Univerza v Ljubljani

Pedagoška fakulteta

Oddelek za matematiko in računalnǐstvo

Katedra za algebro in analizo

Marko Razpet

INDIJSKA MATEMATIKA

Študijsko gradivo

Zgodovina matematike

Ljubljana, marec 2015

Vsebina

Predgovor 3

1 Sanskrt in devanagari 7

2 Sanskrtska abeceda 12

3 Števke in glavni števniki 13

4 Začetki indijske matematike 14

5 Doktrine 16

6 Indijski Elementi 18

7 Kako se je godilo sinusu in kosinusu 22

8 Ne gre brez skrivnosti 27

9 Običajno računanje 30

10 Težave s štirikotniki 31

11 Neporočena hči je dala delu ime 38

12 Jugozahod Indije se prebuja 40

Za konec 42

Literatura in spletni viri 44

Predgovor

Ko omenjamo indijsko matematiko, se po navadi najprej spomnimo na številke.

Običajno uporabljamo arabske številke, redko rimske. Slednje imajo pravilno

ime, saj so se pred dva tisoč leti razširile hkrati s širjenjem rimske države.

Pri arabskih številkah, ki so se uveljavile veliko kasneje, pa pripomnimo, da

pravzaprav niso arabske in da so nastale v Indiji. Pravijo, da so jih arabski

trgovci spoznali v Indiji, odkrili njihovo praktičnost v zapisu in računanju

z njimi ter jih postopoma s širjenjem islama posredovali vse do Maroka in

Pirenejskega polotoka. Zato bi upravičeno morali govoriti o indijskih ali pa

vsaj o indijsko-arabskih ali arabsko-indijskih številkah.

Oblike desetih znakov, to je števk ali cifer, s katerimi zapisujemo številke,

so se s časom spreminjale. Ponekod še dandanes uporabljajo drugačne zapise

števk kot mi. Nekaj primerov je zbranih v spodnji tabeli.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 običajno

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 arabsko

0 1 2 3 R S T 7 8 9 urdu

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 sanskrt

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Kakorkoli že je, sama oblika števk niti ni tako pomembna kot dejstvo,

da lahko vsako naravno število zapǐsemo zgolj z desetimi števkami, kar so

ugotovili v Indiji, kjer so vpeljali tudi mestni zapis števil. Prav tako je

pomembno, da so v Indiji vpeljali ničlo, v sanskrtu śūnya, kar izgovarjamo

šunja, v pisavi devanagari, s katero pǐsemo sanskrt, pa f� �y. Pomeni paprazen. Naš znak za ničlo je 0, sanskrtski 0, arabski pa 0. Dolgo časa jetrajalo, da so matematiki spoznali, da je nič sploh število. Razlogi, da nič

3

ne more biti število, so bili filozofske in religiozne narave. Sklepali so nekako

takole: čim zapǐsemo neki znak za nič, to nekaj je, torej ni nič. Ravno v Indiji

se je najbolj utrdilo mnenje, da je treba uvesti znak za nič. Prav tako so

indijski matematiki prvi uvideli, da nič je število. Vpeljali so tudi negativna

števila.

Slika 1: Indijska podcelina.

Ne smemo pa trditi, da so samo v Indiji poznali mestni zapis števil. Ba-

bilonci so ga tudi uporabljali. Namesto 10 števk kot Indijci so jih uporabljali

kar 59: za vsako število od 1 do 59 po enega, in to v klinopisni pisavi. Vsaka

babilonska števka je bila logično zapisana z manǰsimi znaki za ena in deset.

Namesto ničle pa so uporabljali prazen prostor, kar je lahko prinašalo ne-

sporazume ali celo zlorabe. Že v času zatona babilonske civilizacije so uvedli

znak za nič, tako da so števila lahko zapisovali s šestdesetimi znaki. Ba-

bilonski znak za nič ni bil niti malo podoben indijskemu oziroma arabskemu.

Sestavljale so ga tri vzporedne poševne črtice, zgoraj krepkeje zaključene.

Predvsem pa je igral vlogo zapolnjevalca prostora in ga niso imeli za število.

4

Pomembno pa je, da so Babilonci poznali šestdesetǐske ulomke, podobno kot

mi desetǐske, da lahko pǐsemo decimalna števila.

Stari Grki so števila zapisovali s črkami svojega alfabeta. Aleksandrijski

učenjak Klavdij Ptolemaj (90–168), Κλαύδιος Πτολεμαῖος, je v svojem zna-menitem Almagestu uporablja babilonski sistem, samo namesto klinopisnih

števk, ki označujejo števila od 1 do 59, je uporabljal ustrezni grški črkovni

zapis števil: α, β, γ, . . . , νζ, νη, νθ. Navadno tem znakom dodajamo zgoraj šečrtico, da se razločujejo od običajnih črk, na primer νθʹ za 59. Ptolemaj tehčrtic v tabelah ne uporablja, ker so nepotrebne, saj se ve, da gre za števila.

Ustrezno babilonskemu simbolu za nič je Ptolemaj uporabljal črko omikron

(O), kar je prva črka grške besede οὐδέν, kar pomeni nič.Ko se je indijsko-arabski mestni desetǐski sistem že krepko uveljavil, so ga

sprejeli tudi bizantinski trgovci, le za števke 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 so uporab-

ljali stare grške črkovne številke α, β, γ, δ, ε, ϛ, ζ, η, θ. Namesto οὐδέν, nič,niso uporabljali omikrona ο, ki je nekoč označeval število 70, ampak posebenznak, podoben

h

. Število 2015 so zapisali v obliki β

h

αε.Prej omenjena beseda cifra je arabskega izvora, ki je prǐsla v Evropo sku-

paj z arabskimi številkami, med katerimi je tudi znak za nič, po arabsko

Q®�Ë@, kar izgovarjamo as-sifr. Tako je arabska beseda za nič postala izraz za

vse števke pri Nemcih, ki so začeli v tem smislu uporabljati besedo Ziffer in

od njih je k nam prǐsla beseda cifra. Iz iste arabske besede je nastala še šifra,

v francoščini chiffre, v angleščini cipher, v ruščini xifr, kar uporabljamov zvezi s tajnimi pisavami. Iz njih se je razvila nova znanost, kriptografija,

ki se ukvarja s tem, kako zapisati informacijo, da je ne more ravno vsakdo

prebrati, ampak samo tisti, kateremu je namenjena. Tako se eni trudijo, kako

informacijo čim bolj učinkovito šifrirati, drugi pa, kako jo dešifrirati. Beseda

kriptografija je sestavljena iz dveh grških elementov: κρυπτός pomeni skrit,tajen, skriven, γράφω pa med drugim pǐsem, zapǐsem. Nemci so razvili slavnišifrirni stroj Enigma. Ime izhaja iz grške besede αἴνιγμα, kar pomeni uganka,zagonetka. Kljub zagonetnosti Enigme je le-ta med drugo svetovno vojno

padla zahvaljujoč poljskim in angleškim matematikom ter napaki nekega

nemškega operaterja. Morda se je vojna v Evropi tudi zato prej končala.

5

Iznajdba desetǐskega sistema in mestnega zapisa na tleh Indije se nam

ne zdi nič čudnega. Enostavno rečeno, potreba po zapisu velikanskih števil,

ki se pojavljajo v indijskih svetih spisih, Vedah, kar pomeni znanje, veda,

je narekovala uvedbo mestnega zapisa. V starodavnih Vedah se omenja na

primer časovni cikel satja juga, v sanskrtu s(y y� g, ki traja 1 728 000 let. Všoli smo se učili o indijskih epih Mahabharata, ki jo sestavlja okoli 100 000

dvojnih verzov, tako da sta Iliada in Odiseja pravi pritlikavki v primerjavi z

njo, in Ramajana, ki je približno štirikrat manj obsežna. Težko bi zapisali

taka števila brez desetǐskega sistema.

Osnova deset se je uveljavila v številskem sistemu zaradi desetih prstov,

ki jih imamo ljudje na obeh rokah. V Mezopotamiji so za osnovo vzeli število

šestdeset, verjetno zato, ker ima veliko več deliteljev kot deset. Sicer pa vemo,

da je osnova številskega sistema lahko katerokoli naravno število b > 1. Vsako

realno število x lahko zapǐsemo v obliki

x = ±anbn + . . .+ a1b+ a0 + a−1b−1 + a−2b−2 + . . . ,

pri čemer je n naravno število, ak naravna števila, števke, med vključno 0 in

vključno b− 1 in an > 0. Vseh števk je točno b.Na indijski podcelini od nekdaj živi veliko število ljudstev, ki govorijo

različne jezike in uporabljajo različne pisave. Tako kot v Mezopotamiji in

Egiptu se je tudi tu, ob velikih rekah, na primer Indu, Gangesu in Brahma-

putri, civilizacija že zelo zgodaj lepo razvijala, kar kažejo okoli štiri tisoč

let stari ostanki mest Mohendžo-daro in Harappa v sedanjem Pakistanu ter

Delhi in Pataliputra v današnji Indiji. Med izkopaninami ni sicer predmetov,

ki bi neposredno dokazovali prisotnost matematike v tistih davnih časih, toda

posredno lahko sklepamo, da so dobro obvladali geometrijo, števila, tehtanje

in merjenje, sicer ne bi mogli narediti tako popolnih objektov: stavb, ulic,

kanalizacije in namakalnih sistemov. Nekaj matematike se je ohranilo v ved-

skih besedilih. Od nekdaj so v Indiji gradili sakralne objekte, pri čemer je bilo

treba dobro poznati geometrijo in računstvo. Prav tako kot druga kulturna

stara ljudstva pa so postavili tudi astronomijo na zavidljivo raven.

Ljubljana, marca 2015 Dr. Marko Razpet

6

1 Sanskrt in devanagari

Sanskrt je starodavni jezik indijske podceline. Uvrščajo ga med klasične

jezike, podobno kot latinščino in grščino. Govori ga zelo malo ljudi glede

na več kot milijardo ljudi, ki žive v tistem delu sveta, je pa neobhodno

potreben za razumevanje, na primer Ved, epov Ramajana in Mahabharata

ter zgodnjih matematičnih spisov. Dandanes se sanskrt največ uporablja

v hindijskih verskih obredih, ceremonijah, himnah in mantrah. Za zapis

sanskrtskih besedil so nekoč uporabljali različne pisave, od katerih se je še

najbolj ustalil devanagari, tudi samo nagari, ki ga nekateri živi jeziki na

indijski podcelini uporabljajo še danes, na primer hindijski jezik. Devanagari

pozna samo eno vrsto črk, medtem ko moderni evropski jeziki poznajo velike

in male črke. Bere se ga z leve proti desni in od zgoraj navzdol. Sanskrt pa

ima ednino, dvojino in množino.

Seveda so na različne načine poskušali devanagari prečrkovati v latinico.

Obstaja več sistemov, na primer IAST – International Alphabet of San-

skrit Transliteration, kar pomeni mednarodna abeceda za prečrkovanje san-

skrta. Pisanje sanskrtskih in hindijskih besed v slovenščini narekuje sloven-

ski pravopis (SP). Njegova slabost je v tem, da nekatere črke, ki označujejo

podobne, toda različne glasove, meče v en koš. Zato bomo v zapisih pogosto

uporabljali standard IAST. Za ponazoritev si oglejmo nekaj znanih besed iz

sanskrta. Po vrsti si sledijo slovenščina, IAST (namerno pǐsemo z malimi

črkami, ker velike lahko pomenijo nekaj drugega) in devanagari:

Veda – veda – v�dSanskrt – sam. skr.tam – s\-k� tm̂Ramajana – rāmāya.na – rAmAyZMahabharata – mahābhārata – mhABArtGanges – Ganga – gam. gā – g\gABrahmaputra – brahmaputra – b}p� /Ind – sindhu – Es�D�

LATEX je računalnǐski sistem za stavljenje besedil, zlasti matematičnih. Včasih

želimo zapisati kakšno grško, arabsko ali rusko besedo. Zadnje čase s tem ni

7

težav, ker LATEX in druge sorodnike TEX-a podpirajo paketi, ki to omogočajo.

