3.5 INDICES DE MILLER

Estos se utilizan para identificar los planos cristalinos por donde es susceptible

de deslizar unos átomos sobre otros átomos en la celda cristalina.

Para poder identificar unívocamente un sistema de planos cristalográficos se

les asigna un juego de tres números que reciben el nombre de índices de

Miller. Los índices de un sistema de planos se indican genéricamente con las

letras (h k l)

Los índices de Miller son números enteros, que pueden ser negativos o

positivos, y son primos entre sí. El signo negativo de un índice de Miller debe

ser colocado sobre dicho número.

Ejes y celdas unitarias:

Se utilizan los tres ejes conocidos normalmente, el eje X positivo se usa

saliendo del papel, el eje Y positivo hacia la derecha y finalmente el eje Z

positivo hacia la parte superior; en sentidos opuestos se encuentran sus

respectivas zonas y cuadrantes negativos

Se utilizan celdas unitarias para situar tanto puntos, como planos. Dichas

celdas unitarias son cubos los cuales se encuentran situados sobre el sistema

de coordenadas X, Y, Z. Generalmente se asume un origen, el cual está

ubicado en la arista inferior izquierda posterior.

Direcciones  en la celda unitaria:

Existen direcciones y posiciones en una celda unitaria de gran interés, dichas

direcciones son los denominados Índices De Miller y son particularmente las

posiciones o lugares por donde es más susceptible un elemento en sufrir

dislocaciones y movimientos en su interior cristalino.

Para hallar los Índices De Miller de las direcciones se procede de la siguiente

manera:

1. usar un sistema de ejes coordenados completamente definidos (zonas

positivas y zonas negativas).

2. Restar las coordenadas de los puntos a direccionar (cabeza menos cola),

generando de esta manera el vector dirección y la cantidad de parámetros

de red recorridos

3. Eliminar o reducir de la resta de puntos las fracciones hasta su mínima

expresión

4. Encerrar los números resultantes entre corchetes   , sin comas, si el

resultado es negativo  en cualquier eje (X, Y, Z) debe situarse una barra o

raya encima de dicho numero, o números.

Ejemplo 3.5.1

Determinar los índices de Miller de las direcciones A, B y C.

Dirección A

1. Dos puntos son:  1,0,0  y  0,0,0

2. Se restan ambos puntos, situando en primer lugar el punto que se desea

tener como dirección y sentido (cabeza del vector)        1,0,0 –  0,0,0 =

1,0,0

3. No existen fracciones que eliminar ni enteros que reducir

4. [ 100 ]

Dirección B

Dos puntos son: 1,1,1  y 0,0,0

1. Se procede de igual manera, se restan ambos puntos     1,1,1 -  0,0,0 =

1,1,1

2. No existen fracciones que eliminar ni enteros que reducir

3. [ 111  ]

Dirección C

1. Dos puntos son: 0,0,1  y  ½,-1,0

2. Se procede de igual manera, se restan ambos puntos     0,0,1  -  ½,-1,0 =  -

½,-1, 1

3. Esta vez el resultado debemos llevarlo a una conversión de enteros.

4. 2(- ½,-1, 1)=-1,-2,2

5. Como el resultado es negativo en las direcciones  de los ejes X y Y, se

sitúan con una barra en la parte superior los valores para dichos ejes.

6.

Aspectos  importantes en el análisis y creación de  las direcciones en

los Índices De Miller:

1. las direcciones de Miller son vectores, por ende este puede ser positivo o

negativo, y con ello poseer la  misma línea de acción pero diferente sentido.

2. una dirección y sus múltiplos son idénticos solo que estos aun no han sido

reducidos.

3. ciertos grupos de direcciones poseen equivalentes, esto en un sistema

cubico es ocasionado por el orden y el sentido de los vectores, ya que es

posible redefinir el sistema coordenado para una misma combinación de

coordenadas. Estos grupos reciben el nombre de direcciones de una forma

o familia, y se denota entre paréntesis especiales <>. Es importante

resaltar que un material posee las mismas propiedades en todas y cada una

de las diferentes direcciones de una familia.

Tabla 3.5.a

Direcciones de la familia <110> en el sistema cubico

Importancia de las direcciones cristalográficas:

Es necesario conocer las direcciones cristalográficas para así asegurar la

orientación de un solo cristal o de un material poli cristalino. En muchas

ocasiones es necesario describir dichas orientaciones; en los metales por

ejemplo es más fácil deformarlos en la dirección a lo largo de la cual los

átomos están en mayor contacto. En la industria esto es de vital importancia

para el uso, deformación y construcción de nuevos elementos y materiales.

