Inducción electromagnética y energía magnética.

Inducción electromagnética. Descripción. 

Después de que Oersted descubriera que un campo eléctrico (si pone cargas en movimiento, como una corriente eléctrica) puede producir un campo magnético,  los físicos se preguntaron si era posible que un campo magnético produjera un campo eléctrico. 

Michel Faraday, en 1831 descubrió que una corriente eléctrica (y por tanto un campo eléctrico) aparecía en una espira si se hacía cambiar el flujo magnético a través de la espira: 

1) Haciendo cambiar el campo magnético en función del tiempo. 

2) Manteniendo el campo constante, pero haciendo cambiar la forma de la espira.

Inducción electromagnética. Ley de Faraday. 

Si por una espira circula corriente, sabemos que en la espira debe existir una fuerza electromotriz ε (f.e.m.) 

Faraday encontró que la f.e.m inducida ε en la espira era igual a la derivada temporal del flujo magnético a través de la espira cambiado de signo. 

dt d  m Φ

− = ε

A este resultado se le conoce como ley de Faraday­Lenz.

∫ ⋅ = Φ S 

m  S d B r r Flujo magnético a 

través de la espira

Inducción electromagnética. Naturaleza de la f.e.m. inducida por campos magnéticos que varían en el tiempo. 

•  Sabemos que la f.e.m. debe aportar a las cargas eléctricas que circulan la energía que pierden por efecto Joule. 

•  Como todos los puntos de la espira son equivalentes, la f.e.m. debe estar distribuida entre todos los puntos de la espira. 

•  Sabemos que para que exista corriente debe existir un campo eléctrico dentro de la espira. 

•  Sabemos que el campo magnético no hace trabajo sobre las cargas eléctricas, luego no puede aportarles energía. 

Podemos deducir la naturaleza de la f.e.m que aparece en este caso mediante el siguiente razonamiento. 

•  Un campo eléctrico sí puede hacer trabajo sobre las cargas y por tanto aportales energía. 

Conclusión 2: La f.e.m. se debe a la aparición en todos los puntos de la espira de un campo eléctrico. 

Conclusión 1: la f.e.m. no puede deberse al campo magnético.

Inducción electromagnética. Campos eléctricos no conservativos (I). 

En el Tema 1, dijimos que el campo eléctrico es conservativo y que eso significaba que el trabajo realizado contra el campo al mover una carga entre dos puntos A y B no depende del camino recorrido por la carga. 

E r 

o q 

q A 

B 

E r 

l d r 

E r 

l d r 

j C 

j D 

r e dr l d  r r =

∫ ⋅ − = → 

B 

A B A  l d E q W 

r r En el tema 1, de la definición de trabajo: 

Y demostramos que:

( ) A B B A  V V q W − = → 

A V 

B V 

Potencial en el punto A. 

Potencial en el punto B. 

B A W → Trabajo realizado contra el campo.

Inducción electromagnética. Campos eléctricos no conservativos (I). 

Eso también significa que el trabajo que hace el campo eléctrico al mover una carga en una trayectoria cerrada es cero.

( ) ( ) A B B A 

A 

B 

B 

A A B B A  V V q V V q l d E q l d E q l d E q W W − + − = ⋅ = ⋅ + ⋅ = + ∫ ∫ ∫ → →

r r r r r 

A 

B  Nota: el signo más delante de las integrales se debe a que ahora estamos calculando el trabajo que hace el campo. 

q 

q 

E r 

E r 

E r

Conclusión: Para campos eléctricos estáticos, como los del Tema 1: 

0 = ⋅ ∫  l d E r

Inducción electromagnética. Campos eléctricos no conservativos (II). 

Sin embargo, el trabajo que hace el campo eléctrico que hay dentro de la espira es no nulo y las cargas siguen un camino cerrado. 

El campo eléctrico que ha aparecido dentro de la espira es un campo no conservativo. Tenemos que aceptar que: 

Un campo magnético que varía en el tiempo produce un campo eléctrico no conservativo que también depende del tiempo. 

El trabajo del campo sobre una carga q que recorre la espira es: 

0 ≠ ⋅ ∫  l d E q r

Inducción electromagnética. Ley de Lenz. Necesidad. 

