CURSO: INVESTIGACIN DE OPERACIONES MINERASTEMA: SOLUCIN DE UN PROGRAMA LINEAL USANDOEL MTODO GEOMTRICOIng. F. Zenteno G.CORREO: iom.minas2011@gmail.comClave: minas2010

UNIVERSIDAD NACIONAL DANIEL ALCIDES CARRINFACULTAD DE INGENIERA

SOLUCIN DE UN PROGRAMA LINEALPara resolver un Programa Lineal existen varios mtodos, entre los ms importantes, tenemos:

El Mtodo Geomtrico y el Mtodo Simplex.

4.1. EL MTODO GEOMTRICO:

Llamado tambin mtodo grfico, este mtodo consiste en delinear sobre el primer cuadrante (debido a las condiciones de no-negatividad) la regin de las soluciones factibles, y luego grficamente sobre ella la funcin objetivo, se ubica el programa o programas ptimos.

EJEMPLO:Una mina est produciendo dos minerales diferentes, A y B, pero debido a las restricciones de la planta concentradora, la produccin no puede ser mayor que 60 000 tons de A y 50 000 tons de B durante una semana. Se requiere 0,002 hr para producir una tonelada de mineral A y 0,003 hr para producir una tonelada de mineral B. Hay 160 horas de produccin disponible cada semana. El beneficio es de $ 4 por tonelada de A y $ 8 por tonelada de B. Formular el modelo de Programacin Lineal con la finalidad de determinar el nmero de toneladas de mineral de A y B que maximice la funcin de beneficio.

RESOLUCIN:El Programa Lineal es el siguiente:

Sea: x1 = Nmero de toneladas de mineral del tipo Ax2 = Nmero de toneladas de mineral del tipo B

Max z = 4x1 + 8x2(1.1)

Sujeto a: x1 60 000(1) x2 50 000(2) (1.2) 2x1 + 3x2 160 000(3) x1 0 (1.3) x2 0

Grfico de la restriccin (3):2x1 + 3x2 160 000(3)2x1 + 3x2 = 160 000x1 = 0, x2 = 53333,33 Punto: P(0; 53333,33)x1 = 80000,x2 = 0 Punto: Q (80000; 0).Ver Figura 1.4.

GRFICO DE LA FUNCIN OBJETIVO:Sea z = 0, entonces la pendiente de la funcin es:m = -1/2Por lo tanto, la funcin objetivo z, representa una familia de rectas paralelas con pendiente m = -1/2 tal como se muestra en la siguiente figura

x1 = 5000 ton de A y x2 = 50000 ton de B.Este punto es la solucin ptima del problema, y el valor ptimo de la funcin objetivo es z = 420000 $.Por tanto:x1 = 5000 ton de Ax2 = 50000 ton de BMax z = 420000 $. Rpta.

DEFINICIONESREGIN FACTIBE.- Es aquella que cumple con todas las restricciones y las condiciones de no-negatividad.

SOLUCIN FACTIBLE.- Es cualquier punto situado en la regin factible.

SOLUCIN BSICA.-Es aquella que se encuentra en la interseccin de rectas o en la interseccin de las rectas con los ejes coordenados. Para nuestro ejemplo, los puntos 1, 2, 3, 4, .., 8 de la figura son soluciones bsicas.

SOLUCIN BSICA FACTIBLE.- Es una solucin bsica que pertenece a la regin factible.Para nuestro ejemplo, los puntos 1, 2, 4, 6 y 7 de la figura son soluciones bsicas factibles.

SOLUCIN PTIMA O PROGRAMA PTIMO.- Es una solucin factible que maximiza o minimiza la funcin objetivo (segn el caso).

4.2. PROPIEDADES DE UNA SOLUCIN AL PROBLEMA DE PROGRAMACIN LINEAL:

TEOREMA 1.- El conjunto de todas las soluciones factibles al problema de Programacin Lineal es un conjunto convexo.

