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Proyecto Alianza de Matemáticas y Ciencias del Turabo (AMCT)
INECUACIONES: solución y representaciónParte 1: Desigualdades y sus propiedades
Este Proyecto es sufragado con fondos del Programa Título II-B, “No Child Left Behind”,“Math and Science Partnership” del Departamento de Educación.
Marlio Paredes, Ph.D.14 de noviembre de 2009
Año académico, 2009-2010
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Objetivos:
�Aprender a manejar correctamente laspropiedades de orden en los númerosreales.
�Representar en la recta numérica lasdiferentes clases de intervalos.
�Resolver inecuaciones lineales yrepresentar su solución geométricamente.
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Objetivos:
�Interpretar la solución de una inecuación encasos prácticos. casos prácticos.
�Resolver inecuaciones lineales con valorabsoluto algebraicamente y
geométricamente.
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Este taller responde a los siguientes estándares y expectativas
A.RE.7.5.1 Identifica y utiliza correctamente laterminología algebraica (variable, ecuación, inecuación,término, coeficiente, constante).
A.RE.7.8.1 Representa las soluciones de inecuacionesde la forma x >a, (x< a) y a ≤ x ≤ b (a ≥ x ≥ b) en larecta numérica.
A.RE.7.8.2 Escribe una inecuación para representar unintervalo o rayo, con o sin extremos, en una rectanumérica.
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A.RE.8.3.3 Desarrolla expresiones algebraicas,ecuaciones e inecuaciones equivalentes usando laspropiedades conmutativa, asociativa, inverso,identidad y distributiva.
A.RE.8.3.4 Identifica y traduce entrerepresentaciones equivalentes de expresioneslineales, ecuaciones, inecuaciones y sistemas delineales, ecuaciones, inecuaciones y sistemas deecuaciones, por medio de representaciones verbales,tablas, gráficas y símbolos.
A.RE.8.4.2 Identifica los términos variables yconstante en una expresión lineal, en ecuaciones einecuaciones y en sistemas de ecuaciones einecuaciones.
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A.MO.8.5.1 Construye una ecuación o inecuación lineal para modelar una situación del mundo real, usando una variedad de métodos y representaciones.
A.RE.8.5.2 Analiza y explica el razonamiento utilizando para resolver ecuaciones e inecuaciones utilizando para resolver ecuaciones e inecuaciones lineales.
A.RE.8.5.3 Resuelve ecuaciones e inecuaciones lineales usando símbolos, gráficas, tablas y tecnología.
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A.RE.8.5.4 Resuelve ecuaciones e inecuacioneslineales con valor absoluto.
A.RE.9.3.5 Resuelve un sistema de inecuacioneslineales en dos variables y traza la gráfica de susoluciónsolución
A.RE.9.3.6 Reconoce y resuelve problemas que sepueden representar por un sistema de ecuaciones einecuaciones lineales. Interpreta la solución entérminos del contexto del problema.
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El orden en los números reales:
Cuando decimos que hay un orden en el conjunto delos números reales R queremos decir que existe uncriterio para comparar números reales.
Esto nos permite decidir entre dos númerosdiferentes cual es el “menor” o el “mayor”.
Recordemos que el cero en la recta numérica divideel conjunto de los números reales en tres conjuntosdisjuntos: los reales positivos (a la derecha del cero),los reales negativos (a la izquierda del cero) y elconjunto cuyo único elemento es el cero.
diferentes cual es el “menor” o el “mayor”.
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0a b
Reales positivosReales negativos
b > 0a < 0
Definición : Dados dos números reales x, yDefinición : Dados dos números reales x, ydecimos que x es menor que y si y solo si y – xes positivo.
Simbólicamente se escribe:
0>−⇔< xyyx
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Similarmente, podemos decir que x es mayor que y si y solo si x – y es positivo.Simbólicamente:
0>−⇔> yxyx
Propiedad de tricotomía:Propiedad de tricotomía:
Dado un número real x una de las siguientesafirmaciones es verdadera:
x es positivo
0>x
x es negativo
0<x
x es cero
0=x
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Propiedad clausurativa de los números reales positivos
000 >+⇒>∧> baba
Si sumamos dos números positivos obtenemos unnúmero positivo:
000 >⇒>∧> abba
000 >+⇒>∧> baba
Si multiplicamos dos números positivos obtenemosun número positivo:
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Definición:
. ó queindicar para osEscribirem bababa =<≤
)( bababa =∨<⇔≤
.. ó
queindicar para escribimos te,Similarmen
baba
ba
=>≥
)( bababa =∨>⇔≥
