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MATEMÁTICAS II . 2º Bachillerato Ciencias e Ingeniería

Cuadernillo de Ejercicios y problemas

COLEGIO BUEN PASTOR

1

INDICE

1. Límites y Continuidad de funciones ………………………… 2

2. Derivabilidad de funciones ………………………………… 6

3. Representación de funciones ………………………………… 11

4. Integrales indefinidas …………………………………………. 17

5. Integrales definidas …………………………………………. 23

6. Prepara el bloque de análisis: Examen análisis ……………….. 30

7. Test de análisis ………………………………………………….. 32

8. Matrices y determinantes …………………………………. 41

9. Test de álgebra …………………………………………………... 48

10. Sistemas …………………………………………………………. 52

11. Geometría …………………………………………………… 55

12. Anexo

a) Modelos de Selectividad Andalucía 2001

b) Modelos de Selectividad Andalucía 2002

c) Modelos de Selectividad Andalucía 2003

d) Modelos de Selectividad Andalucía 2004

e) Modelos de Selectividad Andalucía 2005

f) Modelos de Selectividad Andalucía 2006

g) Modelos de Selectividad Andalucía 2007

h) Modelos de Selectividad Andalucía 2008

i) Modelos de Selectividad Andalucía 2009

j) Modelos de Selectividad Andalucía 2009

k) Modelos de Selectividad Andalucía 2010

l) Modelos de Selectividad Andalucía 2011

m) Modelos de Selectividad Andalucía 2012

Para acceder a todos los modelos de Selectividad desde el año 2001 debes acceder a la página web:

http://www.ujaen.es/serv/acceso/selectividad/orientaciones.htm

http://www.ujaen.es/serv/acceso/selectividad/orientaciones.htm



COLEGIO BUEN PASTOR

2

1. Calcula los siguientes límites de funciones:

a) 3

12

22 44

1lim

x

x

x xx

x

xx

x

x x

2

23

22

3

1

1lim

b) 32

34

23

23

1

2

2

593

132lim

xx

xx

x xxx

xx

2

12lim

21

xx

xx

x

c) 32

34

2

2

3

2

2

3145

65lim

xx

xx

x xx

xx

xx

xx

x 141

86lim

2

2

d) 4

6

4 73

1lim

x

x

x x

x

9

3lnlnlim

23 x

x

x

2. Calcula, si existen, los siguientes límites de funciones:

a)

96

1lim

23 xx

x

x

12

5lim

2

2

1 xx

x

x

12

1

2

1

3lim

xx

x

x x

x

b)

22

2

22

)1(

)( )(lim22

xsixx

xx

xsix

senx

xfsiendoxfx

c)

0

2

1cos

2

3

0 )1(4

)( )(lim)(lim30 xsi

xarx

xsixarctg

xfsiendoxfyxfxx

d)

4 4

1

4 3

4 2

4

)( )(lim)(lim

2

40

xsixx

x

xsi

xsixx

x

xfsiendoxfyxfxx

3. Calcula los siguientes límites en el infinito:



COLEGIO BUEN PASTOR

3

a)

2

23

211

27lim

xx

xxx

x

73

23lim

2

23

xx

xxx

x

b)

327

22lim

23

345

xxx

xxx

x

24

92lim

3

2

xx

xx

x

c)

13129lim 2 xxxx

xxxx

2lim

4. Calcula el valor de a para que se verifique que:

4.1. 3lim

xaxxx

4.2. 216714lim 22

xaxxaxx

4.3. 56lim 2

axxxx

5. Calcula a para que exista y sea finito el siguiente límite:

x

axxx 2lim

6. Calcula las asíntotas de las funciones dadas

6.1. 2

3 12)(

x

xxf

6.2. 3

1)(

3

x

xxf

6.3. 23

4)(

2

xx

xxf

6.4.

2 x 2

85

2x1- 3

2

-1 x 1

3

)(

2

2

2

x

xx

x

x

x

x

xf

6.5. 54)( 2 xxxf

6.6. 42)(

1

x

x

xf



COLEGIO BUEN PASTOR

4

6.7.

1 x e

1x4- 4

16

-4 x 3

)(

1-x

2x

2

x

x

xx

xf

7. Calcula los límites indicados utilizando infinitésimos en x = 0.

7.1.

x

xsen

x

9lim

0

xtg

x

x 3

2lim

0

4

lim0 x

sen

x

x

7.2. 20

2cos1lim

x

x

x

xsen

xsen

x 18

6lim

0

8. Estudia la continuidad de las siguientes funciones

8.1. 2)(1(

)(

xx

xxf

xxx

xxxf

2

23)(

23

2

2)( 2 xxxf

8.2. xxx

xxf

2

2)(

23

)1)(`3(ln)( xxxf xexf )(

8.3. tgxxf )( 1)( xxf 1ln

1)(

xxf

8.4. 21)( xxf 23 2)( xxxf 3

9)(

2

x

xxf

8.5. 4

8)(

x

xxf )()( xExf )()( xExxf

8.6. 2)(

12)(

xE

xxf 3 12)( xxf 82)(

2

x

x

xf

8.7. 3)1(log)(

2

1 xxf )92ln()( xxf )4(log1

8)(

3

2

x

xxxf

8.8. 1

)10ln(5)(

63

xe

xxf 13)( xarctgxf

2cos21

1)(

2

2

x

xxf

8.9.

0cos

02

23

)(

xx

xe

xx

xf x

11

11

1

)(

x

xx

x

xf



COLEGIO BUEN PASTOR

5

8.10.

12

12)(

2 xx

xxxf

13

11)(

2

x

xxxf

8.11.

00

01

)(

x

xx

senxxf

22

20)3)(1(

0

)(

2

2

xx

xxx

x

xxx

xf

8.12.

1 1

1 5

12

)(

2

1

2

xx

x

xex

xf

x

x

6)7ln(2

1

62 6

1

2 x 0

223

2

)(

2

xxx

xx

x

xxx

xx

xf

8.13.

13

1323

1

)( 2

2

xxx

xxx

x

xf

9. Halla a y b para que las siguientes funciones sean continuas en todo R:

9.1.

2

20

0

)(

2 xx

xbax

xsenx

xf

22

3

22

20

02

)(

2

xx

xbax

xx

xf

9.2.

262

212

11

3

)(

2

2

xxx

x

xx

x

xf bax

52

1

521

2

)(

1

xx

bx

xxx

xex

xf

ax

10. Calcula el valor de m, sabiendo que la función

1

2

2

4)(

mx

x

xxxf , tiene como asíntota horizontal la

recta y = 3.

11. Demuestra que las funciones dadas alcanzan sus extremos absolutos en los intervalos indicados y

hállalos:

11.1. 1,7-en y 4,06)( 2 enxxxf

11.2. 3,18)( 3 enxxf

11.3. 3,034)(3 2 enxxxf



COLEGIO BUEN PASTOR

6

Contenidos

1. Derivada de una función en un punto

1.1. Interpretación geométrica

1.2. Rectas tangente y normal a la gráfica de una función

2. Condición necesaria de derivabilidad

2.1. Derivadas laterales

3. Puntos críticos de una función: punto singular, anguloso, de retroceso, cuspidal y punto con

tangente vertical

4. Función derivada. Derivadas sucesivas

5. Propiedades locales de una función derivable

5.1. Condición suficiente de crecimiento y decrecimiento de una función en un punto.

5.2. Condición necesaria para la existencia de extremo relativo.

6. Propiedades de las funciones derivables. Regla de L´Hôpital.

1. Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva f(x) en los puntos indicados, si existen.

NOTA: Para hallar la derivada en un punto utiliza la definición de derivada.

1.1. 3en 1334)( 23 x xxxxf

1.2. 4en 12)( x xxxf

1.3. 0en )1ln(27)( x xxf

1.4. 2en 2x3xx

213)(

2

23

x xxxx

xf



COLEGIO BUEN PASTOR

7

1.5. 1en 1x

1

123

)(

2

x

x

x

xxx

xf

1.6. 3en 3x51x4

3 6)(

2

x

xxxf

2. Halla los valores de ay b para que la curva )(xfy tenga recta tangente en x = 2 y halla la ecuación de

dicha recta tangente, siendo

222

2)(

2

2

xbxx

xaxxxf

3. Halla los valores de a y b para que la recta tangente en x = 1 a la gráfica de la función

)1()( 2 xarctgbaxxf sea la recta 097 yxt .

4. Sea 123)( xxxf . Halla los puntos donde la recta t tangente a la curva )(xfy cumple las

condiciones indicadas y, en cada caso, escribe la ecuación de dicha recta.

4.1. t es horizontal

4.2. t es paralela a la bisectriz del 2º y 4º cuadrante

4.3. t es paralela a la recta 02 yxr

4.4. t es perpendicular a la recta 0223 yxr

5. Sea .)( 23 cbxaxxxf Determina a, b y c sabiendo que f alcanza un mínimo relativo en x = 0 y un

máximo relativo igual a 3 en x = 2.

6. Halla a y b para que la función 1.

)(2

x

baxxxf , tenga un máximo relativo igual a -4 en x = -1, y halla

los demás extremos relativos de f, si existen.

7. El móvil A se desplaza sobre el eje OX a velocidad constante v.

7.1. ¿Con qué velocidad se mueve en el eje OY el objeto B que está atado a A con una cuerda de

longitud r?

7.2. ¿Cuál será la velocidad de B cuando A ha recorrido 3 m si v = 8 m/s y r = 5 m?

8. Sean f y g las funciones definidas por 42)( xbxaxf y 3)( xcxg . Calcula los valores de a, b y

c de modo que las gráficas de f y g se corten en el punto P(1,1) y sean tangentes en dicho punto.

9. Halla los puntos críticos, si existen, de las siguientes funciones e indica de qué tipo son:



COLEGIO BUEN PASTOR

8

9.1. x

xxxf

1)(

9.2. 3 2)( xxf

9.3. 62)( xxf

9.4. xxf 2)(

9.5.