Običajno so ti paketi opremljeni tudi s priročniki za uporabo.

Za pisanje v devanagariju zadošča polna verzija MikTeX-a, ki vsebuje

vse potrebne fonte in paket devanagari.sty. Besede v devanagariju pripra-

vimo v datoteki s končnico dn, na primer vaja.dn, nakar jo predprocesi-

ramo s programom devnag.exe, ki ga poǐsčemo na medmrežju in names-

timo na svoj računalnik. Kot rezultat dobimo datoteko s končnico tex, v

našem primeru vaja.tex. V njej so zapisane besede tako, da jih razumejo

ukazi v paketu devanagari.sty, ki ga v glavni datoteki pokličemo z ukazom

\usepackage{devanagari}.

V datoteki vaja.dn moramo prečrkovati sanskrtske besede po sistemu

Velthuis, ki je podoben sistemu IAST. Frans Velthuis je avtor svojega prečr-

kovanja, ki je opisano v priročniku [9]. Na levi strani spodaj je primer vsebine

datoteke vaja.dn, na desni pa vaja.tex, iz katere besede prenesemo v glavno

datoteko. Ta mora na začetku, pred klicem paketa devanagari.sty, imeti

zapisan ukaz \def\DevnagVersion{2.15}.

vaja.dn

\def\DevnagVersion{2.15}

{\dn devanaagarii}

{\dn sa.msk.rtam}

vaja.tex

\def\DevnagVersion{2.15}

{\dn d\?vnAgrF}

{\dn s\2-\9{k}t\qq{m}}

Druga dva ukaza v vaja.tex nam oblikujeta besedi d�vnAgrF in s\-k� tm̂.V nadaljevanju bomo na primerih sanskrtskih črk videli, kaj je treba

napisati v datoteko s končnico dn, da dobimo pravilen izpis. Obstajajo še

nekatere podrobnosti, ki jih poznajo sanskrt in drugi indijski jeziki. Opisane

so v [9]. Še najmanj zapleten je izpis sanskrtskih števil. Primer. Ukaza

{\dn\dnnum{2015}} in {\dnbombay\dnnum{2015}} nam izpǐseta 2015, ozi-roma 2015, to je obakrat 2015.

Devanagari pozna veliko ligatur, spojenih črk, zlasti soglasnikov. Imamo

jih tudi v latinščini: æ, œ, Æ, Œ. Če napǐsemo {\dn ga"ngaa}, dobimo g½A,

8

z {\dn ga"n{}gaa} pa gR̂gA , druga pisava za Ganges. V devanagariju soligature zelo pogoste. Separatorja {} in + prideta sem ter tja v LATEX-u v

poštev, ko je treba ločiti dve črki. Na primer med samoglasnikoma, ki bi sicer

označevala dvoglasnik: {\dn pra{}uga} da þug, {\dn prauga} pa þOg.

Samoglasniki

Samoglasniki v sanskrtu so kratki in dolgi, kar označujejo različne črke.

Kjerkoli se v nadaljevanju omenja ukaz za LATEX, pomeni, da ga je treba

vpisati v datoteko dn, ki jo obdela predprocesor devnag.exe. Včasih je za

dolge samoglasnike ugodneje uporabiti velike črke. Primer {\dn kaii} nam

da k{i, {\dn kaI} oziroma {\dn ka{}ii} pa kI.

Enostavni samoglasniki

Sansk. a aA i I u U � �

IAST a ā i ı̄ u ū r. r̄. l.

LATEX a aa i ii u uu .r .R .l

SP a a i i u u r r l

Dvoglasniki

Sansk. e e� ao aO

IAST e ai o au

LATEX e ai o au

SP e aj o av

Samoglasnǐski modifikaciji

Sansk. a\ a,

IAST am. ah.

LATEX a.m a.h

SP

Soglasniki

Soglasnike v sanskrtu delimo glede na tehniko njihove izgovorjave na ve-

lare, palatale, retroflekse, dentale, labiale, polvokale in sibilante. Tem se

pridružuje še aspirant. Predstavljamo jih v ločenih tabelah.

9

Velari

Sansk. k K g G R

IAST ka kha ga gha ṅa

LATEX ka kha ga gha "na

SP ka kha ga gha na

Palatali

Sansk. c C j J �

IAST ca cha ja jha ña

LATEX ca cha ja jha ~na

SP ča ča dža džha nja

Retrofleksi

Sansk. V W X Y Z

IAST t.a t.ha d. a d.ha n. a

LATEX .ta .tha .da .dha .na

SP ta tha da dha na

Dentali

Sansk. t T d D n

IAST ta tha da dha na

LATEX ta tha da dha na

SP ta tha da dha na

Labiali

Sansk. p P b B m

IAST pa pha ba bha ma

LATEX pa pha ba bha ma

SP pa pha ba bha ma

Polvokali

Sansk. y r l v

IAST ya ra la va

LATEX ya ra la va

SP ja ra la va

Sibilanti

Sansk. f q s

IAST śa s.a sa

LATEX "sa .sa sa

SP ša ša sa

Aspirant

Sansk. h

IAST ha

LATEX ha

SP ha

Retrofleks – Vede

Sansk. �

IAST

LATEX La

SP la

Sanskrtske črke lahko razvrstimo v tem vrstnem redu še v abecedo, ki pa

pravzaprav ni ustrezna beseda, ker se ne začne s črkami a, b, c, d kot latin-

10

ska. Tudi beseda alfabet ni ustrezna, še najbolje bi bilo reči varnamala –

varn. amālā – vZmAlA.Nekateri dodajajo med samoglasnike tudi črko �, v IAST l̄., ki jo v LATEX-

u dosežemo z .L. Ustreza dalǰsi varianti predhodne črke .Devanagari pozna še nekaj ločil in bralnih znamenj. Znak ।, danda,

označuje zarezo v stavku, navadno na koncu polkitice, znak ॥, dvojna danda,pa veliko zarezo oziroma konec kitice. V LATEX-u ju dosežemo z | oziroma ||.

Izpust začetnega a dosežemo z avagraho _, v LATEX-u .a. Včasih srečamoanunasiko ali čandrabindu , v LaTeX-u / in še nekatere druge potrebneznake: ^ ,�, , �, �.

Nekatere črke devanagarija so različne. Namesto a vidimo tudi a, name-sto J tudi J in J, črko Z nadomesti tudi Z, črko l pǐsejo nekateri kot l.Prav tako sta dve obliki številke 5, to sta 5 in 5, pa tudi dve obliki številke8, in sicer 8 in 8.

Zapisani samoglasniki lahko stojijo na začetku besed. Če samoglasnik

slǐsimo za soglasnikom, ga ne pǐsemo, ker je že zapopaden v le-tem. Posebni

dodatki povedo, kateri samoglasnik je za soglasnikom. Vzemimo primer k,ki se bere kot ka s kratkim a. Zapis kA se bere kot kā z dolgim a. Sledijo Ek– ki, kF – k̄ı, k� – ku, k� – kū, k� – kr. , k� – kr̄. , k� – kl., k� – ke, k{ – kai, ko –ko, kO – kau. Črtica nad samoglasnikom pomeni, da je le-ta dolg. Vedno sodolgi e, o, ai, au. Vse pa ne gre po tem kopitu, ker devanagari pozna ligature,

tako da se črke malo zlijejo. Tako imamo na primer: r – ra, z – ru, ! – rū.Nekaj besed: E/ – tri – tri, /pA E/t – trita – tretji, /pA – trapā – sram.

Znak virama ^ na koncu besede pove, da se samoglasnik a, ki je sicer delsoglasnika, ne izgovarja, na primer vAk̂ – vāk – glas. Brez virame bi namrečbrali vāka. Beseda ekAEkn̂ – ekākin – pomeni sam.

Anunasika (iz nAEskA – nāsikā – nos) ali čandrabindu označuje nosnoizgovorjavo, kakršno poznajo Francozi. Primera: ÊF , a .

Če nekaj sanskrtskih besed, ki so po izgovorjavi ali pomenu podobne

našim: aE`n, vE¡ – agni, vahni – ogenj, -myt� – smayate – smejati, sFdEt– s̄ıdati – sedeti, d�f – deśa – dežela, ptEt – patati – padati, Úvt� – plavate– plavati, ddAEt – dadāti – dati, b}vFEt – brav̄ıti – praviti.

11

2 Sanskrtska abeceda

Sanskrtska abeceda je urejen sestav simbolov – črk. Služi tudi za leksikograf-

sko ureditev sanskrtskih besed, na primer v slovarjih. Gre pa takole:

a a aA ā i i I ı̄ u u U ū

� r. � r̄. l.

e e e� ai ao o aO au

a\ m. a, h.

k ka K kha g ga G gha R ṅa

c ca C cha j ja J jha � ña

V t.a W t.ha X d. a Y d.ha Z n. a

t ta T tha d da D dha n na

p pa P pha b ba B bha m ma

y ya r ra l la v va

f śa q s.a s sa h ha

Črke, ki spadajo skupaj, so v tej abecedi v isti vrstici. Najprej je zapisana

v devanagariju, nato pa v sistemu IAST. Ligature soglasnikov so pogoste.

Primer: s spajanjem črk k in r nastane , črki r in y pa dasta y. Sevedaso tule črke samo ene oblike. Obstajajo tudi drugačne. Besedo sanskrt lahko

pǐsemo na primer kot

s\-k� tm̂, s\-k� tm̂, s\-k� tm̂, s\-k� tm̂.

Lahko spreminjamo tudi velikost črk:

s\-k� tm̂, s\-k� tm̂, s\-k� tm̂, s\-k� tm̂.

12

3 Števke in glavni števniki

Za matematike so zanimive sanskrtske števke in besede za glavne števnike.

Nekateri so kar podobne našim. Kot je razvidno iz tabele, obstajata dve

varianti zapisa števk za 5 in 8. V petem stolpcu je zapis IAST, v šestem pa

izgovorjava.

Številke Števniki

0 0 0 f� �y śūnya šunja

1 1 1 ek eka eka

2 2 2 E dvi dvi

3 3 3 E/ tri tri

4 4 4 ct� r̂ catur čatur

5 5 5 pÑn̂ pañcan panjčan

6 6 6 qq̂ s.as. šaš

7 7 7 sØn̂ saptan saptan

8 8 8 a£n̂ as.t.an aštan

9 9 9 nvn̂ navan navan

10 10 10 dfn̂ daśan dašan

Besede za zgornje glavne števnike so vzete iz [11]. Najdemo pa tudi nekoliko

drugačne zapise le-teh. Večmestna števila se v sanskrtu pǐsejo v običajnem

vrstnem redu. Od desne proti levi si sledijo enice, desetice, stotice, tisočice

itd. Števnik dvajset je v sanskrtu vim. śati, Ev\fEt. Tako kot v roman-skih jezikih, na primer v latinščini, italijanščini, francoščini, je beseda za

dvajset izjema glede na desetkratnike, ki sledijo. Tako kot v slovenščini in

nemščini se tudi v sanskrtu v dvomestnih številih postavlja enice pred dese-

tice: fünfundzwanzig, petindvajset je pañcavim. śati, pÑEv\fEt. Števnik stoje v sanskrtu śata, ft.

