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ANÁLISIS. PAU Y EBAU. Distrito Murcia

1

1

ANÁLISIS EJERCICIOS PROPUESTOS EN LAS PAU Y EBAU. Distrito Murcia

NOTAS: 1ª.- En cada convocatoria se ofrecen dos opciones d e examen a elegir una, a saber OPCIÓN A y OPCIÓN B. Con esto, la numeración de las cuesti ones va precedida de la letra de la OPCIÓN.

2ª.- Desde la convocatoria de 2017 (incluida) se ha eliminado el contraste de hipótesis

________________________

INDICE: Análisis .................................................................................................................................................3

- Límites y continuidad................................................................................................. 3 - Derivadas.................................................................................................................... 3

CUESTIÓN A3 (junio-2013) ............................................................................... 3 CUESTIÓN B3 (junio-2014)................................................................................ 3 CUESTIÓN B2 (septiembre-2014) ...................................................................... 3 CUESTIÓN A2 (junio-2016) ............................................................................... 4 CUESTIÓN B2 (junio-2016)................................................................................ 5 CUESTIÓN B2 (junio-2017)................................................................................ 6 CUESTIÓN B2 (junio-2018)................................................................................ 6 CUESTIÓN B2 (septiembre-2019) ...................................................................... 7

- Rectas tangentes ......................................................................................................... 7 CUESTIÓN A3 (septiembre-2014) ...................................................................... 7 CUESTIÓN B2 (junio-2015)................................................................................ 8 CUESTIÓN B2 (septiembre-2018) ...................................................................... 9 CUESTIÓN A2 (septiembre-2019) ...................................................................... 9

- Estudio local............................................................................................................. 10 CUESTIÓN B2 (junio-2013)..............................................................................10 CUESTIÓN A2 (junio-2015) ............................................................................ 10 CUESTIÓN B2 (junio-2019)..............................................................................13

- Optimización ............................................................................................................ 13 CUESTIÓN A2 (junio-2013) ............................................................................. 13 CUESTIÓN A2 (septiembre-2013) .................................................................... 15 CUESTIÓN A2 (junio-2014) ............................................................................. 15 CUESTIÓN A2 (septiembre-2014) .................................................................... 16 CUESTIÓN A2 (junio-2017) ............................................................................. 18 CUESTIÓN A2 (junio-2018) ............................................................................. 19 CUESTIÓN A2 (septiembre-2018) .................................................................... 19 CUESTIÓN A2 (junio-2019) ............................................................................. 19

- Cálculo Integral ........................................................................................................ 20 CUESTIÓN A3 (septiembre-2013) .................................................................... 20 CUESTIÓN A3 (junio-2014) ............................................................................. 20 CUESTIÓN A3 (junio-2015) ............................................................................. 20 CUESTIÓN B3 (junio-2015)..............................................................................21 CUESTIÓN A3 (junio-2017) ............................................................................. 22 CUESTIÓN A3 (septiembre-2018) .................................................................... 22 CUESTIÓN B3 (septiembre-2018) .................................................................... 23 CUESTIÓN A3 (junio-2019) ............................................................................. 23

- Cálculo de áreas ....................................................................................................... 24 CUESTIÓN B3 (junio-2013)..............................................................................24 CUESTIÓN B2 (junio-2014)..............................................................................25


2

2

CUESTIÓN B3 (septiembre-2014) .................................................................... 26 CUESTIÓN A3 (junio-2016) ............................................................................. 27 CUESTIÓN b3 (junio-2016) ..............................................................................29 CUESTIÓN B3 (junio-2017)..............................................................................30 CUESTIÓN A3 (junio-2018) ............................................................................. 32 CUESTIÓN B3 (junio-2018)..............................................................................33 CUESTIÓN B3 (junio-2019)..............................................................................34 CUESTIÓN A3 (septiembre-2019) .................................................................... 35 CUESTIÓN B3 (septiembre-2019) .................................................................... 36


3

3

AANNÁÁLLIISSIISS

- LÍMITES Y CONTINUIDAD

(vacío)

- DERIVADAS

CUESTIÓN A3 (JUNIO-2013)

Calcular las derivadas de las siguientes funciones:

a) x2x3

e)x(f +=

b) 1x2

1)x(g

−=

SOLUCIÓN:

a) ( ) ( )2x3ee)x('f 2x2x'

x2x 33

+⋅== ++

b) ( ) 1x2)1x2(

1

1x22

2

1x2

1

1x2

1)x('g

2

'

−−−=

−⋅

−−=

−=

CUESTIÓN B3 (JUNIO-2014)

Hallar las derivadas de las siguientes funciones:

a) 2x

e)x(f

x2

+= b) )x5x(Ln)x(g 2 −=

SOLUCIÓN:

a) ( ) ( ) ( )2

x2

2

x2

2

x2x2

2x

)1x(e2

2x

)12x(e2

2x

e)2x(e2)x('f

++⋅=

+−+⋅=

+−+⋅=

b) )x5x(

5x2)5x2(

)x5x(

1)x('g

22 −−=−

−=

CUESTIÓN B2 (SEPTIEMBRE-2014)

Dada la función bx

axax)x(f

2

2

−−+= donde a y b son números reales.

a) Hallar a y b sabiendo que 1x = y 1x −= son sus asíntotas verticales y

que -1 (0) f = .

b) Para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior, hallar el resto de las

asíntotas y hallar su función derivada (x)f' .

SOLUCIÓN:

a) Si bx

axax)x(f

2

2

−−+= y -1 (0) f = :


4

4

bab

a

b

a1 −==

−−=−

Además:

∞=−

−=−

−+∞=

∞=−

=−

−+∞=

−→−→

→→

b1

1

bx

axaxLim)x(fLim

b1

1

bx

axaxLim)x(fLim

2

2

1x1x

2

2

1x1x

Esto ocurrirá cuando el denominador se anule: 1b0b1 ==−

en cuyo caso 1a −=

Así pues, 1x

1xx)x(f

2

2

−++−=

b1) Las asíntotas verticales las proporciona el ejercicio.

