indrumator statica 1 - structuri static determinate

7/28/2019 Indrumator Statica 1 - Structuri Static Determinate

1/125

Nicolae CHIRA Roxana BLC Alexandru CTRIG

Aliz MTH Cristian CIPLEA Cristian MOJOLIC

Ioana MUREAN Cristian CUCEU Radu HULEA

Daniela PETRIC

NDRUMTOR STATICA CONSTRUCIILOR

STRUCTURI STATIC DETERMINATE

MECON 2013


2/125

2

CUPRINS

Cap. 1: Grinzi drepte 3

Cap. 2: Grinzi cu console i articulaii (grinzi Gerber) 27

Cap. 3: Cadre static determinate 42

Cap. 4: Arce static determinate 60

Cap. 5: Structuri articulate plane 71

Cap. 6: Calculul eforturilor cu ajutorul Principiului Lucrului Mecanic Virtual 80

Cap. 7: Linii de influen 89

Cap. 8: Deplasri punctuale 117

Cap. 9: Rspunsuri probleme rezolvate 125


3/125

3

Capitolul 1: Grinzi drepte

1.1. Noiuniteoretice de baz. Principii de rezolvare.Grinzile drepte static determinate sunt structuri solicitate predominant la ncovoiere in funcie demodul de dispunere a celor trei legturi simple (necesare asigurrii invariabilitii geometrice ifixrii de teren), se grupeaz n: grinzi ncastrate la un capt (console), grimzi cu un reazem fix iunul mobil dispuse la capete sau nu (grinzi simplu rezemate fr/cu console).

Reaciunile care se dezvolt n dispozitivele de fixare fa de teren se determin din ecuaii deechilibru astfel:

- 2 ecuaii de echilibru (sum de moment nul) fa de reazemele cu terenul,- o ecuaie de sum deproiecii de fore dup o direciedin plan (orizontal, axa barei, sau alt

direcie convenabil)

Verificarea valorilor calculate ale reaciunilor se realizeaz scriind o ecuaiede sum deproiecii defore egal cu zero dup orice alt direcie din plan .

n cazul consolelor nu este obligatorie determinarea prealabil a reaciunilor,ntructaceste grinziau un capat liber pornind de la care se pot determina toate eforturile .

Eforturile se evideniaz numai prin secionarea barei n punctul respectiv. La trasarea diagramelorde eforturi se ine seama de conveniile de semn. Cele trei eforturi care apar n urma solicitrii n orice seciune a unei grinzi drepte sunt:

Efortul axial (N) - se dezvolt pe direcia axei barei;

-

este pozitiv cndeste de ntindere ( iese din seciune) ;- n diagrama de efort axial se inregistreaz salt n dreptul forelorconcentrate care au component pe direcia axei barei.

- Forele uniform distribuite pe bar produc o variaie liniar a efortuluiaxial, dac au proiecie dup axa barei

- Marcarea semnului pe diagrama de efort axial este esenial n definireavariaiei acestui efort.

Fora tietoare (T) - apare normal pe direcia axei barei;- este pozitivcndproduce o rotire a feelor seciunii n sens orar;- Fora tietoare pozitiv se reprezint deasupra liniei de referin, n

corelaie cu sensul teoretic de parcurgere al barei (de la stnga la dreapta)

i cu sensul de aciune al forelordirect aplicate.- n diagrama de for tietoare se nregistreaz salt n dreptul forelor

concentrate care au component perpendicular pe direcia axei barei i nsensul acestora.

- Marcarea semnului pe diagrama de for tietoare este esenial ndefinirea variaiei acestui efort.

- Pe barele (intervalele) nencrcate cu fore, fora tietoare este constant.- Forele uniform distribuite pe bar dau, dac au component pe direcia

perpendicular pe axa barei, o variaie liniar pe distana pe care suntrepartizate.


4/125

4

Momentul ncovoietor (M)- este pozitiv cnd ntinde fibra dinspre un observator care parcurge

structura de la stnga la dreapta (fibra de jos, n cazul grinzilor);- Diagrama de moment ncovoietor se traseaz pe fibra ntins i nu necesit

semn.

- n dreptul forelor concentrate se nregistreaz vrfuri, n sensul de aciuneal acestora.

- n dreptul momentelor concentrare se nregistreaz salturi n sensulacestora (n funcie de fibra ntins).

- Forele uniform distribuite produc o variaie parabolic a momentuluincovoietor. Existena punctelor de extrem este marcat prin anulareaforei tietoare. nacest punct diagrama de moment este tangent la axa

barei.

La trasarea diagramelor de eforturi haurile acestora se traseaz perpendicular pe axa barei

Cunoaterea comportrii grinzilor drepte este esenial, ntruct orice structur solicitat predominantla ncovoiere (exceptnd cele care au n componen bare curbe) se poate descompune n grinzidrepte.

Rezolvarea grinzilor nclinate (calculul reaciunilor, trasarea diagramelor de eforturi) se poate faceprin:

a) Determinarea reaciunilor n sistemul de referin XOY (orizontal, vertical). Eforturile detip fore (N i T), acionnd pe direcia axei barei i perpendicular pe ea, se determin prin

proiecii ale forelor (inclusiv reaciuni) pe aceste direcii.Diagrama de moment ncovoietorse traseaz pe intervale innd cont de tipul ncrcrii i defibra ntins, dup determinarea prealabil a momentelor ncovoietoare n seciunilecaracteristice (puncte n care se modificncrcarea).

b) Determinarea reaciunilor n sistemul de referin XOY (pe direcia axei barei iperpendicular pe ea. ncrcrile direct aplicate pe bar se proiecteaz pe aceleai direcii.Starea de solicitare a barei este astfel foarte vizibil:

- ncrcrile normale la axa barei definesc comportarea barei la ncovoiere (trasareadiagramelor T i M)

- ncrcrile din lungul axei barei definesc variaia efortului n lungul axei barei(diagrama N).

Articulaia dezvolt o reaciune de direcie i mrime necunoscute care se poate proiecta dup oricare

dou direcii din plan, n timp ce n reazemul simplu direcia reaciunii este bine definit de suprafaade rezemare (perpendicular pe aceasta).

n funcie de orientarea reazemului simplu se opteaz pentru un sistem de referin sau altul.n cazul n care se dorete evidenierea strii de solicitare din bar prin proiectarea ncrcrilor dupdirecia axei barei i perpendicular pe aceasta, principalele situaii care pot s apar, n funcie dedistribuiai orientarea ncrcrii sunt:

ncrcarea vertical distribuit uniform pe orizontal modeleaz aciunea zpezii(Fig.1.1):Se observ c fora vertical qdistribuit uniform pe proiecia pe orizontal a lungimii barei nclinateeste echivalent cu o for qcos, tot vertical, distribuit uniform pe lungimea barei.


5/125

5

Aceast ncrcare se proiecteaz pe direcia axei barei (q cossin) i perpendicular pe aceasta(qcos

2). Cele dou ncrcri definesc strile de solicitare ale barei: efort axial i ncovoiere.

Fig. 1.1.

ncrcarea vertical distribuit pe lungimea axei barei simuleaz ncrcarea din greutatea proprie(Fig.1.2):

Fig. 1.2.

n acest caz, fora vertical q, uniform distribuit pe lungimea barei nclinate, are componente: qsinpe direcia axei barei care produce variaia liniar a efortului axial, i qcos, perpendicular pe axa

barei care definete comportarea barei la ncovoiere.

ncrcarea orizontal distribui pe vertical (Fig.1.3) este echivalent cu o for orizontal qsindistribuit pe lungimea barei nclinate, care se proiecteaz n lungul axei barei cu valoarea qsincosi normal la axa barei cu valoarea qsin2.

Fig. 1.3.


6/125

6

1.2. Probleme rezolvaten acest capitol sunt tratate n mod special grinzile nclinate acionate de cele mai frecvente ncrcri(zpad, greutate proprie i vnt), i considernd, pentru fiecare tip de ncrcare dou orientri alereazemului simplu al grinzii. Fiecare structura fost rezolvat prin determinarea reaciunilor n celedou sisteme de referin,pentru a analiza n fiecare caz avantajele i dezavantajele fiecrei metodei a putea alege varianta mai direct.

1.2.1. Grinda dreapt din figura 1.4 este legat de teren n captul Aprintr-o articulaie i n captulB printr-un reazem simplu cu suprafaa de rezemare orizontal.Bara este ncrcat cu o for vertical, uniform distribuit dup

proiecia pe orizontal a lungimii barei (distribuie caremodeleaz ncrcarea din aciunea zpezii).Geometria structurii este definit prin:

, a.Reaciuni conform sistemului de referin XOY:-grinda este ncrcat numai cu fore verticale: Fig. 1.4.

0 0x A

F H

0 02 2

A B B

x qxM x V q x V

0 02 2

B A A

x qxM x V q x V

ncrcareaeste preluat n mod egal de cele dou reazeme.Determinarea eforturilor

-de tip forese secioneaz bara n seciunea dorit i seproiecteaz forele care acioneaz pn n acel punct,dup direcia perpendicular pe bar (T) i n lungul barei(N).

Pentru seciunea i, plasat la xi de captul A, expresiileeforturilor sunt:

cos cos2

i A i i

xT V q x q x

pentru

sin sin2

i A i i

xN V q x q x

Fig. 1.5.

Variaiile eforturilor n lungul axei barei sunt prezentate n figura 1.5.

ntruct reazemul este drept (VB este vertical), lucrnd n sistemul de referin XOYse observ ctoate forele suntverticale. Ele se proiecteaz pe direcia axei barei (N cu

) i perpendicular pe

ea (T cu ).


7/125

7

b.Reaciunile din articulaie se calculeaz fa de sistemul de referin xOy(fig. 1.6.).

Pentru determinarea eforturilor, n acest caz se pot descompune i ncrcriledirect aplicate, dupdirecia axei barei iperpendicular pe ea (conform explicaiilor date n paragraful 1.1., fig.1.1.).

Fig. 1.6.

Variaia efortului axial este dat de componenta forei uniform distribuite dezvoltatpe direcia axeibarei.

Variaia forei tietoare i a momentului ncovoietor este dat de componentele forelor dezvoltate

perpendicular pe direcia barei.

rotete captul A n sens orar


8/125

8

pentru Momentul ncovoietor variaz dup o parabol simetric de gradul II

(

)

n cazul prezentat ambele metode sunt aplicabile, cu remarca:

- Varianta a - este mai rapid.- Varianta b - distribuia forelor vizualizeaz direct variaia eforturilor de tip fore.

