indice energía potencial 14.114.1 introducción
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POTENCIAL ELÁSTICO DE BARRAS. MÉTODOS ENERGÉTICOS
mecánica de medios continuos y teoría de estructuras
Elasticidad y resistencia de materiales. Curso 2010/2011
Energía potencialen la barra prismática.
Potencial elástico.
Métodos energéticos.
INDICEINDICEINDICEINDICE
14.114.114.114.1 Introducción.
14.214.214.214.2 Trabajo producido por las Fuerzas
Externas.
14.314.314.314.3 Potencial Elástico y Energía Potencial.
14.414.414.414.4 Teorema de Reciprocidad.
14.514.514.514.5 Principio de los Trabajos Virtuales.
POTENCIAL ELÁSTICO DE BARRAS. MÉTODOS ENERGÉTICOS
mecánica de medios continuos y teoría de estructuras
Elasticidad y resistencia de materiales. Curso 2010/2011
El trabajo se obtiene, matemáticamente, de integrar la fuerza por el desplazamiento. O sea que es el área del triángulo que determina la recta que relaciona el desplazamiento con fuerza aplicada al sólido. De ahí el ½ de la fórmula escrita encima del gráfico, arriba a la derecha. Su desarrollo para un volúmen determinado de sólido es
esta expresión llamada potencial Interno.
Lo que se puede discutir aquí es que la recta del gráfico suele ser curva (se ha visto al principio del capítulo), pero la
simplificación es admisibe. Fin de la discusión.
Al aplicar un sistema de fuerzas exteriores a un sólido se produce un determinado campo de desplazamientos.
Dicho de otro modo, cuando cargamos la barra en el ensayo de
tracción ésta se estira. Esto no es discutible.
Esas fuerzas externas aplicadas sobre el sólido generan un TRABAJO. (Recuérdese que trabajo es Fuerza por Distancia.)
Esto tampoco es discutible.
Para que se mantenga el equilibrio interno del sólido, las fuerzas internas (aquellas de cohesión intermolecular) han de realizar el
mismo TRABAJO.
Esto se puede discutir, pero es perder el tiempo.
Ese trabajo se convierte en calor, energía cinética y energía potencial
Esto, como tiene que ver con la termodinámica, sí que da para discutir un buen rato...
En cualquier caso, lo que a nosotros nos importa es que esa energía que le hemos aplicado al material y que él
“almacena” para mantener su equilibrio interno, es la que el material va a utilizar para recuperar la posición cuando cese
el efecto de la fuerza. Esa energía, sea la que sea, es la que lo convierte en un sólido elástico y es la que el material
“devuelve” cuando recorre la gráfica de tensión/deformación en sentido inverso.
De todos modos, si se cumple el principio de “aplicación lenta de las cargas”, la generación de calor es despreciable, lo mismo que la energía cinética, con lo que todo el trabajo es energía potencial, de ahí el nombre “potencial interno”.
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W = F·δrr
Fr
δr
Fδ
TRABAJO DE UNA FUERZACarga
Desplazamiento
Fδ
δ
W
Carga
Desplazamiento
Fδ
W
PARA RELACIÓN LINEAL
1W = F
2 δ δ
δ
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CASO MÁS GENERAL
i i L S vi L S V
1W = F· + F · d L+ F · dS+ F · dV
2δ δ δ δ
∑ ∫ ∫ ∫
r r r rr r r r
Cargaspuntuales
Cargaslineales
Cargassuperficiales
Cargasvolumétricas
( )ij ij xx xx yy yy zz zz xy xy xz xz yz yz
1 1U =
2 2σ ε σ ε σ ε σ ε σ γ σ γ σ γ= + + + + +
ENERGÍA UNITARIA DE DEFORMACIÓN
p ij ij
V V
1E UdV = dV
2σ ε= ∫ ∫ ENERGÍA POTENCIAL
Integrando en el volumen
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Axil Flexión Torsión (C)
---
---
---
---
z
z
My
I
ENERGÍA POTENCIAL DE LA BARRA PRISMÁTICA
x
p
Tr
I
y
y
Mz
I
z y
y
V S (z)
b(z) I
N
A
y z
z
V S (y)
b(y) I
iiσ
i jσ
z
z
My
E I
x
p
Tr
G I
y
y
Mz
E I
z y
y
V S (z)
G b(z) I
N
A E
y z
z
V S (y)
G b(y) I
iiε
i jγ
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DOBLE DE la Energía Potencial (de deformación)
Axil
Flector
Cortante
Torsión (C)
ENERGÍA POTENCIAL DE LA BARRA PRISMÁTICA
L L 2
xx xx
V 0 0
N N NdV = dAdx = dx
A AE AEA
σ ε∫ ∫ ∫ ∫
L L L2 22z z z z
xx xx 2z z z zV 0 0 0 0
M M M MdV y ydAdx = dx y dA = dx
I EI EI EIA
σ ε =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
22y z y z z
i j i j 2z z0 0
V S (y) V S (y) V S (y)
b(y) I G b(y) I GI b(y)
L Ly
zV A A