Caso ejemplar es el de los elementos magnéticos los cuales funcionan como

medios de grabación con mejor y mayor eficiencia si se encuentran alineados

en cierta dirección cristalográfica, para así almacenar de manera segura y

duradera la información. En general es necesario encontrar o tener en cuenta

la posición y dirección cristalográfica de los elementos ya que así podrá

aprovecharse al máximo sus propiedades mecánicas.

Planos en la celda unitaria:

Los planos cristalinos son con mayor precisión los lugares por donde un

material facilita su deslizamiento y transformación física; dichos lugares o

planos son en  donde existe la mayor posibilidad de que el elemento sufra una

dislocación. Como se mencionó anteriormente los metales se deforman con

mayor facilidad a lo largo de los planos en los cuales los átomos están

compactados de manera más estrecha o cercana en la celda unitaria. Es

importante resaltar la orientación y forma en la que puede crecer el cristal,

para ello es necesario analizar las tensiones superficiales producidas en los

principales planos de una celda unitaria. Igualmente para una mejor

orientación en los planos de un material podrá existir un mejor rendimiento y

aprovechamiento en las propiedades y usos mecánicos.

Los Índices de Miller para planos se representan equivalentemente al sistema

cartesiano

(X, Y, Z) = (h, k, l) respectivamente.

Para identificar los planos de importancia se procede de la siguiente manera:

1. identificar los puntos donde cruza al plano de coordenadas X,Y,Z en función

de los parámetros de red (si el plano pasa por el origen se debe trasladar el

origen del sistema de coordenadas).

2. los Índices de Miller para los planos cristalinos son el inverso a los puntos de

un plano cartesiano.

3. se calculan los recíprocos o inversos de los puntos o intersecciones.

4. si el reciproco es N/∞, donde N es cualquier numero entero real, esto

significara en el plano que para este eje el plano quedara paralelo a él sin

tocarlo.

5. la cantidad obtenida siempre es menor a la unidad, caso que no ocurre en

el estudio de las direcciones de  los Índices de Miller.

Ejemplo 3.5.8

Determine los índices de Miller de los planos A, B y C

Plano A

1. x=1  y=1  z=1

2. 1/x=1 ,  1/y=1, 1/z=1

3. No existen fracciones que eliminar

4. (111)

Plano B

1. Debe aclararse el plano no cruza al eje z, esto es debido al cociente entre

1/∞ lo cual con su respectivo limite tiende a ser cero (0)

2. X=1 ,  y= 2,  z=∞

3. 1/x=1, 1/y=1/2, 1/z= 0

4. Debemos eliminar las fracciones; 2(1, ½,0)

5. (210)

Plano C

1. Es necesario cambiar el origen, ya que el plano pasa por el origen,

ubicaremos el nuevo origen a la derecha del inicial, moviéndolo en dirección

del eje Y positivo

2. Con el nuevo origen se tiene:  x=∞, y=-1, z=∞

3. 1/x=0, 1/y=-1, 1/z=0

4. No existen fracciones que eliminar

5.

Aspectos importantes para los planos en los Índices de Miller:

1. los planos positivos y negativos son idénticos.

2. los planos y sus múltiplos no son idénticos. Esto se demuestra por medio de

la densidad planar y el factor de empaquetamiento.

3. los planos de forma o familia de planos son equivalentes. Se representan

con llaves {}

4. en los sistemas cúbicos, una dirección es perpendicular a un plano si tiene

los mismos Índices de Miller que dicho plano.

Ejemplo 3.5.3

Familia de planos {110} en los sistemas cúbicos

Estos planos son inversos en muchos aspectos de estudio, análisis y

construcción.

Índices de Miller para celdas hexagonales

Para este tipo de estructura se ha desarrollado un especial conjunto de índices

de Miller-Bravais, debido a la simetría de la estructura. En este se usan ya

cuatro ejes, aunque es de tenerse en cuenta que el eje a3 es redundante.

El procedimiento para la obtención de planos y direcciones es el ya estudiado,

aunque para el cálculo de las direcciones existen los métodos para tres ejes o

el de cuatro ejes, siendo este último algo más tedioso.

En esta nueva estructura se tomaran los índices (h, k, i, l), para los cuales se

asignara un eje respectivo (a1=h, a2=k, a3=i, c=l), teniendo en cuenta que

para el eje a3 su existencia radicara en la relación h + k = -i; y la

descomposición en cuatro vectores (creación de direcciones en cuatro ejes a

partir de los índices en los tres ejes)

Relaciones:

H= 1/3(2h – k)

K=1/3(2k – h)

I=-1/3(h + k)

L=l

Ejemplo 3.5.6

Determine los índices de Miller-Bravais para los planos A y B y par las

direcciones C y D.

Plano A

1. a1=a2=a3=∞, c=1

2. 1/a1=1/a2=1/a3=0, 1/c=1

3. No existen fracciones que simplificar

4. (0001)

Plano B

1. A1=1, a2=1, a3=-1/2, c=1

2. 1/a1=1, 1/a2=1, 1/a3=-2, 1/c=1

3. No hay fracciones que simplificar

4.