0

03

1

)(

1

23

x

e

x

xxx

xf

x

x

10. De todos los conos de área lateral 24 cm , ¿cuáles son las dimensiones del que tiene volumen máximo?

11. Dada la función 21ln2

1)( xxf . Sea m(x) la función que determina la pendiente de la recta tangente

a la curva )(xfy en el punto P(x, f(x)).

a) Halla el criterio de definición de m(x).

b) Halla los puntos de la gráfica de f en los que la recta tangente tiene pendiente máxima y halla su

ecuación.

12. La curva 92)( 2 xxxf representa el curso de un río. En el punto P(3,0) hay una ciudad desde la

que se desea construir una tubería rectilínea hasta el río.

12.1. ¿En qué punto Q del río debe terminar la tubería para que ésta sea lo más corta posible?

12.2. Comprueba que en dicho punto Q la tubería es perpendicular al río.

13. Se considera el recinto limitado por la gráfica de la cónica y 2 = 4x y la recta de ecuación x = 3. Halla

el área del rectángulo de mayor área que puede inscribirse en el recinto.

14. Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en una semicircunferencia

de radio 3 2 cm.

15. De los triángulos isósceles inscritos en una circunferencia de 2 cm de radio, ¿cuál es el área máxima?

16. Halla las dimensiones del cilindro inscrito en una esfera de 3 cm de radio cuyo volumen es máximo y

halla dicho volumen.



COLEGIO BUEN PASTOR

9

17. Sea f la función definida por )1ln()( xxf y sea p(x) el polinomio dado por

2)·0(''2

1)·0(')0()( xfxffxp

Calcula 20

)()(lim

x

xpxf

x

(Propuesto para Selectividad Sevilla, 94-95)

18. Determina los valores positivos de para los que existe y es finito el límite: x

xsenx

x

0lim

(Propuesto para Selectividad Sevilla, 94-95)

19. Determina a para que exista y sea finito el límite:

19.1 02

1

2

)(lim

2

x

x

x

xx

x

(Selectividad Sevilla, 94-95)

19.2 senxx

axee xx

x

0lim (Selectividad Sevilla, junio 94)

20. Determina a y b para que exista y sea finito el siguiente límite:

xsen

bxaxx

x 3

2

0

)1ln(lim

Para esos valores de a y b calcula dicho límite.

(Selectividad Sevilla, sep.94)

21. Calcula, si existen, los siguientes límites de funciones:

21.1 x

xarctg

x

12

lim0

21.2

2

3

2)·2(lim x

x

xex

21.3 xx

x

senx

2

1

2

)(lim

21.4 1

1)(lnlim

x

xx

22. Calcula los siguientes límites:

22.1 exe xx

x

1

3 )(lim

22.2 n

x

x x

elim



COLEGIO BUEN PASTOR

10

22.3 1·

lim20

xsen

arcsenxx

x

22.4 1)cos1(lim

tgx

xx

22.5 2lim0

senxx

xarctgx

x

22.6 eex

exex

1

)(lnlim

22.7 2

11

1

1lim

0

senxe

xxx

22.8 1·

1cos)1ln(lim

0

senxx

xxx

x

22.9

)1·(lim

1

0

x

xex

22.10 2cos1

1

2

0)1(lim ex x

x

23. Razona que en los siguientes límites no es posible aplicar la regla de L’Hôpital, y utiliza otro método

para calcularlo:

23.1 2cos

2lim

xx

senxx

x

23.2 0cos

lim3

xe

senxex

x

x



COLEGIO BUEN PASTOR

11

1. Sea 7)( 23 bxaxxxf . Halla a y b de manera que la gráfica de la función f tenga para x = 1 una

inflexión cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de 45º con el eje OX.

2. Halla una función polinómica de tercer grado f que cumpla las condiciones indicadas:

2.1 f tiene en x = 1 un máximo relativo igual a 3 y el punto A(2,1) es un punto de inflexión de f.

2.2 f tiene un máximo relativo en A(0,7), un mínimo relativo en B(2,3) y un punto de inflexión en C(-

1,0)

3. Sabiendo que f(1)=1, f’(1)=2, f’’(1) = f IV

(1) = 0, f V

(1) = 40 y f VI

(1) = -120, entonces la función en x

= 1 ¿presenta máximo o mínimo, crecimiento o decrecimiento, inflexión, concavidad o convexidad?

Razona la respuesta.

4. Determina los máximos y mínimos relativos así como los puntos de inflexión de la función y = 10x6 –

24x5 + 15x

4 + 2.

5. Determina el polinomio p(x) de grado menor posible que tiene en (-1,15) un máximo relativo y en (2, -

12) un mínimo relativo.

6. Halla los intervalos de monotonía de las funciones:

6.1 x

xxf

1)(

6.2 2)2(

124)(

x

xxf

6.3 )ln(coscos)( xxxf en

2,

2

6.4 xxxf coscos)( 2 en ,0

7. Dada la función

1- xsi ·

1- xsi

1

2

)( 2

2

xex

x

x

xf

Determina:

a) Dominio de la función

b) Continuidad de la función en x = -1

c) Máximos y mínimos relativos de f



COLEGIO BUEN PASTOR

12

8. Sea 1

)(

xe

xxf

a) Define la función en x = 0 de forma que f sea continua en dicho punto.

b) Estudia la derivabilidad de f.

c) Halla las asíntotas.

9. Sea f la función definida por:

1 x si

1 x 1- si

1

1

1- xsi 0

)(2

xe

x

xxf

a) ¿Es posible definir f en -1 para que sea derivable en ese punto?

b) Determina las regiones de crecimiento y decrecimiento de f así como sus asíntotas y haz un

esbozo de su gráfica.

10. Sea x

cbxaxxf

2

)( Halla a, b y c para que f tenga un extremo relativo en x = -2 y la recta de

ecuación y = x-3 sea una asíntota de f.

11. Halla las asíntotas de las funciones:

a) 4

12)(

x

xxf

b) 1

1)(

x

xxxf

c) x

x

exf

1

)(

d) 1

3

)1()( xexxf

e) xexf 2)(

f) )1ln()( 2 xxf

g) )9ln()( 2xxxf

h) )1

2ln()(

x

xxf

i) )13()( xarctgxf

j)

2

2)(

x

xarctgxf

k)

1)(

2

x

xarctgxf



COLEGIO BUEN PASTOR

13

l) x

xxf

cos1)(

m) x

xxxf

cos4)(

n) x

senxxxf

2)(

12. Dada la función 22 ln)( xxxf

a) Dominio de definición de la función

b) Simetrías

c) Máximos y mínimos

d) ¿Existe alguna asíntota?

e) Dibuja su gráfica

f) Ecuación de la recta tangente a la curva en x = e

13. Dada la función 21

)(x

xxf

a) Estudia las asíntotas

b) Estudia su monotonía y extremos relativos

c) Estudia su concavidad y convexidad.

d) Realiza un esbozo se la gráfica de f

14. Calcula las asíntotas de la función definida por 2

3)(

2

x

xxf

15. Dada la función

xe

xff1

1

1)(por definida :

a) Determina su dominio y sus asíntotas

b) Puntos de corte de la gráfica con las asíntotas, si las hay.

c) Monotonía

d) Dibuja la gráfica

16. Estudia y representa gráficamente la función : )3)(1(

)(

xx

xxf

17. Determina el dominio de definición, las asíntotas y los máximos y mínimos relativos de la función

:f definida como: 12

12)(

2

23

xx

xxxxf



COLEGIO BUEN PASTOR

14

18. Se sabe que la gráfica de la derivada f´ de una función f(x) en el intervalo (-1,5) es la de la figura. Si

f(0)=0, dibuja de modo aproximado la gráfica de f en el intervalo (-1,5). Indica los máximos, los

mínimos y los puntos de inflexión de f(x) .

1 2 3 4


2

)1(

23)(

x

xxxf , estudia sus asíntotas, sus extremos y sus puntos de inflexión. Dibuja

su gráfica

20. Hallar la función dcxbxaxxxf 234)( sabiendo que en el punto (1,0) tiene tangente horizontal

y el punto (-1,-32) es un punto de inflexión. Hallar sus extemos relativos.


2

2

2

3

3)(

ax

x

xxxf . Determinar el valor de a si la gráfica de f tiene como asíntota

horizontal la recta y = 2.

22. Calcula la ecuación de la tangente a 23)( 3 xxxf en su punto de inflexión

23. Determina el dominio de definición, las asíntotas y los extremos relativos de la función definida como

3 2 1

)(

x

xxf

24. Representar la función dcxbxaxxf 23)( , sabiendoq eu en el punto (1,4) tiene un máximo

relativo y su recta tangente en el punto (0,0) es y = 6x.

25. Demostrar que la función 1)( 35 xxxxf , tiene un único punto de inflexión; hallar la ecuación de

la recta tangente a la gráfica de f en él.

26. Sea nxnxxf )( , donde n es un número entero distinto de 0 y de 1. Comprueba que la función f tiene

un extremo relativo en x = 1 para cualquier valor de n. Estudia si depende o no del valor de n el que este

extremo sea máximo o mínimo.

27. Siendo cx

bxaxxf

2

23 5)( , calcula a, b y c sabiendo que las rectas x = 2 e y = 3x+2 son asíntotas.

¿Tiene otras asíntotas?, en caso afirmativo determínalas.



COLEGIO BUEN PASTOR

15

28. Representa la función 2

)( xexf y determina el punto en que sea máxima la pendiente de la recta

tangente.

29. Sea :f tal que 0)´( xf en todos los puntos. Analiza el crecimiento y decrecimiento de la

función )()( xefxg y determina los extremos relativos de la función )()( xfexh .

