo absolutos em [a,b].
Os valores extremos absolutos de uma função contínua f em [a,b],
podem ser os valores da função nos extremos do intervalo ou valores
extremos locais da função assumidos em algum número do intervalo aberto
correspondente. Portanto, tomando como base os resultados já discutidos,
tem-se o seguinte procedimento para encontrar os valores extremos
absolutos de f em [a,b]: ENCONTRAR OS VALORES F(A) E F(B), E
DETERMINAR OS VALORES DA FUNÇÃO NOS VALORES CRÍTICOS DE F
EM (a,b), ENTÃO O MENOR DESSES VALORES É O MÍNIMO ABSOLUTO E O
MAIOR É O MÁXIMO ABSOLUTO.
EXEMPLO RESOLVIDO 2
Determinar os valores extremos absolutos de no
intervalo [-2.2].
SOLUÇÃO
obtém-se f '(x) = 0 para x = 0. Por outro lado, sendo
tem-se que f '(1) não existe. Os números 0 e 1
pertencem ao intervalo [-2,2], logo estes são os valores críticos de f
em [-2,2]. Os valores de f nos seus números críticos são f (0) = -1 e
f (1) = 0. Portanto, os valores mínimo e máximo absolutos de f em
[-2,2], são f (0)=f (2) = -1 e f (-2) = 3, respectivamente.
EXEMPLO PROPOSTO 2
Mostrar que os valores extremos absolutos de em
[-2,2], são atingidos nos extremos do intervalo.
Antes de enunciar o teorema do valor médio, será demonstrado um
resultado básico conhecido como o teorema de Rolle. ( Michel Rolle (1652-
1719), matemático francês. O teorema de Rolle foi publicado em 1691 num
90
livro sobre geometria e álgebra intitulado “Méthode pour résoudre les
égalitéz”. )
TEOREMA (DE ROLLE) 3
Seja f uma função contínua em [a,b] e derivável em (a,b).
Se então existe pelo menos um tal que f '(c) = 0.
DEMONSTRAÇÃO
Se f é constante em [a,b], isto é, se para
todo x em [a,b], então f ' (x) = 0 para todo x em [a,b], neste caso,
c pode ser qualquer valor do intervalo (a,b).
Se f não é constante em [a,b], então existe x em (a,b) tal que
Sendo f contínua em [a,b],
pelo teorema 2 deste tópico ( Teorema de Weirstrass - Se f é uma
função contínua num intervalo fechado [a,b], então f tem valores
mínimo e máximo absolutos em [a,b].) , f tem valores mínimo e
máximo absolutos em [a,b]. Se então f tem o
valor mínimo absoluto em algum assim esse valor será
também mínimo local; se então f tem o valor
máximo absoluto em algum , logo esse valor será também
máximo local. Como f é derivável no intervalo (a,b) e tem pelo
menos um valor extremo local em algum pelo teorema 1
deste tópico ( Seja f uma função definida num intervalo aberto
contendo m e derivável em m. Se f tem um valor extremo local em
m, então f '(m) = 0) tem-se que f '(c) = 0. O que concluí a
demonstração.
TEOREMA (DO VALOR MÉDIO DE LAGRANGE ( -- JOSEPH LOUIS LAGRANGE(1736-1813), MATEMÁTICO ITALIANO) ) 4
Seja f uma função contínua em [a,b] e derivável em (a,b) então existe
pelo menos um valor tal que
DEMONSTRAÇÃO
A demonstração é efetuada aplicando o teorema de Rolle a uma
função g em [a,b] onde g é definida como a seguir. Seja C a
inclinação da reta secante ao gráfico de f contendo
91
Então e a equação da reta secante pode ser escrita
na forma Considere g a função que dá a distância
vertical orientada do ponto (x,f(x)) ao ponto (x,y) na reta secante,
então
A função g é contínua em [a,b] e derivável em (a,b), além disso
logo, pelo teorema de Rolle, existe pelo menos um
valor tal que
daí ou seja, O que conclui a
demonstração.
Geometricamente, o teorema do valor médio tem a seguinte
interpretação: se f é contínua em [a,b] e derivável em (a,b), então existe
pelo menos uma reta tangente ao gráfico de f que é paralela à reta secante
ao gráfico de f por P e Q; uma vez que, f '(c) é a inclinação da reta tangente
ao gráfico de f no ponto é a inclinação da reta secante ao
gráfico de f por P e Q, e além disso tais inclinações são iguais. A
diferenciabilidade de f em (a,b) é indispensável ao resultado estabelecido
pelo teorema do valor médio, ou seja, se f não é derivável em (a,b), pode não
existir onde por exemplo, se
então
mas para todo isto é, não existe tal que
EXEMPLO RESOLVIDO 3
Provar que existe um valor c que satisfaz o teorema do valor médio,
se e achar o valor de c.
SOLUÇÃO
A função f é descontínua somente em x = 0, logo contínua em
[1,2]. Como é derivável em (1,2) Assim existe um
valor c satisfazendo o teorema.
Tem-se
logo
92
daí isto é, Como apenas é o valor que satisfaz
o teorema do valor médio.
EXEMPLO PROPOSTO 3
Mostrar que existe um único valor c que satisfaz o teorema do valor
médio, se e que esse valor é
O resultado seguinte será útil posteriormente, ele estabelece que duas
funções com a mesma derivada num intervalo, diferem apenas de uma
constante.
COROLÁRIO
Sejam f e g funções deriváveis num intervalo I, tais que
para todo então existe uma constante C tal que para
todo
DEMONSTRAÇÃO
Sejam valores em I com
Aplicando o teorema do valor médio de Lagrange para h no
intervalo obtém-se
para algum Mas pois
para todo logo Isto mostra que
para dois valores quaisquer em I, h tem a mesma imagem, ou seja,
h é constante em I; considerando essa constante igual a C, tem-se
para todo daí para todo O que
conclui a demonstração.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao EXERCITANDO (Visite a aula online para realizar download
deste arquivo.)e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder,
individualmente ou em grupo. Os exercícios 7 e 13 do exercitando, são os
respectivos itens (a) e (b) da QUESTÃO 1 do trabalho desta aula a ser
postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do ambiente SOLAR. É exigido que
o trabalho desta aula seja postado no Portfólio, no período indicado na
Agenda do ambiente Solar, num único documento de texto (doc , docx
ou PDF) ou manuscrito e escaneado.
FONTES DAS IMAGENS
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93
TÓPICO 02: TESTES PARA EXTREMOS LOCAIS
VERSÃO TEXTUAL
No tópico 1 desta aula foram introduzidos os conceitos dos valores
extremos locais de uma função, onde foi estabelecido que tais valores
são atingidos somente nos valores críticos da função; além disso, foi
visto que nem todo valor crítico corresponde a um valor extremo local.
Em geral, usando a definição, não é fácil verificar se uma função tem
num valor crítico, um valor extremo local. Este tópico estabelece os
testes, onde a derivada é aplicada para determinar se num valor crítico
de uma função, essa função tem um valor extremo local.
Sejam f uma função definida num intervalo I e valores quaisquer e
em I com , conforme foi definido no tópico 2 da aula 01, f é
crescente em I se e decrescente em I se . Como foi
comentado e é evidente das definições, o fato de uma função f ser
decrescente ou crescente num intervalo I, faz com que o seu gráfico (relativo
a I) esteja decaindo ou se elevando (em relação ao eixo X), respectivamente,
à medida que x cresce em I, conforme se encontra ilustrado na figura
seguinte.
A função f é decrescente nos intervalos [a,b] e [c,d] e crescente nos
intervalos [b,c] e [d,e]; o teorema do valor médio de Lagrange (enunciado no
tópico 1 desta aula), permite mostrar que esse aspecto ascendente ou
descendente que pode ocorrer no gráfico de uma função, pode ser
previamente detectado a partir do sinal da derivada primeira da função, de
acordo com o teorema seguinte.
TEOREMA DO VALOR MÉDIO DE LAGRANGE
Seja f uma função contínua em [a,b] e derivável em (a,b), então
existe pelo menos um valor tal que
TEOREMA 1
Se f uma função contínua num intervalo I (onde I é aberto,
fechado ou semifechado) e derivável no intervalo aberto
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
AULA 04: APLICAÇÕES DA DERIVADA
94
correspondente (isto é, é o intervalo aberto de mesmos extremos de I),
então f é:
(a) Decrescente em I, se para todo ;
DEMONSTRAÇÃO
Sejam x1 e x2 em I com Então f é contínua em e
derivável em logo (pelo teorema do valor médio de
Lagrange) existe tal que
Como , tem-se
ou seja
O que conclui a demonstração.
O teorema seguinte permite identificar, usando o sinal da derivada
primeira de uma função, quando a função tem um extremo local num valor,
mesmo que a função não seja derivável nesse valor.
TEOREMA (TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA PARA EXTREMOS LOCAIS) 2
Seja f uma função contínua num intervalo (c,d). Se f é derivável em
(c,d), com provável exceção num valor então f tem:
(a) Mínimo local em m, se f ' é negativa em (c,m) e positiva em (m,d);
(b) Máximo local em m, se f ' é positiva em e negativa em (m,d).
DEMONSTRAÇÃO
A demonstração da parte (a) do teorema será feita a seguir, a
demonstração da segunda parte é análoga e está sugerida no
exercício 32 do exercitando deste tópico. Se f ' é negativa em (c,m),
pelo teorema 1, f é decrescente em (c,m], daí para todo
Por outro lado, se f ' é positiva em (m,d) pelo teorema 1, f é
crescente em (m,d], assim para todo Portanto,
para todo com isto é, f tem mínimo local
em m. O que conclui a demonstração.
SABE-SE QUE OS VALORES EXTREMOS LOCAIS DE UMA FUNÇÃO NUM
INTERVALO ABERTO, OCORREM NOS VALORES CRÍTICOS DA FUNÇÃO,
95
DAÍ OS POSSÍVEIS VALORES DE M CITADOS NO TEOREMA 2, SÃO OS
VALORES ONDE A DERIVADA PRIMEIRA DA FUNÇÃO SE ANULA OU NÃO
EXISTE. E mais, para saber quando uma função f (que tem as hipóteses do
teorema 2) tem um valor extremo local num de seus valores críticos m, basta
verificar se f ' muda de sinal em torno de m.
EXEMPLOS RESOLVIDOS 1
Sendo encontrar os:
(a) Intervalos de decrescimento e crescimento de f;
(b) Valores extremos locais de f.
SOLUÇÃO
(a) Do exemplo resolvido 1 do tópico desta aula, tem -se
e que os valores críticos de f são 0 e 8. A reta
seguinte representa geometricamente o domínio de f, que é o
conjunto dos números reais, e foi separada em segmentos nos
pontos correspondentes aos valores 0 e 8; estes segmentos
representam os intervalos acima dos
segmentos correspondentes aos respectivos intervalos, estão
indicados os sinais de f '(x).
EXEMPLO RESOLVIDO 1 DO TÓPICO DESTA AULA
Encontrar os valores críticos da função
SOLUÇÃO. Tem-se daí para
x = 8 e f ' (x) não existe para x = 0. como os números
0 e 8 estão no domínio de f, estes são os valores críticos de f.
No tópico 2 desta aula (exemplo resolvido 1), onde a teoria
estará mais desenvolvida, será verificado de forma simples, se
nestes valores críticos a função f tem extremos locais.
Portanto, do teorema 1, obtém-se: sendo x < 0 então
logo f é crescente em sendo 0 < x < 8 então daí f é
decrescente em [0,8]; e sendo x > 8 então assim f é
crescente em
(b) Agora, usando o teorema 2, tem-se: como f ' é positiva em
e negativa em (0,8), f tem valor máximo local igual a F (0) =
0; sendo f ' negativa em (0,8) e positiva em f tem valor
mínimo local igual a f (8) = -4.
96
EXEMPLO PROPOSTO 1
Se , provar que f é decrescente em e
crescente em [0,1], tem valor mínimo local igual a f (0) = 0 e máximo local
igual a f (1) = 1.
O teorema seguinte dá outro teste para identificar se uma função tem
um extremo local num valor, mas ele é menos geral que o teorema 2, pois só
é possível aplicá-lo quando a função tiver derivada até a segunda ordem sob
condições especiais no valor.
TEOREMA (TESTE DA DERIVADA SEGUNDA PARA EXTREMOS LOCAIS) 3
Seja f uma função derivável em algum intervalo aberto contendo um
valor m. Se f ' (m) = 0 e f "(m) existe, então f tem:
(a) Mínimo local em m, se
(b) Máximo local em m, se
DEMONSTRAÇÃO
Será feita a demonstração da parte (a), a outra parte tem
demonstração análoga e está proposta no exercício 33 do
exercitando deste tópico. Como f '(m) = 0, tem-se
Logo, se pelo corolário 1(a) do teorema 6 do tópico 1 da
aula 02, existe um intervalo aberto (a,b) contendo m tal que
COROLÁRIO 1(A) DO TEOREMA 6 DO TÓPICO 1 DA AULA 02
COROLÁRIO 1. Se existem e tais
que:
(A) Se e implica que ;
(B) Se e implica que .
para todo x em (a,b) com Se tem-se x - m < 0, daí
e da última desigualdade, resulta que para todo . Se
tem-se x - m > 0, daí e da desigualdade, resulta que
para todo Portanto, sendo f ' (x) negativa em (a,m) e
positiva em (m,b), do teorema 2, a função f tem mínimo local em
m. O que conclui a demonstração.
97
EXEMPLO RESOLVIDO 2
Verificar se a função tem extremos locais.
SOLUÇÃO
Tem-se
assim Sendo f derivável
em qualquer intervalo aberto contendo 0 e 4: como
tem-se que f tem mínimo local em 0; e como
obtém-se que f tem máximo local em 4.
Sendo f derivável, 0 e 4 os únicos valores que satisfazem o
teorema 3, isto conclui que são os únicos valores
extremos de f.