Dirección C

1. Dos puntos:  0,0,1  y  1,0,0

2. Realizando la resta y tomando al punto 0,0,1 como cabeza del vector, se

tiene: 0,0,1 – 1,0,0 = -1,0,1

3. No existen fracciones que eliminar o enteros que reducir

4.

Dirección D

1. Los puntos son: 0,1,0  y 1,0,0

2. La resta genera el vector:  0,1,0 – 1,0,0 = -1,1,0

3. No existen fracciones que eliminar ni enteros que reducir

4.

Comportamiento isotrópico y anisotrópico:

A causa de los arreglos en los diferentes planos y direcciones cristalográficas

los materiales  presentan comportamientos y desempeños diversos en sus

propiedades mecánicas. Se dice que un material es cristalográficamente

anisotropico si sus propiedades dependen de la dirección cristalográfica en la

cual se mide la propiedad. Si sus propiedades son idénticas en cualquier

dirección el material se conoce cristalográficamente como isotrópico. Puede

suceder que un material pase de ser anisotropico a isotrópico si sus arreglos

son aleatorios en forma policristalina. En genera los materiales policristalino as

muestran propiedades isotrópicas. Ejemplo de ello tenernos el aluminio, el cual

si posee idénticas propiedades en todas las direcciones diremos que es un

elemento cristalográficamente isotrópico, pero si se presenta en forma

policristalina se puede asumir o comportar como anisotropico.

BIBLIOGRAFÍA

Askeland, Donald R; Phule, Pracleep; Ciencia e Ingeniería de los Materiales;

International Thomson Editores, cuarta edición, México, 2004.

Smith, William F (Autor); Hashemi, Javad ( Colaborador); Cruells Cadevall,

Montesrrat ( Revisor); Roca Vallmajor, Antoni ( Revisor); España, Mcgraw-

Hill Interamericana S.A, C2004

3.6 PLANOS CRISTALINOS

Dirección en la celda

A menudo, es necesario referirnos a posiciones específicas en las redes

cristalinas. Esto es especialmente importante para metales y aleaciones con

propiedades que varían con la orientación cristalográfica. Para cristales cúbicos

los indices de las direcciones cristalográficas son los componentes vectoriales

de las direcciones resueltos a lo largo de cada eje coordenado y reducido a los

enteros mas pequeños.

Para indicar en un diagrama la dirección en una celda cúbica unitaria

dibujamos un vector de dirección desde el origen (que es normalmente una

esquina de la celda cúbica) hasta que sale la superficie del cubo. Las

coordenadas de posición de la celda unidad donde el vector de posición sale de

la superficie del cubo después de ser convertidas a enteros son los indices de

dirección. Los indices de dirección se encierran entre corchetes sin separación

por comas.

Planos en una celda unitaria

Las superficise cristalinas en celdillas unidad HCP pueden ser identificadas

comúnmente utilizando cuatro indices en lugar de tres. Los indices para los

planos cristalinos HCP ,llamados indices Miller-Bravais, son designados por las

letras h, k, i, l y encerrados entre parentesis ( hkil ). estos indices hexagonales

de 4indices estan basados en un sistema coordenado de 4 ejes.

Existen 3 ejes básicos, a1, a2, a3, que forman 1200 entre si. El cuarto eje o eje

c es el eje vertical y esta localizado en el centro de la celdilla unidad. La unidad

a de medida a lo largo de los ejes a1 a2 a3 es la distancia entre los átomos a lo

largo de estos ejes. La unidad de medida a lo largo del eje es la altura de la

celdilla unidad. Los recíprocos de las intersecciones que un plano cristalino

determina con los ejes, a1, a2, a3 proporciona los indices h, k e i mientras el

recíproco de la intersección con el eje c da el índice l.

Notación para planos

Los planos basales de la celdilla unidad HCP son muy importantes para esta

celdilla unidad puesto que el plano basal de la celdilla HCP es pralelo a los ejes,

a1, a2, a3 las intersecciones de este plano con estos ejes serán todas de valor

infinito. Así, a1 =”, a2 =” a3 =” El eje c, sin embargo, es único puesto que el

plano basal superior intersecciona con el eje c a una distancia unidad.

Tomando los recíprocos de estas intersecciones tenemos los indices de Miller-

Bravais para el plano Basal HCP. Así, H =0 K=0 I = 0 y L=1. El plano basal es,

por tanto un plano cero-cero-cero-uno o plano (0001) .

