ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

DESILGUADAD E INECUACIN

1. DESIGUALDAD: Es una relacin que se establece al comparar dos nmeros reales a y b. As se tiene:

DesigualdadLecturaSignificado Matemtico

a < b a es menor que ba < b a b < 0

a > b a es mayor que ba b a b 0

a b a es menor o igual que ba b a < b a b

a b a es mayor o igual que ba b a b a b

2. INTERVALO2.1. Definicin:

Lmite Superioro SupremoabLmite Inferioro nfimo + Es un subconjunto de los Nmeros Reales, cuyos elementos estn comprendidos entre los nmeros reales a y b (a< b), llamados extremos.

Notas:

Los intervalos se representan grficamente en una recta numrica real.ab +

Segmento

a+

Semirrecta

+

Recta Real

Sirven para expresar la solucin de una inecuacin. Geomtricamente un intervalo es un segmento, una semirrecta o la recta real. 2.2. 102.3. a; b]ABIERTOEl extremo a no pertenece al intervaloab + CERRADOEl extremo b pertenece al intervaloCrculo negro [ ]Crculo blanco Representacin y Notacin

2.4. Cotas: Se llaman as a los nmeros reales que son mayores o iguales que el extremo superior (Cotas superiores) o menores o iguales que el extremo inferior (Cotas inferiores) de un intervalo.

Extremo superior o Supremo: Menor de las cotas superioresI = [ 1 ; 7 Cotas superiores: 7; 7,001; 8; 8,1; Supremo: 7 I = 3 ; 10 ] Cotas superiores: 10; 10,01; 11; Supremo: 10 I =[2; + Sin cotas superiores por lo tanto no tiene supremo

Extremo inferior o nfimo: Es la mayor de las cotas inferioresI = [ 1 ; 7 Cotas inferiores: 1; 0,999; 0; 1; 2; nfimo: 1 I = 3 ; 10 ] Cotas inferiores: 3; 2,99; 2; 1; 0; 1; nfimo: 3 I = ; 2] Sin cotas inferiores y por lo tanto no tiene nfimo

Notas:I = ; + La recta real no est acotada, no tiene cotas superiores ni cotas inferiores.

Mximo: Si el supremo pertenece al intervalo Mnimo: Si el nfimo pertenece al intervaloI = [ 1 ; 7 No tiene mximo (7 I), 1 es el mnimo (1 I)I = 3 ;10 ] 10 es el mximo (10 I), no tiene mnimo (7 I)

2.5. Clasificacin

ClaseNombreRepresentacin

A

C

O

T

A

D

OCERRADO [a; b]Conjunto de nmeros reales que contiene a los extremos. (Posee mximo y mnimo)

[a ; b] = { x a x b }

ab +

x [ a ; b ]

ABIERTO a ; bConjunto de nmeros reales que no contiene a los extremos. (No posee mximo ni mnimo)

a ; b = { x a x b }

ab +

x a ; b

SEMIABIERTO O SEMICERRADO [a; bConjunto de nmeros reales en donde el extremo inferior a pertenece al intervalo y el extremo superior b no es elemento de dicho intervalo.

[ a ; b = { x a x b }

ab +

x [ a ; b

SEMIABIERTO O SEMICERRADO a ; b]Conjunto de nmeros reales en donde el extremo inferior a no pertenece al intervalo y el extremo superior b es elemento de dicho intervalo.

a ; b ] = { x a x b }

ab +

x a ; b ]

Nota: Un intervalo es acotado cuando sus extremos son nmeros reales. Un intervalo no acotado es cuando al menos uno de sus extremos es o +

ClaseNombreRepresentacin

N

O

A

C

O

T

A

D

OSEMIRRECTA [a; + Sus elementos son aquellos mayores o iguales al extremo inferior a.

[ a ; + = { x x a }

a+

x [ a ; +

SEMIRRECTA a; + Sus elementos son aquellos elementos mayores al extremo inferior a.

a ; + = { x x a }

a+

x a ; +

SEMIRRECTA ; b]Sus elementos son aquellos menores o iguales al extremo superior b.

; b ] = {x x b }

bb+

x ; b ]

SEMIRRECTA ; b Sus elementos son aquellos elementos menores al extremo superior b.

; b = {x x b }

bb+

x ; b

RECTA REAL ; +El conjunto de los Nmeros reales es un intervalo especial, en donde, los extremos son los smbolos y +, los cuales no son nmeros.

; + =

= { x x + } +

x ; +

Nota: Errores frecuentes: x [ 5 ; 2 ] , x 1 ; 7 ] Es incorrecto porque el extremo inferior debe ser menor que el extremo superior.

x [ 2 ; + ] , x [ ; 10 Es incorrecto porque + y son smbolos no son nmeros reales.

