inecuaciones arial narrow

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SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís

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Page 1: Inecuaciones Arial Narrow

SISTEMAS LINEALES DE

INECUACIONESAlejandro Camblor FernándezDepartamento de Matemáticas

IES Rey PelayoCangas de Onís

Page 2: Inecuaciones Arial Narrow

ÍNDICE

Inecuaciones lineales de dos incógnitas ............................

Sistemas de inecuaciones lineales ......................................

Problemas textuales

de sistemas de inecuaciones (1º bachillerato) ...........

de programación lineal (2º bachillerato) ..................

Page 3: Inecuaciones Arial Narrow

La solución de una inecuación de dos incógnitas es un semiplano.

Los pasos a seguir para resolverla son:

1er paso: representar la recta (cambiamos el símbolo por un igual)

2º paso: elegir un punto del plano (que no esté en la recta anterior) y estudiar cómo responde a la inecuación.

3er paso: colorear el semiplano solución.

1 / 4

Page 4: Inecuaciones Arial Narrow

Resuelve la inecuación: 3y2x5

Represento la recta: 3y2x5

Despejo la variable y:2x53

y

Tabla de valores: x y

1 -1

3 -6

Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación:

3030205

Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está es la solución.

2 / 4

Page 5: Inecuaciones Arial Narrow

Algunas inecuaciones son sencillas:

0x)a 0y)b 3x)c 2x)d 4y)e

Si la inecuación tiene una sola variable, la recta es paralela a alguno de los ejes.

Asocia cada inecuación con su soluciónb

ac

d

e

3 / 4

Page 6: Inecuaciones Arial Narrow

Resuelve las inecuaciones:

6y3x2)a

Asocia cada inecuación con su solución

b a

cd

yx2)b 4y2x)c 7y4x3)d

4 / 4

Page 7: Inecuaciones Arial Narrow

La solución de un sistema de inecuaciones de dos incógnitas es una región (si existe).

Los pasos a seguir para resolverla son:

1er paso: representar la recta (cambiamos el símbolo por un igual)

2º paso: elegir un punto del plano (que no esté en la recta anterior) y estudiar cómo responde a la inecuación.

3er paso: colorear el semiplano solución.

1 / 5

Page 8: Inecuaciones Arial Narrow

Resuelve el sistema de inecuaciones:

7y3x2

1yx3

Represento la recta: 1yx3

Despejo la variable y: 1x3y

Tabla de valores: x y

1 4

-2 -5

Elijo el punto (2,2), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: 141223

Como el punto (2,2) NO RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está NO ES LA SOLUCIÓN.

1er paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación

2 / 5

Page 9: Inecuaciones Arial Narrow

Resuelve el sistema de inecuaciones:

7y3x2

1yx3

Represento la recta: 7y3x2

Despejo la variable y:3x27

y

Tabla de valores: x y

2 1

-2 3

Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: 7070302

Como el punto (0,0) NO RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está NO ES LA SOLUCIÓN.

2º paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación

1er paso: Tengo el semiplano solución de la primera inecuación

3 / 5

Page 10: Inecuaciones Arial Narrow

Resuelve el sistema de inecuaciones:

7y3x2

1yx3

2º paso: Tengo el semiplano solución de la segunda inecuación

1er paso: Tengo el semiplano solución de la primera inecuación

3er paso: Busco la intersección de los dos semiplanos anteriores

4 / 5

Page 11: Inecuaciones Arial Narrow

Resuelve los sistemas de inecuaciones:

4yx2

3yx)a

Asocia cada sistema con su solución

b

a

c

d

6yx2

4yx2)b

6y

1yx

9yx3)c

6y

3x

1yx

4yx)d

5 / 5

Page 12: Inecuaciones Arial Narrow

Problemas de texto con inecuaciones

Los pasos a seguir para resolverlo son:

1er paso: plantear el sistema de inecuaciones.

2º paso: resolver el sistema dibujando la región solución.