BIBLIOGRAFÍA:

http://html.rincondelvago.com/principios-fundamentales-de-la-estructura-

cristalina-de-los-materiales.html

http://www.esi2.us.es/IMM2/estructuras_cristalinas/planos.html

3.7 DENSIDAD PLANAR DE FAMILIAS 100, 110 Y

111. PROTECCIÓNDESCRIPTIVA DE PLANOS Y CORTE DE ÁTOMOS.

INTRODUCCIÓN

Inicialmente podemos definir la densidad planar, coma la cantidad de átomos

que hay en un determinado plano ejemplo: familia de planos (100). Pero una

definición más formal la densidad planar es el número de átomos que tienen

sus centros localizados dentro de un área dada sobre un plano. El área planar

seleccionada debe ser representativa de los grupos de átomos repetitivos

dentro del plano. Cuando ocurre deslizamiento bajo esfuerzo (deformación

plástica), éste ocurre en los planos sobre los cuales los átomos están más

densamente empacados.

La densidad planar en cristalografía nos muestra que tan lleno de átomos esta

un plano lo cual es muy importante porque podemos conocer como se van a

deslizar estos planos unos con respecto a otros; con su respectiva dirección de

deslizamiento ( densidad lineal) ; la combinación de estos dos densidad planar

y lineal me dan a conocer la deformación del material, A la combinación de un

plano de deslizamiento con una dirección, es a lo que se le denomina sistema

de deslizamiento, y es a través de estos sistemas por donde se produce la

deformación de los materiales, de tal forma que cuanto mayor es el número de

ellos mayor será la capacidad de deformación de éstos. Para poder determinar

cuáles son sistemas existentes, primero tenemos que ver cuáles son los planos

y direcciones preferentes. Pues bien los planos de deslizamiento son los que

poseen la fracción atómica planar (FAP) más grande o lo que es lo mismo, son

los planos de mayor compacidad en la estructura cristalina. Se define la

fracción (1) atómica planar como:

∂= #ATOMOS INTERSECTADOS/AREA DEL PLANO

REDES CRISTALINAS BCC Y FCC:

CALCULO DE LA DENSIDAD PLANAR:

Para calcular la densidad planar usamos la siguiente convención. Si un átomo

pertenece totalmente a un área dada, tal como la del átomo localizado en el

centro de una cara en una estructura FCC, notamos que la huella de la

intersección del átomo sobre el plano es un círculo. Entonces, dentro del área

contamos un átomo en el centro y un cuarto de átomo en cada una de las

esquinas, ya que cada uno intercepta solamente un cuarto de círculo en el

área. La densidad planar o del plano es 2/a2. Debemos agregar que en estos

cálculos de la densidad, una de las reglas básicas es que un plano o una línea

debe pasar a través del centro de un átomo  no se cuenta el átomo en los

cálculos.

Si determinamos la densidad  planar de las distintas familias de planos de las

diferentes estructuras, veremos que para el caso de la FCC, la familia de planos

de mayor densidad planar es la {111}, mientras que para la estructura BCC, es

la {110}.Luego los planos pertenecientes a estas familias constituyen los

planos de deslizamientos de sus estructuras cristalinas correspondientes. Por lo

que ya solo necesitamos conocer, Para poder determinar los sistemas, cuales

son las direcciones de deslizamientos.

A continuación veremos el cálculo de la densidad atómica planar de la familia

de planos (100), (110), (111):

Con los resultados anteriores, y después de hallar la densidad planar para

diferentes planos de la familia (100) se llega a la conclusión que para FCC es

igual a 78,5% y para BCC es igual a 58,9%.

Como ya quedó dicho en la introducción, para calcular la densidad planar, el

área del plano debe pasar por el centro del átomo, para poder tener en cuenta

a éste como un átomo representativo, por eso, para calcular la densidad planar

en una red cristalina BCC debemos garantizar que el plano no intercepte el

átomo central. Aquello es posible saberlo haciendo proyección del área y del

plano, utilizando geometría analítica.

Para el plano (111) BCC se ha hecho con anterioridad una proyección y se ha

deducido que el átomo central no corta lo suficiente al área del plano como

para tomarse como un átomo representativo, después de esto se pasa a hacer

un cálculo de la densidad planar, sin tenerlo en cuenta. A continuación se

mostrará el desarrollo de lo anteriormente mencionado:

Con los resultados anteriores, y después de hallar la densidad planar para

diferentes planos de la familia (111) se llega a la conclusión que para FCC es

igual a 90,7% y para BCC es igual a 34%.

Con los resultados anteriores, y después de hallar la densidad planar para

diferentes planos de la familia (110) se llega a la conclusión que para FCC es

igual a 55,53% y para BCC es igual a 83,3%.

BIBLIOGRAFIA:

http://www.uhu.es/beatriz.aranda/apuntesciemat/TEMA%201funcmat.pdf  (1)

SMITH, F WILLIAM, Fundamentos de la ciencia e ingeniería de materiales

http://blog.utp.edu.co/metalografia/2012/07/30/3-cristalografia/