Dado que es una función algebraica, cociente de dos polinomios del mismo grado, no tiene asíntota oblicua y sí una horizontal:

1

x

11

x

1

x

11

Lim

x

1

x

xx

1

x

x

x

x

Lim1x

1xxLim

2

2

x

22

2

222

2

x2

2

x−=

−

++−=

−

++−=

−++−

∞→∞→∞→

Así pues, la recta de ecuación 1y −= es una asíntota horizontal.

b2)( ) ( ) ( ) ( )

( ) =−

⋅++−−−⋅+−=22

22

1x

x21xx1x1x2)x('f

( ) ( )( ) ( )22

2

22

2323

1x

1x

1x

x2x2x21x2xx2

−−−=

−++−−−++−=


Dada la función 1x

b2ax)x(f

2

2

++= , donde ℜ∈bya :

a) Hallar el dominio de )x(f

b) Hallar a y b para que la función tenga una asíntota horizontal en 2y = y pase

por el punto ( )4,0

c) Para 1a = y 1b = , hallar )x(f ′

SOLUCIÓN:

a) La función )x(f es algebraica, con denominador 1x 2 + que no se anula nunca,

por lo que el ℜ=)f(Dom

b) Para que tenga una asíntota horizontal en 2y = , debe cumplirse que:


5

5

a

x

11

x

b2a

Lim

x

1

x

xx

b2

x

ax

Lim1x

b2axLim)x(fLim2

2

2

x

22

2

22

2

x2

2

xx=

+

+=

+

+=

++==

∞→∞→∞→∞→

Por tanto, 2a =

Por otro lado, si pasa por ( )4,0 :

22

4bb2

10

b20a)0(f4 ===

++⋅==

Así pues, la función es: 1x

4x2)x(f

2

2

++=

c) Para 1a = y 1b = , 1x

2x)x(f

2

2

++=

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )[ ]( ) ( )2222

22

22

22

22

2222

2

2

1x

x2

1x

2x1xx2

1x

x22x1xx2

1x

1x2x1x2x

1x

2x)x(f

+−=

++−+=

++−+=

=+

′++−+′+=′

++=′



a) 1xe)x(f 2x2

+= −.

b) 2x

xx)x(g

2

3

+−=

SOLUCIÓN:

a) ( ) ( ) ( ) =′

+++′

=′

+=′ −−− 1xe1xe1xe)x(f 2x2x2x 222

.

( )( )

+++=

++

++=

=

+++=

+++=

−−

−−−

1x2

1x4x4e

1x2

1

1x2

1xx4e

1x2

11xx2e

1x2

1e1xxe2

22x2x

2x2x2x

22

222

b) ( ) ( ) ( )( )

( ) =+

′+−−+′−=′

+−=′

22

2323

2

3

2x

2xxx2xxx

2x

xx)x(g

( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) =

+−−−−+=

+−−+−=

22

24224

22

322

2x

x2x22xx6x3

2x

x2xx2x1x3

( ) ( )22

24

22

24224

2x

2x7x

2x

x2x22xx6x3

+−+=

++−−−+=


6

6


Dadas las funciones

ax7x)x(f 23 +−=

bx1x2)x(g +−=

donde a y b son números reales, halla a y b sabiendo que )1(g)1(f = y )1(g)1(f ′=′

SOLUCIÓN:

ax7x)x(f 23 +−=

6aa71)1(f −=+−=

bx1x2)x(g +−=

1bb12)1(g +=+−=

( ) x14x3ax7x)x(f 223 −=′+−=′

11143)1(f −=−=′

( ) b1x2

1b

1x22

2bx1x2)x(g +

−=+

−=

′+−=′

1bb12

1)1(g +=+

−=′

Por tanto:

+=−+=−

1b11

1b6a

De la segunda ecuación: 12b111b −=−=+

De la primera ecuación: 5116a111b6a −=−=−=+=−



a)5 1x5

1

+−

b) ( )22 xLnx ⋅

c) 2xx3e +−

SOLUCIÓN:

a)

( )( )

( )

( )

( )

( )( )

( )=

+

+=+

⋅+⋅=

+

′

+

=+

′+=

′

+−

−−

5 2

5

4

5 2

15

1

5 2

5

1

5 2

5

51x5

1x5

1x5

51x55

1

1x5

1x5

1x5

1x5

1x5

1


7

7

( ) ( ) ( ) ( )=

+=

+⋅

+=

+⋅

+=

5

142

5

42

5

4

1x5

1

1x5

1

1x5

1

1x5

1

1x5

1

( )5 141x5

1

+=

b)

( )( ) ( ) ( ) ( )( )1xLnx2x2xLnx2x2x

1xxLnx2xLnx 22

2

2222 +=+⋅=⋅⋅+⋅=′⋅

c) ( ) ( )3x2ee22 xx3xx3 −⋅=

′ +−+−


Calcule las derivadas de las siguientes funciones:

a) 2x

)x(Ln)x(f =

b) x2ex)x(f ⋅=

SOLUCIÓN:

a) ( ) ( )

( ) =⋅+⋅

=′⋅+⋅′

=′

=′4

2

22

22

2 x

x2)x(Lnxx

1

x

x)x(Lnx)x(Ln

x

)x(Ln)x(f

( )344 x

)x(Ln21

x

2)x(Ln1x

x

x2)x(Lnx ⋅+=⋅+⋅=⋅+=

b)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =′⋅+⋅′=′⋅=′ x2x2x2 exexex)x(f

( )x21e2exe1 x2x2x2 +⋅=⋅⋅+⋅=

- RECTAS TANGENTES

CUESTIÓN A3 (SEPTIEMBRE-2014)

Dada la función4x

4x6x2)x(f

2

2

−−−−= , hallar su dominio, los puntos de corte con

los ejes y la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en 1x = .

SOLUCIÓN:

4x

4x6x2)x(f

2

2

−−−−=

1º.- factorizando numerador y denominador de la función:


8

8

−=−

−=−

=−±=

−−±==−−−

14

4

24

8

4

26

4

32366x04x6x2 2

( ) ( )( ) ( )2x2x

1x2x2

4x

4x6x2)x(f

2

2

+⋅−+⋅+⋅−=

−−−−=

1º. Dominio.

