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I N D I C E

C A P I T U L O I'RIMKRO

VARIABLES. FUNCIONES. LÍMITES

§ 1. Variables independientes.—3. Introducción del n ú m e r o rea! por cor­taduras.—2. Sucesiones monó tonas convergentes.—;3. Propiedades de los números reales.—4. Operaciones con n ú m e r o s reales median­te cor taduras .—ó. Clases contiguas de números reales.—6. Cor ladu­ras y sucesiones en el campo real.—7. Representación geométr ica de los números reales.—H. Constantes y variables.—9. Extremos do variables y conjuntos reales.—Ejercicios Pág inas 3 a 10

§ 2. Variables dependientes y límites.— 1. Concepto de función.—2. V a ­riables ordenadas y límites.—8* L ími t e s de sucesiones reales.— 4. L ími tes de fundones de una variable real.—5. Lími tes generali­zados.—ü. Fundones de varias variables.—7. Funciones complejas de una variable compleja P á g i n a s 11 a 10

1 3. Límites ordinarios.—1. Variables ordenadas.—2. Definición general de l í m i t e — 3 . Variables independientes.—A; Sucesiones numerable*. 5. Funciones de una variable real.—G. Definición topológica de lí­mite.—7. Unicidad del l ímite .—8. L ími t e de una función de función. 9. Desigualdades ent ré funciones y limites.—10. L ími t e de una fun-ción acolada entre otras dos.—11. Límites para :v—>0 de - — - - y

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(1 -h-v) * P á g i n a s 20 a 27 ;§ 4. Operaciones con l í m i t e s .— L Límiics de sumas, diferencias, produc­

ios y cocientes.—2. Inf ini tés imos.—3. Infinitos.—1. Lími tes indeter­minados.—5, Límites singulares de potencias y logaritmos.—6. Lí­mites de la función potencial-exponencial.—7. Cálculo de l ímites indeterminados del tipo 1 x .—Ejercicios P á g i n a s 28 a 37

§ 5. Infinitésimos c infinitos.— 1. Comparac ión de infini tésimos.—2. In­finitésimos equivalentes.—3. Ejemplos de infini tésimos t r igonomé­tricos.—4. Comparac ión de variables infinitas.—5. Sust i tución _ de variables equivalentes.—G. Ordenes de infinitud de los polinomios. 7. Ordenes fundamentales de infinitud.—Ejercicios. P á g s . ;18 a 15

§ 6. Límites de oscilación.— 1. L ími tes finitos de oscilación.—2. Limites infinitos de oscilación.—& Propiedades de los l ímiles de oscilación. 4. Cri ter io de convergencia de Bol/ano-Cauchy.—5. Límites ordi­narios de sucesiones parciales.—6. Cálculo de l ímites de oscilación. Ejercicios P á g i n a s 46 a 51

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I

VIH INDICE

Notos ol Capítulo primero.— 1. Concepto de función.—2. Expresión algo­rítmica de funciones.—;í. Limite aritmético y límile _ funcional.— •I. Funciones de partición " ... Páginas 52 a 53

CAFITIXO U

FUNCIONES CONTINUAS

§ 7. Propiedades primeras de los funciones continuas.— 1« Continuidad en un punto.—2. Signo de una función continua.—3. Continuidad a la derecha y a Ta izquierda.-—4. Continuidad en un intervalo.— 5. Continuidad de las funciones monótonas.—6. Continuidad de las funciones elementales.—7. Continuidad de las funciones compuestas. S. Concepto de curva. Ejercicios Páginas 54 a 61

§ 8. Ceros y extremos de ros Funciones continuas.— 1. CßfOS de las fun­ciones continuas.—2. Resolución de ecuaciones.—3. L a propiedad D de las funciones continuas.—4. Existencia de funciones inversas. -o. Máximos y mínimos de funciones continuas.—Ö. Funciones semi-continuas.—Ejercicios Páginas 62 a 66

§ 9. Funciones discontinuos.—1. Existencia de un punto de discontinui­dad.—2. Continuidad uniforme.—3. Oscilación en un intervalo.— á. Oscilación en un punto.—5. Función superior y fundón inferior. 0. Puntos de discontinuidad evitable y verdaderos valores.—7. Dis­continuidad de primera especie.—8. Discontinuidad de segunda especie. -9. Discontinuidades puntuales y totales.—10. Extremos de las funciones discontinuas en general. Ejercicios. Páginas 67 a 75