30. Sea :f la función definida como

2 x )1(

2x0 2

3

0 x 2

)(

2

23

2

xdx

cbxxax

xx

xf

Determinar los valores de a, b, c y d para que f sea continua y derivable en todos los

puntos y representar las gráficas de f´ y f´´ indicando los puntos en que no están

definidas.

31. Estudia y representa las siguientes funciones:

a) y = x4 - 2x2 +1 2

22

3

x

xy

32)(

2

2

xx

xxf

b) 1

4)(

2

2

x

xxxf

2)1(

4)(

xxxf

32

1)(

2

xxxf

c) 4

)5)(3()(

2

x

xxxf xsenxxf cos)( y=sen2x-2senx , x [0, 2 ]

d) y =(x +1)·ex )1()( 2xLnxxf 23 3)( xxxf

e) xxxxf 43

2 23

2)2(

4

x

xxf

2,0,cos)( xsenxxxf

f) 1

)(

x

exf

x

y = x2lnx x

x

e

exf

21)(

g) xe

xf

1

1)( 86)( 2 xxxf

1)(

2

2

x

xxf

h) 2

1)(

2

x

xxf

3)(

2

3

x

xxf

2

1)(

x

xxf

i) x

xxxf

2)(

x

xxf

1

1)(

11

2)(

x

xxf

j) x

xxf

7

10)( 258)( 2 xxxf

2

2)(

x

xxf

k) )6ln()( 2xxxf )1ln()( 2 xxf x

xxf

2ln)(

l) x

xxf

ln1)(

x

xxf

1

)1ln(4)(

x

xxf

ln)(



COLEGIO BUEN PASTOR

16

m) xxxf ln)( x

x

exf

1

)(

xexxf )(

n) xexxf )1()( xexxf

3

)(

xsenxf 21)(

o)

0

07

10

)(1

xex

xx

x

xf

x

2)(

xtgxf



COLEGIO BUEN PASTOR

17

TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS

1. Kxdx

2.

Kn

xdxx

nn

1

1

3. Kxx

dxln

4. Kedxe xx

5. 1/ln

aaKa

adxa x

6. Kxsenxdx cos

7. Ksenxxdxcos

8. Ktgxdxxtgx

dx)1(

cos

2

2

9. Kgxdxxgxsen

dxcot)cot1( 2

2

10.

Karcsenx

x

dx

21

11.

Kx

x

dxarccos

1 2

12.

Karctgxx

dx21

CAMBIOS A TENER EN CUENTA

Funciones trigonométricas

1. Cuando el seno o el coseno están en el denominador se suele utilizar:

2

xtgt

21

2

t

tsenx

2

2

1

1cos

t

tx

21

2

t

dtdx

2. Cuando el seno o el coseno están en el denominador y elevados al cuadrado:

xtgt 2

22

1 t

txsen

2

2

1

1cos

tx

21 t

dtdx

3. Cuando el seno o el coseno están elevados al cuadrado, en el numerador, se utiliza:

2

2cos12 xxsen

2

2cos1cos 2 x

x

4. Cuando el seno y el coseno tienen distinto ángulo:



COLEGIO BUEN PASTOR

18

xnmxnmnxmx )cos()cos(2

1)cos()cos(

xnmxnmnxsenmxsen )cos()cos(2

1)()(

xnmsenxnmsennxmxsen )()(2

1)cos()(

Funciones irracionales

Todos estos cambios se aplican cuando la raíz está en el denominador.

t

aax

t

adtdxtgtaxax

coscos

22

2

22

tgtaaxt

sentdtadxtaxax

22

2

22

cossec

taxatdtadxsentaxxa coscos 2222

cbxax 2 . Se busca un cuadrado perfecto dentro de la raíz y se transforma en uno de los

tipos anteriores.

1. Sea F una primitiva de f, razona que:

a) KbaxFa

dxbaxf )(1

)(

b) KaxFa

dxaxfx )(2

1)( 22

c)

KxarcsenFdx

xx

xarcsenf)1(2

)1(

2

d) KxsenxFdxxsenxfxsenx )523(2

1)523()23( 2222

2. Dadas las funciones:

045

012

)( y

04

01

)(2

2

2

22

2

1

xx

xx

xx

xx

xF

xx

x

xx

x

xF



COLEGIO BUEN PASTOR

19

a) Demuestra que ambas funciones son primitivas de una misma función f(x) en R*, siendo

0 x4

0 x 2

)(2

3

x

x

x

x

xf

b) Sea .),()()( 21 xxFxFxG Comprueba que G no es una función constante en

c) ¿Contradicen los resultados anteriores el teorema de las primitivas que afirma que la

diferencia entre dos primitivas de una función f es constante. Razona la respuesta.

3. Si dos funciones f y g verifican )´()´( xgxf para todos los x de un intervalo, entonces existe una cte.

K tal que Kxgxf )()(

Dadas x

xf2cos

1)( y xtgxg 2)( , prueba que verifican las condiciones del enunciado

y encuentra el valor de la cte. K.

4. Calcula las siguientes integrales utilizando el método de integración por descomposición:

a)

dxx

xxx 97325 33

b)

dxx

senx

x

xx22

7

1

45

1

2

c)

dxx

xex xxe 2cos5

cos

92

d)

dx

x

xxx

16

5438227

e) dxxgxtg )cot( 22

f)

dxxsenx

x22cos

2cos

5. Calcula las siguientes integrales:

a) senxdxx 2)cos1(

b)

dx

x

dx

24

c) dxxx ln

1

d) dxxsen

x2

cos



COLEGIO BUEN PASTOR

20

6. Calcula las integrales dadas utilizando el método de integración por cambio de variable o sustitución:

a)

dxx

xxsen2

2

1

)1ln(4

b)

dxx

xxsen 1cos1 5

c)

dx

x

xsen

2cos1

24

d)

dx

x

x

91

3

e)

dxee xx

3

f)

dx

ee

e

xx

x

22

g) dxxx5 43 1

h)

dx

x

xx

6

25

49

78

i)

dx

xx

x

3212 22

j)

dxxxx

1

k)

dx

xx 28118

1

l)

dx

ee

e

xx

x

22

m)

dx

x

x2849

53

n) dx

xx

x

132025

224

o)

dx

x

x2849

53

7. Calcula la integral dxxtgI 2 utilizando tres procesos distintos: uno de ellos por cambio de variable.

8. Calcula las siguientes integrales de funciones racionales:

a)

dx

xx

x

3

242

2

b)

dx

xx

xxx

2

49442

23

c)

dx

xxx

x

22

2423

d)

dx

xxx

xx

133

107223

2

e)

dx

xx

xx

43

617423

2

f)

dx

xxxx

x

412136

118234

g)

dx

xx

xxx34

23

5

107164

h)

dx

xxx

xx

1248

74823

2

i)

dx

xx

x

101449

532

j)

dx

xxx

xx

53

913623

2

k)

dx

xxx

xxx

53

32166923

23

l)

dx

xxx

xx

10167

6523

2



COLEGIO BUEN PASTOR

21

m)

dx

xxx

xx

88

32323

2

9. Calcula las siguientes integrales utilizando el método de integración por partes:

a) xdxx cos)12(

b) dxxsenx )43(2

c) dxex x1)32

1(

d)

dxexxx 2

3

1

2 )15(

e) dxxsene x )4(52

f) dxx )27ln

g) arcsenxdx

h) dxxx )2ln()13( 2

i) dxxsen )(ln

j) dxxx )cos(ln3

k) dxxarctg

l) arctgxdxx )12(

10. Al aplicar la integración por partes para evaluar dxsenxxf )( , donde f es una cierta función derivable,

se obtiene: xdxxxxfdxsenxxf cos3cos)()( 2

Sabiendo que f (1) =2, encuentra la expresión de f(x).

11. Calcula las siguientes integrales por el método de descomposición:

a)

dx

xxsen

x

)2

32(cos)

2

32(

)34cos(

22

b)

dxx

x

)6cos(1

)32

1(cos1 2

c)

dxxsen

2

132

d) dxxx 54cos 22

e) dxxsen 13

f)

dx

x

2cos 4

g)

dxxxsen

2

74cos

2

74

h) dxxxsen 14cos12

i) dxxxsen 5cos37

j)

dxxxsen

4cos

4

k)

dx

xxsen

2

3cos

2

13

l)

dxxxsen

23cos

43



COLEGIO BUEN PASTOR

22

12. Calcula dxarctgxxI 2

13. Calcula las siguientes integrales:

a) dxx

xln

b) dxxx 2)5(

c)

dxxx 3 121

1

d) dxxx 52

e)

dxxx 2

1

4

f)

dxee

exx

x

232

g) dxx 29

h) dxx 22516

i) dxxx 22 4

j)

txCambioII

txCambioI

dx

xx3

:)(

9:)(

9

122

2

k)

2:)(

1cos

1 xtgtCambioIdx

xsenx

l)

2221:)(

1:)(

1

1

utCambioII

txCambioI

dx

x

14. Calcula la función ,1:f cuya función derivada f ´ viene dada por

23

34 1)´(

xx

xxxxf

y verifica que 4ln)2( f

15. Calcula f(x), de manera que )1ln()´( 2 xxxf y que 0)0( f



COLEGIO BUEN PASTOR

23

1. Calcule las siguientes integrales definidas:

a)

1

0

)32( dxx

b)

2

1

3

5dx

x

x

c)

5

1

12 dxx

d)

a

dxxa

0

2

e)

0

2

)1)(2( dxxx

f)

4

0

2)21( dxx

g)

1

0

4)12( daa

h) e

dxxx

1

·ln

i) 2

0

dxsenx

j)

3

0

2 )1( dxxx

k)

1

2

2)23

1( dtt

l)

0

329

1dx

x

m)

0

)2cos( dxx

2. Sabiendo que

7

4

9

7

9

0

5,3)(3,7)(4,15)( dxxfydxxfdxxf , calcular:

9

4

7

4

4

0

)(3) )() )() dxxfcdxxfbdxxfa

4

0

9

7

9

6

9

4

4

0

)()()f )(4

3))(

4

1)() dxxfdxxfdxxfedxxfdxxfd

3. Resolver las siguientes cuestiones:

a) Calcular 3

0

)( dxxf siendo

1 x3

1 x3)(

x

xf



COLEGIO BUEN PASTOR

24

b) Encontrar el valor de b que verifique:

b

dxxx

0

4)1)(1(6

c) Calcular 3

1

)( dxxf siendo

4x2 3

2x0 )(

2xxf

4. En la función definida gráficamente por:

Se sabe que 6)(8)( b

c

b

a

dxxfydxxf . Hallar:

a) c

b

dxxf )( b) c

a

dxxf )( e indica que representa

5. En la función definida gráficamente por:

Se sabe que 4)(6)( c

b

c

a

dxxfydxxf . Hallar:

a) b

a

dxxf )( e indica que representa b) b

c

dxxf )(



COLEGIO BUEN PASTOR

25

6. Escriba, sin calcular, una integral definida que indique el área de la región sombreada.

a)

b)

c)

d)

7. En los siguientes gráficos determine el valor del área sombreada:

a)

b)

c)



COLEGIO BUEN PASTOR

26

8. Dada la siguiente gráfica

Hallar:

a) las ecuaciones de las curvas,

b) el área de la zona sombreada.