De la factorización observamos que el valor 2x −= es el único cero

exclusivo del denominador: { }2)f(Dom −ℜ=

2º. Puntos de corte con el eje OX

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) =+⋅+=

+⋅−+⋅+⋅−

= 01x2x02x2x

1x2x20)x(f

−=

−=

2x

1x

2

1

Hay dos puntos de corte con el eje OX: ( ) ( )0,2Py0,1P 21 −−

3º. Puntos de corte con el eje OY

( ) ( )( ) ( ) 1

4

4

2020

10202)0(f =

−−=

+⋅−+⋅+⋅−=

Hay un punto de corte con OY: ( )1,0P3

4º. La pendiente de la recta tangente a la gráfica en 1x = coincide con )1('f :

( ) ( ) ( ) ( )( ) =

−⋅−−−−−⋅−−=

22

22

4x

x24x6x24x6x4)x('f

( ) ( )( ) =

−++++−+−=

22

2323

4x

x8x12x424x6x16x4

( )( )22

2

4x

24x24x6

−++=

( )( )

69

54

41

24246)1('f

2==

−++=


Dada la función cbxaxx)x(f 34 +++= , donde a, b y c son números reales,

hallar los valores de a, b y c para que la función cumpla las siguientes condiciones:

a) pase por el origen de coordenadas,

b) su derivada se anule en x=0 y

c) la pendiente de la tangente a su gráfica en x=1 valga 2


9

9

SOLUCIÓN:

a) Si pasa por el origen, 0c0)0(f ==

la función queda bxaxx)x(f 34 ++=

b) su derivada se anula en x=0:

0b0)0('fbax3x4)x('f 23 ==++=

con esto la función es 34 axx)x(f +=

c) la pendiente de la tangente a su gráfica en x=1 vale 2, pero dicha pendiente coincide con la derivada de la función en la abscisa x=1:

3

2a2a342)1('fax3x4)x('f 23 −==+=+=

Así pues, la función que buscamos es 34 x

3

2x)x(f −=


Dada la función 1x

1ex5)x(f

2

x23

++⋅= :

a) Calcular )0('f

b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (0,1)

SOLUCIÓN:

a) ( )22

x23x22

2

x23

1x

x2ex10ex15

1x

1ex5)x('f

+−⋅+⋅=

′

++⋅=

Como en todos los sumandos aparece un factor "x": 0)0('f =

b) La ecuación en la forma "punto-pendiente" es: ( )00 xxmyy −=−

1)0(f)x(fy 00 === , lo que indica que el punto en cuestión está sobre la gráfica

de la función.

==

1y

0x

0

0

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa

0x 0 = es 0)0('fm ==

Así pues, la ecuación de la recta es: ( )0x01y −⋅=− , es decir, 1y =


Determine el punto de la gráfica de la función 5x7x6x)x(f 23 +−+−= en la

que la pendiente de la recta tangente sea máxima. ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente en ese punto?

SOLUCIÓN:

a) La pendiente de la tangente viene dada por la derivada:


10

10

7x12x3)x(f)x(p 2 −+−=′=

Los máximos anulan su derivada:

12x6)x(p +−=′

Si 26

12x012x60)x(p =

−−==+−=′

6)x(p −=′′ constante y negativa, por lo que 2x m = es máximo

7514248527262)2(fy 23m =+−+−=+⋅−⋅+−==

Así pues, el punto donde la tangente tiene pendiente máxima es el ( )7,2 y su

pendiente es :

571272412721223)2(p)x(pm 2m =−=−+−=−⋅+⋅−===

b) La ecuación de la recta tangente es:

( )mm xxmyy −=− :

( ) 3x5y2x57y −=−=−

- ESTUDIO LOCAL


Dada la función baxx (x) f ++ = 4, hallar a y b sabiendo que en 1x = la

función tiene un extremo relativo (un máximo o un mínimo relativo) y que 2)1(f =

¿Se trata de un máximo o de un mínimo relativo?

SOLUCIÓN:

Si tiene un extremo relativo en 1x = , la primera derivada se anula en dicho punto:

4a0a4a14)1('fbaxx (x) f 3 −==+=+⋅=++ = 4

Además, 51421a2b2ba12)1(f =−+=−−==++=

La función es 5x4x (x) f +− = 4

Por último, la segunda derivada es:

23 x12)x(''fax4)x('f =+= que siempre es positiva, por lo que el punto

de abscisa 1x = es un mínimo


Dada la función 32 x

3

1x

2

1)x(f −= , calcular:

a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento

b) Los máximos y mínimos relativos

c) Los puntos de corte con los ejes

SOLUCIÓN:


11

11

a) Al ser 32 x

3

1x

2

1)x(f −= función polinómica, no tiene puntos de discontinuidad.

Posibles extremos:

==

=−=−=′

−=

1x

0x

0)x1(x0xx0x3

1x

2

10)x('f

2

1

232


12

12

Veamos los signos de )x('f :

∞− 0 1 ∞+

x - + +

1x − - - +

'f + - +

f

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento son:

( )0,∞− La función crece

( )1,0 la función decrece

( )∞+,1 la función crece

b) x21)x(''f −=

Como 1x y 1x 2 = anula la primera derivada, son posibles extremos. Veamos el signo

de la segunda derivada en cada punto:

mínimo001)0(''f >−=

La ordenada es 0)0(f = . Por tanto, ( )0,0 es un mínimo

máximo021)1(''f <−=

La ordenada es 6

1

3

1

2

1)1(f =−= . Así pues,

6

1,1 es un máximo

c) Para determinar los puntos de corte con OX, resolvemos la ecuación

2

3x0x

3

1

2

1

0x0x

0x3

1

2

1x0x

3

1x

2

10)x(f

31

21

2

232

===−

==

=

−=−=

Hay dos puntos de corte con OX: ( )0,0 y

0,2

3

Por ser f(x) una función, si corta al eje OY , solamente lo puede hacer en un punto, y

este es ( )0,0


13

13


a)Sea la función bxax)x(f 3 += , calcular los valores de a y b para que la gráfica

de la función pase por el punto (1,1) y que en este punto la pendiente de la recta tangente vale -3.

b) Si en la función anterior a=1 y b=-12, determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus puntos extremos.