EXEMPLO PROPOSTO 2
Se provar que -1 e 2 são os valores críticos de
é máxmo local e f (2) = 16 é mínimo local.
O teorema 3 pode ser generalizado de acordo com o teorema a seguir,
sua demonstração ( -- A demonstração pode ser encontrada na referência
Cálculo Diferencial e Integral/Barbosa, Celso Antonio Silva, Realce Editora e
Indústria Gráfica, 2007.) está acima do nível deste texto.
TEOREMA (TESTE DA DERIVADA N-ÉSIMA PARA EXTREMOS LOCAIS) 4
Seja f uma função vezes derivável em algum intervalo
aberto contendo um valor m. Se existe
e é 0, então:
(a) Quando n é par, f tem valor mínimo local em m se
ou f tem valor máximo local em m se
(b) Se n é ímpar, f não tem valor extremo local em m.
EXEMPLO RESOLVIDO 3
Verificar se a função tem extremos locais.
SOLUÇÃO
Tem-se
assim Como f é
quatro vezes derivável em qualquer intervalo aberto contendo 0 e n
= 5 é ímpar, f não tem extremo local em 0. Sendo f derivável e
zero é o único valor que satisfaz o teorema 4, f não tem nenhum
valor extremo local.
98
EXEMPLO PROPOSTO 3
Se provar que -3 e 0 são valores críticos de
é mínimo local e não é valor extremo.
EXEMPLO RESOLVIDO 4
Encontrar os valores extremos locais da função
SOLUÇÃO
Tem-se
assim se ou ou seja, em
e para n=0,1,2,3,.... .Como
obtém-se , logo f tem
valor máximo local igual a , daí
f tem valor mínimo local igual a e
neste caso nada pode ser concluído, mas daí
logo (como a ordem da primeira derivada não nula é
ímpar) f não tem valor extremo local em
EXEMPLO PROPOSTO 4
Provar que tem valores críticos iguais a
além disso, é
máximo local e é mínimo local.
PARADA OBRIGATÓRIA
O teorema 1 juntamente com os testes para extremos locais, às vezes
permite determinar quando um extremo local de uma função é um
extremo absoluto dessa função num intervalo. Mais precisamente,
suponha que uma função f tem um único extremo local num valor m
pertencente a um intervalo I, então se f é:
(a) Decrescente para todo e crescente para todo onde
f (m) é valor mínimo absoluto de f em I;
(b) Crescente para todo e decrescente para todo onde
f (m) é valor máximo absoluto de f em I.
EXEMPLO RESOLVIDO 5
Sendo verificar se f tem valores extremos absolutos em
SOLUÇÃO
Tem-se
99
daí se x = 1, como f é derivável em este é o
único valor crítico de f.
Sendo f é decrescente
em e crescente em [1,3], logo f tem mínimo local igual a f (1)
= 0 que também é mínimo absoluto. Observe que f (3) = 16 não é
máximo absoluto, pois
EXEMPLO PROPOSTO 5
Mostrar que tem valor máximo absoluto igual a
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao EXERCITANDO (Visite a aula online para realizar download
deste arquivo.) e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder,
individualmente ou em grupo. Os exercícios do exercitando: 1 e 5 são os
respectivos itens (a) e (b) da QUESTÃO 2; 16 e 27 são os respectivos
itens (a) e (b) da QUESTÃO 3 do trabalho desta aula a ser postado no
Portfólio Individual> DO AMBIENTE Solar. AS QUESTÕES 4 E 5 DO
PORTFÓLIO, serão indicadas no tópico seguintes desta aula. É exigido que
o trabalho desta aula seja postado no Portfólio, no período indicado na
Agenda do ambiente Solar, num único documento de texto (doc , docx
ou PDF) ou manuscrito e escaneado.
FONTES DAS IMAGENS
1. http://www.adobe.com/go/getflashplayer2. http://www.adobe.com/go/getflashplayer
Responsável: Prof. Jonatan Floriano da Silva
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual
100
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
AULA 04: APLICAÇÕES DA DERIVADA
TÓPICO 03: CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO
Seja f uma função com derivada contínua num intervalo fechado [a,b] e
suponha que o gráfico de f seja a curva C da figura seguinte.
Quando o ponto P(x,y) se desloca sobre a curva C, a reta tangente a C em
P varia continuamente de posição, assim:
Sendo S à parte do gráfico de uma função f correspondente a um
intervalo aberto I, têm-se os seguintes conceitos:
� se para todo ponto P de S, a reta tangente a S em P está abaixo de S, diz-se que o gráfico de f é CONVEXO em I (ou ainda, que a função f é convexa em I);
VERSÃO TEXTUAL
Este tópico tem o objetivo de mostrar como a derivada pode ser
usada na construção de gráficos de funções. Alguns requisitos
necessários à construção de gráficos, já foram apresentados em tópicos
de aulas anteriores; além desses requisitos, neste tópico serão
introduzidos os conceitos de convexidade, concavidade e ponto de
inflexão que constituem informações indispensáveis para traçar
gráficos de funções. Serão introduzidos também os conceitos de
assíntotas vertical e horizontal, que auxiliam a esboçar com mais
precisão os gráficos de um grupo amplo de funções. O tópico é
finalizado com as construções dos gráficos das funções seno e cosseno,
que foram apresentados no tópico 2 da aula 02, sem nenhuma
justificativa. O esboço de gráficos será necessário a vários assuntos que
serão tratados posteriormente, de imediato pode ser citado o cálculo
de área.
a reta tangente está acima de algum arco de C em torno de P, como nas partes do gráfico entre A e Q1 e entre Q2 e B;
a reta tangente está abaixo de algum arco de C em torno de P, como na parte do gráfico entre Q1 e Q2;
e nos pontos de transição, onde a reta tangente muda de cima para baixo (ou de baixo para cima) de C localmente, ela secciona C, como nos pontos Q1 e Q2.
101
� se para todo ponto P de S, a reta tangente a S em P está acima de S, diz-se que o gráfico de f é CÔNCAVO em I (ou que a função f é côncava em I);
� e o ponto do gráfico onde ele muda de convexo para côncavo ou vice-versa,chama-se um PONTO DE INFLEXÃO.
Uma função f é dita CONVEXA ou CÔNCAVA, quando o gráfico de f é
convexo ou côncavo no seu domínio, respectivamente.
O teorema seguinte mostra que as partes convexas e côncavas do gráfico
de uma função, podem ser previamente identificadas a partir do sinal da
derivada segunda da função.
TEOREMA 1
Seja f uma função tal que f " existe num intervalo aberto I, então o
gráfico de f é:
(a) Convexo em I, se para todo
(b) Côncavo em I, se para todo
DEMONSTRAÇÃO
Será demonstrada a parte (a) do teorema, a demonstração da
parte (b) é análoga e está proposta no exercício 53 do exercitando
deste tópico. Se para , pelo teorema 1 do tópico 2 desta
aula, a função f ' é crescente em I; uma vez que f '(x) é a declividade
da reta tangente ao gráfico de f, isto significa que, se P (x,y) desloca-
se sobre a parte do gráfico S de f correspondente ao intervalo I, à
medida que x cresce em I, a reta tangente à S em P(x,y) gira
sobre S no sentido anti-horário, ou seja, a reta tangente a S em P
(x,y) está abaixo de S. O que conclui a demonstração.
TEOREMA 1 DO TÓPICO 2 DESTA AULA
Se f uma função contínua num intervalo I (onde I é
aberto, fechado ou semifechado) e derivável no intervalo
aberto correspondente (isto é, é o intervalo aberto de
mesmos extremos de I), então f é:
(a) Decrescente em I, se para todo
(b) Crescente em I, se para todo
Uma recíproca parcial do teorema 1 também é verdadeira, conforme o
exercício 55 do exercitando deste tópico. São comuns as definições de
convexidade e concavidade num ponto (invés de num intervalo) de acordo com o teorema 1, isto é, diz-se que o gráfico de f é CONVEXO NO PONTO
se e CÔNCAVO NO PONTO se
O teorema seguinte estabelece como determinar os possíveis valores de
c, onde uma função f tal que f " é contínua em c, tem um ponto de
102
inflexão.
TEOREMA 2
Seja f uma função tal que f " existe num intervalo aberto contendo c e é contínua em c. Se é um ponto de inflexão do gráfico de f, então
DEMONSTRAÇÃO
Suponha que então sendo f " contínua em c, tem-se assim (veja corolário 1(a) do teorema 6 do tópico
1 da aula 02) existe um intervalo aberto I contendo c tal que
para todo ou para todo , conforme
respectivamente. Logo, pelo teorema 1, em I
o gráfico de f é somente côncavo ou apenas convexo, assim (c,f(c))
não pode ser ponto de inflexão. Isto mostra que com as hipóteses do
teorema, (c,f(c)) só pode ser ponto de inflexão se
COROLÁRIO 1(A) DO TEOREMA 6 DO TÓPICO 1 DA AULA 02
Se existem tais que:
OBSERVAÇÃO
a) A recíproca do teorema 2, em geral, não é verdadeira, por exemplo:
se então , portanto se x = 1, mas (1,0)
não é ponto de inflexão do gráfico de f, pois (1,0) não separa partes
convexa e côncava do gráfico de f;
b) O gráfico de uma função pode ter um ponto de inflexão num valor
onde a derivada segunda da função não existe, por exemplo: se então assim g "(x) não existe se x = 0; além disso, o gráfico
de g é convexo em e côncavo em pois para
para x > 0, portanto (0,0) é ponto de inflexão do gráfico
de g.
Assim, pode-se concluir do teorema 2 e do comentário anterior: os
possíveis valores de c tais que (c,f(c)) é ponto de inflexão do
gráfico de uma função f, são os valores onde f "(c) é igual à zero ou
não existe; além disso estes são os valores que determinam os
intervalos onde o gráfico de f pode ser convexo ou côncavo.
As derivadas de uma função dão várias informações a respeito do gráfico
da função, tais como: os intervalos de crescimento e decrescimento,
localização dos pontos extremos, os intervalos em que o gráfico é convexo ou
côncavo e os pontos de inflexão. O exemplo seguinte ilustra como esboçar o
gráfico de uma função a partir de tais informações, onde o item (a) justifica o
modelo da parábola cúbica (dado no tópico 4 da aula 01) quando a > 0; se a
103
< 0, a justificativa do modelo está sugerida no exemplo proposto 1(a) a
seguir.
MODELO DA PARÁBOLA CÚBICA
Os gráficos das funções polinomiais de grau não têm um
modelo padronizado, como acontece com os gráficos das funções
polinomiais de grau n com n = 0,1,2, que dão retas ou parábolas
quadráticas; apenas no caso particular da função polinomial de grau
três que pode ser escrita na forma onde o gráfico
de f tem um formato padrão e é chamado de PARÁBOLA CÚBICA.
EXEMPLOS RESOLVIDOS 1
Fazer o gráfico da função dada:
.
SOLUÇÃO
(a) Tem-se logo Sendo
obtém-se A reta indicada na
figura e representando o domínio de f (que é o conjunto dos
números reais), foi dividida considerando o valor b, nas partes
resultantes da divisão que representam os intervalos , acima aparecem os sinais da derivada primeira e
abaixo os sinais da derivada segunda de f.
Assim, concluí-se:
(1) f é crescente no seu domínio;
(2) O gráfico de f é convexo em e côncavo em ,
ou seja, (b,c) é ponto de inflexão do gráfico de f;
(3) O gráfico é simétrico em relação à (b,c), conforme
exercício 29 do exercitando do tópico 3 da aula 01.
Com base em tais informações, obtém-se a justificativa do
gráfico de f conforme o modelo estabelecido.
(b) Tem-se logo se x = -1 e x
= 1. Como , obtém-se g "(x) = 0 se x = 0. A reta seguinte,
representando o domínio de g, foi dividida considerando os
valores -1, 0 e 1, nas partes resultantes da divisão, acima aparecem
os sinais da derivada primeira e abaixo os sinais da derivada
segunda de g.
Assim, concluí-se:
104
(1) A função g é crescente nos intervalos e
decrescente em (-1,1). Logo, g(-1) = 4 é máximo local e g(1) = 0 é
mínimo local;
(2) O gráfico de g é côncavo em e convexo em .
Assim (0,2) é ponto de inflexão do gráfico de g.
Com base nestas conclusões, faz-se o gráfico de g, que está na
figura a seguir.
(c) Sendo tem-se
logo h '(x) = 0 se x + 2 = 0, isto é, se x = -2 e h '(x) não existe
se ou seja, se x = 0. Como
obtém-se h "(x) = 0 se x = 1 e h "(x) não existe se x = 0.
A reta seguinte, representando do domínio de h, foi dividida
pelos valores -2, 0 e 1, nas partes resultantes da divisão estão
indicados os sinais das derivadas primeira e segunda de h.
Assim, têm-se as seguintes informações:
(1) h é crescente nos intervalos e decrescente em (-2,0). Logo, é máximo local e h(0) = 0 é mínimo
local.
(2) O gráfico de h é côncavo em e (0,1) é convexo em
Daí apenas (1,6) é ponto de inflexão do gráfico de h.
Considerando as informações, faz-se o gráfico de h, que está
na figura à direita.
105
EXEMPLOS PROPOSTOS 1
Verificar que os gráficos das funções indicadas são como nas respectivas
figuras:
A interpretação geométrica de certos limites de algumas funções, pode
ser útil para ajudar a traçar os gráficos de tais funções. Antes é necessário
introduzir alguns conceitos.
A reta x = c é uma ASSÍNTOTA VERTICAL do gráfico de uma função f, se
pelo menos uma das seguintes condições se verifica:
As figuras a seguir ilustram a forma do gráfico de uma função f, para x
próximo de c, na primeira na segunda se
e
Observe nas duas figuras, a aproximação cada vez maior do gráfico com
a sua assíntota a medida que x se aproxima de c, e considerando também o
decrescimento ou crescimento da imagem da função.