Notos al Capitulo I I .— l . Funciones continuas.—2. Cotas, límites y extre­mos.—Bibliografía Página 76

CAPITULO MI

FUNCIONES DERIVABLES

§ 10. El concepto de derivada.—-1. Razón de inrremer.ios.—2. E l pro­blema de la tangente. -3. L a derivada en un punto.—-i. L a función derivada.—ft. Derivadas a la derecha y a la izquierda.—0. Derivada infinita.—7. Continuidad de las funciones derivables.—8. Funciones continuas no derivables.—Ejercicios Páginas 77 a S4

§ 1 1 . Cálculo de derivadas.—1. Lir.eaiidad de la derivación.—2. Derivada tie 1 logaritmo.—.'i. Funciones elementales compuestas.—4. Derivadas de las funciones inversas.—5. Derivada de la función dt; función.— b\ Derivación logarítmica.—7. Derivada de un producto.—S. Dcr i -vaila de un cociente.—9. Derivada de la potencia de una función. 10. Derivada de la exponencial de una función.—11. Derivadas de sen x y arc sen x.—12. Derivadas de cos x y arc cos .v.—13. Deriva­das de tg x, are lg x, ctg \ y arc ctg .v.—Ejercicios. Páginas 85 a Oft

§ 12 . Variación de las funciones.—1. Crecimiento y decrecimiento en un punto.—2. Griteríos de creaiuicmo y decrecimiento.—il. Condición

INDICE

necesaria de másíniÜ o ríe mínimo. — i . Criterio general de monoto­nía.—5. Condiciones suficienus de máximo y mínimo. —0. Criterio primero: Variación de la función.—7. Criterio secundo: Variación de la derivada primera.—S. Criterio tercero : Mediante ia derivada segunda.—9. Máximos v mínimos de la luneiór. racional.—Ejer­cicios ' - Páginas 54 a lül

§ 13. Teoremos del valor medio y limites indeterminados.— 1. Teorema de Rollo.—2_ í e o r e m a de Caucliy.—'•!>. I* on nul a del incremento finit»:-.

0 "x 4 Límites indetcrmïiiadôs.-^fîv Forma —.— t i . Forma - .—7. For-

o ^ mas 0 . Oü c oc—<v.—8. Formas 0 o , 8©S-, 1* . - 0 . Aplicadóll reitera­da dt la regla L'Hftpita!.--Ejercicios Páginas 302 a l l í

§ 14. Cálculo diferencial e integra*.—1. I>ifeimeiacióu.—2. Representa­ción geométrica.—'i. Reglas tic diferenciación.—i. Diferencial de la función ile fundón.- ó. Primitivas e integrales indefinidas.—G. In­tegrales inmediatas.—7. Integración de fundones raciónale*.—S. Mé­todo de sustitución.—0. Integración por partea.—10. integrales elíp­ticas.—Kj«rcicios Páginas 312 a W

§ 15. Aplicociones geométricas de la derivada.—1. Tangente y normal a una curva plana uniforme.—2. Curvas planas no uniformes.—3. Tan­gentes a las curvas planas no ùnifcamèfl. — U Tangente* a jas curvas planas c i coordenadas polares. -5 . Tangen;e y plano normal de una

"curva alabeada. —6. Tángeme en coordenadas esféricas. -Ejerci-Osos " Páginas 123 a 12S

Notas al Capítulo III.— t. Fórmula de mtcn>olación de Lagrange y des­composición en fracciones simples.—2. Critcrû» de Stolz.—3. Teore­ma fundamental de '.as priini• Ka< Páginas 129 a 130

e.M'MVLO tv

FUNCIONES DERIVABLES SUCESIVAMENTE. FORMULA DE TAYLOR

§ 16. Derivadas y diferencíales sucesivos.—-1. Deíloieiones, notaciones y ejemplos.—2. Diferenciales sucesivas.—3. Generalización de. la fór­mula de Cauc'ay.—I. Derivada a-sima de un producto.- ó. Genera­lización de la fórmula de Leibniz.—O. Derivadas de un déterminan­te.—7. Función de ("aucliy.—3. Ce«w nales de las funciones conti­nuas,—8. Çf.rnbïos de signos de fix) \ /'(.v).—1C. Funciones esféricas de Lcgémlre,—Ejercicios '.. ..." Páginas 13L n 1 LO