dV dAdx dx dAσ γ = =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2 22x x x x
i j i j 2p p p p0 0 0
T T T Tr r dx dx
I G I G I G I
L L L
V A A
dV dAdx r dAσ γ = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
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El teorema de reciprocidad
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AAδr
BAδr
B
AABδr
BBδr
B
A
Afr
Bfr
Sea un dominio elástico sobreel que actúan
dos sistemas de carga
Sin pérdida de generalidadpueden ser representadospor sendas cargas en A y B
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ABδr
AAδr
BAδr
BBδr
Bδr
Aδr
B
A
Afr
Bfr
Si ambos sistemas de cargaactuasen simultanealmente
el desplazamientode cada punto
puede descomponerseen dos componentes:
cada una debida a una carga
“el trabajo correspondiente a las fuerzas del estado ‘a’
para los desplazamientos del estado ‘b’ es igual al trabajo producido por las fuerzas del estado
‘b’ sobre los desplazamientos del
estado ‘a’”, siendo éste último un trabajo virtual
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Sea que aplicamosprimero la carga en A
y después en B1
2
1
1·
2 A AAW f δ=r r
2
1· ·
2 B BB A ABW f fδ δ= +r r r r
1 1· · ·
2 2I
A AA B BB A ABW f f fδ δ δ= + +r r r r r r
AAδr
BAδr
B
A
Afr
ABδr
AAδr
BAδr
BBδr
Bδr
Aδr
B
A
Afr
Bfr
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1 1· · ·
2 2II
A AA B BB B BAW f f fδ δ δ= + +r r r r r r
Si cargamos en orden inversoprimero en B y después en A1
2
1
1·
2 B BBW f δ=r r
2
1· ·
2 A AA B BAW f fδ δ= +r r r r
ABδr
AAδr
BAδr
BBδr
Bδr
Aδr
B
A
Afr
Bfr
ABδr
BBδr
B
A
Bfr
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I IIW W=
1 1· · ·
2 2I
A AA B BB A ABW f f fδ δ δ= + +r r r r r r
1 1· · ·
2 2II
A AA B BB B BAW f f fδ δ δ= + +r r r r r r
· ·A AB B BAf fδ δ=r r r r
TEOREMA DERECIPROCIDAD
En ausencia de fenómenos disipativostodo el trabajo se convierte en energía potencial
I IIW W=
· ·A AB B BAf fδ δ=r r r r
TEOREMA DERECIPROCIDAD*
ABδr
BBδr
B
A
Bfr
AAδr
BAδr
B
A
Afr
AAδr
BAδr
B
A
Afr
*en ocasiones se enuncia como TEOREMA DE RECIPROCIDAD DE LOS DESPLAZAMIENTOS, considerando las fuerzas como puntuales y del mismo valor.
W virtual
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El Principio deCastigliano
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“el desplazamiento generalizado de cualquier punto de un sólido según una dirección puede determinarse como
la derivada parcial de la energía potencial total del sólido según la fuerza generalizada que actúa en el
punto citado y según la dirección indicada”
n
Pn F
E
∂∂=δ
la energía de deformación de un cuerpo elástico depende solamente de los valores finales de las fuerzas externas, no del orden de su aplicación
Pnnnn
PP EdFdF
F
EE +=
∂∂+ δ·
*determinación de desplazamientos e incógnitas hiperestáticas*
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obtener un desplazamiento es sencillo; no hay más que resolver la extresion anterior derivando (la fuerza respecto al desplazamiento):
Por otra parte, si en la expresión de la energía de un sistema de N barras se desprecia el cortante:
y, derivando respecto a la carga puntual P:
expresión que puede escribirse como una combinación lineal de cargas exteriores
(con ):
y en la que se an notado con * los esfuerzos del ‘estado virtual’
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El Principio delos Trabajos Virtuales
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qx(x)
qy(x)
“la condición necesaria y suficiente para que un sistema esté en equilibrio es que el trabajo producido por las fuerzas externas sobre cualquier campo de desplazamientos virtual compatible con las condiciones de contorno (We) sea igual al trabajo producido por los esfuerzos sobre unas deformaciones que van
a ser compatibles con el campo de desplazamientos anterior (Wi)”
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x x+dx
qx(x)
qy(x)
Vy(x+dx)
Vy(x) Mz(x+dx)Mz(x)
Nx(x+dx)Nx(x)
A continuación se considerarán las relaciones que, para cada tipo de solicitación, se han establecido entre fuerzas externasfuerzas externas y esfuerzos internosesfuerzos internos
de la sección.
