Sistemas de Inecuaciones

Prof: Pedro Santo Rguez.

Contenidos -Desigualdades. Propiedades.-Valor absoluto.-Intervalos. Clases.-Longitud y punto medio de un intervalo.-Concepto y resolución de inecuaciones lineales.-Inecuaciones lineales con valor absoluto.-Inecuaciones cuadráticas con una incógnita.

:

Desigualdades. Propiedades

Expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra, y sus signos son > que se lee mayor que, y < que se lee menor que. Por ejemplo:5 > 3 se lee 5 mayor que 3; - 4 < - 2 se lee- 4 menor que - 2.

Una cantidad a es mayor que otra cantidad b cuando la diferencia a - b es positiva [(a – b) > 0 ]. Así, 4 es mayor que - 2 porque la diferencia 4 - (- 2) = 4 + 2 = 6 (> 0 ); - 1 es mayor que - 3 porque - 1 - (- 3) = - 1 + 3 = 2 es una cantidad positiva. Del mismo modo, una cantidad a es menor que otra cantidad b cuando la diferencia a - b es negativa.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES1) Dada la desigualdad a > b, se puede afirmar que: a + c > b + c y a - c > b - c 5 > 2 ↔ 5 + 3 > 2 + 3 ↔ 8 > 5

2) Dada la desigualdad a > b y siendo c una cantidad positiva, puede afirmarse que: ac > bc y a/c > b/c

3) Si en la desigualdad a > b se multiplica ambos miembros por - c , se tiene: - ac < - bc

4) Si cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de signo. Si a > b es evidente que b < a

.

Valor AbsolutoRepresenta la distancia de un punto a al origen en la recta

real.

.

El valor absoluto de un número real, x, se define como:

Ejemplos:

INTERVALOS EN LA RECTA REAL

Dados dos números cualesquiera a y b, tales que a < b de la recta real, se define intervalo de extremos a y b al conjunto de todos los números reales comprendidos entre a y b.

El segmento se llama intervalo ab. Los puntos a y b se llaman extremos del intervalo.

.

-∞ a b +∞

CLASIFICACIÓN DE LOS INTERVALOS

Abierto en ambos extremos:

=

Cerrado en ambos extremos:=

- ∞ a b + ∞

- ∞ a b + ∞

Longitud y punto medio de un intervalo

La longitud de un intervalo ab está dada mediante la expresión: L = , o bien b – a.

El punto medio de un intervalo ab es la media aritmetica entre a y b, es decir:

Ej.: hallar la longitud y el punto medio del intervalo representado por la gráfica

L = 1 – (- 5) = 6

Pm =

INECUACIONESSon desigualdades en las que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifican (o demuestran) para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones también se conocen como desigualdades de condición.Al igual que las ecuaciones, pueden ser lineales (primer grado) y no lineales (grado superior al 1ro).

La resolución de inecuaciones lineales y no lineales se fundamenta en las propiedades de las desigualdades. Ejemplos: resolver las siguientes inecuaciones lineales:

2) *Suprimiendo denominadores se tiene que: 42 - 3x > 10x - 36 *Sumando – 10x – 42 nos quedará:- 3x - 10x > - 36 - 42 - 13x > - 78 *Dividiendo por – 13 tendremos:

1) 2x - 3 > x + 5

Sumando – x + 3 y reduciendo términos semejantes:2x - x > 5 + 3

X > 8

3) Hallar el conjunto solución de la siguiente inecuación y graficarlo.

Solución: Hallamos el mcm (2, 3,4)=12

Cuyo conjunto solución es entonces; S=

Gráficamente:

Inecuaciones lineales con valor absoluto

Sea . Se tiene entonces:

1)

2)

Ejemplos: Resolver las siguientes inecuaciones

a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface:

Y grafique.

b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface:

Y grafique.

o

Inecuaciones cuadráticas en una variable

Una inecuación de variable x se llama cuadrática cuando la podemos escribir en la forma ax2+bx+c>0

en donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. Los métodos de resolución de inecuaciones cuadráticas en una variable son el analítico y el gráfico este ultimo también es llamado método del cementerio.Procedimiento para resolver inecuaciones cuadráticas de forma analítica:Primer Paso: Factorizar el polinomio.Segundo Paso: Considerar los casos necesarios para que se cumpla la inecuación.Tercer Paso: Realice la intersección o unión de los conjuntos solución de acuerdo al caso seleccionado.Cuarto Paso: dar la solución en forma de intervalos y graficarla.

EjemploDada la siguiente inecuación halle el conjunto solución y grafíquelo.

Primer paso: Factorizar el polinomio dado:

quedando una inecuación de la forma:

Segundo paso: Los casos que se deben considerar son los siguientes:Caso I: Cuando ambos binomios son positivos es decir:

y Cuyas soluciones respectivas son:

y

La solución del caso I es, entonces:

Caso II: Cuando ambos binomios son negativos, es decir:

y Cuyas soluciones respectivas son:

y

La solución del caso II es, entonces:

La solución general será la unión de y , es decir:

El método que acaba de estudiarse, para resolver inecuaciones cuadráticas con una variable se llama método analítico. Existe un método alternativo, el método gráfico, que también se conoce como el método del Cementerio o método de las cruces. El procedimiento a seguir es:Primer Paso: Factorizar el polinomio.Segundo Paso: Ubicar las raíces reales sobre una recta.Tercer Paso: Determinar el signo de cada binomio en los distintos intervalos que se originan; para ello se le asignará a la variable un valor arbitrario que pertenezca a cada intervalo que se esté analizando.Cuarto Paso: Determinar qué signo le corresponde al producto de los binomios en cada intervalo estudiado.Quinto Paso: Seleccionar los intervalos para los cuales se cumple la desigualdad. El conjunto solución es la unión de los mismos.

Ejemplos: 1) Dada la siguiente inecuación halle el conjunto solución y grafíquelo. Factorizamos el polinomio dado:

quedando una inecuación de la forma

Las raíces que anulan son y

La solución será:

2) Dada la siguiente inecuación

halle el conjunto solución y grafique

Expresamos la inecuación en su forma estándar

Factorizamos el polinomio quedando:

Siendo las raíces de los factores 5 y - 3.

La sol. General es:

Esperamos que

puedan aprovecharlo.

¡Gracias!