SOLUCIÓN:

a) Si pasa por (1,1):

1ba1)1(f =+=

Si la pendiente de la recta tangente a la función en el punto (1,1) vale -3:

3ba33)1(fbax3)x(f 2 −=+−=′+=′

Resolviendo el sistema:

−=+=+

3ba3

1ba

Restando: 2a4a2 −=−=

sustituyendo en la 1ª:

( ) 321b =−−=

b) x12x)x(f 3 −=

Es función polinómica, por lo que es continua en toda la recta y no tiene puntos de discontinuidad.

12x3)x(f 2 −=′

24x012x30)x(f 2 ±=±==−=′

x6)x(f =′′

026)2(f >⋅=′′ mínimo.

162482122)2(f 3 −=−=⋅−=

( ) 026)2(f <−⋅=−′′ máximo.

( ) ( ) 162482122)2(f 3 =+−=−⋅−−=−

Así pues, )16,2(A − es un mínimo y )16,2(B − es un máximo relativos.

Obviamente:

)2,( −−∞ la función es creciente

)2,2( − la función es decreciente

),2( +∞ la función es creciente

- OPTIMIZACIÓN


Las funciones 17+0,5= tt- (t) I 2 y 32+ −0,5= t t C(t) 2

con

18≤≤ t 0 , representan, respectivamente, los ingresos y los costes de una empresa


14

14

en miles de euros en función de los años trascurridos desde su comienzo y en los últimos 18 años.

a) ¿Para qué valores de t , desde su inicio, los ingresos coincidieron con los costes?

b) Hallar la función que expresa los beneficios (ingresos menos costes) en función de t y representarla gráficamente.

c) ¿Cuántos años después del comienzo de su actividad la empresa alcanzó el beneficio máximo? Calcular el valor de dicho beneficio.

SOLUCIÓN:

a) Igualando ambas funciones:

2

4118

2

19618

2

128-32418t032t8t

032t8t- t t tt- C(t) (t) I

2

222

±=±=±==+1−

=−1+32+ −0,5=17+0,5=

22

4

2

1418t

162

32

2

1418t

2

1

==−=

==+=

A los 2 años y a los 16 años desde su inicio, coincidieron los ingresos y costes.

b) 32t8t- C(t)- (t) IB(t) 2 −1+==

Es una función cuadrática (parábola) cuyo coeficiente principal es -1 (ramas hacia abajo) y que tiene un máximo en su vértice:

494

196

4-

128-324

a4

ac4b

a4y

92

18

a2

bx

2

0

0

==−=−−=∆−=

=−

−=−=

c) 8t-2(t)B' 1+= .

9t08t-2(t)B' ==1+=

0-2(t)'B' <=


15

15

Como cabía esperar, la función tiene un máximo en el punto )49,9(M

Por tanto, a los 9 años se alcanzó el máximo beneficio que ascendió a 49000 euros.


Se sabe que la expresión que representa el número de personas N(t) que acude un día a un centro médico, en función del número de horas t que lleva abierto, es

bt at N(t) 2 += , con 8t0 ≤≤ y ℜ∈b,a . Sabiendo que el número máximo de personas que ha habido ese día ha sido de 128, y que se ha producido a las 4 horas de abrir, calcule a y b .

SOLUCIÓN:

El número máximo de personas que ha habido ese día ha sido de 128:

0b 2atb 2at (t)N'bt at N(t) 2 =++=+=

Para t=4 hay un máximo, es decir, la primera derivada debe anularse:

0b8a0b 42a0 (4)N' =+=+⋅=

Por otro lado, si el máximo vale 128:

32ba4

128b4a164b 4a N(4) 281 N(4) 2

=+=+⋅+⋅==

Resolviendo el sistema:

=+=+

32ba4

0b8a restando ambas ecuaciones:

8a32a4 −=−=

Sustituyendo en la 1ª:

64ba8b0b8a =−==+

la función es 64t 8t- N(t) 2 +=


El coste de fabricación de un modelo de teléfono móvil viene dado por la función

325x10x)x(C 2 ++= , donde x representa el número de teléfonos móviles

fabricados. Supongamos que se venden todos los teléfonos fabricados y que cada teléfono se vende por 80 euros.

a) Determinar la función beneficio (definido como ingreso menos coste) que expresa el beneficio obtenido en función de x.

b)¿Cuántos teléfonos deben fabricarse para que el beneficio sea máximo?. ¿A cuánto asciende dicho beneficio máximo?

c) ¿Para qué valores de x se tienen pérdidas (beneficios negativos)?.

SOLUCIÓN:

a) La función de ingresos es x80)x(I = y en consecuencia, la función beneficio es

++−=−= )325x10x(x80)x(C)x(I)x(B 2

325x70x)x(B 2 −+−=

b) Para obtener los valores extremos derivamos e igualamos a cero:


16

16

352

70x070x20)x('B70x2)x('B ===+−=+−=

02)35(''B2)x(''B <−=−= , por lo que 35x = es máximo.

Deberá fabricarse 35 teléfonos para obtener el máximo beneficio.

b) Sustituyendo este valor en la función de beneficios:

( ) ( ) 900325-24501225325357035)35(B 2 =+−=−⋅+−= euros es el

beneficio máximo obtenido al fabricarse 35 teléfonos móviles.

c) Se tienen pérdidas donde la función beneficio sea negativa, es decir, calculando las regiones de existencia:

1º- Puntos de corte con OX:

652

130

2-

6070x

52

10

2-

6070x

2-

6070

2-

360070

2-

1300490070x

0325x70x0)x(B

2

1

2

=−

−=−−=

=−

−=+−=

±−=±−=−±−=

=−+−=

)65x()5x(325x70x)x(B 2 −⋅−−=−+−=

∞− 5 65 ∞+

)5x( −− + - -

)65x( − - - +

)x(B - + -

en definitiva, se tuvieron pérdidas en los intervalos ( )5,∞− y ),65( +∞ , que adaptados

a las condiciones del problema:

Ha habido pérdidas cuando se fabricaron menos de 5 móviles y más de 65.


El beneficio semanal (en miles de euros) que obtiene una fábrica por la producción

de aceite viene dado por la función 8x6x)x(B 2 −+−= donde "x" representa

los hectolitros de aceite producidos en una semana.

a) Representar la función )x(B con 0x ≥ .

b) Calcular los hectolitros de aceite que se debe producir cada semana para obtener el máximo beneficio. Calcular dicho beneficio máximo.