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qx(x)
qy(x)
Vy(x+dx)
Mz(x+dx)Vy(x)Mz(x)
xF 0=∑
x
dN(x)= -q (x)
dx
y zF M 0=∑y
y
d V (x)= -q (x)
dxz
y
d M (x)= V (x)
dx
zM 0=∑
Nx(x+dx)Nx(x)
Establecidas, para cada esfuerzo, las relaciones entre fuerzas externas y esfuerzos, se hará uso del teorema de reciprocidad.(fuerzas reales x desplazamientos virtuales = fuerzas virtuales x
desplazamientos reales)
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xF 0=∑
x
dN(x)= -q (x)
dx
Integrandopor partes**
qx(x)
Nx(x+dx)Nx(x) ∫∫ −=LL
dxxxqdxxdx
xdN
0
**
0
* )()·()(·)( δδ
] dxdx
xdxNxNxdx
dx
xdN LL
L
∫∫ −=0
*
00
* )()()(*·)()(
)( δδδ
… y haciendo estos cambios de variables
)()(
)(*
uddxdx
xux
vNdvdx
dN
=⇒=
=⇒=
δδ
… considerando la ley de hooke, la definición de deformación y la expresión de la tensión en función del esfuerzo axil: A
Nx
dx
xd
E
xx
***
*** )(;
)(;
)()( === σεδσε
xF (L)
xF (0)
∫∑∫ =+L
ii
L
o
dLEA
NNxxFdxxxq
0
** ·
)()·()()( δδ
TRABAJO VIRTUALEXTERNO
TRABAJO VIRTUALINTERNO
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]L L
L
00 0
dN(x) d (x)(x)dx = N(x) (x) N(x) dx
dx dx
ff f −∫ ∫
xF 0=∑
x
dN(x)= -q (x)
dx
**Integración genérica
por partes
L L
0 0
dN(x) N(x) N(x)u(x)dx = N(L) u(L) N(0) u(0) dx
dx EA− −∫ ∫
L L
x
0 0
N(x) N(x)q (x) u(x)dx + F(L) u(L) + F(0) u(0) = dx
EA∫ ∫
xF (L)
L L
x
0 0
dN(x)(x)dx = - q (x) (x)dx
dxf f∫ ∫
A
(x)f
xF (0)
qx(x)
Nx(x+dx)Nx(x)
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Y, EN GENERAL
L L I III II I II I IIx
0 0
N (x) N (x)q (x)u (x)dx + F (L)u (L) + F (0)u (0) = dx
EA∫ ∫
Con la única condiciónde que uno de los estados sea un estado en equilibrio
y el otro un estado compatible
∫∑∫ =+L
ii
L
o
dLEA
NNxxFdxxxq
0
** ·
)()·()()( δδ
TRABAJO VIRTUALEXTERNO
TRABAJO VIRTUALINTERNO
= Principio de reciprocidad
)0()·0()()·()()·( **
0
* uFLuLFdxxuxqL
++∫
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y zF M 0=∑y
y
d V (x)= -q (x)
dx
zy
d M (x)= V (x)
dx
zM 0=∑
qy(x)
Vy(x+dx)Mz(x+dx)
Vy(x)
Mz(x)
A continuación se desarrolla el mismo proceso (relaciones entre fuerzas externas y esfuerzos internos) para el caso de la
existencia de Momento Flector. Por simplicidad se considera que la sección es simétrica y se analiza sólo el caso de Mz. El
planteamiento es análogo para My.