Al dibujar la corriente que circula por la espira cuando le acercamos un imán, podemos en principio elegir dos sentidos, relacionados con el sentido del vector normal a la espira. 

Recuerda que el sentido de recorrido de una espira determina la dirección del vector normal a la espira según la regla de la mano derecha. 

Necesitamos algún criterio para predecir en qué dirección circula la corriente inducida en la espira.

Inducción electromagnética. Ley de Lenz. Enunciado. 

El sentido de la corriente inducida es tal que se opone a la variación del flujo magnético que la produce. 

El sentido de la corriente viene dado por la Ley de Lenz: 

Si tomamos como ejemplo el caso de la espira: 

Cuando el imán se acerca a la espira, el campo magnético externo (flechas sólidas) a la espira aumenta. 

Como el campo externo aumenta, el flujo del campo externo a través de la espira aumenta con el tiempo. ∫ ⋅ = Φ 

S m  dS n B  r r 

v r 

B r 

n r S

Inducción electromagnética. Ley de Lenz. Ejemplo cuando el campo magnético varía en el tiempo. 

Para oponerse al aumento del campo externo, el campo propio debe ser opuesto al campo externo, con lo que la corriente inducida en la espira tiene la dirección que se representa en la figura. 

El campo propio de la espira (flechas rayadas) se opone al aumento del campo externo. 

La corriente inducida en la espira, produce a su vez un campo magnético propio de la espira (flechas rayadas).

∫ ⋅ = Φ S 

m  dS n B  r r 

v r 

B r 

n r S 

I

Inducción electromagnética. Ley de Faraday­Lenz. Ejemplo para una espira que cambia de forma (I). 

Consideremos la espira de la figura, ubicada dentro de un campo magnético uniforma y cuyo lado derecho se mueve hacia la izquierda sobre dos carriles conductores: 

x x x x x x  x 

x x x x x x  x 

x x x x x x  x 

x x x x x x  x  

B r 

v r S 

x  t v x ∆ = ∆

x  n r 

l ∫ ⋅ = Φ S 

m  S d B r r

x x x x x x  x 

x x x x x x  x 

x x x x x x  x 

x x x x x x  x  

B r 

v r S 

x  t v x ∆ = ∆

x  n r 

l ∫ ⋅ = Φ S 

m  S d B r r

Inducción electromagnética. Ley de Faraday­Lenz. Ejemplo para una espira que cambia de forma (II). 

Debido al movimiento del conductor que cierra la espira, el flujo del campo externo a través de la espira aumenta porque aumenta el área de la espira. 

t Blv x Bl A B m ∆ = ∆ = ∆ = ∆Φ  Blv dt d  m − = Φ

− = ε

La f.e.m. nos sale con signo negativo. Veamos qué significa eso.

Inducción electromagnética. Ley de Faraday­Lenz. Ejemplo para una espira que cambia de forma (II). 

De acuerdo con la ley de Lenz, la corriente inducida en la espira tiene un sentido tal que el flujo del campo propio tiene signo contrario al flujo del campo externo. 

Para que esto ocurra, el sentido de recorrido de la corriente debe ser el contrario al que escogimos en un principio. 

x x x x x x  x 

x x x x x x  x 

x x x x x x  x 

x x x x x x  x  

B r 

v r S 

x  t v x ∆ = ∆

x  n r 

l  Blv − = ε 

I 

El signo negativo de la f.e.m nos indica que la corriente inducida circula en el sentido opuesto al que hemos elegido al plantear el problema.

Inducción electromagnética. Naturaleza de la f.e.m inducida en un conductor en movimiento en un campo magnético (III). 

Cuando el conductor que cierra la espira se mueve, arrastra consigo los portadores de carga libres que contiene. 

Como los portadores de carga se mueven dentro de un campo magnético, experimentan una fuerza: 

B v q F m r r r

× =

Suponiendo q>0, vemos que esta fuerza empuja a los portadores en la dirección en la que circula la corriente. x x x x x x  x 

x x x x x x  x 

x x x x x x  x 

x x x x x x  x  

B r 

v r S 

x  t v x ∆ = ∆ 

l  Blv − = ε 

I 

m F r

Inducción electromagnética. Naturaleza de la f.e.m inducida. Resumen. 

dt d  m Φ

− = ε

• Si la f.e.m. se debe a un campo magnético variable en el tiempo: 

La f.e.m se debe a la aparición de un campo eléctrico no conservativo que también depende del tiempo. 