13

4 Začetki indijske matematike

V časih, ko so v Egiptu gradili velike piramide (okoli 2650 pne.), se je v dolini

Inda razvila civilizacija z visoko kulturo, kot pričajo izkopanine v Mohendžo-

daru in Harappi. Niso pa našli neposrednih dokazov, kako je bilo tam z

matematiko. Imeli pa so sistem mer in uteži ter neke vrste desetǐski številski

sistem. Gospodarji in ljudstva so se menjavali, uporabljali so se različni

jeziki in dialekti, zaradi česar je težko slediti razvoju matematike. Znanje se

je prenašalo z ustnim izročilom. Šele Vede, pisane v sanskrtu, nam dajejo

nekaj podatkov o najzgodneǰsi stari indijski matematiki.

Vede so v glavnem religiozna besedila, ki omenjajo velika števila in de-

setǐski številski sistem. Veliko pozornosti posvečajo razsežnostim, oblikam in

razmerjem zidakov, ki so jih uporabljali za zidanje oltarjev. Tudi Indijci so

poznali harpedonapte, napenjalce vrvi, ki so izvajali geometrijske meritve,

ki so potekale po določenih pravilih, lahko bi rekli po obredih. Zato ima

zgodnja indijska matematika pravi obredni značaj. Težko je reči, koliko sta

v tistih časih na indijsko vplivali egipčanska in kitajska matematika.

Vsako zbirko pravil za delo z merilno vrvjo so imenovali šulba-sutra. San-

skrta beseda šulba ali šulva pomeni merilna vrv, beseda sutra pa zbirka

pravil, splošnih resnic ali načel. Morda je bolj znana kama-sutra, ki obrav-

nava ljubezenske zadeve, in kot beseda tudi vsebuje izraz sutra. Beseda

kama pomeni ljubezen. Besede zapǐsimo še v standardu IAST in devanagari:

šulba – śulba – f� Sb, šulva – śulva – f� Sv, sutra – sūtra – s� /, šulba-sutra– śulbasūtra – f� Sbs� /, kama – kāma – kAm, kama-sutra – kāmasūtra –kAms� /.

Šulba-sutre so napisane v verzih. V njih se omenjajo osebe Baudha-

jana – baudhāyana – bODAyn, Manava – mānava – mAnv, Katjajana –kātyāyana – kA(yAyn in Apastamba – āpastam. ba – aAp-t\b. Slednji jeod vseh teh najbolj znan. Živeli naj bi v prvi polovici prvega tisočletja pred

našim štetjem. Poznali so konstrukcijo pravega kota z uporabo pitagorejskih

trojic (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) in (12, 35, 37). Morda je imela tu svoj

vpliv matematika Mezopotamije. Apastamba je v bistvu poznal Pitagorov

izrek, saj je vedel, da je kvadrat diagonale pravokotnika enak vsoti kvadra-

14

tov njegovih stranic. Znali so tudi pretvoriti pravokotnik v ploščinsko enak

kvadrat. Oblikovali so tudi pravila za pretvarjanje ravnih črt v krive in

obratno. Samo ugibamo lahko, koliko časa so nastajale šulba-sutre in če so

imele kako povezavo z egipčanskim zemljemerstvom in grškim problemom

podvojitve podstavka oltarja v obliki kocke.

Pretvorba pravokotnika s stranicama a in b, kjer je a > b, v ploščinsko

enak kvadrat je pri Indijcih dejansko temeljil na enakosti(a+ b

2

)2−(a− b

2

)2= ab.

Brez težav se namreč da konstruirati tak pravokoten trikotnik, ki ima eno

kateto enako (a− b)/2 in hipotenuzo enako (a+ b)/2. Kvadrat druge katetec je potem ravno leva stran zgornje enakosti, tako da je c2 = ab. Kvadrat s

stranico c ima potem enako ploščino kot pravokotnik s stranicama a in b.

Kot približek števila√

2 so uporabljali

1 +1

3+

1

3 · 4− 1

3 · 4 · 34=

577

408≈ 1.4142,

za število π pa slabe približke: 3, 3.004, 3.08831, 3.08833, 3.125.

Davno, v 4. stoletju pred našim štetjem, je živel v Indiji jezikoslovec

Panini – pān. ini – pAEZEn, ki se je ukvarjal, kot bi danes rekli, s formalnologiko. Napisal je eno prvih slovnic v osmih poglavjih za sanskrt. Vsebuje

skoraj 4000 pravil. Imenuje se Aštadhjaji – as.t. ādhyāȳı – a£A@yAyF. Nje-gova slovnica je postala zanimiva za moderno računalnǐsko jezikoslovje, ker

je uvedel simbole in z njimi operiral. Imajo ga za utemeljitelja klasičnega

sanskrta.

Indijski strokovnjak za metriko v poeziji Pingala – piṅgala – EpR̂gl, kise je tudi ukvarjal z matematiko, podobno kot Giuseppe Tartini (1692–1770),

naj bi v 3. stoletju pred našim štetjem odkril binomske koeficiente in Pascalov

trikotnik. Kdaj točno je živel Pingala, ni znano. Binomskim koeficientom

je dal današnjo obliko(nk

)šele Andreas von Ettingshausen (1796–1878). Et-

tingshausen je bil doktorski mentor Jožefu Stefanu (1835–1893). Pascalov

trikotnik je dobil ime po Blaisu Pascalu (1623–1662). Pingala se je zanimal

15

za zaporedja dolgih in kratkih zlogov v besedilu z danim številom zlogov.

Če je enim priredil vrednost 1, drugim pa 0, pomeni, da je dejansko de-

lal z binarnim številskim sistemom. Njegovo glavno delo je Čhandahšastra –

chandah. śāstra – C�d,fA-/, ena najzgodneǰsih razprav o metriki v poeziji. V10. stoletju je namreč Halajudha – halāyudha – hlAy� D komentiral Pingalovodelo in prǐsel do sklepa, da je Pingala poznal Pascalov trikotnik, meru pras-

tara – meru prastāra – m�z þ-tAr, in celo Fibonaccijeva števila, matrameru– mātrāmeru – mA/Am�z. Vsi zgodovinarji pa se s Halajudho popolnoma nestrinjajo.

5 Doktrine

Vede sicer omenjajo aritmetična in geometrijska zaporedja, s katerimi naj bi

se v Indiji ukvarjali že okoli leta 2000 pne., vendar pisnih virov o tem ne

poznamo. Pravijo, da je že v šulba-sutrah zaznati elemente neizmerljivosti

dolžin daljic. Težko pa je za staro indijsko matematiko reči, katere teme

v njej prevladujejo, kot lahko na primer za staro grško trdimo, da je zelo

geometrijska. Stara indijska matematika je zelo prepletena z religijo, folkloro

in filozofijo.

Zagotovo pa je v Indiji obdobju šulba-sutr sledilo obdobje, v katerem so

prevladovale siddhante. Beseda siddhanta – siddhānta – EsA�t je težkoprevedljiva. Lahko bi bila to doktrina, tradicija, princip, pravilo, teorija,

dogma, aksiom, učenje, končni sklep, rešitev ali razprava. Ne motimo se,

da gre konkretno za astronomske razprave, pisane v verzih. Indijski mate-

matik, astronom in astrolog Varahamihira (505–587) – varāhamihira – vrA-hEmEhr je siddhante zbral in uredil. Pet siddhant je zbral v delu z naslovomPanča-siddhantika – pañcasiddhāntikā – pÑEsAE�tkA. Seveda veliko indij-skih učenjakov zagovarja njihovo originalnost.

Paulǐsa-siddhanta – paulísasiddhānta – pOElfEsA�t je nastala okolileta 380, ime pa je dobila po astrologu Pavlu iz Aleksandrije. Tako trdi

perzijski matematik Al Biruni (973–1048), v arabščini ù

KðQ�J. Ë @. Vsestranski

Al Biruni je poleg matematike, fizike, naravoslovja in astronomije obvladal

16

še zgodovino, kronologijo in več jezikov, tudi sanskrt in grščino. Al Biruni

opozarja na grški izvor ali pa vsaj na velik grški vpliv na to delo. Najdejo

se namreč v podrobnostih podobnosti s Ptolemajevimi deli. Za število π

navajajo nepravi ulomek 3 177/1250, Ptolemaj pa v šestdesetǐskem sistemu

3; 8 30, kar je 3 17/120.

Navedimo še preostale štiri siddhante. Surja-siddhanta – sūryasiddhānta

– s� yEsA�t je nastala okoli leta 400 in je v celoti ohranjena. Po navadiSurja-siddhanta prevajajo kot Sončev sistem. Beseda Surja – sūrya – s� y vsanskrtu namreč pomeni sonce, pa tudi bog sonca, v Vedah včasih hči sonca.

Paitamaha-siddhanta – paitāmahasiddhānta – p{tAmhEsA�t je zelo starain zaradi nizke tehnične razvitosti v času njenega nastajanja še zelo ne-

natančna. Obravnava astronomska vprašanja, na primer pojavljanje letnih

časov.

Vasǐstha-siddhanta – vāsis.t.hasiddhānta – vAEs¤EsA�t je dobila ime poenem od sedmih indijskih svetih modrecev – saptars. i – sØEq. Ta beseda seuporablja tudi za sedem zvezd v ozvezdju Velikega voza. Vasǐstha-siddhanta

je ena najstareǰsih indijskih astronomskih razprav. Vsebuje tudi algoritme

za računanje koledarjev. Al Biruni jo pripisuje astronomu Vǐsnu Čandri –

vis.n. ucandra – EvZ� c�dý .Romaka-siddhanta – romakasiddhānta – romkEsA�t je dobesedno Rim-

ska siddhanta. Pri tem je mǐsljeno Vzhodno rimsko cesarstvo, Bizantin-

sko cesarstvo, kjer so uporabljali grški jezik, skratka Zahod z indijskega

vidika. Rimska siddhanta vključuje nekatera znanja s področja matematike,

astronomije in astrologije, ki jih je poznal vzhodni del nekdaj mogočnega

Rimskega cesarstva.

Računati je treba tudi na to, da so siddhantam v toku zgodovine tudi

marsikaj dodali ali da se je kaj izgubilo. Bistveni napredek v siddhantah,

zaradi česar Indijci zagovarjajo njihovo originalnost, je zamenjava Ptolema-

jeve tetive, ki v krogu pripada sredǐsčnemu kotu, s poltetivo, ki ustreza

polovici sredǐsčnega kota ali kar obodnemu kotu. S tem so Indijci vpe-

ljali skoraj tako funkcijo sinus, kot jo poznamo danes. Bil pa je odvisen od

polmera r kroga, v katerem so risali tetivo oziroma poltetivo. Koliko nekih

17

dolžinskih enot so vzeli za polmer r? Več o tem bo povedanega v nadalje-

vanju. Težava je bila v tem, da so kote merili v nedolžinskih enotah, stopinjah

in njihovih delih. Namesto kota so začeli uporabljati ustrezen krožni lok pri

danem polmeru r kroga. Zato je bilo potrebno celoten krožni lok razdeliti

na primerno število enako dolgih delov. To pa gre tem natančneje, čim

bolj natančno poznamo število π. V obdobju siddhant so izbolǰsali približek

števila π na√

10 ≈ 3.1622.

6 Indijski Elementi

Okoli leta 500 je v Indiji nastalo znano, v verzih pisano delo Arjabhatija

– āryabhat. ı̄ya – aAyBVFy. Pokriva matematiko in astronomijo. Delo jenapisal eden najbolj znanih indijskih matematikov Arjabhata (476–550)–

āryabhat.a – aAyBV. Tako kot je Evklid (365–275 pne.) – Εὐκλείδης nekočzbral vse znanje matematike na grškem področju v svojih Elementih – Στοιχεῖα,je Arjabhata zbral dotakratno indijsko znanje matematike in astronomije

v Arjabhatiji. Morda so Indijci zaradi nje nekoliko zanemarili nekatere

stareǰse matematike in njihova dela, ki so se povečini izgubila. Glavna raz-

lika med Evklidovimi Elementi in Arjabhatijo je v strukturi dela. Evklidov

pristop je sistematičen in metodičen, vsebuje aksiome, definicije, izreke, leme

z dokazi, Arjabhatija pa je večinoma opisno delo, zbirka pravil za računanje

in določanje ploščin ter prostornin, brez sledi deduktivne metode.