§ 17. La fórmula de Taylor.—1. Fórmula de Tavlor para las lur.e'nm.'S enteras.—Si Kórinu'.a general de Taylor.—8. Hôrrita ¡nfinUesniral de T . —I. Forma de Lagrange.—5. Otras formas del término com-pU'.nrr.tario.—0. Diversas expresiones de ia formula de Taylor.-7. corraíl intégrai del ternimu njmplemeniari > - Kj'-rcicios

Páginas Mí a U 5

§ IS. Aproximociones sucesivos de las funciones.— Aproximación linea], concavidad, convexidad e uiHexión.—2. Discusión niediar.ie las dori-\ada> sucesivas.—% Discusión general de ios iv.áximfs y mínimos

x INI-ICK

relativos.—4. Desarrollo «le ias funciones elementales.—Si Aplicación a] cálculo (le límites indetenninridos.— Ejercicios ... Paginas UO a l o i

§ 19. Contactos y curvatura.—-L. Contacto de segundo Ofden.—2. Contac­to de orden u.—0, Círculo eseulador.— I. Curvatura cu un punto y radío ríe curvatura.—5. Curvatura en coordenadas polares.—Ejer­cicios .. . . . Páginas 152 a 156

§ 20. Resolución de ecuaciones derivabfes.— 1. Separación de ra íces .— 2, Regla tie Newton.—3, Regla perfeccionada de Fourier.—4. Re­gula falsi.—5. Método mixto.—Ejercicios Páginas 157 a 163

§ 21. Derivadas sucesivas generalizadas.—-1. Coeficientes diferenciales.-2. Convexidad, concavidad, inflexión.—Ü. Círculo osculador. I. De­finición rerurrenre de los coeficientes diferenciales.—8; Relaciones entre diferenciales y coeficientes diferenciales.—15. Sehwamanas.— 7. Funciones convexas y cóncavas. -Ejercicio. Páginas 1Ö4 a 170

§ 22. Derivados sucesivas de funciones compuestas.—1. Método general. 2. Funciones Ffiy)—'/(é*);—%. Función F(\) = f " *3 v polinomios de l lcrmile.—I. Función V{x)=i(lx) Páginas 171 a 17 1-

Notos al Capítulo IV.—'Sistemas notables ele polinomios ortogonales ... ... ... ... ... ¿.- Página 174

C.UMVl.O v

INTEGRALES DEFINIDAS

§ 23- Concepto de integral definida.—-1. Coneeph- di.- área V volumen.— 2. Particiones y ¡sumas por defecto y por exc*-so .—Defin ic ión de ir.iogrnl según Riemann — í . Fórmula del va'ior nedio.— 5. Integra­les inferior y superior.—0, Imegrabilidad de funciones monótonas y de funciones continuas.—7. I.a integral como límite para >0.— ft. Interpretación gráfica del cor.cepio de integral, Páginas 17-j a 1S1

§ 24. Propiedades fundamentales.—-1. Permutación di 1 extremos.—2, Pro­piedad í.diliva respecto del intervalo. —íí. Propiedad lineal respecto del integrando.'—4. Propiedad de monotonía.—5. integrales indefi-•lidas.—(i. Kegln de Barrow.—7. Reglas prácticas para el cálculo de integrales definidas. S, Cambio de variable.—í). Integración -)Cr pattes.—10. integrates cu intervalo in fin i íu.—Ejercicios ... . . . . . . ... Páginas 182 a 191

§ 25. Aplicaciones geométricos de las integrales definidas.— 1. Método ge­neral.—2. Cuadratura de recintos planos Coordenadas cartesianas. 3. Coordenadas polaa-s.—-I. Cuba tura de cuerpos.—5. Cuerpos de revolución.—6. Cubicación por descompesieión en tubos.—7. Recti­ficación ile curvas planas.—S. Cunas planas en coordenada* poja­res.—•!). Rectificación ile curvas alabeada.*.— Ejercicios