9. Dibuja la gráfica de la región limitada por las curvas y calcule el área determinada por ambas.

a) y = x2 con la recta y = 2x + 3

b) el eje de abscisas, la recta y = x + 1 y la recta x = 4

c) el eje de abscisas, la curva y = x2 - 1 y la recta x = 2

d) y = x2 + 2x - 1 con la recta y = - x - 1

e) y2 = 4x con la recta y = 2x – 4

f) y = lnx, el eje de abscisas y las rectas x = 2, x = 10

g) y = x2 con la recta y = 3 - 2x

h) La curva xy con y = x2

i) y = 4 - x2 con la recta y = x + 2

10. Halle el área limitada por la parábola y = 6 + 4x - x2 y el segmento determinado por los puntos A(- 2,

- 6) y B(4, 6).

11. Halle el área encerrada por las curvas y = x2 - 4x e y = 6x - x

2



COLEGIO BUEN PASTOR

27

12. Calcule el área bajo la curva

26

2)(

2

xx

xxxf desde 0 hasta 3. Interprete gráficamente.

13. Determine el área sombreada en las siguientes gráficas:

a)

b)

14. Dada la siguiente gráfica

halle:

a) las ecuaciones de las rectas

b) el área de las zonas I y II indicadas en el gráfico.

15. Realiza las cuestiones siguientes:

a) Calcule

2/

2/

senxdx



COLEGIO BUEN PASTOR

28

b) Determine el área de la región comprendida entre la curva y = sen x, el eje x y las rectas x = 2

y

2

x .

c) Analice por qué no se obtiene el mismo resultado en a) y b).

16. Escriba la integral definida que proporciona el área de la región (no calcule el valor del área)

17. Halle el área limitada por la parábola y = x2 - x y la recta que une los puntos P(1, 2) y Q(- 3, - 6).

Realice la gráfica

18. Halle, utilizando integrales, el área del triángulo limitado por las rectas de ecuación y - 3x = 0; x - 3y

= 0 y x + y = 4.

19. Calcule el área de la zona limitada por la curva y = x3 - 3x

2 - x + 3 y el eje de abscisas.

20. Halle el valor de las áreas sombreadas.

Obtenga conclusiones teniendo en cuenta que la suma de las áreas de las dos regiones coincide con

el área del cuadrado de medida de lado una unidad.

21. Sin calcular el valor de las integrales, justificar cuál de ellas tiene mayor valor:



COLEGIO BUEN PASTOR

29

1

0

2

1

0

22 xdxxsenIóxdxsenxI

22. Calcula la derivada de la funciones que se dan:

a) 2

2

1

)(

x

t dtexf

b)

x

dtt

xf

1

21

1)(

c) 2

ln)(

x

x

dtt

txf

23. Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = lnx entre el punto de corte don el eje OX

y el punto de abscisa x = e.

24. Hallar el área de la región del plano limitada por la curva 2

)( xxexf , el eje de abscisa, la ordenada en

x = 0, y la ordenada en el máximo.

25. Hallar la región del plano limitada por la función

0 x ln

0 x 0)(

xxxf , y el eje OX, desde x = 0

hasta x = b, siendo b la abscisa del mínimo de la función.

26. Calcular el valor del parámetro a, para que el área de la región limitada por la curva axxf 2)( , y la

recta y = 0 sea igual a 4.

27. Sabiendo que el área de la región comprendida entre la curva xy y la recta y = bx es 1, calcular

el valor de b.

28. Calcular el área limitada por la curva 24

1)(

xxf

y las rectas x = -1, x = 1, y = 1/2.

29. Hallar el volumen que se obtiene al hacer girar alrededor del eje OX, el recinto limitado por las gráficas

de las funciones: .4;;1 2 xyxx

y



COLEGIO BUEN PASTOR

30

1. Calcular

2

12 2xx

dx

2. Calcular los valores de a y b para que la función

xbax

xxax

xx

xf2

2 0cos2

023

)( , sea continua

para cualquier valor de x

b) Estudiar la derivabilidad de dicha función para los valores de a y b obtenidos.

3. Calcular la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y área máxima.

4. Se considera la función

14

12)(

2

2

x

xxf

a) Calcular las asíntotas, el máximo y el mínimo absoluto de la función

b) Calcular 1

0

)( dxxf

5. Calcula:

a) xxxxx

22lim

b)

2)(·lim

x

xearctgx

c) ))2ln(cos(

))3ln(cos(lim

0 x

xx

d) x

xxx 4

44lim

0

6. Sea la función )(xf una función derivable en (0,1) y continua en [0,1] tal que f(1)=0 y

.1)(́21

0

dxxxf Utilizar la fórmula de la integración por partes para hallar 1

0

)( dxxf



COLEGIO BUEN PASTOR

31


85

1)(

x

xxxf

a) Encontrar los puntos de discontinuidad de f. Determinar razonadamente si alguna de las

discontinuidades es evitable

b) Estudiar si f tiene alguna asíntota vertical

8. Dada la función xxxf 42)( :

a) Estudiar su continuidad y derivabilidad

b) Dibujar su gráfica

c) Calcular el área del recinto acotado por la gráfica de f, las rectas x=0, x=5 y el eje OX

9. Dada la función x

senxxf

cos2)(

, definida en el intervalo 2,2

a) Calcular los puntos del intervalo dado donde f alcanza sus valores máximo y mínimo

absolutos.

b) Dibujar la gráfica de la función en dicho intervalo

c) Calcular 3

0

)(

dxxf

10. Dada la función ,)( 2 xxexf se pide:

a) Dibujar su gráfica indicando su dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y

decrecimiento, máximos y mínimos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y

puntos de inflexión

b) Calcular el área comprendida entre el eje OX y la gráfica de f(x) entre -1<x<1.

11. Se considera la función real de variable real definida por:

2)2(

22)(

3

xxx

xxxf

a) Estudiar su continuidad y derivabilidad

b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto de abscisa x = 3

12. Calcular un polinomio de tercer grado dcxbxaxxp 23)( , sabiendo que verifica:

a)Tiene un máximo relativo en x = 1

b) Tiene un punto de inflexión en (0,1)

c) Se verifica que 4/5)(1

0

dxxp



COLEGIO BUEN PASTOR

32

1. El dominio de la función 21

1)(

xxf

es:

a) 1,1

b) (-1, 1)

c) ,11,

d) Ninguna de las anteriores

2. El valor del 1

2

2lim

x

x x

xes:

a) 0

b) e-4

c) e


3. La función

2

212

12

)(

2

2

xx

xx

xx

xf

a) Continua en R

b) Continua en 2,1

c) Continua en 1

d) Continua en 2

4. La pendiente de la recta tangente a la gráfica de x

ey

x

en el punto x= 1 es:

a) e

b) 0

c) 1



COLEGIO BUEN PASTOR

33


5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

a) Si f es derivable en (a, b) entonces f es continua en [a, b]

b) Si f es continua en [a, b] entonces f es derivable en (a, b)

c) Si f es continua en [a, b] entonces f es derivable en [a, b]

d) Si f es derivable en (a, b) entonces f es continua en (a, b)

6. La función

0 x12

0 x 1)(

2

3

xx

xxf

a) No es continua en R

b) Presenta un máximo relativo en x= 0

c) Es derivable en R


7. El valor de

3

2

2 )1(xx

dx es:

a) 2

1 (3ln2-3ln3+ln4)

b) 2

1 (ln3-3ln2+ln4)

c) 2

1 (ln4+ln2-ln3)


8. La función :3)( 3 xxxf

a) Es derivable en R

b) No tiene mínimos

c) Tiene un mínimo en x = 0



)(2

3

x

xxf

a) y = x es una asíntota oblicua

b) y = 0 es una asíntota vertical



COLEGIO BUEN PASTOR

34

c) No tiene asíntotas


10. La pendiente de la tangente a la gráfica de la función xexxf 2)( en x = 0 es:

a) No se puede calcular, porque la función no tiene recta tangente en ese punto

b) Vale 2

c) Vale 0


11. El dominio de la función 1)( xxf es:

a) 1

b) (0,1)

c) R


12. Se puede aplicar la regla de Barrow para

b

a

dxxx

x2

2

a) En cualquier intervalo [a, b] que no contenga al 0

b) En el intervalo [a, b] = [0, 2]

c) En el intervalo [a, b] = [2, 3]