1.2.2. Grinda nclinat, supus aciunii zpezii este rezemat simplu la captul superior, paralel cuaxa barei.

a. Sistemul de referin XOYReaciunea din B, , este perpendicular pe bar

Verificare:

Diagrama N: cossin AAA HVN

0BN , (VB esteperpendicular pe bar)

Fig. 1.7. sincossin iAAx xqHVN i


9/125

9

Diagrama T:

sincos AAA HVT

2

cos xqVT BB

b. Sistemul de referin XOYn aceast situaie pare avantajoas determinarea reaciunilor n sistemul de referin axa barei-normalpe ea, att pentru determinarea reaciunilor ct i pentru calculul eforturilor: Fora uniform distribuit perpendicular pe axa barei este preluat simetric de cele dou reaciuninormale la bar, iar componenta forei uniform distribuite pe lungimea barei este preluat dereazemul A.

Fig. 1.8.

ncrcarea perpendicular pe bar este simetric cele 2 reaciuni perpendiculare pe bar vor fiegale.

Eforturi:

Diagrama N:

' cos sinA AN H q l

NB= 0' sin cosi A iN H q x


10/125

10

Diagrama T:

2' cos

2A A

qlT V , VA perpendicular pe bar, rotete n sens orar

2 2 2 2

cos cos cos cos

2 2

iA i i ix

ql lT V q x q x q x

Anularea forei tietoare se produce la distana xifa de captul A:

Diagrama M:2 2 2 2

2 2 2

max

coscos cos cos

2 2 4 4 8 8A

l l l q l ql ql M V q

Cele dou structuri ncrcate identic (1.2.1. i 1.2.2.) au o comportare identic la ncovoiere(diagramele T i M sunt identice); orientarea diferit a reazemului simplu afecteaz numaipreluarea efortului axial.

1.2.3. ncrcarea din greutatea proprie este modelat n codurile de proiectare ca o for verticalrepartizat pe toat lungimea barei (Fig.1.9).

a. n S.R. XOY- incrcare numai din fore verticale ncrcarea vertical descarc egal n cele doua reazeme.

Efortul axial:

Fora tietoare:

Momentulncovoietor Fig. 1.9.


11/125

11

b. n S.R. XOY(Fig.1.10)- ncrcare numai din fore verticale

Forele au acelai suport axa barei nu dau momente fa de punctelede rezemare ale grinzii.

Fig. 1.10.Calculul eforturilor

Efortul axial are o variaie liniar produs de componenta forei uniform distribuite proiectat pe axabarei.

Fora tietoare are o variaie liniar, antisimetric, produs de componenta perpendicular pe axa

barei a forei uniform distribuite.

variaia forei taietoare este liniar


12/125

12

(rotete captul B n sens antiorar)Momentul ncovoietor variaz dup o parabol de gradul II, simetric.

Momentul mamxim se obine pentru : 1.2.4. Pentru aceeai ncrcare, se consider cazul n care reazemul simplu este perpendicular pedirecia axei barei

a.Sistemul de referin XOY

Sistemul de fore:OX: sin', BA VH

OY: cos',, BA VqV

Verificare:

Trasarea diagramelor de eforturi

Diagrama N:

cossin AAA HVN Fig. 1.11.

Reazemul simplu din B permite translaia pe direcia axei bareiEfortul axial are o variaie liniar ntre A i B.

Diagrama T: sincos AAA HVT


13/125

13

2

sin2

1sincos2

22 qxqxqlTA Rotete n sens orar

2'

qxVT BB Rotete n sens anti orar

Diagrama de for tietoare este antisimetric i liniar.Diagrama de moment ncovoietor este o parabol simetric de ordinul II cu valoarea maxim:

b.Sistemul de referin XOY(Fig.1.12)Fore perpendicularepe bar: BA VqV ',cos,' Fore paralele cu bara: sin,' qH A

sin'0' lqHF AX

02

cos'0l

lqlVM BA

cos2

' ql

V B

0cos2

'0

2

ql

lVM AB

cos2

' ql

V A


Pentru determinarea diagramei de efort axial N

se nsumeaz algebric proieciile forelor pedirecia axei barei, innd cont de sensulacestora :

sin' lqHN AA

0BN , variaie liniar

Diagrama T:

cos2

' ql

VT AA Fig. 1.12.

cos

2

'ql

VT BB

Diagrama M:

cos8

cos8

cos44

cos22

'222

max qlqlqlll

ql

VM A

Determinarea reaciunilor n sistemul de referin xozpentru acest caz de ncrcare i de rezemare,necesit un volum mai mare de calcule,iar probabilitatea de a grei este mai mare. Utilizarea sistemului de referin xoy conduce, n acest caz, mai rapid la calculul reaciunilor, iardeterminarea eforturilor este vizibil, fr a necesita proiecii ale ncrcrilor(acestea fiind proiectateanterior n sistemul de referin ales).

Orientarea reazemului simplu afecteaz doar variaia efortului axial. Comportarea lancovoiere depinde numai de ncrcarea direct aplicat pe bar.


14/125

14

1.2.5. Se consider cazul ncrcrii unei grinzi nclinate cu presiunea din aciunea vntului.Reazemul simplu este vertical.

a. Sistemul de referin XOY0 sin 0 sinx A AF H q l H q l

2

0 02 2 2 cos

A B B

l ql ql M x V q l V

x

0 02

B A A

lM V x H y q l

22 2 2 21

sin sin2 2

A

qlx V q l ql

2

2 2 2 2cos sin cos sin

2 2 cosA

ql ql V

Verificare:

2 2

2

cos 1 sin cos cos2 cos

2 coscos 0

2 cos

y A B

qlF V V q l q l

qlq l

Eforturi:

Fora uniform distribuit acioneaz perpendicular pe bar, prinurmare produce variaia liniar a forei tietoare.

2 2

2 2 2

sinsin cos cos sin sin cos

2 cos

sincos sin 2 cos

2 cos 2

A A A

q lN V H q l

ql ql tg

sin sin2 cos 2

B B

ql ql N V tg

Observaie: bara nu este ncrcat cu fore distribuite pe direcia axeisale efortul axial este constant.

Diagrama T:

2 2

2 2 2

cos sin cos sin cos sin sin2 cos

cos sin 2 sin2 2

A A A

qlT V H q l

ql ql

cos2

B B

qlT V

2 cos cos 2

ix A i i

xql q xT T q x q x


15/125

15

Diagrama M:parabol de gradul II

b. Sistemul de referin XOY(Fig.1.14)Fore proiectate dup axa OX: HA, sinBV

Fore proiectate dup axa OY: VA, cosBV , q

' 0 ' sin 0X A BF H V

' sin2

A B

qlH V tg

0 02

A B

lM V x q l

2

2 2 cosB

ql ql

V x

0 ' 02

B A

lM V l q l

'2

A

qlV

Trasarea diagramelor de eforturi:

Diagrama N:

'2

A A

qlN H tg

sin 2B Bql

N V tg Diagrama T:

'2

A A

qlT V

cos2

B B

qlT V Fig.1.14

1.2.6.Pentru aceeai ncrcare, se consider reazemul simplu dispus normal pe bar.Avnd n vedere dispunerea forelor i direcia reaciunii din captul B, determinarea reaciunilor dinA n sistemul de referin xoy este practic inutil. Structura este o grind simplu rezemat de

lungime l, ncrcat cu o for uniform distribuit pe toat lungimea ei.

a. n sistemul de referin XOY


16/125

16


Reazemul simplu din B este orientat perpendicular pe bar,ncarcarea esteperpendicular pe bar si rezult c efortulaxial in bar este nul

Diagrama de for tietoare este antisimetric.Diagrama de moment ncovoietor este simetric.

Fig.1.15

b. n sistemul de referin XOY

ncrcarea este simetric siperpendicular

pe bar, rezult dou reaciuni egale siperpendiculare pe bar

N=0

Fig.1.16


17/125

17

1.2.7. Grinda din fig. 1.17. este ncrcat cu o for concentratvertical, aplicat la mijlocul grinzii, iar reazemul simplu estevertical.

ntruct fora concentrat i reaciunea din B sunt verticale, seopteaz pentru determinarea reaciunilor n sistemul de referin

XOY, respectivproiectarea reaciuniidin A pe direciile vertical iorizontal.Se observastfel c fora vertical va fi preluat simetric de celedou reazeme prin reaciunile verticale VAi VB, iar n articulaienu se dezvolt reaciune pe direcia orizontal. Trasarea diagramelor de eforturi

Efortul axial este constant pn n punctul de aplicaie al foreiconcentrate, unde se produce un salt egal cu proiecia pe direciaaxei barei a forei P (Psin0), dup care efortul axial rmneconstant pn n captul B al barei unde se nchide cu valoarea. Fig.1.17

Fora tietoare este constant pn n punctul de aplicaie al forei concentrate, unde se nregistreaz

un salt egal cu proiecia pe direcia perpendicular pe axa barei a forei concentrate, n sensulacesteia (Pcos0). Din acest punct, pn n captul B, pe bar nu mai acioneaz nici o for, decifora tietoare este constant i se nchide n B cu .

Diagrama de moment ncovoietor este liniar pe cele dou intervale generate de punctul de aplicaieal forei concentrate, nregistrnd un vrf n acest punct n sensul de aciune al forei.

ntinde fibra de jos ntinde fibra de jos(Am notat cu I punctul de aplicaie al forei concentrate)


18/125

18

1.2.8.Aceeai ncrcare este aplicat pe grinda din fig. 1.18. rezemat simplu n Bperpendicular pebar.ntruct reazemul simplu este orientat

perpendicular pe bar, esteavantajoas alegerea sistemului de

referinxOy. Componenta pdicularpe bar aforei concentrate, P, descarc simetricn cele dou reazeme perpendiculare

pe bar.