Los intervalos acotados de nmeros reales opuestos se pueden expresar tambin como el Valor Absoluto de un nmero real.

[ a ; a ] = { x a x a } = { x x a }

33 + [ 3 ; 3 ]

3 x 3

x 3

a ; a = { x a x a } = { x x a }

44 + 4 ; 4

4 x 4

x 4

Se llama Valor Absoluto de un nmero real x al nmero no negativo denotado por x y definido del modo siguiente:

x 0, x Otra definicin alternativa es: , tomando slo el signo positivo de la raz.

2.6. OperacionesComo los intervalos son subconjuntos de los Nmeros Reales, entonces se pueden realizar las operaciones propias de los conjuntos tales como: Unin, Interseccin, Diferencia, Diferencia Simtrica y Complemento.

2.5.1. Unin: A U BEs el conjunto formado por los elementos de A y todos los elementos de B

A U B = { x/ xA xB }

2.5.2. Interseccin: A BEs el conjunto formado por los elementos comunes de ambos conjuntos

A B = { x/ xA xB }

2.5.3. Diferencia: A BEs el conjunto formado por los elementos del conjunto A que no estn en B

A B = { x/ xA xB }

2.5.4. Diferencia Simtrica: A B

A B = { x/ x [(A U B) (A B)] }

A B = { x/ x [(A B) U ( B A )] }

2.5.5. Complemento: AEs el conjunto formado por todos los elementos del Universo (Conjunto de los Nmeros reales) que no estn en el conjunto A

A = { x xA }

A = { x( A) }

3. INECUACIN

Es cualquier desigualdad entre dos expresiones algebraicas tales como: P (x) > 0, P (x) < 0, P (x) 0 , P (x) 0

Son ejemplos de inecuaciones: 5x2 3 < 7; 3x4 2y 3

La solucin de una inecuacin es el conjunto de nmeros reales que la verifican, por lo general tiene infinitas soluciones, que se agrupan en intervalos o semirrectas.

Para resolver una inecuacin se tiene en cuenta las mismas reglas algebraicas que en las ecuaciones, exceptuando que Si se multiplica o divide ambos miembros de la inecuacin por una cantidad negativa, el signo de desigualdad cambia de sentido

4.1. Inecuacin Lineal Llamada tambin inecuacin de primer grado. Es una proposicin abierta en donde las variables estn elevadas a la unidad.

4.1.1. Inecuacin de primer grado con una incgnita Es de la forma: ax + b 0, ax + b 0 , ax + b 0; a 0, a, b Su solucin siempre es una semirrecta (su extremo real es cerrado si el signo de desigualdad es o y abierto si es < o >) Al resolver la inecuacin: a x + b 0; a, b + a x + b 0 a x bDado que a +, es decir: a 0

+ 0 Graficando en la recta real:

x [; + Ejemplo: 3x 6 < 0

2b+ x < x < 2

Nota:Valor crtico C.S. = ; 2 Regla prctica: Hallar la raz de la ecuacin (punto crtico) Ubicar el punto crtico en la recta real. Se ubican los signos +, de derecha a izquierda sobre las reas determinadas por la raz hallada. Si la desigualdad es de signo > o , se toma la regin que contenga el signo + Si la desigualdad es de signo < o , se toma la regin que contenga el signo .

2b+ +bb C.S. = ; 2

Ejemplo: mcm (2; 3; 12) = 126 (3 x 2) 4 (5 x 3) x 1 18 x 12 20 x + 12 x 1 3 x 1Multiplicando por (-1) a ambos miembros:

+ +bb 3 x 1

C.S. = 4.1.2. Inecuacin de primer grado compuesta con una incgnita

Es una inecuacin con desigualdad doble. Es de la forma: a < x < b a < x x < b Su conjunto solucin es la interseccin de las dos soluciones de las inecuaciones, es decir:C.S. = { x/ x > a } { x/ x < b } Ejemplos: Resolver:

a)

x

b)

x

Resolver:

a) 6x + 3 < 5x + 1 < 7x + 9b)

c)

d) Si (3x + 2) 10 ; 11

A qu intervalo pertenece ?4.1.3. INECUACIN LINEAL CON DOS INCGNITAS

Es de la forma: ax + by < 0 y sus equivalentes: ax + by > 0, ax + by 0, ax + by 0 ; a, b 0, a, b

Ejemplo: resolver 2x + y < 3 xyPunto

03A= ( 0; 3)

11B= ( 1;1)

1 Graficando la ecuacin: 2x + y = 3 Tabulacin: (Dos puntos determinan una recta)

2 Si la desigualdad es , la recta ser con lnea punteada y si es o , la recta ser con lnea continua, separndola en dos semiplanos.