A reta y = L é uma ASSÍNTOTA HORIZONTAL do gráfico de uma função f,
se pelo menos uma das seguintes condições se verifica:
As figuras a seguir ilustram a forma do gráfico de uma função f,
relativamente à reta y = L, a primeira se e na segunda se
a primeira situação, refere-se quando através de
106
valores menores do que L e a segunda é quando através de
valores maiores que L.
Observe nas duas figuras, a aproximação cada vez maior do gráfico com
a sua assíntota a medida que x decresce ou cresce.
O gráfico de uma função pode ter uma assíntota não necessariamente
vertical ou horizontal, conforme está definida no enunciado dos exercícios
50 e 51 do exercitando deste tópico.
EXEMPLOS RESOLVIDOS 2
Fazer o gráfico da função dada:
SOLUÇÃO
(a) Tem-se assim f '(x) não existe para x = 0.
Como obtém-se f "(x) não existe para x = 0. A reta
seguinte foi dividida considerando o valor 0, nas partes
resultantes da divisão, acima aparece o sinal da derivada primeira
e abaixo os sinais da derivada segunda de f.
Assim, concluí-se:
(1) f é decrescente no seu domínio;
(2) O gráfico de f é côncavo em e convexo em
O gráfico de f não tem ponto de inflexão em zero, pois f não
está definida nesse valor;
(3) A reta x = 0 é assíntota vertical do gráfico de f, pois (por
exemplo)
a reta y = 0 é assíntota horizontal do gráfico de f, pois (por
exemplo) Tem-se ainda,
(4) Como para todo o gráfico de f é
simétrico em relação à origem.
Com base em tais informações, obtém-se a justificativa do
gráfico de f.
GRÁFICO DE F
107
Na figura a seguir está o gráfico de que será
justificado no tópico 3 da aula 04.
Foi usado nos exercícios 5 a 10 do exercitando do tópico 3 da
aula 01. Observe que devido à simetria do gráfico em relação à
origem, bastaria analisar a função para x > 0.
(b) Sendo obtém-se
logo g '(x) = 0 para x = 0 e g '(x) não existe para
Como
tem-se que para todo x e g "(x) não existe para
Observe que g não está definida para A reta seguinte foi
dividida pelos valores -2, 0 e 2, nas partes resultantes da divisão
estão indicados os sinais das derivadas primeira e segunda de g.
Logo, têm-se as seguintes informações:
• g é crescente em e decrescente em
Assim, é máximo local;
• O gráfico de g é côncavo em (-2,2) e convexo em
O gráfico não tem ponto de inflexão em -2 e 2, pois g não está
definida nestes valores;
• O gráfico de g não intercepta o eixo X pois para todo
x. As retas x = -2 e x = 2 são assíntotas verticais do gráfico, pois
(por exemplo) é assíntota
horizontal do gráfico, pois Acha-se ainda,
108
• Sendo para todo x no domínio de f, o gráfico é
simétrico em relação ao eixo Y.
Considerando as informações obtidas, faz-se o gráfico de g,
que está na figura a seguir.
Observe que devido à simetria do gráfico g em relação ao eixo
Y, bastaria analisar a função para
(c) Sendo tem-se
logo h '(x) = 0 para x = -1 e h '(x) não existe para x = 1. Como
obtém-se
não existe se x = 1. Observe que h não está definida para x =
1. A reta seguinte foi dividida pelos valores -2, -1 e 1, nas partes
resultantes da divisão estão indicados os sinais das derivadas
primeira e segunda de h.
Assim, têm-se as seguintes informações:
(1) h é crescente em (-1,1) e decrescente em .
Logo, é mínimo local;
(2) O gráfico de h é côncavo em
e convexo em Daí, é ponto de inflexão
do gráfico de h;
109
(3) O gráfico intercepta o eixo X na origem pois h(0) = 0, a
reta x = 1 é assíntota vertical do gráfico pois e y = 0 é
assíntota horizontal do gráfico pois
Tem-se ainda,
Considerando estas informações, faz-se o gráfico de h, que
está na figura a seguir.
EXEMPLO PROPOSTO 2
Se verificar que o gráfico de f e como está na figura a seguir.
EXEMPLOS RESOLVIDOS 3
Fazer os gráficos das seguintes funções:
SOLUÇÃO
(a) O domínio da função seno é o conjunto dos números reais,
pois todo número real x é possível na equação Como o
seno tem período igual a (isto é, para todo x),
cada intervalo de comprimento igual a antes de 0 e a partir de
, dá a mesma parte do gráfico que for obtida com
assim, para obter o gráfico da função seno, basta ter a parte do
gráfico correspondente a e o restante é encontrado
através da periodicidade. Considerando tem-se
e O segmento de 0 a em seguida, foi dividido
considerando os valores que anulam as derivadas primeira e
segunda do seno e nas partes resultantes da divisão estão
indicados os sinais de tais derivadas.
Assim, concluí-se:
(1) O seno é crescente nos intervalos e
decrescente em
110
(2) O gráfico do seno é côncavo em e convexo em
Considerando as informações obtidas, tem-se a justificativa
do seno, conforme foi apresentado no tópico 4 da aula 01.
SENO
Seja x uma variável real, onde x representa a
medida em radianos de um arco da circunferênciada
unitário de centro na origem a partir do ponto (1,0) então
a função SENO é definida pela equação y = senx. O
gráfico desta função está na figura a seguir com o domínio
e imagem. No tópico 3 desta aula(exemplo resolvido 3) o
gráfico será justificado.
(b) A função cosseno tem o mesmo domínio e período de
função seno, assim para obter o gráfico da função cosseno, basta
ter a parte do gráfico correspondente a e o restante é
encontrado através da periodicidade. Considerando tem-
se
e . O segmento de 0 a a seguir, foi dividido considerando
os valores que anulam as derivadas primeira e segunda da função
co-seno e nas partes resultantes da divisão estão indicados os
sinais de tais derivadas.
Assim concluí-se
(1) O co-seno é decrescente no intervalo e crescente em
(2) O gráfico do co-seno é côncavo em e
convexo em
Considerando as informações obtidas, tem-se O gráfico da
função co-seno, conforme foi apresentado no tópico 4 da aula 01.
(c) Sendo tem-se assim o gráfico
de h é simétrico em relação à origem, logo basta analisar a
função h em a simetria pode ser usada. Como
tem-se para
Sendo obtém-se h "(x) = 0 em para
111
O segmento de 0 a a seguir, foi
dividido por e nas partes resultantes da divisão estão indicados
os sinais das derivadas primeira e segunda de h.
Assim, têm-se as seguintes informações:
(1) h é crescente em
(2) O gráfico é convexo em e côncavo em
é ponto de inflexão do gráfico.
Considerando tais informações e usando a simetria do gráfico
em relação à origem, faz o gráfico de h, que está na figura a seguir.
LEITURA COMPLEMENTAR
No "Problemas de Otimização", você encontrará outras aplicações da
teoria de máximos e mínimos de funções.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao EXERCITANDO e resolva a quantidade máxima de exercícios
que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios do exercitando: 3
e 15 são os respectivos itens (a) e (b) da QUESTÃO 4; 37 é a QUESTÃO
5 do trabalho desta aula a ser postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do
ambiente SOLAR. É exigido que o trabalho desta aula seja postado no
Portfólio, no período indicado na Agenda do ambiente, Solar, num
único documento de texto (doc, docx ou PDF) ou manuscrito e escaneado.
FONTES DAS IMAGENS
Responsável: Prof. Jonatan Floriano da Silva
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual
112
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
AULA 05: FUNÇÕES TRANSCENDENTES
TÓPICO 01: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
É importante lembrar a importância do texto "Ângulo, Medida de
Ângulo e Trigonometria" para entender as funções trigonométricas e suas
aplicações, já recomendado para leitura no tópico 4 da aula 01. As funções
trigonométricas seno e cosseno já foram definidas no tópico 4 da aula 01 e
suas derivadas foram encontradas no tópico 04 da aula 03. O objetivo deste
tópico é introduzir o restante das funções trigonométricas. Como já foi vista
a construção de gráficos no tópico 03 da aula 04, depois de obtidas as
derivadas dessas funções, seus gráficos poderão ser feitos com as devidas
justificativas. Vale destacar a lista de exercícios do exercitando no final deste
tópico, que fazem uma abordagem de temas já vistos com as novas funções,
assim dão uma oportunidade do estudante melhor assimilar o conhecimento
de tópicos anteriores. Além disso, as funções trigonométricas serão
amplamente usadas no restante deste módulo, outros subsequentes do
Cálculo e áreas afins.
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SENO E COSSENO
Seja x uma variável real, onde x representa a medida em radianos
de um arco da circunferência unitário de centro na origem a partir do
ponto (1,0), então as funções seno e cosseno são definidas,
respectivamente, pelas equações y = sen x e y = cos x. Os gráficos de tais
funções, com os respectivos domínios e imagens, estão a seguir.
As funções trigonométricas são definidas pelas equações:
Tangente
113
cotangente
Secante
cossecante
OBSERVAÇÃO
No restante deste tópico, sempre que for usada a função u de variável
independente x, estará sendo suposto que u é derivável; além disso, a
fim de simplificar, será usada apenas u invés de u(x).
As derivadas das funções seno e cosseno são dadas, respectivamente,
por:
conforme foram demonstradas no tópico 4 da aula 03.
Como as funções tangente, cotangente, secante e cossecante, dependem
unicamente das funções seno e cosseno, suas derivadas são obtidas através
das derivadas do seno e cosseno e das fórmulas de derivação encontradas no
tópico 4 da aula 03.
Tem-se:
mas, , logo:
Analogamente, encontra-se a fórmula para derivar a função cotangente
composta com uma função u, que é dada por:
Tem-se:
mas, logo:
114
Similarmente, obtém-se a fórmula para derivar a função cossecante
composta com uma função u, que é dada por:
EXEMPLOS RESOLVIDOS 1
Encontrar a derivada da função dada:
SOLUÇÃO ITEM (A)
(a) Tem-se:
como (usando a fórmula para derivar a secante com u = x2)
e (usando a fórmula para derivar a tangente com u = x2)
obtém-se (substituindo
)
SOLUÇÃO ITEM (B)
(b) Sendo , tem-se:
como:
e (usando a fórmula para derivar a cossecante com u = x2)
Logo, (substituindo ):
115
SOLUÇÃO ITEM (C)
(c) Sendo tem-se:
como (usando a fórmula para derivar a secante com u = x)
e (usando as fórmulas para derivar a soma de funções, a
cotangente e cossecante com u = x, respectivamente):
logo (substituindo
):
EXEMPLOS PROPOSTOS 1
Se e , provar que:
EXEMPLO RESOLVIDO 2
Achar:
SOLUÇÃO
Tem-se:
como (usando as fórmulas para derivar o cosseno e seno com u
116
= y):
Além disso, substituindo os
resultados encontrados, tem-se:
logo,
EXEMPLOS PROPOSTOS 2
Se , mostrar que:
DICA
Leia o teorema 1 do tópico 2 da aula 04 , os teoremas do tópico 3 da
aula 04 e os conceitos de assíntotas vertical e horizontal, os teoremas e
conceitos são indispensáveis para entender e construir os gráficos a seguir.
TEOREMA 1 DO TÓPICO 2 DA AULA 04
TEOREMAS DO TÓPICO 3 DA AULA 04
Este tópico é concluído com a apresentação dos gráficos das funções
trigonométricas tangente, cotangente, secante e cossecante.
Como , está no domínio da função tangente se , ou
seja, se (n = 0,1,2,3,...). Como a tangente tem período igual a (isto
é, para todo x no domínio da tangente), cada intervalo de
comprimento antes de e a partir de (por exemplo), dá a mesma parte
do gráfico que for obtida com assim para obter o gráfico da função tangente, basta ter a parte do gráfico correspondente a e o restante é
encontrado através da periodicidade. Considerando , tem-se:
117
para todo x
e
se x = 0
O segmento na figura a seguir entre , foi dividido considerando o
valor que anula a derivada segunda da função tangente, no segmento e nas
partes resultantes da divisão estão indicados os sinais das derivadas primeira
e segunda. Os sinais são determinados, substituindo valores para achar as
derivadas primeira e segunda da tangente, como já foi feito em situações
análogas.
ASSIM, CONCLUI-SE:
(1) A função tangente é crescente em
(2) O gráfico é côncavo em e convexo em logo (0,0) é ponto
de inflexão do gráfico.
(3)Como (pois, e
se e (pois, e
se as retas são assíntotas verticais do gráfico
da função tangente.
Com as informações obtidas, faz-se o gráfico da função tangente, que
está na figura seguinte. Observe as assíntotas verticais que são as retas na cor
"laranja".
De modo análogo, são obtidos os gráficos das outras funções
trigonométricas, que estão nas figuras a seguir com os respectivos domínios
e imagens. Observe nas figuras as assíntotas verticais que são as retas na cor
"laranja", as retas horizontais na cor "preta" nas duas últimas figuras não são
assíntotas.
118
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao EXERCITANDO e resolva a quantidade máxima de exercícios
que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios 2 e 19 do
exercitando, são os respectivos itens (a) e (b) da QUESTÃO 1 do trabalho
desta aula a ser postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do
ambiente SOLAR. As questões 2 até 5 do trabalho, serão indicadas nos
tópicos seguintes desta aula.É exigido que o trabalho desta aula seja
postado no Portfólio, no período indicado na Agenda do ambiente
Solar, num único documento de texto (doc , docx ou PDF) ou manuscrito
e escaneado.
FONTES DAS IMAGENS
Responsável: Prof. Jonatan Floriano da Silva
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual
119
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
AULA 05: FUNÇÕES TRANSCENDENTES
TÓPICO 02: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Foi estabelecido no tópico 2 da aula 01 que se uma função é injetiva,
então ela possui inversa.