Približno tretjino Arjabhatije pokriva matematika v verzih, ganitapada

– gan. itapāda – gEZtpAd. Na začetku so navedena nekatera imena potencštevila 10 in navodila za računanje kvadratnih ter kubičnih korenov naravnih

števil. Sledijo navodila za izračun ploščin in prostornin. V starih časih

niso poznali formul in matematičnih znakov, zato so vsa navodila izrazili z

besedami naravnega jezika. Za ploščino trikotnika je v Arjabhatiji naveden

pravilen postopek, presenetljivo pa ne za prostornino piramide. Za slednjo

pravi navodilo, da je treba pomnožiti ploščino osnovne ploskve s polovično

dolžino vǐsine. Za primerjavo: Egipčani so poznali pravilen postopek. Tudi

za prostornino krogle je naveden napačen postopek. Po teh navodilih je pros-

18

tornina krogle enaka produktu ploščine glavnega krogelnega kroga in kvadrat-

nega korena te ploščine, to se pravi, da je prostornina krogle s polmerom

r enaka πr2√πr2 = π

√πr3, kar pa je daleč od pravilnega rezultata. Za

računanje ploščine štirikotnikov je navedenih nekaj pravilnih, pa tudi precej

nepravilnih postopkov. Pač pa je primer za obseg kroga kar natančen. Ob-

seg kroga s premerom 20 000 je približno 104 · 8 + 62 000. Iz tega dobimoπ ≈ 62 832/20 000 = 31 416/10 000 = 3.1416.

Arjabhatija obravnava tudi aritmetično zaporedje s pravilom za izračun

vsote prvih nekaj njenih členov in pravilom za izračun števila členov arit-

metičnega zaporedja pri njeni znani vsoti, razliki in prvem členu. Problem

zahteva reševanje kvadratne enačbe. Pri znani razliki d in prvem členu a1 je

namreč n-ti člen aritmetičnega zaporedja: an = a1 + (n − 1)d. Vsota prvihn členov je potem

Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + . . .+ (a1 + (n− 1)d) = na1 +n(n− 1)d

2.

Sledi kvadratna enačba za n:

dn2 + (2a1 − d)n− 2Sn = 0.

Njena rešitev je

n =d− 2a1 +

√(2a1 − d)2 + 8dSn

2d=

√8dSn + (2a1 − d)2 − 2a1

d+ 1

2,

kar je v Arjabhatiji pravilno opisano z besedami. Za ponazoritev, kako je to

šlo, navedimo prevod besedila.

Pomnoži vsoto členov zaporedja z osemkratno razliko, prǐstej

kvadrat razlike dvakratnika prvega člena in razlike, povleci iz tega

kvadratni koren, odštej dvakratnik prvega člena, deli z razliko,

prǐstej ena in deli z dve. Rezultat je število členov.

V zvezi z obrestno-obrestnim računom najdemo v Arjabhatiji tudi primere

geometrijskega zaporedja. Na slikovit način obravnava tudi sklepni račun

19

oziroma po naše reševanje enačbe a/b = c/x. Zaradi dobrih in slabih strani

Arjabhatije jo je Al Biruni označil kot mešanico prodnikov in dragocenih

kristalov.

Tematika druge polovice Arjabhatije sta čas in sferna trigonometrija.

Tukaj mrgoli desetǐsko zapisanih števil. Mestni zapis števil so poznali že

v Mezopotamiji, kjer so se mučili s šestdesetǐskim številskim sistemom in 59

simbolom proti koncu babilonskega obdobja, ko je Aleksander Makedonski

(356–323 pne.) sesul tamkaǰsnje vladavine, dodali še znak za ničlo. Alek-

sander je prodrl leta 326 pne. s svojo vojsko do Inda, kjer je imel nemalo

težav z Indijci in svojimi, nakar se je nekako vrnil v Mezopotamijo in umrl

v Babilonu. Najstareǰsi zapisi števil s črticami so bili znani tudi Indijcem,

kar izpričujejo zapisi v Mohendžo-daru. Pojavljali so se tudi zapisi števil s

črkami, kar nas spominja na atǐski, akrofonični številski sistem na Grškem. V

času indijskega kralja Ašoke (304–232 pne.) so uporabljali tak črkoven zapis

števil. Ašoka – aśoka – afok je vladal obsežnemu imperiju, ki je segal odAfganistana do Asama, na severu do Himalaje, na jugu pa do Kerale. Ašoka

je dal postaviti po vseh večjih mestih stebre z vklesanimi števkami. Atǐski

akrofonični številski sistem je uporabljal črke za nekaj glavnih števil: Ι – 1,Π – 5 – πέντε, Δ – 10 – δέκα, Η – 100 – ἑκατόν, Χ – 1000 – χίλιοι, Μ –10000 – μύριον. Indijci so pisali številke podobno. Njihove so znane v pisavikharošthi – kharos.t. h̄ı – Kro¤F, ki ima posebne znake za 4, 10, 20 in 100.Postopoma so uvedli črkovni zapis števil, podobno kot Grki, verjetno pod

njihovim vplivom. Uporabljali so pisavo Brahmi – brāhmı̄ – b}AF. Pisava jenastala v 3. stoletju pred našim štetjem in so jo uporabljali vse do 5. stoletja

našega štetja.

Za prehod na mestni desetǐski sistem sta bila potrebna dva koraka. Naj-

prej spoznanje, da devet števk zadošča tudi za zapis deset, sto, tisoč, . . . krat-

nikov. Ni znano, kdaj točno se je to zares zgodilo in zakaj. Znano pa je, da

se je to zgodilo v Indiji. Tako imenovane indijske številke so morda nastale

pod vplivom babilonskega mestnega zapisa. Možno pa je, da so na Indijce

pri tem vplivali Kitajci, ki so tiste čase že poznali nekakšen mestni zapis.

Obstaja celo domneva, da so mestni desetǐski zapis odkrili aleksandrijski

20

učenjaki in da se je potem razširil proti Indiji. Podobno kot Grki so pisali

tudi ulomke, niso pa uvedli desetǐskih ulomkov po zgledu Babiloncev, ki so

poznali šestdesetǐske ulomke.

Prvi je indijske številke omenjal leta 662 sirijski škof Severus Sebokht

(575–667). Bizantinski cesar Justinjan (482–565) je leta 529 ukinil Platonovo

akademijo v Atenah, ustanovljeno leta 387 pred našim štetjem. Nekateri

učenjaki so se zato preselili v Sirijo, kjer so ustanovili grške šole. V Siriji je

Sebokht srečal Indijce, ki so ga seznanili z njihovimi natančnimi astronom-

skimi raziskavami in računskimi metodami, ki so bile nekaj več kot le opiso-

vanje. Računanje pa je bilo izvedeno z devetimi indijskimi števkami. Te so

bile tisti čas že kar stare, saj so na neki plošči iz leta 595 odkrili z indijskimi

števkami zapisano leto 346.

Drugi korak do popolnosti indijskega mestnega desetǐskega številskega

sistema pa je bila vpeljava znaka za nič. Dolgo časa so namesto zapisa

ničle puščali kar prazen prostor. Nedvomno uporabo znaka za nič izpričuje

neki napis šele iz leta 876. Morda uporaba ničle izvira iz grškega sveta,

saj je Klavdij Ptolemaj v svojem Almagestu v tabelah uporabljal znak za

nič. Skratka, število indijskih števk so zaokrožili na deset in z njimi so

lahko zapisali vsako naravno število in ulomke. Indijske števke se po obliki

razlikujejo od črk. So pa spreminjale obliko v času in prostoru. Indijski način

zapisovanja števil je nedvomno velik napredek v razvoju matematike. Z njimi

z lahkoto zapǐsemo vsako število, hitro se jih naučimo seštevati, odštevati in

množiti. Deljenje in korenjenje je nekoliko težje, a pravi mojstri so nekoč

tudi to znali.

V Bizantinskem cesarstvu pa so do propada Konstantinopla leta 1453

uporabljali za desetǐske števke kar nekdanje črkovne simbole α, β, γ, δ, ε, ϛ,ζ, η, θ za 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, za ničlo pa so uporabljali znak, podoben

h

.

Naslednji velik indijski prispevek v matematiki je uvedba sinusne funkcije

namesto grških tetiv v krogu. Prve znane tabele za sinus zasledimo v sid-

dhantah in Arjabhatiji. Tabele so izračunane za kote, pravzaprav loke od

3 3/4◦ do 90◦ s korakom 3 3/4◦, to je 24 lokov. Pri tem je uporabljena tudi

neka rekurzijska formula. Za polmer r kroga je izbrano število 3 438, za obseg

21

pa 360 · 60 = 21 600. Vsaki kotni stopinji ustreza s tem lok, ki ima dolžino60 enot. S tem naj bi bila lok in sinus izražena v istih enotah. Približek

za število π je potemtakem 21 600/6 876 = 600/191 = 3.1414. V neki drugi

situaciji Arjabhata uporablja za π približek√

10.

Lok, ki ustreza kotu 3 3/4◦, je pri zgornjih podatkih enak 60 · 3.75 =225. Tetiva pa meri po našem tedaj r sin 3.75◦ = 3 438 sin(3.75π/180) =

224.855958, kar je približno 225. Arjabhata je vedel, da je sinus majhnega

loka kar ta lok. Če Arjabhatov sinus označimo s Sin, kar pomeni Sinα =

r sinα, in sn = Sin(n ·3.75◦) za 1 ≤ n ≤ 24, potem je njegov rezultat okroglos1 = Sin 3.75

◦ = 225. Če označimo še

Sn = Sin(1 · 3.75◦) + Sin(1 · 3.75◦) + . . .+ Sin(n · 3.75◦),

potem lahko omenjeno rekurzijsko formulo v Aryabhatiji zapǐsemo kot sn+1 =

s1 + sn − Sn/s1. Ni znano, kako so jo dobili. Preizkusimo:

s2 = 2s1 − 1 = 2 · 225− 1 = 449.

Točna vrednost je s2 = Sin(7.5◦) = 3438 sin(2 · 3.75π/180) = 448.7490488.

Podobno dobimo

s3 = s2 + s1 − S2/s1 = 449 + 225− (449 + 225)/225 ≈ 671,

točna vrednost pa je s3 = Sin(11.25◦) = 3438 sin(3·3.75π/180) = 670.7205270.

Tako si lahko ustvarimo vtis o natančnosti tabel v Arjabhatiji.

7 Kako se je godilo sinusu in kosinusu

Šestdesetǐski številski sistem je veliko uporabljal Klavdij Ptolemaj, aleksan-

drijski matematik, astronom, astrolog in geograf. Napisal je za tiste čase ve-

liko del, ki so bila še več stoletij pomembna za islamsko in evropsko znanost.

Njegovo najpomembneǰse delo je Matematična razprava, po grško Μαθη-ματικὴ σύνταξις, ki je postalo zaradi svoje popolnosti znano tudi kot Ve-lika razprava, v grščini ῾Η μεγάλη σύνταξις, in celo Največja razprava, ῾Η

22

μεγίστη σύνταξις. Arabski prevod ima zato naslov ù

¢j. ÒË@, kar beremo

al-madžisti, iz grškega ženskega superlativa μεγίστη, kar pomeni največja,prevod iz arabščine v latinščino pa Almagest. Ptolemaju gre velika zasluga,

da je za več kot tisoč let postavil geocentrični svetovni sistem, vse do časov

Nikolaja Kopernika (1473–1543).