Páginas T92 a 20 L

§ 26. Cálculo de algunas integrates definidas.— 1- Preliminar.--2. Ejem­plos de integrales definidas importantes.—3. Fórmula de Wallis.— •I. Fórmula de Stirling.—5. Integral de Poisson.— Ejercicios . . . ... ... . . . ... ... . . . ... — a« Páginas 202 a 206

IN DICI- Xt

CATITtTI.O VI

FUNCIONES ANALITICAS ELEMENTALES

$ 27. Clasificación de las series enteras.—1. Campo y radio de convergen­cia.—2. Criterio de Cauchy.—3. Casos particulares. -4. Los tres ti­pos de series enteras Páginas 207 a 211 Sotas.—I. Variación dei término j¿en:'rnl.—2. Teorema dp Pinche;-le.—Ejercicios .'. Páginas 21.1 a 112

§ 2 8 . Convergencia uniforme. Continuidad. Derivación.— 1- Gone&ßtÖ ají convergencia uniforme.—2. Definición general de convergencia uni forme,—3; Lerna ¡le Abel .— I , Crirerios de cnnvor£encía de Abel y Duic'nlet.- ó. Teorema de Abel.-—6. Continuidad de '.as series uni­formemente convergentes.- 7. Serie derivada de una serie entera,— 8. Derivada» sucesivas do las series enteras.—Ejercicios

Páginas 213 a 222

§ 2 9 . Derotrollos en serie entera.—1- I>ofniición.—2. Unicidad del des­arrollo.—3. Desarrollo por la fórmula de Mac-Laurin.—Ejercicios.

P e i n a s 22:i a 22G

§ 30. Desarrollo de la función exponencial. Número e.—1. F u n c i ó n expo­nencial 2. E l número p,—3. punción de Tf«*rmite.— I. Tras­cendencia del número e.r Ejercicios Páginas 227 a 230

§ 31. Desarrollo de 'as funciones circulares o hiperbólicas.—1. l ' l i i r ioncs v^sen x. v-srnsA\—2. Punciones y - a r r lg X,—3. Número >. I. Teo­ría ari.mélica de \ ^ funciones rirrulíircs c hionbólícas.—Ejerci­cios Páginas 231 a 235

§ 3 2 . Serie logarítmica.— I. Desann'lo Je ÍH+.v).—2. Calculo de logarit­mos r.eperionei.—3, Tablas de logaritmos decimales.—4. Interpola­ción t'.e logaritmos.—Ejercicios Páginas 236 a 2311

§ 3 3 . Serie binómica.— 1. Desarrollo de —2. Cálculo de raíces nu­méricas.—3. Convergencia para .v = j - 1.—Kjereictö« ... :; Páginas 240 a 242

§ 34. Otros métodos de de*arroMo en serio.— I. Desarrollo de la función racional.— 2. Desarrollo por división.—3. M rindo de los coeficientes indeterminados.—4. Inversión de una serie—Ö. Series recurrentes. Ejercicios Páginas 243 a 250

§ 3 5 . Funciones onalíticas en genera?.— i . Concepto de función analítica.— 2. Prolongación analítica.—3, Funciones mono£cneas.—4. Derivada de la función de función.—5. Derivación de funciones elementales;— i*, interpretación Geométrica de la derivada.—Ejercicios

. P&gnuÁ 2ôl a 2ôft Notas.—1. Diversas leonas do las funciones analíticas.— 2. Prolon­gación analítica de funciones multiformes ... Páginas 2öS a 230

Notas al Capítulo VI .—I. Números de Bernoulli. -2. Desarrollos en serie-— 3. Número» ce Kuler .— I . Ecuación ""utulamentai de los nómeius de Bernoulli.—5. Fórmula sumatoria «le Mar-Lnurin.— ö. Suma de po­tencias-—7, Expresión de los numéro* de Bernoulli.—& Teorema de Sla.idt.—0, Rrn'iaoco .leí teorema de Abel -•- Paginas 2ôi) a 2u3

IN DI CF.