Forele pe direcia axei barei: , dau variatia efortuluiaxial N:

Fig.1.18

}


19/125

19

1.3. Probleme propuse1.3.1. Pentru grinda din figur care dintre diagramele de efort axial este cea corect?

a)

b) c)

d) e)

1.3.2. Pentru grinda din figur care dintre diagramele de for tietoare este cea corect?

a)

b) c)


20/125

20

d) e)

1.3.3. Pentru grinda din figur care dintre diagramele de moment ncovoietor este cea corect?

a)

b) c)

d) e)

1.3.4. S se identifice diagrama corect de for tietoare Tpentru structura din figur.

a)


21/125

21

b)c)

d) e)


22/125

22

1.3.5. S se identifice diagrama corect de moment ncovoietorMpentru structura din figur.

a)

b) c)

d) e)


23/125

23

1.3.6. S se identifice diagrama corect de efort axial Npentru structura din figur.

a)

b) c)

d) e)


24/125

24

1.3.7. Care este diagrama corect de moment ncovoietor M pentru urmatoarea grind?

a)

b) c)

d) e)


25/125

25

1.3.8. Care este diagrama corect de for tietoare T pentru grinda din figura de mai jos,cunoscndu-se diagrama de moment ncovoietor ?

a)

b) c)

d) e)


26/125

26

1.3.9. Care este diagrama corect de efort axial N pentru grinda din figura de mai jos, cunoscndu-se diagrama de fore taietoare?

a)

b) c)

d) e)


27/125

27

Capitolul 2: Grinzi cu console i articulaii (grinzi Gerber)

2.1. Noiuniteoretice de baz. Principii de rezolvare.

Grinzile cu console i articulaii sunt structuri static determinate alctuite din bare drepte conectatentre ele prin articulaii.Legturile simple cu terenul sunt dispuseastfel nct unul dintre reazeme sfie fix (articulaie sau ncastrare), iar celelalte mobile (reazeme simple).Dac forele direct aplicate pe structur au componente pe direcia axei barei, acestea sunt preluatede reazemul fix.

n funcie de modul de dispunere a legturilor simple cu terenul, n cadrul acestor ansambluri sedisting dou categorii de grinzi:

Grinzile Principale (G.P.) sunt cele care au suficiente reazeme cu terenul pentru a transmite

acestuia ncrcarea, altfel spus, sunt grinzi static determinate (simplu rezemate cu sau fr consolesau grinzi ncastrate la un capt). Ele sunt independente de restul structurii.

Grinzile Secundare (G.S.) sunt cele care nu au suficiente legturi cu terenul idescarc pe grinzileprincipale n punctele de contact.

n funcie de dispunerea articulaiilor intermediare i a reazemelor cu terenul, se disting douconfiguraii prezentate n figura 2.1.alturi de schemele de descrcare specifice fiecreia:

a) Grinzile secundare alterneaz cu cele principale (fig.2.1.a i b) b) Grinda principal se afl la un capt (fig.2.1. c i d)

Rezolvarea grinzilor Gerber (determinarea reaciunilor i trasarea diagramelor de eforturi) se poateface fie pe structura n ansamblu, fie prin descompunerea acesteia n grinzi secundare i principale.

n general se opteaz pentru a doua variant. n acest caz, principalele etape parcurse pentrudeterminarea diagramelor de eforturi pe o grind Gerber sunt:

Se detecteaz tipul grinzilor(GP, GS) dup numrul legturilor cu terenul existente pe fiecare; Se desprind din structur grinzile secundare (care au un sau nici un reazem cu terenul) i se

calculeaz reaciunile, produse de ncrcrile direct aplicate. Se izoleaz grinzile principale i se ncarc cu forele direct aplicate pe ele i cu reaciunile

din grinzile secundare n punctele de contact, luate ca aciuni (egale i de sens contrar). Dinaceast ncrcare se determin reaciunile grinzilor principale.

Diagramele de eforturi se pot trasa fie pe structura n ansamblu, fie pe fiecare grind n parte,urmat de asamblarea diagramelor pariale.

n cazul n care grinda principal se afl la un capt (Fig.2.1. c i d), reaciunile se pot calcula uorfr descompunerea ansamblului n grinzile componente, scriindsuccesiv ecuaii de moment nul fade articulaiile intermediare pornind de la cea mai ndeprtatgrind de ceaprincipal.Astfel, n

fiecare ecuaie va interveni o singur necunoscut.


28/125

28

a)

b)

c)

d)

Fig.2.1.


29/125

29

n ceea ce privete trasarea diagramelor de eforturi sunt necesare urmtoarele precizri:

Articulaia intermediar transmite fora tietoare i efortul axial i anuleaz momentulncovoietorfr s modificelegile de variaie ale eforturilor.

Forele concentrate verticale aplicate n articulaiile intermediare sunt preluate de grinda

principal sau de grinda secundar cea mai apropiat de cea principal.Ele produc:-n diagrama de for tietoare un salt n sensul de aplicare, egal cu valoarea acesteia .-n diagrama de moment ncovoietor schimarea pantei, n sensul de aplicare al forei(n

articulaie momentul rmne nul). Momentul concentrat aplicat de o parte a unei articulaii intermediare produce n punctul

respectiv, n diagrama de moment ncovoietor un moment egal cu mrimea acestuia i pefibra ntins. De cealalt parte a articulaiei momentul este egal cu zero.

2.2. Exemplu de calcul

Grinda Gerber din figura 2.2. va fi rezolvat prin descompunere n grinzile componente. Structura sencadreaz n categoria a prezentat mai sus, fiind alctuit din grinda principal A-1, grindasecundar 1-2i grinda principal 2-C-D.

Grinda secundar 1-2:-ncrcri verticale: KNP 64,34sin , V1, V2-ncrcri orizontale: KNP 20cos ,H1Componenta orizontal a forei nclinate se transmite prin articulaia intermediar 1 (H1) i este

preluat de reazemul fix A.

ncrcarea vertical este simetric descarc simetric n cele dou reazeme: KN

PVV 32,17

2

cos21

KNPH 20sin1

Grinda principal A-1:

KNHHF AX 200 1 KNVVM BBA 78,4405620632,170

KNVVM AAB 46,70120132,1750

Verificare: 046,778,442032,17YF

Grinda principal 2-C-D:

KNVVM DDC 84,4005301684232,170 KNVVM CCD 48,540130368632,1740

Verificare:


30/125

30

Fig.2.2

Trasarea diagramei de for tietoare

ntre A i B bara nu este ncrcat fora tietoare este constant i egal cu valoarea reaciuniiverticale din A, TA0 (VA=7,46kN rotete n sens antiorar).n dreptul forelor concentrate (direct aplicate i reaciuni din reazemele cu terenul) se produc salturin sensul i egale cu valoarea acestora.Pe intervalele 2-Ci C-D, fora tietoare variaz liniar, iar dreptele aferente celor dou intervale sunt

paralele, ntruct ncrcarea are aceeai valoare pe ambele poriuni.n articulaia intermediar 2 fora tietoare are aceeai valoare la snga i la dreapta ei, respectivforele tietoare n captul 2 pe cele dou grinzi secundar i principal, au aceeai valoare.

st

BBAAA TTKNVT 46,7 st

BB

st

B

dr

B TTKNVTT 1132,37 ststdr

TTKNTT 33111 32,1720


31/125

31

22333 32,17sin40 TTKNTTstdr

KNTTst

C 32,332832,17282

KNVTT Cst

C

dr

C 16,2148,5432,33

Pe intervalul C-D, fora tietoare schimb semnul; se anuleaz la distana xmax fa de reazemul C,egal cu raportul dintre fora tietoare din captulfa de care se calculeaz distana i valoarea foreiuniform distribuite care acioneaz pe acel interval.

KNTT drC

st

D 84,104816,2148

KNVTT Dst

D

dr

D 3084,4084,10

Trasarea diagramei de moment ncovoietor

Pe grinda secundar pe grinda principal pe grinda principalPe intervalul C-Dmomentul ncovoietor nregistreaz un punct de extrem, iar valoarea acestuia se

poate calcula n modul urmtor:Pentru bara C-D, fora tietoare captul Ceste , iar momentul ncovoietor n Ceste . Parcurgnd bara de la Cspre B, la distana de C, momentulncovoietor va avea valoarea:


32/125

32

2.3. Probleme propuse

2.3.1. S se identifice diagrama corect de moment ncovoietorMpentru structura din figur.

a)

b

c)

d)

e)


33/125

33


a)

b)

c)

d)

e)


34/125

34


a)

b)

c)

d)

e)


35/125

35

2.3.4. Care este diagrama corect de for tietoare T pentru urmtoarea grind Gerber?

a)

b)

c)

d)

e)


36/125

36

2.3.5. Care este diagrama corect de moment ncovoietor M pentru urmatoarea grind Gerber?

a)

b)

c)

d)

e)


37/125

37

2.3.6. S se identifice diagrama de for tietoare corect pentru structura din figur.

a)

b)

c)

d)

e)


38/125

38

2.3.7. S se identifice diagrama de moment ncovoietor corect pentru structura din figur.

a)

b)

c)

d)

e)


39/125

39

2.3.8. Pentru grinda din figur care dintre diagramele de for tietoare este cea corect?

a)

b)

c)

d)

e)


40/125

40

2.3.9. Pentru grinda din figur care dintre diagramele de moment ncovoietor este cea corect?

a)

b)

c)

d)

e)


41/125

41

2.3.10. S se identifice momentul ncovoietor maxim Mmaxpentru structura din figur.

a) 10,00 KNm

b) 5,00 KNm

c) -5,00 KNm

d) 30,00 KNm

e) 51,96 KNm


42/125

42

Capitolul 3: Cadre static determinate


Cadrele sunt structuri alctuite din bare drepte sau curbe conectate n noduri rigide sau rigide iarticulate, solicitate predominant la ncovoiere.Nodul ri gid - are trei grade de libertate: 2 translaii dup 2 direcii din plan i o rotire;

- deplasrile tuturor capetelor de bare concurente ntr-un nod rigid sunt egale;- tangentele duse n nod la axele deformate ale barelorformeaz ntre ele aceleai

unghiuri cu cele pe care le fac barele n poziia iniial, nedeformat.Nodul rigid se deplaseaz ca un corp rigid, fr a permite rotiri relative ntre barele concurente nel.

Nodul arti culat - are dou grade de libertate:translaii dup cele 2 direcii din plan;- barele se pot roti liber n nod.

Nodularticulat nu transmite moment ncovoietori permite rotirea relativ a barelorconectate.

Reaciunile pe cadre se determin din ecuaii de echilibru, n funcie de tipul structuri i:- Cadre simplu rezemate: 2 ecuaii de sum de moment nul fa de cele dou reazeme cu

terenul i oecuaie de sum de fore egal cu zero dup o direcie din plan. - Cadre cu trei articulaii: 2 ecuaii de echilibru global al structurii fa de cele dou

reazeme cu terenul i dou ecuaii de sum de moment nulfa de articulaia intermediarde o parte i de alta a acesteia.