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Ejemplos:
53≤ 53 porque <
33≤ 33 porque =
33≥ 33 porque =
52 −≥− 52 porque −>−
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También usaremos el símbolo: cba ≤≤
para indicar que: cbba ≤≤ y
)( cbbacba ≤∧≤⇔≤≤
Ejemplos:
952 ≤≤ 95y52porque ≤≤
701 ≤≤− 70y01porque ≤≤−
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Intervalos:
Intervalos finitos cerrados: [ ] { }bxaxba ≤≤∈= |R,
a b
Intervalos finitos abiertos: ( ) { }bxaxba <<∈= |R,
a b
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Intervalos finitos semiabiertos o semicerrados:
Intervalos:
( ] { }bxaxba ≤<∈= |R,
a b
[ ) { }bxaxba <≤∈= |R,
a b
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Intervalos:
Intervalos infinitos cerrados:
( ] { }axxa ≤∈=∞− |R,
[ ) { }axxa ≥∈=∞ |R,
a
a
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Intervalos infinitos abiertos:
Intervalos:
( ) { }axxa <∈=∞− |R,
a
a
( ) { }axxa >∈=∞ |R,
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Ejemplo : Representar el conjunto de númerosreales x que satisface la siguiente desigualdad
27
1 <≤ x
7
0 1 2 3
2
7
4
<≤∈=
27
1|R27
,1 xx
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El conjunto de los números reales seacostumbra simbolizar como unintervalo :
( )∞∞−= ,R
0
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Propiedades de Orden
Propiedad Reflexiva: aa ≤
Propiedad Antisimétrica:
baabba =⇒≤∧≤ )(
Propiedad Transitiva:
cacbba ≤⇒≤∧≤ )(
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Ejemplo:
5112)1 ≤∧≤− 52 ≤−⇒
11332)2 ≤∧≤ 112 ≤⇒
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Otras Propiedades de las Desigualdades
dbcadcba +≤+⇒≤∧≤.1
Ejemplo:Ejemplo:
8352 ≤∧≤− 8532 +≤+−⇒
131≤⇒
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La propiedad anterior implica la siguientepropiedad:
cccbcaba ≤+≤+⇒≤ porque,
cccbcaba −≤−−≤−⇒≤ porque,
Similarmente, se cumple que:
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Ejemplo:
43≤− 2423 +≤+−⇒
61≤−⇒
43≤− 2423 −≤−−⇒
25 ≤−⇒
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bcaccba ≤⇒>∧≤ 0.2
Ejemplo:
0352 >∧≤− 353)2( ×≤×−⇒
156 ≤−⇒
bcaccba ≥⇒<∧≤ 0.3
0352 <−∧≤−Ejemplo:
)3(5)3)(2( −≥−−⇒
156 −≥⇒
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bdacdcba ≤≤⇒≤≤∧≤≤ 000.4
Ejemplo:
1020630 ≤≤∧≤≤ 106230 ×≤×≤⇒
6060 ≤≤⇒
000.5 ≥≥⇒≤≤∧≤≤ bdacdcba
Ejemplo:
025013 ≤−≤−∧≤−≤− 0)2)(1()5)(3( ≥−−≥−−⇒
0215 ≥≥⇒
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03≥−x
Ejemplo: Encuentre todos los valores de x quesatisfacen la desigualdad
303303 +≥+−⇒≥− xx
Solución:
303303 +≥+−⇒≥− xx
3≥⇒ x
3
[ )∞∈⇒ ,3x
[ )∞,3 :soluciónConjunto
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Ejemplo: Encuentre todos los valores de x quesatisfacen la desigualdad
125 <−<− x
Solución:
212225125 +<+−<+−⇒<−<− xx 212225125 +<+−<+−⇒<−<− xx
33 <<−⇒ x ( )3,3−∈⇒ x
3− 3
( )3,3 :soluciónConjunto −
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Teorema: Para todo número real se cumpleba,
( ) ( ){ }00000 <∧<∨>∧>⇔> babaab
Ejemplo : Encontrar todos los valores de x quesatisfacen la siguiente desigualdadsatisfacen la siguiente desigualdad
0)2)(1( >−+ xx
Solución:
{ })0201()0201(0)2)(1( <−∧<+∨>−∧>+⇔>−+ xxxxxx
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{ })21()21(0)2)(1( <∧−<∨>∧−>⇔>−+ xxxxxx
:21 >∧−> xx
1− 2
1− 2
( )∞∈⇒ ,2x
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:21 <∧−< xx
1− 2
1− 2
( )1,−∞−∈⇒ x
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Uniendo las dos partes de la solución tenemos:
( ) ( )∞∈∨−∞−∈⇒ ,21, xx
1− 2
( ) ( )∞−∞− ,21, :solución Conjunto U
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Teorema: Para todo número real se cumpleba,
( ) ( ){ }00000 >∧<∨<∧>⇔< babaab
Corolario : Si a es un número real diferente decero entonces a2 > 0.
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Teorema: entonces 0y 0 Si >> ba
baba
11 ≥⇔≤
Ejemplo:Ejemplo:
73≤71
31 ≥⇔
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1246) +< xxa
1264) +≥ xxb
1. Resolver las siguientes inecuaciones (desigualda des)
Ejercicios
1264) +≥ xxb
13234) ≤−≤ xc
065) 2 ≤+− xxd
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03
2) ≥
− xe
111
) ≥−+
x
xf
12
)−
<x
xg
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2. Encontrar el dominio de la función
xxf −= 5)(
3. Encontrar el dominio de la función
6)( 2 −−= xxxg
4. Encontrar el dominio de la función
26)( xxxk −−=
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Alianza de Matemáticas y Ciencias del Turabo (ACMT)
GRACIAS
Este Proyecto es sufragado con fondos del Programa Título II-B, “No Child Left Behind”,“Math and Science Partnership” del Departamento de Educación.
Año académico, 2009-20010