3 Tomando un punto cualquiera de los semiplanos:Por ejemplo: el punto P= (0; 0)Reemplazando en la inecuacin: 2x + y < 3 2(0) + 0 < 3 0 < 3 (V)

Se sombrea el semiplano donde est el punto P= (0;0)Si no cumple la inecuacin la solucin ser el otro semiplano.

4.2. SISTEMA DE INECUACIONES LINEALES

Resolver el sistema de inecuaciones:

Solucin

1) Se traza la grfica de cada una de las ecuaciones en un mismo plano cartesianoxyPunto

23A= ( 2; 3)

70B= ( 7;0)

Graficando la ecuacin: x + 3y = 7 Tabulacin:

xyPunto

12A= ( 1; 2)

35B= ( 3;5)

Graficando la ecuacin: 3x 2y = 1 Tabulacin:

xyPunto

35A= ( 3; 5)

41B= ( 4;1)

Graficando la ecuacin: 4x + y = 17 Tabulacin:

2) Se calcula los puntos de interseccin de estas rectas, para ello se resuelven los sistemas:

C. S. = {(1 ; 2)} C. S. = {(4 ; 1)} C. S. = {(3 ; 5)}

3) El conjunto solucin est dado por la interseccin de los tres semiplanos

En resumen:La solucin del sistema de inecuaciones lineales es el interior del tringulo cuyos vrtices son las coordenadas (1; 2), (4; 1) y (3; 5), sin incluir ninguno de los lados del tringulo.

INECUACIN CUADRTICA

Llamada tambin inecuacin de segundo grado Es una proposicin abierta de la forma: ax2 + bx + c > 0 , ax2 + bx + c 02 Se ubican ordenados los puntos crticos sobre la recta real3 Cada zona determinada por los puntos crticos se sealan alternadamente de derecha a izquierda con los signos: + , 4 Si la inecuacin es de la forma: P(x) > 0 P(x) 0, el intervalo solucin est representado por las regiones que contengan el signo + y si es de la forma: P(x) < 0 P(x) 0, se toman las regiones que contengan el signo Resolver: x2 + x 156 > 0 x2 + x 156 =0 ( x +13 )(x 12) =0 Puntos Crticos = { 13 ; 12 }

Se toma abierto y las reas positivas por ser P (x) > 0Se toma abierto y las reas positivas por ser P (x) > 0 + 13 12 + +

C.S. = ; 13 U 12 ; +

Grficamente se interpreta como el intervalo en el cual la parbola f(x) = x2 + 2x 3 es positiva ( 0 )

En el tutorial deEcuaciones Cuadrticas, vimos que la grfica dey=ax2+bx+ces una parbola. En el tutorial deInecuaciones Linealesvimos queax + b = 0es la frontera entreax + b < 0yax + b > 0En esta seccin vamos a ver queax2+bx+c=0es la frontera entreax2+bx+c0.Para visualizar este concepto, grafiquemos la ecuaciny=x2+4x-5al escogera = 1,b = 4yc = -5en la siguiente aplicacin:

Ahora notamos lo siguiente: x2+4x-5=0se puede visualizar como los valores dexen la curvay=x2+4x-5dondey = 0.Mirando los interceptos enx,y = 0cuandox = -5yx = 1. Los valores dex = -5yx = 1dividen el eje dexen 3 partes. Cuandox < -5los valores deyson positivos asix2+4x-5>0. Los puntos se ven en azul. Cuando-5 < x < 1los valores deyson negativos asix2+4x-5 1los valores deyson positivos asix2+4x-5>0. Los puntos se ven en azul.Como conclusin, podemos ver quex2+4x-5=0es la frontera entrex2+4x-50.

Nota:La solucin de una inecuacin cuadrtica depende de su coeficiente principal y su discriminante ( = b2 4ac )

a > 0

Caso Iax2 + bx + c 0Caso I I

ax2 + bx + c 0

= b2 4ac

0X x1 ; x2 X , x1 U x2 , +

= 0X X x1 = x2

0X X

; ( x1 x2)

a 0

Caso IV

Caso I I I

ax2 + bx + c 0ax2 + bx + c 0

= b2 4ac

0X [x1 ; x2] X , x1 U x2 , +

= 0X = x1 = x2X

0X X

; ( x1 x2)

4.3. Inecuacin Polinmica de Grado Superior Su forma:

: Coeficiente Principal, y Su solucin es a travs del criterio de la regla de los signos, tenindose en cuenta la multiplicidad de los factores: Si la multiplicidad es impar, es normal la asignacin de los signos + y . Si la multiplicidad es par, no permite variacin de signos de reas contiguas.