SOLUCIÓN:

a) La función 8x6x)x(B 2 −+−= es un polinomio de grado 2, cuya

representación gráfica es una parábola.

Vértice:


17

17

43236ca4b8c6b1a 2 =−=⋅⋅−=∆−==−=

( )1,3V14

4

a4y3

2

6

a2

bx 00 =

−−=∆−==

−−=−=

Puntos de corte con los ejes:

=−−

=−−

=−

±−=−

±−==−+−

42

8

22

4

2

26

2

46x08x6x 2

Para 8)0(B0x −==

Así pues, se trata de una parábola con vértice en ( )1,3V , que corta el eje OX en

las abscisas 4xy2x 21 == y al OY en la ordenada 8y 0 −= ; y con las ramas

hacia abajo por ser el coeficiente principal negativo:

b) Obviamente, sabiendo que es una parábola con las ramas hacia abajo, tiene un máximo y coincide con su vértice. Comprobemos con la derivada.

Para obtener los valores extremos derivamos e igualamos a cero:

32

6x06x20)x('B6x2)x('B ===+−=+−=

02)x(''B <−= , por lo que 3x = es máximo.

El beneficio máximo es 117188363)3(B 2 =−=−⋅+−=


18

18

Por tanto, produciendo 3 hectolitros de aceite a la semana se obtiene el máximo beneficio que asciende a 1000 euros

Mil euros es el beneficio semanal máximo.


El volumen de agua (en millones de litros) almacenado en un embalse a lo largo de un periodo de 11 años en función del tiempo t (en años) viene dado por la función

11t08000t180t24t)t(f 23 ≤≤++−=

Calcular:

a) La cantidad de agua almacenada en el último año ( 11 t = ).

b) El año del periodo en el que el volumen almacenado fue máximo.

c) El volumen máximo que tuvo el embalse a lo largo de ese periodo.

SOLUCIÓN:

a) =+⋅+⋅−= 800011180112411)11(f 23

8407800019802904-1331

12124-1331

800011180112411 23

=++=+⋅=

=+⋅+⋅−=

En el último año, había almacenados 8470 millones de litros.

b) Calculamos )t(f ′

( ) 180t48t38000t180t24t)t(f 223 +−=′++−=′

Resolvemos

( )

==

=±=±=−±=

=+−⋅=+−=′

10t

6t

2

416

2

1616

2

24025616t

060t16t30180t48t30)t(f

2

1

22

Calculamos )t(f ′′

( ) 48t6180t48t3)t(f 2 −=′+−=′′

b1) 01248364866)6(f)t(f 1 <−=−=−⋅=′′=′′

6t 1 = es un máximo

b1) 012486048106)10(f)t(f 2 >=−=−⋅=′′=′′

10t 2 = es un mínimo

En el 6º año se alcanzó el volumen máximo de agua embalsada.

c) En ese año, el volumen de agua embalsada, en millones de litros, fue:

843280001080864216

800010803624216800061806246)6(f 23

=++−==++⋅−=+⋅+⋅−=


19

19


Una empresa fabrica un determinado producto, que vende al precio unitario de 15€. La función de costes, que representa el coste (en unidades monetarias) en función del

número de unidades de producto, es 300x45x2)x(C 2 +−= , donde x es el

número de unidades del producto. Hallar el número de unidades que ha de vender para obtener el máximo beneficio, sabiendo que el beneficio es igual al ingreso total obtenido por la venta menos los costes. Calcular el beneficio máximo.

SOLUCIÓN:

Si fabrica x unidades a 15€/u, obtendrá unos ingresos de x15 €

La función de beneficios es:

300x60x2)x(Cx15)x(B 2 −+−=−=

Calculamos los extremos:

( ) 60x4300x60x2)x(B 2 +−=′−+−=′

Si 154

60x060x40)x(B ===+−=′

( ) 0460x4)x(B <−=′+−=′′ , por tanto, 15x = es un máximo

Si

=−⋅+⋅−== 3001560152)15(B15x 2

150300900450 =−+−= €

Deberá fabricar 15 unidades de producto para obtener un beneficio máximo de 150€


Dada la función bax)5x2(Lnx)x(f 3 +++⋅= , con a y b números reales.

Hallar a y b para que se cumpla 2)0(f = y 1)0('f =

SOLUCIÓN:

a5x2

2x)5x2(Lnx3)x('fbax)5x2(Lnx)x(f 323 +

+⋅++⋅=+++⋅=

bb0a)502(Ln0)0(f 3 =+⋅++⋅⋅=

Si 2b2)0(f ==

aa502

20)502(Ln03)0('f 32 =+

+⋅⋅++⋅⋅⋅=

Si 1a1)0('f ==


Una empresa, que vende un cierto artículo al precio unitario de 40 euros, tiene por

función de coste, 98x4x2)x(C 2 ++= , donde "x" es el número de unidades

producidas del artículo. Calcular el número de unidades que debe vender para que el beneficio de la empresa sea máximo.

Obtener el beneficio (ingresos menos los costes) máximo obtenido,


20

20

SOLUCIÓN:

Llamamos a la función de beneficios 98x36x2)x(Cx40)x(B 2 −+−=−=

36x4)x(B +−=′

9x036x40)x(B ==+−=′

4)x(B −=′′ que es función constante y negativa, por lo que 9x 0 = es un máximo

El beneficio máximo obtenido será:

649893692)9(B 2 =−⋅+⋅−= euros

Se deberá vender 9 artículos para obtener un beneficio máximo de 64€

- CÁLCULO INTEGRAL


a) Calcule la derivada de las funciones x2x2

e)x(f −= y )1x(Ln)x(g 7 +=

b) Calcule ⋅−−3

1

2 dx)1x3x(

SOLUCIÓN:

a) ( )2x2e)x('f x2x2

−⋅= −

6

7x7

1x

1)x('g ⋅

+=

b) =

−−=⋅−−

3

1

233

1

2 x2

x3

3

xdx)1x3x(

( ) ( ) =−−−−−=

−−−

−−=6

6921881541

2

3

3

13

2

27

3

27

( ) ( )3

16

6

32

6

1345 −=−=−−−=


Hallar las siguientes integrales indefinidas:

a) ( ) dx3x2x 5 ⋅+− b) ( ) dx5e2 x ⋅+

SOLUCIÓN:

a) ( ) Cx3x6

xCx3

2

x2

6

xdx3x2x 2

6265 ++−=++−=⋅+−

b) ( ) ( ) ( ) Cx5e2dx5dxe2dx5e2 xxx ++=⋅+⋅=⋅+


Hallar una primitiva )x(F de la función 2xx2x)x(f 23 −+−= que cumpla que

0)1(F =


21

21

SOLUCIÓN:

Basta con obtener la familia de primitivas que determina la integral indefinida, y localizar el valor de la constante para que se cumpla la condición:

( ) Cx22

x

3

x2

4

xdx2xx2xdx)x(f

23423 +−+−=−+−=

Ahora bien, si 0C122

1

3

12

4

10)1(F

234

=+⋅−+⋅−=

es decir, −+−==+−+−2

1

3

2

4

12C0C2

2

1

3

2

4

1

12

23

12

68324

12

6

12

8

12

3

12

24C =−+−=−+−=

La primitiva buscada es 12

23x2

2

x

3

x2

4

x)x(F

234

+−+−=


Dadas las funciones 1x2x)x(f 3 +−= y xe)x(g = cuyas gráficas aparecen en

la siguiente figura

Halla el área encerrada por las dos gráficas y las rectas -1x = y 0x =

Solución:


22

22

La región sombreada es la que debemos medir.

Como en esta región, la función )x(f está por encima de )x(g ,

( ) ( )

( )

2

111

10

0

1

x24

0

1

x30

1

ue4

4e3

e

1

4

3

e14

1e2

4

11e2

4

11

e114

1e0exx

4

x

dxe1x2xdx)x(g)x(fA

+=+=

=++−=++−−=

−−−−=

=

−−−−−=

−+−=

=−+−=−=

−−−

−

−

−−


Calcular las siguientes integrales:

a) ( ) dx1x3x2

1

2 ⋅++−

b) dx2x

2 ⋅+

SOLUCIÓN:

a) ( ) =

++−=⋅++−

2

1

232

1

2 x2

x3

3

xdx1x3x

=

+⋅+−−

+⋅+−= 1

2

13

3

12

2

23

3

2 2323

6

19

6

94214

2

37

3

71

2

3

3

126

3

8 =−+−=−+−=

++−−

++−=

b) C2xLn2dx2x

2 ++⋅=⋅+


Calcular las siguientes integrales:

a) ( ) ⋅−+−2

1

3 dx2x3x

b) dx1x

x33

2

⋅+

c) ⋅ dxe2 x2

SOLUCIÓN:


23

23

a)

( ) =

−+−=⋅−+−

2

1

242

1

3 x22

x3

4

xdx2x3x

=

⋅−+−−

⋅−+−= 122

13

4

122

2

43

4

16

( )4

52

4

522

4

6

4

1464 −=+−−=

−+−−−+−=

b) dx1x

x33

2

⋅+ ; esta es inmediata del tipo logaritmo neperiano:

C1xLndx1x

x3 3

3

2

++=⋅+

c) ⋅ dxe2 x2; también es inmediata del tipo exponencial:

Cedxe2 x2x2 +=⋅


Hallar el valor del parámetro "a" para que se cumpla

( ) a2dx10x9ax1

0

23 =⋅+−

SOLUCIÓN:

( )

( ) 74

a0103

4

a

x10x34

axx10

3

x9

4

axdx10x9ax

1

0

341

0

341

0

23

+=−

+−=

=

+−=

+−=⋅+−

Si se ha de cumplir que 4a28a7a828aa274

a ===+=+


Dada la función

>+≤≤−

<+=

3xsibx

3x1si2x

1xsiax

)x(f 2

a) Determinar a y b para que la función sea continua en todo R

b) Hallar ⋅3

1

dx)x(f

SOLUCIÓN:

a) Los tres trozos son funciones polinómicas que son continuas en todos sus intervalos

de definición, por lo que solo queda establecer la continuidad en 1x0 = y 3x1 =


24

24

Continuidad en 1x0 =

a1) )f(Dom1x 0 ∈= pues está en el dominio del segundo trozo

a2) 2a21a1)x(fLim)x(fLim1x1x

−=−=+=+− →→

Continuidad en 3x1 =

a1) )f(Dom3x 1 ∈= pues está en el dominio del segundo trozo

a2) 4bb329)x(fLim)x(fLim3x3x

=+=−=+− →→

b) ( ) =

−=⋅−=⋅

3

1

33

1

23

1

x23

xdx2xdx)x(f

3

14

3

152

3

16

3

27 =−=

−−

−=

- CÁLCULO DE ÁREAS


Dadas las parábolas 12−+= x2x2 (x) f 2y 6+− −= 2 xx g(x) cuyas

gráficas se presentan a continuación, hallar el área de recinto acotado encerrado entre ambas.

SOLUCIÓN:

Formamos la función diferencia, que a partir de la gráfica, es conveniente restar:

18x3x3

)x2x2()xx( f(x)-g(x)h(x)2

2

+−−=

=12−+− 6+− −== 2

Puntos de corte con OX:

2

51

2

2411x

06xx018x3x30h(x) 22

±=+±=

=+−−=+−−=

22

51x

32

51x

2

1

−=−=

=+=

La superficie buscada es:

=

+−−⋅=⋅+−−⋅=⋅+−−=

−−−

3

2

233

2

23

2

2 x62

x

3

x3dx)6xx(3dx)18x3x3(A

=

−+−−−−−

⋅+−−⋅= )2(6

2

)2(

3

)2(36

2

3

3

33

2323


25

25

=

−−−

+−−⋅= 122

4

3

818

2

9

3

273

=

−−

+−⋅=

−−−

+−−⋅= 143

89

2

93122

3

818

2

993

=

+−⋅=

+−−⋅=

+−+−⋅=6

138

6

34323

6

1618314

3

89

2

93

2u522

104

6

341383 ==−⋅=


La siguiente gráfica corresponde a la función ax4x)x(f 2 ++= , siendo a un

número real. Calcular a para que el área encerrada por la gráfica, el eje OX y las rectas 0x = y 3x = sea 57.