CAl'iTUÎ.O M l

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES

36. Conjuntos de puntos.— i . DéfülMofltíS.—2. 1 n terrales.—% Recinlos. Páginas 204 a 207

Notas.—L. Clasificación de los conjunros.—2. Conjuntos acotados.-— -"Î. Curvas de Jordan.—i, Curvas cerradas de Jordan.—5. Curvas de Peano.—Ejtrcicks ... Páginas 267 a 270

37. Límites y continuidad.— 1. Funciones.. 2. Líinilos dobles. -:í. Lí­mites reilcrades y límite en una dirección.'—i. Eunclpntá continuas, ö, Pirpiedadcs de las funciones ainlmuas .., Páginas 271 a 271)

38. Derivadas y diferenciales primerai.-—1. T)envnd¡is parciales.—'2. Fór­mulas de los ineren'nUos Imites.—M. Diferenciales totales y pari« cia;€s-.-—1. .Signilieado geométrico de la diferencial. P'.anci tan­gente.—o. Dcrivads- en un;. <lirección.—0. Representación gráfica. Gradiente —7. Generalizaciones para ¡i variables.—Ejercicios * w i »i« • w * » * - • » - » - - » - - • » - - - - - • - î - - i * **4 fil ¿i in íiíi i í ti — f̂™i

39. Derivación dt: funciones compuestas e implícitos.— L Funcinncs com­puestas de una variable independiente.—2. Derivación di: futi cíones compuestas.—3. Caso de varias variables indépendantes.— ¡fe Función iiupiíciia do una S%rjab!e independíenle.—5. Sistema de funciones implícitas.—!i. Caso de varias variables independientes.— 7. Funciones homog&ieas.—Ejercicios Página?, 2f?0 a 291

40. Teoremas de existencia de los funciones implícitos.— 1. F u n c i ó n ;le-linida por una ecuación.—2. Caso de varias variable*.—3. ( aso de dos ecuaciones.—-I. Caso general.—5. Anulación identic;-, oel jaco-biano. -Ejercicios . . . ,. ? ... Páginas 202 a 301.

41. Derivadas sucesivas y fórmula de Taylor.— I. Definición y nolacie-IIeis.—2. Permutación de las <lei ¡vacioitLs.—3. Fiinmi'.a de Taylor para dos variables.—i. Generalización para más vanalilesi—.ï. Apli­caciones geométricas ... Páginas Ü02 a 308 Sotas.— \ . Permuiación de rie.rivadas.—2, Ccndieinnes necesarias para la permutación,—3. Forma diferencial de la fónr.ula tie Tay­lor ... ... ... .... Página 3Û0

42. Extremos relotivos de funciones de dos variables.— L, D e l i n i c i ó n . 2. Fruiciones de dos variables.—3. Variaciór. 'le una foru a cuadrá­tica binaria.—4. Extreme? relativo* de as funciones de 2." grado, ó. Extremos relatives de /í-v, y) ... Páginas 310 a 3 U

43. Teorío general de fos extremos relativos.— 1. Funciones de tres va­riables,.—2. Inlcrpri'LnciiV geomíí ' ica y discusión.—3, RXtreiñcJs de funciones con variables ligadas.—1. Método de los multiplicadores de Lagrange.—Ejercicios Páginas :jlô a 323

.Xota sobre el método de citudiados mf.ihik»* ... Páginas 323 a 324

44. dosificación de los puntos de las cuivas y de las superficies.—• 1. Puntos simples u ordinarios de las curvas.—2. Punios .U bles dt: las curvas.—3. Posición de una superficie respecto del plana tangen-

IKOICK SKI

it-.- i . Intersección de Hi superncic con su plano tangente -Ejer­cicios - Páginas :\1T> 3 329 .VOM.—Intiîcauiz de curvatira dv una superficie Página ;l:;.0

Noras ol Capitulo VII ,— I. Tenrehíá de Bor el.—2. Sobre el principio de elección arhirrarin y el principio del tercio excluid,».—¡L Producto máximo de factores complementario?* Páginas 331 a 882