Almagest med drugim vsebuje tabele dolžin tetiv, ki ustrezajo v krogu s

polmerom r = 60 enot, imenovanih delov, v grščini τμήματα, izbranim lokom,ki ustrezajo sredǐsčnim kotom α. Pri sredǐsčnem kotu α je tedaj tetiva AB

dolga 2r sinα/2.

Loki so v tabelah zapisani z grškimi črkovnimi številkami, ustrezne tetive

pa v šestdesetǐskem številskem sistemu, tudi z grškimi številkami. Za polovico

je uporabljen znak 6 ′. Tabele vsebujejo tetive za vse krožne loke v stopin-

jah, od 1/2◦ do 180◦ s korakom 1/2◦. Tetive so izračunane s celim delom

ter dvema seksagezimalama natančno. Dodani so še stolpci za interpolacijo

tetiv vmesnih lokov. Za ničlo služi črka omikron (O), kar je prva črka grške

besede οὐδέν, ki pomeni nič. Nad stolpcem za loke pǐse περιφερειῶν, nadtetivami εὐθειῶν, nad interpolacijskim pomagalom pa ἑξηκοστῶν. To somnožinski rodilniki besed περιφέρεια, obod, krog, εὐθεῖα, ravna črta, ἑξη-κοστά, šestdesetinka, minuta.

Slika 2: Tetiva, lok in ustrezni sredǐsčni kot.

Z vpeljavo funkcije crd, ki sredǐsčnemu kotu α oziroma krožnemu loku AB

v krogu s polmerom r priredi tetivo AB (slika 2), lahko zapǐsemo |AB| =

23

crdα = 2r sinα/2. Potem je crd(180◦−α) = 2r cosα/2 in enakost, analognaenakosti sin2 α + cos2 α = 1, se glasi:

crd2 α + crd2(180◦ − α) = 4r2.

Enakost lahko vidimo tudi kot posledico Pitagorovega in Talesovega izreka

(slika 3). Pitagora s Samosa (570–495 pne.) – Πυθαγόρας ὁ Σάμιος in Talesiz Mileta (624–546 pne.) – Θαλῆς ὁ Μιλήσιος sta bila znana starogrška mate-matika in filozofa. Ime funkcije crd izhaja iz grške besede χορδή, kar je

Slika 3: Tetivi suplementarnih sredǐsčnih kotov.

črevo oziroma struna iz črev. Tetiva je namreč videti kot struna, napeta

na krožni lok. Funkcija crd je dolgo služila namesto sinusa, ki je prǐsel, kot

bomo videli, iz Indije. V Indiji in tudi drugje še dolgo niso delali z enotskim

krogom. Za polmer r so v zgodovini jemali različno število nekih dolžinskih

enot. Arjabhata je na primer vzel r = 3 438, Ptolemaj pa r = 60. V Panča-

siddhantiki je r = 120. Sinus kota je v sodobni matematiki v enotskem krogu

dolžina polovične tetive, ki ustreza polovičnemu sredǐsčnemu kotu cele tetive.

V Indiji so prǐsli do zaključka, da je bolje vpeljati funkcijo, ki polovici

sredǐsčnega kota priredi polovico tetive, poltetivo. Arjabhata imenuje polte-

tivo v sanskrtu ardha-džja – ardha-jyā, v pisavi devanagari aD>yA. Postopo-ma so besedo skraǰsali kar v džja – jyā – >yA, pa tudi v dživa – j̄ıvā – jFvA,kar je nekdo zamešal z džiba – j̄ıbā – jFbA. Oboje se pǐse zelo podobno.Arabci, ki ne pǐsejo samoglasnikov razen morda neke dodatne znake pod in

24

nad soglasniki, so prevzeli oznako džb in zapisali I. k. . Evropejci preberejo to

kot džaib, I. Jk. , kar pomeni žep, zaliv, in prevedejo v sinus (Gerardo iz Cre-

mone (1104–1187)). Ta izraz za trigonometrično funkcijo sinus je v veljavi

še danes. Nekateri narodi uporabljajo svoje izraze, na primer sine Angleži,

seno Italijani, Španci in Portugalci, sinüs Turki.

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...................

....................

....................

......................

.......................

.........................

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

jyā

kojyā, kot.i-jyā utkrama-jyā, śara

lok – cāpa

ϑ

polmer – vyāsārdha

Slika 4: Trigonometrične funkcije.

Polmer r kroga je v sanskrtu vjasardha – vyāsārdha – &yAsAD, krožnilok pa čapa – cāpa – cAp. Če je indijski sinus džja – jyā, je indijski kosinuskoti-džja – kot.i-jyā ali kodžja – kojyā, koEV>yA ali ko>yA. Radij, zmanǰsanza kosinus kota, so imenovali utrakrama-džja – utkrama-jyā ali šara – śara,

u(m>yA ali fr.Če indijski sinus in kosinus spet označimo s Sin in Cos, potem lahko

zapǐsemo Sinϑ = r sinϑ, Cosϑ = r cosϑ. Osnovna zveza med njima pa je

Sin2 ϑ+ Cos2 ϑ = r2.

Kotna funkcija sinus versus, obrnjeni sinus, v oznakah vers, ki se pa zelo

redko uporablja, je definirana s formulo versϑ = 1 − cosϑ. Če analognoSinϑ in Cosϑ vpeljemo Versϑ = r versϑ, potem je indijska utkrama-džja

kota ϑ preprosto kar Versϑ.

25

Pri indijski trigonometriji ne moremo kar tako mimo matematika in as-

tronoma Bhaskare Stareǰsega (600–680). Komentiral je Arjabhatijo in v

zvezi z njo napisal dve siddhanti: Maha-bhaskarija – mahābhāskar̄ıya –

mhABA-krFy in Laghu-bhaskarija – laghubhāskar̄ıya – lG� BA-krFy. V prvije z besedami opisal zelo dober racionalni približek za sinusno funkcijo, ki bi

ga danes zapisali v obliki

sin(πx) ≈ 16x(1− x)5− 4x(1− x)

, 0 ≤ x ≤ 1.

Ni znano, kako je avtor prǐsel do te formule. S sodobnimi pripomočki lahko

ugotovimo, da je največje odstopanje desne strani v zgornji aproksimaciji od

funkcije sin(πx) pri x = 0.064 in x = 0.936, in sicer za 0.0016, kar je izredno

malo. Pri x = 0, 1/6, 1/2, 5/6, 1 pa se leva in desna stran celo ujemata (slika

5).

Slika 5: Odstopanja Bhaskarove aproksimacije.

Bhaskara Stareǰsi je postavil tudi vprašanje, ki vodi do Pellove enačbe.

Povej, matematik, kateri kvadrat, pomnožen z osem in povečan

za ena, da nov kvadrat.

Če je stari kvadrat y2, novi pa x2, potem ǐsčemo taki naravni števili x in

y, da velja 8y2 + 1 = x2, kar je Pellova enačba x2 − 8y2 = 1. Eno rešitevhitro uganemo: (x, y) = (3, 1). Ni pa to edina rešitev. Tudi (x, y) = (17, 6)

je rešitev, pa tudi (x, y) = (99, 35). Rešitev je nešteto. Kako se jih dobi,

bomo spoznali v nadaljevanju.

26

8 Ne gre brez skrivnosti

Leta 1881 so v bližini vasi Bakhšali – bakhśāl̄ı – bHfAlF blizu Pešavarja(v paštanskem jeziku Pñ . �.. K�, v jeziku urdu PðA

���, v sanskrtu Purušapura –

purus.apura – p� zqp� r) v današnjem Pakistanu našli matematično besedilo,napisano na brezovem lubju. Precej listov je vzel zob časa, 70 pa je do-

bro ohranjenih in znanstveniki so se jih lotili preučevati z veliko vnemo.

Napisani so v neki mešanici prakrta in sanskrta. Dokumentu se je prijelo

ime Bakhšalijski rokopis. Hitro se je izkazalo, da je to pravzaprav priročnik

matematičnih pravil in primerov nazornih nalog z rešitvami. V glavnem

pokriva aritmetiko in algebro, vsebuje pa tudi naloge iz geometrije vključno

z računanjem ploščin in prostornin. Nikakor pa še niso uspeli ugotoviti, kdaj

je rokopis nastal. Verjetno je bil napisan v času od 3. do 11. stoletja na

podlagi še stareǰsih rokopisov. V Bakhšalijskem rokopisu je uporabljenih

10 števk, vključno z ničlo, števila, tudi števci in imenovalci ulomkov, so za-

pisana v desetǐskem sistemu. Uporabljeni so posebni znaki oziroma okraǰsave

za nekatere računske operacije.

Bakhšalijski rokopis so začeli študirati takoj po odkritju, ga obravnavali

po matematičnih konferencah in objavljali članke v zvezi z njim. Danes ga

hrani knjižnica Bodleian Library v Oxfordu.

Posebno je zanimiv postopek korenjenja števil. Sicer rokopis govori samo

o postopku korenjenja naravnih števil, ki pripelje do zaporednih racionalnih

približkov. Je pa pravilen za vsa pozitivna realna števila, njegova odlika pa je

hitrost konvergence zaporedja približkov. Denimo, da bi radi izračunali√a za

pozitivno število a. Za prvi približek x0 vzamemo število, katerega kvadrat

je zelo blizu a. Nato izračunamo pomožno število y0 = (a − x20)/(2x0) innaslednji približek x1 za

√a po formuli: x1 = x0+y0−y20/(2(x0+y0)). Potem

postopek ponovimo tako, da za nov približek vzamemo x1. Postopek po-

navljamo toliko časa, kolikor je potrebno za predpisano natančnost. Delamo

skratka s sistemom rekurzij:

yn =a− x2n

2xn, xn+1 = xn + yn −

y2n2(xn + yn)

.

27

Izkaže se, da je

limn→∞

xn =√a, lim

n→∞yn = 0.

Iz besedila ni razvidno, kako so do rekurzij prǐsli. Za ilustracijo izračunajmo√2 po tem postopku, tako da vzamemo a = 2. Naj bo x0 = 1. Dobimo:

y0 =1

2, x1 =

17

12, y1 = −

1

408, x2 =

665857

470832,

y2 = −1

627013566048, x3 =

1572584048032918633353217

1111984844349868137938112.

Da bi laže kontrolirali točnost, zapǐsimo približke in√

2 na 50 decimalk:

x1 = 1.41666666666666666666666666666666666666666666666666,

x2 = 1.41421356237468991062629557889013491011655962211574,

x3 = 1.41421356237309504880168872420969807856967187537723,√2 = 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694.

Opazimo, da se x1 ujema s pravo vrednostjo na 2, x2 na 11 in x3 na 47

decimalkah. Na vsakem koraku iteracije dobimo približno 4-krat več točnih

decimalk.

Bakhšalijski rokopis navaja zanimive naloge, ki vodijo do linearnih enačb.

Te imajo eno samo rešitev ali pa tudi več. Oglejmo si primer.

Oseba A ima sedem žrebcev, oseba B devet kobil, oseba C

pa deset kamel. Vsak da dve živali ostalima dvema, tako da so

potem vsi enako bogati. Najdi vrednost vsake živali posebej in

vrednosti vseh živali skupaj za vsakega lastnika posebej.

Rešimo to nalogo! Vsak žrebec naj stane x1, vsaka kobila x2 in vsaka

kamela x3 dinarjev. Po predaji živali je oseba A imela 5 žrebcev, eno kobilo

in eno kamelo, vse skupaj v vrednosti 5x1 + x2 + x3 dinarjev. Oseba B je

imela 7 kobil, enega žrebca in eno kamelo, kar je bilo vredno x1 + 7x2 + x3

dinarjev, oseba C pa je na koncu imela 8 kamel, enega žrebca in eno kobilo

v skupni vrednosti x1 + x2 + 8x3 dinarjev. Ker vemo, da so bili potem vsi

28

enako bogati, denimo da je bilo premoženje v teh živalih za vsako omenjeno

osebo vredno v celih številih c dinarjev, velja sistem diofantskih enačb:

5x1 + x2 + x3 = c,

x1 + 7x2 + x3 = c,

x1 + x2 + 8x3 = c.