Ejemplos:Resolver las siguientes inecuaciones:

a) Solucin1 Factorizando por el mtodo de los Divisores Binomios

( x + 4 )( x 1 )( x + 1 )( x 2 ) = 0 Puntos Crticos: { 4; 1 ; 1 ; 2}

2 Ubicando los puntos crticos en la recta numrica real:

Se toma cerrado y las reas negativas por ser P (x) 0 1 1 + + + + 4 2 Se toma cerrado y las reas negativas por ser P (x) 0

C. S. = [ 4 ; 1 ] U [ 1 ; 2 ]

b) Solucin

1 obteniendo los ceros de 2 Despus de factorizar por Divisores Binomios se obtiene:

( x 3 ) = 0 La raz 2 es de multiplicidad 2 (par) Puntos crticos: 2 ; 3

3 Ubicando los puntos crticos en la recta numrica real:

Las reas contiguas tienen el mismo signo por ser 2 raz de multiplicidad par + 2 3 Se toma cerrado y las reas positivas por ser P (x) 0 +

C. S. = [ 3 ; +

c) Solucin

1 Resolviendo 5 es raz simple, 11 es raz de multiplicidad 4 (par) 2 es raz de multiplicidad 6 (par)

Puntos crticos: { 2 ; 5 ; 11}

+ 2 5 + 11 +

C. S. = ; 5

Nota:Si alguno de los factores posee ceros complejos, stos se comportarn como una constantes (son imposibles de ubicarlos en la recta Real)

Resolver: Solucin

1 Obteniendo los ceros de 2 Despus de factorizar por Divisores Binomios se obtiene:

(x +10)(x 7)= 0

Tiene races complejas 3 Analizando de = b2 4ac = 3 Puntos crticos: { 10 ; 7 }

+ 10 7 + + Se toma abierto y las reas positivas por ser P (x) > 0Se toma abierto y las reas positivas por ser P (x) > 0

C. S. = ; 10 U 7 ; +

4.4. Inecuacin Fraccionaria

Es de la forma: ; P(x) y Q(x) son polinomios no nulos Toda inecuacin fraccionaria se transforma en otra equivalente entera como el producto del numerador y denominador (los puntos crticos del denominador siempre van abiertos)

Resolver

Puntos Crticos = { 2; 3 } x 2

+ 2 3 + +

C. S. = 2 ; 3 ] Resolver

Puntos Crticos = { 1; 0; 1; 3 } x 0; 3

+ 1 1 + 3 + 0 +

C. S. = ; 1] U 0 ; 1] U 3 ; +

Resolver

SolucinComo la inecuacin se presenta factorizada, la escribimos su equivalente, no olvidando de restringir los factores del denominador (siempre van abiertos)

Puntos Crticos = { 5; 2; 1; 0; 1 } x 2; 1 5 tiene multiplicidad par 1 tiene multiplicidad par

+ 5 1+ 1 2 + 0 + Las reas contiguas tienen el mismo signo por ser 5 raz de multiplicidad parSe toma abierto y las reas negativas por ser P (x) < 0Las reas contiguas tienen el mismo signo por ser 1 raz de multiplicidad par

C. S. = ; 2 U 1 ; 0]

4.5. Inecuacin Irracional Es aquella desigualdad que presenta al menos un radical o un exponente fraccionario. Para resolver una inecuacin irracional se debe tener en cuenta las restricciones con respecto a sus radicando. As: Si el ndice de la raz es IMPAR, no existes restricciones. Si el ndice de la raz es PAR, el radicando debe ser mayor o igual a cero (que constituir el universo de la solucin)

Inecuacin de la forma: ; Como el ndice es impar bastar con elevar ambos miembros de la inecuacin a un exponente que elimine el signo radical y luego se proceder como una inecuacin antes estudiada. Inecuacin de la forma: Se debe plantear las siguientes relaciones

Inecuacin de la forma: Se debe tener en cuenta los siguientes casos:

Caso A:

Caso B: De donde la solucin final est dada por la unin de las soluciones obtenidas en los casos A y B

Resolver Solucin1 Elevando al cubo ambos miembros

+ 1 2 + +

C. S. = 1 ; 2]

Resolver:Solucin1 Determinacin del universo: x + 3 0 x 2 0 x 3 x 2

+ 2 3

C. S1. = [ 2; +

2 Operando en:

Elevando al cuadrado ambos miembros:

Elevando al cuadrado ambos miembros

C. S2. = ; 6]

+ 2 6 3 Interceptando:

C. S. = [ 2 ; 6 ]

Resolver SolucinComo del segundo miembro no tenemos la certeza que sea positivo o negativo, se debe considerar el caso A y el caso B.