C U M U L O VIH

INTEGRACION DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

§ 4 5 - Rectificación de arcos y variación total de funciones.— U Arcos rec­tificables. —2. Criterio práctico para las curvas uniformes.—3. Va­riación total.—4. Criterio He Jordan;—5. Propiedades de la variación y la longitud,,—0. Convergencia según la norma.—7. Generalización _v lema de Darboux.—8. ( \ ntinuidad de la longitud.—'). Variación positiva, negativa y total.—3& Descomposición tic Jordan-.—Ejer­cicios Paginas KÖ a

§ 4 6 . Integrales dobles.— 1. Or juntns de extensión nula.—2. Concento de ¡rv.cgral doble.—3. La integral como límite.—4. Integración de fun­ciones continuas.—£>. Cálruio de integrales dobles por integrales reí-toradas,—G. Existencia de la> inlegrales reiteradas

. . . Paginas 342 a 347

§ 4 7 . Integrales múltiples en general.— 1. Reducción a integrales simples. 2. (ieiieraiización del concepta de integral.—3. Cambio de variables en las integrales dobles.—4. Cambio de variables en Ins integrales multiples Páginas 3<W a Ö53 tfo/ff,—Coordenadas espaciales curvilíneas Páginas 853 a 354

§ 4 8 . Aplicaciones geométricas de las integróles múltiples.—1, V o l ú m e n e s en coordenadas cartesianas.—-2. Volúmenes en coordenadas polares. 3. Arcas de Superficies curvas Páginas 800 a ¡MÍO Ñtttns,—l. Aren de una superficie- -2. Superficies en forma paramé-tríea Páginas :!C0 a ;iC>l_

§ 4 9 . Funciones primitivos e integróles curvilíneos.—1. F u n c i ó n p r i m i l i -v a .—S i Definición de integral curvilínea.—¡i. Cálculo de integrales Curvilíneas.—4. Caso en que existe patencia'..—ö. Integrale« curvi­líneas con tres variables.—C. Cri.erio para la existencia de potencial. Ejercicios Páginas 302 a 370

Notas al Capítulo VtXU—• I. Evolución del concepto d<! medida.—2. Conjun­tos nulos ¡1?) v (L).—3. Çondiçîcnes Características de la iiUegrabili-dad ( R Ï .— i . Curvas de Jordán con medida exterior positiva

Pálíinas 370 a 374

C A r n v i x » IX

TEORIA DE LAS FUNCIONES ANALITICAS

§ 5 0 . La menogeneidad en un punto y en un recinto.— I. Dc'f injütAli .— 2. Ecuaciones carariei íslieas. —3. Puntes en que existo derivada no nula.—4. Punciones reunían, s y funciones ai m.ónica>.—5. Teorema

INDICF

del mydulc máximo.—-Ö. Kl Irma de Schwarz y sus aplicaciones.— 7. Punta impropio del plana complejo.—Ejercicios

Páginas 375 a 363

§ 5 1 - Funciones multiformes y plano múltiple de Riemann.— I. Kieman-niaiia de 1^=^.— 2. Funciones exponencial y logarítmica.—o". Fun­ción a- = i | - — - J . I. Caso general,—Ejercicios. Páginas 3K1 a 3Ü1

§ 52. Inrcgroción.— 1. Integral curvilínea ce una función regular.—2. Teo­rema!» fundanit-nlales. ;í. Caso de. recinto múltiplsnienie conexo. 4. Integrales indefinidos.- Ç. Acotación y generalización —Ö; De-inostración de Goursat de: teorema dé í.'aurhv ... Página.- .102 a 100 Sota.—Prhnoïvas en e'. campo complejo*.—Ejercicios ... Página -100

§ 5 3 . La integral de Cauchy y sus aplicaciones.— 1- Residuo.—2. La ¡níe-gra'. de Cauchy.'—3, Teorema del promedio.—4. Integrales de 1ii>o Cauchy.- 5. Derivadas sucesivas.—ti. Desarrollo en serie eíitera.— 7. Analilieidad de las tuncior.es nionogcneas.—8. Desarrollos en se­rie de potencias descendentes Páginas ICI a 111 -Y(if<r. -Series dr polinomios.—I-".jen-icios ... ... Páginas 411 a 4\2

§54 . Singularidades.—I. Si'.g.daridudcs eviurblcs.—2. Clasil'icución He los puntos singulares aislados. -Ü. Clasificación (le las funciones por sus singularidades.—I. Ceros y teorema de identidad.—3. .Residuo logarítmico,—6. Teorema de Picaril y dirirciones J.—Ejercicios ...