PARA SABER MAIS
Uma função f é dita INJETIVA (ou biunívoca), se para quaisquer x1 e x2 no D(f), tem-se (ou equivalente,
. Em outras palavras, f é injetiva, se para cada
existe um único tal que neste caso, a regra dada
por agregada ao caráter de unicidade de x, define uma função
g tal que e então observe que se tem as duas
funções f e g tais que além disso, como
para todo para
todo , pela definição de função inversa,
Resumindo, acaba de ser justificado o seguinte: se uma função f é
injetiva, então f possui inversa (isto é, f é invertível) com
domínio igual a imagem de f; e mais, a equação que define a
inversa de f é obtida resolvendo a equação PARA A
VARIÁVEL X.
Através do gráfico de uma função f num intervalo pode-se
verificar se ela possui inversa em I, da seguinte forma: se o gráfico
tem o aspecto ascendente ou descendente em I, isto é, se a função f é
CRESCENTE ou DECRESCENTE em I, ou ainda, se com
implica respectivamente, fará
com que f seja injetiva em I.
Em geral, as funções trigonométricas não são injetivas nos seus
domínios, devido as suas periodicidades, daí a impossibilidade de definir a
inversa de qualquer uma das funções trigonométricas considerando todo o
seu domínio. Logo, a fim de que seja possível definir a função que se chama a
inversa da função trigonométrica correspondente, é necessário restringir o
domínio da função trigonométrica a um intervalo onde a função seja injetiva.
Neste tópico serão escolhidas as restrições que aparecem normalmente nos
textos do Cálculo, serão estabelecidas as fórmulas de derivação e para
finalizar serão apresentados os gráficos das inversas das funções
trigonométricas.
120
DICA
Leia o texto "trocando y por x" , na equação y = f(x), isto é, fazer x = f
(y) para obter y = f-1(x).
TROCANDO Y POR X
É importante observar que a inversa de uma função não é obtida
apenas pela troca de x por y, isto deve ser acrescido ao processo
algébrico de inversão; entretanto, a troca pode ser efetuada antes ou
depois do processo de inversão. Neste exemplo (isto é, exemplo
resolvido 3 do tópico 2 da aula 01), a troca está sendo efetuada após a
resolução da equação para x. É comum praticar tal sistemática, para
continuar usando a letra "x" para indicar a variável do domínio da
função que está sendo obtida, como foi feito até este momento e
continuará sendo usada; além disso, isto será útil para obter o gráfico
da inversa a partir do gráfico da função, de acordo como será tratado
posteriormente.
A restrição da função seno ao intervalo é injetiva, pois ela é
crescente em assim a função seno restrita a possui inversa. A
inversa da função seno restrita a é chamada de inversa do seno (ou
função arco seno) e é indicada pelo símbolo arcsen. Desta forma, tem-se:
RESTRIÇÃO DA FUNÇÃO SENO AO INTERVALO
PARADA OBRIGATÓRIA
Observe que as posições de y e x foram invertidas na equação y =
sen x a fim de obter a função arco seno em função de x; além disso, a
restrição não alterou a imagem da função.
E assim, obtém-se: arcsen(sen y) = y para e SEN(ARCSEN
X) = X se . Além disso, o domínio da função arco seno é o intervalo [-1,1] e a imagem é o intervalo conforme estão indicados acima.
De modo análogo, são escolhidas restrições aos domínios do restante
das funções trigonométricas para definir as funções arco cosseno, arco
tangente, arco cotangente, arco secante e arco cossecante, como as inversas
das restrições das funções cosseno, tangente, cotangente, secante e
cossecante, respectivamente, que estão relacionadas a seguir com as
121
respectivas restrições dos domínios e as imagens:
RESTRIÇÕES AOS DOMÍNIOS DO RESTANTE DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Embora as restrições das funções trigonométricas tenham sido aos
intervalos que foram indicados, a fim de definir as suas inversas, poderão ser
escolhidos quaisquer outros intervalos onde cada uma das funções for
injetiva. Por exemplo, a função arco seno poderá ser definida por: X = SEN
Y com se, e somente se, Y = ARCSEN X.
As identidades seguintes podem ser facilmente demonstradas:
IDENTIDADES SEGUINTES
Como ilustração, a primeira das identidades é demonstrada a
seguir, as provas das demais estão sugeridas no exercício 5 do
122
exercitando desta aula. Considere o triângulo retângulo da figura
seguinte.
Sendo tem-se e . Mas logo substituindo nesta última equação, a demonstração
está concluída
As derivadas das funções trigonométricas inversas, são determinadas
passando para a função trigonométrica correspondente e usando derivação
implícita. No restante desta seção, sempre que for usada a função u de
variável independente x, estará sendo suposto que u é derivável, a fim de
simplificar, será escrito apenas u invés de u(x).
Seja isto é, u = sen y, para . Assim,
daí,
mas y = arcsen u e, , pois para
logo substituindo y e cos y, obtém-se:
Analogamente, obtém-se a fórmula para derivar a inversa da função arco
cosseno composta com uma função u, que é dada por:
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Calcular a derivada da função:
SOLUÇÃO
Tem-se:
123
EXEMPLO PROPOSTO 1
Se , provar que
Seja , então u = tg y para . Assim,
mas, y = arctgu e logo substituindo y e ,
tem-se:
Similarmente, encontra-se a fórmula para derivar a função arco
cotangente composta com uma função u, que é dada por:
EXEMPLO RESOLVIDO 2
Sendo , determinar
SOLUÇÃO
Tem-se:
mas,
124
EXEMPLO PROPOSTO 2
Se mostrar que
Seja y = arcsecu para então u = sec y, se ou logo:
mas, y = arcsec u e, além disso:
portanto, substituindo y e secy tgy, obtém-se:
De modo análogo, obtém-se a fórmula para derivar a função arco
cossecante composta com uma função u, que é dada por:
EXEMPLO RESOLVIDO 3
Achar
SOLUÇÃO
125
EXEMPLO PROPOSTO 3
Se provar que
OS GRÁFICOS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Podem ser obtidos pelas reflexões dos gráficos das funções
trigonométricas correspondentes (restritas aos intervalos citados) em
relação à reta y = x (conforme foi visto no tópico 1 da aula 02) ou então
usando as informações dadas pelas derivadas primeira e segunda. Os
gráficos das funções trigonométricas inversas estão nas figuras
seguintes. As retas de cor "laranja" são assíntotas horizontais dos
gráficos.
TÓPICO 1 DA AULA 02
126
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao EXERCITANDO e resolva a quantidade máxima de exercícios
que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios 2 até 5 do
trabalho desta aula ,serão indicadas nos tópicos seguintes desta aula.É
exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio, no período
indicado na Agenda do ambiente Solar, num único documento de texto
(doc , docx ou PDF) ou manuscrito e escaneado.
FONTES DAS IMAGENS
Responsável: Prof. Jonatan Floriano da Silva
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual
127
TÓPICO 03: FUNÇÃO LOGARÍTMICA NATURAL
VERSÃO TEXTUAL
Neste tópico será estudado mais um exemplo de função
transcendente, trata-se da função logarítmica natural. Inicialmente,
aparece o conceito de logaritmo natural, a partir daí haverá condições
de definir a função logarítmica natural, calcular sua derivada e fazer o
seu gráfico. É sugestivo que o estudante aproveite o máximo a lista de
exercícios, a fim de assimilar melhor o conhecimento dos tópicos
anteriores.
A hipérbole de equação foi apresentada no exercitando do tópico 3
da aula 01 e justificada no exemplo 2(a) do tópico 3 da aula 04, tal hipérbole
é usada na definição de logaritmo natural. A seguir serão usadas no plano
cartesiano outras letras invés de x e y, a fim de utilizar x para outra
finalidade. Considere um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais,
com eixo horizontal T e eixo vertical U; seja R é a região limitada pelas retas t
= 1 e t = x para x > 0, o eixo T e a hipérbole .
HIPÉRBOLE DE EQUAÇÃO
As duas figuras ilustram a região R, quando R está a esquerda e à direita
da reta t=1.
Então define-se o logaritmo natural de x por:
LOGARITMO NATURAL
Uma introdução minuciosa da definição de logaritmo natural,
encontra-se na referência "Logaritmos – Lima, Elon Lages, Coleção
Fundamentos de Matemática Elementar, Sociedade Brasileira de
Matemática, Rio de Janeiro, 1985".
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
AULA 05: FUNÇÕES TRANSCENDENTES
128
onde A(R) indica a área de R.
OBSERVAÇÃO
A definição da área de uma região no plano, limitada por segmentos e
parte do gráfico de uma função contínua, tal como foi usada para definir
logaritmo natural, exige um tratamento especial, o que será feito no tópico
4 da aula 06. Neste estágio, será necessário apenas aceitar que a região
tem uma medida e que essa medida é chamada de área de R.
Apenas para servir de motivação, observe que seria natural dizer que a
área de R é um número que está entre as áreas dos retângulos ABCD e ABEF
indicados nas figuras a seguir, pois a região está entre os retângulos; além
disso, a área do trapézio ABDE é uma aproximação razoável para a área de
R, pois as figuras diferem apenas no segmento e arco da hipérbole
FIGURAS
A FUNÇÃO LOGARÍTMICA NATURAL é indicada pelo símbolo e
definida pela equação:
A ÁREA DO TRAPÉZIO
Da Geometria Plana, a área de um trapézio de bases b e B, e
altura h, é dada por . A figura a seguir ilustra dois trapézios:
Neste caso, tem-se:
É possível mostrar que:
129
usando o mesmo princípio que foi utilizado no tópico 3 da aula 02 para
mostrar que
DEMONSTRAÇÃO
Inicialmente, suponha que então é a área da
região (indicada na figura seguinte) entre as retas t = x e t = x+h acima
do eixo T e abaixo da hipérbole .
Assim, comparando as áreas da região e dos retângulos ABCD e
ABEF (indicados na última figura), obtém-se:
ou seja,
Como h > 0, multiplicando os membros desta última
desigualdade por 1/h, tem-se:
mas, , logo pelo teorema 5 do tópico 1 da
aula 02,
TEOREMA 5 DO TÓPICO 1 DA AULA 02
Sejam f, g e h funções definidas num intervalo aberto I
contendo c, exceto talvez em c, onde para todo x
em I com Se então
obtém-se:
Seja agora h < 0, então a área da região (indicada na figura
seguinte) entre as retas t = x+h e t = x, acima do eixo T e abaixo da
hipérbole u = 1/t é dada por .
130
Assim, fazendo a comparação entre as áreas da região e dos
retângulos ABCD e ABEF (indicados na última figura), encontra-se:
Como h < 0, multiplicando os membros desta última
desigualdade por -1/h, obtém-se:
mas , logo pelo teorema 5 do tópico 1 da
aula 02, obtém-se:
Sendo:
isto mostra que
Se u é uma função derivável e pela regra da cadeia (dada no teorema 3
do tópico 4 da aula 03), tem-se:
TEOREMA 3 DO TÓPICO 4 DA AULA 03
O teorema a seguir permite encontrar a derivada da composta de
duas funções a partir das derivadas das funções, isto é, sem efetuar a
composição; a fórmula estabelecida pelo teorema é conhecida como a
"REGRA DA CADEIA". Sejam f e g funções deriváveis e definidas por
y = f(u) e u = g(x) então fog é derivável, além disso,
ou
Sendo u derivável e da última fórmula, tem-se:
mas, logo:
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Calcular , se
SOLUÇÃO
Tem-se:
131
mas , logo:
EXEMPLOS PROPOSTOS 1
Se provar que .
Se a e b são números reais positivos, o logaritmo natural tem as
seguintes propriedades:
As demonstrações das propriedades (1) a (3), podem ser feitas usando
o corolário do teorema 2 do tópico 1 da aula 04.
COROLÁRIO DO TEOREMA 2 DO TÓPICO 1 DA AULA 04
O resultado seguinte será útil posteriormente, ele estabelece que
duas funções com a mesma derivada num intervalo, diferem apenas de
uma constante. Sejam f e g funções deriváveis num intervalo I, tais
que para todo então existe uma constante C tal que
para todo .
A demonstração de (1) é feita a seguir. As propriedades (2) e (3) têm
demonstrações análogas e estão sugeridas no exercício 31 do exercitando
deste tópico. Como:
pelo corolário citado acima, , diferem de uma constante, isto
é, mas, se x = 1, tem-se ou seja, , pois ,
portanto e assim Fazendo x = b na última
igualdade, a demonstração está concluída.
As propriedades do juntamente com a derivação logarítmica, poder
ser usadas para simplificar o cálculo de em equações envolvendo
produtos ou quocientes de vários termos. O exemplo seguinte dá uma
ilustração.
EXEMPLO RESOLVIDO 2
Calcular , se
SOLUÇÃO
Tem-se:
132
tomando o logaritmo natural dos membros desta última
equação e usando as propriedades do logaritmo, obtém-se:
Derivando os dois membros desta última equação em relação a
x e usando a fórmula para resulta
multiplicando os dois membros por y e substituindo y, acha-se:
EXEMPLO PROPOSTO 2
Se mostrar que
Para obter o gráfico da função que está na figura seguinte, foram
usadas as seguintes informações:
(1) O domínio da função ℓn é o conjunto dos números reais positivos,
assim o gráfico está a direita do eixo Y. Além disso, como ℓn1 = 0 o gráfico
contém o ponto (1, 0);
(2) Sendo para todo x > 0, o gráfico é sempre
crescente. Sendo para todo x > 0, o gráfico é sempre
côncavo. Além disso, como , a declividade da reta tangente
ao gráfico tende a zero quando x→ +∞, isto é, o gráfico tende a uma
posição horizontal (ou seja, a variável y cresce menos rapidamente) à
medida que x cresce;
(3) Como a função ℓn é derivável para todo x no seu domínio, ela é
contínua no seu domínio. Isto faz com que o gráfico seja uma curva sem
interrupção;
(4) Sendo (isto é, a reta x=0 é assíntota vertical ao
gráfico) e (ou seja, o gráfico não te assíntota horizontal),
além disso a função ℓn é contínua, tem-se que a imagem da função ℓn é o
conjunto dos números reais, isto é, I (ℓn)=(-∞, +∞). A prova de tais
limites está sugerida no exercício 24 do exercitando deste tópico.