Caso A:

Resolviendo por separado tenemos:

+ 1 4 7

C. S1. = [ 4 ; 1Caso B:

+ 4

C. S2. =

Luego uniendo A y B se tiene: C. S. =

Resolver Solucin

1 Restricciones: 4 x 0 3 > 0 2 resolviendo por separado:

x 4 3 > 0 (V)

+ 5 4 0 3 Interceptando:

C. S. = 5 ; 4]

OBSERVACINAlgunas inecuaciones irracionales de ndice par se transforman en sistemas, como las que mostramos a continuacin:

a)

Si : , entonces:f (x) 0 ................... () f (x) g (x) ............... ()

b)

Si : , entonces:f (x) 0 ................... () f (x) g (x) ............... ()

c)

Si : , entonces:g (x) 0 ................... () f (x) g (x) ............... ()

d)

Si : , entonces:f (x) 0 ................... () f (x) g (x) ............... ()

Ejemplo: Resolver:

SolucinPara este caso, se cumple:

16 x 0 ..................... (1)

16 - 16 x ........... (2)De ....... (1)16 x 0 x 16x - ; 16 ] .................... ()

De ......... (2)

16 - 16 x 0

factorizando el numerador:

P.C. N: x = 1

D: x = 0

Graficando en la recta real:

1-

0+

x [ 1 ; ........... ()

Interceptando () y () obtenemos la solucin final

+- 0 1 16

Rpta. x [ 1 ; 16 ]

Ejemplo.- Dada la inecuacin

0 n z+entonces la inecuacin se resuelve para valores que estn comprendidas dentro de las soluciones de : f(x) 0

Existen diversos casos de inecuaciones irracionales presentaremos algunos de ellos y su forma de resolverlos.

Resolver

0SolucinEl conjunto solucin a esta inecuacin est determinado por la interseccin de los universos de cada radical, es decir;

U1 : X 3 0 x 3U2 : 8 x 0 x 8

Conjunto solucin U1 U2

+- 0 3 8

Rpta: x [ 3 ; 8 ]

4.6. Inecuacin exponencial

INECUACIONES EXPONENCIALES

Son aquellas inecuaciones cuya incgnita se encuentra en el exponente y sus criterios de solucin son:I. En toda desigualdad, si las bases son iguales y mayor que la unidad, al comparar los exponentes, el signo de la desigualdad no se invierte, es decir:Si la base es mayor que la unidad (a 1) ; se cumple:

1aP(x) a Q(x) P (x) Q (x)

2aP(x) a Q(x) P (x) Q (x)

3aP(x) a Q(x) P (x) Q (x)

4aP(x) a Q(x) P (x) Q (x)

EJERCICIOS

01. Resolver5 2x 3 25 x + 2 0

Solucin:Expresando la inecuacin convenientemente, se tendra:5 2x 3 25 x + 25 2x 3 25 2x + 4

como; la base es mayor que la unidad, se cumple que:

- o+ 2 x 3 - 2 x + 4 4 x 7

x

x [ ; ]02. En que intervalo se satisface la desigualdad.

Solucin:Expresando en base 2

2 - x - 1

como la base es mayor que la unidad:

- x - 1

: x - 1

recordando:a b b 0 [ -b a b ]

se tendra:1.- Universo de solucin

0 - - x 22.- De otro lado:

- + x 1 - - 2 + x 4 x 4 2 - xresolviendo por partes:i) 4 x 4 x 2ii) 4 x 4 2 - x3 x 2 5 x 6

x x

+- o

x ; interceptando con el universo:

+- o2

Rpta. C.S.; x ; II. En toda desigualdad si las bases son iguales y su valor est comprendido entre cero y uno (0 base 1) al comparar los exponentes el signo de la desigualdad se invierte, es decir:

Si la base est comprendida entre cero y la unidad (0 a 1); se cumple.

1aP(x) a Q(x) P (x) Q (x)

2aP(x) a Q(x) P (x) Q (x)

3aP(x) a Q(x) P (x) Q (x)

4aP(x) a Q(x) P (x) Q (x)

EJERCICIOS

01. Resolver

solucin:

Colocando en base , se tendra:

Como la base est comprendida entre cero y la unidad. x - 3 3recordemos que :a b a - b a b con lo cual:x 3 - 3 x 3 3 x 0 x 6Grficamente:

+- O 6

Rpta: x - , o U 6 ;

02. Resolver

Solucin:Transformando los radicales a exponentes fraccionarios, se tiene:

como la base est comprendido entre cero y la unidad, al comparar los exponentes, el signo de la desigualdad vara, es decir:

como el segundo miembro debe ser cero:

efectuando las operaciones indicadas, se obtiene: N x = 0

P.C D x = 6 x = -6Graficando en la recta real:

-+ 6 - 6 0

Rpta. x -6 ;0 U 6 ;

INECUACIONES IRRACIONALES

1)