Vom prezenta dou metode de trasare a diagramelor de eforturi:A. Diagramele de eforturi se traseaz prin parcurgerea structurii ntr-un sens stabilit n prealabil,

urmrind, pe fiecare interval, ncrcarea exterioar i direcia barelor. Eforturile n seciunile

caracteristice (modificarea ncrcrii, schimbarea direciei axei barelor) se calculeaz cumetoda seciunilor.Diagrama de moment ncovoietor se traseaz n concordan cudiagrama de for tietoare.

B. O alt metod de trasare a diagramelor de eforturi pe cadre const n descompunereacadrului n prile sale componente. BARE i NODURI. Se calculeaz valoarea momentuluincovoietor la capetele barelor. Se izoleaz barele din structur i se ncarc cu efectul

prilor nlturate: forele tietoare i momentele ncovoietoare de la capete. Altfel spus, fiecare bar a cadrului se consider simplu rezemat i se ncarc cu forele direct aplicate peea i cu momentele ncovoietoare de la capete (valori calculate anterior). Pentru fiecare barse traseaz diagrama de for tietoare i de moment ncovoietor. Eforturile axiale n barelecadrului se determin izolnd nodurilecadrului prin secionarea capetelorbarelor concurente

n nodul respectiv i ncrcarea acestuia cu forele exterioare direct aplicate i cu efectulbarelor secionate: forele tietoare de la capetele barelor (determinate n prealabil) i cueforturile axiale - necunoscute. Pentru fiecare nod se scriu ecuaii de echilibru exprimate prinsum de fore egale cu zero dup dou direcii din plan. Eforturile axiale din barele structuriise determin din condiia de echilibru a nodurilor dup izolarea prealabil a acestora.

De la caz la caz, se abordeaz una dintre cele dou variante, cealalt putnd fi folosit ca verificare.


43/125

43

3.2. Exemple de calcul

3.2.1. Structura din figura 3.1. este un cadru simplu rezemat.

Fig. 3.1.

Calculul reaciunilor Verificare: n ecuaiile de echilibru conteaz doar sensul relativ al momentelor date de fore. Semnul + sauseutilizeaz doar pentru a exprima acest lucru, sensul de referin + se alege arbitrar.

Diagramele de eforturi (Fig.3.2.)

Moment:

-pe consol capt liber: KNmM C 55.01101 (fibra ntins exterioar)

KNmM A 755,25105401

KNmM 80261054012

-se verific echilibrul nodului 1 innd cont de sensurile de rotire ale momentelor calculate pecapetele barelor.

KNmMM a 25,612610540575,3221 (stnga), sau

KNmMM a 25,61220375,33221 (dreapta)

Aciunea forei concentrate n nodul 2 nu afecteaz valoarea momentului ncovoietor la capetelebarelor.

Pentru calculul momentului ncovoietor ntr-o seciune se ine cont numai de fibra ntins de fiecarefor, indiferent de corpul pe care se lucreaz.Punctul n care se determin momentul ncovoietor se consider fix.

KNmMaB 625,505,175,33

Pe barele nencrcate cu fore se poate trasa diagrama de moment ncovoietor unind cu segmente dedreapt valorile calculate la capetele acestora.Diagrama M se traseaz pe fibra ntins. Trasarea diagramelor M pe barele ncrcate cu for uniform distribuit necesit cunoaterea

diagramei de for tietoare, nefiind suficiente dou valori pentru trasarea unei parabole de gradul II.Pe consola C-1TC=0 diagrama de moment ncovoietor va fi tangent la bar n acest punct.


44/125

44

KNmMA 802410440max

1 (fa de A)

KNmMA 80755,0110110max

1 (fa de 1)

Fig. 3.2.

T1-2

KNTTT 75,35

25,6180212112

Fora tietoare acioneaz pe capetele barei ca un cuplu de fore care anuleaz valoarea momentelorconcentrate pe capetele barelor.

- Valoarea forei tietoare = suma algebric a momentelor de pe capete (n funcie de sensulacestora) mprit la lungimea barei (Fig.3.3).

- Semnul este desemnat de sensul de rotire din condiia de anulare a momentului (rezultant) depe captul barei.

8,05

4sin

6,05

3cos


45/125

45

Pentru bara ncrcat cu o for concentrat se procedeaz astfel:- Fie se determin valoarea forei tietoare pe cele dou intervale liniare ale momentului

delimitate de fora concentrat;- Fie se izoleaz bara 1-B i se ncarc cu componenta forei concentrate perpendicular pe

bar aplicat la mijlocul acesteia i cu momentul din captul 2.

Verificare: KNVT BB 25,20cos

Fig.3.3.

Echilibrul nodurilor Forele tietoare de la capetele barelor se trec n funcie de semnul lor:+ (Tik0) rotete nodul n sens orar- (Tik0) rotete nodul n sens antiorarorar


46/125

46

3.2.2. Cadrul cu trei articulaii din figura 3.4. are articulaiile cu terenul dispuse laacelai nivel.

Fig.3.4.

Determinarea reaciunilorEcuaiile de echilibru global faa de reazemele cu.terenul.Reazemele fiind la acelai nivel, suportul reaciunilor orizontale trece prin ele, rezult c H Ai HB nudau momente fat de B i A

{ { Verificare: Ecuaiile de moment nul fa de articulaia intermediar la stnga si la dreapta acesteia (echilibrul

fiecrei pri) { Verificare: Calculul momentelor incovoietoare la capetele barelor

nodul 1 este rigid 2-Cnencrcat => M-liniar2-anencrcat => M-liniar2-Bnencrcat => M-liniar


47/125

47

Trasarea diagramelor T i M pe bara 1-C(Fig.3.5.):

Fig.3.5.

- Se izoleaz bara 1-Cprin secionarea ei dup nodul 1i inainte de nodul C(Fig.3.2.), seconsider simplu rezemat i ncrcat cu forele exterioare direct aplicate i cu momentul de lacaptul 1.

- Componenta forei uniform distribuite perpendicular pe bar (vezi 1.1. fig.1.1) descarc simetric n cele dou reazeme prin dou reaciuni egale cu

Momentul descarc printr-un cuplu de forede valoare:


48/125

48

Echilibrul nodului 2 la moment: Pe barele ncrcate doarcu moment concentrat pe capt, fora tietoare acioneaza sub forma unuicuplu de fore care anuleaz momentul concentrat deschide diagrama de M.

Trasarea diagramei de efort axialEchilibrul nodului 1

Pe bara 1-C, distribuia forei uniforme produce o variaie liniar a efortului axialDin acest motiv se impune izolarea nodului C pentrucalculul valorii Verificare:Se scrie echilibrulbarei exprimat prin suma forelor pedirecia axei barei:

Echilibrul nodului 2: Verificare: Pe consolnu acioneaz nici o fora pe direcia axei barei => N=0

3.2.3. Structura din figura 3.6 este un cadru cu trei articulaii cu reazemele decalate. Se propune,pentru rezolvare prima metod, cea clasic.

Determinarea reaciunilor:ntruct reazemele nu sunt la acelai nivel, nfiecare ecuaie vor interveni cte dou necunoscute. Seobin dou sisteme de dou ecuaii cu dou necunoscute fiecare: reaciunile din cele dou reazeme.

Astfel, combinnd ecuaiile de echilibru global cu cele de moment nul fa de articulaiaintermediar, se obine:


49/125

49

{

{ {

i{ { {

Verificare:

Fig.3.6.

Trasarea diagramelor de eforturi (Fig.3.7):

Eforturile tip for secalculeaza prin proiecia forelor pe direcia axei barei si perpendicular pe ea.

Efortul axial Bara 1-Corizontal i nencrcat

Fora tietoareConform schemei de proiecie a forelor n punctul A,

.Pe consola orizontal din nodul 1: Pe bara C-2, fora tietoare schimb semnul

Eliminnd corpul din dreapta, singura for perpendicular pe bara 2-B este HB, care rotete n sensorar.


50/125

50

Fig.3.7.

Efectul consolei asupra stlpului:

! Consola (fora concentrat P) nu afecteaz diagrama T pe stlp ! Fora concentrat se reduce la faa stlpului la o for concentrat P=20 kNi un moment ncovoietorM=40kN care ntinde fibra din interior a seciuniistlpului.

Diagrama de moment ncovoietor

Se verific echilibrul nodului 1 la moment ncovoietor

; Pe intervalul C-2. Momentul ncovoietor are un punct de extrem, la distana fa dearticulaia C

n C, parabola este tangent la variaialiniar a momentului de pe intervalul 1-C Se verific echilibrul la moment al nodului 3:


51/125

51

Valorile forei tietoare se pot verifica urmrind diagrama de moment ncovoietor.

Astfel, baraA-1este nencrcat i valoarea momentului ncovoietor din captul 1 este 21,59kNm

} , egal cu valoarea determinat cuproiecii ale forelor pe normala la axa barei nclinate.

Pe bara 1-C deschide diagrama M1-Cn sens orarBara 2-3 deschide diagrama M2-3n sens orar.Bara 3-B deschide diagrama M3-Bn sens orar.M2-3i M3-Bsunt paralele, fora tietoare este constant

Se verific echilibrul nodului 1 dup izolarea prealabil a acestuia, prinscrierea ecuaiilor de sum de fore egale cu zero dup cele dou direcii

perpendiculare din plan. Echilibrul celorlalte noduri se poate verifica cu uurin n figura 3.8.

Fig.3.8.


52/125

52

3.3. Probleme propuse3.3.1. S se identifice diagrama corect de moment ncovoietorMpentru structura din figur.

a)

b) c)

d) e)


a)

b) c)

d)e)


53/125

53


a)

b) c)

d)e)

3.3.4. Care este diagrama corect de moment ncovoietor M pentru cadrul din figura urmtoare?

a)

b) c)


54/125

54

d) e)

3.3.5. Care este diagrama corect de for tietoare T pentru cadrul din figura de mai jos?

a)

b) c)


55/125

55

d) e)

3.3.6. Care este diagrama corect de efort axial N pentru cadrul din figura de mai jos?

a)

b) c)


56/125

56

d) e)

3.3.7. S se identifice diagrama de for tietoare corect pentru structura din figur.

a)

b) c)

d) e)


57/125

57

3.3.8. S se identifice diagrama de moment ncovoietor corect pentru structura din figur.

a)

b) c)

d) e)

3.3.9. S se identifice diagrama de efort axial corect pentru structura din figur.

a)


58/125

58

b)c)

d) e)

3.3.10. Care este diagrama de for tietoare T, pentru structura din figur, cunoscnd diagrama demoment ncovoietor M?

a) b)


59/125

59

c) d)

e)


60/125

60

Capitolul 4: Arce static determinate


Arcele sunt structuri cu axa curb, solicitate predominant la ncovoiere i efort axial. Arcele staticdeterminate sunt rar ntlnite ca elemente de construcie, dar rezolvarea lor st la baza calculuiarcelor nedeterminate static.

n funcie de forma axei lor, arcele pot fi ciculare sau parabolice.Dup modul de rezemare, arcele static determinate pot fi simplu rezemate sau cu trei articulaii.