La relación esfuerzo – fuerza, es:
yz q
dx
Md −=2
2
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y zF M 0=∑y
y
d V (x)= -q (x)
dx
L Ly
y
0 0
d V (x)(x)dx = - q (x) (x)dx
dxf f∫ ∫
A
(x)f
Integrando por partes
L LLy
y y00 0
d V (x) d (x)(x)dx = V (x) (x) V (x) dx
dx dx
ff f −∫ ∫
Integrando por partes
L Lz
y
0 0
d (x) d M (x) d (x)V (x) dx dx
dx dx dx
f f=∫ ∫ zy
d M (x)= V (x)
dx
qy(x)
Vy(x+dx)Mz(x+dx)
Vy(x)
Mz(x)
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LL L 2z
z z 200 0
d M (x) d (x) d (x) d (x)dx M (x) M (x) dx
dx dx dx dx
f f f= −∫ ∫
Integrando por partes
L Ly
y
0 0
d V (x)(x)dx = - q (x) (x)dx
dxf f∫ ∫
Finalmente la expresión inicial
LL L 2L
y y z z 2000 0
d (x) d (x)- q (x) (x)dx = V (x) (x) M (x) M (x) dx
dx dx
f ff f − +
∫ ∫
queda como
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Si tomamos como función f(x)el campo de desplazamientos transversales compatible
con las deformaciones producidas por un flector/cortane CUALQUIERA
(x) y (x)xf = z
d (x)(x)
dx
f θ=2
z2
z
d (x) M
dx EI
f =
LL L 2L
y y z z 2000 0
d (x) d (x)- q (x) (x)dx = V (x) (x) M (x) M (x) dx
dx dx
f ff f − +
∫ ∫
Lz z
z
0
M (x) M (x)M (0) (0) dxz
zEIθ+ + ∫
L
y y y z
0
- q (x) y(x)dx = V (L) y(L) V (0) y(0) M (L) (L)zθ− −∫
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Lz z
zz0
M (x) M (x)M (0) (0) dx
EIzθ+ + ∫
L
y y y z
0
- q (x) y(x)dx = V (L) y(L) V (0) y(0) M (L) (L)zθ− − +∫
yF (L)
yF (0)
zm (0)
zm (L)
L
y y y
0
- q (x) y(x)dx = F (L) y(L) F (0) y(0)− − −∫L
z zz z
z0
M (x) M (x)m (L) (L) m (0) (0) dx
EIz zθ θ− + ∫
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yF (L)
yF (0)
zm (0)
zm (L)
L Lz z
y y y z zz0 0
M (x) M (x)- q (x) y(x)dx F (L) y(L) F (0) y(0) m (L) (L) m (0) (0) dx
EIz zθ θ+ + + + = =∫ ∫
L
y y y z z
0
- q (x) y(x)dx F (L) y(L) F (0) y(0) m (L) (L) m (0) (0)z zθ θ= + + + +∫T. reciprocidad
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EN GENERAL,SUPERPONIENDO TODOS LOS ESFUERZOS POSIBLES
( )
L L LI II I II I IIx y z
barras 0 0 0
I II I II I II I II I II I IIx x y y z z x x y y z z
nudos
I IIL LI IIy y
barras y0 0
L I II Iz z x
z0
q (x)u (x)dx - q (x)y (x)dx q (x)z (x)dx
F u F u F u m m m
M (x)M (x)N (x)N (x)= dx dx
EA EI
M (x)M (x) Mdx
EI
θ θ θ
+ +
+ + + + + + =
+ +
+
∑ ∫ ∫ ∫
∑
∑ ∫ ∫
∫L II
x
0
(x)M (x)dx
GJ
∫
PRINCIPIO DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES
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EN GENERAL,SUPERPONIENDO TODOS LOS ESFUERZOS POSIBLES
( )L
I II I I I I II
barras nudos0
I I IL LI IIy y
barras y0 0
L LI II I I Iz z x x
z0 0
q (x) (x) dx F u m
M (x) M (x)N (x) N (x)= dx dx
EA EI
M (x) M (x) M (x) M (x)dx dx
EI G J
δ θ
+ + =
+ +
+
∑ ∑∫
∑ ∫ ∫
∫ ∫
r rrr rr
PRINCIPIO DE LAS FUERZAS VIRTUALES
POTENCIAL ELÁSTICO DE BARRAS. MÉTODOS ENERGÉTICOS
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PRINCIPIO DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES
PRINCIPIO DE LAS FUERZAS VIRTUALES
“la condición necesaria y suficiente para que un sistema esté en equilibrio es que el trabajo producido por cualquier sistema de fuerzas en equilibrio que solicite al sistema sobre el campo de desplazamientos reales es igual al trabajo producido
por los esfuerzos internos que generan estas fuerzas virtuales sobre las deformaciones reales”
Representa el trabajo que las fuerzas reales realizan sobre un campo de desplazamientos virtual.