13. La función xxxf ln)(

a) No tiene ninguna raíz en el intervalo [1,2]

b) Tiene un máximo en x = 1

c) Tiene un mínimo en x = 0


14. El área encerrada por la gráfica xxf cos)( y el eje OX entre x = 0 y x = vale:

a) 2

b) 0

c) No se puede calcular




COLEGIO BUEN PASTOR

35

15. La función xxf ln)( verifica:

a)

)(lim)(lim0

xfyxfxx

b) Dominio de f es R

c)

)(lim)(lim0

xfyxfxx


16. El 20

)1ln(lim

x

xsenx

x

vale:

a) 2

b) 1

c) No existe


17. En los puntos donde tiene sentido la derivada de senxxxf )( vale:

a) x

senxxxxf lncos)´(

b) senxxx

senxxxxf

lncos)´(

c) senxxx

xxf

cos)´(


18. La función

4 x

4 x4

16

)(

2

a

x

x

xf :

a) Es continua en x = 4 si a = 6

b) No es continua en x = 4 para ningún valor de a

c) Es continua en x = 4 si a = 0


19. La función xexf )( :

a) No tiene asíntotas

b) 0)(lim

xfx



COLEGIO BUEN PASTOR

36

c)

)(lim xfx


20. La función 1)( xxf :

a) No tiene máximos ni mínimos en el intervalo (0,2)

b) Es continua en x = 1 por tanto es derivable en x = 1

c) No es derivable en x = 1 porque no es continua en x = 1


21. La función

1 x41292

1 x 2)(

23 xxx

xxf :

a) Es continua en 1

b) Es continua en

c) No existe el límite cuando x tiende a 1 por la derecha


22. El dominio de la función xxf ln)( es:

a) 0

b)

c) ),1[]1,(


23. La función 12

)(2

3

x

xxf

a) Tiene una asíntota en y = 1

b) No tiene asíntotas verticales

c) No tiene asíntotas


24. El límite

1

2

2 1lim

x

x x

x

a) No existe

b) Vale 0



COLEGIO BUEN PASTOR

37

c) Vale 1


25. La función

1 x

1x0 ln)(

22xe

xxf

a) No es continua en x = 1

b) No tiene límite por la derecha en x = 1

c) No tiene límite por la izquierda en x = 1


26. La función 2)( xxf

a) No admite derivada en x = 2

b) f´(2) = 1

c) f´(2) = -1


27. Si la línea que define el suelo está dada por la función xexf x·ln)( y colocamos un balón en el

punto x = 1 (y no hay fuerzas aparte del peso):

a) El balón se mueve hacia delante

b) El balón se mueve hacia atrás

c) El balón no se mueve


28. Si se divide el número 30 en 2 partes de forma que el producto de una de ellas por el cuadrado de la

otras es máximo, estas partes son:

a) 0 y 30

b) 10 y 20

c) 15 y 15


29. El área comprendida entre las funciones 22 2)(6)( xxgyxxxf es:

a) 2

b) 4

c) 44/3




COLEGIO BUEN PASTOR

38

30. La función

0 x1x-

0 x )(

2

xexf

a) No es continua en x = 0

b) Tiene un máximo local en x = 0

c) Tiene un mínimo local en x = 0


31. El límite senx

ee xx

x

0lim

a) No existe

b) Vale 2

c) Vale 0


32. La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función xexxf 2ln)( en el punto x = 1

a) No se puede calcular porque la función no tiene recta tangente en ese punto

b) Toma el valor e

c) Toma el valor e2


33. La función 0,2 x1

1)(

0

dondedtt

xF

x

a) Es derivable en (0,2) y 1

1)´(

xxF

b) Es derivable en (0,2) y 21

1)´(

xxF

c) F es continua pero no derivable


34. El área encerrada por la gráfica de la función senxxf )( y el eje OX entre x = 0 y 2x

a) 4

b) 0

c) No se puede calcular




COLEGIO BUEN PASTOR

39

35. ¿Cuál de las siguientes funciones es discontinua en algún punto del intervalo que se indica?

a) 2,01

)(2

enx

xxf

b) 1,1)1()( 2 enxLnxf

c) 5,3

9

1)(

2en

x

xf

d) 1,1

1

1)(

en

e

xfx

36. El dominio de la función

x

xLnxf

1

1)( es:

a) 1

b) (0,1)

c) (-1,1)



1x )1(

1 x1- 1

1

-1 x

)(2

3

xsen

x

x

xx

xf

a) Es continua en R

b) Es continua en x = 1 y no es continua en x = -1

c) Es continua en x = -1 y no es continua en x = 1

d) No es continua en x = -1 ni en x = 1


)(2

3

xx

xxf

a) No tiene asíntotas

b) Tiene una asíntota vertical en x = 1 y otra en x = 2, y una asíntota oblicua en y = -x-3

c) Tiene una asíntota horizontal en y = 1

d) Tiene una asíntota vertical en x = -1 ni en x = 2



COLEGIO BUEN PASTOR

40

39. La integral 4

0

)2cos(

dxx es

a) 1 / 4 b) 2 c) 1 / 2 d) 4

40. Dada la función xexxf1

)( . Entonces:

a) No tiene asíntotas verticales

b) Tiene asíntotas horizontales

c) y = x es asíntota

d) y = x + 1 es asíntota

41. El

xxx ln

1

1

1lim

1 es:

a) 1 b) 0 c) -1 / 2 d) 2 / 3

42. Una piscina en forma de paralelepípedo (x largo, y ancho, z alto) tiene 64 m2 de área y volumen

máximo. Entonces:

a) x= 8 m b) y = 16 m c) z = 4 m d) x + y + z = 64 m

43. El

xx

e

10

3

2lim

es:

a) 2 / 3 b) 0 c) 1 d) No existe

44. Dada la función senxxxf 3)(

a) Es decreciente en x = 0

b) x = 0 es un mínimo

c) x = 0 no es extremo

d) x = 0 es un máximo

45. La derivada de la función 2

0

)(

x

sentdtxF es:

a) 2x·senx b) x2·senx c) 2x·senx

2 d) x

2·senx

2



COLEGIO BUEN PASTOR

41

46. El xx e

x3

lim

es

a) 1 b) 0 c) d) -1

MATRICES

1. Dadas las siguientes matrices definidas por su término general:

jisi

jisi

jisi

aMaA ijxij

3

0

1

/34

jibMbB ijxij ,max/23

jisiji

jisijicMcC ijij

2/3

jidMdD ijxij ,min/43

jisi

jisijieMeE ijij

0/4

jifMfF ijxij 32/23

a) Escribe cada matriz

b) Calcula, siempre que sea posible, las siguientes matrices:

b.1) AT B

T C

T

b.2) A+DT A+D A

T+D

b.3) B+F 2BT-F

T AD



COLEGIO BUEN PASTOR

42

b.4) FB CB BTC

b.5) CTC DE DA-2C

b.6) C-BFT

3

1AC+D

T AD+E

b.7) ACF FTCB DAB

c) Comprueba que se verifican las siguientes propiedades:

c.1) BBTT

c.2) TTTFBFB

c.3) TTTABAB

c.4) TTT FFFF

2. Resuelve los siguientes sistemas matriciales

a)

BAYX

BAYX

232 siendo

A =

1197

531 y B =

134

250

b)

BAZYX

BAZYX

AZYX

243

632 siendo

A =

01

43 y B =

29

81

3. Dadas las matrices:

100

0cos

0cos

senyy

xsenx

A

1212cos

12cos

12

sen

senB F = 231

1212cos

12cos

12

sen

senC

12

5

12

5cos

12

5cos

12

5

sen

senD E =

5

0

2

Calcula si es posible: AAT; B

2; BC; CB; D

2; FE; EF

4. Halla el conjunto de las matrices que conmutan con la matriz A, siendo:

a)

64

12A



COLEGIO BUEN PASTOR

43

b)

001

010

121

B

c)

101

010

101

C

DETERMINANTES

1. Calcula el determinante de la matriz A, siendo:

a)

4712

51A

b)

2532

53223A

c)

99cos

18cos

18

sen

senA

d)

100

0cos

0cos

senxx

xsenx

A

e)

043

421

501

A

f) ji si 0

ji si 3 /4

jiaMaA ijij

g) ji si j

ji si 0 /

ijnij aMaA

2. Utilizando las propiedades de los determinantes y sin desarrollarlos, demuestra que det(A) = 0,

siendo:



COLEGIO BUEN PASTOR

44

4213

0352

3041

6231

A

011

1cos

1cos22

22

ysenx

yxsen

A

yxz

xzy

zyx

A

1

1

1

xzzyyx

prrqqp

accbba

A jijiaMaA ijij ,/)(

3. Sea

2218

46

321

2x

xA

1. Razona que det(A)=0 para x = 2 y x = -3.

2. ¿Existe algún otro valor de x que anule el det(A)? ¿Por qué?