Rezolvarea arcelor static determinate, respectiv determinarea reaciunilor i trasarea diagramelor deeforturi se realizeaz dup aceleai principii cu cele prezentate la structurile tip cadru.

Caracteristic comportrii arcelor este dezvoltarea n reazemele cu terenul, a unor reaciuni orizontalemari, numite mpingeri, care reduc esenial valoarea momentului ncovoietor din cmp, conferindastfel acestor structuri capacitatea de a acoperi deschideri mari comparativ cu grinzile drepte.

Elementele caracteristice ale unui arc cu trei articulaii cu reazemele la acelai nivel sunt definite n figura 4.1.

Fig.4.1.

Variaia eforturilor, n acest caz, depinde de axa barei, prin urmare va fi curbilinie.Orice seciune a unui arc este definit prin: coordonatele sale xi, yii unghiul pe care-l face tangentala axa arcului n punctul respectiv cu orizontala, i.

Aceste mrimi se determin n mod diferit n funcie de forma axei arcului. Arcul parabolic

Ecuaia parabolei de gradul al doilea este:

Derivata de ordinul nti a funciei definete panta acesteia respectiv :

Astfel, dac pentru o seciune a unui arc parabolic se cunoate xi, prin nlocuiea valoriiacestuia

n ecuaia arcului, se calculeazyi, i n expresia derivatei de ordinul Ia acesteia, se determin , dup care

prin aplicarea funciei inverse, se determin

i implicit orice alt funcie

trigonometric a acestuia.


61/125

61

Arcul circular

Caracteristicile geometrice ale seciunilor unui arc circular se determin din considerentegeometrice. Astfel, n funcie de elementele care se cunosc, se pot determina coordonateleseciunii ii unghiul

Fig.4.2.

Din figura 4.2. se vede c unghiul

pe care l face tangenta la axa arcului cu orizontala are aceeai

msur cu unghiul la centru format de razele aferente seciunii i i seciunii de cheie C. Dintriunghiurile dreptunghiceAMOi iNOse pot determina n funcie de elementele cunoscute, celelaltemrimi geometrice care definesc seciunea i.

Calculul eforturilor de tip fore n orice seciune a unui arc (parabolic sau circular) se face prinproiecia forelor pe direcia tangentei la axa arcului n punctul respectiv (Ni) i perpendicular peaceasta (Ti).

n cazul ncrcrii arcelor cu trei articulaii doar cu fore verticale, determinarea eforturilor se poateface prin analogie cu grinda simplu rezemat ataat arcului, ncrcat identic cu acesta. ntructncrcrile sunt verticale, reaciunile verticale pe cele dou structuri sunt identice( depind doar de

poziia forelor verticale). n orice seciune a arcului, efectul forelor verticale este reprezentat defora tietoare de pe grinda simplu rezemat ataat arcului, n seciunea corespunztoare celei de pearc.

La rezolvarea arcelor cu trei articulaii ncrcate doar cu fore verticale, se poate face analogia cugrinda simplu rezemat ncrcat identic cu arcul.

Expresiile eforturilor vor fi:

Eforturile notate cu indicele 0 sunt cele din grinda simplu rezemat ataat arcului.


62/125

62

Dac ncrcarea pe arc este oarecare (fore orizontale i verticale), pentrucalculul eforturilor n seciunea i, se analizeaz efectul fiecrei ncrcriasupra feei seciunii i, prin proiecii pe direcia tangentei la axa arcului n i i

perpendicular pe aceasta.

Momentul ncovoietor ntr-o seciune a unui arc se poate determina prin secionarea structurii n

punctul respectiv i fixarea acesteia printr-o ncastrare fictiv. Se determin efectul fiecrei foreasupra seciunii i, identificnd pentru fiecare aciune fibra ntins.

Fig.4.3.


63/125

63

4.1. Exemplu numeric

Pentru arcul parabolic din figura 4.4, se vor determina eforturile din seciunile i, j ale acestuia.ntruct arcul este ncrcat numai cu fore verticale determinarea eforturilor n seciunile marcate seva face att prin metoda general, valabil pentru orice tip de ncrcare, ct i cu ajutorul valoriloreforturilor determinate pe grinda simplu rezemat ncrcat identic cu arcul.

Fig.4.4.

Diagramele de eforturi pentru grinda simplu rezemat ataat arcului sunt trasate n fig.4.4.

1. Se determin reaciunile dup principiile generale de calcul aplicate structurilor cu treiarticulaii:Se scriu ecuaiile de echilibru global ale arcului fa de cele dou reazeme cu terenul:

Verificare:


64/125

64

Se scriu ecuaiile de moment nul fa de articulaia intermediar, la stnga i la dreaptaacesteia.

Se poate observa c valoarea reaciunilor orizontale (mpingerea arcului) este mare, faptcaracteristic acestei categorii de structuri.

2. Se calculeaz caracteristicile geometrice ale seciunilor pentru care se doretedeterminarea eforturilor.

Ecuaia parabolei este: Seciunea i: ;

Seciunea j:

3. Se calculeaz eforturile n cele dou seciuni:

A. Seciunea ia) Se face analogia cu grinda simplu rezemat ataat arcului i se utilizeaz expresiile

de calcul ale eforturilor prezentate la paragraful 4.1.

n seciunea i , pe grinda simplu rezemat ataat arcului eforturile sunt: Eforturile n seciunea i a arcului sunt:

b) Pentru calculul efortului axial i al forei tietoare se proiecteaz forele direct aplicate

care acioneaz pn n seciunea i (se parcurge arcul de la stnga la dreapta) pedireciatangentei trasate n ila axa arcului, respectiv perpendicular pe ea:

Determinarea momentului ncovoietor n seciunea ise face considernd efectul fiecreifore i fibra ntins de acestea n seciunea i, considerat fixat:


65/125

65

B. Seciunea jSeciunea j se afl la dreapta articulaiei arcului, astfel c unghiul pe care-l face tangentala axa arcului cu orizontala este a) Utiliznd grinda simplu rezemat ataat arcului, eforturile pe aceasta n seciunea

corespunztoare seciunii j de pe arc sunt:

Eforturile sunt:

b) Avnd n vedere poziia seciunii j, la dreapta seciunii de cheie i mai apropiat de

reazemul B, eforturile n seciunea j se pot determina mai uor, prin aceast metoddac se consider forele din dreapta seciunii (doar reaciunile din B). n acest caz,

pentru proiecia eforturilor se va considera unghiul pentrucare Astfel, eforturile sunt:

n cazul ncrcrii cu fore verticale, pentru determinarea eforturilor se poate opta pentru oricaredintre cele dou metode prezentate.

Dac pe arc acioneaz i fore de alt direcie dect vertical nu se poate face analogia cu grindasimplu rezemat.

Din analiza diagramelor de moment pe arc i pe grinda simplu rezemat ncrcat identic se observefectul mpingerilor dezvoltate n seciunile de reazem asupra reducerii momentului ncovoietor dincmp.


66/125

66

4.3. Probleme propuse

4.3.1. Pentru arcul din figura de mai jos se cere s se determine valoarea corect a lui Mi , cunoscndecuaia arcului: )()( 2

4xlxxy

l

f si xi=5m.

a) 65.219 kNm

b) 61.143 kNm

c) 33.502 kNm

d) 26.457 kNm

e) 68.186 kNm

4.3.2. Pentru arcul din figura de mai jos se cere s se determine valoarea corect a lui Ti , cunoscndecuaia arcului )()( 2

4xlxxy

l

f si xi=5m.

a) -21.86 kN

b)

-23.46 kNc) 23.46 kN

d) -17.12 kN

e) 26.48 kN


67/125

67

4.3.3. S se identifice momentul ncovoietorMn seciunea ipentru arcul parabolic din figur.

Ecuaia arcului parabolic: xlxl

fxy

2

4

a) 187,50 KNm b) -187,50 KNm c) -33,00 KNm

d) -37,50 KNm e) 37,50 KNm

4.3.4. S se identifice fora tietoare Tn seciunea ipentru arcul parabolic din figur.


fxy

2

4

a) 30,00 KN b) -15,00 KN c) 33,00 KN

d) 37,50 KN e) 0,00 KN

4.3.5. S se identifice efortul axial Nn seciunea ipentru arcul parabolic din figur.


fxy

2

4

a) -33,54 KN b) 33,00 KN c) -30,00 KNd) -6,00 KN e) 37,50 KN


68/125

68

4.3.6. S se identifice efortul din tirant pentru arcul circular din figur, avnd raza R=15m i unghiulla centru 2 = 120.

a) -32,50 KN b) 56,33 KN c) 281,66 KN

d) 32,50 KN e) 90,00 KN

4.3.7. S se identifice efortul din tirant pentru arcul parabolic din figur.

a) 320,00 KN b) -320,00 KN c) 160,00 KN

d) 120,00 KN e) -145,00 KN


69/125

69

4.3.8. Pentru arcul circular din figur valoarea efortului axial n punctul Ddr este?

a) ND= 50.354kN b) ND= -4.453kN c) ND= -33.878kN

d) ND= 33.878kN e) ND= -50.354kN

4.3.9. Pentru arcul circular din figur valoarea forei tietoare n punctul D dreste?

a) TD= 50.354kN b) TD= -4.453kN c) TD=-33.878kN

d) TD=4.453kN e) TD=-50.354kN


70/125

70

4.3.10. Pentru arcul circular din figur valoarea momentului ncovoietor n punctul D dreste?

a) MD= -24.169kNm

b) MD= -4.453kNmc) MD= 24.169kNm

d) MD= 4.453kNme) MD= -50.354kNm


71/125

71

Capitolul 5: Structuri articulate plane


Structurile articulate plane, numite i structuri cu zbrele, sunt alctuite din bare drepte prinse narticulaii perfecte.

Ipoteze simplificatoare acceptate pentru calculul grinzilor cu zbrele:- Axele barelor sunt concurente n noduri. - Nodurile sunt articulaii perfecte nu transmit moment ncovoietorn barele structurii

iau natere numai eforturi axiale.