Z odštevanjem prve in druge, prve in tretje ter druge in tretje enačbe tega

sistema, kraǰsanjem in preurejanjem dobimo nove enačbe:

2x1 = 3x2, 4x2 = 7x3, 6x2 = 7x3.

Leva stran nove prve enačbe je deljiva s številom 2, ki je tuje 3, zato mora

x2 biti deljivo z 2. To pomeni, da lahko zapǐsemo x2 = 2`, kjer je ` celo

število. Zato je x1 = 3`. Nato dobimo iz nove druge enačbe 7x3 = 12`,

kar pa pomeni, da je ` deljiv s 7 in ga lahko zapǐsemo kot ` = 7m, kjer

je m celo število. Tako imamo x1 = 21m,x2 = 14m in x3 = 12m. Ker je

6x2−7x3 = 6·14m−7·12m = 0, je izpolnjena tudi nova tretja enačba. Vsakaoseba ima torej živalsko premoženje v vrednosti c = 131m dinarjev. Žrebci

so po 21m dinarjev, kobile po 14m dinarjev in kamele po 12m dinarjev. Pri

tem je m naravno število. Rešitev je torej nešteto. Rokopis navaja samo eno:

x1 = 42, x2 = 28, x3 = 24, c = 262. Dobimo jo iz našega rezultata za m = 2.

Naslednja naloga v Bakhšalijskem rokopisu se glasi:

Paža sta kraljeva strežnika. Prvi od njiju zasluži 13/6 dinarjev

na dan, drugi pa 3/2 dinarjev na dan. Prvi dolguje drugemu 10

dinarjev. Kdaj bosta imela enako vsoto denarja?

Kako rešimo to nalogo? Naj bo x število dni, po katerih bosta oba paža

imela enako vsoto denarja. Potem mora veljati enačba

13

6x− 10 = 3

2x+ 10.

Če jo na obeh straneh pomnožimo s 6, dobimo:

13x− 60 = 9x+ 60 =⇒ 4x = 120 =⇒ x = 30.

Po 30 dneh bosta paža imela enaki vsoti denarja.

29

9 Običajno računanje

Indijska trigonometrija je bila pod vplivom grške, običajna geometrija pa se

v Indiji ni razvijala tako kot na Grškem. Tudi s krivuljami se niso ukvarjali

razen s krožnico. Kitajci in Indijci so stožnice kar nekako spregledali. Najbolj

so se posvetili številom, aritmetičnim operacijam in enačbam. Mestni zapis

pa je lahko nevaren, saj se hitro najde goljuf, ki zapǐse kako števko pred ali

za številom in ga s tem poveča. Zato so dodali kakšen dodaten znak, ki je

označeval začetek in konec zapisanega števila. To velja še danes. Ni odveč,

da včasih števila zapisujemo še z besedami.

Pri računanju so v starih časih pisali po ploščah, enakomerno potresenih

z drobnim peskom ali moko. V bistvu števila še danes seštevamo in množimo

tako kot nekoč Indijci. Seštevanje ni delalo težav, za množenje pa so uporabili

tabelo, v katero so vpisovali delne produkte in jih v predpisanem zaporedju

sešteli s prehodom čez desetice.

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

6

5

←− 65

365↓

3 6 5

1 3 3

1 3 2

8 6 0

5 0 5

2

3

7 2 5

Slika 6: Množenje.

Za zmnožek trimestnega in dvomestnega število narǐsemo kvadratno mrežo

3× 2, vsak kvadrat pa razdelimo po diagonali v smeri ↙. Trimestno številozapǐsemo nad tabelo, dvomestno pa na desni strani tabele (slika 6). Nato

vpǐsemo v vsak kvadrat delni produkt števila zgoraj in na desni strani. Enice

vpǐsemo pod diagonalo, desetice pa nad njo. Nato v smeri ↙ seštejemo vsa

30

dobljena števila v tabeli, in sicer od desne proti levi. Upoštevamo prehod čez

deset, če je treba. Delne vsote pǐsemo pod tabelo in ob njeni levi strani s tem

dobimo vse števke iskanega produkta. S tem smo izračunali: 365·65 = 23 725.Tako lahko zmnožimo poljubni števili, le tabela je lahko drugih dimenzij. Or-

ganizacija množenja je lahko tudi drugačna od opisane.

Pisno deljenje dolgih števil je bilo vedno mukotrpno, tako kot danes.

So pa vsi, Grki, Indijci in Kitajci, poznali pravilo devetice pri preverjanju

pravilnosti rezultata. Ni znano, kdo je to pravilo prvi odkril. Ve pa se, da je

prek Arabcev v 11. stoletju prǐslo v splošno rabo.

Preverimo račun 365 · 65 = 23 725. Številska vsota prvega faktorja je3 + 6 + 5 = 14, ki po deljenju z 9 da ostanek 5. Številska vsota drugega

faktorja je 6 + 5 = 11, ki po deljenju z 9 da ostanek 2. Številska vsota

produkta je 2 + 3 + 7 + 2 + 5 = 19, ki po deljenju z 9 da ostanek 1. Produkt

ostankov faktorjev je 5 · 2 = 10, ki po deljenju z 9 tudi da ostanek 1. Torejje produkt danih števil pravilen.

10 Težave s štirikotniki

Težave z indijsko matematiko so kronološke narave. Tako kot je težko dati-

rati nastanek neke fotografije in določiti osebe na njej, če nanjo nihče ni

dodal datuma in imena ljudi, je tudi težko ugotavljanje nastanka indijskih

matematičnih rokopisov. Tako je tudi težko ugotoviti, kdo je nekaj prvi od-

kril. Pri Arjabhati, na primer, je treba biti previden, ker se je v 10. stoletju

pojavil še en Arjabhata (Mlaǰsi) (920–1000). Indijski avtorji le redko citirajo

svoje predhodnike. Včasih se delajo presenečene, da so odkrili nekaj novega,

čeprav je bilo že znano sto let prej. Brahmagupta (598–668) – brahmagupta –

b}g� Ø, ki je živel v osrednji Indiji, ima nekaj skupnega z Arjabhato, ki je živelv vzhodni Indiji. Brahmagupta omenja za število π dva približka, 3 in

√10, ki

sta slabša kot Arjabhatova. Najbolǰse Brahmaguptovo delo v trigonometriji

je Brahmasphuta siddhanta – brāhmasphut.asiddhānta – b}A-p� VEsA�t izleta 628. Pisana je šlokah, indijskih verzih (šloka – śloka – ok). Za polmertrigonometričnega kroga vzame r = 3270 enot. Knjiga vsebuje še dele z arit-

31

metiko, algebro, geometrijo in teorijo števil. Brahmagupta je bil prvi, ki je

priznal, da je nič število. Knjiga je bila okoli leta 770 prevedena v arabščino z

naslovom Zidž as sinhind al kabir – Q�J.ºË@ YJë Y

JË@ i. K

P, na kratko Sindhind.

S tem je bil Zahod še bolj seznanjen z indijsko trigonometrijo, desetǐskim sis-

temom in matematiko sploh.

Brahmagupta je poznal parametrizacijo pitagorejskih trojic (a, b, c), kar

danes zapǐsemo s formulami

a = 2mn, b = m2 − n2, c = m2 + n2,

kjer sta m in n naravni števili in m > n. Vedel je tudi, da pri znani kateti

a pravokotnega trikotnika lahko racionalno izrazimo s parametrom m drugo

kateto in hipotenuzo. Z našimi oznakami:

b =1

2

(a2

m−m

), c =

1

2

(a2

m+m

).

S tema formulama dobimo pravokotne trikotnike z racionalnimi stranicami,

če izbiramo a in m med pozitivnimi racionalnimi števili in je a > m. Nista

pa nič novega, ker sta samo modifikaciji preǰsnjih (v slednjih pomnožimo vse

tri stranice z 2m in a zamenjamo z n). Prav tako je našel postopek, kako

pri znani hipotenuzi c pravokotnega trikotnika najdemo racionalna izraza za

kateti. V naši pisavi:

a =2mnc

m2 + n2, b =

c(m2 − n2)m2 + n2

.

Raznostranične trikotnike z racionalnimi stranicami a, b, c, racionalnim ob-

segom o, racionalno ploščino p, racionalnimi vǐsinami va, vb, vc in racional-

nimi polmeri očrtanih in včrtanih krogov, r in %, po Brahmagupti dobimo,

če izrazimo stranice s formulami

a =1

2

(x2

p− p+ x

2

q− q

), b =

1

2

(x2

p+ p

), c =

1

2

(x2

q+ q

),

pri čemer so x, p, q pozitivna racionalna števila in x >√pq. Skrben račun

nam res da same racionalne izraze v spremenljivkah p, q, x:

o =x2(p+ q)

pq, p =

x(x2 − pq)(p+ q)4pq

,

32

va = x, vb =x(x2 − pq)(p+ q)

q(x2 + p2), vc =

x(x2 − pq)(p+ q)p(x2 + q2)

,

r =(x2 + p2)(x2 + q2)

8pqx, % =

x2 − pq2x

.

Faktor 1/2 v formulah za stranice je samo zato, da je ena od vǐsin enaka

parametru x. Preverimo lahko tudi, da trikotnik s tako izračunanimi strani-

cami vedno obstaja. Vse to so uporabne stvari za tiste, ki sestavljajo naloge.

Brahmagupta je tudi spoznal, da je v trikotniku produkt dveh stranic

enak produktu premera trikotniku očrtanega kroga in vǐsine na preostalo

stranico, to se pravi: ab = 2rvc, bc = 2rva, ac = 2rvb. Ker je ploščina trikot-

nika p = cvc/2, takoj dobimo iz tega p = abc/(4r), tako da je r = abc/(4p).

To bi danes moral razumeti vsak učenec. Spoznanje temelji na podobnosti

dveh pravokotnih trikotnikov (slika 7).

Trikotniku ABC očrtamo krog, iz oglǐsča c konstruiramo njegov premer

2r = |CD|. Po Talesovem izreku je trikotnik DBC pravokoten. Nato kon-struiramo vǐsino vc = |CE|. Trikotnik AEC je tudi pravokoten. Notranjakota trikotnikov AEC in DBC ob oglǐsčih A oziroma D pa sta enaka, ker sta

to obodna kota tetive BC trikotniku ABC očrtanega kroga. Ker se trikotnika

AEC in DBC ujemata v dveh kotih, sta si podobna. Zato velja sorazmerje

stranic: 2r/a = b/vc. Iz tega sledi: ab = 2rvc. Analogni relaciji dobimo za

drug par stranic.

Brahmagupta je našel tudi način za izračun ploščine konveksnega tetivnega

štirikotnika. Če ima ta stranice a, b, c, d in je s = (a+ b+ c+ d)/2, potem je

njegova ploščina:

p =√

(s− a)(s− b)(s− c)(s− d).

Formula spominja na Heronovo formulo za ploščino trikotnika z danimi strani-

cami. Heron iz Aleksandrije (1. stoletje) – ῾Ηρων ὁ Ἀλεξανδρεύς je bil vse-stranski grški učenjak. Sicer pa Brahmagupta ni povedal, da velja zgornja for-

mula za tetivni štirikotnik. Ali je to bila napaka ali površnost? Za poljuben

konveksen štirikotnik je formula podobna:

p =√

(s− a)(s− b)(s− c)(s− d)− abcd cos2 ε.

33

Slika 7: Premer trikotniku očrtanega kroga.