• Si la f.e.m. se debe al movimiento de conductores dentro de un campo magnético. 

La f.e.m se debe a la fuerza de Lorentz que el campo magnético ejerce sobre los portadores de carga del conductor. 

En ambas situaciones la f.e.m. puede calcularse aplicando la fórmula:

Inducción electromagnética. Origen de la energía disipada por la corriente en la f.e.m inducida por movimiento (I). 

Si por la espira circula una corriente I, la potencia entregada a las cargas en movimiento es: 

Esta potencia es disipada por efecto Joule en la espira. 

IBlv I P = = ε

NOTA: Considero ahora que el sentido de recorrido de la espira es el dado por la corriente, con lo cual la f.e.m. es positiva. 

x x x x x x  x 

x x x x x x  x 

x x x x x x  x 

x x x x x x  x  

B r 

v r 

x  t v x ∆ = ∆ 

l  Blv = ε 

I

Inducción electromagnética. Origen de la energía disipada por la corriente en la f.e.m inducida por movimiento (II). 

Si dijimos que el campo magnético no produce trabajo sobre cargas en movimiento y en este caso no hay campo eléctrico no conservativo ¿de dónde procede la energía que se entrega a las cargas? 

x x x x x  x 

x x x x x  x 

x x x x x  x 

x x x x x  x  

B r 

v r 

x  t v x ∆ = ∆ 

l  Blv = ε 

I 

Veremos que la energía procede de un agente externo que debe mover el lado derecho de la espira. 

I 

I 

I 

Para ello consideraremos las fuerzas sobre los lados de la espira.

Inducción electromagnética. Origen de la energía disipada por la corriente en la f.e.m inducida por movimiento (III). 

x x x x x  x 

x x x x x  x 

x x x x x  x 

x x x x x  x  

B r 

v r 

x  t v x ∆ = ∆ 

l  Blv = ε 

I 

m F r 

I 

I 

I 

El campo externo ejerce una fuerza: 

Sobre cada uno de los lados de la espira. 

En los lados que están fijos, la fuerza magnética es compensada por los soportes que sujetan la espira. 

B L I F m r r r

× = 

Ox 

Oy En el lado derecho:

( ) z y m  e B e Il F  r r r − × = 

x m  e IBl F  r r − =

Inducción electromagnética. Origen de la energía disipada por la corriente en la f.e.m inducida por movimiento (IV). 

x x x x x  x 

x x x x x  x 

x x x x x  x 

x x x x x  x  

B r 

v r 

x  t v x ∆ = ∆ 

l  Blv = ε 

I 

m F r 

I 

I 

I 

Ox 

Oy 

x m  e IBl F  r r − =

Para que el lado derecho se mueva a velocidad constante, la fuerza externa debe cumplir: 

x ext  e IBl F  r r = 0 = +  ext m  F F 

r r 

ext F r

Y la potencia entregada por el agente que ejerce la fuerza externa es: 

v F P  ext ext r r

⋅ =

( )  x x ext  e v e IBl P  r r ⋅ =

ε I IBlv P ext = =

Autoinducción. Justificación. 

1.Sabemos que una corriente que circula por una espira produce un campo magnético propio. 

2.Por tanto, existe un flujo del campo magnético propio a través de la espira. 

3.Si hacemos que la corriente que circula por la espira varíe en el tiempo, el campo magnético creado por la espira varía en el tiempo y por tanto el flujo del campo propio también lo hace. 

Mediante este mecanismo, una corriente en una espira puede generar una f.e.m que actúa sobre ella misma. A este fenómeno se le llama autoinducción.

Autoinducción. Caso particular: solenoide recto. 

3. Y El flujo del campo propio a través de todas las espiras del solenoide es: 

SI l N 

o m 

2

µ = Φ

El flujo es proporcional a la corriente, y la constante de proporcionalidad sólo depende de las propiedades del solenoide y del medio que tiene dentro. 

1.  Por ejemplo, en un solenoide recto, el campo propio vale en su interior:  n I 

l N B  o 

r r µ =

2. El flujo del campo a través de una espira del solenoide es: 

SI l N dS n B  o m µ = ⋅ = Φ ∫ r r 

N  Número de espiras.  l  Longitud del solenoide.