133
Sendo a tem-se que logo (pelo teorema do valor
intermediário enunciado no tópico 4 da aula 02) existe um valor tal
que além disso, o valor "e" é único pois a função é crescente no seu
domínio. Pode-se já neste estágio achar de várias maneiras, uma
aproximação para o valor de "e" , neste caso, uma aproximação com cinco
algarismos decimais é 2,71828, tal aproximação pode ser calculada usando o
exercício 17(c) do exercitando do tópico 4 desta aula ou o exemplo
resolvido 5(b) do texto complementar indicado no final do tópico 5 desta
aula. Nos parágrafos seguintes aparecem várias aplicações do número "e".
VALOR
O número "e" é irracional e pode ser considerado o terceiro
número irracional mais famoso da História da Matemática, atrás da
. A irracionalidade de "e" e têm demonstrações de níveis mais
alto do que a raiz de dois. A primeira demonstração que o número "e"
é irracional, foi obtida pelo matemático suíço Leonhard Euler (1707-
1783) em 1737. O uso da letra "e" foi idealizado por Euler e impresso
pela primeira vez em sua obra "Mechanica" de 1736, embora o seu
conceito já fosse conhecido a mais de um século.
TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO
O gráfico de uma função contínua num intervalo não apresenta
interrupção em sua extensão, essa noção geométrica sobre continuidade
pode ser justificada pelo teorema seguinte. A demonstração do teorema
não faz parte dos objetivos deste texto. Sejam f uma função contínua
num intervalo I, a e b valores em I. Então, dado qualquer valor r
entre f(a) e f(b), existe pelo menos um valor c em (a,b) tal que f(c) =
r.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao EXERCITANDO (Visite a aula online para realizar download
deste arquivo.) e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder,
individualmente ou em grupo. No exercitando, os exercícios: 3 e 9 são os
respectivos itens (a) e (b) da QUESTÃO 2; 21 É A QUESTÃO 3 DO
trabalho desta aula a ser postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do
ambiente SOLAR. As questões 4 e 5 do trabalho, serão indicadas nos
134
tópicos seguintes desta aula. É exigido que o trabalho desta aula seja
postado no Portfólio, no período indicado na Agenda do ambiente
Solar, num único documento de texto (doc , docx ou PDF) ou manuscrito
e escaneado.
FONTES DAS IMAGENS
1. http://www.adobe.com/go/getflashplayer
Responsável: Prof. Jonatan Floriano da Silva
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135
TÓPICO 04: FUNÇÃO EXPONENCIAL NA BASE NEPERIANA
Neste tópico será estudada a inversa da função logarítmica natural,
chamada de função exponencial na base neperiana ( Devido ao inventor
dos logaritmos naturais, o escocês Jonh Napier ou Neper (1550-1617)
publicou sua invenção em 1614 na obra intitulada “Mirifici logarithmorum
canonis descriptio”, que significa “Uma descrição da maravilhosa regra dos
logaritmos”). ) .É sugestivo que o estudante aproveite o máximo a lista de
exercícios, a fim de assimilar melhor o conhecimento de tópicos anteriores
e das novas funções.
A função logarítmica natural é injetiva, pois ela é crescente no seu
domínio (como pode ser observado no gráfico da função que foi justificado
no tópico 3 desta aula), logo tal função possui inversa. A inversa da função
logarítmica natural é chamada de FUNÇÃO EXPONENCIAL e é indicada pelo
símbolo exp. Assim, tem-se:
GRÁFICO DA FUNÇÃO
Portanto, para y > 0 e para todo x. Em particular,
como tem-se e como obtém-se
Sejam a um número real positivo e r um número racional, então e
, assim como para todo y > 0 considerando e
substituindo na igualdade anterior, tem-se:
A igualdade é válida somente para r racional, o que torna a
igualdade também válida somente para r racional; mas o domínio
da função exponencial é o conjunto dos reais, logo é aceitável que tal
igualdade seja estendida para um número real x qualquer.
VÁLIDA SOMENTE PARA R RACIONAL
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
AULA 05: FUNÇÕES TRANSCENDENTES
136
Assim, motivado pela observação, sendo a > 0 e x um número real
qualquer, define-se o logaritmo natural de ax por e isto
permite também definir potência de base positiva a e expoente real x,
por
Portanto, desta última definição, tem-se:
Usando a definição de é possível escrever a equação simbólica que
define a função exponencial em termos do número "e" ( -- O número e é
definido como o valor cujo logaritmo natural é igual a 1, isto é, <img
src=imagens/04/img23.gif align=absmiddle>) definido no tópico 1 desta
aula. Assim, fazendo a = e na igualdade , tem-se ,
mas , logo e portanto:
A partir deste momento, como é tradicional, escreve-se invés de
e isto justifica chamar a função definida por de FUNÇÃO
EXPONENCIAL NA BASE E ou NA BASE NEPERIANA.
Pelo que já foi visto, observe que:
(1) y = e2 para todo x real se, e somente se, x= ℓn y para todo y>0;
(2) e ℓny = y para y>0 e ℓn ex=x para todo x;
(3) exℓna = ax para a>0 e todo x;
(4) e0=1 e e1=e
Se a e b são números reais quaisquer, a função exponencial tem as
seguintes propriedades:
As demonstrações das propriedades (1) a (3), decorrem da definição da
função exponencial e das propriedades do logaritmo natural. A
demonstração de (1) será feita a seguir. (2) e (3) têm provas análogas e estão
sugeridas no exercício 25 do exercitando deste tópico.
137
A DEMONSTRAÇÃO DE (1) SERÁ FEITA A SEGUIR
Sejam e então (da observação (1)) e , mas
, logo substituindo e nesta
última igualdade, obtém-se a demonstração da propriedade (1).
Para achar a derivada da função exponencial na base neperiana, seja
, então . Derivando em relação a x os dois lados da equação
tem-se
logo, substituindo y por , obtém-se:
Se u é uma função de x e derivável, da regra da cadeia (dada no teorema
3 do tópico 4 da aula 03), tem-se mas do último
resultado obtido, ou seja,
REGRA DA CADEIA
O teorema a seguir permite encontrar a derivada da composta de
duas funções a partir das derivadas das funções, isto é, sem efetuar a
composição; a fórmula estabelecida pelo teorema é conhecida como a
"REGRA DA CADEIA". Sejam f e g funções deriváveis e definidas por
y=f(u) e u=g(x) então fog é derivável, além disso,
ou .
EXEMPLO RESOLVIDO
Calcular
SOLUÇÃO
EXEMPLO PROPOSTO
Se provar que
O gráfico da função exponencial na base neperiana, pode ser obtido pela
reflexão do gráfico da função logarítmica natural em relação à reta y =
x (conforme foi visto no tópico 4 da aula 01) pois a função exponencial é a
inversa da função logarítmica natural ou então usando as informações dadas
138
pelas derivadas primeira e segunda. Na figura seguinte está o gráfico da
função exponencial na base neperiana.
REFLEXÃO DO GRÁFICO
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao EXERCITANDO (Visite a aula online para realizar download
deste arquivo.) e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder,
individualmente ou em grupo. Os exercícios 3 e 19 do exercitando, são os
respectivos itens (a) e (b) da QUESTÃO 4 do trabalho desta aula a ser
postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do ambiente SOLAR.É exigido que o
trabalho desta aula seja postado no Portfólio, no período indicado na
Agenda do ambiente Solar, num único documento de texto (doc , docx
ou PDF) ou manuscrito e escaneado.
FONTES DAS IMAGENS
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Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual
139
TÓPICO 05: FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA MAIS GERAIS
O objetivo deste tópico é definir as funções transcendentes que
estendem os conceitos das funções logarítmica natural e exponencial na
base neperiana, para outras funções logarítmicas e exponenciais numa
base não necessariamente igual a e. Inicialmente, aparece o conceito de
função exponencial na base a, onde a é um número real positivo, tal
conceito se justifica devido à definição de potência com expoente real dada
no tópico 4 desta aula, a partir daí será definida a função logarítmica numa
base a. Então serão obtidas as derivadas dessas funções e será possível a
construção dos seus gráficos.
POTÊNCIA COM EXPOENTE REAL
Se a é um número real positivo e r é um número racional,
como tem-se da definição de função exponencial e de tal
propriedade que Esta última igualdade vale
somente para um número racional r qualquer, pois só
vale para r racional; entretanto, o domínio da função exponencial é o
conjunto dos reais, logo sendo é aceitável que tal
igualdade seja estendida para um número real x qualquer. Assim,
sendo a>0 e x um número real qualquer, define-se
Se a um número positivo fixo e diferente de um a relação (dada
no tópico 4 desta aula) para todo número real x, permite definir a FUNÇÃO
EXPONENCIAL NA BASE A pela equação:
DIFERENTE DE UM
Pois se a = 1 a função será constante.
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Calcular , se
SOLUÇÃO
Usando a última fórmula obtida, tem-se:
mas , logo substituindo , obtém-se:
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
AULA 05: FUNÇÕES TRANSCENDENTES
140
EXEMPLO PROPOSTO 1
Se mostrar que
Sendo ainda a um número positivo fixo e diferente de 1, a função
exponencial de base a é derivável no seu domínio, além disso,
se a > 1, assim (do teorema 1 do tópico 2 da
aula 04) a função exponencial na base a é decrescente ou crescente,
conforme seja 0 < a < 1 ou a > 1, respectivamente; logo, conforme visto no
tópico 3 da aula 01 , tal função é injetiva e assim é invertível.
TEOREMA 1 DO TÓPICO 2 DA AULA 04
Se f uma função contínua num intervalo I (onde I é aberto,
fechado ou semifechado) e derivável no intervalo aberto
correspondente (isto é, é o intervalo aberto de mesmos extremos de
I), então f é:
(A) Decrescente em I, se para todo x em .
(B) Crescente em I, se para todo x em .
VISTO NO TÓPICO 3 DA AULA 01
Uma função f é dita INJETIVA (ou biunívoca), se para
quaisquer x1 e x2 no D(f), tem-se (ou equivalente,
. Em outras palavras, f é injetiva, se para cada
existe um único tal que f(x) = y, neste caso, a regra dada por x =
g(y) agregada ao caráter de unicidade de x, define uma função g tal
que D(g) = I(f) e I(g) = D(f), então observe que se tem as duas funções
f e g tais que além disso, como
para todo para todo pela definição
de função inversa, g = f-1 e f = g-1.
Resumindo, acaba de ser justificado o seguinte: SE UMA FUNÇÃO
F É INJETIVA, ENTÃO F POSSUI INVERSA (ISTO É, F É
INVERTÍVEL) COM DOMÍNIO IGUAL A IMAGEM DE F; e mais, A
EQUAÇÃO QUE DEFINE A INVERSA DE F É OBTIDA RESOLVENDO A
EQUAÇÃO Y = F(X) PARA A VARIÁVEL X.
Através do gráfico de uma função f num intervalo pode-se
verificar se ela possui inversa em I, da seguinte forma: se o gráfico tem
o aspecto ascendente ou descendente em I, isto é, se a função f é
CRESCENTE ou DECRESCENTE em I, ou ainda, se com x1 <
x2 implica respectivamente, fará com que f
seja injetiva em I.
141
A inversa da função exponencial na base a (a>0 e diferente de 1) é
chamada de função logarítmica na base a e é indicada pelo símbolo
.
Assim, tem-se:
Observe que as posições de y e x foram invertidas em y = ax a fim de
obter a função logarítmica na base a com variável independe x. Observe
também que se a = e obtém-se a função logarítmica na base e, que é a função
logarítmica natural, isto é, . Sendo para estabelecer a
relação entre logaritmo na base a e logaritmo natural, considere x um
número real positivo, então é equivalente a . Logo,
Assim de , achando y e substituindo por , tem-se a relação
Particularmente, se x = e, obtém-se:
Se m e n são números reais positivos, e , a função logarítmica na
base a tem as seguintes propriedades:
(1) loga (mn)= loga m + loga n;
(2) loga (m/n)= loga m - loga n;
(3) loga mr= r loga m, r real;
(4) loga 1 =0 e loga a=1;
As demonstrações das propriedades (1) a (4) da função logarítmica na
base a, estão sugeridas no exercício 20 do exercitando deste tópico.
Para achar a derivada da função logarítmica na base a, pode-se usar a
sua definição ou a relação com logaritmo natural. Optando pela primeira
alternativa, seja Derivando em relação a x os dois
membros da última equação, tem-se:
142
logo, substituindo y por , obtém-se:
Portanto, sendo u uma função derivável e u(x) > 0, pela regra da cadeia
(dada no teorema 3 do tópico 4 da aula 03), tem-se
mas do último resultado obtido, ou seja,
O teorema a seguir permite encontrar a derivada da composta de
duas funções a partir das derivadas das funções, isto é, sem efetuar a
composição; a fórmula estabelecida pelo teorema é conhecida como a
"regra da cadeia". Sejam f e g funções deriváveis e definidas por y=f(u) e
u=g(x) então fog é derivável, além disso,
.
EXEMPLO RESOLVIDO 2
SOLUÇÃO
Tem-se:
EXEMPLO PROPOSTO 2
Sejam u e v funções de x onde u(x) > 0, então a função
exponencial de base u e expoente v é definida pela equação:
Sendo u e v funções deriváveis, usando logaritmo natural, acha-se a
derivada de em relação a x. Assim, aplicando logaritmo natural nos
membros da equação tem-se , logo ; derivando y em
relação a x, obtém-se:
143
portanto substituindo y por , acha-se:
EXEMPLO RESOLVIDO 3
SOLUÇÃO
Usando a última fórmula encontrada, tem-se:
EXEMPLO PROPOSTO 3
LEITURA COMPLEMENTAR
No texto "Regras de L´Hospital (Visite a aula online para realizar
download deste arquivo.)", será encontrada aplicações da derivada no
cálculo de alguns limites.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao EXERCITANDO (Visite a aula online para realizar download
deste arquivo.) e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder,
individualmente ou em grupo. Os exercícios 5 e 10 do exercitando, são os
respectivos itens (a) e (b) da QUESTÃO 5 do trabalho desta aula a ser
postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do ambiente SOLAR.. É exigido que
o trabalho desta aula seja postado no Portfólio, no período indicado na
Agenda do ambiente Solar, num único documento de texto (doc , docx
ou PDF) ou manuscrito e escaneado.