Pri tem je ε polovična vsota dveh nasprotnih kotov tega štirikotnika. To for-

mulo je izpeljal šele leta 1842 Carl Anton Bretschneider (1808–1878). Vseeno

je, katera dva nasprotna kota pri tem vzamemo, saj je vsota notranjih kotov v

konveksnem štirikotniku enaka 360◦. V tetivnem konveksnem štirikotniku je

vsota dveh nasprotnih kotov enaka 180◦, polovična vsota 90◦ in zato zgornja

formula tedaj preide v Brahmaguptovo.

Brahmagupta je sicer za poljuben konveksen štirikotnik navedel, da je

njegova ploščina enaka kar produktu povprečij po dveh in dveh nasprotnih

stranic. Ploščinam očitno niso posvečali takrat hude pozornosti. Zadovoljili

so se z grobimi ocenami.

Očitno so tetivni štirikotniki Brahmagupti bili zelo všeč. Iz znanih stranic

a, b, c, d konveksnega tetivnega štirikotnika ABCD je znal izračunati diago-

nali e in f , kar bi dandanes zapisali takole:

e =

√(ad+ bc)(ac+ bd)

ab+ cd, f =

√(ab+ cd)(ac+ bd)

ad+ bc.

Če obe diagonali med seboj pomnožimo, dobimo ac+ bd = ef , kar je vsebina

Ptolemajevega izreka. Pri tem pomenijo

a = |AB|, b = |BC|, c = |CD|, d = |DA|, e = |AC|, f = |BD|

34

v standardno označenem konveksnem tetivnem štirikotniku.

Slika 8: Tetivni štirikotnik.

Brahmagupto so zanimali tudi tetivni štirikotniki s celoštevilskimi strani-

cami, diagonalama in ploščino. Sicer ni našel splošne rešitve. Napredek v

tej smeri je naredil šele Ernst Eduard Kummer (1810–1893). Brahmagupta

začne z dvema nepodobnima pitagorejskima trikotnikoma (a, b, c) in (x, y, z).

Prvega pomnoži enkrat z x, drugič z y, drugega pa enkrat z a, drugič z b in

dobi pitagorejske trikotnike

(ax, bx, cx), (ay, by, cy), (ax, ay, az), (bx, by, bz).

Nato le-te zloži v tetivni štirikotnik, v katerem se diagonali med seboj sekata

pravokotno. Njegove stranice so bz, cy, az, cx, diagonali pa ay+bx in ax+by,

sama naravna števila. Ploščina štirikotnika je p = (ax+by)(ay+bx)/2, kar je

tudi naravno število. Zakaj? Če začetna pitagorejska trikotnika nista primi-

tivna, lahko iz vseh stranic izpostavimo skupna faktorja, enega iz prvega,

enega iz drugega trikotnika, v ploščini pa produkt teh faktorjev. Zato lahko

privzamemo, da sta prvotna pitagorejska trikotnika primitivna. V takem pa

je ena kateta vedno deljiva s 4. Če sta števili a in x (ali a in y, b in x, b in

y) deljivi s 4, je produkt (ax+ by)(ay + bx) deljiv s 4, torej tudi z 2.

Za bolǰso predstavo navedimo, kako je v sanskrtu zapisana v 12. poglavju

38. šloka, ki obravnava tak tetiven štirikotnik.

35

jA(yykoEVB� jA, pr kZ g� ZA B� jA[ct� Evqm� ।aEDko B� m� KhFno bAh� Ety\ B� jAv�yO ॥ 38॥

Brahmagupta je reševal linearno diofantsko enačbo ax + by = c, kjer

so a, b, c cela števila brez skupnega faktorja. Diofantska je taka polinomska

enačba, ki ima same cele koeficiente, rešitve pa ǐsčemo prav tako med celimi

števili. Ime je diofantskim enačbam dal Diofant iz Aleksandrije (3. sto-

letje pne.) – Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς, ki se je že ukvarjal s celoštevilskimirešitvami enačb. Brahmagupta je ugotovil, da je taka enačba rešljiva v celih

številih le takrat, ko največji skupni delitelj števil a, b deli c. Če sta si a in b

tuji števili, to se pravi, da je njun največji skupni delitelj enak 1, potem je

enačba rešljiva v celih številih in rešitev je (x, y) = (p+mb, q−ma), kjer je mpoljubno celo število, (p, q) pa ena od rešitev dane enačbe. Rešljivo enačbo

te vrste lahko prevedemo na ta primer.

Brahmagupta se je spopadel tudi z diofantsko enačbo x2 − Dy2 = 1,kjer D ni kvadrat nobenega naravnega števila. Trivialna rešitev je (x, y) =

(1, 0). Enačbo imenujejo po Johnu Pellu (1611–1685) Pellova enačba, ker

jo je Leonhard Euler (1707–1783) pomotoma pripisal njemu. Bolj prav bi

bilo, da bi jo imenovali po Pierru de Fermatu (1601–1665), še bolj prav pa

po Brahmagupti. Zaresno je Pellovo enačbo študiral šele Joseph-Louis de

Lagrange (1736–1813). Sicer pa znameniti Arhimedov problem o govedu –

Πρόβλημα βοεικόν vodi do Pellove enačbe. Arhimed iz Sirakuz (287–212) —Ἀρχιμήδης ὁ Συρακόσιος je bil prav tako vsestranski grški učenjak, tudi znanpo približku števila π, in sicer 22/7. Vse to kaže, da so Grki, Babilonci in

Indijci bili že v starih časih v stikih tudi na znanstvenem področju.

Brahmagupta je ugotovil, da iz dveh rešitev Pellove enačbe lahko kon-

struira tretjo. Če para (x′, y′) in (x′′, y′′) rešita Pellovo enačbo x2−Dy2 = 1,potem jo reši tudi tretji par (x, y) = (x′x′′ +Dy′y′′, x′y′′ + x′′y′).

Tega ni težko preveriti. Če namreč para (x′, y′) in (x′′, y′′) rešita Pellovo

enačbo x2−Dy2 = 1, veljata relaciji x′2−Dy′2 = 1 in x′′2−Dy′′2 = 1. Potemza tretji par dobimo

x2 −Dy2 = (x′x′′ +Dy′y′′)2 −D(x′y′′ + x′′y′)2 =

= x′2x′′2 +D2y′2y′′2 −Dx′2y′′2 −Dx′′2y′2 =

36

= x′2(x′′2 −Dy′′2)−Dy′2(x′′2 −Dy′′2) = x′2 −Dy′2 = 1.

Tretji par res reši dano Pellovo enačbo. Pri tem so vsa števila cela. V poseb-

nem primeru (x′, y′) = (x′′, y′′) = (a, b) je rešitev tudi (x, y) = (a2+Db2, 2ab).

Za (a, b) = (1, 0) s tem ne dobimo nič novega. Zato je glavni problem najti

najmanǰso netrivialno rešitev Pellove enačbe. V ta namen je zrasla posebna

teorija, ki temelji na verižnih ulomkih. Če smo najmanǰso netrivialno rešitev

(x1, y1) Pellove enačbe našli, gre naprej po preprostem postopku. Naslednja

rešitev je, kot smo videli, (x2, y2) = (x21 +Dy

21, 2x1y1). Do istega rezultata pa

pridemo, če postavimo x2+√Dy2 = (x1+

√Dy1)

2, desno stran kvadriramo in

primerjamo na obeh straneh prosta člena in koeficienta pri√D. Samo takrat

so x1, x2, y1, y2 lahko cela, od 0 različna števila. Korak za korakom ugotovimo,

da lahko najdemo rešitev (xn, yn) z nastavkom xn +√Dyn = (x1 +

√Dy1)

n

oziroma z rekurzijo (xn+1, yn+1) = (xnx1 +Dyny1, x1yn + xny1).

Za D = 2 imamo Pellovo enačbo x2 − 2y2 = 1. Opazimo, da ima netri-vialno rešitev (x1, y1) = (3, 2). Naslednja rešitev je (x2, y2) = (9+2·4, 2·3·2 =(17, 12). Prav tako dobimo (x3, y3) = (17 ·3+2 ·12 ·2, 3 ·12+17 ·2) = (99, 70),(x4, y4) = (577, 408). Zaporedje rešitev lahko po mili volji nadaljujemo v

nedogled.

Bhaskara Mlaǰsi je reševal Pellovo enačbo x2−61y2 = 1 in našel najmanǰsorešitev (x1, y1) = (1 766 319 049, 226 153 980). To je vsekakor omembe vreden

rezultat, če upoštevamo takratno splošno stanje matematike in računskih

pripomočkov.

Brahmagupta je razvil tudi formuli za vsoto kvadratov in kubov prvih

n naravnih števil in rešil splošno kvadratno enačbo. Navedel je pravilne

postopke za računanje z ulomki, delal je s pozitivnimi in negativnimi števili,

našel pravilne postopke za računanje s številom 0 razen za deljenje z 0. Imel

je težave pri deljenju z 0. Trdil je, da je 0/0 = 0, še huǰsi spodrsljaj pa si je

privoščil, ko je zapisal, da je a/0 = 0 tudi za a 6= 0.Druga Brahmaguptova znana knjiga je Khandakhadjaka – khan. d. akhādya-

ka – K�XKAk. To je astronomska razprava v osmih poglavjih. Obravnavanavidezno gibanje planetov, Lunine in Sončeve mrke, Lunine mene, kon-

junkcije planetov in drugo. To delo je v sanskrtu poznal Al Biruni.

37

11 Neporočena hči je dala delu ime

V Indiji sta poleg Brahmagupte Pellovo enačbo študirala še Bhaskara (Mlaǰsi)

(1114–1185), Bhaskara učitelj – bhāskarācārya – BA-krAcAy in NarajanaPandita – nārāyan. a pan. d. ita – nArAyZ pE�Xt v 14. stoletju in drugi. Vsrednjem veku je v Indiji delovalo veliko dobrih matematikov, ki so nadalje-

vali delo Arjabhate in Brahmagupte. Bhaskara predstavlja vrh indijske sred-

njeveške matematike. V marsičem je bil nekaj stoletij pred Newtonom in

Leibnizem.

Prvo pomembno Bhaskarovo delo je Siddhanta širomani – siddhānta śiro-

man. i – EsA�t EfromEZ. Razdeljeno je na štiri dele, ki jih nekateri obrav-navajo kot ločene knjige. Te so: Lilavati – l̄ılāvat̄ı – lFlAvtF, Vidžaganita alitudi Bidžaganita – v̄ıjagan. ita ali b̄ıjagan. ita – vFjgEZt ali bFjgEZt, Gra-haganita – grahagan. ita – g}hgEZt in Goladhjaja – golādhyāya – golA@yAy.

Lilavati vsebuje aritmetiko, ploščine in prostornine, Vidžaganita pa je

posvečena algebri. Tu je Bhaskara nekoliko popravil Brahmaguptove napake

v zvezi z deljenjem z 0. Prǐsel je do sklepa, da neničelno število deljeno

z 0 da neskončno. S tem je imel v mislih tisto, kar bi danes zapisali kot

limx→+0 1/x = ∞. Preostala dela Siddhante širomani se ukvarjata z as-tronomijo in s sferno trigonometrijo. Njegovo delo je tudi Karana kutuhala

– karan. a kutūhala – krZ k� t� hl, nekakšen astronomski priročnik.

Pripovedujejo, da je delo Lilavati dobilo ime po Bhaskarjevi hčerki z istim

imenom. Revica je izgubila možnost, da bi se poročila. Temu je bilo krivo

očetovo zaupanje v astrološke napovedi. Izračunal je namreč, da se Lilavati

lahko poroči ob natančno določeni uri na natančno določen dan. Oče je

pripravil vodno uro in čas poroke naj bi bil, ko bo zadnja kaplja vode stekla

iz posode skozi drobno luknjico. Željna čimpreǰsnje poroke se je sklonila nad

vodno uro in tedaj se je zgodila nesreča: biser z njenega okrasja za lase ji

je padel v posodo in zamašil luknjico, prava ura za poroko je žal minila in

v tolažbo je oče poimenoval eno od svojih del po svoji hčerki Lilavati. Ime

sicer pomeni lepa, igriva.