3. Calcula el determinante de A

4. Utilizando las propiedades de los determinantes y sin desarrollarlos hasta llegar a un determinante

de orden dos, demuestra que:

)494(9

52

25

52

25

2 x

xx

xx

xx

xx

42

2

2

2

2

)9(

339

393

393

933

x

xxx

xxx

xxx

xxx

3)1)(13(3

1

1

1

1

xx

xxx

xxx

xxx

xxx

222 )(3 yx

yxxyyx

yyxyxx

xyxyxy

yxyxyx

5. a) Escribe el determinante de Vandermonde de cuarto orden y calcúlalo utilizando el método que

permite transformar un determinante de Vandermonde en otro del mismo tipo de orden inferior,

hasta llegar al de orden dos.

b) Utilizando el método anterior, calcula el determinante de la siguiente matriz:

72934312527

8149259

9753

1111

A

222 555

333

222

zyx

zyxA

6. Utilizando las propiedades de los determinantes, demuestra que:



COLEGIO BUEN PASTOR

45

a) !6

00006

50000

04000

00300

00020

00001

6 x

x

x

x

x

x

x

)(

2

2 baa

cbabaa

cbbaa

cba

b)

zb

ya

x

zbz

yay

xx

0

0

1212

zyx

rqp

cba

zyyxzz

rqqprp

cbbaca

3

2

2

2

7. Calcula el determinante de A, previa triangularización de A, siendo:

a)

x

x

x

x

A

110

101

101

011

b)

jix

jixaMaA ijnij

1/)(

c) cualquieran )(;7)(/)( IInIjin

jiiaMaA ijnij

d) cualquieran )(;5)(3

/)( IInIjin

jiaMaA ijnij

e) 4ay6(III)n;cualquieran )(;10)(/)(

IInI

jia

jiaaMaA ijnij

f) cualquieran )(;8)(0

/)( IInIjix

jiaMaA ijnij

g)

jix

jixaMaA ijij

2/)( 6

8. Resuelve la ecuación det(A)=0, siendo:



COLEGIO BUEN PASTOR

46

31111

12111

11111

1111

11111

111

111

111

111

210

021

102

210

111

111

111

111

2

2

2

2

x

x

x

x

A

x

x

x

x

A

x

x

x

x

A

xx

x

x

x

A

xxx

xxx

xxx

xxx

A

9. Sean:

;2/3)det( ;2/1)det( ;3)det(;2)det(

;,;;; 322332

EdCABquetales

MEDMCMBMA xx

Calcula:

a) 11 ;)(4;;2

1 DEABCABCAB T

b) T

T EDED

3

1;)()( 112

10. Sea

jij

ji

jii

aMaA ijnij 0/)(

a) Escribe el término general de At. ¿Qué tipo de matriz es A?

b) Demuestra que: si n es impar, entonces det(A)=0

c) Para n = 4, calcula det(A)

11. Calcula la matriz inversa de A, si existe, siendo:

senxx

xsenxA

cos

cos

senxx

xsenxA

cos

cos

233

123A

45

02A

642

513

201

A

211

302

111

A

2462

2131

1052

1321

A



COLEGIO BUEN PASTOR

47

12. Halla la matriz inversa de A, si existe, utilizando el método de Gauss-Jordan, siendo:

430

312

101

A

1210

1421

1011

2132

A


111

101

312

211

021

31

10

12

12

11

21EDCBA

y F=B+2I , resuelve las siguientes ecuaciones matriciales:

a) AX=B

b) XC=DT

c) CXA+CXB=I

d) AXE=D

e) (XF)T=D

f) BX=A-2X

14. Halle el rango de la matriz A, siendo:

1010

5031

5411

2621

0110

1101

A

34815

61212

52413

11201

123

112

011

CB

15. Discute el rango de la matriz A según los valores de los parámetros, siendo:

aa

aaA

11

4

121

ba

a

aA

3

20

11

213

3022

213

1211

a

aA

26134

172

21

a

b

aa

A



COLEGIO BUEN PASTOR

48

16. IAAAMaASea nij 32/)( 23 . Demuestra que A es una matriz regular y hallas su

inversa en función de A.

17. 3/)( AMaASea nij Demuestra que 21AAIAI

18. a)

icaantisimétr es )(

simétrica es )(:,

t

t

nAAI

AAIquedemuestraMA

b) Teniendo en cuenta lo anterior, escribe la matriz

59

71A como suma de una matriz

simétrica y otra antisimétrica


Calcular la matriz X que verifica l a ecuación AXB =2C

2. Obtener la matriz X que verifica AX – B = 3X siendo:



COLEGIO BUEN PASTOR

49

A = y B =

3. De la siguiente ecuación matricial:

Obtener razonadamente los valores de x, y, z.

4. Dada las matrices

xByA

1

13

12

25

a. Determine los valores de x para los que existe la inversa de la matriz

C=AB-BA

b. Calcula la inversa de B para x = 2

5. Siendo

28

15

17

53ByA , calcule la matriz X tal que AX=B

6. Dadas las matrices

103

111

011

121

10

11CBA

a. Obtenga, si existe, una matriz X tal que AX+2B=C

b. Obtenga, si existe, una matriz Y tal que YA-B=C

c. En ambos casos, razone la existencia o no de las matrices inversas de X y de Y.

7. Dada la matriz

210

012

101

A

a. Calcule (A-I)B, siendo I la matriz identidad de orden 3 y

2

0

1

B

b. Calcule At. Calcule, si es posible, BA

t.

c. ¿Es posible obtener la inversa de A?

8. Dada la matriz

01

10A , calcular A

200



COLEGIO BUEN PASTOR

50

9. Sean las matrices

10

21

01

010

102ByA

a. Compruebe que (AB)T=B

TA

T.

b. Halle una matriz X que verifique

30

63ABX

10. Se sabe que 5dc

ba

a. Calcular el valor de dcdc

baba

263

263

b. Enuncia una de las propiedades de los determinantes que hayas usado en el apartado

anterior

11. Calcular los determinantes , y .

Aplicar los resultados obtenidos para resolver por la regla de Cramer el sistema

12. Considera la matriz

ca

cba

cba

A

403

32 , donde a, b y c son no nulos.

a. Determina el número de columnas de A que son linealmente independientes

b. Calcula el rango de A y razona si dicha matriz tiene inversa.

13. ¿Es invertible la matriz A siguiente? Justifica la respuesta.

110

312

101

A

14. Se sabe que la siguiente matriz M tiene rango 1,

dc

baM

2

1

765

a. ¿Pueden determinarse a,b,c y d? Justifica la respuesta, y en caso, afirmativo, hállalos.



COLEGIO BUEN PASTOR

51

15. Considera la matriz B que depende de un parámetro a

111

212

12

aa

aa

B

a. ¿Para qué valores de a tiene B inversa?. Justifica la respuesta.

b. Para a = 0 halla la inversa de B

PROBLEMAS DE ÁLGEBRA

1. Resolver el sistema de ecuaciones:

532

03

zyx

zyx

Hallar la solución del sistema anterior tal que la suma de los valores correspondientes a

cada una de las tres incógnitas sea igual a 4.

2. a)Hallar todas las matrices

b

aaA

0

distintas de la matriz nula tales que AA 2

b) Para una cualquier de las matrices A obtenidas en el apartado a) calcular : M=A+A2+……+A

10

3. Se considera el sistema de ecuaciones

2

52

9343

zyx

zymx

zyx

a) Determinar los valores de m para que el sistema dado tenga una solución única

b) Resolverlo para m = 1

4. Un mayorista del sector turístico vende a la agencia de viajes A, 10 billetes a destino nacionales,

10 billetes a destinos extranjeros europeos comunitarios y 10 billetes internacionales no

comunitarios, cobrando por todo ello 12.000 euros. A una segunda agencia B, le vende 10 billetes a

destinos nacionales y 20 a internacionales no comunitarios, y cobra 13000 euros. A una tercera

agencia C le vende 10 billetes a destinos nacionales y 10 a destinos extranjeros europeos

comunitarios, cobrando 7000 euros. Se pide:

a) Hallar el precio de cada tipo de billete

b) Por razón de mercado, el mayorista se ve obligado a bajar un 20% el precio de todos los

billetes nacionales. Hallar en qué porcentaje debe incrementar el precio de todos los billetes

extranjeros europeos comunitarios suponiendo que mantiene constante el precio de todos

los billetes internacionales no comunitarios, para mantener sus ingresos totales por las

ventas a las tres agencias.

5. a) Sea A y B dos matrices invertibles que verifican la identidad A+ B = AB

Comprobar que entonces se tiene la fórmula: ABBI 11

b) Dada la matriz

12

11A , hallar la matriz B, para que se verifique A+ B = AB



COLEGIO BUEN PASTOR

52

6. Comprobar, aplicando las propiedades de los determinantes, la identidad:

3

22

)(

111

22 babbaa

baba

7. Encontrar un número real m, distinto de cero, y todas las matrices B de dimensión 2, tales que:

39

03

13

0B

mB

8. a) Resolver el sistema de ecuaciones:

22

132

zyx

zyx

b) Hallar dos constantes a y b de manera que al añadir al sistema anterior una tercera ecuación :

5x+y+az=b, el sistema resultante sea compatible indeterminado

9. Hallar una matriz X, tal que: X-1

·A·X=B, siendo

12

11

12

13BA

1. Juan decide invertir una cantidad de 12000 euros en bolsa, comprando acciones de tres empresas,

A, B y C. Invierte en A el doble que en B y en C juntas. Transcurrido un año. Las acciones de la

empresa a se han revalorizado un 4%, las de B un 5% y las de C han perdido un 2% de su valor

original. Como resultado de todo ello, Juan ha obtenido un beneficio de 432,5 euros . Determinar

cuánto invirtió Juan en cada una de las empresas.

2. Dos hijos deciden hacer un regalo de 100 euros a su madre. Como no tienen suficiente dinero,

cuentan con la ayuda de su padre, decidiendo pagar el regalo de la siguiente forma: el padre paga el

triple de lo que pagan los dos hijos juntos y, por cada 2 euros que paga el menor el mayor paga 3

euros. ¿Cuánto dinero ha de poner cada uno?

3. Cinco amigos suelen tomar el café juntos. El primer día tomaron 2 cafés, 2 cortados y un café con

leche y debieron pagar 3 euros. Al día siguiente tomaron un café, un cortado y tres cafés con leche,

por lo que pagaron 3, 25 euros . Al tercer día sólo acudieron cuatro de ellos, y tomaron un café,



COLEGIO BUEN PASTOR

53

dos cortados y un café con leche, ascendiendo la cuenta a 2,45 €. Calcular de forma razonada el

precio del café, del cortado y del café con leche.

4. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra

proporcional a los kilómetros recorridos. Por un billete entre las poblaciones A y B se ha pagado 20

euros y por un billete entre las poblaciones A y C se ha pagado 32 euros. Si la distancia de A a C es

el doble de la distancia de A y B, calcular de forma razonada cuánto se tendrá que pagar por un

billete a una población que dista de A la mitad que B.

5. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombre,

mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de

niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de hombres.

a. Plantear un sistema para averiguar cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión.

b. Resolver problemas.

6. Cierto estudiante obtuvo, en un control que constaba de 3 preguntas, una calificación de 8 puntos.

En la segunda pregunta sacó dos puntos más que en la primera y un punto menos que en la tercera.

a. Plantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuación obtenida en cada una de

las preguntas.

b. Resolver el sistema.

7. Sea la matriz A de coeficientes asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales y B la matriz de sus

términos independientes:

1

2

aa

aA

4

4B

a. Plantea algebraicamente el sistema indicando las operaciones hechas.

b. Discute su compatibilidad e interpreta los resultados obtenidos.

8. Sea el sistema de ecuaciones :

02

12

0

zyx

zx

zyx

a. Expréselo en forma matricial

b. Calcula la inversa de la matriz de coeficientes

c. Resuélvalo

9. Un comerciante ha vendido 600 camisetas por un total de 3828 euros. Su precio original era de 7,2

euros por camiseta, pero ha vendido en las rebajas una parte de ellas con un descuento del 30% del

precio original y otra parte con un descuento del 40%. Sabiendo que el número total de camisetas

rebajadas fue la mitad del número de las que vendió a 7,2 euros, calcular cuántas camisetas se

vendieron a cada precio.

10. Resolver el sistema:



COLEGIO BUEN PASTOR

54

2422

154

132

zyx

zyx

zyx

11. En una tienda, un cliente se ha gastado 90 euros en la compra de 12 artículos entre discos, libros y

carpetas. Cada disco le ha costado 12 euros, cada libro 9 euros y cada carpeta 3 euros. Se sabe que

entre discos y carpetas hay triple que de libros.

a. Formule el sistema de ecuaciones asociado al enunciado anterior.

b. Determine cuántos artículos ha comprado de cada tipo.

12. Una heladería prepara helados de tres tamaños, 125 gr., 250 gr., y 500 gr., cuyos precios son 0,90

euros, 1,62 euros y 3 euros, respectivamente. Un cliente compra 10 helados, con un peso total de

2,5 kg., y paga por ellos 20,28 euros. Se desea conocer el número de helados que ha comprado de

cada tipo.

a. Formule el sistema de ecuaciones asociado al enunciado del problema

b. Halle el número de helados que se lleva de cada tipo

13. Sea el sistema de ecuaciones lineales:

4

53

4

zymx

zyx

zmyx

a. Resuélvalo y clasifíquelo para m =1

b. Resuélvalo y clasifíquelo para m =2

14. Clasifique el siguiente sistema de ecuaciones según los valores de parámetro m:

2)1(

)1(

1)1(

mzmyx

mzymx

zyxm

15. Clasifique el siguiente sistema de ecuaciones según los valores de parámetro m:

65

232

22

zmyx

zyx

zyx

16. Estudia el sistema formado por las siguientes ecuaciones y da una interpretación geométrica al

resultado, en cada uno de los siguientes casos:



COLEGIO BUEN PASTOR

55

i.

2

1223

1246

yx

yx

yx

202

32

3

yx

yx

yx

ii.

01826

0333

012

yx

yx

yx

22

042

22

xy

yx

xy

17. Sea S el sistema de ecuaciones

02

622

0

zyx

zyx

zyx

a. Resuelva dicho sistema

b. Clasifique el sistema resultante si suprime en S la primera ecuación

c. ¿qué ecuación debe suprimir en el sistema S para que el nuevo sistema tenga entre sus

soluciones la solución (0,0,0)

18. Dado el sistema

832

2

zyx

zyx, añada una tercera ecuación para que el sistema resultante sea

compatible indeterminado.

19. La suma de dos cantidades es 500. Aumentando la primera en un 10% y disminuyendo la segunda

en un 20%, la suma es 525. Plantee el sistema que obtiene tales cantidades y resuélvalo.

20. Resuelva el sistema de ecuaciones determinado por la igualdad

3

22

321

1

yx

x

ESPACIO AFIN

1. Dados los puntos A(2,3,1), B(-1,0,4) y C(-2,1,5), hallar las coordenadas de un cuarto punto D con

la condición de que el cuadrilátero ABCD sea un paralelogramo.

2. Escribir las ecuaciones paramétricas, reducidas y simétricas de la recta que pasa por los puntos

A(2,3,5) y B(-1,0,-2)

3. Dada la recta 25

1

3

2

zyx, expresarla en forma paramétrica y en forma reducida.



COLEGIO BUEN PASTOR

56

4. Hallar los puntos en los que la recta

tz

ty

tx

r

2

31

2

, corta a cada uno de los tres planos coordenados.

5. Indicar los puntos de la recta 1

1

53

2

zyx, que tiene al menos una coordenada nula.

6. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto medio del segmento A(2,1,0) y B(-1,4,5) y es

paralela a la recta

23

12

xz

xy.

7. Comprobar si la recta de ecuaciones

tz

ty

tx

r

23

52

1

, está contenida o no en el plano

022: zyx

8. Hallar la ecuación general del plano que pasa por los puntos A(1,0,1). B(0,2,0) y C(-1,2,1). Indicar

la ecuación de una recta que pertenezca a ese plano.

9. Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta

12

2:

xy

zxr y al punto A(-1,4,2).

10. Encontrar la ecuación del plano determinado por el punto (0,5,-2) y la recta

tz

ty

tx

r

1

25

2

11. Comprobar si las rectas 54

2

2

1:

zyxr y

tz

ty

tx

s

35

2

23

determinan un plano y, en caso

afirmativo, hallar su ecuación general.

12. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(-3,4,5) y B(6,-2,0) y es paralelo a la recta

2

1

3

2

1

5

zyx.

13. Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta

tz

ty

tx

s

51

3 y es paralelo a la recta

3

2:

xz

xyr .

14. Dado el punto A(-1,5,2) y el plano 0523: zyx , hallar un punto B tal que la recta que pasa

por A y B sea paralela al plano .



COLEGIO BUEN PASTOR

57

15. Hallar las ecuaciones paramétricas del plano que pasa por el punto P(2,0,3) y contiene a la recta

3

1

z

x.

16. Hallar la ecuación general del plano que pasa por el origen y es paralelo a los vectores

)1,0,2()3,0,1( vu

.

17. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos M(-2,1,0), N(0,4,5) y P(0,0,-3).

18. Hallar la ecuación del plano que corta a los tres ejes coordenados a una distancia k del origen.

Hallar el valor de k para que ese plano sea x+y+z+2=0

POSICIONES RELATIVAS DE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS

19. Hallar el valor de m para que los puntos A(3,m,1), B(1,1,-1) y C(-2,10,-4) pertenezcan a la misma

recta.

20. La recta r pasa por el punto A (1,-2,1) y es paralela a la recta

tz

ty

tx

s 3

2

: . Si P(-3,m, n) pertenece a

r, determinar m y n.

21. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,1,1) y corta a las rectas 12

1

2

1:

zyxr

y la recta

13

022:

zyx

zyxs .

22. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,-1,1) y es paralela a la recta que determinan

los planos 022: zyx y 13: zyx .

23. Calcular el valor de m para que sean coplanarias las siguientes rectas:

a)

13

32:

xz

xyr

m

zyxs

12

1:

b)

3

1:

y

xr

xz

mxys

4:

c)

3

3

4

:

y

y

m

mx

r

xz

xys

2

43:

24. Dados los puntos A(2,3,-1) y B(-4,1,-2), hallar las coordenadas de un punto C perteneciente al

plano XZ, de forma que los tres puntos A, B y C no formen un triángulo.

25. Hallar el valor de a para que las rectas r y s se corten. ¿Pueden ser coincidentes en algún caso?



COLEGIO BUEN PASTOR

58

21

3

2

3:

azyxr

y

54

31

41

:

z

y

x

s

26. Dadas las rectas

mz

y

x

r 54

32

: y

2

3

2

12

: xz

xy

s

a) Calcular el valor de m para que r y s sean concurrentes

b) Determinar, para ese valor de m, el punto de intersección de r y s.

27. Averiguar la posición relativa de las rectas

42

21

22

:

z

y

x

r y

4

2

3

:

z

y

x

s

28. Hallar la ecuación de la recta que se apoya en las rectas r y s, y es paralela a la recta t.

22

1:

532

5:

022

012:

zx

zyxt

zyx

zyxs

zyx

zyxr

29. Determinar el valor de para que los puntos A( , -1,5), B(7,2,1), C(-1,-3,-1) y D(1,0,3) sean

coplanarios.

30. Hallar la ecuación general del plano que contiene a los siguientes pares de rectas:

a)

1

5

1

3

1

:2

32:

y

zx

syxz

xyr

b) 2

3

1

2

2

1:

1

3

3

2

2

1:

zyxsy

zyxr

31. Hallar la ecuación general del plano que contiene al punto y a la recta dados:

a) A(3,-1,2) y

tz

ty

tx

r

23

2:

b) A(3,-2,-1) y

072

012:

zyx

zyxr

c) A(1,2,1) y la recta intersección del plano 032: zyx con el plano YZ.

32. Hallar las ecuaciones de todas las rectas que son paralelas al plano 1 zyx y cortan a la recta

2

1:

z

yxr .

Calcular la recta que cumpliendo esas condiciones pasa, además, por el punto P(2,0,2)



COLEGIO BUEN PASTOR

59

33. Hallar la posición relativa de la recta r y el plano , cuyas ecuaciones son:

0323:2

3

23

2:

zyxyzyx

r

34. Determinar a y b de modo que los planos 05253:014: zyxyzbyax sean

paralelos.

35. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A(-1,0,0) y es paralela a los planos

053:012: zyxyzyx .