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144
TÓPICO 01: INTEGRAL INDEFINIDA E FÓRMULAS DE INTEGRAÇÃO
Como foi visto no tópico 2 da aula 3 a derivada de uma função f
representa o quociente de duas quantidades infinitesimais, mas até este
momento não se enfatizou o significado do numerador e denominador
dessa razão que são chamados de diferenciais; o objetivo inicial deste
tópico é estabelecer e interpretar as diferenciais, o que será de grande
relevância no cálculo integral. Em seguida será introduzido o conceito de
integral indefinida, trata-se de uma família de funções que é obtida através
de um processo inverso a derivação. Posteriormente, serão relacionadas às
fórmulas de integração que constituem a base do cálculo integral, isto é, as
fórmulas que decorrem diretamente das fórmulas de derivação ou destas
através de mudanças de variáveis simples. Vale observar que a habilidade
na utilização de tais fórmulas, constitui tarefa indispensável ao estudo dos
tópicos posteriores e só é possível se o estudante resolver uma quantidade
substancial de exercícios que estão propostos no exercitando deste tópico.
TÓPICO 2 DA AULA 3
Quando se faz , diz-se que é uma VARIAÇÃO
INSTANTÂNEA de (ou uma variação infinitesimal do valor ).
Suponha que f seja contínua em , então implica que
logo sendo f contínua em possível interpretar que é
taxa (ou razão) de duas quantidades infinitesimais. Se tal limite existe
é dito é dito a TAXA (OU RAZÃO) INSTANTÂNEA DE VARIAÇÃO de
y em relação a x em , então sendo tem-se
Sejam x um valor qualquer no domínio de uma função f e uma
variação de x (conforme foi visto no tópico 2 da aula 03), então a
DIFERENCIAL DE X é indicada por dx e definida como sendo essa variação,
ou seja,
Se existe, então é aproximadamente igual a para
próximo de 0, ou seja, para próximo de 0, daí
para próximo de 0. A quantidade é chamada a DIFERENCIAL DE
Y e é indicada por dy, assim ou ainda,
Para interpretar geometricamente, considere a figura seguinte.
VEJA
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
AULA 06: INTEGRAIS E APLICAÇÕES
145
Da figura, sendo a reta contendo e B tangente à curva no ponto
tem-se: é a distância orientada |PQ| do ponto P ao ponto Q;
enquanto que pois o triângulo é retângulo, onde
é a inclinação da reta tangente, daí
Portanto, dy é a variação da ordenada da reta tangente
correspondente a variação dx da abscissa. Observe que a
aproximação entre pode ser melhor quanto menor
for .
Dada uma função f definida num intervalo I, diz-se que uma função
F é uma INTEGRAL(primitiva ou antiderivada) de f em I, se
para todo .
Assim, para encontrar uma integral de uma função num intervalo é
necessário efetuar o processo inverso ao da derivação, esta operação é
chamada de INTEGRAÇÃO (primitivação ou antiderivação). Com a
familiaridade que se tem com a derivação, não haverá dificuldade para se
obter integrais de algumas funções, por exemplo: se então
é uma integral de f (x) em R, pois para todo
Observe que não é a única integral de em R,
pois adicionando qualquer valor constante no segundo membro de
ainda se tem uma integral de ; logo (por exemplo):
•
• e
• são também integrais de em R. Desta
forma, se C é um valor constante arbitrário, então é uma
integral de em R.
Em geral, se C é uma constante arbitrária e y = f(x) é uma integral de f
(x) num intervalo I, então
é também uma integral de f (x) em I.
DÚVIDA
O que não está evidente é a resposta da pergunta: se y =f (x) é uma
integral de f (x) em I, então qualquer outra integral de f (x) em I é da
forma ? A resposta é afirmativa, a justificativa decorre do
corolário do teorema 2 do tópico 1 da aula 04 pois sendo outra
integral qualquer de f (x) em I, G e F têm a mesma derivada f (x) em I,
logo (do corolário) G e F diferem de uma constante em I e assim
para todo .
146
COROLÁRIO DO TEOREMA 2 DO TÓPICO 1 DA AULA 04
Sejam f e g funções deriváveis num intervalo I, tais que
para todo , então existe uma constante C tal que
para todo .
Uma integral F de uma função f num intervalo I adicionada a uma
constante arbitrária C, dada por é dita a INTEGRAL INDEFINIDA
de f (x) em relação a x e a constante C é chamada uma CONSTANTE DE
INTEGRAÇÃO. O símbolo
é chamado de SÍMBOLO DA INTEGRAL INDEFINIDA e é usado para
representar a integral indefinida da função f num intervalo da seguinte
forma
Nesta representação, f(x) é chamada de INTEGRANDO e dx indica que x
é a VARIÁVEL DE INTEGRAÇÃO (isto é, a variável em relação a qual se deve
derivar F (x) para obter f (x)).
Assim, para o exemplo dado inicialmente, escreve-se
onde é o integrando e
EXEMPLOS RESOLVIDOS 1
Calcular as seguintes integrais indefinidas:
SOLUÇÃO
(a) Tem-se
pois
(b) Tem-se
pois
EXEMPLOS PROPOSTOS 1
147
Calcular as integrais e verificar que o resultado está correto:
A constante de integração C pode ser determinada quando se deseja
que a integral satisfaça alguma condição, que é chamada de
CONDIÇÃO INICIAL (ou condição de contorno), por exemplo: suponha que o
valor da integral seja para então isto é,
está determinada. O exemplo seguinte dá uma ilustração.
EXEMPLO RESOLVIDO 2
Achar a função G tal que
SOLUÇÃO
Tem-se
pois Sendo obtém-se
daí C = -2, portanto é a função
procurada.
EXEMPLO PROPOSTO 2
Determinar a função G tal que e
Verificar o resultado.
A constante de integração C dá origem a uma família de funções
definidas por e que é chamada de FAMÍLIA A UM PARÂMETRO.
Geometricamente, estas funções representam uma família de CURVAS
PARALELAS (isto é, nos pontos de interseções das curvas com uma reta
vertical, todas as retas tangentes às curvas são paralelas), como se encontra
ilustrado na figura seguinte.
VEJA
PARADA OBRIGATÓRIA
O cálculo integral é uma tarefa mais difícil que o cálculo diferencial,
este às vezes requer artifícios de notória complexidade. A seguir serão
estabelecidas fórmulas e técnicas simples que serão de grande utilidade no
cálculo integral. Entretanto vale chamar a atenção, que existem integrais
que não podem ser expressas como FUNÇÕES ELEMENTARES (isto é,
148
funções resultantes de um número finito de operações algébricas
envolvendo as funções até agora estudadas).
No século XIX, foi provado por Liouville ( -- Joseph Liouville (1809-
1882), matemático francês.) que integrais como
não podem ser expressas como funções elementares, isto é, não existe
função elementar cuja derivada seja
fazem parte também de tal grupo de integrais (provado também por
Liouville) as integrais elípticas ( -- A expressão 'integral elíptica', deve-se ao
fato de que o comprimento de uma elipse é expresso através de uma integral
desse tipo.) isto é, qualquer integral da forma onde é uma
função racional e y é a raiz quadrada de uma função polinomial de terceiro
ou quarto grau em x, como por exemplo,
Através das fórmulas de derivação já estabelecidas, é possível calcular a
derivada de qualquer função elementar derivável; entretanto, as fórmulas de
integração não têm um papel tão geral, tais fórmulas, na maioria das vezes,
apenas auxiliam o cálculo integral. A seguir estão relacionadas as fórmulas
de integração, que servem de base para o cálculo integral. As justificativas de
tais fórmulas serão efetuadas ou comentadas no texto complementar
indicado no final deste tópico.
As três primeiras fórmulas valem para qualquer função, devido a isso,
são consideradas como propriedades da integral indefinida.
VEJA
(1) A integral indefinida da derivada de uma função ou da
diferencial da função é a função adicionada a constante de integração,
isto é,
Particularmente, sendo tem-se
(2) A integral indefinida de uma constante multiplicada por uma
função é a constante multiplicada pela integral indefinida da função,
ou seja,
149
onde a é uma constante. Em outras palavras, uma constante
permuta com o sinal de integração.
(3) A integral indefinida da soma ou diferença de duas funções é a
soma ou diferença das integrais indefinidas das funções, isto é,
Resulta das fórmulas (2) e (3) que
onde é constante.
(4) Se u e uma função de x e derivável, então
Particularmente, se obtém-se
EXEMPLOS RESOLVIDOS 3
Calcular as integrais:
SOLUÇÃO
(a) Pela fórmula (ii)
mas (pela fórmula
e (pela fórmula (i)) logo substituindo os resultados das
três últimas integrais na integral proposta, obtém-se
(b) Tem-se
(c) Tem-se
150
Outra forma de aplicar a fórmula 4 no cálculo desta integral, é
fazendo uma mudança de variável (isto é, mudando de forma
conveniente a variável x para a variável u). Assim, considerando
tem-se portanto substituindo x + 1 e dx na
integral, obtém-se:
(d) Tem-se
A integral também pode ser calculada, mudando para a variável
u onde
Cada integral calculada pode ser verificada, por derivação do
resultado encontrado. Assim, no item d, por exemplo,
que é o integrando da integral do item d, logo o cálculo da
integral está correto.
EXEMPLOS PROPOSTOS 3
Calcular a integral para mostrar que:
AS FÓRMULAS (5) ATÉ (17)
151
EXEMPLOS RESOLVIDOS 4
Calcular as integrais:
SOLUÇÃO
(a) (1º Solução)
pois ou seja,
(2º Solução)
(3º Solução)
152
(b) Tem-se
(c) Tem-se
(d) Tem-se
(e) Tem-se
EXEMPLOS PROPOSTOS 4
Calcular a integral para mostrar que:
AS FÓRMULAS (18) ATÉ (20)
EXEMPLOS RESOLVIDOS 5
Calcular as integrais:
153
SOLUÇÃO
(a) Tem-se
(b) Tem-se
EXEMPLOS PROPOSTOS 5
Calcular a integral para mostrar que:
No conjunto das fórmulas de integração, não aparecem fórmulas para
integrar, por exemplo, as funções logarítmicas e as trigonométricas inversas,
o motivo é que das fórmulas básicas de derivação não se tem diretamente o
integrando; mais precisamente, não há na relação de fórmulas dadas nos
tópicos 4 da aula 03 e nos tópicos da aula 05, por exemplo, uma fórmula do
tipo onde f (x) seja conhecida, a fim de que se tenha
O seguinte procedimento, conhecido como INTEGRAÇÃO POR
PARTES, permite calcular as integrais das funções logarítmicas e
trigonométricas inversas, além de vários outros exemplos.
Sejam u e v funções de x e deriváveis, então (da fórmula para derivar o
produto)
e daí
Integrando os dois lados da última equação, obtém-se a FÓRMULA DE
INTEGRAÇÃO POR PARTES, dada por
Observe que esta fórmula não resolve de imediato o problema de
calcular a tal integral passa a depender da que em certos casos,
154
para uma escolha conveniente de u e dv, é mais fácil de calcular do que a
integral proposta. O método é ilustrado nos exemplos seguintes.
EXEMPLOS RESOLVIDOS 6
Calcular
SOLUÇÃO
Tem-se
Logo, usando a fórmula de integração por partes, obtém-se
EXERCÍCIO PROPOSTO 6
Mostrar que
No exemplo resolvido 6, a primeira constante de integração
(resultante da integral, não aparece no resultado final da integral;
em geral, isto sempre ocorre. A fim de provar tal afirmação, observe que
Portanto, é desnecessário colocar a constante de integração no momento
em que for encontrada a função v a partir de dv Isto será posto em prática a
partir do exemplo seguinte.
EXEMPLOS RESOLVIDOS 7
Calcular as integrais:
SOLUÇÃO
(a) Tem-se
155
Logo, usando a fórmula de integração por partes, obtém-se
(b) Tem-se
assim
Considere agora
daí
Substituindo, tem-se
onde
(c) Tem-se
então
Considere agora
então
Como à direita da equação aparece a integral proposta,
somando esta integral nos dois lados da equação, tem-se
156
ou seja,
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 7
Mostrar que:
LEITURA COMPLEMENTAR
No texto "Demonstrações das Fórmulas de Integração (Visite a aula
online para realizar download deste arquivo.)", serão encontradas as
demonstrações de algumas das fórmulas ou comentadas.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao EXERCITANDO (Visite a aula online para realizar download
deste arquivo.) e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder,
individualmente ou em grupo. Os exercícios do exercitando: 3, 6, 11 e 25
são os respectivos itens (a) até (d) da QUESTÃO 1; 29, 56, 59 e 69 são os
respectivos itens (a) até (d) da QUESTÃO 2 do trabalho desta aula a ser
postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do ambiente SOLAR. As questões 3
a 5 do trabalho, serão indicadas nos tópicos seguintes desta aula.É
exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio, no período
indicado na Agenda do ambiente Solar, num único documento de texto
(doc , docx ou PDF) ou manuscrito e escaneado.