Lilavati in Vidžaganita vsebujeta številne naloge v zvezi z linearnimi in

38

kvadratnimi enačbami, ploščine in prostornine, aritmetiko, geometrijska za-

poredja, korene, pitagorejske trojice in drugo. Nekatere naloge so bile znane

tudi Kitajcem. Navedimo dve. Pri njunem reševanju uporabimo Pitagorov

izrek, ki vodi do preprostih linearnih enačb.

Slika 9: Prelomljen bambus. Pav ulovi kačo.

Primer 1. Bambus, visok 32 komolcev, se je zlomil v vetru in vrh se je

dotaknil tal 16 komolcev stran od stebla. Na kateri vǐsini se je prelomil?

Primer 2. Pav sedi na vrhu stolpa, tik ob njegovih temeljih pa ima kača

svojo luknjo v zemlji. V oddaljenosti, ki je trikratna vǐsina stolpa, zagleda na

tleh kačo. Proti njej poleti v ravni črti in ujame kačo, hitečo v svojo luknjo,

pri čemer sta bežeča kača in leteči pav opravila enako dolgo pot. Na kateri

razdalji od luknje je pav zgrabil kačo?

Lilavati vsebuje različne vrste nalog. Nekatere imajo tudi več rešitev. Ni

pa povsem razvidno, kaj je točno in kaj približno. Ploščina kroga je pravilno

navedena: enaka je produktu četrtine njegovega obsega in premera. Toda

za količnik obsega in premera priporoča število 3927/1250 = 3.1416, kar je

približek števila π. Priporoča tudi grobi približek 22/7. Zavrača pa formule

svojih predhodnikov za ploščine in diagonale štirikotnikov. Samo s stranicami

štirikotnik ni natančno določen. Ni pa opazil, da so nekatere formule pravilne

za tetivne štirikotnike.

Mnoge naloge v Lilavati in Vidžaganiti izvirajo iz zgodneǰsih indijskih

nalog. Zato ni čudno, če je odlično obvladal Pellove enačbe. Enačbi x2 −Dy2 = 1 je za D = 8, 11, 32, 61, 67 našel delne rešitve, kar je občudovanja

vredno. Delna rešitev omogoča najti druge, kot smo videli.

39

12 Jugozahod Indije se prebuja

Na začetku 14. stoletja je nastala keralska matematična šola, poimenovana

po Kerali v jugozahodni Indiji. Kerala – k�rl je pokrajina ob Malabarskiobali, danes ena od indijskih zveznih držav z glavnim mestom Tiruvanan-

tapuram – Etzvn�tp� rm. Matematična šolo je na začetku vodil Madhavaiz Sangamagrame (1340–1425) – sam. gamagrāma ke mādhava – s\gmg}Am k�mADv, matematik in astronom. Madhavov učenec je bil med drugimi tudimatematik in astronom Paramešvara (1370–1460) – parameśvara – prm�r.

Madhava velja za prvega, ki se je ukvarjal z neskončnimi vrstami, drugač-

nimi od geometrijskih, prav posebej s potenčnimi vrstami za arkus tangens,

sinus in kosinus, ki sta jih v Evropi ponovno odkrila James Gregory (1638–

1675) in Isaac Newton (1643–1727), šele 250 let kasneje. Madhavi, ki jih je

našel okoli leta 1400, je uspelo izračunati približek števila π na 11 pravil-

nih decimalk in tabele za funkcijo sinus. Madhava ni zapustil nobenega

matematičnega besedila, le nekaj astronomskih. Njegova odkritja sta kas-

neje obdelala matematika in astronoma Nilakantha Somajadži (1444–1544)

– n̄ılakan. t.ha somayāji – nFlk�W somyAEj in Džjesthadeva (1500–1575)– jyes.t.hadeva – >y�¤d�v. Nilakantha je napisal odmevno astronomsko deloTantrasangraha – tantrasam. graha – t�/s\g}h. V njem so izračunani natančnipoložaji planetov. Delo vsebuje tudi veliko matematične analize, kot so

neskončne vrste, aproksimacijo sinusne funkcije in zametke odvoda.

Džjesthadeva je napisal astronomsko delo Juktibhaša – yuktibhās. ā –

y� EÄBAqA, znano tudi pod imenom Ganitanjajasangraha – gan. itanyāyasam. gra-ha – gEZt�yAys\g}h. To je strnjeno astronomsko delo, nekakšen katekizemastronomije. Neki Madhavov naslednik je v 16. stoletju napisal delo Ma-

hadžjanajana prakara – mahājyānayana prakāra – mhA>yAnyn þ�kAr, kardobesedno pomeni metoda za izračun velikih sinusov. Astronomska dela ve-

likih indijskih matematikov so že zelo zgodaj začeli prevajati v perziǰsčino,

arabščino, latinščino in druge jezike.

Namesto Gregoryjeve vrste

arctanx = x− x3

3+x5

5− x

7

7+ . . . , |x| < 1

40

je Madhava odkril njej enakovredno vrsto, ki jo poenostavljeno zapǐsemo

takole:

ϕ = tanϕ− tan3 ϕ

3+

tan5 ϕ

5− tan

7 ϕ

7+ . . . , | tanϕ| < 1.

V resnici je v Madhavovi formuli še polmer r trigonometričnega kroga in

namesto tanϕ kar sinϕ/ cosϕ. Za primerno izbran kot ϕ lahko izračunamo

število π poljubno natančno, če le seštejemo dovolj členov vrste. Vrste za

arkus tangens so za približke števila π v Evropi uporabljali šele v 18. stoletju.

John Machin (1686–1751) je leta 1706 objavil število π na 100 pravilnih

decimalk. Za izračun je uporabil formulo

π = 16 arctan1

5− 4 arctan 1

239.

Sto let kasneje je bil rekorder Jurij Vega (1754–1802) s 136 pravilnimi deci-

malkami.

Znana sinusna vrsta

sinϕ = ϕ− ϕ3

3!+ϕ5

5!− ϕ

7

7!+ . . .

je bila pri Indijcih samo nekoliko drugačne oblike. Vsebovala je polmer r

trigonometričnega kroga, imenovalci pa so bili zapisani v obliki:

3! = 22 + 2, 5! = (22 + 2)(42 + 4), 7! = (22 + 2)(42 + 4)(62 + 6), . . .

Podobno so v vrsti za funkcijo

versϕ = 1− cosϕ = ϕ2

2!− ϕ

4

4!+ϕ6

6!− ϕ

8

8!+ . . .

pisali

2! = 22 − 2, 4! = (22 − 2)(42 − 4), 6! = (22 − 2)(42 − 4)(62 − 6), . . .

Upoštevati je treba tudi, da so staroindijski matematiki pisali besedila večinoma

v verzih, kar daje njihovemu trudu še poseben čar.

41

Za konec

Spoznali smo samo del staroindijske matematike. Nedvomno so bili Indij-

ci v starem in srednjem veku s svojo matematiko na zavidljivem nivoju v

svetovnem merilu. Svetu niso dali samo desetǐskega mestnega številskega

sistema, ampak veliko več, kot smo videli. Končajmo s primerom magičnega

kvadrata. Tudi s takimi so se v Indiji ukvarjali že davno.

Klasični magični kvadrat reda n je kvadratna tabela števil 1, 2, 3, . . . , n2,

v kateri je vsota števil v vrsticah, stolpcih in obeh diagonalah isto število Sn,

odvisno le od n. Vsota vseh števil v kvadratu je

1 + 2 + 3 + . . .+ n2 =n2(n2 + 1)

2.

Vsota števil v vsaki od n vrstic je potem

Sn =n(n2 + 1)

2.

Taki magični kvadrati obstajajo za vsako naravno število n razen za 2.

35 6 30 29 10 1

28 14 25 24 11 9

5 15 20 21 18 32

4 19 16 17 22 33

3 26 13 12 23 34

36 31 7 8 27 2

Slika 10: Stiflov magični kvadrat reda 6.

V magični kvadrat smo za vajo postavili sanskrtske števke. Če jih seštejete

po vrsticah, stolpcih in obeh diagonalah, dobite vselej 111 oziroma 111.Seveda bi Indijci tak kvadrat bogato okrasili z elementi svoje folklore.

42

Sodobni Indijci so na svoje stare matematike zelo ponosni. Ustanovili so

Indijski vesoljski raziskovalni program ISRO – Bharatija Antarikša Anusand-

han Sangathan – bhārat̄ıya am. tariks.a anusam. dhāna sam. gat.hana – BArtFya\tEr" an� s\DAn s\gWn. Svoj prvi umetni satelit so lansirali v tirnico okrogZemlje 19. aprila leta 1975 s pomočjo Sovjetske zveze. Imenoval se je Aryab-

hata. Sledila sta še umetna satelita Bhaskara I, Bhaskara II, poimenovana

po matematikih in astronomih.

Najdemo tudi inštitute, ki so poimenovani po starih indijskih matema-

tikih, na primer Bhaskaračarja Pratǐsthana – bhāskarācārya pratis.t.hana –

BA-krAcAy þEtWAn v mestu Pune – pun. e – p� n� na Dekanski planoti. To jeraziskovalno-pedagoški inštitut za matematiko.

Indijci v matematiki nadaljujejo delo svojih velikih predhodnikov. Zelo

znan je na primer Srinivasa Ramanujan (1887–1920) – śr̄ınivāsa rāmānujan

– FEnvAs rAmAn� jn̂, ki je delal na področjih matematične analize, teoriještevil, neskončnih vrst in verižnih ulomkov. Harish Chandra (1923–1983) –

hārísa cam. dra – hrFf c\dý je delal na področjih upodobitev grup, harmoničneanalize in polenostavnih Liejevih grup.

V Mumbaiu – m� MbI, tudi m�\bI, nekoč Bombay, obstaja bolnǐsnica Lilavati,ki ni poimenovana po naši Lilavati, ampak po ustanovitelju, ki se tako pǐse.

Slika 11: Ura s sanskrtsko številčnico.

43

Literatura in spletni viri

[1] E. Hairer, G. Wanner, Analysis by its history, Springer, New York, 2008.

[2] U. C. Merzbach, C. B. Boyer, A history of mathematics, Third edition,

John Wiley & Sons, Hobiken, New Jersey, 2011.

[3] A. Ostermann, G. Wanner, Geometry by its history, Springer, Heidelberg

in drugje, 2012.

[4] P. Plofker, Mathematics in India, Princeton University Press, 2009.

[5] C. R. Pranesachar, Brahmagupta, Mathematician Par Excellence, Res-

onance 2012, št. 3, 247–252.

[6] S. Schwartzman, The words of mathematics, The Mathematical Associ-

ation of America, Washington DC, 1994.

[7] A. F. Stenzler, Elementarbuch der Sanskrit-Sprache, De Fruyter, Berlin,

New York 1980.

[8] J. Stillwell, Mathematics and its history, Springer, New York in drugje,

2010.

[9]ftp://ftp.tex.ac.uk/tex-archive/language/devanagari/velthuis/

doc/generic/velthuis/manual.pdf (6. 2. 2015)

[10]http://www.omniglot.com/writing/sanskrit.htm (6. 2. 2015)

[11]http://www.sanskrit-sanscrito.com.ar/en/

learning-sanskrit-numbers-1-1/424#Card100bey (8. 2. 2015)

c© Dr. Marko Razpet, Ljubljana 2015, 2015

44