2.5. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Se resuelven aplicando las siguientes propiedades:

x< b b > 0 ( b < x < b ) x b b 0 ( b x b ) x> b b > 0 ( x < b x > b ) x b b 0 ( x b x b )

x< b x2 < b2 x b x2 b2

x> b x2 > b2

x b x2 b2

x> b, b < 0 x

x b, b < 0 x Ejemplos:

Resolver:

1) x< 3

Solucin

x< 3 3 > 0 ( 3 < x < 3 )

V ( 3 < x < 3 ) S = < -3 ; 3 >

2) x 12

3) x > 8 4) x 9

5) x 4 < 7 6) x 3 < 8x

7) 2x 1 < x + 4

8) x + 3 + 4 2x

9) 2x + 1 5

10) 2x + 3 15 x

11) -6x + x2 + 8 4 x

12) x2 - 9 > 7

13) 2x2 3x 2x 3

14) 2x - 1< x + 1

15) x2 2x - 5 | x2 + 4x - 7

16) 3 x | 3x - 5

17) 3x + 1 | x - 2

18) > 3

19) x | x + 1

20) 0,3x + 0,1

21) 3x + 3 > x 2, indicar el mximo valor entero negativo y el mnimo valor entero positivo que se le puede asignar.

VALOR ABSOLUTO

RECORDEMOS:El valor absoluto nos permite considerar una magnitud numrica sin tener en cuenta el signo. Su definicin formal es:

, Ry significa que el valor absoluto de un nmero nunca es negativo.

Ejemplo:

Propiedades del valor absoluto

La solucin de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto requieren del conocimiento y dominio de algunas propiedades fundamentales que guen los procesos. A continuacin se dan las propiedades que sern usadas en el tema en cuestin.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Solucin de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto

Veremos a continuacin algunos ejemplos de aplicacin a las propiedades anteriores.

Ejemplos: (los hace leo.) Determinar el conjunto solucin (cuando sea posible), para cada una de las siguientes expresiones:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

TALLER N2

Encontrar los valores que satisfacen la expresin dada. Exprese la solucin en diferentes notaciones:

1. 2.

3.4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incgnita: son aquellos en los que la nica variable que interviene en todas las ecuaciones est elevada a un exponente igual a la unidad. Sistemas de dos ecuaciones, tienen por expresin general:

, y todas sus equivalentes , , etc. ... Tcnicas de resolucin: no existe ms que un modo de resolverlos, independientemente del nmero de inecuaciones que compongan el sistema, se resuelve cada inecuacin por separado, y al final se busca la solucin en la interseccin de todas ellas, es decir, el intervalo de solucin comn a todas. Ejemplos:

E1.- , los intervalos de solucin son para la primera y para la segunda. Luego la solucin comn a ambas est en la interseccin de ambos, es decir, en , grficamente tal vez se vea mejor.

E2.- Sea x el largo de un rectngulo de 3 cm. de ancho, el lado de un tringulo equiltero y el lado de un cuadrado. Determinar su valor para que el permetro de rectngulo sea superior al del tringulo e inferior al del cuadrado.

3El planteamiento nos lleva a . Esta es una inecuacin de primer grado que no podemos resolver directamente. Debemos pasar al sistema , la primera tiene por solucin el intervalo , y la segunda , luego la solucin

comn es la interseccin de ambos, es decir . Ver la solucin grfica.2.2.-Inecuaciones en valor absoluto: son aquellas en las que parte de la inecuacin, o toda ella, viene afectada por el valor absoluto de la misma.

Expresin general: , o todas sus equivalentes, o , etc. Mtodo de resolucin: aplicamos la definicin de valor absoluto de una cantidad y pasamos a un sistema de dos ecuaciones cuya solucin es la solucin de la inecuacin.

por definicin , recuerda que al multiplicar los dos miembros de una desigualdad por una cantidad, negativa, cambia el sentido de la desigualdad. Ejemplos:

E1.- , para la primera la solucin es el intervalo y para la segunda , la solucin de la inecuacin inicial ser la interseccin de ambos, es decir, el intervalo .

E2.- , la solucin de la primera es y la de la segunda , la solucin de la inecuacin inicial es la interseccin de ambas, ten en cuenta que , luego es .2.3.-Inecuaciones factorizadas o de grado mayor que 1: son inecuaciones en las que la variable est elevada a un exponente mayor que la unidad. Expresin general: son todas del tipo , o bien cualquier otro polinomio de grado mayor y distinta desigualdad, por ejemplo mayor que u otra. Mtodo de resolucin: descomponer factorialmente el polinomio, aplicando Ruffini, complitud de cuadrados, etc. el mtodo que consideres ms apropiado o que mejor te resulte.2.4.-Inecuaciones fraccionarias: son inecuaciones en las que tenemos una fraccin algebraica formando parte de la misma.