Metode de calculVom prezenta doar dou dintre metodele de determinare a eforturilor din barele unei structuri cuzbrele: Metoda izolrii nodurilor

Metoda seciunilor

Metoda izolrii nodurilorare ca principiu izolarea succesiv a nodurilor structuriiprin secionareabarelor concurente n acesteai scrierea de ecuaii de echilibru dup dou direcii perpendiculade dinplan. Prin aceast metod, pentru a determina efortul dintr-o bar, trebuie izolate toate nodurile pnla un nod n care se leag bara respectiv. Pentru a putea scrie echilibrul unui nod, n el trebuie s sentlneasc cel mult dou bare cu efort necunoscut.

n vederea sistematizrii calcululuise recomand urmtoarele:- La scrierea ecuaiilor de echilibru, exprimate prin sume de fore dup dou direcii

perpendiculare din plan egale cu zero, se consider pozitive forele care acioneaz de lastnga la dreapta i de jos n sus , n sensul axalorde referin.

- Eforturile necunoscute din bare se reprezint ca fiind de ntindere (ies din nod).

Metoda seciunilor const n secionarea barelor pentru care se dorete determinarea eforturilor iscrierea echilibrului unuia dintre corpurile obinute. Pentru orice corp rigid aflat n echilibru se potscrie trei ecuaii, n general, 2 ecuaii de sumde moment nul fa de dou noduri ale grinzii aleseconvenabil. Din acest motiv, metoda se poate aplica pentru structuri la care se pot realiz a seciunicare s nu taie mai mult de trei bare cu efort necunoscut.

Metoda seciunilor permite determinarea efortului din orice bar a structurii, cu condiia casecionarea barei respective s fie posibil (seciunea s nu intersecteze mai mult de dou bare cuefort necunoscut), motiv pentru care se utilizeaz frecvent ca verificare a eforturilorn anumite bareale structurii.

Reprezentarea grafic a eforturilor axiale determinate pe barele structurii se poate face :- Prin trasarea pe bare a diagramelor de efort axial (valoare i semn)- Prin scrierea valorii efortului pe fiecare bar i marcarea prin sgei a efectului efortului la

faa nodului (efort de ntindere-iese din nod, efort de compresiuneintr n nod).


72/125

72


5.2.1. Structura articulat din figura este rezolvat cu metoda izolrii nodurilor.Se detecteazbarele cu efort nul :- n nodul 5 se ntlnesc trei bare , nodul 5 este nencrcat i barele 5 -7 i 3-5 sunt n

prelungireN5-6=0, iar N5-7=N3-5- ntruct N5-6=0, n nodul 6 se ntlnete aceeai situaie, prin urmare N3-6=0- Se aplic aceeai regul pentru nodurile 3 , 4, 1,2, rezultnd efort nul n barele: 3-4, 1-4,

1-2,A-2. i eforturi egale n toate barele aflate n prelungire.

Fig.5.2.

Astfel, din echilibrul nodului 7 rezult:

530,0cos

848,0sin

;0

;0

y

x

F

F

kNNNN

kNNN

32530,0736,370sin

736,37848,0

200cos20

576757

6767

Verificare

;0AM kNVV BB 325820

kNVV BA 32 - cuplu de forte care anuleaza valoarea

momentului generat de forta orizontala.

020cos736,37

0sin736,3732

x

y

F

F


73/125

73

5.2.2, Pentru structura cu zbrele din figura 5.3 se determin eforturile axiale n toate bareleacesteia prin metoda izolrii nodurilor i se verific, cu metoda seciunilor eforturile n barele 1-2, 2-3, 2-B..

A. Metoda izolrii nodurilor

Fig. 5.3.

1. Se calculeaz reaciunile, scriind echilibrul global al structurii fa de cele dou reazeme cu

terenul: 49,25kN 5,75kN2. Se izoleaz pe rnd nodurile structurii prin secionarea barelor concurente n acestea i se scrie

echilibrul fiecrui nod.n nodul A sunt conectate dou bare cu efort necunoscut se

poate scrie echilibrul acestuia:

Efortul n bara A-1 fiind calculat, se observ c n nodul 1 se ntlnesc doar dou bare cu efortnecunoscut se scrie echilibrul nodului 1

Eforturi egale i de semne contrare n diagonale


74/125

74

Echilibrul nodului 2:

Echilibrul nodului 3:Singura bar cu efort necunoscut este 3-B. Este suficient o singur ecuaie

pentru determinarea acestuia, cea de-a doua ecuaie de ehilibru se foloseteca verificare.

Tot n scopul verificrii corectitudinii valorilor eforturilor calculate se

izoleaz nodul B i se scrie echilibrul acestuia.

Rezultatele, valorile calculate ale eforturilor din barele structurii, au fost marcate pe structur.Sgeile de pe bare indic efectul eforturilor asupre nodului. Se poate observa, astfel c n talpainferioar a grinzii se dezvolt eforturi dr ntindere,n timp ce talpa superioar este comprimat.

Calculele trebuie efectuate cu precizie de cel puin trei cifre zecimale, n aa fel nct verificareaeforturilor s fie posibil.

Fig. 5.4

B Metoda seciunilor

Se dorete determinarea eforturilor din barele 1-3, 2-3, 2-B. Pentru aceasta, se secioneaz grindaprin tierea barelor respective. Se scrie echilibrul corpului A-1-2Se scriu dou ecuaii de sum de moment egal cu zero fa de dou noduri alese astfel nct n fiecareecuaie s intervin ct mai puine necunoscute.

Prin nodul 2 trec suporturile eforturilor N2-3 i N2-B, prin urmare, scriind sum de moment egal cuzero fa de nodul 2, n aceast ecuaie intervine o sigur necunoscut : N1-3

O situaie similar se ntlnete pentru nodul 3 n care se intersecteaz suporturile forelor 1-3 i 2-3.


75/125

75

36,640kN kN

Doar n barele secionate se pune n eviden efortul axial. Barele ntregi fac parte din ansamblulizolat.

S-au obinut aceleai valori prin ambele metode.

Caracteristici comune celor dou metode de calcul a structurilor cu zbrele: Ambele metode au aplicabilitate limitat denumrul ecuaiilor de echilibru care se pot scrie

n fiecare situaie. Eforturille se determin scriind echilibrul prii izolate prin secionarea barelor cu efort

necunoscut.

Dac pentru o structur toate seciunile posibile taie mai mult de trei bare i n noduri seintersecteaz mai mult de dou bare cu efort necunoscut, pentru determinarea eforturilor n anumite

bare se admit combinaii ale celor dou metode prezentate.


76/125

76

5.3. Probleme propuse5.3.1. S se identifice efortul axial N45 corect pentru structura articulat plan din figur.

a) -11.20 KN b) -8.39 KN c) 12.56 KN

d) -17,98 KN e) 15,75 KN

5.3.2. S se identifice efortul axial N87 corect pentru structura articulat plan din figur.

a) 22.50 KN b) -23.75 KN c) 15,85 KN

d) 16,98 KN e) -15,85 KN

5.3.3. Pentru structura cu zbrele din figur efortul n bara 4 -7 va fi?

a) N47=120kN b) N47=-50kN c) N47=0kN

d) N47=50kN e) N47=40kN5.3.4. Pentru structura cu zbrele din figur efortul n bara 3 -5 va fi?

a) N35= -120kN b) N35=120kN c) N35=0kN

d) N35=126.49kN e) N35=-40kN


77/125

77

5.3.5. S se identifice efortul axial N35pentru structura articulat plan din figur.

a) -20,25 KN b) -8,65 KN c) 15,59 KNd) 17,98 KN e) 7,33 KN

5.3.6. S se identifice efortul axial N24pentru structura articulat plan din figur.

a) -31,26 KN b) -24,20 KN c) 31,26 KN

d) -18,00 KN e) 15,75 KN

5.3.7. Pentru grinda cu zbrele din figura de mai jos, se cere s se determine valoarea corect aefortului axial n bara 3-4.

a) 53.33kN

b) 18.03 kN

c) 65.50 kN

d) 29.81 kN

e)

-21.31 kN


78/125

78

5.3.8.Pentru grinda cu zbrele din figura de mai jos, se cere s se determine valoarea corect aefortului axial n bara 3-5.

a)

-37.27kNb) -18.03 kN

c) -12.02 kN

d) -29.81 kN

e) -21.31 kN

5.3.9.Pentru grinda cu zbrele din figura de mai jos, se cere s se determine valoarea corect aefortului axial n bara 6-7.

a)

-32.54 kNb) -16.21kN

c) -10.53 kN

d) -12.02kN

e) -21.31 kN


79/125

79

5.3.10. Pentru grinda cu zbrele din figura de mai jos, se cere s se determine valoarea corect aefortului axial n bara 7-10.

a)

10.53 kNb) 16.21 kN

c) 6.67 kN

d) 32.54 kN

e) 21.31 kN


80/125

80

Capitolul 6: Calculul eforturilor cu ajutorul Principiului Lucrului

Mecanic Virtual


Echilibrul unui corp rigid se poate exprima i prin utilizarea Principiul Lucrului Mecanic Virtual(P.L.M.V.) nul.

Acest principiu se enun astfel:

Unsistem material este n echilibru daci numai dacpentru orice deplasare virtual, infinit mic,compatibil cu legturile, lucru mecanic efectuat de fore parcurgnd deplasarea cinematic dateste egal cu zero.

Pentru a determina valoarea unui efort ntr-o seciune, utiliznd P.L.M.V., trebuie parcurseurmtoarele etape:

n punctul n care se dorete determinarea unui efort se suprim legtura corespunztoare

acestuia, rezultnd un mecanism cu un grad de libertate cinematic.o Astfel, cnd se calculeaz un moment ncovoietor, se suprim

legtura aferent acestuia, rezultnd o legtur care nu preia momentncovoietor (permite rotirea relativ a barelor) Momentul, necunoscutse exteriorizeaz de o parte i de alta a articulaiei.

o Pentru determinarea forei tietoare, se suprim legtura aferentacesteia, obinnd o legtur care permite glisarea relativ a feelorseciunii pe direcia perpendicular pe axa barei.

o Pentru calculul efortului axial ntr-o seciune se suprim, n punctulrespectiv, legtura corespunztoare acestuia i se obine o legtur care

permite glisarea relativ a feelor seciunii pe direcia axei barei.

Pentru mecanismul obinut, se traseaz diagramele de deplasri dup dou direciiperpendiculare din plan. Toate ordonatele diagramelor de deplasri se determin n funcie deun singur parametru care se alege arbitrar (rotirea sau deplasarea unui corp).