SOLUCIÓN:

Como la función está por encima del eje OX, basta con integrar entre 0 y 3:

( )

a327a3189a32

94

3

27

a02

04

3

0a3

2

34

3

3

ax2

x4

3

xdxax4x

2323

3

0

233

0

2

+=++=

+⋅+=

=

⋅+⋅+−

+⋅+=

=

++=++

Como el área tiene que ser 57: 103

2757a57a327 =−==+

Por tanto, 10x4x)x(f 2 ++=


26

26


Dadas las funciones 2e)x(f x += y 3x)x(g += , cuyas gráficas están

representadas en la siguiente figura, hallar el área comprendida entre las dos curvas y las rectas 0x = y 2x = .

SOLUCIÓN:

El recinto está limitado por arriba por la función f(x) y por abajo por g(x).

Llamemos 1xe3x2e)x(g)x(f)x(h xx −−=−−+=−=

El área del recinto es:


27

27

( )

( ) ( ) ( ) 22202

2

0

2x

2

0

x

u3e113e12

0e1

2

4e

12

xedx1xeA

−=−−−=

−−−

−−=

=

−−=⋅−−=


Se considera la función definida por:

≥++−<+

=0xsi3x2x

0xsi3x)x(f 2

a) Representar gráficamente la función )x(f

b) Calcular el área del recinto acotado limitado por la gráfica de f y el eje OX.

SOLUCIÓN:

a) Llamaremos 3x)x(f 1 += y 3x2x)x(f 22 ++−= los dos trozos que

forman la función.

Primer trozo

)x(f 1 es una función lineal, definida en el intervalo ( )0,∞− y continua en ( )0,∞− .

Tiene pendiente 1m = ( es creciente) y ordenada en el origen 3n =

Corta a OX en:

3x03x0)x(f 1 −==+=

Segundo trozo

)x(f 2 es una función cuadrática, definida en el intervalo [ )+∞,0 y continua en ( )+∞,0 .

vértice:

12

2

a2

bx 0 =

−−=−=

161243)1(44ac4b2 =+=⋅−⋅−=−=∆

24

16

a4y 0 =

−−=∆−=


28

28

El vértice está en el punto )4,1(V

Además, las ramas de la parábola van hacia abajo por ser 01a <−=

Los puntos de corte con OX son:

[ )

32

6

2

42

,012

2

2

42

x

2

42

2

162x03x2x0)x(f 2

2

=−−=

−−−

+∞∉−=−

=−

+−

=

−

±−=−±−==++−=

Solamente queda ver si es continua la función f(x) en el punto de salto entre ambos

trozos, 0x 1 = :

- La función está definida en el 0, pues el segundo trozo está definido en dicha

abscisa. Además 3)0(fy 21 ==

3)3x(Lim)x(fLim)x(fLim0x

10x0x

=+==−−− →→→

3)3x2x(Lim)x(fLim)x(fLim 2

0x2

0x0x=++−==

+++ →→→

Existe límite en 0x 1 = y vale 3)x(fLim0x

=→

Como el valor del límite coincide con el valor de la función en el punto, concluimos

que la función es continua en 0x 1 = y por tanto en toda la recta real.

juntando ambos trozos:


29

29

b) El recinto que pide queda dividido por ambos trozos:

Por lo tanto, el área será:

=⋅+⋅=+= −

3

0

2

0

3

121 dx)x(fdx)x(fAAA

( ) ( ) =⋅++−+⋅+= −

3

0

20

3

dx3x2xdx3x

=

++−+

+=

−

3

0

230

3

2

x32

x2

3

xx3

2

x

( ) ( ) =

−

⋅+⋅+−+

−+−−= 033

2

32

3

3)3(3

2

)3(0

232

( ) =++−+

−−=

++−+

−−= 99992

99

2

18

3

279

2

9

2u2

27

2

936

2

918 =−=−=


La siguiente gráfica corresponde a la función axx)x(f 2 ++−= donde ℜ∈a .


30

30

Sabiendo que el área encerrada por el recinto acotado que limita la curva con el eje

OX vale 2

9, utilizar esta información para hallar el valor del parámetro a .

( ) =

++−=⋅++−=⋅=

−−−

2

1

232

1

22

1

ax2

x

3

xdxaxxdx)x(f

2

9

SOLUCIÓN:

6

a1896

a632a121216

6

a6

6

3

6

2

6

a12

6

12

6

16

a2

1

3

1a2

2

4

3

8

a2

1

3

1a2

2

2

3

2 23

+−=

=+−−++−=+−−++−=

=

−+−

++−=

=

−+−−−

++−=

236

72

36

1854aa361854

6

a189

2

9 ==+=+−=+−=


Hallar el área del recinto acotado limitado por la gráfica de la función

3x2x)x(f 2 −+= , la recta 1- x y = y las rectas 1 x = y 2 x = . Hacer una

representación gráfica aproximada de dicha área.

SOLUCIÓN:

Representación gráfica:

La función )x(f representa una parábola (polinomio de grado 2) con las ramas hacia

arriba.

El vértice está en:

12

2x 0 −=−=

16)3(1422 =−⋅⋅−=∆

44

16y 0 −=−=

)4,1(V −−

La parábola corta a OX en:

=−=

=±−=±−==−+1x

3x

2

42

2

162x03x2x

2

12


31

31

La recta 1- x y = corta al eje OY en el punto )1,0(P − y tiene por pendiente

1

11m ==

Las rectas 1 x = y 2 x = son verticales que cortan a OX en el 1 y en el 2 respectivamente:

El recinto en cuestión es el delimitado por el fondo rojo.

Construimos la función diferencia:

( ) ( ) 2xx1x3x2x)x(g)x(f)x(h 22 −+=−−−+=−=

Puntos de corte con OX:

−

=±−=+±−==−+=1

2

2

31

2

811x02xx0)x(h 2

Entre las rectas 1 x = y 2 x = solamente está el punto de abscisa 1:

El área solicitada es:

( )

2

2323

2

1

232

1

22

1

u6

11

6

129142

2

3

3

72

2

1

3

14

2

4

3

8

122

1

3

122

2

2

3

2

x22

x

3

xdx2xxdx)x(hA

=−+=−+=

−+−

−+=

=

⋅−+−

⋅−+=

=

−+=⋅−+=⋅=


32

32


Hallar el área del recinto acotado limitado por la gráfica de la función

2xxy 2 −−= , el eje OX y las rectas 2x −= y 2x = . Hacer la representación

gráfica de dicha área.