TEOREMA 2.-La funcin objetivo alcanza su mximo (mnimo) en un punto extremo al conjunto convexo, generado por el conjunto de soluciones factibles al problema de Programacin Lineal. Por lo tanto:

1.- Existe un punto extremo del polgono convexo en el cual la funcin objetivo tiene su mximo (mnimo).

2.- Cada solucin factible bsica corresponde a un punto extremo del polgono convexo.

Por lo expuesto tendremos nicamente que investigar los puntos extremos del polgono convexo y buscar aqul punto que proporcione el mayor (menor) valor para la funcin objetivo y obtendremos as la solucin buscada.

4.2.1. DIVERSOS TIPOS DE RESTRICCIONES

a) Restricciones de Mayor o igual que o de lmite mnimo.b) Restricciones de Igual queLa igualdad, vuelve, al problema muy restrictivo, ya que la solucin debe no solo estar en el campo comn a las restricciones, sino, adems encontrarse sobre la lnea que representa la igualdad.c) Restricciones de Menor o igual que o de lmite mximo.

4.2.2. CASOS ESPECIALES

Supongamos que al resolver grficamente un problema, nos encontramos con la siguiente figura

Donde z coincide con la recta MN por lo que cualquier punto de MN (los cuales son infinitos), sern la solucin para maximizar z.

CASOS EXCEPCIONALES

Hay casos como las siguientes que no tienen soluciones compatibles o finitas.

Los grficos siguientes son bastantes explcitas ), sern la solucin para maximizar z.

b) Cuando no hay ningn punto que satisfaga las restricciones (incompatibles)

c) Cuando no satisface la condicin de no-negatividad.

4.3. FUNCIN OBJETIVO:

La funcin objetivo max z min z es una familia de rectas. Para z = 0, tenemosPendiente de la recta es igual:

CASO DE LA MINIMIZACINPROBLEMA: Una Empresa Minera para el transporte de sus minerales tiene 10 camiones con capacidad de 4000 lbs. Y 5 camiones de 30000 lbs. de capacidad. Los camiones grandes tienen costos de operacin de $ 0,30/milla y los ms pequeos de $ 0,25/milla. En la prxima semana, la Compaa debe transportar 400000 lbs. de mineral para un recorrido de 800 millas. La posibilidad de otros compromisos impone que por cada dos camiones pequeos mantenidos en reserva debe quedarse por lo menos uno de los grandes. Se pregunta: Cul es el nmero ptimo de camiones de ambas clases que deben movilizarse para transportar el mineral? (Ignorar el que la respuesta deba darse en nmeros enteros).

RESOLUCIN:

N de CamionesVariablesCostos de OperacinCamiones en ReservaGrandesPequeosx1x20,30x8000,25x80010-x15-x2

FUNCIN OBJETIVO:La funcin objetivo es la resultante de los costos incurridos en la operacin del transporte de mineral en el recorrido de 800 millas:Min z = 240x1 + 200x2

RESTRICCIONES:Por disponibilidad de Unidades: x1 10 x2 10

RESTRICCIONES:Por la cantidad transportada:40000x1 + 30000x2 400000

RESTRICCIONES:Por la posibilidad de futuros compromisos:

Luego el P.L. es el siguiente:Min z = 240 x1 + 200x2Sujeto:x1 10(1) x2 5 (2)4x1 + 3x2 40(3)2x1 x2 15(4) x1, x2 0(5)

De la figura se tiene:Nmero de camiones grandes = x1 = 8,5.Nmero de camiones pequeos = x2 = 2. (Ver Grfico).

Reemplazando en la Funcin Objetivo, se tiene:Min z = 240x1 + 200x2Min z = 240(8,5) + 200(2)Min z = $ 2440.00

Por tanto:Nmero de camiones grandes = x1 = 8,5Nmero de camiones pequeos = x2 = 2Costo de Operacin Mnima = zmin = $2440.RESPUESTA

FIN

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