Se scrie ecuaia de lucru mecanic virtual, din care se determin necunoscuta.

Lucrul mecanic se consider pozitiv dac fora i deplasarea, respectiv momentul ncovoietor i

rotirea, au acelai sens.


81/125

81

6.2. Exemplu de calcul.Pentru structura din figura 6.1 se vor determina eforturile din seciunea i, utiliznd principiul lucruluimecanic virtual nul.

Fig. 6.1

a. Calculul momentului ncovoietor din seciunea i (Fig.6.2)-

n i se suprim legtura aferent momentului ncovoietor (se introduce o articulaie carepermite rotirea relativ a capetelor barelor conectate) i se exteriorizeaz perechea demomenteMide o parte i de alta a articulaiei astfel formate.

Fig. 6.2

- Pe mecanismul astfel obinut, se d o deplasare virtual unui corp i se traseaz diagramele dedeplasri pe vertical i pe orizontal. Se alege deplasarea unui corp (rotire sau translaie) ca

parametru, n funcie de care se determin toate celelalte elemente ale diagramei (Fig.6.2).- Se calculeaz deplasrile (translaii i/sau rotiri) n dreptul tuturor forelor (fore sau

momente):

Se alege ca parametru datorit simetriei diagramei CorpurileIiIIIau deplasri paralele, centrul (1,3) fiind la infinit


82/125

82

Valorile deplasrilor n dreptul forelor direct aplicate pe structur sunt marcate pe diagramele dedeplasare (Fig.6.2).

Se scrie ecuaia de lucru mecanic virtual nul: Lucrul mecanic este pozitiv dac fora i deplasarea (respectiv momentul i rotirea) au acelai sens. b. Calculul forei tietoare din seciunea i (Fig.6.3)

- n i se suprim legtura aferent forei tietoare (se obine o legtur care permite glisarearelativ a feelor seciunii pe direcia perpendicular pe bar) i se exteriorizeaz perechea defore tietoare Ti

- Se d o deplasare virtual unui corp i se traseaz diagramele de deplasri ale mecanismuluiformat. Se calculeaz deplasrile n dreptul punctelor de aplicaie ale forelor i pe direciaacestora n funcie de parametrul ales.

Fig. 6.3

corpurileIiIIse deplaseaz paralel, centrul lor relativ aflndu-se la infinit pe direcia axeibarei ( direcia pendulilor).

Ecuaia de lucru mecanic:ntruct seciunea ise afl pe bara nclinat, fora tietoare Tiare componente dup direcia verticali dup direcia orizontal, , i implicit efectueaz lucru mecanic dup aceste direcii.Valorile deplasrilor n dreptul tuturor forelor (i a efortului exteriorizat) sunt vizualizate n figura6.3.


83/125

83

c. Calculul efortului axial din seciunea i (Fig.6.4)- n i se suprim legtura aferent efortului axial (se obine o legtur care permite glisarea

relativ n lungul axei barei) i se exteriorizeaz perechea de fore axiale Ni- Se d o deplasare virtual unui corp i se traseaz diagramele de deplasri ale mecanismului

format. Se calculeaz deplasrile n dreptul punctelor de aplicaie ale forelor i pe direcia

acestora n funcie de parametrul ales.

Fig. 6.4

Se determin poziia centrului (2), aflat la intersecia dreptelor: (1) (1,2) i (3), (2,3)Se scriu ecuaiile celor dou drepte exprimate prin pantele lor:

(1),(1,2): (3),(2,3): se egaleaz expresiile ordonatei y2

corpurile I i II se deplaseaz paralel, centrul lor relativ aflndu-se la infinit pe direciaperpendicular pe axei barei ( direcia pendulilor).

Ecuaia de lucru mecanic:

Similar forei tietoare, efortul axial, Ni are componente dup direcia vertical i dupdirecia orizontal, , i efectueaz lucru mecanic dup aceste direcii. Valorile deplasrilor n


84/125

84

dreptul tuturor forelor (i a efortului exteriorizat) sunt vizualizate n figura 6.4.;

Rezultatele obinute se pot verifica prin metoda clasic. Astfel, n figura 6.5. sunt marcate valorilereaciunilor din reazemul A, cu care se pot calcula cu uurin eforturile n seciunea i de pe baranclinat.

Fig. 6.5


85/125

85

6.3. Probleme propuse6.3.1. Utiliznd P.L.M.V. s se determine reaciunea VB la structura de mai jos:

a) VB=118,75 kN

b) VB=98,25 kN

c) VB=120,00 kN

d) VB=58,50 kN

e) VB=108,75 kN

6.3.2. Utiliznd P.L.M.V. s se determine momentul ncovoietor MB la structura de mai jos:

a)

MB=95,00 kNmb) MB=105,00 kNm

c) MB=115,00 kNm

d) MB=125,00 kNm

e) MB=135,00 kNm

6.3.3. Utiliznd P.L.M.V. s se determine momentul ncovoietor MD la structura de mai jos:

a) MD=60,00 kNm

b) MD=75,00 kNm

c) MD=90,00 kNm

d) MD=105,00 kNm

e) MD=120,00 kNm


86/125

86

6.3.4. Utiliznd P.L.M.V. s se determine fora tietoare TB,stnga la structura de mai jos:

a) TB,stnga=68,75 kN

b) TB,stnga=-86,25 kN

c) TB,stnga=50,00 kN

d) TB,stnga=-68,75 kN

e) TB,stnga=86,25 kN

6.3.5. Utiliznd P.L.M.V. s se determine fora tietoare TB,dreapta la structura de mai jos:

a) TB,dreapta=-75,00 kN

b) TB,stnga=-50,00 kN

c) TB,stnga=25,00 kN

d) TB,stnga=75,00 kN

e)

TB,stnga=50,00 kN

6.3.6. Utiliznd P.L.M.V. s se determine momentul ncovoietor Mi, n seciunea i, la structura demai jos:

a) Mi=275,06 kNm

b) Mi=255,06 kNm

c) Mi=290,12 kNm

d) Mi=260,12 kNm

e)

Mi=295,06 kNm


87/125

87


a) Mi=214,38 kNm

b) Mi=224,56 kNm

c)

Mi=234,38 kNm

d) Mi=244,56 kNm

e) Mi=254,38 kNm


a) Mi=72,40 kNm

b) Mi=84,70 kNm

c) Mi=109,70 kNm

d) Mi=96,40 kNm

e) Mi=120,70 kNm


a) Mi=72,20 kNm

b) Mi=62,20 kNm

c)

Mi=52,20 kNm

d) Mi=42,20 kNm

e) Mi=32,20 kNm


88/125

88


a) Mi=95,16 kNm

b) Mi=115,32 kNm

c) Mi=100,16 kNm

d) Mi=125,32 kNm

e) Mi=110,16 kNm


89/125

89

Capitolul 7: Linii de influen

7.1. Noiuni teoretice de baz. Principii de rezolvare

Definiie:Linia de influen a unui efort dintr-o seciune reprezint variia efortului respectiv cnd o formobil egal cu unitatea se deplaseaz pe linia de ncrcare a structurii.

Modaliti de determinare: - Analitic;- Cu deplasri virtuale.

Cea de-a doua metod este mai rapid i mai usor de aplicat. Conform acestei metode:

Linia de influen a unui efort dintr-o seciune este dat de diagrama de deplasare pe direciaforei mobile a liniei de ncrcare a sistemului transformat, cnd pe direcia forei mobile se do deplasare infinit mic, compatibil cu legturile, astfel nct lucrul mecanic efectuat deefortul exteriorizat parcurgnd deplasarea cinematic dat s fie negativ.

Semnul liniei de influen este +n sensul forei mobile(sub linia de referin)

Principalele etape care trebuie parcurse cnd se dorete trasarea liniei de influen al efortului dintr-oseciune sunt:

Se suprim legtura corespunztoare efortului, iar acesta se exteriorizeaz n convenia desemn pozitiv, astfel:

Momentul ncovoietor Fora tietoare Efortul axial

ntinde fibra din interior Rotete feele seciuniin sens orar

Este de ntindere(iese din seciune)

Pentru mecanismul astfel obinut, denumit sistem transformat, se d o deplasare virtual egalcu unu pe direcia efortului exteriorizat, astfel nct lucrul mecanic efectuat de acesta s fienegativ i se traseaz diagrama de deplasare pe vertical (direcia forei mobile) .

Parametrul de referin (fa de care se determin toate ordonatele), va fi, n funcie de efortulpentru care se traseaz linia de influen, rotire relativ ntre corpurile generate prinsuprimarea legturii (n cazul momentului ncovoietor), respectiv deplasare relativ pedirecia efortului pentru fora tietoare i efortul axial. Aceti parametri au valoarea egal cu

unitatea. Se identific toate corpurile care fac parte din linia de ncrcare i se contureaz poriunileaferente ale diagramei de deplasare.

Se stabilete semnul liniei de influen deasupra liniei de referin i +dedesubtul ei i sehaureaz.


90/125

90


7.2.1.Pentru cadrul din figura 7.1, se determin liniile de influen pentru eforturile din seciunile iij, marcate pe structur. Fora mobil egal cu unitatea se deplaseaz pe grinda orizontal.

Fig.7.1.

a) Trasarea liniei MjSeciuneajse afl pe bara nclinat, sub grinda orizontal, la distan infinit mic de aceasta. n j se introduce o articulaie i se exteriorizeaz momentul Mi0 de o parte i de alta aarticulaiei.Se obine un mecanism cu un grad de libertate cinematic alctuit din trei corpuri, pentru carese stabilesc centrele instantanee de rotaie absolute i re lative:(1), (3)n articulaiile cu terenul(1,2), (2,3) n articulaiile intermediare(2)=(1),(1,2) (2),(2,3) x(2)=4,5 m, datorit simetriei reazemelor fa de articulaiaintermediar.(1,3)=(1),(3) (1,2),(2,3)la infinit pe orizontal corpurileIiIIIau deplasri paralele.Parametrul de referin

Pe corpulImomentulMj rotete n sens antiorarse d o rotire n sens orar corpuluiI.

Datorit simetriei

Linia de influen a momentului din seciunea ieste trasat n figura 7.2. Fiecare ordonat aliniei de influen a momentului ncovoietor din seciunea j reprezint o valoare amomentului ncovoietor din aceast seciune, variaia ei fiind dat de poziia forei mobileegale cu unitatea.