SOLUCIÓN:

La función 2xxy 2 −−= es una parábola con las ramas hacia arriba y coeficiente

principal 1a =

Vértice:

2

1

2

1

a2

bx0 =−−=−=

( ) 9812141ca4b2 =+=−⋅⋅−=⋅⋅−=∆

4

9

a4y0 −=∆−=

Con esto, el vértice de la parábola está en

−4

9,

2

1V

Puntos de corte con los ejes:

=∆±−==−−=a2

bx02xx0y 2

−=−

==±=±−−=

12

2

22

4

2

31

2

9)1(

Para 0y2x == ,es punto de corte )0,2(P

Para 42)2()2(y2x 2 =−−−−== , )4,2(A −

Entre las rectas 2x −= y 2x = se encuentra el punto de corte )0,1(Q −

La representación gráfica:

Como el recinto encerrado por las abscisas -1 y 2 está bajo el eje OX, saldrá negativo:


33

33

( ) ( ) =⋅−−−⋅−−=⋅−⋅= −

− −

−

− −

1

2

2

1

221

2

2

1

dx2xxdx2xxdxydxyS

=

−−−

−−=

−

−

−

2

1

231

2

23

x22

x

3

xx2

2

x

3

x

=

+−−−

−−−

+−−−

+−−= 22

1

3

14

2

4

3

84

2

4

3

82

2

1

3

1

=

−−++−++−

−++−++−= )24(2

14

3

1842

2

41

3

81

=

−−+−

−+= 62

3

3

92

2

3

3

7

3

19

6

38

6

27

6

11

6

36918

6

12914==

−−=

−−−

−+= u2


Dadas las funciones xe)x(f = y 1x2x)x(g 3 +−= , cuyas gráficas aparecen en

la siguiente figura:

Hallar el área del recinto acotado limitado por las dos gráficas y las rectas 1x −= y

0x = .

SOLUCIÓN:

La gráfica de las funciones, las dos rectas y el recinto acotado es:

Como no hay más puntos de corte entre ambas funciones, entre las dos rectas:


34

34

( ) ( ) =

−+−=⋅−+−=⋅−=

−−−

0

1

x240

1

x30

1

exx4

xdxe1x2xdx)x(f)x(gS

( ) 1110 e4

3e2

4

11e11

4

1e −−− +=++−−=

−−−−−= u2


Representar gráficamente el recinto del plano limitado por la recta 2x-6y = y la

parábola 32x-xy 2 ++= . Calcular su área.

SOLUCIÓN:

La recta: 2x-6y = tiene de pendiente 1

22m −=−= decreciente y pasa por

)6,0(

La parábola 32x-xy 2 ++=

161243)1(422 =+=⋅−⋅−=∆

El vértice está en ( )4,14

16,

2

2

a4,

a2

bV =

−−

−−=

∆−−

Además, como tiene coeficiente principal negativo, las ramas van hacia abajo:

El recinto a determinar el área es:

Puntos de contacto:


35

35

=−+=++ 034x-x 2x-632xx- 22

1

3

2-

24-

2-

12-164-x =±=±=

Sabiendo que la parábola se encuentra sobre la recta en el intervalo )3,1( , el área

será:

( ) ( )[ ] ( ) =⋅−+−=⋅−−++−= 3

1

23

1

2 dx3x4xdxx263x2xA

=

⋅−+−−

⋅−+−=

−+−= 13

2

14

3

133

2

34

3

3x3

2

x4

3

x 23233

1

23

( ) =

−+−−−+−=

−+−−

−+−= 323

191893

2

4

3

19

2

36

3

27

2u3

41

3

10 =

−−−=


Representar gráficamente la región limitada por las funciones 2x9)x(f −= y

9x)x(g 2 −= . Calcular su área.

SOLUCIÓN:

a) La función 2x9)x(f −= es una parábola con ramas hacia abajo, coeficiente

principal -1 y vértice en:

)9,0(V9)0(f)x(fy02

0x ffff ====

−−=

La función 9x)x(g 2 −= es una parábola con ramas hacia arriba, coeficiente

principal +1 y vértice en:

)9,0(V9)0(g)x(gy02

0x gggg −−====−=

Los puntos de contacto son:

39x09x018x29xx9)x(g)x(f 2222 ±=±==−=−−=−=

Y obviamente, 0)3(g)3(f ==

Los puntos de contacto son ( ) )0,3(y0,3 − , y la representación gráfica es:


36

36

b) Con la representación gráfica, restando en el orden oportuno:

( ) ( ) =⋅+−=⋅−= −−

3

3

23

3

dx18x2dx)x(g)x(fA

( ) ( ) 2

3

3

3

u1827182718x183

x2 =−−+−=

+−=

−


Dada la función 1xe2)x(f +⋅= ,

a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la función en el punto x=1.

b) Calcula el área de la región del plano limitado por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas x=0 y x=1

SOLUCIÓN:

a) Ordenada del punto:

Si ( ) ( ) 211000 e2e21fxfy1x ⋅=⋅==== +

. El punto es

( )20 e2,1P

Pendiente de la recta tangente:

( ) ( ) ( ) 2110

1x1x e2e21fxfme2e2)x(f ⋅=⋅=′=′=⋅=′⋅=′ +++

Recta tangente a la función en 0P :

( ) ( ) 22200 xe2y1xe2e2yxxmyy =−⋅=−−⋅=−

b) La función, por ser exponencial de base "e" y coeficiente principal positivo, está por encima del eje de abscisas, por lo que es siempre positiva:

( ) ( ) [ ] =⋅=⋅⋅=⋅⋅= +++

1

01x

1

0

1x1

0

1x e2dxe2dxe2A

( ) ( ) ( )1ee2ee2ee2 21011 −⋅=−⋅=−⋅= ++u2

indice: análisismatematicas.educacia.com/docs/ejercicio/e1582403124.pdfanÁlisis. pau y ebau....

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