36. Sea la recta r de ecuación

22

12:

zyx

zyxr

Hallar:

a) La ecuación de un plano que contenga a la recta r.

b) La ecuación de un plano paralelo a la recta r.

c) La ecuación de un plano que corte a la recta r.

37. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,2,0), es paralela al plano 3x – y + z = 2 y

corta a la recta

222

0:

zyx

zyxr

38. Calcular los valores de m y n para que la recta

4

32:

xz

xyr esté contenida en el plano

02: zmynx .

39. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto de intersección de la recta

321

2:

zyxr

con el plano 02: zyx y es paralelo a las rectas

1

04:

zy

yxs y

1

3

2

2:

zyxt .

40. Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta zyx

r

2

2

3

1: , es paralelo al vector de

extremos A(4,0,1) y B(0,2,-1) y pasa por A.

41. Dados la recta

04

0123:

bzyx

zyxr y el plano 0252: azyx , determinar los valores de a y

b de modo que:

a) Se corten en un punto

b) Sean paralelos

c) La recta esté contenido en el plano

42. Hallar la posición relativa de los planos y en los siguientes casos:

a) 01426:0223: zyxzyx

b) 0135:0223: zyxzyx



COLEGIO BUEN PASTOR

60

43. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto intersección de los planos

12:

0132:

52:

3

2

1

zyx

zx

zyx

y

es paralelo al plano x + y + z = - 2.

44. Hallar la ecuación del haz de planos que tienen por base la recta

1

1

2

2

5

1:

zyxr

45. Estudiar la posición relativa de los tres planos siguientes, en cada uno de los casos:

a)

12:

014:

32:

3

2

1

zyx

x

zyx

b)

776:

032:

232:

3

2

1

zyx

zyx

zyx

Y calcular su intersección en el caso de que no sea vacía.

46. Hallar la posición relativa de los planos

13)1(2:

32:

1:

3

2

1

mzmyx

mmzyx

zymx

, según los distintos valores de

m.

ESPACIO EUCLÍDEO

47. Dados los vértices A (1,a,0) , B(3,0,1) y C(0,-5,2), determinar el valor de a para que el triángulo

ABC sea rectángulo en A.

48. Hallar la recta t perpendicular común a las rectas

032

03:

yx

zyxr y s, que es la recta que pasa por

los puntos A(1,2,0) y B(0,2,1).

49. Dados los vectores )2,2,(),1,2( bbyaa

, determinar los valores de a y b tales que hacen

que dichos vectores sean ortogonales y con el mismo módulo.

50. Demostrar que 3,, Vcba

, los vectores acycbba

, son linealmente dependientes,

utilizando las propiedades del producto mixto.

51. Hallar la ecuación del plano que sea perpendicular a los planos

032:012: zyxyzyx , que contenga al punto P(2,-1,0).

52. Calcular el plano que contiene al punto P(1,0,-1) y es paralelo a las rectas r y s, siendo

tz

ty

tx

syx

zyxr

21

2

1

:02

01:



COLEGIO BUEN PASTOR

61

53. Calcular el volumen del paralelepípedo cuyas aristas no paralelas son las distancias del origen a los

puntos de corte del plano 06233: zyx con los tres ejes de coordenadas.

54. El vector c

es perpendicular a los vectores ,bya

que determinan entre sí un ángulo de 30º.

Sabiendo que ,33,6 cyba

calcular el producto mixto cba

,, .

55. Calcular el punto simétrico del punto P(-1,0-6) respecto del plano 022: zyx

56. Calcular el área del triángulo de vértices A(0,0,0), B(3,0,0) y C (0,2,2)

57. Dados los vectores ),3,2,1()5,1,3( bya

calcular el vector ,c

que es perpendicular al eje Z y que

verifica las igualdades .49 bcyac

58. Hallar un vector a

que esté contenido en el plano que forman los ejes OX y OY y sea ortogonal a

la recta zyxr 2: .

59. Dados los vectores kjia

2 y kjib 2 , determina los valores de y para que:

a) Los vectores sean paralelos

b) Los vectores sean ortogonales

60. Dados los puntos A(1,2,0), B(1,0,3) y C(0,-2,-2) calcular el ángulo interno del vértice A, en el

triángulo BAC.

61. Dados los vectores ),0,2,1()1,3,1( bya

calcular un vector ortogonal a ambos y que sea unitario.

62. Hallar el plano que pasa por el punto P(1,0,-1), es paralelo a la recta 3

21

2

1:

zy

xr y es

perpendicular al plano 02: zyx .

63. Dada la recta 22

21:

zyxr y el plano 032: zyx , calcular la recta t, proyección

ortogonal de la recta r sobre el plano .

64. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,1,1) tal que sus cosenos directores son

proporcionales a 2, 4, 6.

65. Hallar el punto P´, simétrico del punto P(1,3,-4) respecto del plano 023: zyx

66. Calcular los valores de los parámetros y tales que la recta 3

5

4

12:

zyxr

es

perpendicular al plano 0123: zyx .

67. Hallar la ecuación del plano , que contiene a la recta 2

2

3

2

2

1:

zyxr , y es perpendicular al

plano 0523: zyx .



COLEGIO BUEN PASTOR

62

68. Determina la ecuación de un plano paralelo al plano 0722: zyx y cuya distancia al origen

sea 4 unidades.

69. Calcular el lugar geométrico de puntos que equidistan de los puntos A(5,3,0) y B(3,1,1)

70. Dadas las rectas 1

1

3

13:2

2

3

2

1:

zyxsyz

yxr , demostrar que se cortan y calcular

el ángulo que forman.

71. Determinar el valor de y para que las rectas r y s se corten perpendicularmente, siendo

1:1

1

2

2:

zy

yxsyz

yxr

.

72. Hallar la ecuación de un plano que, pasando por los puntos A(0,2,0) y B(0,0,2), corta al eje OX en

un punto C, tal que el área del triángulo ABC sea 4 unidades de superficie.

73. Hallar el volumen del tetraedro que determina el plano 0422: zyx con los ejes

coordenados.

74. Calcular el punto simétrico del punto P(5,0,-1) respecto de la recta zyx

r

21

1:

PROBLEMAS MÉTRICOS. ÁNGULOS Y DISTANCIAS

75. Hallar la ecuación del plano paralelo al plano 0722: zyx , cuya distancia al origen sea 4

unidades.

76. Determinar el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al plano 0133: zx , es el doble

de la distancia al plano 01: yx .


a) Hallar la distancia del punto P(1,0,-2) al plano 22: yx

b) Calcular el punto de más cercano a P

c) Calcular el simétrico P´ de P respecto al plano


a) Determinar la distancia del punto M(1,0,-1) a la recta

tz

ty

x

r

21

2

:

b) Hallar el punto de la recta de distancia mínima

c) Halla la ecuación de la recta perpendicular a r que pasa por M

79. Hallar un punto que pertenezca al eje OX y que equidiste de los planos

0122:01151612: 21 zyxyzyx .

80. Calcular los planos paralelos al plano 0322 zyx , y que distan 5 unidades de él.



COLEGIO BUEN PASTOR

63

81. Calcular el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los planos

0323:0523: 21 zyxyzyx .

82. Calcular por varios métodos la distancia más corta entre las rectas

2

2

69

:2

1

2

5

3

5:

z

y

x

syzyx

r .

83. Determina por varios métodos la distancia del punto P(2,3,-1) a la recta

tz

ty

tx

r

413

2

1

:

84. Demostrar que el plano 0125: zyx no corta al segmento de extremos A(1,4,-3) y

B(2,5,0)

85. Hallar las ecuaciones de las rectas que, pasando por el punto M(1,-2,3), forman ángulos de 45º y

60º con los ejes OX y OY, respectivamente.

86. Calcular el ángulo comprendido por las rectas

03

01623:

02

0124:

zx

yxsy

zy

zyxr

87. Calcular el valor del parámetro a para que la recta a

zyxr

7

22

1:

determine un ángulo de 45º

con el plano 0134: zyx .

88. Calcular los ángulos que determinan los planos 21 y en los casos siguientes:

a) 0720:0184: 21 zyxyzyx

b) 05:07: 21 zyyzx

89. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(0,2,0) y B(2,0,0), y forma un ángulo de

60º con el plano x = 0.

90. Hallar la ecuación del plano cuyos puntos equidistan de los puntos A(1,-4,2) y B(7,1,-5)

91. Calcular el ángulo comprendido entre los dos planos, que pasando por el punto P(1,-1,-1), contiene

uno al eje OX y el otro al eje OZ.

92. Calcular el ángulo que determinan la diagonal de un cubo con uno de sus lados.

93. Calcular el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas

0

0:

0

0:

z

ysy

y

xr

94. Hallar la distancia de la recta

14

33:

zy

zxr a los ejes coordenados.

95. Calcular la distancia del punto P(a,b,c) al plano determinado por los puntos A(bc,0,0), B(0,ac,0)

y C(0,0,ab).



COLEGIO BUEN PASTOR

64

96. Determinar la distancia del punto P(-1,1,-2) al plano que contiene a los puntos A(1,-1,1),

B(-2,1,3) y C(4,-5,2).

97. Dos caras de un cubo están en los planos 0522:0122: zyxyzyx . Calcular el

volumen del cubo.

98. Dadas las rectas

tz

y

tx

r

1

1: y

2

2

1

:

z

y

x

s

a) Calcular la distancia entre ambas

b) Probar que se cruzan

c) Encontrar la perpendicular común y los puntos P y P´ de corte de ésta con r y s,

comprobando que la distancia entres estos dos puntos es la distancia entre las rectas

99. Hallar un punto que, perteneciendo al eje OZ, sea equidistante del punto P(1,-2,0) y del plano 09623: zyx

100. Calcular los ángulos que forman las seis aristas del tetraedro de vértices:

A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0) y D(0,0,1)

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