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Inducción Matemática: Sucesiones ySumatorias
Departamento de Matematicas
Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.1/15
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Sucesiones: Idea
Imagine que una persona decide contar sus ancestros.
Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.2/15
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Sucesiones: Idea
Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Éltiene dos padres,
Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.2/15
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Sucesiones: Idea
Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Éltiene dos padres, cuatro abuelos,
Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.2/15
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Sucesiones: Idea
Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Éltiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos,
Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.2/15
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Sucesiones: Idea
Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Éltiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos,dieciseis bisabuelos, y así sucesivamente.
Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.2/15
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Sucesiones: Idea
Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Éltiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos,dieciseis bisabuelos, y así sucesivamente. Estos númerospodrían escribirse en una lista ordenada:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . .
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Sucesiones: Idea
Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Éltiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos,dieciseis bisabuelos, y así sucesivamente. Estos númerospodrían escribirse en una lista ordenada:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . .
El símbolo “. . . " se llama puntos suspensivos y son una
abreviatura para “y así sucesivamente".
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Sucesiones: Idea
Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Éltiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos,dieciseis bisabuelos, y así sucesivamente. Estos númerospodrían escribirse en una lista ordenada:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . .
El símbolo “. . . " se llama puntos suspensivos y son una
abreviatura para “y así sucesivamente". Para expresar el
patrón de los números, suponga que cada uno etiqutado
por un entero indicando su posición en el renglón:
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Sucesiones: Idea
Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Éltiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos,dieciseis bisabuelos, y así sucesivamente. Estos númerospodrían escribirse en una lista ordenada:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . .
El símbolo “. . . " se llama puntos suspensivos y son una
abreviatura para “y así sucesivamente". Para expresar el
patrón de los números, suponga que cada uno etiqutado
por un entero indicando su posición en el renglón:
Posición en el renglón 1 2 3 4 5 6 7 . . .
Número de ancestros 2 4 8 16 32 64 128 . . .Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.2/15
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Sucesión: definición
Definici on
Una sucesión es una lista ordenada de elementos:
am, am+1, am+2, . . . , an (1)
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Sucesión: definición
Definici on
Una sucesión es una lista ordenada de elementos:
am, am+1, am+2, . . . , an (1)
Cada elemento ak (léase “a sub k”) se llamatérmino.
Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.3/15
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Sucesión: definición
Definici on
Una sucesión es una lista ordenada de elementos:
am, am+1, am+2, . . . , an (1)
Cada elemento ak (léase “a sub k”) se llamatérmino. La letra k en ak se conoce como subíndiceo índice.
Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.3/15
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Sucesión: definición
Definici on
Una sucesión es una lista ordenada de elementos:
am, am+1, am+2, . . . , an (1)
Cada elemento ak (léase “a sub k”) se llamatérmino. La letra k en ak se conoce como subíndiceo índice. m es el subíndice del término inicial.
Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.3/15
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Sucesión: definición
Definici on
Una sucesión es una lista ordenada de elementos:
am, am+1, am+2, . . . , an (1)
Cada elemento ak (léase “a sub k”) se llamatérmino. La letra k en ak se conoce como subíndiceo índice. m es el subíndice del término inicial. n esel súbíndice del término final.
Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.3/15
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Sucesión infinita: definición
Definici on
Una sucesión infinita es un conjunto ordenados deelementos que se pueden describir mediante unalista:
am, am+1, am+2, . . . (2)
Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.4/15
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Sucesión infinita: definición
Definici on
Una sucesión infinita es un conjunto ordenados deelementos que se pueden describir mediante unalista:
am, am+1, am+2, . . . (2)
Una fórmula explícita o fórmula general para unasucesión es una fórmula en función de k queevaluada en k da el término ak.
Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.4/15
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Ejemplo
Determine los 5 primeros términos de la sucesióndefinida por la fórmula:
an = 3 bn
3c, para n ≥ 4
Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.5/15
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Ejemplo
Determine los 5 primeros términos de la sucesióndefinida por la fórmula:
an = blog2(n)c, para n ≥ 4
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Ejemplo
Determine en orden la fórmula general de lasucesión a1, a2, a3, . . . dados los términos iniciales:a) 1
2 ,−23 , 3
4 ,−45 , 5
6 ,−67 , . . .
b) 13 , 2
9 , 327 , 4
81 , 5243 , 6
729 , . . .
c) −6, 6,−6, 6,−6, 6, . . .
Ubicándola en la lista1. an = n
3n
2. an = 6 × (−1)n
3. an = 3 (−1)n (−1 + n)
4. an = (−1)(1+n) n1+n
Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.7/15
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Notación de Suma
La notación:n
∑
k=m
ak (3)
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Notación de Suma
La notación:n
∑
k=m
ak (3)
representa la suma desarrollada
am + am+1 + am+2 + · · · + an
Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.8/15
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Notación de Suma
La notación:n
∑
k=m
ak (3)
representa la suma desarrollada
am + am+1 + am+2 + · · · + an
Notación introducida en 1772 por el matemático francés J. L.
Lagrange.
Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.8/15
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Notación de Suma
La notación:n
∑
k=m
ak (3)
representa la suma desarrollada
am + am+1 + am+2 + · · · + an
Notación introducida en 1772 por el matemático francés J.