3er paso: resolver el problema, dando la solución con una frase si es posible.

1 / 9

Page 13: Inecuaciones Arial Narrow

Para fabricar una tarta de chocolate necesitamos medio kilo de azúcar y 5 huevos; para fabricar la de manzana necesitamos un kilo de azúcar y 6 huevos. Si en total tenemos 60 huevos y 9 kilos de azúcar, ¿qué cantidad de cada tipo de tarta se pueden elaborar?

1er paso: Organizamos los datos en una tabla y hallamos las inecuaciones

Tarta Cantidad Azúcar (kg) Huevos (u.)

Chocolate x 0’5x 5x

Manzana y 1y 6y

Disponible 9 60

0y

0x

60y6x5

9yx5'0

2º paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación

Represento la recta: 9yx5'0

Despejo la variable y: x5'09y

Tabla de valores:

x y

2 8

6 6Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación:

909005'0

Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.

2 / 9

Page 14: Inecuaciones Arial Narrow

3er paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación

Represento la recta: 60y6x5

Despejo la variable y:6x560

y

Tabla de valores:

x y

6 5

12 0Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación:

600600605

Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.

4º paso: Busco los semiplano solución de las últimas inecuaciones

0x 0y

3 / 9

Page 15: Inecuaciones Arial Narrow

5º paso: Busco la región solución del sistema como intersección de los semiplanos anteriores

La solución del sistema y del problema está representado en esta región. Realmente, sólo valen los valores x e y no decimales (los puntos de intersección de las cuadrículas)

4 / 9

Page 16: Inecuaciones Arial Narrow

a) Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, ¿cuántas puede fabricar de cada tipo?

b) Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, ¿cuántos bollos de cada tipo puede elaborar?

c) Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. ¿Cuántas puede fabricar de cada tipo?

d) ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4 autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. ¿Cuántos vehículos de cada tipo puede utilizar?

Resuelve los problemas:

Asocia cada problema con su solución

cbad

5 / 9

Page 17: Inecuaciones Arial Narrow

Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, ¿cuántas puede fabricar de cada tipo?

Definimos las incógnitas:

Planteamos las inecuaciones:

Hallamos y representamos los semiplanos solución de cada inecuación, y la región solución del sistema:

)decenasen(lujodeneverasdecantidad:y

)decenasen(normalesneverasdecantidad:x

0y

0x

18y6x3

12y3x3

6 / 9

Page 18: Inecuaciones Arial Narrow

Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, ¿cuántos bollos de cada tipo puede elaborar?

Definimos las incógnitas:

Planteamos las inecuaciones:

Hallamos y representamos los semiplanos solución de cada inecuación, y la región solución del sistema:

)decenasen(Btipobollosdecantidad:y

)decenasen(Atipobollosdecantidad:x

0y

0x

5'1y25'0x25'0

2y25'0x5'0

7 / 9

Page 19: Inecuaciones Arial Narrow

Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. ¿Cuántas puede fabricar de cada tipo?

Definimos las incógnitas:

Planteamos las inecuaciones:

Hallamos y representamos los semiplanos solución de cada inecuación, y la región solución del sistema:

)decenasen(montañadebicisdecantidad:y

)decenasen(paseodebicisdecantidad:x

0y

0x

12y2x3

8y2x

8 / 9

Page 20: Inecuaciones Arial Narrow

ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4 autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. ¿Cuántos vehículos de cada tipo puede utilizar?

Definimos las incógnitas:

Planteamos las inecuaciones:

Hallamos y representamos los semiplanos solución de cada inecuación, y la región solución del sistema:

autobusesdecantidad:y

microbusesdecantidad:x

4y

5x

0y

0x

6yx

200y50x25

9 / 9

Page 21: Inecuaciones Arial Narrow

Problemas de programación lineal

Los pasos a seguir para resolverlo son:

1er paso: plantear el sistema de inecuaciones e identificar la función objetivo.

2º paso: resolver el sistema de inecuaciones dibujando la región solución.