91/125

91

Fig. 7.2

b) Linia de influen a forei tietoare din seciunea j (fig.7.3).

(1), (3)n articulaiile cu terenul(1,2) la infinit pe direcia pendulilordeplasri paralele pentru cele dou corpuri. (2,3) n articulaia intermediar(2)=(1),(1,2) (2),(2,3)x(2)=4,5m datorit simetriei reazemelor fa de articulaiaintermediar.

Prin punctul fix (1) se duce direcia (1,2)(1,3)=(1),(3) (1,2),(2,3)Parametrul de referin este deplasarea relativ dintre corpurile I i IIpe direcia foreitietoare Tj(perpendicular pe bara nclinat) i este egal cu unitatea. Proiecia pe vertical aacestei mrimi este cos (fig. 7.3).


92/125

92

Fig. 7.3

Diagrama de deplasare pe vertical este acum definit, rmne doar de identificat corpurile pe care sedeplaseaz fora mobil (care fac parte din linia de ncrcare) pentru a putea contura linia deinfluen a forei tietoare n seciunea j. CorpulIeste bara nclinat, care nu face parte din linia dencrcare, prin urmare diagrama de deplasare a acestuia nu va face parte din linia de influen.

Se contureaz diagrama de deplasare pe vertical a corpuluiIIi a prii orizontale a corpuluiIII. Sestabilete semnul liniei de influen +sub linia de referin, -deasupra ei, i se haureaz.

c) Linia de influen a efortului axial din seciunea j (Fig. 7.4)

(1), (3)n articulaiile cu terenul(1,2) la infinit pe direcia pendulilor (perpendicular pe bara nclinat) deplasri paralele

pentru cele dou corpuri.(2,3) n articulaia intermediar(2)=(1),(1,2) (2),(2,3)

Prin punctul fix (1) se duce direcia (1,2)

(1,3)=(1),(3) (1,2),(2,3)Determinarea poziiei centrului (2):Se scriu ecuaiile celor dou drepte exprimate prin pantele lor:



93/125

93

Fig. 7.4

Parametrul de referin este deplasarea relativ pe direcia efortuluiNj(direcia barei nclinate) i esteegal cu unitatea. Proiecia pe vertical a acestei mrimi este sin.

Fora mobil se deplaseaz pe corpul II n ntregime i pe partea orizontal a corpului III. Secontureaz diagramele de deplasare aferente acestor corpuri.


94/125


95/125

95

e) Linia de influen a forei tietoare din seciunea i (Fig. 7.6)

Fig. 7.6

(1), (3)n articulaiile cu terenul(1,2) n articulaia intermediar(2,3) la infinit pe direcia pendulilor (orizontal)deplasare paralel pentru corpurile IIi

III(2)=(1),(1,2) (2),(2,3) (coincide cu centrul (1))(1,3)=(1),(3) (1,2),(2,3)la infinit pe orizontal corpurileIiIIIau deplasri paralele.Pe corpulII, Tiacioneaz n jos se d o deplasare n sus corpuluiII.

CorpulIIIse deplaseaz paralel cu corpulII. CorpulIse deplaseaz paralel cu corpulIII.Parametrul de referin este deplasarea relativ dintre corpurile II i IIIpe direccia foreitietoare Ti.


96/125


97/125


98/125


99/125


100/125

100

c) Linia Ni (Fig.7.11)(1), (3)n articulaiile cu terenul(1,2) la infinit pe direcia pendulilor direcia perpendicular pe tangenta dus n i la axaarcului.

(2,3) n articulia intermediar

(2)=(1),(1,2) (2),(2,3)(1,3)=(1),(3) (1,2),(2,3)Poziia centrului (2) se determin scriind ecuaiile celor dou drepte exprimate prin pantelelor:


Pe corpulII,Niare component pe vertical orientat n jos, se d o deplasare n sus corpului II.CorpulIse rotete n jurul centrului absolut (1), paralel cu corpulII.CorpulIIIse rotete n jurul centrului absolut (3) i are deplasare egal cu cea a corpuluiIIn dreptulcentrului relativ (2,3).

Parametrul de referin este deplasarea pe direcia efortului axial Ni (direcia tangentei dus n i laaxa arcului) i are valoarea 1. Proiecia pe vertical a acestei mrimi este .

; ;

;

Fig.7.11


101/125

101

CorpurileIiIIau deplasri cu acelai semn (de aceeai parte a liniei de referin). Eforturile Ni ausensuri contrare pe cele dou corpuri.

Pentru corpulIlucrul mecanic efectuat deNi este pozitiv. Dar Lucrul mecanic efectuat deefortul axial este negativ.

7.2.3.Pentru grinda cu zbrele din figura 7.12, se traseaz liniile de influen ale eforturilor axialedin barele 4-6, 5-6, i 5-7 n cele dou situaii distincte de ncrcare definite de linia de ncrcare:talpa inferioar (cazul a) sau talpa superioar (cazul b).

Fig.7.12

Liniile de influen ale efortului axial din bara 4-6:Se secioneaz bara 4-6, care face parte din talpa superioar a grinzii, i se pune n eviden efortulde ntindere din aceasta.

Parametrul de referin este deplasarea relativ pe direcia efortului

(direcia barei secionate) i este egal cu unitatea. Rotirea relativ dintrecele dou corpuri, mai uor de pus n eviden la aceste structuri, esteegal cu raportul dintre deplasarea egal cu unitatea i distana de lacentrul relativ la direcia efortului.

a) Fora mobil se deplaseaz pe talpa inferioar

Datorit simetriei

Se contureaz diagrama dedeplasare pe vertical a tlpiiinferioare a corpului I i cea atlpii inferioare a corpului II

Fig.7.13


102/125

102

b) Fora mobil se deplaseaz pe talpa superioarn acest caz, diagramele de deplasare pe vertical ale celor dou corpuri sunt aceleai (acelaimecanism, aceleai rotiri ale corpurilor). Diferena este dat de linia de ncrcare, care definete liniade influen. Astfel, n acest caz, linia de influen va fi diagrama de deplasare pe vertical a tlpii

superioare a corpuluiI(ntre nodurile 2-4), i a tlpii superioare a corpuluiII(ntre nodurile 6-8).

Fig.7.14Trasarea liniei de influen pentru efortul din diagonala 5-6

Se secioneaz bara 5-6 i se exteriorizeaz efortul axial .Se obine un mecanism alctuit din patru corpuri (fig.7.15). Se stabilesc centrele instantanee absolutei relative ale corpurilor.Se consider succesiv cte trei corpuri i se aplic teorema de coliniaritate a centrelor relative:I, II, IV : (1,4), (2,4), (1,2) coliniare

I, II, III : (1,3), (2,3), (1,2) coliniare (1,2)pe orizontal

I, III, IV : (1,3), (1,4), (3,4) coliniareII, III, IV : (2,3), (2,4), (3,4) coliniare (3,4) pe direcia diagonalelor(1),(1,2)perpendiculara pe direcia deplasrii posibile din reazemul simplu

(2) n reazemul simplu(1), (1,3), (3) coliniare

(2), (2,3), (3) coliniare (3) se afl pe verticala dus prin centrul (1,4)( datorit simetriei structurii)

-poziia pe vertical a centrului (3) este dat de Direcia (3,4) este paralel cu diagonala 6-7.

ntruct , (fig.7.15) Parametrul de referin este deplasarea relativ pe direcia efortului,sau rotirea relativ dintre corpurileIIiIVsauIiIII.

Pe corpulIrotete (fa de (1)) n sens antiorarse d o rotire n sens orar corpului I CorpulIIse rotete n jurul centrului (2), paralel cu corpul I CorpulIIIse rotete n jurul centrului (3) i are deplasare egal cu corpul I n dreptul centrului (1,3)i cu corpul II n dreptul centrului (2,3).Corpul IV se rotete n jurul centrului absolut (4), are deplasare egal cu corpul I n centrul (1,4) icu corpul II n centrul (2,4).


103/125

103

Corpurile III i IV se deplaseaz paralel.

corpurile III i IV se deplaseaz paralel

Prin diferen se calculeaz rotirile corpurilor I i II: Rotirile corpurilor fiind calculate, diagrama de deplasare pe vertical a mecanismului este p racticdefinit. n funcie de linia de ncrcare se traseaz linia de influen a efortului axial din diagonala5-6.

a) linia de ncrcare este talpa inferioar a grinzii cu zbrele (Fig. 7.15).

Fig.7.15

Fora mobil se deplaseaz:- pe corpul I, ntre nodurile 1-5 se contureaz diagrama de deplasare a corpului I

ntre(1) i (1,4)-pe corpul IV n ntregime diagrama de deplasare a corpului IV-pe talpa inferioar a corpului IIdiagrama de deplasare a corpului II ntre (2,4) i (2)Se calculeaz ordonatele liniei de influen n dreptul vrfurilor acesteia:

Se stabilete semnul liniei de influen: +n sensul forei mobile (sub linia de referin).


104/125

104

b) linia de ncrcare este talpa superioar a grinzii cu zbrele (Fig. 7.16).Fora mobil se deplaseaz:-pe talpa superioar a corpului I (ntre nodurile 2-4 )-pe corpul III n ntregime diagrama de deplasare a corpului III-pe talpa superioar a corpului II

Fig.7.16

Se calculeaz ordonatele pe capete i n dreptul vrfurilor liniei de influen: Diagrama este antisimetric.

Trasarea liniei de influen a efortului axial din bara 5-7 (Fig.7.17 i 7.18)

Secionnd bara 5-7, se formeaz un mecanism alctuit din dou corpuri conectate n nodul 6. - Se determin centrele instantanee de rotaie :(1)n articulaia cu terenul punct fix(1,2) n articulaia intermediar(2)=(1),(1,2)perpendiculara pe direcia deplasrii posibile din reazemul simplu. Fora N5-7produce, pe corpul II o rotire n sens orarse d o rotire n sens antiorar corpului II.Corpul I se rotete n jurul centrului (1) i are deplasare egal cu II n centrul (1,2).Deplasarea pe direcia efortului axial este:


105/125

105

Se calculeaz:

n funcie de linia de ncrcare se contureaz linia de influen.

a) Linia de ncrcare este talpa inferioar a grinzii (Fig.7.17)

Fig.7.17

b) Linia de ncrcare este talpa superioar a grinzii (Fig.7.18).

Fig.7.18


106/125


107/125

107

7.3.2. S se identifice Linia Tipentru structura din figur.

a)

b)

c)

indrumator statica 1 - structuri static determinate

Documents