Páginas 413 a 420

§ 55. Desarrollos en serie y producto.—-1. Desarrollo de Laurent.—2. Apli­cación a los punios singulares aislados, 3. ííosárñoljp en fracciones Simples.—4. Productos ¡ufijTitus.—Ejcrciruv;. Riblicírnl'ía ...

Peinas 421 427

CAPITU.O X

INTEGRALES GENERALIZADAS

§ 56. Integral de Riemann-Stieltjes.— 1. Definición. —2. Relación con la in­tegral (JO.— 3. Casos importâmes de IntegralíiliiJad. -I. Propiedades fundamentaler-.—5. Inunciones ¡¡{x) de variación acotada.—<i. Inlegrul indefinida.—7. Caso de repartición discontinua.—Ejercicios

Páginas 428 a 433

§ 57. Aplicaciones de la integración por partes.— 1. Integración por parles. 2. Lema do Abel.—3. Segundo teorema de la medía.—4. Segundo caso fie validez del teorema de la media Páginas 434. a -137 iVoíOJ.—1. Segundo teorema de la metan. 2. Generalización del lema de Abel v del segundo teorema de la atedia.—3. Nota histórica

Páginas 437 à 138

§ 5 8 . Integrales propias paraméiricas.—L. Prelîniinru.—2. Continuidad, inte-gración y derivación de integrales paramétricas.—3. ("íisii general de derivación.—«4, Contínuidnif, integración y derivación de Integra­les multiples.—Ejercicios Páginas -J30 a 442 Notas soliro la equicominnidad y *us aplicaciones.—1. Equicontinuidad de funciones respecto de un parámetro. 2. Continuidad de las inte­grales paraméiricas Páginas 443 .'. -14J

IN DICK. X V

§ 5 9 . Integrales simples impropias.— !.. 1 )< fmicior.es. — 2. Griterío gêner»! de convergencia.—J. Caso de lus dos extremos singulares.—4. 1*01110 sin­gular interior.—5. Valor principal de una integral en un punto singu­lar.—b. Transformación de integrales en series.—Ejercicios

tó Páginas 445 a 152 yolas Paginas 152 a 453

§ 6 0 . Integrases absolutamente convergentes.— 1. Integrando de signo_ cons­tante. Método de comparación.—2. Criterio del orden de infinitud •> infinitesimal.—3. Integrales absolutamente convergentes.—4. Conver­gencia absoluta de integrales dobles.—5. In Légrales de integrando po­sitivo.—Ejercicio Páginas 154= a 4(iü

§ 6 1 . Integrales convergentes en general.— L Criterios tie Abel y Dirichlet para integrales simples.—2. Generalización de las integrales impropias. Ejercicio Páginas JGl a 485 A otas.—1. Criterios de cen vergel ici a de Abel y de Dirichlet.—2. So­bre la equivalencia de integrando^ Páginas 465 a 466

§ 6 2 . Integral y medida infinitamente aditivas.— 1. .Medida de conjuntos elementales.—2. Integral l^Ru').—.'i. Ltneálidad de la integral respecto de la fundón.—4. Medida de conjuntos según Lebesgue.—5. AditivU dad finita de la integral y la medida respecto del conjunto básico.— 6. .Monotonía, teorema de la media y valor absoluto

Páginas 407 a 473

§ 63. Integración absoluto (R*) de funciones no acotados.—1. Definición.— 2. Adhividad infinita respecto del conjunto básico.—3. I incurabilidad condicional con punto singular único.—4. Relaciones con el méto­do (R—C) Páginas -174 a 4£l Nota sobre los conjuntos medibles.—Descomposición de los conjun­tos niedibles Página 4S2

§ 6 4 . Integral y medida de Lebesgue.— 1. funciones medibles e integral (L) de tunción acotada.—2. Integral de función inedible no acolada.— 3, Relación entre los conceptos (R), [Q > —4. Paso al límite.— 5. Teorema de la convergencia mavorada.—<3. Teorema de Egproff. Ejercicio j ' ; Páginas 488 a -188