Autoinducción. Coeficiente de autoinducción. 

LI m = Φ El resultado anterior suele escribirse en la forma: 

Donde L recibe el nombre de coeficiente de autoinducción. 

El coeficiente de autoinducción relaciona el flujo magnético a través de un circuito cerrado debido al campo propio con la intensidad que circula por el circuito. 

Las unidades del coeficiente de autoinducción son Henrios (H). 

• Por ejemplo para un solenoide recto:  S l N L 

2

µ =

En general, puede demostrarse que el flujo magnético a través de un circuito debido a su campo magnético propio es proporcional a la intensidad y el coeficiente de proporcionalidad sólo depende de la geometría del circuito y de las propiedades magnéticas de los medios que contiene.

Autoinducción. Caída de potencial en una autoinducción. 

LI m = Φ dt dI L 

dt d  m − =

Φ − = ε

Si la intensidad que circula por un circuito cerrado depende del tiempo, combinando la definición de autoinducción con la Ley de Faraday­Lenz. 

Como la f.e.m autoinducida se opone al paso de la corriente, hace que las cargas que atraviesan la autoinducción pierdan energía equivalente a la caída de potencial: 

dt dI L V  B A = − = − ε 

A 

B 

L ( ) t generador ε

( ) t I

( ) t I

Energía magnética. Justificación (I). 

Consideremos un circuito en el que tenemos un solenoide con autoinducción L y una batería proporcionando una f.e.m. constante ε o . 

El circuito tiene un interruptor, de modo que no circula corriente hasta que no cerramos el interruptor. 

A 

D 

L 0 ε

( ) t I

( ) t I 

Una vez que cerramos el interruptor, debe cumplirse que: 

dt dI L o = ε

Nota: aunque la f.e.m. εo sea constante, la corriente depende del tiempo.

Energía magnética. Justificación (II). 

Sabemos que la batería debe entregar una potencia: 

Para mantener la corriente. 

A 

D 

L 0 ε

( ) t I

( ) t I 

Usando que:  dt dI L o = ε

Energía suministrada por la batería por unidad de tiempo. 

I P  o ε =

= =  2 

2 1 LI 

dt d 

dt dI IL I o ε

Como la energía debe conservarse, debemos aceptar que este término representa energía almacenada en la autoinducción por unidad de tiempo.

Energía magnética. Energía almacenada en una autoinducción.

  2 

2 1 LI 

dt d 

Representa energía almacenada en la autoinducción por unidad de tiempo. 

Hemos aceptado que el término: 

Por tanto, la expresión para a energía almacenada es: 

2 

2 1 LI U m =

Dentro de una autoinducción existe un campo magnético, así que hemos de aceptar que: 

En una región donde existe un campo magnético hay almacenada una energía.

Energía magnética. Densidad de energía magnética (I). 

2 

2 1 LI U m =

Solenoide recto 

0 B r 

0 B r 

z e r 

I 

Sabemos que para un solenoide recto: 

2 2 

2 

2 1 

2 1  SI 

l N LI U  o m µ = = 

S l N L 

2

µ = Por tanto, la energía magnética total almacenada en un solenoide por el que circula una intensidad I es: 

I l N B  o µ =

r

El campo magnético dentro del solenoide vale: 

N  Número de espiras. 

l  Longitud del solenoide.

Energía magnética. Densidad de energía magnética (II). 

Solenoide recto 

0 B r 

0 B r 

z e r 

I 

Despejando del valor del campo: 

2 2 2 

2 1 

2 1  B lS SI 

l N U 

o o m 

r µ

µ = = Luego podemos escribir la energía total debida al campo magnético dentro del solenoide como: 

B l NI o 

r µ

=

El producto lS representa el volumen del solenoide, así que hemos deducido: 

2 

2 1  B volumen Energía o 

r µ

× =

Energía magnética. Densidad de energía magnética (III). 

Conclusión: En un punto en el que existe un campo magnético, la densidad de energía magnética almacenada vale: 

2 

2 1  B u o 

r µ

=

Esta fórmula también es válida dentro de medios diamagnéticos y paramagnéticos sustituyendo la permeabilidad del vacío por la permeabilidad del medio.