Expresin general: son del tipo , o todas sus equivalentes , o , etc. y de grados mayores que uno.

Mtodo de resolucin: descomponer factorialmente los polinomios numerador y denominador, aplicando Ruffini, complitud de cuadrados, etc. el mtodo que consideres ms apropiado o que mejor te resulte. Una vez descompuestos nunca simplificar ya que podramos perder soluciones. Posteriormente se procede como con las inecuaciones de grado mayor que uno, ya que se trata en el fondo de averiguar el signo final que va a tener un cociente de productos de binomios.

Ejemplos: E1.- , en este caso ya tenemos el numerador y el denominador descompuestos en factores, solo hay que construir la tabla de los signos, as:

++

+++

+

Producto++

No es solucinSolucinNo es solucinSolucin

Al tratarse de una desigualdad estricta no se incluyen los lmites o extremos de los intervalos en la misma, as pues la solucin ser .

E2.- , ojo, si pasamos multiplicando el denominador al otro miembro estaramos cometiendo un error. Resuelve por tu cuenta la inecuacin y compara los resultados. Para nuestro caso, operando , y todo se reduce a averiguar cul es el signo del denominador, cundo ste es negativo, y lo es en . E3.- Debemos andar con mucho cuidado a la hora de crear la tabla de signos, fijarnos bien en la pendiente real de las rectas, as, sea la inecuacin , recuerda, no simplificar.

++

++

++

Producto++

SolucinSolucinNo es solucin

Como el segundo factor del numerador tiene la pendiente negativa cambian los signos respecto al punto de corte, as en este caso es todo al revs de antes, a la derecha negativa y a la izquierda positiva. La solucin, por tratarse de una desigualdad no estricta, es .

Observacin: en la siguiente grfica tienes indicados los signos que toman los valores de las rectas segn sea su pendiente en funcin de la distancia al punto de corte con el eje de abscisas.

m < 0m > 0xcxcbbnegativanegativapositivapositiva

III.-Importancia:Las desigualdades e inecuaciones reflejan las situaciones en las que se sobrepasa o no se llega a un valor determinado.Aparecen asociadas a la tendencia natural que tiene el ser humano en la bsqueda de lo mejor: mximo rendimiento, mnimo coste, mnimo tiempo; en definitiva, mxima utilidad esperada.

Valor absoluto de un nmero: Definicin: una definicin poco acertada sera la de que es el nmero sin el signo, pero si queremos ser precisos deberamos decir que es el propio nmero, si ste es positivo, o el opuesto del nmero, si ste es negativo. As, tendramos que: Otra definicin alternativa sera , tomando solo el signo positivo de la raz. Propiedades del valor absoluto: , en otras palabras, el valor absoluto de un nmero siempre es mayor o igual que el propio nmero, ya que: , en ste caso es igual al propio nmero. , en ste caso es mayor que el nmero, ya que 5 > 5. , en otras palabras, si el valor absoluto de un nmero es cero, lo es porque el propio nmero es cero. , en otras palabras, el valor absoluto de la suma de dos nmeros siempre es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos, se conoce como desigualdad triangular.

, en otras palabras, el valor absoluto del producto de dos nmeros siempre es igual al producto de los valores absolutos de los factores. , en otras palabras, el valor absoluto de la diferencia de dos nmeros es indiferente del orden en que realicemos dicha resta. Ya que de la definicin alternativa tendramos que:

Distancia entre dos puntos de la recta real:

Definicin: se define la distancia entre dos puntos, A y B, de la recta real, y se denota por , como el valor absoluto de la diferencia entre los valores de los mismos, en otras palabras,