3er paso: dibujar el vector de la función objetivo, y buscar el punto de la región solución que la optimiza.

4º paso: escribir la solución con una frase si es posible.

1 / 6

Page 22: Inecuaciones Arial Narrow

Para fabricar una tarta de chocolate necesitamos medio kilo de azúcar y 5 huevos; para fabricar la de manzana necesitamos un kilo de azúcar y 6 huevos. La tarta de chocolate se vende a 12 € y la de manzana a 15 €. Si en total tenemos 60 huevos y 9 kilos de azúcar, ¿qué cantidad de cada tipo de tarta se debe elaborar para que la venta sea máxima?

1er paso: Organizamos los datos en una tabla y hallamos las inecuaciones

Tarta Cantidad Azúcar (kg) Huevos (u.)

Chocolate x 0’5x 5x

Manzana y 1y 6y

Disponible 9 60

0y

0x

60y6x5

9yx5'0

2 / 6

La función objetivo es la que queremos optimizar. En este caso queremos que la venta sea la mayor posible: y15x12venta

Page 23: Inecuaciones Arial Narrow

2º paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación

Represento la recta: 9yx5'0

Despejo la variable y: x5'09y

Tabla de valores:

x y

2 8

6 6Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación:

909005'0

Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.

3 / 6

9yx5'0

3er paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación

Represento la recta: 60y6x5

Despejo la variable y:6x560

y

Tabla de valores:

x y

6 5

12 0Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación:

600600605

Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.

60y6x5

Page 24: Inecuaciones Arial Narrow

4º paso: Busco los semiplano solución de las últimas inecuaciones

0x 0y

4 / 6

6º paso: Dibujo el vector de la función objetivo

5º paso: Busco la región solución del sistema como intersección de los semiplanos anteriores

La solución del problema está en esta región. Realmente, sólo valen los valores x e y no decimales (los puntos de intersección de las cuadrículas).

El vector de la función objetivo es: 4,512,15

y15x12venta

Se dibuja desde el origen (0,0) hasta el punto (-5,4).

Page 25: Inecuaciones Arial Narrow

5 / 6

7º paso: Trazo paralelas al vector de la función objetivo, sobre la región factible, y observo cuál está más alejado.

Los puntos (x,y) de cada recta paralela dan el mismo valor a la función objetivo. Con cada recta paralela cambia el valor de la función objetivo: paralelas hacia un lado aumentan la función objetivo, y hacia el otro lado la disminuyen. En los punto de la región factible más alejados están los valores óptimos: máximo y mínimo.

Se observa que el punto (6,5) es el que maximiza la función objetivo. Recuerda que los valores decimales de x e y no tienen sentido en este problema.

SOLUCIÓN: Si se elaboran 6 tartas de chocolate y 5 de manzana, las ventas son mayores y se obtienen 147 €.

Page 26: Inecuaciones Arial Narrow

a) Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Los beneficios son de 180 € en la normal y de 240 en la de lujo. Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, ¿cuántas debe fabricar de cada tipo para maximizar el beneficio?

b) Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Se vende a 1’19 € el tipo A y a 0’89 € el tipo B. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, ¿cuántos bollos de cada tipo se deben elaborar para maximizar la venta?

c) Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. La de paseo la vende a 120 € y la de montaña a 90 €. ¿Cuántas debe fabricar de cada tipo?

d) ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4 autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. El microbús se alquila a 250 € y el autobús a 375 €. ¿Cuántos vehículos de cada tipo debe utilizar?

Resuelve los problemas:

6 / 6

a) 20 neveras normales y 20 de lujo, que reportan de beneficio de 8.400 €.

b) 20 bollos tipo A y 40 bollos tipo B, que reportan de beneficio de 59’40 €.

c) 20 bicis de paseo y 30 de montaña, que reportan de beneficio de 5.100 €.

d) 2 microbuses y 4 autobuses, que reportan de beneficio de 2.000 €.