FONTES DAS IMAGENS
Responsável: Prof. Jonatan Floriano da Silva
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157
TÓPICO 02: APLICAÇÕES DA INTEGRAL INDEFINIDA
Este tópico ilustra alguns problemas de natureza prática em engenharias
e ciências, que são resolvidos usando integral indefinida. Inicialmente, serão
ilustrados problemas que aparecem em mecânica, mais precisamente,
problemas de deslocamento de partículas em movimento retilíneo;
posteriormente, serão vistos alguns problemas que aparecem em Física,
Química e Biologia, esses problemas satisfazem certas leis conhecidas como
leis de crescimento e decrescimento.
No texto complementar "Movimento Retilíneo (Visite a aula online para
realizar download deste arquivo.)" indicado no final do tópico 1 da aula 03, a
derivada foi usada para definir velocidade e aceleração instantâneas de uma
partícula em movimento retilíneo, a partir da equação de movimento da
partícula. Mais precisamente, se é a equação de movimento, então a
velocidade e a aceleração são dadas por e respectivamente.
A integração permite reverter esse procedimento para encontrar a equação
de movimento, quando é dada a velocidade ou a aceleração da partícula
juntamente com certas condições iniciais. Os exemplos 1 e 2 a seguir,
estabelecem algumas situações.
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Uma partícula em movimento retilíneo, desloca-se com aceleração
constante a. Se é a velocidade inicial da partícula na posição inicial ,
determinar a sua equação de movimento.
SOLUÇÃO
Como tem-se (separando as variáveis v e t) que
agora integrando os dois lados, obtém-se:
Supondo que o tempo começa a partir de t = 0, então e
assim
Substituindo , obtém-se
Sendo separando as variáveis e integrando os
dois lados, resulta
mas logo
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
AULA 06: INTEGRAIS E APLICAÇÕES
158
assim substituindo , tem-se
que é a equação de movimento da partícula.
Se uma partícula de massa m desloca-se com uma aceleração a
(t), então a SEGUNDA LEI DE NEWTON (Newton -- Isaac Newton (1642-
1727), matemático e físico inglês.) estabelece: A FORÇA F QUE ATUA NA
PARTÍCULA É IGUAL AO PRODUTO DA MASSA DA PARTÍCULA POR SUA
ACELERAÇÃO, ISTO É,
Quando uma partícula movimenta-se livremente ao longo de uma reta
vertical, ela é atraída para a superfície da Terra pela FORÇA DE GRAVIDADE,
que numa distância próxima da superfície da Terra essa força é constante
(isto é, a aceleração devida, que é aceleração da gravidade é constante nas
proximidades da superfície da Terra).
EXEMPLO PROPOSTO 1
De um ponto a altura do solo, uma partícula de massa m é lançada
verticalmente para cima com uma velocidade inicial . Se a única força que
atua na partícula é a força de gravidade, provar que a equação de movimento
da partícula é
A LEI DA GRAVIDADE DE NEWTON estabelece: A FORÇA COM QUE
DUAS PARTÍCULAS DE MASSAS E SE ATRAEM, É PROPORCIONAL
AO PRODUTO DAS MASSAS E INVERSAMENTE PROPORCIONAL AO
QUADRADO DA DISTÂNCIA QUE AS SEPARA, isto é, onde k é a
constante de proporcionalidade e s é a distância entre as partículas.
EXEMPLO RESOLVIDO 2
Se uma partícula é lançada da superfície da Terra com velocidade
inicial , calcular a velocidade da partícula em termos da distância s da
partícula até a superfície da Terra.
SOLUÇÃO
A força atuando sobre a partícula é onde: m é a
massa da partícula, M é a massa da Terra e s é a distância da
partícula à superfície da Terra. Logo, pela segunda lei de Newton,
tem-se
Pode ser provado que a força gravitacional da Terra sobre a
partícula, é a mesma que é exercida por uma partícula de massa M
localizada no centro da Terra, veja exercício 17 do exercitando
159
deste tópico. Assim, fazendo s = r onde r é o raio da Terra e usando
que da última equação, obtém-se ou seja,
. Logo, substituindo kM por , tem-se em termos de
constantes apropriadas, isto é,
Sendo (decorrente da regra da cadeia) enunciada
no tópico 4 da aula 03), tem-se
DECORRENTE DA REGRA DA CADEIA
O teorema a seguir permite encontrar a derivada da
composta de duas funções a partir das derivadas das funções,
isto é, sem efetuar a composição; a fórmula estabelecida pelo
teorema é conhecida como a "regra da cadeia". Sejam f e g
funções deriváveis e definidas por y = f (u) e u = g (x), então
fog é derivável, além disso
daí
que resolvendo, acha-se
Usando que se s = r tem-se logo
Se uma partícula é lançada da superfície da Terra com velocidade inicial
, o movimento da partícula vai diminuindo (devido a atração da força de
gravidade exercida pela Terra) e não sendo suficientemente grande, a
partícula num determinado instante entra em repouso ainda no campo
gravitacional, assim retorna à superfície da Terra. A velocidade inicial ,
para que uma partícula saia do campo gravitacional da Terra, é chamada de
VELOCIDADE DE ESCAPE da Terra.
EXEMPLO PROPOSTO 2
Provar que a velocidade de escape da Terra é Usando que
verificar que
Alguns problemas são caracterizados, quando neles estão envolvidas
certas quantidades, onde a razão da variação dessas quantidades em relação
160
ao tempo é proporcional a elas em cada instante (ou ainda, quando tal
proporcionalidade difere de uma constante). Nos exemplos seguintes, estão
alguns problemas do tipo mencionado.
EXEMPLO RESOLVIDO 3
Se uma fem V é aplicada num condutor, a intensidade de corrente
não alcança de forma instantânea o valor dado pela lei de Ohm enunciada
no tópico 2 da aula 03, ela vai aumentando até atingir o seu valor estável;
a razão disto, deve-se a FEM AUTOINDUZIDA dada por que se
opõe à variação da corrente ( é dada pela lei da indução
eletromagnética, o sinal menos é devido a oposição da variação da
corrente e a constante de proporcionalidade L, que em geral depende da
forma geométrica do condutor, é chamada de AUTOINDUTÂNCIA), ela só
existe enquanto a corrente aumenta de zero até o seu valor final constante.
Portanto, a fem total aplicada no circuito é dada por ou seja,
Encontrar I em função do tempo t. Veja o exercício 23 do
exercitando deste tópico, se no circuito for colocado um capacitor.
SOLUÇÃO
Como tem-se
que separando as variáveis e integrando resulta em
pois Observe que se t = 0 então I = 0, logo
ou seja,
Substituindo C, encontra-se
De onde se conclui que I se aproxima do valor V/R (dado pela
lei de Ohm), mais rapidamente quando maior for a razão da
resistência pela indutância do condutor.
LEI DE OHM
A lei de Ohm afirma: num condutor, a razão da diferença de
potencial (ou força eletromotriz, que é escrita abreviadamente como
161
fem) V entre dois pontos do condutor pela intensidade da corrente
elétrica I é constante e igual a resistência elétrica R, isto é, V / I = R.
De onde se conclui que I se aproxima do valor V/R (dado pela lei de
Ohm), mais rapidamente quando maior for a razão da resistência pela
indutância do condutor.
EXEMPLO PROPOSTO 3
Supondo que a corrente atingiu seu valor estacionário, cessando a fem
aplicada, vai haver uma queda de corrente I. Provar que I decaindo é dada
por
EXEMPLO RESOLVIDO 4
De acordo com a LEI DO RESFRIAMENTO DE NEWTON: a velocidade
de resfriamento de um corpo num ambiente é proporcional a diferença da
temperatura do corpo pela temperatura do ambiente. Se a temperatura de
um ambiente é de 30º e um corpo passa de 100º para 80º em 10
minutos, determinar o tempo em que a temperatura do corpo atinge 40º.
SOLUÇÃO
Seja T (t) a temperatura do corpo t minutos após o corpo ter
sido colocado no ambiente, então
Logo, separando as variáveis e integrando, tem-se
daí
Como t (0) = 100, obtém-se
Substituindo o valor de C, tem-se
Tem-se ainda T(10) = 80, assim
Seja o tempo em que a temperatura do corpo atinge 40º,
então
elevando ambos os lados a décima potência e substituindo o
valor acha-se
162
assim minutos.
EXEMPLO PROPOSTO 4
Um corpo com 120º foi posto num líquido com 40º e 10 minutos
depois a temperatura do corpo caiu 20º. Mostrar que a temperatura do
corpo 30 minutos após a primeira observação é aproximadamente 65,31º.
EXEMPLO RESOLVIDO 5
Os átomos das substâncias radioativas têm a propriedade de emitir
espontâneamente certas partículas, isso é resultante de uma instabilidade
nos seus núcleos. Devido a isso, as substâncias radioativas sofrem uma
desintegração com o passar do tempo (isto é, tem uma diminuição em sua
massa com o passar do tempo) numa razão proporcional a quantidade
existente a cada instante. O rádio é uma substância radioativa, supondo
que uma massa de rádio pesa 40 gramas neste instante e sua VIDA
MÉDIA (ou seja, o tempo necessário para a sua massa se reduzir à metade)
é de 3 mil anos, calcular a quantidade que restará daqui a 600 anos.
SOLUÇÃO
Seja M (t) a massa de rádio t anos após o início da
desintegração, então
Logo, separando as variáveis e integrando, tem-se
daí
Como M(0) = 40, obtém-se
assim
Sendo a vida média do rádio igual a 3000 anos, M = 20 quando
t = 3000, logo
Substituindo o valor de k, tem-se
163
Portanto, daqui a 600 anos restará gramas
de rádio.
EXEMPLO PROPOSTO 5
O urânio é uma substância radioativa, supondo que uma amostra de
urânio tem 30 gramas e sua vida média é de anos, provar que
é o tempo para que decaia 20 gramas da amostra.
EXEMPLO RESOLVIDO 6
Numa reação química, a quantidade de cada uma das substâncias
presentes no início da reação, vai diminuindo com o passar do tempo, uma
vez que as substâncias vão se transformando na substância resultante da
reação. Suponha que numa reação química, a razão de variação da
quantidade da substância em relação ao tempo, é proporcional à
quantidade que ainda resta naquele instante, sabendo-se que 64 gramas
da substância iniciou a reação e 16 gramas foram transformadas em 20
minutos, calcular a quantidade que restará após uma hora.
SOLUÇÃO
Seja S (t) a quantidade da substância ainda presente
após t minutos, então
Logo, separando as variáveis e integrando, tem-se
assim
Como S(0) = 64, tem-se
Sendo S(20) = 64 - 16 = 48, obtém-se
Substituindo o valor de k encontrado, tem-se
Portanto, a quantidade da substância após uma hora (isto é,
depois de 60 minutos) é gramas.
EXEMPLO PROPOSTO 6
164
Suponha que uma substância está se transformando noutra
substância e a quantidade de varia numa razão proporcional a
quantidade existente a todo instante. Mostrar que o tempo t da
transformação em função das quantidades e de e ,
respectivamente, presentes num determinado instante é de
onde é o tempo em que as duas quantidades estão em equilíbrio.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao EXERCITANDO (Visite a aula online para realizar download
deste arquivo.) e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder,
individualmente ou em grupo. As questões 3 a 5 do trabalho desta aula,
serão indicadas nos tópicos seguintes desta aula. É exigido que o trabalho
desta aula seja postado no PORTFÓLIO, no período indicado na AGENDA
do ambiente SOLAR, num único documento de texto (doc , docx ou PDF)
ou manuscrito e escaneado.
FONTES DAS IMAGENS
Responsável: Prof. Jonatan Floriano da Silva
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual
165
TÓPICO 03: INTEGRAL DEFINIDA E TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
VERSÃO TEXTUAL
Este tópico estuda a integral definida, trata-se de um processo
para calcular um tipo de soma com uma infinidade de parcelas, tal
soma é usada para determinar: áreas de regiões planas, volume de
sólidos e comprimento de curvas; e aplicações em Física, tais como, o
centro de massa de uma lâmina, o cálculo de trabalho e força devida à
pressão de fluidos, aplicações em Física estão fora dos objetivos deste
texto. Inicialmente, o tópico trata do conceito de integral definida e
suas propriedades, posteriormente será visto um resultado conhecido
como "teorema fundamental do Cálculo", que estabelece as condições
suficientes para que a integral definida possa ser calculada através de
uma integral indefinida.
A integral definida, como a derivada, é também um limite de uma
expressão envolvendo uma função. Antes de enunciar o conceito de integral
definida, é necessário construir os elementos a serem utilizados.
A primeira etapa, refere-se à construção de uma soma, que é o elemento
central da definição. Seja f uma FUNÇÃO LIMITADA no intervalo fechado [a,
b] isto é, existe uma constante m > 0 tal que para todo .
Considere uma divisão D de [a, b] em n subintervalos:
[x0, x1], [x1, x2], ..., [xn-1, xn]
onde a=x0 < x1 < x2 <... < xn-1 < xn = b. Considere ainda ∆ix (i = 1, 2, ...,
n) o comprimento do i-ésimo subintervalo [xi-1, xi], ou seja ∆1x = x1 – x0, ∆2x
= x2 – x1,..., ∆nx = xn - xn-1 e α Є [xi-1, xi]. Então a referida soma é dada por
e é chamada de SOMA DE RIEMANN ( -- Georg Friedrich Bernhard
Riemann (1826-1866), matemático alemão) da função f relativa a divisão D e
aos valores .
É comum chamar o conjunto dos valores que determinam
uma divisão de [a, b] em subintervalos, uma PARTIÇÃO de [a, b]. Observe
que, para uma dada função f e um determinado intervalo [a, b] sobre o qual f
é limitada, uma soma de Riemann de f depende da divisão (ou da partição)
de [a, b] que for considerada e da escolha dos valores em cada subintervalo.
Ao considerar uma divisão de [a, b] faz-se de forma que o número de
subintervalos possa crescer de maneira ilimitada, então a próxima etapa é
fazer o número de parcelas da soma de Riemann tender a de forma que o
comprimento de cada subintervalo tenda a zero; para isto, seja
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
AULA 06: INTEGRAIS E APLICAÇÕES
166
∆x = máx.{∆ix; i=1, 2, ..., n}.