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PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES
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Aplicación del PTVal cálculo de
desplazamientos.
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EJEMPLO 1Se pretende determinar el desplazamiento horizontal del apoyo B del pórtico isostático de la figura, en el que todas las barras
tienen la misma sección transversal y son del mismo material.
Se han señalado en la figura los sentidos de las coordenadas de cada barra. Como el pórtico es isostático los esfuerzos se obtienen fácilmente de la
aplicación de las ecuaciones de equilibrio del conjunto.Estos son los diagramas:
P
P
x
xx
A B
l
l l
1
2
3
Axil
P
Cortante
P
P
Flector
P�l
P�lP�(2l-x)
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Se aplicará el Principio de las Fuerzas Virtuales, para lo cual, se aplicaráuna fuerza ficticia en el punto y con la dirección del desplazamiento que se
desea calcular; se obtendrán los esfuerzos correspondientes.La fuerza se considera de valor unidad.
1A B
l
2l
Estableciendo el equilibrio del conjunto se obtienen los esfuerzos ficticiosprovocados por la fuerza virtual que se ha introducido.
Axil
1
Cortante
1 1
Flector
l
l
l
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Llegados a este punto resulta útil reunir todas las magnitudes (reales y virtuales) en una tabla:
BARRA Longitud N N* M M* V V*
1 l 0 0 P�x X P 1
2 2l 0 1 0<x<l = P�l
L<x<2l = P(2x-l)
l 0<x<l = 0
L<x<2l = 1
0
3 l -P 0 0 l-x 0 1
Para obtener el desplazamiento horizontal en B sólo es necesaria esta expresión (de la general del PTV):
∑∫∑ ∫==
+=3
1 0
*3
1 0
**
·
·
·
··
j
Lj
zjj
zz
j
Lj
jjxBxB dx
IE
MMdx
AE
NNF δ
ficticia real
Considerando los esfuerzos anotados en la tabla y que la fuerza ficticia es de
valor unitario: IE
PLdxxLPLdxPLxdxPx
IE
L L
L
L
xB ··
6
11)2(··
·
1 3
0
2
0
2 =
−++= ∫ ∫∫δ
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Aplicación del TTVal cálculo de
incógnitas hiperestáticas
¿ ?
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EJEMPLO 2Se pretende determinar las leyes de esfuerzos del pórtico hiperestático de la figura, en el que todas las barras tienen la
misma sección transversal y son del mismo material.
P
P
x
xx
A B
l
l l
1
2
3
El grado de hiperestaticidad es 1. Liberar la XB, para transformarlo en isostático.
Se transforma el pórtico hiperestático en dos isostáticos, uno con las cargas externas y otro con la reacción liberada.
Determinar los esfuerzos para ambos pórticos isostáticos.
Determinar esfuerzos en el isostático para una incógnita unitaria que luego se multiplica por la notación de la incógnita liberada; Siendo E0 los
esfuerzos del pórtico isostático con las cargas externas y E1 los del que tiene la incógnita hiperestática liberada, un esfuerzo real, E, será:
10 ·EXEE B+=
POTENCIAL ELÁSTICO DE BARRAS. MÉTODOS ENERGÉTICOS
mecánica de medios continuos y teoría de estructuras
Elasticidad y resistencia de materiales. Curso 2010/2011
Esquema de resolución:
=Hiperestático
PP
Cargas externas
XB
Reacción liberada
+
PP
El problema es análogo al del ejemplo anterior, que surgía de la aplicación del principio de las fuerzas virtuales, con la particularidad de que la carga unitaria aplicada en el lugar del
desplazamiento que se desea conocer es ahora el isostático con la ingógnita liberada.
Esfuerzos reales y ficticios:
Axil
P
Cortante
P
P
Flector
P�l
P�lP�(2l-x)
Axil
1
Cortante
1 1
Flector
l
l
l
�XB
10 ·EXEE B+=
POTENCIAL ELÁSTICO DE BARRAS. MÉTODOS ENERGÉTICOS
mecánica de medios continuos y teoría de estructuras
Elasticidad y resistencia de materiales. Curso 2010/2011
Tabla de esfuerzos reales y ficticios del caso anterior (se desprecian los cortantes dada su escasa influencia):
BARRA Longitud N0 N1 N M0 M1 M
1 l 0 0 0 P�x X Px+XBx
2 2l 0 1 xB 0<x<l = P�l
L<x<2l = P(2l-x)
l 0<x<l = P�l+XBx
L<x<2l = P(2l-x)+XBl
3 l -P 0 -P 0 L-x XB�(l-x)
Aplicar compatibilidad en la dirección de la incógnita liberada (el desplazamiento horizontal en B es nulo) .