Propiedades: siempre, como consecuencia de la definicin de valor absoluto de un nmero. . , es decir, da igual el sentido en el que midamos, la distancia entre dos puntos fijos siempre es la misma. Si , es decir, la distancia entre dos puntos se puede calcular sumando las distancias que hay entre puntos intermedios a los dados. Entorno de un punto: Definicin: se llama entorno de un punto a de radio al conjunto de nmeros reales, x, tales que , dicho de otro modo, todos los nmeros reales comprendidos entre los puntos de corte que con la recta produce una semicircunferencia trazada con centro en a y radio . Otras definiciones: Como distancia: , es decir, todos los puntos de la recta real que se encuentren a una distancia del punto central, a, menor que el radio . Como intervalo abierto: Como desigualdad: OBSERVACIN: el entorno de un punto es siempre un intervalo abierto. Clases de entornos: Laterales: incluyen el punto central y todos los puntos situados a la derecha o a la izquierda del mismo, salvo el supremo. Entorno lateral por la derecha: Entorno lateral por la izquierda: Reducidos: son los que contienen todos los puntos menos el centro, as, Ejemplos y metodologa: Metodologa: Transformar intervalos abiertos o cerrados en desigualdades en valor absoluto: Se calcula el dimetro del intervalo, D, es decir, el ancho total, el cual ser por definicin la distancia entre los extremos del mismo. Se calcula la mitad de dicho ancho, , y, una de dos: Se le aade al extremo inferior. Se le resta al extremo superior. En cualquier caso obtenemos el centro del intervalo, a. Con esa informacin, podemos poner ya que: Si es abierto , que es la desigualdad buscada. Si es cerrado , que es la desigualdad buscada. Transformar intervalos en entornos: Solo los intervalos abiertos se pueden transformar en entornos. El proceso es, bsicamente, el mismo de antes: calcular el centro y el radio, y por ltimo ponerlo con la notacin de entorno. Transformar desigualdades en valor absoluto en desigualdades en lnea: Realizar la transformacin: Resolver ecuaciones en valor absoluto: solo es necesario tener en cuenta que la expresin encerrada dentro del valor absoluto puede ser positiva o negativa, con lo que habr que tomar sta una vez en valor positivo y una segunda vez con valor negativo, y resolver ambas por separado., as:

Ejemplos: E1.- Sea el intervalo , representarlo grficamente, como una desigualdad en lnea, como una desigualdad en valor absoluto, como el entorno de un punto, dar cotas superiores, inferiores, supremo, nfimo, mximo y mnimo: Desigualdad en lnea: Desigualdad en valor absoluto: Ancho: Centro:

2 5Entorno: Grficamente: Cotas superiores: 5, 6, 7, etc. ... Cotas inferiores: 2, 1, 0, etc. ... Supremo: 5nfimo: 2. Es un intervalo abierto, luego no hay mximo ni mnimo.

E2.- Sea el intervalo , representarlo grficamente, como una desigualdad en lnea, como una desigualdad en valor absoluto, como el entorno de un punto, dar cotas superiores, inferiores, supremo, nfimo, mximo y mnimo: Desigualdad en lnea: Desigualdad en valor absoluto: Ancho: Centro: -1 3Entorno: no se puede, ya que un entorno siempre es un intervalo abierto, y ste es cerrado. Grficamente: Cotas superiores: 3, 4, 5, etc. ... Cotas inferiores: -1, -2, -3, etc. ... Supremo: 3nfimo: -1 Mximo: 3Mnimo: -1 E3.- Transformar el siguiente entorno, , en un intervalo, en una desigualdad en lnea, en una desigualdad en valor absoluto, dar sus cotas, el supremo y el nfimo: Intervalo: Desigualdad en lnea: Desigualdad en valor absoluto: Cotas superiores: 5, 6, 7, etc. ... Cotas inferiores: 2, 1, 0, etc. ... Supremo: 5nfimo: 2 E4.- Resolver la siguiente ecuacin en valor absoluto: Por definicin de valor absoluto: debemos resolver cada una por separado, la solucin ser el conjunto de valores reales que satisface la ecuacin inicial. De la primera: De la segunda: no tiene soluciones reales. Luego las nicas soluciones reales que cumplen las condiciones iniciales son las dadas. Transformar la siguiente desigualdad en valor absoluto en una desigualdad en lnea y en un intervalo: .

Actividades de aplicacin.

P1.- Resolver las siguientes ecuaciones en valor absoluto:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

P2.- Escribir las siguientes desigualdades mediante intervalos abiertos, cerrados o semiabiertos, indicando el dimetro o la anchura del mismo en cada caso:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

m) n)

P3.- Expresa, mediante intervalos abiertos, los entornos de a de radio r que se indican a continuacin:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

P4.- Escribe el signo , pertenece, o , no pertenece, segn corresponda en cada caso:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

m) n)

P5.- Escribir como una desigualdad en valor absoluto los siguientes intervalos:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

P6.- Escribir en forma de entorno las desigualdades siguientes:

a) b) c)

d)

Operaciones con intervalos4. Dados :A = [3 ; 4 ] , C = ; 4 ] , E = [ 1 ; 7 , B = 2 ; 5 , D = 6 ; + . OPERACINRESULTADO

a) A D

b) ( C E ) B

d) [ B ( C A )] D

Efectu

EJERCICIOS

a)

Hallamos:

b)

Hallar:

Ahora hallamos:

c)

Hallar:

d)

Hallar

7 2x + 1 19

2 6< 8

2 x + 1 6

5 < x 3 3

7 < 3

Nota:2x + y < 36

7

8

9

7

12

16

-7

-3

4

-7

4

-2

1

3

5

-2

1

3

5

-3

3

7

10

3

7

10

3

7

10