Isto é, ∆x é o comprimento do maior subintervalo da divisão; então a
etapa estará concluída considerando o seguinte limite:
Estabelecer que o mencionado limite existe e é igual a L, escreve-se
significa: dado qualquer ε>0 existe δ >0, tal que para qualquer divisão
de [a, b] com ∆x < δ e qualquer escolha de α Є [xi-1, xi] (i=1, 2, ..., n), vale a
desigualdade
É relevante observar que este limite difere dos limites tratados na aula
02; entretanto, é possível mostrar que tal limite quando existe é também
único, a prova está sugerida no exercício 48 do exercitando deste tópico.
Quando o limite existe, diz-se que f é INTEGRÁVEL em [a, b] e neste caso o
número L é chamado de INTEGRAL DEFINIDA de f em [a, b] (ou
simplesmente, a integral de f em [a, b]) e é indicado pelo símbolo
ou seja,
Os dois conceitos de integrais dados têm significados distintos, pois a
integral indefinida é uma função, enquanto que a integral definida é um
número; entretanto, a seguir será demonstrado que sob determinada
condição, é comum o valor da integral definida ser obtido através da integral
indefinida.
No símbolo são usadas as seguintes designações: é o SÍMBOLO
DA INTEGRAL DEFINIDA, "a" é o LIMITE INFERIOR INTEGRAÇÃO e "b" é o
LIMITE SUPERIOR DE INTEGRAÇÃO e a expressão f(x) é o INTEGRANDO.
Historicamente, o símbolo representa um S alongado, inspirado na
primeira letra da palavra latina "summa" que significa "soma", usado para
enfatizar que a integral definida representa uma soma.
Uma questão que surge é sob que condição uma função é integrável num
intervalo fechado, o teorema seguinte estabelece tal condição, sua
demonstração ( -- Uma demonstração pode ser encontrada na referência
Princípios de Análise Matemática - Rudin, Walter - Rio de Janeiro, Editora
Ao Livro Técnico, 1971) está acima do nível deste texto.
167
TEOREMA 1
Se uma função é contínua num intervalo fechado, então ela é
integrável nesse intervalo.
Assim, quando se deseja encontrar o valor da integral definida de uma
função contínua f num intervalo fechado [a, b] basta achar esse valor para
uma particular divisão de [a, b] e uma escolha particular de em cada
subintervalo da divisão; pois devido a unicidade do valor da integral, o
valor é o mesmo para qualquer outra divisão e escolha de . O exemplo
seguinte ilustra o procedimento.
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Achar o valor da integral de .
SOLUÇÃO
EXEMPLOS PROPOSTOS 1
Provar que .
No conceito de integral definida, o valor de a foi considerado como
limite inferior e de b como o limite superior de integração; quando se deseja
fazer uma permuta dos limites de integração a e b, define-se
168
desde que f seja integrável em [a, b]. E a integral com os limites de
integração iguais é definida como igual a zero, isto é,
desde que f(a) exista.
A integral definida tem as seguintes propriedades:
As demonstrações das propriedades (1) a (4), decorrem das definições
de integral definida e função integrável. A propriedade (1) será demonstrada
no texto complementar "Demonstrações Envolvendo a Integral Definida"
indicado no final deste tópico, as demonstrações das demais estão sugeridas
no exercício 45 do exercitando deste tópico.
A propriedade (2) pode ser estendida para uma soma finita qualquer e
aplicando a propriedade (1), resulta em
onde cada função é integrável em [a, b] e cada ci é
constante.
Na propriedade (3), o intervalo [a, b] foi dividido nos dois subintervalos
[a, c] e [c, b] ela pode ser estendida para uma divisão com um número finito
qualquer de subintervalos; além disso, é possível mostrar que se f é
integrável num intervalo contendo a, b e c, então
sem levar em consideração a ordem dos valores a, b e c.
O processo de calcular uma integral definida através da definição, é
muito trabalhoso e na maioria das vezes é bastante difícil. No teorema
seguinte será visto o procedimento para obter o valor da integral definida de
uma função contínua, através da sua integral indefinida, esse é o processo
normalmente usado, sua demonstração está no texto complementar
"Demonstrações Envolvendo a Integral Definida" indicado no final deste
tópico.
TEOREMA (FUNDAMENTAL DO CÁLCULO) 2
169
Seja f uma função contínua em [a, b] então onde F
é qualquer integral de f(x)
A diferença F(b) - F(a) geralmente é indicada por
escrevendo-se
Vale enfatizar que o teorema fundamental do Cálculo estabelece: se f é
contínua em [a, b] então uma função F, citada no teorema, pode e deve ser
obtida da igualdade . O exemplo seguinte ilustra a
aplicação do teorema fundamental do Cálculo.
EXEMPLOS RESOLVIDOS 2
Calcular as seguintes integrais:
SOLUÇÃO
EXEMPLOS PROPOSTOS 2
Mostrar que:
LEITURA COMPLEMENTAR
170
No texto "Demonstrações Envolvendo a Integral Definida" (Visite a
aula online para realizar download deste arquivo.), serão encontradas as
demonstrações de resultados deste tópico.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao exercitando (clique aqui para abrir) (Visite a aula online
para realizar download deste arquivo.) e resolva a quantidade máxima de
exercícios que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios do
exercitando: 7 e 13 são os respectivos itens (a) e (b) da QUESTÃO 3;
19 e 23 são os respectivos itens (a) e (b) da QUESTÃO 4 do trabalho
desta aula a ser postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do ambiente
SOLAR. A questãoe 5 do trabalho será indicada no tópico seguinte desta
aula.A questão 5 do trabalho será indicada no tópico seguinte desta aula. É
exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio, no período
indicado na Agenda do ambiente Solar, num único documento de texto
(doc , docx ou PDF) ou manuscrito e escaneado.
FONTES DAS IMAGENS
1. http://www.adobe.com/go/getflashplayer
Responsável: Prof. Jonatan Floriano da Silva
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual
171
TÓPICO 04: ÁREA DE UMA REGIÃO NO PLANO
VERSÃO TEXTUAL
Em Geometria Plana, estuda-se área de regiões poligonais e
circulares. Neste tópico será introduzido, com a utilização da integral
definida, o conceito de área de certas regiões planas mais gerais.
Inicialmente, será visto um caso particular da área de uma região no
plano cartesiano, onde faz parte da fronteira da região (isto é, a curva
fechada que limita a região), o gráfico de duas funções em que x é a
variável independente da função; posteriormente, será abordado o
caso em que faz parte da fronteira da região, o gráfico de duas funções
em que y é a variável independente da função.
Tomando como base à definição da área de um retângulo, define-se a
área de um triângulo, que por sua vez é usada para definir a área de qualquer
região poligonal; recorrendo a um processo de limite, esse procedimento é
usado para definir a área de uma região plana não necessariamente
poligonal, como a seguir.
A princípio, considere o tipo de região R entre as retas x = a e x = b
acima do eixo X e abaixo da curva y = f(x) onde f é uma função
contínua em [a, b] e para todo .
VEJA
Inicialmente, seja a divisão do intervalo [a, b] em n subintervalos
regulares onde a = x0 e b = xn, isto é, cada
subintervalo tem comprimento igual a . Como f
é contínua em cada subintervalo , pois f é contínua em [a, b] pelo
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
AULA 06: INTEGRAIS E APLICAÇÕES
172
teorema de Wierstrass ( -- Se f é uma função contínua num intervalo fechado
[a, b] então f tem valores mínimo e máximo absolutos em [a, b]) (teorema 2
do tópico 1 da aula 04), f tem valor mínimo absoluto em , seja f(ci)
esse valor mínimo. A união dos n retângulos com base nos subintervalos
(isto é, com largura igual a x) e altura igual a f(ci), define uma
região poligonal Rn contida em R.
Na figura estão ilustrados na cor "cinza" os três primeiros retângulos, o
i-ésimo e n-ésimo retângulos da região poligonal Rn.
Se An é a área de Rn e A é o número que deverá ser definido como a área
de R, então comparando as figuras das regiões Rn e R, concluí-se que
Onde a igualdade ocorre se f é constante em [a, b]. Intuitivamente,
percebe-se que aumentando o número n de retângulos (isto é, diminuindo
x), Rn aproxima-se mais da região R, como pode ser observado nas figuras:
VEJA
Logo, é natural definir a ÁREA de R por
173
A área da região R, pode ser também definida a partir da área de uma
região poligonal formada por retângulos não necessariamente inscritos em R
ou de bases com o mesmo valor, ou seja,
onde: ix é o comprimento do i-ésimo subintervalo (i = 1,2, ...,
n) de uma divisão qualquer de [a, b], i é um valor arbitrário em e
.
VEJA
Conforme foi mencionado no teorema 1 do tópico 3 ( -- Se uma função é
contínua num intervalo fechado, então ela é integrável nesse intervalo.) desta
aula, devido a continuidade de f no intervalo [a, b], f é integrável em [a, b],
assim os dois limites encontrados existem e têm o mesmo valor, que é a
integral definida de f em[a, b], ou seja,
O exemplo seguinte ilustra aplicação da última definição.
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Calcular a área da região limitada pela parábola y = 4 - x2 e os eixos
coordenados no primeiro quadrante.
SOLUÇÃO
174
EXEMPLO PROPOSTO 1
Mostrar que a área da região limitada pela parábola y = x2 o eixo X e a
reta x = 2, é igual a .
Um conceito análogo de área, pode ser dado a regiões bem mais gerais
que a anterior. Sendo assim, considere a região R entre as retas x = a e
x = b e entre as curvas onde f e g são funções
contínuas em para todo .
A figura ilustra uma região do tipo definido juntamente com os dois
primeiros retângulos, o i-ésimo e enésimo retângulos resultantes da divisão
do intervalo [a,b] enunciada a seguir.
Seja uma divisão de [a, b] em n subintervalos, em que cada subintervalo
(i = 1,2, ..., n) tenha comprimento ix e considere i um valor
qualquer em . Cada subintervalo está associado ao retângulo
da base ix e altura , logo a soma das áreas desses n retângulos é:
que é uma aproximação do número A que se deseja definir como a área
de R; quanto maior for o valor de n de forma que ∆x = máx.{∆ix; i=1, 2, ..., n}
esteja diminuindo, melhor será esta aproximação, assim define-se a área de
R por
Como f e g são contínuas em [a, b], f – g também é contínua em [a, b],
logo este limite existe e é a integral de f – g em [a, b], ou seja,
Observe que a região usada para definir área inicialmente é um caso
particular deste último tipo de região, basta considerar g(x) = 0 para todo x
em [a, b]. Nesta formulação (assim como na anterior) para definir o valor de
A, diz-se que foram considerados os ELEMENTOS DE ÁREA PARALELOS AO
EIXO Y (isto é, os elementos retangulares de base ix e altura ).
175
Sejam p e q funções definidas por x = p(y) e x = q(y) contínuas em [c, d]
e com para todo Considere R a região entre as curvas
x = q(y) e x = p(y), e entre as retas y = c e y = d.
A figura ilustra uma região do tipo definido juntamente com o primeiro
retângulo, o i-ésimo e enésimo retângulos da região poligonal enunciada a
seguir.
Tomando agora uma região poligonal associada a R, que seja a união de
elementos de área paralelos ao eixo X (ou seja, elementos
retangulares de base iy e altura ), define-se a ÁREA de R por
onde: iy é o comprimento do i-ésimo subintervalo
de uma divisão qualquer de é um valor arbitrário em e
. Como a função p - q é contínua em [c, d] o valor
de A existe e é a integral de p - q em [c, d], ou seja,
Os exemplos seguintes ilustram aplicações das duas últimas definições.
EXEMPLO RESOLVIDO 2
Calcular a área da região limitada pela parábola x = y2 e a reta x + y =
2.
SOLUÇÃO
176
EXEMPLO PROPOSTO 2
Uma região é limitada pela parábola y = 1 - x2 e a reta -x + 2y = 1.
Calcular a área da região usando elementos de área paralelos aos eixos
coordenados e provar que seu valor é 27/48.
EXEMPLOS RESOLVIDOS 3
Calcular a área da região R limitada:
(a) Pelos eixos coordenados e a parte da curva
(b) Pela curva .
SOLUÇÃO
177
Do exemplo resolvido 6 do tópico 1 desta aula, tem-se
EXEMPLO RESOLVIDO 6 DO TÓPICO 1 DESTA AULA
assim
Considerando os elementos de área paralelos ao eixo X, obtém-
se
EXEMPLO PROPOSTO 3
Seja a região limitada pelas retas x = 0 e , e a curva y = arctgx,
calcular a área da região usando elementos de área paralelos aos eixos
coordenados e provar que seu valor é igual a .
LEITURA COMPLEMENTAR
1. No texto "Volume de um Sólido" (clique aqui para abrir) (Visite a
aula online para realizar download deste arquivo.), aparece a aplicação da
integral definida no cálculo de volume de alguns sólidos.
2. No texto "Comprimento de Arco" (clique aqui para abrir) (Visite a
aula online para realizar download deste arquivo.), aparece a aplicação da
integral definida no cálculo de comprimento de uma parte do gráfico de
uma função.
3. No texto "Integral Imprópria" (clique aqui para abrir) (Visite a aula
online para realizar download deste arquivo.), aparece a extensão do
conceito de integral definida de uma função.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
178
Vá ao exercitando (clique aqui para abrir) (Visite a aula online
para realizar download deste arquivo.) e resolva a quantidade máxima de
exercícios que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios do
exercitando: 1, 3, 7 e 9 são os respectivos itens (a) até (d) da QUESTÃO
5 do trabalho desta aula a ser postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do
ambiente SOLAR. É exigido que o trabalho desta aula seja postado no
Portfólio, no período indicado na Agenda do ambiente Solar, num
único documento de texto (doc , docx ou PDF) ou manuscrito e escaneado.
FONTES DAS IMAGENS
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