Para obtener el desplazamiento horizontal en B sólo es necesaria esta expresión (donde los desplazamientos son reales):
( ) [ ] ( ) ( )[ ] 02·
1·
·
11·
·
1
0
22
0
2
0
=
−+−+++++= ∫ ∫∫∫
L L
L
BB
L
B
L
BXB LdxxLXxLPLdxLXPLIE
xdxxXPxIE
dxXAE
δ
Expresión de la cual se obtiene XB.
ALI
APLX B 2
2
1612
11
+−=
Cuyo signo negativo indica que la reacción tiene sentido contrario al inicialmente supuesto (contra lo habitual es recomendable
suponerlas todas en positivo y esperar que la resolución matemática del problema ofrezca el sentido de la incógnita)
Por superposición de los tres casos pueden determinarse todos los esfuerzos.
método de compatibilidad de desplazamientos
10 ·EXEE B+=
POTENCIAL ELÁSTICO DE BARRAS. MÉTODOS ENERGÉTICOS
mecánica de medios continuos y teoría de estructuras
Elasticidad y resistencia de materiales. Curso 2010/2011
EJEMPLO 3Se pretende determinar las leyes de esfuerzos del pórtico hiperestático de la figura, en el que todas las barras tienen la
misma sección transversal y son del mismo material.
El grado de hiperestaticidad es 2. Liberar MB y XB, para transformarlo en tres problemas isostáticos.Uno de ellos tiene las cargas externas, otro con la reacción liberada y el tercero el momento liberado.
Determinar los esfuerzos para todos los pórticos isostáticos.
+XB
Reacción liberada
Cargas externas
PP
= +MBMomento
liberado
IIB
IB EMEXEE ··0 ++=
P
P
x
xx
A B
l
l l
1
2
3
Hiperestático
PP
POTENCIAL ELÁSTICO DE BARRAS. MÉTODOS ENERGÉTICOS
mecánica de medios continuos y teoría de estructuras
Elasticidad y resistencia de materiales. Curso 2010/2011
Axil
P
Cortante
P
P
Flector
P�l
P�lP�(2l-x)
Axil
1
Cortante
1 1
Flector
l
l
l
�XB
El mismo problema con dos estados virtuales; el de fuerzas y el de momentos.
Esfuerzos reales y ficticios:
Axil
1/2l
Cortante
1/2l
Flector
l
l
�MB1/2l
POTENCIAL ELÁSTICO DE BARRAS. MÉTODOS ENERGÉTICOS
mecánica de medios continuos y teoría de estructuras
Elasticidad y resistencia de materiales. Curso 2010/2011
La tabla tendrá ahora otro caso ficticio (nuevamente se desprecian los cortantes):
BARRA Long. N0 NI NII N M0 MI MII M
1 l 0 0 -1/2L -MB/2l P�x X 0 Px+XBx
2 2l 0 1 0 xB 0<x<l = P�l
L<x<2l = P(2l-x)
l x/2l 0<x<l = P�l+XBl + MBx/2l
L<x<2l = P(2l-x)+XBl+MBx/2l
3 l -P 0 1/2L -(2P-MB/l)
2
0 L-x 1 XB�(l-x) + MB
Aplicar compatibilidad en la dirección de la incógnita liberada (ahora desplazamiento horizontal y giro en B son nulos).
IIB
IB NMNXNN ··0 ++=
IIB
IB MMMXMM ··0 ++=
POTENCIAL ELÁSTICO DE BARRAS. MÉTODOS ENERGÉTICOS
mecánica de medios continuos y teoría de estructuras
Elasticidad y resistencia de materiales. Curso 2010/2011
Expresiones con las que se compone un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
De las que se obtienen los valores de las incógnitas liberadas XB y MB:
Por superposición de los cuatro casos pueden determinarse todos los esfuerzos.
método de compatibilidad de desplazamientos IIB
IB NMNXNN ··0 ++=
IIB
IB MMMXMM ··0 ++=