L. Lagrange. En la notación de sumatoria, k se llama índice,
Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.8/15
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Notación de Suma
La notación:n
∑
k=m
ak (3)
representa la suma desarrollada
am + am+1 + am+2 + · · · + an
Notación introducida en 1772 por el matemático francés J.
L. Lagrange. En la notación de sumatoria, k se llama índice,
m se llama el índice inferior de la suma,
Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.8/15
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Notación de Suma
La notación:n
∑
k=m
ak (3)
representa la suma desarrollada
am + am+1 + am+2 + · · · + an
Notación introducida en 1772 por el matemático francés J.
L. Lagrange. En la notación de sumatoria, k se llama índice,
m se llama el índice inferior de la suma, n se llama el índice
superior de la suma.
Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.8/15
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Notación del Producto
La notación:n
∏
k=m
ak (4)
Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.9/15
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Notación del Producto
La notación:n
∏
k=m
ak (4)
representa la producto desarrollada
am · am+1 · am+2 · · · an
Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.9/15
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Notación del Producto
La notación:n
∏
k=m
ak (4)
representa la producto desarrollada
am · am+1 · am+2 · · · an
En la notación de producto, k se llama índice,
Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.9/15
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Notación del Producto
La notación:n
∏
k=m
ak (4)
representa la producto desarrollada
am · am+1 · am+2 · · · an
En la notación de producto, k se llama índice, m se llama
el índice inferior del producto,
Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.9/15
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Notación del Producto
La notación:n
∏
k=m
ak (4)
representa la producto desarrollada
am · am+1 · am+2 · · · an
En la notación de producto, k se llama índice, m se llama
el índice inferior del producto, n se llama el índice superior
del producto.
Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.9/15
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Ejemplo
Determine en orden la evaluación de cada fórmula:1.
∏3n=1 n2
2.∑0
n=0 2n (3 + n)
3.∑5
n=1 n (1 + n)
Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.10/15
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Ejemplo
Indique en orden la versión compacta de cadadesarrollo:a) 1 − r + r2 − r3 + r4
b) 13 + 23 + 33 + . . . + k3
c) 12 + 22 + 32 + . . . + k2
dentro de la lista:1.
∑4i=0(−1)iri
2.∑k
n=1 n3
3.∑n
i=3 i
4.∑n
i=1 i2
5.∑k
n=1 n2
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Ejemplo
Indique en orden la versión desarrollada de cadaforma compacta:
a)∏4
n=1(n3 − 1)
b)∏4
n=2(n2 − 1)
c)∏4
n=1(1 − t4)
dentro de la lista:1. (22 − 1) · (32 − 1) · (42 − 1)
2. 1 + 2 + 3 + . . . + n
3. (1 − t) · (1 − t2) · (1 − t3) · (1 − t4)
4. (1 − t2) · (1 − t3) · (1 − t4)
5. (13 − 1) · (23 − 1) · (33 − 1) · (43 − 1)Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.12/15
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Propiedades de las Sumatorias
Si am, am+1,. . . y bm, bm+1, bm+2,. . . son sucesiones denúmeros reales y c es un número real cualquiera entoncespara enteros n ≥ m se cumple:
Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.13/15
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Propiedades de las Sumatorias
Si am, am+1,. . . y bm, bm+1, bm+2,. . . son sucesiones denúmeros reales y c es un número real cualquiera entoncespara enteros n ≥ m se cumple:
n∑
k=m
ak +n
∑
k=m
bk =n
∑
k=m
(ak + bk) (7)
Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.13/15
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Propiedades de las Sumatorias
Si am, am+1,. . . y bm, bm+1, bm+2,. . . son sucesiones denúmeros reales y c es un número real cualquiera entoncespara enteros n ≥ m se cumple:
n∑
k=m
ak +n
∑
k=m
bk =n
∑
k=m
(ak + bk) (7)
c
n∑
k=m
ak =n
∑
k=m
c ak (7)
Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.13/15
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Propiedades de las Sumatorias
Si am, am+1,. . . y bm, bm+1, bm+2,. . . son sucesiones denúmeros reales y c es un número real cualquiera entoncespara enteros n ≥ m se cumple:
n∑
k=m
ak +n
∑
k=m
bk =n
∑
k=m
(ak + bk) (7)
c
n∑
k=m
ak =n
∑
k=m
c ak (7)
(
n∏
k=m
ak
)
·
(
n∏
k=m
bk
)
=n
∏
k=m
(ak · bk) (7)
Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.13/15
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Ejemplo decorrimiento de índice
Ejemplo
Indique a cuáles sumatorias es equivalente lasiquiente:
12∑
n=1
(2 + 5 n)
dentro de la lista:1.
∑22j=11 (−48 + 5 j)
2.∑7
i=−4 (27 + 5 i)
3.∑17
n=6 (−23 + 5 n)
4.∑2
k=−9 (52 + 5 k)
5.∑23
m=12 (−53 + 5 m)Induccion Matematica: Sucesiones y Sumatorias– p.14/15
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Ejemplo
Determine en orden los valores de A, B y C paraque
A∑
k=0
(C + B k)
se igual a la suma :
−212
∑
j=3
(3 − 5 j) +6
∑
j=−3
(4 + j)
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